Guyon-Massonnet Chapitre 05-06 [PDF]

Zitiervorschau

32

LE CALCUL DES GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

limites sur les bords non appuyés y = ±b qu'à l'équation de la dalle. On exprime également le second membre de l'équation fondamentale de la dalle sous forme d'une série analogue

5.

00

p(x,y)

=

LPm(Y) sin rm;x.

4.14

Application de la théorie de la plaque ortho trope à des grillages

m=l

En remplaçant w et p dans l'équation fondamentale de la dalle por les expressions ci-dessus, on trouve une équation différentielle linéaire ordinaire de laquelle découle une équation caractéristique de la forme r


/__ 11 + 'Y. sin mt(b + e)- l/1- œ cos mt(b + e)] +

+ e-mnb ~\ [al/2 11 _Bma 1

-

v-- ] . 1-

!Y.

Am

sm mtb

+ [ a.Am +

631

+ l/2(1 +a.) Bm] cosmtb 1 + emnb ~- [ 1l~:~ + 1il-œ2C ]sinmtb+ 111

52

LE CALCUL DES GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

+ [ aC11~ -l/2(1 +a) Dm] cos mtb pour y

l

6.

0;

=

G=

= -b selon l'égalité 6.28 e-?nn(b+e) [a sin mt(b

_ëm V2

+ e) + l/1-

C/. 2

cos mt(b

+

e)]

+

l

l

2

j

+

a Am

a

Bm + vi . mtb - -2-a Am] sm

Bm ] cos mtb

] sin mtb

+[

V~ 1

~+

emnb

a Cm

+

l[V~ + :

+ l/1- a 2 cos mt'(n -1p) 1,

!

+ Dn~ ]

cos mtb

+ l/1- a

1 = (emn'n

~=

O.

L

ne

6.33

E

+

F

+J

et employant w =

au lieu de

E- F

+

V~ (n + 1p) =

n' (n

+ 1p),

t(b

+ e) = {} V~ (n + 1p) =

t' (n

+ 1p),

n 1 b-e

1=

ff

~ 1 b-e 1 = {)

G + H- 1 [

1

2

a (n -1p)

