Potencia Gráficos Por Atributos [PDF]

Zitiervorschau

Universidad Del Magdalena Ejercicios Potencia Gráficos Por Atributos Grupo 2

PRESENTADO A: Manuel Campuzano Hernández Ph.d

ELABORADO POR: Tania Duran Alan Patiño Guillermo Sánchez Angie Serrano

SANTA MARTA 2020

1. Un proceso produce un porcentaje de artículos defectuosos igual al 1%. Construir un gráfico P para un tamaño muestral de n = 8. pq n

𝐿𝐶𝑆 = p + 3√

(0,01)(0,99) 𝐿𝐶𝑆 = 0,01 + 3√ = 0,1155 8 𝐿𝐶 = 0,01 (0,01)(0,99) 𝐿𝐶𝐼 = 0,01 − 3√ =0 8

a. Supongamos un proceso que produce una proporción de defectuosos p, en estado de control, desconocida y que se utiliza el gráfico P anterior. Supongamos también que se inspecciona el 100% de la producción ¿cuantos artículos defectuosos debe haber en la muestra de tamaño n = 8 para dar la señal de que se está fuera de control? 𝑃̂ > 𝐿𝐶𝑆 𝑃̂ > 0,1155 n = 8, los productos defectuosos deben ser mínimo 0 𝑃̂ = 𝑃̂ =

0 =0 8

1 = 0,125 > 𝐿𝐶𝑆 8

Se debe tener al menos 1 producto defectuoso b. Determine la potencia el gráfico para que se detecte un cambio de la proporción de defectuosos de p = 0.01 a p = 0.05 1-B = ?; P = 0,01; P’ = 0,05 (0,01)(0,99) 8 0,2985 𝐿𝐶𝑆 = 0,01 + √8

𝐿𝐶𝑆 = 0,01 + 3√

Si P’ = 0,05

𝑃̂~𝑁 (0,05;

0,05 ∗ 0,95 ) 8

1 − 𝐵 = 𝑃 (𝑃̂ > 𝐿𝐶𝑆) (0,01)(0,99) 1 − 𝐵 = 𝑃 (𝑃̂ > 0,01 + 3 √ ) 8

1 − 𝐵 = 𝑃 (𝑍𝑃̂ > 𝑍𝐿𝐶𝑆 )

1−𝐵 = 𝑃

0,01 ∗ 0,99 − 0,05 8

0,01 + 3 √

𝑃̂ − 0,05 √0,05 ∗ 0,95 ( 8

>

√0,05 ∗ 0,95 8

)

1 − 𝐵 = 𝑃 (𝑍 > 0,8504) 1 − 𝐵 = 0,1977 𝐴𝑅𝐿1 =

1 = 5,0581 0,1977

c. Un criterio muy habitual para elegir el tamaño muestral es que n sea lo suficientemente grande como para poder detectar un cierto desajuste con una probabilidad deseada. Siguiendo esta recomendación, ¿cuál debe ser el tamaño muestral n del problema 1 para que se detecte un cambio de la proporción de defectuosos de p = 0.01 a p = 0.05 con probabilidad del 85%? 1-B = 0,85 P’ = 0,05 0,2985 − 0,05 √𝑛 = 0,85 0,05 ∗ 0,95 √ ) 𝑛

0,01 − 1−𝐵 =𝑃

𝑍> (

1 − 𝐵 = 𝑃 (𝑍 > −1,035) = 0,85

0,2955 − 0,05 √𝑛 √ 0,05 ∗ 0,95 𝑛

0,01 − −1,035 =

n = 171,65 ≈ 172 2. Se desea controlar un proceso mediante un gráfico que visualice la evolución del número de artículos defectuosos en lotes de tamaño fijo. Se sabe de previos estudios que el proceso produce un 5% de artículos defectuosos cuando está bajo control. Se pide: a. Diseñar el gráfico de control en función del tamaño muestral n del lote examinado. P= 0,05 𝐿𝐶𝑆 = 0,05 n + 3 √0,05𝑛 ∗ 0,95 LC = 0,05 n 𝐿𝐶𝐼 = 0,05 n − 3 √0,05𝑛 ∗ 0,95 b. El proceso anterior se desajusta, pasando a producir un 10% de artículos defectuosos. Calcular el tamaño muestral n para que, utilizando gráfico de control diseñado en el punto anterior, la probabilidad de detectar el desajuste en la siguiente muestra sea igual a 0.5 P= 0,05 , P’= 0,1 n =? 1-B= 0,5 𝑛𝑃̂~𝑁 (0,05𝑛; 0,1𝑛 ∗ 0,9) 𝑃 (𝑛𝑃̂ > 𝐿𝐶𝑆) = 0,5 𝑃 (

𝑛𝑃̂ − 0,1𝑛 √ 0,1𝑛 ∗ 0,9

>

𝐿𝐶𝑆 − 0,1𝑛 √ 0,1𝑛 ∗ 0,9

𝑃 (𝑍 > 0) = 0,5 𝐿𝐶𝑆 − 0,1𝑛

=0 √ 0,1𝑛 ∗ 0,9 LCS = 0,1 n

) = 0,5

n = 171 3. El proceso de elaboración de lámparas de autos es controlado mediante un gráfico de control “np”. En el proceso se producen un 5% de unidades defectuosas cuando está bajo control estadístico. a. Determinar el tamaño de la muestra si se desea que cuando el proceso pasa a producir 10% de unidades defectuosas, la probabilidad de detectar el cambio sea 0,6 en la primera muestra posterior al mismo. Suponer valida la aproximación de la distribución Normal por la distribución Binomial.

