Ryhmien operointi ja Sylowin lauseet [version 6 May 2011 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Tero Harju (2008, 2010, 2012)

Ryhmien operointi ja Sylowin lauseet Cayleyn lauseen yleistys Olkoon SX joukon X symmetriaryhmä eli kaikkien permutaatioiden X → X muodostama ryhmä. Ryhmän SX aliryhmät ovat permutaatioryhmiä. Lause 1.1 (Cayley). Jokainen ryhmä on isomorfinen jonkun permutaatioryhmän G ≤ SX kanssa. Itse asiassa, edellä X = G, ja isomorfismi on g 7→ τg , missä kaikilla x ∈ G: τg (x) = gx . Seuraava tulos on Cayleyn lauseen yleistys. Lause 1.2. Olkoon H ≤ G, jolle indeksi [G : H] = n on äärellinen. Tällöin on homomorfismi ϕ : G → Sn , jolle Ker(ϕ) on suurin normaali aliryhmä niin, että Ker(ϕ) ≤ H. Todistus. Harjoitus.

t u

Lauseen 1.1 todistus äärellisille ryhmille. Oletetaan, että |G| < ∞, ja valitaan valitaan H = {1}. Tällöin saadaan Cayleyn alkuperäinen tulos. t u Seuraus 1.1. Jos G on yksinkertainen ryhmä, ja H ≤ G siten, että [G : H] = n, niin on olemassa upotus ϕ : G → Sn . Todistus. Lauseen 1.2 mukaan on olemassa homomorfismi ϕ : G → Sn , ja koskapa Ker(ϕ) = {1} normaalina aliryhmänä, on ϕ upotus. t u Esimerkki 1.1. Tiedetään, että alternoiva ryhmä G = A5 on yksinkertainen. Cayleyn lauseen mukaan A5 uppoaa symmetriseen ryhmään S60 , sillä nyt |A5 | = 60. Toisaalta A4 ≤ G, missä |A4 | = 12, joten [A5 : A4 ] = 5, ja niinpä seurauksen 1.1 mukaan A5 uppoaa symmetriseen ryhmään S5 (mikä ei ole yllätys). Tästä saadaan heti seuraava tulos. Seuraus 1.2. Jos G on ääretön yksinkertainen ryhmä, niin ei ole aliryhmää H ≤ G, jolle [G : H] < ∞.

2

Permutaatioiden yleistys: Ryhmien operointi Ryhmä G operoi joukossa X, jos on kuvaus g 7→ αg , joka kiinnittää jokaiseen g ∈ G funktion αg : X → X, jolle (i) αg αh = αgh kaikille g, h ∈ G, ja (ii) α1 = id on identiteettifunktio. Tällöin sanotaan myös, että X on G-joukko. Jos G operoi joukossa X, kirjoitetaan mieluummin g·x merkinnän αg (x) asemesta. Tällöin edeltävät ehdot saavat muodon: g·(h·x) = (gh)·x

ja

1·x = x .

Operointi voidaan ilmoittaa myös kirjoittamalla g : x 7→ αg (x), kun g ∈ G ja x ∈ X. Esimerkki 1.2. (1) Permutaatioryhmä G ≤ SX operoi joukossa X luonnollisella tavalla. (2) Cayleyn lauseen mukaan ryhmä G operoi joukossa G. (3) Ryhmä G operoi konjugoimalla: jos g ∈ G, niin αg (x) = gxg −1 (harjoitus). Tämä voidaan ilmaista myös seuraavasti: g : x 7→ gxg −1 . Lemma 1.1. Jos ryhmä G operoi joukossa X, niin αg ∈ SX . Erityisesti g·x = y =⇒ x = g −1 ·y g·x = g·y =⇒ x = y kaikille g ∈ G ja x, y ∈ X. Todistus. Todetaan, että αg αg−1 (x) = αgg−1 (x) = α1 (x) = x, joten αg−1 on kuvauksen αg käänteiskuvaus, ja siten αg on joukon X permutaatio. t u Operoikoon G joukossa X. Alkion x ∈ X rata on joukko Orb(x) = {g·x | g ∈ G} . Alkion x stabiloija on Gx = {g ∈ G | g·x = x} . Lemma 1.2. Jos G operoi joukossa X, niin Gx ≤ G kaikilla x ∈ X. Todistus. Harjoitus.

