Ecuatia Dreptei [PDF]

Zitiervorschau

ECUAŢIA DREPTEI ÎN PLAN Fie punctele A  u; v  si B  p; q  să se afle locul geometric al punctelor M din plan pentru care AM  MB . Rezolvare.

Notăm cu M  x; y  pentru care avem relaţia AM  MB 2   y  v   2 2 BM   x  p    y  q     AM  BM  

AM 



 x  u

 x  u

2

2

 x  u

2

  y  v  2

 x  p

2

  y  q

2



  y  v   x  p   y  q  2

2

x 2  2ux  u 2  y 2  2vy  v 2  x 2  2 px  p 2  y 2  2qy  q 2 2ux  u 2  2vy  v 2  2 px  p 2  2qy  q 2  0 2  p  u  x  2  q  v  y  u 2  v2  p2  q2  0 2 p  u  a   Notãm cu : 2 q  v  b   ax  by  c  0 este o ecuatie de gradul I cu dou[ necunoscute. 2 2 2 2 u  v  p  q  c 

unde x si y sunt coordonatele punctului variabil M  x; y  situat la egală depărtare de punctele

A si B . Rezultă că toate punctele M  x; y  ale căror coordonate verifică ecuaţia ax  by  c  0 , formează locul cerut. Dar se cunoaşte din geometria plană că locul punctelor egal

depărtate de două puncte fixe A si B este mediatoarea segmentului  AB  adică o dreaptă. Deci d   M  x; y  / ax  by  c  0

Probleme rezolvate. 1).Să se arate că punctele A  5;1 , B  4;1 , C  3; 2  , D  5;7  , E  5; 2  se află pe dreapta reprezentată de ecuaţia 3x  y  13  0 , adică d   M  x; y  / 3x  y  13  0 . Rezolvare 1

pentru A  5;1 , x si y sunt înlocuite în ecuatia 3 x - y  13  0 cu 5 respectiv 1 3  5  1  13  0  15  1  13  0  1  0 nu verifica  A  d pentru B  4;1 , x si y sunt înlocuite în ecuatia 3 x - y  13  0 cu  4 respectiv 1 3   4   1  13  0   12  1  13  0  0  0 verifica  B  d pentru C  3; 2  , x si y sunt înlocuite în ecuatia 3 x - y  13  0 cu 3 respectiv 2 3  3  2  13  0  9  2  13  0  20  0 nu verifica  C  d pentru D  5;7  , x si y sunt înlocuite în ecuatia 3 x - y  13  0 cu 5 respectiv 7 3  5  7  13  0  15  7  13  0  21  0 nu verifica  D  d pentru E  5; 2  , x si y sunt înlocuite în ecuatia 3 x - y  13  0 cu  5 respectiv 2 3   5   2  13  0   15  2  13  0   4  0 nu verifica  E  d

2). Să se verifice dacă dreapta d : 3 x  4 y  11  0 trece prin punctele 1  A  3;5 , B  ; 1 , C  2; 4  , D  1; 2  . 2  Rezolvare A  3;5  ,3  3  4  5  11  0  9  20  11  0  0  0  d trece prin punctul A    B  1 ; 1 ,3  1  4   1    11  0  3  4  11  0  33  0  d nu trece prin punctul B   2 2  2  2  C  2; 4  ,3  2  4   4   11  0  6+20  11  0  37  0  d nu trece prin punctul C  D  1; 2  ,3   1  4  2  11  0   3  8  11  0  0  0  d trece prin punctul D  1). Dacă

Discuţie la ecuaţia dreptei. a  b  c  0  0 x  0 y  0  0  Orice punct M  planului, coordonatele lui

verificã ecuatia drerptei  d    plan  2). Dacă a  b  0  c  0 x  0 y  c  0  c  0 egalitate falsã.  d   3). Dacă c c   c   a  0  b  c  by  c  0  y       M  x;    d  M  x;   / by  c  0  b b b      d Ox 4). Dacă c   c   a  c  b  0  ax  c  0  x    d   M   ; y  / ax  c  0  a   a    d Oy Dacă

a  b  c  0  ax  by  0  originea axelor O  d   M  x; y  / ax  by  0

 d trece prin originea reperului. Echivalenţa ecuaţiilor

ax  by  c  0  y  mx  n unde m   ax  by  0

a c si n   b b

 y  mx

2

ax  c  0 by  c  0

c a c  y  n unde n   b Cum arată graficele acestor ecuaţii.

 x  p unde p  

y  mx  n  m 

Din

yn cine este m ? x

3

Exerciţii rezolvate. 1).Să se găsească coeficienţii unghiulari ai dreptelor: d1 : x  y  5  0; d 2 : 6 x  3 y  7  0 d3 : 3x  2 y  1  0 Rezolvare a Folosim formula că m   b 1 6 3 m1    1; m2    2; m3   1 3 2 0 0 0 2). Să se găsească ecuaţiile dreptelor care fac cu axa Ox unghiurile de: 30 , 45 , 135 . Răspuns. Se foloseşte formula: m  tg m1  tg 300 

3 ; m2  tg 450  1; tg1350  tg  1800  1350   tg 450  1 3

3). Să se deseneze graficul următoarelor drepe: d1 : y  x, d 2 : y  2 x, d 3 : y 

1 x 2

d 4 : y  2 x  3, d5 : 2 x  3 y  4  0, d 6 : 3 x  2  0, d 7 : 3 y  5  0 Rezolvare. Pentru reprezenarea grafică a unei drepte sunt suficiente două puncte care aparţin dreptei care se reprezintă în plan şi apoi prin cele două puncte trece o singură dreaptă. d1 : y  x un punct este originea reperului O  0;0  . Un alt punct se găseşte astfel: se dă arbitrar variabilei x o valoare x  2  y  2  A  2; 2 

d 2 : y  2 x,

un punct este originea reperului O  0;0  . Un alt punct se găseşte astfel: se dă arbitrar variabilei x o valoare x  1  y  2  A  1; 2  Un punct este originea reperului O  0;0  . Un 1 x alt punct se găseşte astfel: se dă arbitrar 2 variabilei x o valoare x  2  y  1  A  2;1 d3 : y 

4

d 4 : y  2 x  3, Se caută două puncte ale dreptei. De obiceiu se găsesc puncte ale dreptei unde taie 3 x0 2x  3  0  x     3  2   B  ;0  axele.   A  0;3 , y  2  0  3  3 2   y0

d5 : 2 x  3 y  4  0, Se caută două puncte ale dreptei. De obiceiu se găsesc puncte ale dreptei x0

unde taie axele.

  4  20  3y  4  0  y    3

4  2x  3  0  4  0  x  2  A  0;   ,   B  2;0  y0 3  

d 6 : 3 x  2  0 aici dreapta se mai scrie d6 : x  

2 3

se fixvaloarea lui x pe axa Ox Şi dreapta

trece prin Oy

punctul fixat pe Ox şi este paralelă cu axa

5

d 7 : 3 y  5  0 este paralelă cu axa Ox. Deci y 

5 valoare care se fixează pe axa Oy şi se duce prin 3

acest punct o paralelă la axa Ox

Condiţia de paralelism a dreptelor din plan

Dacă dreptele d1  d 2      tg  tg  m1  m2 a1  a  b1   m1   1  d1 : a1 x  b1 y  c1  0  b1  a2  a1 a2  Dacă dreptele au ecuaţiile:    m2     d 2 : a2 x  b2 y  c2  0  a2  b2  b1 b2 m2   b2  m1  m2    Exerciţii rezolvate. 1).Se dau dreptele d1 : 2 x  3 y  8  0, d 2 : 4 x  6 y  10  0; Să se arate că sunt paralele. Rezolvare. a1 a2 2 3 1 1      d1  d 2 Folosim formula :  b1 b2 4 6 2 2 m1  

2). Să se afle ecuaţia drepte care trece prin punctul M  2; 3 paralelă cu dreapta d : 3x  2 y  2  0

Rezolvare. Dreapta căutată va avea acelaşi coeficient unghiular a 3 3  ca şi paralela sa, adică m     b 2 2 6

Ecuaţia generală a dreptei este: y  mx  n şi punctul prin care trece M  2; 3 , coordonatele lui trebuie să verifice ecuaţia: M  2, 3   3 y  mx  n    3   2  n   3  3  n  n   6 2 3  m  2 Acum înlocuim în ecuaţia generală pe m si n rezultă ecuaţia dreptei căutate: 3 y  x6 2 Dacă avem:

d1 : y  m1 x  n1 d 2 : y  m2 x  n2

În cazul că avem a1 a2   b1 b2   c1 c2   b1 b2 

şi dacă

d1 : a1 x  b1 y  c1  0 d 2 : a2 x  b2 y  c2  0

m1  m2    d1  d 2 ecuaţiile reprezintă aceiaşi dreaptă. n1  n2  condiţiile devin

a1 b1   a2 b2  a1 b1 c1    d1  d 2  b1 c1  a2 b2 c2  b2 c2 

3). Pentru ce valori ale parametrilor  si t cele două ecuaţii 12 x  ty    0,  x  5 y  3  0 reprezintă aceiaşi dreaptă. Rezolvare.

