Ryhmäteoria [version 6 May 2011 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Ryhmäteoria Markku Koppinen Turun yliopisto

6. toukokuuta 2011

Alkusanat Tämä ryhmäteorian kurssi käsittelee enimmäkseen ryhmien esitysteoriaa, mutta kuten tulemme näkemään, esitysteoria liittyy niin läheisesti ryhmien rakenneteoriaan, ettei niitä kahta voi erottaa. Usein puhutaankin rakenne- ja esitysteoriasta. Kurssin sisältö on lähinnä kirjasta 1. J.-P. Serre: Linear representations of nite groups (1977) ensimmäinen kolmannes. Muita lähteitä ja hyvää jatkolukemistoa ovat seuraavat: 2. W. Adkins, S. T. Weintraub: Algebra: an approach via module theory (1992). 3. J. L. Alperin, R. B. Bell: Groups and representations (1995). 4. C. W. Curtis, I. Reiner: Representation theory of nite groups and associative algebras (1962). 5. B. Huppert: Endliche Gruppen I (1967). 6. I. M. Isaacs: Character theory of nite groups (1976). 7. W. R. Scott: Group theory (1964). 8. J. J. Rotman: The theory of groups (1965). Monistetta on muutettu vuoden 2008 monisteesta karsimalla asioita, joita ei kuitenkaan ehdittäisi kunnolla käsitellä. Tarkoitus on oppia sekä ryhmien laskennallisia puolia (karakterit) että jonkin verran taustalla olevaa teoriaakin. Kurssilla tarvitaan perustietoina Lineaarialgebra ja Algebran peruskurssit I ja II (luvussa 1 on ryhmistä hiukan kertaustakin). Modulien tunteminen on hyödyksi (Algebran kurssi) muttei välttämätöntä. Lineaarialgebran ja Algebran peruskurssien I ja II pohjaltakin tätä kurssia pystyy seuraamaan, kunhan varautuu siihen, että taso saattaa tuntua kovemmalta kuin noilla kursseilla.

i

Sisältö 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1

Ryhmä, aliryhmä, isomora . . . . . . . . Sivuluokat, tekijäryhmä, isomoratuloksia Ryhmien suora tulo . . . . . . . . . . . . Ryhmien puolisuora tulo . . . . . . . . . . Konjugaattiluokat ja sentralisoijat . . . . Ryhmän operointi joukossa . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 Ryhmien esitysteorian perusteita 2.1

2.2

2.3

2.4 2.5 2.6

2.7

1 4 7 8 9 11

13

Ryhmän esitys, matriisiesitys ja moduli . . 2.1.1 Johdatteleva esimerkki . . . . . . . . 2.1.2 Ryhmän matriisiesitys . . . . . . . . 2.1.3 Ryhmän lineaarinen esitys . . . . . . 2.1.4 Lineaarisen esityksen matriisimuoto 2.1.5 Ryhmän moduli . . . . . . . . . . . Aliesitys ja alimoduli . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Alimoduli . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Aliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . Isomorsmit ja homomorsmit . . . . . . . 2.3.1 Modulien isomora . . . . . . . . . . 2.3.2 Esitysten isomora . . . . . . . . . . 2.3.3 Matriisiesitysten isomora . . . . . . 2.3.4 Modulihomomorsmit . . . . . . . . Suora summa . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschken lause . . . . . . . . . . . . . . . . Schurin lemma . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Sovellus keskuksen alkioihin . . . . . 2.6.2 Schurin relaatiot . . . . . . . . . . . Tensoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Vektoriavaruuksien tensoritulo . . . 2.7.2 Modulien ja esitysten tensoritulo . . ii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 15 18 20 21 21 22 24 24 24 25 25 28 29 31 32 32 34 34 37

SISÄLTÖ

2.8

iii

2.7.3 Matriisiesitysten tensoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duaaliesitys ja duaalimoduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Karakterit 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

41

Ominaisarvoista ja jäljestä . . . . . . . . . . . . Esityksen karakteri . . . . . . . . . . . . . . . . Suoran summan, tensoritulon ja duaaliesityksen Karakterien ortogonaalisuus . . . . . . . . . . . Luokkafunktioavaruus . . . . . . . . . . . . . . Karakteritaulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulin kanoninen hajotelma . . . . . . . . . . Suoran tulon esitykset . . . . . . . . . . . . . . Karakteriryhmä. Abelin ryhmän esitykset . . . Permutaatioesityksistä . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . karakterit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Assosiatiivinen algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Määritelmä ja esimerkkejä . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Algebroja koskevia perusasioita . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Algebran modulit ja esitykset . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Algebran idempotenteista ja suorasummahajotelmista Ryhmäalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Ryhmän ja ryhmäalgebran esitysten yhteys . . . . . . 5.2.2 Ryhmäalgebran idempotenteista . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Ryhmäalgebran rakenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Ryhmäalgebran keskus ja keskusidempotentit . . . . . 5.2.5 Abelin ryhmän ryhmäalgebra . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4 Restriktio ja induktio 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Esityksen ja karakterin restriktio Indusoitu karakteri . . . . . . . . Indusoitu moduli . . . . . . . . . Restriktio normaaliin aliryhmään Indusoidun modulin konstruktio

5.2

41 43 45 47 51 53 54 57 59 60

64 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 Ryhmäalgebra 5.1

38 38

64 65 68 70 71

75 75 75 76 78 79 80 80 82 83 86 86

Luku 1

Ryhmäteorian peruskäsitteitä Tämä luku on osittain Algebran peruskurssien kertausta.

1.1 Ryhmä, aliryhmä, isomora Määritelmä 1.1.1 Joukkoa G, jossa on määritelty binäärioperaatio (kuvaus G × G → G, merkitään (a, b) 7→ ab), sanotaan ryhmäksi, jos

• (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ G (assosiatiivisuus), • on sellainen alkio 1 = 1G ∈ G, että 1a = a1 = a ∀ a ∈ G (neutraalialkio), • kun a ∈ G, niin on sellainen a−1 ∈ G, että a−1 a = aa−1 = 1

(käänteisalkio).

Jos lisäksi

• ab = ba ∀ a, b, c ∈ G (kommutatiivisuus), niin G on kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä. Neutraalialkiota kutsutaan myös ykkösalkioksi. Abelin ryhmiä merkitään usein additiivisesti, ja silloin puhutaan nolla-alkiosta ja vasta-alkioista.

Esimerkki 1.1.2 R ja C ovat yhteenlaskun suhteen ryhmiä, neutraalialkiona 0 ja alkion a käänteisalkiona eli vasta-alkiona −a. R× = R \ {0} ja C× = C \ {0} ovat kertolaskun suhteen ryhmiä, ykkösalkiona luku 1 ja alkion a 6= 0 käänteisalkiona käänteisluku a−1 = 1/a.

Esimerkki 1.1.3 (Yleinen lineaarinen ryhmä) Käytetään kompleksisten n×n-matriisien joukolle merkintää Mn (C) = {(aij )n×n | aij ∈ C ∀ i, j}. Säännöllisten n × n-matriisien joukko GLn (C) = {A ∈ Mn (C) | det(A) 6= 0} on ryhmä matriisikertolaskun suhteen, ykkösalkiona identiteettimatriisi I . Sitä kutsutaan yleiseksi lineaariseksi (matriisi)ryhmäksi (yli C:n). 1

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

2

Esimerkki 1.1.4 Samoin määritellään ryhmä GLn (K) yli mielivaltaisen kunnan K . Jos K on äärellinen (esimerkiksi K = Zp = Z/pZ, p alkuluku), niin GLn (K) on äärellinen ryhmä.

Esimerkki 1.1.5 (Symmetrinen ryhmä) Joukon Jn = {1, 2, . . . , n} permutaatioiden joukko

Sn = {α : Jn → Jn | α on bijektio} on ryhmä kuvaustulon (kuvausten yhdistämisen) suhteen, ykkösalkiona identiteettikuvaus. Sanotaan, että Sn on n:n alkion symmetrinen ryhmä (#Sn = n!). Yleisemmin määritellään mielivaltaisen joukon X symmetrinen ryhmä

Σ(X) = {f : X → X | f on bijektio (eli X :n permutaatio)}.

Esimerkki 1.1.6 Kerrataan symmetristä peruskurssista II. Permutaaµ ryhmää Sn Algebran ¶ 1 2 ... n , kun α(j) = kj (j = 1, . . . , n). Toik1 k2 . . . kn nen tärkeä merkintätapa on sykliesitys , jossa α kirjoitetaan erillisten syklien tulona; esimerµ ¶ 1 2 3 4 5 6 kiksi S6 :ssa α = kirjoitetaan myös α = (1 4 2)(3 6)(5) tai α = (1 4 2)(3 6) 4 1 6 2 5 3 (1-syklit eli kiintopisteet jätetään yleensä merkitsemättä). Algebran peruskurssissa II määriteltiin permutaation α merkki sign(α); sen voi laskea sykliesityksestä, sillä sign on ryhmähomomorsmi Sn → {1, −1} (määritelmä 1.1.11) ja r-syklin merkki on (−1)r−1 ; esimerkiksi, kun α = (1 4 2)(3 6), niin sign(α) = (−1)3−1 (−1)2−1 = −1. Permutaatio on parillinen, jos sen merkki on +1.

tiolle α ∈ Sn käytetään merkintää α =

Määritelmä 1.1.7 Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, jos se on ryhmä G:n ryhmäoperaation restriktion suhteen; tällöin merkitään H ≤ G. Olkoon ∅ 6= H ⊆ G. Tunnetusti H ≤ G jos ja vain jos ab ∈ H ∀a, b ∈ H , a−1 ∈ H ∀a ∈ H ja 1G ∈ H , eli ekvivalentisti, jos ja vain jos ab−1 ∈ H ∀ a, b ∈ H . Kun H on äärellinen, ehto voidaan yksinkertaistaa muotoon ab ∈ H ∀ a, b ∈ H . Ryhmän G osajoukko S generoi aliryhmän \ hSi = H. (1.1) S⊆H≤G ±1 Helposti nähdään, että hSi on kaikkien tulojen s±1 1 · · · sk (si ∈ S ) joukko (tyhjä tulo on 1). Merkitään lyhyesti hai = h{a}i ja yleisemmin ha1 , . . . , am i = h{a1 , . . . , am }i. Alkion a ∈ G kertaluku on ord(a) = #hai. Algebran peruskurssista muistetaan, että jos ord(a) = n < ∞, niin ord(ak ) = n/ syt(n, k).

Esimerkki 1.1.8 (Erityinen lineaarinen ryhmä) Yleisellä lineaarisella ryhmällä GLn (C) on aliryhmänä erityinen lineaarinen ryhmä

SLn (C) = {A ∈ Mn (C) | det(A) = 1}.

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

3

Esimerkki 1.1.9 (Alternoiva ryhmä) Symmetrisellä ryhmällä Sn on aliryhmänä alternoiva ryhmä An = {α ∈ Sn | sign(α) = +1}.

Esimerkki 1.1.10 Tason R2 isometria on bijektio R2 → R2 , joka säilyttää pisteiden etäisyydet. Tason isometrioita on vain neljää tyyppiä: translaatiot, kierrot, peilaukset ja siirtopeilaukset (Geometrian kurssi). Tason isometriat muodostavat ryhmän. Se on peilausten generoima. Esimerkiksi kierto pisteen O ympäri kulman α verran saadaan kahden peilauksen tulona, joiden akselit kulkevat pisteen O kautta ja muodostavat kulman α/2. Tason isometrioiden ryhmällä on useita mielenkiintoisia aliryhmiä. Eräs on niiden isometrioiden joukko, jotka pitävät O:n paikallaan. Nämä isometriat ovat O-keskiset kierrot ja peilaukset, joiden akseli kulkee O:n kautta.

Määritelmä 1.1.11 Kuvaus f : G1 → G2 ryhmien G1 ja G2 välillä on (ryhmä)homomorsmi, jos f (ab) = f (a)f (b) ∀ a, b ∈ G1 . Bijektiivinen homomorsmi on isomorsmi. Jos on olemassa isomorsmi G1 → G2 , niin G1 ja G2 ovat isomorset, merkitään G1 ' G2 .

Esimerkki 1.1.12 (Syklinen ryhmä) Ryhmä on syklinen, jos se on yhden alkion generoima. Samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat isomorset. Merkitään Cn :llä yleistä syklistä ryhmää, jonka kertaluku on n (n = 1, 2, . . . tai n = ∞).

Esimerkki 1.1.13 Ryhmässä C× alkio ζ = ζn = e2πi/n on eräs n:s ykkösenjuuri eli ζ n = 1. Se generoi aliryhmän {1, ζ, ζ 2 , . . . , ζ n−1 } ' Cn .

Esimerkki 1.1.14 (Kleinin neliryhmä) Neljän alkion epäisomorsia ryhmiä on kaksi, nimittäin syklinen ryhmä C4 = hai, a4 = 1, ja Kleinin neliryhmä V4 = {1, a, b, ab}, a2 = b2 = 1, ab = ba.

Esimerkki 1.1.15 (Diedriryhmä) Tulemme usein käyttämään esimerkeissä diedriryhmää Dn (n ≥ 3). Se on ryhmä, joka toteuttaa ehdot Dn = ha, bi,

an = 1,

b2 = 1,

bab = a−1 ,

#Dn = 2n.

(1.2)

Toisin sanoen Dn :llä on generoijat a, b, jotka toteuttavat relaatiot an = 1, b2 = 1 ja bab = a−1 , ja jossa on 2n alkiota. Seuraa, että Dn = {1, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, a2 b, . . . , an−1 b} ja että tässä listatut alkiot ovat eri alkioita; siis jokaisella Dn :n alkiolla g on yksikäsitteinen esitys muodossa g = ai bj (i ∈ {0, . . . , n − 1}, b ∈ {0, 1}). Voidaan osoittaa, että ehdot (1.2) määräävät Dn :n isomoraa vaille yksikäsitteisesti. Esimerkissä 1.1.16 nähdään, että ryhmä Dn on olemassa, konstruoimalla eräs sellainen konkreettisesti. (Huom. Joissakin kirjoissa ryhmää Dn merkitään D2n :llä.)

Esimerkki 1.1.16 Diedriryhmä Dn (n ≥ 3) voidaan konstruoida säännöllisen n-kulmion peittoryhmänä eli symmetriaryhmänä, siis niiden tason isometrioiden ryhmänä, jotka kuvaavat monikulmion itselleen. Voidaan osoittaa, että ryhmän generoimiseen riittää yksi kierto

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

4

ja yksi peilaus; esimerkiksi, kun

r = kierto O keskuksena kulman 2π/n verran vastapäivään, s = peilaus monikulmion symmetria-akselin ` suhteen,

.................. ..• .............. ...... .......... ...... •.... ...... . . . . ... . ... . . ... . . . ... . ... . . •... ... ... .... ... .... ... ` ... .................................................. .. • ... ... O .. . .... . . . ... . ... •......... ...... ... ...... .. .. ...... . . . . . ...... ..... • ...... ............................ ...

niin rn = 1, s2 = 1, srs = r−1 . Lisäksi kuvaukset ri sj (0 ≤ i ≤ • n − 1, 0 ≤ j ≤ 1) ovat kaikki erisuuria. Seuraa, että ko. symmeriaryhmä on hr, si ' Dn .

1.2 Sivuluokat, tekijäryhmä, isomoratuloksia Jatkossa G tarkoittaa aina ryhmää. Toistaiseksi G saa olla ääretönkin. Olkoon H ≤ G. Alkion a ∈ G vasen sivuluokka on aH = {ah | h ∈ H}. Kun a, b ∈ G, niin aH = bH ⇔ a ∈ bH ⇔ b−1 a ∈ H . Lisäksi aina joko aH = bH tai aH ∩ bH = ∅. Valitsemalla vasempien sivuluokkien edustajisto D (otetaan yksi alkio kustakin eri sivuluokasta) saadaan S G:n partitio G = d∈D dH . Vastaava on voimassa oikeille sivuluokille. Aliryhmän H indeksi G:ssä [G : H] on vasempien sivuluokkien lukumäärä, joka on sama kuin oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Kun #G < ∞, niin [G : H] = #G/#H (Lagrangen lause ). Siis #H jakaa #G:n.

Esimerkki 1.2.1 Jos #G on alkuluku p, niin G ' Cp . Nimittäin, kun a ∈ G, a 6= 1, niin #hai jakaa p:n; siis #hai = p, joten hai = G.

Esimerkki 1.2.2 Ryhmän Dn = ha, bi (merkinnät kuten aikaisemmin) vasen sivuluokkahajotelma aliryhmän hai suhteen on Dn = hai ∪ bhai. Aliryhmä H ≤ G on normaali, merkitään H £G, jos aN = N a ∀ a ∈ G. Tunnetusti tämä on ekvivalentti sen kanssa, että aN a−1 ⊆ N ∀ a ∈ G (aliryhmän normaalisuuskriteeri ).

Esimerkki 1.2.3 Jos [G : H] = 2, niin sivuluokkahajotelmat ovat G = H ∪ aH ja G = H ∪ Ha, missä a ∈ G \ H . Tällöin aH = G \ H = Ha, ja siis H on normaali aliryhmä.