t u

Esimerkki 1.3. Olkoon τg Cayleyn lauseen operointi: τg (x) = gx. Tällöin Orb(x) = G, sillä jos g ∈ G, niin g = (gx−1 )x, ja siten g ∈ Orb(x). Tässä tapauksessa on myös Gx = {1}, sillä jos x = τg (x) = gx, niin toki g = 1.

3 Esimerkki 1.4. Kun G operoi konjugoimalla, merkitään Orb(x) = xG . Siis xG = {axa−1 | a ∈ G} . Sanotaan että xG on alkion x konjugaattiluokka. Alkion x ∈ G sentralisoija on CG (x) = {g ∈ G | gxg −1 = x}. Siis g ∈ CG (x) jos ja vain jos g kommutoi alkion x kanssa. Seuraavassa lauseessa edustajisto on osajoukko Y ⊆ X, johon jokaisesta radasta on valittu yksikäsitteinen alkio. Lause 1.3. Operoikoon ryhmä G joukossa X. Tällöin X on alkioidensa ratojen partitio. Lisäksi, jos |X| < ∞ ja Y ⊆ X on ratojen edustajisto, niin X |X| = | Orb(y)| . y∈Y

Todistus. Olkoon x ∈ X. Tällöin x = 1·x ∈ Orb(x), ja siten X = ∪x∈X Orb(x). Jos Orb(x) ∩ Orb(y) 6= ∅, niin on olemassa alkiot g, h ∈ G siten, että g·x = h·y. Tässä tapauksessa x = g −1 h·y ja samoin y = h−1 g·x. Olkoon a ∈ Orb(x) eli a = f ·x jollain f ∈ G. Tällöin edeltävän mukaan, a = f g −1 h·y ∈ Orb(y). Näin ollen Orb(x) ⊆ Orb(y). Symmetrisesti saadaan sisältyminen toiseen suuntaan, ja siten Orb(x) = Orb(y). Tästä osituksesta seuraa myös väitteen viimeinen kaava. t u Lause 1.4. Jos ryhmä G operoi joukossa X ja x ∈ X on annettu alkio, niin | Orb(x)| = [G : Gx ] . Todistus. Määritellään kuvaus γ : Orb(x) → G/Gx ehdosta y = g·x =⇒ γ(y) = gGx . Tällöin γ on hyvin määritelty: jos y = g·x = h·x, missä g, h ∈ G, niin h−1 g·x = x ja siten h−1 g ∈ Gx , mistä seuraa että hGx = gGx . Kuvaus γ on bijektio: Oletetaan, että γ(y) = γ(z). Tällöin on alkiot g, h ∈ G, joilla y = g·x ja z = h·x siten, että gGx = hGx . Nyt h−1 g ∈ Gx ja siten h−1 g·x = x eli y = g·x = h·x = z. Näin ollen γ on injektiivinen. Toisaalta, jos gGx ∈ G/Gx , niin olkoon y = g·x ∈ Orb(x). Tällöin γ(y) = gGx , ja siten γ on surjektiivinen. Siis | Orb(x)| = |G/Gx | = [G : Gx ], mikä oli väite. t u Esimerkki 1.5. Diedriryhmä D4 operoi neliön kärkipisteiden v0 , v1 , v2 , v3 joukossa permutoimalla ne. Vain permutaatio g = (v1 v3 ) ∈ D4 ja identiteettikuvaus kiinnittävät pisteen v0 . Siis Gv0 on kertalukua kaksi oleva aliryhmä: |Gv0 | = 2. Voidaan laskea, että | Orb(v0 )| = 4 ja [G : Gv0 ] = 4 (= 8/2).

