GP CM1 [PDF]

Zitiervorschau

J’apprends les CM1

maths GUIDE PÉDAGOGIQUE

Sous la direction de

RÉMI BRISSIAUD

Maitre de conférences de psychologie expérimentale ANDRÉ OUZOULIAS Professeur agrégé

PIERRE CLERC Instituteur

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FRANÇOIS LELIÈVRE Professeur des écoles

LUC TIENNOT Formateur à l'Éspé de La Réunion

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Sommaire Présentation Chap. 1 Le progrès en arithmétique : continuités et ruptures avec l’expérience quotidienne ................................4 Chap. 2 L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes : quatre attitudes pédagogiques ...................................................................13 Chap. 3 Enseigner la division euclidienne ......................................27 Chap. 4 Les fractions et les décimaux au CM1 : une nouvelle approche .................................................................................38 Chap. 5 Proportionnalité et conversions au CM1 ...........................52

Guide pédagogique 7 conseils pour bien utiliser J’apprends les maths CM1 ................................................................62 Les Problèmes pour apprendre à chercher (PAC) : mode d’emploi..................................................................................63 Activités de la première période ......................................................66 (pp. 14 à 57 du livre de l’élève) Activités de la deuxième période ...................................................106 (pp. 58 à 85 du livre de l’élève) Activités de la troisième période ....................................................134 (pp. 86 à 127 du livre de l’élève) Activités de la quatrième période...................................................172 (pp. 128 à 157 du livre de l’élève) La fonction mémoire d’une calculette .............................................200 (pp. 158-159 du livre de l’élève)

Planches matériel à reproduire .................................... 202

ISBN : 978-2-7256-3527-9 © Éditions Retz, 2017

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Cet ouvrage suit l’orthographe recommandée par les rectifications de 1990 et les programmes scolaires. Voir le site http://www.orthographe-recommandee.info et son miniguide d’information

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Présentation Présentation Rémi Brissiaud Depuis l’édition précédente de J’apprends les maths CM1, de nouveaux programmes pour la rentrée 2016 ont été publiés et une Conférence de consensus, qui s’est tenue en 2015, a émis des recommandations concernant les apprentissages numériques à l’école élémentaire. Les choix didactiques de la collection et notamment ceux de J’apprends les maths CM1 s’en sont trouvés confortés. Rappelons quelques choix pédagogiques qui, dès l’origine, ont été ceux de J’apprends les maths : • les élèves apprennent dès le CM1 la résolution des problèmes de proportionnalité en calculant la valeur de l’unité (stratégie qui, souvent, est improprement appelée : « règle de trois ») ; • en CM2, les élèves apprennent même à « pousser une division après la virgule » (cela conforte une bonne compréhension des nombres décimaux). Par ailleurs, certains choix pédagogiques de J’apprends les maths sont aujourd’hui confortés par la recherche scientifique. C’est le cas notamment de la distinction de deux types de stratégies de résolution de problèmes : la « résolution par simulation de la situation » et la « résolution arithmétique ». Les pages « Problèmes pour apprendre à chercher » contribuent largement à faire comprendre cette distinction. La progression de J’apprends les maths concernant les nombres décimaux est un des points forts de la collection. Les fractions sont en effet abordées avant les décimaux et, de plus, le sens « division » des fractions est abordé en premier (13/10 se lit d’abord : « 13 divisé par 10 », avant de se lire « 13 dixièmes »). Les raisons de tels choix sont exposées ci-dessous, après avoir abordé le thème de la division.

L’apprentissage de la technique Dans cette à des questions fondamentales L’exemple deprésentation, la division nous essayons de répondre

et la conceptualisation de la division concernant l’articulation entre le calcul numérique et la résolution de problèmes. Les deux « gestes mentaux » de la division Les questions abordées sont, par exemple : comment un enfant apprend-il que lelaproblème Avoir compris ou avoir conceptualisé division eucliRappelons (pour une présentation dienne, c’est avoir construit la conviction l’équi« Éric ad’abord 37 billes. Il gagne des billesdétaillée, et il en a 61. Combien en a-t-il gagnées ? » peutdeêtre voir le Guide pédagogique) que le calcul du quotient valence des deux gestes mentaux précédents : deux résolu par une soustraction, alors qu’Éric a gagné des billes ? et du reste d’une division est susceptible de solliciter nombres a et b étant donnés, il est équivalent de cherdeux « gestes mentaux » de base celui deapprend-il la division que Ou encore : comment un :enfant le problème « Onde dispose 243chercher stylos la cher « En a combien fois b ? de » ou1 de par et partition (ou par partage) et celui de la division valeur d’une part lorsqu’on partage a en b égales. on forme des lots de 3 stylos. Combien peut-on en former ? » se résout par laparts même par quotition (ou par groupement). opération arithmétique qu’un autre où l’on partage équitablement 1 243à objets entre Dans des divisions par un nombre un chiffre, comme Pour diviser 27  847 par 4 (division par un nombre 27 847 divisé par 4, par ex., la technique de la division 3 personnes ? à 1 chiffre), par exemple, les enfants peuvent penser revient à mettre en œuvre le geste mental du partage à unDans scénario de partages des milliers, cen-enfants ne s’approprient pas les opérations le chapitre 1,successifs on montre que les successif des milliers, centaines, dizaines et unités. taines, dizaines et unités comme celui-ci : arithmétiques seulement en continuité avec leur quotidienne. Trois Il estexpérience clair qu’une bonne maitrise de l’un desniveaux deux gestes – Partage des milliers : 27 milliers partagés en 4, cela mentaux (celui du partage en l’occurrence) ne de résolution des problèmes sont distingués, et le point de vue défendu est que,peut si laque fait 6 pour chacun et er 3 milliers restent à partager. favoriser l’appropriation de leur équivalence. Et y a-t-il transition du 1 au 2e niveau se fait dans la continuité avec l’expérience quotidienne, un meilleur moyen de s’approprier ce même geste que – Partage des centaines restantes : les 3 milliers restants l’accès au 3equ’on niveau constitue decelle-ci. le mettre en œuvre dans le calcul de divisions a : b ? et les 8 centaines avait au départune fontrupture 38 cen- avec taines à partager en écrits 4, etc. et conférences plus récents, Dans certains je regroupe souvent deux par premiers De plus, dans le cas général de les la division un nombre à plusieurs chiffres, celui du calcul de 87 647 divisé par Ce premier geste mental » est celui qu’on utilise niveaux«de résolution. Cela conduit à distinguer un niveau « quotidien » et un niveau 12 par ex., la technique de la division revient à mettre lorsqu’on « pose » cette division par écrit. « arithmétique » de résolution des problèmes (les résolutions relevant du niveau quotidien, en œuvre, de manière coordonnée les deux gestes menPrésentons l’autre « geste mental de base ». Si l’on dans ce cas, sont plus diverses qu’auparavant). Cet autre mode de présentation, en on insistant taux. Pour calculer cette division, en effet, est amené doit diviser 903 par 125, par exemple, cela n’aide à partager successivement 87 milliers en 12, surd’imaginer l’importance de lade rupture, n’est qu’un de mettre encoreles plus l’accent surpuis un les guère le partage 903 objets entre 125 moyen centaines restantes en 12, etc. La structure générale fait tropIlsouvent : sichercher l’école:ne favorisait pas certaines réorganisations, il est peu de personnes. convientnégligé mieux de « Avec la technique est donc du côté d’un partage successif des 903probable objets, combien peut-on former de groupes au de dernier que les enfants accèderaient niveau de résolution des problèmes, milliers, centaines, etc., ce qui sollicite le geste mental 125 ? » ou encore « En 903, combien de fois 125 ? », c’est-à-dire à leur résolution arithmétique. de la partition. Mais chaque quotient partiel, lui, est ce qui correspond au geste de la division-quotition. obtenu enfaçons se demandant : « En 87 de fois et 12 ? », Dans7 fois le chapitre 2,leon montre existe de gérer lescombien continuités Comme 125 = 875, quotient estqu’il 7 et le reste différentes etc., sollicitant alors le geste mental de la quotition. 28. les réorganisations qui conduisent aux opérations arithmétiques, et que c’est l’objet d’un effectuer une division par un nombre à 2 chiffres Les exemples numériques précédents n’ont pas desPour débat entre les chercheurs en didactique mathématiques. La position défendue ici dans le cas général où le quotient a lui-même plus de été choisis au hasard : lorsqu’on divise un « grand est que »l’enseignement deschiffre « deux grands gestes mentaux du calcul d’une soustraction 2 chiffres, il suffi»t donc de mettre en œuvre, de manière nombre par un nombre à un (le quotient est alors un nombre à plusieurs chiffres), on a intérêt coordonnée, les deux « gestes mentaux » dont l’équivaet celui des « deux grands gestes mentaux » du calcul d’une division sont fondamentaux à procéder par partages successifs des milliers, cenlence fonde cette opération arithmétique. La véritable parce qu’ils anticipent les réorganisations nécessaires. taines… difficulté n’est donc pas dans l’enseignement de cette On montre lorsqu’on comment ce un cadre théorique d’élaborer une progression, le technique en elle-même mais dans celui dans de l’équivaEn revanche, divise nombre a par un permet autre b alors que le quotient n’a qu’un et, seuldans chiffre, lence entre la quotition les et ladécimaux-fractions. partition. Ainsi, contrairechapitre 3 concernant la division, le chapitre 4, concernant on a intérêt à se demander : « En a combien de fois b ? ».

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ment à ce qu’on pourrait penser, le fait qu’un élève soit capable de calculer une division par un nombre à deux chiffres peut être considéré comme un indice d’une bonne compréhension du sens de cette opération.

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Chapitre 1

Le progrès en arithmétique : continuités et ruptures avec l’expérience quotidienne PLAN DU CHAPITRE • Trois niveaux de résolution d’un même problème. • La transition du 1er au 2e niveau se fait dans la continuité. • L’équivalence de deux gestes mentaux comme fondement de chacune des opérations arithmétiques. • Pourquoi les problèmes de multiplication sont-ils « plus faciles » ? • La transition du 2e au 3e niveau correspond à une réorganisation de l’expérience quotidienne. • À propos de la notion de « champ conceptuel ». • Résumé.

Certaines recherches récentes nous renseignent sur le développement des compétences arithmétiques d’enfants qui vivent dans les rues des grandes métropoles sud-américaines et se livrent au commerce de fruits ou de paquets de popcorn pour subsister. Ces enfants sont donc très peu scolarisés et ils apprennent à partir de la seule résolution des problèmes auxquels ils sont confrontés « dans la rue » 1. Ces jeunes gens se montrent suffisamment performants pour exercer leur commerce et en tirer un certain bénéfice mais, dans le même temps, leurs compétences arithmétiques présentent des limites qu’il est intéressant d’analyser. Par exemple : si l’un d’eux doit chercher le prix de 10 bananes à 4 reals la banane, il calculera très vraisemblablement 10 fois 4 par ajout réitéré2 : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 (quatre et quatre, huit. Et encore quatre, douze. Et quatre…), comme s’il payait successivement chacune des 10 bananes. Le calcul de 4 fois 10 serait beaucoup plus facile mais, pour une personne qui construit ses connaissances à partir de la seule expérience quotidienne du commerce de rue, ce calcul correspond à un autre problème que celui qui est posé (Quel est le prix de 4 objets à 10 reals l’un ?). Ces jeunes gens ne savent donc pas que 10 fois 4 est égal à 4 fois 10 ; ils ne disposent pas réellement de la multiplication en tant qu’opération arithmétique. Leur situation est ainsi très différente de celle des enfants scolarisés. Ils ne commettent pas certaines erreurs grossières que l’on observe à l’école mais, dans le même temps, ils sont dépourvus de certaines connaissances que l’on aurait tendance à croire élémentaires du fait que la quasi-totalité des élèves de CE2 les maitrisent. Ce type de recherches montre que les compétences arithmétiques se construisent en partie dans la continuité avec les expériences quotidiennes (pour peu que le quotidien confronte l’enfant à des problèmes numériques), mais aussi, en dehors de ces expériences quotidiennes, et même parfois, comme nous le verrons, en rupture avec elles. Quand un enfant est scolarisé, l’expérience quotidienne de l’écolier se situe pour une large part à l’intérieur de l’école elle-même. Il n’en reste pas moins que la distinction précédente est éclairante. En effet, l’écolier développe ses compétences arithmétiques en partie parce qu’il est amené, au sein de l’école, à résoudre des problèmes qui simulent ceux de la vie quotidienne (des problèmes d’achat, de vente, par exemple), et en partie parce qu’il bénéficie des apports d’un milieu culturel spécifique, à savoir le milieu scolaire. Le projet de ce chapitre est de proposer un cadre théorique qui permette de mieux appréhender, parmi les compétences numériques, celles qui se construisent en continuité avec l’expérience quotidienne (qu’elle soit extérieure à l’école ou résulte d’une simulation à l’intérieur de l’école), et celles qui sont spécifiques à l’expérience scolaire.

1. Nunes T., « Ethnomathematics and Everyday Cognition », in Douglas A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 557-574. N.Y. : MacMillan Publishing Company, 1992. 2. Le mot « réitéré » (on aurait pu dire aussi « itératif ») signifie : « qui se répète à l’identique ».

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Chapitre 1  •  Le progrès en arithmétique

Un tel cadre théorique intéresse évidemment le pédagogue parce qu’il est de sa responsabilité de permettre les continuités et de gérer les ruptures ou les réorganisations nécessaires au progrès des élèves. La clef de voute de ce cadre théorique est la distinction de divers niveaux de résolution d’un même problème (on en distinguera trois). Le progrès se fait en passant d’un niveau à un autre, évidemment, mais nous verrons que ces passages se font tantôt dans la continuité avec l’expérience quotidienne, tantôt en rupture avec elle. Nous verrons que pour accéder au niveau le plus expert, l’enfant a besoin que l’école rende explicite l’équivalence de deux gestes mentaux3 et que c’est cette équivalence qui, en fait, « fonde » chacune des opérations arithmétiques. À la fin de ce chapitre, nous présenterons succinctement une notion théorique que G. Vergnaud a introduite et qui peut sembler incompatible avec la perspective adoptée ici : c’est celle de « champ conceptuel ». Nous verrons qu’en fait le projet de recherche de cet auteur et le nôtre sont très proches, même si les moyens utilisés ne sont pas identiques.

Trois niveaux de résolution d’un même problème L’exemple d’un problème dit de multiplication Considérons ce problème de « recherche du résultat d’un ajout réitéré » : Un pépiniériste a planté 10 rangées de 4 peupliers. Combien a-t-il planté de peupliers ? Un exemple de procédure du 1er niveau est le suivant : l’enfant débutant dessine une rangée de 4 bâtons, puis une autre, etc. Il agit donc par le dessin comme le pépiniériste est censé l’avoir fait avec ses peupliers. Quand il a représenté tous les arbres, l’enfant compte le nombre total de bâtons. Au 1er niveau, donc, l’enfant effectue une sorte de mime de l’énoncé soit avec du matériel, soit en dessinant, soit encore, quand la taille des nombres le permet, en utilisant ses doigts. Il reconstitue ainsi les données du problème avec du matériel ou par le dessin pour simuler les actions décrites dans l’énoncé (quand celui-ci a un aspect dynamique) ou pour expliciter les relations qui y figurent (quand la situation est plus ­statique4). Décrivons tout de suite le 3e niveau qui est aussi le plus expert : c’est celui où l’enfant reconnait immédiatement, après une première lecture de l’énoncé, qu’une opération arithmétique est pertinente. Ici, il reconnait presque immédiatement qu’il suffit de « faire une multiplication ». Cet enfant a donc construit des catégories d’énoncés : il y a les problèmes de multiplication, de soustraction, de division, de proportionnalité, etc. Chaque 3. On appellera « geste mental » toute action finalisée et intériorisée : se représenter mentalement un ajout réitéré, par exemple, est un geste mental. 4. « Éric a 17 billes. Il en gagne 29. Combien en a-t-il maintenant ? » décrit une situation dynamique (il décrit une transformation). « Dans la cour d’une école, il a 17 garçons et 29 filles. Combien y a-t-il d’enfants ? » est un énoncé qui décrit une situation statique (il décrit une relation).

catégorie est ainsi indexée par un savoir-faire mathématique : le calcul mental ou en colonnes d’une multiplication, d’une soustraction, etc. Lorsque l’enfant reconnait le problème comme appartenant à telle ou telle catégorie, il lui suffit de « dérouler » ce savoir-faire mathématique et, sauf erreur de calcul, il obtient ainsi la solution numérique du problème. On observe évidemment d’autres procédures que les précédentes. Ainsi, pour le problème des peupliers, certains enfants posent une suite d’additions : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Les procédures de ce type, intermédiaires entre les deux décrites, ont évidemment une grande importance pédagogique : elles témoignent d’un progrès par rapport au mime (l’enfant travaille sur des écritures numériques), tout en restant proche de ce mime : le signe « + » est utilisé ici dans son sens le plus évident, lorsqu’il exprime un ajout. Ce type de procédure reste donc facilement compréhensible. Ce sont ces procédures dont nous dirons qu’elles relèvent d’un deuxième niveau. En bref, avant d’être un problème de multiplication (3e niveau), le problème des peupliers est un problème de recherche du résultat d’ajouts identiques répétés. Il se résout soit en simulant ces ajouts (1er niveau), soit par une addition réitérée (2e niveau).

L’exemple d’un problème dit de soustraction Considérons ce problème de « recherche de la valeur d’un ajout » : Éric a 28 billes. Il va en récréation et il gagne des billes. Maintenant il a 54 billes. Combien a-t-il gagné de billes ? Au 1er niveau, l’enfant peut s’y prendre ainsi : il commence par dessiner 28 billes, il change ensuite la couleur de son crayon pour bien distinguer ces 28 billes de celles qu’il va maintenant ajouter et il dessine des billes jusqu’à en avoir 54 en tout. Enfin, il compte combien il vient d’ajouter de billes. Au 2e niveau, l’enfant teste par exemple des hypothèses : « Éric a 28 billes au départ. 28 + 30 ça fait 58. C’est trop, ce n’est pas 30 billes. 28 + 25, ça fait 53, c’est presque 25, il a gagné 26 billes. » Cette procédure, qui peut aussi prendre la forme d’une « addition à trou », reste très proche d’une simulation de l’action décrite dans l’énoncé. On remarquera notamment que le signe « + » y est employé dans un sens trivial, comme synonyme de « gagner ». Enfin, au 3e niveau, l’enfant, après une première lecture de l’énoncé, reconnait presque immédiatement ce problème comme appartenant à la catégorie des problèmes de soustraction et il calcule 54 – 28. En bref, avant d’être un problème de soustraction (3e niveau), le problème d’Éric et ses billes est donc un problème de recherche de la valeur d’un ajout. Il se résout soit en simulant cet ajout (1er niveau), soit par une addition à trou (2e niveau).

L’exemple d’un problème dit de division Enfin, considérons un dernier exemple avec ce problème de groupement réitéré (recherche du nombre de groupes et du nombre d’éléments qui restent isolés) :

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Présentation On a 935 paquets de gâteaux et on va former des lots de 4 paquets. Combien de lots peut-on former ? Restera-t-il des paquets ? Il est évidemment fastidieux de dessiner 935 items représentant des paquets de gâteaux, mais on imagine facilement ce que serait, si la taille des nombres l’autorisait, une résolution au 1er niveau : l’enfant dessinerait par exemple autant de rectangles qu’il y a de paquets de gâteaux, avant d’entourer des groupes de 4 et de compter ces groupes. En revanche, ce type de problème conduit à diverses procédures relevant du 2e niveau. Ainsi, l’enfant peut s’imaginer en train de former les lots tout en tenant le compte du nombre de paquets utilisés. Il est ainsi conduit à amorcer une suite d’additions : 4 + 4 = 8, 4 + 4 + 4 = 12, etc. Comme c’est encore très long, il peut être conduit à former directement 10 lots, ce qui correspond à 40 paquets, encore 10 lots, 80 paquets, encore 10 lots, etc. Il aura évidemment intérêt à former directement 100 lots, ce qui correspond à 400 paquets. Finalement, il trouvera la solution en effectuant des additions successives de multiples de 4 et en contrôlant à chaque étape que la somme de ces multiples reste inférieure à 935. Une autre possibilité consiste à s’imaginer en train de former les lots tout en tenant le compte des paquets restants (et non, comme c’était le cas dans la procédure précédente, de ceux qui ont été utilisés). L’enfant est ainsi conduit à effectuer une suite de soustractions : 935 – 4 = 931, j’ai formé 1 lot. 931 – 4 = 927, j’en ai formé 2. Encore une fois, cette procédure étant fastidieuse, l’enfant est conduit à imaginer la formation simultanée de 10 lots et à faire la suite de soustractions : 935 – 40 = 895, 895 – 40 = 855… La formation directe de 100 lots permet évidemment d’aller plus vite encore. Finalement, la solution s’obtient en effectuant une suite de soustractions de multiples de 4, cette solution étant d’autant plus rapide que la taille des multiples prélevés est grande. Une autre possibilité, enfin, consiste à tester des hypothèses. Peut-on former 200 lots ? 4 × 200 = 800 : oui, on a largement assez de gâteaux. Et 500 lots ? 4 × 500 = 1 500. C’est impossible. Et 300 ? Et 250 ? Toutes ces procédures restent proches de la simulation de la formation des lots et ressortent du 2e niveau. Au 3e niveau, après une première lecture de l’énoncé, l’enfant reconnait ce problème comme appartenant à la catégorie des problèmes de division et il cherche le quotient et le reste de la division 935 : 4 ?. Là encore, résumons : avant d’être un problème de division (3e niveau), le problème des paquets de gâteaux consiste à rechercher les résultats d’un groupement réitéré (nombre de groupes ? nombre d’éléments isolés restants ?). Ce problème se résout soit en simulant les groupements (1er niveau), soit par une suite d’opérations qui peuvent être des additions, des soustractions ou des encadrements par des multiples (2e niveau).

La transition du 1er au 2e niveau se fait dans la continuité De manière très générale, donc, on peut distinguer trois niveaux dans les procédures qui permettent de résoudre un même problème. La résolution à l’aide d’une opération arithmétique n’est qu’une des procédures possibles, c’est la plus experte. Nous avons intentionnellement qualifié chacun des problèmes qui nous ont servi d’exemples de problème dit de multiplication, dit de soustraction, dit de division, pour bien souligner qu’ils peuvent tous être résolus au 1er niveau sans aucune connaissance des opérations arithmétiques correspondantes, en faisant seulement appel à la compréhension du langage quotidien et en simulant les actions ou les relations présentes dans l’énoncé, comme le font les enfants brésiliens qui commercent dans la rue. Il est très important que les pédagogues sachent décrire les problèmes en terme d’actions ou de relations présentes dans l’énoncé : recherche du résultat d’un retrait, recherche de la valeur d’un ajout, recherche du nombre de groupes et du reste d’un groupement réitéré, etc. C’est, en effet, ce type de description qui leur permet de connaitre les procédures de 1er niveau, celles que les élèves débutants utilisent. Il est très important également que les pédagogues ne se leurrent pas sur le niveau de connaissance atteint par un élève qui résout un problème au 2e niveau. Un élève qui résout un problème de recherche de la valeur d’un ajout (« Farid a 43 billes, il gagne des billes et après il en a 61 », par exemple) à l’aide de l’addition à trou : 43 + 18 = 61, ne dessine plus, il se met à utiliser le symbolisme arithmétique (dans l’égalité précédente, on voit les signes + et =) et les pédagogues pourraient être tentés de considérer cela comme un progrès crucial. En fait, un élève qui écrit l’égalité 43 + 18 = 61 pour résoudre le problème de Farid et ses billes fait fonctionner le signe + comme une simple abréviation sténographique du verbe « gagne ». Il s’agit d’un usage banal de ce signe : c’est le langage ordinaire qui continue à fonctionner sous les habits du symbolisme arithmétique. C’est ainsi que diverses recherches5 montrent que l’ensemble des élèves, dès le CP, savent apparier une telle addition à trou à un problème de recherche de la valeur d’un ajout comme celui de Farid et ses billes. Or, au CM2, tous les élèves ne savent pas encore apparier une soustraction à ce même type de problème (il y a 20 % d’échec environ) et l’on comprend pourquoi : le fait que Farid gagne des billes n’incite guère à utiliser une soustraction ! Le passage du 1er au 2e niveau de résolution offre donc beaucoup moins de difficulté que le passage du 2e au 3e niveau. Il est vrai que dans les résolutions au 2e niveau, les élèves utilisent le symbolisme arithmétique qui leur a été enseigné et que le passage du 1er au 2e niveau correspond donc à un changement dans la forme de l’expression (ce qui justifie la distinction de deux niveaux différents), mais c’est la continuité qui domine quant au mode de résolution : aux deux premiers 5. On pourra notamment se reporter à Carey, D. A., « Number Sentences : Linking Addition and Substraction Word Problems and Symbols », Journal for Research in Mathematics Education, 22, 266-280 (1991).

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Chapitre 1  •  Le progrès en arithmétique

niveaux, c’est la compréhension du langage quotidien et la simulation des actions ou des relations présentes dans l’énoncé qui conduisent à la solution. Il en va tout autrement des résolutions au 3e niveau qui, comme nous allons le voir, sont les seules à témoigner réellement d’un accès aux concepts arithmétiques de multiplication, de soustraction et de division.

L’équivalence de deux gestes mentaux comme fondement de chacune des opérations arithmétiques Le cas de la multiplication Considérons ces deux problèmes de « Recherche du résultat d’un ajout réitéré » : Combien coutent 2 livres à 17 € l’un ? et Combien coutent 17 livres à 2 € l’un ? L’enfant qui sait résoudre ces problèmes au 3e niveau repère immédiatement qu’ils se résolvent de la même manière en calculant 17 × 2. Mais considérons le cas d’un enfant qui n’a pas encore étudié la multiplication. Il peut seulement résoudre ces problèmes au 1er ou au 2e niveau. Il calculera donc 2 fois 17 (17 + 17) dans un cas et 17 fois 2 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) dans l’autre. Rien ne peut lui laisser prévoir qu’il trouvera le même nombre. Si, dans le premier cas, il calcule 17 + 17 et si, dans l’autre cas, il compte de 2 en 2 en levant successivement 17 doigts (2, 4, 6, 8…), on ne voit pas ce qui lui permettrait d’anticiper qu’il trouvera le même résultat6. L’équivalence de ces deux gestes mentaux (je vais calculer 2 fois 17 dans un cas, 17 fois 2 dans l’autre) n’a donc rien d’évident a priori et pourtant c’est elle qui fonde la multiplication en tant qu’opération arithmétique. Essayons d’expliquer cet usage du mot « fonde » parce qu’il peut paraitre plutôt abstrait. La multiplication est évidemment une création culturelle (certains indices laissent notamment penser que les peuples sans écriture ne possèdent pas la multiplication7). Or, c’est l’équivalence des deux gestes mentaux précédents qui, parce qu’elle est source d’économie cognitive, justifie cette création culturelle. Deux raisons peuvent être avancées qui expliquent un phénomène d’économie cognitive. En premier lieu, cette économie peut résulter de la substitution d’un geste mental à l’autre. Donnons un exemple en envisageant le cas d’une personne qui doit résoudre le problème suivant : Combien coutent 17 livres à 2 € l’un ? Il se représentera facilement la situation décrite en la simulant mentalement sous la forme 17 fois 2 (2 + 2 + 2 +…). Mais c’est bien long de compter autant de 2 ! Aussi, pour obtenir la solution numérique, aurat-il intérêt à calculer 2 fois 17. Ce faisant, il résout le problème 6. L’égalité des résultats traduit la propriété de la multiplication que l’on appelle commutativité. 7. Voir par exemple, Goody J., La Raison graphique, Paris, Les Éditions de Minuit (1979).

« Combien coutent 17 livres à 2 € l’un ? » comme s’il s’agissait du problème « Combien coutent 2 livres à 17 € l’un ? ». Cette personne substitue ainsi un geste mental à l’autre parce que la solution numérique lui apparait plus directement accessible. En second lieu, il y a économie cognitive lorsqu’une ou plusieurs autres procédures (algorithme écrit, un certain usage d’une calculette, par exemple) ont été associées aux deux gestes équivalents et peuvent se substituer à eux : dans ce cas, aucun des deux gestes mentaux n’est utilisé parce que c’est un automate, par exemple, qui prend en charge l’obtention de la solution numérique. On passe ainsi de deux façons de faire à une seule : il y a regroupement, il y a catégorisation, il y a économie. C’est parce qu’une culture a intérêt à ne pas laisser se perdre de tels phénomènes d’économie cognitive que cette équivalence a été dument étiquetée par une étiquette verbale (cette étiquette est le signe écrit « × » et le mot « multiplication »), parce qu’ainsi la rencontre de l’un des deux gestes rappelle immédiatement l’autre (via l’étiquette), ce qui favorise notamment la substitution d’un geste mental à l’autre.

Le cas de la soustraction Considérons les deux problèmes suivants : a) Recherche de la valeur d’un ajout Éric a 3 billes. À la récréation, il gagne des billes. Maintenant il a 21 billes. Combien a-t-il gagné de billes ? b) Recherche du résultat d’un retrait Éric a 21 billes. À la récréation, il perd 3 billes. Combien a-t-il de billes maintenant ? L’enfant qui sait résoudre ces problèmes au 3e niveau repère immédiatement qu’ils se résolvent de la même manière en calculant 21 – 3. Mais considérons le cas d’un enfant de CE1, par exemple, qui n’a pas encore étudié la soustraction. Il peut seulement résoudre ces problèmes au 1er ou au 2e niveau. Dans le cas du premier problème, il cherchera ce qu’il faut ajouter à 3 pour avoir 21. S’il utilise une stratégie de comptage sur les doigts pour simuler le gain, l’enfant dira : 3 (quantité initiale de billes), puis il comptera successivement sur ses doigts 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, tout en tenant le compte du nombre de doigts qu’il a ainsi levés, 18, qui constitue la solution numérique8. Avec cette stratégie, donc, l’enfant avance sur la suite des nombres. Pour résoudre le second problème, en revanche, il est plus probable que pour simuler la perte des 3 billes, l’enfant recule sur la suite des nombres : 21 billes en tout, 20 (1 bille est enlevée), 19 (2 billes sont enlevées), 18 (3 billes sont enlevées). L’enfant avance sur la suite des nombres dans le premier cas, il recule dans le second. On conçoit qu’il ne lui soit guère facile de prévoir que ces deux procédures produisent le même résultat et, plus généralement, de comprendre qu’elles sont équivalentes. Or c’est cette équivalence qui fonde le concept arithmétique de soustraction parce qu’elle est, comme dans le 8. Comme ce nombre dépasse 10, on observe évidemment de nombreuses erreurs.

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Présentation cas de la multiplication, à l’origine d’une économie cognitive considérable. Le premier problème illustre bien ce phénomène d’économie cognitive car le geste mental qu’il suscite (avancer sur la suite des nombres depuis 3 jusqu’à 21) est plutôt long et pénible, et cela procure une économie cognitive substantielle de le remplacer par le second geste mental (reculer de 3 sur la suite des nombres à partir de 21). C’est parce que ces deux procédures sont équivalentes que l’on peut remplacer l’une par l’autre. Là encore, c’est parce qu’une culture a intérêt à ne pas laisser se perdre de tels phénomènes d’économie cognitive que cette équivalence a été dument étiquetée par une étiquette verbale : le signe écrit « – » et le mot « soustraction ».

Le cas de la division euclidienne Considérons les deux problèmes suivants : a) Problème de groupement réitéré (recherche du nombre de groupes et du nombre d’éléments isolés) On a 935 stylos et l’on va former des lots de 4 stylos. Combien de lots peut-on former ? Restera-t-il des stylos ? b) Recherche des résultats d’un partage équitable 935 images vont être partagées équitablement entre 4 enfants. Combien d’images chaque enfant aura-t-il ? Restera-t-il des images ? L’enfant qui sait résoudre ces problèmes au 3e niveau repère immédiatement qu’ils se résolvent de la même manière en calculant le quotient et le reste de la division 935 : 4. Mais considérons le cas d’un enfant qui n’a pas encore étudié la division. Il peut seulement résoudre ces problèmes au 1er ou au 2e niveau. Dans le cas du problème des stylos, l’enfant adoptera une procédure proche d’une simulation de l’action de groupement décrite dans l’énoncé. Il s’imaginera donc en train de former des groupes de 4 : un groupe de 4, un autre groupe de 4, etc. En revanche, dans le cas du partage des images, la procédure « de base », celle que les enfants évoquent longtemps pour donner du sens à l’action de partager, consiste à distribuer une image à chaque enfant, puis une autre, etc. Ainsi, lorsque l’on s’intéresse à ces procédures « de base », on s’aperçoit que l’enfant forme des groupes de 4 dans le premier cas alors qu’il égrène les images une à une dans le second. Il ne lui est guère facile de prévoir que ces deux procédures produisent les mêmes résultats et de comprendre qu’elles sont équivalentes. Or, comme dans les cas de la multiplication et de la soustraction, c’est cette équivalence qui fonde le concept arithmétique de division parce qu’elle est source de phénomènes d’économie cognitive9. 9. L’addition aurait bien entendu pu figurer dans l’analyse précédente. Dans ce cas, les deux gestes mentaux dont l’addition exprime l’équivalence sont l’ajout d’un nombre b à un nombre a et l’ajout du nombre a au nombre b. Cette équivalence correspond à ce que l’on appelle la commutativité de l’addition. Lorsque l’on doit résoudre un problème tel que celui-ci : « Éric a 3 billes. Il gagne 198 billes. Combien en a-t-il maintenant ? », cette équivalence permet de déterminer 198 + 3 en comptant 3 nombres au-dessus de 198, par exemple : 198, 199 (1 est ajouté), 200 (2), 201 (3) ; ça fait 201, plutôt que de compter 198 nombres au-dessus de 3 comme le suggère l’énoncé. L’économie cognitive est substantielle !

Pourquoi les problèmes de multiplication sont-ils « plus faciles » ? La présentation qui vient d’être faite des équivalences qui fondent chacune des opérations arithmétiques pourrait laisser penser que le progrès des élèves se déroule de la même manière quel que soit le problème posé, et quelle que soit l’opération arithmétique qui, à terme, permet de résoudre ce problème. Or il n’en est rien. Les enseignants le savent bien. Ils soutiennent généralement que la soustraction et la division sont des « opérations difficiles », plus difficiles que la multiplication, et que, parmi les problèmes de soustraction et de division, certains sont faciles et d’autres difficiles.

Le cas de la multiplication Considérons le cas d’un élève qui doit résoudre le problème suivant : Combien coutent 2 livres à 17 € l’un ? Dès que la multiplication a été introduite en classe, la reformulation de cet énoncé sous la forme 2 fois 17 ne pose guère de difficulté et elle conduit l’enfant à reconnaitre qu’il s’agit là d’un problème de multiplication. Le plus souvent, l’élève écrit 17 × 2, avec le 17 en premier car beaucoup de maitres recommandent d’écrire d’abord le nombre dont l’ajout est répété10. Face à cet autre problème : Combien coutent 17 livres à 2 € l’un ?, l’élève se comporte de la même manière : la reformulation de l’énoncé sous la forme 17 fois 2 l’amène à mobiliser la multiplication et à écrire 2 × 17, avec le 2 en premier parce que c’est ce nombre dont l’ajout est répété. Or, dès que la commutativité de la multiplication a été exercée en classe, l’élève qui vient d’écrire 2 × 17 pour exprimer 17 fois 2 le calcule spontanément sous la forme 2 fois 17 (17 + 17). La plupart du temps, il ne se rend même pas compte qu’en calculant ainsi, il a utilisé la commutativité. Une équipe de recherche de l’INRP, Ermel11, a récemment souligné qu’« il est étonnant de voir avec quelle facilité la commutativité est utilisée et en quelque sorte admise : les élèves sont très rapidement convaincus que “ça marche” ! ». Nos observations vont dans le même sens. Ainsi, l’équivalence qui fonde la multiplication n’est pas un obstacle pour les écoliers parce qu’elle n’est pas une équivalence entre deux gestes mentaux radicalement différents. Chercher a fois b, d’une part, et b fois a, de l’autre, ne sont en fait que deux versions d’un même geste qui est la recherche du résultat d’un ajout réitéré. L’étiquetage par le signe « × » de l’un de ces gestes entraine le même étiquetage pour l’autre geste, et l’enfant peut dès lors utiliser la commutativité qui a été exercée. Il n’en va pas de même dans le cas de la soustraction et de la division. 10. Autrefois, il était courant d’appeler ce nombre le multiplicande, l’autre étant dénommé le multiplicateur. 11. Ermel (Équipe de recherche mathématiques à l’école élémentaire de l’Institut national de recherche pédagogique), Apprentissages numériques et résolution de problèmes. Cours élémentaire (première année), Paris, Hatier, 1993.

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Chapitre 1  •  Le progrès en arithmétique

Le cas de la soustraction et celui de la division Les deux gestes mentaux dont l’équivalence fonde la soustraction sont de nature très différente : recherche du résultat d’un retrait, d’une part, et de la valeur d’un ajout, de l’autre. L’étiquetage par le signe « – » est très facile pour un problème de recherche du résultat d’un retrait, mais très difficile pour la recherche de la valeur d’un ajout. Considérons à nouveau les deux problèmes suivants : a) Recherche du résultat d’un retrait Éric a 21 billes. À la récréation, il perd 3 billes. Combien a-t-il de billes maintenant ? b) Recherche de la valeur d’un ajout Éric a 3 billes. À la récréation, il gagne des billes. Maintenant il a 21 billes. Combien a-t-il gagné de billes ? L’énoncé du premier problème parle d’une perte ; pour l’enfant l’emploi de la soustraction va de soi. En revanche, dans le second énoncé, on nous dit qu’Éric a gagné des billes : de nombreux enfants ne comprennent pas qu’on puisse utiliser la soustraction dans le cas d’un tel problème. Contrairement à ce qui se passe avec la multiplication, l’étiquetage par le signe « – » du premier type de problème est loin d’entrainer cet étiquetage pour le second type de problème. De même, les deux gestes mentaux dont l’équivalence fonde la division sont eux aussi des gestes de nature très différente : l’un est la recherche des résultats d’un partage équitable, et l’autre la recherche des résultats d’un groupement réitéré (Combien de groupes peut-on former ? Restera-t-il des éléments isolés ?). Comme dans le cas de la soustraction, l’étiquetage par le signe « : » (« divisé ») est très facile pour le premier type de problème mais plus difficile pour l’autre. En effet, les problèmes de recherche des résultats d’un partage sont très vite reconnus comme problèmes de division. Rapportons à ce sujet une anecdote. Un enfant de CE2 à qui l’on demandait d’inventer des énoncés de problèmes avec la contrainte supplémentaire qu’il sache résoudre ces problèmes, répondit : « Je vous aurais bien écrit un problème de partage, mais je n’ai pas encore appris la division ». Avant même que l’enseignant ait introduit la division en tant qu’opération arithmétique, de nombreux enfants en ont déjà entendu parler et elle leur est présentée comme une opération qui permet de connaitre le(s) résultat(s) d’un partage. En revanche, comme dans le cas de la soustraction, l’étiquetage par le signe « : » (« divisé ») de l’autre type de problème (les problèmes de groupement réitéré) apparait plus difficile. L’étiquetage par le signe « : » (« divisé ») pour le premier type de problème est donc loin d’entrainer ce même étiquetage pour l’autre type de problème.

L’apprentissage à l’école ou quand l’opération arithmétique fonde l’équivalence des gestes mentaux L’étiquetage par le symbolisme arithmétique fonctionne donc différemment dans le cas de la multiplication, d’une part, et

dans celui de la soustraction ou de la division, d’autre part. Dans le cas de la multiplication, il est vraisemblable que certains enfants scolarisés remplacent parfois la recherche de a fois b par celle de b fois a, alors même que leur maitre n’a pas pris la peine, lors de l’introduction du signe « × », de leur enseigner l’équivalence de ces deux gestes mentaux12. Comme le dit Ermel, ces enfants le font parce que « ça marche », parce qu’en se comportant ainsi, ils ont « toujours eu bon ». On ne peut pas dire que, chez ces enfants, c’est l’équivalence des deux gestes mentaux qui fonde l’opération arithmétique ; on aurait plutôt envie de dire que c’est l’opération arithmétique (un savoir culturellement transmis) qui fonde l’équivalence des deux gestes mentaux, parce que c’est l’existence du signe « × » qui les amène à se conduire comme s’ils maitrisaient l’équivalence de la recherche de a fois b et de b fois a. Il s’agit évidemment là d’un cas extrême. D’une manière générale, le pédagogue doit se méfier d’un enseignement qui produit chez ses élèves les comportements adaptés alors qu’il n’a aucune assurance qu’ils maitrisent les connaissances conceptuelles correspondantes. Mais force est de reconnaitre que, concernant la multiplication, le fait de se comporter comme s’ils maitrisaient l’équivalence de a fois b et de b fois a conduit à terme la plupart des enfants à une réelle maitrise de cette équivalence. Lorsqu’on les interroge sur les raisons qui expliquent que a fois b est égal à b fois a, la plupart du temps ils ne comprennent même pas que l’on puisse douter d’une telle égalité ! Trois conclusions peuvent être tirées de cette rapide comparaison de la multiplication, d’une part, et de la soustraction et la division, d’autre part : 1°) La multiplication est une opération qui apparait « facile » aux enseignants parce qu’ils peuvent s’appuyer sur le symbolisme arithmétique pour amener les élèves à se comporter comme s’ils maitrisaient l’équivalence de gestes mentaux qui fonde cette opération, ce qui, dans la plupart des cas, favorise à terme une appropriation réelle de cette équivalence. 2°) La soustraction et la division sont des opérations qui apparaissent « difficiles » aux enseignants parce qu’ils n’ont pas la même possibilité. Concernant ces opérations, l’usage du symbolisme arithmétique ne conduira pas à lui seul aux comportements attendus. Il est donc indispensable que l’enseignant aide ses élèves à s’approprier les équivalences de gestes mentaux qui fondent ces opérations. Le prochain chapitre est entièrement consacré aux différentes façons de le faire. 3°) L’opposition qui vient d’être faite entre la multiplication, d’une part, et la soustraction et la division, de l’autre, doit être nuancée. En effet, la multiplication n’est pas la seule opération arithmétique dont l’appropriation est favorisée par l’usage du symbolisme arithmétique. On essaiera de montrer dans le prochain chapitre que dans le cas de la soustraction et de

12. Il est fréquent que l’on utilise un quadrillage de a lignes et b colonnes pour enseigner l’équivalence de ces deux gestes mentaux parce qu’ils correspondent alors au dénombrement des cases du même quadrillage, respectivement ligne par ligne (a fois b) et colonne par colonne (b fois a).

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Présentation la division aussi, le pédagogue peut, par un certain usage du symbolisme arithmétique, anticiper l’appropriation par ses élèves des équivalences de gestes mentaux qui sont requises. D’un point de vue épistémologique, ce sont les équivalences de gestes mentaux qui fondent les opérations arithmétiques mais, d’un point de vue didactique ou psychologique, l’enfant nait dans une culture qui possède ces opérations arithmétiques : il n’a pas à les reconstruire de manière isolée, il doit seulement se les approprier. Aussi est-il tout aussi légitime d’affirmer, concernant l’apprentissage à l’école, que les opérations arithmétiques y fondent les équivalences de gestes mentaux que d’affirmer l’inverse. Une question fondamentale, qui sera débattue dans le prochain chapitre, est évidemment la suivante : comment penser l’articulation entre la transmission culturelle (celle du symbolisme arithmétique notamment) et les reconstructions conceptuelles qui sont nécessairement à la charge de l’enfant ?

La transition du 2e au 3e niveau correspond à une réorganisation de l’expérience quotidienne Contrairement à la transition du 1er au 2e niveau de résolution des problèmes arithmétiques, celle du 2e au 3e niveau correspond à une réorganisation de l’expérience quotidienne. On a vu, par exemple, que l’équivalence de la recherche de a fois b et de la recherche de b fois a fonde l’existence de la multiplication en tant qu’opération arithmétique. Or, la personne qui s’est approprié cette équivalence voit son expérience quotidienne transformée parce qu’elle traite alors de manière identique l’une et l’autre sorte de situation. Elle peut notamment substituer l’un de ces gestes mentaux à l’autre. Là où il y avait auparavant de la diversité, il y a maintenant une unité. On a vu, de même, que l’équivalence de la recherche du résultat d’un retrait et de la recherche de la valeur d’un ajout fonde l’existence de la soustraction en tant qu’opération arithmétique. Et, enfin, que l’équivalence de la recherche des résultats d’un groupement réitéré (Combien de groupes ? Combien d’éléments isolés ?) et de la recherche des résultats d’un partage équitable fonde l’existence de la division euclidienne. Chacune de ces équivalences transforme l’expérience quotidienne de celui qui se les est appropriées. Des situations qui, auparavant, apparaissaient seulement dans leur diversité, se voient dorénavant réunies parce qu’elles conduisent à un même traitement. Ces réorganisations de l’expérience quotidienne nécessitent une expérience scolaire. Dans l’introduction de ce chapitre, nous avons vu que les vendeurs de rues au Brésil ne substituent pas toujours a fois b à b fois a dans des circonstances où il en résulterait une économie cognitive substantielle. Ainsi, la plus accessible des réorganisations, celle qui correspond au concept arithmétique de multiplication, n’a pas nécessairement lieu lorsque le milieu scolaire fait trop défaut. Il est raisonnable de penser que les réorganisations qui

correspondent aux concepts arithmétiques de soustraction et de division dépendent encore plus du milieu scolaire que celle qui correspond à la multiplication. Comment savoir si ces réorganisations ont eu lieu pour un élève donné ? Rappelons d’abord que l’usage du symbolisme arithmétique au 2e niveau est susceptible de leurrer les enseignants : comme la forme a changé, ils peuvent croire que les réorganisations qui conduisent aux concepts arithmétiques ont eu lieu, alors que ce n’est pas le cas. Mais de plus, ni l’utilisation de la soustraction (du signe « – ») pour déterminer le résultat d’un retrait (Éric a 21 billes. Il perd 3 billes), ni l’utilisation de la division (du signe « : ») pour chercher les résultats d’un partage équitable ne peuvent être considérées comme des preuves de l’accès au 3e niveau car, dans ces deux cas, l’usage de ces opérations arithmétiques se fait en continuité avec l’expérience quotidienne (soustraire = retrancher et diviser = partager). En revanche, lorsqu’un enfant utilise la soustraction pour déterminer la valeur d’un ajout (Éric a 17 billes, il gagne des billes, et après il en a 41) ou lorsqu’il utilise la division pour résoudre un problème de groupement réitéré (On a 935 cubes et l’on va former des piles de 4), on est certain que les réorganisations conduisant aux concepts arithmétiques se sont au moins amorcées. C’est pourquoi nous accorderons une grande place à ces deux types de problèmes dans les chapitres suivants. Ils sont de bons révélateurs du niveau conceptuel des élèves.

À propos de la notion de « champ conceptuel » Rappelons que cette notion a été introduite par Gérard Vergnaud13, que le projet de recherche de cet auteur est proche du nôtre et qu’il s’agit d’expliquer ici pourquoi nous n’avons pas repris tel quel le cadre théorique qu’il a proposé. En première approximation, Vergnaud désigne par le terme « champ conceptuel » un ensemble de tâches ou, disons, de problèmes. Les deux « champs conceptuels » les plus fréquemment cités sont celui des problèmes additifs et celui des problèmes multiplicatifs. Il convient de remarquer que cet auteur fait un usage particulier du mot « additif » : il appelle « problèmes additifs » ceux qui peuvent être résolus par une addition, bien sûr, mais aussi ceux qui peuvent l’être par une soustraction. De même, il décide d’appeler « problèmes multiplicatifs » ceux qui peuvent être résolus par une multiplication, mais aussi par une division, une règle de trois, etc. Vergnaud14 classe les problèmes additifs en 6 groupes. Quatre de ces groupes nous intéressent plus particulièrement parce que les problèmes correspondants peuvent être proposés à l’école élémentaire. Ce sont : 13. On pourra consulter par exemple : Vergnaud, G., « La Théorie des champs conceptuels », Recherches en didactique des mathématiques, 10, 133-170, 1990. 14. Vergnaud, G., & Durand, C., « Structure et complexité psychogénétique », Revue française de pédagogie, n° 36, pp. 28-43, 1976.

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Chapitre 1  •  Le progrès en arithmétique

1er groupe - Les problèmes parties-tout Par exemple, imaginons que a tulipes et b roses forment un bouquet de c fleurs. Cette situation permet d’engendrer deux types de problèmes selon que a et b sont connus (les parties sont connues) et c cherché (c’est le tout qui est inconnu), ou que c est connu (le tout est connu), que l’une des parties l’est également et que l’autre partie est inconnue. 2e groupe - Les problèmes d’ajout ou de retrait Une quantité est transformée par un ajout ou un retrait pour donner une nouvelle quantité. Par exemple : Éric dispose de a billes. Il gagne (ou perd) b billes. Il dispose maintenant de c billes. Les six types de problèmes correspondants sont soit la recherche du résultat d’un ajout ou d’un retrait (a connu, b connu, c inconnu), soit la recherche de la valeur de l’ajout ou du retrait (a et c connus, b inconnu), soit encore la recherche de la quantité initiale (b et c connus, a inconnu). 3e groupe - Les problèmes de comparaison Donnons deux exemples : « Mme Martin a 30 € et Mme Dupont a 50 €. Combien Mme Dupont a-t-elle de plus que Mme Martin ? » « Mme Martin a 30 €. C’est 20 € de moins que Mme Dupont. Combien Mme Dupont a-t-elle d’argent ? » Là encore, on peut engendrer six types de problèmes différents, suivant que la comparaison s’exprime avec « de plus que » ou avec « de moins que », et suivant que le terme inconnu est l’une ou l’autre des quantités comparées, ou encore la différence de ces deux quantités. 4e groupe - Les compositions d’ajouts ou de retraits Donnons un exemple : « Jacques a perdu 27 billes lors d’une première partie, il en a gagnées 19 lors d’une seconde partie. Quel est le bilan de ces deux parties ? ». Là encore, un grand nombre de problèmes peuvent être engendrés selon la nature de l’inconnue (1re transformation, 2e transformation, bilan), et selon que l’on parle d’ajouts ou de retraits. Ce type de classification présente un intérêt évident pour le pédagogue : il lui permet d’engendrer un grand nombre de problèmes d’addition et de soustraction et de proposer ainsi des tâches variées à ses élèves. Or, une certaine variété dans les tâches proposées est très certainement un facteur qui favorise le progrès des enfants15. Mais il nous semble que ce n’est pas la principale raison qui a conduit Vergnaud à introduire la notion de champ conceptuel. Pour comprendre l’œuvre de cet auteur, il faut en effet avoir présent à l’esprit qu’il se situe de manière critique vis-à-vis de la modélisation de l’apprentissage qui a été dominante jusque vers 1990 aux États-Unis, modélisation selon laquelle les savoir-faire résulteraient pour l’essentiel d’un enseignement explicite (cf. le modèle d’Anderson16, par exemple). Or, un grand nombre des problèmes additifs que Vergnaud a distingués ne sont pas travaillés en classe, et pourtant, à terme, les élèves savent les résoudre. C’est la preuve que le progrès ne résulte pas seulement d’une tentative d’application 15. Voir par exemple : Stigler, J., Fuson, K., Ham, M. & Kim, M., « An Analysis of Addition and Substraction Word Problems in American and Soviet Elementary Mathematics Textbooks », Cognition and Instruction, 3, 153-171, 1986. 16. Anderson J.-R., The Architecture of Cognition. Cambridge, Harvard University Press, 1983.

des procédures qui leur ont été enseignées, mais qu’ils abordent un problème nouveau par analogie avec des situations antérieures (on peut parler de « filiations »), et même, à certains moments, en inventant de nouvelles compétences (on peut parler alors de « ruptures »). Pour Vergnaud, le fait de considérer un vaste ensemble de tâches lui permet de mieux mettre en évidence le fait qu’il existe des filiations et des ruptures dans les modes de résolution utilisés par les enfants, et il défend, avec raison selon nous, l’idée que l’étude de ces filiations et ruptures est la tâche majeure à laquelle les psychologues de l’apprentissage devraient s’atteler.

Des projets scientifiques proches, mais des moyens différents Notre projet est donc très proche de celui de Vergnaud. Cependant, nous n’avons pas envisagé ici le même ensemble de problèmes que lui et nous ne le ferons pas non plus dans les prochains chapitres. L’analyse qui sera présentée s’appuiera seulement sur l’étude des cinq sortes de problèmes que nous avons déjà envisagés : un problème de multiplication (recherche du résultat d’un ajout réitéré), deux problèmes de soustraction (recherche du résultat d’un retrait et recherche de la valeur d’un ajout) et deux problèmes de division (recherche des résultats d’un partage et problème de groupement réitéré). On ne s’intéressera donc pas à l’ensemble des problèmes d’addition-soustraction, ni à l’ensemble des problèmes de multiplication-division ; mais on s’intéressera en revanche à un ensemble de problèmes qui comprend à la fois des problèmes d’addition-soustraction et des problèmes de multiplication-division. La position défendue ici est qu’aucun dogmatisme ne doit présider à l’étude des filiations et ruptures dans les modes de résolution utilisés par les enfants et que le chercheur ne doit pas hésiter, pour répondre à certaines questions, à focaliser son attention sur des ensembles de problèmes différents de ceux que Vergnaud a définis comme, respectivement, le champ conceptuel des problèmes additifs et le champ conceptuel des problèmes multiplicatifs. Un premier exemple d’une telle question est celle à laquelle nous avons répondu dans ce chapitre : pourquoi les problèmes de multiplication sont-ils « plus faciles » ? Lorsque l’on compare, comme nous l’avons fait, la multiplication à la soustraction, on ne reste pas au sein du champ conceptuel des problèmes multiplicatifs. Or, c’est bien la comparaison avec la soustraction qui permet le mieux de comprendre la spécificité de la multiplication : dans le cas de la multiplication, l’étiquetage avec le signe « × » d’un geste mental (recherche de a fois b, par exemple), entraine l’étiquetage avec le même signe du geste mental qui lui est équivalent (recherche de b fois a), alors que dans le cas de la soustraction, non seulement l’étiquetage avec le signe « – » de la recherche de la valeur d’un ajout ne va pas de soi, mais on peut même considérer que cet étiquetage semble a priori incompatible avec l’action décrite dans l’énoncé (on parle d’un ajout et l’on pourrait utiliser le signe « – » ?).