Esimerkki 1.2.4 Ryhmän Dn = ha, bi aliryhmä hai on normaali. Sen sijaan hbi = {1, b} ei ole normaali, koska esimerkiksi aba−1 = ba−2 6∈ hbi (n ≥ 3).

Esimerkki 1.2.5 An £ Sn . Esimerkki 1.2.6 Symmetrisessä ryhmässä S4 on syklirakenteeltaan (eli tyypiltään ) viidenlaisia alkioita:

1,

(ij),

(ij)(kl),

(ijk),

(ijkl)

missä i, j, k, l ∈ {1, 2, 3, 4} ovat erisuuria; merkit ovat vastaavasti +1, −1, +1, +1, −1. Näin ollen A4 :n muodostavat muotoa 1, (ij)(kl), (ijk) olevat alkiot. Merkitään

K4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, T = {1, (123), (132)}. Osoitetaan, että nämä ovat A4 :n aliryhmiä ja että K4 £ S4 mutta T 5 A4 .

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

5

Kun N £ G, sivuluokkien joukosta tulee ryhmä, tekijäryhmä G/N , kun määritellään tulo: (aN )(bN ) = abN . (Normaalisuusoletusta tarvitaan, että tulo olisi hyvin määritelty.) Kuvaus π : G → G/N , π(a) = aN ∀ a ∈ G, on ryhmähomomorsmi; sitä sanotaan kanoniseksi projektioksi tai kanoniseksi homomorsmiksi.

Esimerkki 1.2.7 Sn /An ' C2 kun n ≥ 2. Esimerkki 1.2.8 A4 /K4 ' C3 . Esimerkki 1.2.9 SLn (C) ¢ GLn (C). Kun A ∈ GLn (C), sivuluokka A · SLn (C) koostuu niistä matriiseista, joiden determinantti on = det(A). Ryhmähomomorsmin f : G → G0 ydin Ker(f ) = {a ∈ G | f (a) = 1} on G:n normaali aliryhmä ja kuva Im(f ) on G0 :n aliryhmä, ja on voimassa

G/ Ker(f ) ' Im(f )

G π

... ... ... ... .. ......

f

.....

...... ... ... ... ... ..

'

.....

G/ Ker(f )

(homomoralause ).

G0 ⊆

Im(f )

F

Isomorsmi F : G/ Ker(f ) → Im(f ) on F (a Ker(f )) = f (a) ∀ a ∈ G.

Esimerkki 1.2.10 Homomoralause antaa isomomorsmit GLn (C)/SLn (C) ' C× (f = det) ja Sn /An ' C2 (f = sign; n ≥ 2). Kun H ≤ G ja K ≤ G, merkitään HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}. Tämä ei yleensä ole aliryhmä. Jos kuitenkin esimerkiksi K £ G, niin (hk)(h0 k 0 ) = (h(kh0 k −1 ))(kk 0 ) ∈ HK ja samoin saadaan (hk)−1 ∈ HK , joten HK ≤ G; itse asiassa HK = KH = hH ∪ Ki. Kun H ≤ G ja K £ G, niin

H/(H ∩ K) ' HK/K

(suunnikassääntö).

G

HK

H

.. ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ..

...... ...... ...... ...... ..

.... ..... ...... ..... .....

K

H∩K

Todistus tapahtuu soveltamalla homomoralausetta kuvaukseen H → HK/K , h 7→ hK . Kun f : G → G0 on ryhmähomomorsmi ja Ker(f ) ⊆ H £ G, niin

G/H ' f (G)/f (H); todistetaan soveltamalla homomoralausetta kuvaukseen G → f (G)/f (H), a 7→ f (a)f (H). Kun H £ G ja K £ G sekä K ⊆ H , niin edellisestä saadaan ottamalla f = π : G → G/K

G/H ' (G/K)/(H/K)

(tekijäryhmien isomoralaki ).

Seuraavat seikat on helppo todeta oikeiksi:

• Jos f : G1 → G2 ja g : G2 → G3 ovat ryhmähomomorsmeja, niin g ◦ f : G1 → G3 on ryhmähomomorsmi. Se on isomorsmi, jos f ja g ovat isomorsmeja. • Ryhmäisomorsmin käänteiskuvaus on ryhmäisomorsmi.

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

6

Isomorsmeja G → G sanotaan G:n automorsmeiksi. Yo. ominaisuuksista seuraa, että G:n automorsmit muodostavat ryhmän, tulona kuvausten yhdistäminen (Σ(G):n aliryhmä). Sitä kutsutaan G:n automorsmiryhmäksi ja merkitään Aut(G).

Esimerkki 1.2.11 Eräs ryhmän Cn = hai automorsmi on ai 7→ a−i (i = 0, . . . , n − 1). Tarkalleen kaikki homomorsmit Cn → Cn ovat kuvaukset f1 , . . . , fn , missä fk (ai ) = aik (i, k = 1, . . . , n). Huomaa, että homomorsmi määräytyy jo generoijan a kuvasta, ja fk :lle se on fk (a) = ak . Automorsmit Cn → Cn ovat ne fk :t, joilla syt(n, k) = 1. Nimittäin, koska Im(f ) = hf (c)i = hck i, niin fk on bijektio jos ja vain jos se on surjektio, jos ja vain jos ord(ck ) = n, jos ja vain jos syt(n, k) = 1. Olkoon a ∈ G. Osoitetaan, että kuvaus ia : G → G, joka määritellään

ia (x) = axa−1

∀ x ∈ G,

(1.3)

on G:n automorsmi. Ensinnäkin se on ryhmähomomorsmi G → G, sillä ia (xy) = axya−1 = axa−1 aya−1 = ia (x)ia (y). Toiseksi

ia1 ia2 = ia1 a2

(a1 , a2 ∈ G),

(1.4)

−1 sillä ia1 (ia2 (x)) = a1 a2 xa−1 2 a1 = ia1 a2 (x). Erityisesti

ia ia−1 = iaa−1 = i1 = idG ,

ia−1 ia = idG ,

(1.5)

joten ia−1 on ia :n käänteiskuvaus, ia−1 = i−1 a . Siis ia on bijektio. Näin ollen ia ∈ Aut(G). Kuvauksia ia kutsutaan G:n sisäisiksi automorsmeiksi. Yhtälö (1.4) merkitsee, että kuvaus

G → Aut(G),

a 7→ ia

∀ a ∈ G,

(1.6)

on ryhmähomomorsmi. Sen kuva on Aut(G):n aliryhmä, merkitään

Inn(G) = { ia | a ∈ G } ≤ Aut(G),

(1.7)

ja sen ydintä sanotaan G:n keskukseksi Z(G); siis

Z(G) = { a ∈ G | ia = idG } = { a ∈ G | ax = xa ∀ x ∈ G }.

(1.8)

Keskus on normaali aliryhmä. Homomoralauseen mukaan

G/Z(G) ' Inn(G).

Esimerkki 1.2.12 Inn(G) £ Aut(G). Esimerkki 1.2.13 a) Z(GLn (C)) = {aI | a ∈ C× }. b) Z(SLn (C)) =?

(1.9)

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

7

1.3 Ryhmien suora tulo Määritelmä 1.3.1 Olkoot A ja B ryhmiä. Niiden (ulkoinen) suora tulo on karteesinen tulo A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} varustettuna tulolla (a, b)(a0 , b0 ) = (aa0 , bb0 )

(a, a0 ∈ A, b, b0 ∈ B).

(1.10)

On helppo nähdä, että A × B on ryhmä, ykkösalkiona (1A , 1B ) ja alkion (a, b) käänteisalkiona (a−1 , b−1 ). Suoraan tuloon liittyy projektiokuvaukset pA : A×B → A ja pB : A×B → B sekä upotukset iA : A → A × B ja iB : B → A × B , ( ( pB iA ..... ............................................... pA (a, b) = a, iA (a) = (a, 1), .... B A ............................................... A×B ........ . . pA pB (a, b) = b, iB (b) = (1, b). iB Nämä ovat ryhmähomomorsmeja, pA ja pB ovat surjektioita ja iA ja iB injektioita. Lisäksi pA iA = idA ja pB iB = idB . Kun A ja B on merkitty additiivisesti, puhutaan suorasta summasta ja merkitään A ⊕ B .

Esimerkki 1.3.2 R2 = R ⊕ R (additiivisten ryhmien R ja R suora summa). Esimerkki 1.3.3 Ryhmän C2 = hai ulkoinen suora tulo itsensä kanssa on C2 × C2 = {(1, 1), (1, a), (a, 1), (a, a)}, missä (1, 1) on ykkösalkio ja muiden alkioiden tulot ovat (1, a)(1, a) = (1, 1),

(1, a)(a, 1) = (a, a),

(1, a)(a, a) = (a, 1),

ja niin edelleen. Osoittautuu, että C2 × C2 ' V4 .

Määritelmä 1.3.4 Ryhmä G on aliryhmiensä H ja K (sisäinen) suora tulo, merkitään G = H × K , kun seuraavat kolme ehtoa on voimassa: G = HK,

H ∩ K = {1},

hk = kh ∀ h ∈ H, k ∈ K.

(1.11)

Määritelmän ehdoille on seuraavat hyödylliset, ekvivalentit muodot: Olkoon H ≤ G ja K ≤ G. Silloin kahdelle ensimmäiselle ehdolle saadaan ekvivalentti ehto: ( ½ jokaisella G:n alkiolla a on yksikäsitteinen esiG = HK ⇐⇒ (1.12) tys muodossa a = hk , h ∈ H, k ∈ K . H ∩ K = {1} Kun nämä ehdot ovat voimassa, niin kolmannelle ehdolle on seuraava ekvivalentti ehto:

hk = kh

∀ h ∈ H, k ∈ K

⇐⇒

H £ G ja K £ G.

(1.13)

On helppo todeta, että kun G = H × K , niin G/H ' K ja G/K ' H . Ulkoisella suoralla tulolla A × B on aliryhmät iA (A) ' A ja iB (B) ' B , ja A × B on näiden aliryhmien sisäinen suora tulo, siis (A×B)ulkoinen = (iA (A)×iB (B))sisäinen . Kääntäen, jos G on aliryhmiensä sisäinen suora tulo, G = (H × K)sisäinen , niin kuvaus hk 7→ (h, k) (h ∈ H, k ∈ K ) on ryhmäisomorsmi G:stä ulkoiseen suoraan tuloon (H × K)ulkoinen ; siis G = (H × K)sisäinen ' (H × K)ulkoinen . Kun samaistetaan isomorset ryhmät, niin ulkoinen ja sisäinen suora tulo voidaan siis samaistaa.

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

8

Esimerkki 1.3.5 Todettiin, että C2 ×C2 ' V4 (ulkoinen suora tulo). Seuraa, että V4 voidaan myös hajottaa kahden aliryhmänsä ' C2 sisäiseksi suoraksi tuloksi. Todellakin, ryhmällä V4 = {1, a, b, ab} on aliryhmät hai, hbi ' C2 , ja saadaan V4 = hai × hbi (sisäinen suora tulo). Muitakin suoratulohajotelmia V4 :llä on: V4 = hai × habi = hbi × habi. Huomaa, että #(H × K) = (#H)(#K).

Esimerkki 1.3.6 Ryhmää S3 ei voi hajottaa epätriviaalilla tavalla suoraksi tuloksi. Nimittäin #S3 = 6, mutta kertalukuja 2 ja 3 olevia aliryhmiä on vain C2 ja C3 , ja C2 × C3 on kommutatiivinen eikä siis isomornen S3 :n kanssa.

Esimerkki 1.3.7 C6 = hai = ha2 i × ha3 i ' C3 × C2 . Esimerkki 1.3.8 D6 = ha, bi = ha2 , bi × ha3 i ' D3 × C2 (a ja b kuten aikaisemmin). Huomautus 1.3.9 Yleisemmin määritellään, että ryhmä G on aliryhmiensä G1 , . . . , Gn suora tulo, jos jokaisella G:n alkiolla on yksikäsitteinen esitys muodossa a1 · · · an (ai ∈ Gi ∀ i) ja jos eri Gi :den alkiot kommutoivat keskenään (jälkimmäisen ehdon voi korvata ehdolla Gi £ G ∀ i).

1.4 Ryhmien puolisuora tulo Määritelmä 1.4.1 Ryhmä G on aliryhmiensä H ja K (sisäinen) puolisuora tulo (semidirect product), merkitään G = H o K , kun

H £ G,

G = HK,

H ∩ K = {1}.

(1.14)

Ekvivalenssin (1.12) mukaan G = H o K tarkalleen silloin kun H £ G ja kun jokaisella G:n alkiolla a on yksikäsitteinen esitys muodossa

a = hk

(h ∈ H, k ∈ K).

(1.15)

Olkoon G = H o K . Toisin kuin suorassa tulossa H :n alkiot eivät yleensä kommutoi K :n alkioiden kanssa. Sen sijaan alkioiden järjestyksen vaihto tapahtuu säännöllä:

h ∈ H, k ∈ K

=⇒

kh = h0 k,

missä h0 = khk −1 ∈ H,

(1.16)

ja yleisesti, kun h1 , h2 ∈ H ja k1 , k2 ∈ K , niin

(h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 k1 h2 k2 = (h1 (k1 h2 k1−1 ))(k1 k2 ) = (h1 h02 )(k1 k2 ), missä h02 = k1 h2 k1−1 ∈ H .

Esimerkki 1.4.2 Dn = ha, bi = hai o hbi (a ja b kuten aikaisemmin). Esimerkki 1.4.3 Sn = An o h(12)i (n ≥ 2).

(1.17)

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

9

Esimerkki 1.4.4 Osoitetaan, että esimerkissä 1.2.6 on A4 = K4 o T . Lause 1.4.5 Olkoon G = H o K . Jokainen ryhmähomomorsmi f : K → L voidaan laajentaa ryhmähomomorsmiksi F : G → L. Todistus. Määritellään F (hk) = f (k), kun h ∈ H, k ∈ K . Tämä on hyvinmääritelty kuvaus, koska G:n alkioiden esitykset muodossa hk ovat yksikäsitteiset, ja ryhmähomomorsmi, koska F ((h1 k1 )(h2 k2 )) = F ((h1 h02 )(k1 k2 )) = f (k1 k2 ) = f (k1 )f (k2 ) = F (h1 k1 )F (h2 k2 ), missä hi ∈ H, ki ∈ K ja h02 = k1 h2 k1−1 ∈ H . Lisäksi F on f :n laajennus, sillä F (k) = f (k) kun k ∈ K . 2

1.5 Konjugaattiluokat ja sentralisoijat Ryhmän G alkiot a ja b ovat konjugoituja, eli a ja b ovat konjugaattialkioita, jos b = cac−1 jollain alkiolla c ∈ G (toisin sanoen, jos b = ic (a); sisäistä automorsmia ic kutsutaankin myös c:llä konjugoinniksi). Alkion a ∈ G konjugaattiluokka on

[a] = { cac−1 | c ∈ G } = { ic (a) | c ∈ G }.

Lause 1.5.1 Kun a, b ∈ G, niin [a] = [b] tai [a] ∩ [b] = ∅. Lisäksi G =

(1.18)

S

a∈G [a]. Siis, kun kustakin konjugaattiluokasta valitaan edustajaksi yksi alkio ai (i ∈ I ), G:lle saadaan partitio S G = i∈I [ai ]. S Todistus. Koska a = 1a1−1 ∈ [a], niin G = a∈G [a]. Olkoon a, b ∈ G ja [a] ∩ [b] 6= ∅. Silloin −1 −1 −1 −1 on sellaiset c1 , c2 ∈ G, että c1 ac−1 . Kun c ∈ G, niin 1 = c2 bc2 , josta b = (c2 c1 )a(c2 c1 ) −1 −1 −1 −1 cbc = (cc2 c1 )a(cc2 c1 ) ∈ [a], joten [b] ⊆ [a]. Samoin saadaan [a] ⊆ [b]. 2

Esimerkki 1.5.2 Abelin ryhmässä [a] = {a} ∀ a. Huomautus 1.5.3 1) Z(G) = {a ∈ G | [a] = {a}}. 2) Kun a ja b ovat konjugoituja, niin ord(a) = ord(b). 3) Aliryhmä H ≤ G on normaali jos ja vain jos se koostuu kokonaisista G:n konjugaattiluokista.

Esimerkki 1.5.4 Tarkastellaan symmetristä ryhmää Sn . Algebran peruskurssissa II osoitettiin, että α, β ∈ Sn ovat konjugoituja jos ja vain jos ne ovat samaa tyyppiä (niiden sykliesityksien syklit samanpituisia). Kerrataan tämän perustelu: Olkoon α:n sykliesitys α = α1 · · · αk (αi :t erillisiä syklejä). Kun γ ∈ Sn , niin γαγ −1 = (γα1 γ −1 ) · · · (γαk γ −1 ), ja jos αi = (a1 . . . ar ) on eräs sykleistä, niin γαi γ −1 = (γ(a1 ) . . . γ(ar )) on samanpituinen sykli. Siis α ja γαγ −1 ovat samaa tyyppiä. Toisaalta, jos α ja β ovat samaa tyyppiä, löydetään γ ∈ Sn , joka vaihtaa α:n sykliesityksen syklit β :n sykliesityksen sykleiksi. Silloin β = γαγ −1 . Näin ollen Sn :n konjugaattiluokka koostuu kaikista samaa tyyppiä olevista permutaatioista. Esimerkiksi S3 :n konjugaattiluokat ovat

{1},

{(12), (13), (23)},

{(123), (321}),

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

10

ja edustajiksi voidaan ottaa 1, (12), (123). Esimerkiksi [(123)] = {(123), (321}).

