Geo Statlin [PDF]

Zitiervorschau

La deuxième partie de l’ouvrage est consacrée à la méthode géostatistique d’estimation, le krigeage. Sont alors traités la théorie du krigeage ordinaire et du krigeage simple ainsi que leurs propriétés. Un chapitre complet étudie les aspects pratiques de sa mise en œuvre tels le choix du voisinage de krigeage. Ce livre s’adresse à des ingénieurs et géologues confrontés à l’estimation des réserves minières. Le niveau de connaissance requis pour une compréhension parfaite s’arrête à la résolution de systèmes linéaires d’équations et aux notions de calcul différentiel. Margaret Armstrong est maître de recherche à l’Ecole des Mines de Paris, responsable du Cycle de Formation Spécialisée en Géostastique (CFSG). Jacques Carignan est professeur de génie géologique à l’Université du Québec à Chicoutimi. Il est actuellement directeur de l’Unité d’Enseignement en Sciences de la Terre. Les auteurs ont volontairement mis à la disposition du public un livre clair, précis et utile par son caractère appliqué. C’est un outil qui va simplement à l’essentiel.

22,87 Euros

L e s

Partant d’un exemple illustrant le gain financier que la géostatistique apporte pour l’estimation des réserves, le livre introduit la notion de variable régionalisée. Le variogramme apparaît comme l’outil naturel pour caractériser leur double nature à la fois structurée et aléatoire. En plus de la théorie, les problèmes pratiques de l’interprétation et de la modélisation du variogramme sont traités.

Margaret Armstrong – Jacques Carignan

Sciences de la terre et de l’environnement

lisée en Géostastique (CFSG) de l’Ecole des Mines de Paris a pour but de former, en 9 mois, des experts en géostatistique minière. Ce livre reprend le cours dispensé à l’Ecole des Mines à cette occasion. Il possède donc un caractère appliqué qui le distingue des autres livres de géostatistique linéaire, par ailleurs souvent en anglais.

Margaret Armstrong – Jacques Carignan

EPUIS sa création en 1979, le Cycle de Formation Spécia-

Cours de géostatistique linéaire. Application au domaine minier

D

Géostatistique linéaire

Application au domaine minier

Géostatistique linéaire Application au domaine minier

Margaret Ar)*tr+ng- )a.tre /e re01er01e 2 l450+le /e* Mine* 7a089e* :arignan- ;r+?ni@er*it= /9 A9=Be0 2 :1i0+9ti)i

Les Presses de l’École des Mines Paris

© École des Mines de Paris, 1997 60, Boulevard Saint-Michel, 75272 Paris cedex 06 FRANCE

email : [email protected] http://www.ensmp.fr/Presses ISBN : 2-911762-07-R Dépôt légal : octoVre 1997 Achevé d’imprimé en octoVre 1997 (Durand imprimerie, Luisant) Tous droits de reproduction, d’adaptation et d’exécution réservés pour tous les pays

TABLE DES MATIERES

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,stimation des réserves globales................................................................6 ,stimation des erreurs...............................................................................G ,spacement optimal des sondages (ou des échantillons)............................G ,stimation des réserves des blocs...............................................................G 3aillage et cartographie............................................................................G )imulation d’un dépMt pour évaluer un plan de forage .............................O ,stimation de la récupération....................................................................O ,P,2C$C, Q $3"!C& R$(!(C$,2 D, L! 3.&SOD, D’,)&$3!&$O( .............T

,xploitation minière sélective....................................................................W CO33,(&!$2,)..........................................................................................X

2écupération optimale ..............................................................................X ,ffet d’information ..................................................................................Y ,ffet de support........................................................................................Z L! -.O)&!&$)&$/0, ,( "2!&$/0, ............................................................. [