Folosim formula:

a1 b1 c1   a2 b2 c2

12     6    2  36  12 t       6  3     din  5  6     5   t   5 3 t  t  t  10   3  3  5 3 

ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI UN VECTOR Fie a  u; v  si M  x0 ; y0  şi se cere ecuaţia dreptei care trece prin punct şi are direcţi vectorului dat. Fie M  d  M 0 M   a            r  r0   a  r  r0   a M 0 M  r  r0  Ecuaţia vectorială a dreptei o transpunem analitic:       xi  yj  x0 i  y9 j    ui  vj            xi  yj  x0i  y9 j  ui   vj  xi  yj   x0  u  i   y0   v  j   x  x0  u   ecuaţiile parametrice ale dreptei d.  y  y0   v

7

x  x0   x  x0 y  y0  u = Se mai poate transcrie şi sub altă formă:   y  y0 u v    v dreptei d . Cazuri particulare

ecuaţia carteziană a

y  y0 v y  y0  dar  m  tg  y  y0  m  x  x0  x  x0 u x  x0

1)- Dacă u  0  2). Dacă u  0 din

x  x0    u    x  x0  d Oy y  y0    v 

3). Dacă v  0 din

x  x0    u    y  y0  d Ox y  y0    v 

4). Dacă x0  0 din

x  x0    u    x  0  d  Oy y  y0    v 

5). Dacă y0  0 din

x  x0    u    y  0  d  Ox y  y0    v  Exerciţii rezolvate.

1). Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin M  x0 ; y0  şi face unghiul  cu axa Ox. M 0  3;1 si   300 M 0  2; 3 si   450 M 0  0;0  si   1350 M 0  2;5  si  

7 6 Rezolvare.

Se foloseşte ecuaţia: y  y0  m  x  x0 

3 3   x  3  3 y  3  3 x  3 3  3 x  3 y  3 3  1  0 3   y 1  3  M 0  3;1  0 0   45  tg 45  1   y  3  1 x  2   y  3  x  2  x  y  5  0 M 0  2; 3  0 0   135  tg135  1   y  x  x  y  0 M 0  0;0   7 7    tg  3 6 6   y  5  3  x  2  y  5  3  x  2 3  3  x  y  5  2 3  0  M 0  2;5   2). Să se scrie ecuaţia dreptei deteminată de un punct şi un vector

  300  tg 300 



8



M  1; 2  si a  1; 2  M  3; 5  si a  2;1 M  1;0  si a  3; 4  M  2;5  si a  0;3 M  5; 2  si a  3;0  M  2; 3 si a  1; 2  Rezolvare x  x0 y  y0  Folosim ecuaţia: u v

M  1; 2   x 1 y  2   2x  2  3 y  6  2x  3 y  8  0  a  3; 2   3 2 M  3; 5  x 3 y 5   x  3  2 y  10  0  x  2 y  7  0  a  2;1  2 1 M  1;0   x 1 y   4x  4  3 y  4 x  3 y  4  0  a  3; 4   3 4 M  2;5   x 2 y 5   y  5  0  y  5  d Ox  a  0;3  0 3 M  5; 2   x5 y2   x  5  0  x  5  d Oy  a  3; 0   3 0 M  2; 3  x2 y3    2x  4   y  3  2x  y  1  0  a  1; 2   1 2 ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE DOUĂ PUNCTE. Două puncte determină o singură dreaptă. Fie A  x1 ; y1  si B  x2 ; y2  şi deci trece dreapta AB . Pentru a găsi ecuaţia carteziană a acestei  drepte vom considera că este determinată de de punctul A  x1 ; y1  şi vectorul AB  x2  x1 ; y2  y1  . M  x; y   d  AB Ecuaţia   vectorială  o traducem analitic:   xi  yj  x1i  y1 j    x2  x1  i    y2  y1  j

    xi  yj   x1    x2  x1   i   y1    y2  y1   j

9

     x  x1    x2  x1  xi  yj   x1    x2  x1   i   y1    y2  y1   j   ecuaţiile parametrice  y  y1    y2  y1  ale dreptei AB. x  x1   x x  x  x1    x2  x1  x  x1 y  y1  Din   2 1  ecuaţia carteziană a dreptei  y  y1 x2  x1 y2  y1  y  y1    y2  y1     y2  y1 d  AB . Se mai poate scri ;i sub form[ de determinant x  x1 y  y1 din    x  x1   y2  y1    y  y1   x2  x1   x2  x1 y2  y1   xy2  xy1  x1 y2  x1 y1  x2 y  x2 y1  x1 y  x1 y1  0 x  y1  y2   y  x1  x2   x1 y2  x2 y1  0  x  y1 1  y2 1  y  x1 1  x2 1  x1 y2  x2 y1  0  y 1 x 1 x1  x 1 y 1  y2 1 x2 1 x2

y1 0  y2

x x1 x2

y 1 y1 1  0 y2 1

Exerciţii reyolvate. 1). Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin două puncte. A  3; 2  si B  1;5  A  1; 1 si B  1;0  A  3;0  si B  0;5  A  a  2b;3 si B  b  3a; b  a  Rezolvare x

y 1

A  3; 2    3 2 1 0  B  1;5   1 5 1

 2 x  y  15   2  3 y  5   0

x y 1 A  1; 1    1 1 1  0  B  1;0   1 0 1

  x  y  0    1  y  0   0

x y 1 A  3; 0     3 0 1  0  B  0;5   0 5 1

 0  y  15   0  3 y  5  0

 2 x  2 y  12  0  x  y  6  0

  x  1  0  x 1  0

 4 y  20  0   y  5  0

A  a  2b;3  x  x1 y  y1 x  a  2b y 3 x  a  2b y 3        B  b  3a; b  a   x2  x1 y2  y1 4 a  b ba3  b  3a    a  2b  b  a  3   x  a  2b   b  a  3   y  3  4a  b    b  a  3 x   a  2b   a  b  3    4a  b  y  3  4a  b     b  a  3 x   4a  b  y   a 2 - 2b 2  ab - 9a  3b  =0 

10

ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI PERPENDICULARĂ PE UN VECTOR DAT.

  Fie M  x; y   d şi n  a; b  , n  d  M 0 M    M 0 M  r  r0         r  r0   n  0 o traducem analitic  M 0 M  n  0 

 x  x0  a   y  y0  b  0 ax  by  ax0  by0  0 si notãm cu c  ax0  by0 vom avea ax  by  c  0 ecuaţia drepteu d  Unde n  a; b 

Condiţia de perpendicularitate a două drepte.  d1 : a1 x  b1 y  c1  0 Fie dreptele  şi d1  d 2  d 2 : a2 x  b2 y  c2  0   n1  a1 ; b1   d1 si n2  a2 ; b2   d 2

 n1  d1        Fie n2  d 2   n1  n2  n1`  n2  0  a1a2  b1b2  0 d1  d 2   a  a  aa  a1a2  b1b2 :b1b2  1 2  1    1   2   1 b1b2  b1  b2    a1  a2        1   b1  b2    m  m  1 condiţia de perpendicularitate. ca d  d . Din 1 2 1 2 a1 a2  m1   si m2    b1 b2  Exerciţii rezolvate 1). Să se verifice dacă cele două drepte d1 : 2 x  3 y  6  0, d 2 : 3 x  2 y  5  0 sunt perpendiculare. Rezolvare Folosim condiţia: a1a2  b1b2  0  2  3   3  2  0  6  6  0  0  0 verificã  d1  d 2 2). Să se găsească ecuaţia dreptei care trece prin punctul M  2 : 3 şi este perpendiculară pe dreapta d : 7x  4 y  3  0 Rezolvare. Folosim ecuaţia y  y0  m  x  x0  - calculăm coeficientul unghiular al dreptei d : 7 x  4 y  3  0 a 7 7 7  ; m  . Notăm cu d  dreapta care este m     b 4 4 4 11

căutată. şi notăm coeficientul unghiular al acesteia cu m . Din condiţia de perpendicularitate avem: 7 4 m  m  1  m   1  m   4 7 M  2; 3   4 4  m   Avem   y  3    x  2   7 y  21  4 x  8  0  d  : 4 x  7 y  13  0 7 7  y  y0  m  x  x0   3). Să se afle ecuaţia perpendicularei coborâtă din punctul M  1; 2  pe dreapta ce trece prin punctele A  4;6  , B  4; 1

Rezolvare

-

y2  y1 1  6 7   x2  x1 44 8 Notăm dreapta d  AB şi notăm coeficientul unghiular al ei cu md şi din condiţia de 1 1 8 md  mAB  1  md     7 7 perpendicularitate avem mAB  8 M  1; 2    8 8  Din md    y  2   x  1  7 y  14  8 x  8  8 x  7 y  22  0 7 7  y  y0  md  x  x0   - Calculăm coeficientul unghiular al dreptei AB : mAB 

4). Să se afle ecuaţia perpendicularei pe dreapta d : 2 x  3 y  7  0 şi care trece prin mijlocul segmentului din dreapta dată cuprins între axele de coordonate.

