Exercices 2019 2020 PDF [PDF]

Zitiervorschau

Département de mécanique de l’INSA Rouen 4ème année

TD STRUCTURES COMPOSITES Benoit Vieille

2019-2020

EXERCICE 1 // Choix matériaux d’un arbre composite réalisé par enroulement filamentaire (Adapté de l’ouvrage « Composites – C. Bathias, Usine Nouvelle). L’objectif de cet exercice est de choisir les matériaux (fibre/matrice) de fabrication (cf. Tab. 1) par enroulement filamentaire d’un arbre tubulaire de diamètre extérieur = 70 , de diamètre intérieur

= 50,8

et d’une longueur

= 1,22

(cf. Fig. 1).

Le critère mécanique principal de cette pièce est la rigidité en flexion qui dépend directement du module d’élasticité longitudinal. Les critères résistance en traction monotone et sous chargement cyclique (comportement en fatigue) ne sont pas prépondérants dans cet exercice. On cherche à exprimer la résistance en flexion en fonction de la contrainte maximale admissible lors d’un essai de flexion 3 points avec une charge maximale = 890 . La flèche induite par cette charge ne doit pas dépasser ∆ = 0,33 au centre de l’arbre. On considère que l’enroulement filamentaire est circonférentiel. L’angle d’enroulement  par rapport à l’axe doit être relativement faible pour maximiser la rigidité longitudinale. On choisit ici =15°. Enfin, on impose une fraction volumique de fibres f ≤ 60%.

Fig. 1 – Représentation schématique de l’arbre composite réalisé par enroulement filamentaire.

Tab. 1 – Propriétés utiles des matériaux envisagés (fibres et résine) 1. Calculer le module d’élasticité axial de l’arbre sachant que la R.D.M. nous donne la relation suivante pour la flèche au centre de l’arbre : ∆ =

. .

.

avec =

(

−

)

2. Compte-tenu de la valeur calculée, parmi les fibres proposées dans Tab. 1, quelles fibres peuvent répondre aux exigences du cahier des charges ? 3. En utilisant la loi des mélanges parallèle (démontrée ultérieurement dans le cours), on sait que le module d’élasticité axial de l’arbre est donné par la relation : = cos( ) . ( .  + .  )

2

Pour le module d’élasticité axial de l’arbre calculé précédemment, en déduire, pour les fibres non éliminées à la question 1, les fractions volumiques de fibre  et de matrice  . Sachant que l’on impose une fraction volumique de fibres f ≤ 60%, quelle(s) fibre(s) ne convien(nen)t pas ? 4. Considérant le prix des différents matériaux (cf. Tab. 1), quelle fibre donnerait le matériau composite le moins coûteux ? Indication : calculer la masse du renfort et de la matrice pour chaque type de matériau retenu à l’issue de la question 3.

EXERCICE 2 // Fraction volumique et fraction massique de fibres Un matériau composite à renfort fibreux possède un taux volumique de fibres de Déterminer l’expression littérale du taux massique de fibres

=

volumique et des masses volumiques respectivement de la matrice = 1,77 / . Faire l’application numérique.

= 50 %.

en fonction du taux = 1,35 /

et des fibres

EXERCICE 3 // Choix d’un matériau composite Pour une application donnée utilisant un matériau composite à matrice époxy renforcé par des fibres longues, on nous propose de choisir le type de fibre : verre ou carbone. Tab. 2 résume les propriétés mécaniques de ces constituants. Constituant Epoxy Verre Carbone

E(GPa) 3 75 200

(MPa) 60 -

(MPa) 90 1800 3000

(%) 7 ? ?