,tudes de cas sur le charbon .....................................................................[ ,tudes de cas sur des mines d’or.............................................................6\ ,tudes plus récentes................................................................................66 2.R.2,(C,) ]$]L$O-2!"S$/0,) ............................................................. 6G +,$!,-./01 $23!%",.!02/0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )1 3 (O&$O( D, ^!2$!]L, 2.-$O(!L$)., ....................................................... 6O RO(C&$O( !L.!&O$2,............................................................................... 6W

S_pothèses stationnaire et intrinsèque.....................................................6X Comment savoir si une variable est stationnaire a.....................................6Y CO^!2$!(C, )"!&$!L, ............................................................................ 6Z 2.R.2,(C,) ]$]L$O-2!"S$/0,) ............................................................. G\ ./1 +,$!%3$,55/1 #62%$!7'/ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )2 1 "O2&., ,& bO(, D’$(RL0,(C,................................................................. GG CO3"O2&,3,(& ! L’O2$-$(, .................................................................. GO !($)O&2O"$,) ........................................................................................... GT

"résence d’une dérive.............................................................................GX ,RR,& "2O"O2&$O((,L ............................................................................ GY )&20C&02,) -$-O-(,) ........................................................................... GY !0&2,) C!2!C&.2$)&$/0,).................................................................... GZ 3OD4L,) D, ^!2$O-2!33, ................................................................... G[

ii

-éostatistique linéaire. !pplication au domaine minier

^ariance des combinaisons linéaires autorisées........................................G[ 3odèles autorisés....................................................................................O6 3odèles de variogramme courants..........................................................OG ,ffet de pépite ......................................................................................... O G 3odèle sphérique ..................................................................................... O G 3odèle exponentiel .................................................................................. O O 3odèle -aussien ...................................................................................... O O Ronction puissance................................................................................... O T 3odèle cubique ........................................................................................ O T )inus cardinal (modèle c effet de trou OD) ........................................................ O T

,P,2C$C, .................................................................................................. OT 2.R.2,(C,) ]$]L$O-2!"S$/0,) ............................................................. OW ./1 +,$!%3$,55/1 /9:2$!5/"#,.) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )3 ; C!LC0L D0 ^!2$O-2!33, ,P".2$3,(&!L ........................................... OY

,xemple 6 Q échantillons réguliers...........................................................OY ,xemple G Q données manquantes ...........................................................OZ ,xemple O Q présence de valeurs extrdmes...............................................OZ Dans le plan............................................................................................OZ ,n trois dimensions.................................................................................O[ (uée variographique...............................................................................O[ ,xemple T Q calcul d’un variogramme expérimental en GD.....................T6 !e0)&,3,(& D’0( 3OD4L, D, ^!2$O-2!33, ...................................... TG "2O]L43,) "2!&$/0,)............................................................................ TO

^aleurs extrdmes.....................................................................................TT Comportement pseudofpériodique..........................................................TW !rtefacts .................................................................................................TX 2.R.2,(C,) ]$]L$O-2!"S$/0,) ............................................................. TY ,",. &2O$) .&!",) "2$(C$"!L,) ..................................................................... T[ L! ^.2$R$C!&$O( D,) DO((.,)............................................................... T[ L,) CSO$P 3.&SODOLO-$/0,)................................................................ W\

)tationnarité............................................................................................W\ )upport...................................................................................................W\ !dditivité et accumulation.......................................................................W6 )&!&$)&$/0,) )&!(D!2D......................................................................... W6 .&0D,) D, C!)......................................................................................... WG

"remière étude de cas Q un gisement de fer..............................................WG ^ariogramme vertical ................................................................................ W G (uée variographique.................................................................................. W O

!gustement d’un modèle.........................................................................WO ^ariogrammes horizontaux ......................................................................... W W

