TD4 CDMA 24 Nov 2021 1 [PDF]

Zitiervorschau

USTHB/FEI RRM – M1 24 novembre 2021

TD4. Série de TD CDMA EXERCICE 1 On veut transmettre un signal vocal de largeur de bande 3kHz par la technique CDMA. On demande de calculer le débit chip Dc=1/Tc pour obtenir un gain d’étalement de 20dB.

Réponse Bs=3kHz, B=1/Ts Ts=1/3000 Bc=1/Tc Bc/Bs=Ts/Tc=G Gain d’étalement G=10log (Bc/Bs)=20dB Log(Bc/Bs)/log(10)=2 soit log(Bc/Bs)=ln(10)*2 Bc/Bs= exp(ln(10)*2) = 100=Ts/Tc Ts=100*Tc, Tc=Ts/100=1/3.103.100=0.33.10-5≈3.3.10-6=3.3μs

EXERCICE 2 On veut transmettre un signal de débit binaire Db=7500bits/s avec un DS–CDMA à 192Mchips/s avec une modulation QPSK 1. Calculer le gain d’étalement 2. On suppose que le signal reçu a une puissance de 410.10 -14watts et la densité spectrale du bruit est N0=1.6.10 -20W/Hz. On demande le rapport signal à bruit à l’entrée du récepteur Réponse 1. Calculer le gain d’étalement Db=7500bits/s=nDs or nous sommes en QPSK, donc n=2, d’où Ds=7500/2=3750bits/s D’où Ts=2.66.10-4s=0.266ms Dc=192Mchip/s, donc Tc=1/Dc=5.2.10-9s Ts/Tc=2.66.10-4/5.2.10-9=0.511.105 Le gain gain est Ts/Tc=Dc/Ds=192.106/3750=0.0512*106=51.2.103 en decibel : G=10.Log10(51200)=47dB 2. le rapport signal à bruit à l’entrée du récepteur P=4.10-14w Ds=1/Ts

N0=1.6.10 -20w/Hz, sachant que l’énergie E=P*t, Eb=P*Ts ,

1

RSB=Eb/N0=P/Ds.N0=410.10-14/(7500*1.6.10-20)=3.4.104 en dB : RSBdB=10*Log(3.4.104)=45.31dB

Exercice 3 Un système CDMA consiste en 15 utilisateurs ayant la même puissance, et transmettant de l’information avec débit de 10000 bits/s. Chacun d’eux utilise un signal d’étalement de spectre à séquence directe d’un débit par chip de 1 MHz. La modulation utilisée étant BPSK. On donne la relation entre la puissance émise Ps et la puissance du bruit P j, due aux interférences entre utilisateurs ou MAI (Multi Access Interference) : Pj=Ps*(Nu-1) 1. Déterminer SNR=Eb/Nj, ou Nj est la densité spectrale d’énergie de l’interférence liée aux MAI. 2. Quel est le gain de traitement (d’étalement). 3. De combien doit-on augmenter le gain de traitement pour pouvoir doubler le nombre des utilisateurs sans changer le SNR de sortie.

Correction Ds=R=10 000bit/s , Dc=1MHz, N=15 utilisateurs ayant la même puissance. 1. Déterminer SNR=Eb/Nj, ou Nj est la densité spectrale d’énergie de l’interférence Par ailleurs, on sait que SNR= Eb/Nj donc on peut écrire que Eb*Ts=Ps puissance transmise (puissance en watt pendant une durée de symbole Ts et Eb en joule, Ts en seconde) On peut alors écrire aussi que la Puissance des MAI=Pj= Nj*Tc = Nj/Dc (Nj DSP des MAI) avec Dc=1/Tc Donc Eb/Nj=(Ps/Ds)/(Pj/Dc)= (Ps/Pj)*Dc/Ds Par ailleurs, si Nu est le nombre d’utilisateurs, on donne Pj=Ps(Nu-1), d’où, Eb/Nj=(1/Nu-1)(Dc/Ds) Eb/Nj=(1/14)(106/104)=7.14 Soit en décibels : Eb/Nj= 10*Log(7.14)=8.53dB 2.