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Présentation Donnons un autre exemple de question qui nécessite d’étudier un ensemble de problèmes différents de ceux qui appartiennent à un seul champ conceptuel. Quand l’équipe Ermel17 se réfère au champ conceptuel des problèmes additifs, elle recommande explicitement d’introduire le signe « – » la même année que le signe « + », c’est-à-dire l’année du CP. Les justifications avancées sont au nombre de trois : d’une part, le fait que les problèmes d’addition et de soustraction doivent être abordés en même temps, d’autre part le fait que les enfants rencontrent le signe « – » dans leur milieu familial ou sur la calculette, et enfin le fait qu’il serait dommageable que les enfants ne disposent que d’un seul signe opératoire au CP, le signe « + ». Ces arguments semblent pouvoir être utilisés sans grands changements pour parler des rapports qu’entretiennent la division et la multiplication. Et pourtant, lorsque la même équipe18 se réfère au champ conceptuel des problèmes multiplicatifs, elle décide de ne pas enseigner le signe de la division au CE2, créant ainsi un décalage de deux ans entre l’introduction du signe de la multiplication (introduit au CE1) et celui de la division (introduit au CM1). On peut évidemment regretter que l’hétérogénéité de ces choix n’ait pas été justifiée, du moins à notre connaissance. La question posée est celle du rôle de l’introduction des écritures arithmétiques dans le progrès des enfants. Ou encore, et de manière plus précise : l’introduction des écritures arithmétiques doit-elle être pensée très différemment pour le couple multiplication-division et pour le couple addition-soustraction ? Cette question sera abordée dans le prochain chapitre. Pour y répondre, il faut envisager à la fois des problèmes d’addition-soustraction et des problèmes de multiplicationdivision, et donc se donner un objet d’étude plus large que le seul champ conceptuel des problèmes additifs (additionsoustraction) et plus large que celui des problèmes multiplicatifs (multiplication-division). Mais si l’on s’intéresse à tous les problèmes d’addition-soustraction et à tous les problèmes de multiplication-division, on se trouve face à une « explosion combinatoire » : leur nombre est trop grand pour aborder l’apprentissage de leur résolution de manière précise. D’où le choix fait ici de ne pas s’intéresser à l’ensemble des problèmes additifs, ni à l’ensemble des problèmes multiplicatifs, mais seulement à certains d’entre eux dont on peut penser qu’ils sont « représentatifs » de leurs champs conceptuels respectifs, du moins pour la question qui nous intéresse : ce sont ceux dont nous avons dit qu’ils « fondent » respectivement la soustraction et la division en tant qu’opérations arithmétiques. Et parmi ceux-ci, on s’intéressera plus

particulièrement encore aux deux sortes de problèmes qui sont le mieux susceptibles de révéler que les réorganisations nécessaires à l’accès aux concepts arithmétiques de soustraction et de division s’amorcent : pour la soustraction, les problèmes de recherche de la valeur d’un ajout, et, pour la division, les problèmes de groupements réitérés.

Résumé Dans ce chapitre, nous avons présenté un cadre théorique qui permet de penser, à un niveau encore très général, les filiations et les ruptures entre les différentes procédures de résolution de problèmes utilisées par les enfants. L’analyse des ruptures apparait cruciale, et dans les prochains chapitres nous nous efforcerons de préciser ce point de l’analyse. Pour l’instant, trois niveaux de procédures ont été distingués. Au 1er niveau, les enfants simulent la situation décrite dans l’énoncé, soit avec du matériel, soit par le dessin. Au 2e niveau, les enfants utilisent le symbolisme arithmétique, mais ils en font un usage banal : ils utilisent notamment le signe « + » pour exprimer un ajout et le signe « – » pour un retrait. Au 3e niveau, les enfants, après une première lecture de l’énoncé, reconnaissent les problèmes comme appartenant à la catégorie de ceux qui peuvent être résolus en faisant telle ou telle opération arithmétique. Le passage du 1er au 2e niveau correspond à un premier usage du symbolisme arithmétique, mais il se fait plutôt dans la continuité avec l’expérience quotidienne, alors que le passage du 2e au 3e niveau s’accompagne d’une réorganisation de cette même expérience : les enfants doivent apprendre qu’il est équivalent de chercher a fois b et b fois a, qu’il est équivalent de chercher la valeur d’un ajout et le résultat d’un retrait, qu’il est équivalent de chercher combien de fois b est contenu dans a et les résultats du partage de a en b parts équitables. L’appropriation de ces équivalences ne se fait pas dans les mêmes conditions pour la multiplication, d’une part, et la soustraction et la division, de l’autre, parce que le symbolisme arithmétique ne fonctionne pas de manière identique dans l’un et l’autre cas. Les enseignants doivent être particulièrement attentifs à favoriser l’appropriation des équivalences requises dans le cas de la soustraction et de la division. Ce sont respectivement les problèmes de recherche de la valeur d’un ajout (pour la soustraction) et les problèmes de groupement réitéré (pour la division) qui permettent le mieux de savoir si l’appropriation de ces équivalences est amorcée. Ces problèmes sont donc les meilleurs révélateurs du niveau conceptuel des enfants.

17. Ermel, Apprentissages numériques, Cycle des apprentissages fondamentaux, CP, Paris, Hatier, 1991. 18. Ermel, Apprentissages numériques et résolution de problèmes. Cours élémentaire (deuxième année), Paris, Hatier, 1995.

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Chapitre 2

L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes : quatre attitudes pédagogiques PLAN DU CHAPITRE • Une pratique pédagogique « dangereuse » ! • L’attitude traditionnelle. • L’attitude constructiviste radicale. • Un exemple d’attitude rénovatrice. • Un exemple d’attitude réformatrice.

Un premier type de séances : enseigner le calcul mental d’une soustraction et d’une division. Un second type de séances : les Problèmes pour apprendre à chercher (PAC). Une diversité aux multiples vertus pédagogiques. Des problèmes privilégiés pour susciter et repérer le progrès des élèves : – le cas de la soustraction, – le cas de la division.

• Conclusion.

Les quatre attitudes (résumé). Une comparaison avec le cadre théorique de Charnay et Mante. L’attitude réformatrice décrite ici est d’« inspiration vygotskienne ».

Ce chapitre aurait pu recevoir d’autres titres. Examinons-les pour présenter son contenu. Il aurait pu s’intituler : « Gérer les continuités et les ruptures avec l’expérience quotidienne : quatre attitudes pédagogiques », ou encore : « Penser l’articulation entre la transmission scolaire et les reconstructions conceptuelles en arithmétique : quatre attitudes pédagogiques ». L’intérêt du premier de ces titres est de montrer qu’on se situe ici dans le prolongement du chapitre précédent : il s’agit d’examiner le problème de la continuité et des ruptures avec l’expérience quotidienne d’un point de vue plus pédagogique (moins épistémologique) que dans le chapitre 1. Il s’agit notamment de montrer qu’il existe diverses manières de gérer en classe la transition entre les résolutions de problèmes aux deux premiers niveaux et les résolutions au 3e niveau. Diverses « attitudes pédagogiques » sont possibles. Le deuxième titre (transmission scolaire et reconstructions conceptuelles) est une sorte de reflet du précédent : de même que l’expérience quotidienne ne saurait suffire pour que l’enfant s’approprie les concepts arithmétiques (des ruptures ou des réorganisations sont nécessaires), la transmission scolaire, elle aussi, est insuffisante : certaines reconstructions conceptuelles sont in fine à la charge de l’enfant, en liaison avec son expérience quotidienne. Chacun de ces deux titres met ainsi l’accent sur l’un des « ingrédients » du progrès (l’expérience quotidienne ou bien la transmission scolaire), tout en soulignant, dans le même temps, que ce seul « ingrédient » ne saurait suffire. C’est finalement un troisième titre qui a été retenu. C’est bien la même problématique qui va être abordée : depuis que l’école existe, les maitres disent qu’ils réussissent à enseigner le calcul à leurs élèves : la transmission scolaire du calcul est donc apparemment réussie1. Mais ils affirment aussi que leurs élèves ont du mal à réinvestir ces compétences en calcul pour résoudre des problèmes (les reconstructions conceptuelles sont difficiles). Ce titre a été retenu parce qu’il fait référence à l’une des principales préoccupations des enseignants et parce qu’il est l’un des thèmes majeurs de la recherche en didactique des mathématiques. Il faut le dire en préambule : tous les chercheurs n’ont pas la même attitude lorsqu’ils abordent cette question. L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes est encore aujourd’hui l’objet d’un débat. Les positions qu’il est possible de tenir dans un tel débat méritent d’être exposées de façon critique aux enseignants. C’est ce que nous allons faire. Le chapitre précédent se terminait en soulignant que les problèmes de recherche de la valeur d’un ajout (Fatou a 37 billes. Elle gagne des billes et après elle en a 51. Combien a-t-elle gagné de billes ?) et les problèmes de groupement réitéré (On dispose de 925 stylos et on fait des lots de 4 stylos. Combien de lots ? Combien de stylos isolés ?) sont de bons 1. On défendra ici l’idée que l’enseignement du calcul accorde généralement trop de place aux algorithmes écrits et pas assez aux stratégies de calcul mental. D’où l’emploi du mot « apparemment ».

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Présentation révélateurs du niveau conceptuel des enfants pour la soustraction et pour la division, respectivement. L’accès au niveau le plus expert est très difficile pour ces problèmes parce qu’il nécessite que l’élève s’approprie certaines équivalences de gestes mentaux. Ainsi, lorsque l’on exige trop précocement des enfants qu’ils résolvent ces problèmes difficiles en choisissant la « bonne opération arithmétique » (c’est-à-dire au 3e niveau), nous verrons que certains d’entre eux s’éloignent de la réussite plus qu’ils ne s’en approchent. Nous commencerons par analyser ce phénomène. Nous présenterons ensuite quatre façons d’aborder l’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes : l’attitude traditionnelle, l’attitude constructiviste radicale, l’attitude rénovatrice, et enfin une attitude que nous qualifierons de réformatrice, et qui est celle que nous retiendrons finalement. La conclusion comportera trois parties : 1°) On résumera la présentation des différentes attitudes pédagogiques. 2°) On comparera l’analyse présentée ici avec un cadre théorique que Charnay et Mante2 ont pu avancé. 3°) On montrera enfin comment la théorie de Vygotski a guidé l’élaboration des idées exposées ici. C’est pour faciliter la lecture de ce chapitre que la référence à Vygotski n’y figure qu’à la fin : il n’est nul besoin, en effet, de connaitre les travaux de cet auteur pour entrer dans l’exposé ci-dessous.

Une pratique pédagogique « dangereuse » ! Cette pratique est celle où l’on demande à l’élève qui est face à un énoncé de problème : « Faut-il faire une addition, une soustraction, une multiplication ou une division ? », c’està-dire de résoudre le problème directement au 3e niveau. Une autre forme de cette pratique pédagogique dangereuse consiste à exiger des élèves qu’ils tracent deux colonnes sur leur feuille : une colonne « solution » et une colonne « opérations ». En effet, ce format de réponse sous-entend que l’élève doit impérativement sélectionner la ou les bonnes opérations pour obtenir la solution numérique. Une dernière forme, enfin, consiste à faire résoudre des problèmes en utilisant une calculette « 4 opérations » de manière classique : l’enfant sélectionne la bonne opération et calcule le résultat grâce aux touches « + », « – », « × » et « : » de la calculette. Pour comprendre pourquoi une telle pratique pédagogique est dangereuse, examinons l’évolution des performances des élèves lorsqu’ils sont confrontés à un problème du type « recherche de la valeur d’un ajout » (c’est-à-dire au problème de soustraction dont nous avons vu qu’il est difficilement résolu au 3e niveau et constitue donc un bon « révélateur » du niveau conceptuel des enfants).

2. Charnay R. & Mante M., Préparation à l’épreuve de mathématiques du concours de professeur des écoles, tome 1, Paris, Hatier, 1995.

Lorsque les élèves ont la possibilité, pour résoudre ce type de problème, de simuler la situation décrite dans l’énoncé en utilisant du matériel ou en dessinant (résolution au 1er ou au 2e niveau), la réussite est quasi totale dès le CE1. Riley, Greeno & Heller3, par exemple, rapportent les pourcentages de réussite suivants : Classe Réussite

GS

CP

CE1

61 %

56 %

100 %

Réussite à la recherche de la valeur d’un ajout dans des conditions où l’élève peut simuler la situation décrite dans l’énoncé.

Mais la situation se dégrade dès que l’on exige des enfants qu’ils résolvent directement ce type de problème au 3e niveau. En effet, le tableau ci-dessous montre qu’au CE2, lorsque l’on demande à ces mêmes enfants de « choisir la bonne opération », la réussite n’est plus que de 50 %. L’autre moitié des élèves échouent et certains se mettent ainsi à échouer pour longtemps puisque la réussite n’est que de 80 % au CM2 ! Classe

CE2

CM1

CM2

Réussite

50 %

71 %

80 %

Réussite à la recherche de la valeur d’un ajout dans des conditions où l’élève doit « trouver la bonne opération » (d’après une recherche de Hendrickson & Thompson, rapportée par Riley & Greeno4).

Comment expliquer de tels résultats ? Pour résoudre un problème arithmétique, les élèves doivent en comprendre l’énoncé et trouver la solution numérique. Or, lorsqu’ils simulent la situation décrite dans l’énoncé par le dessin ou avec du matériel (1er niveau), la solution numérique émerge dans le même temps que la compréhension progresse. En revanche, lorsqu’on leur demande de trouver la bonne opération, le contrôle de la résolution s’en trouve totalement bouleversé. Quand il faut chercher le résultat d’un ajout (Saïd a 18 billes et il gagne 13 billes) ou le résultat d’un retrait (Mme Martin a 34 € et elle dépense 15 €), par exemple, il suffit de s’intéresser à des indices superficiels de l’énoncé (les mots « gagne », « dépense ») pour sélectionner la bonne opération. Certains enfants ne se préoccupent plus alors suffisamment de comprendre l’énoncé : ils choisissent une opération sur ces indices superficiels (les mots « gagne », « en plus »… induisent l’usage de l’addition, les mots « perd », « reste »… celui de la soustraction, etc.). Concernant le problème de recherche de la valeur d’un ajout, par exemple, l’énoncé dit qu’Éric avait 3 billes, puisqu’il en a gagné jusqu’à en avoir 21. L’erreur la plus fréquemment observée résulte évidemment du mot « gagne » : elle consiste à faire le choix erroné de l’addition. C’est ainsi que de nombreux enseignants attribuent l’échec en résolution de problèmes de certains de leurs élèves à des « difficultés de lecture » plus qu’à un défaut de connaissances en mathématiques. En fait, leur analyse doit être précisée : 3. Riley, M., Greeno, J., & Heller J., « Development of Children’s Problem Solving Ability in Arithmetic », in H. Ginsburg (Ed), The Development of Mathematical Thinking, New York, Academic Press, 1983. 4. Riley, M., & Greeno, J., « Developmental Analysis of Understanding Language About Quantities and of Solving Problems », Cognition and Instruction, 5 (1), pp. 49-101, 1988.

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Chapitre 2  •  L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes

les difficultés de lecture en cause ne sont pas nécessairement générales ; elles peuvent n’être que des difficultés à lire ce genre particulier de texte qu’est l’énoncé d’un problème. Et souvent, cette difficulté a surgi parce que l’on a demandé trop précocement à ces enfants de résoudre les problèmes au 3e niveau. Ils veulent obtenir trop rapidement la solution numérique et fondent leur choix d’une opération arithmétique sur des indices superficiels. Leur lecture de l’énoncé s’en trouve affectée parce qu’ils cherchent insuffisamment à le comprendre. La pratique pédagogique où l’on demande de choisir la « bonne opération » est donc particulièrement dangereuse, surtout quand l’enfant est confronté à l’un des problèmes difficiles qui sont révélateurs du niveau conceptuel des enfants. Nous allons voir que l’attitude des pédagogues visà-vis de cette pratique pédagogique permet de caractériser la façon dont ils envisagent l’articulation entre la résolution de problèmes et le calcul.

L’attitude traditionnelle Selon ce que l’on appellera le « point de vue traditionnel », l’enfant ne peut être confronté à un problème dit de soustraction, de multiplication, de division, de proportionnalité… qu’après avoir étudié les contenus mathématiques correspondants. Pour ceux qui abordent ainsi l’articulation entre la résolution de problèmes et le calcul, résoudre un problème c’est sélectionner la (ou les) « bonne(s) opération(s) arithmétique(s) ». D’où l’adoption sans état d’âme de la pratique pédagogique que nous avons qualifiée de « dangereuse » : dès que la division, par exemple, a été étudiée, ces enseignants exigent de leurs élèves qu’ils choisissent cette opération pour résoudre les problèmes correspondants. Or, résoudre un problème en sélectionnant la « bonne opération arithmétique », c’est le résoudre au niveau le plus expert (3e niveau) ; ce n’est qu’une possibilité parmi d’autres (cf. le chapitre 1). Cette attitude a malheureusement, pour certains enfants, des conséquences particulièrement néfastes. Considérons le cas des élèves qui échouent aux problèmes difficiles de soustraction et de division parce qu’ils sélectionnent une opération arithmétique sur des indices superficiels. Ils sont d’autant plus désemparés que cette stratégie les conduit tantôt à une réponse correcte (recherche du résultat d’un ajout ou d’un retrait, recherche des résultats d’un partage), tantôt à une réponse erronée (recherche de la valeur d’un ajout, problèmes de groupements réitérés), sans qu’ils soient en mesure d’en comprendre les raisons. Certains élèves dysfonctionnent alors plus gravement encore, perdant totalement de vue ce qu’il conviendrait de faire pour progresser en résolution de problèmes, à savoir : essayer de mieux comprendre les énoncés. Avec ces élèves, il se noue alors ce que Brousseau5 appelle un « contrat didactique » qui, en lui-même, crée un obstacle 5. Brousseau G., Théorisation des phénomènes d’enseignement des mathématiques, thèse d’État, université Bordeaux-1, 1986.

au progrès : ils fondent leurs réponses essentiellement sur ce qu’ils croient être le désir du maitre et non sur les caractéristiques de la tâche. Si l’adulte est proche d’eux, ils utilisent par exemple la stratégie qu’Astolfi appelle la « stratégie du sourcil » : après une lecture superficielle de l’énoncé, ils avancent le choix d’une opération tout en scrutant le visage du maitre ; s’ils y lisent la moindre marque de réprobation, ils se ravisent et choisissent une autre opération. C’est ainsi que l’échec en résolution de problèmes trouve souvent son origine dans la « perte de contrôle » qui résulte de l’abandon prématuré d’une résolution, soit par simulation (1er niveau), soit au 2e niveau, pour tenter une résolution arithmétique (3e niveau). L’attitude traditionnelle, parce qu’elle conduit à envisager la résolution des problèmes au 3e niveau comme la seule possible, est donc responsable de certains dysfonctionnements graves.

L’attitude constructiviste radicale Il existe un moyen radical d’éviter la pratique pédagogique « dangereuse » : il suffit ne pas introduire les signes « – » et « : », c’est-à-dire de ne pas enseigner explicitement la soustraction ni la division. On est sûr alors que l’enfant ne sera pas tenté de choisir la « bonne opération » puisque les opérations ne lui ont pas été présentées ! Bien entendu, il se pourrait que le milieu familial de l’enfant lui enseigne l’existence des signes « – » et « : ». Mais la situation ne s’en trouve guère améliorée parce que l’absence de ces signes à l’école empêche tout enseignement des techniques mentales et écrites du calcul d’une différence a – b et du quotient et du reste de la division a : b. S’il ne peut tirer aucun bénéfice de la reconnaissance de la « bonne opération », l’élève n’a évidemment aucun intérêt à reconnaitre un problème donné en tant que problème de soustraction ou de division. Tant que personne n’a mis à sa disposition les stratégies mentales ou écrites de calcul qui conduisent à la solution numérique dès que la catégorie du problème a été reconnue, il ne lui sert à rien de reconnaitre que tel problème appartient à telle catégorie. En bref, l’enfant ne risque pas de résoudre trop précocement les problèmes de soustraction ou de division au 3e niveau, parce qu’il est dépourvu des outils qui, d’une part, permettent ce niveau de résolution et, d’autre part, rendent ce niveau de résolution utile parce qu’économique. Un point de vue constructiviste radical concernant la soustraction a été influent en France entre 1970 et 1990 : le signe « – » était introduit tardivement (vers la fin du CE1), si bien que durant le CP et le CE1, les élèves pouvaient seulement résoudre les problèmes de soustraction au 1er ou au 2e niveau6.

6. Il semble bien qu’il n’y ait qu’en France et dans quelques cantons suisses que, durant une longue période, le signe « – » n’a pas été introduit la même année que le signe « + ».

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Présentation Ce point de vue est toujours dominant en France, concernant la division. Le signe « : » (« divisé ») est introduit tardivement, de même que le calcul mental d’une division ou encore la technique écrite de cette opération. Dans la plupart des progressions, leur introduction se fait vers le milieu du CM1, alors que dans un pays comme l’Italie, par exemple, elle se fait dès le CE1, deux ans auparavant. Très souvent, en France, les enfants de CE2 et du début du CM1 peuvent seulement résoudre les problèmes de division au 1er et au 2e niveaux. Selon un tel point de vue constructiviste radical, il suffirait, pour que les enfants progressent, qu’ils soient mis en situation de résolution de problèmes : ils résoudraient progressivement les problèmes aux 1er, 2e et enfin 3e niveaux. Nous avons vu que l’attitude traditionnelle repose sur une conception erronée du développement des compétences des enfants (conception selon laquelle l’élève est démuni avant tout enseignement) ; l’attitude constructiviste radicale repose, elle aussi, sur une conception erronée du progrès : il est faux de penser que la pratique de la résolution de problèmes aux 1er et 2e niveaux suffit en elle-même pour accéder au 3e niveau. Sans enseignement, la plupart des enfants plafonneraient au 2e niveau. L’exemple des jeunes Brésiliens très peu scolarisés qui, pour survivre, se livrent au commerce de noix de coco ou de paquets de popcorn dans la rue atteste de ce phénomène : il arrive que ces jeunes gens n’atteignent pas le 3e niveau de résolution pour les problèmes de multiplication, alors que ce sont les plus faciles à résoudre à ce niveau7. L’attitude traditionnelle est critiquable parce qu’en demandant trop tôt aux enfants de choisir la bonne opération arithmétique (en adoptant ce que l’on a appelé une « pratique pédagogique dangereuse »), on crée de l’échec. L’attitude constructiviste radicale verse dans l’excès inverse : le maitre laisse aux élèves le soin de construire les équivalences de gestes mentaux qui sont nécessaires pour s’approprier les opérations arithmétiques, sans soutenir leur progrès par un enseignement. Là encore, il est vraisemblable que le pédagogue crée de l’échec, un « échec par omission » en quelque sorte. Si l’on raisonne en terme de continuités et de ruptures (ou de réorganisations), comme nous l’avons fait au chapitre 1, l’attitude traditionnelle conduit à tenter d’imposer des réorganisations alors qu’aucune attention n’a été portée à ce que les élèves savent déjà faire dans la continuité de l’expérience quotidienne. En revanche, le constructivisme radical ne fait que gérer les continuités ; il ne favorise aucune réorganisation. Les deux attitudes que nous allons examiner maintenant se situent de manière critique par rapport aux précédentes. Leur objectif commun est clair : il s’agit de prendre au sérieux l’aspect dangereux de la pratique pédagogique consistant à demander aux élèves de choisir la bonne opération, tout en ne renonçant pas à favoriser la construction des équivalences entre gestes mentaux qui sont caractéristiques des opérations arithmétiques.

7. S’ils cherchent le prix de 10 objets à 4 cruzeiros l’un, ils calculent 10 fois 4 (4 + 4 + 4 +…) et non 4 fois 10 qui est plus simple (cf. chapitre 1).

Cependant, ces deux nouvelles attitudes s’opposent entre elles. Dans un cas, en effet, le pédagogue enseigne explicitement et collectivement le choix de la bonne opération (ce qui le rapproche du pédagogue traditionnel), mais en rénovant cet enseignement (c’est ce que l’on appellera l’attitude rénovatrice), alors que dans l’autre cas, le pédagogue favorise un apprentissage implicite du choix de la bonne opération (c’est ce que l’on appellera l’attitude réformatrice).

Un exemple d’attitude rénovatrice Cette attitude rénovatrice conduit le pédagogue à porter son attention sur deux aspects de la pédagogie de la résolution de problèmes. 1°) Il s’agit d’abord de rénover la pratique pédagogique « dangereuse » (Faut-il faire une addition ? Une soustraction ? Une multiplication ? Une division ?). Le pédagogue rénovateur continue à orienter l’élève vers le choix de la bonne opération, mais il lui enseigne l’usage de représentations schématiques conventionnelles (schémas fléchés, diagramme de Venn, etc.) pour l’aider à faire le « bon choix ». 2°) Il cherche en outre à ce que les savoirs et savoir-faire mathématiques (et notamment l’utilisation des schémas précédents) résultent de la confrontation avec des situations pratiques et des débats qui sont menés en classe à partir de ces situations8. En ce sens, le pédagogue rénovateur s’inspire autant que possible de l’option constructiviste. En fait, aucun projet rénovateur n’est allé à son terme dans notre pays, mais le projet de la deuxième équipe Ermel9 concernant l’enseignement de la soustraction se situait clairement dans cette perspective, du moins à son origine (avant l’expérimentation). Commençons par commenter ce projet. Ermel10 recommande explicitement d’introduire le signe « – » la même année que le signe « + » (l’année du CP). Ce choix s’oppose à celui qui prévalait depuis 1970 d’un enseignement tardif du signe « – », choix dont nous avons dit qu’il était d’inspiration constructiviste radicale. Mais le projet de l’équipe ne se limitait pas à cette introduction plus précoce du signe « – » ; il s’agissait aussi d’enseigner aux élèves des représentations schématiques conventionnelles, comme l’usage d’une demi-droite numérique ou encore l’usage de schémas fléchés tels que ceux-ci : +b –b a→c a→c

8. De nombreux problèmes d’addition et de soustraction peuvent ainsi être proposés à partir de la situation pratique suivante : une boite opaque contient des jetons et l’on en rajoute ou l’on en prélève. Pour poser un problème de recherche de la valeur d’un ajout, par exemple, il suffit de connaitre le contenu initial de la boite (13 jetons bleus, par exemple), de rajouter une quantité inconnue de jetons d’une autre couleur (rouges par exemple). Un élève vient dénombrer le tout (41 jetons en tout), les autres élèves doivent anticiper combien il y aura de jetons rouges quand on versera le contenu de la boite sur une table. 9. Une première équipe Ermel a publié une première série d’ouvrages destinés aux enseignants de l’école élémentaire entre 1977 et 1982. Une autre équipe publie sous le même sigle une nouvelle série d’ouvrages depuis 1990. 10. Ermel, Apprentissages numériques, cycle des apprentissages fondamentaux, CP, Paris, Hatier, 1991.

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Chapitre 2  •  L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes

Ces schémas sont en effet susceptibles d’aider les élèves dans le choix de la bonne opération arithmétique lorsqu’ils doivent résoudre des problèmes dont l’énoncé parle d’un ajout ou d’un retrait. Montrons-le avec le problème suivant : Éric a 43 billes. Il gagne des billes. Maintenant il a 61 billes. Combien a-t-il gagné de billes ? Du fait que l’énoncé parle d’un ajout, l’élève est amené à sélectionner le premier schéma, puis à relire l’énoncé pour remplir ce schéma. Il interprète alors 43 comme le nombre initial de billes (celui que l’on met à gauche de la flèche) et 61 comme le nombre final de billes (celui que l’on met à droite de la flèche). D’où le schéma : + ? 43 → 61 À l’aide de ce schéma, l’enfant peut se rendre compte que le nombre cherché est plus petit que 61 et qu’il convient donc de calculer 61 – 43 plutôt que 43 + 61 (ce dernier calcul étant, comme nous l’avons vu, l’erreur la plus fréquente). En fait, après l’avoir expérimenté, Ermel11 n’a finalement pas retenu ce type de pratique pédagogique. Parlant de l’usage d’une demi-droite numérique ou de schémas comme les précédents, l’équipe Ermel écrit (p. 99) : « Force est de constater que, même lorsqu’ils les connaissent, les élèves de CE2 ne recourent pas souvent spontanément aux deux derniers types de représentations pour résoudre des problèmes. Nous avons pu en faire le constat, même après des tentatives d’enseignement volontaristes. Et ceux qui les utilisent (parfois parce qu’ils pensent que c’est ce que l’enseignant attend) ne le font pas toujours de manière pertinente. » Aux États-Unis, une recherche de Fuson et divers collègues a été menée à son terme, de sorte que l’on dispose de résultats expérimentaux. Ceux-ci montrent que l’utilisation de schématisations conventionnelles améliore globalement les performances d’élèves de CE1. Cependant, un examen plus attentif des résultats révèle que ce sont les meilleurs qui progressent et que, en revanche, il n’y a aucune certitude d’un progrès chez les autres. Une autre étude12, menée avec des adultes, incite à une prudence encore plus grande. Ces adultes disposent de peu de temps pour choisir la bonne opération face à des énoncés de problèmes d’addition ou de soustraction. Ce manque de temps leur fait commettre des erreurs. Pour pallier celles-ci, l’expérimentateur les entraine à utiliser des schémas conventionnels. Or, dans certaines conditions, cet entrainement s’est traduit par une régression des performances en résolution de problèmes13 ! 11. Ermel, Apprentissages numériques et résolution de problèmes. Cours élémentaire (deuxième année), Paris, Hatier, 1995. 12. Lewis A.B., « Training Students to Represent Arithmetic Word Problems ». Journal of Educational Psychology, 81, 521-531, 1989. 13. Cette recherche concernait des adultes. Cependant les sujets de l’expérience faisaient le même type d’erreurs que les enfants (choix de l’addition dès que l’énoncé parle d’un gain ou dès qu’il contient l’expression « de plus que », par exemple). On peut donc penser que ce type de recherche renseigne quand même sur ce qui se passe avec des élèves de l’école élémentaire.

De tels résultats s’expliquent aisément : ces adultes échouent parce qu’ils pensent pouvoir donner une réponse rapide au problème sans construire une représentation mentale du contenu de l’énoncé, en isolant certains mots-clefs (rappelons qu’ils doivent répondre dans un temps court). Or, plutôt que de les orienter vers une compréhension de l’énoncé qui soit à la fois plus rapide et meilleure, l’entrainement à l’utilisation de schémas conventionnels risque de focaliser leur attention sur des éléments isolés de l’énoncé (pour sélectionner le « bon schéma », pour « bien placer » les nombres, etc.) et de les renforcer ainsi dans l’emploi de la stratégie de recherche de mots-clés. On remarquera que, il y a vingt-cinq ans environ, les enseignants français ont pu observer un phénomène similaire avec leurs élèves. En effet, après la « réforme des mathématiques modernes » en 1970, on a utilisé durant quelques années les diagrammes de Venn (les « patates ») pour aider les enfants à choisir la bonne opération face à un énoncé de problèmes d’addition ou de soustraction. L’impression générale laissée par ce type de pratique pédagogique était bien celle-là : si elle aidait certains enfants à progresser, elle en éloignait d’autres de la réussite. D’une manière générale, le projet rénovateur se trouve aujourd’hui confronté à des difficultés importantes. En effet, il est raisonnable de penser qu’aucune rénovation de la pratique pédagogique « dangereuse » n’empêchera que cette pratique ait un effet contrasté, aidant certains enfants à progresser mais faisant obstacle au progrès chez d’autres. Concernant les problèmes de recherche de la valeur d’un ajout, par exemple, il y a plus de trois ans de décalage développemental entre les premiers enfants qui accèdent au 3e niveau de résolution de ces problèmes et les derniers. En rénovant la pratique pédagogique « dangereuse », on réduit certainement ce décalage pour certains enfants. Mais, à vouloir que tous les élèves accèdent directement, et presque simultanément, au 3e niveau, il est vraisemblable que l’on entrave toujours le progrès de certains. Aussi les pédagogues rénovateurs sont-ils conduits à s’appuyer sur la deuxième dimension de leur projet, la dimension constructiviste. L’équipe Ermel14 fait finalement la recommandation suivante : « Il nous semble raisonnable d’adopter une attitude prudente qui consiste à proposer ces différentes schématisations aux élèves, à les inciter même à les utiliser lorsqu’ils ont à expliquer une procédure à leurs camarades ; mais leur utilisation systématique pour résoudre un problème ne parait pas souhaitable, les élèves restant libres de les mobiliser ou non. » Les auteurs préconisent donc une certaine prudence visà-vis de l’usage des outils qui sont issus de la rénovation elle-même : il leur semble souhaitable que tous les enfants connaissent ces schématisations et sachent les utiliser lors de phases collectives (il s’agit donc toujours d’un enseignement

14. Ermel (1995). Ibid.

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Présentation explicite et simultané du choix de la bonne opération), mais ils recommandent que l’élève, lorsqu’il est confronté seul à un problème arithmétique, soit libre de les utiliser ou non. Une question mérite d’être posée cependant : si, comme certaines recherches le laissent penser, ce genre d’outil ne profite qu’aux meilleurs élèves (et donc, à ceux qui n’en ont peut-être pas besoin), le temps consacré à enseigner les différentes schématisations ne pourrait-il pas être utilisé plus judicieusement ? Ne conviendrait-il pas de substituer à cet enseignement explicite et collectif de la catégorisation à l’aide de schémas conventionnels, un autre enseignement qui favoriserait le progrès de tous les élèves et ne s’opposerait au progrès chez aucun ?

Un exemple d’attitude réformatrice Une telle attitude s’oppose à la précédente du fait qu’elle conduit à un abandon de la pratique pédagogique « dangereuse » qui consiste à enseigner explicitement à l’ensemble des élèves une méthode permettant de choisir la bonne opération. Aucune rénovation de cet enseignement n’est recherchée (d’où l’usage du mot réforme). L’enseignant accepte donc a priori que les réorganisations permettant l’accès au 3e niveau de résolution des problèmes n’aient pas lieu simultanément pour tous les élèves. Si aucune méthode permettant de choisir la bonne opération n’est enseignée, en revanche l’accent est mis sur une pratique pédagogique qui, comme nous le verrons, favorise elle aussi le choix de la bonne opération, mais de manière plus indirecte : l’enseignement du calcul mental. Ainsi, l’apprentissage de la résolution des problèmes au 3e niveau n’est plus explicite : il est implicite et ne s’effectue pas dans le même temps pour tous les enfants. On décrira ici une mise en œuvre de ces idées qui repose sur la distinction de deux types de séances en classe. Dans la première, l’enseignant favorise l’apprentissage de savoir-faire fondamentaux comme le calcul mental ; dans la seconde qui prend la forme Problèmes pour apprendre à chercher (PAC), il s’agit de créer des conditions permettant de gérer l’accès au 3e niveau de résolution des problèmes arithmétiques et de le gérer de façon différenciée selon les enfants. On présente ci-dessous chaque type de séances, avant d’analyser leur relation.

Un premier type de séances : enseigner le calcul mental d’une soustraction et d’une division Un adulte ne calcule pas 104 – 6 comme il calcule 104 – 98. Dans le cas de 104 – 6, il procède par retraits successifs (104 – 4) – 2, c’est-à-dire en « reculant ». Et dans le cas de 104 – 98, il procède par recherche du complément, en « avançant » : « 98 pour aller à 100, il faut 2, et pour aller à 104, 4 de plus, ça fait 6 ». D’une manière générale, on peut donc distinguer « deux grands gestes mentaux » pour le calcul mental d’une soustraction : quand on retire peu, on a intérêt à faire des retraits successifs, à calculer « en reculant », et

quand on retire beaucoup, à procéder par complémentation, c’est-à-dire « en avançant ». Le même raisonnement peut être tenu concernant le calcul mental d’une division. Là encore, un adulte ne calcule pas 1 310 : 3 comme il calcule 168 : 25. Dans le cas de 1 310 : 3, il procède par partages successifs des centaines (13 : 3 ?, 4 et il reste 1, etc.), puis des dizaines, etc. Le quotient s’obtient chiffre par chiffre (dans le cas de 1 310 : 3, le chiffre des centaines est obtenu en premier, puis celui des dizaines, etc.), comme si la division avait été posée. On parlera dans ce cas de l’emploi d’une stratégie de « division-partage ». En revanche, dans le cas de 168 : 25, on se demande plus volontiers « En 168 combien de fois 25 ? », ce qui conduit directement à la solution numérique par encadrement de 168 avec des multiples de 25 (6 fois 25, 150 et 7 fois 25, 175). On parlera dans ce cas de « division-groupement » du fait qu’on se demande combien de groupes de 25 on peut faire avec 168. D’une manière générale, on peut donc distinguer « deux grands gestes mentaux » pour le calcul mental d’une division : quand on divise un grand nombre par un nombre à un chiffre (division par un « petit nombre »), on a intérêt à partager successivement les centaines, dizaines, unités (à mettre en œuvre une « division-partage ») ; et quand on divise un nombre par un autre qui a le même ordre de grandeur (division par un « grand nombre »), à encadrer le premier par des multiples du second, c’est-à-dire à mettre en œuvre une « division-groupement ». Dans le premier type de séances qui est mis en place dans les classes, on enseigne donc les « deux grands gestes mentaux » du calcul d’une soustraction : en avançant ou en reculant15, et les « deux grands gestes mentaux » du calcul d’une division : par partages successifs ou par groupement. Deux questions se posent. Comment enseigne-t-on ces stratégies de calcul mental ? En quoi leur maitrise permet-elle de progresser dans la résolution des problèmes de soustraction ? 1°) La réponse à la première question sera présentée dans le prochain chapitre (il s’agit même du contenu de ce chapitre). Disons seulement ici que le pédagogue réformateur, comme le pédagogue rénovateur, s’efforce de créer des situations d’apprentissage et qu’il favorise le débat entre élèves. Il s’inspire donc de l’attitude constructiviste, mais ce constructivisme n’est pas radical : le pédagogue n’hésite pas à favoriser l’émergence de certains savoir-faire en calcul mental qui, en dehors de sa présence, seraient inaccessibles à la plupart des élèves. Divers résultats expérimentaux montrent, par exemple, que lorsque l’on n’enseigne pas le calcul en avançant d’une soustraction, peu d’enfants inventent ce savoir-faire16.

15. Il existe des variantes de ces gestes. Pour retirer 19, par exemple, je peux retirer 20 puis compenser ce qui a été retiré en trop. Une autre stratégie consiste à se ramener à une addition connue par cœur (100 – 25 = 75 parce que 75 + 25 = 100, par exemple). Il s’agit là d’une stratégie experte tant du point de vue conceptuel (elle témoigne de la maitrise de la relation addition-soustraction) que du point de vue des connaissances sur des nombres particuliers. 16. Pour une revue de ces travaux, voir par exemple : Brissiaud R., Enseignement et développement des représentations numériques chez l’enfant, Thèse de psychologie (nouveau régime), université Paris-VIII, 1995.

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2°) La réponse à la deuxième question sera abordée plus loin dans ce chapitre, après la présentation du second type de séances.

Un second type de séances : les Problèmes pour apprendre à chercher (PAC) Régulièrement, les enfants participent à ce qu’on a appelé des Problèmes pour apprendre à chercher (PAC). Une caractéristique fondamentale de ces activités est qu’elles proposent des problèmes dits de soustraction, de multiplication et de division dès le CP et le CE1, avant que les symboles arithmétiques de ces opérations n’aient été étudiés. De même, dès le CE2, les élèves doivent résoudre dans les PAC des problèmes dits de fractionnement ou de proportionnalité, là encore bien avant que les contenus mathématiques correspondants n’aient été étudiés. Les élèves ne peuvent donc résoudre ces problèmes qu’au 1er ou au 2e niveau, en adoptant une procédure proche de la simulation. Certains font un schéma, mais très différent des schémas conventionnels que nous avons évoqués précédemment. Si le problème traite d’arbres, par exemple, l’enfant dessine des bâtons et raisonne avec ces bâtons comme s’il s’agissait d’arbres. Il y a donc bien schématisation, mais aucune forme n’est imposée a priori pour de tels schémas ; ils constituent une aide éventuelle à la simulation des données de l’énoncé et non un cadre a priori auquel l’enfant doit s’adapter. Dès que les quantités en jeu dans le problème sont importantes, il est fréquent que les enfants structurent les collections en les organisant par 10 et dessinent une « barre de 10 » ou une « boite de Picbille », par exemple, pour représenter 10 arbres. Là encore, on peut parler de schématisation. D’autres élèves résolvent les problèmes dits de division, par exemple, au 2e niveau en exécutant une suite d’additions, de soustractions ou d’encadrements par des multiples. Qu’il y ait schéma ou pas, ces résolutions se font dans la continuité avec l’expérience quotidienne ; elles restent proches d’une simulation de l’énoncé. Lorsque le pédagogue vient d’introduire une opération donnée, la division par exemple, au cours d’une séance du premier type, il se garde d’exiger de tous les élèves qu’ils résolvent les problèmes correspondants au 3e niveau dans les séances de PAC suivantes. Il gère de manière différenciée l’accès au 3e niveau (d’une façon sur laquelle nous reviendrons). Il se garde également de valoriser publiquement les résolutions à ce niveau. En effet, s’il donnait une meilleure note aux élèves qui atteignent ce niveau ou s’il leur témoignait une approbation privilégiée, l’ensemble des élèves chercherait à résoudre les problèmes de cette manière. Ainsi, l’enfant qui résout un problème donné en faisant un schéma (au 1er niveau de procédure) est évalué tout aussi positivement que celui qui mobilise directement la bonne opération arithmétique. Il s’agit de créer les meilleures conditions pour que les élèves qui ont encore besoin de schématiser pour comprendre l’énoncé le fassent. Le pédagogue est particulièrement prudent avec les « problèmes

difficiles » (ceux qui sont révélateurs du niveau conceptuel des enfants), comme la recherche de la valeur d’un ajout ou encore les problèmes de groupement réitéré, parce qu’il est clair que certains enfants ne peuvent pas, pour ces problèmes, atteindre le 3e niveau dès le CE2.

Une diversité aux multiples vertus pédagogiques Une caractéristique essentielle des Problèmes pour apprendre à chercher est donc la diversité : diversité au sein d’un même PAC quant à la nature arithmétique des problèmes proposés (addition, soustraction, etc.), diversité quant à la difficulté des différents problèmes, diversité des modes de résolution possibles, diversité aussi quant à la façon de les énoncer (problèmes en image, énoncé verbal…). Si l’on se place au début du CE2, par exemple, un même PAC pourra comprendre des problèmes faciles d’addition qui sont résolus par tous les enfants au 3e niveau, des problèmes de division qui ne sont résolus au 3e niveau par aucun, et des problèmes de soustraction qui ne le sont que par quelques-uns. Or, pour le pédagogue qui souhaite gérer la continuité de l’apprentissage, il est fondamental que les enfants aient eu, sur une longue période, la possibilité de résoudre des problèmes dits de division, par exemple, aux 1er et 2e niveaux. Il est fondamental qu’ils aient eu cette possibilité longtemps avant qu’ils n’abordent cette opération arithmétique dans le premier type de séances. En effet, être capable de résoudre un problème au 1er ou au 2e niveau implique qu’on a été capable de comprendre le vocabulaire et la syntaxe de l’énoncé17, de se représenter mentalement la situation qui y est décrite, d’utiliser une opération arithmétique élémentaire comme l’addition pour résoudre un problème qui le sera plus tard par une division, etc. Ainsi, lorsque l’enseignant organisera des séances du premier type visant à introduire la division, les élèves n’auront pas tout à apprendre d’un seul coup : ils se seront déjà approprié les expressions langagières permettant de décrire une situation de division, ils auront déjà eu l’occasion de résoudre ce type de problème par une suite d’additions ou de soustractions, etc. On voit que, globalement, lorsque l’on organise un tel environnement pédagogique, le temps pendant lequel les enfants ont la possibilité d’apprendre est un temps long. La continuité des apprentissages est mieux gérée. Il est raisonnable de penser que l’échec sera moindre. Si nous voulions, pour favoriser la continuité de l’apprentissage, proposer aux enfants des problèmes dits de soustraction, de multiplication ou de division avant l’introduction des différents signes opératoires, il est clair que la diversité décrite plus haut s’imposait. 17. Les énoncés de problèmes ont un vocabulaire et une syntaxe spécifiques. On y trouve des locutions langagières comme « des objets à 8 € l’un », « chaque objet vaut 8 € » qui sont très peu utilisées dans le langage quotidien où elles sont même souvent remplacées par une autre, qui est apparemment contradictoire avec elles : « Ces objets, ils valent tous 8 € » ou encore « Tous ces objets valent 8 € ». Il est important que les enfants puissent résoudre des problèmes aux 1er et 2e niveaux sur une longue durée, parce qu’ils s’approprient ainsi la langue des énoncés.

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Présentation Mais cette diversité a une autre conséquence positive : face à un problème donné, les élèves ne peuvent pas savoir a priori s’ils disposent ou non d’un savoir mathématique permettant de le résoudre au 3e niveau. Comme tout est possible, le comportement qui consiste à choisir mécaniquement la dernière opération enseignée, par exemple, ne conduit pas à la réussite. D’une façon plus générale, les enfants ne peuvent pas fonder leurs décisions sur des régularités de la vie de la classe (ce que Brousseau appelle le « contrat didactique »). C’est ainsi qu’ils sont toujours amenés à comprendre les énoncés qui leur sont proposés, à les aborder en se demandant : de quoi ça parle ? En première approche donc, ces PAC fonctionnent comme un milieu où le pédagogue a choisi d’adopter une attitude proche de celle que l’on a qualifiée de « constructiviste radicale » ; il se met « en retrait » : il cherche, d’une part, à favoriser l’abord des énoncés (de quoi ça parle ?), et, d’autre part, à favoriser certaines acquisitions langagières grâce à des reformulations, notamment. Mais l’enseignant a un autre rôle à jouer au cours de ces séances de PAC : il doit repérer, à des moments différents selon les élèves, certains progrès décisifs vers l’accès au 3e niveau, c’est-à-dire vers la construction des équivalences de gestes mentaux qui fondent la soustraction et la division en tant qu’opérations arithmétiques. Il doit donc gérer les ruptures ou les réorganisations que nous avons annoncées au chapitre 1. Comment peut-il repérer de tels progrès ? C’est ce que nous allons voir maintenant, en montrant que certains problèmes constituent des tâches privilégiées pour le faire. Nous examinerons successivement le cas de la soustraction et de la division. Encore une fois, les problèmes en question sont ceux dont nous avons dit qu’ils sont « révélateurs » du niveau conceptuel des enfants : recherche de la valeur d’un ajout pour la soustraction, et problème de groupement réitéré pour la division. Mais ils ont une caractéristique supplémentaire : leurs valeurs numériques ont été choisies pour favoriser la transition d’un geste mental à l’autre qui lui est équivalent. Si, dans ces circonstances privilégiées, l’élève substitue un geste mental à l’autre, le pédagogue peut considérer qu’il s’agit d’un premier pas vers la résolution au 3e niveau.

Des problèmes privilégiés pour susciter et repérer le progrès des élèves : le cas de la soustraction Plaçons-nous dans le cadre d’une classe où l’enseignant a organisé l’environnement didactique qui vient d’être décrit. Il met donc en œuvre deux types de séances. Dans la première, il a enseigné à ses élèves les deux grands gestes mentaux de la soustraction (calcul en avançant et en reculant). Dans la seconde, il leur propose régulièrement des problèmes variés lors de séances de PAC. Supposons qu’au cours d’une séance de PAC le pédagogue propose le problème suivant de recherche de la valeur d’un ajout : Pierre a 6 billes. Il gagne des billes et après il en a 102. Combien a-t-il gagné de billes ?

Ce type de problème est particulièrement intéressant parce que l’élève qui se représente mentalement le contenu de cet énoncé est amené à se représenter l’ajout qui y est décrit (Combien faut-il ajouter à 6 pour avoir 102 ?). En revanche, le même élève, s’il veut obtenir la solution numérique de manière économique, n’a pas intérêt à simuler mentalement cet ajout parce que le chemin est long de 6 pour aller à 102 : il faut parcourir 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14… 102. Le calcul économique est un calcul en reculant, c’est celui de 102 – 6. Les valeurs numériques de cet énoncé de problème (6 et 102) sont choisies de telle sorte qu’elles créent le phénomène suivant : comme toujours, l’énoncé se représente facilement en simulant mentalement l’action qui y est décrite, c’est-à-dire un ajout, mais la solution numérique s’obtient de manière économique en effectuant un retrait. On dira que, dans un tel énoncé, il y a une interaction conflictuelle entre l’économie de la représentation (ajout) et l’économie de la résolution numérique (retrait). Ce type de problème s’oppose au problème suivant, qui est également un problème de recherche de la valeur d’un ajout, mais dont les valeurs numériques sont choisies différemment : Éric a 96 billes. Il gagne des billes et après il en a 102. Combien a-t-il gagné de billes ? Le problème d’Éric, comme le problème de Pierre, se représente de manière économique en simulant un ajout ; mais dans le cas du problème d’Éric, cette simulation conduit sans aucun obstacle à la solution numérique : 96 pour aller à 102, il faut parcourir 97, 98, 99, 100, 101, 102, ce qui fait 6. Dans le cas du problème de Pierre, la longueur du parcours « en avançant » fait obstacle à l’obtention de la solution numérique : elle incite les élèves à un changement de geste mental (passer d’un ajout à un retrait), exprimant ainsi « en acte » l’équivalence de ces deux gestes, la plupart du temps sans même en être conscient18. Ainsi, le problème de Pierre est particulièrement bien adapté pour que l’enfant découvre ou redécouvre19 l’équivalence des gestes mentaux qui fonde la soustraction en tant qu’opération arithmétique : il est équivalent de chercher la valeur d’un ajout et le résultat d’un retrait. Des résultats expérimentaux publiés récemment20 confortent cette analyse. Ayant proposé en fin de CE1 un problème comme celui de Pierre dans des classes dont l’environnement didactique est celui que nous venons de décrire, une moitié des élèves environ ont « redécouvert » l’usage de la soustraction pour résoudre ce type de problème qui parle d’un ajout. Ils ont utilisé une soustraction alors que personne ne 18. G. Vergnaud appelle de telles connaissances implicites des « théorèmes en actes ». 19. L’emploi du terme « redécouvre » est préférable. Nous verrons en effet dans le prochain chapitre que l’enseignement des deux grands gestes mentaux du calcul mental d’une soustraction amène l’enfant à une première découverte de l’équivalence qui fonde la soustraction en tant qu’opération arithmétique. Dans les PAC, il est amené à « réinvestir » cette connaissance. 20. Brissiaud R., « Teaching and Development : Solving “Missing Addend” Problems Using Substraction », in Schneuwly & Brossard (Eds) : « Learning and Development : Contributions from Vygotski », European Journal of Psychology of Education, 9 (4), 343-365, 1994.

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leur avait demandé de « choisir la bonne opération ». Quant aux autres élèves, ils ont presque tous réussi en utilisant des stratégies du 1er ou du 2e niveau. Globalement, la réussite était de 90 %21. Les problèmes comme celui de Pierre, où il y a une interaction conflictuelle entre l’économie de la représentation et l’économie de la résolution numérique, suscitent donc le progrès parce qu’ils incitent l’élève à substituer un geste mental de retrait au geste mental d’ajout. Avec certains élèves, le dialogue pédagogique auparavant « dangereux » devient possible. Comme nous l’avons signalé, les élèves qui procèdent à une telle substitution ne sont pas, le plus souvent, conscients de ce qu’ils viennent de découvrir « en acte ». C’est de la responsabilité de l’enseignant de favoriser l’explicitation de cette découverte : « Ce que Pierre a gagné, c’est ce qu’il possède maintenant : 102, moins ce qu’il avait déjà avant de jouer, 6. On peut faire une soustraction ». C’est ainsi qu’avec ces élèves-là, l’enseignant peut dorénavant se permettre un type de dialogue qu’il ne s’autorisait pas auparavant : plutôt que de les ramener systématiquement à la sémantique de l’énoncé (de quoi ça parle ?), il a un échange avec eux concernant l’opération arithmétique qui permet d’obtenir directement la solution. Il les aide à accéder au 3e niveau de résolution de ce type de problème en mettant à leur disposition des formulations générales : « Ce que Pierre a gagné, c’est ce qu’il possède maintenant moins ce qu’il avait déjà avant de jouer », par exemple, est valable quelles que soient les valeurs numériques du problème. L’enseignant s’appuie sur la découverte que vient de faire l’élève dans des circonstances privilégiées (celles d’un problème où il y a une interaction conflictuelle entre l’économie de la représentation et l’économie de la résolution numérique) pour l’aider à en prendre conscience et à la généraliser. Il s’agit donc d’un moment d’explicitation du fait que la soustraction est la « bonne opération » qui permet de résoudre ce type de problème, mais ce moment d’explicitation n’est pas collectif. L’enseignant ne s’adresse ainsi qu’aux élèves qui ont amorcé les réorganisations qui conduisent au 3e niveau de résolution. Il reste à savoir comment se comporter avec les autres enfants, ceux qui, « spontanément », ne substituent pas un geste mental de retrait à l’ajout qui est décrit dans l’énoncé, même dans des circonstances favorables comme celles du problème : « Pierre a 6 billes. Il gagne des billes et après il en a 102. Combien a-t-il gagné de billes ? » Deux raisons peuvent être avancées pour expliquer que certains enfants ne soient pas sensibles au phénomène de l’interaction conflictuelle entre l’économie de la représentation du problème (l’énoncé décrit un ajout) et l’économie du calcul (la solution numérique se détermine facilement par un 21. Ces résultats contrastent avec ceux qui sont généralement obtenus dans un environnement didactique différent : nous avons vu, au début du chapitre, qu’à ce niveau de la scolarité 50 % des élèves échouent à ce type de problème et que, de façon plus précise, 33 % échouent parce qu’ils choisissent de faire une addition.

retrait) : soit il s’agit d’enfants chez qui la construction d’une représentation du problème est encore pénible (peut-être même cette construction nécessite-t-elle encore qu’ils utilisent du matériel ou qu’ils dessinent), soit il s’agit d’enfants chez qui le principe d’économie du calcul ne peut pas encore fonctionner, parce que leurs compétences en calcul mental sont insuffisantes pour qu’une stratégie de calcul (le calcul « en reculant ») leur apparaisse plus facile qu’une autre (le calcul « en avançant »). Pour certains, en effet, à ce moment de leur scolarité, tout calcul mental est encore difficile. Aussi l’une des deux façons de calculer ne peut-elle pas apparaitre plus facile que l’autre. Que la difficulté rencontrée par un élève soit d’une des deux sortes précédentes ou des deux à la fois, la nature de cette difficulté peut amener le pédagogue à considérer qu’il ne peut influer sur le développement des compétences chez ces élèves que dans une perspective à moyen ou long terme. Il n’est pas exclu, évidemment, qu’ils bénéficient du dialogue que l’enseignant mène avec ceux qui utilisent « spontanément » la soustraction, mais la plus grande prudence s’impose : mieux vaut un élève qui continue à simuler mentalement les actions décrites dans l’énoncé, qu’un autre qui sélectionne une opération arithmétique sur des indices superficiels et ne cherche plus suffisamment à comprendre l’énoncé. À terme, ces enfants ayant progressé dans les deux domaines précédents (construction de la représentation d’un problème de ce type et calcul mental) sont susceptibles eux aussi de résoudre spontanément les problèmes du type « Pierre » à l’aide d’une soustraction. L’analyse précédente montre qu’en insérant dans les PAC des problèmes où il y a une interaction conflictuelle entre l’économie de la représentation et l’économie de la résolution numérique, l’enseignant se donne les moyens pour que les élèves accèdent de façon différenciée à la résolution des problèmes en sélectionnant la « bonne opération arithmétique » (c’est-à-dire au 3e niveau).