Tab. 2 – Propriétés mécaniques des matériaux constituants On suppose que le comportement des fibres est élastique-fragile. Pour la pièce considérée, on constate que le composite Carbone/Epoxy avec une fraction volumique de fibres = 20% peut satisfaire le critère de rigidité imposé en traction . Cependant, une analyse des coûts révèle que le prix de la pièce en Carbone/Epoxy dépasse celui imposé par le cahier des charges. On décide alors de réaliser la pièce en Verre/Epoxy en ajustant la fraction volumique de fibres ′ pour répondre à l’exigence de rigidité en traction . 1- Quelle valeur de rigidité longitudinale en traction est recherchée ? 2- Quelle doit être la fraction volumique de fibres ′ pour obtenir cette rigidité ? 3- Des deux matériaux composites envisagés, lequel se comportera de manière purement élastique jusqu’à sa rupture ? Justifiez quantitativement votre réponse. 4- Quelle est la résistance à la traction (en MPa) du matériau composite de la question précédente ? 5- Calculez la rigidité transversale du matériau composite de la question 3.

3

EXERCICE 4 // Application pratique de la loi des mélanges série et parallèle (Adapté de l’ouvrage « Composites – C. Bathias, Usine Nouvelle). Un matériau composite à fibres longues continues est constitué d’un taux volumique de fibres de verre = 40 % et d’un taux volumique de matrice polyester = 60 %. Les fibres possèdent un module d’Young = 69 GPa, tandis que celui de la matrice est = 3,4 GPa. 1 – Déterminer le module de rigidité longitudinale

et transversale

du matériau composite.

2 – Montrer que pour une charge longitudinale, le rapport entre la charge portée par les fibres et celleportée par la matrice est tel que : = 3 – La section transversale du matériau composite est = 250 ². La contrainte longitudinale appliquée au composite est = 50 . En déduire la charge supportée par chaque phase. 4 – En déduire la contrainte puis la déformation longitudinale s’exerçant dans chaque phase. Que remarque-t-on ?

EXERCICE 5 // Comparaison de matériaux composites à matrice époxy On considère des matériaux composites UD possédant la même matrice (époxy) mais des renforts de nature différente. On se propose d’étudier différentes caractéristiques mécaniques de ces matériaux. On note la fraction volumique de fibres. Matériau Matrice époxyde Fibre de verre Fibre de carbone

Rigidité E (GPa) 3,5 70 350

(MPa) 52,5 700 700

Coef. Poisson  0,34 0,21 0,21

 (g/cm3) 1,2 2,5 1,8

Tab. 1 – Propriétés des constituants 1-

On considère que le matériau est soumis à un effort longitudinal . On note la charge supportée par les fibres, et la charge supportée par la matrice. On a : . = . (1 − ) Pour chaque type de fibre, déterminer la fraction volumique de fibres telle que les fibres supportent 90% de la charge du composite.

2-

On considère un composite verre/époxy avec une fraction volumique de matrice = 35% comme matériau de référence. a. Calculer sa rigidité longitudinale . b. En supposant que le composite casse lorsque les fibres de verre cassent, calculer sa résistance ultime en traction .

3-

On souhaite ajouter des fibres de carbone au matériau de référence pour obtenir une second matériau composite alors constitué d’une matrice époxy, de fibres de verre et de carbone, tout en conservant la fraction volumique de matrice = 35%. 4

On note

∗

résistance ultime en traction de ce second matériau.

En rappelant que ce sont les fibres de carbone qui cassent en premier, quelle est la fraction volumique minimale de fibres de carbone qui permet renforcer le matériau de référence ∗ i.e. de vérifier que : > ? 4-

Quelle est la fraction volumique de fibres de carbone que l’on doit ajouter au matériau de nd référence pour obtenir un 2 matériau composite dont la rigidité longitudinale ∗ est le double de ?

5-

Pour cette valeur de matériau composite.

6-

Calculer la résistance ultime en traction du second matériau correspondant à . Quelle est l’influence de la fibre de carbone sur la résistance en traction par rapport à celle du matériau de référence (cf. question 2) ?

, calculer la réduction de densité entre le matériau de référence et le 2 nd

EXERCICE 6 // Détermination des propriétés élastiques d’un composite unidirectionnel Pour déterminer les propriétés élastiques dans le plan d’un composite unidirectionnel, on doit réaliser 3 essais de traction de traction : (a), (b) et (c) (cf. Fig. 2). On note la force appliquée (valeur spécifique pour chaque essai) et la section de l’éprouvette. On appelle (0, X,Y) le repère d’orthotropie et (0, , ) le repère de l’éprouvette.

