Dynamique Des Vehicules [PDF]

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S C I E N C E S F O N D A M E N TA L E S

Ti053 - Physique Chimie

Applications en mécanique physique Réf. Internet : 42643

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III

Cet ouvrage fait par tie de

Physique Chimie (Réf. Internet ti053) composé de  : Recherche et innovation en physique-chimie

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Optique physique

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Structure de la matière

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États de la matière

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Bases en mécanique physique

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Applications en mécanique physique

Réf. Internet : 42643

Physique statistique et mathématique

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Modélisation mécanique

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Fondamentaux en chimie

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Chimie organique et minérale

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Chimie des milieux complexes

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IV

Cet ouvrage fait par tie de

Physique Chimie (Réf. Internet ti053) dont les exper ts scientifiques sont  : Jean-Pierre BROSSARD Professeur de mécanique

Laurent CATOIRE Professeur des universités, Directeur de l'Unité de Chimie et Procédés (UCP) de l'ENSTA ParisTech, Membre du conseil d'administration de l'ENSTA ParisTech

Mireille DEFRANCESCHI Agrégée de chimie, Docteur d'État en Sciences Physiques

Philippe HERVÉ Professeur à l'Université Paris X, Directeur du Laboratoire d'Énergétique et d'Économie d'Énergie

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V

Les auteurs ayant contribué à cet ouvrage sont :

Jean-Pierre BROSSARD Pour les articles : AF1671 – AF1672 – AF1673 – AF1674 – AF1675

Irénée CORNATON Pour les articles : AF1681 – AF1682

Eugène DIEULESAINT Pour les articles : AF3810 – AF3812 – AF3814

René-Jean GIBERT Pour l’article : AF5250

Lionel MAIFFREDY Pour les articles : AF5100 – AF5101

Jacques PLUSQUELLEC Pour l’article : BR200

Nicolas RANC Pour l’article : AF5042

Daniel ROYER Pour les articles : AF3810 – AF3812 – AF3814

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VI

Applications en mécanique physique (Réf. Internet 42643)

SOMMAIRE 1– Les vibrations

Réf. Internet page

Interaction luide-structure vibrante

AF5250

11

Vibrations

BR200

17

2– Les systèmes articulés

Réf. Internet page

Base des mécanismes articulés. Quadrilatère articulé

AF1671

35

Base des mécanismes articulés. Applications

AF1672

39

Ampliicateurs mécaniques passifs modernes. Concepts fondamentaux

AF1673

43

Ampliicateurs mécaniques passifs modernes. Conception

AF1674

47

Ampliicateurs mécaniques modernes. Partie 3

AF1675

51

3– L'acoustique

Réf. Internet page

Acoustique. Équations générales

AF3810

57

Acoustique. Propagation dans un luide

AF3812

59

Acoustique. Propagation dans un solide

AF3814

63

4– La dynamique du véhicule

Réf. Internet page

Bases de la dynamique des véhicules

AF5100

69

Bases de la dynamique du véhicule. État stationnaire, stabilité et régime transitoire des mouvements de lacet-dérive et de roulis

AF5101

77

Couplage thermomécanique

AF5042

85

5– Les solides déformables

Réf. Internet page

Ampliication dynamique dans le calcul de structures

AF1681

91

Le calcul des tuyauteries de niveau 1 - Gradients thermiques et fatigue

AF1682

97

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VII

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Applications en mécanique physique (Réf. Internet 42643)

Ｑ 1– Les vibrations

Réf. Internet page

Interaction luide-structure vibrante

AF5250

11

Vibrations

BR200

17

2– Les systèmes articulés 3– L'acoustique 4– La dynamique du véhicule 5– Les solides déformables

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ＱＰ

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Interaction fluide-structure vibrante par

Ｑ

René-Jean GIBERT Professeur à l’Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires Ingénieur-conseil

Définition des IFS

ｐ｡ｲｵｴｩｯｮ＠Ｚ＠ｪｵｩｬｬ･ｴ＠ＲＰＰＵ

Les différents problèmes d’IFS

1. 1.1 1.2 1.3

Rappels sur les vibrations linéaires .................................................... Définitions .................................................................................................... Modes propres............................................................................................. Ondes............................................................................................................

AF 5 250 — 3 — 3 — 4 — 7

2. 2.1 2.2

Couplage structure-fluide non visqueux sans écoulement .......... Description physique................................................................................... Méthodes numériques ................................................................................

— — —

9 9 13

3. 3.1 3.2

Phénomènes non conservatifs au sein du fluide ............................ Effet de la viscosité...................................................................................... Effet des grands mouvements de fluide....................................................

— — —

15 15 17

4. 4.1 4.2 4.3 4.4

Couplage structure-fluide en écoulement ........................................ Linéarisation autour d’un écoulement à potentiel.................................... Cas d’un écoulement à bas nombre de Reynolds : films très minces .... Écoulements avec décollement.................................................................. Remarques concernant les méthodes de calcul .......................................

— — — — —

18 18 20 21 23

Bibliographie ......................................................................................................

—

24

es interactions fluide-structure (IFS) concernent le chapitre de la Mécanique consacré à la description des mouvements des structures plongées dans un fluide lui-même en mouvement et plus précisément à la détermination de la façon dont le fluide modifie le comportement des structures. Nous nous situons donc à la frontière entre la dynamique des structures et la dynamique des fluides. Ceci implique que le domaine des IFS emprunte aux deux disciplines : — comme les choses sont plutôt « vues du côté de la structure », il s’inscrit dans le cadre général de la dynamique des structures ; — mais il faut évidemment se préoccuper des écoulements de fluide et en particulier de certaines de leurs caractéristiques au voisinage des parois. En fait l’aspect spécifique des IFS est de décrire comment les mouvements d’une paroi modifient un écoulement et comment cela se traduit sur le champ des efforts s’exerçant sur cette paroi.

L

Cette dernière définition recouvre un domaine physique vaste aux applications industrielles multiples. On peut leur appliquer la classification traditionnelle de la dynamique des structures qui distingue schématiquement : • Les problèmes de petits mouvements qui relèvent de la théorie des vibrations. Ils sont souvent modélisés linéairement ou pseudo-linéairement et décrits dans le domaine fréquentiel. Les mouvements mis en jeu peuvent être très complexes et relever de représentations probabilistes.

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ＱＱ

AF 5 250 − 1

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INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE VIBRANTE

Ｑ

_______________________________________________________________________________________________

• Les problèmes de grands mouvements des structures impliquant de fortes non-linéarités géométriques et également de matériau. Ces problèmes sont généralement décrits dans le domaine temporel du fait de leur caractère souvent transitoire et de la relative simplicité des mouvements mis en jeu. La prise en considération des non-linéarités dans les calculs impose également ce type de description. Deux types de présentation des IFS sont alors possibles : • Soit la présentation du cas général des grands mouvements, très axée sur les méthodes de résolution numérique. Les petits mouvements en sont un cas particulier, mais il est alors assez difficile d’y cerner leurs principes physiques et les méthodes d’ingénieur associées. • Soit une présentation beaucoup plus physique du cas des petits mouvements dans le cadre de la théorie linéaire des vibrations avec une extrapolation forcément limitée aux cas non linéaires. C’est cette deuxième approche que nous avons choisie. Ayant choisi la méthode de l’exposé, définissons-en les contours. Une présentation complète des IFS sort en effet du cadre limité de cet article qu’il convient de considérer plutôt comme une initiation. Le plan sera donc progressif : Après un rappel de la théorie des vibrations des structures et des fluides (acoustique), on introduira les couplages « structure-fluide parfait sans écoulement », ce qui formera la base physique de l’exposé. On complétera ensuite par des considérations sur les effets de viscosité et les effets de fluide pour lesquels l’hypothèse des petits mouvements n’est plus vérifiée. On terminera par les couplages « structure vibrante-fluide en écoulement permanent ». Comme nous aurons l’occasion de le remarquer par la suite, l’effet d’un fluide en écoulement sur une structure est très complexe. En particulier l’écoulement peut être très turbulent voire instationnaire. Apparaissent alors des « sources d’excitation vibratoire » dont la description nécessite une approche probabiliste. Cet aspect ne sera pas abordé ici. Enfin, on sait que la théorie vibratoire distingue les problèmes de « basses fréquences » et les problèmes de « hautes fréquences » qui relèvent chacun d’une physique différente. Nous choisissons ici l’approche « basses fréquences » mieux adaptée à notre avis à la majorité des problèmes industriels. Nous reviendrons sur ce point.

Choix du domaine couvert et plan du présent article

Ce sont tous les problèmes de tenue aux vibrations au sens large du terme : vibrations induites par les écoulements (par exemple les lignes de tuyauteries), instabilités aéro- ou hydroélastiques (structures aéronautiques, faisceaux de tubes d’échangeurs...), vibrations des machines tournantes (pompes, centrifugeuses...), effet des ondes sismiques sur les systèmes structure-fluide (par exemple le flambement dynamique des réservoirs), etc. Comme on vient de le préciser, on ne s’intéressera pas aux sources d’excitation proprement dites mais aux caractéristiques modifiées par la présence du fluide, des systèmes qui y répondent.

Applications industrielles visées

AF 5 250 − 2

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ＱＲ

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_______________________________________________________________________________________________ INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE VIBRANTE

1. Rappels sur les vibrations linéaires

Dans le cas de systèmes faiblement dissipatifs, le choix du modèle le plus simple qu’est le modèle visqueux est acceptable pour représenter la limitation des niveaux vibratoires. Dans le cas des systèmes plus dissipatifs, il est plus facile d’exhiber un effet dominant que l’on pourra modéliser. Ainsi nous verrons plus loin que les IFS conduisent à des termes d’amortissement qui peuvent devenir importants.

1.1 Définitions

● Le second membre f(t) de l’équation (1) représente la source d’excitation vibratoire.

1.1.1 Degrés de liberté La position de la structure dans l’espace en fonction du temps est repérée par le champ des petits déplacements de chacun de ses points par rapport à une position moyenne (équilibre) :

1.1.3 Régimes transitoires et régimes harmoniques. Fonctions de transfert

x(r, t)

On distingue deux types de régimes vibratoires : les régimes transitoires et les régimes établis. Leur étude va faire apparaître les fonctions de transfert, caractéristiques du système.

Dans la représentation continue de l’espace, r est la variable d’espace repérant les points de la structure dans sa position d’équilibre. Si la structure est discrétisée (éléments finis), la fonction est remplacée par le vecteur des déplacements de chaque nœud du maillage.

1.1.3.1 Étude des régimes transitoires Nous utiliserons pour cela la transformation de Laplace (TL) qui associe à une fonction x(t) une fonction complexe X(p) d’un paramètre complexe p.

Rappelons qu’un problème de mécanique, dans la représentation continue, doit comporter des « conditions aux limites ». Un des aspects de la discrétisation consiste donc à incorporer ces conditions dans les équations discrètes.

Les propriétés principales de cette transformation, en dehors de sa linéarité, sont les suivantes :

Les déplacements nodaux peuvent être également liés entre eux par des relations géométriques (liaisons).

● La « fonction » de TL unité est l’« impulsion » µ(t) (physiquement : force très intense exercée pendant un temps très court, correspondant à une quantité de mouvement unité).

En tenant compte de cet ensemble de relations on aboutit finalement à NN variables indépendantes (composantes d’un vecteur) qui définissent le mouvement du système.

● La TL de la dérivée d’une fonction x(t) (les éventuelles discontinuités de la fonction sont incluses dans sa dérivée sous la forme d’impulsions) est égale à :

C’est le vecteur des degrés de liberté (DDL) que nous notons : x(t)

pX(p)

C’est dans cet espace des DDL que nous nous placerons généralement pour écrire les équations des systèmes dynamiques.

●

z(t) =

1.1.2 Équations linéaires de l’équilibre dynamique Elles s’écrivent généralement sous la forme : Mγ + Av + Kx = f avec γ (t)

La TL d’un produit de convolution de deux fonctions x(t) et y(t) :

∫

t

y ( t – τ )x ( τ ) d τ

0

Z(p) = X(p)Y(p)

est :

L’équation (1) du mouvement du système initialement au repos (x = 0, v = 0) devient en TL :

(1)

(Mp2 + Ap + K)X(p) = F(p)

accélération = d2x/dt2,

(2)

Particularisons la source d’excitation en considérant une impulsion unité s’exerçant sur le DDL de rang n (impulsion localisée) :

v(t) vitesse = dx/dt. Mγ est le terme d’inertie linéarisé (petits mouvements) : il dérive de l’énergie cinétique du système. ● Kx est le terme de « raideur » : il dérive de l’énergie potentielle du système qui est généralement l’énergie élastique, mais qui peut être aussi l’énergie gravitaire, l’énergie de tension superficielle, etc., selon la nature du problème posé. ●

F (p) = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)T

(3)

Nous appellerons matrice de transfert H(p) la matrice dont les colonnes sont les vecteurs X, solutions de (2) pour une source de type (3) quand n varie de 1 à NN. Le terme (n, m) de cette matrice est la fonction de transfert faisant passer d’une impulsion unité exercée sur le DDL de rang n à la réponse du DDL de rang m.

Un système ne comportant que ces termes est dit conservatif. Les matrices de masse M et de raideur K sont respectivement définie positive et définie non négative. ● Av est le terme d’« amortissement visqueux » : il est d’une nature différente des deux précédents. En effet, il est dissipatif et il est généralement nettement plus petit que les précédents. Il ne représente pas forcément une réalité physique. En effet, les mécanismes de dissipation énergétique dans les structures sont complexes (microfrottements et microchocs aux liaisons par exemple) et difficiles à modéliser. Plusieurs phénomènes physiques peuvent être présents simultanément. Les forces généralement faibles qui leur correspondent sont quasi impossibles à mesurer.

La solution générale de (2) est alors : X(p) = H(p)F(p)

(4)

Donc la solution générale de (1) est donnée par la formule de Duhamel : x(t) =

∫

t

G ( t – τ )f ( τ ) d τ

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(5)

0

AF 5 250 − 3

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INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE VIBRANTE

_______________________________________________________________________________________________

G(t), original de Laplace de H(p), est la matrice « réponse impulsionnelle » ou matrice de Green du système.

Les Xn sont réels et ont les propriétés d’orthogonalité suivantes : T MX = X T KX = 0 si n ≠ m Xm n m n

La fonction de transfert H(p) et la réponse impulsionnelle G(t) caractérisent le système linéaire indépendamment des sources qui s’exercent sur lui.