1−𝛽 =𝑝 𝑧>

𝑝̅ = 0,05 𝑝̅ ′ = 0,10 1 − 𝛽 = 0,6 0,05(0,95) 0,5 + 3√ − 0,10 𝑛

√0,10(0,90) 𝑛 𝑝(𝑧 > 𝑥) = 0,6 𝑝(𝑧 > −0,25335) = 0,6 0,0475 −0,05 + 3√ 𝑛 −0,25335 = √0,09 𝑛 [

−0,25335√

0,09 0,0475 = −0,05 + 3√ 𝑛 𝑛

−0,25335√

0,09 0,0475 − 3√ = −0,05 𝑛 𝑛

]

(0,25335√0,09 − 3√0,0475) = −0,05 1 −0,05 = = 0,0685 √𝑛 −0,7298 2 1 𝑛=( ) = 213,06 0,0685 b. Con el n hallado ¿qué cantidad de muestras es necesario extraer en promedio para detectar un cambio con una fracción defectuosa de 0,15? 𝑛 = 213,05 𝑝̅ = 0,15 𝑝̅ ′ = 0,05

0,5 + 3√ 1−𝛽 =𝑝 𝑧 >

0,05(0,95) − 0,15 213,05

√0,10(0,90) [ 213,05 1 − 𝛽 = 𝑝(𝑧 > −2,2567) 1 − 𝛽 = 0,98799 1 𝐴𝑅𝐿1 = = 1,012 ≈ 2 0,48794

]

c. Si se elaboran 2000 lámparas por hora en promedio, de los cuales se toman 200 para realizar los ensayos de control de calidad, sabiendo además que el costo de producir una unidad defectuosa es de $8 y que los subgrupos se extraen cada hora de producción, cuáles serán los costos debidos a la falta de calidad durante 8 horas de producción si el cambio descrito en la parte (a) recién se detecta en el cuarto subgrupo. Suponer que el cambio se presenta en el punto medio entre dos subgrupos sucesivos. Debido a que el 𝐴𝑅𝐿1 ≈ 2, el cambio ocurrirá entre la muestra 1 y 2, y se presentara hasta la #4 debido a que es cuando se detecta el fallo. Cambio 1h

Detecta el cambio

1

1h

2

1h

3

1h

4

1h

5

1h

6

1h

7

3,5 Fuera de control 𝑢𝑛𝑖𝑑

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 = 3,4𝑥2000 ℎ 𝑥0,1𝑥8 = 5600 𝑢𝑛𝑖𝑑 3600 𝐵𝑎𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 = 4,5𝑥2000 𝑥0,05𝑥8 = ℎ 9200 4. Un gráfico de control para la fracción disconforme con n=400 tiene los siguientes parámetros: a. Encontrar la anchura de los límites de control en unidades de desviación estándar. 𝑛 = 400 𝐿𝐶𝑆 = 0,0809 𝑝̅ = 𝐿𝐶 = 0,05 𝐿𝐼𝐶 = 0,0191 𝑝 − (1 − 𝑝) 0,05 − (1 − 0,05) 𝜎=√ =√ = 0,01089 𝑛 400 𝐴 = 3𝜎 + 3𝜎 𝐴 = 3(0,01089)𝑥2 = 0,06538 → 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠

b. ¿Cuáles serían los parámetros correspondientes para el gráfico de control equivalente basado en el número de unidades no conformes? 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 # 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑝̅ 𝐿𝐶 = 𝑛𝑝̅ = 400𝑥0,05 = 20 𝐿𝑆𝐶 = 𝑛𝑝̅ + 3√𝑛𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) = 33,07 𝐿𝐼𝐶 = 𝑛𝑝̅ − 3√𝑛𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) = 6,92

c. ¿Cuál es la probabilidad de que un corrimiento en la fracción disconforme del proceso a 0.0300 se detecte en la primera muestra después del corrimiento?

1−𝛽 = 𝑝 𝑧 >

𝑝̅ ′ = 0,03 0,05(0,95) 0,5 + 3√ − 0,03 400

√0,03(0,97) 400 1 − 𝛽 = 𝑝(𝑍1−𝛽 < 1,488) [

]

1 − 𝛽 = 0,06838 ≈ 6,84% 5. Para estudiar el funcionamiento de una ventanilla de información se quiere utilizar un gráfico de control. Después de un estudio sobre la frecuencia de llegada de los clientes se ha estimado que acuden, n promedio, 12 clientes a la hora. a. Diseñe un gráfico de control para estudiar las llegadas por hora y detectar si la frecuencia de llegada cambia.