Esimerkki 1.5.5 a) Ryhmän S4 konjugaattiluokat ovat [1],

[(12)],

[(12)(34)],

[(123)],

[(1234)],

joiden kertaluvut ovat 1, 6, 3, 8, 6. Esimerkiksi [(123)] koostuu kaikista 3-sykleistä; siis [(123)] = {(123), (243), (142), (134), (132), (143), (234), (124)}. b) Ryhmän A4 konjugaattiluokat ovat

[1],

[(12)(34)],

[(123)],

[(132)],

joiden kertaluvut ovat 1, 3, 4, 4. Esimerkiksi [(123)] = {(123), (243), (142), (134)} ja [(132)] = {(132), (143), (234), (124)}. Huomaa, etteivät (123) ja (132) ole konjugoituja A4 :ssä. c) Miten S4 :n ja A4 :n konjugaattiluokat suhtautuvat toisiinsa? Merkitään alkioiden α konjugaattiluokkia [α]S4 ja [α]A4 (jälkimmäinen on määritelty vain kun α ∈ A4 ).

• Jos α, β ∈ A4 ovat konjugoituja A4 :ssä, niin triviaalisti ne ovat konjugoituja S4 :ssä. (Nimittäin β = γαγ −1 , γ ∈ A4 , ja γ ∈ S4 .) Siis [α]A4 ⊆ [α]S4 kun α ∈ A4 . • Edellisestä nähdään myös, että jos α ∈ A4 , niin [α]S4 = [α1 ]A4 ∪ · · · ∪ [αr ]A4 joillain alkioilla αi ∈ A4 . • Jos α ∈ / A4 niin [α]S4 ∩ A4 = ∅. (Tässä tarvitaan, että A4 £ S4 .) Laskemalla todetaan:

[1]S4 = [1]A4 = {1}, [(12)]S4 ei leikkaa A4 :ää, [(12)(34)]S4 = [(12)(34)]A4 , [(123)]S4 = [(123)]A4 ∪ [(132)]A4 , [(1234)]S4 ei leikkaa A4 :ää.

Esimerkki 1.5.6 Etsitään ryhmän D4 konjugaattiluokat. Kun H ≤ G, merkitään G/H :lla H :n vasempien sivuluokkien joukkoa silloinkin kun H ei ole normaali aliryhmä. Siis G/H on joukko G/H = {aH | a ∈ G} (ei ehkä ryhmä). Myös G/H = {dH | d ∈ D} kun D on ko. sivuluokkien edustajisto.

Määritelmä 1.5.7 Alkion x ∈ G sentralisoija on CG (x) = {a ∈ G | ax = xa}. Siis keskus on Z(G) =

T x∈G

CG (x). Helposti todetaan, että CG (x):t ovat aliryhmiä.

Lause 1.5.8 Olkoon x ∈ G. Kuvaus G → G, a 7→ axa−1 ∀ a ∈ G, indusoi bijektion CG (x):n vasempien sivuluokkien joukon ja konjugaattiluokan [x] välille. Tarkemmin sanoen kuvaus G/CG (x) −→ [x],

on bijektio.

aCG (x) 7→ axa−1 ,

(1.19)

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

11

Todistus. Merkitään f :llä kuvausta G → G, f (a) = axa−1 . Koska Im(f ) = [x], on vain osoitettava, että f (a) = f (b) ⇔ aCG (x) = bCG (x). Saadaan f (a) = f (b)

⇐⇒

axa−1 = bxb−1

⇐⇒

b−1 a ∈ CG (x)

⇐⇒ ⇐⇒

(b−1 a)x = x(b−1 a) aCG (x) = bCG (x).

2

Seuraus 1.5.9 Kun G on äärellinen, #[x] = [G : CG (x)]; erityisesti #[x] jakaa #G:n. Esimerkki 1.5.10 Tapauksessa G = S3 ja α = (12) saadaan [S3 : CS3 (α)] = #[α] = 3 (esimerkki 1.5.4), joten #CS3 (α) =

6 3

= 2. Toisaalta 1, α ∈ CS3 (α). Siis CS3 (α) = {1, α}.

1.6 Ryhmän operointi joukossa Määritelmä 1.6.1 Olkoon G ryhmä ja X joukko, X 6= ∅. Sanotaan, että G operoi joukossa X , jos on annettuna ryhmähomomorsmi σ : G → Σ(X). Käytämme myös merkintää σ(a)(x) = a · x

(a ∈ G, x ∈ X).

(1.20)

Se, että σ on ryhmähomomorsmi, tarkoittaa, että σ(ab) = σ(a)σ(b) ∀ a, b ∈ G. Tästä ehdosta seuraa tunnetusti σ(1) = idX . Toista merkintää käyttäen nämä kuuluvat

ab · x = a · (b · x) ∀ a, b ∈ G, x ∈ X,

1 · x = x ∀ x ∈ X.

(1.21)

Lisäksi σ(a−1 ) = σ(a)−1 , eli kuvaukset x 7→ a · x ja x 7→ a−1 · x ovat toistensa käänteiskuvauksia X → X .

Esimerkki 1.6.2 1) Ryhmä G operoi joukossa X = G vasemmalta kertomalla: a · x = ax ∀ a, x ∈ G. 2) G operoi aliryhmänsä H vasempien sivuluokkien joukossa G/H säännöllä a · xH = axH ∀ a, x ∈ G. 3) G operoi joukossa X = G konjugoimalla: a · x = axa−1 ∀ a, x ∈ G. Tällöin σ(a) = ia . 4) G operoi aliryhmiensä joukossa konjugoimalla: a · K = aKa−1 ∀ a ∈ G, K ≤ G. 5) Automorsmiryhmä Aut(G) operoi G:ssä. Se operoi myös G:n konjugaattiluokkien joukossa. 6) Ryhmä Sn operoi joukossa {1, . . . , n} määritelmänsä mukaisesti, samoin siis sen aliryhmät, esimerkiksi An . Pykälässä 1.5 konjugaattiluokat ja sentralisoijat syntyivät G:n konjugointioperoinnista G:ssä (esimerkki 1.6.2: 3)). Määrittelemme nyt vastaavat käsitteet yleiselle operoinnille. Oletetaan, että ryhmä G operoi joukossa X 6= ∅. Alkion x ∈ X rata (orbit) on

[x] = { a · x | a ∈ G } = { σ(a)(x) | a ∈ G }.

(1.22)

S Lause 1.5.1 yleistyy helposti: Ensinnäkin x = 1 · x ∈ [x], joten X = x∈X [x]. Toiseksi, kun x, y ∈ X ja [x] ∩ [y] 6= ∅, niin [x] = [y]. Nimittäin, valitsemalla z ∈ [x] ∩ [y] saadaan

LUKU 1. RYHMÄTEORIAN PERUSKÄSITTEITÄ

12

−1 z = c1 · x = c2 · y , siis c−1 2 c1 · x = y , joten kun c ∈ G, niin c · y = cc2 c1 · x ∈ [x]. Siis [y] ⊆ [x], ja koska samoin saadaan [x] ⊆ [y], niin [x] = [y]. Näin ollen: Kun ryhmä G operoi joukossa X , niin radat [x] muodostavat X :n partition. Pisteen x ∈ X stabilisoija G:n operoinnissa on G:n aliryhmä (harj.)

(1.23)

Gx = { a ∈ G | a · x = x }.

Esimerkki 1.6.3 Kun operointina on G:n konjugointi G:ssä (esimerkki 1.6.2: 3)), radat ovat konjugaattiluokat ja stabilisoijat ovat sentralisoijat.

Lause 1.6.4 Operoikoon ryhmä G joukossa X ja olkoon x ∈ X . Kun a, b ∈ G, niin a·x = b·x jos ja vain jos bGx = aGx . Todistus. a · x = b · x ⇔ a−1 b · x = x ⇔ a−1 b ∈ Gx ⇔ bGx = aGx .

2

Seuraus 1.6.5 Kuvaus G/Gx −→ [x], aGx 7→ a · x, on bijektio. Seuraus 1.6.6 Kun G ja X ovat äärellisiä, #[x] = [G : Gx ]; erityisesti #[x] jakaa #G:n. Esimerkki 1.6.7 Tarkastellaan ryhmän S3 operointia joukossa X = {1, 2, 3, 4}, missä S3 :n alkiot operoivat alkioihin 1, 2, 3 kuten tavallisesti ja pitävät alkion 4 paikallaan. Silloin

x = 1 =⇒ [x] = {1, 2, 3}, Gx = {1, (23)}, [S3 : (S3 )x ] =

6 = 3 = #[x], 2

x = 4 =⇒ [x] = {4}, Gx = S3 , [S3 : (S3 )x ] = 1 = #[x].

Esimerkki 1.6.8 Kun K ≤ G, joukot aKa−1 = {aka−1 | k ∈ K} ovat G:n aliryhmiä; niitä sanotaan K :n konjugaattialiryhmiksi. Tämä antaa G:lle operoinnin aliryhmiensä joukossa: a · K = aKa−1 kun a ∈ G ja K ≤ G. Aliryhmän H rata on H :n konjugaattialiryhmien joukko, ja H :n stabilisoija on H :n normalisoija

NG (H) = {a ∈ G | aHa−1 = H}. Seurauksen 1.6.6 mukaan H :n konjugaattialiryhmien lukumäärä on [G : NG (H)], kun G on äärellinen. Sanotaan, että x ∈ X on operoinnin kiintopiste, jos [x] = {x} eli jos a · x = x ∀ a ∈ G.

Esimerkki 1.6.9 Esimerkin 1.6.8 operoinnin kiintopisteet ovat normaalit aliryhmät. Myöhemmin tarvitsemme seuraavia merkintöjä:

• Kun a ∈ G, niin X a = {x ∈ X | a · x = x}. • Kun H ≤ G, niin X H = {x ∈ X | a · x = x ∀ a ∈ H} =

\

X a.

a∈H

Erikoistapauksena H = G saadaan kiintopisteiden joukko X G = {x ∈ X | a · x = x ∀ a ∈ G}.

Luku 2

Ryhmien esitysteorian perusteita Jatkossa G tarkoittaa aina äärellistä ryhmää, ellei toisin mainita. Käsittelemme vain äärellisasteisia esityksiä ja rajoitumme esityksiin yli kompleksilukukunnan C, vaikka suuri osa teoriasta pätee yleisemminkin.

2.1 Ryhmän esitys, matriisiesitys ja moduli Tässä pykälässä määritellään ryhmien esitysteorian peruskäsite, ja se tehdään peräti kolmella eri tavalla, kolmesta eri näkökulmasta: määritellään 1) ryhmän esitys, 2) ryhmän matriisiesitys, 3) ryhmän moduli. Nämä ovat sikäli ekvivalentit, että esitysteoria voidaan muotoilla käyttäen niistä mitä tahansa yhtä; ne ovat ikään kuin kolme eri kieltä saman asian esittämiseen. Kaikki kolme ovat kuitenkin hyödyllisiä, koska tilanteesta riippuu, mikä niistä on mukavin käyttää tai mikä antaa selvimmän kuvan.

2.1.1 Johdatteleva esimerkki Tarkastellaan diedriryhmää D4 = ha, bi, a4 = b2 = 1, bab = a−1 . Se on kahdeksan alkion ryhmä, joukkona D4 = {1, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}. µ ¶ µ ¶ 0 −1 0 1 Suoraan laskemalla nähdään, että 2 × 2-matriisit A = 1 0 ja B = 1 0 totetuttavat samat relaatiot A4 = B 2 = I ja BAB = A−1 . Tästä seuraa, että niiden generoima aliryhmä ryhmässä GL2 (C) on

hA, Bi = {1, A, A2 , A3 , B, AB, A2 B, A3 B}. Ryhmä hA, Bi sisältää esimerkiksi matriisin A3 BA2 , mutta sehän on = A3 BABBABB = A3 A−1 A−1 B = AB . Lisäksi laskemalla nämä kahdeksan matriisia nähdään, että ne ovat eri matriiseja. Tästä on helppo päätellä, että kuvaus R : D4 → GL2 (C), joka määritellään R(ai bj ) = Ai B j (i = 0, 1, 2, 3, j = 0, 1), on ryhmähomomorsmi ja siis antaa D4 ' Im(R) = 13

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

14

hA, Bi ≤ GL2 (C). Näin D4 tulee esitetyksi konkreettisena Esimerkiksi µ matriisiryhmänä. ¶ 0 −1 alkiota a2 b saadaan vastaamaan matriisi R(a2 b) = A2 B = −1 0 . Tämä kuvaus R : D4 → GL2 (C) on eräs ryhmän D4 matriisiesitys ; matriisit R(ai bj ) ovat esitysmatriiseja. (Katso määritelmä 2.1.1 jäljempänä.) Toinen näkökulma samaan tilanteeseen: Merkitään o n ³ ´¯ x ¯ C2 = y ¯ x, y ∈ C ; tämä on 2-ulotteinen vektoriavaruus yli C:n tavalliseen tapaan. Lineaarialgebran kurssista muistetaan, että säännölliset³matriisit ∈ M2 (C) vastaavat bijektiivisiä ´ ³ ´ ³lineaarikuvauksia ´³ ´ a b x a b x 2 2 2 2 C → C . Tarkemmin: matriisi c d antaa kuvauksen C → C , y 7→ c d y (matriisitulo). Koska edellä saatiin D4 kuvattua matriisiryhmänä, niin jokainen sen alkio määrää kuvauksen C2 → C2 . Tarkemmin: Merkitään matriisin R(ai bj ) = Ai B j määräämää lineaari³ ´ x i j 2 2 i j i j kuvausta ρ(a b ) : C → C . Toisin sanoen ρ(a b )(v) = A B v , missä v = y . Silloin ρ(a) ja ρ(b) ovat seuraavia kuvauksia C2 → C2 : ³³ ´´ ³ ´ ³ ´ ³ ´³ ´ ³ ´ x x x 0 −1 x −y ρ(a) y = R(a) y = A y = 1 0 = y x , ³³ ´´ ³ ´ ³ ´ ³ ´³ ´ ³ ´ x x x 0 1 x y ρ(b) y = R(b) y = B y = 1 0 = y x . Samoin saadaan kaikki kahdeksan lineaarikuvausta ρ(ai bj ); esimerkiksi ³³ ´´ ³ ´ ³ ´ ³ ´³ ´ ³ ´ x x x 0 −1 x −x ρ(a2 b) y = R(a2 b) y = A2 B y = −1 0 = y −y . Tämä antaa ryhmähomomorsmin ρ : D4 → GL(C2 ), missä GL(C2 ) tarkoittaa C2 :n bijektiivisten lineaarikuvausten ryhmää (määritelmä 2.1.4 alla). Saadaan, että D4 ' Im(ρ) ≤ GL2 (C2 ), ja Im(ρ) on kahdeksan lineaarikuvauksen ryhmä. Näin D4 on esitetty eräänä lineaarikuvausten muodostamana ryhmänä. Kuvaus ρ : D4 → GL(C2 ) on eräs ryhmän D4 lineaarinen esitys ; C2 on vastaava esitysavaruus. (Katso määritelmä 2.1.5.) Vielä kolmaskin näkökulma: Avaruus C2 on eräs ryhmän D4 moduli, jossa D4 operoi säännöllä ai bj · v = Ai B j v (määritelmä 2.1.21).

2.1.2 Ryhmän matriisiesitys Muistetaan yleinen lineaarinen ryhmä (esimerkki 1.1.3)

GLn (C) = {A ∈ Mn (C) | det(A) 6= 0}.

Määritelmä 2.1.1 Olkoon G ryhmä. Sen n-asteinen matriisiesitys on ryhmähomomorsmi R : G → GLn (C). Jos R on injektio, esitys on uskollinen (faithful).

Esimerkki 2.1.2 Edellä löydetty R : D4 → GL2 (C) on D4 :n 2-asteinen matriisiesitys. Se on uskollinen. Määrittelemällä R0 : D4 → GL2 (C), R0 (ai bj ) = I ∀ i, j , saadaan D4 :n triviaali 2-asteinen matriisiesitys. Se ei tietenkään ole uskollinen.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

15

Esimerkki 2.1.3 Tarkastellaan ryhmää C2 = hai = {1, a}, a2 = 1. Sillä on ainakin seuraavat kolme 2-asteista matriisiesitystä R, R0 , R00 : C2 → GL2 (C): µ ¶ 01 R(1) = I, R(a) = ; 10 µ ¶ 1 0 0 0 R (1) = I, R (a) = ; 0 −1 ¶ µ 1 0 00 00 . R (1) = I, R (a) = 2 −1 (Tarkista, että nämä toteuttavat homomoraehdon. Oikeastaan ainoat epätriviaalit tarkistettavat ehdot ovat R(a)2 = I = R0 (a)2 = R00 (a)2 .) Ne ovat kaikki uskollisia, ja C2 :lle saadaan kolme esitystä matriisiryhmänä: ½µ ¶ µ ¶¾ ½µ ¶ µ ¶¾ ½µ ¶ µ ¶¾ 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 C2 ' , ' , ' , . 0 1 1 0 0 1 0 −1 0 1 2 −1 Jos matriisiesitys R : G → GLn (C) on uskollinen, niin G ' Im(R) ≤ GLn (C). Yleisesti R:n ei tarvitse olla injektio, ja saadaan vain G/ Ker(R) ' Im(R) ≤ GLn (C) (homomoralause); siis yleisesti Im(R) on vain G:n homomornen kuva.