Ｑ

Ils forment une base de projection de l’espace des vecteurs DDL. On les norme généralement en posant égale à 1 la composante de plus grand module. On peut définir alors, pour chaque mode :

1.1.3.2 Étude des régimes harmoniques Nous nous intéresserons ici aux régimes établis les plus simples : les régimes harmoniques.

— la masse généralisée :

m n = X nT MX n

mn > 0

— la raideur généralisée :

k n = X nT KX n

kn ⭓ 0

avec k n = m n ω n2

Soit un ensemble de sources d’excitation harmoniques unité localisées, définies comme au paragraphe précédent mais en remplaçant l’impulsion par la fonction harmonique eiωt.

1.2.2 Utilisation des modes propres

On montre facilement que la réponse du système tend asymptotiquement vers une fonction harmonique de même pulsation ω. Elle peut donc être représentée par une « amplitude complexe » dont le module et la phase représentent respectivement l’amplification et le déphasage de la réponse par rapport à la source.

La base des modes propres peut être écrite sous la forme d’une matrice X dont les colonnes sont les Xn. On peut écrire toute solution de (1) sous la forme :

On constate, en utilisant (1), (2) et (3), que la matrice des amplitudes complexes des réponses aux sources harmoniques définies plus haut n’est autre que :

x(t) = Xa(t)

(7)

Ce qui correspond à un changement de variables (DDL). a(t) est le vecteur des NN contributions modales (nouveaux DDL). Il vérifie le système :

H(iω) La fonction de transfert caractérise donc également le système pour les régimes harmoniques établis.

M g γ a + A′v a + K g a = f g

(8)

avec γa = d2a/dt2 et va = da/dt.

1.2 Modes propres

• Mg et Kg sont les matrices diagonales des masses et raideurs généralisées. • fg = XTf est le vecteur des forces généralisées.

1.2.1 Définition

• A′ = X T AX n’est généralement pas diagonale.

Reprenons l’équation (2). Sa solution est donnée formellement par :

Cependant, dans le cas d’amortissements faibles ou difficiles à modéliser, on a l’habitude de négliger les termes non diagonaux de A′ (hypothèse de Basile). Le système (8) est alors complètement diagonal :

X(p) = (Mp2 + Ap + K)−1F(p) La solution x(t) s’obtient par TL inverse et ce sont les pôles de X(p) qui conditionnent sa forme temporelle et en particulier les pôles de :

M g γ a + A g v a + K g a = fg

(9)

(Mp2 + Ap + K)−1 C’est-à-dire que la recherche des valeurs de p qui rendent singulière la matrice :

Ag est la matrice diagonale des amortissements modaux : 2mn ωn εn , avec εn coefficient d’amortissement réduit du mode n.

Mp2 + Ap + K

En fait l’hypothèse de Basile est valable si les modes sont « bien séparés » :

est un problème fondamental pour la caractérisation du système.

ωn – ωm ------------------------ >> max ( εn , ε m ) ωn + ωm

Nous avons noté le caractère « incertain » du terme d’amortissement. La théorie des modes propres est appliquée généralement au système non amorti, A = 0. On utilise de plus le paramètre ω plutôt que p (p = iω).

pour tout couple de modes n, m.

D’où la formulation classique du problème aux modes propres : Trouver les ω correspondant à l’existence d’une solution non triviale pour le système d’équations : (− Mω2 + K)X = 0

Remarque : quand les termes d’amortissement sont bien identifiés on a intérêt à utiliser la base des « modes complexes » qui correspondent aux solutions du problème : (− Mω2 + Aiω + K)X = 0

(6)

En particulier les pulsations de résonance Ωn sont complexes. Leurs parties réelles correspondent aux fréquences de résonance et leurs parties imaginaires correspondent à des coefficients d’amortissement modaux. Si ces derniers sont petits devant 1, on a :

Les propriétés des matrices M et K rappelées au § 1.1.2, permettent de montrer qu’il existe NN valeurs de ω ⭓ 0 que l’on classe par valeurs croissantes ωn (pulsations de résonance) auxquelles sont associés les vecteurs propres Xn (ou déformées modales), solutions de (6).

AF 5 250 − 4

Ωn = ωn(1 + iεn)

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_______________________________________________________________________________________________ INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE VIBRANTE

1.2.3 Expressions modales des fonctions de transfert et de Green

n=1 n=2

En utilisant (3), (7) et (9) transformées par Laplace, on peut écrire la matrice de transfert sous la forme d’une somme de contributions modales : H(p) = XTHgX avec

z L

0 n=3

(10)

Ｑ

Figure 1 – Poutre en flexion rotulée-rotulée. Allure des déformées modale

Hg matrice diagonale des H n = [ m n ( p 2 + 2 ε n ω n p + ω n2 ) ] – 1

De la même façon la fonction de Green s’exprimera par : G(t) = XTGgX avec Gg matrice diagonale des Gn = (mn ωn (si εn 0

an – j bn α n = ----------------------2

Si n = 0

α 0 = a 0 /2 (et b0 = 0)

Si n < 0

an + j bn α n = ----------------------2

Introduisons ϕn tel que :

Soit la fonction périodique x (t ) de période T.

αn = |αn | exp (jϕn )

D’après le théorème de Fourier (article Analyse harmonique, distributions, convolution [A 142] dans ce traité), on peut écrire x (t ) sous forme d’un développement :

d’où

a0 x (t ) = ------- + ( a 1 cos ω 0 t + b 1 sin ω 0 t ) 2 + ( a 2 cos 2 ω 0 t + b 2 sin 2 ω 0 t ) + ... (13)

bn ϕ n = arctan -------an

2.7 Extension aux fonctions non périodiques. Intégrale et transformée de Fourier

+ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ) + ... ∞

∑

( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t )

(14)

Nota : se reporter à l’article Analyse harmonique, distributions, convolution [A 142] dans ce traité.

n=1

Les constantes a 0 , a 1 , b 1 ... sont les coefficients de Fourier, ω 0 est la pulsation fondamentale, ν 0 la fréquence fondamentale (ω 0 = 2 π ν0 ).

BR 200 − 10

α n exp ( j n ω 0 t )

n=–∞

ou bien

a0 + x (t ) = ------2

∑

x (t ) =

On peut donc écrire :

avec

– T /2

On peut étendre à des fonctions non périodiques le développement en série de Fourier, en faisant l’hypothèse que ces fonctions ont une période T tendant vers l’infini.

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__________________________________________________________________________________________________________________________ VIBRATIONS

Ｑ

Figure 18 – Décomposition de la fonction de la figure 17a en ses quatre premiers termes

En posant :

ω = n ω 0 (pulsation du n e harmonique) 2π ∆ ω = n ω 0 – ( n – 1 ) ω 0 = --------T et en faisant T → ∞, on obtient :

 1 x (t ) = ---------  2π 1 x (t ) = --------2π

∞

–∞

X (ω) =





∞

–∞

[ x (t ) exp ( – j ω t ) ] d t

(21)

∞

–∞

avec

exp ( j ω t ) d ω

[ X ( ω ) exp ( j ω t ) ] d ω

(22)

∞

–∞

[ x (t ) exp ( – j ω t ) ] d t

(23)

X (ω ) est la transformée de Fourier de x (t ). On dit également que : x (t ) est la transformée inverse de Fourier de X (ω ) La transformée inverse de Fourier de X (ω ) peut encore s’écrire, en prenant la fréquence ν comme variable (ω = 2 π ν ) :

Figure 17 – Décomposition en série de Fourier de quelques fonctions périodiques

 X (ν) =  x (t ) =

La relation (18) : ∞

x (t ) =

∑

et

α n exp ( jn ω 0 t )

n=–∞

∞

∑

n=–∞

exp ( jn ω 0 t )



–∞

[ X ( ν ) exp ( 2 π j ν t ) ] d ν

(24)

[ x (t ) exp ( – 2 π j ν t ) ] d t

(25)

∞

–∞

X (ν ) est appelé le spectre de Fourier ou spectre de fréquences de la fonction non périodique x (t ). Si la fonction débute au temps t = 0, l’équation du spectre est :

où αn est donné par (19), devient :

ω0 x (t ) = -------2π

∞

T /2

– T /2

 [x (t ) exp (– j2 π ν t )] d t ∞

[ x (t ) exp ( – j n ω 0 t ) ] d t (20)

X (ν ) =

0

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ＲＷ

(26)

BR 200 − 11

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VIBRATIONS __________________________________________________________________________________________________________________________

Ｑ

Figure 19 – Intégrale de Fourier mise en évidence par analyse spectrale 1 [les raies de la figure supérieure (125, 375, 625, 875 Hz, ...) correspondent aux figures 17a et 18 pour une période T 0 = ---------- s ] 125

Le spectre de fréquences d’une fonction ne présentant aucun caractère de périodicité est un spectre continu (les intervalles entre les raies du spectre discontinu tendent vers zéro quand la période tend vers l’infini). On obtient l’intégrale ou la transformée de Fourier.

À la fréquence nulle, cette équation devient :

 x ( t ) dt ∞

X (0) =

(27)

0

Donc la composante du spectre pour ν = 0 est égale à l’aire située sous la courbe de la fonction x (t ).

Ce passage du spectre discontinu (série de Fourier ) au spectre continu (transformée de Fourier ) peut être mis en évidence en considérant par exemple une impulsion, de durée T = 1/250 s, d’amplitude a, se produisant avec différentes périodes (temps de récurrence) T0 multiples de T. On constate que : — quelle que soit T0 , pour des fréquences multiples de 1/T, les intensités des raies sont nulles ; — le nombre d’intervalles entre deux raies dont les amplitudes sont nulles est égal au rapport T0 /T (l’intervalle de fréquences entre deux raies est 1/T0) ; — Il n’existe aucune raie d’intensité non nulle à une fréquence inférieure à 1/T ; — le nombre de raies augmente quand T0 → ∞ ; — l’enveloppe de ces raies forme la transformée de Fourier sin π ν t . de l’impulsion ; son module a pour valeur aT -------------------πνt

X (ν ) est une fonction de la fréquence. Elle possède une partie réelle : Re { X ( ν ) } =



∞

–∞

[ x ( t ) cos 2π ν t ] dt

une partie imaginaire : Im { X ( ν ) } =



∞

–∞

[ x (t ) sin ( – 2 π ν t ) ] d t

Le spectre des amplitudes est donné par : |X (ν )| = [Re{X (ν )}2 + Im{X (ν )}2]1/2

(28)

et le spectre des phases par :



Im{X (ν)} Φ ( ν ) = arctan – -----------------------------Re { X ( ν ) }

BR 200 − 12



(29)

Ces résultats sont explicités à la figure 19.

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ＲＸ

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__________________________________________________________________________________________________________________________ VIBRATIONS

Les principales propriétés des transformées de Fourier utilisées dans les calculs relatifs aux vibrations sont indiquées dans le tableau 2 et quelques représentations sont données sur la figure 20 [2].

raux), si l’on utilise un analyseur de Fourier en temps réel mettant ainsi clairement en évidence les fréquences propres de la structure. Il est recommandé de frapper successivement la structure en des points et suivant des directions prédéterminés. Au moyen d’embouts interchangeables (acier, plastique, caoutchouc...), on peut modifier le contenu fréquentiel de l’impulsion d’impact. Il est possible d’étudier des structures dont la masse peut atteindre 1 000 kg. Les principaux avantages de cette méthode d’analyse sont les suivants : — matériel d’excitation réduit ; — fréquences propres mesurées exactes (il n’y a pas à faire des corrections pour tenir compte des masses additives et de l’amortissement introduits par la présence d’excitateurs) ; — temps d’analyse extrêmement réduit. Par contre, il est nécessaire de prendre des précautions pour comparer les hauteurs respectives des différentes raies du spectre. (0)

Application industrielle : on peut citer une application très utile et fréquemment utilisée de la fonction impulsion [en se rapprochant au maximum de δ (τ ) ; figure 20a ]. Elle consiste à exciter une structure au moyen d’un marteau instrumenté dit marteau d’impact dans lequel un capteur de force, incorporé dans la tête, enregistre la force transitoire appliquée à la structure. Un coup de ce marteau, aussi bref que possible, met en vibration la structure dans une large gamme de fréquences. Dans ces conditions, cette impulsion excite simultanément les premiers modes de vibration. Le mouvement vibratoire résultant est mesuré par des capteurs de faibles masses fixés sur la structure. Le signal résultant, très complexe (observé sur l’écran d’un oscilloscope, par exemple), se traduit par un spectre de raies (cas de faibles amortissements structu-

Tableau 2 – Transformées de Fourier de quelques fonctions Fonction du temps

Transformée de Fourier

réelle et paire.............................................. réelle et impaire .........................................

réelle et paire imaginaire et impaire

complexe et paire ...................................... complexe et impaire ..................................

complexe et paire complexe et impaire

réelle quelconque ......................................

x (t ).............................................................. a1 x 1 (t ) + a 2 x 2 (t ) ......................................

Remarques

 partie réelle paire  partie imaginaire impaire  X (ν) =



∞

–∞

x ( t ) exp ( – 2 π j ν t ) d t

x (t ) =



∞

–∞

X ( ν ) exp ( 2π j ν t ) d ν (transformée

inverse de Fourier) exprime la linéarité

a1 X 1 (ν ) + a 2 X 2 (ν )

1...................................................................

δ (ν )

δ (t ) ..............................................................

1

exp(– 2 π j ν t 0 ) .............................................

δ (ν – ν 0 )

d -------- x ( t ) ...................................................... dt

2 π j ν X (ν )

dn ----------x ( t ) .................................................... dt n

(2 π j ν )n X (ν )

x ( t ) ...........................................................

X (– ν )

x ( t ) : fonction complexe conjuguée de x (t )

f (t ) = x1 (t ) ∗ x 2 (t ).....................................

X1 (ν ) X 2 (ν )

f (t ) = x1 (t ) x 2 (t ) .......................................

X 1 (ν ) ∗ X 2 ( ν )

∗ indique un produit de convolution, c’est-à-dire une intégrale du type :

δ : distribution de Dirac



∞

–∞

x1 ( τ ) x2 ( t – τ ) d τ

théorème de Plancherel (article Analyse harmonique, distributions, convolution [A 142] dans ce traité)



∞

–∞

x ( t ) 2 dt =



∞

–∞

X ( ν ) 2 d ν est l’égalité de Parseval (article Analyse harmonique, distributions, convolution [A 142] dans ce traité)

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ＲＹ

BR 200 − 13

Ｑ

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VIBRATIONS __________________________________________________________________________________________________________________________

La transformée de Laplace d’une fonction tend vers la transformée de Fourier quand a → 0 ou p → j ω, si la fonction est nulle pour les temps négatifs.

