Integración Por Sustitución Trigonométrica [PDF]

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Técnicas de Integración.

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencia y Sistemas.

Tabla de contenido tecnicas de integracion: integracion POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. .................................. 2 OBJETIVO. ........................................................................................................................................ 2 INTRODUCCION. .............................................................................................................................. 2 SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. ................................................................................................... 2 EJEMPLOS. ....................................................................................................................................... 4 Fórmulas de integración especiales. ............................................................................................... 7 EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................................ 7

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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencia y Sistemas.

TECNICAS DE INTEGRACION: INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. OBJETIVO.  Utilizar sustitución trigonométrica para resolver una integral.

INTRODUCCION. En esta sección conociendo como evaluar integrales que contienen potencias de funciones trigonométricas, se estudiara la técnica de sustitución trigonométrica para evaluar una integral que contiene radicales, el objetivo de la sustitución trigonométrica es eliminar el radical en el integrando. Haremos uso de las identidades pitagóricas.

𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1,

𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥),

𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) + 1 = 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS (𝑎 > 0) 1. Para integrales que contienen √𝑎2 − 𝑢2 , sea 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑑𝑢 = a cos(𝜃) 𝑑𝜃 Entonces √𝑎2 − 𝑢2 = √𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) = √𝑎2 (1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)) = √𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) = a cos(𝜃) 𝜋 𝜋 Donde − 2 ≤ 𝜃 ≤ 2

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SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS (𝑎 > 0) 2. Para integrales que contienen √𝑎2 + 𝑢2 hacer 𝑢 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛(𝜃) → 𝑑𝑢 = a 𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 Entonces √𝑎2 + 𝑢2 = a sec(𝜃) 𝜋 𝜋 donde − 2 ≤ 𝜃 ≤ 2

3. Para integrales que contienen √𝑢2 − 𝑎2 hacer 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝜃) → 𝑑𝑢 = a sec(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃 √𝑢2 − 𝑎2 = √𝑎2 (𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 1) 𝜋 𝑎 tan(𝜃) 𝑢 > 𝑎; 0 < 𝜃 2 = √𝑎2 𝑡𝑎𝑛2 (𝜃) = { 𝜋 −𝑎 tan(𝜃) 𝑢 < −𝑎, < 𝜃 ≤ 𝜋 2

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EJEMPLOS. Ejemplo 1. Sustitución Trigonométrica: 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃) Encontrar ∫

𝑑𝑥 𝑥 2 √9−𝑥 2

Solución: Observamos que √9 − 𝑥 2 es de la forma √𝑎2 − 𝑢2 , por lo que usaremos la sustitución 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃); 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑑𝑥 = 3 cos(𝜃) 𝑑𝜃 𝑥 2 = 9𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)

Sustituyendo de obtiene: 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜

∫

⏞

𝑑𝑥 𝑥 2 √9 − 𝑥 2

=∫

3 cos(𝜃) 𝑑𝜃

9𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)√9 − 9𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)

3 cos(𝜃) 𝑑𝜃

=∫

9𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) 9(1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)) √⏟ 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

=∫

3 cos(𝜃) 𝑑𝜃 9𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)√9𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃)

=∫

3 cos(𝜃) 𝑑𝜃 1 𝑑𝜃 = ∫ 2 9𝑠𝑒𝑛 (𝜃)3cos(𝜃) 9 𝑠𝑒𝑛 ⏟ 2 (𝜃) 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜

1 1 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 = − cot(𝜃) + 𝑐 9 9 Observe que la integral está resuelta en términos de 𝜃, debemos expresar el resultado en 𝑥

términos de la variable original 𝑥

𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 3 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Representando en el triángulo rectángulo se tiene: ∫

𝑑𝑥 𝑥 2 √9 − 𝑥 2

=−

1 √9 − 𝑥 2 √9 − 𝑥 2 +𝐶 =− +𝐶 9 𝑥 9𝑥

x

θ

√9 − 𝑥 2

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Ejemplo 2. Sustitución trigonométrica: 𝒖 = 𝒂 𝒕𝒂𝒏(𝜽) Encontrar ∫

