Gestion de Portefeuille Support de Cours [PDF]

Zitiervorschau

Gestion de Portefeuille

Dr, ELKABBOURI Mounime

La place de la gestion de portefeuille dans la TF

Concept de la valeur

Théories économiques

Théorie objectives (A. Smith, D. Ricardo, J.St.Mill, J.Cairnes, H.Fawcett et H.Sidgwick, K. Marx...)

Théorie subjectives (C.Menger, St.Jevons, et L.Walras...)

Approches intrinsèques (I. Fisher, J.B.Williams, B.Graham & D.Dodd, Gordon et Shapiro…)

Théories financières Approches extrinsèques (H. Markowitz, W.Sharpe & J.Lintner, D. Breeden & S. Ross…)

Tendances et prespectives

Approche actionariale: (M.C Jensen, Joel M.Stern, G.Bennett Stewart et Donald H. Chew…)

Approche partenariale: (G. Charreaux, P Desbrières…)

L’utilité et les courbes d’indifférence • Comment un investisseur alloue-t-il de façon optimale son épargne entre les différents actifs risqués disponibles sur le marché? • Le marché financier est le lieu sur lequel des titres (actions, obligations…) peuvent être achetés ou vendus (ou émis) • Les portefeuilles sont formés par des combinaisons de ces titres. Les rentabilités des différents titres sont en général aléatoires • En univers aléatoire les actifs financiers différent entre eux par l’espérance mathématique des flux qu’ils génèrent et par leur risque

L’utilité et les courbes d’indifférence • En théorie financière, la maximisation de l’utilité est le critère incontestable de choix d’investissement en avenir incertain ; L’utilité d’une richesse se définit comme la satisfaction que l’investisseur retire de cette richesse. • L’usage de ce critère nécessite normalement et a priori la construction d’une fonction d’utilité;

• L’observation et la logique psychologique permettent d’affirmer que les investisseurs présentent plutôt de l’aversion pour le risque ce qui signifie qu’ils exigent une prime de risque positive pour accepter un risque plus grand. • Lorsque la fonction d’utilité est effectivement définie, l’application du critère de maximisation d’espérance d’utilité permet effectivement d’opérer des choix de placement.

L’utilité et les courbes d’indifférence A- Choix rationnels dans l’incertain :les critères de l’espérance de l’utilité  Le problème est celui de la détermination de la décision optimale parmi des alternatives conduisant à différents gains (ou pertes) aléatoires w͂.  Les variables aléatoires w͂ prennent un nombre fini de valeurs (w1 …. wN) avec des probabilités respectivement égales à (p1 …. pN)  La variable aléatoire w͂ est interprétée comme la valeur algébrique du gain généré par une loterie

L’utilité et les courbes d’indifférence L’utilité espérée se calcule donc de la manière suivante :

  

n ~ E U W   piU Wi  i 1

où n désigne le nombre d’états de la nature

pi la probabilité d’occurrence de l’état i, Wi la richesse de l’individu lorsque l’état i se réalise.

L’utilité et les courbes d’indifférence  La 1ère restriction de la fonction d’utilité est que plus est toujours préféré sur peu (more is always preferred to less)  Avec  On considère un jeu (pile ou face) ou l’on reçoit 2 DH en obtenant « face » et 0 en obtenant « pile », la valeur monétaire espérée est : (1/2) × 2 + (1/2) × 0 = 1 DH  On suppose que le coût d’investissement dans le jeu est de 1 DH, le résultat de ne pas participer dans le jeu (ne pas investir) est de 1 DH qui est préservé. L’aversion au risque signifie que l’investisseur rejette un jeu juste ‘fair game’ . Pour certain, 1 DH est préféré à une chance égale entre 0 et 2 DH.  L’aversion au risque implique que la dérivée seconde de la fonction d’utilité est négative

 Cela signifie que U (1) > (1/2) U (2) + (1/2) U (0)

L’utilité et les courbes d’indifférence  U (1) > (1/2) U (2) + (1/2) U (0) Ou bien

U (1) - U (0) > U (2) - U (1)

 La fonction d’utilité a une forme concave  Trois formes de fonction d’utilité peuvent être dégagées 

risk averse (aversion au risque )



risk neutral (neutrailité envers le risque)



risk lover

(prédisposition à prendre le risque)

L’utilité et les courbes d’indifférence

Source: Quantitative Financial Economics, keith Cutberston

L’utilité et les courbes d’indifférence  Deux mesures d’aversion au risque sont communément utilisées