Quel est le gain de traitement d’étalement G. G=Dc/Ds=106/104=100

3. De combien doit-on augmenter le gain de traitement pour pouvoir doubler le nombre des utilisateurs sans changer le SNR de sortie. Eb/Nj=(1/Nu-1)(Dc/Ds)= =(1/Nu-1)G1 (1/Nu-1)G1= (1/2Nu-1)G2 7.14=(1/29)G2 G2=7.14*29=207.06 G2-G1=207-100=107 donc il faut augmenter le gain de 107

Exercice 4

2

Soient deux utilisateurs A et B transmettant leurs messages sur un réseau CDMA. Il est demandé de décrire la méthode effectuée pour transmettre et recevoir les méssages émis. Emission 

Le message A de l’émetteur A, représentée par une séquence de +1, -1 traduisant la séquence de bits 1 et 0 logiques, est multiplié par un code CA: une séquence de +1 et –1 (les « chips ») judicieusement choisie, et dont les transitions sont m fois plus fréquentes. A=[+1 -1 -1]



Idem pour un émetteur du message B: message multiplié par un code B. B=[-1 -1 +1] Les codes CA et CB des deux utilisateurs sont donnés tels que : CA=[+1, -1, -1, 1] ; CB=[+1, -1, +1, -1]

 

On procéde ensuite à l’étalement de A et B en faisant les séquences produits A*CA et B*CB qui sont ajoutées et transmises en obtenant: (A*CA +B*CB )

Réception Le signal reçu est alors égal à: (A*CA +B*CB ) 



A la réception, le destinataire du message A multiplie la séquence reçue par le code CA idem pour le destinataire du message

B: CA*(A*CA +B*CB ) = CA*A*CA + CA* B*CB et CB*(A*CA +B*CB )= CB*A*CA + CB* B*CB Si les codes sont bien choisis, sur la durée d’un bit, (donc de m chips), la moyenne de CA.CA et de CB.CB est maximale tandis que CA.CB a une moyenne nulle : Les codes C sont dits « orthogonaux » (Somme des produits des éléments correspondants= [produit scalaire]=0). Le schema ci après illustre le principe de l’émission et de la réception avec le DS CDMA :

3

Intégrer à la fin revient (à calculer la corrélation entre un code et le signal envoyé) à faire la somme en numérique sur une période et diviser par le nombre de chips (somme de tous les signaux sur une durée de 1 bit : on a ici 3 bits : ¼*(0+0+-2- 2)=-4/4 (moyenne non nulle des signaux reçus sur un bit en reception,ce qui permet la reconstitution du signal)

Remarque :

4

 En réception, les signaux reçus sur chaque durée d’un bit de message ont une moyenne non nulle, ce qui permet la reconstitution du signal. On préfère en fait mesurer la corrélation: la somme des produits code * signal reçu sur la durée d’un bit et diviser par le nombre de chips.  Les codes sont choisis tels que leur produit scalaire CA.CB soit nul et CA.CA soit maximum (codes orthogonaux). On rappelle qu’un produit scalaire est la somme des produits des composantes correspondantes : u1v1 + u2v2 pour deux vecteurs U et V de composantes u1, u2 et v1, v2. Cette notion de produit scalaire n’est pas limitée aux vecteurs dans le plan, mais dans tout l’espace. Le code est ici un vecteur dont les composantes sont les chips.

Rappels sur les m-séquences) Les m-séquence sont des séquences pseudo-aléatoires. Ce sont les séquences de longueur maximum que l’on obtient en sortie d’un registre à décalage (shift registers) composés de bascules D, rebouclé sur lui-même. La séquence obtenue d’un registre à décalage se trouve à la sortie de la dernière bascule.

Exercice 5

Le polynôme caractéristique pour cette séquence est P(x) = x0 +0x1+0x2+ x3 + x4 = 1 + x3 + x4   



Les séquences générées par un registre à décalage dépendent :  de la longueur, des prises de rétroaction et des valeurs initiales de ce registre. Pour caractériser une configuration de registre à décalage, il faut connaître :  le nombre de bascules  et la position des prises de la droite vers la gauche en hexadécimal. La position des prises permet d’identifier le polynôme caractéristique (qui permet de situer les prises du registre à décalage) de cette séquence et de caractériser cette configuration c’est-à-dire de lui donner un nom ou une notation. La séquence générée à partir de cette configuration dépend ensuite des valeurs initiales des bascules .