Rezolvare.

- Găsim punctele unde dreapta taie axele de cooronate: x0 x0     2 x  3 y  7  0  3 y  7  0 

 7 A  0;   3

2 x  3 y  7  0 2 x  7  0  7     B   ;0  y0 y0   2  

- Calculăm coordonatele mijlocului M  x; y  al segmentului AB .

12

7  x1  x2 0  2 7 x     7 7 2 2 4  M  ;  7  4 6  0 y1  y2 3 7 y   2 2 6  - calculăm coeficientul unghiular al dreptei d a 2 2 md      b 3 3 - calculăm coeficientul unghiular al perpendicularei d   d 1 1 3 mmd  1  m     2 md 2 3  d - Aflăm ecuaţia perpendicularei Din  7 7  M  ;    4 6  7 3 7 63   24 y  28  36 x  63 3   y     x    6y  7  9 x  md   6 2 4 4    2  y  y0  m  x  x0    36 x  24 y  91  0 5). Se dau punctele A  2;5  , M  1;3 , N  4;1 se cere: a ). Ecuaţia drepte ce trece prin punctul A şi este paralelă cu dreapta MN b). Ecuaţia înălţimii triunghiului AMN dusă din A pe MN Rezolvare. a ). Coeficientul dreptei MN . y  y 1 3 2 mMN  2 1   x2  x1 4  1 5 - Ecuaţia paralelei la MN

A  2;5    2 2  m   y  5    x  2   5 y  25  2 x  4  2 x  5 y  29  0 5 5  y  y0  m  x  x0   b). Coeficiendul lui MN este deja calculat mMN   Coeficientul înălţimii dusă din A pe MN 13

2 5

Din condiţia de perpendicularitate

m  mMN  1  m  

1 1 5   2 2 mMN  5

- Ecuaţia înălţimii A  2;5   5 5  m   y  5   x  2   2y  10  5 x  10  5 x  2 y  0 2 2   y  y0  m  x  x0   REUNIUNEA ŞI INTERSECŢIA A DOUĂ DREPTE d1 : ax1  by1  c1  0 Poziţiile relative a două drepte din plan sunt : d 2 : ax2  by2  c2  0

sau d1  d 2   Reuniunea a două drepte d1  d 2 d1 : ax1  by1  c1  0  Fie dreptele :   d1  d 2   ax1  by1  c1    ax2  by2  c2   0 d 2 : ax2  by2  c2  0 Demonstraţie Fie    M  x; y  /  a1 x  b1 y  c1   a2 x  b2 y  c2   0 Dacă punctul

M 0  x0 ; y0   d1  d 2  M 0  d1 sau M 0  d 2  a1 x0  b1 y0  c1  0  a2 x0  b2 y0  c2  0





a1 x0  b1 y0  c1   a2 x0  b2 y0  c2   0 deci d1  d 2  

daca M  x0 ; y0    



a1 x0  b1 y0  c1   a2 x0  b2 y0  c2   0  a1 x0  b1 y0  c1  0 sau a x0  b2 y0  c2  0 2

 M  x0 ; y0   d1 sau M  x0 ; y0   d 2  M  x0 ; y0   d1  d 2    d1  d 2 Cum avem

d1  d 2      d1  d 2    M  x; y /  a1 x  b1 y  c1   a2 x  b2 y  c2   0    d1  d 2 



Exerciţii rezolvate. 14



2 2 1). Să se arăte că mulţimea A   M  x; y  / 2 x  yx  3 y  0 este reuniunea a două drepte. Rezolvare.

  3   3  2 2  2 2 y  y  24 y y  5 y  x  y   2 x  yx  3 y  2  x  y   x  y  2  x1,2     2  4 4  x   y   2 2 2 x  yx  3 y  0   2 x  3 y   x  y   0  d1  d 2   M  x; y  /  2 x  3 y   x  y   0 2 x 2  yx  3 y 2  0

unde d1 : 2 x  3 y  0, d 2 : x  y  0

2 2 2). Să se arăte că mulţimea B   M  x; y  / 3 x  4 yx  5 y  0 nu este reuniunea a două drepte. Rezolvare. 2 2 3x  4 yx  5 y  0

2   x1   3 y  iy   2 y  4 y 2  15 y 2 2 y  9 y 2 2 y  3iy  x1,2     2 x   y  iy   3 3 3 2  3   2   3x 2  4 xy  5 y 2   3 x  2 y  iy   x  y  iy  3   2    3x 2  4 xy  5 y 2  0   3 x  2 y  iy   x  y  iy  =0  3     d1: 3 x  2 y  iy  0 nu reprezintã o dreaptã   NU reprezintã d1  d 2  2  d 2 : x  y  iy  0 nu reprezintã o dreaptã 3  2 2 Totuşi M  0;0  verifica ecuatia 3 x  4 xy  5 y  0  B   M  0;0   2 3). Mulţimea C   M  x; y  / 3 x  5 xy  0 reprezintă o reuniune? Rezolvare 2 3x  5 yx  0  x  3 x  5 y   0

2 x 2  yx  3 y 2  x  3 x  5 y  2 x 2  yx  3 y 2  0  x  3 x  5 y   0  d1  d 2   M  x; y  / x  3 x  5 y   d1 : x  0

 axa Ox 

d 2 : 3x  5 y  0 Intersactia a douã drepte : d1  d 2

Fie dreptele : Demonstraţie. Dacă M  x0 ; y0   d1  d 2  a1x0  b1 y0  c1  0 si a2 x0  b2 y0  c2  0  ax1  by1  c1  0 Adică M  x0 ; y0  este soluţia sistemului   ax2  by2  c2  0 15

De aceea intersecţia a două drepte se mai notează şi

 ax  by1  c1  0 d1  d 2 :  1  ax2  by2  c2  0

Acest sistem poate fi : 1).compatibil determinat Sistemul are o singură soluţie. dacă determinantul coeficienţilor a b a b   1 1  0  a1b2  a2b1  0  1  1  d1  d 2   În acest caz cele două drepte a2 b2 a2 b2 sunt secante. 2).incompatibil istemul nu are nici-o soluţie. dacă determinantul coeficienţilor a b a b   1 1  0  a1b2  a2b1  0  1  1  d1  d 2   În acest caz cele două drepte a2 b2 a2 b2 sunt paralele. 3). Compatibil nedeterminat sistemul are o infinitate de soluţii. dacă determinantii:  a b a b  1 1  0  a1b2  a2b1  0  1  1  a2 b2 a2 b2  c b c b  a b c   x  1 1  0  c1b2  c2b1  0  1  1   1  1  1 c2 b2 c2 b2  a2 b2 c2 a c a c   y  1 1  0  a1c2  a2 c1  0  1  1  a2 c2 a2 c2   d1  d 2  d1  d 2 dreptele sunt egale. Exerciţii rezolvate. 1). Să se afle coordonatele piciorului perpendicularei coborâtă din punctul A  1; 2  pe dreapta d : 3 x  5 y  21  0 Reyolvare. a 3 3 1 1 5 md      ; d   d si din md  md   1  md      3 b 5 5 md 3 5  Ecuaţia perpendicularei d 5 d  : y  y0  md   x  x0   d  : y  2    x  1  d  : 3 y  6  5 x  5 3 d  : 5x  3 y  1  0 - coordonatele piciorului perpendicularei

16

-

3 x  5 y  21  0 d  d:   5x  3 y 1  0  3 5  9  25  34   5 3  68   x x  2   3 x  5 y  21 21  5     34   d d :   x   63  5  68   1 3  5x  3 y  1   y   y   102  3    34 3 21  y   3  105  102 5 1  

P  2; 3

2 8 2).Să se afle ecuaţia dreptei care trece prin d1  d 2 şi prin punctul M  ;  . unde  3 5 d1 : 3x  5 y  11  0, d 2 : 4 x  y  7  0 Rezolvare. . calculăm coordonatele punctului I  d1  d 2 3 x  5 y  11  0 3 x  5 y  11 d1  d 2 :   d1  d 2 :  4 x  y  7  0 4 x  y  7  3 5  3  20  23   4 1  x 46   x   2  11 5   23  x   11  35  46    I  2; 1  7 1  23 y  y    1    23 3 11  y   21  44  23 4 7  - Ecuaţia dreptei d  MI x y 1 1 1 2 1 2 IM : 2 1 1  0  8 x 2 y 2 1 1 2 8 5 3 3 1 3 5 d  IM : 39 x  20 y  58  0