- Le coefficient Arrow-Pratt - Le coefficient d’aversion relative au risque

 au cas où la richesse d’un investisseur doublerait , ce dernier augmenterait sa proportion dans les actifs risqués. A cet effet, l’investisseur est considéré comme montrant un décroissement relatif à l’aversion au risque (exhibit deacrising relative risk aversion)

L’utilité et les courbes d’indifférence  Plusieurs fonctions mathématiques décrivent le comportement l’aversion au risque : -

lié à

décrit une diminution de l’aversion absolue au

risque et une constance de l’aversion relative au risque

-

: la maximisation de la

constante de de l’aversion absolue au risque de cette fonction équivaut à la maximisation de :

L’utilité et les courbes d’indifférence  L’aversion au risque peut (même dans le cadre de circonstances très restrictives ) être représenté de l’espérance de gain (rendement espéré) et la variance liée à ces rendements;  le lien entre la richesse w à la fin de période et un investissement dans un portefeuille d’actifs ayant un rendement est 

; U1 > 0 ; U2 < 0 ; U12 < 0; U22 < 0

L’utilité et les courbes d’indifférence

Rentabilité et Risque

 Au moment de l’achat d’une action, l’investisseur doit prendre une décision sans connaître le taux de rentabilité de son placement. L’investisseur a une espérance de rentabilité formée a partir de ses prévisions concernant le revenu attaché au titre et son prix de revente au terme de la période.

Rentabilité et Risque Figure 4: Year by Year Total Returns on Common Stocks

Rentabilité et Risque Figure 3: How investment of $1 at the start of 1926 would have grown, assuming reinvestment of all dividend and interest payment

Rentabilité et Risque Figure 4: How investment of $1 would have grown in real terms, assuming reinvestment of all dividend and interest payment

Rentabilité et Risque Table 1: Average rates of return on Treasury bills, government bonds, corporate bonds, and common stocks (1926-2000), in percent per year

Rentabilité et Risque La Rentabilité Le taux de rentabilité comprend à la fois le rendement ou taux de rendement (dividende net rapporté au cours) et la plus-value (ou moinsvalue) en capital rapportée au cours d’achat de l’action. Rt = (Dt + Pt – Pt-1) / Pt-1 Où Rt : constitue le taux de rentabilité de l’action i pendant la période t Dt : le dividende encaissé pendant la période t Pt : le cours de l’action à la fin de la période t Pt-1 : le cours de l’action à la fin de la période Pt-1

Rentabilité et Risque L’application de la formule suppose que les distributions de dividende ont lieu en fin de chaque période.

Exemple : Pt-1 = 100 Dh Pt

= 105 Dh

Dividende= 5 Dh →

il s’ensuit que : Rt = (5 + 105 – 100)/100 = 10%

Rentabilité et Risque La Rentabilité

L’application de la formule suppose que les distributions de dividende ont lieu en fin de chaque période. Exemple : Pt-1 = 100 Dh Pt

= 105 Dh

Dividende= 5 Dh

→

il s’ensuit que : Rt = (5 + 105 – 100)/100 = 10%

Rentabilité et Risque La Rentabilité On suppose un investissement avec les caractéristiques suivantes :

• P0 (année 0) • L’année n: Div PV

= 1 000 = 1 00 = 50

• L’année n+1: Valeur globale = 1265 On suppose que les 1150 capitalisés au bout de la 1ère année sont réinvestis pour rapporter les 1265 en fin de la 2ème année Pour valoriser la rentabilité globale du placement sur les deux années, on doit tenir compte du réinvestissement.

1000 (1+r1) (1+r2) = 1000 (1+rg)2 = 1265

𝐫𝐠=

𝟏+𝐫𝟏 ( 𝟏+𝐫𝟐 −𝟏= 𝟏𝟐,𝟒𝟕%

Rentabilité et Risque La Rentabilité

Moyenne

Ri  arithmétiq ue  N

Avec : Ri : les rentabilités réalisées N : le nombre d’années relatives aux rentabilités

Moyenne géométriqu e  n (1  r1 )(1  r2 )...(1  rn )  1 r1, r2… rn : sont les taux réalisés aux années 1, 2, ..., n n : le nombre d’années.