5



  

La séquence obtenue alors est appelée séquence maximale (maximal length sequence, maximal sequence ou m-sequence) Si :  Une séquence maximale est une séquence périodique pour laquelle la longueur L de la période est maximale pour le nombre r de bascules du registre à décalage et vaut L=2r-1. La longueur L représente le nombre de chips dans une période. On peut générer une séquence maximale uniquement si le nombre de prises, excluant la prise de rétroaction, est pair. Les séquences maximales possèdent entre autres les propriétés suivantes :  Elles sont équilibrées (balanced), c’est-à-dire qu’elles possèdent un 1 de plus que de 0 dans une période complète de 2r– 1 éléments binaires.

La séquence obtenue par la configuration du registre à décalage est périodique de période :L=2r-1=24-1=15 Cela veut dire que nous obtenons une séquence PN tous les 15 coups d’horloge Nous représentons ci -après la table du registre à décalage de la figure 4.2 qui nous permet d’obtenir la séquence PN maximale Table de vérité pour le ou exclusif : X = a ⊕ b

Time Bip d’horloge

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D1= (D3D4)

1 0  1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1

D2

D3

D4

1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0

Décalage à droite Sortie (séquence PN obtenue)

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1

Cette séquence périodique est 001101011110001.

6

Nous voyons que Les séquences générées par un registre à décalage dépendent de la longueur L, des prises de rétroaction et des valeurs initiales de ce registre. La séquence obtenue par la configuration de la figure 4.2 est périodique de période 15. Cette séquence périodique est 001101011110001. Elle est illustrée à la figure suivante, dans le cas antipodal. Tant que l’horloge fonctionne, on obtient cette séquence de façon cyclique à tous les 15 coups d’horloge.

La séquence obtenue par la configuration du registre à décalage

Exercice 6 Le registre à décalage suivant est un générateur de codes pour le DS-CDMA Condition initiale : 1 0 0

1. Donner le polynôme caractéristique de ce registre P(X) P(x)=x3+x2+0x1+1=1+ x2+ x3 2. Est-ce un générateur de séquence maximale Ce générateur génère une séquence maximale uniquement lorsque le nombre de prises, excluant la prise de rétroaction, est pair. Ici, le nombre de prises est de 2 Donc il génère une séquence maximale. 3. Déterminer le nombre L de chips dans une période (L est aussi la période de la séquence) L=2r-1=23-1=2*2*2-1=7 ici r= au nombre de régistres Donc on aura une séquence PN de 7 chips 4. Déterminer alors cette séquence c(n)

7

Top d’horloge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (revient à 0)

R0= R1+R2

1 0 1 1 1 0 0 0 1

R1 R2 Sorti e 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Le code obtenu est alors : c(n)= 0010111 5. Si l’état initial du registre est à présent 111, déterminer la séquence générée par ce registre : R0= R1+R2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 0 0 1 0 1 1 1

R1 R2 Sorti e 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0

La séquence générée est c(n)= 1111001 Nous voyons que si nous changeons l’état initial la séquence change. Exemple à faire : Trouver la séquence PN générée par le registre :

Générateur de séquences avec longueur de 5 bascules L’analyse chronologique des états du générateur est donné par le tableau suivant

8

Exemple : pas m-séquence

D’après le schéma du registre à décalage, le nombre de prises en excluant la prise de rétroaction est impaire (3prises) donc la séquence n’est pas maximale. Trouvez la sequence PN

9

Rappels sur les codes OVSF Ce sont des codes orthogonaux a facteur d’étalement variable (OVSF : Orthogonal Variable Spreading Factor). L’utilisation de codes OVSF permet de modifier le facteur d’étalement, même si ces derniers sont de longueurs différentes.

