Vibrations Et Ondes Exo Corrigés [PDF]

Zitiervorschau

Université Ferhat Abbas Sétif 1 Faculté de Technologie Département d'Enseignement De Base En Technologie

Examens du module Physique3 2009_2015 Présentés par

Dr. Nadjet Aklouche

(Physique3) 2ème Année LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif Faculté des Sciences de l’ingénieur Département de Tronc Commun S.E.T.I

2ème Année LMD 11 Février 2010 Temps alloué :1h30

Contrôle de Physique 3

Exercice 1 :(5 points) Une masse M est fixée à un ressort de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α (Voir figure N01).. 1. 2.

1. 2.

1. 2.

α

I- Etude du système libre non amorti. Donner l’équation différentielle du mouvement. Déduire la pulsation propre 𝝎𝟎 des oscillations libre non amorti ainsi que la solution y(t).

k

𝑭

M 0

Figure N 1 II- Etude du système libre amorti. Donner l’équation différentielle du mouvement. Déduire la pulsation 𝝎𝒂 des oscillations libres faiblement amorties en fonction de M, k et α. Déterminer la solution y(t).

𝒀(𝒕)

III- Etude du système forcé amorti. La force 𝑭 agissant sur M est sinusoïdale : 𝑭 = 𝑭𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛀𝒕. Donner la nouvelle équation différentielle du mouvement ? Trouver la solution y(t).

s(t) Exercice 2 :(7 points) k Une masse m, suspendue à un ressort de raideur k, est attachée à un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α. Elle effectue un mouvement amorti (Voir figure N02). Le point d’attache du ressort est soumis à un déplacement s(t) : 𝒔(𝒕) = 𝑺𝟎 𝒆𝒋𝝎𝒕 , 1. 2. 3.

𝒙

m

Calculer le Lagrangien du système. Déduire l’équation différentielle du mouvement. Trouver les expressions de l’amplitude A et de la phase Φ et de la solution particulière représentant le régime permanent.

α

Exercice 3 :(8 points) Figure N02

Une masse m1 glisse sans frottement sur un plan horizontal et entraine un pendule (m2, l) dans son mouvement. Un ressort horizontal, de constante k se situe à une distance ���� 𝑶𝑨 = 𝒂 et relie les deux oscillateurs, (Voir figure N03).

m1

1.

Ecrire les équations du mouvement en fonction de x et θ.

2.

Calculer les pulsations du système et déduire les modes propres, On donne : m1=m2=m, a=l/4, mg=

3.

𝟏𝟓 𝟏𝟔

𝒌𝒍 .

Donner les équations du mouvement x (t) et θ(t).

k

x

O

A θ

x y m2

Figure N03

Université Ferhat Abbas

Faculté des Sciences de l’ingénieur

Contrôle de Physique 3

Département de Tronc Commun S.E.T.I 2 Année LMD 11 Février 2010 ème

Solution de l’exercice 1 Dans la figure N°1, la masse M est fixée à un ressort de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α. I.

Etude du système libre non amorti.

3. L’équation différentielle du mouvement. k

𝒚̈ + 𝝎𝟐𝟎 𝒚 = 𝟎

4. a) La pulsation propre 𝝎𝟎 des oscillations libre non amorti.

𝝎𝟎

M

𝒀(𝒕)

𝒌 =� 𝑴

b) la solution est sinusoïdale du type y = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋) II.

Etude du système libre amorti.

3. L’équation différentielle du mouvement.

𝒚̈ + 𝟐𝜹𝒚 + 𝝎𝟐𝟎 𝒚 = 𝟎 avec 𝜹 =

𝜶

𝟐𝑴

𝒆𝒕 𝝎𝟎 = �

4. a) La pulsation 𝝎𝒂 des oscillations libre amorti. 𝝎𝒂 =

�𝝎𝟐𝟎

−

𝜹𝟐

𝒌 =� − � 𝑴

𝜶

𝟐𝑴

𝒌

𝑴

α

k

M

𝟐

�

b) La solution : Le système peut osciller : donc 𝛅 < 𝛚𝟎 → 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 sin( 𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) III- Etude du système forcé amorti.

La force 𝑭 agissant sur M est sinusoïdale : 𝑭 = 𝑭𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕.

