Tarea 200 [PDF]

Zitiervorschau

Nombre: Yelson Herrera Flores

Cuenta: 20141011211

Seccion: 1500

Fecha: 03/04/2018

FS-200 Catedratico: WilmerBetanco

Oscilacion amortiguada El modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivamente a la ley de Hooke no es realista pues desprecia la presencia del rozamiento. La experiencia nos muestra que un oscilador se va frenando progresivamente hasta llegar a detenerse en la posición de equilibrio. Esta disminución progresiva en la amplitud de las oscilaciones es debida a la presencia de rozamiento. Éste puede deberse a un roce con una superficie (rozamiento seco) o la fricción del aire o líquido que rodea al oscilador (rozamiento viscoso). El caso del oscilador con rozamiento seco tiene un interesante análisis físico-matenático, pero no lo consideraremos aquí, sino en un problema. En su lugar nos centraremos en el caso del rozamiento viscoso. La razón es que, aparte de ser un modelo de muchas aplicaciones, representa más adecuadamente lo que ocurre en un amortiguador mecánico.

Ecuación del oscilador amortiguado La segunda ley de Newton para un oscilador armónico con amortiguamiento viscoso (en una dimensión) se escribe entonces

Pasando todo al primer miembro

Aplicando que la velocidad y la aceleración son las primera y segunda derivadas respecto al tiempo de la elongación nos queda la ecuación diferencial

Dividiendo por la masa de la partícula podemos escribirla como

Esta es la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. La constante

es la frecuencia propia del oscilador. Equivale a la frecuencia natural con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento. Como veremos, la presencia de rozamiento reduce la frecuencia de las oscilaciones. La segunda constante

es la constante de amortiguamiento. Mide la magnitud de la fricción, siendo mayor cuanto más intensa sea ésta. Tanto la frecuencia propia ω0 como la constante de amortiguamiento β tienen dimensiones de inversa de un tiempo y se miden en s−1 en el SI.

La figura nos muestra la representación gráfica de la posición del c.m. del balón en función del tiempo. Después de haber completado un semiperiodo de oscilación P/2=p/w, (línea de color rojo) el c.m. del balón se aleja de la pared con una velocidad v dada por

Se define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial v0 justamente antes del choque con la pared.

Podemos comprobar, que el coeficiente de restitución depende de dos parámetros que describen

nuestro modelo simplificado, la frecuencia de la oscilación amortiguada y la constante de amortiguamiento. Como podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, g=0, no hay rozamiento interno entre las diversas partes del balón, no hay pérdidas de energía, el choque es perfectamente elástico, y e=1.

Amortiguamiento crítico Corresponde al caso en que la frecuencia angular del sistema y la constante de amortiguamiento son iguales. γ =ω. En este caso observamos, que al calcular sus raíces nos encontramos con que el discriminante de la ecuación característica es 0, por lo tanto su solución es:

Sobreamortiguado Consideraremos en primer lugar el caso de rozamiento intenso

En este caso las dos raíces de la ecuación son reales y además negativas

(para ver que la primera es negativa basta con observar que la raíz es menor que β). La solución de la ecuación diferencial es entonces una suma de dos exponenciales decrecientes Puesto que | λ2 | > | λ1 | la segunda exponencial decae más rápidamente, y es la primera de las dos la que determina el tiempo en decaer. Por dar un ejemplo numérico, supongamos que que

y

. En ese caso resultan

Esto quiere decir que la primera exponencial decae en un tiempo típico de 2 segundos (la inversa de λ1) mientras que la segunda lo hace en medio segundo, por tanto al cabo de un segundo prácticamente ya solo tenemos la primera exponencial.

La solución completa es la combinación de las dos aunque rápidamente se asemeja mucho a la primera

subamortiguado El caso opuesto al anterior lo obtenemos cuando el rozamiento es débil (incluyendo el caso en que no hay rozamiento). Si llamamos

podemos escribir las dos soluciones de la ecuación de segundo grado como complejos conjugados

siendo la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación diferencial queda entonces

Aquí podemos extraer como factor común la parte real de la exponencial y escribir

Para ver que esta solución representa oscilaciones amortiguadas aplicamos la fórmula de Euler

que transforma la solución en

con

Esta combinación de senos y cosenos puede reducirse a uno solo, como se hace el caso del oscilador sin rozamiento, y escribir la solución en la forma

Podemos leer esta solución como una oscilación sinusoidal

con una amplitud que decae exponencialmente

Este comportamiento se dice cuasiperiódico, porque no llega a repetirse (al completar una oscilación no se encuentra en la misma posición que al iniciarla). El cuasiperiodo es mayor que el del oscilador sin rozamiento

El tiempo que tarda en decaer la amplitud no los da el factor de decaimiento β. En un tiempo

la amplitud se reduce en un factor e (a un 36.8% de la que tuviera). Tenemos entonces dos escalas de tiempo: T0 nos mide el tiempo que tarda en oscilar, τ el tiempo que tarda en amortiguarse. El cociente adimensional

nos mide la importancia del amortiguamiento pues nos da el número de oscilaciones en un tiempo típico de decaimiento. Si este número es grande quiere decir que el oscilador es muy poco amortiguado. Comparando las oscilaciones con y sin rozamiento vemos que si éste es pequeño se nota un cambio apreciable en la amplitud, pero muy pequeño en el peridoo