Les codes binaires d’étalement correspondent aux lignes ou aux colonnes de la matrice H. N=2n avec n=0, 1, 2, … entier Les codes de Walsh-Hadamard sont générés à partir de la matrice de transformation de Sylvester-Hadamard. Plus exactement, ils correspondent aux lignes ou aux colonnes orthogonales de cette matrice composée de ±1. La matrice de transformation de Sylvester-Hadamard de taille 2 n×2n satisfait la condition suivante: - Ces codes sont également obtenus à partir de ‘’l’arbre des codes” qui est présente dans la - Dans cette figure, les codes OVSF sont notés par CSF,k où SF(Spreading Factor) représente le facteur d’étalement (longueur du code ) et k le numéro du code, 0 ≤ k ≤=SF -1. - Toutes les séquences de code situées à un même niveau hiérarchique de l’arbre sont de même longueur (par exemple, SF=4 pour tous les codes C4,i). Pour retrouver les codes OVSF, il suffit de représenter de suivre le principe de l’arbre à codes

Exemples 10

N=SF=4, en utilisant l’arbre des codes C4=

1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Pour N=SF=8, en utilisant l’arbre des codes C8= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 - 1 -1 1 1 - 1 -1 1 1 - 1 -1 -1 -1 + 1 +1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

1 -1 1 -1 -1 +1 -1 +1

1 1

1 -1 -1 1 -1 +1 +1 -1

-1 -1 1 -1 -1 1

Exercice 7 Soit 4 utilisateurs A, B, C, D , ayant chacun un message à transmettre. Ces utilisateurs disposent chacun d’un code pseudo aléatoire à utiliser pour transmettre un message. Supposons que ces 4 utilisateurs doivent utiliser des séquences d'étalement orthogonales de Walsh Hadamard): 1. Donner à chacun un code à utiliser sachant que  la matrice CN s’écrit:

a. Donner la valeur de N et déterminer alors les valeurs de la matrice Ici, N=4 donc on aura C4(1) C4(2) C4(3)

C2(1) =

C2(1)

1 1

1

C2(1) - C2(1)

1

1

-1

-1

C2(2) C2(2)

1 -1

1

-1

11

1

C4(4)

C2(2)

- C2(2)

1 -1

-1

1

Il faut à présent calculer la matrice C2 C2=

C2(1) =

C1(1) C1(1)

C2(2)

C1(1) - C1(1)

=

1

1

1

-1

Avec C1=C1(1)=1 La séquence d’étalement à attribuer à chaque utilisateur sera : C1= [1 1 C3= [1 - 1

1 1

1] ; C2 = [1

1

-1

-1] ; C4 = [1 - 1

-1] ; -1

1]

2. Montrer que ces séquences de chips sont orthogonales 2 à 2  :  Pour cela il faut soit fait le produit scalaire 2 à 2 des codes qui doit être nul (produit scalaire de deux vecteurs est obtenu en faisant la somme du produit des composantes)  Ou faire l’autocorrélation de chaque code qui doit être maximale si le décalage =0 ou minimale pour un certain décalage (on prendra ici =2) L

φ𝝉 =∑ Ci .Ci-𝝉 i=1

Pour les transmissions en CDMA les propriétés d’autocorrélation et d’intercorrélation des codes jouent un rôle très important. En situation idéale les codes ont une: - intercorrélation minimale - autocorrélation maximale en zéro de la forme d’un Dirac : δ(t-kNTc), pour k=1,2… (NTC= T), et minimale ailleurs 2.1 Analyse du produit scalaire Il faut faire le produit scalaire des séquences 2 à deux et monter qu’il est nul C1= [1 1 C3= [1 - 1

1 1

1] ; C2 = [1

1

-1] ; C4 = [1 - 1

-1

-1] ; -1

1]

Σ= ΣC1.C2= (1*1)+( 1*1 ) + (1*-1 ) + (1*-1 )=1+1-1-1=0 ΣC1.C3>=(1*1)+( 1*1 ) + (1*-1 ) + (1*-1 )=1-1+1-1=0 = ΣC1.C4=(1*1)+( 1*-1 ) + (1*-1 ) + (1*1 )=1-1-1+1=0……. ΣC2.C3>, ΣC1.C4>=( 3. Si chaque utilisateur transmet un message tel que U1= [ 1 1 ] , U2= [-1 -1 ] U3= [1 -1] U4=[- 1 1] Si la durée d’un bit est de Tb=4.10 -6s, calculer la durée d’un chip Tc. En déduire le débit binaire et Db et le débit chip Dc Tc=Tb/4=10-6s ; Db=25 104bit/s , Dc=1/Tc=106bit/s 12