1 13 4 58 x y 0 8 0  5 3 15 5

3). Să se afle ecuaţia dreptei ce trece prin d1  d 2 unde d1 : 3 x  y  4  0 si d 2 : 4 x  6 y  3  0 şi este prtpendiculară pe dreapta d : 5 x  2 y  6  0 Rezolvare. 3x  y  4  0 3 x  y  4 d1  d 2 :   d1  d 2 :   4 x  6 y  3  0 4 x  6 y  3  3 1  18  4  14   4 6   21 3  x x    4 1   14 2  2 1  24  3  21    I  ;   x  3 6  2 2   y  y  7  1     14 2 3 4  y   9  16  7 4 3 

17

- coordonatele punctului I  d1  d 2 - coeficientul unghiular al dreptei d : 5 x  2 y  6  0 a 5 md     b 2 - coeficientul unghiular al perpendicularei d   d 1 1 2 md   md  1  md      5 5 md 2 - ecuaţia dreptei perpendiculare d  1 2 3 d  : y  y0  md   x  x0   d  : y    x    d  :10 y  5  4 x  4 2 5 2  d  : 4 x  10 y  9  0 4). Să se afle coordonatele vârfurilor triunghiului ale cărui laturi sunt dreptele: d1 : 2 x  3 y  11  0, d 2 : 3 x  y  11  0, d3 : x  4 y  0 Rezolvare. Avem: vârfurile triunghiului: A  d1  d 2 , B  d 2  d3 , C  d1  d 3 2 x  3 y  11  0 2 x  3 y  11 A  d1  d 2 :   A  d1  d 2 :  3 x  y  11  0 3 x  y  11  2   3   11   x  11   2  y  3 

3  2  9  11 1

 x 22  x   2 3   11  11  33  22    A  2;5   1 55 y y   5   11 11  22  33  55 11

3 x  y  11  0 3 x  y  11 B  d 2  d3 :   B  d 2  d3 :   x  4y  0  x  4y  0  3 1  12  1  11   1 4   44  x x  2   11 1   11   x   44  0  44    B  2; 1 0 4   y   y  11  1    11 3 11  y   0  11  11 1 0 

18

 2 x  3 y  11  0 2 x  3 y  11 C  d1  d3 :   C  d 2  d3 :   x  4y  0  x  4y  0  2 3   8  3  11  1 4   x 44    x    11  4 11 3   x   44  0  44    C  4;1  0 4 11 y   y  1    11 2 11  y   0  11  11 1 0 

SEMIPLANE. Fie d   M  x; y  / ax  by  c  0 o dreaptă în planul p Se cunoaşte: 1). Orice punct M  x; y   d situate pe dreapta d coordonatele lui verifică ecuaţia dreptei. 2). Un pnct B  x0 ; y0   d nu este situate pe dreapt d coordonatele lui nu verifică ecuaţia f :     , dreptei, adică ax0  by0  c  0 . Să definim funcţia , atunci vom avea: f  x; y   ax  by  c f  x0 ; y0   ax0  by0  c  0 sau f  x0 ; y0   ax0  by0  c  0 dă un număr pozitiv sau un număr negativ. Putem defini acum următoarele mulţimi p    M  x; y  / f  x; y   0 d   M  x; y  / f  x; y   0 p    M  x; y  / f  x; y   0

 p  p      p d  cu conditiile    p d   p   p   d  p

Teoremă 1). Mulţimile d , p  , p  si p   d , p   d sunt convexe   2) M 1  p si M 2  p   M 1M 2   d   Demonstraţie. a ). Să arătăm că semiplanul p  este mulţime convexă.

Definiţie O mulţime M de puncte se numeşte convexă dacă A, B  M   AB   M A  x1 ; y1   p   f  x1 ; y1   ax1  by1  c  0  Fie să arătăm că  AB   p , luăm un punct  B  x2 ; y2   p  f  x2 ; y2   ax2  by2  c  0 M  xi ; yi    AB  şi să arătăm că M  p  .

 xi   1    x1  x2    0;1 Dacă M   AB     yi   1    y1  y2 19

f  xi ; yi   axi  byi  c  a  1   x1   x2    b  1   y1   y2    c 

 a  1   x1   a x2  b  1   y1   b y2  c  a  1   x1   a x2  b  1   y1   b y2   1    c    c  c   1    c   c   1     ax1  by1  c     ax2  by2  c   c  c   c   c    1     ax1  by1  c     ax2  by2  c    1    f  x1 ; y1    f  x2 ; y2   0  f  xi ; yi   0  M  xi ; yi   p  

 AB   p  si p  este convexã

La fel se arată şi pentru mulţimile p  , d , p   d b). M 1  p  si M 2  p    M 1M 2   d    A  x1 ; y1   p   f  x1 ; y1   ax1  by1  c1  0 Fie    B  x2 ; y2   p  f  x2 ; y2   ax2  by2  c2  0 M  xi ; yi    AB   xi   1    x1  x2    0;1 Unde M   AB     yi   1    y1  y2      f  xi ; yi    1    f  x1; y1    f  x2 ; y2  ,    0;1 Dar f

  0;1 

este un segment în  ce uneşte   0   f  x1 ; y1   0 cu   1  f  x2 ; y2   0

 0   0;1 pentru care   0   0 0    0    1  0  f  x1; y1   0 f  x2 ; y2   f  xi ; yi   M 0  xi ; yi  cu  xi   1  0  x1  x2 0   0;1   AB   d  M 0   yi   1  0  y1  y2 Din această teoremă, rezultă definiţiile:  p    M  x; y  / f  x; y   ax  by  c  0 se numesc semiplane deschise.    p   M  x; y  / f  x; y   ax  by  c  0 d   M  x; y  / f  x; y   ax  by  c  0 ; este frontiera semiplanelor p   d si p   d se numesc semiplane închise Observaţii 1). f  x; y   ax  by  c păstrează semnul constant pentru toate punctele unui semiplan. 2). Pentru două puncte din semiplane opuse f  x; y   ax  by  c are semne contrarii. 3). Pentru aflarea semnului funcţiei f  x; y   ax  by  c într-unul dintre cele două semiplsne, este suficient să alegem un punct particular M  x0 ; y0  şi prin calcul vedem ce semn are.în semiplanul respectiv.

Aplicaţii

20

1). Care sunt punctele din plan pentru care avem 2 x  3 y  6  0 Rezolvare Trebuie să găsim semiplanul p    M  x; y  / f  x; y   2 x  3 y  6  0 Reprezentăm dreapta d : 2 x  3 y  6  0 Luăm punctual O  0;0   p şi calculăm f  0; 0   2  0  3  0  6  f  0;0   0  O  p  Soluţia inecuaţiei sun toate punctele din semiplanul

 x y 0 2). Care sunt punctele din planul p pentru care avem:  3 x  4 y  12  0 Rezolvare. Reprezentăm dreptele d1 : x  y  0 d 2 : 3 x  4 y  12  0

p1   M  x; y  / x  y  0 A  1; 2   f  1; 2   1  2  1  0  A  p  p2    M  x; y  / 3 x  4 y  12  0 O  0;0   g  0;0   3  0  4  0  12  12  partea opusã lui O fatãde d 2 : 3 x  4 y  12  0 este p2  o marcãm cu semnul  p1  p2   partea hasuratã  solutia sistemului de inecuatii   2x  y 1  0 3). Să se găsească mulţimea A   M  x; y  / y2   Rezolvare. Reprezentăm dreptele d1 : 2 x  y  1  0 d2 : y  2  0 2 x  y  1  0 2 x  y  1  0 2x  y 1 0   sau  y2  y20  y20

21

    Luăm p1  p2 sau p1  p2  solutia inecuatiei date  zonele hasurate

FASCICUL DE DREPTE Definiţie Mulţimea tuturor dreptelor din planul p care trec printr-un punct fix M  x0 ; y0  se numeşte fascicul iar punctual M  x0 ; y0  se numeşte vârful fasciculului. d1 : a1 x  b1 y  c1  0 Fie şi punctul M  x0 ; y0   d1  d 2 . d 2 : a2 x  b2 y  c2  0 Dreptele d1 si d 2 se numesc drepte de bază ale fasciculului. Fie   n1  a1 ; b1  si n  a2 ; b2  vectorii normali la dreptele de bază d1 , d 2 . .   Cum n1 si n2 sunt necoliniari ei formează o bază, încât orice   vector n  0 este exprimat în baza  n1 ; n2  astfel :    n   n1   n2 cu  2   2  0  n   ;   . Ecuaţia dreptei d ce trece prin punctul M  x0 ; y0  şi are direcţia vectorului n  d este :   a1 x  b1 y  c1     a2 x  b2 y  c2   0 cu  2   2  0 . Demonstraţie    n1  a1i  b1 j             n2  a2 i  b2 j   n    a1i  b1 j     a2i  b2 j    a1i   b1 j   a2i   b2 j     n   n1   n2       a1   a2  i    b1   b2  j  n   a1   a2 ;  b1   b2  Avem : M  x0 ; y0  şi vectorul normal n   a1   a2 ;  b2   b2  , ecuaţia drepte care trece prin M  x0 ; y0  şi are vectorul normal n   a1   a2 ;  b2   b2  se scrie:

  a1   a2   x  x0     b1   b2   y  y0   0  a1 x   a2 x   a1 x0   a2 x0   b1 y   b2 y   b1 y0   b2 y0  0   a1 x  b1 y  a1 x0  b1 y0     a2 x  b2 y  a2 x0  b2 y0   0

a x b y c  0  c  a1 x0  b1 y0 dar M  x0 ; y0   d1  d 2 :  1 0 1 0 1  1 a2 x0  b2 y0  c2  0 c2  a2 x0  b2 y0 Si înlocuim în ecuaţia de mai sus         a1 x  b1 y  a1 x0  b1 y0   a2 x  b2 y a2 x0  b2 y0   0               . c1 c2       a1 x  b1 y  c1     a2 x  b2 y  c2   0 cu  2   2  0 Această ecuaţie conţine toate ecuaţiile tuturor dreptelor ce trec prin M  x0 ; y0  ce se pot determina prin valorile   ;       şi se numeşte ecuaţia fasciculului de drepte. Aceasta mai poate fi adusă şi la forma normală:   a1   a2  x    b1   b2  y   c1   c2  0 Pentru fiecare pereche de valori   ;   se obţie câte o dreaptă din fascicul. 22