Rentabilité et Risque Application Année 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prix 30,5 32,6 33,7 30,9 37,8 39,7 41,2 42,3 43,7 44,1

Dividende 2 2 2 2,3 2,5 2,5 2,5 3 3

Rentabilité et Risque La Rentabilité

Moyenne arithmétique Vs moyenne géométrique

La moyenne géométrique, qui tient compte du réinvestissement, est le paramètre le plus utilisé pour mesurer la rentabilité passée. Quant à la moyenne arithmétique, elle est plus utilisée pour les prévisions des rentabilités futures.

Rentabilité et Risque Le Risque Définitions: «Un événement dont l'arrivé aléatoire, est susceptible de causer un dommage aux personnes ou aux biens ou aux deux à la fois. » dictionnaire juridique

« Danger éventuel, plus ou moins prévisible, inhérent à une situation ou à une activité. » CNRTL

«The possibility of suffering harm or loss; danger » Answers.com

« The chance that an investment's actual return will be different than expected. This includes the possibility of losing some or all of the original investment » Answers.com

Rentabilité et Risque Le Risque  Risques Industriel, commercial, social…  Risque de liquidité  Risque de solvabilité

 Risque de change  Risque de taux  Risque politique

 Risque législatif et réglementaire  Risque d’inflation  Risque de fraude

 Risque de catastrophes naturelles  Risque économique

Rentabilité et Risque

Source: Corporate Finance (Pierre Vernimen)

Rentabilité et Risque Total Annual Returns, 1926-1999, source: Corporate Finance, WJ, ROSS

Rentabilité et Risque Rates of return, 1926-1998

Rentabilité et Risque Le Risque - L’investissement en valeur mobilière constitue l’échange d’un avantage certain et immédiat contre un avantage future et incertain. - Le risque de l’investissement peut être assimiler à la dispersion ou variabilité de sa rentabilité autour de la valeur anticipée.

- La mesure de la variabilité la plus utilisée est l’écart type (ou identiquement son carré : la variance).

VRT

(R  

it

 Rt )

2

N

Avec : VRt est la variance du taux de rentabilité

Rentabilité et Risque La relation entre la rentabilité et le risque

Rentabilité et Risque -L’investisseur ne connaissait pas ces variables avec certitude au moment de l’investissement. Il procède à des anticipations.

- L’investisseur utilise alors une rentabilité espérée obtenue par la formule suivante :

E( R ) = Σ Pi.Ri Avec E(R) : l’espérance de rentabilité d’un titre ; Ri : la rentabilité possible; Pi : probabilité de son occurrence. La formule de la variance devient :

Var(R) = ΣPi ( Ri – E(R))2

Rentabilité et Risque Application

Economic Conditions

Probability

Market return

Treasury Bills

Recession

0,25

-8,20%

3,50%

Normal

0,5

12,30%

3,50%

Boom

0,25

25,80%

3,50%

Rentabilité et Risque

Faible variance Taux de rendement élevé Forte variance Taux de rendement faible

Rentabilité et Risque Asset A

Asset B

On considère deux projets X et Y dont les caractéristique de rendement et de risque sont les suivantes : Projet X : Projet Y :

E (Rx ) = 60 % ; σ(Rx )= 15% E (Ry) = 8 % ; σ(Ry )= 3 %

Le coefficient de variation

Coefficient de variation

Projet X : Projet Y :

CV= 15/60 = 0,25 CV = 3/8 = 0,375

Le coefficient de variation montre le risque par unité de rendement et produit une base de comparaison significative quand les rendements espérés sur deux alternatives ne sont pas identiques

Diversification Rentabilité d’un portefeuille

Taux de rendement d’un portefeuille

Fraction dans le portefeuille du premier actif

=

×

Taux de rendement du premier actif

×

Taux de rendement du second actif

+ Fraction dans le portefeuille du second actif

Diversification Risque d’un portefeuille

Actif 1

Actif 2

Actif 1

Actif 2

XA2 Var A

XA XB Cov(rA ,rB) = XA XB AB (RA)  (RB)

XA XB Cov(rA ,rB) = XA XB AB (RA)  (RB)

XB2 Var B

Diversification Rentabilité & risque dans le cas d’un portefeuille Le rendement d’un portefeuille est égale à la moyenne pondérée du rendement des valeurs qui le composent. La pondération de chaque valeur est égale au pourcentage d’argent investi dans la valeur par rapport à la totalité investi dans le portefeuille. Soit un portefeuille (P) de n titres risqués, chaque titre est représenté dans certaine proportion. L’espérance de rentabilité du portefeuille est donnée par l’équation suivante : E (Rp) = Σxi E (Ri)

Avec E (Rp) : la rentabilité attendu par le portefeuille ; Xi : proportion du titre i dans le portefeuille (P) (sa valeur est comprise entre 0&1, la somme des Xi est égale à 1) ; E (ri) : la rentabilité attendu par le titre i.