2.1.3 Ryhmän lineaarinen esitys Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan C, dim V < ∞. Kuvaus τ : V → V on lineaarinen, jos τ (rv + sw) = rτ (v) + sτ (w) kun r, s ∈ C, v, w ∈ V . Eräs tällainen on identiteettikuvaus idV .

Määritelmä 2.1.4 Yleinen lineaarinen ryhmä on ryhmä GL(V ) = {τ : V → V | τ on bijektiivinen lineaarikuvaus }, ryhmäoperaationa kuvaustulo eli kuvausten yhdistäminen; V on jokin äärellisulotteinen vektoriavaruus yli C:n. (Vertaa esimerkkiin 1.1.3.) On helppo osoittaa, että GL(V ) todella on ryhmä (Σ(V ):n aliryhmä); ykkösalkio on idV .

Määritelmä 2.1.5 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus yli C:n. Ryhmähomomorsmi ρ : G −→ GL(V ) on ryhmän G esitys avaruudessa V . Dimensio n = dim V on esityksen aste (eli esitys on n-asteinen ) ja V on esitysavaruus. Näitä esityksiä kutsutaan myös G:n lineaarisiksi esityksiksi. Vaatimus, että ρ on ryhmähomomorsmi, merkitsee tarkalleen, että ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kun g, h ∈ G; homomorsmi toteuttaa lisäksi ρ(1G ) = idV ja ρ(g −1 ) = ρ(g)−1 (käänteiskuvaus). Huomaa, ettei vaadita, että esitys ρ olisi injektiivinen. Siis ei seuraa G ' Im(ρ) (kuten pykälän 2.1.1 esimerkissä kävi), vaan yleisesti Im(ρ) on vain G:n homomornen kuva, Im(ρ) ' G/ Ker(ρ). Esitystä ρ sanotaan uskolliseksi, jos ρ on injektio; tällöin G ' Im(ρ) ≤ GL(V ).

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

16

Esimerkki 2.1.6 Tarkastellaan ryhmää C2 = hai = {1, a}, a2 = 1. Olkoon V = C2 . Määritellään ρ : C2 → GL(C2 ),

ρ(1) = id,

ρ(a)

µ ¶ µ ¶ x y = y x

∀ x, y ∈ C.

Tämä on C2 :n esitys, sillä on helppo tarkistaa, että ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) kun g, h ∈ C2 . (Oikeastaan ainoa epätriviaali tarkistettava ehto on ρ(a2 ) = ρ(a)2 .) Samalle ryhmälle saadaan samassa avaruudessa paljon muitakin esityksiä, esimerkiksi ρ0 : C2 → GL(C2 ): µ ¶ µ ¶ x x 0 0 = ∀ x, y ∈ C, ρ (1) = id, ρ (a) y −y tai ρ00 : C2 → GL(C2 ):

ρ00 (1) = id,

ρ00 (a)

µ ¶ µ ¶ x x = y 2x − y

∀ x, y ∈ C.

Esimerkki 2.1.7 (Nollaesitys) Jos n = 0, niin V = {0} ja GL(V ) = {idV }. Siis G:n ainoa 0-asteinen esitys on kuvaus ρ : G → {id}, ρ(g) = id ∀ g ∈ G. Tämä on G:n nollaesitys.

Esimerkki 2.1.8 (Triviaalit esitykset) Ryhmällä G on jokaisessa avaruudessa V triviaali esitys, joka määritellään ρ : G → GL(V ), ρ(g) = idV ∀ g ∈ G. Triviaalia 1-asteista esitystä sanotaan ykkösesitykseksi (unit representation).

Esimerkki 2.1.9 (1-asteiset esitykset) Olkoon ρ : G → GL(V ) 1-asteinen esitys. Siis dim V = 1. Silloin jokainen ρ(g) : V → V merkitsee kertomista jollain skalaarilla 6= 0; toisin sanoen, kun skalaaria merkitään γ(g):llä, ρ(g)(v) = γ(g)v

∀ g ∈ G, v ∈ V.

(2.1)

Koska ρ(gh) = ρ(g)ρ(h), niin γ(gh) = γ(g)γ(h) kun g, h ∈ G. Siis γ on ryhmähomomorsmi G → C× (missä C× on C:n multiplikatiivinen ryhmä C \ {0}). Kääntäen, jos on annettuna ryhmähomomorsmi γ : G → C× , niin määrittelemällä ρ yhtälöllä (2.1) saadaan G:n esitys 1-ulotteisessa avaruudessa V . Todetaan siis, että G:n 1-asteiset esitykset vastaavat ryhmähomomorsmeja G → C× . (Vastaavuus ei ole yksikäsitteinen, sikäli että 1-ulotteisia avaruuksia on äärettömän paljon.)

Esimerkki 2.1.10 (C2 :n 1-asteiset esitykset) Ryhmällä C2 = hai = {1, a} on kaksi ryhmähomomorsmia γ0 , γ1 : C2 → C× , nimittäin γ0 (1) = γ0 (a) = 1 (triviaali homomorsmi) ja γ1 (1) = 1, γ1 (a) = −1. Näin ollen C2 :lla on kaksi 1-asteista esitystä ρ0 , ρ1 : C2 → GL(C). (Tässä esitysavaruudeksi on merkitty C). Ne ovat: ρ0 (1)(x) = ρ0 (a)(x) = x ∀ x ∈ C, sekä ρ1 (1)(x) = x ja ρ1 (a)(x) = −x ∀ x ∈ C. Olkoon γ : G → C× ryhmähomomorsmi. Merkitään n = #G. Kun g ∈ G, niin g n = 1, joten γ(g)n = 1; siis γ(g) ∈ C× on n:s ykkösenjuuri. Tunnetusti tämä merkitsee, että γ(g) = e2πim/n jollain m:llä, 0 ≤ m < n. Muistetaan, että e2πim/n = (e2πi/n )m = cos(2πm/n) + i sin(2πm/n).

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

17

Esimerkki 2.1.11 (Syklisen ryhmän 1-asteiset esitykset) Tarkastellaan syklistä ryhmää Cn = hai = {1, a, a2 , . . . , an−1 }, an = 1. Merkitään ζn = e2πi/n . Homomorsmi Cn → C× määräytyy jo a:n kuvasta, joka puolestaan on jokin n:s ykkösenjuuri ζnm (0 ≤ m < n). Toisaalta on helppo todeta, että saadaan n homomorsmia γ0 , . . . , γn−1 : Cn → C× määrittelemällä γm : Cn −→ C× , γm (a) = ζnm (m = 0, . . . , n − 1). Siis tässä ovat kaikki homomorsmit Cn → C× . Edellisen nojalla nämä vastaavat Cn :n 1asteisia esityksiä.

Esimerkki 2.1.12 (Säännöllinen esitys) Olkoon G äärellinen ryhmä. Muodostetaan vektoriavaruus määrittelemällä joukko

C[G] =

½X

¯ ¾ ¯ rg g ¯¯ rg ∈ C ∀ g ∈ G

g∈G

(alkiot ovat muodollisia summalausekkeita) ja siinä vektoriavaruusoperaatiot µX ¶ µX ¶ X µX ¶ X rg g + sg g = (rg + sg )g , t rg g = trg g (t ∈ C). g

g

g

g

g

Tarkistamalla aksioomat nähdään, että tämä on vektoriavaruus. Sillä on luonnollinen kanta {eh | h ∈ G}, missä eh on summalauseke, jossa h:n kerroin on 1 ja muut kertoimet ovat P P nollia; tätä kantaa käyttäen g rg g = g rg eg . Määritellään ρ : G → GL(C[G]): µX ¶ X X ρ(h) rg g = rg hg = rh−1 g g (h ∈ G, rg ∈ C ∀ g). g

g

g

Kullakin h:lla ρ(h) on lineaarinen bijektio C[G] → C[G], joten ρ(h) ∈ GL(C[G]). Itse asiassa ρ(h) permutoi kanta-alkioita: ρ(h)(eg ) = ehg . Lisäksi ρ on ryhmähomomorsmi, sillä ρ(hg) = ρ(h)ρ(g) kun h, g ∈ G  vaikka ajattelemalla kanta-alkoita: ρ(hg)(ek ) = ehgk = ρ(h)(egk ) = ρ(h)(ρ(g)(ek )). Näin ollen ρ on G:n esitys avaruudessa C[G]. Sitä sanotaan G:n säännölliseksi esitykseksi, merkitään ρ = ρG . Se on selvästi uskollinen esitys. (Samaistamalla G:n alkiot g kanta-alkioiden eg kanssa G saadaan upotetuksi C[G]:hen, jonka jälkeen voidaan sanoa, että G:n alkiot muodostavat C[G]:n kannan.)

Esimerkki 2.1.13 Muodostetaan ryhmän C3 säännöllinen esitys. Esimerkki 2.1.14 (Permutaatioesitykset) Yleistetään esimerkki 2.1.12. Operoikoon G äärellisessä joukossa X ; merkitään operointia g · x (g ∈ G, x ∈ X ). Muodostetaan vektoria¯ ©P ª ¯ varuus V = x∈X rx x rx ∈ C ∀ x ∈ X (alkiot muodollisia summalausekkeita), jolla on P kanta {ex | x ∈ X}, missä ex = 1x + y6=x 0y . Määritellään ρ : G → GL(V ), µX ¶ X X rg−1 ·x x (g ∈ G, rx ∈ C ∀ x ∈ X). rx g · x = ρ(g) rx x = x

x

x

Tätä sanotaan G:n permutaatioesitykseksi. Koska G permutoi kanta-alkiota ex tavalla, joka tarkkaan vastaa G:n operointia X :ssä, siis ρ(g)(ex ) = eg·x , voi ajatella, että ρ on konstruoitu linearisoimalla G:n operointi X :ssä.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

18

2.1.4 Lineaarisen esityksen matriisimuoto Olkoon V vektoriavaruus yli C:n ja dim V = n, 1 ≤ n < ∞. Kiinnitetään V :n kanta {e1 , . . . , en }. Jokainen lineaarikuvaus τ : V → V voidaan esittää matriisilla M (τ ) = (aij )n×n , joka määräytyy ehdosta

τ (ej ) =

n X

aij ei

(j = 1, . . . , n).

(2.2)

i=1

(Siis M (τ ):n j :s pystyrivi on kanta-alkion ej kuvan τ (ej ) kantaesityksestä saatava koordiPn Pn naattivektori.) Kun v, w ∈ V ja kirjoitetaan v = i=1 vi ei ja w = i=1 wi ei , niin     v1 w1 τ (v) = w ⇐⇒ M (τ )  ...  =  ...  . (2.3) vn wn Kuvaus τ 7→ M (τ ) on kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus lineaarikuvausten V → V ja n × n-matriisien välillä. Koska τ on bijektio tarkalleen silloin kun M (τ ) on säännöllinen, kuvaus τ 7→ M (τ ) antaa bijektion GL(V ) ' GLn (C). Tämä on jopa ryhmäisomorsmi, koska M (τ1 τ2 ) = M (τ1 )M (τ2 ). Siis on voimassa:

Lause 2.1.15 Kun dim V = n, 1 ≤ n < ∞, niin GL(V ) ' GLn (C). Huomaa, että lauseen isomorsmi riippuu käytetystä kannasta. Isomorsmin GL(V ) ' GLn (C) välityksellä ryhmän esitykGL(V ) ρ ...................... ... ............ ............ sestä ρ : G → GL(V ) saadaan matriisiesitys R : G → GLn (C) ja ' G ....... ............ ............ ... ............. kääntäen. Sanotaan, että R on esityksen ρ matriisimuoto. .. R GLn (C) Esimerkiksi aina R(1) = I (identiteettimatriisi). Merkitään R(g) = (aij (g))n×n , kun halutaan korostaa, että matriisialkiot riippuvat g :stä eli ovat funktioita G → C.

Huomautus 2.1.16 1) Siis G:n esitykset avaruudessa V (dim V = n) vastaavat kääntäen yksikäsitteisesti G:n n-asteisia matriisiesityksiä, kun kanta on kiinnitetty. Vastaavuus riippuu käytetystä kannasta. Samalla esityksellä ρ on yleensä eri matriisimuodot eri kantojen suhteen. 2) Toisaalta kahdella eri esityksellä, ehkä eri avaruuksissa, voi olla sama matriisimuoto (joidenkin kantojen suhteen). 3) Jokainen matriisiesitys R : G → GLn (C) on jonkin esityksen matriisimuoto, nimittäin R:n itsensä määräämän esityksen G → GL(Cn ) matriisimuoto luonnollisen kannan suhteen. 4) Jos esityksen ρ matriisimuoto V :n kannan B suhteen on R ja kannan B 0 suhteen R0 , niin R0 (g) = P −1 R(g)P ∀ g ∈ G, missä P on kannanvaihdon B → B 0 matriisi. Tämä seuraa siitä, että kannanvaihdossa lineaarikuvausta V → V esittävä matriisi muuntuu juuri tällä similaarimunnoksella. 5) Huomaa myös, että 0-asteista matriisiesitystä ei määritellä.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

19

2 Esimerkki 2.1.17 Tarkastellaan esimerkin 2.1.6 esityksiä ρ, ρ0 , ρ00 : G³ → ´ GL(C³ ),´ missä

1 0 C2 = {1, a}. Käytetään C2 :n luonnollista kantaa {e1 , e2 }, missä e1 = 0 , e2 = 1 . Lasketaan ρ:n matriisimuoto R : C2 → GL2 (C) tämän kannan suhteen. Ensinnäkin µ R(1) ¶ = I. 01 Kantavektorien kuvista ρ(a)(e1 ) = e2 ja ρ(a)(e2 ) = e1 nähdään, että R(a) = 1 0 . Samalla tavalla saadaan esitysten ρ0 ja ρ00 matriisimuodot R0 ja R00 : µ ¶ µ ¶ 1 0 1 0 0 0 00 00 R (1) = I, R (a) = ; R (1) = I, R (a) = . 0 −1 2 −1 Siis nämä ovat juuri esimerkin 2.1.3 kolme matriisiesitystä.

Esimerkki 2.1.18 Jatketaan edellistä esimerkkiä. Lasketaan esimerkin 2.1.6 esityksen ρ matriisimuoto R1 , kun luonnollisen kannan sijasta käytetäänkin kantaa {e1 , e2 }, missä e1 = ³ ´ ³ ´ 1 1 1 , e2 = −1 . Nytkin R1 (1) = I , ja R1 (a) selvitetään esimerkiksi laskemalla

´ ³ ´ ³ x+y x−y ρ(a)(xe1 + ye2 ) = ρ(a) x − y = x + y = xe1 − ye2 , µ ¶ 1 0 josta R(a) = 0 −1 . (Voisi myös laskea kantavektoreiden e1 , e2 kuvat samassa kannassa.) Huomataan, että ρ:n matriisimuoto R1 on sama kuin ρ0 :n matriisimuoto R0 , tosin eri kannan suhteen. (Tämä merkitsee, että ρ ja ρ0 ovat isomorset esitykset, mikä käsite tulee myöhemmin tarkemmin esille; ks. lause 2.3.8.) Esimerkissä 2.1.14 tarkasteltiin permutaatioesityksiä. Kun sellaisen esityksen ρ matriisimuoto R muodostetaan kannan {ex | x ∈ X} suhteen, matriiseiksi R(g) tulee permutaatiomatriiseja, koska ρ(g)(ex ) = eg·x . Erityisesti tämä koskee säännöllistä esitystä; sen matriisimuotoa esimerkin 2.1.12 kannan {eh | h ∈ G} suhteen kutsutaan G:n säännölliseksi matriisiesitykseksi.

Esimerkki 2.1.19 Muodostetaan ryhmän C3 = hai säännöllinen matriisiesitys. Alkiolle a saadaan ρ(a)(e1 ) = ea , ρ(a)(ea ) = ea2 ja ρ(a)(ea2 ) = e1 . Tästä nähdään R(a). Samoin löydetään R(a2 ), tai sen voi laskea kaavalla R(a2 ) = R(a)2 . Tulos on à ! à ! 00 1 01 0 2 R(1) = I, R(a) = 1 0 0 , R(a ) = 0 0 1 . 01 0 10 0 Nämä permutaatiomatriisit muodostavat GL3 (C):n aliryhmän ' C3 (esitys on uskollinen).