  1; 2   d  :  a1  2a2  x   b1  2b2  y  c1  2c2  0 Exemplu pentru   2;3  d  :  2a1  3a2  x   2b1  3b2  y  2c1  3c2  0 Observaţii: 1). Dacă unul dintre parametrii  sau  suntdiferiţi de zer, exemplu   0 , putem împărţi prin   şi se obţine: a1 x  b1 y  c1   a2 x  b2 y  c2   0 , putem înlocui cu     ,  a1 x  b1 y  c1    a2 x  b2 y  c2   0 cu un singur parametru.  2). Ca să căsim ecuaţia unei drepte din fascicul şi care trece printr-un punct A  M ; unde A  x; y  se pune condiţia ca coordonatele acestuia să verifice ecuaţia fascicului a1 x  b1 y  c1    a2 x  b2 y   c2   0 din care se determină valoarea parametrului a x  b1 y  c1   1 a2 x  b2 y  c2 Valoarea găsită pentru  se înlocuieşte în ecuaţia generală a fasciculului. Exerciţii rezolvate d1 : 3 x  y  1  0 1). Se dau dreptele , să se găsească ecuaţia dreptei ce trece prin d1  d 2 şi d2 : 2x  y  2  0 este perpendiculară pe dreapta d3 : x  2 y  3  0 . Rezolvare. Se scrie ecuaţia fasciculului cu dreptele de bază d1 , d 2  3  2  x       y    2  0 cu  2   2  0 Se pune condiţia de perpendicularitate pe dreapta d3 : x  2 y  3  0  3  2   2       0    4   0    4  si   0 înlocuim pe

  3  4   2  x   4     y  4   2   0   10  x  5  y  6   0 :    0  d : 10 x - 5 y - 6  0 2). Se dau dreptele:

d1 : x  y  2  0 d 2 : 3x  2 y  1  0

a ). să se scrie ecuaţia fascicululzui de drepte. b). să se determine dreapta care trece prin A  2;3 . c). să se determine dreapta din fascicul paralelă cu prima bisectoare a axelor. Rezolvare. a ).   x  y  2     3x  2 y  1  0     3  x     2   y  2    0 b). A  2;3 punem condiţia ca punctul A să verifice ecuaţia fasciculului.

   3   2     2   3  2    0  3    0    3 cu   0 Se înlocuieşte în ecuaţia fasciculului:    3   x     2   y  2    0 

 2  6  3  6   2    0

   9  x     6  y  2  3  0

  8 x  7 y  5  0 :  0  8x  7 y  5  0 c). Din cele două ecuaţii ale bisectoare şi a fasciculului 23

   3   x     2   y  2    0

   3   2   conditia de paralelism   1 1 x y 0    3    2   2    0    2 înlocuim în ecuaţia fasciculului:    3   x     2   y  2    0     6  x     4  y  4  0   5 x  5 y  4  0 :    5 x - 5 y  4  0 3). Se dau dreptele

d1 : 2 x  y  1  0; d 3 : x  3 y  2  0 d 2 : x  2 y  3  0;

d4 :  x  2 y  3  0

Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin

d1  d 2 si d3  d 4 . Rezolvare. Se scrie ecuaţia fasciculului cu dreptele de bază d1 , d 2 d1 : 2 x  y  1  0; d 2 : x  2 y  3  0;

1  2 x  y  1 +1  x  2 y  3 =0   21  1  x   1  2 1  y  1 +31 =0 Se scrie ecuaţia fasciculului cu dreptele de bază d3 , d 4 d3 : x  3 y  2  0; d 4 :  x  2 y  3  0;

 2  x  3 y  2  + 2   x  2 y  3 =0    2   2  x   3 2  2  2  y  2 2 +3 2 =0 Punem condiţia ca cele două fascicule să fie egale  21    k   2   2  21  1 1  21 1  31    =k   1  2 1  k  3 2  2  2   2   2 3 2  2  2 2 2  3 2    3  k  2  3  1 2 2  1  1  21  k  3 2  2  2    1  31  k  2 2  3 2  __________________________

1  k   2  5 2  1  k  3 2  2 2   21  k  3 2  2  2   3k   2  5 2   k  5 2  12  2  Înlocuim pe 1 si 1 în 21  1  k   2   2  2k  5 2  12  2   k   2  5 2   k   2   2  :k 10 2  24  2   2  5 2   2   2  10 2  30 2  0 :10   2  3 2  0   2  3 2 si înlocuim în ecuatia fasciculului  3 2   2  x   9 2  2 2  y  6  2  3 2  0 4  2 x  7  2 y  9  2  0 :   2  0  4 x  7 y - 9  0 . Să se găsească punctul fix prin care trec dreptele variabile:

1). d  :  1  2  x   2  3  y  7  12 2). d : x   y  1  0 3). d  :  x  5 y  2  0

Rezolvare. 24

4)

. 1). d  :  1  2  x   2  3  y  7  12  d : x  2 x  2 y  3 y  7  12  0   d  :  x  2 y  7     2 x  3 y  12   0 este un fascicul de drepte şi căutăm vârful: d : x  2 y  7  0 I  d1  d 2 :  1 d 2 : 2 x  3 y  12  0  1 2  3  4  1   2 3   7 2  21  24  3   x  12 3   1 7  y   12  14  2 2 12 

 3  x x   3    1  I  3; 2    y  y  2  2   1

2). d : x   y  1  0  d :  x  1   y este ecuaţia unui fascicul de drepte x 1  0  x 1 I  d1  d 2 :   I  d1  d 2 :   I  1;0   y0 y  0 3). d  :  x  5 y  2  0  d  :  x   5 y  2   0 este ecuaţia unui fascicul de drepte. x0  x0   2 I  d1  d 2 :   I  d1  d 2 :  2  I  0;   5 5 y  2  0  y  5 1  5). Să se scrie ecuaţiile fasciculelor de drepte ce au vârfurile în A  1;3 , B  2; 5  , C  ;3  2  Rezolvare. Folosim ecuaţia x  x0 y  y0 v   y  y0   x  x0  , unde u, v sunt variabile ;i pe care le mai putem nota cu u v u  u   , v    y  y0   x  x0    1). Pentru A  1;3 avem y  3   x  1    y  3    x  1    y  3    x  1 =0   2). Pentru B  2; 5  avem y  5   x  2     y  5     x  2     y  5     x  2  =0  1  1). Pentru C  ;3  avem 2   1 1 1   y  3   x      y  3    x      y  3    x   =0  2 2 2  

Fascicul de drepte paralele

Fie d : ax  by  0 o dreaptă ce trece prin originea axelor numittă dreaptă de bază.. Toate dreptele din plan care sunt paralele cu dreapta de bază formează un fascicul de drepte paralel.. Toate au acelaşi vector normal, rezultă că 25

a  x     b  y     0  ax  by  b   0  ax  by    0  a  

ax  by    0 ecuatia fascicului paralel.