3.1 Déterminer le message en bande de base à transmettre par chaque utilisateur U1.C1= [1 1]* [1 1 1 1] = [+1 +1 +1 +1] [+1 + 1 +1 + 1]  U2C2= [-1 -1]* [1 1 -1 -1] = [-1 -1 +1 +1]  [-1 -1 +1 +1]  U3C3= [1 -1]* [1 - 1 1 -1] = [1 - 1 +1 -1]  [-1 + 1 - 1 +1]  U4C4= [- 1 1]* [1 - 1 - 1 +1]= [-1 + 1 +1 -1] [1 - 1 -1 1] 3.2

En déduire le message total en bande de base codé à transmettre U1.C1+ U2C2+ U3C3+ U4C4= [0 0+4 +0] [0 0 +0 +4] 3.3 Quel est alors le signal en bande de base reçu par chaque récepteur A la réception, il faut multiplier le message envoyé par le code de chaque utilisateur pour obtenir les différents messages envoyés  Pour obtenir le message envoyé par U1 il faut faire : C1 (U1.C1+ U2C2+ U3C3+ U4C4) [1 1 1 1]  [0 0+4 +0] [0 0 +0 +4]= [0 0+4 +0] [0 0 +0 +4] Puis intégrer la séquence obtenue sur chaque bit et la diviser par le nombre de bits de chaque séquence 1/4 *Σ(1/4) *Σ= U1 ={1 1}



Pour obtenir le message envoyé par U2 il faut faire : C2 (U1.C1+ U2C2+ U3C3+ U4C4)= [1 1 -1 -1]  [0 0 4 +0] [0 0 +0 4]= ]  [0 0 -4 +0] [0 0 +0 -4]= 1/4 *Σ(1/4 )*Σ= {[0+0-4+0 ] [0+0+0+4]}/4=U2= [-1] [ -1] ={-1 -1}



Pour obtenir le message envoyé par U3 il faut faire : C3 (U1.C1+ U2C2+ U3C3+ U4C4)= [1 - 1 1 -1] [0 0+4 +0] [0 0 +0 +4]= [0 0 4 +0] [0 0 +0 -4]= 1/4 *Σ(1/4 )*Σ= {[+4 ] [-4]}=U3= {+1 -1 }



Pour obtenir le message envoyé par U3 il faut faire : C4 (U1.C1+ U2C2+ U3C3+ U4C4)=

[1 - 1

-1

1] [0 0+4 +0] [0 0 +0 +4]= [0 0 -4 +0] [0 0 +0 +4]=

1/4 *Σ(1/4 )*Σ= {[+4 ] [-4]}=U3= {-1 +1 }

Exercice code Gold Exercice 8

Cet exercice montre comment un ensemble de séquences de codes d’embrouillage (Gold) de longueur n = 7 est généré à partir des polynômes caractéristiques suivants :

(a) Donnez le schéma représentant la génération de la séquence Gold 13

(b) Donnez le code de Gold dans le cas des états initiaux 100 et 111. (d) Si n= 31, proposer le schéma représentant la génération de la séquence Gold, ainsi que les polynômes correspondants.

Corrigé (a) Donnez le schéma représentant la génération de la séquence Gold (a) Le schéma représentant la génération de la séquence Gold est comme suit :

P1(X)=1.X0

P2(X)= 1.X0

+ 0.X1

+ 1.X1

+

+ 1.X2

0.X2

+ 1.X3

+ 1.X3

Pour obtenir un générateur de codes gold il faut associer ces deux registre par un ou exclusif par leurs sorties

(b) Donnez le code de Gold dans le cas des états initiaux 100 et 111. Sachant que chaque registre contient 3 bascules donc le code généré par chacun sera de longueur : 23-1=7 Donner le tableau permettant de générer les codes avec un tel schéma R01= R2+R 1