Diversification Le risque total d’un portefeuille peut toujours être mesuré par la variance ou l’écart type de rentabilité.

Var (Rp) = ΣΣ Xi Xj cov (Ri, Rj)

Var (Rp) = ΣΣ Xi Xj ij (Ri)  (Rj) Avec Var (Rp) : variance du portefeuille P ; Xi, Xj : les proportions des titres i&j dans le portefeuille P.

Diversification

Variance d’un portefeuille composé de deux titres A & B

Var p = XA2 Var A + XB2 Var B + 2 XA XB Cov(rA ,rB)  AB = Cov(rA ,rB) / A B

Diversification

Diversification

le concept de diversification La diversification du portefeuille est un facteur de réduction de risque, c’est la première règle de la gestion d’un portefeuille. Pour illustrer ce phénomène, nous allons prendre l’exemple de deux titres A&B que l’on combine dans un portefeuille de telle manière que A représente x % de valeur du portefeuille et B (1 – x) %. Le taux de rentabilité du portefeuille P dépend de la valeur x et de x seulement. Sa variance, en revanche dépend du coefficient de corrélation entre RA &RB. Selon la valeur du coefficient de corrélation, quatre cas de figure type sont possibles :  AB = 1  AB = -1  AB = 0 Et 0 < PAB< 1.

Diversification

Diversification Diversification et Globalisation

Corrélation entre plusieurs marchés

Source: Corporate Finance (Pierre Vernimen)

Diversification Les limites des effets de la diversification : La question concrète soulève par l’exemple précèdent est : quel est le nombre approximatif de valeur au-delà duquel il n’y a pratiquement plus d’intérêt à diversifier davantage ? Concrètement il existe une covariance généralement positive entre les titres composant les portefeuilles. Dans ces conditions comment se présente la covariance d’un portefeuille de n titres ? On démontre que la variance d’une somme de variable aléatoire corrélée positivement entre elle tend vers la covariance moyenne de la série de variable aléatoire lorsque le nombre de titre tend vers l’infini. En conséquence, la variance d’un portefeuille, aussi élevée que puisse être le nombre de titres qui entre dans sa composition, tend vers la valeur de la covariance moyenne des actifs financiers du portefeuille.

Diversification

Considérant un portefeuille de trois titres 1, 2 et 3 .Supposons que la proportion de chaque titre est de 1/n = 1/3 (n le nombre de titres). On suppose aussi que les titres ont les mêmes variance et covariance.

La variance du portefeuille est égale à : V(Rp )= (1/3)²Var(R1)+(1/3)²Var(R2)+(1/3)²Var(R3)+2(1/3)²cov(R1,R2)+2(1/3)²cov(R1,R3) +2(1/3)²cov(R2R3)

Diversification

En posant: Var (M) = Var (R1) +Var (R2) +Var (R3) / 3 Cov (M) = cov (R1, R2) + cov (R1, R3) + cov (R2, R3) / 3 On peut réécrire la variance du portefeuille : Var (Rp) = (1/3)²3Var (M) +2(1/3)²3cov (M)

En généralisant à un portefeuille de n titres tel que n > 3, cette équation s’écrit : Var (Rp) = (1/n) ²nVar (M) + (1/n) ²(n²-n) cov(M) Il y a : n variance et (n²-n) covariance. La variance du portefeuille est en définitive égale à : Var(Rp)= (1/n)Var(M) + (1-1/n)cov(M).

Diversification Risque du portefeuille et nombre de titre Variance du portefeuille en %

100

Risque spécifique diversifiable 50

30

Risque spécifique Non diversifiable

10

20

30

40

50

Nombre de titres

Diversification

Risque lié au projet

Risque lié à la concurrence

Risque lié au secteur d’activité

Risque de change (politique)

Risque de Taux Risque d’inflation

Affecte peu d’entreprises

Affecte plusieurs entreprises

Risque diversifiable

Risque non diversifiable

Diversification

Décomposition du risque

σ

2

Rx

Risque Total

 β .σ 2

2

RM

Risque Systématique

σ

2

E

Risque Spécifique

Modèle de marché

Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

Au cours de la décennie 50, Harry Markowitz, spécialiste de la recherche opérationnelle, a développé une méthode de solution générale du problème de structure des portefeuilles qui incorpore le traitement quantifié du risque. Cette méthode, utilise uniquement les concepts de moyenne pour la rentabilité espérée et de variance pour l’incertitude associé à cette incertitude, d’où le nom de critère « moyenne-variance » associé à l’analyse de Markowitz.