=

11-a

F- /

~~~

-]l-a

VI- a

2 -

+

Dm)

+ l/2(1 + a) +

(Bm-Dm)

aK-

-VI- a

cos mt'(n -1p)l,

-e-mn'(n+IJJ) jvl1i+ a sin mt'(n

V2(1

+ a)

+

+ "P)!,

l/2(1

+a)

L

+

(Bm

+ Dm) ] =

(Am

+

v~

(Am

+ Cm) ]

O.

0,

Cm) J + 637 = 0,

+v~

(Am- Cm)

J+

~a

(Am- Cm)

J=

+ Dm)-

v

l

VI- a 2 J =

Vl-a a V2'

k1,

J = k2,

aL -l/1- a 2 1 =ka,

+ 1p)-

-l/1- a cos mt'(n

K

=

v~

Nous poserons encore

- sin mt'(n -1p)e-mn'(n-IJJ) jvl 1i +a

(Bm- Dm) ] 1

(Bm- Dm)

[ (Bm

+

-lfl- a2 (Am- C n) J +

[ (B,n- Dm) -

[v~+:

(Am+ Cm)]

+ Cm) + V2(1 + a)

[ a(Am- Cm)

+K

t'(n -1p).

(Bm

+L G-H-J

Nous introduirons encore les notations - / ëm

[ a(Am

~+:

6 .34

V~ (n-1p) =n' (n-1p),

V

v +L

1

(Bm- Dm)--:-

[V~ ~a

il

n(b

E=

+1

n

b {), on a e) = fJ

6.36

(e'nn'n- e-mn'n) cos mt'1t.

=

[v~ V2"(f. +K

4

(!P (!E

+ 1p) 1.

(emn'n - e-mn'n) sin mt'-r:, K = (emn'n + e-mn'n) cos mt'1t,

Introduisant, dans les expressions 6.18 de n et t, le paramètre d'entretoisement [

cos mt'(n

Après addition et soustraction des équations 6.29, 6.31 et 6.30, 6.32, on obtient, en introduisant les notations indiquées,

b=ffJ et b="P·

{}=!?_V

+ e-mn'n) sin mt'1t,

2

J =

Introduisons, pour simplifier, les notations ny

+ "P) +

e-mn'(n+!JJ) a sin mt'(n

6 .32

Dm -

6.35

+

e-mn'(n-1JJ) a sin mt'(n -1p)

H= l/1- a

V~ - V Cn~

+ [-

ëm l/2

1/ 1-a ëmV2

VI-a

+ e-mnb 1~- [Vl+a l _a

53

MÉTHODE DES COEFFICIENTS DE RÉPARTITION

V~ ~a

1 = k4

O.

54

6.

LE CALCUL DES GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

6.38

55

MÉTHODE DES COEFFICIENTS DE RÉPARTITIOS

6.5

Calcul du coefficient de répartition transversale

V1!a L+ V 9 l = k 5 ,

v v v

V

_1_+_(f.__ K --2-

'

.

Le déplacement vertical moyen d'une construction sollicitée sur sa largeur par une charge uniformément répartie et variant, dans le sens X, suivant la loi sinusoïdale, est défini par l'équation

1 a l = kG, 1-'l.

L-

+

1 -oc J - k --2- - 7,

_L 1

1 + oc 1-a

K-

J=

d4 wo p(x) Pm . nt1tX dx 4 = 2beP = 2bep sm--~- '

ks

d'où Wom

et nous pouvons écrire les équations précédentes sous forme condensée:

+ + + +

+

+ kz(Bm-:- Dm) = + k4(Bm + Dm) = + ks(Bm - Dm) =

E F k1(An~ Cm) E- F ka(Am - Cm) G H- k5(Am Cm) G-H-k1(Am- Cm)+

+

0, 0, 0, ks(Bm +Dm)= O.

6 .43

Pm = 2b(!p

[4 1t 4m4

.

nt1tX

sm - 1

=

TV.r

w om

•

nt1tX

stn - 1

.

6.

44

En introduisant, dans l'expression 6.26 de w, les notations déjà employées 6.37a

De la première et la troisième de ces équations, il résulte que Am

(G

+ Cm =

+ H) kz - (E + F) ks k1ks + kz k5

on obtient

6.39

Wm=

et D

Bm-

(E

m =-

+ F) k5 + (G + H) kt ktk6

+ k2k5

6.40

[ ( A,.Mom

+v~• Nom)+ (CmOom+ v~? P•m )+

-(

+ Cm

et, en co~binant la deuxième et la quatrième équations, on obtient

0 11P-1Jll1n

+

+ Dn~ =

-

(E- F) k1 + (G - H) ka kaks k4k7

+

Nq>m

6.42

Il est facile de calculer, à partir de ces quatre équations, les valeurs des ~ constantes d'intégration Am, Bm, Cm, Dm. En introduisant ces dernières dans la solution intégrale (selon l'égalité 6.26), on obtient l'équation de la déformée d'une construction type pont, chargée d'une charge harmonique •

1

l.

sm -nt1tX 1-,

cos mrpt', sin mrpt', Otpm e-mq>n' cos mrpt', Pq>m = e-mq>n' sin mrpt', o,Ql-7pjln = e-mltp-1pjn' cos m 1 f[i -1p 1 t', PIIP-'Pim = e-mi~P-'Pin' sin m 1 rp -1p 1 t'. Mq>m