2.9 Analyse cepstrale

Ｑ

Les représentations cepstrales existent sous plusieurs définitions mais, de manière générale, les cepstres peuvent être considérés comme des spectres de spectres représentés sur des échelles logarithmiques de fréquences. Les analyseurs en temps réel actuels permettent de les visualiser directement sur un écran ou une table traçante à partir d’un signal temporel x (t ). Si l’on utilise la terminologie  { } et  –1 { } pour indiquer les transformées de Fourier directe et inverse de la quantité entre accolades, on définit habituellement : — le cepstre de puissance : C p ( τ ) =  –1 { lg F ( ν ) } avec

(31)

F (ν) = {x (t )} 2

— le cepstre d’amplitude : C a ( τ ) =  –1 { lg X ( ν ) } avec

(32)

X (ν) = {x ( t )}

Puisque le spectre est habituellement exprimé en décibels (dB), le cepstre de puissance le sera en (dB)2 et celui d’amplitude en dB. Sur l’axe des abscisses, la variable τ du cepstre a été dénommée à l’origine la quéfrence, alors qu’elle a la dimension d’un temps. En changeant l’ordre des lettres, l’analyse cepstrale utilise le vocabulaire suivant :

Figure 20 – Représentation de quelques fonctions temporelles et de leurs transformées de Fourier

La transformation de Laplace de la fonction x (t ) est définie comme une fonction de la variable complexe p, par l’intégrale : ∞

0

avec

p

= a + jω

BR 200 − 14

au lieu de spectre ;

quéfrence

au lieu de fréquence ;

rahmonique

au lieu de harmonique ;

gamnitude

au lieu de magnitude (amplitude) ;

saphe

au lieu de phase ;

liftre

au lieu de filtre.

L’analyse cepstrale est un bon outil pour la détection de périodicités difficilement décelables dans un spectre de fréquences à cause, par exemple, de la présence de bandes latérales au voisinage d’une ou plusieurs fréquences porteuses provenant de défauts et se traduisant par des modulations. La détermination de ces fréquences de modulation peut être très utile pour le diagnostic des défauts (cas de vibrations dans des boîtes de vitesses, figure 21).

2.8 Transformation de Laplace

 x (t ) exp (– pt ) d t

cepstre

(30)

On l’utilisera également pour l’étude de signaux contenant des échos, l’analyse phonique, la sismographie, etc.

(a > 0).

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ＳＰ

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__________________________________________________________________________________________________________________________ VIBRATIONS

Ｑ

Figure 21 – Exemple d’analyse cepstrale d’un signal vibratoire provenant d’une boîte de vitesses (d’après Doc. Brüel et Kjaer [3])

3. Systèmes à un degré de liberté 3.1 Oscillations libres 3.1.1 Systèmes conservatifs 3.1.1.1 Système masse-ressort Considérant le système de la figure 22, on écrit que la somme des forces en présence est nulle (forces d’inertie s’opposant au mouvement et de rappel en sens inverse du mouvement) : d2 x - + (– k x) = 0 – m ----------dt 2

Figure 22 – Masse-ressort

(33)

avec

m masse, k rigidité du ressort. On en déduit : x = x 0 cos ω t

avec

x0

élongation fixée par les conditions initiales (à l’instant t = 0, la vitesse initiale est nulle et x = x 0 ) ;

ω=

k ------m

ou

m T = 2π ------k

Si la pesanteur intervient (figure 23), on a : d2 x - + k x = mg m ----------dt 2 mg x = a cos ω t + b sin ω t + ----------k avec

g a et b

Figure 23 – Masse-ressort avec intervention de la pesanteur

(34)

Si l’on prend pour conditions initiales : t = 0, x = x 0 , vitesse nulle, on a : mg a = x 0 – ------------ et b = 0 k

accélération de la pesanteur, constantes.

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BR 200 − 15

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ＳＲ

Applications en mécanique physique (Réf. Internet 42643)

Ｒ

1– Les vibrations 2– Les systèmes articulés

Réf. Internet page

Base des mécanismes articulés. Quadrilatère articulé

AF1671

35

Base des mécanismes articulés. Applications

AF1672

39

Ampliicateurs mécaniques passifs modernes. Concepts fondamentaux

AF1673

43

Ampliicateurs mécaniques passifs modernes. Conception

AF1674

47

Ampliicateurs mécaniques modernes. Partie 3

AF1675

51

3– L'acoustique 4– La dynamique du véhicule 5– Les solides déformables

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ＳＴ

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Base des mécanismes articulés Quadrilatère articulé par

Ｒ

Jean-Pierre BROSSARD Professeur de mécanique Institut national des sciences appliquées de Lyon

AF 1 671 - 2 — 2 — 2

1. 1.1 1.2

Rappels de cinématique générale..................................................... Description et modélisation ..................................................................... Rappels ......................................................................................................

2. 2.1 2.2 2.3

Relation de liaison ................................................................................ Forme explicite.......................................................................................... Intervalle de variation de la commande ϕ et de la réponse ψ .............. Tracé des courbes caractéristiques, position et vitesse ........................

— — — —

4 4 5 9

3. 3.1 3.2

Classification.......................................................................................... Mouvements possibles ............................................................................ Théorème de Grashof...............................................................................

— — —

12 12 16

Pour en savoir plus .........................................................................................

Doc. AF 1 671

e quadrilatère articulé ou mécanisme 4-barres est un mécanisme universel d’une très grande adaptabilité. Rappelons qu’on le trouve dans la direction de voiture avec le quadrilatère de Janteau, dans les suspensions de voiture avec la suspension à triangles superposés, ou le guidage d’un essieu rigide avec le trois-barres de Watt, dans les accessoires avec les commandes d’essuie-glace. Rappelons aussi que le système bielle-manivelle n’est qu’un cas particulier, comme le système de suspension Mac Pherson ou encore la genouillère utilisée dans les amplificateurs. Le mécanisme dit à 4-barres est un des mécanismes de référence de la cinématique. Ses premières études et applications industrielles sont dues à Watt avec le système dit trois-barres de Watt. Pendant une longue période on ne comptait pas le bâti comme une barre. Celles-ci ont donné lieu et donnent toujours lieu a un grand nombre d’études et de réalisation. Par ailleurs les études théoriques ont engendré un grand nombre de développements mathématiques qui ont essaimé dans d’autres domaines. La robotique a donné une nouvelle et forte impulsion. Dans ce premier article nous allons établir les méthodes générales. Il sera suivi d’un second article entièrement dédié aux applications.

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AF 1 671 – 1

ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＱＶＷＱ BASE DES MÉCANISMES ARTICULÉS ___________________________________________________________________________________________________

1. Rappels de cinématique générale

1.2 Rappels Nous aurons besoin par la suite de résultats de cinématique générale concernant le mouvement plan sur plan et, en particulier, ceux concernant les centres instantanés de rotation (CIR) Iji des solides Sj /Si .

1.1 Description et modélisation

Ｒ

Le mécanisme 4-barres est un système articulé dont l’allure générale est représenté à la figure 1. On dit quatre barres car on inclut le bâti S0 ; mais on parle du 3-barres de Watt. Il est constitué : – du bâti S0 ; – de la manivelle S1 qui correspondra à l’entrée du mécanisme ; – de la manivelle S2 qui correspondra à la sortie du mécanisme ; – de la bielle S3 ou bielle d’accouplement.

Sur la figure 3 les six centres instantanés sont figurés. Certains sont évidents comme les centres des articulations rotoïdes, I10 = O1 , I20 = O2 , I31 = A, I32 = B. Les autres I30 , I21 se déterminent à l’aide du théorème des trois plans glissants [A 1 663] : les CIR sont alignés trois à trois. Par exemple, si l’on veut I21 il est aligné avec I31 , I32 . On élimine l’indice commun entre les deux. Il est aussi aligné avec I10 , I20 . On l’obtient donc finalement par l’intersection de deux droites.

Les liaisons entre les 4 solides sont toutes des liaisons rotoïde
de même direction Z0 . Les éléments ont donc tous un mou
vement plan, la normale au plan du mouvement étant Z0 ; on a donc la représentation plane de la figure 2.

On notera que le CIR I21 est à l’intersection de la bielle d’accouplement AB avec l’axe O1O2 qui joint les axes de rotation fixes. Si le quadrilatère est croisé nous avons la situation représentée à la figure 4.

Les rotations de S1/S0 et de S2/S0 sont repérées par :



ϕ = (X 0 , OA) et ψ = (X 0 , O2B)

I30

Y0

Les longueurs des barres sont telles que :

B, I32





O1A = q , AB = r , BO2 = s , O1O2 = p A, I31

Nous avons ici les paramètres caractéristiques du mécanisme à 4 barres. Nous allons montrer que c’est un mécanisme à un degré de liberté et que nous avons une relation fondamentale de la forme ψ = f (ϕ).

2

3 1

I21

X0 O2, I20

O1, I10 3

0

ρ1

ρ2

Y0 B A

Figure 3 – CIR du quadrilatère convexe

1

2

O1

Y0

O2

I30

X0

0 Z0

Z0

Figure 1 – Allure générale d’un mécanisme 4-barres A, I31 Y0 1 3

A

1

r

q p

X0

I21

2

O2

ρ1

ψ

ρ2

O2, I20 2

X0 3

B, I32

0 Figure 4 – CIR quadrilatère croisé

Figure 2 – Représentation plane d’un mécanisme 4-barres

AF 1 671 – 2

X0

B s

ϕ

O1

O1, I10

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ＳＶ

ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＱＶＷＱ ___________________________________________________________________________________________________ BASE DES MÉCANISMES ARTICULÉS

On a de plus, de par la définition du CIR : On pose


V (I21) = 0 
21 

V21 (I21) = V20 (I21) − V10 (I21) 




V21 (I21) = Ω02 ∧ O 2 I21 − Ω01 ∧ O1 I21

ω02 ω01

= k . C’est le rapport de la vitesse de rotation

d’entrée à la vitesse de rotation de sortie ou rapport de transmission. Nous le désignerons aussi ultérieurement comme gain en vitesse : GV =

et : 



Ω02 = ω02 Z 0 , ω02 = ψ′ , Ω01 = ω01 Z 0 , ω01 = ϕ′



 O 2 I21 = ρ2 X 0 , O1I21 = ρ1X 0

(1)

Ｒ

ρ1 = − p + ρ1 k






V21 (I21) = ω02 Z 0 ∧ ρ2 X 0 − ω01 Z 0 ∧ ρ1X 0 

V21 (I21) = (ω02 ρ2 − ω01 ρ1) Y0 ω01

ρ1 ρ2

ρ2 = − p + ρ1

On peut donc écrire :

On a donc finalement ρ1 = p

k p et ρ2 = . k −1 k −1

On notera aussi un résultat commode, qui est immédiat à partir de la figure 6 où la relation dans des triangles semblables donne ρ2 /ρ1 = h2/h1 .

ρ1 ρ2

=

=k =

ω01


 O 2 I21 = ρ2 X0 
 
 O 2 I21 = O 2 I10 + I10 I21
 O 2 I21 = (− p + ρ1) X 0

Posons :

ω02

ω02

On a donc pour la forme convexe :

Si la bielle coupe O1O2 à l’extérieur ρ1 et ρ2 sont de même signe et les manivelles tournent dans le même sens. Si la bielle coupe O1O2 à l’intérieur ρ1 et ρ2 sont de signe contraire et les manivelles tournent en sens contraire. On notera que ce résultat est aussi

ω02 ω01

celui de deux engrenages de rayon ρ1 et ρ2 , mais ici les rayons

=

h1 h2

Si la forme est croisée, on a :

sont continûment variables (figure 5). ω02

On peut formaliser le résultat sous la forme suivante.

ω01 Y0

ω02

O2

O1

h1 h2

Ce résultat permet de traiter simplement un cas particulier important. Celui où la bielle d’accouplement est parallèle à O1O2 ce qui conduit au CIR à l’infini comme indiqué à la figure 7 et à l’indétermination du rapport de transmission sous la forme de l’équation (1). Il prend la forme ρ2 /ρ1 = ∞/∞. En utilisant cette relation, on a :

R2

R1

I21

=−

ω01

X0

=1

2

1

I30

Y0

H2 B, I32 h2

A, I31

Y0

2

3

R2 H1

R1

1

I21 O1

I21

O2

h1

X0

X0 O2, I20

O1, I10 ρ1

2 1

Figure 5 – Engrenages équivalents

0 ρ2

Figure 6 – Autre expression du rapport de transmission

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ＳＷ

AF 1 671 – 3

ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＱＶＷＱ BASE DES MÉCANISMES ARTICULÉS ___________________________________________________________________________________________________

2.1 Forme explicite

Y0

I21

∞

3

Forme 1

H2

H1

h1

2

1



(X0 , − X0 ) = π 







(X0 , − X0 ) = (X0 , O 2 B) + (O 2 B, O 2 A) + (O 2 A, X0 )

h2

π = ψ1 + β + α X0

O1

Ｒ

(2)

ψ1 = π − α − β

O2 0

Il faut maintenant exprimer α et β en fonction de ϕ.