Modèle de marché

Modèle de Markowitz

1. Détermination de la frontière des portefeuilles efficients (portefeuilles qui minimisent les risques à un rendement moyen donné)

(Prix nobel 1990)

2. Détermination de la frontière qui maximise l’utilité

Modèle de marché

Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

Hypothèses et Principes d’élaboration du modèle

Modèle de marché

Modèle Moyenne Variance

Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

Hypothèses relatives aux actifs financiers

Hypothèses relatives aux comportements des investisseurs

Modèle de marché

Hypothèses relatives aux actifs financiers

Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

H1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque : le return d’un actif financier pour toute période future est par conséquent une variable aléatoire, dont on fait l’hypothèse qu’elle est distribuée selon une loi normale, c’est-à-dire une distribution symétrique stable définies par les deux paramètres :

E (Ri) : Espérance mathématique du return σ (Ri) : Ecart-type de la distribution du return Où R symbolise le taux de return, et i un actif financier quelconque

Modèle de marché

Hypothèses relatives aux actifs financiers H2 : Les returns des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres : ils sont donc corrélés c’est-à-dire qu’ils ont des covariances non nulles. Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

Cov (Ri, Rj) = { σ (Ri, Rj) ≠ 0 ρij σ (Ri), σ (Rj) ≠ 0 Où est ρij est le coefficient de corrélation des returns des actifs i et j

Modèle de marché

Formulation du modèle de Markowitz

Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

R= a1x1 + a2x2 +…………..+anxn V=S1 2 x12+ S2 2 x22

+……………+

2 S12 x1 x2 +………

Où a1, a2,…, an sont les résultats (rentabilité) de chaque titre (1,2,…….n) S1, S2,………. Sn sont les variances de ces résultats

Le modèle consiste à chercher les proportions x1, x2, ……. xn, des valeurs qui constitueront le portefeuille de telle sorte que le résultat total R sera maximum (rentabilité élevée) et la variance V sera minimale (risque moindre) sous la contrainte X

Modèle de marché

Modèle de marché

Modèle de marché

Modèle de marché

Qu’est ce qu’un Portefeuille efficient ?

Modèle de Markowitz (Prix nobel 1990)

Les « Portefeuilles efficients » sont un ensemble de portefeuilles qui, pour un niveau de risque donné, présentent un rendement maximum ou qui pour un niveau de rendement espéré, présentent un risque minimum.

Modèle de marché

Soient les portefeuilles suivants : Portefeuille X, dont le risque est de 10% et le rendement de 20% Portefeuille Y, dont le risque est de 10% et le rendement de 10% Portefeuille Z, le risque est de 10% et le rendement de 15%

On constate que dans cet exemple tous les portefeuilles ont le même niveau de risque. Dès lors, tout investisseur rationnel va choisir le portefeuille qui offre le plus de rendement c’est-à-dire le portefeuille X. Il s’agit en fait d’un portefeuille efficient.

Modèle de marché Schéma de la frontière des portefeuilles efficients Frontière des portefeuilles efficients

E(R) B E E(RE) Modèle de Markowitz

E(RA)

A

D

(Prix nobel 1990)

C

σ (RA)

σ (RE)

σ (R)

Modèle de marché L’ensemble des portefeuilles possibles est délimité par les courbes AB en trait fin et AC en pointillé ; les courbes AB et AC représentent elles-mêmes deux sous-ensembles de portefeuilles. Compte tenu des hypothèses de comportement retenues, il est possible d’isoler les portefeuilles efficients de ceux qui ne le sont pas, et ce en fonction du comportement d’aversion aux risques des investisseurs. L’objectif est de ne retenir que les portefeuilles qui minimisent le risque pour une rentabilité donné et inversement. Considérons par exemple les portefeuilles A et D situés sur la ligne E(RA). Ils ont même taux de rentabilité mais des risques différents. Si l’investisseur est rationnel compte tenu de son aversion au risque, il va choisir, à rentabilité égale, le portefeuille A qui présente un risque moindre. Le portefeuille A domine le portefeuille D, il est le plus efficient selon les critères de l’investisseur. La comparaison à A de tous les autres portefeuilles situés sur la ligne E(RA) permet de la même manière de sélectionner A et d’éliminer tous les autres portefeuilles de la ligne.