Bm

1 _a Cl. PIIP-•Pim )

où nous avons, pour simplifier, posé encore

6.41 et

v+

6.26a

=

= =

emq>n'

emq>n'

6.45

Tenant compte de ce qui précède, on obtient les lignes d'influence du coefficient Ka en calculant w et le divisant ensuite par la quantité wo. On a donc

nt1tX

p( x ) =Pm sm - -. 1

Des constructions possédant d'autres conditions aux limites (appui simple à toutes les extrémités, encastrement, continuité) seront examinées par la suite. '1

56

6.

LE CALCUL DES GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

où

Pour une charge linéaire, répartie dans le sens X sinusoïdalement, m sera égal à l'unité. On arrive au même résultat en remplaçant, dans l'équation 6.26a, l'expression

'

.

ëm

sin

m;x

(où le coefficient

ëm

·- z

.

mrr:x .

ve;;;

mrr:x

sm-l

6.47

=T

(!P

Ko

rr:m

V2(1 + ex)

V2(1 +ex) Dans le cas particulier où ex = 0, les expressions 6.29 à 6.32 et 6.39 à 6.42 sont considérablement plus simples et l'on parvient aux résultats que Guyon avait obtenus pour un grillage ne présentant aucune résistance à la torsion. Dans un de ses mémoires [90], Massonnet décrit une autre méthode pour déterminer le déplacement vertical et le coefficient de répartition transversale K pour un grillage sans rigidité de torsion. Il considère les poutres comme étant un sol souple de fondation dont le module de fondation est rr;4

C = (!P

mation d'une poutre appuyée élastiquement (chargée de p = P1 sin

w=

sh2 2Âb- sin2 2Âb

(2 ch Â(b +Y) cos J.(b '

-ch Â(b + e) sin Â(b- e)]}) . Cette formule s'applique à la partie de la largeur à gauche de la charge. A droite de cette dernière, il faut changer de signes de y et e entre parenthèses. Kom vient de l'équation 6.51 si l'on remplace{} par mf} et  par mÂ. Guyon (42), par contre, obtient le coefficient K sous forme d'une série complexe dont le calcul est très difficile:

Ko 1

~

1 - 2{}-4L..... {}4

+ Y) "·

+

1 + 2{}4

~ ~s mp

L.._. {}4

+ n4 +

1

+ n4

L.....

~+0

L.....

~+0

___2___ ~-(-1 )n+l n3 sin n(ep - 7p) ~ (-1 )n+l n3 sin nep ~ n2 L.._. {}4 + n4 L.._. {}4 + n4 L.._.{}4

;;,

=

~(-l}n+l n 2 cos n(ep -7p) ~(-l)n+l n2 cos nep+

4{}

+

rr:; )

... [sh 2Âb cos Â(b + e) ch Â(b- e)- sin 2Âb ch Â(b + e) cos Â(b- e)] + +[ch Â(b +y) sin Â(b +y)+ + sh Â(b +y) cos Â(b +y)] {sh 2/,b [sin (b + e) ch Â(b- e)-cos Â(b + e) sh Â(b- e)] + sin 2Âb [sh Â(b + e) cos Â(b- e)6.49 -ch Â(b + e) sin Â(b- e)]} ) ,

=

+

de la forme

1

6.50

V2 ·

6.51 + [ch Â(b +y) sin Â(b +y) + e) ch Â(b- e)+ sh Â(b +y) cos Â(b +y)] {sh 2Âb[sin Â(b -cos Â(b + e) sh Â(b- e)] + sin 2Âb[sh Â(b + e) cos Â(b- e)-

6.48

[4,

sur laquelle sont appuyées les entretoises. Une entretoise de largueur infiniment petite peut être, dans ce cas, considérée comme une poutre sur une fondation élastique. Si l'on introduit cette analogie avantageuse, il est possible d'employer, pour le calcul du déplacement vertical d'une construction à poutres multiples sans rigidité de torsion, les relations déduites par Hetenyi [49] pour la défor-

4 P1Âl · rr:x (!prr:4 sm-~-

rr;{}

b

2Âb sh 2 2Âb ~ sin 2 2 Âb ( 2 ch Â(b +y) cos Â(b + y) ... .. [sh 2Âb cos Â(b + e) ch Â(b- e)- sin 2Âb ch Â(b + e) cos Â(b- e)] +

4

b

(!P -