&ables des matières

iii

)econde étude de cas Q un gisement d’or (m. harle_) ..............................WW &!0:/$0!%"1 /#1 0'::%$# ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )5 > L, )0""O2& D’0(, ^!2$!]L, 2,-$O(!L$).,.......................................... W[ D$)",2)$O( ,( RO(C&$O( D, L! &!$LL, D,) ]LOC) .............................. X\ ^!2$!(C, D’0( "O$(& D!() 0( ^OL03, ............................................... X6 ^!2$!(C, D, ^ D!() ^ ............................................................................ XG L! 2,L!&$O( D’!DD$&$^$&. ...................................................................... XO ,P,2C$C, Q )&OCi!-, D’SO3O-.(.$)!&$O( ......................................... XO CS!(-,3,(& D, )0""O2& Q 2.-0L!2$)!&$O( ...................................... XT ,P,2C$C, Q C!LC0L D,) ^!2$O-2!33,) 2.-0L!2$).) ...................... XW 2.R.2,(C,) ]$]L$O-2!"S$/0,) ............................................................. XW .,1 #62%$!/1 &'1 @$!3/,3/ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )A ; L’$(&.2j& D0 i2$-,!-,........................................................................... XY L,) ./0!&$O() D, i2$-,!-, .................................................................. XZ

Différents estimateurs de krigeage...........................................................X[ Le krigeage ordinaire..............................................................................X[ Dérivation des équations du iO pour des variables régionalisées intrinsèques........... Y 6 ,xercice Q krigeage ordinaire d’un bloc .......................................................... Y G

irigeage de la valeur de la mo_enne.......................................................YO irigeage simple......................................................................................YW Le théorème d’additivité.........................................................................YX "ente de la régression linéaire .................................................................YZ Le krigeage est un interpolateur exact.....................................................Z\ 0n exercice de géométrie pour illustrer la procédure de minimisation dans le krigeage Z 6

.,1 :$,#!7'/1 &'1 @$!3/,3/ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )B 3 $(&2OD0C&$O( .......................................................................................... ZO L,) "O(D.2!&,02) (.-!&$R) ................................................................ ZT ),()$]$L$&, D0 i2$-,!-, !0 CSO$P D0 ^!2$O-2!33, ....................... ZY

^ariogrammes d’aspect semblable..........................................................ZY Conséquences du choix de l’effet de pépite ............................................ZZ ^!L$D!&$O( C2O$).,................................................................................ [\ )l3.&2$, D!() L,) ./0!&$O() ............................................................. [G L’,RR,& D’.C2!( ...................................................................................... [T &,)&) D, L! /0!L$&. D0 i2$-,!-,........................................................ [Y

Le poids de la mo_enne en krigeage simple............................................[Y 2elation entre les variances de ko et de ks ...............................................[Y "ente de la droite de regression lineaire de la teneur reelle en fonction de la teneur estimee..............................................................[Z ,xemple Q agouter des echantillons supplementaires ameliore la qualite de l’estimation...........................................................[Z

iv

-éostatistique linéaire. !pplication au domaine minier

2.R.2,(C,) ]$]L$O-2!"S$/0,) ............................................................. [[ /0#!5/$1 ./01 $20/$+/01 #%#,./0) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 0 1 ,)&fC, /0, L, i2$-,!-, ",0& j&2, 0&$L$). "O02 ,)&$3,2 L,) 2.),2^,) -LO]!L,) a.....................................................................6\6 ^!2$!(C, D’,P&,()$O( ..........................................................................6\G

2elation avec la variance de dispersion..................................................6\T -$),3,(& D, L$3$&,) CO((0,).............................................................6\T

Composition directe des termes.............................................................6\T Composition par termes de ligne et de tranche ......................................6\X 3!$LL, D, )O(D!-, O"&$3!L,..............................................................6\[ -$),3,(& D, L$3$&,) $(CO((0,)..........................................................666 2.R.2,(C, ]$]L$O-2!"S$/0,................................................................66G !"&/9 ....................................................................................................1 1 3 !"&/91 &/01 ,'#/'$01 (!#20 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 1 5