𝐶 = 12

𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑎

𝐿𝐶𝑆 = 12 + 3√12 = 22,39 𝐿𝐶 = 12 𝐿𝐶𝑆 = 12 − 3√12 = 1,60 b. ¿Cuáles serían los límites para monitorizar el número de clientes al día (jornada de 8 horas)?

𝐶 = 12

𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑥 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝐶 𝐶 = 96 ℎ

𝐿𝐶𝑆 = 96 + 3√96 = 125 𝐿𝐶 = 96 𝐿𝐶𝑆 = 96 − 3√96 = 67 6. Un cable de fibra óptica tiene una media de 0,1 defectos por cada metro de

cable ¿Cuál es la unidad de medida mínima que habría que usar para monitorizar la calidad del cable con un gráfico C si se desea detectar en la siguiente unidad de medida que el número de defectos se duplica con una probabilidad mayor a 0,8? Aproximaremos la distribución poisson a una normal 𝐶̅ = 0,1

𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

1 − 𝛽 = 0,8 𝐶̅ ′ = 0,2

1 − 𝛽 = 𝑝 (𝑧 >

′ 𝐿𝐶𝑆 − 𝐶̅

) √𝐶̅ ′ 𝑧 = −0,8416 ̅ + 3√𝐶̅ ′ − 𝐶̅ ′ 𝐶 −0,8416 = √𝐶̅ ′ ̅ 𝑥 + 3√𝐶̅ ′ 𝑥 − 𝐶̅ ′ 𝑥 𝐶 −0,8416 = √𝐶̅ ′ 𝑥 ′ ′ ′ −0,8416√𝐶̅ 𝑥 − 3√𝐶̅ 𝑥 = 𝐶̅ 𝑥 − 𝐶̅ 𝑥

2

−0,1 2 √𝑥 [ ] =[ ] 𝑥 −1,3250 1 = (0,07547)2 𝑥 𝑥 = 175,56 ≈ 176 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 7. El proceso, hasta el momento, ha venido en estado estable y tiene un p’ = 0.04 Número de muestras por día: 10 Tamaño de la muestra: n = 120, α = 0.05 NAC (nivel de aceptación de calidad) Que exige el cliente: 4.5%

p del 1 DIA 0,050 0,025 0,042 0,050 0,067 0,025 0,050 0,062 0,028 0,062

p MUESTRALES DE NO CONFORMES p del 2 DIA p del 3 DIA p del 4 DIA 0,075 0,058 0,042 0,058 0,042 0,025 0,058 0,042 0,033 0,067 0,050 0,033 0,075 0,075 0,058 0,042 0,033 0,025 0,077 0,058 0,082 0,085 0,078 0,065 0,052 0,037 0,048 0,068 0,070 0,073

p del 5 DIA 0,042 0,025 0,033 0,033 0,058 0,025 0,042 0,025 0,008 0,033

A) Analice el comportamiento del proceso para cada uno de los cinco días.

Día 1: La capacidad del proceso es poco mejor que mala, con ajustes menores a la maquina se espera una mejora a la capacidad del proceso. La grafica cuenta con patrones cíclicos.

Día 2: Capacidad deficiente, apenas logra captar poco más de la mitad de la variabilidad del proceso, es necesario calibrar la máquina. La grafica presenta un corrimiento de la media, adicionalmente cuenta con varios puntos fuera de control por lo que la gráfica se encuentra fuera de control (al presentar más de 2).

Día 3: Capacidad mala del proceso, no se ven mejoras significativas al proceso.

Día 4: Se demuestra la variabilidad del proceso a este punto, donde vuelve a subir casi al estado inicial, el proceso no soporta la variabilidad del proceso. La grafica presenta patrones cíclicos y a partir de la sexta muestra se evidencia un corrimiento en la media.

Día 5: Buena capacidad, la tolerancia es mayor a la variabilidad del proceso, por ser tan alta no se esperan productos no conformes. B) Compare y analice el comportamiento del proceso, día (i + 1) con el día i. Comparando la gráfica 1-2, la gráfica 1 tiene un mejor comportamiento que la gráfica 2 debido a que esta contiene puntos fuera de control. De la misma manera, el comportamiento del grafico 3 no tiene mejoras significativas pero en el grafico 4 se ven patrones cíclicos. En la gráfica 5 se observa un buen índice de capacidad en la cual no se espera productos no conformes. C) Calcule el valor de fracción no conforme del proceso tomando los cinco días en conjunto.

D) Calcule la capacidad del proceso en cada día

E) Conclusiones particulares y generales.

NAC

P’′

Analice.

La capacidad del proceso en general no es adecuada para el trabajo aunque es mejor en comparación a la capacidad del proceso individual. Es necesario hacer un análisis del proceso. Se requiere modificaciones serias para alcanzar una calidad satisfactoria.