poutres prendront la même déformée suivant la relation 6.44. En divisant l'expression de w selon 6.49 par cette expression de wo, on obtient le coefficient de répartition transversale de la forme

1

Wom

Tt

Si la charge P1 sin ~x est répartie sur toute la largeur du pont, toutes les

6.24) par le quotient -

v V2 e;;; 4

Â-

est donné par la formule

Cmsm-1

57

MÉTHODE DES COEFFICIENTS DE RÉPARTITION

•

6.52

+ n4

Les résultats obtenus à l'aide des deux méthodes sont presque identiques. Cependant, l'influence de la torsion est notable même pour petites quantités de ex; par exemple, pour a= 0,25, l'effet de torsion est la moitié de celui qui correspond à une dalle isotrope pour a= 1, comme il découle de la figure 6-5 où sont tracées les lignes d'influence de Ka pour différentes valeurs de a et pour le paramètre d'entretoisement {} = 0,66874. Si nous

58

6.

LE CALCUL DF.S GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

où

négligions la rigidité à la torsion, nous commettrions donc une erreur considérable, surtout en ce qu1 concerne les constructions en béton armé et précontraint ou les constructions métalliques solidaires d'une dalle en béton armé. ·Dans le cas particulier où œ = 1, il est possible d'employer, pour

Rrp = (a ch Œ- sh Œ) ch {}rp- -&rp sh Œ sh fJrp, RlfJ = (Œ ch Œ- sh Œ) ch fhp- {}1p sh a sh {}1p, Qrp = (2 sh 'Œ + Œ ch Œ) sh {}1p- -&rp sh Œ ch fJrp, QlfJ = (2 sh Œ + Œ ch Œ) sh {}1p- {}1p sh a ch {}1p, Œ

,.

•

*

-b -'?"J b b Il 0 b .Il. }.b h -7- ~ ...&, 2 ~ J: 0,0

J , 0,669

l\_

0,.5

~~

1,0

f

~

1,5

2

/

4 c-,::: ::::;:;- :7

~~

K

-f-b -ib-1-

r-.

-~- 0

*t

71= 0,660

- ......

,

0

1

~lr,O, ~6 [û

E:= ~

2

l::::

1,05?

~H

if • 1, 'ftg§

3

1/f t ~=0

2,0

0 1 2

/

-1

x=

n -

1

rp -

1fJ

6.55

1 •

ib b 1

-b·fb

0

o,)

f 2

l'

3

-f -'?; ~

4

f '} fb

r

0 ['-_ ·.. , r--...:··.

b

0,66911 1t,o57

A'- vi

1

7f

'

1

=

-b-:ib

0 " 1 1 2 1

1

3 4 5 6

0 4 .,. -r-:: 8::

i .:}.b

b

1

i~~

7

~

1 \

_L

calculer le coefficient de répartition transversale K~, la formule déduite par Guyon [42] pour les dalles isotropes :

RrpR!p 3 sh Πch Π-

~ ~~

1

~ ,~··

~

1 1

~ ~0 f.··' = o. 869 IY ··'/f'

t/

2

J

J

J

t,.

=

1057/

J = (1,.9§' /

V' v

2

?} =

3 f--

······ ·····.

""

~~ 12\;\ !j' ~

0,'669

#= 1,057

t,.

5

5

6

{j

·.

Î'\

1

\~

f\ \\

7 K

b

K

c

~

#=f1,.95\'

Figure 6-6

Œ

a

0 ... ·

~

~

·Figure 6-7

1,057{\

7

[(a ch

ft-

0~

7 K

K Figure 6-5

l·"i ~

6

r

~ 0,66!],

ot-=1

1/ ·/ v /~,

~

5

'1

k

~-~ ~

t,.

_}J_ _./)_ 2 "

1-

:/1=0 '•

3

1,4.95

r\

~

~ :-- k ~

2

~

1 (X,=

0

""

-f

..,

g

s~ a 2 2 +

et

{}7t

K

3 K

K1 =

=

6.54

K1m s'obtient de l'équation 6.53 en remplaçant-& par mfJ et Œpar mŒ. La figure 6-6 représente, pour différentes valeurs du paramètre d'entretoisement {}, la variation de la ligne d'influence de K1 (œ = 1), et la figure 6-7 celle de la ligne d'influence Ko (IX = 0).

1

a.

59

MÉTHODE DES COEFFICIENTS DE RÉPARTITION

+ sh a) ch Ux- -&x sh Œsh Ux + + QrpQ!fJ ] Œ 3 sh Œ ch Œ + a '

6.53

r