AVANT-PROPOS

Lors d’un cours de Géostatistique minière à l’Université de Tunis, le Professeur Sassi m’a fait part de son souhait de disposer d’un support de cours pour ses ingénieurs géologues qui soit à la fois simple d’accès, moderne et en langue française. Bien que les bases de la géostatistique linéaire aient été jetées dans les années 60 par le Professeur Georges Matheron, les seuls ouvrages généraux disponibles sur le marché datent des années 80. Les fondements de la théorie n’ont pas changé depuis. Cependant, de nombreuses études sur des gisements miniers existants ont permis de dégager de nouvelles notions applicatives fondamentales. Citons l’exploitation de la nuée variographique, les tests de qualité associés à un krigeage ainsi que l’apport de la puissance croissante des ordinateurs et de leurs capacités graphiques. Le Centre de Géostatistique de l’École des Mines de Paris a une longue tradition d’enseignement de la géostatistique, en particulier au travers du CFSG (Cycle de Formation spécialisée en Géostatistique) financé par le Ministère de l’Industrie. Ce cycle de formation d’une durée d’un an s’adresse précisément aux ingénieurs et aux géologues ayant déjà une expérience dans une entreprise minière. Pour répondre à l’appel du Professeur Sassi, nous sommes partis du support de cours en géostatistique linéaire et l’avons transformé pour aboutir au présent ouvrage. Alors que la majeure partie des livres scientifiques est publiée en anglais, le choix de la langue française pour cette monographie peut paraître curieux. Il s’explique par le fait que de nombreux utilisateurs de géostatistique minière sont francophones. Le livre est organisé de la manière suivante. Le premier chapitre montre sur des exemples pratiques les gains importants que la géostatistique peut apporter dans l’estimation des réserves. Ces gains sont obtenus en tenant compte des corrélations spatiales du phénomène observé. Les chapitres 2 à 5 présentent l’outil fondamental de mesure de ces corrélations : le variogramme avec son calcul et sa modélisation. Le chapitre 6 traite des questions de support et de régularisation pour prendre en compte les tailles des échantillons et des blocs à estimer. Les chapitres 7 et 8 utilisent alors cette modélisation pour en déduire le meilleur estimateur linéaire connu sous le nom de krigeage. Enfin, le dernier chapitre expose les approximations classiques mises en œuvre pour estimer les réserves totales. De nombreux exemples numériques ainsi que des exercices

d’application permettent d’illustrer et de comprendre en profondeur l’effet des outils géostatistiques. Ce livre s’adresse avant tout à des ingénieurs ayant une expérience en sciences de la terre voulant faire leurs premiers pas en géostatistique. Il requiert comme connaissances préalables des notions d’algèbre linéaire avec la résolution des systèmes linéaires, de probabilités élémentaires avec le calcul de la variance-covariance et la dérivation. Toutes les autres notions sont introduites au fur et à mesure de leur utilisation.

Margaret Armstrong et Jacques Carignan Octobre 1997

INTRODUCTION

RÉSUMÉ A"r$s un e*"os, -es t/"es -e "rob1$mes re1ati5s 6 17e*"1oitation mini$re que 1a g,ostatistique "eut r,sou-re: un e*ercice -7intro-uction i11ustre 1e besoin -e bons estimateurs: "articu1i$rement -ans 1e cas -7une e*"1oitation s,1ectieur im"act ,conomique sur 1es ca1cu1s -e r,ser3@ABCC