Fig. 2 – Caractérisation expérimentale des propriétés élastiques d’un UD 1- L’essai (a) donne trois informations : la contrainte longitudinale appliquée longitudinale (1 jauge), la déformation transversale (1 jauge) . A partir de ces informations, donner les expressions de et .

, la déformation

2- L’essai (b) donne deux informations : la contrainte transversale appliquée transversale (1 jauge). Donner l’expression de .

et la déformation

3- L’essai (c) donne trois informations : la contrainte appliquée , la déformation axiale (jauge) et la déformation latérale (jauge non représentée dans la direction ). 5

On sait que  XY  G XY . XY où  XY  2. XY . Afin de pouvoir calculer G XY , on utilise des changements de repère tels que :

 xy

  x  c 2 s 2  2 sc      2   y   s c2 2 sc  XY   xy   cs  cs c 2  s 2   

 xy

    x  c 2      y s 2   xy   cs  2 

 2 sc   2 2 sc  XY  c  cs c 2  s 2  s2

Avec c  cos  et s  sin  . T  et contraintes et en déformations. Déterminer la relation entre  XY , et . Déterminer la relation entre  XY ,

et

En déduire G XY en fonction de ,

,

T 

T 

1

 X     Y   XY 

  X 1   Y  XY  2

T 

     

représentent les matrices de passage en

. et

.

EXERCICE 7 // Relations contrainte-déformation en contraintes planes (Adapté de l’ouvrage « Matériaux composites », J.M. Berthelot, Edts Tec&Doc). Une couche unidirectionnelle est soumise dans le repère ( , ) à l’état de déformations suivant (cf. Fig. 3): 10 = −5. 10 2. 10 La direction des fibres fait un angle du matériau sont : = 40 ,

= 30° avec la direction . Les propriétés mécaniques en rigidité = 10 , = 4,5 et = 0,32

Fig. 3 – Pli UD sollicité hors-axes principaux d’orthotropie Etat de contraintes planes On considère que la couche est dans un état de contraintes planes. On rappelle que le repère ( , ) représente le repère d’orthotropie de la couche. 6

1 – Déterminer les contraintes

dans le repère ( , ).

2 – Déterminer les contraintes dans le repère d’orthotropie ( , ).

EXERCICE 8 // Application des critères de la contrainte et de la déformation maximale On considère un pli élémentaire UD soumis à un chargement de traction hors-axes principaux d’orthotropie dans la direction (cf. Fig. 5). On suppose que le comportement mécanique de ce matériau composite est élastique jusqu’à la rupture.

Fig. 5 – Pli élémentaire soumis à une contrainte de traction. On cherche dans un premier temps les conditions sur la contrainte maximale que doit vérifier éviter la rupture du pli en fonction de l’angle . 1- Pour ce chargement, rappeler la relation qui relie les contraintes du pli élémentaire aux contraintes

pour

dans le repère d’orthotropie

dans le repère de l’éprouvette.

2- Pour = 100 et =60°, appliquer le critère de la contrainte maximale dans le cas d’un composite verre/époxy. La valeur obtenue pour = 100 est-elle compatible avec le graphique suivant ? . Déterminer la valeur de la contrainte maximale admissible 3- Pour = 100 et =60°, appliquer le critère de Tsai-Hill. . Déterminer la valeur de la contrainte maximale admissible . Comparer cette valeur à celle obtenue dans la question 2.

7

Fig. 6 – Evolution des zones de rupture en fonction de l’angle d’orientation des fibres dans un UD verre/époxy : (a) critère de la contrainte maximale – (b) critère de la déformation maximale

Tab. 3 – Propriétés mécaniques du pli élémentaire (dans les axes principaux d’orthotropie) de matériaux composites UD

EXERCICE 9 // Application CLT au dimensionnement d’une plaque multicouches (Adapté du cours de J.J. Barreau – Calcul de structures en matériaux composites). On souhaite vérifier la résistance d’une plaque stratifiée composée de 4 plis UD de fibre de carbone et de résine époxyde. Les plis ont la même épaisseur b. La séquence d’empilement du stratifié est [0°/90°/90°/0°] (cf. Fig. 7).