Figure 7 – Cas du CIR à l’infini

■ Expression de α Y0 r

A

Nous avons l’expression concernant le produit vectoriel des 

vecteurs O 2 A et O 2 O1 :

B

λ z

β α

ϕ

O1






O2 A ∧ O2 O1 = O2 A O2O1 siin α Z 0

s

q

p

X0

On en déduit :

ψ O2

sin α =


O2 A = [− p + q cos ϕ , q sin ϕ , 0]0 
O2 O1 = [− p , 0, 0]0

Figure 8 – Paramétrage de calcul forme 1

Y0



 − p + q cos ϕ   − p  O2 A ∧ O2 O1 =  q sin ϕ  ∧  0    0   0 
O2 A = (p 2 + q 2 − 2 pq cos ϕ)1/2

A

λ q

z r

O1

ϕ

ψ

α

X0




(O2 A ∧ O2 O1) Z 0 

O2 A O2O1

β

z = (p 2 + q 2 − 2pq cos ϕ)1/2 z >0

O2

L’angle ϕ est limité par les valeurs qui rendent z > 0 :

s B

sin α = Figure 9 – Paramétrage de calcul forme 2

q sin ϕ (p 2 + q 2 − 2 pq cos ϕ)1/ 2

Ou encore

2. Relation de liaison

  q sin ϕ α = a sin   (p 2 + q 2 − 2 pq cos ϕ)1/ 2 

■ Expression de β

Nous allons établir plusieurs formes de l’équation de liaison. Pour cela nous utiliserons les figures 8 et 9 où apparaissent des paramètres auxiliaires eux-mêmes liés aux paramètres principaux. Ces deux figures correspondent à deux formes d’un même mécanisme. Dans les deux cas les barres sont identiques. Mettons en place le mécanisme. Pour cela attribuons une valeur à l’angle ϕ le point A est fixé. Le point B est à l’intersection du cercle centré en A et de rayon r et du cercle centré en O2 et de rayon s. On a deux solutions. Celle de la figure 8 que nous qualifierons de forme 1 et celle de la figure 9 que nous qualifierons de forme 2 :




AB = AO2 + O2 B 


2 
2 
2 AB = AO2 + O2 B + 2 AO2 O2 B 
2 
2 
2 

AB = AO2 + O2 B − 2O2 AO2 B 

r 2 = z 2 + s 2 − 2 O2 A O2 B cos β

r 2 = z 2 + s 2 − 2 z s cos β cos β =



α = (O2 A, − X 0 ) 

β = (O2 B, O2 A)

λ = (X 0 , AB) 
z = O2 A

AF 1 671 – 4

z 2 + s2 − r 2 2 zs

Nous avons donc finalement : cos β =

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p 2 + q 2 + s 2 − r 2 − 2 pq cos ϕ 2 s (p 2 + q 2 − 2 pq cos ϕ)1/ 2

(3)

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Base des mécanismes articulés Applications par

Ｒ

Jean-Pierre BROSSARD Professeur de mécanique Institut national des sciences appliquées de Lyon

1. 1.1

1.2

1.3

1.4

Mécanisme pour décrire une courbe algébrique .......................... Solution approchée de Watt pour décrire la ligne droite ...................... 1.1.1 Équation de liaison .......................................................................... 1.1.2 Trajectoire de M ............................................................................... 1.1.3 Applications...................................................................................... Solution exacte de Peaucelier-Lipkin ...................................................... 1.2.1 Description........................................................................................ 1.2.2 Inversion ........................................................................................... 1.2.3 Obtention du tracé de la droite ....................................................... 1.2.4 Tracé d’une droite donnée avec l’inverseur de Peaucelier........... Solution exacte de Hart ............................................................................ 1.3.1 Inverseur ........................................................................................... 1.3.2 Description de la droite ................................................................... Généralisation. Théorème de Kempe......................................................

AF 1 672 - 2 — 2 — 2 — 3 — 4 — 4 — 5 — 5 — 5 — 5 — 5 — 5 — 6 — 6

Mécanisme pour réaliser une fonction donnée ............................ Générateur approché de fonctions .......................................................... 2.1.1 Équation de Freudenstein ............................................................... 2.1.2 Représentation de la fonction et de la variable dans le mécanisme ................................................................................... 2.1.3 Méthode d’approximation à trois points de précision.................. Réalisation exacte de fonctions données................................................ 2.2.1 Dispositif de Bourlet et Davis – théorème de Bourlet ................... 2.2.2 Réalisation du dispositif de Bourlet avec des liaisons rotoïdes ........................................................................

— — —

7 7 7

— — — —

7 8 9 9

—

11

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Quadrilatère articulé comme amplificateur................................... Rappel : gain en effort .............................................................................. Expression du gain en effort à partir de la cinématique plane ............. Autre forme du gain en effort .................................................................. Angle de transmission ..............................................................................

— — — — —

12 12 12 13 14

4.

Conclusion...............................................................................................

—

15

2. 2.1

2.2

Pour en savoir plus ........................................................................................

Doc. AF 1 672

e quadrilatère articulé et d’une manière générale les systèmes articulés ont d’innombrables applications dans tous les secteurs de l’industrie : machine-outil, automobile, aviation, agriculture, robotique, médecine... On peut entre autres regrouper les applications en quatre familles : – le mécanisme qui permet à un point de décrire une courbe algébrique ; – le mécanisme permettant la réalisation exacte d’une fonction donnée ; – le mécanisme pour représenter approximativement une fonction donnée ; – le mécanisme qui permet l’amplification des actions mécaniques.

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AF 1 672 – 1

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BASE DES MÉCANISMES ARTICULÉS ___________________________________________________________________________________________________

Pour chacun des groupes, nous donnerons les méthodes détaillées pour conduire le lecteur jusqu’aux applications pratiques car les développements peuvent être complexes. Les résultats ont toujours été formulés avec les moyens de calculs dont on dispose facilement (MAPLE, MATLAB...), ce qui permet une exploitation facile des résultats.

Ｒ

1. Mécanisme pour décrire une courbe algébrique

B Y0

Cette question a été une question centrale de la cinématique pendant plusieurs siècles et son origine remonte à Watt avec le tracé d’une droite. Il faut bien en saisir l’enjeu théorique et pratique. En effet, il y a une différence importante entre générer une courbe et reproduire une courbe. Illustrons cela avec le cercle : – en faisant suivre au crayon le bord d’une pièce de monnaie, on trace un cercle qui est la reproduction d’un cercle existant ; – avec un instrument, le compas, on peut générer tout cercle de rayon donné, c’est-à-dire d’équation donnée.

3

ψ B0

0

M

O2 2

Pour la droite, la réponse est beaucoup plus difficile : – le tracé commun de la droite avec la règle est la reproduction d’une droite existante ; – il n’existe pas d’instrument simple pour générer une droite. L’équivalent du compas pour la droite fut inventé seulement en 1875 par Peaucelier, Watt en avait donné une solution approchée en 1782. Pour une courbe algébrique quelconque, la solution fut donnée par Kempe (1876).

X0

O,M0 A 1 0

M0O2 = (h,k,0) O2B0 = a

ϕ

O1

A0

O1A0 = a

a

1.1 Solution approchée de Watt pour décrire la ligne droite

Figure 1 – Mécanisme de Watt

Les coordonnées de A0 et B0 sont évidentes d’après la figure 1 :

Watt utilise un quadrilatère dont un point particulier d’une barre décrit une courbe qui a la forme du chiffre 8, une lemniscate. Un tronçon de la courbe est proche de la droite. Les solides S1 , S2 , S3 constituent les trois barres mobiles du mécanisme de Watt (figure 1). Avec le solide S0 , elles forment un quadrilatère articulé. Les bielles sont liées par des liaisons rotoïdes
d’axe Z 0 . Nous étudierons la position du point M, milieu de la bielle de liaison AB. C’est ce point qui va décrire approximativement une portion de ligne droite. Les deux manivelles sont de longueur égale. La rotation des manivelles est comptée à partir d’une position où les manivelles sont parallèles. Le repère de référence


est le repère [M0 , X 0 , Y0 , Z 0 ] : 

ϕ = (O1A0 , O1A) 

ψ = (O 2B, O 2B0 )


M0A0 = [− h + a , − k , 0]0


et M0B0 = [h − a , k , 0]0


On a immédiatement le vecteur A0B0 = [2 (h − a), 2 k , 0] . La longueur ℓ de la bielle est donc : ℓ = 2 (h − a) 2 + k 2 L’équation de liaison s’obtient en écrivant qu’au cours du mouvement, la longueur de la bielle demeure invariable : 

AB = A0B0 On a immédiatement :

Le point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes :


AB = [2 h − a (cos ψ + cos ϕ), 2 k + a (sin ψ − sin ϕ), 0]0


OM = [x , y , 0]0

Pour la suite nous écrirons ce vecteur sous la forme :

1.1.1 Équation de liaison Remarquons tout d’abord que si l’on se donne la longueur des bielles S1 et S2 et les positions des points d’ancrage O1 et O2 alors la longueur de la bielle S3 est déterminée.

AF 1 672 − 2

a


 ψ+ϕ ψ−ϕ ψ+ϕ ψ−ϕ  , 0 AB =  2 h − 2 a cos cos , 2 k + 2 a cos sin 2 2 2 2  

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ＴＰ

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ϕ

y0

2

4

1,5 2 1 x0 0,5

–4

0

–2

θ [rad] –2

– 1,5

–1

– 0,5

4

–2

0,5 – 0,5

–4

Figure 3 – Courbe du trois-barres

Figure 2 – Courbe entrée sortie


2 
2 En écrivant que AB = A0B0 et en développant, on trouve :

Mais, nous n’avons pas complètement éliminé les variables angulaires. On peut y parvenir en procédant de la manière suivante :

2

ψ + ϕ ψ−ϕ ψ − ϕ ψ+ϕ   + 2 h cos − k sin a  sin cos = 2h  2  2 2  2 

x ψ−ϕ ψ+ϕ sin = k sin a 2 2 y ψ−ϕ ψ+ϕ sin h = h cos a 2 2 k

C’est la relation de liaison entre les angles de rotation des bielles S1 et S2 . Elle est sous forme implicite. La représentation graphique est donnée à la figure 2. Le mouvement des deux bielles n’est pas révolutif. Chacun des angles passe par un maximum et un minimum.

D’où l’on déduit :

1.1.2 Trajectoire de M

h cos

On obtient facilement les coordonnées du point M : 


M A + M B 0 M0M = 0 2

ψ−ϕ = 2

hy ψ+ϕ 2

et k sin

a sin

ψ−ϕ = 2

kx ψ+ϕ 2

a sin

Ce qui permet d’écrire l’équation de liaison sous la forme : 2

hy kx   2 − (a − x 2 − y 2 ) = (x 2 + y 2 − 2ha)2 4 ψ+ϕ ψ+ϕ a sin  a sin  2 2


En posant M0M = [x , y , 0] , on a : x=

2

a a (cos ϕ − cos ψ) et y = (sin ϕ + sin ψ) 2 2

soit encore :

Ce ne sont pas des coordonnées paramétriques. Nous allons chercher l’équation cartésienne de la courbe sous forme implicite via une succession de transformations.

4 (hy − k x )2

Ces expressions peuvent se mettre sous la forme : ψ−ϕ ψ+ϕ sin 2 2 ψ−ϕ ψ+ϕ sin y = a cos 2 2 x = a sin

(a 2 − x 2 − y 2 ) ψ + ϕ  a 2  sin  2 

ψ + ϕ  Mais x 2 + y 2 = a 2  sin  2  s’écrit donc :

2

= (x 2 + y 2 − 2ha)2

2

l’équation cartésienne de la courbe

4 (h y − k x) 2 (a 2 − x 2 − y 2 ) = (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 − 2 h a) 2

En utilisant ces expressions pour transformer l’équation de liaison, on obtient après simplification :

C’est une courbe du 6e degré. Elle a l’allure de la figure 3. Sur un intervalle important, la courbe se confond avec l’axe des y0 .

2

ψ−ϕ ψ − ϕ  4  h cos − k sin (a 2 − x 2 − y 2 ) = (x 2 + y 2 − 2 ha) 2  2 2 

En pratique, on utilise un mécanisme tel que celui de la figure 4.

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AF 1 672 – 3

Ｒ

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Z10,Z0

B 2 1

Z1

M

3

C

A

O1

4 M0

Caisse

D O10 1

Ｒ

Y1

Figure 4 – Mécanisme utilisé

ϕ Y10,Y0

M

Essieu

Z1 Z10

Y1

ϕ

O11

Y10

Caisse

Figure 7 – Effet du trois-barres

O10

Position initiale

Essieu

O’1

Sol Figure 5 – Déplacement latéral de la caisse

1 2

I13

Figure 8 – Trois-barres Aston Martin

A

B M

Avec le trois-barres de Watt, le point M lié à la barre 3 et à l’essieu est obligé de se déplacer dans le plan de symétrie [O1 , Z1 , X1] de la caisse (figure 7).

3 0

C

4

D

Une représentation typique d’une réalisation d’un mécanisme trois-barres pour une Aston Martin est donnée à la figure 8.

Figure 6 – Pont arrière guidé

Il existe d’autres réalisations approchées. Les plus connues sont celles de Tchebitcheff et de Robert.

1.1.3 Applications Le guidage par un trois-barres de Watt a donné lieu et donne toujours lieu à de nombreuses applications comme c’est le cas dans l’industrie automobile pour les suspensions de voiture.

1.2 Solution exacte de Peaucelier-Lipkin

S’il y a simplement des éléments élastiques interposés entre la caisse et l’essieu, il n’y a pas de guidage latéral de l’essieu par rapport à la caisse comme indiqué à la figure 5 lorsqu’il y a du roulis repéré par l’angle ϕ .

La solution exacte pour décrire la ligne droite fut trouvée indépendamment par Charles-Nicolas Peaucelier (1832-1913) et Lipkin Lipman (1846-1875). Tous deux utilisèrent les propriétés de l’inversion : l’inverse d’un cercle passant par le pôle d’inversion est une droite. Le cœur de leur découverte est donc celle d’un mécanisme articulé réalisant l’inversion.

Adoptons maintenant un trois-barres de Watt comme indiqué à la figure 6.

AF 1 672 – 4

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Amplificateurs mécaniques passifs modernes Concepts fondamentaux par

Ｒ

Jean-Pierre BROSSARD Professeur de mécanique Institut national de sciences appliquées, Lyon, France

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Étude détaillée de quelques amplificateurs .................................. Levier.......................................................................................................... Couple d’engrenage.................................................................................. Pinces étaux............................................................................................... Mécanismes de blocage ........................................................................... Broyeur de roches.....................................................................................

2. 2.1 2.2 2.3

Modèle d’étude ...................................................................................... Équation de liaison ................................................................................... Gain en vitesse .......................................................................................... Gain en effort.............................................................................................

— — — —

4 4 5 6

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Comportement dynamique ................................................................. Modèle du dispositif test .......................................................................... Mise en équation....................................................................................... Analyse des actions mécaniques agissant sur le mécanisme d’essai ... Écriture de l’équation................................................................................

— — — — —

8 8 8 9 11

4. 4.1 4.2 4.3

État d’équilibre, stabilité..................................................................... État d’équilibre .......................................................................................... Équation du mouvement voisin............................................................... Condition de stabilité ................................................................................

— — — —

13 13 13 14

5.

Problème du frottement de type Coulomb ....................................

—

14

6.

Perte de gain par déformation des solides du mécanisme .......

—

15

Pour en savoir plus ........................................................................................

AF 1 673 - 2 — 2 — 3 — 3 — 3 — 4

Doc. AF 1 673

es multiplicateurs d’actions mécaniques ou amplificateurs passifs sont des mécanismes destinés à obtenir des actions mécaniques importantes à partir d’actions mécaniques facilement disponibles, en général humaines. Ils permettent d’amplifier les forces ou les couples. Leur usage est universel et leur histoire se confond avec celle de l’humanité. Notons qu’il ne faut pas confondre les multiplicateurs d’effort avec de véritables amplificateurs mécaniques actifs qui sont des servomécanismes. Ces derniers ont donné lieu aux servofreins mécaniques largement utilisés dans l’industrie automobile avant la Seconde Guerre mondiale (Hallot, Renault, Hispano-Suiza). Dans les servomécanismes, il y a apport extérieur d’énergie et l’on distingue la partie commande de la partie actionnement, l’effort humain se limitant pratiquement à la commande. Dans tout ce qui suit il ne sera question que de mécanismes multiplicateurs ou amplificateurs passifs. Cet article est le premier d’une série de trois articles. Nous passerons en revue un certain nombre d’exemples familiers puis nous étudierons en détail un amplificateur type en dégageant les principes fondamentaux comme le gain en effort ou le gain en vitesse.