4 Lagrangen lauseen mukaan saadaan: Seuraus 1.3. Olkoon G äärellinen ryhmä, joka operoi joukossa X. Tällöin | Orb(x)| jakaa ryhmän kertaluvun |G|. Seuraus 1.4. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin alkion x ∈ G konjugaattien lukumäärä on |xG | = [G : CG (x)] , ja siten |xG | jakaa ryhmän G kertaluvun |G|. Todistus. Alkiolle x ∈ G, Orb(x) = xG , ja toisaalta Gx = CG (x).

t u

Operoikoon ryhmä G aliryhmien joukossa konjugoimalla, eli g·H = gHg −1 , kun H ≤ G . Tällöin merkitään stabiloijaa GH = NG (H) ja sitä kutsutaan normalisoijaksi. Siis NG (H) = {g ∈ G | gHg −1 = H} . Lemman 1.2 mukaan normalisoija on ryhmän G aliryhmä. Lemma 1.3. Olkoon H ≤ G. Tällöin NG (H) on suurin ryhmän G aliryhmä, jolle H E NG (H). t u

Todistus. Harjoitus.

Lause 1.5. Olkoon H ≤ G. Tällöin aliryhmän H konjugaattien xHx−1 (x ∈ G) lukumäärä on sama kuin indeksi [G : NG (H)]. Todistus. Olkoon operointi osajoukkojen joukossa konjugoimalla. Lauseen 1.4 mukaan |Orb(H)| = [G : GH ], missä GH = NG (H) = CG (H). Siten väite seuraa seurauksesta 1.4. t u Ryhmän keskus Z(G) koostuu niistä alkioista, jotka kommutoivat kaikkien alkioiden kanssa, ja niinpä Z(G) = {x ∈ G | |xG | = 1}. Lause 1.6 (Luokkayhtälö). Olkoon G äärellinen ryhmä, ja olkoon A niiden konjugaattiluokkien, jotka sisältävät vähintään kaksi alkiota, edustajisto. Tällöin X [G : CG (x)] . (1.1) |G| = |Z(G)| + x∈A

Todistus. Seuraus 1.4 antaa väitteen, koskapa konjugaattiluokat muodostavat ryhmän G partition. t u

5 Lemma 1.4. Olkoon G äärellinen ryhmä, joka operoi äärellisessä joukossa X. Jos x, y ∈ Orb(z) jollain z, niin y = g·x jollain g ∈ G ja Gy = gGx g −1 . Erityisesti, x, y ∈ Orb(z) =⇒ |Gy | = |Gx | . Todistus. Oletetaan, että x, y ∈ Orb(z) eli x = a·z ja y = b·z joillain a, b ∈ G, ja siten y = b·(a−1 ·z) = (ba−1 )·x ∈ Orb(x), missä siis g = ba−1 . Olkoon h ∈ Gx eli h·x = x. Nyt y = g·x, ja siten ghg −1 ·y = ghg −1 g·x = gh·x = g·x = y , ja siksi gGx g −1 ≤ Gy . Vastaavasti voidaan osoittaa, että Gy ≤ gGx g −1 käyttäen yhtäsuuruutta x = g −1 ·y. Kuvaus ϕg : G → G ehdosta ϕg (h) = ghg −1 on automorfismi, jolle ylläolevan mukaan on ϕg (Gx ) = Gy . Näin ollen |Gx | = |Gy |. t u