Modèle de marché Considérons maintenant les portefeuilles E et D situés sur la verticale σ(E). Ils ont même risque mais des rentabilités différentes. La comparaison de ces portefeuilles conduit pour les mêmes raisons, à sélectionner E et à éliminer D de l’ensemble des choix possibles. De même, E apparaissant comme le plus rentable par rapport à tous les autres portefeuilles de la verticale σ(E). Ces derniers sont à rejeter de l’ensemble des portefeuilles efficients. L’ensemble des portefeuilles ainsi sélectionnés correspond à la frontière efficiente. Ils sont représentés par la courbe AB. Le portefeuille A est le portefeuille de risque minimal et le portefeuille B est celui qui fournit la meilleure rentabilité.

Modèle de marché

Tout investisseur effectue le choix d’un portefeuille parmi ceux appartenant à la l’ensemble des portefeuilles efficients. Son choix final dépend de ses préférences individuelles en situation incertaine. Les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de l’investisseur aux caractéristiques bien définies ; précisons que l’utilisation du critère espérance-variance implique des courbes d’utilité quadratiques. La courbe d’iso utilité est fonction du degré d’aversion au risque de l’investisseur.

Modèle de marché Schéma : Le choix d’un portefeuille optimal par l’investisseur

j

E(R)

i

h

B

A

σ (R)

Portefeuilles efficients

Modèle de marché Ainsi, tel qu’il apparaît dans le graphe ci-dessus, la courbe i de l’investisseur i exprime une aversion au risque plus élevée que la courbe j de l’investisseur j, elle-même retraçant une aversion plus forte comparée à la courbe h de l’agent h. Les courbes i, j, h retracent donc trois positions d’investisseurs classés par ordre décroissant dans leur degré d’aversion face à l’incertain et au risque. Un investisseur va donc se positionner sur la frontière efficiente en fonction de sa courbe d’utilité. Plus précisément, il va choisir un portefeuille qui lui permet de maximiser son utilité : c’est le point de tangence entre la courbe des portefeuilles efficients et la courbe d’utilité qui exprime le choix optimal de l’investisseur.

Modèle de marché Les limites du modèle de Markowitz

- Pour utiliser le modèle, il faut d’abord formuler des prévisions de rentabilité et estimer les variances et les covariances (corrélations) entre chacun des titres considérés. L’application du modèle devient donc très complexe et délicat lorsque le nombre de titres constituant le portefeuille devient très conséquent. - La deuxième difficulté qui n’est pas la moindre, est l’établissement de la matrice des variances-covariances préalablement à la procédure de sélection des portefeuilles. Pour 100 valeurs, l’investisseur doit être à même d’établir une matrice de 10 000 termes. Il doit donc estimer 4 950 covariances et 100 variances. On peut ainsi douter de la précision et de la cohérence des estimations surtout lorsque les données historiques sont jugées insuffisantes.

Modèle de marché

Variance du portefeuille en %

100

Risque spécifique diversifiable 50

30

Risque spécifique Non diversifiable

10

20

30

40

50

Nombre de titres

Modèle de marché Modèle du marché

Risque systématique

Risque spécifique

Risque proprement spécifique à l’action

Risque lié au secteur ou à l’industrie

Modèle de marché

Modèle de marché

Modèle de marché Rit = αi + βiRmt + εit Rit = taux de rentabilité de l’action i, pendant la période t Rmt = taux de rentabilité du marché mesuré par l’indice général pendant la période t

βi = le coefficient de volatilité ( relation entre les fuctuations de l’action i et les fluctuations de l’indice général du marché)

εit = paramètre spécifique à l’action i αi = paramètre dont la valeur est telle que la valeur espérée de εit

=0 ( ou la valeur espérée

de Rit lorsque Rmt =0)

β : exprime la sensibilité des fluctuations de la valeur de l’action à celle de l’indice

β

Cov(rj , rM ) V(rM )

Modèle de marché

Remarques

• Pour un β proche de 1 ( Société holding : titres Moyennement volatils) Rit

Rmt

Modèle de marché

• Pour un β > 1 ( titres très volatils)

Rit

Rmt

Modèle de marché

• Pour un β < 1 ( Sociétés immobilières: titres peu volatils) Rit

Rmt

Modèle de marché

• α peut être ou = à 0 • β strictement > à 0 sauf dans un cas exceptionnel : les mines d’or

• σεi= risque spécifique • Le coefficient de détermination: la divergence des observations de la droite de régression Ex: coef de déterm = 100%

Modèle de marché

Le bêta peut être expliqué par plusieurs facteurs: •La sensibilité du secteur à la situation économique; •La structure des coûts;

•La structure financière; •La visibilité quant à la performance de l’entreprise; •La croissance des revenus.