Des problèmes privilégiés pour susciter et repérer le progrès des élèves : le cas de la division La même analyse peut être menée concernant les problèmes de division. Ainsi, plaçons-nous dans un environnement pédagogique où, dans un premier type de séance, les élèves se sont approprié les deux grands gestes mentaux de la division (calcul par partages successifs des centaines, dizaines, unités, et calcul en cherchant combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende) et où, dans une seconde sorte de séances (PAC), on leur soumet régulièrement des problèmes variés. On leur propose notamment des problèmes de groupement réitéré qui, contrairement aux problèmes de partage, sont difficiles à reconnaitre en tant que problèmes de division, et sont donc révélateurs du niveau conceptuel des enfants. Mais, comme dans le cas de la soustraction, en choisissant bien les valeurs numériques, on peut favoriser la transition d’un geste mental à l’autre qui lui est équivalent.

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Présentation Considérons ainsi ce problème de groupement réitéré : On a 2 236 stylos et on va former des lots de 3 stylos. Combien de lots peut-on former ? Restera-t-il des stylos ? L’élève qui simule mentalement ce que décrit cet énoncé est amené à se représenter les groupements successifs par 3 (Combien de groupes de 3 puis-je former avec 2 236 unités ? Plus de 100 parce que ça fait 300 stylos. Moins de 1 000 parce que ça fait 3 000 stylos, etc.). Mais cet élève, s’il maitrise les deux grands gestes mentaux de la division, obtiendra la solution numérique (q = 745, r = 1) de manière plus économique en partageant successivement les centaines, dizaines et unités (22 centaines divisées par 3, cela fait 7 centaines et il reste 1 centaine, etc.). Les valeurs numériques de ce problème (2 236 et 3) sont choisies de telle sorte qu’elles créent le phénomène suivant : l’énoncé se représente facilement en simulant mentalement le groupement réitéré qui y est décrit, mais la solution numérique s’obtient de manière économique en effectuant un partage successif des centaines, dizaines et unités. On dira là encore que dans cet énoncé, il y a une interaction conflictuelle entre l’économie de la représentation (groupement) et l’économie de la résolution numérique (partage). Ce type de problème s’oppose au suivant, qui est également un problème de groupement réitéré, mais dont les valeurs numériques sont choisies différemment : On a 2 236 crayons et on va former des lots de 250 crayons. Combien de lots peut-on former ? Restera-t-il des crayons ? Ce deuxième problème, comme le premier, se représente de manière économique en simulant le groupement réitéré, mais ici, la simulation conduit sans aucun obstacle à la solution numérique : 4 fois 250, c’est 1 000, 8 fois 250 c’est 2 000 et il reste 236. Le même geste mental, celui du groupement réitéré, permet à la fois de se représenter l’énoncé et d’obtenir la solution numérique. Ce problème ne permet d’aucune façon de construire l’équivalence de deux gestes mentaux. Le premier problème a des caractéristiques didactiques intéressantes car, comme dans le cas de la soustraction, ce type de problème permet de susciter et de repérer le progrès des enfants vers la résolution des problèmes de division au 3e niveau. Ainsi, supposons que ce problème ait été introduit dans une séance de PAC et envisageons le cas d’un élève qui l’a résolu en utilisant une procédure « de base » (1er ou 2e niveau), c’est-à-dire proche de la simulation du groupement réitéré décrit dans l’énoncé : 100 groupes, ça fait 300 stylos, je suis loin de 2 236 ; 500 groupes, ça fait 1 500 stylos, etc. Le pédagogue, en fin de résolution, peut mener un dialogue avec cet élève pour qu’il prenne du recul avec la situation concrète qui est décrite dans l’énoncé (celle des stylos) et qu’il prenne conscience que, de façon plus générale, il a cherché combien de fois le nombre 3 est contenu dans 2 236. L’élève est ainsi susceptible de reconnaitre qu’il vient de mettre en œuvre l’un des deux gestes mentaux de la division (en 2 236, combien de fois 3 ?) et de s’apercevoir que l’autre geste (le

partage successif des centaines, dizaines et unités) l’aurait conduit beaucoup plus rapidement à la solution numérique (il peut le vérifier en procédant effectivement à ce partage). Nous avons, dans le chapitre 1, montré que l’équivalence de ces deux gestes mentaux fonde la division en tant qu’opération arithmétique. Or, c’est cette équivalence qui est en jeu dans le dialogue précédent : le pédagogue motive l’élève à ne plus systématiquement s’engager dans la simulation mentale des actions décrites dans l’énoncé, à prendre un petit temps de recul pour reconnaitre éventuellement le problème comme « problème de division » et mener ensuite un calcul plus économique. Bien entendu, là encore, un tel dialogue n’est pas possible avec tous les élèves. En particulier, seule une certaine aisance en calcul mental permet de faire fonctionner la notion de « calcul économique ». Parce que certains élèves ont encore besoin de progresser en calcul mental et dans la représentation du contenu d’un énoncé de ce type, leur cheminement sera plus lent. Mais encore une fois, rien ne sert de hâter l’exigence d’une résolution au 3e niveau. L’environnement didactique qui vient d’être décrit est susceptible de permettre à tous de progresser parce que l’enseignant y gère de façon différenciée les réorganisations qui permettent l’accès à la résolution des problèmes au 3e niveau. Ainsi, cette distinction de deux types de séances qui sont pensées de façon articulée permet : 1°) de mieux gérer les continuités avec l’expérience quotidienne parce que les élèves sont amenés à résoudre les problèmes au 1er ou 2e niveau sur une longue durée ; 2°) de favoriser au mieux les réorganisations qui conduisent aux opérations arithmétiques parce que le pédagogue met à la disposition des enfants un outil culturel qui joue vraisemblablement un rôle majeur dans l’accès à ces réorganisations : le calcul mental ; 3°) de gérer de façon différenciée ces réorganisations. Cette distinction de deux types de séances crée un nouveau rapport entre l’enseignement des savoir-faire arithmétiques et l’utilisation de ces savoir-faire pour résoudre des problèmes.

Conclusion Trois points seront successivement abordés dans cette conclusion. On présentera d’abord un résumé de la description des quatre attitudes. On comparera ensuite l’analyse présentée ici à celle que Charnay et Mante ont récemment publiée et qui est déjà très diffusée dans les centres de formation de professeurs des écoles. Enfin, on terminera ce chapitre en revenant sur l’attitude qui a été le plus longuement présentée : l’attitude réformatrice. Nous montrerons que cette attitude réformatrice est « d’inspiration vygotskienne ». C’est, en effet, la théorie de l’articulation entre l’enseignement et le développement de Vygotski qui nous a servi de guide pour élaborer l’environnement didactique présenté ici comme relevant d’une attitude réformatrice.

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Chapitre 2  •  L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes

Les principales idées qui sont à la base de l’attitude réformatrice seront reformulées ici en s’exprimant « comme Vygotski », pour, à la fois, permettre une appréhension synthétique de ces idées et éclairer le lecteur sur leur origine.

Les quatre attitudes (résumé) Enseigner explicitement et collectivement aux élèves à choisir « la bonne opération arithmétique » face à un énoncé de problème est une pratique pédagogique « dangereuse ». Elle est dangereuse parce qu’elle a un effet contrasté, favorisant apparemment le progrès chez certains élèves, mais y faisant obstacle chez d’autres… Quatre attitudes concernant l’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes ont été distinguées dans ce chapitre. Pour deux d’entre elles, la traditionnelle et la rénovatrice, cette pratique pédagogique est maintenue (colonne de gauche des schémas ci-après). Dans les deux autres, à savoir l’attitude constructiviste radicale et l’attitude réformatrice, elle est abandonnée (colonne de droite des schémas). Mais d’autres oppositions permettent de comparer ces différentes attitudes. Ainsi, l’attitude traditionnelle s’oppose à toutes les autres (fig. 1) du fait qu’elle considère l’enfant comme incapable de résoudre un problème donné tant qu’on ne lui a pas enseigné le contenu mathématique correspondant. L'élève est-il considéré comme incapable de résoudre un problème avant tout enseignement des opérations ? oui

ATTITUDE TRADITIONNELLE

non ATTITUDE CONSTRUCTIVISTE RADICALE

Dans les trois autres attitudes, on considère qu’il est de la responsabilité de l’enseignant de mettre à la disposition de l’enfant ces outils culturels. L'enseignant est-il considéré comme jouant un rôle majeur de par les outils culturels qu'il met à la disposition de l'enfant ? non

oui

ATTITUDE TRADITIONNELLE

ATTITUDE CONSTRUCTIVISTE RADICALE

ATTITUDE RÉNOVATRICE

ATTITUDE RÉFORMATRICE

Fig 2 : L’opposition entre l’attitude constructiviste radicale et les autres.

L’attitude rénovatrice et l’attitude réformatrice s’opposent donc aux deux autres (fig. 3) du fait qu’elles tentent de tenir compte à la fois de l’apport nécessaire de l’élève (c’est la dimension constructiviste de ces attitudes) et de l’apport tout aussi nécessaire de l’enseignant (c’est leur dimension culturelle). Elles peuvent être qualifiées de « socioconstructivistes ». Est-il tenu compte à la fois de l'apport nécessaire de l'enseignant et de l'enfant ? ATTITUDE TRADITIONNELLE

ATTITUDE CONSTRUCTIVISTE RADICALE

Insiste sur l'apport de l'enseignant

Insiste sur l'apport de l'enfant

non

oui ATTITUDE RÉNOVATRICE

ATTITUDE RÉFORMATRICE

Fig 3 : Deux approches socioconstructivistes différentes. ATTITUDE RÉNOVATRICE

ATTITUDE RÉFORMATRICE

Fig 1 : L’opposition entre l’attitude traditionnelle et les autres.

L’attitude constructiviste radicale s’oppose aussi à toutes les autres (fig. 2) du fait qu’elle considère qu’il suffirait que les enfants soient mis en situation de résolution de problèmes pour qu’ils progressent vers le niveau le plus expert. Ainsi, il ne serait nullement urgent d’introduire le symbolisme arithmétique (les signes « – », « × », « : ») et les techniques mentales et écrites qui les accompagnent. C’est encore aujourd’hui l’attitude dominante en France concernant la division22.

Mais elles s’opposent de manières différentes (fig. 4) aux attitudes traditionnelle et constructiviste radicale : dans l’attitude rénovatrice, la pratique pédagogique consistant à enseigner explicitement et collectivement le choix de la bonne opération est rénovée, mais maintenue, alors que dans l’attitude réformatrice, cette pratique est abandonnée ; c’est un apprentissage implicite du choix de la bonne opération qui est favorisé, grâce à l’enseignement des deux grands gestes mentaux du calcul d’une soustraction et d’une division. Enseigne-t-on explicitement et collectivement à choisir la bonne opération arithmétique ? oui

22. C’est vraisemblablement une conséquence du choix fait par l’équipe Ermel de retarder l’introduction du signe « : » (« divisé ») au CM1 alors qu’elle a opté pour une introduction du signe « – » la même année que le signe « + ». Dans le cadre de l’analyse proposée ici, ces auteurs ont une attitude constructiviste radicale concernant la division et rénovatrice concernant la soustraction.

non

ATTITUDE TRADITIONNELLE

ATTITUDE CONSTRUCTIVISTE RADICALE

ATTITUDE RÉNOVATRICE

ATTITUDE RÉFORMATRICE

Cette pratique est rénovée

Un apprentissage implicite est favorisé

Fig 4 : L’opposition entre l’attitude rénovatrice et l’attitude réformatrice.

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Présentation

Une comparaison avec le cadre théorique de Charnay et Mante Ces auteurs distinguent trois conceptions de l’apprentissage/enseignement : la conception transmissive (ou de la tête vide), la conception behavioriste et la conception socioconstructiviste. Develay critique23 cette classification du fait que le modèle transmissif ne s’oppose pas au modèle behavioriste ou socioconstructiviste parce que ces modélisations n’empruntent pas aux mêmes registres : pédagogique pour le premier, psychologique pour le deuxième et sociopsychologique pour le troisième. Une telle confusion a une conséquence très dommageable : elle conduit à faire de la conception socioconstructiviste un « fourretout » où tout un chacun aspire à se retrouver, pas tant parce que cette conception conduit à des décisions pédagogiques précises et assumées en tant que telles, mais surtout pour ne pas se retrouver dans le camp des transmissifs ou celui des behavioristes. Qui ne souhaite être socioconstructiviste ? Avons-nous évité un tel piège ? Si ce qu’on a appelé l’« attitude traditionnelle » rappelle le « modèle transmissif », en revanche, trois attitudes pédagogiques d’inspiration constructiviste ont été distinguées : l’attitude constructiviste radicale, l’attitude rénovatrice et l’attitude réformatrice. Nous avons été critiques vis-à-vis de l’attitude constructiviste radicale parce qu’elle néglige le rôle majeur que peut avoir l’enseignant en mettant à la disposition des enfants tel ou tel outil culturel24. L’attitude constructiviste radicale n’est donc pas assez socioconstructiviste. Mais les deux autres attitudes doivent être qualifiées de socioconstructivistes. Rappelons que l’attitude rénovatrice et l’attitude réformatrice se différencient par la réponse qu’elles apportent à la question : « Faut-il favoriser un apprentissage explicite ou implicite de la résolution au 3e niveau des problèmes arithmétiques ? ». Or, ce débat qui les oppose est un vrai débat, qu’il faut prendre au sérieux. Ce que l’on appelle la « science » (qu’il s’agisse de la psychosociologie des apprentissages, de la didactique ou d’autres « sciences de l’éducation ») éclaire ce débat, mais ne permet pas de le trancher car la réponse à la question : « Faut-il favoriser un apprentissage explicite ou implicite de la résolution au 3e niveau ? » ne se joue pas seulement à un niveau théorique ; elle se joue également au niveau des pratiques de classes. Nous en avons décrit certaines qui s’inspirent de l’attitude réformatrice et nous les avons recommandées parce qu’elles nous semblent préférables à celles qui existent aujourd’hui et qui s’inspirent de l’attitude rénovatrice. Mais peut-être existet-il d’autres pratiques rénovatrices peu diffusées aujourd’hui. Ou bien encore, un rénovateur inventera-t-il, dans un avenir proche, de nouvelles pratiques permettant d’enseigner

23. Cette critique figure dans une analyse (par ailleurs élogieuse) de l’ouvrage de Charnay et Mante, publiée dans la rubrique « Livres en bref » du n° 344/345 des Cahiers pédagogiques. 24. Rappelons cependant que c’est celle qui est dominante en France actuellement concernant la division !

explicitement le choix de la bonne opération arithmétique. C’est ainsi que la pédagogie des mathématiques progresse. Nous avons montré ailleurs25 que l’analyse précédente, où l’on part de ce que nous avons appelé une « pratique pédagogique dangereuse », permet de penser d’autres débats que celui qui nous a intéressé ici. Par exemple : faut-il favoriser un apprentissage explicite ou implicite du surcomptage ? Elle permet de penser aussi des débats en didactique de la lecture : faut-il favoriser un apprentissage explicite ou implicite du décodage par fusion de phonèmes ?, par exemple. Tous ces débats sont fondamentaux, au sens où, pour certains d’entre eux, ils structurent la vie pédagogique depuis près de 100 ans. Le cadre d’analyse avancé par Charnay et Mante a l’inconvénient de ne pas souligner qu’il existe plusieurs façons d’être socioconstructiviste (on peut être rénovateur ou bien réformateur), que ces diverses façons se révèlent par les réponses qui sont apportées à certaines questions cruciales qui se posent depuis longtemps, et dont il est raisonnable de penser qu’elles se poseront longtemps encore : apprentissage explicite ou implicite du choix de la bonne opération ? du surcomptage ?, du décodage par fusion de phonèmes ? Il nous semble préférable de souligner la pérennité de ces questions et d’exposer les termes des débats qu’elles engendrent, car ces débats jouent un rôle moteur dans le progrès en didactique.

L’attitude réformatrice décrite ici est d’« inspiration vygotskienne » D’une manière générale, Vygotski26 a cherché à penser le processus d’appropriation des connaissances par l’enfant. La difficulté d’un tel projet réside dans le rôle nécessairement majeur qu’il convient d’accorder à l’enfant (c’est lui qui apprend) alors que ce sont les adultes qui sont les dépositaires privilégiés des connaissances qu’il doit s’approprier. Aussi l’enseignement n’a-t-il pas toujours un rôle bénéfique. Vygotski affirme ainsi que certains enseignements sont susceptibles d’« exercer une influence inverse sur le cours du développement » (Pensée et Langage, p. 276). Selon l’analyse faite ici, l’enseignement explicite et collectif du choix de la « bonne opération » est un exemple de pratique pédagogique susceptible d’« exercer une influence inverse sur le cours du développement ». Mais, dans le même temps, Vygotski avance que « le bon enseignement est celui qui précède et guide le développement ». Plus précisément encore, il distingue les concepts quotidiens et les concepts scientifiques (l’ajout, le retrait, le groupement et le partage sont des concepts quotidiens alors que l’addition et la soustraction, la multiplication et la division sont des concepts scientifiques) et il considère que la

25. « Être formateur : prendre au sérieux certains débats pédagogiques fondamentaux ». Conférence faite au 31e congrès de l’Association nationale des conseillers pédagogiques à Beaune (1996). 26. L’ouvrage de référence est le suivant : Vygotski, L. S., Pensée et langage, Paris, Éditions Sociales (trad. F. Sève), 1934/1985.

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Chapitre 2  •  L’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes

psychogenèse des concepts scientifiques est particulièrement dépendante de l’enseignement. En effet, l’enseignement crée d’emblée les conditions pour que les concepts scientifiques s’organisent en systèmes et ne soient pas, comme les quotidiens, pris dans la gangue de l’expérience. À cet égard, le symbolisme joue un rôle crucial. La locution « a divisé par b » et l’écriture « a : b », par exemple, fournissent un mode général de désignation du partage, comme du groupement. La locution « a divisé par b » peut se reformuler indifféremment : « a partagé en b » ou encore « en a combien de fois b », ce qui favorise l’organisation du partage et du groupement en un système arithmétique. Lorsqu’il décrit les liens entre les deux sortes de concepts, Vygotski affirme que les concepts scientifiques se développent sur la base des concepts quotidiens, mais qu’ils transforment ces derniers « à leur image » (Pensée et langage, p. 311). C’est la même idée que nous avons abordée ici en parlant de « réorganisations ». Pour l’enseignant qui considère que l’enseignement explicite et collectif du choix de la « bonne opération » est « susceptible d’exercer une influence inverse sur le cours du développement », trois questions se posent : Question n° 1 : Quel est ce « bon enseignement » qui précède le développement de la capacité à résoudre les problèmes au 3e niveau, qui anticipe et favorise les réorganisations nécessaires ? Question n° 2 : Comment favoriser ces réorganisations en permettant qu’elles se construisent sur la base de l’expérience quotidienne ? Question n° 3 : Comment reconnaitre si le « bon enseignement » évoqué ci-dessus a produit l’effet qu’on en attend, au sens où le dialogue auparavant « dangereux » est maintenant possible, et même bénéfique, parce qu’anticipateur de progrès futurs ? Vygotski aurait dit : comment reconnaitre que ce « bon enseignement » a créé une « Zone de Proche Développement » ? C’est pour répondre à ces trois questions que nous avons été amenés à distinguer deux types de séances et à gérer, en quelque sorte, deux temporalités. Le temps d’un premier type de séances est un temps collectif où, en collaboration avec l’adulte, l’ensemble des enfants s’approprie certains outils culturels susceptibles, à terme, de favoriser les réorganisations. Le temps d’un second type de séances est un temps plus individualisé : c’est le temps de ces réorganisations elles-mêmes. L’analyse présentée dans les deux premiers chapitres permet de répondre à la question n° 1 : l’enseignement du calcul mental d’une soustraction et d’une division, dans le premier type de séances, est ce « bon enseignement » qui précède et guide les réorganisations qui conduisent aux concepts arithmétiques de soustraction et de division. Nous avons essayé d’analyser de façon détaillée les processus psychologiques qui expliquent que le calcul mental peut avoir un tel rôle bénéfique. Essayons de les décrire en employant le langage de Vygotski. Enseigner aux enfants (dans le premier type de séances) qu’il existe deux grands gestes mentaux pour calculer une soustraction a – b (le calcul en avançant et le calcul en reculant), c’est

prendre comme point de départ une même écriture (a – b) et amener l’enfant à choisir parmi deux gestes mentaux différents. En revanche, dans les séances du second type (les Problèmes pour apprendre à chercher), l’enfant doit résoudre des problèmes de soustraction variés : recherche du résultat d’un retrait (problème facile) et recherche de la valeur d’un ajout (problème difficile). Dans ce cas, c’est la simulation (mentale ou par le dessin) des données des énoncés qui conduit à deux gestes mentaux très différents : un geste mental « en reculant » pour déterminer le résultat d’un retrait, et « en avançant » pour déterminer la valeur d’un ajout. Ces deux gestes mentaux différents sont alors au point de départ et c’est seulement après que l’enfant adopte éventuellement la même écriture a – b pour les deux types de problèmes. On voit que dans le premier type de séances, on part d’une même écriture a – b vers deux gestes mentaux différents alors que dans le second type de séances (PAC), le cheminement se fait de deux gestes mentaux différents vers la même écriture a – b. Il se fait donc en sens inverse. Le cheminement de l’élève dans le second type de séances est ainsi une sorte de « reflet » de ce qu’il a été dans le premier type. En s’exprimant comme Vygotski, on peut dire que, dans les PAC, l’enfant reprend à son propre compte ce qu’il a rencontré initialement, grâce à la coopération de l’adulte, dans les séances du premier type. L’enseignement des deux gestes mentaux du calcul mental de a – b anticipe ainsi sur la reconstruction par l’enfant des équivalences de gestes mentaux qui fondent la soustraction en tant qu’opération arithmétique. C’est le « bon enseignement qui guide le développement ». De même, en enseignant à l’ensemble des enfants, dans le premier type de séances, qu’une même écriture a : b peut conduire à deux gestes mentaux très différents, soit le partage successif des centaines, dizaines, unités, soit l’encadrement par des multiples (le cheminement va alors de l’écriture a : b vers des gestes mentaux différents), on les aide à redécouvrir à titre personnel que des problèmes a priori très différents, comme la recherche des résultats d’un partage et la recherche des résultats d’un groupement réitéré, peuvent être traités par la même opération a : b (le cheminement va alors « en sens inverse », c’est-à-dire des gestes mentaux vers l’écriture). L’enseignement des deux grands gestes mentaux du calcul d’une division aide donc les enfants à s’approprier l’équivalence qui fonde la division en tant qu’opération arithmétique. Il s’agit là encore du « bon enseignement qui guide le développement ». En réponse à la question n° 2 (Comment favoriser les réorganisations en permettant qu’elles se construisent sur la base de l’expérience quotidienne ?), nous avons vu comment la distinction de deux types de séances permet de mieux gérer les continuités avec l’expérience quotidienne parce que les élèves sont amenés à résoudre les problèmes au 1er ou au 2e niveau sur une longue durée. En réponse à la question n° 3 (Comment reconnaitre que le « bon enseignement » évoqué ci-dessus a produit l’effet qu’on en attend… ?), nous avons souligné le rôle crucial des problèmes pour lesquels il y a une interaction conflictuelle

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Présentation entre l’économie de la représentation et l’économie de la résolution numérique. Ils favorisent en effet la substitution d’un geste mental à l’autre qui lui est équivalent. Lorsqu’un pédagogue utilise ces problèmes au sein des PAC, il crée des conditions privilégiées pour que certains élèves procèdent effectivement à cette substitution. De nouvelles possibilités de dialogue entre l’adulte et certains de ces élèves se révèlent ainsi. On peut dire, en s’exprimant comme Vygotski, que l’enseignement du calcul mental a créé, chez ces élèves, une « Zone de Proche Développement ». Cette façon de s’exprimer est évidemment très philosophique, mais nous espérons qu’elle l’est au bon sens du terme, dans la mesure où elle rend compte de processus que nous nous sommes efforcés de décrire le plus finement possible.

Terminons en expliquant pourquoi cette attitude n’est pas qualifiée de « vygotskienne », mais seulement « d’inspiration vygotskienne ». C’est essentiellement parce que le cadre théorique tracé par le psychologue russe au début du xxe siècle est très général et que, plus de cinquante ans après, plusieurs mises en œuvre de ses idées peuvent certainement être avancées. Il existe nécessairement une certaine distance entre les propositions qui ont été faites ici et d’autres qui prétendront tout autant s’inspirer de ses travaux. Il nous semble sain de le souligner. En fait, nous n’avons qu’une seule certitude : la théorie de l’articulation entre l’enseignement et le développement de Vygotski a joué un rôle heuristique majeur dans l’élaboration des propositions théoriques qui viennent d’être décrites.

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Chapitre 3

Enseigner la division euclidienne PLAN DU CHAPITRE • Quotition et partition. • Introduire le signe « : » tôt dans l’année de CM1.

Pour enseigner le calcul réfléchi d’une division, il faut disposer du signe « : ». Quelle écriture pour désigner une division ?

•  La progression en calcul mental.

Les quatre sortes de problèmes qui jalonnent la progression. Quel geste mental enseigner en premier, ou encore quelle situation d’introduction de l’écriture a : b ? Apprendre que la division permet aussi de résoudre des problèmes de partition. Apprendre à mettre en œuvre le geste mental de la partition. Une technique où l’on partage successivement les centaines, dizaines, etc. Une technique écrite au service du calcul mental. En grande partie, c’est dans les PAC que les enfants construisent leurs compétences.

• La technique écrite de la division par un nombre à plusieurs chiffres.

La technique écrite au service de la coordination des deux gestes mentaux de la division. Les divisions du type 236 : 38 ? Quels choix pour apprendre à coordonner les deux gestes mentaux au sein de la technique ?

• Conclusion : une comparaison avec les progressions antérieures.

Dans les chapitres précédents, nous avons montré qu’il existe deux « grands gestes mentaux » du calcul d’une division euclidienne : le premier relève d’une « division-partage » (le calcul se fait par partages successifs des centaines, dizaines et unités du dividende) et le second d’une « division-groupement » (il s’agit de chercher : « En a, combien de fois b ? »). Dans ce chapitre, nous commencerons par présenter les notions de « division-partition » et de « division-quotition » qui généralisent celles de « division-partage » et de « division-­groupement ». Nous avons également montré que l’enseignement des deux « grands gestes mentaux » du calcul d’une division favorise le progrès des enfants vers la résolution au 3e niveau des problèmes de division. Les savoir-faire en calcul mental ne doivent donc pas être considérés comme des connaissances « optionnelles », dont on se réjouit que l’enfant les possède, quand c’est le cas, mais qui n’auraient aucun caractère d’urgence. De notre point de vue, il s’agit bien au contraire de savoir-faire fondamentaux, dont l’appropriation par l’enfant conditionne ses progrès futurs. Au chapitre 2, nous avons présenté les principales caractéristiques d’une conception « réformatrice » de l’articulation entre le calcul et la résolution de problèmes. Sa mise en œuvre repose sur la distinction de deux types de séances : d’une part, des séances où l’on favorise l’appropriation par l’enfant de savoir-faire fondamentaux comme le calcul mental d’une division, et, d’autre part, des séances de résolution de problèmes ou PAC (Problèmes pour apprendre à chercher). Dans les PAC, les élèves sont confrontés à la résolution de problèmes de division dès le début de l’année, c’est-à-dire avant d’avoir étudié cette opération arithmétique dans le premier type de séance. Les élèves qui ont utilisé J’apprends les maths au CE2 se sont déjà exercés au calcul mental d’une division, les autres peut-être pas, mais dans tous les cas les élèves doivent avoir la possibilité de résoudre les problèmes de division qu’on leur propose tôt dans l’année, de façon informelle, en utilisant les opérations qu’ils maitrisent déjà : addition, soustraction, multiplication. L’enseignement des deux grands gestes mentaux de la division se situe évidemment dans le premier type de séance ; un horaire important lui est même consacré. Mais une question est restée en suspens : comment penser cet enseignement du calcul mental d’une division ? Le chapitre 3 est, pour l’essentiel, consacré à cette question. Cependant, le calcul mental d’une division n’est possible que dans les cas simples. Quand la division est plus complexe (9 837 : 23 ?, par exemple), nous défendrons l’idée que les élèves doivent disposer d’une technique écrite pour les calculer et nous présenterons une progression permettant l’enseignement d’une telle technique. Nous conclurons enfin par une comparaison avec les progressions antérieures.

Quotition et partition Nous avons jusqu’ici distingué deux sortes de problèmes et deux sortes de gestes mentaux correspondant à la division euclidienne : la « division-partage » et la « division-groupement ».

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Présentation Or, considérons ce problème : « 12 objets valent 276 €. Quel est le prix d’un objet ? », ou encore celui-là : « Quand on met bout à bout 12 baguettes identiques, la longueur totale est de 276 cm. Quelle est la longueur d’une baguette ? » Il ne s’agit pas à proprement parler de problèmes de partage et pourtant le premier peut se résoudre en s’imaginant le partage de 276 pièces de 1 € entre les 12 objets qu’elles permettent d’acheter, et le second en s’imaginant le partage d’une baguette de 276 cm de longueur en 12 morceaux identiques. Ces problèmes ne sont pas des problèmes de partage, mais ils en sont proches. Ce sont des problèmes où l’on cherche la valeur d’une unité quand on a la valeur d’une totalité. Ils forment, avec ceux où l’on cherche la valeur d’une part, la catégorie plus générale des problèmes de partition. De même, considérons ces problèmes : « Des objets valent 23 € l’unité. J’en achète pour 276 €. Combien en ai-je acheté ? », et « Des baguettes identiques mesurent chacune 23 cm de longueur. On en juxtapose jusqu’à former une longueur totale de 276 cm. Combien en a-t-on juxtaposées ? » Le premier problème n’est pas à proprement parler un problème de groupement et pourtant on peut le résoudre en s’imaginant en train de former des groupes de 23 pièces de 1 € jusqu’à ce que la valeur totale soit de 276 €. Le même raisonnement peut être tenu avec le second problème. Il ne s’agit pas de problèmes de groupement, mais ils en sont proches : on parlera de problèmes de quotition. Les problèmes de quotition sont non seulement ceux où l’on cherche combien de groupes de b objets on peut former avec a objets, mais plus généralement tous ceux qu’on peut reformuler ainsi : en a, combien de fois b ? Les notions de partition et de quotition sont plus générales que celles de partage et de groupement. Leur introduction permet de rendre compte de la résolution d’un plus grand nombre de problèmes. Alors qu’au CE2 nous parlions de « division-partage » et de « division-groupement », nous parlerons désormais de « division-partition » et de « division-quotition ».

Introduire le signe « : » tôt dans l’année de CM1 Ce choix ne va pas de soi car de nombreux pédagogues considèrent que durant la majeure partie du CM1, il suffit de procéder à une première approche de la division. Longtemps dans l’année, le seul travail que ces pédagogues proposent à leurs élèves est celui qu’on trouve ici dans les PAC ; il consiste en la résolution informelle de problèmes. Ces enseignants n’introduisent pas le signe « : », les élèves doivent seulement résoudre des problèmes de division en utilisant les opérations qu’ils maitrisent bien : addition, soustraction et multiplication. En revanche, nous allons montrer que le pédagogue réformateur d’inspiration vygotskienne (cf. chapitre 2) qui veut enseigner les deux grands gestes du calcul mental d’une division doit nécessairement introduire le signe « : » tôt dans l’année de CM1.

Rappelons d’abord qu’enseigner les deux grands gestes mentaux du calcul mental d’une division, c’est amener l’élève, lorsqu’il est confronté à un calcul qui lui a été posé sous la forme générale « a divisé par b », à choisir lui-même le geste mental qui est adapté. C’est pourquoi on peut parler du calcul réfléchi ou encore du calcul pensé d’une division. S’il s’agit de calculer 171 divisé par 25, par exemple, le geste mental le plus approprié consiste à se demander combien de fois 171 contient 25 (4 fois 25 égale 100, 6 fois 25 égale 150, donc q = 6 et r = 21). Il s’agit donc d’une « division-quotition » où l’on situe 171 parmi les multiples de 25. Plus généralement, lorsque les deux nombres ont le même ordre de grandeur (quand le diviseur est un « grand nombre » ou encore quand le quotient a 1 chiffre), c’est la division-quotition qui conduit le plus facilement à la solution numérique. En revanche, s’il s’agit de calculer 587 divisé par 3, le geste mental le plus approprié est celui qui consiste à partager les 5 centaines en 3, puis les 28 dizaines restantes en 3, etc. Le calcul se déroule comme si l’on « posait » la division dans sa tête : 5 centaines partagées entre 3 personnes, ça fait 1 centaine chacun et il reste 2 centaines, c’est-à-dire 20 dizaines. Avec les 8 dizaines de 587 (« j’abaisse le 8 »), cela fait 28 dizaines à partager entre 3 personnes… On obtient finalement le quotient q = 195 et le reste r = 2. Plus généralement, quand on divise par un « petit nombre » (par un nombre à 1 chiffre), c’est la division-partition qui conduit le plus facilement à la solution numérique.

Pour enseigner le calcul réfléchi d’une division, il faut disposer du signe « : » Si le pédagogue ne dispose pas du signe « : » et de la locution « a divisé par b » qui l’accompagne, il est obligé de poser le calcul d’une division en « racontant une histoire ». Soit : « On partage équitablement a objets entre b personnes, etc. ». Soit : « On dispose de a objets et on les groupe par b, etc. ». Or, nous allons voir qu’aucune de ces façons de contextualiser le calcul n’est satisfaisante parce que aucune ne permet d’être sûr que l’élève sait faire du calcul réfléchi. S’il s’agit de la division de 587 par 3, par exemple, faire du calcul réfléchi c’est adopter la division-partition parce qu’elle conduit au calcul le plus simple. Or, si le pédagogue contextualise ce calcul en disant « On partage équitablement 587 objets entre 3 personnes », beaucoup de ses élèves choisissent une division-partition parce qu’ils simulent mentalement l’action décrite dans l’énoncé. Ce n’est donc pas parce que le partage conduit au calcul le plus économique qu’ils le sélectionnent en tant que « bon geste mental ». Ils ne font pas du calcul réfléchi. L’autre possibilité est que le pédagogue contextualise le calcul ainsi : « On a 587 objets et on fait des groupes de 3 ». Cependant, la sémantique du groupement ainsi retenue risque d’entrainer les élèves dans une simulation mentale de ce groupement et de faire ainsi obstacle au choix de la division-partition. Des élèves qui auraient réussi avec un vocabulaire général échouent dans ce cas parce qu’on leur a tendu une sorte de piège !

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Chapitre 3  •  Enseigner la division euclidienne

L’analyse précédente souligne l’intérêt d’un vocabulaire général : comme il ne s’identifie ni au vocabulaire du partage, ni à celui du groupement, il crée un cadre formel qui, à terme, va permettre que l’élève construise le concept scientifique de division à partir des concepts quotidiens de partage et de groupement. Le pédagogue qui partage l’analyse vygotskienne de l’appropriation du concept arithmétique de division que nous avons proposée, se doit d’introduire, le plus tôt possible, un vocabulaire général et une écriture pour la division. Sans écriture générale, pas de « bon enseignement qui précède, qui guide le développement ». Mais une question se pose : quelle écriture doit-on r­ etenir ?

Quelle écriture pour désigner une division ? La difficulté provient du fait que le résultat d’une division euclidienne n’est pas composé d’un mais de deux nombres : le quotient et le reste. Avant 19801, de nombreux pédagogues adoptaient les deux points superposés (« : ») et écrivaient sans état d’âme : 35 : 8 = 4 (reste 3). Les réformateurs de 1980 ont critiqué ce choix car le signe « = » ne s’emploie que lorsqu’il y a la même quantité de part et d’autre de ce signe. L’égalité 35 : 8 = 4 (reste 3) est tout à fait incorrecte. Son emploi habituerait les élèves à un usage non mathématique du signe « = ». Au niveau du collège, ils risqueraient d’être en difficulté dans l’apprentissage de l’algèbre, parce qu’il est très important, à ce moment de la scolarité, d’avoir une bonne compréhension du signe « = ». D’autres pédagogues utilisent eux aussi les deux points superposés (« : »), mais seulement dans le cas de la division exacte, lorsque le reste est nul. Il est en effet parfaitement correct d’écrire que 27 : 3 = 9. Mais du coup, ces pédagogues sont démunis pour écrire une égalité dès que le reste est différent de zéro. Or, nous venons de le voir, l’absence d’écriture entraine l’absence d’un enseignement du calcul réfléchi d’une division, et l’absence d’un tel enseignement pénalise le progrès en résolution de problèmes. Que faire ? Nous proposons de remplacer l’usage du signe « = » par celui du point d’interrogation en questionnant les élèves sous la forme : 147 : 25 ? Les élèves répondent en écrivant les deux nombres solutions (q et r) et l’égalité qui relie le dividende, le diviseur, le quotient et le reste : « q = 5, r = 22 car 147 = (25 × 5) + 22 ». Pour que les élèves s’approprient ce format de réponse, les premières interrogations prennent ainsi la forme suivante : q = … 80 + 25 ? car 80 = (25 × …) + … r = …

En toute rigueur, il faudrait préciser que le reste trouvé est inférieur à 25, mais la nécessité d’un reste inférieur au diviseur est intégrée à la définition de l’opération dès son introduction.

La progression en calcul mental Les questions auxquelles il faut répondre pour élaborer une progression sont nombreuses : Quel sens faut-il donner au signe « : » lors de son introduction : le partage (partition) ou le groupement (quotition) ? Si l’on a choisi l’un de ces sens, comment faire pour que la même écriture (a : b ?) acquière l’autre sens ? Ce qui peut se formuler aussi de la manière suivante : comment faire pour que la même écriture a : b ? conduise les enfants à deux gestes mentaux très différents selon les valeurs numériques de a et de b ? Le concept central que nous utiliserons pour penser une progression est celui de conflit entre l’économie de la représentation et l’économie du calcul. L’utilisation de ce concept amène à distinguer quatre sortes de problèmes qu’il va nous falloir ordonner parce qu’ils constitueront autant de jalons sur le parcours des enfants.

Les quatre sortes de problèmes qui jalonnent la progression Ces problèmes sont obtenus en croisant deux facteurs : – La sémantique de l’énoncé qui détermine l’économie de la représentation : l’énoncé décrit-il une situation de groupement réitéré (quotition) ou de partage équitable (partition) ? – La taille relative des nombres qui détermine l’économie du calcul : les deux nombres de l’énoncé ont-ils le même ordre de grandeur (le quotient aura 1 chiffre) ou bien s’agit-il d’un « grand nombre » et d’un nombre à 1 chiffre ? Les deux facteurs qui déterminent l’économie de la représentation et du calcul Premier facteur : la sémantique de l’énoncé On dispose de a objets et on fait des groupes de b objets. Combien de groupes peut-on former ?     Représentation économique : quotition On partage équitablement a objets entre b personnes Combien d’objets chacune aura-t-elle ?     Représentation économique : partition Second facteur : les valeurs numériques a = 171 et b = 25 171 : 25 ?     Calcul économique : quotition a = 587 et b = 3 587 : 3 ?     Calcul économique : partition

1. 1980 est une date charnière dans la pédagogie de la division à l’école élémentaire. C’est vers cette date en effet que la première équipe Ermel diffuse largement ce qu’on a souvent appelé « la nouvelle division » (voir la conclusion de ce chapitre).

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Présentation Les 4 énoncés obtenus en croisant ces deux facteurs sont rapportés ci-après. Quatre problèmes qui jalonnent la progression Problème A On dispose de 171 objets et on fait des groupes de 25. Combien de groupes peut-on former ? Représentation économique : quotition Calcul économique : quotition Problème B On partage équitablement 171 objets entre 25 personnes. Combien d’objets chacune aura-t-elle ? Représentation économique : partition Calcul économique : quotition Problème C On partage équitablement 587 objets entre 3 personnes. Combien d’objets chacune aura-t-elle ? Représentation économique : partition Calcul économique : partition Problème D On dispose de 587 objets et on fait des groupes de 3. Combien de groupes peut-on former ? Représentation économique : quotition Calcul économique : partition Dans les problèmes B et D, il y a donc un conflit entre l’économie de la représentation et l’économie du calcul, au sens où le geste mental qui conduit à une représentation économique est différent de celui qui conduit à un calcul économique. Ces problèmes favorisent la substitution d’un geste mental à l’autre qui lui est équivalent. Ils joueront donc un rôle important dans la progression qui va être présentée. Dans les problèmes A et C, on peut parler au contraire de concordance entre l’économie de la représentation et l’économie du calcul, au sens où le geste mental qui conduit à une représentation économique est le même que celui qui conduit à un calcul économique. Montrons que ces problèmes de type A ou C sont de bons candidats pour servir d’introduction au signe « : ». L’enfant qui résout les problèmes A et C peut se représenter la situation décrite dans l’énoncé et déterminer la solution numérique avec le même geste mental : la quotition pour le problème A, la partition pour le C. Supposons qu’un enseignant fasse résoudre l’un de ces problèmes à ses élèves, en leur annonçant qu’on appelle division le geste mental correspondant. Leur compréhension sera meilleure que s’ils avaient été confrontés au problème B ou D, où ce sont deux gestes mentaux différents qui permettent de se représenter la situation et de déterminer la solution numérique. Avec les énoncés B ou D, le message de l’enseignant aurait été plus ambigu. Une question subsiste : faut-il choisir le problème A ou le problème C ? Quel doit être le sens premier du mot « diviser » : la quotition ou la partition ?

Quel geste mental enseigner en premier, ou encore quelle situation d’introduction de l’écriture a : b ? Comme nous l’avons remarqué au chapitre 1, avant que la division ne soit introduite en classe, la plupart des élèves de CE2 savent déjà qu’il existe une quatrième opération arithmétique qui s’appelle ainsi, et ils sont nombreux à savoir plus précisément que cette opération sert à résoudre des problèmes de partage (a partagé en b parts égales). C’est vraisemblablement ce qui explique que les problèmes de partage, quels que soient les choix didactiques des pédagogues, soient bien reconnus comme problèmes de division, qu’ils soient, en tout cas, mieux reconnus que les problèmes de quotition (en a combien de fois b ?). Bien que cela puisse paraitre paradoxal, cela nous a conduits à choisir un problème de groupement réitéré comme situation d’introduction de l’écriture a : b ? au CM1. En effet, l’année précédente, en CE2, l’introduction de la division était un évènement. Lorsqu’on leur annonce qu’on va étudier la division, les élèves de ce niveau ne dissimulent généralement pas leur joie : enfin, ils vont apprendre cette quatrième opération ! Au CM1, la leçon où l’on revoit pour la première fois la division reste un évènement : cette opération est la dernière rencontrée, celle qu’on maitrise moins bien, elle garde un caractère de nouveauté. Cette nouveauté crée une sorte de « prime à l’apprentissage » pour la situation qui est choisie comme situation d’introduction à un niveau donné. L’apprentissage, en effet, n’a pas seulement une dimension cognitive ; en cas d’engagement affectif fort, l’apprentissage est meilleur. Comme il n’y a aucune crainte à avoir sur le fait qu’à terme les élèves reconnaitront les problèmes de partage en tant que problèmes de division, il nous a semblé judicieux de réserver cette « prime à l’apprentissage » aux problèmes de quotition : s’ils servent comme situation d’introduction de la division, ils seront plus tard mieux reconnus comme étant des problèmes de division. La situation choisie est donc un problème du type A. En fait, il s’agit d’un problème de géométrie : on sait qu’un segment mesure 171 mm et on se demande combien de fois la longueur d’un autre segment de 25 mm est contenue dans celle du premier (« En 171, combien de fois 25 ? »). La leçon correspondante inaugure la 2e période du livre de l’élève, sq 36.

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CALCUL MENTAL 1. Calculs proposés par écrit Multiplications par 11 et 12 (idem sq 32). 2. Soustractions (idem sq 23).

La division-quotition (1)

Chapitre 3 • Enseigner la division euclidienne

Je découvre 1

Cahier d’activités page 9

leur quotient est à 1 chiffre ou encore que les deux nombres de la division ont le même ordre de grandeur ; 2°) que les multiples du diviseur sont connus par cœur ou presque connus par cœur4. Dans tous ces cas, c’est la division-quotition (en a combien de fois b ?) qui conduit à un calcul simple. À ce moment de la progression, les enfants se sont ainsi approprié l’un des deux « grands gestes mentaux » du calcul mental de la division, celui de la quotition.

2 Pour savoir combien de fois la longueur l est contenue dans la longueur L, Mathilde et Mathieu ont calculé la division de 171 par 25 (171 : 25 ?).

l

L

On peut résoudre ce problème sans compas et écrire…

Diviser 171 par 25, c’est chercher combien de fois il y a 25 dans 171.

171 : 25 ?

J’ai

ap

pri

q = 6 r = 21

car 171 = (25 × 6) + 21

s

Diviser 171 par 25 (171 : 25 ?) c’est chercher deux nombres :

Apprendre que la division permet aussi de résoudre des problèmes de partition

• combien de fois il y a 25 dans 171, ce nombre s’appelle le quotient (q) ; • le reste (r). 171 : 25 ?

q = 6 r = 21

c’est le nombre de fois

car 171 = (25 × 6) + 21 c’est le reste

Attention : Dans une division par 25, le reste est obligatoirement inférieur à 25. Dans une division par 50, le reste est obligatoirement inférieur à 50. Dans une division par 100, le reste est obligatoirement inférieur à 100, etc.

Pour comprendre le choix de ce problème de géométrie, il convient tout Problèmes d’abord de préciser que les élèves, avant cette leçon, ont été de nombreuses fois confrontés au même pro3. 342 sportifs parisiens veulent aller à Rome 4 1. Combien de bouquets de 25 fleurs peut-on former avec 208 fleurs ? par autocar pour une compétition. blème, mais sous une forme purement géométrique, alors Chaque autocar ne peut transporter Restera-t-il des fleurs ? que 50 personnes. 2. Combien de paquets de 5 brioches que les segments étaient donnés uniquement par? leurs tracés, Combien d’autocars faut-il peut-on former avec 31 brioches ? sans aucune mesure. Ils résolvaient ce type de problèmes avec 58 le compas, en reportant la longueur du « petit segment » sur celle du grand autant de fois que possible. La réponse était donnée sous la forme d’un nombre (le « nombre de fois ») et d’un petit segment (le reste). En résolvant ce type de problèmes de manière purement géométrique, les élèves ont eu la possibilité de s’approprier ce qu’on pourrait appeler la « structure » du geste correspondant à la division-quotition2, et notamment le fait que le cumul de « petits segments » s’arrête juste avant qu’on ne dépasse (dans la division, on cherche le plus grand multiple du diviseur qui soit contenu dans le dividende). Ces activités géométriques préalables ont une autre conséquence importante : la situation proposée sq. 49 est une situation d’anticipation. Il s’agit de raisonner sur des nombres pour prévoir le résultat du procédé géométrique. Les élèves comprennent facilement cette situation parce que, longtemps, ils ont été conduits à mener la résolution géométrique à son terme. De plus, lorsque le « nombre de fois » et la mesure du reste ont été trouvés, le procédé géométrique permet un contrôle des calculs. C’est donc de la confrontation avec une situation pratique et des débats qui sont menés en classe à partir de cette situation qu’émerge le calcul mental des divisions du type 163 : 25 ?3. Plus généralement, les élèves apprennent à calculer ainsi les divisions du type 201 : 25 ?, 64 : 10 ?, 218 : 50 ?, 43 : 6 ?, 27 : 4 ?, etc. Toutes ces divisions ont en commun : 1°) que

Avant d’apprendre l’autre « grand geste mental » de la division (la division par partage successif des centaines, dizaines et unités), les enfants doivent d’abord apprendre que le même symbolisme a : b ?, dont ils savent qu’il permet de résoudre les problèmes de quotition où l’on cherche « en a, combien de fois b ? », permet aussi de résoudre des problèmes de partition, où l’on partage a en b parts égales. Mais comment passer de l’un à l’autre ? Il s’agit qu’ils prennent conscience, localement au moins, de l’équivalence de ces deux gestes mentaux. Le lecteur ne sera pas étonné qu’on utilise à cet effet un problème dans lequel il y a un conflit entre l’économie de la représentation et l’économie du calcul, en l’occurrence un problème du type B : On dispose de 213 objets et on les partage équitablement entre 25 personnes… Ce problème se représente de manière économique en simulant mentalement le partage, mais c’est le groupement par 25 qui conduit facilement à la solution numérique. L’idée qui guide le pédagogue est la suivante : si un enfant confronté à ce problème remplace le geste mental du partage par celui du groupement et prend conscience qu’il vient ainsi de faire une division, il mettra alors en relation les notions de partage et de division. Supposons que le maitre dispose de 213 objets dans une boite opaque (213 jetons dont on aura pu vérifier le nombre en formant des paquets de 10, avant de défaire ces paquets pour mettre les jetons en vrac dans la boite). Il sélectionne 25 élèves entre lesquels les 213 jetons vont être partagés équitablement. Ces 25 élèves restent assis alors que les autres se lèvent. Les élèves debout distribuent 1 jeton à chacun des 25 élèves assis. Combien a-t-on enlevé de jetons de la boite ? Comment peut-on continuer ? Il faut prélever encore 25 jetons pour en donner un autre à chacun des élèves assis et puis encore un autre… Mais on ne le fait pas : il s’agit d’anticiper les résultats de la distribution (nombre d’objets par enfant et nombre d’objets restant dans la boite).

2. Les psychologues, à la suite de Piaget, parlent du « schème ». 3. Ce type de situation pédagogique, où l’élève est conduit à anticiper par le calcul un résultat qu’il sait obtenir par une résolution pratique, est caractéristique des approches constructivistes de l’apprentissage. Rappelons que dans le chapitre 2 nous avons distingué trois sortes d’approches constructivistes (qui s’opposent toutes à l’approche traditionnelle) : l’approche constructiviste radicale, l’approche rénovatrice et l’approche réformatrice d’inspiration vygotskienne qui est la nôtre.

4. Une présentation exhaustive de la progression concernant la division exigerait évidemment qu’on présente, dans ses grandes lignes au moins, la progression concernant les multiples. Notons seulement qu’à ce moment de l’année, les élèves connaissent « par cœur » les douze premiers multiples de 25, qu’ils connaissent tout aussi bien les multiples de 10 et les tables de multiplication.

3 Calcule ces divisions. 79 : 25 ? performant68 : 10 ? Je deviens

La sq 36, où est introduite la division. 19 : 6 ? 226 : 250 ?

185 : 25 ? 275 : 25 ? 318 : 25 ?

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129 : 10 ? 240 : 10 ? 294 : 10 ?

1 064 : 250 ? 1 507 : 250 ? 1 999 : 250 ?

28 : 6 ? 2 : 6? 34 : 6 ?

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Présentation De nombreux enfants trouvent les bonnes valeurs numériques grâce à une simulation mentale de la distribution : à chaque fois qu’on prend 25 objets dans la boite, les élèves assis en reçoivent 1, et avec 213 objets, on peut en prélever 8 fois 25. Il reste alors 13 objets dans la boite. En revanche, tous les enfants qui auront trouvé la bonne solution numérique n’auront pas pris conscience qu’ils viennent de chercher « en 213, combien de fois 25 ? » et qu’ils viennent donc de faire la division correspondante (la réussite par l’action précède la prise de conscience des moyens utilisés). C’est le rôle du débat en classe de favoriser une telle prise de conscience. La situation-problème précédente est décrite de façon plus détaillée dans ce guide pédagogique (sq 45) : c’est l’activité préliminaire à la situation-problème suivante, qu’on trouve p. 70 du livre de l’élève, et où: un chef de brigands partage La division-partition situation partage équitablement 318de pièces d’or entre ses 25 hommes.

45

combien de fois 3 ? Monsieur Cubus, qui est un personnage associé à l’usage d’un matériel de numération classique5, lui rappelle qu’il est en train de faire un partage et qu’il serait plus économique de partager successivement les centaines, Vers la technique écrite la division dizaines etdeunités.

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CALCUL MENTAL Tables de 3 et de 5, puis divisions par 3 et par 5 (q ≤ 10) et quelques cas de division par 2 (q ≤ 10). Voir p. 12.

Je découvre 1

584 : 3 ? Le chef des brigands veut partager 584 pièces d’or en 3 parts égales. Je cherche : « En 584, combien de fois 3 ? ». Oh ! Ça va être long !

Il ferait mieux de partager successivement les centaines, les dizaines et les unités. Regarde…

a Partage des centaines : Monsieur Cubus a préparé 5 centaines, 8 dizaines et 4 unités. Il partage d’abord les centaines.

CALCUL MENTAL 1. Divisions par 250, 100, 50 (voir p. 12). 2. Soustractions (idem sq 23).

5 centaines divisées par 3, c’est 1 centaine et il reste 2 centaines.

Je découvre 1 Un chef de brigands a commencé à partager équitablement 318 pièces d’or entre ses 25 hommes.

C D U

C D U

C D U

1 ................

1 .................

1 .................

Quelle sera la part de chacun ? Restera-t-il des pièces ? J’ai déjà donné 1 pièce à chacun. En tout, je viens de distribuer 25 pièces…

b Partage des dizaines : Monsieur Cubus a séparé les dizaines qui étaient dans les 2 centaines restantes. Il voit ainsi toutes les dizaines qu’il faut partager. Il effectue ce partage. 28 dizaines divisées par 3, c’est 9 dizaines et il reste 1 dizaine.

C D U

C D U

C D U

1 9 .........

1 9 ..........

1 9..........

Écris la division qu’aurait pu faire le chef des brigands et calcule-la.

J’ai

ap

pri

s

Quand je partage équitablement 318 objets entre 25 personnes, pour donner 1 objet à chaque personne, il faut 25 objets. Pour donner encore 1 objet à chaque personne, il faut encore 25 objets, etc. Pour partager équitablement 318 objets entre 25 personnes, je cherche combien de fois il y a 25 dans 318, je peux calculer la division 318 : 25 ?.

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Problèmes

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Apprendre à mettre en œuvre le geste mental de la partition 2 1. Une fleuriste a 187 roses et 10 vases.

Elle veut qu’il y ait le même nombre de roses dans tous les vases. Combien de roses mettra-t-elle dans chaque vase ? Restera-t-il des roses ?

2. Une nourrice a 30 gâteaux.

Elle veut partager ces gâteaux entre les 6 enfants qu’elle garde. Quelle sera la part de chaque enfant ? Restera-t-il des gâteaux ?