Fig. 7 – Plaque stratifié à 4 plis [0°/90°/90°/0°] [BAR]

8

Caractéristiques du pli élémentaire dans le repère d’orthotropie : Le pli élémentaire UD carbone/époxy est caractérisé par les grandeurs suivantes : Rigidité :

E X  140 GPa, EY  5 GPa, G XY  5 Gpa et  XY  0,35

Résistance :

X t  1200 Mpa, X c  1000 Mpa, Yc  50 Mpa, Yt  120 Mpa Q  65 Mpa

Epaisseur d’un pli : b  2 mm Dimensions de la plaque : L  1 m et l  1 m

Problème : On souhaite déterminer les contraintes dans chaque pli afin de déterminer la résistance de cette plaque sollicitée en traction par une contrainte  x  100 MPa. Résolution : Pour répondre à la question posée, le calcul se décompose en plusieurs étapes : 1

– Donner l’expression de la matrice de rigidité dans le repère d’orthotropie.

2

– Donner l’expression de la matrice de rigidité dans le repère de la plaque

3

– Donner l’expression de la matrice de rigidité équivalente en membrane En déduire les déformations dans le plan moyen dans le repère de la plaque :

4

– Donner l’expression des contraintes dans chaque pli du stratifié.

5

– Appliquer le critère de résistance de Hill à chaque pli. En déduire la contrainte maximale admissible en traction.

6

– Déterminer les propriétés mécaniques du stratifié orthotrope équivalent

EXERCICE 10 // Contraintes résiduelles de cuisson (Adapté du cours de J.J. Barreau – Calcul de structures en matériaux composites). Les plaques composites stratifiées sont obtenues par compression à chaud de plis pré-imprégnés de résine. L’action de la chaleur vise à ramollir la résine (pour obtenir une bonne cohésion entre plis) et à assurer la cuisson (polymérisation) par durcissement de la résine. Ainsi, lors d’une élévation uniforme de la température, il apparaît un champ de contraintes à l’intérieur des plaques stratifiées. Ce champ provient de la différence des coefficients de dilatation thermique. A l’état libre de contraintes (après la compression), quand la température est ramenée à l’ambiante, ce champ de contraintes internes persiste : ce sont les contraintes résiduelles de cuisson. Ce problème se pose pour les composites à matrice thermodurcissable. Le but de cet exercice est d’évaluer les contraintes résiduelles de cuisson dans une plaque composite constituée de trois plis UD de carbone époxy (cf. Fig. 8).

9

Fig. 8 – Plaque stratifiée à 3 plis [0°/90°/0°] Hypothèses :  En accord avec la théorie simplifiée des stratifiés, on suppose un état de contraintes résiduelles de cuisson planes.  Au moment où la résine polymérise, on considère, en première approximation, que chaque pli est figé dans l’état où il se trouve à cet instant. On note la température de polymérisation, température à laquelle les contraintes dans la plaque peuvent être considérées comme nulles. Caractéristiques du stratifié : Le pli UD possède une épaisseur b=1mm. Il est caractérisé par les propriétés suivantes : -

= = = ,

et  = − , . et  = , . et =

° °

(Coefficient de dilatation thermique longitudinal) (Coefficient de dilatation thermique transversal)

Le pli supérieur (s) et le pli inférieur (i) sont orientés à 0° tandis que le pli médian (m) est orienté à 90°. Pour chaque pli, la restriction au plan de la matrice de dilatation thermique est donnée dans le repère de la plaque (O, x, y, z) par : [ ] =[ ] =

0

et [ ]

=

0

La température de polymérisation est = ° . On veut déterminer les contraintes résiduelles de cuisson dans cette plaque à la température ambiante = ° . 1–

Donner l’expression littérale de la matrice de rigidité de chaque pli p Q  dans le repère de la p

plaque (O, x, y, z). Pour simplifier l’expression, on utilisera la notation suivante : La matrice de souplesse S  étant symétrique, donner l’expression de

=

.