Esimerkki 2.1.20 Symmetrinen ryhmä S3 operoi joukossa J3 = {1, 2, 3} permutoimalla määritelmänsä mukaisesti. Tästä saadaan S3 :lle permutaatioesitys ρ ja sen matriisimuoto R. Esitysavaruudella (modulilla) on kanta {e1 , e2 , e3 }. Kun α ∈ S3 , niin ρ(α)(ej ) = eα(j) . Siis ρ(α) permutoi kanta-alkioita. Siitä saatava matriisi R(α) on permutaatiomatriisi, jonka j :nnellä pystyrivillä on 1 kohdassa α(j). Esimerkiksi syklejä t = (12) ja c = (123) vastaaviksi esitysmatriiseiksi tulee ! ! Ã Ã 001 010 R(c) = 1 0 0 . R(t) = 1 0 0 , 010 001

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

20

Koska S3 = ht, ci ja koska ρ selvästi on uskollinen, niin R(t) ja R(c) generoivat GL3 (C):n aliryhmän ' S3 . Näin S3 tulee esitetyksi matriisiryhmänä ≤ GL3 (C). Pannaan merkille, että S3 voidaan siis esittää uskollisesti 3-asteisella matriisiesityksellä, vaikka #S3 = 6 ja säännöllinen esitys on astetta 6.

2.1.5 Ryhmän moduli Ryhmän esityksessä ρ : G → GL(V ) on mukava ajatella alkioiden g ∈ G antamia kuvauksia ρ(g) : V → V ryhmän operointina V :ssä ja merkitä

ρ(g)(v) = g · v

(g ∈ G, v ∈ V ),

(2.4)

jolloin saadaan kuvaus G × V → V , (g, v) 7→ g · v . Tehdään tämä idea tarkaksi.

Määritelmä 2.1.21 Olkoon V vektoriavaruus yli C:n. Sanotaan, että V on (vasen) Gmoduli, jos on määritelty modulikertolasku G × V → V , merkitään (g, v) 7→ g · v (g ∈ G, v ∈ V ), joka toteuttaa aksioomat: • kun g ∈ G, niin kuvaus V → V , v 7→ g · v , on lineaarinen; • g · (h · v) = (gh) · v • 1·v =v

∀ g, h ∈ G, v ∈ V ;

∀v ∈V.

Oikeastaan pitäisi sanoa, että pari (V, ·) on G-moduli. Modulikertolaskua merkitään usein lyhyesti g · v = gv .

Lause 2.1.22 Olkoon V vektoriavaruus, dim V < ∞. On kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus G:n esitysten G → GL(V ) ja G:n modulikertolaskujen G×V → V välillä. Vastaavuuden antaa (2.4). Todistus. Jos ρ : G → GL(V ) on G:n esitys, niin ehdolla (2.4) määritelty G:n operointi G × V → V toteuttaa selvästi moduliaksioomat. Kääntäen, olkoon annettu G:n modulikertolasku V :ssä. Tarkastellaan ensin yhtä alkiota g ∈ G. Voidaan määritellä kuvaus ρ(g) : V → V asettamalla ρ(g)(v) = g · v ∀ v ∈ V . Ensimmäisen moduliaksiooman nojalla ρ(g) on lineaarinen. Kahdesta muusta aksioomasta saadaan (ρ(g) ◦ ρ(g −1 )(v) = g · (g −1 · v) = (gg −1 ) · v = 1 · v = v , ja samoin saadaan (ρ(g −1 ) ◦ ρ(g))(v) = v . Tämä osoittaa, että kuvaus ρ(g) on bijektio (sen käänteiskuvaus on ρ(g −1 )). Siis ρ(g) ∈ GL(V ). Vastaavuus g 7→ ρ(g) antaa kuvauksen ρ : G → GL(V ). Toisen moduliaksiooman mukaan ρ on ryhmähomomorsmi, joten se on G:n esitys. Väite kääntäen yksikäsitteisestä vastaavuudesta on nyt ilmeinen. 2 Merkitsemme usein G-modulia V vastaavaa esitystä ρV : G → GL(V ).

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

21

Esimerkki 2.1.23 Esimerkin 2.1.6 esitys ρ : C2 → GL(C2 ) tekee C2 :sta C2 -modulin. Modulikertolaskuksi tulee

³ ´ ³ ´ x x 1· y = y ,

³ ´ ³ ´ y x a· y = x

(x, y ∈ C).

Esimerkki 2.1.24 Pykälän 2.1.1 esitys ρ : D4 → GL(C2 ) tekee C2 :sta D4 -modulin. Modulikertolasku saadaan mukavasti esitysmatriiseista R(ai bj ). Esimerkiksi matriisit R(a) ja R(b) antavat ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ −y x y x b· y = x (x, y ∈ C). a· y = x , Näistä saadaan tarvittaessa kaikki muut operoinnit, esimerkiksi ³ ´ ³ ³ ³ ´´´ ³ ´ x x −y (a2 b) · y = a · a · b · y = −x (x, y ∈ C). ¶ µ 0 −1 Vaihtoehtoisesti tämän voi laskea matriisista R(a2 b) = R(a)2 R(b) = −1 0

Esimerkki 2.1.25 Triviaaleista esityksistä saadaan modulit, joissa modulikertolaskut ovat triviaaleja, siis g · v = v ∀ g, v (katso esimerkki 2.1.8).

2.2 Aliesitys ja alimoduli 2.2.1 Alimoduli Olkoon V G-moduli. Aliavaruus W ⊆ V on V :n alimoduli (tai G-alimoduli ), jos

w∈W

=⇒

g · w ∈ W ∀ g ∈ G.

Kun W on alimoduli, modulikertolaskusta G×V → V saadaan restriktiona modulikertolasku G × W → W (tarkista aksioomat). Alimodulia W kutsutaan myös G-aliavaruudeksi, tai sanotaan, että W on stabiili tai invariantti G:n suhteen. Alimoduleja {0} ja V kutsutaan yleensä V :n triviaaleiksi alimoduleiksi.

Esimerkki 2.2.1 Tarkastellaan esimerkissä ³ ´ 2.1.23 ³ ´ saatua ³ ´ryhmän ³ ´ C2 = hai = {1, a} mo-

x x x y dulia V = C2 , jossa operointi on: 1 · y = y , a · y = x (x, y ∈ C). Aliavaruus n³ ´¯ o ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ x ¯ x x x x W = x ¯ x ∈ C on alimoduli, koska 1 · x = x ∈ W ja a · x = x ∈ W .

Esimerkki 2.2.2 (Säännöllinen moduli) Olkoon C[G] kuten esimerkissä 2.1.12. Säännöllistä esitystä ρ : G → GL(C[G]) vastaava modulikertolasku G × C[G] → C[G] on X X X g· rh h = rh gh = rg−1 h h. h∈G

h∈G

h∈G

Moduli C[G] varustettuna tällä modulikertolaskulla on G:n säännöllinen moduli. Mitkä tämän modulin alimodulit ovat, riippuu voimakkaasti G:stä, mutta seuraavat kaksi alimodulia on aina, oli G mikä tahansa: ¯ ¯ X ½X ¾ ½X ¾ ¯ ¯ ¯ ¯ W1 = rh h ¯ rh :t ovat keskenään yhtäsuuria , W2 = rh h ¯ rh = 0 . h

h

h

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

22

P Näistä W1 on 1-ulotteinen, koska sen virittää alkio h h; modulikertolasku W1 :ssä on triviaali. Alimodulin W2 dimensio on #G − 1 = dim(C[G]) − 1, koska se on lineaarikuvauksen P P C[G] → C, h rh h 7→ h rh , ydin.

Esimerkki 2.2.3 Tarkastellaan ryhmän C3 = hai säännöllistä modulia V = C[C3 ] = {r0 1 + r1 a + r2 a2 | ri ∈ C} (vrt. esimerkki 2.1.19). Modulikertolasku tulee ryhmäoperaatiosta, joten esimerkiksi a · (r0 1 + r1 a + r2 a2 ) = r0 a + r1 a2 + r2 1. Merkitään ζ = ζ3 = e2πi/3 . (Tärkeät relaatiot: ζ 3 = 1, ζ 2 + ζ + 1 = 0.) Esimerkin 2.2.2 alimodulien lisäksi nyt on ainakin yksi muu alimoduli, nimittäin 1-ulotteinen alimoduli W , jonka virittää alkio w0 = 1 + ζa + ζ 2 a2 , sillä

a · w0 = a · (1 + ζa + ζ 2 a2 ) = a + ζa2 + ζ 2 1 = ζ 2 (ζa + ζ 2 a2 + 1) = ζ 2 w0 ∈ W, ja tästä seuraa myös a2 · w0 = a · (a · w0 ) = ζ 4 w0 = ζw0 ∈ W (ja tietenkin 1 · w0 = w0 ∈ W ).

2.2.2 Aliesitys Olkoon ρ : G → GL(V ) esitys. Silloin V on G-moduli. Oletetaan, että W on V :n alimoduli. Silloin myös W on G-moduli; operointi on V :ssä tapahtuvan operoinnin restriktio:

(g · w)W = (g · w)V

(g ∈ G, w ∈ W ).

Modulia W vastaavaa G:n esitystä ρW : G → GL(W ) sanotaan ρ:n aliesitykseksi. Se määräytyy siis ehdosta ρW (g)(w) = g · w = ρ(g)(w) kun g ∈ G, w ∈ W , toisin sanoen

ρW (g) = ρ(g)|W : W → W

(g ∈ G),

missä ρ(g)|W on kuvauksen restriktio W :lle. Hiukan tarkemmin: Koska W on alimoduli, niin ρ(g)(w) ∈ W ∀ g ∈ G, w ∈ W ; merkintä ρ(g)|W tarkoittaa oikeastaan kuvausta W → V , mutta nyt se katsotaan kuvaukseksi W → W . Siis aliesitys ja alimoduli tarkoittavat samaa asiaa ilmaistuna kahdella eri kielellä (ks. pykälän 2.1 alku). Edellisen pykälän alimoduliesimerkit ovat tietenkin samalla esimerkkejä aliesityksistä. Tarkastelemme seuraavassa, miten aliesitykset näkyvät matriisimuodossa, siis miten tämä sama asia kirjoitetaan matriisiesitysten kielellä. Olkoon V G-moduli ja W sen alimoduli 6= {0}, V , ja olkoot ρ ja ρW vastaavat esitykset. Valitaan V :lle kanta {e1 , . . . , en } siten, että {e1 , . . . , em } on W :n kanta (m < n). Olkoot R : G → GLn (C) ja RW : G → GLm (C) matriisimuodot näiden kantojen suhteen. Kun g ∈ G, niin R(g) on lineaarikuvauksen ρ(g) : V → V matriisi yo. kannan suhteen; toiPn sin sanoen, R(g) = (aij (g)) ja matriisialkiot määräytyvät ehdosta ρ(g)(ej ) = i=1 aij (g)ei (j = 1, . . . , n). Koska W on alimoduli, niin ρ(g)(ej ) ∈ W kun j ≤ m, joten osa matriisialkioista on nollia, ja saadaan

ρ(g)(ej ) =

m X i=1

aij (g)ei

(j = 1, . . . , m).

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

23

Lisäksi tässä esiintyvät aij (g):t ovat RW (g):n alkiot. Siis R(g):t ovat lohkomuotoa à ! RW (g) ∗ R(g) = (g ∈ G). O ∗

(2.5)

Tällaisen nollalohkon esiintyminen matriiseissa R(g) (g ∈ G) ilmaisee juuri alimodulin (aliesityksen) olemassaolon. Kuitenkin, jotta alimoduli W näkyisi nollalohkona esitysmatriisissa, pitää matriisimuodon olla muodostettu sellaisen kannan suhteen, josta osa on W :n kanta.

Esimerkki 2.2.4 Esimerkissä 2.1.19 löydettiin C3 :n säännöllisen esityksen matriisimuoto kannan {e1 , ea , ea2 } suhteen. Esitysmatriiseissa ei näy merkkiäkään alimoduleista (nollalohko (2.5) pitäisi tulla kaikkiin matriiseihin R(g)). Mutta modulissahan on ainakin yksi, alkion u = 1 + a + a2 virittämä 1-ulotteinen alimoduli (esimerkki 2.2.2). Miten se saadaan näkyviin matriisimuodossa? Siihen päästään käyttämällä sopivaa kantaa, nimenomaan sellaista C[C3 ]:n kantaa, jossa u on jäsenenä. Silloin syntyvän matriisimuodon ! Ã ensimmäisenä ∗ ∗ ∗ matriisit ovat muotoa R(g) = 0 ∗ ∗ . Valitse jokin sellainen kanta ja laske R(g):t sen 0 ∗ ∗ suhteen.

Esimerkki 2.2.5 Jatketaan edellistä esimerkkiä. Olkoon u = 1 + a + a2 kuten yllä ja olkoon v = 1 + ζa + ζ 2 a2 kuten esimerkissä 2.2.3 (ζ = ζ3 ). Kun valitaan sopiva vektori w, matriisimuodon matriisit kannan {u, v, w} suhteen ovat jopa diagonaalisia. Etsi sellainen w ja laske esityksen matriisimuoto. Myöhemmin näemme, että tällainen diagonaalinen matriisimuoto löydetään aina kommutatiivisen ryhmän tapauksessa (ja kun ryhmä on äärellinen ja moduli on äärellisulotteinen ja yli C:n).

Esimerkki 2.2.6 Tarkastellaan symmetrisen ryhmän S3 samaa permutaatioesitystä ρ kuin esimerkissä 2.1.20. Esitysavaruudella (modulilla) V on kanta {e1 , e2 , e3 }. Kun α ∈ S3 , niin ρ(α)(ej ) = eα(j) , joten ρ(α)(e1 + e2 + e3 ) = eα(1) + eα(2) + eα(3) = e1 + e2 + e3 . Nähdään, että e1 + e2 + e3 virittää yksiulotteisen alimodulin W . Esimerkissä 2.1.20 laskettiin R(t) ja R(c) kannan B = {e1 , e2 , e3 } suhteen sykleille t = (12) ja c = (123). Siirrytään kantaan B0 = {u, e2 , e3 }, missä u à = e1 + e!2 + e3 . Olkoon R0 vastaava matriisimuoto. Kannanvaihdon 100 B → B 0 matriisi on P = 1 1 0 . Huomautuksen 2.1.16 kohdan 4) nojalla 101



 1 1 0 R0 (t) = P −1 R(t)P =  0 −1 0  , 0 −1 1



1 R0 (c) = P −1 R(c)P =  0 0

Tarkista tämä laskemalla suoraan ρ(t) ja ρ(c) kannan B0 alkioille.

 0 1 0 −1  . 1 −1

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

24

2.3 Isomorsmit ja homomorsmit 2.3.1 Modulien isomora Määritelmä 2.3.1 Ryhmän G modulit V ja V 0 ovat isomorset, jos on sellainen bijektiivinen lineaarikuvaus τ : V → V 0 , että

g · τ (v) = τ (g · v)

∀ g ∈ G, v ∈ V.

(2.6)

Isomoraa merkitään V ' V 0 . Sen välittävää kuvausta τ sanotaan isomorsmiksi tai moduliisomorsmiksi tai G-isomorsmiksi. Huomaa erityisesti, että jos V ' V 0 , niin dim V = dim V 0 .

Esimerkki 2.3.2 Kaikki samaa dimensiota olevat G-modulit, joissa kussakin modulikertolasku on triviaali, ovat isomorset. Esimerkki 2.3.3 Esimerkissä 2.1.6 avaruudesta C2 tehtiin kolme C2 -modulia; merkitään 0 00 niitä ovat erilaiset: V :ssä ³ ´V, V³, V´ . Niillä on ³ sama ´ ³pohja-avaruus, ´ ³mutta ´ ³modulikertolaskut ´ x x y x x x a· y = x ; V 0 :ssa a· y = −y ; V 00 :ssa a· y = 2x − y . Suoraan laskemalla todetaan, että kuvaukset µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ x x+y x x τ : V 0 → V, τ y = x − y ; µ : V 0 → V 00 , µ y = x + y ,

ovat C2 -isomoroita. Siis V, V 0 , V 00 ovat isomorsia C2 -moduleja. (Selvästi modulien isomora on ekvivalenssirelaatio.)

Esimerkki 2.3.4 Olkoon V G-moduli ja olkoon t ∈ G kiinnitetty. Muodostetaan uusi moduli V (t) , joka vektoriavaruutena on V , mutta jossa on uusi modulikertolasku g • v = t−1 gt · v (g ∈ G, v ∈ V ). Silloin V (t) on G-moduli (harj.). On G-moduli-isomorsmi V (t) ' V . Nimittäin kuvaus v 7→ t · v on lineaarinen bijektio V → V , ja se on modulihomomorsmi V (t) → V , sillä kun g ∈ G, niin g · (t · v) = gt · v = t(t−1 gt) · v = t · (t−1 gt · v) = t · (g • v).

2.3.2 Esitysten isomora Määritelmä 2.3.5 Ryhmän G esitykset ρ : G → GL(V ) ja ρ0 : G → GL(V 0 ) ovat isomorset (tai ekvivalentit ), jos niitä vastaavat G-modulit V ja V 0 ovat isomorset. Isomoraa merkitään ρ ' ρ0 . Siis ρ ' ρ0 jos ja vain jos on sellainen bijektiivinen lineaarikuvaus τ : V → V 0 , että

ρ0 (g)τ = τ ρ(g)

∀ g ∈ G.

(2.7)

Nimittäin ehto (2.6) voidaan kirjoittaa ρ0 (g)(τ (v)) = τ (ρ(g)(v)) (g ∈ G, v ∈ V ).

Esimerkki 2.3.6 Jos ρ ja ρ0 ovat 1-asteisia esityksiä samassa avaruudessa, niin ρ ' ρ0 ⇔ ρ = ρ0 .