𝒙𝟑 √𝟗+𝒙𝟐

𝒅𝒙

Solución: Se observa que √9 + 𝑥 2 es de la forma √𝑎2 + 𝑢2 por lo que usaremos la sustitución 𝑥 = 3 tan(𝜃) → 𝑑𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃); 𝑥 2 = 9𝑡𝑎𝑛2 (𝜃); 𝑥 3 = 27𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) Sustituyendo se obtiene: 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝜽

∫

𝒙𝟑 √𝟗

=∫

+ 𝒙𝟐

𝒅𝒙 = ∫

27𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) √9𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)

⏞ 27𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) √9 +

3𝑠𝑒𝑐

9𝑡𝑎𝑛2 (𝜃)

2 (𝜃)𝑑𝜃

3𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) 𝑑𝜃 = ∫

27𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) √9(1 +

𝑡𝑎𝑛2 (𝜃))

3𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃

27𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) =∫ 3𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 = 27 ∫ 𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) sec(𝜃) 𝑑𝜃 3sec(𝜃)

= 27 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜃) tan(𝜃) sec(𝜃) 𝑑𝜃 = 27 ∫(𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 1) sec(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃 = 𝟐𝟕 ∫ 𝒔𝒆𝒄 ⏟ 𝟐 (𝜽) 𝒔𝒆𝒄(𝜽)𝒕𝒂𝒏(𝜽) 𝒅𝜽 − 𝟐𝟕 ∫ 𝒔𝒆𝒄(𝜽)𝒕𝒂𝒏(𝜽)𝒅𝜽 ⏟ ⏟ 𝒖

𝒅𝒖

𝒅𝒖 𝟑

𝒖 𝟐𝟕 − 𝟐𝟕𝒖 + 𝒄 ⏟ 𝟑

= 𝟐𝟕 ∫ 𝒖𝟐 𝒅𝒖 − 𝟐𝟕 ∫ 𝒅𝒖 = ⏟

𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒖

𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒖

= 𝟗𝒔𝒆𝒄𝟑 (𝜽) − 𝟐𝟕𝒔𝒆𝒄(𝜽) + 𝑪 Hasta acá la integral esta evaluada en términos de la variable 𝜃 debemos expresar la repuesta en términos de la variable original 𝑥.

𝑥 = 3 tan(𝜃) →

∫√ 3

𝒙𝟑 𝟗+𝒙

∫√

√𝒙𝟐 +𝟗

𝒅𝒙 = 𝟗 ( 𝟐

𝒙𝟑 𝟗+𝒙𝟐

𝑥 = tan(𝜃) 3

𝟑

𝟑

) − 𝟐𝟕

√𝒙𝟐 +𝟗 𝟑

+𝑪

𝟏

𝒅𝒙 = 𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟗)√𝒙𝟐 + 𝟗 − 𝟗√𝒙𝟐 + 𝟗 + 𝑪

x

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Ejemplo 3. Sustitución Trigonométrica: 𝒖 = 𝒂 𝒔𝒆𝒄(𝜽) 𝑙𝑛3 (𝑧)

Encontrar ∫ Solución: ∫

𝑧√𝑧 2 −4 𝑙𝑛3 (𝑧)

𝑧√𝑧 2 −4

𝑑𝑧

𝑑𝑧 = ∫

𝑤3 √𝑤 2 −4

1

𝑑𝑤 ;

haciendo 𝑤 = ln(𝑧) → 𝑑𝑤 = 𝑑𝑧 𝑧

Se observa que √𝑤 2 − 4 es de la forma √𝑢2 − 𝑎2 por lo que usaremos la sustitución 𝑤 = 2sec(θ) → 𝑑𝑤 = 2𝑠𝑒𝑐(𝜃)tan(𝜃)𝑑𝜃; 𝑤 2 = 4𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃); 𝑤 3 = 8𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃) Sustituyendo en términos 𝜃 se tiene: ∫ =∫