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L

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AF 1 673 – 1

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1. Étude détaillée de quelques amplificateurs

Pour les états de mouvement, on peut se référer à [AF 1 667] : ‡¥ ‡ ‡ ¥ FE 1 = FE 1X 1 ‡ ‡ ‡ ‡ ¥ ¥ FE 2 = FE 2X 1

Parmi les plus simples et les plus utilisés des amplificateurs, on trouve les leviers et les couples d’engrenage. Ces deux dispositifs vont nous servir au cours de cette introduction à définir des concepts fondamentaux qui s’appliquent à tous les systèmes multiplicateurs d’actions mécaniques quelle que soit leur complexité.

Ｒ

On obtient les résultats suivants de cinématique et de dynamique : ‡¥ ‡ ‡ ‡¥ ‡ ‡ FE 1 ℓ1 = FE 2 ℓ2 ‡ ‡ ‡ ¥ V(0A) = ℓ1θ ′ ‡¥ ‡ ‡ V(B0) = ℓ2θ ′

1.1 Levier

0

Le levier S1 est une barre rigide AB articulée en O au solide S0 ¥ par une articulation rotoïde d’axe [O , Z 0 ] . Le mouvement de S1 par ¥ ¥ rapport à S0 est repéré par θ = (X 0 , X 1) . À ce solide S1 on applique ¥ ¥ des actions mécaniques représentées par les vecteurs FE 1 et FE 2 ‡¥ ‡ ‡ aux points A et B. Ici FE 1 se lit comme action de l’extérieur sur le solide S1 . Ces vecteurs sont orthogonaux à AB. Sur la figure 1 on a également représenté les vecteurs vitesse des points A et B. On notera que sur la figure les vecteurs sont tous dirigés positivement ¥ suivant l’axe X 1. On notera aussi que l’on peut définir, au sens où l’entendent les automaticiens, une entrée et une sortie. L’entrée ici sera au point A et la sortie au point B.

2

Nous pouvons alors définir trois rapports qui, dans tous les cas, traduiront les caractéristiques de l’amplificateur.

1.1.1 Gain en effort C’est le rapport entre l’effort d’entrée et l’effort de sortie : ‡¥ ‡ ‡ FE 2 ℓ GF = ‡¥ ‡ ‡= 1 ℓ 2 FE 1

(3)

Notons que l’on aurait dû mettre en toute logique au numérateur ‡ ‡ ‡ ‡ ¥ ‡ ‡ ‡ ¥ ‡¥ ‡ ‡ F 2E et non FE 2 . Le vecteur FE 2 est l’action du mécanisme sur l’extérieur et FE2 l’action de l’extérieur sur le mécanisme. On a :

L’entrée sera caractérisée par : ‡¥ ‡ ‡ – l’effort d’entrée FE 1 ; ‡ ‡ ‡ ¥ – la vitesse d’entrée V(0A) .

‡ ‡ ‡ ‡ ¥ ‡ ‡ ‡ ‡ ¥ F 2E + FE 2 = 0

La sortie sera caractérisée par : ‡¥ ‡ ‡ – l’effort de sortie FE 2 ; ‡¥ ‡ ‡ – la vitesse de sortie V(B0) .

1.1.2 Gain en vitesse C’est le rapport entre la vitesse de sortie et la vitesse d’entrée :

Pour les notations employées, on peut se référer à [AF 1 661]. On suppose le système en état stationnaire, c’est-à-dire θ′ égal à une constante.

→ F E1

(2)

 A 0A = ℓ 1θ  B B = ℓθ

C’est le plus ancien des dispositifs, il est représenté sur la figure 1.

Y1

(1)

‡¥ ‡ ‡ V(B0) ℓ GV = ‡‡‡ ¥= 2 ℓ1 V(0A)

(4)

En général, on désigne le gain en vitesse par i comme on le fait pour les transmissions [1].

→ Vo (A)

On obtient ainsi une relation fondamentale de tous les amplificateurs directs :

A

θ

Y0

GF =

X1

1 1 = GV i

(5)

p 1

Le gain en effort est l’inverse du gain en vitesse. X0

O

→ F E2

1.1.3 Gain en déplacement

p 2 → Vo (B)

C’est le rapport entre le déplacement de sortie et le déplacement d’entrée :

B

GD =

0

Figure 1 – Levier

AF 1 673 – 2

 B ℓ 0B = 2  A A ℓ1

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(6)

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1.2 Couple d’engrenage

Nous venons de voir la « loi d’airain » des amplificateurs mécaniques directs : ce que l’on gagne en effort est perdu en déplacement et cela est vrai quel que soit le type de mécanisme utilisé.

L’amplificateur dans le cas du couple d’engrenage est déja plus complexe car il a deux éléments. Du point de vue du mécanisme vu comme un amplificateur, il est représenté à la figure 2. Les liaisons S0 ↔ S1 et S0 ↔ S2 sont des liaisons rotoïdes d’axe ¥ [O , Z 0 ] . Pour cet amplificateur on peut distinguer : – l’entrée qui se fait sur l’axe du solide S1 avec le couple CE1 et

Mais dans de nombreuses applications, l’exigence d’une amplification d’effort, c’est-à-dire GF grand, ne concerne qu’une partie de la course du mécanisme. Pour une autre partie, c’est au contraire l’exigence d’une démultiplication importante qui prédomine, c’est-à-dire GV grand. On aboutit donc au concept d’amplification variable. Ces amplificateurs sont aussi très nombreux. Nous allons en donner quelques exemples.

la vitesse de rotation θ1′ ; – la sortie qui se fait sur l’axe 2 du solide S2 avec le couple CE2 et la vitesse de rotation θ2′ . Comme précédemment, nous pouvons définir le gain en effort GF , le gain en vitesse GV et le gain en déplacement GD :

1.3 Pinces étaux

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ¥ ME 2(O2 ) CE 2 R1 ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ¥= GF = ‡ = ME 1(O1) CE 1 R2 ‡¥ ‡ ‡¥ Ω20 ⋅ Z 0 θ2′ ‡ ‡¥ = GV = ‡¥ =i θ1′ Ω0 ⋅ Z 1

Un exemple de pince étau est donné à la figure 3. Le mécanisme amplificateur ici est un quadrilatère articulé O1ABO2 . Parmi les exemples de tels mécanismes, on compte les pinces coupe boulons, les sécateurs démultipliés.

1.4 Mécanismes de blocage

0

1 GF = GV

Parmi les mécanismes d’amplification variables, on compte les systèmes de fixation rapides des pièces pour l’usinage (figure 4), les fixations de sécurité pour skis, les fermetures rapide de bouteilles...

θ GD = 2 θ1 On constate que comme précédemment on a GF =

Y1

y

Y0

Y2

Y0

1 . GV

S2

θ2

B

θ1

O2

O1

CE2

x A

X0 O1

S1 R1

O2 R2

CE1

Figure 3 – Schéma d’une pince étau

Figure 2 – Couple d’engrenage

y

A

B A

O1

O2

x

B

O1

O2

Figure 4 – Mécanisme de blocage

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AF 1 673 – 3

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Il est constitué des barres S1 , S2 , AB, OA qui sont des solides rigides. Les liaisons en O, A, B sont des liaisons rotoîdes d’axe ¥ [O , Z 0 ] . Les autres liaisons sont des liaisons prismatiques. Dans cette schématisation où il s’agit de cinématique et de géométrie on a utilisé pour la simplicité de représentation certaines liaisons prismatiques. Mais pour la réalisation, il faudra se garder d’une telle idée et en principe les remplacer par un système équivalent fait de liaison rotoïdes. Notons encore que, dans les livres de technologie, la liaison rotoïde est dite pivot et la liaison prismatique dite glissière.

Figure 5 – Broyeur de roches

À l’entrée du mécanisme, en A, le torseur des actions extérieu‡‡‡¥ ¥ res est réductible à un vecteur glissant FE 1 = − FE 1Y0 , FE 1 > 0 . À la sortie du mécanisme, en C, le torseur des actions mécaniques est ‡‡‡‡¥ ¥ réductible à un vecteur glissant FE 2 = FE 2Y0 . Les points A, B sont ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ repérés par OA = [x 1, y 1, 0]0 et OB = [x 2 , y 2 , 0]0 .

1.5 Broyeur de roches

2.1 Équation de liaison

À ce dispositif représenté sur la figure 5 se rattachent les mécanimes de presse, de riveteuse...

Cette étape est capitale. On peut dire en quelque sorte que l’équation de liaison est la signature du mécanisme en tant qu’amplificateur. Ici, l’établissement de l’équation de liaison est évidente. En général, il n’en est pas ainsi. Chaque mécanisme innovateur est une invention, en fait un cas singulier. Ici le mécanime est un système bielle manivelle avec une longueur de bielle égale à celle de la manivelle. Pour écrire l’équation de liaison, il faut donc inventer parallèlement le modèle mathématique de la liaison. Dans notre cas, il s’agit de trouver la relation entre x2 et y1 . ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ On a immédiatement, par projection des vecteurs OA et OB :

Ｒ

Après cette longue énumération d’amplicateurs passifs mécaniques, nous allons étudier la conception d’un amplificateur à gain variable à partir d’un exemple pour lequel il est possible de développer complètement les calculs et de mettre en évidence les méthodes générales qui devront être utilisées pour un amplificateur quelconque. L’étude de l’exemple peut être considéré comme un plan général d’étude.

x1 = ℓ 1 cosα , y 1 = ℓ 1 sin α , x 2 = ℓ 2 + 2 ℓ 1 cosα

2. Modèle d’étude

et y 2 = 0

(7)

On en déduit : Nous prendrons comme exemple un système très utilisé, le mécanisme dit genouillère schématisé à la figure 6. Il s’agit du système typiquement utilisé pour le broyeur de roches afin d’obtenir une force d’écrasement très importante.

sin α =

y  y1 et cosα = 1−  1  ℓ1  ℓ 1

2

(8)

Finalement on obtient : → F E1

y  x 2 = ℓ 2 + 2 ℓ 1 1−  1   ℓ 1 1

2

(9)

Cette relation peut être utilisée sous forme explicite x2 = f (y1) ou, sous forme implicite f (y1, x2) = 0. On peut aussi utiliser la forme paramétrique :

y 1 = ℓ 1 sinα et x 2 = ℓ 2 + 2 ℓ 1 cos α

Entrée Y0

Les trois formes ont leur intérêt. Avant l’ère des calculateurs, la forme implicite était très utilisée. La forme explicite est la plus adaptée pour notre étude car elle relie directement l’entrée et la sortie.

A, [x1, y1, 0] p1

p1

p2

α X0

Quelle que soit la forme retenue, on obtiendra comme représentation sans restriction sur l’intervalle de variation une ellipse (figure 7).

→ F E2

O 0

B, [x2, y2, 0]

2

Le mécanisme tel qu’il est représenté ne fonctionne que sur une partie de l’intervalle de variation que nous allons préciser à la figure 8 où la position de sortie est représentée en fonction de la position d’entrée.

Figure 6 – Genouillère

AF 1 673 – 4

(10)

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Amplificateurs mécaniques passifs modernes Conception

Ｒ par

Jean-Pierre BROSSARD Professeur de mécanique Institut National de Sciences Appliquées, Lyon, France

1. 1.1 1.2 1.3

Systèmes cinématiquement possibles ............................................ Cames ........................................................................................................ Courbes roulantes..................................................................................... Quadrilatère articulé .................................................................................

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Choix du mécanisme ............................................................................ Existence d’un point mort ........................................................................ Fermeture de la chaîne cinématique....................................................... Possibilité de régler le jeu ........................................................................ Puissance dissipée par les actions de liaisons internes ........................ Puissance dissipée par les actions de liaisons externes .......................

— — — — — —

4 5 5 7 7 9

3. 3.1 3.2

Liaisons pseudo-rotoïdes .................................................................... Liaison pseudo-rotoïde compliante......................................................... Articulation pseudo-rotoïde par roulement............................................

— — —

10 10 11

4.

Réalisation d’un gain en effort important .....................................

—

13

5. 5.1 5.2 5.3 5.4

Quelques réalisations contemporaines........................................... Réalisation avec liaisons rotoïdes classiques......................................... Réalisation avec liaisons pseudo-rotoïdes ............................................. Réalisation avec rampe à billes ............................................................... Système Siémens .....................................................................................

— — — — —

14 14 14 14 14

6.

Conclusion ..............................................................................................

—

15

Pour en savoir plus .........................................................................................

AF 1 674 - 2 — 2 — 2 — 3

Doc. AF 1 674

ans ce deuxième article nous allons essayer de dégager des règles générales basées principalement sur la cinématique et la dynamique et destinées à orienter le choix des solutions. On souhaite réaliser un mécanisme où une variable de sortie ψ est fonction d’une variable d’entrée ϕ. C’est donc un système à un degré de liberté. Dans cette phase de l’étude nous considérerons que le système est formé de solides indéformables.

D

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Nota : Une exigence fondamentale est que la puissance développée par les actions de liaison soit la plus faible possible ou encore que le rendement global soit le plus grand possible.

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AF 1 674 – 1

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On peut prendre comme gain en vitesse, pour avoir une expression sans dimension, l’expression suivante :

1. Systèmes cinématiquement possibles Dans ce qui suit les actions mécaniques peuvent être des forces ou des moments suivant le mécanisme considéré.

En appliquant le théorème de la puissance virtuelle on aura lorsque le système est en équilibre :

On peut repérer le point de contact par : ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ ‡‡¥ OA = x X 0 et θ = (X 0 , X 1)

(1)

h x = f (θ ) 2

CE 1θ ′ * + FE 2 x ′* = 0

(6)

dx   CE 1 + dθ FE 2  θ ′* = 0  

(7)

On a donc la relation entre le couple d’entrée et la force de sortie :

‡‡‡‡¥ ¥ La relation de liaison est x = x (θ ). Désignons par xm (OA0 = xm X 0 ) et xM les valeurs minimum et maximum de x et posons h = xM – xm . On peut écrire l'équation de liaison sous la forme :

CE 1 +

h F 2E GF = 2 CE 1

(2)

GF = dx h df dθ = dt 2 dθ dt

(8)

(9)

soit :

On en déduit : (3)

h 1 2 dx dθ

(10)

Et l’on constate à nouveau que le gain en effort est l’inverse du gain en vitesse.