Sylowin lauseet Lause 1.7 (Cauchy). Olkoon p alkuluku, joka jakaa äärellisen ryhmän G kertaluvun n. Tällöin on olemassa alkio x ∈ G, jolle ord(x) = p. Lause 1.7 seuraa oheisesta yleisemmästä tuloksesta, jonka todisti J.H. McKay (1959). Lause 1.8. Olkoon p alkuluku, joka jakaa kertaluvun |G|. Tällöin yhtälöllä xp = 1 on rp ratkaisua jollain r > 0. Todistus. Tarkastellaan joukkoa X = {(x1 , . . . , xp ) | x1 · · · xp = 1}. Tällöin |X| = |G|p−1 , sillä jokaista (x1 , . . . , xp−1 ) vastaa yksikäsitteinen xp , jolle x1 x2 . . . xp = 1. Siten |X| on alkuluvun p monikerta. Määritellään ekvivalenssirelaatio ∼ joukossa X: α ∼ β jos ja vain jos α ja β ovat toistensa syklisiä konjugaatteja. Siis jos α = (x1 , . . . , xp ), niin β = (xi , . . . , xp , x1 , . . . , xi−1 ) jollain i. Olkoon joukossa X tarkalleen k sellaista alkiota, joiden ekvivalenssiluokassa on vain yksi alkio, joka on siis välttämättä muotoa (x, x, . . . , x) ∈ X, missä xp = 1. Huomaa, että (1, 1, . . . , 1) ∈ X ja siten k ≥ 1. Kaikissa muissa luokissa on tarkalleen p alkiota, koska p on alkuluku. Siis |G|p−1 = k + p · t jollain t. Koskapa p||G|, myös p|k, mistä väite seuraa. t u Olkoon p alkuluku. Ryhmä G, jonka kertaluku on luvun p potenssi on p-ryhmä. Lagrangen lauseen nojalla sen kaikkien alkioiden kertaluvut ovat luvun p potensseja. Olkoon G äärellinen p-ryhmä, joka operoi yli joukon X. Merkitään Fix(G) = {x ∈ X | ∀g ∈ G : g·x = x}.

6 Lemma 1.5. Olkoon G äärellinen p-ryhmä, joka operoi yli joukon X. Tällöin X |X| = | Fix(G)| + | Orb(x)| ,

(1.2)

x∈I x6∈Fix(G)

missä I on ratojen edustajisto. Erityisesti, |X| ≡ | Fix(G)| (mod p).

(1.3)

P Todistus. Nyt |X| = x∈I | Orb(x)|. Toisaalta, jos x ∈ Fix(G), niin g·x = x kaikilla g ∈ G ja siten | Orb(x)| = 1. Jälkimmäistä väitettä varten todetaan, että jos x 6∈ Fix(G), niin | Orb(x)| = pk jollain k ≥ 1, sillä |G| = | Orb(x)| · |Gx | Lagrangen lauseen mukaan. t u Seuraus 1.5. Olkoon G äärellinen p-ryhmä. Tällöin Z(G) 6= {1}. Todistus. Tarkastellaan ryhmän G operointia konjugoimalla yli itsensä: g : a 7→ gag −1 . Nyt X = G ja siten |X| = pn jollain n ≥ 1. Tällöin kongruenssin (1.3) mukaan | Fix(G)| > 1. Mutta Fix(G) = {x ∈ G | gxg −1 = x} = Z(G). t u Lause 1.9 (Sylow I). Olkoon G kertalukua pn m oleva ryhmä, missä p on alkuluku, jolle p - m. (1) Tällöin ryhmällä G on kertalukua pi oleva aliryhmä kaikille i = 0, 1, . . . , n. (2) Lisäksi, jos Hi ≤ G on kertalukua pi oleva aliryhmä, niin on kertalukua pi+1 oleva aliryhmä Hi+1 ≤ G, jolle Hi E Hi+1 kun 0 ≤ i ≤ n − 1. Todistus. Todistetaan olemassaolo induktiolla potenssiin nähden. Cauchyn lauseen mukaan ryhmällä G on kertalukua p oleva alkio ja siten kertalukua p oleva (syklinen) aliryhmä. Oletetaan sitten, että H ≤ G on kertalukua |H| = pi , missä i < n. Tarkastellaan ryhmän H operointia yli tekijäjoukon X = G/H: h·(xH) = (hx)H . Tässä xH ∈ Fix(H) ⇐⇒ xH = hxH kaikilla h ∈ H ⇐⇒ x−1 hx ∈ H kaikilla h ∈ H ⇐⇒ x−1 Hx ⊆ H ⇐⇒ Hx ⊆ xH ⇐⇒ Hx = xH ⇐⇒ H = xHx−1 ⇐⇒ x ∈ NG (H) .

(sillä |Hx| = |H| = |xH|)

7 Siis | Fix(H)| = [NG (H) : H]. Koskapa i < n, niin | Fix(H)| ≡ |X| = pn−i m ≡ 0

(mod p) .

