Suite Bac Eco [PDF]

Zitiervorschau

Lycée : El Hencha

Prof : Baklouti Ramzi SUITES

2018/2019

Niveau : 4 E G

Résumé Suites arithmétiques

Suites géométriques

Définition . • (𝑈𝑛 ) est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 + r • (𝑈𝑛 ) est une suite arithmétique si et seulement (𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 ) est constante

Définition . • (𝑈𝑛 ) est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, 𝑈𝑛+1 = 𝑞 𝑈𝑛 • (𝑈𝑛 ) est une suite géométrique si et seulement 𝑈𝑛+1 est constante ( pour 𝑈𝑛 ≠0 pour tout n) 𝑈

Expression de 𝑼𝒏 en fonctions de n • Si la suite (𝑈𝑛 ) est arithmétique de premier terme 𝑈0 et de raison r, pour tout entier naturel n, 𝑈𝑛 = 𝑈0 + n r • Les suites arithmétiques sont les suites de la forme (𝑎𝑛 + 𝑏)𝑛∈ℕ où a et b sont deux réels • Pour tous entiers naturels n et p, 𝑈𝑛 = 𝑈𝑝 + (n –p) r En particulier pour p=1 𝑈𝑛 = 𝑈1 + (n –1) r

Expression de 𝑼𝒏 en fonctions de n • Si la suite (𝑈𝑛 ) est géométrique de premier terme 𝑈0 et de raison q, pour tout entier naturel n, 𝑈𝑛 = 𝑈0 𝑞 𝑛 • Les suites géométriques sont les suites de la forme (𝑏 𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ où a et b sont deux réels • Pour tous entiers naturels n et p, 𝑈𝑛 = 𝑈𝑝 𝑞 𝑛−𝑝 En particulier pour p=1 𝑈𝑛 = 𝑈1 𝑞 𝑛−1 (pour q ≠ 0 si n ≤ 𝑝)

Sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique. • Pour tous entiers naturels n et p tels que 𝑝 ≤ 𝑛 S = 𝑈𝑝 + 𝑈𝑝+1+ ……………+𝑈𝑛

Sommes de termes consécutifs d’une suite géométrique. • Pour tous entiers naturels n et p tels que 𝑝 ≤ 𝑛 S =𝑈𝑝 + 𝑈𝑝+1+ ……………+𝑈𝑛 • Si q≠ 1

= (n-p+1)

(𝑈𝑝 +𝑈𝑛 )

𝑁( 𝑃+𝐷)

2

= 2 N = n-p+1 : nombre de termes P :1𝑒𝑟𝑒 terme de S D : Dernière terme de S

I.

𝑛

S =𝑈𝑝

(1−𝑞 𝑛−𝑝+1 ) (1−𝑞)

=P

(1−𝑞 𝑁 ) (1−𝑞)

• Si q=1 ( La suite est constante ) S = (n-p+1) 𝑈𝑝 = N P

Rappel :

Exercice 1 : Soit la suite (𝑈𝑛 ) définie sur ℕ par {

𝑈0 = −1 𝑈𝑛+1 = 2 + 𝑈𝑛

1)Calculer 𝑈1 , 𝑈2 et 𝑈3 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2) Vérifier que (𝑈𝑛 ) est une suite arithmétique dont on donnera sa raison

3) Exprimer 𝑈𝑛 en fonction de n ……………………………………………………………………………………… 4) Calculer S = ∑𝑘=10 𝑘=2 𝑈𝑘 =𝑈2 +𝑈1 + .. ……

+ 𝑈10

………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5) Calculer lim 𝑈𝑛 =……………………………………………………………………. 𝑛→+∞

Rappel : Soit (𝑈𝑛 ) une suite arithmétique de premier terme 𝑈0 et de raison r non nul •

Si r > 0

•

Si r < 0

alors

lim 𝑈𝑛 = +∞

𝑛→+∞

alors

lim 𝑈𝑛 = −∞

𝑛→+∞

Exercice 2 : Soit la suite (𝑈𝑛 ) définie sur ℕ par {

𝑈0 = 2 3

𝑈𝑛 = 2 𝑈𝑛+1

1)Calculer 𝑈1 , 𝑈2 et 𝑈3 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2) Vérifier que (𝑈𝑛 ) est une suite géométrique dont on donnera sa raison ………………………………………………………………………………………………… 3) Exprimer 𝑈𝑛 en fonction de n ……………………………………………………………………………………… 4) Calculer S = ∑𝑘=6 𝑘=2 𝑈𝑘 =𝑈2 +𝑈1 + .. ……

+ 𝑈6

………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5) Calculer lim 𝑈𝑛 =……………………………………………………………………. 𝑛→+∞

+∞ 𝒔𝒊 𝒒 > 𝟏 𝟎 𝒔𝒊 − 𝟏 < 𝒒 < 𝟏 Rappel : 𝐥𝐢𝐦 𝒒 ={ 𝒏→+∞ ′ 𝒏 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕 𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒔𝒊 𝒒 ≤ −𝟏 𝒏

II.