1.2 Courbes roulantes

→ y0

Les courbes roulantes (figure 2) sont les sections des cylindres axoïdes de deux solides S1 et S2 tournants autour d’axes fixes ‡‡¥ d’un solide S0 . Les axes ont la direction de X 0 . Ce sont les analogues des cercles primitifs des engrenages cylindriques circulaires. Le contact introduit une liaison entre les angles de rotation ψ1 et ψ2 :

→ x ρ

→ x1

ϕ M

1

m0 θ

0

M0

m

ψ 2 = F (ψ 1)

A

O O 1

→ x0

A0 (C)

(11)

On en déduit :

2

ψ 2′ =

x

∂F ψ 1′ ∂ψ 1

ψ 2′ ∂F = ψ 1′ ∂ψ 1 ∂F GV = ∂ψ 1

0

(12)

Il doit y avoir roulement sans glissement au point de contact. Pour cela cherchons le centre instantané de rotation du mouvement de ‡¥ ‡ S2 /S1 , c’est-à-dire le point tel que V21 (I) = 0 .

Figure 1 – Modélisation d’une came

AF 1 674 – 2

dx FE 2 = 0 dθ

On peut prendre comme gain en effort l’expression suivante :

θ est la variable d’entrée et x la variable de sortie. L’entrée est une rotation et la sortie une translation.

ρ0

(5)

Du point de vue des actions mécaniques l’entrée sera le couple ‡‡‡‡¥ ‡‡¥ ‡‡‡‡¥ ‡‡¥ ME 1 Z 0 = CE 1 et la sortie la force FE 2 X 0 = FE 2 .

Elles permettent de réaliser toute fonction donnée. Il en existe de très nombreux types. Un mécanisme à came peut typiquement être modélisé comme indiqué sur la figure 1.

→ y

2 dx h dθ

GV =

1.1 Cames

→ y1

(4)

On a donc :

Plusieurs types de mécanismes permettent d’avoir un gain de vitesse GV < 1 et donc un gain en force GF > 1. On peut les classer selon trois catégories.

Ｒ

dx GV = dt h dθ 2 dt

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Posons : → z2

→ z0

∂F ∂ψ 1 1 ‡‡¥ Z0, ρ1 = d , ρ2 = − d ∂F ∂F −1 −1 ∂ψ 1 ∂ψ 1 ‡‡‡‡¥ ‡‡¥ ‡‡‡‡‡¥ ‡‡¥ O1I * = ρ1 Z 0 et O2I* = − ρ2 Z 0

ψ2

(C2)

→ v0

O2 I*3

(17)

Des relations (12) et (17), on déduit notamment que :

ψ2 3 → z1

0

1

→ y1

d

ψ1

3

O1

(18)

En valeur absolue le rapport des vitesses de rotation est égal au rapport des rayons comme pour les engrenages classiques, mais ici les rayons sont variables. Les courbes roulantes permettent donc d’obtenir un rapport de transmission variable ou encore un gain de vitesse variable.

2 I*1

0

ρ1 ψ′ ∂F =− 2 =− ρ2 ψ 1′ ∂ψ 1

→ y2

→ y0

Du point de vue des actions mécaniques l’entrée est un couple ‡‡‡‡¥ ‡‡‡‡‡¥ ¥ ¥ ME 1 (O1) X 0 = CE 1 et la sortie un couple ME 2 (O 2 ) X 0 = CE 2. En appliquant le théorème de la puissance virtuelle, on aura lorsque le système est en équilibre :

(C1)

‡‡‡¥ Figure 2 – Courbes roulantes. Axes de rotation X 0

CE 1ψ 1′* + CE 2 ψ 2′* = 0  ∂F  ′*  CE 1 + CE 2 ∂ψ  ψ 1 = 0 1

On démontre que l’on a [A 1 663] : ‡‡‡¥ ‡¥ ‡ ‡‡‡‡¥ Ω1 ∧ V 1 (O ) 1 2 ‡‡‡¥2 O1I* = Ω12

CE 1 + CE 2

(13)

(19)

∂F =0 ∂ψ 1

Le gain en effort est :

‡‡‡¥ ‡¥ ‡ Calculons Ω12 et V21 (O1) :

C 2E CE 1 1 GF = ∂F ∂ψ 1

GF =

‡‡¥ ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ Ω12 = Ω20 − Ω10 ‡‡¥ ‡‡‡¥ Ω12 = (ψ 2′ − ψ 1′ ) X 0 ‡‡¥  ∂F ‡‡‡¥  Ω12 =  − 1 ψ 1′ X 0  ∂ψ 

(20)

1

1.3 Quadrilatère articulé

‡‡¥ ‡‡¥ ‡‡¥ V21 (O1) = V20 (O1) − V10 (O1) ‡‡¥ V10 (O1) = 0 ‡‡¥ ‡‡‡¥ ‡‡‡‡‡¥ V 0 (O1) = Ω20 ∧ O2 O1 ‡‡¥ 2 ‡‡‡¥ ‡‡¥ V20 (O1) = ψ 2′ X 0 ∧ − dZ 0 ‡‡¥ ‡‡¥ V21 (O1) = dψ 2′ Y0 ‡‡¥ ∂F ′ ‡‡¥ V21 (O1) = d ψ 1Y0 ∂ψ 1

Le mécanisme « 4 barres » est un système articulé dont l’allure générale est représenté sur la figure 3. On dit quatre barres car on inclue le bâti S0 , mais on parle aussi du trois barres de Watt. Il est constitué :

(14)

– du bâti S0 ; – de la manivelle S1 qui correspondra à l’entrée du mécanisme ; – de la manivelle S2 qui correspondra à la sortie du mécanisme ; – de la bielle S3 ou bielle d’accouplement. Les liaisons entre les quatre solides sont toutes des liaisons ‡‡¥ rotoïdes de même direction Z 0 . Les éléments ont donc tous un ‡‡¥ mouvement plan, la normale au plan du mouvement étant Z 0 . On a donc la représentation plane de la figure 4.

On a donc finalement la position de I* : ∂F ‡‡‡‡¥ ∂ψ 1 ‡‡¥ Z0 O1I* = d ∂F −1 ∂ψ 1

Les rotations de S1/S0 et de S2/S0 sont repérées par : ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ ϕ = (X 0 , OA) ‡‡‡¥ ‡‡‡¥ ψ = (X 0 , CB)

(15)

Le point I* est situé sur O1O2 . On a immédiatement : ‡‡‡‡‡¥ O2I* = d

1 ‡‡¥ Z0 ∂F −1 ∂ψ 1

(21)

On a montré que c’est un système à 1 degré de liberté et que l’on a donc la liaison entre la sortie et l’entrée :

(16)

ψ = f (ϕ )

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ＴＹ

(22)

AF 1 674 – 3

Ｒ

ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＱＶＷＴ AMPLIFICATEURS MÉCANIQUES PASSIFS MODERNES _____________________________________________________________________________________

3 1

Y0 0,5

B

y

1,5

A B 2

1

C

O

Ｒ

X0

6

0 Z0

2

Z0 5

O

Figure 3 – Allure générale d’un 4 barres

1

3 4

x

Y0 1

0

B

2

2

A

ψ

ϕ

O

C

3

3

A

C

X0

X0 Figure 5 – Mécanisation de y = lnx

0

Du point de vue des actions mécaniques l’entrée est un couple ‡‡‡‡¥ ‡‡‡‡‡¥ ¥ ¥ ME 1 (O1) X 0 = CE 1 et la sortie un couple ME 2 (O 2 ) X 0 = CE 2 . En appliquant le théorème de la puissance virtuelle, on aura lorsque le système est en équilibre :

Figure 4 – Représentation plane d’un 4 barres

Le mécanisme 4 barres est un mécanisme universel d’une très grande adaptibilité. Par exemple, on le trouve en automobile dans la direction avec le quadrilatère de Janteau, dans les suspensions avec la suspension à triangles superposés ou le guidage d’un essieu rigide avec le trois barres de Watt, dans les accessoires avec certaines commandes d’essuie glace. Rappelons aussi que le système bielle-manivelle n’en est qu’un cas particulier, comme le système Mac Pherson ou encore la genouillère que nous avons étudiée [AF 1 673].

CE 1ϕ ′ * +CE 2 ψ ′* = 0  ∂f   CE 1 + CE 2 ∂ϕ  ϕ ′* = 0

CE 1 + CE 2

Cette universalité tient au fait que l’on peut avec une grande approximation générer une fonction donnée avec le 4 barres. Ainsi si l’on veut faire un générateur de la fonction y = f (x), on peut configurer le mécanisme pour que x → ϕ et y → ψ. À titre d’exemple, la figure 5 représente la mécanisation de la fonction y = lnx.

GF = GF =

Du point de vue cinématique on a : ∂f ϕ′ ∂ϕ

∂f =0 ∂ϕ

Le gain en effort est :

Ce mécanisme est donc parfaitement adapté à la conception d’un amplificateur.

ψ′ =

(25)

C 2E CE 1

1 1 = GV ∂f ∂ϕ

(26)

De plus, le système 4 barres convenablement choisi présente des points morts, ce qui le rend particulièrement apte à la réalisation d’un amplificateur.

(23)

Le gain cinématique est :

GV = GV =

AF 1 674 – 4

ψ′ ϕ′ ∂f ∂ϕ

2. Choix du mécanisme (24) Nous allons énoncer plusieurs critères et passer au crible de ces critères les trois types de mécanismes cinématiquement possibles.

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ＵＰ

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Amplificateurs mécaniques passifs modernes Réalisations par

Jean-Pierre BROSSARD

Ｒ

Professeur de mécanique Institut national de sciences appliquées (INSA), Lyon, France

1. 1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 2. 2.1 2.2

Amplificateur trois étages.......................................................................... Modèle de principe du mécanisme ........................................................... Équations de liaison.................................................................................... 1.2.1 Étude de la partie avant..................................................................... 1.2.2 Étude de la partie arrière ................................................................... Relation entrée-sortie ................................................................................. Gain en vitesse ............................................................................................ 1.4.1 La vitesse de sortie pour une vitesse d’entrée ν constante donnée ......................................................................................................... 1.4.2 Vitesse de sortie en fonction du temps à vitesse d’entrée constante ..................................................................................................... Gain en effort...............................................................................................

2.7

Amplificateur à deux étages orthogonaux............................................... Modèle de principe du mécanisme ........................................................... Équations de liaison.................................................................................... 2.2.1 Expression de x1 en fonction de β .................................................... 2.2.2 Expression de x5 en fonction de β .................................................... 2.2.3 Expression paramétrique de x5 en fonction de x1 .......................... Gain en vitesse ............................................................................................ Gain en effort............................................................................................... 2.4.1 Représentation en fonction de la position d’entrée ........................ 2.4.2 Représentation en fonction du déplacement d’entrée.................... Gain maximum en effort ............................................................................ Gain réel 2.6.1 Importance de la symétrie du mécanisme....................................... 2.6.2 Gain final réel maximum................................................................... 2.6.3 Variation du gain en fonction des angles de fin de course pour f donné ................................................................................................ 2.6.4 Variation du rendement au gain maximum..................................... 2.6.5 Évolution du gain et du rendement pendant la course .................. Effort dans les barres..................................................................................

3.

Conclusion ...................................................................................................

2.3 2.4

2.5 2.6

Pour en savoir plus ..............................................................................................

AF 1 675 - 2 — 2 — 2 — 2 — 4 — 5 — 6 —

6

— —

7 7

— — — — — — — — — — — — — —

8 8 8 8 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13

— — — —

13 13 13 14

—

15

Doc. AF 1 675

ans ce qui suit nous traiterons des amplificateurs mécaniques passifs, avec un très important rapport d’amplification. On traitera, d’une part, un amplificateur symétrique à trois étages qui permet un gain très important et qui a par ailleurs une grande facilité d’adaptation et qui ne met pas en jeu que des articulations rotoïdes et, d’autre part, un amplificateur à deux étages orthogonaux qui permet lui aussi un fort rapport d’amplification avec une bonne compacité.

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AF 1 675 – 1

ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＱＶＷＵ AMPLIFICATEURS MÉCANIQUES PASSIFS MODERNES _____________________________________________________________________________________

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1. Amplificateur trois étages

– toujours du fait de la symétrie les actions de contact entre S0 et S1 sont telles que l’on a et la liaison prismatique entre S0 et S1 se comportera comme une liaison prismatique parfaite.

1.1 Modèle de principe du mécanisme

On a donc en ce qui concerne les actions de frottement un système composée uniquement de liaisons rotoîdes ce qui est la présomption d’un très bon rendement.

L’amplificateur est modélisé sur la figure 1. C’est un mécanisme articulé à barres constitué d’amplificateurs élémentaires. Si l’on applique à l’élément d’entrée S1 des action mécaniques extérieures telles que , c’est-à-dire une force axiale, l’élément S5 exerce sur l’extérieur des actions mécaniques telles que . Sur cette figure 1 l’amplificateur est représenté dans sa position finale lorsque le gain est maximum : – le premier amplificateur est la genouillère constituée des . Son gain final est : barres S1, S2 et

Le nombres de paramètres utilisés laissera une grande latitude pour situer la zone d’amplification même si l’on n’a pas besoin d’un gain aussi important. Il permet aussi d’avoir un gain important sans utiliser de faibles valeurs pour les angles αf et βf. Ce tour d’horizon étant terminé nous allons entreprendre une étude détaillée de l’amplificateur et en particulier des équations de liaison.

1.2 Équations de liaison Pour simplifier l’étude du mécanisme nous le fractionnerons en deux parties. La partie avant constituée des solides S1, S2 et S3 et la partie arrière constituée des solides S3, S4 et S5. Le levier assure la connexion des deux parties.

– le deuxième amplificateur est constitué des barres S3 et , c’est un amplificateur de type levier. Son gain est constant si les bras de levier ont des longueurs l31 et l32 :

1.2.1 Étude de la partie avant ■ Repérage

– le troisième amplificateur est une genouillère constituée des et S5. Son gain est : barres S4,

Il se fera sur la base de la figure 2 où le mécanisme est représenté dans trois positions initiale, finale et quelconque entre la position initiale et finale. Nous repérerons le mécanisme en utilisant la figure 3 nécessaire afin d’avoir un repérage algébrique. Nous avons ainsi :

On peut retrouver ces résultats en étudiant l’équilibre de chacun des amplificateurs dans la position finale. Le gain total est Gf = Gf1G2Gf3.