À ce moment de la progression, les enfants connaissent donc Je deviens performant unApremier geste mental permettant de calculer a : b ?, celui Effectue ces conversions. Attention ! il faut convertir unités tantôt plus où l’on cherche : endansadescombien depetites, foistantôt b ?plusIlsgrandes. savent de plus • 98 dm (il faut faire apparaitre les mm) • 203 heures (il faut faire apparaitre les jours) que • cette même division a : b• ?150permet deapparaitre résoudre des heures (il faut faire les minutes) 285 g (il faut faire apparaitre les dag) • 540 m (il faut faire apparaitre les hm) • 351 pieds (il faut faire apparaitre les pouces) problèmes où l’on partage a objets en b parts égales. B Le nombre Il leur reste mystérieux à apprendre à mettre en œuvre le second grand 69 × 137 9 805 – 1 914 7 891 8 744 pour 9 021 le9 453 9 744 geste mental calcul d’une division, celui où 58 × 168 9 918 l’on – 897 par70 tage successivement des centaines, dizaines et unités, dans les cas où ce geste mental est le plus approprié, c’est-à-dire quand on divise par un nombre à un chiffre. Le problème qui permet un tel apprentissage est évidemment le problème de type C (On dispose de 584 objets et on les partage équitablement entre 3 personnes). En effet, tant la sémantique de son énoncé que ses valeurs numériques incitent au partage. Les élèves retrouvent donc (sq 47) le même chef de brigands qui, maintenant, doit partager 584 pièces d’or entre 3 de ses hommes. Comme le problème peut être résolu en donnant 1 pièce à chacun des 3 brigands, puis une autre, etc., le chef des brigands pose la division 584 : 3 (c’est ce qu’il a appris sq 47 !). Il se pose donc la question : en 584,

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Le point crucial de cette procédure de partage successif des centaines, dizaines et unités est évidemment le phénomène qui, dans la technique écrite, s’énoncera : « Et j’abaisse le chiffre des dizaines ». Dans le cas de 584 : 3 ?, par exemple, après le partage des centaines, on dit : « Il en reste 2 et j’abaisse le 8 ». En effet, les dizaines à partager sont de deux sortes : les 20 qui proviennent des 2 centaines restantes et les 8 qui figuraient déjà dans le nombre de départ. L’utilisation d’un matériel de numération comme celui de Monsieur Cubus facilite grandement la compréhension de ce phénomène : les enfants savent que les 2 plaques restantes correspondent à 20 barres qui s’ajoutent aux 8 « qu’on voyait déjà ». De même, dans la technique écrite, on sera amené à dire : « Et j’abaisse le chiffre des unités ». En effet, les unités à partager sont de deux sortes : celles qui proviennent des dizaines restantes et celles qui figuraient déjà dans le nombre de départ. Avec le matériel de numération, quand il reste des barres, on extrait les 10 cubes qu’elles contiennent, qui s’ajoutent à ceux « qu’on voyait déjà ».

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5. Il s’agit d’un matériel formé de cubes-unités, de barres de 10 unités, de plaques contenant 10 barres (100 unités) et enfin des blocs contenant 10 plaques (1 000 unités).

32

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Chapitre 3 • Enseigner la division euclidienne

L’expérimentation en classe a montré que lorsque les enfants sont invités à calculer suffisamment de divisions de ce type (547 : 4 ?, 972 : 3 ?, etc.) en simulant par le dessin le partage successif des centaines, dizaines et unités (cf. l’activité ci-après, extraite du cahier d’activités), le passage à la technique écrite ne pose ensuite aucun problème. Mais il serait aventureux de devienstrop performant vouloir vite à cette technique écrite : 6 à 10 simula41 Jealler Exprime les mesures suivantes l’unité demandée. B tions par le dessin sontdanssouvent nécessaires avant que les élèves 5 hm = ........... m 148 dm = ........... mm 85 dal = ........... l 6 kg = ........... g aient 38 hl construit le schème du partage successif des centaines, = ........... l 17 dam = ........... m 9 km = ........... m 28 hm = ........... m dizaines et........... unités. Quand c’est degl’introduction 51 hg = g 273 cm = ........... mmle cas 16 daglors = ........... 9 m = ........... de mm la technique écrite, celle-ci est d’emblée pleinement signifiante. Vers la technique écrite de la division 47

Je découvre

2 Fais ces deux divisions comme Monsieur Cubus en dessinant les centaines, les dizaines et les unités. 400 : 3 ?

912 : 4 ?

Lorsqu’on partage 5 centaines entre 3 personnes, il est en effet possible d’en donner au moins 1 à chacune. Si la division avait été 287 : 3 ?, en revanche, il aurait été impossible, avec seulement 2 centaines au départ, d’en donner 1 à chacune, et l’élève aurait dû écrire seulement « d u ». Une autre particularité de cette technique est que les élèves barrent les chiffres à chaque fois que la division du nombre correspondant est achevée (c’est ce que les élèves faisaient lors de la simulation avec les plaques, barres et unités, et cela les aide à interpréter chaque étape de la technique). Ainsi, la division précédente se poursuit de la manière suivante : c

d u

5

8

4

3

2 c

CDU

CDU

CDU

CDU

CDU

CDU

CDU

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

a

Partage des centaines :

a

Partage des dizaines :

b

Partage des dizaines :

c

Partage des unités :

c

Partage des unités :

d

Expression du résultat :

912 : 4 ?

q = ... r = ....

d

q = ... r = ....

car ...........................

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Pour effectuer des divisions par un nombre à 1 chiffre, les élèves disposent donc d’une technique où ils dessinent les éléments d’un matériel de numération. La transition vers une technique chiffrée selon la disposition classique « en potence » va s’effectuer facilement. Examinons d’abord cette transition, nous verrons ensuite que l’enjeu des séquences correspondantes est bien l’accès au calcul mental d’une division et non la seule appropriation d’une technique écrite, comme un examen superficiel pourrait le laisser croire. Dans la technique chiffrée, les élèves commencent par disposer les nombres à l’intérieur de la « potence » et par estimer l’ordre de grandeur du quotient. Par exemple, pour 584 : 3 ?, ils écrivent : c

d u

5

8

4

2

8

4

3 c

d u

1 .........

c

d u

5

8

2

8 1

4

3 c

d u

c

d u

5

8

2

8 1

4

3

4

c

d u

2

1 9

4

Finalement, le résultat est exprimé sous sa forme habituelle, la multiplication de 194 par 3 servant de preuve : q = 194 584 : 3 ? car 584 = (3 × 194) + 2 r=2 Expliquons enfin pourquoi, à ce moment de l’apprentissage, les élèves ne posent pas les soustractions successives (5 – 2 = 3 ; 28 – 27 = 1, etc.). Dans des classes où nous avions incité les élèves à poser les soustractions, il devenait moins évident pour eux que cette technique n’est qu’une transcription chiffrée de celle qu’ils maitrisaient déjà avec le matériel de Monsieur Cubus. Nous avons donc renoncé, à ce moment de la progression, à leur demander de le faire. Plus tard, en revanche, lors de l’apprentissage de la technique générale (pour calculer 8 956 : 37 ?, par exemple), nous verrons que les élèves ont la possibilité de poser les soustractions à l’intérieur de la « potence » et qu’ils le font volontiers.

3

Une technique écrite au service du calcul mental

d u

L’apprentissage de la division par un nombre à 1 chiffre est-il seulement une étape vers l’appropriation de la technique écrite de la division ?

2 c

8

d u

1 9....

10

Une technique où l’on partage successivement les centaines, dizaines, etc.

5

Le fait d’« abaisser le 8 » n’a rien de magique : après le partage des centaines, il en reste 2, c’est-à-dire 20 dizaines qui, avec les 8 de départ, font 28. Rapidement, il est évidemment plus court de dire « Et j’abaisse le 8 ». Là encore, après le partage des 28 dizaines, 28 est barré et la technique s’achève ainsi :

Expression du résultat :

400 : 3 ?

car ...........................

d u

1 .........

Partage des centaines :

b

c

1 .........

33

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Présentation Il est vrai que c’est cette technique qui, plus tard dans l’année, est généralisée au cas de la division par un nombre à plusieurs chiffres. Mais de notre point de vue, le résultat le plus important que nous ayons obtenu avec les élèves qui ont testé une première version de la progression est leur progrès en calcul réfléchi d’une division. Lorsqu’ils étaient confrontés à une suite de divisions, certaines par 10, 25, 50, 100, d’autres par un nombre à 1 chiffre, ils adoptaient le geste mental approprié, s’abstenant toujours de poser les premières pour encadrer le dividende par des multiples du diviseur (geste mental de la quotition). Il est important de remarquer que certains élèves s’abstenaient aussi de poser les divisions d’un grand nombre par 2, 3, 4 ou 5 parce qu’ils étaient capables de procéder directement aux partages successifs des centaines, dizaines et unités, écrivant le quotient au fil de la plume et retenant les restes partiels soit mentalement soit sur leurs doigts. Quelle que soit la division simple demandée, ceux-là faisaient donc bien évidemment du calcul mental et réfléchi. Mais, même concernant ceux qui avaient encore besoin de poser les divisions par un nombre à 1 chiffre en utilisant la « potence », on peut dire qu’ils maitrisaient les deux grands gestes mentaux du calcul d’une division et qu’ils adaptaient leur geste mental aux particularités du calcul qui leur était demandé : ils faisaient aussi du « calcul réfléchi ». De notre point de vue, c’est au moins aussi important que de maitriser la technique écrite. Le lecteur qui penserait que la technique rapportée ci-dessus constitue une étape importante de la progression parce qu’on va en généraliser l’usage aux divisions par un nombre à plusieurs chiffres, et seulement pour cette raison, se tromperait gravement. C’est effectivement une étape importante de la progression. Mais la raison principale en est que cette technique permet aux élèves de mettre en œuvre le geste mental de la partition alors qu’ils possèdent déjà celui de la quotition. Dorénavant, ils peuvent choisir le geste mental approprié au calcul demandé.

En grande partie, c’est dans les PAC que les enfants construisent leurs compétences Le lecteur qui penserait que la technique écrite rapportée plus haut constitue le but ultime de la progression se tromperait pour une autre raison : dans la progression présentée, c’est la résolution de problèmes qui, en fait, constitue le but ultime de l’enseignement du calcul mental d’une division. Du coup, c’est dans les PAC que le pédagogue a la possibilité de repérer le progrès qui est vraisemblablement le plus important. C’est le moment où un élève reconnait un problème du type D (On dispose de 587 objets et on fait des groupes de 3) en tant que problème de division. Alors que l’énoncé parle d’un groupement, l’élève met en œuvre une stratégie de partages successifs des centaines, dizaines et unités. Il s’approprie à titre personnel l’équivalence des deux gestes mentaux de la division. Le lecteur aura reconnu dans les problèmes de ce type ceux dont nous avons dit au chapitre 2 qu’ils suscitent et révèlent le progrès chez les élèves. Ils suscitent le progrès parce que les valeurs numériques retenues créent un conflit entre l’économie

de la représentation (le geste économique est celui de la quotition) et l’économie du calcul (le geste économique est celui de la partition). Quand un enfant, en acte, passe du geste mental de la quotition à celui de la partition, il est judicieux de l’amener à réfléchir le progrès qu’il vient de réaliser. Un exemple de dialogue pédagogique que le maitre peut avoir avec un tel enfant a été décrit au chapitre précédent.

La technique écrite de la division par un nombre à plusieurs chiffres Une première question se pose : à notre époque, est-il toujours utile d’enseigner cette technique ? Il existe en effet de sérieux arguments en faveur de l’abandon de son enseignement. Et d’abord, le fait qu’il est bien rare qu’un adulte soit amené à poser une division à la main. Dans la vie courante, seuls le calcul mental et le calcul avec une machine ont cours. Par ailleurs, dans certaines progressions, les élèves doivent s’approprier une technique permettant d’effectuer les divisions les plus générales (9 837 : 23 ?, par exemple), alors qu’ils ne maitrisent pas encore les cas plus simples : division par un nombre à 1 chiffre (9 837 : 4 ?, par exemple) ou division avec 1 chiffre au quotient (137 : 23 ?, par exemple). Leur tâche est rude. Le temps qu’il faut consacrer à un tel apprentissage est important. La réussite est faible : lors de l’évaluation menée à l’entrée en 6e de 1994, la division 4 584 : 8 ne conduit qu’à 64 % de réussite ! Certains en concluent : arrêtons de consacrer beaucoup de temps à un apprentissage qui fonctionne mal et qui ne sert à rien ! Un tel point de vue repose selon nous sur une conception erronée de l’apprentissage. Est-il envisageable que les élèves, de manière généralisée, aient conceptualisé la division euclidienne, qu’ils sachent l’utiliser à bon escient tout en étant dépendants d’une calculette pour en effectuer le calcul numérique ? Le penser, c’est concevoir la conceptualisation et le calcul comme indépendants l’un de l’autre. Nous avons fermement pris position contre une telle conception. La conceptualisation de la division euclidienne est dépendante des savoir-faire en calcul mental d’une division. Or, quand l’enfant a développé de bonnes compétences en calcul mental dans des cas simples (9 837 : 4 ? ou 137 : 23 ?, par exemple), l’accès à une technique générale (pour résoudre 9 837 : 23 ?, par exemple) ne nécessite plus qu’on y consacre beaucoup de temps ; mais surtout, comme nous allons le voir, c’est une nouvelle occasion de mettre en relation les deux grands gestes mentaux de la division euclidienne, la partition et la quotition.

La technique écrite au service de la coordination des deux gestes mentaux de la division Analysons la tâche consistant à poser et à calculer une division telle que 23 695 : 38 ? en généralisant la technique de la division par un nombre à un chiffre.

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Chapitre 3  •  Enseigner la division euclidienne

)

c

2

3

6

d u 9

5

3

8

c

d u

................ On commence par s’imaginer un scénario de partage successif des milliers, centaines, etc. On ne peut pas donner de milliers à chacune des 38 personnes (il n’y a que 23 milliers). Le premier groupement qu’il est donc possible de partager est celui des centaines parce qu’on en a 236. Combien font « 236 divisé par 38 ? ». Remarquons immédiatement que le simple fait de formuler ainsi ce calcul partiel conduit à un changement de geste mental, parce que « 236 divisé par 38 ? » se calcule avec le geste de la quotition (en 236, combien de fois 38 ?). C’est un scénario de partages successifs qui organise globalement l’algorithme, mais pour chaque calcul partiel l’économie est du côté de la quotition. D’où l’expression que les pédagogues d’avant 1980 adoptaient et dont nous recommandons encore aujourd’hui l’usage : « 236 divisé par 38, ou encore, en 236 combien de fois 38 ? ». Cette expression favorise la transition du geste mental de la partition vers celui de la quotition. La technique de la division par un nombre de plusieurs chiffres n’est donc pas une simple généralisation de celle de la division par un nombre à 1 chiffre. Alors que la technique écrite de la division par un nombre à 1 chiffre exige seulement le geste mental de la partition, celle de la division par un nombre à plusieurs chiffres exige d’utiliser de façon coordonnée les deux gestes mentaux de la partition et de la quotition. Parce qu’elle utilise l’équivalence de ces deux gestes mentaux, son apprentissage est aussi une nouvelle occasion de s’approprier cette équivalence. C’est certainement le principal intérêt pédagogique de l’apprentissage d’une telle technique. La technique écrite que nous avons choisi d’enseigner exige donc d’utiliser de façon coordonnée les deux gestes mentaux de la division. La réussite d’un tel enseignement dépend : 1°) de la maitrise de chacun des gestes mentaux ; 2°) de l’apprentissage de leur coordination. Concernant le premier point, nous avons vu que les enfants maitrisent assez rapidement le geste mental de la quotition quand on divise par 10, 25, 50, 100, 250, etc. Mais qu’en est-il concernant des divisions du type 236 : 38 ?

Les divisions du type 236 : 38 ? La complexité du comportement expert Pour ce type de division, la stratégie mentale est la même que s’il s’agissait de 236 : 25 (geste mental de la quotition). Cependant, avec 38 comme diviseur, les multiples ne sont plus connus par cœur. Pour déterminer le quotient, un expert fait du calcul approché. Pour 236 : 38, par exemple, 38 est proche de 40. Le quotient de 236 : 38 est proche de celui de 236 : 40.

On sait qu’après cette approximation, le calcul peut être systématisé en disant « En 236 combien de fois 40, ou encore en 23 combien de fois 4 ? » parce que le quotient de 236 par 40 est le même que celui de 23 par 4, c’est-à-dire 5 (plus généralement, le quotient de 258 par 70 est le même que celui de 25 par 7, celui de 482 par 90 le même que celui de 48 par 9, etc.). Cependant, du fait de l’approximation de départ, rien n’assure que 5 soit effectivement le quotient cherché. Dans 236 : 38, on a remplacé 38 par 40, on a donc divisé par un nombre plus grand, ce qui a pu avoir pour effet de minorer le quotient. Les élèves doivent donc rester vigilants : peut-être le quotient n’est-il pas 5, mais 6 ; c’est la valeur de 236 – (38 × 5) qui permettra de le décider. Ce calcul conduit à 46, qui est plus grand que 38 ; le quotient recherché est donc effectivement 6. Le comportement d’un élève qui raisonne ainsi repose sur de nombreuses connaissances : la propriété selon laquelle le quotient de 236 par 40 est le même que celui de 23 par 4, le fait que remplacer 38 par 40 au diviseur conduit à minorer le quotient alors que le remplacement de 32 par 30 le majorerait, etc. Faut-il expliciter d’emblée toutes ces connaissances pour que l’enfant apprenne à déterminer le quotient de telles divisions ? On court le risque que les élèves ne construisent jamais les habiletés nécessaires parce qu’elles leur semblent inaccessibles : il faut se rappeler trop de choses pour les mettre toutes en œuvre ! Un tel enseignement explicite est vraisemblablement prématuré au CM1 ; il sera plus opportun au CM2.

Tables de multiples ou non ? Lorsqu’on décide de ne pas enseigner explicitement les connaissances précédentes, les enfants peuvent quand même trouver le quotient d’un nombre de 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre en utilisant l’une des deux stratégies suivantes : 1°) La construction systématique d’une table des multiples du diviseur. 2°) La détermination du quotient par tâtonnement, en ne calculant que partiellement les multiples du diviseur. Quand on a essayé un multiple et qu’il est plus grand que le dividende, on en cherche un plus petit. Quand un autre est plus petit, on cherche si un plus grand conviendrait également. Dans tous les cas, l’estimation de la différence entre le multiple calculé et le dividende guide la recherche. L’aspect systématique de la première stratégie rassurerait un grand nombre d’élèves, mais il les piègerait aussi : certains auraient beaucoup de mal à renoncer à construire la table pour entrer dans du calcul approché. Il n’est jamais simple d’abandonner une procédure longue mais fiable pour une autre plus aventureuse et qui, dans un premier temps au moins, n’est pas toujours plus économique. C’est pourquoi nous avons choisi de favoriser d’emblée la deuxième stratégie. Celle-ci a le mérite d’engager l’enfant dans une attitude de calcul approché. L’élève qui, pour déterminer le quotient de 216 : 38 ?, ne calcule pas 38 × 2 mais commence directement à 38 × 3 n’est pas entré dans un calcul systématique, il a déjà fait un pas important vers

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Présentation le calcul approché. Dès le début (sq 54), on incite donc les enfants à ne pas construire la totalité de la table. En outre, nous avons choisi le plus souvent, au CM1, de ne proposer que des divisions dont le quotient est inférieur ou égal à 5.

Pourquoi se limiter le plus souvent à des quotients ≤ 5 ? Lorsque le domaine numérique à explorer est trop vaste, pour de nombreux élèves la procédure qui consiste à construire la table des multiples est longtemps plus économique. En se restreignant aux premiers multiples, les nombres en jeu sont plus petits. Du coup, les enfants utilisent plus volontiers le calcul mental et ils construisent ainsi des stratégies de calcul approché par l’usage et non parce qu’ils appliquent des règles enseignées. Il est évidemment recommandé d’expliciter en classe les découvertes des enfants, mais aucune règle qu’ils ne se soient eux-mêmes donnée ne dicte leur comportement, sinon celle d’adopter l’attitude du calcul approché.

Quels choix pour apprendre à coordonner les deux gestes mentaux au sein de la technique ? Rappelons qu’à un niveau général, la technique écrite que nous avons retenue pour le calcul de 23 695 : 38 ? est structurée par le geste mental de la partition, alors que les calculs partiels tels que celui de 236 : 38 ? reposent sur le geste de la quotition. Pour favoriser l’usage coordonné de ces deux gestes mentaux, nous avons choisi de : 1°) Mettre à nouveau en relation, lors de la séquence d’introduction (sq 79), les actions successives de partage des centaines, dizaines et unités du matériel de numération « Base 10 » déjà décrit, avec le déroulement de la technique chiffrée. 2°) Se placer à nouveau, lors de cette leçon d’introduction (sq 79), dans le cas de divisions par 25 (l’exemple d’introduction est 1 443 : 25 ?). En l’absence de difficultés de calcul des multiples de 25, les enfants peuvent en effet consacrer toute leur attention à la compréhension des raisons qui fondent l’organisation générale du calcul. 3°) S’arranger pour que les retraits de multiples de 25 (144 – 125, par exemple, quand on commence la division 1 443 : 25) présentent des difficultés de calcul dues à des retenues. Cela justifie le fait qu’on pose alors les soustractions à l’intérieur même de la « potence », ce qui facilite les calculs partiels.

)

d

–

1

4

4

1

2

5 9

u 3

2

5

d u 5

Un peu plus tard, les enfants procèdent de même, mais avec des exemples du type 23 695 : 38 ? (sq 85).

Conclusion : une comparaison avec les progressions antérieures Comparaison avec la progression « traditionnelle », celle qui prévalait avant 1980 La progression présentée ici est très différente de la progression traditionnelle, celle qui prévalait avant qu’une équipe de l’INRP, Ermel, n’ait diffusé, vers 1980, ce que les formateurs de maitres ont souvent appelé la « nouvelle division ». Avant 1980, les enfants apprenaient d’abord la division par 2, puis par 5, par 3, 4, 6, etc. En revanche, ici, le signe « : » est introduit avec une division par 25 ! Remarquons cependant que, dans J’apprends les maths, certaines séquences rappellent des leçons classiques de l’époque. Ainsi, lorsqu’il s’agissait d’introduire la division d’un nombre de plusieurs chiffres par un nombre à 1 chiffre, le scénario privilégié pour enseigner la division 584 : 3 ?, par exemple, était souvent un partage de monnaie. On doit partager équitablement 584 €, c’est-à-dire 5 billets de 100 €, 8 billets de 10 € et 4 pièces de 1 €, entre 3 personnes : – Partage des centaines : chaque personne aura 1 billet de 100 € et il reste 2 billets de 100 €. – Partage des dizaines : les 2 billets de 100 € sont changés en billets de 10 €, ce qui fait 20 billets de 10 €. Avec les 8 billets qu’on avait à l’origine, cela fait 28 billets de 10 € à partager, etc. Cependant, même au niveau de la technique opératoire qui est finalement retenue, il existe des différences sensibles : on ne déterminait pas à l’époque l’ordre de grandeur du résultat avant de s’engager dans le calcul, par exemple. Mais surtout, l’esprit général des deux progressions est complètement différent : la préoccupation majeure, à l’époque, était d’amener progressivement les enfants à maitriser l’algorithme écrit ; à leur charge de « réinvestir » cette connaissance en résolution de problèmes (l’attitude qui prévalait concernant l’articulation entre le calcul et la résolution de problème était celle que nous avons qualifiée de « traditionnelle »). Ce n’est pas un hasard si, dans la progression traditionnelle, les enfants commençaient par les divisions par 2, 3, etc., alors qu’ici ils commencent par des divisions par 10, 25, 50, etc. Les deux progressions reposent sur des conceptions théoriques qui n’accordent pas le même rôle au calcul mental dans le progrès en résolution de problèmes.

Comparaison avec la progression qui a prévalu entre 1980 et 2015 Entre 1980 et 2015, date des nouveaux programmes pour l’école élémentaire, c’est le plus souvent en mettant en œuvre des « divisions-quotition » (en a combien de fois b ?) que les enfants apprennent le calcul écrit d’une division. Pour calculer 584 : 3, on se pose ainsi successivement les questions : – dans 584, combien de centaines de fois 3 ? – dans les 284 unités restantes, combien de dizaines de fois 3 ? etc. Les innovateurs de 1980 pensaient que les enfants pouvaient plus facilement « construire » cette technique que la traditionnelle.

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Chapitre 3  •  Enseigner la division euclidienne

On peut considérer aujourd’hui que cette innovation n’a pas eu les effets attendus. En 1977 (date à laquelle la majorité des enseignants utilisaient encore l’ancienne technique), la division 8 359 : 39 conduisait à 69 % de réussite en fin de CM2 (enquête INRP). Or, nous avons vu que lors de l’évaluation menée à l’entrée en 6e en 1994, la division 4 584 : 8 qui, a priori, est plus simple, ne conduisait qu’à 64 % de réussite. Les enfants n’ont pas progressé dans le calcul d’une division. Une enquête postérieure, publiée en 2008, menée par un département ministériel (la Depp) a même montré que ces performances avaient régressé entre 1987 et 1999. Pourquoi ? Comment l’expliquer ? La technique de la « nouvelle division » (elle était nouvelle vers 1980), basée sur la « division-quotition », est plutôt plus complexe que celle où l’on partage successivement les centaines, dizaines et unités. Les enseignants consacrent beaucoup de temps à ce que les enfants « construisent » cette technique, mais dans les faits cette « construction » s’avère longue et pénible, et de nombreux enfants apprennent tout aussi difficilement qu’avant 1980 non pas une, mais plusieurs techniques successives : celle où l’on utilise la table des multiples du diviseur, celle où l’on n’écrit plus les zéros, etc. Notre choix concernant la technique de la division est évidemment très différent de celui des innovateurs de 1980. Mais, au-delà de ces différences dans la technique écrite,

c’est, là encore, l’esprit général des deux progressions qui n’est pas le même : alors que les pédagogues d’avant 1980 privilégiaient la « division-partition », les innovateurs d’après 1980 ont souvent privilégié la « division-quotition ». Dans J’apprends les maths, comme dans les nouveaux programmes publiés en 2015, il est recommandé de ne privilégier ni la division-partition, ni la division-­quotition parce que c’est la construction de l’équivalence entre ces deux gestes mentaux qui permet des progrès décisifs en résolution de problèmes. En résumé, dans la progression présentée ici, l’accent est mis sur le calcul mental d’une division parce qu’il est considéré comme essentiel pour la conceptualisation de la division, c’est-à-dire pour la résolution des problèmes de division. Les deux grandes nouveautés de cette progression sont : 1°) l’enseignement de l’équivalence des deux grands gestes mentaux du calcul mental d’une division ; 2°) s’agissant des problèmes « difficiles » de division (ceux de quotition, essentiellement), la gestion différenciée de l’accès au 3e niveau de résolution de ces problèmes dans le contexte des PAC. Une notion théorique a joué un rôle crucial dans l’élaboration de cette progression : celle de conflit entre l’économie de la représentation d’un problème et l’économie du calcul qui conduit à sa solution numérique.

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Chapitre 4

Les fractions et les décimaux au CM1 : une nouvelle approche Les principales idées qui ont présidé à l’élaboration de la progression sur les fractions et les décimaux de J’apprends les maths CM1 ont été présentées lors du 25e Colloque des formateurs et des professeurs de mathématiques chargés de la formation des maitres, organisé par la Copirelem (Commission permanente des IREM pour l’enseignement élémentaire), à Loctudy (Finistère), du 11 au 13 mai 1998. Le texte qui suit est celui qui a été rédigé pour les actes de ce colloque.

PLAN DU CHAPITRE • C’est vraisemblablement au CM1 que se jouent les compétences futures des élèves concernant les décimaux. • Qu’est-ce qu’un décimal ?

S’approcher d’aussi près que l’on veut d’un nombre « irrationnel ». S’approcher d’aussi près que l’on veut d’un nombre « rationnel ». Un projet présent dès l’invention des fractions Le concept de fraction a beaucoup évolué depuis son invention. Ce que nous a appris ce « détour épistémologique ».

• Les décimaux écrits avec une virgule : ça ressemble à des entiers, ça se manipule comme des entiers, alors que ce ne sont pas des entiers. • Un premier choix fondamental : enseigner d’abord les décimaux sous forme de fractions décimales.

• Une équivalence fondamentale pour conceptualiser les fractions : partition de la pluralité et fractionnement de l’unité. • Un deuxième choix fondamental : donner d’abord du sens à a/b dans un contexte de partition de la pluralité.

Ce qui advient lorsqu’on introduit l’écriture 11/4 comme « 11 quarts ». Ce qui advient lorsqu’on introduit l’écriture 11/4 comme « 11 divisé par 4 » dans un contexte de partition de la pluralité. Commencer par le sens le moins « naturel » ?

• La notion de conflit entre l’économie de la représentation et celle du calcul pour enseigner l’équivalence qui fonde le concept de fraction. Première étape : a/b est défini comme « a divisé par b ». Deuxième étape : « 3 partagé en 4 », c’est « 3 quarts ». Troisième étape : équivalences d’écritures et comparaison de fractions. Quatrième étape : « 155 tiers », c’est aussi « 155 divisé par 3 ».

• Les autres choix fondamentaux et la fin de la progression.

Ne pas introduire d’emblée l’addition des fractions. Utiliser d’abord des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation de l’idée de fractionnement. Enseigner l’écriture à virgule comme un simple changement de notation. Faire oraliser systématiquement les nombres à virgule, en explicitant les dixièmes, centièmes, etc.

• Conclusion.

Une comparaison avec les deux progressions de référence, celles de R. Douady et de G. Brousseau. Quels résultats dans les classes expérimentales ?

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Chapitre 4  •  Les fractions et les décimaux au CM1

C’est vraisemblablement au CM1 que se jouent les compétences futures des élèves concernant les décimaux

Des résultats rapportés récemment par J. Bolon1 nous incitent à penser que non. Elle a proposé la tâche suivante à des élèves depuis la fin du CM1 jusqu’à la 5e. Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche :

Le temps que nous avons choisi de consacrer à l’apprentissage des fractions et des décimaux au CM1 est relativement important. Aussi convient-il tout d’abord de justifier un tel choix, en montrant que ce niveau de scolarité est vraisemblablement crucial pour l’appropriation de ces notions. Les élèves comprennent mal les décimaux, ce qui les conduit à des erreurs systématiques qui, pour la plupart, sont bien connues des maitres. Lors de l’évaluation d’entrée en 6e de 1993, par exemple, on demandait quel est le plus grand de ces deux nombres : « 6 987 et 6 879 ». Avec ces entiers, 87 % des élèves ont réussi. La même question avec les décimaux « 1,015 et 1,05 » n’a conduit qu’à 52 % de réussite. Un tiers des élèves ont écrit que 1,015 est plus grand que 1,05. Vraisemblablement parce qu’ils ont comparé 15 et 5 sans se préoccuper que 15 désigne des millièmes alors que 5 désigne des centièmes. Et lors de l’évaluation de 1997, il n’y a que 49 % des élèves qui réussissent la division 67 : 100 posée en ligne. Pour un adulte cultivé, cet exercice est très facile car diviser par 100, c’est prendre le centième. On a donc 67 : 100 = 67/100 = 0,67. Il faut croire qu’un tel raisonnement est beaucoup plus difficile qu’il ne parait. On ne peut même pas se rassurer en remarquant qu’un taux de réussite d’environ 50 % dans chacune de ces épreuves est loin d’être négligeable, car rien n’assure que les élèves qui réussissent ont bien compris les décimaux. Concernant le premier exercice, on sait en effet que de nombreux maitres enseignent la règle : « Pour comparer deux décimaux, on écrit des zéros à droite de la virgule jusqu’à ce qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule ». Un élève qui applique cette règle est conduit à comparer 1,015 et 1,050 et là, il ne se trompe plus parce que 15 , , < ou =. 6 minutes … 60 secondes

5 minutes … 300 secondes

10 minutes … 1 000 secondes

62

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Activités

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Séquence 39

Calculs proposés oralement Divisions par 250, 100 et 50 Idem sq 38, mais avec ces autres diviseurs. Dans les divisions par 250 et 50, q est ≤ 12.

1 à 9. La multiplication pour effectuer des conversions Cette séquence est organisée en trois séries similaires de tâches, liées aux trois rapports utilisés : pieds/pouces, minutes/secondes et jours/heures. • Les deux premières tâches (activités 1 et 2, 4 et 5, 7 et 8) permettent à chaque fois d’établir en contexte que, pour passer d’une mesure exprimée dans une unité donnée à la même mesure exprimée dans une unité plus petite, il faut calculer une multiplication, et de déterminer le coefficient utilisé (12, 60, 24). • Dans la 3e tâche (activités 3, 6 et 9), il faut comparer deux mesures exprimées dans des unités différentes, et, pour cela, convertir une des deux mesures.

Activités 1 à 3 : conversions pieds → pouces Le principe de l’activité 1 est le suivant : une longueur de 7 pieds (la taille d’un basketteur) est donnée, il s’agit de l’exprimer en pouces. Les élèves utilisent deux règles faisant partie de leur matériel individuel en carton : celle qui donne la longueur d’un pied, puis celle qui est graduée en pouces. Avec la règle de 1 pied, ils vont construire une ligne de 7 pieds ; avec la règle en pouces, ils

110

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Activités Sq 39 – pages 62 et 63 7 Le train Transsibérien met 8 jours pour relier Moscou à Vladivostok, sur la côte de l’océan Pacifique. Combien cela fait-il d’heures ?

8 Exprime ces durées en heures : 10 jours

31 jours

365 jours

9 Compare les durées suivantes en utilisant les signes >, < ou =. 3 jours … 72 heures J’ai

a

ri pp

5 jours … 200 heures

15 jours … 200 heures

s

Si une longueur est donnée en pieds et que je veux l’exprimer en pouces, je m’imagine les 12 pouces qu’il y a dans chaque pied. Il y a plus de pouces, il y en a 12 fois plus, je multiplie par 12. Si une durée est donnée en minutes et que je veux l’exprimer en secondes, … Si une durée est donnée en jours et que je veux l’exprimer en heures, …

Je deviens performant A Calcule ces divisions. 84 : 25 ?

756 : 10 ?

525 : 250 ?

21 : 9 ?

135 : 25 ?

892 : 10 ?

2 160 : 250 ?

40 : 9 ?

B Le jeu du portrait C A

• Ce n’est pas un quadrilatère. • Deux de ses côtés semblent parallèles. • Un de ses côtés mesure 20 mm.

E B D

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vont déterminer combien il y a de pouces dans un pied. On les amène à anticiper la longueur totale en pouces sans mesurer la ligne avec cette règle et à utiliser la multiplication 7 × 12. Pour cette première conversion, les élèves commenceront par raisonner ainsi : 1 pied, c’est 12 pouces ; 7 pieds, c’est donc « 7 fois 12 pouces ». Mais, aussitôt qu’ils auront compris qu’on calcule la multiplication 7 × 12, l’enseignant les amènera à formuler ce raisonnement plus général, utilisable pour toute autre conversion pieds → pouces : si on imagine les 12 pouces qu’il y a dans 1 pied, il est évident que le nombre de pouces correspondant à un nombre de pieds donné est 12 fois plus grand et qu’il s’obtient en multipliant ce nombre par 12. On illustrera ensuite ce raisonnement en notant au tableau les multiplications successives ainsi : 1 pied = 12 pouces 7 pieds = 7 × 12 pouces 18 pieds = 18 × 12 pouces 2 pieds = 2 × 12 pouces 341 pieds = 341 × 12 pouces Déroulement L’enseignant fait observer l’illustration du livre : on voit un basketteur dont la taille est donnée en pieds. Il mesure 7 pieds. L’enseignant annonce que chaque élève va tracer une ligne longue de 7 pieds, comme la taille du basketteur. On se pose alors la question : « c’est grand comment, un pied ? ». L’illustration donne une réponse imagée : c’est long comme un pied d’humain. L’enseignant explique que l’on s’est servi longtemps de cette partie du corps pour mesurer des longueurs. On demande aux élèves de montrer approximativement une telle longueur entre

leurs mains et un élève peut par exemple mesurer avec ses pieds la longueur de la salle de classe. On discutera alors évidemment sur les « grands pieds » et les « petits pieds ». Si, par exemple, cet élève s’appelle Laurent, on pourra dire par exemple : « la longueur de notre salle de classe est de 28 pieds de Laurent ». Cette expérience amène naturellement à s’intéresser à la règle de 1 pied, qui est le pied anglais, lequel a la même longueur sur tout le territoire de la Grande-Bretagne (on ne donne pas son équivalence en mm). On donne ensuite aux élèves le matériel pour : 1°) assembler les deux parties de la règle de 1 pied (avec deux morceaux d’adhésif, un sur chaque face) ; 2°) découper et assembler des bandes de papier (voir le schéma dans le livre) pour former une grande bande ; là aussi, il vaut mieux utiliser de l’adhésif. Ils peuvent ensuite tracer une ligne de 7 pieds au milieu de cette bande. Une grande bande avec cette ligne est fixée au mur : le basketteur est grand comme 7 pieds exactement, il est grand comme ça ! On passe alors au problème : si on devait mesurer ce basketteur avec la règle en pouces, combien de pouces trouverait-on ? Les élèves se souviennent de cette unité et beaucoup anticipent qu’il y aura beaucoup plus de pouces, « parce que le pouce est plus petit que le pied ». Ils se munissent alors de leur règle graduée en pouces et déterminent combien de pouces il y a dans un pied. Chaque élève effectue le calcul correspondant. L’égalité 1 pied = 12 pouces est écrite, de même que la multiplication 7 pieds = 7 × 12 pouces. On dégage alors le raisonnement général que l’on peut utiliser pour toute conversion pieds → pouces : quand on imagine les 12 pouces qu’il y a dans 1 pied, on sait qu’il y a 12 fois plus de pouces, on multiplie par 12 le nombre de pieds. Les élèves traitent individuellement les autres problèmes de l’activité 2. Finalement, on note au tableau l’ensemble des multiplications utilisées. On peut enfin proposer aux élèves de chercher combien de fois leur propre pouce (dans la largeur) est contenu dans la longueur de leur pied (le rapport 12 revient presque toujours). Le travail de l’activité 3 est individuel.

Activités 4 à 6 : conversions minutes → secondes On s’assure d’abord que les élèves ont une intuition de la seconde, par exemple en faisant scander un tictac seconde après seconde. Là encore, on explicite le raisonnement général aussitôt après le premier cas : « On imagine les 60 s qu’il y a dans 1 min ; il y a 60 fois plus de secondes que de minutes… on multiplie par 60 ». Les multiplications utilisées dans les activités 4 et 5 sont finalement notées au tableau. Les élèves sont autonomes dans l’activité 6.

Activités 7 à 9 : conversions jours → heures Un commentaire géographique et historique sur le Transsibérien et des échanges entre élèves leur permettront de s’approprier le contexte : en France, habituellement, un voyage en train ne dure que quelques heures, surtout en TGV. Ce n’est pas le cas du Transsibérien… Pour le reste, on suit la même démarche que pour les autres types de conversions. En conclusion, on pourra étendre le raisonnement à d’autres unités comme 1 semaine = 7 jours, 1 an = 12 mois, etc.

111

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2e période

Objectifs Dans la sq 40, on aborde les « grandes unités » de longueur, masse et contenances qui sont dénommées avec les préfixes déca, hecto et kilo. Il s’agit d’abord de fixer le sens de ces trois préfixes (dix, cent et mille). Puis, dans la continuité de la sq 39, où les élèves ont appris à utiliser la multiplication pour effectuer des conversions, ils vont réinvestir ici cette connaissance pour exprimer en m des longueurs données en dam, hm ou km, en g des masses données en dag, hg ou kg, etc. Là encore, on évite d’introduire des tableaux de conversion. Là encore, on privilégie le raisonnement suivant : soit 29 hl à convertir en l ; j’imagine les 100 l qu’il y a dans chaque hl ; il y a 100 fois plus de l, je calcule 29 × 100 l… Nous nous limitons au CM1 à des conversions dans l’unité de base (m, l et g). Par exemple, ici, les élèves ont à convertir 29 hl en litres. Dans les exercices, on retrouvera aussi des conversions en mm de longueurs données en m, dm ou cm (par exemple 87 cm = … mm). En effet, avec M. Millimètre, on a fait fonctionner le mm comme unité, et dans ce domaine (du m au mm) les élèves ont développé une bonne connaissance des rapports entre unités. Quant aux cas plus complexes, où il faut « sauter » une ou plusieurs unités (par exemple 23 dam = … dm), ils seront abordés au CM2 (voir Présentation, chapitre 5). Dans la sq 41, les élèves apprennent à calculer des divisions du type 191 : 37 ?, c’est-à-dire par un nombre dont les multiples ne sont pas connus (comme c’est le cas avec les diviseurs utilisés lors de l’introduction de la division) et dont le quotient est un nombre de 1 chiffre. Cette sorte de calcul intervient comme calcul partiel dans la technique générale (cf. sq 85). La méthode que nous proposons d’enseigner ne consiste pas à construire complètement la table des multiples du diviseur. L’aspect systématique de cette méthode est très rassurant, mais c’est précisément pourquoi de nombreux enfants ont ensuite du mal à s’en libérer pour accéder au calcul approché. Les élèves vont d’emblée apprendre à estimer le quotient en faisant des essais (cf. Présentation, chapitre 3). La procédure qui consiste, pour 191 : 37 ? par exemple, à essayer d’emblée le quotient de 19 : 4 ? sera amorcée dans le calcul mental de la sq 67 mais ne sera enseignée qu’au CM2. Ici, les élèves sont encouragés à faire des essais pour déterminer le quotient. Nous nous limitons à des cas où le calcul des multiples du diviseur est facile, en l’occurrence à des divisions dans lesquelles le quotient ne dépasse que rarement 5.

4O

Unités de masse, contenance et longueur (kilo, hecto, déca)

CALCUL MENTAL 1. Divisions par 25, 10 et 5 (voir p. 12). 2. Soustractions (idem sq 23).

Je découvre 1

En grec ancien, kilo signifie mille, hecto signifie cent, déca signifie dix.

Exprime en grammes (g), litres (l) et mètres (m) ce que disent ces personnages. Cette citerne contient 43 hectolitres de mazout.

Je pèse 27 kilogrammes !

Et si je pesais 58 kilogrammes ?

2 Voici comment on lit

On a mesuré la cour de l’école, on a trouvé 6 décamètres.

Et si elle ne contenait que 20 hectolitres?

ces abréviations-ci :

Comment lit-on ces abréviations-là ?

m

mètre

g

dam

décamètre

dag

?

dal

?

hm

hectomètre

hg

?

hl

?

km

kilomètre

kg

?

gramme

l

litre

C’est moins que le stade qui mesure 13 décamètres !

Il ne faut pas confondre le dm et le dam : 1 dm = 100 mm, 1 m = 1 000 mm et donc 1 dam = 10 000 mm !

3 Exprime les mesures suivantes dans l’unité demandée. 5 dam = … m

29 hl = … l

87 cm = … mm

2 m = … mm

8 dm = … mm

124 dag = … g

35 dal = … l

13 hg = … g

7 kg = … g

27 hm = … m  

10 km = … m

238 dam = … m

J’ai

ap

pri

s

• Une longueur est donnée en dam (ou en hm ou en km) ; je veux l’exprimer en m, il y a plus de m, il y en a 10 fois plus (ou 100 fois plus ou 1 000 fois plus), je multiplie par 10 (ou par 100 ou par 1 000). • Une longueur est donnée en dm ; je veux l’exprimer en mm… • Une masse est donnée en dag (ou en hg ou en kg) ; je veux l’exprimer en g… • Une contenance est donnée en dal (ou hl) ; je veux l’exprimer en l…

Je deviens performant Calcule ces divisions. 113 : 25 ?

521 : 10 ?

9 807 : 1 000 ?

20 : 8 ?

201 : 25 ?

600 : 10 ?

1 999 : 1 000 ?

35 : 8 ?

64

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Activités

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Séquence 40

Calculs proposés oralement Divisions par 25, 10 et 5 Même activité que sq 38.

Calculer a – b « en avançant » ou « en reculant » Même activité que sq 23.

1 à 3. Les préfixes déca, hecto, kilo Avec l’activité préliminaire décrite ci-dessous, il s’agit d’établir le sens de ces trois préfixes et de favoriser l’intuition de grandeurs exprimées dans des unités qui les utilisent, par exemple : « 1 décalitre, c’est quelle quantité d’eau ? », « Qu’est-ce qui pèse environ 1 hectogramme ? », etc. Pour cela, nous proposons quelques expériences avec divers instruments tels que décamètre, verre doseur, balance, etc.

Activité préliminaire On peut partir du sens du préfixe « kilo » dans kilomètre et kilogramme (kilolitre est possible mais inusité), car ce préfixe est le plus courant, par exemple : « que veut dire kilo dans le mot kilomètre ? ». Le sens de kilo dans kilogramme fera problème, car, pour beaucoup d’enfants, une expression comme 27 kilos est autosuffisante… On établit : « kilo » veut dire mille. 3 kilomètres, c’est 3 000 m, 27 kilogrammes, c’est 27 000 g. On s’intéresse alors au poids de 1 g. Un gramme c’est ce que pèse approximativement un trombone : un enfant qui pèse

112

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41

La division-quotition (2) : calcul par estimation

CALCUL MENTAL 1. Divisions par 250, 50 et 100 (voir p. 12). 2. Soustractions (idem sq 23).

Activités

Je découvre 1

Comment calculer 191 : 37 ? ou « en 191 combien de fois 37 ? ».

1 fois 37, 37… 2 fois 37… Ça va être long !

Activités Sq 40 et 41 – pages 64 et 65

Séquence 41

Calculs proposés oralement

Essayons directement 4 fois 37, on corrigera si c’est nécessaire.

Divisions par 250, 100 et 50 Même activité que sq 39.

J’ai fait la multiplication, puis la soustraction. Le quotient n’est pas 4, mais 5 ! Sais-tu pourquoi ?

3 7 –

1 4 8

J’ai refait la multiplication, puis la soustraction.

–

ap

pri

s

1 et 2. La division-quotition (2) : calcul par estimation

1 18 5

1 8 5

J’ai

0 4 3

1 911

5

191 : 37 ?

Même activité que sq 23.

1 14 8

Oui, mais on aurait pu aussi retirer 37 de 43.

3 7 ×

Calculer a – b « en avançant » ou « en reculant »

1 911

4

×

0 0 6 q=5 r=6

car 191 = (37 x 5) + 6

Quand je divise un nombre par 6, 10, 25, 50, etc., je trouve le quotient directement car je connais bien les multiples de 6, 10, 25, 50, etc. Pour diviser par 37, 43, etc., c’est normal de faire des essais.

2 Calcule. 165 : 42 ?

131 : 56 ?

103 : 28 ?

134 : 27 ?

103 : 21 ?

234 : 45 ?

Je deviens performant A Le nombre mystérieux 7 828

B

7 853

7 953

7 995

8 105

9 163

Cahier d’activités page 10

9 828

187 × 49

9 051 – 1 098

26 × 378

9 033 – 928

195 × 41

9 942 – 2 089 65

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27 000 g pèse donc autant que 27 000 trombones ! Si on dispose d’une balance Roberval, on peut l’utiliser pour chercher des objets qui pèsent environ 1 000 g. L’enseignant propose ensuite des cas avec le préfixe « hecto », par ex. : une citerne contient 15 hectolitres de lait, le périmètre d’un stade est de 4 hectomètres, un steak pèse 2 hectogrammes. On recherche dans le dictionnaire le sens du préfixe « hecto ». On cherche des objets qui pèsent 1 hg environ. Même démarche pour des expressions avec « déca ». On peut chercher une longueur d’un dam environ (par ex., celle de la salle de classe) ; dans le cadre des contenances, on peut faire anticiper si un seau peut contenir un décalitre (on peut vérifier avec un verre doseur). On cherche des objets qui pèsent 1 dag environ.

Activités 1 et 2 sur le manuel C’est en répondant aux questions : « 27 kg, combien est-ce de g ? », « 20 hl, combien est-ce de l ? », etc., et à d’autres similaires (« 61 kg, combien est-ce de g ? », « 123 kg, combien est-ce de g ? », etc.), qu’on établira l’usage des multiplications n × 1000, n × 100 et n × 10. Pour chaque cas, on réinvestira le raisonnement de la sq 39, par exemple : « Dans un dam, il y a 10 m ; dans 6 dam, il y a 10 fois plus de m ». Les multiplications correspondantes sont écrites. Les traductions des abréviations de l’activité 2 sont traitées collectivement et écrites au tableau. Elles feront l’objet d’un affichage qui pourra servir de référence lors des exercices de conversion demandés dans les séquences suivantes.

Activité 3 Les élèves sont autonomes. Si on le peut, à la fin, on reprend quelques cas collectivement.

Les élèves savent déjà calculer des divisions par 3, 4, 5, …, 10, 20, 25, 50, 100, 250. Il s’agit ici d’étendre les possibilités de calculer des divisions en explorant des diviseurs plus quelconques à 2 chiffres (23, 37, 42, 58, etc.). On propose au tableau la division 191 : 37 ?. On fait rappeler qu’il s’agit de chercher : « en 191, combien de fois 37 ? », et les élèves cherchent individuellement. Si l’on voit des élèves amorcer la construction de la table des multiples de 37 à partir de 2 fois 37, on les interrompt en leur demandant, par exemple : « 2 fois 37, c’est à peu près combien ? » L’idée est d’amener d’emblée les enfants à « prendre des risques », à faire des essais, à essayer d’estimer d’emblée un quotient crédible. On ouvre ensuite le livre et on observe ce que disent Mathilde et Mathieu. Tous deux commencent par 4 fois 37. Ce premier calcul est repris au tableau : peut-on écrire q = 4 et r = 43 ? Les deux méthodes pour ajuster le quotient sont alors explicitées dans le même ordre que sur le livre : – on peut refaire une multiplication, puis une soustraction (on obtient un résultat correct) ; – on peut directement retirer 37 de 43, « il y a 1 fois 37 de plus », le quotient est 5 et non 4 ; le reste, ici, est calculé mentalement. Les deux premiers cas de l’activité 2 peuvent être traités collectivement.

Activité complémentaire La pyramide ……… ……… ……… ……… ……… ……… 375 ……… 125 ……… 275 ………

25

………

25

Le nombre au sommet est un multiple de 250.

113

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2e période

42

Problèmes pour apprendre à chercher

J’analyse trois résolutions

Des indications pédagogiques générales sur les PAC figurent au début du Guide.

Problème : Un alpiniste commande 5 cordes à 74 € 65 l’unité. Quel est le montant total de cette commande ? Voici les solutions de Sébastien, Mélanie et Cécile.

2 3 2

Activités

74,65€ + 74,65€ + 74,65€ + 74,65€ + 74,65€ 373,25€

Séquence 42

Calculs proposés oralement Conversions vers des unités plus petites L’enseignant demande par exemple d’exprimer en pouces une longueur de 32 pieds, en secondes une durée de 9 minutes, en litres une contenance de 34 hl, etc. Les rapports entre unités sont connus et les cas abordés sont ceux qui ont été étudiés lors des sq 39 et 40 : – soit il s’agit de deux unités contigües ; – soit il s’agit de convertir des longueurs exprimées en m, dm ou cm dans une unité inférieure (on peut « sauter » une ou deux unités) ; – soit enfin il s’agit de passer des km, hm ou dam au m (des kg, hg ou dag au g ; des hl ou dal au l). Dans tous les cas, la multiplication mobilisée (32 × 12 ; 9 × 60 ; 34 × 100 ; etc.) est facile. Le raisonnement qui amène à mobiliser la multiplication est celui qui a été introduit dans la sq n° 39 : il y a plus de pouces, il y en a 12 fois plus…

1. Calculer n fois un prix donné en euros et centimes Cette activité est l’occasion d’amener les élèves à comprendre que, dans ce cas, on calcule quasiment de la même façon qu’avec des prix « simples » (exprimés, par exemple, seulement en €). à la fin de cette activité, on s’efforcera d’ailleurs d’aboutir à un calcul où l’on obtient directement un résultat en € et c. • Pour la solution de Sébastien, on fera expliquer la retenue des dizaines de centimes (3) au-dessus de la colonne des unités d’euros : 30 dizaines de centimes, c’est 300 centimes, c’est-àdire aussi 3 euros. • La solution de Mélanie (370 € et 325 c) n’est pas à proprement parler fausse. Mais sa façon d’exprimer le prix total n’est pas conventionnelle… • Le raisonnement de Cécile est facile à comprendre. Le fait que 37 325 c = 373 € 25 peut aller de soi pour beaucoup d’enfants. Mais il n’est pas inutile de justifier cette solution de la manière suivante : à chaque fois qu’il y a 100 centimes, cela fait 1 € ; dans un prix donné en centimes, le chiffre des centaines est donc celui des unités d’euro. Cela aidera à comprendre qu’on peut aussi calculer ainsi directement : 74€65 × 5 373€25

2. Problèmes divers Les 6 problèmes proposés sont de différents types : 1. « Partie-tout » (le tout et une partie étant connus, on cherche l’autre partie).

CALCUL MENTAL Conversions (pieds → pouces ; min → s ; hl → l ; dm → mm ; etc.) dans des cas faciles (voir p. 12).

Je calcule d’abord les euros :

74 € 65 = 7 465 c

7 4 x 5 3 7 0

7 4 65 x 5 3 73 25

Puis, je calcule les centimes :

6 5 x 5 3 2 5

37325 c = 373 € 25 c

Le montant total de la commande est de 373,25 €.

Le montant de la commande est de 370 € et 325 c.

Le montant total de la commande est de 373,25 €.

Sébastien

Mélanie

Cécile

Quelle(s) solution(s) conviennent ? Pourquoi la ou les autres ne conviennent-elles pas ?

Problèmes variés 1. Dans une ville, il y a 9 691 habitants.

1 407 de ces habitants sont des enfants. Combien d’adultes habitent cette ville ?

2. M. Berger revient d’un pays tropical

et raconte son voyage : « Pendant 3 jours exactement, il a plu sans arrêt ! », dit-il. Pendant combien d’heures a-t-il plu ?

3. Un supermarché a reçu 247 caisses

de 36 bouteilles de jus de pomelos. Combien de bouteilles de jus de pomelos ce supermarché a-t-il reçues ?

4. Une école de musique achète 7 flutes à bec à 26,50 € pièce et 13 guitares à 128,75 € la guitare. Combien dépense-t-elle en tout ?

5. Un pépiniériste veut replanter 220 jeunes peupliers en formant des rangées de 32. Combien de rangées peut-il former ?

6. Construction géométrique a. Trace un cercle de rayon 6 cm. b. Trace deux diamètres de ce cercle. c. Appelle A, B, C et D les extrémités de ces diamètres. d. Trace le quadrilatère ACBD. Que remarques-tu ?

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2. Conversion d’une durée (jours → heures). 3. Multiplication. 4. Calcul de n fois un prix donné en € et c. 5. Quotition (combien de fois 32 dans 220 ?). 6. Construction géométrique.

Activités

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Séquence 43

Calculs proposés oralement Conversions vers des unités plus petites Même activité que sq 42.