1.Equation différentielle du mouvement forcé amorti :

𝑴𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝒌𝒚 = 𝑭𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 ou encore 𝒚̈ + 𝟐𝜹𝒚̇ + 𝛚𝟎 𝟐 =

𝑭𝟎 𝑴

𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕

𝒀(𝒕)

Université Ferhat Abbas

Faculté des Sciences de l’ingénieur

Contrôle de Physique 3

Département de Tronc Commun S.E.T.I 2 Année LMD 11 Février 2010 ème

𝒂𝒗𝒆𝒄: 𝜹 =

𝜶 𝒌 𝒆𝒕 𝝎𝟎 = � 𝟐𝑴 𝑴

La nouvelle solution : 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 sin( 𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) + 𝑨 𝒔𝒊𝒏 (𝛀𝒕 + 𝚿)

Avec : A=

𝑭𝟎 𝑴

�(𝝎𝟐𝟎 −𝛀𝟐 )+𝟒𝜹𝟐 𝛀𝟐

, 𝚿 = −𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈

−𝟐𝜹𝛀

(𝝎𝟐𝟎 −𝛀𝟐 )

Solution de l’exercice 2 La masse m et l’amortisseur α effectuent des oscillations verticales donc 𝒚𝒎 = 𝒚𝜶 = 𝒙 Le ressort lié à la masse m est soumis à un déplacement forcé 𝒔(𝒕) = 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 Donc : {𝒙𝒌 = 𝒙 − 𝒔 avec s(t)=

s(t)

4. Calcule du Lagrangien du système.

k

Energie cinétique : 𝟏

𝐓=Tm= 𝒎 𝒙𝟐̇

𝒙

m

𝟐

Energie potentielle : 𝟏

α

U= UK= 𝒌 (𝒙 − 𝒔)𝟐 𝟐

La fonction de dissipation 𝑫=

𝟏 𝟐 𝜶𝒙̇ 𝟐

Figure N02

La fonction de Lagrange:

L=T-U 𝟏

𝟏

L= 𝒎 𝒙𝟐̇ − 𝒌 (𝒙 − 𝒔)𝟐 𝟐

𝟐

5. Détermination de l’ équation différentielle : 𝒅

𝝏𝑳

𝝏𝑳

� � �−� �= − 𝒅𝒕 𝝏𝒙̇

𝝏𝒙

𝝏𝑫 𝝏𝒙̇

𝒅 𝝏𝑳 � � = 𝒎𝒙̈ , 𝒅𝒕 𝝏𝒙̇

𝝏𝑳 � � = −𝒌(𝒙 − 𝒔) , 𝝏𝒙

𝝏𝑫 = 𝜶𝒙̇ 𝝏𝒙̇

𝒎𝒙̈ − 𝒌(𝒙 − 𝒔) = −𝜶𝒙̇

Donc :

𝒙̈ + 𝟐𝜹𝒙̇ + 𝝎𝟐𝟎 𝒙 = 𝝎𝟐𝟎 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕

𝒂𝒗𝒆𝒄

𝜹=

𝜶 𝒌 𝒆𝒕 𝝎𝟎 = � 𝟐𝒎 𝒎

6. l’expression de la solution particulière représentant le régime permanent. On a : la solution particulière est de la forme 𝒙𝒑 (𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝝋) 𝒙(𝒕) =

𝐓𝐞𝐥𝐬 𝐪𝐮𝐞 : 𝑨 =

𝟐

𝒂𝝎𝟐𝟎

𝟐 ��(𝝎𝟎 − 𝝎𝟐 ) 𝒂𝝎𝟐𝟎

��(𝝎𝟎 −𝝎𝟐 )

𝟐

𝟐

𝟐

+𝟒𝜹 𝝎𝟐�

𝟐

+ 𝟒𝜹 𝝎𝟐 �

𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝝋)

et 𝝋 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 �

−𝟐𝜹𝝎

𝝎𝟐𝟎 −𝝎𝟐

�

7. Calcule du facteur d’amortissement δ pour que, lorsque 𝝎 = 𝝎𝟎 (pulsation propre du système), l’amplitude des mouvements de la masse m soit égale à 20a. a = 0,5 cm, k=103 N/m, m=0,1 kg.