Energía en un oscilador amortiguado Una de las consecuencias del amortiguamiento es la disipación de energía mecánica. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas

siendo K la energía cinética

y Pc la potencia de las fuerzas conservativas (la elástica, en este caso) y Pnc la de las no conservativas (que sería la de rozamiento). La potencia de las fuerzas conservativas verifica

con U la energía potencial elástica

Pasando la energía potencial al primer miembro obtenemos la energía mecánica

La potencia de las fuerzas no conservativas la calculamos multiplicando la fuerza por la velocidad

de forma que nos queda la relación

Puesto que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos dice que la energía mecánica se va disipando progresivamente, aunque no a ritmo uniforme: el consumo es mayor cuando lo es la rapidez del movimiento.

Oscilaciones Forzadas • Las oscilaciones forzadas se producen cuando se aplican fuerzas exteriores sobre un sistema vibratorio. Dicha fuerza exterior puede ser un simple impulso instantáneo, una oscilación mantenida, o incluso puede estar causada por fuerzas de inercia. Después de un cierto tiempo, la oscilación natural del sistema (régimen transitorio) desaparece por la presencia de fenómenos de resistencia, mientras que la oscilación estacionaria, debida a la fuerza exterior, tiene su misma frecuencia y perdura en el tiempo. El régimen transitorio tiene importancia práctica sólo al principio del movimiento, cuando la oscilación natural del sistema no ha sido amortiguada apreciablemente. Aunque en la práctica siempre existe cierto amortiguamiento, es interesante estudiar el caso límite de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento cero por su sencillez y porque las conclusiones que pueden extraerse de este modelo matemático son válidas en presencia de amortiguamiento. 1. Oscilación forzada no amortiguada • Según la ley de Newton, la ecuación de movimiento es 2 2 0 cos d x m kx F t dt = − + Ω Las fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza restauradora del muelle, y la fuerza exterior de variación armónica. Introduciendo la frecuencia del sistema no perturbado, 0 k m w = escribimos esta ecuación como un MAS 2 2 0 2 0 cos d x F x t dt m + w = Ω • Solución de esta ecuación. En general, cuando el lado izquierdo depende de la variable x y el

derecho no, la solución puede escribirse como la suma g p x = + x x siendo g x la solución general de la ecuación con el lado derecho igual a cero 2 2 2 0 0 d x x dt + = w y p x una solución particular de la ecuación general 2 2 0 2 0 cos d x F x t dt m + w = Ω En nuestro caso, sabemos que la solución general es ( ) 0 cos g x = + A t w f donde las constantes A,f dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Para encontrar la solución particular, suponemos que la respuesta del sistema a la fuerza exterior es proporcional a ésta. Dicho de otra forma, esperamos que la respuesta del sistema sea lineal con la perturbación exterior que recibe. Con esto, la solución particular será de la forma cos p x = Ω C t Introduciendo p x en la ecuación del movimiento, se satisface 2 2 0 0 cos cos cos F C t C t t m − + w = Ω Despejando la amplitud C , 0 2 2 0 ( ) F C m w = − Ω que es la amplitud del movimiento forzado. • Por tanto, la masa m realiza el movimiento ( ) 0 0 2 2 0 1 cos cos F x A t t m w f w = + + Ω − Ω Es la composición de una oscilación libre (primer término) y una oscilación de arrastre debido a la fuerza exterior (segundo término).

Resonancia Fijándonos en la solución particular p x vemos que si la frecuencia de la fuerza exterior coincide con la frecuencia natural w0 del sistema, la amplitud de la oscilación forzada tiende a infinito 0 C si Ω →w Es el fenómeno de la resonancia. Físicamente expresa el hecho de que cuando Ω = w0 , toda la energía comunicada al sistema por la fuerza exterior es almacenada por el sistema, con lo que la amplitud crece sin límite. Veremos más adelante que si Ω ≠ w0 la potencia media (energía transferida por ciclo) es cero, la energía del sistema se conserva y la amplitud del movimiento se mantiene constante. • Cualquier sistema físico sufre algún tipo de amortiguamiento debido al rozamiento. En ese caso, se mantiene el fenómeno de la resonancia, pero la amplitud de la oscilación forzada no tiende a infinito, llega a ser muy grande, pero se mantiene finita.

Ejercicios capitulo 14 14.61 El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito mediante la ecuación (14.42). Sea el ángulo de fase f = 0. a) De acuerdo con la ecuación, ¿cuánto vale x en t = 0? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en t = 0? ¿Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de x contra t cerca de t = 0? c) Deduzca una expresión para la aceleración a x en t = 0. ¿Para qué valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en t = 0, la aceleración es negativa, cero y positiva? Analice cada caso en términos de la forma de la curva de x contra t cerca de t = 0.

14.63 . Una fuerza impulsora que varía sinusoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado. a) ¿Qué unidades tiene la constante de amortiguamiento b? b) Demuestre que la cantidad 2km tiene las mismas unidades que b. c) Determine, en términos de F máx y k, la amplitud de v d = 2k>m cuando i. b = 0.2 2km y ii. b = 0.42km? Compare sus resultados con la figura 14.28.