Exerciţii rezolvate. 1). Se dă dreapta variabilă d  : 4 x  3 y  6  0 . Să se găsească ecuaţia drepte care trece prin A  2;1 . Rezolvare. 4  2   3 1  6  0   8  3  6  0   11  6  0    fascicuului. d  : 4 x  3 y  6  0  4 x  3 y  6 

11 şi-l îlocuim în ecuaţia 6

11  0  d : 4 x  3 y  11  0 6

FAMILII DE DREPTE: O ecuaţie de forma ax  by  c  0 , unde coeficienţii a, b, c depind de un parametru  a  f      b  g    exprimă o mulţime de drepte care trec printr-un punct fix sau poate că nu mai trec toate  c  h   printr-un punct fix a ). cele care trec toate printr-un puncparametruluit fix poate fi un fascicul de drepte atunci când prin orice punct din plan trece câte o dreaptă din mulţime. b). Şi este o familie de drepte atunci când există puncte din plan ( o zonă a planului ) prin care nu trec drepte din mulţimea de drepte dată. Deci un fascicul de drepte este format din toate dreptele planului ce trec prin punctul fix M  x0 ; y0  , iar o familie de drepte ce trec prin acelaşi punct fix poate să fie formată dintr-o mulţime infinită de drepte dar nu din toate dreptele ce trec prin punctul fix. - Orice fascicul de drepte este o familie de drepte, dar nu orice fascicul de drepte poate să fie fascicul. d  :    1 x   2  1 y  3  2  0 -

Exemple : d :  2    x   1   2  y  5    3 2

-

d m : mx  y  2  0 Ecuaţiile acestor familii depind de câte un singur parametru real. Pentru fiecare valoare reală dată parametrului îă corespunde o dreaptă din familie. 26

-

-

Pentru a dovedi că o dreaptă din familie trece printr-un anumit punct din plan A  x0 ; y0  se pune condiţia de verificarea coordonatelor punctului în ecuaţia familiei şi de aici se determină o valoare a parametrului şi care apoi se introduce în ecuaţia generală a familiei şi se obţine dreapta care trece prin punctul A. Exemplu : Fie familia d m : mx  y  2  0 si A  1; 2  , să se determine dreapta din familie

care trece prin punctul A.sau prin B  3;1 . sau C  0; 4  . Rezolvare. A  1; 2   m  2  2  0  m  0  A  d : y  2  0 1 1  Bh: x y  2  0 3 3 2 C  0; 4   m  0  4  2  0  m   nu exitã valoare.  cã prin C nu trece nici-o dreaptã. 0 - Se pune întrebarea : « prin care puncte ale planului nu trec drepte din familie ?” Răspunsul este: pentru acele puncte din planul p ale căror coordinate puse să verifice ecuaţia familiei d m : mx  y  2  0, nu determină nici-o valoare pentru parametrul m. B  3;1   3m  1  2  0  m 

Cum găsim aceste puncte? Se scoate parametrul în funcţie de variabilele x, y m  f  x, y  şi se discută această egalitate considerând ca parametrii pe x si y. Exemple: Fie familia de drepte d  :  2 x    2 y  1  x  0 este oc ecuatie de grad II în  Pentru ca 1  2 si 1 , 2      b 2  4ac  0     2 y  2  4x2   2 y  2x  2  2 y  2x  2  0 2

Rprezentăm dreptele

d2 : 2x  2 y  1  0 d1 : 2 x  2 y  1  0

Considerăm

mulţimi  M =  M  x; y  /   0   B1   A  x; y  /  2 x  2 y  1  0 si 2 x  2 y  1  0   B2   P  x; y  /  2 x  2 y  1  0 si 2 x  2 y  1  0 Avem: f  x, y   2 x  2 y  1  f  0;0   2  0  2  0  1  1  0  O  p1 g  x; y   2 x  2 y  1  g  0;0   2  0  2  0  1  1  0  O  p2 

Familia de drepte trec

1  prin punctul fix I  0;   şi sunt limitate de dreptele d1si d 2 . Sunt zone ale planului prin care 2  nu trece nici-o dreaptă din familie. 27

2 2 2).Să se determine poziţia familiei de drepte d :  x  y    0 Rezolvare. y d :  2 x  y   2  0  d :  2  x 1 y 2  0   0. x 1 y  0 si x  1 Căutăm mulţimea punctelor din plan M  x; y  pentru care x 1  y    M =  M  x; y  / x  1  0     Avem mulţimile:  B1   A  x; y  / y  0 si x  1  0   B2   P  x; y  / y  0 si x  1  0  Fie dreptele : d1 : x  1  0, d 2 : y  0 ; f  x; y   x  1 si g  x; y   y

Reprezentăm dreptele d1 : x  1 si d 2 : y  0 f  0;0   0  1  1  0  O  p1 g  0;0   0 x 1  0  x  1 d1  d 2 :     I  1;0  este punctul fix al familiei de drepte  y0  y0 Dreptele familiei trec prin zona haşurată. şi prin punctual fix I. 3). Se dă familia de drepte d : x  cos  să se găsească poziţia limiă a familiei de drepte. Rezolvare. d : x  cos  ,

     1  cos   1  x   1;1 Luăm: d1 : x  1 si d 2 : x  1 şi le reprezentăm. Nu are vârf familia. Dreptele familiei sunt paralele. f  x; y   1  f  0;0   1  0  O  p1 g  x; y   1  g  0;0   1  0  O  p2 

28

UNGHIUL A DOUĂ DREPTE Dacă d1 , d 2 sunt drepte orientate după vectorii lor directori a1  u1 ; v1  , a2  u2 ; v2  . Prin unghjul dreptelor d1 , d 2 vom





înţelege unghiul format de vectori directori: mãs a 1 ; a2   cos   Adică cos  

a1  a2 u1u2  v1v2  2 a1 a2 u1  v12 u2 2  v2 2 u1u2  v1v2 u1  v12 u2 2  v2 2 2

,    0;  

Dacă d1 , d 2 sunt orientate după vectorii lor normali n1  a1; b1  si n2  a2 ; b2  în acest caz unghiul  dintre dreptele d1 , d 2 este unghiul format de vectorii lor normali





n n a1a2  b1b2 cos   cos n 2 ; n2  1 2  n1 n2 a12  b12 a2 2  b2 2 cos  

a1a2  b1b2 a12  b12 a2 2  b2 2

,    0;  

Exerciţii rezolvate 1). Să se calculeze unghiul dreptelor d1 : 3x  2 y  1  0, d 2 : 2 x  5 y  1  0 . Rezolvare. 2  3  5  2  4 4 4 cos       0, 20619 19.4 9  4 4  25 13 29 377     arccos  0, 20619      x  1  3t  x  1  3t , d2 :  2). Să se calculeze unghiul dreptelor d1 :  .  y  2  4t  y  3  5t Rezolvare.

29

Aducem ecuaţiile celor două drepte la forma: d1 :

x  x0 y  y0  t u v

u1u2  v1v2 x 1 y  2 x 1 y  3   t si d 2 :   t şi se aplică formula cos   u12  v12 u2 2  v2 2 3 4 3 5

DISTANŢA DELA UN PUNCT LA O DREAPTĂ Fie M 0  x0 ; y0  un punct din plan şi dreapta h : ax  by  c  0, iar M 1  h este proiecţia lui M 0 pe h adică M 0 M 1  h . Lungimea M 1M 0  d  M 0 ; h   distanţa dela pinctul M 0 la dreapta h. Fie n  a; b  vectorul normal la dreapta h . Să  luăm produsul scalar al vectorilor n si M 1M 0 .

   n  M 1M 0  1 n  M 1M 0  cos 00  1 n  M 1M 0  1 n  d  M 0 ; h  Produsul scalar este un număr pozitiv sau negativ.  n  M 1M 0

  n      dar n  a 2  b 2 deoarece n  ai  bj      n  M 1M 0  a  x0  x1   b  y0  y1     M 1M 0   x0  x1  i   y0  y1  j   a  x0  x1   b  y0  y1   d  M 0; h  a 2  b2  n  M 1M 0  n  d  M 0 ; h 

 d  M 0; h =

a  x0  x1   b  y0  y1   ax0  ax1  by0  by1  ax0  by0   ax1  by1     a  x0  x1   b  y0  y1   ax0  by0  c dar M 1  x1 ; y1   h  ax1  by1  c  0  c  ax1  by1  a  x0  x1   b  y0  y1   d  M 0; h  ax0  by0  c  Din   d  M 0 ; h  a 2  b2 a2  b2 a  x0  x1   b  y0  y1   ax0  by0  c 

Observaţii: 1). La numărător apare ecuaţia dreptei în care s-a înlocuit x si y cu coordonatele punctului M 0  x0 ; y0  şi cum M 0  h  ax0  by0  c  0 2). La numitor sub radical apar coeficienţii necunoscutelor x si y din ecuaţia dreptei. 30

Exerciţii rezolvate. 1).Să se calculeze distanţa delab punctul A  2;3 la dreapta h : 3x  2 y  6  0 . Rezolvare. 3  2  2  3  6 18 18 d  A; h      4,97 94 13 3, 62 2).Să se calculeze distanţa dintre dreptele d1 : 3 x  y  1  0, d 2 : 6 x  2 y  1  0 care sunt paralele. Rezolvare. d1  d 2 , calculăm distanţa dela un punct oarecare al uneia dintre dreptele date la cealălaltă dreaptă. Fie x  1  din d1 : 3 1  y  1  0  y  2  B  1; 2   d1 şi acum se calculează distanţa dela punctul B la dreapta d 2 .

d  B; d 2  

6 1  2  2  1

1





36  4 40 - Dacă dreapta h este determinată de două puncte A  x1 ; y1  x h  AB : x1 x2

y

1  0,158 6,31 si B  x2 ; y2  cu ecuaţia:

1

y1 1  0 şi punctul M 0  x0 ; y0   h , înlocuim coordonatele lui M 0  x0 ; y0  în y2 1

determinantul ecuaţiei dreptei. Dezvoltând determinantul se obţine ecuaţia dreptei h  AB : a  x1  x2   b  y1  y2   x1 y2  x2 y1  0 x0 x1 x2

y0 1 x0 y1 1  0 si-l notãm cu   x1 y2 1 x2

y0 1 y1 1 iar d  M 0 ; h   y2 1



 x1  x2 

2

  y1  y2 

2

b). Aria triunghiului ABM 0 . 1 1 aria  ABM 0    d  A; B   d  M 0 ; AB   2 2 aria  ABM 0  

 x1  x2 

1  2

Exerciţii rezolvate. 1). Se dau punctele A  3;5  , B  1;1 , C  1; 2  . Se cere: a ). Lungimile înălţimilor triunghiului ABC b). aria triunghiului ABC Rezolvare. a ). - Înălţimea AA 3 5 1 L  L ;L  L 2 4 0 1 2 3 2 2 4  BC  1 1 1  1 1 1  10 2 1 1 2 1 2 1 0

31

2

  y1  y2  



2

 x1  x2 

2

  y1  y2 

2



1  2

d  A; BC  

10

 1  1

2

  1  2

2



10 10 5  5 5

- Înălţimea BB

 AC

1 1 1  3 5 1   5  1  6    5  3  2   12  10  2 1 2 1

d  A; BC  

2

 1  3

2

  2  5

2



2 2 13  13 13

- Înălţimea CC   AB

1 2 1  3 5 1   5  2  3   5  6  1  0  12  12 1 1 1

d  C ; AB  

12

 1  3

2

  1  5

2



12 12 20 6 5   20 5 20

1 b). aria  ABC   10  5 2 2). Să se găsească pe axa Oy un punct M  0; y  egal depărtat de dreptele d1 : 3 x  4 y  6  0 d2 : 4x  3 y  9  0 Rezolvare. Punem condiţia d  M ; d1   d  M ; d 2  Din:   d  M ; d1   d  M ; d 2   3 0  4 y  6 6  4 y  d  M ; d1      6  4 y  3 y  9 5 9  16  4  0  3 y  9 3 y  9  d  M ; d2     5 16  9   6  4 y  3 y  9; y   ; 3   3  6  4 y  3 y  9   6  4 y  3 y  9; y   3;  2    3   4 y  6  3 y  9; y   ;   2  

32

1) 6  4 y  3 y  9; y   ; 3 6  9  4 y  3 y  15  y  15   ; 3

Există două puncte pe axa Oy egal depărtate 3  de dreptele d1 si d 2 şi anume: 2). 6  4 y  3 y  9; y   3;  2  3  M 1  0;   si M 2  0;15  7  3  3 6  9  4 y  3 y   3  7 y  y     3;  7  2 LOCURI GEOMETRICE 3  Definiţie O mulţime M de puncte din 3). 4 y  6  3 y  9; y   ;   2  planul p care verifică proprietatea P se numeşte loc geometric. 3  4 y  3 y  6  9  y  15   ;   De obiceiu mulţimea M formează o dreaptă, 2  o curbă sau o porţiune din acestea cărora în geometria analitică le corespund o anumită ecuaţie. a ). Dacă elementele date în problema de loc geometric, nu sunt raportate la un reper cartezian, trebuie să le raportăm noi: 1. Se alege sistemul de axe perpendiculare în aşa fel încât elementelor geometrice date să le corespundă ecuaţii cât mai simple. Se recomandă câteva reguli: -Dacă în problemă apare un unghi drept, un triunghi dreptunghic, un dreptunghi, un pătrat, etc,atunci laturile unghiului drept se pot lua ca axe.etc. - Se aleg axele asfel de drepte care să conţină cât mai multe puncte din datele problemei pentru a avea abscisele sau ordonatele acestora nule. - Dacă se pot pune în evidenţă axe de simetrie, atunci pe acestea le luăm ca axe Ox, Oy. - Dacă un punct din problemă este centru de simetrie, atunci pe acesta îl luăm ca origine a sistemului de axe. 2. Se fixează coordonatele punctelor fixe prin literele mici a, b, c, d , p, q,... iar pentru punctele variabile cu un parametru doi sau trei după caz cu  ,  ,  ,... iar coordonatele punctului locului căutat se notează cu x si y. b). Se disting două tipuri de probleme de loc geometric. 1). Locuri geometrice rezultate din relaţii geometrice. 2). Locuri geometrice rezultate din intersecţia a două familii de drepte sau de curbe,etc. Procedeu de rezolvare a problemelor de loc geometric de primul tip. - Se traduce analitic relaţia geometrică dată şi se obţine relaţia dintre x si y coordonatele punctului locului geometric şi eventual se aduce la o formă cât mai simplă, numită ecuaţia locului cerut. După forma ecuaţiei se poate stabili dacă locul este o dreaptă, o curbă. - Se elimină eventual soluţiile străine, se cercetează dacă nu există puncte singulare ( coordonatele lor nu satisfac ecuaţia locului)

Aplicaţii. 1).Să se găsească locul geometric al punctelor din plan situate la egală depărtare de două puncte fixe A si B . Rezolvare. - Alegem ca axă Ox dreapta care trece prin punctele A si B 33

-

Alegem ca axă Oy perpendiculara ridicată pe axa Ox prin mijlocul O al lui  AB 

-

Notăm coordonatele punctelor fixe cu A  a;0  si B  a;0  iar pentru punctul variabil al

-

locului cerut notăm cu M  x; y  Proprietatea punctelor locului este relaţia geometrică MA  MB , pe care o traducem analitic: 2 2 MA   x  a    y  0    2 2 2 2 2 2 MB   x  a    y  0     x  a   y 2   x  a   y 2   x  a   y 2   x  a   y 2  MA  MB    x 2  2ax  a 2  x 2  2ax  a 2  4ax  0  x  0. Ecuatia locului cerut este d : x  0 Este o dreaptă şi anume chiar axa Oy. Dreapta este mediatoarea segmentului  AB  .

2). Să se găsească locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea că au suma distanţelor la două drepte perpendiculare d1  d 2 , conastantă. Rezolvare. - Alegem sistemul de axe chiar dreptele perpendiculare Ox  d1 si Oy  d 2 unde d1  d 2 - Coordonatele punctului variabil al locului M  x; y  . - Proprietatea locului este relaţia geometrică d  M ; Ox   d  M ; Oy   k

Traducem analitic relaţia geometrică dată ca proprietate a punctelor locului cerut.  x  y  k pentru x  0 si y  0 d  M ; Ox   d  M ; Oy   k    x  y  k pentru x  0 si y  0   d  M ; Ox   y  y  x  k      x  y  k pentru x  0 si y  0 d  M ; Oy   x   x  y  k pentru x  0 si y  0 Reprezentãm graficul celor 4 drepte si alegem portiuni din acestea conform conditiilor puse la fiecare. Locul geometric descris de punctul M  x; y  este pătratul ABCD

34

3). Să se găsească locul geometric al punctelor din plan pentru care MB 2  MC 2  2 MA2 , unde A, B, C sunt puncte fixe. Rezolvare. Ox dreapta d1  BC iar mediatoarea - Se alege ca axă segmentului  BC  ca axă Oy. -

Fixăm coordonatele punctelor

B  a;0  , C   a;0  , A  b; d  iar M  x; y   Locului -

Traducem analitic relaţia geometrică dată. MB 2   x  a   y 2

  2 2 2  MC   x  a   y 2 2 2 2 2 2    x  a   y   x  a   y  2  x  b    y  d    2 2 2 MA   x  b    y  d    MB 2  MC 2  2 MA2  2

 x 2  2ax  a 2  y 2  x 2  2ax  a 2  y 2  2  x 2  2bx  b 2   2  y 2  2dy  d 2   2 x 2  2 y 2  2a 2  2  x 2  2bx  b 2  y 2  2dy  d 2  :2

Di

x2  y 2  a 2  x 2  y 2  2bx  2dy  b 2  d 2   a 2  2  bx  dy   b 2  d 2  0  2bx  2dy  a 2  b 2  d 2  0 este ecuatia locului cerut si reprezintã o dreaptã cu m  

b d

scuţie 1) Dacă A, B, C sunt coliniare, rezultă că A  Ox si d  0  ecuatia locului : bx  a 2  b 2  0 care este paralelă cu axa Oy. 2 2 2) Dacă A  Oy  b  0 si ABC  isoscel  2dy  a  d  0 ecuatia locului o dreaptă paralelă cu axa Ox. 3) Dacă 1 OA  a  mediana ABC ma  BC  VABC  dreptunghic  AB  BC si b 2  d 2  a 2 2  ecuatia locului bx  dy  0 o dreaptã ce trece prin origine si perpendicularã pe OA. Procedeu de rezolvare a problemelor de loc geometric de tipul II. a ). Fie

d  : f  x, y,    0 si d  : g  x, y,    0 două familii de drepte.