1. Divers calculs sur des durées Dans la sq 29, les élèves ont appris à déterminer une durée entre deux horaires quand le second est exprimé sans minutes (par exemple : quelle durée y a-t-il entre 17 h 15 et 18 h ?). Ici, les deux premières situations sont fondamentalement les mêmes, mais le second horaire est quelconque (par exemple : quelle durée y a-t-il entre 17 h 15 et 18 h 21 ?). Elles devraient poser d’autant moins de problèmes que l’on demande aux élèves de vérifier un résultat déjà donné. Il convient cependant d’exiger qu’ils explicitent leur réponse par un calcul écrit. Si des élèves « bloquaient » sur cette nouveauté, on les aiderait évidemment en les amenant à mobiliser ce qu’ils savent faire dans le cas le plus simple : pour calculer la durée entre 17 h 15 et 18 h 21, il faut d’abord calculer la durée jusqu’à 18 h, puis de 18 h à 18 h 21. Pour ces questions, plusieurs modes de calculs sont possibles et, en fin d’activité, on établira leur équivalence. Par exemple,

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43

Problèmes pour apprendre à chercher

Activités Sq 42 et 43 – pages 66 et 67

CALCUL MENTAL Conversions (pieds → pouces ; min → s ; hl → l ; dm → mm ; etc.) dans des cas faciles (voir p. 12).

2. Problèmes divers

Je recherche les informations pertinentes

1. N fois un prix donné en € et c. 2. Conversions (hl → l). 3. Problème de division-quotition. 4. Calcul de durées. 5. Partie-tout (le tout et une partie étant connus, on cherche l’autre partie). 6. Multiplication. Voici un exemple de résolution du problème 6 :

Observe cet extrait d’un programme de télévision :

a. Vérifie que l’émission « Les animaux d’Afrique » dure 66 min. b. Vérifie que l’émission « Le magazine de l’Histoire » dure 48 min. c. Calcule, en heure et en minutes, la durée totale de l’enregistrement à prévoir.

Problèmes variés 1. 23 élèves de CP et leur maitresse vont au

4. Nicolas fait le trajet Paris-Valence

musée. Voici les prix des billets d’entrée : • Enfants de moins de 12 ans : 3,25 € • 12 à 18 ans : 4 € • Étudiants : 4,50 € • Adultes : 5,75 € • Plus de 60 ans (carte senior) : 5 € Combien la maitresse devra-t-elle payer pour visiter ce musée avec sa classe ?

avec changement de train à Lyon. Il met 116 min pour aller de Paris à Lyon. À Lyon, le changement dure 15 min. Le trajet Lyon-Valence dure 43 min. La SNCF avait annoncé que le voyage durerait moins de 3 heures. Est-ce exact ?

L’élève effectue la multiplication en ligne : (320 × 5) + (320 × 20). Cela témoigne de bonnes compétences en calcul mental et d’un excellent contrôle sur les étapes de cette opération. 7. Calcul d’une différence entre 2 masses exprimées dans des unités différentes (g et kg).

5. Dans un stade, il y a 1 210 places assises. 249 spectateurs sont déjà entrés. Combien y a-t-il de places libres ?

2. Dans une coopérative laitière,

on installe une cuve réfrigérée qui contient 97 hl de lait. Combien contient-elle de litres de lait ?

6. Pour fabriquer un biscuit chocolaté,

3. M. Fontaine a préparé 2 600 g de compote

de pommes. Il veut remplir des pots qui peuvent contenir 250 g de compote. Combien de pots peut-il remplir ?

un boulanger utilise 25 g de chocolat. On lui commande 320 biscuits. Quel poids de chocolat lui faut-il pour fabriquer ces 320 biscuits ?

7. On prend 200 g de sucre dans un paquet

d’1 kg. Quelle quantité de sucre reste-t-il dans le paquet ?

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pour la première question, outre le calcul en avançant de 17 h 15 à 18 h 21, on peut tester si l’addition 17 h 15 min + 66 min a bien comme résultat 18 h 21 min. Que des élèves aient ou non utilisé cette autre méthode, il est particulièrement utile de la soumettre à la classe. L’enseignant demandera à tous les élèves d’effectuer ce calcul (comme ils le souhaitent, en lignes ou en colonnes), ce qui conduit à expliciter qu’avec 17 h 81 min, on a formé 1 heure de plus (d’où 17 h 81 = 18 h 21). Certains élèves auront pu transformer d’emblée 66 min en 1 h et 6 min, ce qui simplifie la suite du calcul. La question 3 amène à calculer 66 min + 48 min et à convertir la somme (114 min) en heure et en minutes (1 h 54 min).

Activité complémentaire La pyramide ……… ……… ……… 100 ……… 100

Prolongement On pourra saisir cette occasion pour apprendre à effectuer la conversion 60 min → 1 h directement sur le résultat de l’addition en colonnes : 1 66 + 48 1

h

11 4 5

On pourra s’exercer à cette méthode sur d’autres calculs du type : 3 h 38 min + 57 min ; 1 h 42 min + 2 h 36 min ; etc. On veillera évidemment à proposer aussi des cas où le total des min ne dépasse pas 60.

33

……… ………

17

Le nombre au sommet est un multiple de 50.

Le portrait • J’ai la même coupe de cheveux qu’un de mes voisins. • Un de mes voisins a des lunettes. • Je n’ai pas de moustaches. Qui suis-je ?

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2e période

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CALCUL MENTAL 1. Division par 25, 10, 5 (voir p. 12). 2. Soustractions (idem sq 23).

Je découvre

Objectifs

1 a. Rappelle-toi combien il y a de pouces dans un pied. Un parapluie mesure 38 pouces. Imagine les pieds à chaque fois qu’il y a 12 pouces.

Dans cette séquence, on aborde la conversion de mesures dans les cas où l’on passe d’une unité donnée à une unité plus grande. Les élèves apprennent ici que, dans de tels cas, on calcule une division. Le raisonnement est le symétrique de celui qui a été utilisé pour les conversions d’une unité donnée vers une unité plus petite (cf. sq 39 et 40) : chercher combien d’hectomètres il y a dans 4 750 m, c’est chercher « en 4 750 m combien de fois il y a 100 m », c’est donc calculer 4 750 : 100 ?. Plus généralement, si une longueur est donnée en m et que je veux l’exprimer en hm, comme l’hm est plus grand, il y a moins d’hm, 100 fois moins, je divise le nombre par 100. Là encore, nous commençons par des conversions de mesures non décimales (pieds et pouces, unités de durées), car ces contextes facilitent la prise de conscience du fait qu’on calcule une division. Dans ces conversions, on obtient, le plus souvent, une mesure complexe formée de deux nombres. Mais les élèves n’en seront pas surpris. Comme on utilise la division avec reste, il est normal d’obtenir deux nombres, le nombre de « grandes unités » (c’est le quotient de la division) et le nombre de « petites unités », trop faible pour former une nouvelle « grande unité » (c’est le reste). Soulignons qu’à la fin la séquence, les élèves seront confrontés à des conversions diverses, tantôt dans une unité plus petite, tantôt dans une unité plus grande, et qu’ils devront donc, pour chaque cas, se demander de quel type de conversion il s’agit et quel est le rapport d’équivalence entre les unités. C’est ainsi une occasion d’approfondir la réversibilité de la multiplication et de la division, de mémoriser les rapports entre unités et d’automatiser le calcul de multiplications et divisions par 10, 100 et 1 000 et, pour les conversions non décimales, de consolider les stratégies de calcul appropriées (multiplier et diviser par 12, par 24 et par 60 par ex.).

Activités

La division pour effectuer des conversions

Séquence 44

Calculs proposés oralement : idem sq 40 1 à 3. La division pour effectuer des conversions Activité préliminaire Il s’agit d’amener les élèves à comprendre que pour chercher combien il y a de pieds dans 95 pouces, par exemple, on calcule la division 95 : 12 ?. Un premier raisonnement peut conduire à cette conclusion : si on se rappelle qu’il faut 12 pouces pour faire 1 pied, avec 2 fois 12 pouces, soit 24 pouces, on a 2 pieds ; avec 3 fois 12 pouces,

Exprime cette longueur en pieds et en pouces.

Ce sapin mesure 113 pouces. Exprime sa taille en pieds et en pouces.

113 pouces 38 pouces b. Record de France du 1 500 m féminin : 241 secondes (Hind Dehiba-Chahyd, 2005). Exprime cette durée en minutes et secondes.

d. Ce bébé pèse 6 230 g. Exprime ce poids en kg et g.

f. Ce crayon mesure 235 mm. Exprime cette longueur en dm et mm.

c. Deux spéléologues sont restés sous terre pendant 103 heures. Exprime cette durée en jours et heures.

e. Cette citerne contient 7 975 l d’essence. Exprime cette contenance en hl et l.

g. Entre ces deux portes de Paris, il y a 9 500 m. Exprime cette longueur en km et m. Porte Maillot

235 mm

Porte de Bercy

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soit 36 pouces, on a 3 pieds… Il convient alors de prendre conscience qu’on est en train de chercher « combien de fois il y a 12 dans 95 », c’est-à-dire de calculer la division 95 : 12 ?. Un second raisonnement consiste à prendre en compte d’emblée le fait qu’il y a moins de pieds, 12 fois moins, ce qui conduit à diviser 95 par 12. Il est alors possible de prendre conscience (et ceci peut être considéré comme un troisième raisonnement, plus abstrait) que l’on fait fonctionner ici la division comme l’opération inverse de la multiplication : quand on passe des pieds aux pouces, il y a plus de pouces, 12 fois plus, le nombre solution est plus grand que celui qui exprime la mesure en pieds et l’on calcule une multiplication ; quand on passe des pouces aux pieds, il y a moins de pieds, 12 fois moins, le nombre solution est plus petit que celui qui exprime la mesure en pouces, on calcule une division. Au début de l’activité, de nombreux enfants entreront d’emblée dans le premier raisonnement. Mais il conviendra d’amener les élèves à s’approprier les deux autres raisonnements car ils pourront les utiliser immédiatement pour les conversions de durée et avec le système métrique. Conduite de l’activité L’enseignant a fait rappeler l’équivalence 1 pied = 12 pouces, qu’il a écrite au tableau. De plus, il a tracé un trait qui mesure 95 pouces. Tout en traçant ce trait, il explique aux élèves sa procédure pour tracer un trait de 95 pouces : il trace une lignesupport ; il utilise une règle de 10 pouces qu’il a préalablement graduée et qu’il reporte 9 fois sur la ligne (= 90 pouces) ; il repère en plus une longueur de 5 pouces (= 95 pouces). Enfin,

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Activités Sq 44 – pages 68 et 69

MENTAL on par 25, 10, 5 (voir p. 12). ractions (idem sq 23).

J’ai

ap

s pri

• Si une longueur est donnée en pouces, et que je veux l’exprimer en pieds et pouces, il y a moins de pieds. Il y en a 12 fois moins, je divise par 12. • Si une durée est donnée en secondes, et que je veux l’exprimer en minutes et secondes, il y a moins de minutes. Il y en a 60 fois moins, je divise par 60. • Si une durée est donnée en heures, et que je veux l’exprimer en jours et heures, … • Si une masse est donnée en grammes, et que je veux l’exprimer en kilogrammes et grammes, … • Si une contenance est donnée en litres, et que je veux l’exprimer en hectolitres et litres, …

de plus, on aurait exactement 8 pieds). Cependant, il se peut qu’on ne dispose pas d’un tableau suffisamment grand. Dans ce cas, plutôt que tracer un trait, on pourra utiliser un ruban de papier (par exemple du rouleau de caisse enregistreuse).

2 Effectue ces conversions (il faut convertir dans des unités tantôt plus petites, tantôt plus grandes). • 2 850 g (il faut faire apparaitre les hg)

• 145 minutes (il faut faire apparaitre les heures)

• 130 l (il faut faire apparaitre les dal)

• 327 mm (il faut faire apparaitre les dm)

• 150 minutes (il faut faire apparaitre les secondes)

• 144 heures (il faut faire apparaitre les minutes)

• 54 hm (il faut faire apparaitre les m)

• 120 heures (il faut faire apparaitre les jours)

Problèmes 3 1. Chaque jour, à cause d’une fuite,

une canalisation perd 910 l d’eau. Combien d’hl d’eau sont ainsi perdus ?

2. Le plus grand avion de passagers du monde, le A 380, a une envergure de 8 dam. Exprime cette longueur en m.

3. La durée d’enregistrement annoncée sur un DVD est de 240 min. Exprime cette durée en heures.

4. Un orfèvre achète un fil d’or qui mesure 185 cm. Combien est-ce de mm ?

Je deviens performant A Calcule ces divisions. 164 : 49 ?

90 : 28 ?

246 : 82 ?

232 : 53 ?

214 : 49 ?

115 : 28 ?

289 : 82 ?

534 : 53 ?

B Construction géométrique a. Trace un segment [AB] de 6 cm. b. Place le point O, milieu de [AB]. c. Trace la droite D perpendiculaire à [AB] et passant par O. d. Place le point C sur la droite D à 3 cm du point O. e. Trace le cercle de centre O et de rayon [OC]. Que peux-tu dire du segment [AB] ? 69

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en montrant une règle en carton de 1 pied (cf. sq 39), il demande par exemple : « Ce trait mesure 95 pouces. Sauriez-vous donner sa mesure en pieds ? ». On pourrait reporter la règle sur le trait autant de fois que possible et le problème serait ainsi résolu. Mais l’enseignant insiste pour que les élèves anticipent ce nombre. Le report servira à vérifier… Lors de la mise en commun, on amorce le raisonnement qui consiste à parcourir la table des multiples de 12. Mais l’enseignant interrompt la procédure vers « 4 fois 12, 48 », par exemple, et demande : « On cherche combien de fois il y a 12 dans 95, que calcule-t-on ? ». La division 95 : 12 ? est écrite. On trouve q = 7 et r = 11 et on interprète les deux nombres : 95 pouces, c’est 7 fois 12 pouces et 11 pouces, c’est 7 pieds et il y a encore 11 pouces (on remarque qu’avec 1 pouce de plus, ce trait mesurerait 8 pieds exactement). On écrit 95 pouces = 7 pieds et 11 pouces. Il est important de faire la preuve, car cela aide à relier l’usage de la division et la situation initiale. Cette anticipation est vérifiée avec la règle en carton qui est reportée sur le trait (l’enseignant trace des repères qui matérialisent ces reports). Ce trait mesure presque 8 pieds, en fait 7 pieds et 11 pouces.

Remarque Dans l’activité préliminaire, la longueur de 95 pouces est intéressante pour deux raisons : elle est suffisamment grande pour rendre économique le passage du parcours pas à pas des multiples de 12 au calcul d’une division (on peut d’emblée essayer un quotient vraisemblable) ; le reste est 11, ce qui aide à interpréter cette division comme une conversion (avec 1 pouce

Activité 1 sur le manuel Les deux problèmes a sont assimilés à celui du trait au tableau : une longueur est donnée en pouces et on veut l’exprimer en pieds et pouces. L’enseignant peut faciliter l’entrée dans ces deux premières conversions en faisant observer les longueurs correspondantes (voir remarque ci-après). Les élèves calculent les deux divisions. Elles sont écrites au tableau. Les preuves sont elles aussi calculées et les conversions obtenues sont écrites. Si on a représenté les deux longueurs, il est bon de vérifier les solutions obtenues en reportant la règle de 1 pied sur chacune d’elles. On fait alors formuler les raisonnements plus abstraits (voir ci-dessus) : • quand on passe d’une mesure donnée en pouces à une mesure en pieds, comme les pieds sont plus grands, il y en a moins, 12 fois moins, on divise par 12 ; • dans un cas (pieds → pouces), on obtient un nombre plus grand et on utilise la multiplication ; dans le cas inverse (pouces → pieds), on obtient un nombre plus petit, on utilise l’opération inverse de la multiplication, la division. Pour chacun des problèmes suivants, on commence par une phase de recherche individuelle, suivie d’un échange collectif bref : à chaque fois, on reprend les raisonnements qui ont été utilisés pour les conversions pouces → pieds. Pour le problème e, des élèves pourront avoir besoin de se référer à l’affichage établi lors de la sq 40.

Remarque Si l’enseignant souhaite faire observer la longueur d’un parapluie de 38 pouces et celle d’un sapin de 113 pouces, nous lui conseillons de préparer préalablement un matériel adéquat. Il peut par exemple utiliser deux bandes découpées dans un rouleau de caisse enregistreuse, sur lesquelles il aura repéré ces deux longueurs en notant les graduations des pouces de 10 en 10 et de 5 en 5 (et, pour la longueur de 113 pouces, il aura fait ressortir le repère 50 pouces et le repère 100 pouces). Ce matériel pourra servir dans d’autres situations similaires, voire les années suivantes.

Activités 2 et 3 Les élèves font individuellement les conversions demandées dans l’activité 2. On attire leur attention sur le fait que les deux sortes de conversions sont présentes et que c’est à eux de les déterminer : faut-il multiplier, faut-il diviser ? Si besoin, on pourra traiter collectivement les trois premiers cas, ne serait-ce que pour que les élèves sachent ce qu’on attend d’eux, à savoir une égalité du type 2 850 g = 28 hg et 50 g. On n’exige pas un calcul écrit pour chaque conversion (souvent le calcul peut se faire mentalement). À la fin de l’activité 3, il sera utile de faire expliciter les calculs appropriés : on multiplie ou on divise ?

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2e période

45

CALCUL MENTAL 1. Divisions par 250, 100, 50 (voir p. 12). 2. Soustractions (idem sq 23).

Je découvre

Objectifs

1 Un chef de brigands a commencé à partager équitablement 318 pièces d’or entre ses 25 hommes. Quelle sera la part de chacun ? Restera-t-il des pièces ?

Les élèves ont appris qu’avec la division, on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Ils apprennent, dans la sq 45, qu’elle permet aussi de chercher le résultat d’un partage. A priori, ces deux situations sont très différentes. Le fait qu’une même opération, la division, permette d’anticiper le résultat de ces deux actions si différentes n’a donc rien d’évident (voir Présentation, chapitre 1). Ici, on amène les élèves à prendre conscience que partager en 25 parts une quantité de 318 objets, c’est chercher combien de distributions de 25 objets on pourra faire, c’est-à-dire chercher combien de fois il y a 25 dans 318. Autrement dit, on ramène un problème de partage à un problème de quotition. Avec la sq 46, on vise une première découverte des nombres au-delà de 10 000. On se place ici dans le contexte des longueurs. Les élèves savent déjà que 1 m c’est 1 millier de mm. Ils peuvent alors compter des « mille » comme ils comptent des « uns » : 10 m, c’est 10 000 mm, 100 m, c’est 100 000 mm, et 1 000 m ou 1 km « contiennent » 1 000 fois 1 000 mm ou 1 million de mm. Considérer que, dans un km, il y a un million de mm aide à concevoir le million comme 1 000 fois 1 000, mais aussi à s’en donner une appréhension intuitive. Cette première découverte connaitra un prolongement avec l’autre contexte d’apprentissage de la numération (matériel Cubus), dans la sq 48.

Activités

La division-partition : situation de partage

Séquence 45

Calculs proposés oralement : idem sq 41 1 et 2. La division pour partager… Activité préliminaire On traite collectivement une situation comparable à celle du livre, par ex. le partage de 164 pièces entre 25 brigands. Pour « théâtraliser » les données, 25 élèves restent assis, les autres sont chargés du partage (s’il y a moins d’élèves, on peut par exemple mettre en scène le partage de 137 pièces entre 20 brigands). Mais ce partage est seulement amorcé, car on l’interrompt dès que chaque « brigand » a reçu une pièce : on veut que les enfants prennent conscience qu’ils sont en train de chercher combien de fois il y a 25 dans 164, c’est-à-dire de calculer 164 : 25 ?. Le fait de s’arrêter aussitôt après la première distribution est essentiel car la relation « 1 pièce par pirate → 25 objets pris dans le stock » est plus facile à faire si chacun n’a qu’une pièce. Déroulement L’enseignant propose un problème tel que celui-ci : 25 brigands se partagent équitablement 164 pièces d’or. Quelle est la part de chacun ? Reste-t-il des pièces ? L’énoncé est écrit au tableau. Le mot « équitablement » est défini par opposition à un partage

J’ai déjà donné 1 pièce à chacun. En tout, je viens de distribuer 25 pièces…

Écris la division qu’aurait pu faire le chef des brigands et calcule-la.

J’ai

ap

pri

s

Quand je partage équitablement 318 objets entre 25 personnes, pour donner 1 objet à chaque personne, il faut 25 objets. Pour donner encore 1 objet à chaque personne, il faut encore 25 objets, etc. Pour partager équitablement 318 objets entre 25 personnes, je cherche combien de fois il y a 25 dans 318, je peux calculer la division 318 : 25 ?.

Problèmes 2 1. Une fleuriste a 187 roses et 10 vases.

Elle veut qu’il y ait le même nombre de roses dans tous les vases. Combien de roses mettra-t-elle dans chaque vase ? Restera-t-il des roses ?

2. Une nourrice a 30 gâteaux.

Elle veut partager ces gâteaux entre les 6 enfants qu’elle garde. Quelle sera la part de chaque enfant ? Restera-t-il des gâteaux ?

Je deviens performant A Effectue ces conversions. Attention ! il faut convertir dans des unités tantôt plus petites, tantôt plus grandes. • 203 heures (il faut faire apparaitre les jours)

• 98 dm (il faut faire apparaitre les mm)

• 285 g (il faut faire apparaitre les dag)

• 150 heures (il faut faire apparaitre les minutes)

• 351 pieds (il faut faire apparaitre les pouces)

• 540 m (il faut faire apparaitre les hm)

B Le nombre mystérieux 7 891

8 744

9 021

9 453

9 744

69 × 137

9 805 – 1 914

58 × 168

9 918 – 897

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inégal. L’enseignant a préparé une boite où seront stockés des jetons représentant les pièces. Il a également préparé 16 piles de 10 jetons et une de 4 et fait constater le nombre total aux élèves. Il introduit les 164 jetons en vrac dans la boite et propose de garder 25 élèves assis (ou 20) : ce sont les brigands. Les autres seront chargés d’effectuer le partage et il leur est demandé de se lever. On commence la distribution en donnant un jeton à chaque brigand : combien de jetons vient-on d’enlever de la boite ? Pour continuer, que faudrait-il faire ? Si on donne un 2e jeton à chaque brigand, cela aura pour effet de prélever encore 25 jetons dans la boite. Et si on en donne un 3e ? On résume alors : à chaque fois qu’on peut prélever 25 jetons dans la boite, chaque brigand reçoit un nouveau jeton. Pour connaitre la part d’un brigand, il suffit de se demander combien de fois on peut prélever 25 jetons dans les 164 du départ. En faisant reformuler le problème ainsi, l’enseignant amène les élèves à prendre conscience, dès la fin de la 1re distribution, qu’ils sont en train de calculer une division, la division 164 : 25 ?. Celle-ci est écrite au tableau et calculée. On interprète la réponse : q = 6 et r = 14, cela veut dire que chacun des 25 élèves aura 6 jetons et qu’il en restera 14 dans la boite. On vérifie cette anticipation en procédant à la distribution des jetons : chaque enfant reçoit 5 nouveaux jetons et on compte les jetons dans la boite : il en reste bien 14 !

Activité 1 sur le livre Les élèves observent le problème du livre : c’est la même situation, mais avec 318 pièces d’or et 25 brigands. L’illustration mérite toutefois une discussion : on ne voit que 6 brigands. On imagine les autres à gauche de la page, de même que les pièces déjà distribuées. On

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46

Numération : les nombres au-delà de 10 000 (1) Je découvre

1 Te rappelles-tu combien il y a de mm dans cette longueur de 1 m ?

2 Avec ta classe, tu vas former une ligne brisée longue de plusieurs milliers de mm. a. Sur une feuille de format A4, trace une ligne brisée de 1 000 mm comme M. Millimètre (sans représenter les mm). b. Découpe la feuille pour que les extrémités de la ligne brisée soient sur les bords. c. Prépare trois autres lignes brisées de 1 000 mm. Assemble ces feuilles avec celles de tes camarades pour former une « ribambelle de mètres ».

Quelle est la longueur de la ligne brisée que ta classe a formée ? Exprime cette longueur d’abord en m puis en mm.

3 Dans une autre classe, on a formé une longueur de 127 m. Exprime cette longueur en mm. Et si on arrivait à former une longueur de 1 000 m ?… Comment s’appelle cette longueur ? J’ai

ap

pri

s

On compte les groupes de 1 000 comme on compte les unités simples (les « uns ») : 3 000, c’est « 3 mille » ; 45 000, c’est « 45 mille » ; 812 000, c’est « 812 mille », etc. 452981, c’est difficile à lire. 452 981, c’est plus facile : on connait tout de suite le nombre de mille ! 1 000 000, c’est « 1 million ». C’est 1 000 groupes de 1 000. C’est le nombre de mm qu’il y a dans 1 km.

Je deviens performant 168 : 25 ? 225 : 25 ?

137 : 44 ? 224 : 44 ?

218 : 52 ? 360 : 52 ?

21 : 8 ? 32 : 8 ? 71

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reconstruit l’histoire « racontée » ici : à chaque fois qu’il y a 25 pièces dans les 318 du coffre, chaque brigand reçoit une pièce… On conclut en proposant d’autres « problèmes de brigands » (et d’autres diviseurs). Les élèves les résolvent individuellement, puis on vérifie les solutions collectivement. On peut proposer par exemple : – 2 864 pièces à partager entre 250 brigands, – 68 pièces à partager entre 7 brigands, – 141 pièces à partager entre 32 brigands. Il est important de proposer dès ce moment un problème dont le diviseur est un nombre quelconque de deux chiffres (comme 32). Les élèves réutiliseront ainsi le calcul par estimation découvert dans la sq 41.

Activité 2 Il est normal que des élèves n’utilisent pas la division. C’est à la fin de l’activité que la discussion fera le lien avec l’activité précédente.

Activités

facile de s’imaginer qu’on a déjà réalisé le partage de 26 en 3 parts égales et de se demander « 3 fois combien font 26 ? ». De ce fait, cela revient à chercher le quotient dans la table de multiplication par 3. En fait, on trouve donc « 3 fois 8, 24 », ce qui conduit à q = 8 et r = 2. Les élèves découvrent cette stratégie dans la sq 46 (après avoir compris que la division permet de résoudre des problèmes de partage équitable) avec les diviseurs 3 et 5 et quelques cas de divisions par 2. On l’étend ensuite aux autres nombres (voir sq 48, 50, 52, etc.). S’agissant des divisions par 2, la table de 2 permet de raisonner comme pour les divisions par 3 et par 5. Pour 17 : 2 ?, par exemple, il est extrêmement facile de chercher « 2 fois combien font 17 ? », car, connaissant « 2 fois 8, 16 », on aboutit immédiatement à q = 8 et r = 1. Notons que l’enseignant peut aussi proposer, dès ce moment, quelques cas de divisions telles que 174 : 2 ? (q < 100). Ce type de calcul, en effet, reste facile. Pour 174 : 2 ? par exemple, si on s’imagine le partage déjà réalisé et si on se demande « 2 fois combien font 174 ? », on obtient aisément le quotient, car cela revient en effet à chercher de quel nombre 174 est le double. Or, si l’on connait bien les doubles des nombres < 100 (cf. sq 10 et suivantes), pour 170 : 2 ?, la réponse est immédiate : q = 85 et, pour 174 : 2 ?, la réponse vient presque aussitôt : q > 85 … q = 87.

1 et 2. Les nombres > 10 000 (1)

Calcule. 136 : 63 ? 371 : 63 ?

Activités Sq 45 et 46 – pages 70 et 71

CALCUL MENTAL Tables de 3 et de 5, puis divisions par 3 et par 5 (q ≤ 10) et quelques cas de division par 2 (q ≤ 10). Voir p. 12.

Séquence 46

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions L’enseignant interroge d’abord sur les tables de 3 et de 5, puis propose des divisions par 3 et par 5 et quelques cas de divisions par 2. Il s’agit de comprendre que, dans les divisions du type 26 : 3 ?, plutôt que de chercher « en 26, combien de fois 3 ? », il est plus

Les élèves ont pu développer une intuition des diverses unités de mesure de longueur. Ils savent à quelles longueurs correspondent 1 mm et 1 m, ils savent aussi qu’il y a 1 000 mm dans 1 m. On s’appuie sur ces acquis pour les aider à concevoir les nombres comportant des dizaines de milliers, des centaines de milliers et 1 million (vu comme 1 000 milliers). Pour cela, on leur fait construire une grande « ribambelle de ressorts » de 1 m comme M. Millimètre : une « ribambelle » de 112 m, par exemple (qui correspond à 4 ressorts par élève dans une classe de 28), c’est ainsi 112 000 mm. En imaginant qu’on la déplie, on se représente la longueur correspondante : 112 m, c’est par exemple long à peu près comme la distance entre la porte de l’école et l’arrêt de bus, elle « contient » environ 112 000 mm.

Activités 1 et 2 On commence en utilisant les illustrations du livre de l’élève. On observe le « ressort » de 1 m tracé comme M. Millimètre. On peut vérifier qu’il comporte bien 10 segments de 100 mm. Combien est-ce de mm ? Et si on mettait bout à bout 10 « ressorts » de 1 m, combien y aurait-il de mm ? 20 ressorts ?... etc. De là l’idée de mettre bout à bout des ressorts de 1 m tracés par les élèves : ça ferait une ligne brisée de plusieurs milliers de mm. Les élèves sont alors invités à comprendre l’ensemble du processus décrit dans l’activité 2, puis à réaliser les tracés demandés. Chaque élève peut par exemple disposer de 4 feuilles pour tracer 4 « ressorts » de 1 m (évidemment, sans les graduer). On conseille de s’inspirer du modèle de ressort de l’activité 1 du livre : les angles formés par les dm sont petits. L’enseignant commence par repasser en rouge le premier mm du premier ressort : c’est l’unité dont on dira bientôt qu’il y en a plus de 10 000 ! Suite p. 121 ☛

119

72563527_.indb 119

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2e période

47

Vers la technique écrite de la division

CALCUL MENTAL Tables de 3 et de 5, puis divisions par 3 et par 5 (q ≤ 10) et quelques cas de division par 2 (q ≤ 10). Voir p. 12.

Je découvre

Objectifs

1

584 : 3 ? Le chef des brigands veut partager 584 pièces d’or en 3 parts égales. Je cherche : « En 584, combien de fois 3 ? ». Oh ! Ça va être long !

On aborde ici la deuxième grande stratégie de calcul mental d’une division. Les élèves ont d’abord appris à calculer des divisions du type 219 : 25 ?, 1 813 : 250 ?, 134 : 10 ?, 147 : 38 ?, etc. à chaque fois, ils se demandent combien de fois le petit nombre est contenu dans le grand (division-quotition). En revanche, pour des cas du type 584 : 3 ?, si on cherche combien de fois il y a 3 dans 584, cela devient laborieux (200 fois, c’est trop parce que 200 fois 3, c’est 600 ; 100 fois, ce n’est pas assez parce que 100 fois 3, c’est 300 ; 150 fois non plus, parce que 150 fois 3, c’est 450, etc.). Or, on peut aussi s’appuyer sur le sens de la division-partage et chercher à partager 584 en 3 parts égales. On aboutit ainsi à partager successivement les centaines, les dizaines et les unités. Pour favoriser l’apprentissage de cette stratégie, dans un premier temps les enfants s’aident du dessin du matériel de numération. Ainsi pour 584 : 3 ?, quand on partage 5 plaques-centaines en 3, chaque part est de 1 plaque et il en reste 2 ; ces 2 plaques-centaines sont « cassées » et on fait apparaitre les 20 barres-dizaines ; avec les 8 qu’on voyait déjà, c’est 28 barres-dizaines qu’il faut maintenant partager : chaque part est alors de 9 barres et il en reste 1 ; cette barre-dizaine est « cassée », etc. Cette séquence a deux objectifs : continuer à s’approprier le « geste mental » de la partition, et préparer à l’introduction de la technique écrite de la division qui utilise ce geste mental (cf. Présentation, chapitre 3). Le premier objectif est fondamental. à terme, on espère que, pour 584 : 3 ? par exemple, de nombreux élèves deviennent capables de calculer en ligne : « 5 centaines div. par 3, 1 centaine », en notant q = 1…, «il reste 2 centaines » (représentées par 2 doigts levés) ; « 28 dizaines div. par 3, 9 dizaines », ils notent q = 19…, « il reste 1 dizaine » (représentée par un doigt levé) ; « 14 unités div. par 3, 4 unités et il en reste 2 ».

Activités

Séquence 47

Calculs proposés oralement : idem sq 46 1. Vers la technique écrite de la division Activité 1 Les élèves vont d’abord prendre conscience que chercher combien il y a de fois 3 dans 584 serait laborieux. La recherche d’une solution les amènera alors à comprendre que l’on peut mettre en œuvre (et comment) le partage des centaines, puis des dizaines, puis des unités. Déroulement L’enseignant a repris au tableau l’énoncé du problème : Un chef de brigands … Il a déjà représenté 3 « bonshommes » qui sont 120

72563527_.indb 120

Il ferait mieux de partager successivement les centaines, les dizaines et les unités. Regarde…

a Partage des centaines : Monsieur Cubus a préparé 5 centaines, 8 dizaines et 4 unités. Il partage d’abord les centaines. 5 centaines divisées par 3, c’est 1 centaine et il reste 2 centaines. C D U

C D U

C D U

1 ................

1 .................

1 .................

b Partage des dizaines : Monsieur Cubus a séparé les dizaines qui étaient dans les 2 centaines restantes. Il voit ainsi toutes les dizaines qu’il faut partager. Il effectue ce partage. 28 dizaines divisées par 3, c’est 9 dizaines et il reste 1 dizaine.

C D U

C D U

C D U

1 9 .........

1 9 ..........

1 9..........

72

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19/12/2016 12:28

les brigands. On formule la division correspondante et celle-ci est écrite au tableau. Comment va-t-on la calculer ? Des élèves suggèrent de chercher combien de fois il y a 3 dans 584. Mais, en égrenant les premiers multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, etc., on se rend compte que ce calcul risque d’être long. L’enseignant invite alors les élèves à chercher un autre moyen. Si ceux-ci n’y pensent pas dès ce moment, il peut évoquer la situation de partage. Progressivement, le débat amènera à formuler ces questions : Comment faire si on ne distribue pas les pièces une à une ? Ne pourrait-on pas partager les 5 centaines de pièces entre les 3 pirates… ? Que ferait-on des 2 centaines qui restent ? Ce débat est indispensable pour déterminer comment continuer, puis comment représenter les groupes de 100 pièces et de 10 pièces. L’idée d’utiliser le dessin des centaines, dizaines et unités du matériel de M. Cubus en imaginant que chaque cube représente 1 pièce émerge alors et l’enseignant incite les élèves à mettre en œuvre par eux-mêmes cette solution. Ils sont alors conduits à expliciter qu’il vaut mieux utiliser un dessin schématique des plaques-centaines et des barres-dizaines (les unités ne sont pas visibles). Après une courte phase de recherche individuelle, l’enseignant fait formuler ce que les élèves ont essayé et il leur demande d’ouvrir leur livre et d’observer ce que propose M. Cubus : lui aussi raisonne sur ses cubes comme si c’était les pièces des brigands. L’enseignant dessine au tableau, de gauche à droite, en séparant nettement les groupements : 5 plaques-centaines, 8 barres-dizaines et 4 cubes-unités. Sur le livre, M. Cubus raisonne comme nous : il propose de partager d’abord les centaines, puis les dizaines, enfin les unités. 3 centaines sont entourées et

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Activités Sq 47 – pages 72 et 73

c Partage des unités : Monsieur Cubus a séparé les unités qui étaient dans la dizaine restante. Il voit ainsi toutes les unités qu’il faut partager. Il effectue ce partage. 14 unités divisées par 3, c’est 4 unités et il reste 2 unités.

☛ C D U

C D U

C D U

1 9 4 ..................

1 9 4 ...................

1 9 4 ..................

Sq 46 (suite) Il assemble ensuite les « ressorts » de 1 m avec de l’adhésif sur deux murs ou dans le couloir à mesure qu’ils sont produits (à raison de 15 cm de papier par ressort, il faut disposer d’un linéaire de 15 m pour 100 « ressorts », mais, pour rester au tableau, on peut faire « zigzaguer » cette ribambelle). Combien est-ce de mm ? Les élèves comptent ces mm : 1 000, 2 000, 3 000, etc. à 10 000 mm, on marque un repère à la séparation des ressorts correspondants. De même pour 20 000 mm, 30 000 mm, etc. Si on va jusqu’à 100 000 mm, le repère correspondant peut être marqué dans une autre couleur : « c’est 10 fois 10 000 mm ».

d Expression du résultat : q = 194

584 : 3 ?

J’ai

ap

r =  2

pri

car 584 =  (194 x 3) + 2

s

Dans une division par partages successifs des centaines, des dizaines et des unités, après avoir partagé les centaines, il faut partager deux sortes de dizaines : • les dizaines « qu’on ne voit pas » et qui sont dans les centaines qui restent, • les dizaines « qu’on voyait » dès le début. Après avoir partagé les dizaines, il faut partager deux sortes d’unités…

2

Activité 3

Cahier d’activités page 10

Je deviens performant A Effectue ces conversions. Attention ! il faut convertir dans des unités tantôt plus petites, tantôt plus grandes. • 246 minutes (il faut faire apparaitre les heures)

• 398 mm (il faut faire apparaitre les cm)

• 175 minutes (il faut faire apparaitre les secondes)

• 751 g (il faut faire apparaitre les hg)

• 181 pieds (il faut faire apparaitre les pouces)

• 54 dm (il faut faire apparaitre les mm)

B Problèmes 1. Une montgolfière est restée en vol

pendant 206 heures sans revenir au sol. Exprime cette durée en jours et heures.

2. Un producteur de fruits a pressé sa récolte de pommes et a recueilli 32 hl de jus. Combien est-ce de litres de jus de pomme ?

C Le nombre mystérieux 6 709

6 873

7 286

8 633

9 243

39 × 237

9 685 – 2 976

87 × 79

8 043 – 757 73

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barrées. On écrit sous chaque brigand un C pour centaine et, sous ce C, le nombre de centaines déjà distribuées, c’est-à-dire 1. L’étape suivante découle de cette 1re distribution : on ne peut plus donner de plaques-centaines. Partageons les dizaines. Combien y en a-t-il à partager ? Ce moment est crucial : il y a non seulement les 8 dizaines qu’on voyait dès le début, mais aussi celles qui sont « à l’intérieur » des 2 plaques restantes. Dans la technique finale, ce moment correspond à celui où l’on « abaisse » le 8 à côté du 2. On « casse » donc les 2 plaques pour faire apparaitre 2 fois 10 barres-dizaines (elles sont dessinées au tableau sous les plaques correspondantes). Il y a maintenant 20 barres-dizaines issues de cette transformation. Avec celles qui étaient là depuis le début, cela fait 28 barres-dizaines. Celles-ci sont partagées en une seule fois : 9 barres à chacun (on écrit D pour dizaines sous chaque brigand et 9 sous ce D). Il reste 1 barre-dizaine. Même démarche pour « casser » cette barre et effectuer le partage des unités. Le résultat est écrit q = 194 et r = 2. On termine par la preuve de cette division. On conclut en utilisant des formulations comparables à celles du J’ai appris, où l’on explicite notamment qu’il faut partager deux sortes de dizaines : celles qu’on obtient en « cassant » les plaques-centaines et celles « qu’on voyait au début » ; de même pour les unités. Ces formulations seront reprises dans la sq 51, au moment de l’introduction de la technique écrite.

Remarque Nous conseillons, pour cette activité, de n’utiliser que le dessin du matériel de numération Base 10 et non le matériel lui-même.

Elle se déroule collectivement. On exprime en mm des longueurs données en m : 42 m, 127 m, etc. (par ordre croissant). Les égalités (42 m = 42 000 mm, etc.) sont écrites au tableau. On s’arrête sur le cas de 1 000 m après l’étape de 999 m. On ne dit pas « mille mille », mais « un million » ! 1 km, c’est 1 million de mm. Entre tel et tel endroit, il y a 1 km, il y a aussi 1 million de mm ! En conclusion, on essaie de se donner des longueurs de référence dans l’environnement : – on part de longueurs familières aux élèves (la cour par exemple) et on essaie de l’estimer en m, puis on en donne la mesure en mm ; – on part d’un nombre de mm (100 000, par exemple) et on cherche une longueur qui lui correspond. Finalement, l’enseignant fait lire des nombres à 5 et à 7 chiffres. À chaque fois, il fait comparer l’écriture conventionnelle (les chiffres sont groupés par 3) et une écriture sans espace après les mille (voir le J’ai appris).

En effet, pour passer d’une plaque-centaine à 10 barres-dizaines avec ce matériel (ou d’une barre à 10 cubes-unités), il faut effectuer un échange (on ne peut pas « casser » les groupements) et puiser dans un stock de barres et de cubes qui, au départ, ne faisaient pas partie de la quantité à partager. On voit que le réalisme du matériel serait plus un obstacle qu’une aide, il obscurcirait la situation.

Activité 2 (sur le cahier d’activités) Avant d’ouvrir le cahier, on traite collectivement un problème similaire au tableau (avec des milliers par ex.). On se rapproche le plus possible de la disposition que les élèves trouveront sur le cahier. Là encore, on commence par déterminer l’ordre de grandeur du quotient : y aura-t-il des milliers, des centaines, etc. ? Sur le cahier (voir facsimilé page 125), les élèves travaillent individuellement. à la fin de chaque partage, ils font la preuve de la division correspondante.

Nota bene Dans les activités Je deviens performant des sq 49 et 50, les élèves auront à résoudre 4 autres problèmes similaires avant l’introduction d’une technique chiffrée. Normalement, cela suffit pour construire le « schème » des partages successifs des centaines, dizaines et unités. Mais, en cas de besoin, on trouvera, à la fin de ce guide pédagogique, d’autres supports pour des partages du même type qui pourront être photocopiés et proposés comme activités complémentaires avant la sq 51. 121

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2e période

48

1 a. Combien y a-t-il de cubes-unités ici ?

Cette séquence est consacrée à la numération décimale des grands nombres. Dans la sq 46, les élèves ont vu qu’ils pouvaient compter des mille comme ils comptaient des unités simples auparavant. Mais ils n’ont pas eu à réfléchir le fait qu’il existe des dizaines et des centaines de milliers comme il existe des dizaines et des centaines d’unités simples. C’est l’objectif de cette séquence. Il s’agit de s’approprier le principe de récursivité de notre numération orale : après 999, on ne dit pas « 10 cents », mais mille ; en revanche, après 9 999, on dit « 10 mille », et le « mille » fonctionne ensuite comme « grande unité » qu’on compte en utilisant à nouveau des dizaines et des centaines. Le matériel Cubus représente bien ce principe de récursivité : en effet, l’unité simple se présente comme un petit cube, la dizaine comme une barre, la centaine comme une plaque et, lorsqu’on passe au groupement supérieur de mille, on retrouve un cube ; du coup, et c’est ce qui constitue cette récursivité, la dizaine de milliers se représente à nouveau par une barre, la centaine de milliers par une plaque et le millier de milliers (ou million) par un nouveau cube ! On pourrait donc représenter, de la même façon, la dizaine et la centaine de millions, etc. L’évocation de ce système aide les élèves à comprendre le tableau de numération et à l’utiliser pour lire et écrire les grands nombres.

Séquence 48

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions L’enseignant interroge les élèves sur les tables de 4 et de 6, puis propose des divisions par 4 et par 6.

1 et 2. Du millier au million Remarques préliminaires 1°) Si l’enseignant dispose du matériel Base 10, bien qu’il ne puisse évidemment pas représenter avec le matériel « grandeur nature » des quantités aussi importantes que celles analysées ici, il peut quand même l’utiliser pour aider les élèves à évoquer les quantités et les configurations en jeu. Supposons qu’il ne dispose que de 3 blocs milliers ; il est possible de les assembler pour former ainsi une quantité de 3 000 cubes et d’amener les élèves à se représenter ce que serait une barre-dizaine de milliers : « on a déjà 3 000 cubes ; pour faire 10 000, il faudrait encore 7 blocsmilliers : 3 blocs-milliers (on montre du geste le prolongement des 3 premiers blocs), ça ferait 6 milliers, encore 3, ça ferait 9 milliers, et encore 1 millier pour avoir une barre de 10 000 cubes, ça serait grand comme ça, ça irait jusque-là ». De même quand on abordera 122

72563527_.indb 122

CALCUL MENTAL Tables de 4 et de 6, puis divisions par 4 et par 6 (q ≤ 10).

Je découvre

Objectifs

Activités

Numération : les nombres au-delà de 10 000 (2)

b. Combien y a-t-il de cubes-unités là ?

c. Quel est le nombre total de cubes-unités ci-dessus ?

2 Observe comment M. Cubus range ses cubes-milliers. Dès que j’ai dix cubes-milliers, je les groupe et je forme une barre dizaine de milliers.

millions centaines d izaines unités de millions de millions de millions

mille

centaines de mille

unités simples

d izaines de mille

u nités de mille

c entaines

d izaines

u nités

1

2

0

0

0

10 × 1 000 = 10 000 Dès que j’ai dix grosses barres dizaines de milliers, je les groupe et je forme une grosse plaque centaine de milliers.

millions centaines d izaines unités de millions de millions de millions

10 × 10 000 = 100 000

mille

unités simples

centaines

d izaines de mille

u nités de mille

c entaines

d izaines

u nités

1

0

0

0

0

0

de mille

100 × 1 000 = 100 000

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la plaque-centaine de milliers et le cube-million. On ne voit pas les cubes, mais on les imagine en cernant l’espace qu’ils occuperaient en prenant le bloc-millier comme grande unité. 2°) Pour cette séquence et d’autres activités ultérieures, l’enseignant gagnera du temps s’il prépare un « haut » de tableau de numération collectif, avec les mentions qui figurent dans les 2 premières lignes de celui imaginé par M. Cubus sur le manuel (p. 74). Ce panneau sera fixé au tableau, et il suffira alors à l’enseignant de tracer en dessous à la craie (ou au feutre à tableau) les traits de séparation des 9 colonnes (deux traits plus épais marquent la séparation entre unités simples et milliers et entre milliers et millions). Au-dessus de chaque colonne, il est bon de représenter le groupement correspondant de M. Cubus. On peut pour cela s’inspirer des schémas présentés ci-après.

Activités 1 et 2 On peut commencer ces activités en faisant ouvrir le livre et en demandant aux élèves de répondre aux questions a et b : on voit 6 907 cubes-unités à gauche et 5 093 à droite. Ces nombres sont écrits au tableau et les deux collections sont représentées en utilisant les conventions suivantes : un « point carré » représente le cube-unité, un trait épais la barre-dizaine, un carré la plaquecentaine, un cube en perspective le cube-millier.

Pour amener les élèves à anticiper la façon dont on peut continuer à organiser le matériel au-delà de 9 999, l’enseignant peut demander aux élèves de fermer leur livre et de dessiner avec les mêmes

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Activités Sq 48 – pages 74 et 75 Sais-tu comment j’ai formé ce cube de 1 million ? Qu’écrirait-on dans le tableau ?

NB : comme l’indique la barre-dizaine de milliers, cette représentation est, ici, à une échelle plus petite que la précédente.

10 × 100 000 = 1 000 000 100 × 10 000 = 1 000 000 1 000 × 1 000 = 1 000 000

3 et 4

On peut prévoir ainsi l’existence de dizaines de millions et de centaines de millions. C’est le moment d’introduire le tableau de numération qu’on explore de la droite vers la gauche, en écrivant des nombres croissants (par exemple : 9, 12, 805, 1 062, 12 000, 12 007,… 100 000, 952 028, 1 805 003, etc.). Chaque nombre est dicté par l’enseignant et un élève vient l’écrire dans le tableau de numération collectif ; à chaque fois, l’enseignant fait décrire la collection correspondante de M. Cubus. On ouvre à nouveau le livre, où les élèves peuvent observer des représentations réalistes de la barre-dizaine de milliers, de la plaque-centaine de milliers et du cube-million. On s’intéresse alors aux égalités, qu’on interprète en s’appuyant sur les illustrations sous lesquelles elles figurent.

Et si M. Cubus avait dix cubes-millions ?

Cahier d’activités pages 11 et 12

5 a. Pour écrire des grands nombres, Mathieu et Mathilde n’ont pas besoin de tableau. Observe. Vingt-trois-millions-sept-mille-cinquante 23 - -- -J’écris 23, … et 6 traits c’est pour les chiffres les millions… qui suivent.

La plus grande unité qu’on entend, c’est le million. Et il y en a 23.

J’écris ensuite les nombres qu’on entend. 23

7

- --

Je commence comme Mathieu. 23

50

- --

Et je complète avec des 0. 23

007

- --

050

- --

3 à 5. Écrire les grands nombres

Et j’écris directement les 6 chiffres qui suivent. 23 007 050

b. Écris ces nombres, puis ceux dictés par ton enseignant(e). Fais-le comme Mathilde ou Mathieu. • Soixante-seize-millions-cinq-cent-trente-mille-cinquante • Cent-millions-mille-dix • Quatre-millions-vingt-neuf-mille-huit-cents • Soixante-dix-mille-vingt-sept

J’ai

ap

pri

s

Pour écrire en chiffres des grands nombres, je commence par chercher la plus grande unité utilisée : est-ce le million ou le millier ? Je sais ainsi combien de groupes de 3 chiffres il faut encore écrire. 75

72563526_058_085_orange.indd 75

19/12/2016 12:28

conventions ce que M. Cubus obtiendrait en réunissant ces deux collections. On imagine qu’avec les cubes-unités (7 et 3), on forme une barre-dizaine ; comme il y en a déjà 9 (dans 5 093), on forme donc une plaque-centaine, etc. Cette addition est calculée en colonnes en l’interprétant à l’aide de ce scénario de formation des groupements successifs. On aboutit ainsi au fait qu’il y a donc en tout 12 mille cubes représentés par 12 cubes milliers (qu’on imagine avec le matériel Base 10 si on en dispose). Comment M. Cubus organiserait-il cette collection ? On se rappelle qu’à chaque fois qu’il a 10 exemplaires de l’unité inférieure, il les assemble et forme un nouveau groupe. De quelle façon organiserait-il ces 12 milliers ? Au tableau, on représente finalement la somme ainsi :

On imagine ce qui se passerait si M. Cubus avait 10 barresdizaines de milliers, etc. L’important est de remarquer que l’unité étant un cube, lorsqu’on réalise successivement des barres de dix, puis des plaques de cent, avec mille cubes-unités le groupement obtenu a à nouveau la forme d’un cube. On peut donc à nouveau grouper de tels cubes en barres (ce sont les barres-dizaines de milliers), en plaques (ce sont les plaques-centaines de milliers) et en cubes de milliers de milliers (ou millions), etc. Au tableau, on représente ces différents groupements ainsi :

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Remarque préliminaire Le tableau de numération consiste en une spatialisation de l’écriture des nombres (les chiffres sont regroupés par 3 à partir de la droite), qui aide à coordonner deux points de vue différents : celui de l’ordre de grandeur (y a-t-il des millions, des milliers ou se situe-t-on en dessous de mille ?), et celui, plus local, des centaines, dizaines et unités de chaque sorte (unités simples, milliers et millions). On vise, dès l’activité 5, à ce que les élèves s’approprient cette structure et sachent l’évoquer pour écrire les nombres, en aménageant l’espace entre les groupes de 3 chiffres.

Activités 3 et 4 sur le cahier d’activités On trouve les deux facsimilés en page 133. L’activité 3 est évidente, mais pour réussir la tâche, les élèves doivent interprèter correctement les symboles : comment sont représentés l’unité, la dizaine, la centaine pour les unités simples ? Et pour les milliers ? Et pour les millions (on verra qu’il n’y a que les unités de millions) ? Une bonne façon de s’en assurer consiste à faire dire le nombre représenté sur chaque ligne avant de l’écrire dans le tableau (on peut demander à tous les élèves de se préparer à le dire, puis on interroge l’un d’entre eux). Pour enchainer les mots-nombres successifs à énoncer, ils sont conduits à s’appuyer sur le système de regroupement des unités et à prendre en compte l’absence de certains groupements (qu’ils devront représenter en écrivant un zéro, lors du passage à l’écrit). À la fin de l’activité 3, on fait remarquer que, justement, dans le tableau, on a dû écrire des zéros, qui correspondent aux groupements absents. Lors de l’activité 4, l’enseignant intervient de façon individualisée.

Activité 5 Il s’agit d’amener les élèves à comprendre que pour écrire un grand nombre, il importe avant tout de connaitre la plus grande unité utilisée : unités simples, milliers, millions ? Dès lors, on sait combien d’autres chiffres on devra écrire à droite de cette grande unité et, en imaginant le tableau de numération, on peut écrire directement ces autres chiffres. On peut partir des procédures décrites par Mathieu et Mathilde sur le manuel et proposer quelques autres exemples qui sont traités collectivement, avant de passer à ceux du livre (exercices b), qui sont traités individuellement. 123

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2e période

49

CALCUL MENTAL 1. Dictée de grands nombres (cf. sq 48). 2. Tables de 4 et de 6, puis divisions par 4 et par 6 (q ≤ 10). Voir p. 12.

Les angles Je découvre

Objectifs

1 Range ces danseurs selon l’angle que forment leurs bras, du plus petit angle au plus grand angle.

Dans la sq 49, on revoit la notion d’angle : un angle peut être plus ou moins ouvert, deux angles peuvent être égaux. L’angle droit apparait ainsi comme un angle particulier. Dans la sq 50, les élèves approfondissent leurs connaissances sur les grands nombres (abordés dans les sq 46 et 48) en les insérant dans des calculs. On les amène surtout à comprendre que les propriétés qu’ils maitrisent sur les unités, dizaines et centaines fonctionnent de la même manière avec les unités simples, les milliers et les millions.

Danseur 1

Séquence 49

Dictée de grands nombres Comme dans la sq 48 (activité 5), on évoque la structure du tableau de numération et on identifie quelle est la plus grande unité utilisée… Si nécessaire, au début, on utilise effectivement le tableau de numération. Les cas les plus intéressants sont les nombres qui comportent des zéros intermédiaires : 17 003 257 ; 23 043 010 ; 600 008 ; etc.

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions Tables de 4 et 6, puis divisions par 4 et 6 : idem sq 48.

1 à 3. Les angles Activité préliminaire Pour donner un contenu intuitif à la notion d’angle, tout d’abord, l’enseignant utilise un compas à tableau. Il explique qu’on va s’intéresser à l’écartement des branches. Au début, les branches sont faiblement écartées. Il dit : « Les branches font un petit angle ». Cet angle est reproduit au tableau en suivant avec la craie le bord de chaque branche. Il est reproduit plusieurs fois en changeant son orientation, mais aussi la grandeur des segments, ce qui aidera à comprendre que la notion d’angle ne dépend pas de ces variables. On agrandit ensuite l’écart des branches du compas en le traçant plusieurs fois au tableau et en disant : « ici, l’angle a changé, il est devenu plus grand ». On poursuit ainsi jusqu’à obtenir un angle presque plat. Enfin, en calant le compas sur les deux côtés de l’angle droit d’une équerre, on forme un angle droit ; celui-ci est également tracé, en évitant que les branches du compas soient parallèles aux bords du tableau. On fait nommer cet angle et on demande aux élèves de chercher des lignes qui se coupent à angle droit (le mot « perpendiculaire » est alors employé) parmi les objets de l’environnement. On cherche également, parmi les angles tracés au tableau, ceux qui sont plus petits que l’angle droit et ceux qui sont plus grands.