Équation A-I (Soufre pyritique, charbon) c IW,05W8eJ - 5,J7JI0I7 x AS - I,e575eIe x S# f I,eW2e2eJ x S# x (AS - S#) - 0,WIJWW856 x AS x S# x (AS - S#) f W,J5e077e x I0-e MAS x S# x (AS - S#)N2 - 2,6J728eW x I0-W MAS x S# x (AS - S#)Ne f 5,88J6e2W x I0-II x e(AS x S#) -I,e8JJ58W x I0-6 MeMAS x (AS - S#)NN f 0,0I0e6e7II MeMS# x (AS - S#)NN - I6,70J8W8 MAS x S#'e(AS x S#)N f 5,67080W7 x I0-e MAS x (AS - S#) ' eMAS x (AS - S#)NN - I,J607J08 x I0-5 MS# x (AS - S#) ' eMS# x (AS - S#)NN - 0,I0W688IJ x sin(AS x S#)e x cos(AS x S#)2 - J,5eWI88I x I0-e x sinMAS x (AS - S#)Ne x cosMAS x (AS - S#)N2 - 0,08W822We8 x sinMS# x (AS - S#)Ne x cosMS# x (AS - S#)N2 - 2,0867686 x sin(AS) - 2,IJI2W6I x sin(S#) f I,WJ66257 x sin(AS - S#) - 0,I07J8e22 x eAS - 0,050W7ee07 x eS# f 0,eI26565J x

(AS - S#)

- 0,0WJIJIJ5e x sin(ASe)

x cos(AS2) f 0,0WeW77I7I x sin(S#e) x cos(S#2) - I,8I22J88 x I0-W x sin(AS- S#)e x cos(AS - S#)2 - 2,0I70e52 x I0-W x eAS x eS# x e(AS-S#) Notations :

AS c Taux en cendre, h SU c Taux en soufre, h Zi c Soufre organique, h SP c Poids spécifique SI c Granulométrie (I - j - xek8 -inch et ek8 -inch x W8 -mesh) iZ c Type du toit (I c schiste ` 2 c ardoise ` e c grès) lE c Coordonnée E -Z, pieds SZ c Coordonnée :-S, pieds SE c Élévation de la couche, pied TU c Puissance de la couche, pied

9ONG#H#?@#I#F>G@G@#"1#F>G#H#?@C#(.#%#%2(&4#= γ>?@#A#0CD#E%F>G#H#?@#I#F>G@F>G#H#?@@#H#E%&>#F>G@@γ>?@#≈#?@#=#+%.4#0"# 0%4# 2% $%&'%R2"# &3)'(.%2'43"# "41# 0(.1'.-" *%'4# .(.# +'//3&".1'%R2"C# 0,"41ILI +'&"# *('.4# &3)-2'5&"# 6-"# >%@: 0@# ['40(.1'.-# L# 2,(&')'."# =# γ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

24

V3(41%1'41'6-"# 2'.3%'&":# W772'0%1'(.# %-# +(*%'."# *'.'"&

30?%.1'22(.4# +'41'.014# ."# 7&34".1".1# %-0-."# 0(&&32%1'(.C# 6-"22"# 6-"# 4('1# 2% +'41%.0"#6-'#2"4#437%&":#X"0'#0(.41'1-"#2"#0%4#2'*'1"#+,-."#%R4".0"# 1(1%2"# +" 41&-01-&":# X,"41# 2"# *(+52"# %+(713# '*72'0'1"*".1# 7(-&# 2,%.%2K4"# +"# 1K7" &3)&"44'(.# *-21'$%&'%R2": [%.4# +"4# %772'0%1'(.4# *'.'5&"4C# 2"4# 0%4# +"# 0(*7(&1"*".1# 7%&%R(2'6-"# L 2,(&')'."# 4(.1# &%&"4:# ["2/'."&# >;`a`@# &%77(&1"# -.# "G"*72"# "G0"22".1C# 7%&# b:J: ["2?(**"C# %-# 4-U"1# +,-.# %6-'/5&"# 7&(/(.+# +%.4# 2"# R%44'.# $"&4%.1# +" c(&?()(C# (]# 2"# .'$"%-# 7'3Y(*31&'6-"# 31%'1C# ".# "//"1C# 1&54# 0(.1'.-# "1# 2" $%&'()&%**"#%$%'1#0"1#%22-&": ANISOTROPIES !(&46-"#2"#$%&'()&%**"#"41#0%20-23#7(-
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