Pentru fiecare valoare a lui  avem câte un punct M  x0 ; y0   d 0  d 0 . 35

 f  x, y,    0 Ecuaţiile  formează un sistem a cărui soluţie este M      ;     .  g  x, y,    0 Pentru a găsi legătura directă dintre coordonatele x si y ale lui M      ;      d   d   x      eliminăm parametrul  din ecuaţiile  . Relaţia obţinută reprezintă ecuaţia locului cerut.  y       x      Uneori eliminarea parametrului  din sistemul de ecuaţii  duce la mari dificultăţi, de  y      acea nu se mai rezolvă sistemul şi eliminarea se face direct. În cazul eliminării lui  şi obţinerii ecuaţiei locului h  x, y   0 , trebuie văzut dacă toată figura, sau numai o parte din figură constituie locul căutat. În acest caz căutăm mulţimile de puncte din plan prin care trec dreptele ( curbele ) familiei d : f  x, y,    0 si d  : g  x, y,    0 adică respectiv M şi N şi luăm M  N, rezultă că Locul d  M  N unde d : h  x, y   0 - Dacă familiile depind de doi parametrii, eliminarea lor se face din ecuaţiile celor două familii şi dintr-o condiţie ce este o a treia relaţie din sistem, care este dată în problemă. U   ,    0 .

Exerciţii rezolvate. 1). Se dau familiile de drepte d : x  cos  , d : y  1  cos  . Să se găsească locul geometric al d  d Rezolvare. -

Eliminăm parametrul din ecuaţiile celor două familii direct

36

x  cos  y  1  cos  _____________ x  y  1  ecutia locului cerut d : x  y  1  0 dar nu stim dacã toatã dreapta constituie locul - Căutăm mulţimile :

M =  M  x, y  / x  cos     M  x, y  /  1  x  1 N =  M  x, y  / y  1  cos   M  x, y  / cos   1  y    M  x, y  /  1  1  y  1   M  x, y  / 0  y  2  M  N =  M  x, y  /  1  x  1 si 0  y  2 Din dreapta locului d : x  y  1  0 se ia porţiunea care este conţinută în mulţimea d  M  N 2).Pe o dreaptă d se iau două puncte fixe A si B şi un punct variabil M . Pe perpendiculara ridicată în M pe dreapta d se iau segmentele  MP  si  MQ  constante ( au lungimile fixate). Se cere locul geometric al intersecţiei AP  BQ. Rezolvare. - Alegem ca axă Ox  d dreapta din ipoteză şi ca axă Oy  mediatoare lui  AB  . - Fixăm coordonatele punctelor date în problemă

I  x, y  A  a;0  , B   a;0  , M   ;0  si I  x; y   AP  BQ. MP  p, MQ  q

37

x AP : a . Ecuaţia dreptei 

y 1 0 1 a 1 a 0 1 0  x y p 1  1  p 1

0 0  p

 AP : px   a    y  ap  0 reprezinta o familie de drepte. x y 1 0 1 a 1 a 0 BQ : a 0 1  0  x y 0  q 1  1  q Ecuaţia dreptei  q 1  BQ :  qx   a    y  aq  0 reprezinta o familie de drepte. - Eliminăm direct parametrul  din ecuaţiile celor două familii de drepte. px  ay   y  ap  0  qx  ay   y  aq  0 ________________________ d :  p  q  x  2ay  a  p  q   0 ecuatia locului exprima o dreapta. cu m 

q p 2a

3).Se dă o dreaptă d şi un punct A  d iar punctul M  d care este variabil. Se cere locul geometric al mijlocului I al lui  AM  . Rezolvare. -Alegem dreapta d ca axă Ox  d iar perpendiculara din mpunctul A pe d o luăm ca axă Oy. - fixăm coordonatele punctelor din problemă A  0; a  si M   ;0  iar I  x; y   locului - Coordonatele mijlocului segmentului

x1  x2 0      x  2  2  2  a  I  ;  - Eliminarea parametrului  din ecuaţiile  AM  sunt:   2 2  y  y1  y2  a  0  a  2 2 2    x  2 a cnu se poate elimina  h : y  ecuatia locului cerut este o dreaptă paralelă cu axa Ox.  2 y  a  2 4).Se consideră un triunghi dreptunghic ABC . Fie M un punct variabil pe cateta  AB  . Paralela dusă din M la BC taie pe AC în P . 38

Perpendiculara din punctul M pe BC taie pe BC în N . Să se afle locul geometric al mijlocului segmentului  NP  .

Rezolvare. -

Alegem ca axe de coordonate cele două catete ale triunghiului ABC cu vârful unghiului drept în originea O a sistemului de axe. - Fixăm coordonatele punctelor date în problemă M  .0  ,    0; a  deoarece AB  a

A  0;0  , B  a;0  , C  0; b  , H  x, y   mijlocul lui  NP  . x

-

y 1

0 1 a 1 a 0 BC : a 0 1  0  x y 0  b 1 0 1 0 b Ecuaţia lui 0 b 1 BC : bx  ay  ab  0  BC : bx  ay  ab  0

Ecuaţia fasciculului paralel cu BC. ce trece prin M   ;0  b - y  y0  m  x  x0   y  0    x     d  : bx  ay  b  0 a - Coordonatele punctului P b  bx  ay  b  0 y   b    a  P  0;   x0  a    x  0 - Ecuaţia dreptei MN  BC  d  a - y  y0  m  x  x0   y  0   x     MN  d  : ax  by  a  0 b - Coordonatele punctului N  a -b   a 2  b2  2 b a    x a  a  b  x    a b  ax  by  a  2 2 2  a 2  b2    x   a   ab  a  a  b     ab a  y ab  a    bx  ay  ab   y   2   a a  a  b2 2  y   a b  ab  ab  a    b ab  -

 a  a  b 2  ab  a     N ; 2  a 2  b2 a  b2  -

   

Coordonatele mijlocului H al segmentului  NP  39

2  x1  x2 a  a  b   0 a  x    a  b 2  2 2 2   b 2 ab  a      y1  y2 a  a b  a     b y   2 2 2a  2 a a b  a     b  H   a  b 2  ;  2a 2   2 x  ab 2   a  2  a2  x  2  a  b     2 x  ab 2  2 x  ab 2 2 2  a b a    b  a b a   b     y   a2  a2  y  2a   2a

y

a 2b  a 3  2 x  ab 2   2bx  ab 2a

3

 2a 3 y  a 5b  2a 2bx  a 3b3  2bx  ab 2

2a 3 y  2b  a 2  1 x  ab  a 4  a 2b 2  b   h : 2b  a 2  1 x  2a 3 y  ab  a 4  a 2b 2  b  Ecuaţia locului reprezintă o dreaptă

Recapitulare dreapta. 1. Distanţa dintre două puncte: d(A,B) =AB=  x 2  x1  2   y 2  y1  2 2. Ecuaţia dr. care trece printr-un pct.:

 A x 0 , y 0  ; m  tg  panta   y  y 0  m x  x 0 

   u  p i  qj  q  m  p  coef .unghiular ( panta ) 

3.Ecuaţia dr. care trece prin două pctcte A x1 , y1  ; B  x 2 , y 2  x y  y1 x  x1   x1 y 2  y1 x 2  x1 x2

y y1

1 1 0

y2

1

4. Condiţia ca 3 pct. să fie coliniare: x1 y 2  y1 x 2  x1   x2 y 3  y1 x3  x1 x3

y1 y2 y3

1 1 0 1

5. Distanţa dintre două puncte:    u  xi  yj ;

 u 

x2  y2

   AB   x 2  x1  i   y 2  y1  j

40



6. Ec. unei dr. care trece prin M(x0,y0) şi este paralelă cu un vector u  p, q  : x  x0 y  y 0  p q

7. Distanţa de la un pct. la o dr.:

d : ax  by  c  0; M 0  x 0 , y 0  ax 0  by 0  c d M 0 , d   a2  b2

8. Intersecţia dintre două dr.: d1 : a1 x  b1 y  c1  0   d 2 : a 2 x  b2 y  c 2  0 a1 b1 1)   m1  m 2  d1 // d 2 a2 b2 a1 b1 c1 2)    d1 , d 2  confundate a2 b2 c2

3)

a1 b1   d1 , d 2  concurente a 2 b2

4)m1  m 2  1  d1  d 2

9. Unghiul dintre doi vectori:

  u v cos      u v

x1 x 2  y1 y 2

x12  y12  x 22  y 22

10. Aria unui triunghi: x1 1 S ABC  x 2 2 x3

y1 y2 y3

1 1 1

11. Forma redusă a unui fascicul de dr.: a1 x  b1 y  c1    a 2 x  b2 y  c 2   0 12. Produsul vectorial a doi vectori:

    u  v  u  v  sin  ;    0,         u  v  u  v  sin   n0 ;  n0  versorul lui w 

41

42