𝑨= Pour

𝝎 = 𝝎𝟎

𝒂𝝎𝟐𝟎

��(𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐 )𝟐 + 𝟒𝜹𝟐 𝝎𝟐 �

𝒐𝒏 𝒂:

𝑨=

𝒂𝝎𝟐𝟎

𝟐𝜹𝝎𝟎

=

𝒂𝝎𝟎 𝟐𝜹

𝒌 𝒆𝒕 𝝎𝟎 = � 𝒎

Donc :𝜹

AN :

=

𝒂𝝎𝟎 𝟐𝑨

,

A=20a et 𝝎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒔−𝟏

Donc : 𝜹 =

𝝎𝟎

𝟏𝟎𝟎

= 𝟐, 𝟓 𝒔−𝟏

Solution de l’exercice 3 Le chariot de masse M glisse sans frottement sur un plan horizontal donc 𝒙𝑴 = 𝒙

Le ressort horizontal k relis les deux oscillateurs donc {𝒙𝒌 = 𝒙 − 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝜽 La mass m tourne autour de l’axe O, donc �

1.Equations différentielles du mouvement

𝒙𝒎 = 𝑳 𝐬𝐢𝐧 𝜽 → 𝒙𝒎̇ = 𝑳𝝑̇ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ̇ 𝜽 𝒚𝒎 = 𝑳 𝐜𝐨𝐬 𝜽 → 𝒚𝒎 ̇ =− 𝑳𝝑̇ 𝐬𝐢𝐧

Energie cinétique :

𝐓 =TM+Tm 𝟏

𝐓= 𝑴 𝒙𝟐̇ 𝟐

𝟏 𝟐

𝒎𝑳𝟐 𝜽̇𝟐

Energie potentielle :

U= UK+Um 𝟏

U= 𝒌 (𝒙 − 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐 − 𝒎𝒈𝑳 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐

La fonction de Lagrange:

L=T-U 𝟏

L= 𝑴 𝒙𝟐̇ + 𝟐

𝟏 𝟐

𝟏 𝒎𝑳𝟐 𝜽̇𝟐 − 𝒌 (𝒙 − 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐 + 𝒎𝒈𝑳 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐

Détermination des équations différentielles : 𝒅

� 𝒅𝒕 𝒅

𝝏𝑳

𝝏𝑳

� �−� �=𝟎

𝝏𝒙̇ 𝝏𝑳 � ̇� 𝒅𝒕 𝝏𝜽

𝝏𝒙 𝝏𝑳

−� �=𝟎 𝝏𝜽

𝒅 𝝏𝑳 � � = 𝑴𝒙̈ , 𝒅𝒕 𝝏𝒙̇

�

𝒅 𝝏𝑳 � � = 𝑴𝑳𝟐 𝜽̈, 𝒅𝒕 𝝏𝜽̇

�

Avec : 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ≈ 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ≈ 𝟏

�

𝝏𝑳 � = −𝒌(𝒙 − 𝒂𝜽) 𝝏𝒙

𝝏𝑳 � = 𝒂𝒌(𝒙 − 𝒂𝜽) − 𝒎𝒈𝒍𝜽 𝝏𝜽

𝑴𝒙̈ + 𝒌(𝒙 − 𝒂𝜽) = 𝟎 𝒎𝑳𝟐 𝜽̈ − 𝒂𝒌(𝒙 − 𝒂𝜽) + 𝒎𝒈𝑳𝜽 = 𝟎

Donc les équations du mouvement en fonction de x et θ sont :

𝑴𝒙̈ + 𝒌𝒙 = 𝒂𝒌𝜽 � 𝟐 ̈ 𝒎𝑳 𝜽 + (𝒎𝒈𝑳 + 𝒂𝟐 𝒌)𝜽 = 𝒂𝒌𝒙 2. Détermination des pulsations et des modes propres : On a : M =1 kg, L =1 m, m =4 kg, a =0.2 m, k =10 N/m, g= 9,81 m/s2 Donc les équations différentielles deviennent:

a. Calcul des pulsations du système :

𝒙̈ + 𝟏𝟎𝒙 = 𝟐𝜽 � ̈ 𝟒𝜽 + 𝟑𝟗, 𝟔𝜽 = 𝟐𝒙 𝒙̈ = −𝝎𝟐 𝒙 𝜽̈ = −𝝎𝟐 𝜽

On suppose que la solution est sinusoïdale donc : �

−𝛚𝟐 𝐱 + 𝟏𝟎 𝐱 = 𝟐𝛉 −𝟒𝛚𝟐 𝛉 + 𝟑𝟗, 𝟔𝛉 = 𝟐𝐱

On aura : �

(𝟏𝟎 − 𝛚𝟐 )𝐱 − 𝟐𝛉 = 𝟎 � (𝟑𝟗, 𝟔 − 𝟒𝛚𝟐 )𝛉 − 𝟐𝐱 = 𝟎

On peut écrire les eux équations sous la forme matricille comme suit :