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

25

Esimerkki 2.3.7 Esimerkissä 2.1.9 todettiin, että ryhmän G 1-asteiset esitykset vastaavat ryhmähomomorsmeja G → C× . Nyt voimme ilmaista tämän tarkemmin: Jokaiseen 1-asteiseen esitykseen liittyy ryhmähomomorsmi G → C× ; jokainen ryhmähomomorsmi G → C× esiintyy tällä tavalla; kahteen 1-asteiseen esitykseen liittyy sama ryhmähomomorsmi G → C× tarkalleen silloin kun esitykset ovat isomorset. (Yksityiskohdat jäävät harjoitukseksi.) Siis: G:n 1-asteisten esitysten isomoraluokat vastaavat kääntäen yksikäsitteisesti ryhmähomomorsmeja G → C× . Esimerkin 2.1.11 mukaan siis syklisellä ryhmällä Cn on tarkalleen n epäisomorsta 1-asteista esitystä.

2.3.3 Matriisiesitysten isomora Lause 2.3.8 Kun ρ : G → GL(V ) ja ρ0 : G → GL(V 0 ) ovat n-asteisia esityksiä, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) ρ ' ρ0 ; (ii) sopivasti valittujen kantojen suhteen esityksillä ρ ja ρ0 on sama matriisimuoto; (iii) jos R, R0 : G → GLn (C) ovat ρ:n ja ρ0 :n matriisimuodot, on sellainen T ∈ GLn (C), että R0 (g)T = T R(g) ∀ g ∈ G.

Todistus. Osoitetaan (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i). Oletetaan (i). Olkoon τ : V → V 0 moduli-isomorsmi. Valitaan V :n kanta {e1 , . . . , en }. Silloin {τ (e1 ), . . . , τ (en )} on V 0 :n kanta. Olkoot R ja R0 matriisimuodot näiden kantojen suh¡ ¢ P teen. Kun g ∈ G ja R(g) = (aij ), niin ρ(g)(ej ) = i aij ei , joten ρ0 (g)(τ (ej )) = τ ρ(g)(ej ) = ¢ P ¡P 0 τ i aij τ (ei ); siis R (g) = (aij ) = R(g). i aij ei = Kun oletetaan (ii), niin (iii) seuraa välittömästi huomautuksen 2.1.16 kohdasta 4). Oletetaan (iii). Valitaan V :lle kanta B = {e1 , . . . , en } ja V 0 :lle kanta B0 = {e01 , . . . , e0n }. Olkoot R ja R0 niitä vastaavat ρ:n ja ρ0 :n matriisimuodot. Olkoon T = (tij ) oletuksen (iii) tässä tilantessa antama matriisi. Määritellään lineaarikuvaus τ : V → V 0 ehdosta τ (ej ) = P 0 0 i tij ei (siis T on τ :ta esittävä matriisi kantojen B ja B suhteen). Silloin τ on lineaarinen bijektio, ja suoralla laskulla tarkistetaan, että ρ0 (g)τ = τ ρ(g) ∀ g ∈ G. Siis ρ ' ρ0 . 2

Määritelmä 2.3.9 Matriisiesitykset R, R0 : G → GLn (C) ovat isomorset (tai ekvivalentit tai similaariset ), merkitään R ' R0 , jos on sellainen T ∈ GLn (C), että R0 (g)T = T R(g) ∀ g ∈ G. Huomaa, että määritelmässä on kyse similaarimuunnoksesta: R0 (g) = T R(g)T −1 ∀ g ∈ G.

2.3.4 Modulihomomorsmit Kun V1 ja V2 ovat vektoriavaruuksia, käytämme lineaarikuvausten V1 → V2 joukolle merkintää HomC (V1 , V2 ) = { f : V1 → V2 | f on lineaarinen}. (2.8) (Muissa kursseissa on käytetty merkintää L(V1 , V2 ).)

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

26

Määritelmä 2.3.10 Olkoot V1 ja V2 G-moduleja. Lineaarikuvaus f : V1 → V2 on modulihomomorsmi tai G-modulihomomorsmi, jos g · f (v) = f (g · v)

(2.9)

∀ g ∈ G, v ∈ V1 .

Merkitsemme modulihomomorsmien V1 → V2 joukkoa

HomG (V1 , V2 ) = { f ∈ HomC (V1 , V2 ) | f on G-modulihomomorsmi}.

(2.10)

Kun ρ1 : G → GL(V1 ) ja ρ2 : G → GL(V2 ) ovat moduleja V1 ja V2 vastaavat esitykset, niin niiden avulla lausuttuna homomoraehto kuuluu

ρ2 (g)f = f ρ1 (g)

(2.11)

∀ g ∈ G.

Kun R1 : G → GLn1 (C) ja R2 : G → GLn2 (C) ovat vastaavat matriisimuodot joidenkin kantojen suhteen, homomoraehto voidaan kirjoittaa

R2 (g)T = T R1 (g)

(2.12)

∀ g ∈ G,

missä T ∈ Mn2 ×n1 (C) on f :ää esittävä matriisi samojen kantojen suhteen.

Lause 2.3.11 Kun f : V1 → V2 on modulihomomorsmi, niin Ker(f ) on V1 :n alimoduli ja Im(f ) on V2 :n alimoduli.

Todistus. Tietenkin Ker(f ) ja Im(f ) ovat aliavaruuksia, koska f on lineaarikuvaus. Kun v ∈ Ker(f ) ja g ∈ G, niin f (g · v) = g · f (v) = 0, joten g · v ∈ Ker(f ). Kun v ∈ V1 ja g ∈ G, niin g · f (v) = f (g · v) ∈ Im(f ). 2 Seuraava lause on oikeastaan osa pian esitettävän klassisen Maschken lauseen todistusta.

Lause 2.3.12 Olkoot V1 ja V2 G-moduleja. Olkoon f lineaarikuvaus V1 → V2 . Silloin kuvaus f ◦ : V1 → V2 , joka määritellään f ◦ (v) =

1 X g · f (g −1 · v) #G

∀ v ∈ V1 ,

(2.13)

g∈G

on G-modulihomomorsmi. Todistus. Selvästi f ◦ on lineaarinen. Kun v ∈ V ja h ∈ G, niin (merkitään n = #G) h · f ◦ (v) =

¡ ¢ 1 X 1 X 1 X h · g · f (g −1 · v) = (hg) · f (g −1 · v) = (hg) · f ((h−1 hg)−1 · v) n n n g∈G

g∈G

g∈G

1 X 1 X = (hg) · f ((hg)−1 h · v) = (hg) · f ((hg)−1 · (h · v)) n n g∈G

g∈G

1 X = g · f (g −1 · (h · v)) = f ◦ (h · v), n g∈G

sillä kun g käy G:n alkiot kerran, niin samoin käy hg . Näin ollen f ◦ ∈ HomG (V1 , V2 ).

2

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

Huomautus 2.3.13 Todistuksessa laskettiin: Kun G, niin

P

hg · · · g −1 · · · =

g∈G

P g∈G

P g∈G

27

g · · · g −1 · · · on jokin lauseke ja h ∈

g · · · g −1 h · · · , siis jonkinlainen kommutointitulos.

Esitysten avulla kirjoitettuna kaava (2.13) kuuluu

f◦ =

1 X ρ2 (g)f ρ1 (g −1 ), #G

(2.14)

g∈G

missä ρ1 = ρV1 ja ρ2 = ρV2 .

Esimerkki 2.3.14 Esimerkissä 2.1.6 oli kolme ryhmän C2 = hai = {1, a} esitystä ρ, ρ0 , ρ00 : C2 → GL(C2 ) avaruudessa C2 , esimerkissä 2.1.17 oli niiden matriisiesitykset R, R0 , R00 : C2 → GL2 (C) luonnollisen kannan suhteen ja esimerkissä 2.1.18 todettiin, että ρ ja ρ0 ovat isomorset. Kokeillaan, löytyisikö ρ:n ja ρ00 :n välille isomoraa. Valitaan umpimähkään lineaarikuvaus f : V1 → V2 ; otetaan esimerkiksi f = idC2 . Kaavasta (2.14) saadaan silloin f ◦ :ksi µ ¶ µ µ µ ¶¶¶ µ ¶ 1 X 00 1 X 00 x x ◦ x −1 −1 f y = ρ (g) f ρ(g ) y = ρ (g)ρ(g ) y 2 2 g∈C2 g∈C2 µ µ ¶ µ ¶¶ 1 x x = ρ00 (1)ρ(1−1 ) y + ρ00 (a)ρ(a−1 ) y 2 µµ ¶ µ µ ¶ ¶¶ 1 1 x+y x y . = = y + 2y − x 2 2 3y − x ³ ´ ³ ´ x+y x Saatu kuvaus y 7→ 12 3y − x on bijektio C2 → C2 . Lauseen 2.3.12 nojalla se on modulihomomorsmi V1 → V2 . Siis ρ ' ρ00 . (Harjoitus: Tarkista saadusta f ◦ :n lausekkeesta suoraan matriisimuotojen avulla, että f ◦ on modulihomomorsmi.)

Huomautus 2.3.15 1) Kun V1 ja V2 ovat vektoriavaruuksia, niin tunnetusti HomC (V1 , V2 ) on vektoriavaruus seuraavien pisteittäisten operaatioiden suhteen:

(f + f 0 )(v) = f (v) + f 0 (v),

(rf )(v) = rf (v)

(f, f 0 ∈ HomC (V1 , V2 ), v ∈ V, r ∈ C). (2.15)

Kun V1 ja V2 ovat G-moduleja, HomG (V1 , V2 ) on HomC (V1 , V2 ):n aliavaruus, eli modulihomomorsmien f, f 0 : V1 → V2 lineaarikombinaatiotkin rf + sf 0 ovat modulihomomorsmeja. 2) Lauseen 2.3.12 antama kuvaus HomC (V1 , V2 ) → HomG (V1 , V2 ), f 7→ f ◦ , on operaatioiden (2.15) suhteen lineaarinen, minkä näkee helposti muodosta (2.14). Jos f ∈ HomG (V1 , V2 ), niin f ◦ :n lausekkeesta näkyy, että f ◦ = f . Nämä merkitsevät, että kuvaus f 7→ f ◦ on ns. lineaarinen projektio HomC (V1 , V2 ):sta aliavaruudelle HomG (V1 , V2 ).

Huomautus 2.3.16 Moduli-isomorsmit ovat siis bijektiivisiä modulihomomorsmeja. Seuraavat seikat on helppo todeta oikeiksi:

• Jos f : V1 → V2 ja g : V2 → V3 ovat G-modulihomomorsmeja, niin g ◦ f : V1 → V3 on G-modulihomomorsmi. Jos f ja g ovat isomorsmeja samoin on g ◦ f . • Moduli-isomorsmin käänteiskuvaus on moduli-isomorsmi.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

28

2.4 Suora summa Muistetaan, että vektoriavaruus V on aliavaruuksiensa W1 , . . . , Wk suora summa, merkitään V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk , jos jokaisella vektorilla x ∈ V on yksikäsitteinen esitys x = x1 + · · · + xk P (xi ∈ Wi ), eli ekvivalentisti jos V = W1 + · · · + Wk ja Wi ∩ j6=i Wj = {0} (i = 1, . . . , k ). Sanotaan, että G-moduli V on alimoduliensa W1 , . . . , Wk suora summa, merkitään V = W1 ⊕· · ·⊕Wk , jos Wi :t ovat alimoduleja ja V on vektoriavaruutena niiden suora summa. Tällöin sanotaan myös, että G:n esitys ρV on aliesitysten ρW1 , . . . , ρW2 suora summa, merkitään ρV = ρW 1 ⊕ · · · ⊕ ρW k .

Esimerkki ryhmänoG = C2 moduli V = C2 ja sillä alimoduli n³ oli ´¯ n³ ´¯ 2.4.1 oEsimerkissä 2.2.1

x ¯ x ¯ 0 0 W = −x ¯ x ∈ C on alimoduli, ja koska V = W ⊕ W , niin x ¯ x ∈ C . Myös W = tämä on siis V :n hajotelma alimodulien suoraksi summaksi. Tarkastellaan, mitä suora summa merkitsee matriisimuotojen kannalta. Olkoon V Gmoduli ja olkoon V = W1 ⊕ W2 , missä Wi :t ovat alimoduleja. Olkoot ρ, ρW1 ja ρW2 moduleja V , W1 ja W2 vastaavat esitykset. Valitaan W1 :lle ja W2 :lle kannat. Käytetään V :lle niistä yhdistämällä saatua kantaa. Olkoot R, RW1 ja RW2 esitysten ρ, ρW1 ja ρW2 matriisimuodot näiden kantojen suhteen. Samoin kuin pykälässä 2.2.2 nähdään, että matriisit R(g) ovat erikoista muotoa à ! RW1 (g) O R(g) = (g ∈ G) (2.16) O RW2 (g) (lohkodiagonaalimatriiseja). Tämä yleistyy tietysti useammankin alimodulin suoran summan tapaukseen.

Esimerkki 2.4.2 Tarkastellaan edelleen esimerkin 2.2.6 tilannetta, samaa S3 :n 3-asteista permutaatioesitystä kuin esimerkissä 2.1.20. Käytetään samoja merkintöjä. Esimerkin 2.2.6 mukaan alkio u = e1 + e2 + e3 virittää 1-ulotteisen alimodulin W1 . Merkitään v = e1 − e2 ja w = e2 − e3 , ja olkoon W2 v :n ja w:n virittämä aliavaruus. Helposti todetaan, että W2 on alimoduli ja V = W1 ⊕ W2 . Olkoon R ρ:n matriisimuoto kannan {u, v, w} suhteen. Sykleille t = (12) ja c = (123) saadaan     1 00 1 0 0 R(t) =  0 −1 1  , R(c) =  0 0 −1  . 0 01 0 1 −1 Muutkin matriisit R(α) (α ∈ S3 ) ovat tätä samaa lohkomuotoa, koska S3 = ht, ci. Onko tätä hajotelmaa mahdollista vielä hienontaa, toisin sanoen voidaanko W2 hajottaa kahden 1-ulotteisen alimodulin suoraksi summaksi? Jos voitaisiin, saataisiin matriisimuoto, jonka matriisit olisivat diagonaalisia ja siksi kommutoisivat keskenään. Koska esitys on uskollinen, seuraisi, että S3 olisi kommutatiivinen, ristiriita. Siis sellaista hienompaa hajotelmaa ei ole. Tämä tarkoittaa, että W1 ja W2 ovat redusoitumattomia alimoduleja, joka käsite määritellään seuraavassa pykälässä.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

29

Edellä käsitellyt suorat summat ovat tarkemmin ilmaistuna ns. sisäisiä suoria summia. Määrittelemme seuraavaksi ulkoisen suoran summan : Olkoon annettuna kaksi G-modulia W1 ja W2 , joita ei ajatella minkään ennalta annetun avaruuden aliavaruuksina. Konstruoidaan avaruus merk määr V = W1 ⊕ W2 = {(w1 , w2 ) | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 }, jossa määritellään vektoriavaruusoperaatiot tavalliseen tapaan,

(w1 , w2 ) + (w10 , w20 ) = (w1 + w10 , w2 + w20 ),

r(w1 , w2 ) = (rw1 , rw2 )

(r ∈ C, wi ∈ Wi ),

ja modulikertolasku G × V → V ,

g · (w1 , w2 ) = (g · w1 , g · w2 )

(g ∈ G, wi ∈ Wi ).

On suoraviivaista osoittaa, että V on G-moduli. Sitä kutsutaan modulien W1 ja W2 (ulkoiseksi) suoraksi summaksi ja merkitään V = W1 ⊕ W2 . Jos moduleja W1 ja W2 vastaavat esitykset ovat ρ1 ja ρ2 , niin V :n esitystä ρ merkitään ρ = ρ1 ⊕ ρ2 ja sitä kutsutaan esitysten ρ1 ja ρ2 (ulkoiseksi) suoraksi summaksi. Matriisiesitysten R1 : G → GLn1 (C) ja R2 : G → GLn2 (C)µ (ulkoinen) suora summa ¶ R1 (g) O on R = R1 ⊕ R2 : G → GLn1 +n2 (C), joka määritellään R(g) = (g ∈ G); O R2 (g) vrt. (2.16). Ulkoisella suoralla summalla V = W1 ⊕ W2 on alimodulit {(w1 , 0) | w1 ∈ W1 } ' W1 ja {(0, w2 ) | w2 ∈ W2 } ' W2 , ja kun nämä isomorsmit otetaan samaistuksina, niin V onkin alimoduliensa W1 ja W2 sisäinen suora summa.