Modèle de marché

Action X R sm X

Action Y R sm Y

Risque total X

Risque total Y

R sp X

R sp Y

R sm X = R sm Y R sp Y > R sp X

Risque total Y > risque total X

(Risque total ) 2 = ( Rsm ) 2 + ( R sp )2

Modèle de marché Le risque d’un portefeuille dépend de 3 facteurs: Le risque de chaque action incluse dans le portefeuille Le degré d’indépendance des variations des actions entre elles Le nombre de titres du portefeuille

NB:  l’accroissement du nombre de lignes au-delà d’un certain seuil ne sert à rien pour réduire le risque

 Si l’addition de lignes entraîne l’ajout d’actions très risquées alors on n’est plus entrain de réduire le risque.

Modèle de marché

Les limites du modèle de marché. Les limites du modèle de marché concernent globalement la validité statistique du modèle et l’utilisation de la notion du risque.

Une droite de régression ne peut convenablement représenter une corrélation entre deux variables que si elle est linéaire ;

De même, le coefficient de corrélation ne peut valablement permettre d’étudier le degré de corrélation que si le modèle de régression est linéaire.

Modèle de marché Application Modèle de marché Rx =  + β RM + 

Une variable aléatoire, spécifique à l’action X

RX  

0 Est l’ordonnée à l’origine

RM

β est le coefficient angulaire de la droite d’ajustement (méthode des moindre carrés).

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM Choix d’un portefeuille optimal contenant un actif sans risque

Soit : - rf : le rendement de l'actif sans risque

- xk: proportion d’investissement dans le portefeuille risqué - (1- xk): proportion d’investissement en actif sans risque

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM Choix d’un portefeuille optimal contenant un actif sans risque Soit :

- rf : le rendement de l'actif sans risque - xk: proportion d’investissement dans le portefeuille risqué

- (1- xk): proportion d’investissement en actif sans risque

E( R p )  (1  xk )  rf  xk  E( R k )  p  (1  x k ) 2 rf2  x k2   k2  2  x k (1  x k )rf ,k

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM Choix d’un portefeuille optimal contenant un actif sans risque En simplifiant la formule,

 p  (1  x k ) 2 rf2  x k2   k2  2  x k (1  x k )rf ,k

on obtient:

p xk  k

E( R p )  rf  ( E( R k )  rf ) 

p k

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM Choix d’un portefeuille optimal contenant un actif sans risque CML: Capital Market Line

E( R p )  rf  ( E( R k )  rf ) 

p k

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM Choix d’un portefeuille optimal contenant un actif sans risque

En prenant en considération l’ensemble des titres traités sur le marché

CML: Capital Market Line :

E( R p )  rf  ( E( R m )  rf ) 

p m

E(Rm) = le taux de rendement espéré du portefeuille marché. E(Rp) = le taux de rendement espéré d'un portefeuille parfaitement diversifié composé de l'actif sans risque et du portefeuille de marché

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM

Hypothèses de base  Le marché comporte n actifs risqués un actif sans risque

 les investisseurs sélectionnent leurs portefeuilles selon le principe de séparation (actifs risqués/ actifs non risqués). Ils préfèrent des rendement élevés et des écarts types faibles.  Si l’investisseur peut prêter ou emprunter à un taux d’intérêt sans risque, un portefeuille efficient est meilleur que tous les autres portefeuilles .  ils partagent les mêmes anticipations en matière de rentabilités espérées, de variances et de covariances  Les agents se distinguent seulement par leurs niveaux d’aversion au risque  les possibilités de prêts et d’emprunts ne sont pas assorties par des contraintes.

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM

La relation du MEDAF Ej = rf + j[EM- rf] Ej EM rf j

j 

: la rentabilité espérée du titre j : la rentabilité espérée du marché : le taux sans risque : le coefficient de sensibilité du titre j par rapport au portefeuille marché

Cov(rj , rM ) VarM

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM

Critique du MEDAF  Difficultés de tests empiriques  Efficience des marchés (la nature des anticipations utilisées lors de l’application du modèle; quelles informations utilisées pour évaluer les titres? Et quel est le degré de leur pertinence?)