�

𝟏𝟎 − 𝛚𝟐 −𝟐

𝐱 𝟎 −𝟐 = � � � � � 𝟑𝟗, 𝟔 − 𝟒𝛚𝟐 𝛉 𝟎

�

𝟏𝟎 − 𝛚𝟐 −𝟐

−𝟐 �=𝟎 𝟑𝟗, 𝟔 − 𝟒𝛚𝟐

L’équation au valeurs propres : (𝟏𝟎 − 𝝎𝟐 )(𝟑𝟗, 𝟔 − 𝟒𝝎𝟐 ) − 𝟒 = 𝟎

(𝟏𝟎 − 𝝎𝟐 )(𝟗, 𝟗 − 𝝎𝟐 ) − 𝟏 = 𝟎

𝝎𝟒 − 𝟏𝟗, 𝟗𝝎𝟐 + 𝟗𝟖 = 𝟎 b.Les vecteurs propres :

𝝎𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟓 � 𝟐𝟏 𝝎𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟓

𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎𝟐 𝟏 = 𝟖, 𝟗𝟓 → 𝟏. 𝟎𝟓 𝒙 = 𝟐𝜽 → 𝜽 = 𝟎, 𝟓𝟑𝒙 →�𝑽�𝟏 �𝟎,𝟓𝟑 �

𝝎𝟐 = 𝝎𝟐 𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟗𝟓 → 𝟐𝒙 = −𝟒, 𝟐 𝜽 → 𝜽 = −𝟎, 𝟒𝟖𝒙

3. Les équations du mouvements:

→�𝑽�𝟐 �

𝟏 � −𝟎, 𝟒𝟖

Les solutions des équations différentielles sont de la forme :

� � Donc :

𝒙(𝒕) ����⃗𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟏 + 𝝋𝟏 ) + 𝑩𝑽 ����⃗𝟐𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐 + 𝝋𝟐 ) � = 𝑨𝑽 𝜽(𝒕)

𝒙(𝒕) 𝟏 𝟏 � = 𝑨� � 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟏 + 𝝋𝟏 ) + 𝑩� � 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐 + 𝝋𝟐 ) 𝜽(𝒕) 𝟎. 𝟓𝟑 −𝟎. 𝟒𝟖 �

𝐜𝐨𝐬 �𝝎𝟏 + 𝝋𝟏 � + 𝑩 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐 + 𝝋𝟐 ) 𝜽(𝒕) = 𝟎. 𝟓 𝟑𝑨 𝐜𝐨𝐬�𝝎𝟏 + 𝝋𝟏 � − 𝟎. 𝟒𝟖𝑩 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐 + 𝝋𝟐 ) 𝒙(𝒕) = 𝑨

2èmeAnnée LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif

Contrôle Spécial de Physique 3

Faculté de technologie

16 Février2011

Tronc Commun S.T.

Temps alloué : 1h30

Exercice 1 : Questions de cours (05 points) 1- Le Lagrangien d’un système mécanique est donné par : 𝟐 𝟏 𝟏 𝐋 = 𝒎𝟏 𝒍𝟐𝟏 𝜽𝟐𝟏̇ + 𝒎𝟐 �𝒍𝟏 𝜽̇𝟏 + 𝒍𝟐 𝜽̇𝟐 � + 𝒈(𝒎𝟏 𝒍𝟏 + 𝒎𝟐 𝒍𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝟐

𝟐

a) Donnez le type de couplage. b) Ecrire les équations différentielles du mouvement. 2- Le Lagrangien d’un système mécanique est donné par : 𝟏 𝟏 𝟏 𝐋 = 𝒎𝟏 𝒍𝟐𝟏 𝜽𝟐𝟏̇ + 𝒎𝟐 𝒍𝟐𝟐 𝜽𝟐𝟐̇ + 𝒎𝟏 𝒈𝒍𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 − 𝒌𝒂𝟐 (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 a) Donnez le type de couplage. b) Ecrire les équations différentielles du mouvement 3- Donnez dans l’ordre la mise en équation d’un système couplé de 2 degrés de liberté : 1- On écrit les 2 solutions générales des équations différentielles du mouvement. 2- On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques. 3- On substitue 𝝎𝟏 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 1er mode propre. 4- On écrit les 2 équations différentielles en fonction des coordonnées généralisées. 5- On obtient 2 pulsations propres 𝝎𝟏 et 𝝎𝟐 . 6- On substitue 𝝎𝟐 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 2ème mode propre.