R11

R12 sortie 1

1 0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1

Sortie1 R2+R1 =R0

0 0 1 0 1 1

14

R02

R12

R22

1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 0

Sortie2 R2+R0 =R0

Sortie1 + Sortie2

1 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 0

1 0 0 1 1 1 1 0 1 Le code gold obtenu sera alors : 1111001 Avec des états initiaux 100 et 111, les séquences h(x) et h’(x) génèrent, respectivement, les m-séquences ‘’préférées’’ : U=0010111 séquence maximale car le nombre de chips 1 est supérieur au nombre de chips 0 V=1110010 La séquence obtenu pour le code gold est : w=uv=1111001 (c)

Si n=31, proposer un système de registres pour générer une séquence de codes gold. Si n=31 cela veut dire que le nombre de bascules est 5, donc la longueur de la séquence sera : 25-1=32-1=31

R0= R4+R 1 1

R1

R2

R 3

R4

0

0

0

0

S 1

R0= R4+R3+R1+R 0 1

R1

R 2

R3

R 4

1

1

1

1

S2

S1+S2

Exercice 9- MUD conventionnel Un système CDMA avec trois utilisateurs (K=3) ; chacun transmet quatre symboles, un décorrelateur est utilisé au niveau de la réception où y est le vecteur des sorties des Matched Filters. Les données transmises par les K utilisateurs peuvent être représentées par la matrice b; La matrice des énergies des données A est normalisée à 1 (A=diag[1]) et les codes d'étalements sont respectivement C1,C2, C3 .

15

1. Calculer R la matrice d’inter-corrélation normalisée (K x K) des codes d’étalements. 2. Donner la forme matricielle y en fonction de R, A, b. 3. Calculer les MAI.

Corrigé 1. Calculer R la matrice d’inter-corrélation normalisée (K x K) des codes d’étalements. Le nombre d’utilisateurs K=3 y : des sorties de Matched Filter (MF) b : matrice des données transmises A : matrice des énergies des données C1, C2, C3 :les codes d’étalement.

Schéma du détecteur conventionnel ou matched filter

2. - Calcul de la matrice R d’intercorrélation normalisée des codes d’étalement

16

C1C3T= ; C2C1T= ; C2C2T ……………

Donc on obtient la matrice

3. - Donner l’expression numérique de la matrice y en fonction de R,A,b si n=0 avec n la matrice de bruit additif. On écrit alors

4.

. Calculer les MAI si

Le MAI (Multiple Access Interférence) définie les interférant par rapport à l’usager désiré. S’il y a 3 usagers donc le nombre de MAI=K-1=3-1=2 , les MAI sont les interférences des autres utilisateurs, comme on a 3 utilisateurs, donc on 2 utilisateurs qui interférent sur le 1er.. Les MAI pour chaque vecteur b est obtenu en faisant la différence entre la valeur réelle et la valeur estimée

A l’aide de Matlab, il est possible d’inverser R et la multiplier par y pour obtenir b^ k. Pour obtenir les MAI, iml faut alors effectuer l’opération : b-b^ k

Exercice 10

Rappels : 

produit scalaire entre 2 fonctions f1(t) et f2(t) périodiques continues de période T : T

< f 1 ( t ) , f 2 ( t )>=∫ f 1 ( t ) . f 2 ( t ) . dt 0

Deux utilisateurs veulent transmettre une information (respectivement b1 et b2) sur un même canal. Pour cela ils utilisent chacun un code d’étalement respectivement c1(t) et c2(t)) ayant des propriétés particulières : - Une autocorrélation ressemblant à un Dirac :

17

L

Soit, Rcici(τ) =∑ ci(t) .ci(t−τ )= δ(t) (avec i = 1 ou 2) i=1

Telle que si τ=0 alors δ(t)=1 ; si τ≠0 alors δ(t)=0 L

-

Une intercorrélation nulle : Rc1,c2(τ) = ∑ c 1(i). c 2( i−τ )=0 quel que soit τ i=1

+∞

-

On rappelle que :

∫ x (t) δ (t−t 0)dt = x(t0). −∞

On considère que chaque utilisateur transmet un signal xi(t) ( i=1, 2) sur un canal multitrajets. Le signal émis par chaque utilisateur s’écrit alors : x1(t)=b1.c1(t) et s2(t)= b2.c2(t) (voir figure 2).