Cauchyn lauseen mukaan ryhmällä NG (H)/H on kertalukua p oleva aliryhmä, ja tämä aliryhmä on muotoa H 0 /H. Näin ollen |H 0 | = pi+1 ja myös H E H 0 . t u Seuraus 1.6. Jokainen äärellinen p-ryhmä on ratkeava. Todistus. Olkoon |G| = pn . Tällöin on sarja aliryhmiä: {1} = H0 < H1 < ... < Hn = G siten, että |Hi | = pi ja Hi E Hi+1 . Vieläpä Hi+1 /Hi ∼ = Cp .

t u

Sylowin lauseesta seuraa, että jokaisella äärellisellä ryhmällä G, jolle |G| = pn m kuten edellä, on kertalukua pn oleva maksimaalinen p-aliryhmä. Tällaista ryhmää kutsutaan Sylowin p-aliryhmäksi. Lause 1.10 (Sylow II). Olkoon |G| = pn m, missä alkuluku p ei jaa lukua m. Olkoot P ryhmän G Sylowin p-aliryhmä ja H ryhmän G jokin p-aliryhmä. Tällöin on olemassa x ∈ G niin, että xHx−1 ≤ P . Todistus. Merkitään X = G/P , ja operoikoon H yli joukon X kuten edellä: h·(xP ) = hxP , jolloin lemman 1.5 mukaan | Fix(H)| ≡ |X| = m (mod p). Eritoten on Fix(H) 6= ∅, ja xP ∈ Fix(H) ⇐⇒ ∀h ∈ H : hxP = xP ⇐⇒ x−1 Hx ≤ P . Väite seuraa tästä.

t u

Seuraus 1.7. Olkoon |G| = pn m, missä alkuluku p ei jaa lukua m. Tällöin kaikki ryhmän G Sylowin p-aliryhmät ovat toistensa konjugaatteja: jos P ja H ovat Sylowin paliryhmiä, niin P = x−1 Hx jollain x ∈ G. Lause 1.11 (Sylow III). Olkoon |G| = pn m, missä alkuluku p ei jaa lukua m, ja olkoon kp ryhmän G Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Tällöin kp |m ja kp ≡ 1 (mod p). Todistus. Olkoon P jokin Sylowin p-aliryhmä, ja olkoon X = {xP x−1 | x ∈ G} aliryhmän P konjugaattiluokka. Seurauksen 1.7 mukaan X koostuu kaikista Sylowin paliryhmistä, ja näin ollen lauseen 1.5 mukaan kp = |X| = [G : NG (P )]. Tarkastellaan ryhmän G operointia konjugoimalla yli joukon X eli g : H 7→ gHg −1 (g ∈ G, H ∈ X). Lauseen 1.10 mukaan tämä operointi on transitiivista: jos H, K ∈ X, niin on olemassa g ∈ G, jolla K = gHg −1 ja siten Orb(H) = X kullakin H ∈ X. Näin ollen kp = |X| jakaa kertaluvun |G| = pn m, sillä |G| = |GH | · | Orb(H)|. Tarkastellaan nyt ryhmän P vastaavaa operointia: g : H → gHg −1 (g ∈ P , H ∈ X). Olkoon H ∈ X. Tällöin

8 H ∈ Fix(P ) ⇐⇒ ∀g ∈ P : gHg −1 = H ⇐⇒ P ≤ NG (H) . Tässä tapauksessa sekä P että H ovat ryhmän NG (H) Sylowin p-aliryhmiä ja siten ne ovat konjugaatteja ryhmässä NG (H). Lemman 1.3 mukaan H E NG (H) ja siten ryhmällä H ei ole muita konjugaatteja ryhmässä NG (H) kuin se itse, joten P = H, ja eritoten Fix(P ) = {P }. Lemman 1.5 mukaan kp = |X| ≡ 1 (mod p). Tällöin myös p 6 |kp , ja niinpä kp |m. t u