Exercice 2(07 points)

Le système de la figure N°1 est constitué d’une masse 𝑴 attachée à un amortisseur De coefficient d’amortissement visqueux 𝜶 et à deux ressorts ; le premier de masse négligeable et de constante de raideur 𝟐𝒌, le deuxième de masse m et de constante de raideur 𝒌. 𝜶 𝟐𝒌 1. Trouver le système équivalent. I. Etude du système libre non amorti 1. Trouver l’équation différentielle du mouvement. 𝑴 𝒚(𝐭) 2. Déduire la pulsation propre 𝝎𝟎 et la solution de l’équation différentielle du mouvement. II. Etude du système libre amorti 𝒎 1. Trouver l’équation différentielle du mouvement. 𝒌 2. Calculer le facteur d’amortissement 𝜹, la pulsation des oscillations amorties 𝝎𝒂 et le décrément logarithmique D. 𝐒(𝐭) 3. Donner la solution de l’équation différentielle du mouvement dans le cas des oscillations faiblement amorties. Figure N°1 III. Etude du système forcé amorti Le système est soumis à une excitation extérieure de mouvement 𝐒(𝐭) = 𝐒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭. 1. Etablir l’équation différentielle du mouvement forcé amorti. Exercice 3 (08 points)

𝒚

Dans le système de la figure 2, le disque de masse M et de rayon R roule sans glissement sur un plan horizontal. Sachant que : 𝑶𝑨 = 𝑹, 𝒆𝒕 𝑶𝑩 =

𝑳 𝟐

.

1. Dessiner la nouvelle position du système après une rotation d’un angle 𝜽 autour du point O. 2. Trouver la l’équation différentielle du mouvement libre amorti. 3. Donner la solution de l’équation différentielle dans le cas d’un système faiblement amorti. 1. Déduire les valeurs de 𝝎𝟎 , 𝜹 et 𝝎𝒂 . 𝟏 On donne le moment d’inertie du disque: 𝑱/𝑶 = 𝑴𝑹𝟐 𝟐

𝒌

𝜽

𝑩 𝑶

𝒌 𝑨

Figure N°2

𝜶

𝒙

2èmeAnnée LMD

Université Ferhat Abbas – Sétif Faculté de technologie

Tronc Commun S.T.

Corrigé de l’examen spécial de Physique 3

Exercice 01 1.a) Couplage Inertiel……………………………………………………….…..….0.5 point (𝒎 +𝒎𝟐 )𝒍𝟐𝟏 𝜽̈𝟏 + 𝒈𝒍𝟏 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝜽𝟏 = − 𝒎𝟐 𝒍𝟏 𝒍𝟐 𝜽̈𝟐 b)� 𝟏 ………………….………01point 𝒎𝟐 𝒍𝟐𝟐 𝜽̈𝟐 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 . 𝜽𝟐 = −𝒎𝟐 𝒍𝟐 𝒍𝟏 𝜽̈𝟏 2.a) Couplage Elastique……………………………………………………..……0.5 point 𝒎𝟏 𝒍²𝟏 𝜽̈𝟏 + �𝒌𝒂𝟐 + 𝒎𝟏 𝒈𝒍𝟏 �𝜽𝟏 = 𝒌𝒂²𝜽𝟐 ……………………………………....01point b)� 𝒎𝟐 𝒍²𝟐 𝜽̈𝟐 + �𝒌𝒂𝟐 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 �𝜽𝟐 = 𝒌𝒂²𝜽𝟏

3. La mise en équation du système couplé de 2 degrés de liberté passe par la méthode à suivre suivante : 1–On écrit les 2 équations différentielles en fonction des coordonnées généralisées...0.5 point 2–On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques…………0.5 point 3–On obtient 2 pulsations propres 𝜔1 et 𝜔2 …………………………………………0.5 point 4–On substitue 𝜔1 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 1er mode propre……. 0.5 point 5–On substitue 𝜔2 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 2ème mode propre…...0.5 point 6–On écrit les 2 solutions générales des équations différentielles du mouvement…...0.5 point