Figure 2 Ces signaux passent ensuite via des canaux multitrajets de réponse impulsionnelle h 1(t) et h2(t) telles que h1(t)=0.δ(t)+1.δ(t-t1) et h2(t)=β0.δ(t)+β1.δ(t-t2) On reçoit alors au niveau du récepteur la somme des deux signaux filtrés représentés par y(t) = x1(t)+x2(t) 1. Donner les expressions des signaux des signaux x1(t), x2(t) et y(t) en fonction de b1, b2, c1(t), c2(t) et h1(t), h2(t) x1(t) = [b1.c1(t)]*h1(t) x2(t)=[b2.c2(t)]*h2(t) ; y(t)= (b1.c1(t))*h1(t) +(b2.c2(t))*h2(t)  où * représente le produit de convolution 2. En déduire alors l’expression de y(t) en fonction de b1, b2, c1(t), c2(t) et de i et βi y(t)= b1.c1(t) * (0.δ(t)+1. δ(t-t1)) + b2.c2(t)* (β0.δ(t)+β1. δ(t-t2)) y(t)= 0.b1.c1(t) + 1.b1.c1(t-t1) + β0.b2.c2(t) + β1.b2.c2(t-t2) 3. Calculez le signal décodé : Ryc1(τ)= Ʃ y(t).c1(t-τ) et montrer qu’il est égal au signal émis par le 1er utilisateur b1 si τ=0 . En déduire le résultat pour R yc2(τ).

Conclure. 

Calcul de la corrélation entre le signal reçu y(t) et le code de cet utilisateur c1(t) : Ryc1(τ) Ryc1(τ)=Ʃy(t).c1(t-τ) Ryc1(τ)= Ʃ [0.b1.c1(t) + 1.b1.c1(t-t1) + β0.b2.c2(t) + β 1.b2.c2(t-t2)].c1(t- τ) =Ʃ (0.b1.c1(t).c1(t-τ) + 1.b1.c1(t-t1).c1(t-τ) + β0.b2.c2(t).c1(t- τ) + β1.b2.c2(t-t2).c1(t-τ)] = 0.b1 .R[c1(t).c1(t-τ)] + 1.b1. R[c1(t-t1).c1(t-τ)] + β0.b2. R[c2(t).c1(t- τ)] + β1.b2. R[c2(t-t2).c1(tτ)]= 0.b1.(τ)+ 1.b1. (τ-t1)+ β0.b2.0+ β1.b2.0 = 0.b1.(τ)+ 1.b1. .(τ-t1)=b1(0.(τ)+ 1.(τ-t1)) Si τ=0 alors (τ)= (0)=1 et (τ-t1)= (-t1)=0 comme donné plus haut d’où : Ryc1(τ)= 0.b1 avec 0=cste, on retrouve ainsi le message du l’utilisateur 1 4. En déduire le résultat pour Ryc2(τ). Conclure

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Ryc2(τ)= Ʃ (0.b1.c1(t) + 1.b1.c1(t-t1) + β0.b2.c2(t) + β 1.b2.c2(t-t2)).c2(t- τ) = 0.b1 .R[c1(t).c2(t-τ)] + 1.b1. R[c1(t-t1).c2(t-τ)] + β0.b2. R[c2(t).c2(t- τ)] + β1.b2. R[c2(t-t2).c2(tτ)]= 0.b1.0 + 1.b1.0+. β0.b2 .(τ) + β1.b2. .(τ-t1) = β0.b2 .(τ) + β1.b2. .(τ-t1) Si τ=0 alors (τ)= (0)=1 et (τ-t1)= (-t1)=0: Ryc2(τ) = β0.b2 avec β0=cste, on retrouve ainsi le message du l’utilisateur 2 Ces résultats montrent que si on corrèle le signal reçu avec l’un des codes, on retrouve le message de l’utilisateur correspondant au code. Ce qui correspond à la méthode utilisée pour extraire l’information émise à la réception dans le cas du récepteur mono-utilisateur.

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