Activités 1, 2 (sur le livre) et 3 (sur le cahier) Les élèves disposent d’un morceau de calque ordinaire pour l’activité 1. On observe l’analogie entre l’écartement des bras des 124

72563527_.indb 124

Danseur 3

Danseur 4

2 Sur le calque de ton cahier d’activités, il y a des angles modèles. Pour chacun des angles ci-dessous, indique sur ton cahier s’il est égal à l’un de ceux de ton calque. Angle Anglen°n°11

Angle Anglen°5 n°5

Activités

Danseur 2

Y a-t-il un danseur qui forme un angle droit avec ses bras ? Comment peut-on le vérifier ?

3

Angle Anglen°n°22

Angle Anglen°n°66

Angle Anglen°n°44

Angle Anglen°n°33

Angle Anglen°n°88

Angle Anglen°n°77

Cahier d’activités page 12

Je deviens performant A

Cahier d’activités page 13

B Calcule.

95 : 25 ? 298 : 25 ? 325 : 25 ?

136 : 60 ? 371 : 60 ? 542 : 60 ?

23 : 7 ? 15 : 7 ? 6 : 7 ?

119 : 10 ? 190 : 10 ? 1 000 : 10 ?

C Le compte est bon

48

Numération : les nombres au-delà de 10 000 (2) (suite)

172

224

278

1 991

Je découvre

3

6 Tu 8vas apprendre 10 6 7 grands 9 nombres, 25 4 dans 5 un7tableau, 50 puis en2l’imaginant. 9 10 à écrire les d’abord

250

4 Dans le tableau ci-dessous, écris (en chiffres) les nombres suivants :

76

a. Quatre-cent-treize-millions-cinq-cent-deux-mille-six-cent-quarante-sept. b. Huit-cent-soixante-seize-mille-quatre-cents. c. Trois-cent-sept-millions-cinquante-huit-mille-neuf. 72563526_058_085_orange.inddd.76Soixante-et-un-millions-sept-cent-mille-seize. e. Six-cent-quatre-vingt-dix-neuf-millions-mille-deux.

19/12/2016 12:28

danseurs et celui des « bras » du compas. Avant de commencer millions mille unités simples l’activité proposée sur le livre, on peut même demander à des élèves de a.former, avec deux doigts des deux mains, des angles divers, parb.exemple : un « petit » angle, un angle « plus grand », c. un angle presque droit, un « grand » angle. d. Dans l’activité 2, il s’agit de s’approprier l’usage du calque inclus e. dans le matériel individuel. Dans l’activité 3, les élèves doivent colorier de Lesmême angles couleur les angles égaux à ceux du matériel : 49 la centaines dizaines unités centaines de millions de millions de millions de mille

dizaines de mille

unités de mille

centaines

dizaines

unités

Je découvre

3 Dans les polygones suivants, cherche les angles égaux à ceux de ton calque et colorie-les.

12

Chaque élève devra disposer d’un crayon jaune, d’un bleu clair et d’un bleu foncé, d’un vert clair et d’un vert foncé. L’angle droit est repéré conventionnellement. 72563524_001-024.indd 12

19/12/2016 12:32

Solution du Compte est bon (activité C)

172 = (3 × 6 × 10) – 8 ; 224 = (9 × 25) – (7 – 6) ; 278 = (50 × 5) + (4 × 7) ; 1 991 = {(10 – 2) × 250} – 9.

Activités

Séquence 50

Dictée de grands nombres Idem sq 49.

09/03/2017 11:46

Activités Sq 49 et 50 – pages 76 et 77

CALCUL MENTAL 1. Dictée de grands nombres (cf. sq 48). 2. Table de 7, puis divisions par 7 (q ≤ 10). Voir p. 12.

5O

Gros bloc-million

Cahier d’activités page 14

Grosse plaque centaine de milliers

Grosse barre dizaine de milliers

Blocmillier

2 Le nombre mystérieux 12 034 246 12 669 011

12 284 246 12 735 246

12 629 011 12 833 011

8 647 895 + 4 087 351

11 997 837 +  36 409

21 633 604 – 9 004 593

13 669 011 – 1 000 000

11 833 011 + 1 000 000

3 a. Imagine le matériel de M. Cubus pour calculer :

b. Imagine le matériel de M. Cubus… :

Imagine 7 cubes-milliers : 7 000 × 3 Imagine 7 barres dizaines de milliers : 70 000 × 3 Imagine 7 plaques centaines de milliers : 700 000 × 3

4 000 × 6 40 000 × 6 400 000 × 6

9 000 × 8 90 000 × 8 900 000 × 8

14_1 5 253 648

12 402 295

11 928 645 12 456 885

5

+ 1 plaque-centaine

4 Le nombre mystérieux 11 790 765

11 951 700 12 928 600

Cube-unité

1

Barre-dizaine

Je découvre

Je découvre 1

Calculer sur les grands nombres Plaque-centaine

5O

Calculer sur les grands nombres

4 × 2 987 925

701 685 x 17

1 684 395 × 7

21 × 593 185

14_2

14_3

2

14_4

5

3

14_5 14_614_7

7 4 8

3 901 587 + 1 grosse barre dizaine de milliers

2 309 764

302 495 x 41

+ 1 bloc-millier

8 649 999

Problèmes

+ 1 cube-unité

5 1. « L’an dernier, dit un maire, notre budget

3 964 307

était de vingt-huit-millions-soixante-mille euros. Cette année, il est de trente-millions d’euros. » De combien d’euros ce budget a-t-il augmenté ?

+ 1 grosse plaque centaine de milliers

8 196 530

2. « Mon camion, dit M. Leleu, a déjà parcouru

+ 1 grosse barre dizaine de milliers

6 fois le tour de la Terre. » Combien est-ce de km ?*

2 099 999

* Utilise la mesure suivante : un tour de la Terre = 40 000 km

+ 1 barre-dizaine

3 999 999

Je deviens performant A

+ 1 cube-unité

Cahier d’activités page 15

4 029 920

B Effectue ces conversions.

+ 1 bloc-millier

Attention ! il faut convertir dans des unités tantôt plus petites, tantôt plus grandes. • 70 heures (il faut faire apparaitre les minutes) • 80 minutes (il faut faire apparaitre les heures) • 657 km (il faut faire apparaitre les m)

• 481 mm (il faut faire apparaitre les dm) • 2 000 g (il faut faire apparaitre les kg) • 8 000 kg (il faut faire apparaitre les g)

14

L’activité 1 de la sq 50, sur le cahier d’activités. 72563524_001-024.indd 14

77

72563526_058_085_orange.indd 77

Calculs proposés oralement

19/12/2016 12:28

Utiliser les tables pour calculer des divisions Table de 7, puis divisions par 7 : voir sq 46.

1 à 5. Calculer sur les grands nombres Les activités 1 (sur le cahier) et 2 portent sur le calcul d’additions et de soustractions. Les activités 3 et 4 portent sur le calcul des multiplications. Il s’agit notamment de comprendre pourquoi les techniques de calcul en colonnes restent pertinentes (dans les activités A et B de la sq 54, les élèves auront à calculer des « grandes divisions »).

19/12/2016 12:32

Activités 3 à 5

L’enseignant anime collectivement l’activité 3. En a et en b, on raisonne sur les milliers par analogie avec les unités simples. Ainsi, en s’appuyant sur le matériel de M. Cubus, on comprend par exemple que 70 000 × 3 c’est 3 fois 70 mille ou 3 fois 7 barres-dizaines de deviens performant 41 Je21 milliers, barres dizaines de milliers. Il faut alors s’appuyer sur ce Exprime les suivantes dans l’unitésimples demandée. : de même que 21 dizaines B qui se passemesures avec les unités 5 hm = ........... m 148 dm = ........... mm 85 dal = ........... l 6 kg = ........... g c’est 238 hl centaines et 117 dam dizaine, soit 210, 21 dizaines de milliers, c’est = ........... l = ........... m 9 km = ........... m 28 hm = ........... m 51 hg = ........... 273 cm mm 16 dag g = ........... mm 2 centaines de gmilliers et= ........... une dizaine de= ........... milliers, soit9 m210 mille. Les47élèves autonomes les activités 4 et 5. Vers la sont technique écrite de la dans division Je découvre

2 Fais ces deux divisions comme Monsieur Cubus en dessinant les centaines, les dizaines et les unités. 400 : 3 ?

912 : 4 ?

Activités 1 (sur le cahier) et 2 L’enseignant réutilise le tableau de numération préparé pour la sq 48 et fait traiter collectivement 2 ou 3 additions du même type que celles du cahier (activité 1, dont le facsimilé est présenté en haut de la colonne de droite) : en évoquant le matériel de numération de M. Cubus, on comprend que, dans le cas des retenues, le fonctionnement est le même avec les milliers ou les millions qu’avec les unités simples. Après que les élèves ont traité individuellement les cas proposés sur le cahier, on reprend collectivement les plus intéressants, notamment 3 999 999 + 1. Dans l’activité 2, les élèves travaillent individuellement. À la fin de cette activité, on reprend collectivement la soustraction en colonnes (21 633 604 – 9 004 593) et les deux opérations qu’on peut faire « de tête » (13 669 011 – 1 000 000 et 11 833 011 + 1 000 000).

CDU

CDU

CDU

CDU

CDU

CDU

CDU

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

a

Partage des centaines :

a

Partage des centaines :

b

Partage des dizaines :

b

Partage des dizaines :

c

Partage des unités :

c

Partage des unités :

d

Expression du résultat :

d

Expression du résultat :

912 : 4 ?

q = ... r = ....

car ...........................

400 : 3 ?

q = ... r = ....

car ...........................

10

L’activité 2 de la sq 47, sur le cahier d’activités. 72563524_001-024.indd 10

72563527_.indb 125

125

19/12/2016 12:32

09/03/2017 11:46

2e période

51

Division : technique écrite (par un nombre de 1 chiffre)

CALCUL MENTAL Table de 7, puis divisions par 7 (q ≤ 10).

Je découvre

Objectifs

1

Préparation de la division :

En introduisant ici la technique écrite de la division par un nombre à 1 chiffre, on vise deux objectifs plus lointains : – préparer l’introduction de la technique écrite dans le cas d’un diviseur de 2 chiffres, qui sera abordée dans les sq 79 et 85 ; – favoriser l’entrainement du geste mental de la partition dans le calcul de divisions, en mettant à la disposition des élèves un système plus économique que le dessin d’un matériel de numération.

On pose la division. C’est là qu’on écrira la part de chacun.

On cherche l’ordre de grandeur du résultat : chacun aura-t-il des centaines, ou ne donnera-t-on que des dizaines et des unités ?

Plutôt que d’obliger les élèves à écrire les soustractions dans la « potence », à cette étape de la progression nous avons choisi de faire calculer mentalement les restes et de faire barrer les nombres qui ont déjà été partagés. En effet, l’expérimentation en classe a montré que cela leur rappelle mieux la procédure qu’ils utilisaient avec le dessin du matériel. C’est seulement dans le cas plus général d’une division par un nombre de deux chiffres et avec plusieurs chiffres au quotient que la notation de la soustraction facilitera les calculs.

8 6

9

5 ..................

c

d

u

8 6

9

8 centaines à partager en 5, c’est assez pour en donner à chacun : j´écris c d u au-dessus du quotient et du nombre à partager.

5 c d u ..................

a Partage des centaines : c

À terme, grâce à l’apprentissage de cette technique chiffrée, on espère que de nombreux élèves deviendront capables de calculer ces mêmes divisions mentalement, en partageant successivement les milliers, centaines, dizaines et unités, « en ligne », sans les poser « en potence », en utilisant les doigts pour représenter les restes des partages successifs (voir Présentation, fin du chapitre 3). La technique est introduite comme un résumé chiffré du partage des centaines, dizaines et unités à l’aide du dessin des plaques, barres et cubes. Si, à ce moment, les enfants évoquent ce qu’ils ont fait jusqu’ici en agissant sur le dessin, ils comprennent facilement le sens des différentes étapes de l’algorithme écrit, puisqu’il exprime les différentes étapes de cette action : pour 869 : 5 ?, on se demande d’abord si l’on pourra distribuer des centaines (c’est le cas) et on écrit donc c d u au-dessus du quotient et du dividende ; on partage ensuite les 8 centaines en 5 parts égales, le quotient est 1 et il reste 3 centaines ; ce reste est aussitôt converti en unités d’ordre inférieur : les 3 centaines qui restent deviennent 30 dizaines ; avec les 6 qu’on voyait au début (on abaisse le 6), il faut maintenant partager 36 dizaines, etc.

Tu vas apprendre à calculer 869 : 5 ? sans dessiner les blocs, les plaques, les barres et les cubes. Observe comment font Mathilde et Mathieu.

d

u

8 6

9

8 centaines divisées par 5, c’est 1 centaine et il reste 3 centaines à partager.

5

3

c d u 1 ..................

b Partage des dizaines : Je sépare les dizaines qu’il y a dans les 3 centaines restantes. Ça fait 30 dizaines. Avec les 6 qu’on avait au début, ça fait 36 dizaines. Il suffit d’abaisser le 6 pour les voir toutes.

c

d

8 6

3

↓

u

9

5 c d u 1.................. J’abaisse le 6. 36 dizaines divisées par 5, c’est 7 dizaines et il reste 1 dizaine à partager.

d

u

8 6

c

9

↓ 3 6 1

5 c d u 1.................. 7

78

72563526_058_085_orange.indd 78

1 et 2. Technique de la division

19/12/2016 12:28

Remarques préliminaires C’est en évoquant le calcul de 869 : 5 ? par le dessin des plaques, barres et cubes que les élèves comprendront les différentes notations du calcul écrit. Mais nous recommandons de ne pas dessiner au tableau, ni de faire dessiner sur les cahiers les plaques, barres, etc. parallèlement au calcul écrit. C’est en effet en « mentalisant » le calcul sur ces objets à l’aide des écritures que les élèves donneront sens à la technique et apprendront à calculer directement avec elle. S’ils utilisaient le dessin, celui-ci prendrait en charge le calcul, il rendrait la notation écrite quelque peu superflue et beaucoup d’enfants risqueraient d’être dépendants du dessin au moment d’utiliser eux-mêmes la technique. En revanche, il est nécessaire de reproduire le calcul écrit au tableau. Tandis que, sur le livre, il apparait au moyen d’images séquentielles, au tableau il se déroulera dans une seule potence. Les enfants verront ainsi se cumuler les notations successives.

Activité 1

Activités

Séquence 51

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions Table de 7, puis divisions par 7 : idem sq 50. 126

72563527_.indb 126

L’enseignant annonce explicitement que les élèves vont apprendre à calculer 869 : 5 ? sans dessiner les plaques-centaines, les barres-dizaines et les cubes-unités. Que verrait-on si on devait les dessiner ?... Combien de brigands ? Il écrit cette division et demande aux élèves d’ouvrir leur livre et de décrire la disposition des nombres dans la première illustration : il y a deux traits qui font comme un T (l’enseignant donne le mot « potence » et explique cette appellation). Cette disposition est reprise au tableau : où écrira-t-on le quotient ?

09/03/2017 11:46

Activités Sq 51 – pages 78 et 79

ENTAL puis divisions par 7 (q ≤ 10).

c Partage des unités : d

u

8 6

9

↓ 3 6

5 c d u

1

c

1.................. 7

d

u

8 6

9

↓ 3 6 1

J’abaisse le 9. 19 unités divisées par 5, c’est 3 unités et il reste 4 unités.

5 c d u 1.................. 7 3

9 4

d Expression du résultat et preuve : Si nous avons bien calculé, 869 = (173 x 5) + 4 Il faut le vérifier.

q = 173

869 : 5 ?

×

r=4

1 7 3 5 865 + 4 = 869

8 6 5

2 Calcule ces divisions (ne les pose que si c’est nécessaire). 345 : 6 ?

2 745 : 3 ?

6 108 : 100 ?

35 : 8 ?

1 097 : 250 ?

287 : 43 ?

9 036 : 7 ?

593 : 10 ?

Je deviens performant A Te rappelles-tu : 10 m, 100 m, 1 km, combien est-ce de mm ? Qu’est-ce qui peut mesurer… 10 000 mm : la longueur d’un lit, celle d’un camion, celle d’un train ?

100 000 mm : la longueur d’un autocar, celle d’un stade de football, le périmètre d’un stade olympique ?

1 000 000 mm : la longueur de ta cour de récréation, celle du marathon, celle d’une piste de décollage ?

Aussitôt, sans effacer ce calcul, on peut se donner trois autres divisions à traiter collectivement, par exemple, 5 957 : 4 ?, 2 065 : 3 ? et 30 148 : 7 ?. Pour chacune de ces divisions, l’enseignant est attentif à découper le calcul en ses différentes étapes : préparation de la division avec détermination de l’ordre de grandeur du quotient, partages successifs des milliers, centaines, etc. en insistant alors sur les phrases du type : « les centaines à partager sont de deux sortes, celles qui restent et celles qu’on voyait dès le début, et qu’il faut “abaisser”… ». Dans le premier cas proposé, le quotient comporte des milliers, tandis que dans le deuxième cas, on est amené à écrire seulement c d u. Pour signifier qu’on va partager 20 centaines, on dessine alors une accolade au-dessus des chiffres 2 et 0 : c d u 2 0 6 5 3 c d u )

c

Je sépare les unités qu’il y a dans la dizaine restante. Ça fait 10 unités. Avec les 9 qu’on avait au début, ça fait 19 unités. Il suffit d’abaisser le 9 pour les voir toutes.

B Le compte est bon 626 4

7

9

188 10

3

4

340 8

25

2

5

7

998 50

2

5

9

250 79

72563526_058_085_orange.indd 79

19/12/2016 12:28

La deuxième illustration est alors commentée. Pour 869 divisé par 5, peut-on savoir si chaque brigand aura des milliers ?… des centaines ?… On écrit « c d u » au-dessus du dividende et de l’emplacement du quotient. Là encore, on reprend cette notation au tableau. On peut alors commencer le partage des centaines. Combien en donne-t-on à chaque brigand ? En reste-t-il ? On interprète ce que Mathieu a déjà calculé : il note 1 aux centaines, barre les 8 centaines et écrit au-dessous 3 centaines. On note ces calculs au tableau. On anticipe alors la suite : il faut « casser » les 3 plaques-centaines pour faire apparaitre les barres-dizaines. Avec celles qu’on avait au début, combien y en aura-t-il ? On revient à l’illustration correspondante du livre : on « abaisse » le 6, pour bien voir toutes les dizaines, les 30 qu’on a obtenues en « cassant » les centaines et les 6 du début. Cette notation est reproduite au tableau (il est inutile de dessiner la flèche). Puis on partage les 36 dizaines (en notant ce quotient partiel et en barrant les 36 dizaines qu’on vient de partager). On anticipe à nouveau : il reste 1 dizaine, on va « casser » cette dizaine pour faire apparaitre les unités qu’elle contient ; avec les 9 qu’on voyait au début, combien y en aura-t-il ? Etc. À la fin, on localise le quotient et le reste et l’on résume oralement ces résultats : on a calculé 869 divisé par 5, le quotient est 173 et le reste 4. On peut enfin passer à l’écriture du résultat et de la preuve. On calcule donc (173 × 5) + 4, que ce soit mentalement, pour les élèves qui le peuvent, ou en colonnes, pour ceux qui en ont besoin.

72563527_.indb 127

Dans le troisième cas, il faudra écrire un reste = 0 après le partage des centaines ; en « abaissant » le 4 des unités, on verra écrit 04 et on devra effectuer ce partage des dizaines qui donne 0 au quotient.

Autre remarque Dans l’exemple initial (869 : 5 ?), après avoir partagé les centaines et écrit le reste (= 3), nous faisons recopier le chiffre des dizaines (6) à la droite du 3 en introduisant la formule : « j’abaisse le 6 ». Cette formule peut paraitre inutile, puisque la situation de référence suffirait à justifier qu’on recopie ce 6 (dans le calcul avec le dessin, on redessine en effet les barres qu’on voyait au début, à droite de celles qui sont issues des plaques « cassées »). Cependant, pour qu’un algorithme de calcul soit facile à automatiser, on est obligé, le moment venu, à certaines prises de distance avec le scénario qui avait permis initialement de donner sens à cet algorithme. Ainsi, quand l’adulte calcule en colonnes 462 + 879, dans la colonne des dizaines, il ne dit pas : « six dizaines plus sept dizaines » ni « soixante plus soixantedix », mais « six et sept ». Concernant la division, à terme, nous voudrions que l’enfant soit en mesure de calculer les divisions comme l’adulte, « en abaissant » les chiffres au fur et à mesure (ce qui constitue une certaine prise de distance avec le scénario initial). C’est évidemment à l’enseignant de gérer ce moment où il n’exige plus des élèves l’évocation du scénario de départ et où il leur permet de se limiter à « abaisser » les chiffres, moment qui variera bien entendu en fonction des acquis des élèves dans la compréhension de la technique.

Activité 2 Cette activité comporte diverses divisions. On fera remarquer que certaines peuvent être calculées mentalement, comme 1 097 : 250 ?, 6 108 : 100 ?, 35 : 8 ? etc. (quant aux autres, la plupart des élèves voudront les poser). 127

09/03/2017 11:46

2e période

52

Problèmes pour apprendre à chercher

CALCUL MENTAL 1. Table de 8, puis divisions par 8 (q ≤ 10). 2. Soustractions (idem sq 23).

J’analyse trois résolutions

Des indications pédagogiques générales sur les PAC figurent au début du Guide.

Problème : Le prix total de trois fauteuils est de 861 €. Quel est le prix d’un fauteuil ?

Les 3 : 861 €

Voici les solutions de Sébastien, Mélanie et Cécile. Je cherche : 3 fois combien égale 861 ?

Activités

3 x 200 = 600

Séquence 52

Calculs proposés oralement

C’est plus cher

3 x 250 = 750

C’est plus cher

3 x 300 = 900

C’est moins cher

3 x 275 = 825

C’est plus cher

3 x 285 = 855

C’est plus cher

3 x 286 = 858

C’est plus cher

Il faut partager les 861 € entre les 3 fauteuils 8 61 2 6 2 1 0

8 6 1 x 3 2 5 8 3

3 287

3 x 287 = 861 C’est 287 €.

Utiliser les tables pour calculer des divisions

Sébastien

Table de 8, puis divisions par 8 : voir sq 46.

Le fauteuil coute 287 €.

Le prix est de 2 583 €.

Mélanie

Cécile

Quelle(s) solution(s) conviennent ? Pourquoi la ou les autres ne conviennent-elles pas ?

Calculer a – b « en avançant » ou « en reculant » Problèmes variés

Même activité que sq 23.

1. Le roi Louis XIV est né en 1638.

1. La division pour chercher la valeur de l’unité On aborde ici un problème de division-partition particulier, celui où l’on cherche la valeur de l’unité. Par exemple : « M. Dupont a acheté 18 assiettes ; en tout, il a payé 126 € ; combien coute une assiette ? ». Comme ce problème peut se reformuler ainsi : « 18 fois combien = 126 ? », il n’apparait pas immédiatement comme un problème de division, mais davantage comme un problème de multiplication à trou. Du reste, quand on oblige les élèves à résoudre systématiquement les problèmes en choisissant « la bonne opération », on provoque souvent l’erreur suivante : 126 × 18, car l’opération à trou est moins facilement mobilisée que l’opération directe (cf. la résolution de Cécile). Prendre conscience qu’on peut résoudre ce problème en calculant la division 126 : 18 ? n’est pas non plus évident. En outre, dans un tel problème, le reste est nul si le prix total résulte de la multiplication d’un prix à l’unité par le nombre d’unités (en fait, dans ce cas, on calcule une division-fraction). Pour aider les élèves à utiliser la division, nous leur proposons un problème où l’on cherche le prix d’un objet, sachant que 3 objets identiques coutent 861 €. La résolution « naturelle » consiste à essayer des multiplications successives (Sébastien). C’est celle qui a déjà été utilisée depuis le début de l’année (cf. par exemple la sq 7). On lui compare une résolution où l’on imagine une répartition équitable des 861 € entre les 3 objets, naturellement associée à l’idée que la division est pertinente pour ce problème (cf. la solution de Mélanie). Ce faisant, les élèves approfondissent la réversibilité de la multiplication et de la division (voir sq 55), et on les prépare aussi à résoudre des problèmes de proportionnalité. En effet, pour résoudre un problème où l’on cherche le prix de a objets quand on connait celui de b objets, il faut souvent retrouver le prix à l’unité (cf. Présentation chapitre 5, et sq 87, 98 et 109).

Conduite de l’activité Après une phase de recherche individuelle, on analyse collectivement les trois solutions : • Le raisonnement de Sébastien est repris au tableau : il y a trois fauteuils qui ont le même prix et quand on les achète, ils coutent 861 €en tout. On peut commencer par écrire la multiplication à trou (3 × ? = 861) et utiliser un schéma comparable à celui de 128

72563527_.indb 128

Il a régné à partir de 1643 jusqu’à sa mort en 1715. À quel âge est-il mort ?

4. Si on partageait équitablement 1 886 dragées entre 250 personnes, combien chacune en aurait-elle ?

5. Un homme-grenouille est resté

exactement 17 min en plongée. Un autre plongeur est resté sous l’eau exactement 1 000 secondes. Qui est resté sous l’eau le plus longtemps ?

6. Un grand cirque doit faire prendre le train

2. Une entreprise achète, pour 32 400 €,

à ses 43 éléphants. Dans un wagon, on peut transporter 7 éléphants à la fois. Combien de wagons devra-t-il réserver ? Trouve 2 façons de remplir ces wagons.

cinq voitures identiques. Quel est leur prix à l’unité ? 3. Combien de temps a duré une émission de télé qui a commencé à 18 h 38 et s’est terminée à 19 h 02 ?

80

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Sébastien dans la sq 7, en représentant les trois fauteuils et en écrivant sous chacun d’eux les prix successivement essayés : 3 × …… = 861

200 € 200 € 200 € 3 × 200 = 600 250 € 250 € 250 € 3 × 250 = 750 Etc. Les multiplications correspondantes sont écrites à droite. • La compréhension de la solution de Mélanie peut résulter de plusieurs raisonnements : 1°) On imagine que l’on paie les 3 fauteuils avec des pièces de 1 € : pour connaitre le prix d’un fauteuil, il suffit de répartir équitablement les pièces entre les 3 fauteuils ; c’est donc une situation de partage… 2°) On imagine que 3 personnes se groupent pour acheter ces fauteuils et décident de payer chacune le même prix : c’est encore une situation de partage (les 3 personnes se partagent la dépense de 861 €). 3°) Si on connait le prix de 3, celui d’1 est 3 fois plus petit, il faut diviser le prix total par 3. • Cécile se dit qu’on cherche « 3 fois combien = 861 ? » et à partir du seul mot « fois », elle croit qu’il s’agit d’une multiplication. On demande aux élèves pour quel problème la solution de Cécile conviendrait.

2. Problèmes divers Les 6 problèmes proposés sont de différents types : 1. Calcul d’une durée en années (une donnée inutile). 2. Partition : recherche de la valeur de l’unité.

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TAL puis divisions par 8 (q ≤ 10). ns (idem sq 23).

53

Problèmes pour apprendre à chercher

Activités Sq 52 et 53 – pages 80 et 81

CALCUL MENTAL 1. Dictée de grands nombres (cf. sq 48). 2. Table de 8, puis divisions par 8 (q ≤ 10).

369

Bordeaux 175

Bayonne

250

277 439

210

178

367

497 Toulouse

326 466

Montpellier

247

?

161 Perpignan

Marseille

Bayonne

0

Bordeaux

175

0

Toulouse

Perpignan

175 544 695 531

277

369 661 497 460 250

Clermont-F

544 369

Nice Marseille

695 661 466

?Montpellier

Montpellier

Lyon

Marseille

Tableau

Clermont-Ferrand

Clermont-Fd

Schéma

Bordeaux

Sur le schéma et sur le tableau sont notées des distances en km entre des villes du sud de la France.

Bayonne

Je recherche les informations pertinentes

0

466 367 464 339 0

164 325 411

531 497 367 164

0

161

Perpignan

460 464 325 161

Toulouse

277 250 339 411 247 210

0

210 0

Réponds aux consignes suivantes : a. Sur le schéma, on a remplacé une distance par un point d’interrogation. Utilise le tableau pour la retrouver. b. Dans 3 cases du tableau on a remplacé des distances par des croix. Utilise le schéma pour retrouver ces distances. c. Dans le tableau, deux taches cachent le nom d’une même ville. Laquelle ? Justifie ta réponse. d. Monsieur Dubois livre des meubles. Son entreprise de transports est installée à Montpellier. Il doit effectuer une tournée pour des livraisons à Toulouse, Perpignan, Bayonne et Bordeaux. Il hésite entre deux circuits : A : Montpellier → Bordeaux → Bayonne → Toulouse → Perpignan → Montpellier. B : Montpellier → Toulouse → Bordeaux → Bayonne → Perpignan → Montpellier. Lequel de ces deux circuits est le plus court ? Justifie ta réponse.

Problèmes variés 1. Une animalerie vient de recevoir

53 aquariums et 480 poissons. Elle veut les répartir pour qu’il y ait le même nombre de poissons dans tous les aquariums. Est-ce possible ? Pourquoi ?

2. 3 enfants se partagent des billes.

Chacun reçoit 17 billes. Il en reste 2. Combien de billes y avait-il à partager ?

3. Un réservoir est vide.

On y verse 3 bidons d’essence identiques. Maintenant le réservoir contient 45 litres. Combien de litres d’essence chaque bidon contenait-il ?

4. En un an, un livreur a fait 97 allers-retours entre 2 villes distantes de 34 km. Combien de km a-t-il ainsi parcourus ?

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72563526_058_085_orange.indd 81

3. Calcul d’une durée en minutes. 4. Partition (partage équitable, mais calcul par quotition). 5. Comparaison de durées (conversion). 6. Quotition (la réponse est q + 1).

Activités

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Séquence 53

Dictée de grands nombres Idem sq 49.

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions Table de 8, puis divisions par 8 : voir sq 46.

Avant d’aborder les questions posées sur le livre, on explore collectivement chacun des deux documents (le schéma et le tableau) pour comprendre qu’ils se correspondent : pour l’essentiel, on retrouve dans le tableau les villes qui figurent sur le schéma (sauf Lyon) ; on y retrouve aussi les distances entre ces villes. Cependant, sur le schéma, une distance manque et est remplacée par un point d’interrogation, et, dans le tableau, des noms de ville sont cachés et des distances remplacées par des croix. C’est sur ces informations que vont porter les questions. La consigne a permet de prendre conscience qu’une même distance est notée deux fois dans le tableau (il y a deux cases qui donnent la distance entre Montpellier et Marseille). La consigne b est plus difficile car il faut lire maintenant le tableau dans le sens le moins naturel (des cases vers les têtières). De plus, lorsqu’un élève a trouvé les villes dont il faut déterminer la distance, il lui reste encore à repérer ces villes sur le schéma, ce qui, en l’absence de connaissances géographiques, exige une exploration quasi exhaustive. On remarquera par ailleurs que la recherche de la distance entre Montpellier et Toulouse peut s’effectuer sans recourir au schéma car une des deux cases est complétée, à la différence de la distance Perpignan-Bayonne. Pour la question c, des élèves peuvent raisonner ainsi : les seules villes qui figurent sur le schéma et non sur le tableau sont Clermont-Ferrand et Lyon. La comparaison entre le schéma et le tableau convainc aisément que Clermont-Ferrand a été caché dans les deux têtières. Une autre façon de raisonner, plus systématique, consiste à se demander quelle est la ville qui est à 544 km de Bayonne, 369 de Bordeaux, etc. La difficulté de ce raisonnement réside dans le fait que certaines distances (544 km par exemple) ne figurent que sur le tableau. Quel que soit le raisonnement adopté, cela amènera à constater que le tableau donne plus de renseignements que le schéma : il donne toutes les distances entre toutes les villes et pas seulement entre deux villes voisines.

2. Problèmes divers Les 4 problèmes sont de différents types : 1. Partition (le calcul est une quotition). 2. Situation de partage dont la solution est (b × q) + r. 3. Partition (recherche de la valeur de l’unité). 4. Multiplication du type a × b × c. Exemple de résolution du problème n° 1 :

1. Utiliser un tableau de distances La plupart des tableaux de distances sont « en escalier » et ne comportent donc que les cases situées sous la diagonale des zéros. Mais la compréhension de ce dispositif ne va pas de soi si l’on n’a pas déjà rencontré des tableaux de distances tels que celui du livre. Nous proposons de commencer par l’étude du tableau du livre, puis, en fin d’activité, de faire observer un tableau classique « en escalier ». Ici, les élèves vont s’approprier le fonctionnement du tableau en coordonnant le codage des distances sur celui-ci avec le codage sur la carte de la région correspondante (il est utile de se munir d’une carte de France murale, cela permettra de situer la région figurant sur la carte du livre). Les élèves ne recopient pas le tableau (ils répondront sous forme de phrases).

129

72563527_.indb 129

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2e période

54

CALCUL MENTAL 1. Table de 9, puis divisions par 9 (q ≤ 10). 2. Soustractions (idem sq 23).

Je découvre

Objectifs

1 a. Prends la première feuille de calque prévue pour cette séquence (dans ton cahier d’activités). b. Imagine : l’encre noire est encore fraiche et on plie le calque le long de l’axe noté D. Complète chaque tracé pour que les deux parties se superposent exactement.

Dans la sq 54, les élèves abordent la symétrie dans le plan. La tâche principale est classique : une figure et une droite étant données, il faut tracer le symétrique de la figure par rapport à la droite. Ici les élèves tracent sur un quadrillage, ce qui leur permet de réaliser la tâche sans avoir à tracer des perpendiculaires à l’axe de symétrie, ni à mesurer. De plus, le quadrillage figure sur du papier-calque, ce qui leur permet d’avoir un meilleur contrôle de leurs tracés (en pliant le calque le long de l’axe de symétrie) qu’avec un papier opaque. On veut ainsi aider les élèves à concevoir ce type de tracé géométrique sur le modèle de l’impression par pliage. Dans la seconde tâche, ils ont à déterminer si une droite est l’axe de symétrie d’une figure (activités 2 et 3). Là encore, au début, on utilise le calque pour favoriser l’assimilation de ces problèmes au contexte d’impression par pliage.

c. Pour chaque tracé, évalue ton travail en pliant le calque le long de l’axe D : observe par transparence si les deux parties se superposent exactement. J’ai

Dans la sq 55, les élèves découvrent une nouvelle stratégie de calcul d’une division. Ils apprennent ici qu’on n’a pas besoin de poser certaines divisions d’un grand nombre par un nombre à 1 chiffre, telles que 752 : 3 ?. Comme on connait 3 fois 250 = 750, on accède directement au quotient. Il suffit de s’imaginer le partage déjà effectué. Cette stratégie est pertinente pour calculer une division par 3 ou 4 dont le quotient appartient à une table de multiples très connus (25, 50, 250, 500, etc.) ou pour des divisions par 5, 6, 7, 8 ou 9 quand le quotient est 10, 100 ou 1 000. Elle fonctionne également pour les divisions par 2 (cf. le commentaire du calcul oral de la sq 46). Cette stratégie conduit à mobiliser le même scénario que pour calculer une division « dans les tables », comme 43 : 8 ?, où l’on s’imagine le partage réalisé et où l’on cherche « 8 fois combien = 43 ? » (cf. le calcul oral de la sq 46), ou pour chercher la valeur de l’unité, où l’on se demande par exemple « 3 fois combien = 861 ? » (cf. sq 52).

ap

pri

s

La figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite D s’obtient en s’imaginant qu’on plie la feuille selon la droite D alors que l’encre qui a permis de tracer la figure de départ n’est pas sèche. DD DD DD DD

Quand la figure de départ a des points situés sur la droite D, les deux parties symétriques forment une seule figure.

Quand la figure de départ n’a pas de point situé sur la droite D, on obtient deux figures qui sont symétriques par rapport à la droite D.

On dit que la droite D est un axe de symétrie de cette figure.

2 a. Prends la seconde feuille de calque prévue pour cette séquence et découpe les 4 morceaux. b. Pour chacun des 4 tracés, imagine qu’on plie le calque selon le trait bleu. Ce trait peut-il être un axe de symétrie ? Réponds en entourant Oui ou Non sur ton calque. c. Pour chaque tracé, évalue ton travail en pliant le calque le long du trait bleu…

3 Dans quels cas la droite (représentée par des pointillés) peut-elle être un axe de symétrie ? A

Précisons que ces deux tâches seront reprises au CM2 dans des contextes plus difficiles.

Activités

Symétrie par rapport à une droite

B

C

D

E

F

G

Je deviens performant A

Cahier d’activités page 16

B Calcule ces divisions. 89 238 : 5 ?

413 : 50 ?

150 : 37 ?

24 : 6 ?

C Conversions (Attention ! il faut convertir dans des unités tantôt plus petites, tantôt plus grandes.) • 3 970 l (il faut faire apparaitre les hl)

• 1 500 mm (il faut faire apparaitre les m)

• 1 345 dal (il faut faire apparaitre les l)

• 2 700 m (il faut faire apparaitre les mm)

82

72563526_058_085_orange.indd 82

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faire précéder d’une expérience d’impression par pliage (à la peinture, à l’encre, ou mieux, à la craie grasse). 54

1 Commence par découper le long du pointillé.

Imagine que tu plies le long de la droite D et que l’encre noire ne soit pas sèche… D

D

Séquence 54

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions Table de 9, puis divisions par 9 : voir sq 46.

Calculer a – b « en avançant » ou « en reculant » Même activité que sq 23.

1 à 3. Symétrie par rapport à une droite L’activité 1 va se dérouler sur des calques insérés dans le matériel individuel du cahier (facsimilé ci-contre). Mais il est bon de la 130

72563527_.indb 130

✂

Activités préliminaires

72563524_calques.indd 1

12/12/2016 14:50

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55

TAL puis divisions par 9 (q ≤ 10). ns (idem sq 23).

Calcul de a : b ? par partition dans des cas simples

CALCUL MENTAL 1. Dictée de grands nombres (cf. sq 48). 2. Table de 9, puis divisions par 9 (q ≤ 10).

Je découvre 1 Mathieu et Mathilde calculent 752 : 3 ? c d u 7 5 2

Des divisions comme celle-là, on n’a pas besoin de les poser ! On voit tout de suite ce que chacun aura : 3 fois 250, c’est 750 !

3 cdu

Je calcule par partages successifs. Il y aura des centaines au quotient. J’ai écrit cdu…

Termine le calcul de Mathilde. As-tu besoin de faire la preuve ?

2 Calcule ces divisions. Ne les pose que si c’est nécessaire. 43 : 2 ?

131 : 2 ?

87 : 8 ?

76 : 3 ?

201 : 4 ?

2 091 : 6 ?

150 : 2 ?

3 031 625 : 4 ?

121 : 2 ?

301 : 2 ?

705 : 7 ?

171 : 2 ?

798 : 5 ?

502 : 5 ?

705 : 3 ?

1 003 : 4 ?

151 : 3 ?

61 : 2 ?

501 : 2 ?

1 502 : 3 ?

Je deviens performant A Le nombre mystérieux 38 × 786 26 666

27 666

27 868

28 868

40 000 – 11 132

29 868

30 000 – 2 334

398 × 67

B Le jeu du portrait B

• C’est un polygone. • Il n’a pas d’axe de symétrie. • Un de ses angles est égal à l’angle bleu foncé de ton calque.

A D

E

C

F

C

H G

Activité sur le calque n° 3 du cahier d’activités 83

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On peut en outre utiliser des miroirs (certains miroitiers peuvent découper de petits miroirs à petit prix). En posant le miroir sur le pli, on voit apparaitre l’image qu’on obtient aussi par impression. Cette expérience (avec un miroir) peut être prolongée sur les calques : on voit alors ce qui apparaitra de l’autre côté de la droite D, si l’on effectue correctement les tracés. Pour le premier calque, l’image d’ensemble ainsi obtenue peut suggérer un avion, un robot, un papillon… L’enseignant pourra conclure ces observations : en géométrie, on dit que « les deux images ou les deux tracés sont symétriques par rapport au pli ».

Tracés sur le calque (activité 1) : mise au point d’une méthode On aura préalablement découpé les deux demi-feuilles du calque. De plus, chaque demi-feuille aura été découpée en trois parties correspondant aux trois figures qu’il faut compléter (on commencera les tracés par celles qui ont deux points sur l’axe de symétrie). Les élèves sont invités à se servir de leur règle pour tracer des traits « bien droits » et à se munir d’une gomme. Une progression possible est la suivante : 1°) Pour la première figure, les élèves peuvent anticiper le tracé à réaliser en pliant le calque (ce procédé leur servira aussi à vérifier leur tracé, à la fin). 2°) Pour les 2e et 3e figures, ils ne peuvent plier le calque qu’à la fin, comme moyen de vérification. Il est bon, enfin, de reproduire la 1re figure sur un quadrillage agrandi à bonne échelle (sur une affiche ou au tableau). L’enseignant pourra ainsi faire décrire les tracés et tracera lui-

Activités Sq 54 et 55 – pages 82 et 83

même le symétrique de la figure avec la règle à tableau, en se faisant guider par les élèves. Dès la première figure, on imagine la situation d’impression : l’encre noire de la partie gauche n’est pas encore sèche ; si on plie selon la droite D, cette encre va se déposer sur l’autre demi-feuille… Il y a 2 méthodes pour réaliser cette tâche, suivant qu’on cherche à tracer un trajet ou qu’on commence par placer les pointsextrémités des segments : 1°) Si on cherche à produire le trajet, pour que les segments tracés à droite de D soient symétriques de ceux qui sont à gauche, on doit veiller à ce qu’ils aient la même longueur et forment entre eux des angles internes égaux à ceux du modèle. Quand le tracé s’effectue sur un quadrillage, celui-ci constitue un moyen de mesurer ou de repérer ces longueurs et ces angles. 2°) Si on cherche à placer les points qui constituent les extrémités des segments, pour chaque point il faut repérer la droite perpendiculaire à l’axe qui passe par lui et placer l’image de ce point sur cette droite, à la même distance de l’axe, de l’autre côté. Pour faire apparaitre la figure symétrique du modèle, il suffit de joindre ensuite ces points en traçant les segements correspondants. Nous recommandons à l’enseignant de privilégier ici la seconde méthode, parce que c’est la plus générale (par exemple quand la tâche est réalisée sans quadrillage, comme on le fera au CM2). Encore faut-il que les élèves comprennent qu’en procédant ainsi, non seulement on obtient des points qui se superposeront après pliage, mais que c’est aussi le cas des segments compris entre ces extrémités. L’enseignant peut aider les élèves à en prendre conscience et à expliciter de quelle façon on peut placer le symétrique de tout point de la façon suivante. Il leur demande d’abord de repérer un point qui ne se trouve pas à l’intersection de deux lignes du quadrillage et qui appartient à un des côtés de la figure-modèle (les élèves tracent par exemple une croix à un endroit quelconque d’un côté choisi par eux), puis de trouver le symétrique de ce point. Ils seront amenés alors à tracer une ligne perpendiculaire à l’axe passant par ce point (en fait, ils traceront une ligne horizontale parallèle à celles du quadrillage), à mesurer la distance de ce point à l’axe et à placer le symétrique sur cette ligne, à la même distance de l’axe. Cette procédure est reprise collectivement sur le grand quadrillage collectif préparé par l’enseignant. Il est bon qu’il fasse alors expliciter que la ligne-support doit absolument être perpendiculaire à D. Il peut par exemple feindre l’erreur qui consiste à tracer une ligne qui forme un angle de 100° avec D… Les deux points se superposeront-ils si l’on plie le long de la droite D ? Les élèves vérifient immédiatement leur travail en pliant leur calque. Dès lors, on comprend que cette méthode peut fonctionner très facilement pour les points qui se trouvent à l’intersection des lignes du quadrillage : comme les lignes horizontales sont perpendicualires à la droite D, il suffit de reporter, sur la ligne horizontale qui passe par chaque point, la distance du point modèle de l’autre côté de D. Quand on a placé ainsi deux points, on peut alors tracer le segment correspondant. Tracés sur l’autre demi-feuille Il faudra amener les élèves à formuler les particularités de la situation : aucun des points de la figure modèle n’appartient à D. Suite p. 132 (sq 54 et 55) ☛

131

72563527_.indb 131

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2e période

☛

Sq 54 et 55 (suite) Cela favorise l’usage de la seconde méthode, car on est obligé de l’utiliser pour repérer le symétrique du « point de départ » du tracé. Là encore, pour la première figure, l’enseignant peut organiser un guidage collectif à partir d’un tracé et d’un quadrillage agrandis. Là encore, on peut utiliser le pliage pour anticiper et vérifier le tracé (ce procédé ne servant qu’à la vérification finale pour les deux autres tracés). Finalement, on fera expliciter les différences entre les 2 demi-feuilles du calque : sur l’une, on a complété la partie droite de la figure pour que D soit un axe de symétrie ; sur l’autre, il fallait tracer une figure symétrique de la première par rapport à D. Signalons enfin que, dans les sq 55 (activité C) et 59 (activité B), 2 séries d’exercices supplémentaires seront proposées sur des calques.

Activités 2 et 3 L’activité 2 se déroule sur un autre calque, inclus aussi dans le matériel individuel (facsimilé ci-dessous). Rappelons qu’il s’agit de juger si une droite donnée constitue ou non un axe de symétrie d’une figure. Une particularité de la situation est que la figure utilisée a deux axes de symétrie. De plus, ici, on ne se sert pas du calque de la même façon que dans l’activité précédente : le pliage sert seulement pour la validation de la réponse. Il faut impérativement le signaler aux élèves au début de l’activité. On peut même leur demander de répondre à la question b sur les quatre figures avant de découper les quatre calques. Pour chaque cas, on peut amener les élèves à reformuler la consigne, par exemple en évoquant la superposition des traits de chaque côté de la droite D lors du pliage. Le quatrième cas conduira à expliciter que cette figure a deux axes de symétrie. Dans l’activité 3, les élèves sont autonomes. ✂

D

D

Activités

Séquence 55

Dictée de grands nombres Idem sq 49.

Calculs proposés oralement Utiliser les tables pour calculer des divisions Table de 9, puis divisions par 9 : idem sq 54.

1 et 2. Calculer a : b ? par partition dans des cas simples L’activité 1 peut commencer sans le support du manuel, à partir du même calcul (752 : 3 ?) proposé par écrit au tableau (le livre servira de « mémo » et aux élèves absents ce jour-là). La plupart des enfants mobilisent immédiatement la division par partages successifs, le plus souvent en la posant. Il convient de ne pas les laisser s’engager dans cette procédure et de les amener à analyser ce cas. L’enseignant peut par exemple affirmer : « On n’a pas besoin de poser cette division ; on peut la calculer directement de tête ». Au besoin, il peut par exemple demander d’estimer le quotient ainsi : « Sera-t-il plus grand que 300 ? », ce qui devrait conduire des élèves à chercher 3 fois ? = 752 en partant de 3 fois 300 ≠ 752. Il peut aller jusqu’à suggérer qu’il suffit de s’imaginer le partage réalisé : on cherche alors « 3 fois combien = 752 ? ». Comme les élèves connaissent bien les multiples de 250, la solution q = 250 et r = 2 apparaitra évidente. On demande alors aux élèves de faire la preuve, comme d’habitude. Certains d’entre eux protestent immédiatement : « C’est forcément ça puisque 752, c’est 3 fois 250 plus 2 ! ». Il est bon de proposer alors quelques autres divisions d’un grand nombre par un nombre à 1 chiffre qu’on peut calculer sans les poser (les spécificités de ces cas sont décrites dans les Objectifs de la séquence page 130). À chaque fois, l’enseignant demande s’il est utile de faire la preuve. Il fait finalement formuler ce qui vient d’être découvert, par exemple : il y a certaines divisions d’un grand nombre par un nombre à 1 chiffre qu’on peut calculer sans avoir à les poser, ce sont des divisions faciles parce qu’on connait bien la multiplication qui servirait pour la preuve. L’activité 2 est individuelle. Mais au début, il est bon d’interroger les élèves sur les cas (des deux premières colonnes par exemple) qu’ils peuvent repérer à l’avance comme des divisions de même sorte que celles qui viennent d’être traitées.

Prolongement possible : le Multipli-div. Oui

Non

Oui

Non

Oui

Non

D

✂

On trouve pages 205 et 206 de ce guide pédagogique les supports et la description d’une activité complémentaire, le « Multipli-div. », qui peut être proposée aussitôt après cette séquence. Dans cette activité, les élèves sont amenés à utiliser la réversibilité de la multiplication et de la division.

D

Oui

Non

132 72563524_calques.indd 2

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Activités Sq 54 et 55 – pages 82 et 83

Les sq 56 et 57 sont consacrées à une évaluation-bilan. Comme les tâches ne sont pas nouvelles, nous ne donnons pas ici le facsimilé des pages correspondantes du manuel. Nous utilisons cet espace pour la suite de la présentation des activités des sq 54 et 55, pour présenter des facsimilés de supports utilisés sur le cahier qui, faute de place, n’avaient pas pu être insérés dans les pages de présentation des séquences correspondantes, et, enfin, pour présenter quelques activités complémentaires.

Activité complémentaire La pyramide ……… 1 000 ……… 770 ……… ……… 620 ……… ……… 440

Les48activités 3 et 4 nombres de la sq 48 sur le 000 cahier Numération : les au-delà de 10 (2) d’activités :

500 ……… ……… ……… ………

Je découvre

3 Pour chaque collection de cubes, écris le nombre total dans le tableau ci-dessous. a.

Le nombre au sommet est un multiple de 250. 5

8 b.

8

2

3

2

………

7

c.

300 ……… 6

9

7

2

1

5

……… ……… ………

4

………

d. 1

60

………

60

3

………

e.

43

……… ………

37

Le nombre au sommet est un multiple de 125. 9

3 millions

centaines dizaines unités centaines de millions de millions de millions de mille

1

1

mille dizaines de mille

Le damier

2

Place encore 6 pions sur cette grille pour qu’il n’y en ait qu’un seul sur chaque ligne, chaque colonne et chaque « diagonale ».

unités simples unités de mille

centaines

dizaines

unités

a. b. c. d. e. 11

48

Numération : les nombres au-delà de 10 000 (2) (suite)

72563524_001-024.indd 11

19/12/2016 12:32

Je découvre

Tu vas apprendre à écrire les grands nombres, d’abord dans un tableau, puis en l’imaginant.

4 Dans le tableau ci-dessous, écris (en chiffres) les nombres suivants : a. Quatre-cent-treize-millions-cinq-cent-deux-mille-six-cent-quarante-sept. b. Huit-cent-soixante-seize-mille-quatre-cents. c. Trois-cent-sept-millions-cinquante-huit-mille-neuf. d. Soixante-et-un-millions-sept-cent-mille-seize. e. Six-cent-quatre-vingt-dix-neuf-millions-mille-deux. millions centaines dizaines unités centaines de millions de millions de millions de mille

mille dizaines de mille

unités simples unités de mille

centaines

dizaines

a.

Le Multipli-div.

b.

Ce jeu peut être proposé comme prolongement de la sq 55. Voir pp. 205 et 206 de ce guide pédagogique et la fin du commentaire de la sq 55.

c. d. e.

49

unités

Les angles

133

Je découvre

3 Dans les polygones suivants, cherche les angles égaux à ceux de ton calque et colorie-les.

72563527_.indb 133

09/03/2017 11:47

3e période Nota bene : Dans le présent ouvrage, pour écrire les fractions, nous utilisons la barre oblique. Mais il va de soi qu’en classe, on utilise systématiquement la barre horizontale.

58

Une nouvelle division et de nouveaux nombres

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit 1. Divisions par 2 de n < 200 (voir p. 12). 2. Divisions par 3, 4... dans des cas (ceux de la sq 55) où q = 10, 25, 50, 100...

Je découvre Tu vas apprendre une nouvelle division, celle où l’on partage le reste.

1 Problème : 7 verres de jus d’orange sont à partager entre 3 enfants. Quelle sera la part de chaque enfant ?

C’est 7 divisé par 3. Mais attention, ici, il faut partager le reste !

A

Objectifs Avec la sq 58, on aborde la première étape de cette nouvelle période qui est, en grande partie, consacrée à la division-fraction et aux nombres fractionnaires (tout particulièrement les fractions décimales). Les raisons qui imposent que l’on aborde ces écritures au CM1 et les choix que nous avons faits sur la manière de les aborder sont développés dans la Présentation, au chapitre 4. Nous nous limiterons ici à les résumer. La nécessité d’étudier les décimaux rend incontournable un enseignement minimal des fractions. En effet, si on ne le fait pas, les décimaux ne peuvent guère être compris comme des fractions d’entiers. La façon d’écrire les nombres décimaux (en juxtaposant les chiffres à gauche et à droite de la virgule), la façon la plus courante de les dire (par exemple : 7,35 lu « 7 virgule 35 », voire « sept trente-cinq », au lieu de « 7 virgule 35 centièmes » ou « 7 virgule 3 dixièmes et 5 centièmes »), le fait que, bien souvent, ils réfèrent à des mesures entières (7,35 € compris souvent comme 7 € et 35 c, sur le modèle de 7 h et 35 min), le fait que les techniques de calcul pour ces nombres sont quasiment les mêmes que pour les entiers, tout cela masque leur spécificité et peut conduire de très nombreux élèves à les assimiler aux entiers. L’écriture a/b possède deux sens très différents : a/b, c’est « a béièmes » (ou « a fois 1 béième »), comme dans « 3 quarts », « 2 cinquièmes », « 7 dixièmes », etc., mais a/b, c’est aussi « a divisé par b ». Nous avons choisi d’introduire ces écritures en leur donnant le sens « a divisé par b », qui est le moins courant et qu’il est très difficile de retrouver quand on commence par le sens « a béième ». D’où la situation de base de la sq 58 : l’écriture a/b correspond ici à une division, dans laquelle on poursuit le partage en fractionnant le reste en b parties égales. C’est une nouvelle division qui peut désormais s’exprimer sous la forme d’une égalité, par exemple : 17/3 = 5 + 2/3, qu’on oralise ainsi : « 17 divisé par 3 égale 5 plus 2 divisé par 3 ». C’est dans les sq 61 et 71 que le sens « 2 tiers » et l’équivalence des deux sens (« 2 divisé par 3 » et « 2 tiers ») seront abordés. Jusqu’à la sq 61, on lira donc les écritures 3/4, 2/10, etc. sous la forme « 3 divisé par 4 », « 2 divisé par 10 », etc. La seule exception à cette règle concerne tous les cas où le numérateur de la fraction est 1, car alors « 1 quart » est de manière évidente synonyme de « 1 divisé par 4 ».