2.5 Maschken lause Määritelmä 2.5.1 Olkoon V G-moduli, V 6= {0}. Sanotaan, että V on redusoitumaton (eli irredusoituva tai yksinkertainen ) (irreducible, simple), jos V :n ainoat alimodulit ovat {0} ja V ; muussa tapauksessa V on redusoituva (reducible). Ryhmän G esitys ρ : G → GL(V ) (aste ≥ 1) on redusoitumaton (eli irredusoituva tai yksinkertainen ), jos sitä vastaava G-moduli V on redusoitumaton, muuten ρ on redusoituva. Määritelmä 2.5.2 Ryhmän G moduli V 6= {0} on täydellisesti redusoituva, jos se on redusoitumattomien alimodulien Wi suora summa, V = W1 ⊕· · ·⊕Wk . Vastaavasti määritellään esityksen täydellinen redusoituvuus. Lause 2.5.3 (Maschke) Jokainen G-moduli on täydellisesti redusoituva. Maschken lause on itse asiassa ekvivalentti seuraavan lauseen kanssa (yleisemmässä tilanteessa kuin meidän käsittelemämme), jota usein sitäkin kutsutaan Maschken lauseeksi. Jos V = W ⊕ W 0 , sanotaan, että W 0 on W :n (vektoriavaruus)komplementti V :ssä. Tällainen aliavaruuden komplementti on aina olemassa. Mutta jos V on G-moduli ja W on sen G-alimoduli, niin ei ole mitenkään selvää, onko W :llä vektoriavaruuskomplementtia W 0 , joka on myös G-alimoduli.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

30

Lause 2.5.4 Olkoon V G-moduli ja W sen alimoduli. Silloin V = W ⊕ U , missä U on alimoduli. Toisin sanoen jokaisella alimodulilla on V :ssä komplementti, joka sekin on alimoduli. Todistamme ensin lauseen 2.5.3 olettaen lauseen 2.5.4 oikeaksi.

Maschken lauseen todistus. Jos G-moduli V on redusoituva, sillä on alimoduli W 6= {0}, V , ja lauseen 2.5.4 mukaan V = W ⊕ U , missä U on alimoduli. Jos jompikumpi moduleista W tai U on redusoituva, se voidaan hajottaa suoraksi summaksi, ja niin edelleen. Koska W ja U ovat alempaa dimensiota kuin V (olemme sopineet, että käsittelemme vain äärellisulotteisia moduleja), tästä seuraa, esimerkiksi induktiolla, että V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk , missä Wi :t ovat joitain V :n redusoitumattomia alimoduleja. 2 Lauseen 2.5.4 todistus. Valitaan W :lle V :ssä jokin vektoriavaruuskomplementti W 0 , mikä on tietenkin aina mahdollista. Hajotelmasta V = W ⊕ W 0 saadaan kuvaus f : V → V määrittelemällä f (w + w0 ) = w kun w ∈ W, w0 ∈ W 0 . (Siis f on projektio W :lle ytimenä W 0 .) Olkoon f ◦ : V → V siitä lauseen 2.3.12 mukaisesti saatava modulihomomorsmi; siis f ◦ (v) =

1 X g · f (g −1 · v) n

∀ v ∈ V,

g∈G

missä n = #G. Silloin ensinnäkin Im(f ◦ ) ⊆ W , sillä Im(f ) = W ja W on alimoduli. Toiseksi f ◦ (w) = w kun w ∈ W , sillä tällöin f (g −1 · w) = g −1 · w ∀ g ∈ G ja siis

f ◦ (w) =

1 X 1 X 1 X 1 X g · f (g −1 · w) = g · (g −1 · w) = 1·w = w = w. n n n n g∈G

g∈G

g∈G

g∈G

Tästä nähdään, että Im(f ◦ ) = W ja että f ◦ f ◦ = f ◦ (siis f ◦ on idempotentti kuvaus). Todistetaan, että V = W ⊕ Ker(f ◦ ). Summa W + Ker(f ◦ ) on suora, sillä jos w ∈ W ∩ Ker(f ◦ ), niin w = f ◦ (w) = 0. Summa on V , sillä jos v ∈ V , niin v = f ◦ (v) + (v − f ◦ (v)); tässä f ◦ (v) ∈ Im(f ◦ ) ja koska f ◦ f ◦ = f ◦ niin v − f ◦ (v) ∈ Ker(f ◦ ). (Kannattaa huomata, että hajotelma V = Im(f ◦ ) ⊕ Ker(f ◦ ) seuraa jo f ◦ :n idempotenttisuudesta.) Lopuksi, lauseen 2.3.12 mukaan f ◦ on modulihomomorsmi ja siis lauseen 2.3.11 mukaan Ker(f ◦ ) on alimoduli. Näin ollen Ker(f ◦ ) on etsitty komplementti. 2 Maschken lause merkitsee, että ryhmän G esitysteoriassa (yli C:n) on pitkälti kyse seuraavien ongelmien ratkaisemista: 1) Miten luokitellaan G:n redusoitumattomat esitykset (isomoraa vaille)? 2) Miten annettu esitys hajotetaan redusoitumattomien aliesitysten suoraksi summaksi?

Huomautus 2.5.5 Oikeastaan Maschken lause on yleisempi kuin lause 2.5.3. Se koskee G:n esityksiä yli mielivaltaisen kunnan K (C:n sijasta) ja modulit saavat olla ääretönulotteisiakin, ja se lausuu, että kaikki G-modulit ovat täydellisesti redusoituvia tarkalleen silloin kun K :n karakteristika ei jaa G:n kertalukua. (Ääretönulotteinen tapaus vaatii Zornin lemmaa.)

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

31

2.6 Schurin lemma Seuraava Schurin lemma on Maschken lauseen ohella toinen tärkeä klassinen tulos. Otetaan ennen sitä pieni aputulos ominaisarvoista ja -avaruuksista. Olkoon t : V → V lineaarikuvaus. Jos on sellainen v0 ∈ V , että v0 6= 0 ja t(v0 ) = λ0 v0 , λ0 ∈ C, niin v0 on t:n ominaisvektori, λ0 on t:n ominaisarvo ja Vλ0 = {v ∈ V | t(v) = λ0 v} on λ0 :aan kuuluva t:n ominaisavaruus.

Lemma 2.6.1 (i) Olkoon V vektoriavaruus yli C:n ja dim V < ∞. Jos t : V → V on lineaarikuvaus, niin t:llä on V :ssä ominaisvektori v0 . (ii) Olkoon V G-moduli. Jos f : V → V on modulihomomorsmi ja λ0 sen ominaisarvo, niin f :n ominaisavaruus Vλ0 on V :n G-alimoduli. Todistus. Valitaan V :lle kanta, ja olkoon t:n matriisi sen suhteen A ∈ Mn (C). Lineaarialgebran kurssista muistetaan, että matriisilla A on ainakin yksi ominaisvektori; siis on sellaiset x0 ∈ Cn \{0} ja λ0 ∈ C, että Ax0 = λ0 x0 . (Tässä tarvitaan, että skalaarikunta C on algebrallisesti suljettu (algebran peruslause), niin että karakteristisella polynomilla det(A − λI) on ainakin yksi juuri λ = λ0 .) Silloin t(v0 ) = λ0 v0 , missä v0 6= 0 on x0 :aa vastaava V :n vektori; ks. (2.3). Olkoon nyt f : V → V G-modulihomomorsmi. Tietenkin Vλ0 = {v ∈ V | f (v) = λ0 v} on aliavaruus. Kun g ∈ G ja v ∈ Vλ0 , niin g · v ∈ Vλ0 , sillä f (g · v) = g · f (v) = g · (λ0 v) = λ0 (g · v). Siis Vλ0 on G-alimoduli. 2

Lause 2.6.2 (Schurin lemma) Olkoot V1 ja V2 redusoitumattomia G-moduleja ja olkoon f : V1 → V2 modulihomomorsmi. (i) Jos f 6= 0, niin f on isomorsmi. Siis V1 ' V2 . (ii) Jos V1 ' V2 ja jos F : V1 → V2 on moduli-isomorsmi, niin f = rF , missä r ∈ C.

Todistus. Lauseen 2.3.11 mukaan Ker(f ) on V1 :n ja Im(f ) on V2 :n alimoduli. Jos f 6= 0, niin Ker(f ) 6= V1 ja Im(f ) 6= {0}, joten modulien redusoitumattomuuden vuoksi Ker(f ) = {0} ja Im(f ) = V2 ; siis f on bijektio, joten se on isomorsmi. Tämä todistaa (i):n. Olkoon F : V1 → V2 moduli-isomorsmi. Yhdistetty kuvaus F −1 f on modulihomomorsmi V1 → V1 . Eo. lemman mukaan sillä on ainakin yksi ominaisvektori v0 ; olkoon λ0 vastaava ominaisarvo. Ominaisavaruus Vλ0 ei siis ole {0}, ja lemman mukaan se on alimoduli. Koska V1 on redusoitumaton, niin Vλ0 = V1 , toisin sanoen F −1 f (v) = λ0 v ∀ v ∈ V1 . Siis f (v) = λ0 F (v) ∀ v ∈ V1 . 2

Seuraus 2.6.3

(i) Jos V1 ja V2 ovat redusoitumattomia ja V1 6' V2 , niin muita modulihomomorsmeja V1 → V2 ei ole kuin nollakuvaus.

(ii) Jos V on redusoitumaton G-moduli, niin muita modulihomomorsmeja V → V ei ole kuin kuvaukset v 7→ rv , r ∈ C.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA Schurin lemma voidaan lausua: Kun V1 ja V2 ovat redusoitumattomia, niin ( 0 jos V1 6' V2 , dim HomG (V1 , V2 ) = 1 jos V1 ' V2 .

32

(2.17)

Huomautus 2.6.4 Kuten Maschken lause (huomautus 2.5.5), Schurin lemmakaan ei ole voimassa aivan yleisesti: Kun tutkitaan G:n esityksiä yli mielivaltaisen kunnan K , Schurin lemma pätee äärellisulotteisille moduleille, edellyttäen että K on algebrallisesti suljettu (ts. polynomiyhtälöillä yli K :n on juuria K :ssa). Tietenkin C on algebrallisesti suljettu.

2.6.1 Sovellus keskuksen alkioihin Schurin lemmasta saadaan esitysteoreettiset karakterisoinnit keskuksen alkioille ja ryhmän kommutatiivisuudelle. Sanotaan, että alkio g ∈ G operoi modulissa V skalaarina, jos on sellainen r ∈ C, että g · v = rv ∀ v ∈ V , eli ekvivalentisti ρV (g) = r idV .

Lause 2.6.5 Alkio g ∈ G kuuluu G:n keskukseen tarkalleen silloin kun se operoi skalaarina kaikissa redusoitumattomissa moduleissa. Todistus. Oletetaan ensin, että g ∈ Z(G). Olkoon V redusoitumaton moduli. Kuvaus V → V , v 7→ g ·v , on modulihomomorsmi, sillä se on lineaarinen ja kun h ∈ G, niin h·(g ·v) = hg ·v = gh · v = g · (h · v). Schurin lemman nojalla on sellainen skalaari r, että g · v = rv ∀ v ∈ V . Oletetaan kääntäen, että g ∈ G operoi skalaarina kaikissa redusoitumattomissa moduleissa. Tarkastellaan säännöllistä modulia C[G] (esimerkki 2.2.2). Sillä on Maschken lauseen mukaan hajotelma C[G] = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk , missä Vi :t ovat redusoitumattomia alimoduleja. Oletuksen mukaan on sellaiset ri ∈ C, että g · v = ri v ∀ v ∈ Vi . Olkoon h ∈ G. Kun v ∈ Vi , niin h · v ∈ Vi , ja saadaan h · (g · v) = h · (ri v) = ri (h · v) = g · (h · v). Toisin sanoen h:n ja g :n operoinnit Vi :ssä kommutoivat; siis niiden operoinnit myös koko C[G]:ssä kommutoivat. Erityisesti h · (g · 1) = g · (h · 1), mikä antaa hg = gh. Siis g ∈ Z(G). 2

Seuraus 2.6.6 Ryhmä on kommutatiivinen tarkalleen silloin kun sen kaikki redusoitumattomat modulit ovat 1-ulotteisia. Todistus. Jos G:n redusoitumattomat modulit ovat 1-ulotteisia, jokainen G:n alkio operoi jokaisessa niistä skalaarina. Lauseesta seuraa G = Z(G), joten G on kommutatiivinen. Oletetaan kääntäen, että G = Z(G). Olkoon V redusoitumaton G-moduli. Koska nyt G:n alkiot operoivat V :ssä skalaareina, jokainen V :n aliavaruus on alimoduli. Redusoitumattomuuden johdosta dim V = 1. 2

2.6.2 Schurin relaatiot Johdetaan Schurin lemmasta vielä versio matriisimuodoille.

Lause 2.6.7 (Schurin relaatiot) Olkoot ρ1 ja ρ2 redusoitumattomia esityksiä.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

33

(i) Oletetaan, että ρ1 6' ρ2 . Olkoot R1 : G → GLn1 (C) ja R2 : G → GLn2 (C) esitysten ¡ ¢ ρ1 ja ρ2 matriisimuodot joidenkin kantojen suhteen. Merkitään R1 (g) = aij (g) ja ¡ ¢ R2 (g) = bij (g) . Silloin

1 X aij (g)bkl (g −1 ) = 0 #G

(2.18)

∀ i, j, k, l.

g∈G

(ii) Oletetaan, että ρ1 = ρ2 = ρ. Jos R : G → GLn (C) on ρ:n matriisimuoto ja R(g) = ¡ ¢ aij (g) , niin 1 1 X aij (g)akl (g −1 ) = δil δjk ∀ i, j, k, l. (2.19) #G n g∈G

Todistus. Merkitään Ers :llä matriisia, jonka kohdassa (r, s) on 1 ja muut alkiot ovat nollia; Ers :t oletetaan kulloinkin sopivan kokoiksi eikä niiden tarvitse olla neliömatriiseja. On voimassa Ers Euv = δsu Erv . Kun C = (cij ) ja D = (dij ), niin ³X ´ ³X ´ X X CEli D = crs Ers Eli duv Euv = crs duv δsl δiu Erv = crl div Erv . (2.20) r,s

u,v

r,s,u,v

r,v

P

1 −1 ) kuten Olkoon f : V1 → V2 lineaarikuvaus, ja olkoon f ◦ = #G g∈G ρ2 (g)f ρ1 (g lauseessa 2.3.12. Silloin f ◦ on modulihomomorsmi V1 → V2 . Merkitään M (f ):llä ja M (f ◦ ):lla f :n ja f ◦ :n matriiseja lauseessa mainittujen kantojen suhteen. Silloin

M (f ◦ ) =

1 X R2 (g)M (f )R1 (g −1 ). #G

(2.21)

g∈G

Tarkastellaan ensin tapausta (i); siis oletetaan että ρ1 6' ρ2 . Schurin lemman nojalla ainoa modulihomomorsmi V1 → V2 on nollakuvaus. Siis f ◦ = 0, joten M (f ◦ ) = O. Näin on, oli f mikä tahansa lineaarikuvaus V1 → V2 , toisin sanoen

O =

1 X R2 (g)M R1 (g −1 ) #G

∀ M ∈ Mn2 ×n1 (C).

g∈G

¡ ¢ Valitaan M = Eli ja käytetään identiteettiä (2.20) matriiseille C = R2 (g) = bij (g) ja ¡ ¢ D = R1 (g −1 ) = aij (g −1 ) : O =

1 XX brl (g)aiv (g −1 )Erv . #G r,v g∈G

P 1 −1 Oikea puoli on matriisi, jonka kohdassa (r, v) on #G ); siis tämä summa g∈G brl (g)aiv (g −1 on 0, mikä antaakin väitteen (i) (summassa voi vaihtaa g :n ja g :n keskenään). Tarkastellaan tapausta (ii): oletetaan että ρ1 = ρ2 = ρ, R1 = R2 = R ja n1 = n2 = n. Valitaan taas sellainen f , että M (f ) = Eli . Lauseen 2.3.12 ja Schurin lemman nojalla M (f ◦ ) = cli I jollain kertoimella cli ∈ C. Nyt (2.21) ja (2.20) antavat cli I =

1 XX arl (g)aiv (g −1 )Erv #G r,v g∈G

∀ i, l.

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

34

Ottamalla kummankin puolen matriisista (k, j):s alkio saadaan

cli δkj =

1 X akl (g)aij (g −1 ) #G

(2.22)

∀ i, j, k, l.

g∈G

Otetaan tapaus j = k ja summataan puolittain yli k :n:

ncli =

n 1 XX aik (g −1 )akl (g) #G

∀ i, l.

g∈G k=1

Pn −1 Koska R(g −1 )R(g) = I , niin )akl (g) = δil . Siis ncli = k=1 aik (g 1 Sijoittamalla cli = n δil yhtälöön (2.22) saadaan (ii). 2

1 #G

P

g∈G δil

= δil .

Huomautus 2.6.8 Lause ei sano mitään tapauksesta ρ1 ' ρ2 , ρ1 6= ρ2 .

2.7 Tensoritulo 2.7.1 Vektoriavaruuksien tensoritulo Olkoot V1 , V2 ja W vektoriavaruuksia. Kuvausta t : V1 × V2 → W sanotaan bilineaariseksi, jos se on lineaarinen kummankin argumentin suhteen erikseen, toisin sanoen jos on voimassa µX ¶ X n m n X m X r i vi , sj uj = t ri sj t(vi , uj ) (ri , sj ∈ C, vi ∈ V1 , uj ∈ V2 ). i=1

j=1

i=1 j=1

Määritelmä 2.7.1 Olkoot V1 ja V2 äärellisulotteisia vektoriavaruuksia. Niiden tensoritulo on pari (W, t), missä W on sellainen vektoriavaruus ja t sellainen bilineaarikuvaus V1 × V2 → W , että on voimassa ehto: Aina kun {e1 , . . . , en1 } on V1 :n kanta ja {f1 , . . . , fn2 } on V2 :n kanta, niin { t(ei , fj ) | i = 1, . . . , n1 , j = 1, . . . , n2 } on W :n kanta. Sanotaan myös lyhyesti, että W on V1 :n ja V2 :n tensoritulo ; merkitään

W = V1 ⊗ V2 (tai V1 ⊗C V2 ). Kuvaukselle t (tensorikuvaukselle ) käytetään merkintää

t(x, y) = x ⊗ y

(x ∈ V1 , y ∈ V2 ).