Lorsque le pont est très allongé ou les entretoises très rigides, le paramètre d'entretoisement -& est voisin de zéro. Pour -& < 0,3, on peut, à titre d'approximation, considérer les entretoises comme infiniment rigides ce qui correspond à -& = O. Examinons de plus près ce cas. Si IX > 0, {} = 0 correspond à une construction dont les entretoises présenteraient des rigidités de flexion (!E et de torsion YE infiniment grandes, de même que les longerons une rigidité de torsion YP infiniment grande. Dans ces conditions, les entretoises chargées restent droites et horizontales. La construction se déforme donc de façon que tous les points de chaque entretoise .s'abaissent également dans le sens vertical, les poutres prenant toutes là même déformée. Il s'ensuit que si-&= 0, le coefficient de répartition transversale pour tous les IX =1= 0 est K = 1, quelle que soit la position de la charge et du point considérés. Cette conclusion n'est pas valable

60

6.

LE CALCUL DES GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

si les entretoises ne présentent aucune rigidité de torsion et que donc a = O. Ce cas correspond aux hypothèses d'une méthode très ancienne de calcul que les auteurs allemands attribuent à Engesser1). Les valeurs de K considérées comme fonctions de a sont donc discontinues pour a = O. Au premier abord, il est difficile de se représenter comment la construction peut transmettre sur les appuis la charge sinusoïdale appliquéeàdistanceeducentre et se déformer selon une surface de flexion cylindrique (fig. 6-8). Les poutres qui se déforment de façon tout à fait identique (comme il est montré ci-dessus) produisent sur les entretoises des réactions uniformément ré2f.sin? . pb sm . -1tX ' 1tante - . L a resu parues Figure 6-8 2 1 de ces réactions passe par l'axe du pont et n'équilibre pas la charge extérieure. Cette contradiction s'explique si l'on prend en considération les moments de torsion. Pour équilibrer le

Ces moments sont de grandeur finie puisque YP est infiniment grand. Ils atteignent leur valeur maximum y P ~ dE aux extrémités de poutres où il

\,

J

sin

7t; dx,

4b(Mxy)max

J

1t

li

=

2pel

~,

pel

=

1tb

2

Mx y =

pel 21tb

1tX COS - -

1

6.56

.

Dans le cas où le nombre de poutres est assez grand, on trouve (pour a = 0) pour les lignes d'influence du paramètre d'entretoisement des lignes ·1

droites d'équation Koo = 1

e

y

± 3b .b ,

6.57

qui sont représentées à lâ fig. 6-9. Guyon [43] donne, pour calculer Ko dans le domaine des petites valeurs de fJ, la formule Ko = Koo + U4 C/J(cp, 1p), 6.58 où Koo est l'expression d'Engesser donnée par la formule (6.57) ci-dessus et où la fonction C/J est définie en fonction des positions de la poutre et de la charge par le tableau ci-dessous

d~

.!:!,,

1tX

1tX

sm - - dx 1

et

.,•;

Il naît de ce fait une torsion infinimen~ petite =

ep

(Mxy)max

0

2

=

0

angle infiniment petit dE en produisant ainsi une flèche du pont de valeur

ow ax ay

· J.

d'où

les entretoises doivent tourner d'un

• 1tX w = y sm -1

faut supposer l'existence .de fortes entretoises capables de transmettre ces derniers. La condition d'équilibre de moment autour de l'axe longitudinal du pont donne 1

1

moment extérieur ep

61

MÉTHODE :DES COEFFICIENTS·_.DE RÉPARTITION

~

T cos -~- d,!j

Position de la poutre

qui fait naître des moments de torsion uniformément répartis dans une section transversale o2w 1t 1tX ~ Mxy = YP àx ày = YPz cos-1- d.!:!,,

Position de la charge

-b

l-3b/41

-b/21 -b/41

b/4

0 1