Exercice 02

•

𝒎 𝟑

donc la masse totale du système est égale à : 𝑴 +

Les 02 ressorts (2k) et (k) n’ont pas le même déplacement ; ils ne sont pas en parallèles donc :

𝜶 𝒚(𝐭) 𝐒(𝒕)

𝜶

𝟐𝒌

𝑴

𝒎 𝒌

𝒚(𝐭) 𝐒(𝒕)

𝑴+

𝒎 𝟑

𝟐𝒌

𝒌

I. Etude du système libre non amorti 1. L’équation différentielle du mouvement : Dans le cas d’un système libre non amorti : les 02 ressorts ont le même déplacement 𝒚(𝒕) Donc on peut calculer le ressort équivalent : 𝒌𝒆 = 𝟐𝒌 + 𝒌 = 𝟑𝒌 𝟏 𝒎 • L’énergie cinétique du système: 𝑻 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 • • •

2.

𝒎 𝟑

𝟐 𝟑 𝟏 L’énergie potentielle du système: 𝑼 = (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐 𝟏 𝒎 𝟏 La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 − (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝒅 𝝏𝑳 𝒎 � � = �𝑴 + � 𝒚̈ 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝟑 L’équation de Lagrange : � � − = 𝟎, � 𝝏𝑳 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝝏𝒚 = −𝟑𝒌𝒚 𝝏𝒚 𝒎 En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura : �𝑴 + 𝟑 � 𝒚̈ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 𝟑𝒌 𝒚̈ + 𝒎 𝒚 = 𝟎 𝒎 𝑴+ 𝟑 a) Déduire la pulsation propre 𝝎𝟎 : �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 ⟹ � 𝟑 𝒚̈ + 𝝎𝟐𝟎 𝒚 = 𝟎

𝒚(𝐭)

𝟑𝒌

𝑴+

𝒎 𝟑

Page1

1. Le système équivalent : • Le ressort de masse m contribue seulement avec

𝟑𝒌

𝝎𝟐𝟎 =

𝑴+

𝒎 𝟑

=

𝟗𝒌 𝟑𝑴+𝒎

𝟗𝒌

𝝎𝟎 = �𝟑𝑴+𝒎

b) La solution de l’équation différentielle du mouvement : 𝒚(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝟎 𝒕 + 𝝋) II. Etude du système libre amorti Dans le cas d’un système libre amorti : les 02 ressorts ont le même déplacement 𝒚(𝒕) Donc on peut calculer le ressort équivalent : 𝒌𝒆 = 𝟐𝒌 + 𝒌 = 𝟑𝒌 𝟏 𝒎 𝜶 • L’énergie cinétique du système: 𝑻 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 • •

L’énergie potentielle du système: 𝑼 = 𝟏 𝟐

•

La fonction de dissipation : 𝑫 = 𝜶𝒚̇ ²

•

L’équation de Lagrange :

𝟐 𝟑 𝟏 (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐

La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = 𝒅

𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 � �− 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝝏𝒚 𝒎 �𝑴 + � 𝒚̈ 𝟑

𝝏𝑳

⎧𝒅𝒕 �𝝏𝒚̇ � = ⎪ 𝝏𝑳 = −𝟑𝒌𝒚 𝝏𝒚 ⎨ 𝝏𝑫 ⎪ = 𝜶𝒚̇ ⎩

=−

𝝏𝑫 𝝏𝒚̇

𝟏 𝒎 �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 𝟐 𝟑

𝟏 − (𝟑𝒌) 𝒚𝟐 𝟐

𝒎 𝟑

𝑴+

𝒚(𝐭)

𝟑𝒌

𝝏𝒚̇

1. L’équation différentielle du mouvement : En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura : 𝒎 … … . �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 𝟑 2. Le facteur d’amortissement 𝜹, la pulsation des oscillations amorties 𝝎𝒂 et le décrément logarithmique D. 𝜶 𝟗𝒌 𝒚̈ + 𝒎 𝒎 𝒚̇ + 𝟑𝑴 + 𝒎 𝒚 = 𝟎 𝑴+ 𝟑 �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝟎 ⟹ � 𝟑 𝒚̈ + 𝟐𝜹𝒚̇ + 𝝎𝟐𝟎 𝒚 = 𝟎