Le Modèle D’Evaluation par Arbitrage

Le modèle d’évaluation par arbitrage rj = E(r) +  [rM – EM] + 

E(r) EM rM  

: le taux de rentabilité espéré du titre j : la rentabilité espérée du marché : le taux de rentabilité réalisé : le coefficient de sensibilité du titre par rapport au portefeuille marché : L’incidence des événements sur la rentabilité qui n’influent que sur une partie des titres voire uniquement sur le titre j

Le Modèle D’Evaluation par Arbitrage

La rentabilité réalisée par un portefeuille

Rp= Ep+ p FAM + p

Rp= Ep+ p FAM

Ep : la rentabilité espérée du portefeuille P, est égale à la moyenne pondérée des rentabilités espérées des titres p*FAM : la moyenne pondérée des bêtas des titres individuels multipliée pas le facteur marché ; p représente le risque systématique du portefeuille.

p : il représente le risque spécifique du portefeuille, il est égale à la moyenne pondérée des risque spécifiques des titres individuels, il tend à s’annuler avec l’effet de la diversification par: - la présence d’un nombre élevé de titres au sein du portefeuille, - la présence d’une indépendance entre les titres individuels - la répartition équitable de capitaux investis sur les différents titres.

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM

Coût de capital et application à la structure de financement

 CP   D  CMP  rc   r ( 1  T )  d  CP  D   CP  D    rc : le coût des capitaux propres rd : le coût de la dette

avec

rc = rf + c [EM - rf]

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM La relation entre bêta d’exploitation et bêta des capitaux propres En présence d’imposition

D    c   a 1  1  T  CP   rc = rf + c [EM - rf]

D rc  rf   a E M  rf    a E M  rf 1  T  CP

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)/ CAPM

D rc  rf   a E M  rf    a E M  rf 1  T  CP La prime du risque peut être scindée en deux éléments : 1) la prime du risque d’exploitation qui est de rémunère le risque d’exploitation

 a EM  rf 

2) La prime du risque financier qui est de  a E M  rf 1  T 

D CP

qui

Evaluation d’actif générant des cash-flows en univers certain

Valeur nominale

Aujourd’hui

Evaluation des Obligations à Coupon zéro

N

t n

Valeur de l' obligation 

 t 1

Valeur Nominale (1  r) t

Evaluation d’actif générant des cash-flows en univers certain

C

C

C

C

C

C

C

Valeur nominale

Aujourd’hui

Evaluation des Obligations à Coupon périodique

N

t n

Valeur de l' obligation 

 (1  r ) t 1

Application

Coupon t



Valeur Nominale (1  r ) n

Les bons de trésor comme instrument de financement étatique Evolution de la courbe des taux sur le marché secondaire

Années 2001,2002 et 2003 7,25%

7,20% 6,75%

6,85%

6,25%

C o ur b e à f in 2001

5,75%

6,48%

5,90%

6,20%

5,91%

C o ur b e à f in 2002

5,25%

C o ur b e à f in

5%

5,30%

4,75%

5,42%

2003

4,90% 4,10%

4,25%

4,03%

3,75%

3,80% 3,25%

2,75%

2,75% 2,25%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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11

12

13

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15

Evaluation d’actif générant des cash-flows en univers certain

Mesure du risque d’intérêt sur les obligations

 La maturité de l’obligation: l’accroissement de la maturité accroît la sensibilité du titre aux fluctuations des taux d’intérêts; Evaluation des Obligations à Coupon

 Le taux facial de l’obligation: si on retient un taux de risque et la maturité « constants », L’accroissement du taux nominal « rendement des coupons » permet de réduire la sensibilité à l’égard des fluctuations du taux d’intérêt.

Evaluation d’actif générant des cash-flows en univers certain

Mesure formelle du risque de taux  Sensibilité: La variation de la valeur de l’obligation induite par la variation du taux d’intérêt.

Evaluation des Obligations à Coupon

 Duration: La moyenne pondérée des dates d’échéances des diverses annuités par les flux monétaires.  t  n t  Coupon n  Valeur faciale  t    t n (1  r)  dP / P  t 1 (1  r) Duration   dr / r  t  n Coupon Valeur faciale  t    t n ( 1  r ) (1  r)  t 1 





Duration   Sensibilité (1  taux)

Sensibilité 

 Duration 1  taux