Suites minorées , suites majorées – suite monotone Exercice 1 : Soit la suite (𝑈𝑛 ) définie sur ℕ par {

𝑈0 = −1 1

𝑈𝑛+1 = 3 𝑈𝑛 + 2

1) Calculer 𝑈1 , 𝑈2 et 𝑈3 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….. 2) Montrer que la suite ( 𝑈𝑛 ) n’est ni arithmétique ni géométrique ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… .................................................................................................................................................................... 3) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , on a :

𝑈𝑛 ≤ 3

Théorème admis : (Raisonnement par récurrence) Soit 𝑃𝑛 une propriété qui dépend de l’entier naturel n. Si on a : 1) la propriété 𝑃𝑘 est vraie (k ∈ IN) 2) pour tout entier naturel n tel que n ≥ k, (𝑃𝑛 est vraie ⇒𝑃𝑛+1 est vraie ) 3)Alors pour tout entier naturel n tel que n ≥ k, 𝑃𝑛 est vraie

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….. 4) Soit la suite (𝑉𝑛 ) définie sur ℕ par 𝑉𝑛 =𝑒 𝑛 +n +1 Montrer que

𝑉𝑛 ≥ 2

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. Définitions : Soient 𝑛0 un entier naturel et (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 une suite réelle •

(𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 𝑛0 , 𝑚 ≤ 𝑈𝑛

•

(𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est dite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 𝑛0 , 𝑈𝑛 ≤ 𝑀

•

(𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée

III.

Variation d’une suite

Activité 1 : Soit la suite (𝑈𝑛 ) définie sur ℕ par {

𝑈0 = −1 1

𝑈𝑛+1 = 3 𝑈𝑛 + 2

1) Montrer que 𝑈𝑛+1 ≥ 𝑈𝑛 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….. Définitions : Soient 𝑛0 un entier naturel et (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 une suite réelle •

(𝑈𝑛 ) est dite croissante (respectivement strictement croissante ) si pour tout entier naturel n ≥ 𝑛0 𝑈𝑛+1 ≥ 𝑈𝑛 (respectivement 𝑈𝑛+1 > 𝑈𝑛 ) (𝑈𝑛 ) est dite décroissante (respectivement strictement décroissante ) si pour tout entier naturel n ≥ 𝑛0 𝑈𝑛+1 ≤ 𝑈𝑛 (respectivement 𝑈𝑛+1 < 𝑈𝑛 ) (𝑈𝑛 ) est dite constante si pour tout entier naturel n ≥ 𝑛0 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 (𝑈𝑛 ) est dite monotone si elle est soit croissante ,soit décroissante

• • •

Activité 2 : Soit la fonction f définie sur ] 1, +∞ [ par f(x) =x – ln(x-1) a) Montrer que f est croissante sur ] 1, +∞ [ ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… b) Montrer que la suite (𝑈𝑛 )𝑛≥ 2définie par 𝑈𝑛 =𝑓(𝑛) est croissante ………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….. Théorème : Soient 𝑛0 un entier naturel , f une fonction définie sur [ 𝑛0 , +∞ [ et (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 une suite définie par 𝑈𝑛 = f(n) • •

Si f est croissante sur [ 𝑛0 , +∞ [ alors la suite (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est croissante Si f est décroissante sur [ 𝑛0 , +∞ [ alors la suite (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est décroissante

Application : Etudier la monotonie de chacune des suites suivantes a) 𝑈𝑛 = 𝑛2 -n-1

b) 𝑈𝑛 = 𝑒 −𝑛 + 1

𝑛

c) 𝑈𝑛 = 𝑛+1

IV.

Suites convergentes -Suites divergentes

Activité 1 Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f(x) = 2x-1 et g(x) = 3 𝑒 −𝑥 1) Calculer lim 𝑓(𝑥) et lim 𝑔(𝑥) 𝑥→+∞

𝑥→+∞

……………………………………………………………………………………………………… 2) On considère les suites (𝑈𝑛 ) et (𝑉𝑛 ) définies sur ℕ par 𝑈𝑛 = f(n)

et 𝑉𝑛 = g(n)

a) Montrer que ( 𝑈𝑛 ) est une suite arithmétique puis déterminer sa limite l ……………………………………………………………………………………………………… b) Montrer que (𝑉𝑛 ) est une suite géométrique puis déterminer sa limite l ’ ……………………………………………………………………………………………………… 3) Comparer l et l ‘ respectivement à lim 𝑓(𝑥) et lim 𝑔(𝑥) . 𝑥→+∞

𝑥→+∞

…………………………………………………………………………………………………… Théorème : Soient 𝑛0 un entier naturel , f une fonction définie sur [ 𝑛0 , +∞ [ et (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 une suite définie par 𝑈𝑛 = f(n) Si lim 𝑓(𝑥) = l alors lim 𝑈𝑛 = l 𝑥→+∞