A

B

A

C

B

C

C

B

7 divisé par 3, c’est égal à 2 ... plus le reste 1, divisé par 3. On écrit 7 = 2 + 1

3

3

Et s’il fallait partager 10 verres entre 3 enfants ? Écris l’égalité correspondante.

2 Problème : 12 barres de chocolat sont à partager entre 10 enfants. Quelle sera la part de chaque enfant ?

C’est 12 divisé par 10. Mais attention, là aussi ...

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

A B C D E F G H I J

A B C D E F G H I J

12 divisé par 10, c’est égal à 1 ... plus le reste 2, divisé par 10. On écrit 12 = 1 + 2

10

10

Et s’il fallait partager 24 barres de chocolat entre 10 enfants ? Écris l’égalité correspondante. Et s’il fallait partager 123 barres de chocolat entre 10 enfants ? Écris l’égalité correspondante.

86

72563526_086_127_verte.indd 86

Activités

19/12/2016 12:27

Séquence 58

Calculs proposés par écrit au tableau Divisions par partition dans des cas simples Il s’agit de divisions dont le calcul a été abordé dans la sq 55. Les cas et la procédure la plus adaptée sont décrits dans les Objectifs de cette séquence. Les premiers cas proposés permettent de revoir la stratégie utilisée en sq 55. L’enseignant annonce ensuite qu’il s’agit d’entrainer cette stratégie et que tous les autres cas qu’il va proposer se calculent donc de la même façon.

1 à 5. Division q, r et division-fraction Il va s’agir tout d’abord d’établir la différence entre deux situations de partage, l’une dans laquelle le reste ne participe pas à la distribution (c’est le cas lors du partage de quantités faites d’unités « insécables » comme des billes, des images, des fleurs, etc.), l’autre dans laquelle ce reste est lui-même partagé (c’est le cas lors du partage de quantités faites d’unités « sécables » ou de grandeurs continues comme des gaufrettes ou des verres de jus de fruit). Ce sont en effet ces deux situations qui permettent le mieux de comprendre la différence entre la division euclidienne et la division-fraction. Pour les élèves, la première situation est déjà associée à la division où l’on recherche un quotient (la valeur d’une part) et un reste, à savoir la division euclidienne. En outre, il leur sera facile de comprendre que si l’on partage des verres de jus de fruit, des gaufrettes ou des brioches, on ne jette pas le reste, mais on

134

72563527_.indb 134

09/03/2017 11:47

Activités Sq 58 – pages 86 et 87 3 Problème : 13 tartelettes sont à partager équitablement entre 4 personnes. Quelle sera la part de chaque personne ?

L’enseignant annonce alors que l’on peut écrire cette nouvelle division où l’on partage le reste. Il écrit 7/3 = 2 + 1/3 en oralisant cette écriture au fur et à mesure : « sept divisé par 3, c’est égal à 2 plus 1 divisé par 3 »… Il commente par exemple ainsi : « C’est une nouvelle division, la division-fraction… (on écrit cette expression)… la division où l’on partage aussi le reste ». Sur cette écriture, il demande aux élèves de retrouver le quotient de la division et le reste (cf. le J’ai appris). On ouvre alors le livre et on observe que le problème posé est le même et qu’on l’a résolu de la même façon. Les élèves font individuellement l’autre exercice (10 verres à partager entre 3 enfants), mais on en fait aussitôt une reprise collective.

Dessine les tartelettes et effectue le partage. Écris l’égalité correspondante.

J’ai

ap

s pri

17 se lit « 17 divisé par 3 » (tu apprendras bientôt une autre façon de le lire). 3

C’est une nouvelle division, la division-fraction, où l’on partage le reste. Avec cette division, on peut écrire une égalité : c’est le quotient de la division … 17 = 5 + 2 3 3

… avec le reste qui a été partagé.

4 Calcule ces divisions-fractions. 561 4

3 2

52 10

25 6

702 100

103 25

109 3

35 8

4 258

7 041 1 000

5

Problèmes 5 Résous ces problèmes en indiquant si tu utilises la division avec reste ou la division-fraction. 1. On partage 7 brioches en 2 parts égales. 3. On partage équitablement 14 pains au lait entre 5 enfants. Quelle sera la part d’un enfant ?

Combien de brioches y a-t-il dans chaque part ?

2. On répartit équitablement 13 billes

4. On partage équitablement 26 gaufrettes entre

entre 4 enfants. Combien de billes aura chaque enfant ?

3 frères. Combien de gaufrettes chacun aura-t-il ?

Je deviens performant • C’est un hexagone. • Il a un axe de symétrie. • Deux de ses angles sont droits.

Le jeu du portrait

B

Remarque Devant des écritures du type 3/4, 2/10, etc., il est important de les oraliser, à ce moment de la progression : « 3 divisé par 4 », « 2 divisé par 10 », etc. Cela ne sera pas facile pour l’enseignant, car ses habitudes sont plutôt de dire « 3 quarts », « 2 dixièmes », etc. Mais à ce moment de la progression, lorsqu’un enfant doit partager 3 pizzas en 4 parts égales, il détermine la part d’une personne ainsi :

A C

D

E

F G

alors que « 3 quarts » renvoient plutôt à ceci : 87

72563526_086_127_verte.indd 87

19/12/2016 12:27

peut le fractionner pour effectuer un partage complet. Si l’on introduit alors l’écriture de cette nouvelle division, la « divisionfraction », pour représenter une telle situation, il leur sera facile de comprendre, par exemple, que 7/3 = 2 + 1/3 signifie : on avait 7 objets, on les a partagés entre 3 personnes, chacune en a 2 mais il reste 1 objet qu’on partage aussi en 3.

Conduite de l’activité 1 Elle commence sans le livre, par un premier problème de partage associé à la division euclidienne, par exemple : « 3 frères veulent se partager équitablement 7 billes » (on reprendra ces mêmes nombres dans le cas d’une division-fraction). Le calcul est facile et on écrit 7 : 3 ? q = 2, r = 1. L’enseignant demande alors ce que font ces frères de la bille qui reste. Peuvent-ils la partager elle aussi ? On imagine le ridicule d’un jeu avec des morceaux de billes. Il propose maintenant le problème du livre : « 3 enfants se partagent 7 verres de jus d’orange ». On peut écrire aussi 7 : 3 ? q = 2, r = 1. Mais que fait-on du verre qui reste ? La discussion conduit à l’idée d’en partager équitablement le contenu. L’enseignant représente alors la situation par un schéma comparable à celui du livre (7 verres et 3 enfants A, B et C). Les 6 premiers verres de jus d’orange sont attribués et on se demande comment partager celui qui reste. C’est l’occasion d’insister sur la manière de faire un tel partage équitable : pour que chacun ait la même quantité de liquide, il suffit, dans un verre cylindrique, de partager la hauteur de liquide en 3 parties égales ; en revanche, dans un verre évasé, une telle façon de procéder ne serait pas équitable.

72563527_.indb 135

Rappelons que l’équivalence entre ces deux façons de faire sera découverte et établie dans la sq 61. La seule exception à cette recommandation est celle où le numérateur est 1, car alors, « 1 quart » est de manière évidente synonyme de « 1 divisé par 4 ». Dès lors, quand des élèves utilisent la formulation « 1 quart », il est normal de la retenir tout en lui donnant le synonyme « 1 divisé par 4 ».

Activités 2 à 5 Le problème et l’illustration de l’activité 2 sont traités collectivement. On vérifie notamment que les deux barres de chocolat de droite sont bien partagées en 10 parts égales. Si des élèves disaient qu’on peut aussi partager chacune en 5, cette solution serait évidemment acceptée. Les deux autres partages en 10 sont traités individuellement. Dans l’activité 3, les élèves doivent eux-mêmes réaliser un schéma. Ils le font individuellement et ce travail est aussitôt repris au tableau. Dans les activités 4 et 5, les élèves sont normalement en mesure de travailler de manière autonome. L’enseignant apporte son aide « à la demande ». Signalons toutefois que, dans l’activité 4, le calcul de 561/4 peut laisser perplexe. En effet, jusqu’ici, tous les calculs de divisions-fractions pouvaient être faits « de tête ». Or, pour ce cas, il faut utiliser la technique enseignée avec des divisions euclidiennes. On amènera les élèves à prendre conscience que ce qu’ils savent faire dans une division « avec reste » demeure pertinent dans le calcul d’une telle division-fraction. 135

09/03/2017 11:47

3e période

59

1 Problème : On partage équitablement 4 tartes rondes entre 3 personnes.

Écris et calcule la division-fraction, puis dessine les tartes, effectue le partage et colorie une part.

Les élèves ont déjà rencontré des écritures du type a + 1/n (sq 58). Dans la sq 59, on va établir que l’écriture 1/n n’est pertinente que si le partage de l’unité est équitable. En effet, à ce stade, de nombreux élèves n’ont pas encore conscience de cet impératif. On le voit par exemple aux erreurs que certains font, en associant une écriture fractionnaire à des partages inégaux ou en dessinant des partages manifestement inégaux. Dans le cours de l’activité 1 de la sq 58, cette question a déjà été débattue dans le contexte d’un verre de liquide. Ici, on en fait une question de portée générale. Les élèves sont donc confrontés à des partages égaux et des partages inégaux, ils doivent déterminer dans quel cas la division-fraction est pertinente.

2 Sur quelles figures et quels segments a-t-on colorié A

Dans la sq 60, les élèves apprennent à construire un triangle à partir de la longueur d’un côté et de deux angles adjacents. Qu’on puisse construire ainsi un triangle égal à un autre n’a rien d’évident, car pour les élèves, a priori, l’égalité de deux triangles repose sur une caractéristique unique : les côtés appariés doivent avoir même longueur. Ils découvrent ici qu’on peut aboutir au même résultat avec un procédé reposant sur l’égalité de deux angles. Il serait bien sûr prématuré de chercher à démontrer cette propriété au CM1. On se limite ici à un apprentissage par la pratique. Précisons enfin que ces activités préparent aussi à l’usage d’un procédé similaire pour construire des parallélogrammes (sq 64).

Séquence 59

Calcul mental : idem sq 58. 1 à 3. Fractionner l’unité en parts égales Remarque préliminaire Dans le premier problème proposé ici, au moment de partager le reste, il faut partager une tarte ronde entre 3 personnes. Dans ce partage d’un objet rond, on observe souvent l’erreur ci-contre : L’enfant sait peut-être qu’il doit produire un partage équitable, mais il a du mal à reconnaitre les situations où un partage égal est représenté correctement ou à le mettre en œuvre, car il porte son attention sur l’un des deux critères de réussite (le nombre de parts qui est plus explicite) et néglige l’autre (l’égalité des parts). De plus, il est encore peu familier de la comparaison des aires, et ce qui parait manifestement inégal pour un adulte peut lui paraitre acceptable. Dans les schémas des élèves pour ce problème, on observera donc probablement l’erreur signalée ci-dessus. Son 136

1 ? 3

B

E

F

C

D

G

H

I

J

K

3 Sur quelles figures et quels segments a-t-on colorié L

M

1 ? 10

N

O

P

Q R

S

On utilise le contexte du partage équitable d’aires (disques et rectangles) ou de longueurs (segments). À cette occasion, les élèves développeront des savoir-faire géométriques (partage d’un disque en 6 ou en 3 parts égales).

72563527_.indb 136

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit 1. Divisions par 2 de n < 200 (voir p. 12). 2. Divisions par 3, 4... dans des cas (ceux de la sq 55) où q = 10, 25, 50, 100...

Je découvre

Objectifs

Activités

Fractionnement de l’unité en parts égales

J’ai

ap

pri

s

Quand je partage une unité (1 pizza, 1 l d’eau, 1 tablette de chocolat, 1 ruban…) en 10 parts, c’est seulement si les parts sont égales que la grandeur d’une part est égale à 1 . 10

Je deviens performant A Calcule ces divisions-fractions. 365 2

B

19 3

8 507 100

803 8

79 013 1 000

Activité sur le calque n° 4 du cahier d’activités

88

72563526_086_127_verte.indd 88

19/12/2016 12:27

analyse permettra d’établir la nécessité de dessiner un partage équitable à chaque fois qu’on veut représenter « 1 divisé par 3 » ou « … par 4 », « … par 5 », etc. Il faut bien sûr que l’on retrouve le nombre de parts (pour 1/7, s’il y a 8 parts égales, cela ne va pas), mais aussi que les parts soient égales.

Conduite de l’activité 1 Elle commence sans le livre. L’enseignant pose le problème des 4 tartes rondes à partager entre 3 personnes. La solution numérique est calculée avant de demander aux élèves de faire un schéma qui représente ce partage, car ce n’est pas elle qui pose problème et le schéma n’aiderait guère à la trouver. On veut à l’inverse que les élèves interprètent la fraction 1/3 en faisant un schéma. Les divers schémas obtenus sont comparés. On reprend au tableau l’erreur « classique » et un schéma correct. Si aucun enfant n’avait produit cette erreur, on dessinerait ce schéma au tableau en demandant s’il convient pour représenter 1/3. On peut même avoir préparé deux disques pour simuler les deux sortes de partage et observer si le partage est équitable dans les deux cas. On sera conduit à parler de « partage inégal » en donnant un exemple comme celui de trois personnes « qui n’ont pas autant faim ». On sera en outre amené à faire une différence entre l’idéal mathématique où la moindre inégalité interdit qu’on écrive 1/3 par ex. et les partages dans la réalité : même si on s’y prend bien, on ne réalise jamais un partage complètement équitable. Il s’agit seulement de montrer par le dessin qu’on a compris la nécessité de l’égalité des parts. La question se pose alors de déterminer comment faire un partage correct pour 1/3. On laisse les enfants chercher et proposer des solutions. On pourra par exemple retenir (ou suggérer)

09/03/2017 11:47

6O

L par écrit de n < 200 (voir p. 12). , 4... dans des cas 55) où q = 10, 25, 50, 100...

Construction de triangles avec des gabarits d’angle

cas permettront de revoir, si nécessaire, le raisonnement utilisé dans les sq 39 et 44. Quant au choix des cas, il convient d’éviter que la taille du nombre serve d’indice aux élèves pour savoir s’il faut faire une multiplication ou une division par 7. En effet, si, pour faciliter les calculs, les cas sont du type « 64 jours → ? semaines » et « 9 semaines → ? jours », des élèves peuvent se dire qu’on fait une division quand le nombre a deux chiffres et une multiplication quand il en a un. On exclura ici ce comportement superficiel en proposant des cas où le nombre initial est toujours un nombre à 2 chiffres se terminant par zéro (10, 20, 30, … 80, 90). De ce fait, les multiplications comme les divisions sont simples et, pour chaque cas, les élèves doivent se ramener au raisonnement utilisé jusqu’ici : pour convertir 30 semaines en jours, il y a plus de jours, il y en a 7 fois plus… ; pour convertir 30 jours en semaines, il y a moins de semaines, il y en a 7 fois moins… Que le calcul soit une multiplication ou une division, on voit que cette tâche est aussi une bonne façon d’automatiser la table de 7.

Je découvre 1

Tu vas apprendre à construire un triangle quand on te donne la longueur d’un côté et les deux angles aux extrémités de ce côté. C

Ceci est une réduction du triangle ABC.

A 50 m

m

On utilise un double décimètre et deux gabarits d’a ngles du matériel individuel. Regarde, c’est facile !

Dans la réalité, [AB] mesure 50 mm.

B

a

b

A 0

3

2

1

4

7

6

5

B

A

• Prends le gabarit de l’angle du sommet A, pose-le correctement sur le point A et trace la demi-droite support de [AC].

• Trace une droite. • Place les points A et B distants de 50 mm.

c

d

B

A

C

B

A

• Prends le gabarit de l’angle du sommet B, pose-le correctement sur le point B et trace la demi-droite support de [BC].

• Appelle C le point où les deux demi-droites se croisent. Tu peux gommer ce qui dépasse.

2 Construis les trois triangles suivants et assemble-les pour former un rectangle.

A

1 et 2. Construire un triangle avec des gabarits d’angles

C

Activité 1

1

mm

10

1 dm 1

m

m

B

12 cm

Je deviens performant Problème 5 pizzas de forme carrée sont partagées en parts égales entre 3 frères. Quelle est la part de chacun ? Écris et calcule la division-fraction, puis dessine les pizzas, effectue le partage et colorie une part. 89

72563526_086_127_verte.indd 89

19/12/2016 12:27

l’utilisation de l’horloge : si on divise le cadran en 3 secteurs égaux, les limites des parts peuvent être les chiffres 4, 8 et 12. Mais on explorera surtout ce procédé géométrique : on marque sur le cercle les points où l’on pose la pointe du compas lorsqu’on prépare une rosace. On obtient ainsi un hexagone régulier (le mot est employé). Pour un partage en 3, il suffit de joindre au centre un sommet sur deux, et tous les points pour un partage en 6.

Activités 2 et 3 Il s’agit maintenant de reconnaitre les figures ou les segments où l’on a colorié 1/3 puis 1/10. On se rappelle qu’il faut vérifier deux choses : le nombre de parts et l’égalité des parts.

Remarque Dans ces deux activités, chaque objet (figure ou segment) utilisé pour représenter 1/3 et 1/10 est partagé respectivement en 3 parts et 10 parts. Ce nombre de parts se vérifie aisément, d’un seul regard, quand il n’y en a que 3 (activité 2). Mais ce n’est pas le cas quand il y en a 10 (activité 3). On fera donc expliciter aux élèves que, pour chaque objet, on est obligé de compter les parts pour vérifier s’il y en a 10.

Activités

Activités Sq 59 et 60 – pages 88 et 89

CALCUL MENTAL Conversions jours semaines où tantôt on convertit en jours, tantôt en semaines avec n = 10, 20, 30... 60, 70 (voir p. 13).

Séquence 60

Calculs proposés oralement Conversions jours ↔ semaines La tâche est la même que dans l’activité 2 de la sq 44, mais on se limite à ces deux unités et au seul rapport 7. Les premiers

Outre l’obstacle conceptuel explicité dans les Objectifs, cette activité présente deux difficultés : 1°) La figure donnée en modèle est une réduction de celle que les enfants doivent tracer. Il conviendra de les amener à en prendre conscience. Ce sera l’occasion de comprendre la convention utilisée dans les dessins techniques, notamment pour les cotes. 2°) Bien des élèves sont étonnés que, pour tracer le côté AC, il faille dépasser le point C que l’on veut déterminer et tracer une demi-droite de longueur indéterminée. De surcroit, ils doutent qu’on puisse construire un triangle ainsi car, pour eux, un polygone, ce n’est pas la figure déterminée par des droites sécantes, mais d’abord une forme sur un fond, comme un carton qu’on a découpé. Les tracés qui « débordent » contrarient cette représentation. L’activité et la discussion collective amèneront donc les élèves à enrichir leur représentation du triangle et, plus généralement, des polygones. Les élèves effectuent le tracé en s’aidant du mode d’emploi du livre. Si on souhaite les aider avec un tracé au tableau plus grand que le leur, il est essentiel qu’ils soient conscients de cet agrandissement. On peut décider qu’au tableau, on tracera un triangle plus grand, pour qu’on le voie mieux. Il aura les mêmes angles, mais le côté AB mesurera 5 dm et non pas 5 cm, comme celui des élèves. Ce triangle sera donc 10 fois plus grand. Ce sera « le triangle du tableau ». En conclusion, il est important que les enfants sachent distinguer : – d’une part, les erreurs de tracés, par exemple [AB] mesure 40 mm parce que l’enfant a pris le 1 de son double décimètre comme origine, l’angle utilisé est l’angle vert foncé plutôt que le vert clair, etc. ; on amènera les élèves à constater que la longueur de [AC] est presque la même pour tous les triangles, de même pour celle de [BC] ;

Suite page 139

☛ 137

72563527_.indb 137

09/03/2017 11:47

3e période

61

« 2 divisé par 3 », c’est aussi « 2 tiers »

CALCUL MENTAL Conversions jours semaines où tantôt on convertit en jours, tantôt en semaines avec n = 10, 20, 30... 60, 70 (voir p. 13).

Je découvre

Objectifs

1

Cahier d'activités page 16 Gino et Fino, montrez-moi la grandeur d’une part quand on partage équitablement 2 pizzas entre 3 personnes.

2 a. Observe comment Gino et

Fino répondent à Mathilde.

La sq 61 constitue la deuxième étape de la phase d’introduction des écritures fractionnaires. On y aborde le second sens de ces écritures : a/b, ce n’est pas seulement « a divisé par b », c’est aussi « a béièmes ». Il s’agit de comprendre qu’une division comme 2/3 s’interprète de deux façons équivalentes : « 2 divisé par 3 »

b. Dessine comme Gino, puis comme Fino, la part de pizza correspondant à 5 6 (dessine des pizzas rectangulaires et partage-les comme ci-contre). c. Fais de même avec 2 , puis avec 5 . 6

« 2 tiers » J’ai

La sq 62 est le début d’une série d’activités qui conduira les élèves à découvrir les propriétés des parallélogrammes en construisant des parallélogrammes quelconques, des losanges, des rectangles et des carrés (sq 64, 68, 69, 86).

ap

s pri

8

Il y a deux façons de représenter la part de pizza correspondant à 3 : 4 • soit je prends 3 pizzas, je partage chacune en quarts et je prends une part dans chaque ; • soit je prends 1 seule pizza, je la partage en quarts et j’en prends 3 parts. 5 se lit « 5 divisé par 6 »; mais on peut le lire aussi « 5 sixièmes ». 6 Dans la fraction 13 8

On s’appuie sur l’équivalence des aires de figures et on se place dans le cas de fractions inférieures à l’unité. Il ne faut pas sous-estimer la difficulté de cette équivalence : pour les élèves, l’écriture 2/3 renvoie au partage de deux unités en 3. Or, et cela leur paraitra étonnant, pour connaitre la grandeur d’une part, lors du partage de 2 pizzas en 3 par exemple, la présence des 2 pizzas n’est pas nécessaire ; on peut voir la part résultant de « 2 pizzas divisé par 3 » dans une seule pizza. Les élèves sont amenés à découvrir eux-mêmes ce deuxième sens de 2/3, 3/4, etc. et à établir l’équivalence avec le sens « a divisé par b », en résolvant un problème sur le cahier d’activités (voir facsimilé). Ils effectuent d’abord un partage équitable de 3 pizzas entre 4 enfants. Pour cela ils utilisent la procédure dont ils disposent à ce moment : chaque pizza est partagée en 4 et une part correspond à 3 fois « 1 divisé par 4 », c’est-à-dire à 1 quart de la première, 1 quart de la deuxième et 1 quart de la troisième. On les amène ensuite à délimiter la grandeur d’une part sur une seule pizza, c’est-à-dire à la partager en 4 quarts et à isoler 3 de ces quarts.

Je ne prends qu’une pizza. Je la découpe en 3 tiers et j’e n prends 2 tiers.

1 tiers de la première et 1 tiers de la seconde.

ce nombre est le dénominateur, il nous permet de dénommer la fraction (ici, ce sont des huitièmes) ;

ce nombre est le numérateur, il nous indique le nombre de huitièmes (ici, il y en a 13).

3 a. Écris sous forme de fraction : cinq septièmes, deux tiers, un quart, neuf dixièmes, six centièmes. b. Écris les fractions correspondant aux parties colorées. A

B

C

D

E

F G

Je deviens performant Cahier d'activités page 17 90

72563526_086_127_verte.indd 90

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2 autres restent dans le four). La contrainte de la seconde situation (on ne touche pas aux 2 pizzas restées dans le four) oblige à découper la totalité d’une part dans cette pizza. La solution n’est Je deviens performant pas54évidente, mais on laissera les élèves chercher, individuellement. Mathieu a commencé cette division, continue-la. A La plupart des élèves auront partagé chaque pizza en 4 et colorié 3 fois 1/4. quart de pizza à quelle 2 Le 5 fait 8 5de6noter 7 8sur chaque 3 sœur il revient (en utilisant les abréviations A, B, C, D, pour Anne, Betty, etc.) et de formuler ce qu’obtient chacune d’elles : « Anne aura 1 pizza divisée par 4 ou 1 quart de pizza, encore 1 pizza divisée par 4 ou encore 1 quart, etc. » aide à chercher une solution Je prépare la division. pour le 2e problème : on veut représenter la grandeur d’une part Y aura-t-il des millions au quotient ? dans une seule pizza, Anne doit avoir la même quantité de pizza quand elle mange seule que quand elle mange avec ses sœurs. 61

« 2 divisé par 3 », c’est aussi « 2 tiers » Je découvre

Activités

1 Problème : 3 pizzas sont à partager équitablement entre 4 sœurs : Anne, Betty, Céline et Diane. Un midi, les 3 pizzas sont sorties du four, les 4 sœurs déjeunent ensemble.

Séquence 61

Fais le partage et colorie la part d’Anne.

Un soir, Anne sort une pizza du four et laisse les deux autres à l’intérieur. Elle va manger avant ses sœurs, car elle doit aller à un match de handball. Représente et colorie la part d’Anne dans la pizza qu’elle a sortie, sans toucher aux deux autres.

Conversions J ↔ S : idem sq 60. 1 à 3. « 3 divisé par 4 », c’est « 3 quarts » Activité 1 sur le cahier d’activités L’activité commence directement sur le cahier (facsimilé ci-contre). Rappelons qu’il s’agit d’amener les élèves à délimiter sur une seule pizza une part correspondant au partage de 3 pizzas entre 4 personnes. Pour cela, on s’appuie sur la comparaison entre deux situations : dans la première, 4 sœurs mangent ensemble et elles disposent de la totalité des 3 pizzas ; dans la seconde, l’une des sœurs mange seule et elle ne dispose que d’une seule pizza (les 138

72563527_.indb 138

Pour représenter la part de pizza correspondant à 3 , je peux : 4

– soit prendre 3 pizzas, puis . . . . . . . . . . . . . . . . .

– soit prendre 1 seule pizza, puis . . . . . . . . . . . . .

.............................................

...............................................

.............................................

................................................

16

Finalement, on compare les solutions des 2 problèmes : 72563524_001-024.indd 16

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NTAL ours semaines où tantôt n jours, tantôt en semaines 0, 30... 60, 70 (voir p. 13).

62

☛

Je découvre 1 a. Détache les 4 bandes bleues et les 4 bandes vertes qui se trouvent dans ton cahier d’activités et construis avec soin les matériels 1 et 2 en utilisant des attaches parisiennes.

Matériel 2 (en réduction)

Matériel 1 (en réduction)

G

H D

C

m

5c

m

3c

b. Sur une grande feuille, trace 3 quadrilatères différents avec chaque matériel (trace à l’intérieur du matériel). Sur chacun de ces quadrilatères, vérifie que les côtés opposés B sont parallèles et de même longueur : de tels quadrilatères s’appellent des parallélogrammes. A 5 cm

E

10 cm

F

b. Quels sont les quadrilatères dont tous les côtés opposés sont parallèles ? Ces côtés opposés sont-ils de même longueur ? c. Quels sont les parallélogrammes ? 1

2

3

A

4

5

6

7

E A

A

D

C

E B D D

B

C

C

B

G F

A

F

A

B

G B

Je deviens performant A Écris les fractions correspondant aux parties colorées. A

C

B

D

G

B Calcule ces divisions-fractions. 41 5

1 587 250

72563526_086_127_verte.indd 91

87 194 6

103 4

6 091 100

L’agencement des 3 triangles de façon à former un rectangle permet d’évaluer la précision des tracés et des découpages. Il s’agit d’une forme d’autocorrection qui aide les élèves à se convaincre que le procédé de construction est fiable. Les élèves doivent écrire le nom de chaque triangle par les lettres A, B et C. C’est un moyen de communiquer sur cette tâche mais aussi de désigner la face du triangle qu’on utilise pour former le rectangle. En effet, si l’on retourne le triangle et qu’on utilise l’autre face, le « puzzle » devient impossible. Mais là encore, il est normal que l’agencement ne soit pas parfait même quand le tracé a été effectué correctement. Solution du « puzzle » : voir page 142.

Nota bene L’activité A amène les élèves à mobiliser une procédure de partage de chaque unité qui sera utilisée dans la situation initiale de la sq 61. On ne peut donc pas en faire l’économie.

E F

Sq 60 (suite) – d’autre part, les écarts observés entre différentes réalisations correctes de la figure : en effet, un écart d’un degré dans le tracé des angles éloigne ou rapproche de manière sensible le point C de [AB] ; ces écarts sont cependant inévitables et donc acceptables. Cette distinction fera l’objet d’un débat.

Activité 2

2 a. Parmi les quadrilatères ci-dessous, quels sont ceux qui n’ont que deux côtés opposés parallèles ?

0

Activités Sq 61 et 62 – pages 90 et 91

CALCUL MENTAL 1. Soustractions (idem sq 23). 2. Divisions par 10, 25, 50, 100 et 250.

Les parallélogrammes

91

19/12/2016 12:27

– dans les deux problèmes, on se demande quelle est la part correspondant à « 3 pizzas partagées en 4 parts égales », dans les deux problèmes, on cherche le résultat de « 3 divisé par 4 » ; – le résultat est « 3 quarts » : Anne a « 3 quarts de pizza » quand elle mange avec ses sœurs ; elle a aussi « 3 quarts de pizza » quand elle mange seule ; – « 3 quarts », dans le 1er problème, c’est « 3 fois 1 quart » (1 quart de la première pizza, 1 quart de la deuxième,…) ; mais on peut aussi représenter cette part sur une seule pizza, comme dans le 2e problème : pour cela, on la partage en 4 parts égales soit en 4 quarts et on prend 3 de ces parts, soit 3 quarts d’une pizza. C’est pour cela que l’écriture 3/4 ne se lit pas seulement « 3 divisé par 4 », mais aussi « 3 quarts ». Si des élèves n’étaient pas convaincus de l’équivalence, on pourrait les aider en comparant le partage effectué sur les 3 pizzas dans la procédure de base avec ce partage qui est amorcé et qu’il faut terminer : A A A On observera alors qu’il y a plusieurs façons de terminer ce partage : distribuer 3 quarts de la 2e pizza à B, 3 quarts de la 3e à C, etc. ; attribuer à B le 4e quart de la 1re et 2 quarts dans la 2e, etc. Les élèves peuvent alors formuler sur le cahier chacune des deux façons de représenter la part de A. Avant d’ouvrir le livre, on propose aux enfants de délimiter, sur le dessin d’une seule pizza, la part d’une personne dans le cas d’un partage de deux pizzas

entre 3 personnes (2/3 se lit aussi « deux tiers »), puis de 4 entre 6 (4/6 se lit aussi « 4 sixièmes »). Rappelons que les élèves ont appris à partager un disque en 3 et en 6 dans la sq 59.

Activités 2 et 3 Les élèves ouvrent maintenant leur livre. L’illustration permet de revoir les deux façons de représenter une part correspondant à 2/3 : Gino partage 2 pizzas et réalise deux fois 1 tiers, Fino représente cette même part sur une seule pizza. Chaque personnage incarne une des deux façons de concevoir une fraction : a fois 1/b ou a béièmes (on les retrouvera dans la sq 71). Avec les autres exercices de l’activité 2, on généralise l’équivalence des deux sens de a/b. En conclusion, on reprend au tableau la terminologie du J’ai appris (« numérateur » et « dénominateur »). On en fera un affichage pour fixer ces mots. Dans l’activité 3, on passe de la lecture fractionnaire (« 3 quarts ») à l’écriture de la division-fraction (3/4), qui est plus générale puisqu’elle admet les deux lectures : « 3 quarts » et « 3 divisé par 4 ». On peut présenter la suite de cette activité en disant que les figures résultent toutes d’un partage selon « la méthode de Fino », et qu’il s’agit de retrouver quel partage on a voulu faire. On incitera les élèves à vérifier que les parts sont égales (cf. sq 59).

Prolongement possible Avec le matériel en carton inséré dans le cahier d’activités, l’enseignant peut conduire l’activité complémentaire décrite page 149 (partage équitable d’une longueur).

Présentation de la sq 62 p. 141

☛ 139

72563527_.indb 139

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3e période

63

CALCUL MENTAL 1. Soustractions (idem sq 23). 2. Divisions par 10, 25, 50, 100 et 250.

Les demi-droites graduées Je découvre

Objectifs

1

Cahier d'activités pages 17 et 18

2

Cahier d'activités page 18

Dans la sq 63, les élèves apprennent à situer un nombre sur une droite graduée. Ce savoir-faire est à la base de la construction des graphiques. Cette tâche est plus difficile qu’il y parait. Elle demande notamment des raisonnements fondés sur la proportionnalité. Ainsi, pour situer 76 sur cette ligne :

J’ai

ap

pri

s

Quand je place un nombre sur une demi-droite graduée régulièrement : • soit le nombre correspond à un point qui est déjà indiqué par un trait et je peux le placer avec précision, • soit il correspond à un point qui n’est pas encore indiqué par un trait et je dois le placer approximativement en imaginant une graduation plus fine. Exemple : pour placer 732, entre 700 et 800, si la graduation va de 10 en 10, j’imagine 10 petits intervalles entre 730 et 740. 730 est là et... 740, là.

700

100

0

il faut déterminer la longueur de 76 unités si cette ligne représente celle de 100 unités. La situation de départ (des lancers de javelot), en mobilisant le modèle des longueurs, aide à comprendre la droite numérique et à coordonner discret et continu. On passe aussitôt, mais avec un support analogue, à la tâche plus générale : situer un nombre. La même démarche est suivie en partant de quantités discrètes (nombre de collégiens). Dès ce moment, l’origine de la droite n’apparait plus. Dans la sq 64, en continuité avec les apprentissages des sq 60 et 62, les élèves apprennent à construire des parallélogrammes avec des gabarits d’angles.

800

732 est à peu près ici.

3 Le graphique ci-dessous permet de représenter le nombre d’habitants de divers villages. Reproduis sur ton cahier cette ligne (10 carreaux = 100 habitants) :

61

Je deviens performant

Mathieu a commencé 1 200à tracer ce triangle avec les gabarits d’angles 1 300 du cahier d’activités. Mais a commencéles trop à droite…Il a recommencé Placeil exactement points correspondant au nombre d’habitants de ces villages : plus à gauche (en bas) en plaçant le point A. Village A : 1 250 hab. Village B : 1 190 hab. Village C : 1 340 hab. Termine cette construction. Place approximativement les points correspondant au nombre d’habitants de ces villages : Village D : 1 205 hab. Village E : 1 282 hab. Village F : 1 353 hab. A

B

Je deviens performant A Écris sous forme de fractions : trois quarts, un tiers, un quart, neuf dixièmes, trois centièmes. B Écris les fractions correspondant aux parties colorées. A

B

C

C Le nombre mystérieux 259 008

259 573

276 188

276 573

292 188

344 588

456 874 – 112 286 305 931 – 46 358

92

Activités

Séquence 63

Calcul mental : idem sq 62.

La séquence commence sur le cahier, page 17 (facsimilé ci-contre). L’enseignant a reproduit au tableau le support de l’activité pour faciliter les échanges. Il convient tout d’abord de comprendre ce support : sur cette droite graduée dessinée sur un cahier ordinaire, on a représenté par des flèches les 4 impacts de 4 lancers de javelot. C’est Romain qui a fait le lancer le plus long et Théo qui a fait le lancer le plus court. Peut-on connaitre les distances de ces lancers ? De là la nécessité de déterminer quelle longueur est représentée par un carreau (entre deux traits de la graduation) : 10 carreaux représentent 50 m, que représente 1 carreau ? L’expression « 10 fois plus petit » peut aider des élèves à mobiliser la division. La mesure des lancers de Théo, Léa et Nina découle facilement de la valeur de l’unité ainsi trouvée : 1 carreau représente 5 m. On s’intéresse au lancer de Romain. Ce n’est pas 61 m. Certes, c’est plus de 60 m, mais c’est plus proche de 65 m. De là, l’idée de partager le carreau en 5 pour faire apparaitre les autres m (on le fait au tableau et sur le cahier) entre 60 et 65 m : il faut comprendre qu’il faut tracer 4 traits espacés régulièrement pour faire apparaitre 5 intervalles égaux. On peut le faire en 2 temps, en repérant d’abord où pourrait se trouver 63 (un peu à droite du milieu), puis 61, 62 et 64. On peut traiter collectivement les 2 lancers qu’il faut flécher. Les élèves font ensuite individuellement les exercices de la page 18. Il importe de leur faire observer qu’il ne s’agit plus de 140

2 698 × 96

63

Les demi-droites graduées

72563526_086_127_verte.indd 92

19/12/2016 12:27

Je découvre

Tu vas apprendre à repérer des nombres sur des demi-droites graduées.

1 La demi-droite graduée ci-dessous représente les distances auxquelles de jeunes athlètes ont lancé le javelot. Théo

Léa

Nina

0

Romain

50 m

a. À quelle distance Théo, Léa et Nina ont-ils lancé le javelot ? (Le jet de Romain sera vu après.) Théo …………

Léa …………

Nina …………

b. Mathieu affirme que la flèche qui représente le lancer de Romain indique 61 m. Il a tort. Explique pourquoi. Montre où sont 61 m et 64 m. c. Place approximativement les lancers suivants.

Claire : 36 m

Kamel : 74 m 17

Le début de l’activité 1, p. 17 du cahier d’activités. 72563524_001-024.indd 17

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d. Quels nombres représentent les points sur la ligne ci-dessous ? A : …… B : …… A B C

0

C : ……

50

e. Place précisément ces nombres. D : 25 E : 95

Place approximativement ceux-ci. F : 41 G : 8

2 a. Quel est le nombre d’élèves des collèges A, B et C, représentés ci-dessous ? Collège A

Collège B

Collège C

600

Collège D

700

Collège A ………

Collège B ………

Collège C ………

b. Mathilde affirme que la flèche pour le collège D indique 741 élèves. Elle a tort. Explique pourquoi. Montre où sont 741 élèves, 749 élèves et 751 élèves. c. Place approximativement ces deux collèges.

Collège E : 716 élèves

Collège F : 732 élèves

d. Quels nombres représentent les points sur la demi-droite ci-dessous ? G : …… G H J

900

H : ……

J : ……

1000

e. Place précisément K : 960 et L : 1 030.

Place approximativement M : 1 054 et N : 909.

des fractions inférieures à l’unité (2) La 7O fin Comparer de l’activité 1 et l’activité 2, p. 18 du cahier d’activités. Je découvre

1 Pour comparer

3 et 68 , Mathilde imagine 4 100

ces fractions sur deux quadrillages. Vérifie les deux quadrillages et complète.

72563527_.indb 140

3 746 × 78

A

1 à 3. Situer un nombre sur une droite Des lancers de javelots à la demi-droite numérique

3 179 × 87

En t’aidant des deux quadrillages, compare les fractions ci-dessous.

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64

ENTAL ctions (idem sq 23). s par 10, 25, 50, 100 et 250.

Construire des parallélogrammes

☛

Je découvre 1

Activités Sq 63 et 64 – pages 92 et 93

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit 1. Divisions par 2 de n < 200 (voir p. 12). 2. Divisions par 3, 4... dans des cas (ceux de la sq 55) où q = 10, 25, 50, 100...

Sq 62 (suite)

Tu vas apprendre à construire des parallélogrammes. b. Selon la même méthode, construis EFGH.

a. Avec les instructions ci-dessous, tu vas construire ce parallélogramme (représenté en réduction). D

C

3c

m

m 5c

B

A

Activités

G

H

5 cm

E

a

10 cm

F

Calculs proposés oralement

b

0

0

1

1

2

2

3

3

4

5

4

5

6

6

Même activité que sq 23.

7

A

B

Divisions par 5, 10, 25, 50, 100 et 250

A B • Pose ton gabarit d’angle jaune sur le point A et trace la demi-droite qui est support du côté AD. D

c

d

B • Pose ton gabarit d’angle jaune sur le point B et trace la demi-droite qui est support du côté BC.

Même activité que sq 38 et 39 (on regroupe les cas).

C

D

1 et 2. Les parallélogrammes

C

A

B

A

Calculer a – b « en avançant » ou « en reculant »

7

• Trace le côté AB (longueur = 5 cm) et prolonge-le à droite de B.

A

B

A

B • Place le point D à 3 cm de A. • Place le point C à 3 cm de B. Trace le côté DC.

Vérifie sur ton tracé que ce quadrilatère a bien ses côtés opposés parallèles et de même longueur.

Je deviens performant A Écris les fractions correspondant aux parties colorées. A

B

C

D

E

F

B Le nombre mystérieux 1 094 975 + 58

1 420 861 + 5

3

1 480 623 + 6

40 m

m

1 475 082 + 8

8 5

Séquence 62

7

8 907 656 6

11 366 893 8

2

8 883 743 6

8 759 805 8

1 420 861 + 8 1 484 609 + 6

11 800 659 8

93

A

72563526_086_127_verte.indd 93

19/12/2016 12:27

130

lancers de javelots, mais de points situés sur une demi-droite C 0 mm graduée. Chaque13 point désigné par une flèche représente un nombre. Lequel ? On validera les réponses collectivement sur le m 6c B tableau (on garde la demi-droite graduée précédemment utilisée). mm

8 cm Les collégiens13:0 mm l’origine n’est plus représentée

On suivra le même déroulement : les premières tâches (a, b et c) sont réalisées collectivement (un support analogue est tracé au tableau) ; les élèves travailleront ensuite individuellement sur les exercices d et e. On fait formuler ce qui est nouveau : – Ce sont des nombres d’élèves (Quel collège en a le plus ? … le moins ? etc.). – Le 0 n’apparait pas (on demande de le situer approximativement à gauche de la page). – Entre deux graduations chiffrées, ce n’est plus 50 mais 100. Que représente un carreau ? Pour les collèges D, E et F, on sera conduit à imaginer 10 petites graduations intermédiaires. À la moitié de l’intervalle, on obtient le repère 5. Ainsi, la flèche du collège D semble juste au milieu entre le trait de graduation de 740 et celui de 750… Où situerait-on les nombres 746, 744, 749, etc. ? Finalement, on fera formuler aux élèves les deux sortes de cas rencontrés (soit le nombre peut être placé précisément, soit il faut imaginer des graduations plus petites et on le place approximativement).

Activité 3 sur le livre Elle est faite individuellement, avec l’aide éventuelle de l’enseignant.

L’enseignant aura détaché du matériel inclus dans le cahier les bandes utilisées ici. Pour l’assemblage de ce matériel, nous recommandons l’usage d’attaches parisiennes n° 2. À partir de l’illustration du livre, les élèves construisent leur matériel et observent ce qu’ils obtiennent : « ça bouge », « ça fait plein de losanges », « et même des rectangles », etc. Puis ils effectuent les tracés demandés sur feuilles A4. Ils peuvent s’entraider : un élève tient les 4 bandes à plat sur le papier, l’autre trace. L’enseignant demande ensuite de vérifier, sur les quadrilatères qui viennent d’être tracés, que les côtés opposés sont parallèles (usage du calque) et de même longueur. On constate qu’ils ne le sont pas souvent. On peut expliquer ce fait par l’insuffisante rigidité du matériel. En vérifiant la propriété sur le matériel lui-même (et sur son image dans le livre), on verra que cette explication est fondée. On peut imaginer qu’avec des « côtés » en métal ou en plastique, on obtiendrait des côtés « plus parallèles ». On conclut : un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur est un parallélogramme. L’activité 2 permet de réinvestir immédiatement cette nouvelle connaissance.

Nota bene Le matériel utilisé pour cette séquence sera réemployé dans l’activité préliminaire de la sq 88.

Activités

Séquence 64

Calculs proposés par écrit au tableau Divisions par partition dans des cas simples Même activité que sq 58.

1. Construire des parallélogrammes Quand les élèves traceront le parallélogramme ABCD en se laissant guider par le mode d’emploi du livre, ils pourront ne pas percevoir le parallélisme de [AD] et [BC] comme la conséquence nécessaire de l’égalité des angles internes que [AD] et [BC] forment avec [AB]. Pour amener les élèves à dégager cette propriété (quand 2 segments forment le même angle interne avec une droite, ils sont parallèles), nous conseillons donc de conduire préalablement l’activité suivante

Suite page 143

☛ 141

72563527_.indb 141

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3e période

65

Problèmes pour apprendre à chercher

CALCUL MENTAL Conversions jours ↔ semaines où tantôt on convertit en jours, tantôt en semaines avec n = 10, 20, 30... 60, 70 (voir p. 13).

J’analyse trois résolutions

Des indications pédagogiques générales sur les PAC figurent au début du Guide.

Problème : Une usine d’automobiles doit livrer 51 voitures à un garagiste. Le transport se fera par camions. Chaque camion ne peut transporter que 8 voitures. Combien de camions faut-il pour cette livraison ? Voici les solutions de Sébastien, Mélanie et Cécile.

51 : 8 ?

51 : 8 ?

q=6

Activités

Séquence 65

Conversions jours ↔ semaines

3 51 =6+ 8 8

car 51 = (8 x 6) + 3

car 51 = (8 x 6) + 3

Calculs proposés oralement

q=6 r=3

r=3

Pour cette livraison, il faut 7 camions :

Pour cette livraison, il faut 6 camions.

6 camions pleins et 1 camion pour les 3 voitures qui restent.

Pour cette livraison, il faut 6 camions et 3 . 8

Sébastien

Mélanie

Cécile

Quelle(s) solution(s) conviennent ? Pourquoi la ou les autres ne conviennent-elles pas ?

Même activité que sq 60. Problèmes variés

1. Problème dont la solution est q + 1

2e plateau = 4 places 1er plateau = 4 places

et vole droit vers le Sud. Il atterrit à Abidjan, en Côte-d’Ivoire, à 17 h 26. Combien de temps a duré ce voyage ?

5. Construction géométrique

Réalise les trois figures suivantes. Découpe-les soigneusement et assemble-les pour obtenir un triangle.

2. Un médecin dit à un malade :

« Il faut prendre 6 comprimés de Remédiol par jour pendant 30 jours. » Dans une boite de Remédiol, il y a 28 comprimés. Combien de boites de Remédiol ce malade doit-il acheter ?

A

54 mm

Les élèves ont déjà rencontré, dans les activités 2 des PAC, des problèmes de quotition dans lesquels la solution est q + 1. Mais, dès qu’ils associent la division à la résolution de problèmes de quotition, des élèves peuvent être gênés pour interpréter les résultats numériques de leur calcul en cohérence avec la situation décrite dans l’énoncé. L’erreur typique est alors de donner la réponse sous la même forme que pour les autres problèmes de quotition (cf. la solution de Sébastien). La comparaison des résolutions de Sébastien et de Mélanie permettra de comprendre la différence entre résultat du calcul (corrects tous les deux) et solution pratique : il faut transporter aussi les 3 voitures qui restent ! On pourra envisager plusieurs façons de remplir les camions. La résolution de Cécile fera l’objet d’un débat : il peut sembler bizarre de calculer une division-fraction, car il ne s’agit pas d’un partage équitable de 51 unités entre 8 parts et on ne peut pas fractionner un camion (« 3 huitièmes de camion », cela ne veut rien dire !). Toutefois, ce calcul peut être considéré comme valable à condition d’interpréter ainsi le résultat 6 + 3/8 : 6 signifie que l’on utilisera 6 camions entièrement et 3/8 que, pour le 7e camion, sur les 8 places, seules 3 seront occupées. L’écriture 3/8 doit se lire alors : – on n’utilisera que les 3 huitièmes de la capacité de transport du 7e camion ; – 3 places sur les 8 possibles seront occupées ou « 3 sur 8 » ; – 3 places seront utilisées, pour 8 places offertes, « 3 pour 8 » comme dans 17/100 par exemple, qui se lit quelquefois « 17 pour 100 » (et s’écrit alors 17 %). Un schéma tel que celui-ci peut aider à la compréhension de la fraction 3/8 dans ce contexte :

1. Un avion décolle de Paris à 11 h 47

3. Un satellite parcourt 51 648 km

pour faire le tour de la Terre. En un jour, il fait 17 fois le tour de la Terre. Combien de km parcourt-il en 1 jour ? Combien de km parcourt-il en 1 semaine ?

4. Un club de tir à l’arc achète 4 arcs identiques au prix total de 277 €. Quel est le prix d’un de ces arcs ?

9 cm

B 61

C

mm

9 cm

94

72563526_086_127_verte.indd 94

19/12/2016 12:27

Cette solution est intéressante parce qu’elle permet non seulement de savoir qu’on utilisera 7 camions mais aussi de quelle façon le 7e sera rempli : il restera 5 places. Mais ce n’est pas ainsi que raisonne Cécile. Elle fait comme si on pouvait fractionner les camions ! Après l’analyse des trois résolutions, on pourra proposer quelques problèmes de quotition pour lesquels la réponse est tantôt q, tantôt q + 1. Il ne s’agit pas d’amener les élèves à les résoudre, mais de déterminer à l’avance de quelle sorte sera la réponse.

2. Problèmes divers Les 5 problèmes proposés sont de différents types : mm 1. Calcul d’une durée 747 (on franchit plusieurs heures). 2. Problème à étapes, avec une réponse : q + 1. ? 3. Multiplication a × b × c. 4. Recherche de la valeur de l’unité. 5. Construction géométrique (voir ci-dessous la solution du « puzzle »).

Solutions des « puzzle » des sq 60 et 65 B

C

B A

2e plateau

A

C

A

1er plateau 3 places occupées sur 8 ou 3/8

C

Sq 60

B

Sq 65

142

72563527_.indb 142

09/03/2017 11:47

NTAL ours ↔ semaines où tantôt n jours, tantôt en semaines 0, 30... 60, 70 (voir p. 13).

66

Problèmes pour apprendre à chercher

☛

Je recherche les informations pertinentes Voici les longueurs de 6 avions. Entre parenthèses, on a noté le nom du fabricant et l’endroit où chacun est (fut) fabriqué. a. Antonov 225 (Rouslan, Russie)

pe) d. A 320 (Airbus, Euro

69 m

37 m

b. A 380 (Airbus , Europe)

g, USA) 747 (Boein e. Boeing

79 m

70 m

USA) c. Boeing 707 (Boeing,

-GB) f. Concorde (Aérospatiale, France

44 m

62 m

Reproduis la demi-droite graduée ci-dessous (20 carreaux = 100 m). Places-y les longueurs de ces avions (utilise les lettres qui les désignent sur les fiches).

0

100 m

50 m

Problèmes variés 1. On veut stocker 376 l de lait

dans des bidons de 10 l, en utilisant le moins possible de bidons. Combien de bidons va-t-on utiliser ?

2. Le 1er janvier, Madame Robert regarde

le compteur kilométrique de sa voiture. Il indique 187 607 km. Un an plus tard, il indique 200 013 km. Combien de km a-t-elle parcourus ?

3. Un architecte anglais imagine une tour

de 100 étages qui sera haute de 950 pieds. Tous les étages auront la même hauteur. Quelle sera la hauteur d’un étage ?

4. Dans ces deux opérations, des chiffres ont disparu. Recopie les opérations et retrouve les chiffres manquants.

+

7 . . 4 . 1 . 5 8 . 3 9 10 3 9 1 9 0

×

. 0 . . 9 2 7 . 3 . . . 9 0 . . . . 3

5. Combien de tenues différentes sont possibles si on dispose :

• d’un T-shirt vert, d’un bleu, d’un rouge ? • d’un pantalon et d’un short ? • d’une paire de baskets et d’une paire d’espadrilles ? 95

72563526_086_127_verte.indd 95

Activités

Activités Sq 65 et 66 – pages 94 et 95

CALCUL MENTAL 1. Soustractions (idem sq 23). 2. Divisions par 10, 25, 50, 100 et 250.

19/12/2016 12:28

Séquence 66

Sq 64 (suite) Activité préliminaire L’enseignant dispose de gabarits d’angles « collectifs » (les ouvertures et les couleurs sont les mêmes que celles des gabarits des élèves). Sur le tableau, selon la méthode utilisée dans la sq 60, il trace un triangle ayant un côté de longueur donnée (40 cm par exemple) et deux angles égaux (l’angle bleu clair par exemple). Cette particularité est soulignée : l’enseignant insiste sur le fait qu’il utilise un seul et même gabarit d’angle. Les élèves font la même construction sur une feuille (si la longueur du côté tracé au tableau est de 40 cm, celle de ce côté tracé par les élèves est de 40 mm). On suscitera l’hypothèse selon laquelle les deux derniers côtés tracés ont la même longueur ; on le fera vérifier, par exemple en reportant cette longueur à l’aide d’une bande de papier ou avec le compas. Il est normal évidemment qu’on observe un petit écart, lié aux conditions mêmes des tracés géométriques. L’enseignant affirmera finalement : « avec un tracé parfait, les deux côtés auraient la même longueur exactement ; un tel triangle s’appelle un triangle “isocèle”, du grec : iso = égal et skèle = jambe ». à droite de ce tracé, l’enseignant refait cette construction, mais au moment de former le deuxième angle, au lieu de retourner le gabarit, il le fait glisser et commente : « je ne le retourne pas, je le fais seulement glisser ». Les élèves font de même. On obtient donc ceci : droite de ce tracé, l’enseignant refait cette construction, mais au moment de former le deuxième angle, au lieu de retourner le gabarit, il le fait glisser et commente : « je ne le retourne pas, je le fais seulement glisser ». Les élèves font de même. On obtient donc ceci :

Calculs proposés oralement

Calculer a – b « en avançant » ou « en reculant » Même activité que sq 23.

Divisions par 5, 10, 25, 50, 100 et 250 Même activité que sq 38 et 39 (on regroupe les cas).

1. Placer des nombres sur une demi-droite graduée Dans la sq 63, les élèves ont appris à placer des nombres sur une demi-droite graduée. La tâche proposée ici est de même nature (on reprend même la graduation 1 carreau = 5 m utilisée dans la sq 63). On représente maintenant les longueurs de divers avions. Ce contexte se prête bien à la mise en évidence de l’intérêt de ce type de représentation : grâce à une mise en scène analogique, le graphique offre une « vision » immédiate des grandeurs et de leurs relations. Pour faciliter le travail des élèves, il est bon de leur faire rappeler, au début de l’activité, la méthode utilisée dans la sq 63, quand les nombres ne correspondent pas à un trait de graduation.

2. Problèmes divers 1. Problème de quotition (réponse = q + 1). 2. Recherche de la valeur d’un ajout. 3. Partage d’une longueur en parts égales (usage de la division-fraction). 4. Reconstituer les nombres d’une opération. 5. Dénombrement de possibles.

72563527_.indb 143

n cm

n cm

L’enseignant demande alors ce qu’on peut dire de ces deux demidroites. L’intuition du parallélisme peut être étayée ainsi : elles ont exactement la même direction car elles ont le même angle ; si on augmentait l’angle de la 2e demi-droite (l’enseignant le mime avec la règle à tableau), elle couperait la première en haut ; si on diminuait cet angle (l’enseignant utilise de nouveau la règle collective), … Les élèves « vérifient » sur leur tracé (avec leur « calque à parallèles »). Là encore, l’enseignant affirme qu’avec un tracé parfait… On recommence ainsi à partir de deux autres triangles isocèles construits par exemple avec l’angle jaune et avec l’angle vert foncé.