(3) Cela signifie que, dans la position finale, de symétrie.

(1)

est parallèle à l’axe (4)

Pour donner une idée des gains réalisés prenons les données suivantes qui ne préjugent en rien d’un amplificateur réel et qui seront généralement utilisées dans ce document.

(5)

(2)

Entre les angle φ et θ nous avons la relation : (6)

En appliquant la formule (1) on obtient Gf = 90,5, ce qui est un gain considérable même en neutralisant le deuxième étage. On notera par ailleurs deux caractéristiques importantes : – du fait de la symétrie le solide S5 se déplace comme s’il y avait une liaison prismatique entre S0 et S5. Mais cette liaison n’étant pas matérialisée, c’est une liaison prismatique parfaite ;

Pour écrire les équations de liaison afférentes à cette partie avant nous allons déterminer au préalable les coordonnées des points B et A dans les trois positions. Notons que dans la position finale .

y0

y0

3

4

O

2

φi

BF

φ βf l4

X5E

l32

O1

l31

αf

O

4’

x3

θM Bi

XE1

x3i αi

x0 2’

0 O

αF

Figure 2 – Schéma d’étude de la partie avant

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l2

α

3’

Figure 1 – Principe amplificateur trois étages

AF 1 675 – 2

θ

x0 O’1

5

l31

l2 1

x0, x3f

Ai AF A

h

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On peut mettre cette relation sous les formes : (19)

y0 x3

(20)

B

(21)

x3i Bi

θ

φ φi

(22) θM

On peut aussi la mettre sous la forme : Bf

x0, x3f

(23) Cette relation exprime la rotation du levier S2 en fonction du paramètre θ, qui exprime la rotation du levier S3. On a la représentation de α en fonction de θ sur la figure 4. L’angle α varie de 45° à 6°.

Figure 3 – Repérage angulaire

■ Coordonnées des points A et B

■ Déplacement du point A

(7)

Nous prendrons pour déplacement du point A :

(8)

(24)

(9)

Avec cette définition on aura toujours h > 0.

(10)

(25)

(11)

En utilisant les expressions (10) et (11) on a : (26)

(12)

(27)

■ Équations de liaison Dans les trois positions le point A se trouve sur l’axe des

.

La relation (11) donne : (13) Suivant les besoins cette relation pourra se mettre sous l’une des formes suivantes

0,7

(14)

0,6

ou 0,5 α [rad]

(15)

0,4

avec les valeurs données de αi et αf telles que θM = 0,173 rd soit θM = 9,93° Cette relation permet de calculer la constante θM qui donne la position initiale du levier S3 en fonction des positions initiale et finale du levier S2. On peut aussi exprimer la relation (13) sous la forme :

0,3

0,2

(16) (17)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

θ [rad]

La relation (10) donne : (18)

Figure 4 – Variation de α en fonction de θ

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AF 1 675 – 3

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ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＱＶＷＵ AMPLIFICATEURS MÉCANIQUES PASSIFS MODERNES _____________________________________________________________________________________

y0

0,07

0,06 l Df βf 4

0,05

Ｒ

h [m]

Ci

βi

C

β

l32

Cf

O1

θ

D Di s

φi

φ

x3f x0 x θM s xsi

O

0,04

Figure 6 – Schéma d’étude de la partie arrière

0,03

(33)

0,02

(34)

0,01

(35) 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

(36)

0,16

θ [rad]

■ Équations de liaison Dans les trois positions le point D se trouve sur la même droite.

Figure 5 – Déplacement du point A

Écrivons tout d’abord ce qu’il en est pour les positions initiale et finale :

On peut transformer cette expression de la façon suivante :

(37) (38)

(28) Cette relation permet de calculer βi en fonction de βf : (29)

(39)

En reportant dans cette expression α donné par (23) on obtient : (40) On peut aussi écrire la relation (39) sous la forme suivante :

(30)

(41) Pour une position quelconque et la position initiale on a : Nous avons finalement h = h(θ). On peut donc représenter à la figure 5 le déplacement d’entrée en fonction du paramètre θ.

(42)

La course de sortie est d’environ 75 mm. On peut aussi facilement représenter h en fonction de α.

(43) (44)

1.2.2 Étude de la partie arrière (45)

On procède de manière analogue à celle lors de l’étude de la partie avant (cf. § 1.2.1).

En utilisant l’expression (41) on a :

■ Repérage Il se fera sur la base de la figure 6. Les paramètres sont évidemment comparables à ceux de la partie avant.

f

Finalement on obtient β en fonction de θ, soit β = β(θ) :

■ Coordonnées des différents points (31)

(47)

(32)

AF 1 675 – 4

(46)

On en déduit la représentation donnée à la figure 7.

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Applications en mécanique physique (Réf. Internet 42643)

1– Les vibrations

Ｓ

2– Les systèmes articulés 3– L'acoustique

Réf. Internet page

Acoustique. Équations générales

AF3810

57

Acoustique. Propagation dans un luide

AF3812

59

Acoustique. Propagation dans un solide

AF3814

63

4– La dynamique du véhicule 5– Les solides déformables

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ＵＶ

ｒ￩ｦ￩ｲ･ｮ｣･＠ｉｮｴ･ｲｮ･ｴ ａｆＳＸＱＰ

Acoustique Équations générales par

Daniel ROYER Ingénieur de l’École Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de Paris (ESPCI) Professeur à l’université Denis-Diderot, Paris 7

et

Eugène DIEULESAINT Ingénieur de l’École Supérieure d’Électricité (ESE) Professeur émérite à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6

Ｓ 1.

Présentation ..............................................................................................

AF 3 810 – 2

2. 2.1 2.2

Propagation d’un ébranlement mécanique ...................................... Onde longitudinale dans une barre ........................................................... Onde transversale sur une corde tendue ..................................................

— — —

2 3 3

3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Équations de conservation.................................................................... Conservation de la matière (équation de continuité) ............................... Conservation de la quantité de mouvement ............................................. Conservation de l’énergie ........................................................................... Équations locales......................................................................................... Lien avec la théorie cinétique des gaz .......................................................

— — — — — —

4 4 5 5 6 7

Principales notations .......................................................................................

—

8

Références bibliographiques .........................................................................

—

8

e titre « Acoustique » désigne ici l’étude des ondes élastiques et plus précisément de leurs modes de propagation. Le qualificatif élastique est plus général que le qualificatif acoustique qui, en principe, se rapporte à des phénomènes audibles, c’est-à-dire d’une fréquence comprise entre 20 Hz et 20 kHz mais « Acoustique » a l’avantage d’être aussi un substantif. La fréquence des ondes étudiées ici (qui incluent naturellement aussi bien les infrasons que les ultrasons) n’est pas a priori limitée. Ces ondes sont des perturbations mécaniques, de l’état d’équilibre d’un milieu. Elles ne se propagent que dans les milieux matériels : gaz, liquide ou solide. La structure de ces milieux impose une limite supérieure à la fréquence ; la longueur d’onde doit rester grande par rapport à la longueur caractéristique du milieu (libre parcours moyen pour un fluide, distance interatomique pour un solide). La fréquence des ondes étant très inférieure à cette limite, le milieu est considéré comme continu. Par ailleurs, l’atténuation qui croît avec la fréquence et avec le désordre du milieu doit autoriser la propagation sur plusieurs longueurs d’ondes. Les phénomènes étudiés sont macroscopiques : nous ne considérons pas le mouvement individuel des molécules constituant le milieu mais celui d’une particule de fluide ou de solide. Ce terme désigne un élément de volume infinitésimal à l’échelle des dimensions physiques du milieu, contenant néanmoins un grand nombre de molécules. L’acoustique fait appel à la mécanique des fluides et à la mécanique des solides déformables. L’article « Acoustique » fait l’objet de plusieurs fascicules : AF 3810 Équations générales AF 3812 Propagation dans un fluide AF 3814 Propagation dans un solide Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres. Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules.

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AF 3 810 − 1

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ACOUSTIQUE _________________________________________________________________________________________________________________________

1. Présentation

élastiques est accompagnée d’un champ électrique. L’importance de ce couplage électromécanique, fonction de la direction, se déduit aussi de la surface des lenteurs. Les dimensions d’un solide sont, en réalité, finies. Il faut adjoindre à l’équation de propagation des conditions aux limites. Les solutions sont des ondes guidées.

La propagation des ondes élastiques, c’est-à-dire des différents mouvements mécaniques possibles dans un fluide et dans un solide, est étudiée à partir des équations générales de conservation de la matière, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Les équations différentielles qui déterminent les mouvements autorisés à se propager ne sont pas linéaires et leurs solutions ne se formulent pas analytiquement.

Un cas intéressant est celui du solide semi-infini (c’est-à-dire d’épaisseur grande devant la longueur d’onde), à la surface duquel se propage, de façon non dispersive, une onde, appelée onde de Rayleigh. Parmi les autres ondes guidées, nous décrivons : — les ondes de Lamb qui progressent dans une plaque en se réfléchissant sur ses faces ; — les ondes de Love, ondes transversales horizontales qui se propagent en partie dans une couche, en partie dans son substrat.

■ L’étude se simplifie lorsque le milieu est un fluide parfait [AF 3 812] dans lequel n’intervient aucune viscosité, conduction thermique ou relaxation : les grandeurs évoluent adiabatiquement, l’entropie se conserve.

Ｓ

La propagation de ces ondes est dispersive, comme celle des ondes guidées par un cylindre dont nous abordons seulement l’analyse.

Avec l’hypothèse de mouvements petits par rapport à un état d’équilibre, il est possible de linéariser les équations et d’expliciter leurs solutions à l’aide de l’équation d’état. La seule onde capable de se propager dans un fluide parfait est une onde longitudinale : suite de compressions et de dilatations. Sa vitesse de phase (vitesse du son) et l’énergie élastique qu’elle transporte se calculent. La notion d’ondes planes facilite l’examen de leur réflexion et de leur réfraction au passage d’un milieu à un autre et conduit à la caractérisation d’un milieu par une impédance acoustique. La notion d’ondes sphériques émises par un élément de surface conduit au diagramme de rayonnement d’une source.

■ L’objectif de l’article « Acoustique » est de décrire les modes de propagation des vibrations mécaniques dans un milieu matériel sans se soucier des moyens de les exciter. Si on exclut les secousses sismiques dont l’homme n’est pas maître, les techniques de génération consistent en une transformation (transduction) de signaux électriques en oscillations mécaniques reposant sur un couplage magnétostrictif, pour les fréquences basses (f < 100 kHz), ou piézoélectrique quelle que soit la fréquence (f → 10 GHz). Ces techniques sont décrites dans les articles qui traitent des applications de ces ondes. Depuis la première (invention du sonar par A. Langevin), les domaines qu’elles ont pénétrés se sont multipliés : traitement du signal (télécommunications) [2], médecine (échographie, vélocimétrie) [3], métallurgie (contrôle non destructif) [4].

Le problème de divergence d’un faisceau se rencontre quelle que soit la nature des ondes ; aussi des calculs intermédiaires, qui sont développés aussi bien en optique qu’en électromagnétisme, sont omis ici [1]. Lorsque l’amplitude de la pression acoustique n’est plus très petite, les termes quadratiques ne sont plus négligeables ; ils sont à l’origine d’effets non linéaires que nous évoquons. L’hypothèse d’un fluide parfait comme un gaz n’est pas très réaliste puisqu’en pratique les ondes acoustiques s’atténuent lors de leur propagation. Nous examinons donc les effets de la prise en compte, dans un gaz ou dans un liquide, de la viscosité – introduction de contraintes tangentielles entre deux couches adjacentes de fluide qui donnent lieu à la propagation possible d’un mouvement de cisaillement – et d’un temps de relaxation – diminution de l’amplitude de l’onde de pression.

Nous commençons par étudier dans le paragraphe 2 la propagation unidimensionnelle d’un ébranlement mécanique longitudinal dans une barre, puis, d’un ébranlement transversal le long d’une corde tendue. Dans le cas d’un fluide ou d’un solide, les équations de propagation dérivent des relations exprimant les lois générales de conservation de la masse, de la quantité de mouvement de l’énergie (§ 3). La notion nécessaire de contraintes mécaniques y est introduite.

■ La propagation des déplacements mécaniques dans un solide [AF 3 814] dont les « particules » sont, par hypothèse, immobiles en l’absence de toute excitation, est régie par une équation formellement simple, du moins si l’atténuation est négligeable. Cette hypothèse est d’ailleurs plus raisonnable que dans le cas d’un fluide puisque le solide est plus ordonné. L’équation tridimensionnelle est une généralisation de l’équation unidimensionnelle propre à un fluide parfait.

2. Propagation d’un ébranlement mécanique L’étude de la propagation des ondes acoustiques dans un fluide non visqueux est (comme nous l’avons dit dans le paragraphe 1) a priori plus simple que dans un solide car son comportement mécanique est défini par un seul module élastique et l’onde acoustique est représentée par une grandeur scalaire : la pression acoustique. Mais le fait que chaque molécule de fluide ne puisse pas être suivie dans son mouvement conduit à utiliser la représentation d’Euler et les termes de convection qui interviennent rendent les équations non linéaires. La description lagrangienne, plus directe, s’applique au cas du solide puisque chaque particule est identifiable par sa position au repos. Toutefois, la propagation des ondes y est complexe car le comportement mécanique d’un solide isotrope est décrit par deux modules d’élasticité. Il en faut plus si le milieu est anisotrope.

Deux grandeurs tensorielles jouent un rôle fondamental (elles apparaissent, brièvement, à propos du fluide visqueux) : — la contrainte mécanique dont le caractère tensoriel provient du fait qu’une force a trois composantes et que l’élément de surface sur lequel elle s’exerce est repéré par les composantes de sa normale ; — la déformation qui traduit la différence relative des déplacements de deux points matériels voisins, c’est-à-dire des extrémités d’un élément de longueur infinitésimale ; elle inclut allongement, torsion, courbure de l’élément mais exclut la rotation simple ; en conséquence, elle est définie comme la partie symétrique du gradient des déplacements ; elle constitue un tenseur du deuxième ordre. Les solutions de l’équation de propagation pour un cristal sont avantageusement représentées sous la forme d’une surface des lenteurs (analogue à la surface des indices en optique). Cette surface est, en optique, composée de deux nappes, ici, en acoustique, de trois nappes puisque, pour une direction donnée, trois ondes sont susceptibles de se propager. Celle-ci met en évidence l’intérêt des axes de symétrie suivant lesquels les modes de propagation sont purs, vecteur d’onde et vecteur d’énergie étant en général portés par cet axe. Dans un cristal piézoélectrique, une au moins des ondes

AF 3 810 − 2

Deux exemples combinent les aspects les plus simples du fluide et du solide. Il s’agit de la propagation d’une compression dans une barre ou d’un ébranlement transversal dans une corde tendue. Commencer par leur étude présente l’avantage de conduire rapidement à l’équation de propagation des ondes acoustiques, à l’expression de leur vitesse de phase et aux solutions propagatives et stationnaires.