. Faire l’application

numérique. 2–

En déduire l’expression littérale de la matrice de rigidité équivalente en membrane A dans le repère de la plaque. Faire l’application numérique.

3–

A partir de la théorie simplifiée des stratifiés, on obtient les efforts moyens dans la plaque tels que (relation à ne pas démontrer) :

10

  x0  N x   k1   0    N    N y   A   y   B  k 2   C Ta  T p  2 xy0   T  k 6  xy   xy Où : 

C      p h p  h p 1  est le vecteur de dilatation équivalent de la plaque. 3

p 1

 

   Q  p   p  p est la restriction au plan de la matrice de dilatation thermique du pli p. p

Déterminer l’expression des vecteurs   . En déduire C  . Application numérique. p

4–

La plaque se trouve à l’état libre de contraintes extérieures. Quelle est la conséquence sur

N  ?

Pour les plaques présentant la symétrie miroir, la matrice de couplage membrane-

 

flexion B   0 , en déduire la relation donnant e 0

xy

  x0       y0  en fonction de A , C  , Ta et 2 xy0    xy

T p . Faire l’application numérique.

5–

 xp    0 A partir de e xy , déduire les contraintes résiduelles dans chaque pli  yp   xyp   

 

exprimées dans xy

le repère de la plaque. Faire l’application numérique.

EXERCICE 11 // Application CLT au dimensionnement d’un tube mince stratifié (Adapté du cours de J.J. Barreau – Calcul de structures en matériaux composites). On considère un tube mince stratifié de rayon R=50 mm composé de plis UD orientés dans les directions 0°, 90° et +/- 45° (cf. Fig. 9). Ce tube est soumis à un effort normal N=300000 N et à un moment de torsion Mt=15000 N.m. On souhaite dimensionner ce tube à partir de plis UD de type carbone/époxy dont les propriétés mécaniques sont les mêmes que celles de l’exercice 9. Les plis ont une épaisseur b constante et égale à 0,16mm.

Fig. 9 – Tube stratifié sollicité en traction et torsion [BAR] 11

Problème : On souhaite déterminer la séquence d’empilement du tube stratifié de sorte que le tube résiste aux sollicitations imposées. Cela signifie qu’il faut déterminer l’orientation, le nombre et la position des plis dans le stratifié mais également l’épaisseur totale du stratifié t. Résolution : Pour répondre aux questions posées, le calcul se décompose en plusieurs étapes : 1

– Calculer les flux de contraintes normales et tangentielles (La RDM permet de définir les flux de contraintes (forces linéiques) respectifs dus à l’effort normal et au moment de torsion).

2

– Détermination de l’orientation des fibres dans chaque pli En fonction des directions d’application des contraintes au stratifié, il est essentiel d’orienter les fibres afin d’obtenir une résistance optimale. Ainsi :  Pour une résistance optimale du stratifié soumis à des contraintes normales dans les directions x et y , on oriente les fibres à 0° et à 90°.  Pour une résistance optimale du stratifié soumis à des contraintes de cisaillement, on oriente les fibres à +/- 45°.  Pour une résistance optimale du stratifié soumis à des contraintes multiaxiales (i.e. combinaison de sollicitations élémentaires), on oriente les fibres à 0°, 90° et +/- 45°. Afin de déterminer la proportion de plis orientés dans chaque direction, on utilise les flux de contraintes associés aux sollicitations dans le plan (  x ,  y et  xy ) et définis par :

q xx   xx .t q yy   yy .t q xy   xy .t 3

– Calculer les contraintes dans chaque pli.

4

– Appliquer le critère de résistance de Hill à chaque pli. En déduire l’épaisseur totale du stratifié t  1 mm pour obtenir un tube stratifié résistant à l’effort de traction et au moment de torsion appliqués.

5

– Déterminer le nombre de plis par orientation. En déduire la séquence d’empilement du stratifié.

12