𝑛→+∞

Remarque : a) On admet que si une suite admet une limite ,alors cette limite est unique b) Si

lim 𝑈𝑛 = l ( l étant fini ou infini ) , alors Si

𝑛→+∞

lim 𝑈𝑛 =

𝑛→+∞

lim 𝑈𝑛+1 =

𝑛→+∞

application 1) Calculer lim 𝑈𝑛 dans chaque cas : 𝑛→+∞

a) 𝑈𝑛 = n 𝑒 −𝑛

b) 𝑈𝑛 =

𝑛 𝑛+1

Définition : Soient 𝑛0 un entier naturel et (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 une suite réelle . • •

(𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est dite convergente lorsqu’elle admet une limite finie (𝑈𝑛 )𝑛≥ 𝑛0 est dite divergente lorsque sa limite est infinie ou elle n’admet pas de limite

lim 𝑈2𝑛 = l

𝑛→+∞

Activité : Soit la suite (𝑈𝑛 ) définie sur ℕ par { 1) On a

𝑈0 = −1 1

𝑈𝑛+1 = 3 𝑈𝑛 + 2

𝑈𝑛 ≤ 3 ( (𝑈𝑛 ) est majorée par 3)

2) 𝑈𝑛 est croissante 3) Soit la suite définie par 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 3 a) Montrer que 𝑉𝑛 est une suite géométrique ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… b) Exprimer 𝑉𝑛 puis 𝑈𝑛 en fonction de n ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… c) Calculer lim 𝑉𝑛 et lim 𝑈𝑛 𝑛→+∞

𝑛→+∞

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Théorème : Toute suite croissante et majorée est convergente Toute suite décroissante et minorée est convergente 4) Trouver lim 𝑈𝑛 par une autre méthode 𝑛→+∞

……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….. Remarque : Si une suite (𝑈𝑛 ) de la forme 𝑈𝑛+1 = a 𝑈𝑛 + b converge alors sa limite vérifie l = a l +b V.

Exemples de suites récurrente : 1. Suite de la forme 𝑼𝒏+𝟏 = a 𝑼𝒏 + b Activité 1 1

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 2 x+ 2. Soit D sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé. Soit D' la droite d'équation : y = x. 1- Représenter les droites D et D'. Déterminez leur point d'intersection I 2- On définit la suite (𝑉𝑛 ) par : 𝑉0 = −4 et pour tout entier naturel n, 𝑉𝑛+1 = f ( 𝑉𝑛 ) a) Placer, sur l’axe des abscisses, les points 𝐴𝑛 d’abscisses 𝑉𝑛 où n ∈  b) Que peut on conjecturer pour la limite de la suite (𝑉𝑛 ) ?

3-a Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , on a :

𝑉𝑛 ≤ 4

a) Montrer que la suite (𝑤𝑛 ) définie sur IN par 𝑊𝑛 =𝑉𝑛 −  est une suite géométrique et déterminer sa raison. b) Exprimer 𝑉𝑛 en fonction de 𝑊𝑛 c) Calculer la limite de la suite (𝑊𝑛 ) et en déduire la limite de la suite (𝑉𝑛 )

2. Suite homographique de la forme 𝑼𝒏+𝟏 =

𝒂 𝑼𝒏 + 𝒃 𝒄𝑼𝒏 + 𝒅

Activité On définit la suite (𝑈𝑛 ) par : 𝑈0 = −4 et pour tout entier naturel n, 𝑈𝑛+1 =

𝟒 𝑼𝒏 + 𝟐 𝑼𝒏 + 𝟑

Dans le graphique ci-contre ,on donne la courbe représentative Cf de la fonction f : x ↦

𝟒𝒙 +𝟐 𝒙 +𝟑

pour

x ∈ ]-1 , +∞[ et la droite ∆ :y= x 1) a)Déterminer graphiquement les abscisses 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 (𝛼 ≤ 𝛽 ) des points d’intersection de la courbe C f et ∆ b) Placer sur l’axe des abscisses, les points 𝐴𝑛 ( 𝑈𝑛 ,0) pour n ∈  c) Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la limite de la suite 𝑈𝑛 2-a) Montrer que pour tout entier naturel n , 𝑈𝑛 ≥ 2 b) Montrer que la suite (𝑈𝑛 ) est décroissante. c) En déduire que la suite (𝑈𝑛 ) est convergente et que sa limite l vérifie : l = f(l ).

d) Prouver que l ≥ 2 puis donner sa valeur

3- Soit la suite (𝑉𝑛 ) définie sur ℕ par 𝑉𝑛 =

𝑼𝒏 − 𝟐 𝑼𝒏 + 𝟏

a) Montrer que (𝑉𝑛 ) est une suite géométrique de raison

2 5

b) Exprimer 𝑈𝑛 en fonction de 𝑉𝑛 c) Calculer la limite de la suite (𝑉𝑛 ) , puis retrouver la limite de la suite (𝑈𝑛 )

Remarque : Si une suite (𝑈𝑛 ) de la forme 𝑈𝑛+1 =

𝒂 𝑼𝒏 + 𝒃 𝒄𝑼𝒏 + 𝒅

converge alors sa limite vérifie l =

𝒂𝒍 +𝒃 𝒄𝒍 + 𝒅

.