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Acoustique Propagation dans un fluide par

Daniel ROYER Ingénieur de l’École Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de Paris (ESPCI) Professeur à l’Université Denis-Diderot, Paris 7

et

Eugène DIEULESAINT Ingénieur de l’École Supérieure d’Électricité (ESE) Professeur émérite à l’Université Pierre-et-Marie-Curie, Paris 6

Ｓ 1.

Équation de l’entropie ............................................................................

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Hypothèse du fluide parfait .................................................................. Conservation de l’entropie.......................................................................... Équation d’Euler .......................................................................................... Flux d’énergie .............................................................................................. Conditions aux limites.................................................................................

AF 3 812 – 2 — — — — —

2 2 2 2 3

3. 3.1 3.2 3.3

3.4

Acoustique linéaire ................................................................................. Équation d’état. Linéarisation..................................................................... Énergie acoustique ...................................................................................... Ondes planes ............................................................................................... 3.3.1 Impédance et intensité acoustiques.................................................. 3.3.2 Réflexion et réfraction ........................................................................ Ondes sphériques. Rayonnement ..............................................................

— — — — — — —

4 4 5 6 6 7 9

4.

Acoustique non linéaire .........................................................................

—

11

5. 5.1 5.2

Atténuation................................................................................................ Viscosité ....................................................................................................... Relaxation.....................................................................................................

— — —

14 14 15

Références bibliographiques .........................................................................

—

16

e milieu de propagation des ondes est, par hypothèse, d’abord considéré comme un fluide parfait. Les phénomènes de viscosité, de conductivité thermique et de relaxation interne sont négligés. Il en résulte que l’entropie se conserve. Puis, les équations du mouvement et l’équation d’état du fluide sont linéarisées par rapport aux grandeurs caractéristiques de l’onde acoustique (vitesse moyenne, pression acoustique). L’énergie et le flux d’énergie acoustiques sont définis. Les coefficients de réflexion et de transmission d’ondes planes à la frontière de deux fluides sont exprimés. Cette partie propre au fluide (gaz, liquide) se termine par l’examen des effets non linéaires et des phénomènes d’atténuation et de viscosité. L’article « Acoustique » fait l’objet de plusieurs fascicules : AF 3 810 Équations générales AF 3 812 Propagation dans un fluide AF 3 814 Propagation dans un solide Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres. Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules. De plus, on trouvera à la fin du fascicule [AF 3 810] un tableau des principales notations utilisées.

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AF 3 812 − 1

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ACOUSTIQUE _________________________________________________________________________________________________________________________

1. Équation de l’entropie

2. Hypothèse du fluide parfait

Dans un fluide, les contraintes sont essentiellement dues à la pression hydrostatique p. La tension mécanique T exercée sur chaque élément de surface est quasiment normale à celui-ci. Un écart à cette loi apparaît avec la viscosité qui crée des contraintes tangentielles τij. Pour séparer les deux effets, mettons le tenseur des contraintes sous la forme :

2.1 Conservation de l’entropie

Tij = – pδij + τij

La solution de l’équation de l’entropie (4) est très simple lorsque les termes dissipatifs dus à la viscosité et à la conductivité thermique sont négligeables. C’est le cas du fluide parfait pour lequel : — la tension mécanique est normale à chaque élément de surface et indépendante de l’orientation de cet élément :

(1)

avec δij symbole de Kronecker.

Ｓ

Tij = – pδij ;

Les contraintes visqueuses τij entraînent la dissipation d’une partie de l’énergie mécanique. L’évolution de l’entropie résulte du second principe de la thermodynamique.

— le flux de chaleur est nul :

qi = 0 ;

La quantité infinitésimale de chaleur δq dissipée dans le volume spécifique

— l’énergie interne spécifique est une fonction de l’entropie s et de la masse volumique ρ :

1 V = --ρ

e = e(s, ρ). Cette dernière hypothèse suppose le fluide en équilibre thermodynamique à chaque instant et en chaque point. Elle est justifiée tant que les variations imposées par l’onde sont lentes par rapport aux temps caractéristiques des mouvements de rotation et de translation des molécules au sein du fluide.

est reliée à l’accroissement de l’énergie interne spécifique e du fluide et au travail – pdV des forces de pression par le premier principe :

p de = δq – p dV = δq + -----2- d ρ . ρ

(2)

Le second membre de la relation (4) est alors nul et :

s = Cte = s0 ;

Compte tenu de l’équation de conservation de la matière (relation 27 de [AF 3 810]), le taux de production de chaleur par unité de volume s’écrit :

en l’absence d’échange thermique entre les différentes régions du fluide et de création de chaleur par dissipation, les grandeurs évoluent adiabatiquement. Si, de plus, les transformations sont réversibles, l’entropie se conserve.

∂ vj δq de p dρ de ρ ------- = ρ ------- – --- ------- = ρ ------- + p -------- . dt dt ρ dt d xj dt

Examinons les conséquences de l’hypothèse du fluide parfait sur les autres lois de conservation.

En acoustique, les grandeurs caractéristiques sont les écarts par rapport à l’état de référence du fluide. Cet état, pour lequel v = 0, est défini par la masse volumique ρ0 sous la pression statique p0.

Les résultats que nous allons établir, pour le fluide parfait, dans les paragraphes suivants, sont regroupés dans le tableau 1.

Si les compressions et les dilatations produites par l’onde acoustique sont réversibles, d’après le second principe de la thermodynamique, il existe deux quantités, la température absolue T et l’entropie s(p, ρ) telles que :

2.2 Équation d’Euler

δ q = Tds.

L’équation de conservation de la quantité de mouvement (relation 28 de [AF 3 810]) se simplifie :

L’énergie interne est alors une fonction des variables s et ρ, e(s, ρ), dont la différentielle [relation (2)] est :

p de = Tds + -----2- d ρ . ρ

∂ vi ∂v ∂p ρ  --------i + v j -------- + -------- = ρF i . ∂ xj ∂t ∂ xi

(3)

Elle se met sous une forme vectorielle, établie par Euler :

Étant donné l’équation de conservation de l’énergie (relation 30 de [AF 3 810]), le taux de création de l’entropie spécifique est régi par l’équation : ∂v ∂q ds ρT ------- = ( T ij + p δ ij ) --------i – --------j . dt ∂ x j ∂x j

∂v ρ ------ + ( v ⋅ = ) v + ∇p = ρF ∂t

AF 3 812 − 2

(6)

(4)

2.3 Flux d’énergie

Le report des contraintes [relation (1)] et le remplacement du flux de chaleur q par – κ∇T, où κ est le coefficient de conductivité thermique du fluide, conduit à : ∂ vi ds 2 ρT ------- = τij -------- + κ ∇ T . dt ∂ xj

.

Pour un fluide parfait, l’équation de conservation de l’énergie (relation 24 de [AF 3 810]) s’écrit, comme qj = 0 : ∂ ∂E ------- + -------- [ ( E + p ) v j ] = ρF i v i . ∂ t ∂ xj

(5)

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_________________________________________________________________________________________________________________________ ACOUSTIQUE

■ Faisons apparaître l’enthalpie h du volume spécifique V = 1/ρ qui représente l’énergie de l’unité de masse soumise à la pression p du fluide extérieur au volume V :

p h = e + --- = e + pV. ρ

santes du vecteur vitesse v, la pression p et la masse volumique ρ. Pour résoudre ce système dans un fluide donné, il faut leur adjoindre une équation supplémentaire, l’équation d’état du fluide :

p = p(ρ, s).

(7)

Le choix de l’entropie comme variable à la place de la température est justifié par les considérations thermodynamiques qui précèdent (§ 2.1).

Il vient, en notation vectorielle : 1 2 ∂E ------- + = ⋅  --- v + h ρv = ρF ⋅ v . 2  ∂t

(8)

En principe donc, le mouvement d’un fluide illimité, c’est-à-dire son champ de vitesse et de pression, est complètement déterminé par l’intégration des quatre équations différentielles.

D’après la relation (3), l’enthalpie est une fonction des variables s et p : h(s, p), dont la variation est [1]: 1 dh = δq + Vdp = Tds + --- d p . ρ

En pratique, il faut tenir compte de la frontière qui limite le domaine du fluide et des conditions qu’elle impose. Si celle-ci est un solide immobile, la vitesse normale à la paroi doit s’annuler :

(9)

■ Dans le bilan énergétique, la répartition entre l’accroissement d’énergie interne et le travail fourni dépend de la transformation.

vn = 0.

Si le volume du fluide est maintenu constant, toute la chaleur apportée δq est transformée en énergie interne :

Si celle-ci est un solide mobile ou un autre fluide avec lequel il ne se mélange pas (liquides non miscibles tels que eau-huile), la continuité de la matière impose l’égalité des composantes de vitesse perpendiculaires à la surface de séparation :

δ q = d e = cV dT. La quantité cV, rapport de δq à l’élévation de température dT, est la capacité thermique à volume constant.

v1n = v2n.

Si la pression p est constante, le fluide se dilate librement :

Cette condition provient de l’intégration de l’équation de continuité (relation 27 de [AF 3 810]) dans un volume fixe limité par deux disques parallèles voisins, placés de part et d’autre de l’interface (figure 1).

δ q = d h = c p d T, où cp est la capacité thermique à pression constante. Dans un liquide, cp et cV sont en général peu différents ; pour un gaz parfait :

L’intégration de l’équation de conservation de la quantité de mouvement (relation 28 de [AF 3 810]) sur le même volume conduit à la continuité des tensions mécaniques à l’interface :

cp = cV + R R étant la constante des gaz parfaits. L’expression locale (8) de la loi de conservation de l’énergie relie en chaque point la densité de puissance fournie par les sources (second membre) à la variation dans le temps de la densité E d’énergie (cinétique et interne) par unité de volume et à la divergence d’un vecteur : 1 2 J =  --- v + h ρv = Ev + pv. 2

(12)

T1 = T2 .

(13)

Si le solide est indéformable, cette condition n’apporte pas d’information supplémentaire quant au fluide. Elle n’est utile que pour calculer les forces engendrées par le fluide à l’intérieur du solide. Entre deux fluides parfaits comme Tij = –pδij, cette condition se traduit par l’égalité des pressions :

(10)

p1 = p2 .

(14)

Ce vecteur J représente la densité du flux d’énergie hydrodynamique. Sa valeur absolue mesure, en W/m2, la quantité d’énergie traversant, pendant l’unité de temps, l’unité de surface perpendiculaire au déplacement des particules au point considéré. En l’absence de sources (F = 0), la relation : ∂E ------- + = ⋅ J = 0 ∂t

Interface

(11)

Fluide 1

Σ

Fluide 2

traduit localement la loi de conservation de l’énergie dans un fluide parfait. La première partie (Ev) du vecteur J est l’énergie (cinétique et interne) transportée par la masse de fluide traversant la surface fixe S. La seconde (pv) représente le travail des forces de pression exercées par le fluide situé à l’extérieur du volume V sur celui situé à l’intérieur. Cela explique que dans la formule (10), l’énergie cinétique soit associée à l’enthalpie h et non à l’énergie interne e. En effet, h est la somme de l’énergie interne propre à la particule de fluide et d’une énergie potentielle (p/ρ) de la particule immergée dans le champ de pression hydrodynamique.

ρ1

c1

ρ2

c2

Chaque fluide est caractérisé par sa masse volumique ρ et la vitesse c des ondes acoustiques

2.4 Conditions aux limites Figure 1 – Surface de séparation ∑ de deux fluides : les composantes normales vn de la vitesse des particules et les pressions sont égales de part et d’autre de l’interface

L’équation de continuité (relation 27 de [AF 3 810]) et les trois équations scalaires (6) contiennent cinq inconnues : les trois compo-

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AF 3 812 − 3

Ｓ

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ACOUSTIQUE _________________________________________________________________________________________________________________________

3. Acoustique linéaire

Ｓ

Le coefficient A du terme du premier ordre est le module d’élasticité adiabatique du fluide, inverse du coefficient de compressibilité 1 ∂V 1 χ = – ---- ------- = ---- . V ∂p A

Si les écarts p – p0, ρ – ρ0 de la pression et de la masse volumique par rapport aux valeurs de référence p0, ρ0 sont petits, il est possible de linéariser les équations de conservation et l’équation d’état et de calculer, dans le cas très simple du gaz parfait, la vitesse du son (§ 3.1). La détermination de la puissance effectivement transportée par une onde acoustique est délicate dans le cas d’un fluide en raison du mouvement de convection qui véhicule aussi de l’énergie mécanique (§ 3.2). Une approximation importante est celle de l’onde plane, pour laquelle les grandeurs physiques ne dépendent que d’une seule variable d’espace x (§ 3.3). L’ébranlement se propage sans déformation dans les directions +x et –x, comme dans l’exemple de la barre ([AF 3 810], § 2.1). La pression acoustique et la vitesse des particules de chacune de ces ondes sont proportionnelles. Leur rapport, appelé impédance acoustique, est une caractéristique du milieu qui joue un rôle essentiel dans les phénomènes de réflexion et de réfraction à l’interface entre deux milieux. Les ondes planes n’ont pas de réalité physique car les sources ont, en pratique, des dimensions finies. Les ondes acoustiques émises par une source réelle divergent : la surpression décroît à partir de la source. Les ondes de symétrie sphérique ont une importance particulière du point de vue de l’analyse du rayonnement des transducteurs qui engendrent les ondes élastiques (§ 3.4).

Le rapport B/A caractérise la non-linéarité du fluide (§ 4) : ∂p A = ρ 0  ------- ∂ ρ s, ρ 0 et :

B =

avec :

A 0 = A1 + p0 où A0, A1, γ sont des constantes dépendant peu de la température. Exemple : pour l’eau, l’accord avec l’expérience est bon, jusqu’à des pressions de 104 MPa, en prenant γ = 7 et A1 ≈ 300 MPa. Toutefois, le paramètre B/A = γ – 1 = 6 est supérieur de 20 % à la valeur mesurée [3]. ■ Linéarisation. Dans l’hypothèse où l’onde acoustique est une très faible perturbation de l’état de référence, les variations de la pression et de la masse volumique sont petites :

p – p0 = pa