Donc : 𝟐𝜹 =

𝜶

𝑴+

D = 𝜹𝑻𝒂 = 𝜹

𝒎 𝟑

𝟐𝝅 𝜔𝑎

⟹𝜹=

=

𝟑𝜶 𝟔𝑴+𝟐𝒎

𝟑𝜶 𝟔𝑴+𝟐𝒎

�(

𝟗𝒌

𝟑𝜶

, 𝜔𝑎 = �ω0 2 − δ2 = �(𝟑𝑴+𝒎) − (𝟔𝑴+𝟐𝒎)2 𝟐𝝅

𝟗𝒌 𝟑𝜶 )2 −( )2 𝟑𝑴+𝒎 𝟔𝑴+𝟐𝒎

,

𝟑𝜶 )2 𝟔𝑴+𝟐𝒎 𝟗𝒌 𝟑𝜶 ( )−( )2 𝟑𝑴+𝒎 𝟔𝑴+𝟐𝒎

⟹ D = 𝟐𝝅�

(

3. La solution de l’équation différentielle du mouvement dans le cas des oscillations faiblement amorties.

• • • •

•

−(

𝟑𝜶 )𝒕 𝟔𝑴+𝟐𝒎

𝟗𝒌

I. Etude du système forcé amorti Le système est soumis à une excitation extérieure de mouvement 𝐒(𝐭) = 𝐒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭. 𝟏 𝒎 L’énergie cinétique du système: 𝑻 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 L’énergie potentielle du système: 𝑼 La fonction de dissipation : 𝑫 =

𝟐 𝟑 𝟏 = (𝟐𝒌) 𝒚𝟐 𝟐

𝟏 𝜶𝒚̇ ² 𝟐

𝟏 𝟐

+ 𝒌 (𝒚 − 𝑺)𝟐

La fonction de Lagrange : 𝟏 𝒎 𝟏 𝟏 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = �𝑴 + � 𝒚̇ 𝟐 − (𝟐𝒌) 𝒚𝟐 − 𝒌 (𝒚 − 𝑺)𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 𝝏𝑫 L’équation de Lagrange : � � − =− 𝒅𝒕 𝝏𝒚̇ 𝝏𝒚 𝒅 𝝏𝑳 𝒎 ⎧ 𝒅𝒕 �𝝏𝒚̇ � = �𝑴 + 𝟑 � 𝒚̈ ⎪ 𝝏𝑳 = −𝟐𝒌𝒚 − 𝒌(𝒚 − 𝑺) ⎨ 𝝏𝒚 𝝏𝑫 ⎪ = 𝜶𝒚̇ ⎩ 𝝏𝒚̇

𝝏𝒚̇

𝟑𝜶

𝐬𝐢𝐧(�(𝟑𝑴+𝒎) − (𝟔𝑴+𝟐𝒎)2 𝒕 + 𝝋)

𝜶 𝒚(𝐭) 𝐒(𝒕)

𝑴+

𝒎 𝟑

𝟐𝒌

𝒌

1. L’équation différentielle du mouvement forcé amorti: En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura : 𝒎 𝒎 … … �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟐𝒌𝒚 + 𝒌(𝒚 − 𝑺) = 𝟎 ⟺ �𝑴 + � 𝒚̈ + 𝜶𝒚̇ + 𝟑𝒌𝒚 = 𝒌 𝐒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 𝟑 𝟑

Page2

𝜹 < ω0 : 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) ⟹ 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝒆

Exercice 3 1. On dessine la nouvelle position du système après une rotation d’un angle 𝜽 autour du point O. 𝒚

𝑩

𝒌

𝜽

𝑶

𝒚

𝒌 𝑨

𝜶

𝑩 𝑨

𝒌

𝜽

𝒙

• • •

𝜶

𝑶

A l’équilibre

• • •

𝒌

𝒙

Au mouvement

Les coordonnées des éléments du système : Le disque de masse M et de rayon tourne autour de O. Le ressort 𝒌 est attaché en un point A du disque donc : 𝒌{𝑹𝜽

𝑳 𝑳 L’amortisseur 𝜶 est attaché en un point B donc : 𝜶 �𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽 → 𝟐 𝜽̇𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑳

le ressort 𝒌 est attaché en un point B donc : 𝒌 �𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽 L’énergie cinétique du système : 𝑇 = 𝑇𝑀