Esimerkkejä Esimerkki 1.6. Osoitetaan, että kertalukua 200 oleva ryhmä ei ole yksinkertainen. Tätä varten olkoon |G| = 200 = 23 · 52 . Tällöin k5 = 1, sillä k5 ≡ 1 (mod 5) ja k5 |23 . Siten jos P on Sylowin 5-aliryhmä, myös gP g −1 on Sylowin p-aliryhmä, ja näin ollen gP g −1 = P kaikilla g ∈ G, mikä tietää, että P E G. Johtopäätöksenä todetaan, että G ei ole yksinkertainen ryhmä. Esimerkki 1.7. Olkoon p alkuluku. Osoitetaan, että kertalukua 2p oleva ryhmä on joko syklinen tai diedraaliryhmä. Myös tapauksessa p = 1 ainoa ryhmä on syklinen: Z2 . Oletetaan sitten, että p > 2. Olkoon H ≤ G niin, että |H| = p, sanokaamme H = hxi. Sylowin lauseen mukaan kp = 1 ja siten H E G. Samoin on aliryhmä U ≤ G siten, että |U | = 2, sanokaamme U = hyi. Koska H on normaali, yxy −1 = xk jollain k. Nyt x = y 2 xy −2 = yxk y −1 = xk

2

ja näin ollen k 2 ≡ 1 (mod p). Siis k ≡ 1 (mod p) tai k ≡ −1 (mod p). (1) Oletetaan, että k ≡ 1 (mod p). Tällöin xy = yx, ja siten G on Abelin ryhmä. Kiinalaisen jäännösluokkalauseen nojalla G on syklinen. (2) Oletetaan sitten, että k ≡ −1 (mod p). Tällöin xy = yx−1 . Tämä ryhmä on kertalukua 2p oleva diedraaliryhmä.

Wielandtin todistus Sylowin aliryhmän olemassaololle Lemma 1.6. Osoita, että alkuluku p ei jaa lukua Todistus. Itse asiassa

pn m pn




pn m pn




, missä p 6 |m ja n ≥ 1.

≡ m (mod p).


P Tarkastellaan polynomia f (x) = x + 1. Koskapa p ∈ P, niin f (x)p = ni=0 pi xi ≡
xp + 1 (mod p). (Tarkastele binomikertoimia pi .) Toistetaan tämä induktiivisesti, jolloin saadaan n

n

f (x)p ≡ xp + 1

nm

(mod p) , ja siis (x + 1)p n

n

≡ (xp + 1)m

(mod p) .

p Oikeanpuolen tekijän
x kerroin on m, ja samoin täytyy olla vasemmanpuolen saman pn m tekijän kerroin pn modulo p. Tästä väite seuraa. t u

9 Lause 1.12. Olkoon G kertalukua pn m oleva ryhmä, missä alkuluku p ei jaa lukua m. Tällöin ryhmällä G on Sylowin p-aliryhmä. Todistus. Olkoon A = {A ⊂ G | |A| = pn }. Tällöin G operoi joukossa A luonnolliseen tapaan: gA = {g(a) | a ∈ A}. Osoitetaan, että on olemassa rata Orb(A), A ∈ A, jonka kokoa p ei jaa. Operointi osittaa perheen A ratoihin, joten |A| on ratojen kokojen summa. Niinpä  n  p m |A| ≡ (mod p) , pn missä p ei jaa binomikerrointa Lemman 1.6 nojalla. Siis on olemassa ainakin yksi rata, jolle p 6 | |Orb(A)|. Olkoon H = GA joukon A stabiloija, jolloin |G| = | Orb(A)| · |H|. Koska p ei jaa radan kokoa, mutta pn jakaa ryhmän G kertaluvun, jakaa pn ryhmän H kertaluvun, ja siten pn ≤ |H|. Nyt H stabiloi alkion A ∈ A, joten jos a ∈ A, niin Ha ⊆ A. Saadaan, että |H| = |Ha| ≤ |A| = pn . Yhdistämällä saadaan, että |H| = pn , joten H on ryhmän G Sylowin aliryhmä. t u