Activité avec le livre On ouvre le livre et on observe que la méthode qui est décrite dans le livre commence comme celle qu’on a suivie au tableau. Les élèves vont construire les deux figures demandées. L’égalité des longueurs [DC] et [AB] ainsi que leur parallélisme seront traités comme précédemment : on les « vérifie » avec les outils géométriques, mais, là encore, l’enseignant affirme que dans un tracé « parfait », ces propriétés ont bien cours. Avant de tracer le quatrième côté, il est utile de faire anticiper qu’il sera parallèle et de même longueur que son côté opposé. Mais il ne faut évidemment pas exiger des formulations trop précises.

143

09/03/2017 11:47

3e période

67

1 Prends une feuille et réalise les pliages suivants.

Avec la sq 67, on aborde la troisième étape de l’introduction des écritures fractionnaires. Les élèves ont d’abord découvert l’écriture a/b dans une situation où celle-ci signifiait « a divisé par b » (sq 58). On les a amenés ensuite à comprendre l’équivalence entre ce sens et le sens « a béièmes », dans des cas où la fraction est inférieure à l’unité (sq 61). Il s’agit maintenant d’établir, dans des cas simples, que des écritures fractionnaires différentes telles que 1/2, 5/10, 50/100 par exemple représentent la même quantité (cf. Présentation, chapitre 4). Dans cette séquence, on aborde principalement les équivalences du type 3/10 = 30/100, 1/2 = 5/10 et 1/2 = 50/100. Dans la sq 70, on abordera aussi les équivalences 1/4 = 25/100 et 3/4 = 75/100. Les élèves sont d’emblée amenés à utiliser ces équivalences pour effectuer des comparaisons de deux fractions. Cette tâche est en effet facile si on écrit ces deux fractions avec le même dénominateur (ici, le plus grand des deux). Par exemple, 3/10 > 27/100 car 3/10 = 30/100. La séquence comporte trois phases : 1°) En s’appuyant sur le pliage répété d’une feuille dont une fraction de l’aire a été préalablement coloriée (3/4, par exemple), les élèves sont amenés à comprendre que 3/4, 6/8, 12/16, etc. représentent la même quantité. 2°) Ensuite, partant d’une fraction comme 2/10, représentée sur un carré partagé en dixièmes, on leur fait déterminer comment dire et écrire cette fraction en imaginant un partage plus fin (en centièmes), alors que ce partage plus fin est seulement amorcé sur le carré ; 3°) Enfin, ils sont amenés à imaginer deux types de partage pour comparer des fractions comme 6/10 et 61/100, 1/2 et 5/10, 1/2 et 53/100, etc. et à construire ainsi les équivalences privilégiées : 1/10 = 10/100, 1/2 = 5/10 et 1/2 = 50/100. Les élèves retrouveront ces situations dans les activités d’entrainement des séances suivantes. On vise en effet la mémorisation rapide de ces équivalences privilégiées.

Séquence 67

Calculs proposés par écrit au tableau Divisions par 30 de nombres ≤ 360 On propose deux sortes de cas : 1°) Ceux où q = 10, 11 ou 12. Les divisions sont alors du type 305 : 30 ? 338 : 30 ? 362 : 30 ? Autrement dit le reste est ≤ 10. 144

72563527_.indb 144

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit Divisions par 30 de nombres inférieurs à 360 (q ≤ 12). Quand q < 10, usage des divisions élémentaires par 3 (voir p. 13).

Je découvre

Objectifs

Activités

Comparer des fractions inférieures à l’unité (1)

a. Plie la feuille en deux parties égales, déplie-la et colorie une partie. Écris la fraction correspondante. b. Replie ta feuille comme en a, puis replie-la encore en deux parties égales. Déplie-la et exprime 1 sous la forme d’une autre fraction. 2

c. Replie ta feuille comme en b, et replie-la encore en deux parties égales. Écris une nouvelle fraction qui est aussi égale à 1 . 2

d. Peux-tu imaginer d’autres fractions égales à 1 ? 2

2 a. Prends une autre feuille, plie-la en quatre parties égales. Déplie-la et colorie trois de ces parties. Écris la fraction correspondante.

b. Replie la feuille comme en a, puis replie-la encore en deux parties égales. Déplie ta feuille et exprime 3 sous la forme d’une autre fraction. 4

c. Peux-tu imaginer d’autres fractions égales à 3 ? 4

3 On a partagé ces carrés en 4. Que représente la partie colorée ? Imagine qu’on partage ce carré en 8.

1 4 =?

Imagine cet autre partage.

Imagine celui-ci.

1 =? 4

1 =? 4

Imagine celui-là.

1 =? 4

4 On a partagé ces carrés en 10.

Vérifie que la fraction écrite correspond à la partie colorée. Pour chaque carré, imagine le nouveau partage et complète l’égalité.

2 =? 10

3 =? 10

5 =? 10

10 = ? 10

96

72563526_086_127_verte.indd 96

19/12/2016 12:28

2°) Ceux où q < 10. Il s’agit de découvrir que le quotient de divisions comme 226 : 30 ?, 197 : 30 ? ou 253 : 30 ? s’obtient en calculant respectivement celui de 22 : 3 ?, de 19 : 3 ? et de 25 : 3 ?. Les élèves sont amenés à prendre conscience que chercher combien de fois il y a 30 dans 226, c’est chercher combien de fois il y a 3 dizaines dans 22 dizaines. Cette activité sera reprise lors des séquences suivantes avec les nombres 40, 50, etc. On prépare ainsi l’apprentissage, au CM2, de la stratégie qui consiste à se ramener à une division simple comme 27 : 5 ? pour estimer le quotient de 278 : 53 ?.

Conduite de l’activité L’enseignant a écrit au tableau les divisions données en exemples ci-dessus (premier type de cas). On explicite la stratégie utilisée : on connait 10 fois 30 = 300 et on peut s’appuyer sur ce produit et ceux qui le suivent immédiatement dans la table des multiples de 30 : 11 fois 30 = 330, 12 fois 30 = 360. L’enseignant propose ensuite les exemples ci-dessus donnés pour le 2e type de cas en commençant par 226 : 30 ?. Le fait que q < 10 est évident. Mais quel est le quotient ? L’enseignant propose des quotients successifs, par exemple : est-ce 9 ? est-ce 5 ? est-ce 7 ? Ce faisant, pour chaque proposition, les élèves sont amenés à calculer des produits tels que 9 fois 3 dizaines, 5 fois 3 dizaines, 7 fois 3 dizaines… L’enseignant leur fait prendre conscience qu’ils sont en train de chercher les résultats de multiplications par 3 d’un nombre à 1 chiffre et qu’ils les comparent avec le nombre de dizaines de 226, c’est-à-dire 22. On conclut que le quotient de la division 226 : 30 ? est le même que celui de 22 : 3 ?. On essaie immédiatement cette stratégie sur d’autres cas.

09/03/2017 11:47

Activités Sq 67 – pages 96 et 97 5 Pour comparer

3 et 27 , Mathieu imagine 10 100

ces fractions sur deux quadrillages. Vérifie-les.

En t’aidant des deux quadrillages, compare les fractions ci-dessous.

8 10 5 10 4 10 6 10

6 Pour comparer

1 et 4 , Mathieu imagine 2 10

… … … …

égalités obtenues en les associant aux dessins des partages correspondants : 1/2 = 4/8 ; 1/2 = 8/16. On peut alors faire anticiper quelles autres fractions égales à 1/2 on obtiendrait en poursuivant ainsi et amener les élèves à remarquer que, d’une fraction à l’autre, le numérateur est toujours la moitié du dénominateur. On passe à l’activité 2. Avec une deuxième feuille, il s’agira d’établir des équivalences de la fraction 3/4. On reprend strictement la même démarche, mais en essayant ici de faire anticiper, avant chaque nouveau pliage, la fraction qu’on obtiendra. On fera formuler une conclusion, par exemple : 1/2 et 2/4 représentent la même quantité, on peut écrire 1/2 = 2/4, 1/2 = 4/8, 1/2 = 8/16, etc. 3/4 et 6/8 représentent la même quantité, on peut écrire 3/4 = 6/8…

69 100 50 100 37 100 61 100

Compare les fractions ci-dessous.

ces fractions sur deux quadrillages. Vérifie-les.

1 2 1 2 1 2 1 2

4 Pour comparer

1 et 46 , Mathieu imagine 2 100

… … … …

3 10 5 10 8 10 1 10

Activités 3 et 4

Compare les fractions ci-dessous.

ces fractions sur deux quadrillages. Vérifie-les.

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

… … … … …

35 100 53 100 10 100 50 100 1 100 97

72563526_086_127_verte.indd 97

1 à 7. Comparer des fractions < 1

19/12/2016 12:28

Activités 1 et 2 On partage d’abord l’aire d’une feuille pour représenter la fraction 1/2. Si on partage cette même aire en 4 parties égales, la même fraction s’exprime alors sous la forme 2/4. Si on la partage en 8 parties égales, cette quantité correspond à 4/8, etc. On peut alors écrire : 1/2 = 2/4 ; 1/2 = 4/8, etc. C’est ce qu’il s’agit de comprendre dans ces deux activités. Conduite des activités Ces activités se déroulent sans le livre. Chaque élève dispose d’une feuille de papier. L’enseignant demande de hachurer une partie de la feuille correspondant à la moitié de son étendue ou de son aire. Ces deux mots, utilisés comme synonymes, sont expliqués : l’étendue, c’est tout l’espace contenu à l’intérieur du rectangle dessiné par les bords de la feuille (on peut passer la main dessus, à plat, pour le montrer). On insistera pour que le pliage soit soigneux et se rapproche le plus possible d’un partage égal. On se demande quelle divisionfraction on peut écrire. L’enseignant écrit donc 1/2 au tableau, sous une représentation d’une feuille hachurée sur une moitié. Après le second pliage, on observe : on a partagé la feuille en 4 parts égales et 2 de ces parts sont hachurées, c’est 2/4. Est-ce la même étendue que 1/2 ? Au tableau, on représente le nouveau pli dans le dessin de la première feuille et on écrit en dessous l’égalité correspondante. On obtient donc le schéma ci-contre : Même démarche pour les pliages suivants. 1/2 = 2/4 Au fur et à mesure, on écrit les

On pourra traiter collectivement les deux premiers cas (partage en 8, puis en 12) : on observe que l’on a colorié à chaque fois 1/4 de l’aire de ces carrés et que, pour chacun, on va effectuer un nouveau partage symbolisé par les amorces de traits. Il s’agit de savoir quelle fraction égale à 1/4 on s’apprête à représenter ainsi. Dans l’activité 4, on fera vérifier que le premier partage est toujours en 10 parts égales. Dans ces activités, il y a deux difficultés : a) comprendre la convention adoptée pour représenter les traits du deuxième quadrillage : on incitera les élèves à imaginer ce qu’ils observeraient s’ils traçaient effectivement ces traits ; b) déterminer le numérateur et le dénominateur de la fraction suggérée par l’amorce du deuxième quadrillage : on demandera de déterminer d’abord le dénominateur (par exemple : « on a des quarts, que va-t-on obtenir si on trace ces autres traits ? »).

Activités 5 à 7 Dans ces trois activités le principe est le même. On traite collectivement la partie gauche, les élèves travaillant individuellement sur la partie droite. à la fin de chaque activité, on fait une reprise collective. Les élèves ont à comparer des écritures fractionnaires différentes (dixièmes et centièmes ; demis et dixièmes ; demis et centièmes). Tantôt elles sont égales, tantôt elles sont inégales. Chaque fraction est représentée par un quadrillage différent. Sur le premier quadrillage, on a suggéré l’autre quadrillage avec des amorces de traits. Cela incite l’élève à concevoir par exemple ce que deviendrait la fraction 3/10 si on l’exprimait en centièmes. Sur tous les quadrillages, un trait correspondant à la moitié est marqué par un filet gras. Il aide les élèves à repérer chaque fraction et à structurer les dixièmes et les centièmes par rapport à 1/2.

Remarques 1. Considérons l’exercice ci-contre. On peut se demander pourquoi nous avons préféré représenter le 2e quadrillage par des amorces de traits plutôt que de tracer entièrement les deux quadril2 lages. Le tracé complet a plusieurs =? 10 inconvénients : Suite des remarques p. 147

☛ 145

72563527_.indb 145

09/03/2017 11:47

3e période

68

Un parallélogramme particulier : le losange

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit Divisions par 40 de nombres inférieurs à 480 (q ≤ 12). Quand q < 10, usage des divisions élémentaires par 4 (voir p. 13).

Je découvre

Objectifs

1 a. Parmi toutes ces figures, une seule n’est pas un parallélogramme. Laquelle ? C

Dans les sq 68 et 69, on poursuit l’étude des parallélogrammes en s’intéressant à deux cas particuliers : le losange et le rectangle. En mathématiques, comme le rectangle possède toutes les propriétés des parallélogrammes (côtés opposés parallèles et de même longueur), il doit être considéré comme un parallélogramme particulier. Mais l’usage des termes « rectangle » et « parallélogramme » dans le langage quotidien fait obstacle à cette connaissance mathématique. En effet, dans la communication quotidienne, si l’on est par exemple dans une situation où l’on parle de deux types de carrelage de formes différentes, l’un de forme rectangulaire, l’autre de forme hexagonale, il paraitrait étrange de désigner le premier comme « le carrelage en forme de parallélogramme ». Pour se faire comprendre facilement, il vaut mieux donner l’information maximale, et en parlant de « carrelage de forme rectangulaire » on donne de celui-ci la description optimale. On rencontre le même obstacle avec le losange et le carré (concernant cette dernière figure, la difficulté est même plus grande encore car le carré appartient aux classes intermédiaires des losanges et des rectangles). En outre, losanges et carrés ne sont souvent reconnus que lorsqu’ils sont dans une orientation typique :

A B D E

F

b. Fais la liste des parallélogrammes qui ont 2 côtés de longueur différente. c. Fais la liste des parallélogrammes qui ont 4 côtés de même longueur. Sais-tu comment s’appellent ces figures ?

J’ai

ap

pri

carré typique

Dans la sq 68, les élèves sont amenés à remarquer que, parmi un ensemble de parallélogrammes (activité 1), certains ont leurs quatre côtés de même longueur. De là, d’une part, la définition du losange : c’est un parallélogramme qui a ses côtés de même longueur, et, d’autre part, une méthode pour le construire, comme tout autre parallélogramme (activité 2). Dans la sq 69, en construisant un parallélogramme dont les angles sont droits, les élèves sont amenés à considérer le rectangle comme un parallélogramme particulier.

Activités

Séquence 68

Calculs proposés par écrit au tableau Divisions par 40 de nombres ≤ 480 Mêmes activités que sq 67 avec le diviseur 40.

1 et 2. Un parallélogramme particulier : le losange Dans l’activité 1, les élèves doivent trier les figures pour distinguer les parallélogrammes qui ont leurs 4 côtés de même longueur des 146

72563527_.indb 146

s

Le losange est un parallélogramme particulier : c’est un parallélogramme qui a ses 4 côtés de même longueur.

2 Construis un losange ABCD dont les côtés mesurent 12 cm avec l’angle jaune sur le calque de ton cahier d’activités.

Je deviens performant A Compare ces fractions en utilisant les signes >, , , < ou =. 48 … 4 + 8 100 10 100

8 … 10

1 + 2 2 10

7 + 89 … 7 + 9 100

Il s’agit d’anticiper la mesure d’un rectangle B engendré à partir d’un rectangle A, sachant que l’on a simplement formé B en joignant les deux moitiés de A ainsi :

12 + 3 … 12 + 70

10

4

100

D Range ces nombres du plus petit au plus grand. 48 100

3

349 100

28 100

4

34

84 10

3 408 100

35

351 100

346 10

E Calcule ces divisions avec reste. 24 143 : 25 ?

9 328 749 : 25 ?

90 650 : 25 ?

1 873 451 : 25 ?

32 807 499 : 25 ? 115

72563526_086_127_verte.indd 115

Activités 1 et 2

A

B

19/12/2016 12:28

1. Préparation du matériel Pour ces activités, chaque élève doit disposer des rectangles bleu et jaune, à détacher du matériel individuel en carton (inclus dans le cahier d’activités), et d’une feuille A4. Une feuille A4 mesure 21 cm sur 29,7 cm. Il est impératif d’utiliser des feuilles qui ont exactement ces dimensions, car l’activité a été prévue pour que le rectangle jaune soit strictement aussi étendu qu’un quart de feuille A4 (cas où les étendues sont égales). Les élèves ont une feuille blanche chacun et la découpent comme indiqué. Le pliage et le découpage doivent évidemment être faits avec le plus grand soin, pour obtenir 4 « vrais » quarts de feuille. Au besoin, l’enseignant aura lui-même préparé ces quarts de feuille. 2. Comparaison des étendues des rectangles D’emblée, les élèves sont tentés de comparer les étendues des deux rectangles de couleur. On confirme : le bleu est plus étendu que le jaune parce qu’il est plus long et plus large et on écrit au tableau : étendue du rect. bleu > étendue du rect. jaune Mais qu’en est-il du bleu et du quart de feuille, du jaune et du quart de feuille ? Les avis ne sont guère catégoriques. On fait des paris. D’où la procédure que peuvent suggérer certains enfants : découper le rectangle blanc pour lui donner la même largeur que le bleu ou le jaune et reporter le reste à côté. On décide donc d’essayer. On va d’abord comparer le rectangle bleu avec le blanc. Les élèves cherchent individuellement. On voit apparaitre deux possibilités :

On cherche à ce que les élèves comprennent que, dans ces transformations, une des dimensions (la largeur par exemple) a été divisée par deux lors du découpage, tandis que l’autre (la longueur par exemple) a été multipliée par 2 lors du réassemblage. C’est en même temps une façon d’apprendre la conservation de l’aire par-delà certains changements de formes.

Préparation du matériel (activité 3)

Il s’agit de fabriquer 3 rectangles de 12 × 8 cm. Dans l’activité 4, deux de ceux-ci seront découpés et réassemblés (exemple d’une de ces transformations ci-dessus, avec A → B). Le 3e servira de « mémoire » du rectangle d’origine.

Activités 4 et 5 On vérifie tout d’abord que les rectangles de tous les élèves ont bien les mêmes dimensions. À partir du schéma du livre, on leur demande ensuite d’imaginer le découpage de A et le réassemblage de ses deux parties comme en B, et de donner les dimensions de ce nouveau rectangle. La discussion permet de prévoir les dimensions du rectangle B : moitié de la largeur de A et double de la longueur de A. Avec le découpage et l’assemblage on valide la prédiction (on mesure les côtés de B). Ces rectangles ont-ils la même étendue ? Même démarche pour le passage de A à C. En imaginant qu’on redécoupe C, on prévoit qu’on formera un autre rectangle de même étendue et l’on est en mesure de prévoir ses dimensions. Dans l’activité 5, on trouve deux exercices similaires à partir de schémas et de cotes. Le calcul de la largeur du rectangle G (9 cm/2), issu du carré F, posera un problème intéressant…

161

72563527_.indb 161

09/03/2017 11:47

3e période

81

Problèmes pour apprendre à chercher

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit Divisions par 40 et 50 de nombres inférieurs à 480 et 600 (q ≤ 12). Quand q < 10, usage des divisions élémentaires par 4 et 5 (voir p. 13).

J’analyse trois résolutions

Des indications pédagogiques générales sur les PAC figurent au début du Guide.

Problème : Madame Pilowsky achète deux armoires pour ses enfants. Chaque armoire est vendue 349 €. Le marchand lui fait un rabais de 75 € par armoire. Combien madame Pilowsky doit-elle payer ? Voici les solutions de Sébastien, Mélanie et Cécile. Prix de 2 armoires avant rabais :

Prix d’une armoire après rabais :

Activités

Séquence 81

–

2 74

Divisions par 40 et par 50… Mêmes activités que sq 67 avec les diviseurs 40 et 50. Voir aussi le commentaire de la sq 80.

1. Calcul de prix après rabais. 2. Multiplication a × b × c. 3. Partage (usage de la technique écrite). 4. Chercher la largeur d’un parallélogramme. 5. Sériation de fractions. 6. Chercher la valeur de l’unité.

Remarque à propos du problème 1 Ici, si l’on connait les multiples de 75, il vaut mieux calculer le prix d’un objet après rabais (99 – 24 = 75), puis la dépense réelle (75 × 6, 162

72563527_.indb 162

698 €

75 x 2 = 150

Prix après rabais :

150 €

6 98 75

–

Prix après rabais :

6 23

274 x 2 = 548

698 – 150 = 548

Madame Pilowsky doit payer 548 €.

Madame Pilowsky doit payer 548 €.

Madame Pilowsky doit payer 623 €.

Sébastien

Mélanie

Cécile

Quelle(s) solution(s) conviennent ? Pourquoi la ou les autres ne conviennent-elles pas ?

1. Problème du type (a – b) × c

2. Problèmes divers

349 x 2 = 698

Économie grâce au rabais :

Prix de 2 armoires après rabais :

Calculs proposés par écrit au tableau

Il s’agit ici de familiariser les élèves avec un vocabulaire spécifique : « soldes », « rabais », « remise », « réduction », etc. qui se retrouve dans de nombreux problèmes. C’est aussi l’occasion de comprendre la locution « n euros par objet », utilisée très largement dans toutes sortes de problèmes numériques et qui peut constituer une difficulté. Enfin, ce problème permettra de faire fonctionner l’équivalence de deux types de calcul : a × (b – c) = (a × b) – (a × c), qui est liée à la distributivité de la multiplication sur la soustraction. Après la phase de recherche individuelle, on pourra provoquer un échange sur le phénomène des soldes. On en profitera pour utiliser les principaux synonymes de rabais : réduction, remise, solde. On pourra même « mettre en scène » quelques panneaux typiques des soldes, par exemple : « Prix sacrifié : 145 € 99 € » (quel est le rabais ?) ; « Soldé moitié prix » ; « Réduction de 5 € » ; « Promotion : 10 € de remise pour tout achat de 50 € » ; etc. Il y a à chaque fois deux sortes de problèmes : on peut chercher le prix d’un objet soldé, le prix initial étant connu, ou chercher son prix initial, le prix après solde étant connu. Après la phase de recherche individuelle, on procèdera à une mise en commun des analyses : • Sébastien calcule le prix d’une armoire après rabais, puis la dépense réelle. • Mélanie calcule d’abord le prix de deux armoires avant rabais. Elle aboutit au même résultat. • Cécile commence comme Mélanie, mais elle ne décompte le rabais que pour une armoire. Cette solution serait adaptée pour une situation où le rabais de 75 € se ferait sur le prix total des deux armoires. Cécile n’a pas bien compris ce que voulait dire : « un rabais de 75 € par armoire », qu’on pourrait traduire par : « sur le prix de chaque armoire ».

3 14 9 75

1

Prix de 2 armoires avant rabais : 349 x 2 = 698 698 €

Problèmes variés 1. Un magasin vend des kimonos à 99 € le kimono. Un jour, il organise des soldes et affiche : « Rabais de 24 € par kimono ». Un club de judo achète 6 kimonos. Quelle sera la dépense pour cet achat ? Quelle économie ce club réalise-t-il ?

2. Un chalutier breton a pêché pendant

9 semaines. En moyenne, il a pêché 8 750 kg de poissons par jour. Combien de kg de poissons ce chalutier a-t-il pêché durant ces 9 semaines ?

3. Au départ d’une étape d’un rallye,

on partage équitablement 2 425 litres d’essence entre les 25 concurrents. Combien de litres d’essence aura chaque concurrent ?

4. Le périmètre d’un parallélogramme

est 32 cm. Son grand côté mesure 10 cm. Quelle est la longueur d’un petit côté de ce parallélogramme ?

5. Pendant une course cycliste, 4 coureurs ont bu les quantités d’eau suivantes :

• coureur A : 1 litre +  3 de litre 4

• coureur B : 2 litres +  3 de litre 10

• coureur C : 2 litres +  1 de litre 4

• coureur D : 170 de litre 100

Range ces quantités de liquide de la plus petite à la plus grande.

6. 8 planches identiques mises bout à bout forment une longueur totale de 32 m. Quelle est la longueur d’une planche ?

116

72563526_086_127_verte.indd 116

19/12/2016 12:28

c’est 150 × 3, c’est 450), à la différence du problème des armoires (activité 1), où il valait mieux calculer d’abord le rabais total. Voici des exemples de résolution du problème 4 :

Cet élève croit qu’on recherche le périmètre et il interprète 32 cm comme la longueur du grand côté du parallélogramme.

Résolution à l’aide d’un schéma.

Cet élève procède de la même façon, mais sans schéma, en retirant d’abord 2 fois 10 cm du périmètre.

09/03/2017 11:47

725629506_134_171.qxd:134_171_LdM_CM1_Periode3 725629506_134_171.qxd:134_171_LdM_CM1_Periode3

ARPProblèmes pour apprendre à chercher 82 ARP Atelier de résolution de problèmes

SÉQUENCE

82 1

SÉQUENCE

82 1

Atelier de résolution

7/03/13

7/03/13

13:39

13:39

Page 163

81 82 81 82

Activités Sq 81 et 82 – pages 116 et 117

SÉQUENCES

Calculs proposés par écrit au tableau CALCUL MENTAL

Calculs écrit Divisions par 60 proposés et 70 depar nombres inférieurs Divisions par 60 et 70 de inférieurs à 720 et 840 (q b 12). Quand q nombres < 10, usage à 720 et 840 (q ≤ 12). Quand q < 10, usage des divisions élémentaires par 6 et 7 (voir p. 11). des divisions élémentaires par 6 et 7 (voir p. 13).

multiplication. S Peut-être cet élève aurait-ilPages procédé autrement 116 et 117 si ÉQUENCES du livre 392 de l’élève les valeurs numériques avaient été par exemple et 4.

Calculs proposés par écrit au tableau Divisions par 60 et 70 de nombres inférieurs

de problèmes Je recherche les informations pertinentes à 720 et 840 (q b 12). Quand q < 10, usage

des système divisions élémentaires parl’ordre 6 et 7 (voir p. 11). solaire dans alphabétique : 1 Dans ce tableau, on présente les 9 planètes de notre 1 Dans ce tableau, on présente les 9 planètes de notre système solaire dans l’ordre alphabétique :

Jupiter

Jupiter

Mars

Mars

Mercure Neptune Pluton Mercure Neptune Pluton

Saturne

Saturne

Terre

Terre

Uranus

Uranus

Page 163

Pages 116 et 117 du livre de l’élève

Vénus

Vénus

Diamètre 142 880 6 800 de4notre 878 système 48 600 2 500 120 660 12 800 50 on présente les 9 planètes solaire dans l’ordre alphabétique : 800 12 104 1 Dans ce tableau, (enDiamètre km) 142 880 6 800 4 878 48 600 2 500 120 660 12 800 50 800 12 104 (en km)

Rotation * 59 j 16 h 6Saturne j et 9 h 10Terre h et 1 Uranus 1 j 15 h et 1 243 j 1010h h Mercure 11j jetet11 Neptune Jupiter Mars Pluton Vénus Rotation * 59 j 16 h 6 j et 9 h 10 h et 12 1 j 15 h et 1 2 243 j 2 2 2 2 Diamètre 142 880 6 800 4 878 48 600 2 500 120 660 12 800 50 800 12 104 Distance Distance (en km) 228 58 44 500 913 427 150 2 870 2 870 108108 779 228 58 500 55 913 11427 150 auau Soleil **** 779 Soleil Rotation *Présence 59 j 16 h 6 j et 9 h 10 h et 1 1 j 15 h et 1 243 j 10 h 1 j et 1 Présence 2 oui non non oui non 2 oui oui non2 oui oui non non oui non non oui non non d’ann eaux d’ann eaux Distance 779 228 58 4 500 5 913 1 427 150 2 870 en millions 108 Un tour sursur elle-même heures(h) (h)ouou… terrestres ** Distance moyenne au Soleil*** * Un tour elle-mêmeen… en heures joursjours terrestres (j). **(j).Distance moyenne en millions de km.de km. Présence ouiestestlala non non oui non oui non non 1. a. Quelle planète petit ?… le plus plusgrand grand? ? oui Mercure Quelle planètequi quiaaleleplus plus petit diamètre diamètre ?… le Mercurest d’anneaux e est la la planète planète Quel estest le lerayon Quel rayondedelalaTerre Terre?? lala plus plus proche proche dudu Soleil Soleil * Un tour sur elle-même en… heures (h) ou… jours terrestres (j). ** Distance moyenne en millions de km. (58 mill ions dede (58 millions km). b. Quelle est la planète dont la rotation est la plus lente ? km). 2. Quelle est la planète dont la rotation est la plus lente ? Quelle est celle qui tourne sur elle-même le plus rapidement ? Dépour 1. Quelle estQuelle la planète quiqui a letourne plus petit diamètre le ?…plus le plus grand ?? vue d’annea Dépour est celle sur elle-même rapidement ux,ux, vue d’annea Mercure est la planète elle tourne Ordonne planètes de la plus proche du Soleil à la plus éloignée. Quel est lec.rayon de lalesTerre ? lentement elle tourne la plus proche du Soleillentement sursur elle-mê me : il lui 3. d. Ordonne les planètes de la plus proche du Soleil à la plus éloignée. faut elle-mê me : il lui (58 faut millions de km). Combien de planètes ont des anneaux ? Combien n’en ont pas ? 5959 jours terrestr 2. Quelle est la planète dont la rotation est la plus lente ? es es pour jours terrestr pour effectue Dans fiche d’identité Mercure, une donnée?manque. ? vue r er une Quelle est celle quilatourne sur elle-même le plus rapidement rotation 4. e. Combien de planètes ontde des anneaux ? Combien n’en ontLaquelle pas ?Dépour ! ! d’annea ux, effectu une rotation elle tourne lentement 3. Ordonne les planètes de la plus proche la plus éloignée. sur elle-mê des fiches documentaires surdu desSoleil animaux : Dans la fiche d’identité de Mercure, uneà donnée manque. Laquelle ? 25. Voici me : il lui faut 59 jours terrestres pour Lepas req?uin blanc ma 4. Combien de planètes ont des anneaux ? Combien n’en ont effectu er une nge rotation Voici des fiches documentaires sur des animaux : d’autres et s’attaque par poisso!ns fois à l’homme. Le req . Un aduuin lte bla mairo est herbivore 5. Dans la fiche d’identité de une donnée manque.et Laquelle ? nc pès ng sie Mercure, e e d’A env d’a t utr han n es poissons . lép 2 000 kg L’é s’atta à la fois et me it qu e pet sur par un re. e foi qu’ plu bivo s ir s de 4 m à. l’homme. avoest her t sie d’A Il ne antpeu La fem L’éléph Un aduelle le fair la fois. : lte pès poned enviro it àeanimaux pou pet ssequ’ unrsur dreir Voici des fiches documentaires des le n 2 000 kg On t avo jusme Il ne peu qu’à et fss par plu . r le faire travailler. de 4an.m. llerpou Le requin blancsur4eœu vaisse tra kg mange d’autres ne 4 000 On leIldre La femelle et s’attaqu pèse en moyen4 000 g. poissons pond kg e par re. ne lon foi yen bivo s de mo à her jus l’ho en eet est qu sie mme. pès mesure 4 m g. L’éléphant Ild’A Un adulte pès ’à 4 œufs par an. la fois. deàlon m it 4pet e un ure env qu’ mes ir iro et n avo t La vipère péliade est 2 000 kg longue Il ne peu et mesure plus r. des petits mange Le rfaucon e travaille 4 m.à l’âge adulte dede 70 cm le fairgerfaut On le dresse pou La femelle poet longue e est oiseaux. des et serpents des rongeurs, iad pél pèse environ 800 g. nd 000 kg mange des petits rongeurs, La vipère ne 4 gerfaut Leyen jusqu’à 4 œu adulte surtout Il pèse en mo 4 petits par an. peut avoir Ilfaucon Cet animal à l’âgsee nourrit par cm an. 70 de fs long. des oiseaux. de serpents mOn g. dresser pour la chasse. peut leet et mesure 4des 800 n d’insectes et de petits rongeurs. iro et pèse env Il mesure La femelle une it surtout de petits. Il peut avoir 460 cm no petitsenviron par an. seagu eurrquinzaine mallon ani est Cet e et pèse 1 500 g. iad geurs. pél ron ère its vip

La Le fauconOn et de pet gerfaut tes lte despour petits d’insec e adu peut mange le dresser its. la rongeurs, chasse. de 70 cm à l’âg inzaine de pet Le dau des serpents et des oiseaux. phin unegequdes g.aman Il mesure elle 60 duenviron n 800 etdes irofem pèse poissons. 1 500 et g. pèse envLa Le crocodilecm Nil mange poissons On peut le dre t pour des spe sser it surtou Il peut avoir 4etpetits urr no ctac par an. se les. l des oiseaux. Il mes ma ure entre geu ani 3 m et pèse 150 kg its ron 2 etrs. s deCet pet poisson dauphin poissons. de Il pèseileenviron mesure plus 5 msectesLe env et mangeetdes Nil 350 kg iron du la . mange despet crocod d’in On peut Le le dresser its. pour chasse. de e ain On peut le dresser inz de la tête à la queue. Il n’a qu qu’u e x. n petit oiseau a un descm Il mesureet60 environ pèse 1 500 g. La femelle pour des. spectacles. La femelle etkg à la fois et mesure plus de 5 m environ 350 Il pèse pond 60 œufs. Il mesure entre 2 et 3 m queue. la à tête la de s poisson Le dauphinetmange deskg poissons. Le crocodile du Nil mange des pèse 150 environ. On peut le dresser femelle pond 60 œufs. La x. et des oiseau n’alaqu’un petitligne, à la indique fois. d’abord les noms Construis un tableau pour présenter Sur première pour des Ilspectacles. de 5 m ces informations. plus mesure et kg 350 environ Il pèse de ces 6 animaux ; cherche ensuite quels titres tu peux donner aux lignes que tu mettras en dessous. Il mesure entre 2 et 3 m à la queue. de la têteConstruis un tableau pour présenter ces informations. Sur la première ligne, indique d’abord les noms et pèse 150 kg environ. œufs. ; cherche ensuite quels titres La femelledepond ces 660animaux tu peux donner aux lignes que tu mettras en dessous.117 Il n’a qu’un petit à la fois. à A Lorsqu’on calcule contenues avec des entiers, multiplication l’addition augmentent la taille; prendre des nombres, et la que division, comme la soustraction, la diminuent. Traiter les informations dans unlatableau à doubleetentrée (propriétés des planètes) conscience ces informations auraient pu figurer dans un tableau pour(exemple présenter ceset,informations. Sur la première ligne, indique d’abord les noms des fiches documentaires de Mercure) enfin, organiser des informations contenues dans des fiches documentaires en un tableau (propriétés d’animaux).

à A Lorsqu’on calcule contenues avec des entiers, multiplication l’addition augmentent la taille; prendre des nombres, et la que division, comme la soustraction, la diminuent. 1 Traiter les informations dans unlatableau à doubleetentrée (propriétés des planètes) conscience ces informations auraient pu figurer dans des fiches documentaires (exemple de Mercure) et, enfin, organiser des informations contenues dans des fiches documentaires en un tableau (propriétés d’animaux).

Activités

Séquence 82 SÉQUENCE 82

Mêmes activités que sq 67 avec les diviseurs 60 et 70.

Divisions par 60 et par 70…

1. Construire un tableau synthétique

Mêmes que sq 67 avec les diviseurs 60 et 70. 1.activités Construire un tableau synthétique

117

19/12/2016 12:28

117

Cet élève calcule mentalement le résultat et, comme jus-

produit uneleécriture parenthèses. Cet élèvetification, calcule mentalement résultatavec et, comme justification, Cet élève calcule mentalement le résultat et, comme jusproduit Voici une écriture avec parenthèses. trois exemples de résolution du problème 6 : Voici trois exemples de résolution du problème 6 :

On peut parler ici de résolution au troisième niveau.

Divisions par 60 et par 70…

résultat mais permettent à l’élève de vérifier que le nombre 6, qu’il a déterminé mentalement, convient.

tification, produit une écriture avec parenthèses.

peut parler ici de résolution au troisième niveau. OnOn peut parler ici de résolution au troisième niveau.

Divisions par 60 et par 70… Calculs tableau Mêmesproposés activités que par sq 67 écrit avec lesau diviseurs 60 et 70.

Les écritures ne semblent pas être le moyen d’obtenir le résultat Les écritures ne semblent pas être le moyen d’obtenir le mais permettent à l’élève de vérifier que le nombre 6, qu’il a résultat mais permettent à l’élève de vérifier que le nombre déterminé mentalement, convient. 6, qu’il ne a déterminé mentalement, convient. Les écritures semblent pas être le moyen d’obtenir le

Voici trois exemples de résolution du problème 6 :

On ne peut pas savoir comment cet élève interpréterait son calcul si la longueur totale était 33 m par exemple.

SÉQUENCE 82 Calculs proposés par écrit au au tableau Calculs proposés par écrit tableau

1

Construis de ces 6 animaux ; cherche ensuite quels titres tu peux donner aux lignes que tu mettras en dessous. 72563526_086_127_verte.indd 117

On ne peut pas savoir comment cet élève interprèterait son On ne peut pas savoir comment cet élève interpréterait son calcul si lasi longueur totale était 3333 mm parpar exemple. calcul la longueur totale était exemple.

Sans un exemple préalable, peu d’élèves réussiraient à organiser Sans un exemple préalable, peu d’élèves réussiraient à un tableau les qui sont données sousdonforme informations qui sont organiser dans uninformations tableau les synthétique 1. dans Construire un tableau de texte dans les fiches sur les animaux, le plus difficile nées sous forme de texte dans les fiches sur les animaux, Sans un exemple préalable, peu d’élèves réussiraient à étant plus étant contenu des deledéterminer contenu desdéterminer têtières, car faut transformer informations quileilsont donorganiser dansdifficile un le tableau les de têtières, car il faut transformer des verbes (manger, nées sous forme de texte dans les fiches sur les animaux, des verbes (manger, mesurer, peser, etc.), associés à des sujets mesurer, à des et à des des COD le plus difficilepeser, étantetc.), de associés déterminer le sujets contenu et àparticuliers, des COD particuliers, en substantifs désignant desgénécritères en transformer substantifs désignant des(manger, critères têtières, car il faut des verbes généraux classement. C’est pourquoi fait précéder rauxpeser, dede classement. C’est pourquoi précéder ce ce mesurer, etc.), associés à des sujets on et on àfait des COD récatravail d’une analyse de la relation entre un tableau travail d’une de la relation entre un tableau récapitulatif particuliers, en analyse substantifs désignant des critères génépitulatif sur les planètes et uneonfiche raux pourquoi fait documentaire précéder ce sur surde lesclassement. planètes etC’est une fiche documentaire sur Mercure. Mercure. tableau récatravail d’une analyse de la relation entre un L’activité peut se dérouler en quatre phases : pitulatif sur lespeut planètes et une en fiche documentaire se dérouler quatre : sur 1°)L’activité Exploration collective du tableau desphases planètes. Il sera peutMercure. 1°) Exploration collective du tableau des planètes. Il sera être nécessaire de clarifier quelques notions comme la rotation peut-être clarifier notions L’activité peut se nécessaire dérouler en de quatre phasesquelques : sa vitesselacollective : rotation sur Jupiter, iltableau se passe h Jupiter, entre deux comme et vitesse : 10 sur selevers passede 1°) et Exploration du sa des planètes. Il ilsera 10 h entre deux levers de soleil, sur Mars, 36 h,… soleil, sur Mars, 36 h,… sur Vénus 5 832 h (243 fois 24 !), ce peut-être nécessaire de clarifier quelques notions hsur Vénus 5 832 h (243 fois 24 h !), ce qui signifie aussi que comme la rotation et sa vitesse : sur Jupiter, il se passe qui signifie aussi que la nuit y est très longue… nuitdeux y est levers très longue… 10 2°) h la entre de soleil, sur Mars, 36 h,… sur Travail individuel pour répondre aux questions. Travail individuel aux questions. Vénus2°) 5 832 h (243 fois 24pour h !), répondre ce qui signifie aussi que 3°) Reprise collective pour valider les réponses et surtout approla nuit3°) y est très longue… Reprise collective pour valider les réponses et surtout laindividuel relationlafiche/tableau (Mercure). Il(Mercure). s’agit de comprendre approfondir relation fiche/tableau Il s’agit 2°) fondir Travail pour répondre aux questions. comment on passe d’un renseignement donné sous forme de de comprendre comment on passe d’un 3°) Reprise collective pour valider les réponses etrenseignement surtout donné formelentement… de phrase : rotation « (Mercure). Elle tourne phrase : « sous Elle tourne » à unIllentement… renseignement approfondir la relation fiche/tableau s’agit rotation » à un renseignement donné de manière syn- : de donné comprendre comment on passe d’un renseignement de manière synthétique, sans utiliser de verbe : « Rotation sansdeutiliser : « Rotation : 59 j ». On donnéthétique, sous forme phrasede : «verbe Elle tourne lentement… 59 pourra j ». On pourra demander aux élèves de rédiger chacun une demander aux élèves dederédiger chacun rotation » à un renseignement donné manière syn- une fiche pour une planète. C’est inverse de qui est fiche pour une planète. C’est le travail inverse de celui thétique, sans utiliser de verbe :le« travail Rotation : 59 j ». celui On quidemander est ensuite, demandé ensuite, mais il les y chacun préparera. demandé mais il les yde préparera. aux élèves rédiger une pourra Production du C’est tableau suranimaux lesinverse animaux par groupes, petits fiche pour une planète. le les travail celui 4°)4°) Production du tableau sur pardepetits suivie d’une rapide synthèse collective. quisuivie estgroupes, demandé ensuite, mais il les y préparera. d’une rapide synthèse collective. On aidera les élèves On en les aidera les élèves en lessur amenant à trouver substan4°) Production du tableau les animaux pardes petits amenant à trouver des substantifs pour remplacer des expressions tifs pour des expressions comme « On ce qu’ils groupes, suivieremplacer d’une rapide synthèse collective. comme « ce », qu’ils mangent », «mesurent ils mesurent etc. On On », pourra mangent « combien ils etc. aidera les élèves en les amenant àcombien trouver », des substanaussiremplacer suggérer une ligne du tableau, du du type «qu’ils oui/non », », aussi suggérer ligne du tableau, type « oui/non tifs pourra pour des une expressions comme « ce la animaux. mangent », possibilité « combien ilsdresser mesurent », etc. On pourra sursur la possibilité de de dresser cesces animaux. aussi suggérer une ligne du tableau, du type « oui/non », 163

Les valeurs numériques et le fait numérique « 4 fois 8, 32 » favorisent l’obtention immédiate du résultat sous forme d’unenumériques multiplication. cet élève aurait-il Les valeurs et lePeut-être fait numérique « 4 fois 8, 32procédé » autrement si les valeurs avaient Les valeurs numériques et le numériques fait numérique «sous 4été foispar 8,exemple 32 » immédiate du résultat forme favorisent l’obtention et 4. d’une 392 multiplication. Peut-être cet élève aurait-il procédé favorisent l’obtention immédiate du résultat sous forme d’une autrement si les valeurs numériques avaient été par exemple 392 et 4. sur la possibilité de dresser ces animaux.

163

163 72563527_.indb 163

09/03/2017 11:47

3e période

83

Somme de fractions décimales : 1/2, n/4, n/10, n/100 (1)

CALCUL MENTAL Calculs proposés par écrit Divisions par 80 et 90 de nombres inférieurs à 960 et 1080 (q ≤ 12). Quand q < 10, usage des divisions élémentaires par 8 et 9 (voir p. 13).

Je découvre

Objectifs

1

Cahier d'activités page 21

2 Voici l’image en réduction d’un verre doseur qui peut contenir 1 litre de liquide. Vérifie que les graduations les plus fines correspondent aux centièmes et les plus épaisses aux dixièmes.

Avec ces deux séquences, on achève la progression sur les sommes, la comparaison, les écarts et la sériation de fractions décimales sur l’ensemble des cas déjà abordés (demis, quarts, dixièmes et centièmes). Les élèves sont notamment amenés à s’approprier des égalités du type 1/10 + 4/100 = 14/100.

a. Imagine qu’on verse 3 de litre, puis 9 de litre. 10

100

Montre avec ton doigt où est le niveau du liquide. Comment s’exprime-t-il en centièmes ? Retrouve ce résultat en faisant la somme des deux fractions. b. Fais de même pour les cas suivants : – On verse 5 de litre, puis 37 de litre. 10

100

– On verse 62 de litre, puis 13 de litre.

Ces deux séquences ont la même structure que les sq 75-76 et 77-78. On peut avoir l’impression d’une progression à petits pas et très répétitive. Cependant, l’expérimentation d’une première version de cette progression dans des classes de CM1 nous a convaincus que l’installation des connaissances sur les principales équivalences des fractions décimales exigeait, pour de nombreux enfants, un apprentissage très progressif. Cette prudence est d’autant plus nécessaire qu’à travers toutes ces séquences, les élèves auront normalement acquis tout ce qu’ils doivent savoir pour comprendre les écritures « avec virgule ». Au moment où elles seront introduites (sq 93 à 96), celles-ci apparaitront comme un simple changement de notation. Ainsi 3 + 1/10 + 7/100, c’est-à-dire 3 + 17/100, sera alors noté 3,17.

100

100

– On verse 9 de litre, puis 12 de litre. 10

J’ai

ap

s pri

100

• Additionner des centièmes entre eux, c’est facile : 46 +  32 =  78 100

100

100

• Pour additionner des centièmes et des dixièmes, je transforme les dixièmes en centièmes : 6 +  32 =  60 +  32 =  92 10

100

100

100

100

3 Calcule. 1 +  9 10 100

6 +  34 10 100

4 +  7 10 10

59 +  3 100 10

3 +  26 4 100

16 +  59 100 100

1 +  45 2 100

85 +  9 100 10

Je deviens performant A Imagine qu’on découpe le rectangle A

pour former un rectangle B de même étendue (ces deux rectangles sont représentés à leur taille réelle).

B Calcule ces divisions avec reste. 14 418 : 25 ?

19 396 : 25 ?

42 897 : 25 ?

134 008 : 25 ?

26 429 : 25 ?

27 148 : 25 ?

Quelles seront les dimensions du rectangle B ? Vérifie ta réponse en mesurant ses côtés. 118

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Activités

Séquence 83

Calculs proposés par écrit au tableau 8O Je deviens performant

Divisions pargraduée 80 enetstylospar 90… n° 2 et trace les segments qui ont les longueurs suivantes : A a. Prends ta règle [AB] =  51 de stylo 100 Mêmes activités que sq 67 avec les diviseurs 80 et 90. A

de stylo 1 à[CD]3.=  Somme de fractions 76 100

C

Activité sur le cahier d’activités (aires) [EF] =  125 1 de stylo 100

Le facsimilé du support de cette activité est présenté ci-dessous. E [GH] = 1 +  31 de stylo Là encore, les difficultés sont graduées : somme de dixièmes et 100 G de centièmes quand elle 150 est inférieure à l’unité (exercices a et b), b. Trace sur ton cahier [JK], long de

83

100

de stylo.

Somme de fractions décimales : 1/2, n/4, n/10, n/100 (1) b. Nicolas sort une autre tablette. Il va manger d’abord 6 de tablette puis 37 .

Il va manger 4 de tablette puis 3 . 10

10

100

100

Colorie ce qu’il mange en tout. Termine le calcul.

Colorie la partie correspondante. Termine le calcul. 4 +  3 =   … +  … 10 100 100 100

6 +  37 = ............ 10 100

4 +  3 =   … 10 100 100

6 +  37 = ............ 10 100

c. Nicolas sort deux tablettes de chocolat. Il va manger d’abord 7 de tablette puis 54 . 10

100

d. Nicolas sort deux nouvelles tablettes. Il va manger d’abord 9 de tablette puis 14 . 10

100

Calcule ce qu’il mangera en tout, puis colorie.

Calcule ce qu’il mangera en tout, puis colorie.

7 +  54 = ....................................... 10 100

9 +  14 = ......................................... 10 100 9 +  14 = ......................................... 10 100

7 +  54 = ........................................ 10 100

164

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Activité 2 (volumes) Sur le livre, avec la graduation en centièmes (traits courts) et en dixièmes (traits plus longs), on retrouve le moyen de compter les centièmes de litre de 10 en 10 grâce à l’équivalence 1/10 = 10/100. Les graduations des quarts de litre ont disparu. On pourra amener les élèves à les reconstituer ainsi : 25/100 de l, c’est 2/10 de l et 5/100 de l.

Je découvre

1 a. Nicolas a sorti une tablette de chocolat.

19/12/2016 12:28

puis quand elle lui est supérieure (exercices c et d). Il s’agit de comprendre que pour ajouter des dixièmes et des centièmes, il vaut mieux ramener les deux fractions à des centièmes. Certes, par exemple pour 6/10 + 37/100, on peut aussi décomposer 37/100 en 3/10 + 7/100, mais ce n’est pas la méthode la plus générale : elle ne s’applique pas à des cas du type 4/10 + 3/100. Avant le premier exercice du cahier, on fera vérifier que le quadrillage délimite des dixièmes et des centièmes. Les élèves colorient les aires correspondantes (on utilise deux couleurs) sur le quadrillage puis écrivent l’égalité correspondante. Dès l’exercice c, le coloriage sert seulement à vérifier le calcul. On conclura : 1/10, c’est aussi 10/100.

21

Remarque sur les mots « décilitre » et « centilitre » Rappelons que nous avons différé l’usage du dm et du cm pour aborder les dixièmes et les centièmes dans le contexte des longueurs, et que nous avons préféré utiliser des règles graduées en « stylos », dixièmes et centièmes de « stylo » (cf. Présentation, chapitre 4). En effet, il aurait été impossible de s’interdire de parler de cm et de dm pour désigner ces fractions du m, et le fait de les utiliser aurait conduit les élèves à traiter

19/12/2016 12:32

09/03/2017 11:47

84

Somme de fractions décimales : 1/2, n/4, n/10, n/100 (2)

L’activité 2, sur le cahier d’activités (facsimilé ci-dessous), permet de systématiser l’usage des repères des dixièmes pour tracer des84longueurs exprimées en centièmes den/100 stylo. Somme de fractions décimales : 1/2, n/4, n/10, (2)

Je découvre 1 Détache la règle n° 3 de ton cahier d’activités.

Vérifie qu’elle est graduée en centième et dixième de stylo. À partir du repère « 0 », montre les longueurs suivantes, puis exprime chaque fraction en dixièmes et centièmes : 12 de stylo 100

2

20 de stylo 100

25 de stylo 100

53 de stylo 100

Activités Sq 83 et 84 – pages 118 et 119

CALCUL MENTAL Conversions jours ↔ semaines où tantôt on convertit en jours, tantôt en semaines avec n = 10, 20, 30... 60, 70 (voir p. 13).

75 de stylo 100

Je découvre

125 de stylo 100

2 a. Prends ta règle graduée en stylos n° 3 et trace les segments qui ont les longueurs suivantes : [AB] =  60 de stylo 100

Cahier d'activités page 22

A [CD] = 1 +  20 de stylo

3 Quelle est la ligne brisée la plus longue ?

100

C

Fais un pari, puis vérifie en mesurant avec ta règle n° 3 graduée en centième et dixième de stylo. A

[EF] = 1 +  30 de stylo 100 E

B

b. Sur ton cahier, trace [GH], long de 160 de stylo.

C

100

D

E

88

Mesures d’aires : le cm 89 l’activité Pour 3, mêmes recommandations que dans l’activité Je découvre similaire dele rectangle la sq le76. plus étendu, A ou B ? Ton pari : … 1 a. Quel est Rectangle B On a commencé à chercher combien ils contiennent NB : les règles n° 1 seront de nouveau utilisées dans les de petits carrés de 1 cm de et côté.3 Continue ce travail. 1 cm1 cm 1 cm 1 cm Rectangle A sq 93, 95 et suivantes.

F Laquelle de ces deux longueurs est la plus proche de 2 stylos ?

4

Quel est le nombre le plus proche de 2 ? 1 +  85

100

ou

Quel est le nombre le plus proche de 3 ?

2 +  2

295 100

10

Quel est le nombre le plus proche de 5 +  1 ?

10

2

2

3 +  1 +  4

ou

5 +  38

100

100

10

100

5 Compare ces nombres (utilise les signes >, , , , < ou =). 1,6 dm2 … 1 dm2 6 cm2

7,01 dm2 … 7 dm2 10 cm2

13,2 dm2 … 13 dm2 18 cm2

4,10 dm2 … 4 dm2 1 cm2

0,6 dm2 … 59 cm2

27,06 dm2 … 27 dm2 6 cm2

140

72563526_128_157_bleue.indd 140

1 à 5. Interpréter des écritures du type 2,35 dm2 et 0,3 m2

19/12/2016 12:27

Activité 1 L’activité 1 commence directement sur le livre. On amène les élèves à discuter les affirmations de Mathieu et Mathilde sur l’aire de la figure bleue. Une façon de procéder consiste à oraliser d’abord les expressions 1,08 dm2 et 1,8 dm2 respectivement sous la forme « 1 dm2 + 8 centièmes de dm2 » et « 1 dm2 + 8 dixièmes de dm2 », qu’on reprend au tableau sous forme d’écritures fractionnaires. On s’intéresse ensuite à l’aire de la figure : on peut y repérer un carré de 1 dm2 et une bande de 8 cm sur 1 cm. Cette bande a-t-elle une aire de 8 centièmes de dm2 ou une aire de 8 dixièmes de dm2 ? C’est l’occasion de rappeler deux équivalences privilégiées : 1/100 dm2 = 1 cm2 ; 1/10 dm2 = 10 cm2, équivalences qu’on n’hésitera pas à noter de nouveau au tableau.

Activités 2 et 3 Dans ces activités, partant des écritures 2,1 dm2, 2,35 dm2 et 0,8 dm2, les élèves doivent construire les trois rectangles correspondants (chacun ayant un côté qui mesure 1 dm). Ils ont donc besoin pour cela d’au moins deux feuilles de format A4. Le cas du premier rectangle peut être traité collectivement : que veut dire 2,1 dm2 ? Quelle sera la longueur de ce rectangle si sa largeur est de 1 dm ? Comment va-t-on tracer ce rectangle dans la feuille ? Les deux autres cas sont traités individuellement et font ensuite l’objet d’une reprise collective. Cette reprise peut être l’occasion de comprendre qu’on pouvait aussi tracer un rectangle de 2,35 dm2 au lieu d’une figure comportant un décrochement.

09/03/2017 11:47

Activités Sq 104 et 105 – pages 140 et 141 6 Aide Julie.

Aide Guillaume. J’ai 0,3 € dans ma main !

Combien est-ce de centimes ?

J’ai 0,05 € ! Combien est-ce de centimes ?

7 Cet enfant a-t-il raison ? Ce segment mesure 1,42 dm !

Trace les segments qui ont les longueurs suivantes : [AB] = 1,3 dm

[CD] = 1,04 dm

[EF] = 1,29 dm

[GH] = 0,3 dm

[IJ] = 12,8 cm

[KL] = 0,09 m

[MN] = 15,6 cm

[OP] = 87,5 mm

8 Exprime en dm les longueurs des segments suivants. Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

9 Compare en utilisant les signes >,