1) Nous n'avons pas connaisance de l'article original où elle a été exposée mais elle est en tout cas signalée dans plusieurs traités de stabilité des constructions hyperstatiques tel que celui de Beyer [14]. Cette méthode a été reprise récemment par deux auteurs français Courbon [24] et Mallet [87]. Massonnet l'a exposée en détail dans un mémoire antérieur [90].

0

-7,305

b/4 b/2

-4,905

3b/4

b

-0,472 +5,091 +11,164

-3,262 +0,5591 +3,586 +4,870 +3,586 -2,397 +0,072 +2,230 +3,586 +3,390 -0,444 -0,271 +0,072 +0,559 + 1,013 +2,162 -0,444 -2,397 -3,262 -2,637

i!

3b/4

1

b

1 +0,559 -3,262 - 7,305 +1,013 -2,637 -6,694 +0,880 -0,501 -2,466

-0,501 +2,444 + 5,125 +5,091 -0,472 -4,905 -7,305 -6,694 -2,466 +5,125 +14,811 1

,,

b/2 1

62

LE CALCUL DES GRILLAGES DE POUTRES ET DALLES ORTHOTROPES

En fait, Guyon remarque qu'on ne se sert jamais de la formule cidessus, parce que, pour les valeurs de f} inférieures à 0,3, pour lesquelles

+o,zg 1---+---..,,....,::;.+-:,,..:::...,4---+---+--l---1--l o

-2,00 0

b/lf

b/2

3J'fb

b

+&

on pourrait avoir à s'en servir, il n'y a aucun avantage à appliquer une méthode différente de celle d'Engesser. Et, pour f} < 0,3, on se sert des tables.

Autre méthode pour la recherche de la déformée de la dalle orthotrope

Parducci [114] recherche la déformée de la dalle orthotrope en se donnant une fonction Eu

:,?-

t'(2a

+ 1) sh n'u cos t'u + n'(2a- 1) ch n'u sin t'u

2 où il est, à nouveau, n'

+ (fJ5ur + 2a ce;r + (4a2- 1) c~ur + csa3 _ 4a) c~~l!~ +

= f}

v! 1

a ' t'

= f}

v

(b+y) 1 2 a et ul

6. 61

Introduisant ces développements de Eu et de ses dérivées dans l'expression de Ka et ne conservant que les termes linéaires ou quadratiques en u, il obtient la formule approchée 27t 2(8a2b2 + b2 3ey) _ 6a Ka 6al2 f}27t2b2(8a2 1) 6.62

Figure 6-9

=

peut exprimer le coefficient de répartition K dans chacune des deux parties non chargées de la plaque en fonction des 3 mêmes constantes d'intégration A, B, C. En exprimant les conditions de continuité de la plaque sous la ligne de charge, Parducci obtient trois équations linéaires qui déterminent A, B, C et l'expression analytique de K. ' Les autres coefficients non-dimensionnels (discutés ci-après dans les chapitres 7 à 11) sont obtenus par Parducci comme combinaisons linéaires de K et de ses dérivées. Parducci a établi une formule approchée de Ka en développant la fonction Eu et ses dérivées en série de MacLaurin par rapport à u; il obtient ainsi

(fJu)13 + (16a4- 12a2 + 1) 13! + ..-.

-1,25

Eu

63

MÉTHODE· DES COEFFICIENTS DE RÉPARTITION

Eu= -fJu

-0,50

6.6

6.

+ +

+

qui donne Ka avec une erreur inférieure à 3 % tant que fJ < 0,5. Les notations sont définies à la figure 6-8. On voit que la variation de K avec e et y est linéaire. Si l'on pose a= 0, on obtient la formule

Koo

3ey

=

1 + ----,;2

qui est identique à la formule d'Engesser (6.57). Si, par contre, on pose a = 1 et qu'on fait tendre {l vers zéro on trouve K(a = 1, fJ = 0) = 1

6.59

6.60

et ses dérivées E! à E;n, qui sont des intégrales particulières de l'équation 6.13a. L'ensemble des quatre premières fonctions, Eu à E!n, forme un système d'intégrales fondamentales de l'équation 6.13a, à l'aide duquel on

6.63

uniformément, en accord avec ce qui a été dit au paragraphe 6.5.