Abelin ryhmät Seuraavassa tuloksessa G ei ole välttämättä Abelin ryhmä. Lause 1.13. Olkoon G kertalukua pn1 1 pn2 2 · · · pnr r oleva ryhmä, missä p1 , . . . , pr ovat eri alkulukuja, ja olkoon Pi ryhmän G Sylowin pi -aliryhmä. Tällöin G ∼ = P1 ×P2 ×· · ·×Pr jos ja vain jos jokainen Sylowin aliryhmä Pi on normaali. Todistus. (1) Jos G ∼ = P1 × P2 × · · · × Pr , niin jokainen Pi on normaali. (2) Oletetaan, että Pi E G, i = 1, 2, . . . , r. Selvästi Pi ∩ Pj = {1} kun i 6= j. Olkoot gi ∈ Pi , kun i = 1, 2, . . . , r. Normaaliudesta seuraa, että [gi , gj ] = gi gj gi−1 gj−1 = 1, sillä gi gj gi−1 ∈ Pj ja gj gi−1 gj−1 ∈ Pi . Siten alkiot gi ja gj kommutoivat. Oletetaan, että g1 g2 · · · gr = 1, missä gi ∈ Pi on kertalukua mi = psi i . Olkoon 1 ≤ j ≤ r ja merkitään m = m1 m2 · · · mj−1 mj+1 . . . mr . Tällöin kommutoinnin avulla m saadaan 1 = (g1 g2 · · · gr )m = g1m g2m · · · grm = gjm . Koska gj j = 1 ja syt(m, mj ) = 1, niin välttämättä gj = 1. Kaiken kaikkiaan siis 1 = g1 = g2 = . . . = gr . Oletetaan sitten, että x = g1 g2 . . . gr

missä gi ∈ Pi .

(1.4)

Jos myös x = h1 h2 . . . hr , missä hi ∈ Pi , niin jälleen kommutointiin vedoten saadaan −1 −1 −1 1 = (g1 g2 · · · gr )(h1 h2 · · · hr )−1 = (g1 h−1 1 ) · · · (g2 h2 ) · · · (gr hr ) missä gi hi ∈ Pi ,

ja siten gi h−1 i = 1, jolloinka gi = hi kaikilla i. Siis jokaisella alkiolla x ∈ P1 P2 · · · Pr on yksikäsitteinen esitys (1.4). Tästä seuraa, että P1 ×P2 ×· · ·×Pr ∼ = P1 P2 . . . Pr ⊆ G. Lisäksi |P1 × P2 × · · · × Pr | = |G| ja näin ollen G ∼ t u = P1 × P2 × · · · × Pr .

10 Lause 1.14. Olkoon G kertalukua pn m oleva Abelin ryhmä, missä alkuluku p ei jaa lukua m. Merkitään G(p) = {g ∈ G | alkion g kertaluku on alkuluvun p potenssi}. Tällöin G(p) on yksikäsitteinen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. Todistus. Selvästi G(p) ≤ G. Olkoon P Sylowin p-ryhmä, jolloin |P | = pn . Sylowin lauseen nojalla P on yksikäsitteinen, sillä G on Abelin ryhmä. Jokaisen alkion a ∈ P kertaluku on alkuluvun p potenssi, ja siten a ∈ G(p), eli P ⊆ G(p). Mutta G(p) on ryhmän G p-aliryhmä, ja siten se sisältyy konjugaattiryhmään: G(p) ⊆ aP a−1 = P (Abelin ryhmä). Näin G(p) = P . t u Lause 1.15. Olkoon G kertalukua pn1 1 pn2 2 . . . pnnr oleva Abelin ryhmä. Tällöin (1) G = G(p1 ) ⊕ G(p2 ) ⊕ · · · ⊕ G(pr ). (2) |G(pi )| = pni i kaikilla i = 1, 2, . . . , r. Todistus. Olkoon |G| = pni i mi , missä alkuluku pi ei jaa lukua mi . Edeltävän nojalla G(pi ) on yksikäsitteinen Sylowin pi -aliryhmä, ja näin ollen väite (2) seuraa. Lisäksi, G(pi ) E G kaikilla i, joten myös väite (1) on voimassa. t u