𝑤3 √𝑤 2 − 4

8𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃) √4(𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 1)

=∫

𝑑𝑤 = ∫

8𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃) √4𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 4

2𝑠𝑒𝑐(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃 = ∫

2𝑠𝑒𝑐(𝜃)tan(𝜃)𝑑𝜃 8𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)

√4𝑡𝑎𝑛2 (𝜃)

2𝑠𝑒𝑐(𝜃)tan(𝜃)𝑑𝜃

8𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃) 2𝑠𝑒𝑐(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃 2tan(𝜃) = 8 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 = 8 ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛 ⏟ 2 (𝜃)) ⏟ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 𝑢

= 8 ∫(1 + 𝑢2 )𝑑𝑢 = 8 ∫ 𝑑𝑢 + 8 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 8𝑢 + 8

∫

𝑑𝑢

𝑢3 +𝐶 3

8𝑠𝑒𝑐 3 (𝜃)

8 2𝑠𝑒𝑐(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃 = 8 tan(𝜃) + 𝑡𝑎𝑛3 (𝜃) + 𝐶 3 √4𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) − 4

Hasta acá la integral está resuelta en términos de la variable 𝜃 𝑤 = 2 sec(θ) → 𝑤3

∫ √𝑤2 −4 𝑑𝑤 = 8 𝑙𝑛3 (𝑧)

2

√𝑤 2 −4 2

𝑤 = sec(𝜃) 2

8 √𝑤 2 −4

+ 3(

3

3

1

) + 𝐶 = 4√𝑤 2 − 4 + 3 (√𝑤 2 − 4) + 𝐶

2

3 2

1

2

∫ 𝑧√𝑧 2−4 𝑑𝑧 = 4√(𝑙𝑛(𝑧)) − 4 + 3 (√(ln(𝑧)) − 4) + 𝐶 √𝑤 2 − 4

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Fórmulas de integración especiales. FORMULAS DE INTEGRACIÓN ESPECIALES (A>0) 1

𝑢

1. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 2 (𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑎 ) + 𝑢√𝑎2 − 𝑢2 + 𝐶 1

2. ∫ √𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢 = (𝑢√𝑢2 + 𝑎2 + 𝑎2 𝑙𝑛|𝑢 + √𝑢2 + 𝑎2 |) + 𝐶 2 1

3. ∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 = 2 (𝑢√𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎2 𝑙𝑛|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 |) + 𝐶,

𝑢>𝑎

EJERCICIOS PROPUESTOS I.

Indicar la sustitución trigonométrica que se usaría para evaluar la integral. No efectuar la integración. 1. ∫(9 + 𝑥 2 )−2 𝑑𝑥 2. ∫ √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 3. ∫ 𝑒 2𝑥 √𝑒 2𝑥 − 1 𝑑𝑥

II.

Determine las siguientes integrales.

1. 3. ∫

∫√ 𝟒

𝒙𝟐 √𝟏𝟔−𝒙𝟐

5. ∫ √ 7. ∫

𝒙 𝒙𝟐 +𝟑𝟔

𝒅𝒙

𝒅𝒙

4.

𝟒𝒙𝟐 −𝟒𝟗

√𝒕𝟐 −𝟏 𝒕𝟑

𝒅𝒕

𝒅𝒙

)

√𝟒𝒙𝟐 +𝟗 𝒙𝟒

𝒅𝒙

∫ 𝒙𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒙

9. ∫ 𝒅𝒙 √(𝟒−𝒙𝟐 𝟑 III.

2. ∫

6. ∫

√𝟏𝟔−𝒆𝟐𝒙

8. ∫ √

𝒆𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒙 𝒙𝟐 −𝟐𝟓 𝒙𝟐

10.∫ (𝟏+𝒙𝟐)𝟐 𝒅𝒙

Determine las fórmulas de integración especial dadas anteriormente.

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