1 𝟏 o L’énergie cinétique de la masse M : 𝑇𝑀 = 2 𝑗/𝑜 𝜑̇ 2 ⟹ 𝑻𝑴 = 𝟒 𝑴 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 𝟏

𝟏

𝑳

L’énergie potentielle du système :𝑈 = 𝑈𝑘𝐴 + 𝑈𝑘𝐵 = 𝟐 𝒌(𝑹𝜽)𝟐 + 𝟐 𝒌(𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐 1 𝑳 o La fonction de dissipation :𝐷 = 2 𝛼(𝟐 𝜽̇𝒄𝒐𝒔 𝜽)2

o

𝟏

𝟏

𝟏

𝑳

La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = 𝟒 𝑴 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 − 𝟐 𝒌(𝑹𝜽)𝟐 − 𝟐 𝒌(𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐 𝒅

𝝏𝑳

L’équation de Lagrange s’écrit : 𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� − 𝒅 𝝏𝑳 𝟏 𝟐 ̈ ⎧𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� = 𝟐 𝑴 𝑹 𝛉 ⎪ 𝝏𝑳 𝑳² 𝟐 = −𝒌(𝑹 + 𝟒 )𝜽 𝝏𝜽 ⎨ 𝝏𝑫 𝑳² ⎪ = 𝜶 𝟒 𝜽̇ ⎩ 𝝏𝜽̇

𝝏𝑳

𝝏𝑫

= − 𝝏𝜽̇ 𝝏𝜽 𝟏 𝟐

𝑳² 𝑳² 𝑴 𝑹𝟐 𝛉̈ + 𝜶 𝟒 𝜽̇ + 𝒌(𝑹𝟐 + 𝟒 )𝜽 = 0

C’est l’équation différentielle du mouvement libre amorti. 2. La pulsation propre du système 𝝎𝟎 et le facteur d’amortissement 𝜹 𝟐

𝟐𝜹 =

𝑴𝑹 𝛉̈ +

𝜶𝑳²

𝟐𝑴𝑹𝟐

𝟐

𝜶𝑳² 𝟒

→𝜹=

𝟐

𝜶𝑳² ̇ 𝒌(𝟒𝑹 +𝑳²) 𝜽̈ + 𝜽+ 𝜽=𝟎 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝜽̇ + 𝒌(𝑹 + 𝟒 )𝜽 = 0 ⟺ � 𝟐 𝜽̈ + 𝟐𝜹𝜽̇ + 𝝎𝟎 𝜽 = 𝟎 𝑳²

𝟐

𝜶𝑳²

𝟒𝑴𝑹𝟐

,

𝝎𝟐𝟎

=

𝒌(𝟒𝑹𝟐 + 𝑳²) 𝟐𝑴𝑹𝟐

𝒌(𝟒𝑹𝟐 + 𝑳²)

→ 𝝎𝟎 = �

𝒌(𝟒𝑹𝟐 +𝑳²)

La pulsation des oscillations amorties 𝝎𝒂 : 𝜔𝑎 = �ω0 2 − δ2 = �(

𝟐𝑴𝑹𝟐

)−(

𝟒𝑴𝑹𝟐

3. La solution de l’équation différentielle dans le cas d’un système faiblement amorti. 𝜹 < ω0 : 𝜽(𝒕) = 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒂 𝒕 + 𝝋) ⟹ 𝜽(𝒕) = 𝑪 𝒆

𝜶𝑳² )𝒕 𝟒𝑴𝑹𝟐

−(

𝟐

𝒌(𝟒𝑹 𝐬𝐢𝐧(�(

+𝑳²)

𝟐𝑴𝑹𝟐

𝜶𝑳²

𝟐𝑴𝑹𝟐

)−(

)2

𝜶𝑳²

𝟒𝑴𝑹𝟐

)2 𝒕 + 𝝋) Page3

𝟏

Université Ferhat Abbas – Sétif Faculté de technologie Tronc Commun S.T.

2ème Année LMD 07 Avril 2011 Temps alloué : 1h30

Contrôle de rattrapage de Physique 3

Exercice 01 (06 points)

Supposant que le système de la figure 01 effectue des oscillations de faibles amplitudes. 1. Quelle est le nombre de degrés de liberté ? x(t) 2. Calculer le Lagrangien du système. k α 3. Etablir l’équation différentielle du mouvement en fonction de δ et ωo m et déduire ωa. 4. Pour δ