GME Seance 11 [PDF]

Zitiervorschau

(Séance 11) Activité - Le vol d'un vautour

Un vautour fauve vol au-dessus des Alpes et rejoint sa colonie. À 11h, que l'on considère comme l'instant 𝑡 = 0, il part du point A de coordonnées (5 000; −3 200; 2 200) dans un repère local. Les coordonnées sont en mètres et la dernière représente l'altitude. Le vautour suit une trajectoire rectiligne pour arriver au lieu de regroupement qui se trouve à l'altitude de 1 000 m. Le temps est exprimé en secondes. La vitesse de l'oiseau est constante durant son trajet : le vecteur vitesse 𝑣⃗ associé à son 11 déplacement a pour coordonnées ( 8 ), chaque coordonnée −2 -1 étant exprimée en m.s . À l'instant 𝑡, la position M du vautour est donnée par l'égalité vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = 𝑡𝑣⃗. 1. Soit (𝑥 (𝑡); 𝑦(𝑡); 𝑧(𝑡))les coordonnées de la position du vautour à l'instant 𝑡. En utilisant les coordonnées de 𝑣⃗, calculer 𝑥 (𝑡), 𝑦(𝑡) et 𝑧(𝑡) en fonction de 𝑡. 2. À quelle altitude se trouve le vautour après quatre minutes de vol ?

3. Combien de temps doit durer son trajet pour rejoindre la colonie ? 4. Quelles sont les coordonnées du point d'arrivée du vautour ? 5. Dans l'après-midi, le vautour reprend son vol et sa position est donnée à chaque instant 𝑡′ par le système 𝑥 (𝑡′) = −8,25𝑡 ′ + 11 600 { 𝑦(𝑡′) = −6𝑡 ′ + 1 600 . 𝑧(𝑡 ′ ) = 1,5𝑡 ′ + 1 000 a. Pourquoi l'instant 𝑡 ′ = 0 correspond-il à l'instant de départ de l'après-midi ? b. Justifier que le vautour suit la même trajectoire que le matin. c. Aura-t-il rejoint le point de départ du matin au bout de 10 minutes ?

+20

Le cours I.

Représentations paramétriques de droite et de plan A. Droite Propriété Dans un repère (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗) de l’espace, on considère la droite 𝑑 passant par 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 ) et de vecteur directeur 𝛼 𝑢 ⃗⃗ (𝛽). 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑑 si et seulement si il existe un réel 𝑡 tel 𝛾 que : 𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝒕𝜶 {𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝒕𝜷 𝒛 = 𝒛𝑨 + 𝒕𝜸

Démonstration 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑑 si et seulement si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 et 𝑢 ⃗⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel 𝑡 tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = 𝑡𝑢 ⃗⃗. Cela se 𝑥 − 𝑥𝐴 = 𝑡𝛼 traduit en termes de coordonnées par {𝑦 − 𝑦𝐴 = 𝑡𝛽 ⇔ 𝑧 − 𝑧𝐴 = 𝑡𝛾 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑡𝛼 {𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑡𝛽 𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑡𝛾 +5

Définition On dit que le système d’équations : 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑡𝛼 {𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑡𝛽 où 𝑡 ∈ ℝ est une représentation paramétrique 𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑡𝛾 de la droite 𝑑 passant par 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 ) et de vecteur 𝛼 directeur 𝑢 ⃗⃗ (𝛽 ). 𝛾 +5

B. Plan Propriété Dans un repère (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗) de l’espace, soit le plan 𝑃 passant 𝛼 𝛼′ par 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 ) et de vecteurs directeurs 𝑢 ⃗⃗ (𝛽) et 𝑣⃗ (𝛽′). 𝛾 𝛾′ 𝑀 (𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑃 si et seulement si il existe deux réels 𝑡 et 𝑡′ tels que : 𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝒕𝜶 + 𝒕′𝜶′ {𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝒕𝜷 + 𝒕′𝜷′ 𝒛 = 𝒛𝑨 + 𝒕𝜸 + 𝒕′𝜸′

Démonstration 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) ∈ 𝑃 si et seulement si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀, 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont coplanaires, c’est-à-dire qu’il existe deux réels 𝑡 et 𝑡′ tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = 𝑡𝑢 ⃗⃗ + 𝑡′𝑣⃗. Cela se traduit en termes de coordonnées par : 𝑥 − 𝑥𝐴 = 𝑡𝛼 + 𝑡′𝛼′ 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑡𝛼 + 𝑡′𝛼′ {𝑦 − 𝑦𝐴 = 𝑡𝛽 + 𝑡′𝛽′ ⇔ {𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑡𝛽 + 𝑡′𝛽′ 𝑧 − 𝑧𝐴 = 𝑡𝛾 + 𝑡′𝛾′ 𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑡𝛾 + 𝑡′𝛾′ +5 Définition On dit que le système d’équations : 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑡𝛼 + 𝑡′𝛼′ {𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑡𝛽 + 𝑡′𝛽′ où 𝑡 ∈ ℝ et 𝑡′ ∈ ℝ est une 𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑡𝛾 + 𝑡′𝛾′ représentation paramétrique du plan 𝑃 passant par 𝛼 𝛼′ 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 ) et de vecteurs directeurs 𝑢 ⃗⃗ (𝛽 ) et 𝑣⃗ (𝛽′). 𝛾 𝛾′

Remarque Il existe une infinité de représentations paramétriques, que ce soit pour une droite ou pour un plan. +5

Les exercices Page 315

+20

Page 318

+15

Page 318

+15