Lause 2.7.2 (Tensoritulon olemassaolo) Olkoon {e1 , . . . , en1 } vektoriavaruuden V1 kanta ja {f1 , . . . , fn2 } vektoriavaruuden V2 kanta. Olkoon W n1 n2 -ulotteinen vektoriavaruus ja { gij | i = 1, . . . , n1 , j = 1, . . . , n2 }

sen kanta. Määritellään kuvaus t : V1 × V2 → W : µX ¶ n1 n2 n1 X n2 X X t r i ei , sj f j = ri sj gij i=1

j=1

i=1 j=1

Silloin pari (W, t) on V1 :n ja V2 :n tensoritulo.

(ri , sj ∈ C).

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

35

Todistus. Selvästi t on hyvin määritelty ja bilineaarinen. Olkoon {e01 , . . . , e0n1 } mielivaltainen V1 :n kanta ja {f10 , . . . , fn0 2 } mielivaltainen V2 :n kanta. Lausutaan nämä annetuissa kannoissa: e0i =

n1 X

pik ek ,

fj0 =

k=1

n2 X

qil fl

(i = 1, . . . , n1 , j = 1, . . . , n2 ).

l=1

Siis (pij )T ja (qij )T ovat kannanvaihtojen matriisit. Kuvauksen t määritelmän mukaan

t(e0i , fj0 ) =

n1 X n2 X

pik qjl gkl .

k=1 l=1

Osoitetaan, että gkl :t voidaan ratkaista näistä yhtälöistä. Matriisit (pij ) ja (qij ) ovat säännölP P lisiä; merkitään niiden käänteismatriiseja (˜ pij ) ja (˜ qij ). Siis k p˜ik pkj = δij ja k q˜ik qkj = δij , missä δij on Kroneckerin symboli (eli δij = 1 jos i = j ; δij = 0 jos i 6= j ). Kerrotaan yo. yhtälöt p˜ri :llä ja q˜sj :llä ja summataan yli i:n ja j :n: n1 X n2 X

p˜ri q˜sj t(e0i , fj0 ) =

i=1 j=1

=

n1 X n2 X n1 X n2 X i=1 j=1 k=1 l=1 n1 X n2 ³X n1 X

p˜ri q˜sj pik qjl gkl =

p˜ri pik

k=1 l=1

i=1

n2 ´³X

n1 X n2 X n1 X n2 X

(˜ pri pik )(˜ qsj qjl )gkl

i=1 j=1 k=1 l=1 n1 X n2 X

´ q˜sj qjl gkl =

j=1

δrk δsl gkl = grs .

k=1 l=1

Näin ollen myös alkiot t(e0i , fj0 ) virittävät W :n, ja koska niitä on oikea määrä, n1 n2 = dim W kappaletta, ne muodostavat W :n kannan. 2

Lause 2.7.3 (Tensoritulon yksikäsitteisyys) Jos sekä (W, t) että (W 0 , t0 ) on V1 :n ja V2 :n tensoritulo, niin on sellainen bijektiivinen lineaarikuvaus h : W → W 0 , että ht = t0 .

V1 ×V2

t ...................... ........... ........... ........... ........... ........... ........... 0 .

t

W h ' ...

W0

Todistus. Olkoon {e1 , . . . , en1 } V1 :n ja {f1 , . . . , fn2 } V2 :n kanta. Tensoritulon määritelmän mukaan vektorit t(ei , fj ) muodostavat W :n ja vektorit t0 (ei , fj ) W 0 :n kannan. Olkoon h se lineaarikuvaus W → W 0 , jolla h(t(ei , fj )) = t0 (ei , fj ) ∀ i, j . Selvästi se täyttää vaaditut ehdot. 2 Jatkossa käytämme tensoritulolle merkintää V1 ⊗ V2 ja tensorikuvausta t merkitsemme t(x, y) = x⊗y . Kun kannat {e1 , . . . , en1 } ja {f1 , . . . , fn2 } ovat kuten edellä, niin tensoritulolla V1 ⊗ V2 on siis kanta {ei ⊗ fj | i = 1, . . . , n1 , j = 1 . . . , n2 }, (2.23) ja dim(V1 ⊗ V2 ) = dim(V1 ) dim(V2 ). Kuvauksen t bilineaarisuus merkitsee, että µX ¶ µX ¶ X n m n X m ri xi ⊗ sj yj = ri sj xi ⊗ yj (ri , sj ∈ C, xi ∈ V1 , yj ∈ V2 ), i=1

j=1

(2.24)

i=1 j=1

ja tämä antaa seuraavat laskusäännöt V1 ⊗ V2 :ssa:    (x1 + x2 ) ⊗ y = x1 ⊗ y + x2 ⊗ y, x ⊗ (y1 + y2 ) = x ⊗ y1 + x ⊗ y2 ,   rx ⊗ y = x ⊗ ry = r(x ⊗ y) (r ∈ C).

(2.25)

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

36

Huomautus 2.7.4 Kannasta (2.23) nähdään, että tensoritulon V1 ⊗ V2 alkiolla w on aina yksikäsitteinen esitys muodossa

w =

n2 n1 X X

rij ei ⊗ fj

(2.26)

(rij ∈ C).

i=1 j=1

Summassa on n1 n2 termiä. Samalla alkiolla on muunkinlaisia esityksiä, kun ei pitäydytä vain kanta-alkioihin ei ja fj . Esimerkiksi laskusääntöjen (2.25) avulla saadaan w = P P ( i rij ei ) ⊗ fj . Tässä termejä voidaan vielä termejä yhdistellä, jos jotkin vektoreista Pj i rij ei ovat lineaarisesti riippuvia. Näin jatkamalla w :lle saadaan lopulta esitysmuotoja k X

xi ⊗ yi

(2.27)

(xi ∈ V1 , yi ∈ V2 , k ≥ 0),

i=1

missä k ≤ n1 , n2 . Nämä esitysmuodot eivät ole yksikäsitteisiä, ei edes vaikka k olisi minimaalinen; emme kuitenkaan tutki tätä tarkemmin. Huomaa erityisesti, ettei avaruuden V1 ⊗ V2 yleinen alkio ole muotoa x ⊗ y vaan summamuotoa (2.26) tai (2.27).

Esimerkki 2.7.5 a) 0 ⊗ y = x ⊗ 0 = 0V1 ⊗V2 . b) x1 ⊗ y1 + x2 ⊗ y2 = (x1 + x2 ) ⊗ y1 + x2 ⊗ (−y1 + y2 ).

Esimerkki 2.7.6 e1 ⊗ f1 + 2e1 ⊗ f2 + 3e2 ⊗ f1 + 4e2 ⊗ f2 = e1 ⊗ (f1 + 2f2 ) + e2 ⊗ (3f1 + 4f2 ), e1 ⊗ f1 + 2e1 ⊗ f2 + 2e2 ⊗ f1 + 4e2 ⊗ f2 = e1 ⊗ (f1 + 2f2 ) + e2 ⊗ (2f1 + 4f2 ) = (e1 + 2e2 ) ⊗ (f1 + 2f2 ).

Lause 2.7.7 (Tensoritulon universaalisuusominaisuus) Jos ϕ : V1 × V2 → U on bilineaarikuvaus, niin on yksikäsitteinen sellainen lineaarikuvaus F : V1 ⊗ V2 → U , että

t

........ ............ ............ ............

V1 ×V2 ..

............ ............ ............ . ......

ϕ

F (x ⊗ y) = ϕ(x, y)

(2.28)

∀ x ∈ V1 , y ∈ V2 ,

V1 ⊗V2 F ...

U

toisin sanoen ϕ = F t. Todistus. Olkoon {e1 , . . . , en1 } V1 :n ja {f1 , . . . , fn2 } V2 :n kanta. Lineaarikuvaus F voidaan määritellä tensoritulon V1 ⊗ V2 kannan {ei ⊗ fj | i = 1, . . . , n1 , j = 1 . . . n2 } avulla: µX ¶ X F rij ei ⊗ fj = rij ϕ(ei , fj ) (rij ∈ C). i,j

i,j

Tämä toteuttaa ehdon (2.28), sillä kun x =

x⊗y =

µX i

¶ ri ei

⊗

P

i ri ei

µX j

ja y =

¶ sj fj

=

P

X i,j

j

sj fj , niin

ri sj ei ⊗ fj ,

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA ja saadaan

F (x ⊗ y) = F

µX

¶ ri sj ei ⊗ fj

=

X

ri sj ϕ(ei , fj ) = ϕ

i,j

i,j

37

µX

ri ei ,

i

X

¶ si fj

= ϕ(x, y).

j

Lisäksi F on yksikäsitteinen, sillä ehto (2.28) määrää kanta-alkioiden kuvat F (ei ⊗ fj ).

2

Pisteissä (x, y) ehto F t = ϕ antaa F (x ⊗ y) = ϕ(x, y). Yleiselle alkiolle, käyttäen lauseketta (2.27), saamme k k ³X ´ X F xi ⊗ yi = ϕ(xi , yi ). (2.29) i=1

i=1

2.7.2 Modulien ja esitysten tensoritulo Lause 2.7.8 Olkoot V1 ja V2 G-moduleja. Ehto g · (x ⊗ y) = (g · x) ⊗ (g · y)

(g ∈ G, x ∈ V1 , y ∈ V2 )

(2.30)

määrittelee modulikertolaskun G × (V1 ⊗ V2 ) → V1 ⊗ V2 , tehden V1 ⊗ V2 :sta G-modulin. Todistus. Tarkastellaan ensin kiinnitettyä G:n alkiota g . Kuvaus F : V1 × V2 → V1 ⊗ V2 , (x, y) 7→ (g · x , g · y), on selvästi bilineaarinen. Lauseen 2.7.7 nojalla saadaan lineaarikuvaus Fe : V1 ⊗ V2 → V1 ⊗ V2 , jossa Fe(x ⊗ y) = g · x ⊗ g · y . Merkitään g · w = Fe(w) ∀ w ∈ V1 ⊗ V2 : g · (x ⊗ y) = Fe(x ⊗ y) = g · x ⊗ g · y. Näin on saatu yhden g :n operointi avaruudessa V1 ⊗ V2 , ja se on V1 ⊗ V2 :n alkion suhteen lineaarinenkin. Jotta kyseessä olisi ryhmän modulikertolasku, vielä pitää kaksi ehtoa tarkistaa: 1 · w = w ja gh · w = g · (h · w) ∀ w ∈ V1 ⊗ V2 , g, h ∈ G. Operoinnin lineaarisuuden johdosta riittää tehdä tämä muotoa x ⊗ y oleville alkioille. Ensinnäkin 1 · (x ⊗ y) = (x ⊗ y). Toiseksi

gh · (x ⊗ y) = (gh · x) ⊗ (gh · y) = (g · (h · x)) ⊗ (g · (h · y)) = g · (h · (x ⊗ y)).

2

Määritelmä 2.7.9 Modulien V1 ja V2 tensoritulo on tensorituloavaruus V1 ⊗V2 varustettuna modulikertolaskulla (2.30). Esitysten ρ1 : G → GL(V1 ) ja ρ2 : G → GL(V2 ) tensoritulo on tensoritulomodulia V1 ⊗ V2 vastaava esitys G → GL(V1 ⊗ V2 ); sitä merkitään ρ1 ⊗ ρ2 . Esitysten avulla kirjoitettuna (2.30) kuuluu

(ρ1 ⊗ ρ2 )(g)(x ⊗ y) = ρ1 (g)(x) ⊗ ρ2 (g)(y)

(g ∈ G, x ∈ V1 , y ∈ V2 ).

(2.31)

Esimerkki 2.7.10 Olkoot V1 ja V2 1-ulotteisia G-moduleja. Silloin G:n operoinnit tapahtuvat joidenkin ryhmähomomorsmien γ1 , γ2 : G → C× välityksellä (esimerkki 2.1.9). Toisin sanoen, V1 :ssä alkion g ∈ G operointi on g · x = γ1 (g)x, ja V2 :ssa operointi on g · y = γ2 (g)y . Operointi 1-ulotteisessa modulissa V1 ⊗ V2 tapahtuu siis säännöllä

g · (x ⊗ y) = (g · x) ⊗ (g · y) = γ1 (g)γ2 (g)(x ⊗ y) = γ(g)(x ⊗ y), missä γ : G → C× on γ1 :n ja γ2 :n pisteittäinen tulo, joka määritellään γ(g) = γ1 (g)γ2 (g).

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

38

2.7.3 Matriisiesitysten tensoritulo Tarkastellaan G-moduleja V1 ja V2 ja tensorituloa V1 ⊗V2 . Olkoot näiden kannat {e1 , . . . , en1 }, {f1 , . . . , fn2 } ja {ei ⊗ fj | i = 1, . . . , n1 , j = 1, . . . n2 } kuten edellä. Olkoot ρ1 , ρ2 ja ρ1 ⊗ ρ2 vastaavat esitykset, ja olkoot R1 , R2 ja R näiden matriisimuodot em. kantojen suhteen. Selvitetään R. (Huomaa, että jotta R olisi yksikäsitteinen, V1 ⊗ V2 :n kannalle pitää sopia jokin järjestys.) Olkoon g ∈ G. Merkitään R1 (g) = (aij ) ja R2 (g) = (bij ). Silloin ³X ´ ³X ´ X (ρ1 ⊗ ρ2 )(g)(ei ⊗ fj ) = ρ1 (g)(ei ) ⊗ ρ2 (g)(fj ) = aki ek ⊗ blj fl = aki blj ek ⊗ fl . k

l

k,l

Siis matriisin R(g) siihen kohtaan, joka on kanta-alkiota ei ⊗fj vastaavan pystyrivin ja kantaalkiota ek ⊗fl vastaavan vaakarivin leikkaus, tulee aki blj . Nähdään, että R(g):hen tulee kaikki tulot aki blj kerran. Kiinnittämällä kanta-alkioille ei ⊗ fj sopiva järjestys matriisiksi R(g) saadaan esimerkiksi R(g) = R1 (g) ⊗ R2 (g), matriisien R1 (g) ja R2 (g) Kroneckerin tulo :

Määritelmä 2.7.11 Matriisien A = (aij )m×m ja B = (bij )n×n Kroneckerin tulo eli tensoritulo A ⊗ B (joskus myös suora tulo ) on mn × mn-matriisi, joka lohkomuodossa esitettynä on   a11 B a12 B . . . a1m B  a B a B ... a B   21  22 2m A ⊗ B = (aij B)m , i,j=1 =   .......................  am1 B am2 B . . . amm B missä lohkot ovat

 ars b11 . . . ars b1n   ars B =  . . . . . . . . . . . . . . . . .  . ars bn1 . . . ars bnn 

(Joskus määritellään toisin päin: A ⊗ B = (Abij )ni,j=1 , joka on tietenkin eri matriisi.)

Esimerkki 2.7.12 Tarkastellaan ryhmää S3 = ht, ci, missä t = (12) ja c = (123), ja sen 2-asteista esitystä ρ : S3 → GL(V ), jonka matriisit ovat µ ¶ µ ¶ −1 1 0 −1 R(t) = , R(c) = 0 1 1 −1 V :n sopivan kannan {e1 , e2 } suhteen (esimerkin 2.4.2 alimoduli). Muodostetaan esityksen ρ ⊗ ρ : S3 → GL(V ⊗ V ) matriisit kannan { e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e2 ⊗ e1 , e2 ⊗ e2 } suhteen.

2.8 Duaaliesitys ja duaalimoduli Meillä on ollut kaksi tapaa konstruoida annetuista esityksistä uusia esityksiä: suora summa ja tensoritulo. Nyt määritellään kolmas: dualisointi. Olkoon V vektoriavaruus yli C:n. Sen duaaliavaruus on

V ∗ = HomC (V, C) = {f : V → C | f on lineaarinen}

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

39

varustettuna tavallisilla vektoriavaruusoperaatioilla (2.15). Seuraava tulos on ehkä tuttu, ja joka tapauksessa todistus on helppo.

Lemma 2.8.1 Olkoon V :llä kanta {e1 , . . . , en }. Määritellään alkiot f1 , . . . , fn ∈ V ∗ ehdosta fi (ej ) = δij (i, j = 1, . . . , n). (i) Joukko {f1 , . . . , fn } on V ∗ :n kanta (kannan {e1 , . . . , en } duaalikanta). Pn (ii) Alkion f ∈ V ∗ esitys duaalikannassa on f = i=1 f (ei )fi . Pn (iii) Alkion x ∈ V esitys kannassa {e1 , . . . , en } on x = i=1 fi (x)ei . Siis dim V ∗ = dim V . Olkoon V G-moduli. Kun g ∈ G ja f ∈ V ∗ , määritellään g · f : V → C asettamalla

(g · f )(x) = f (g −1 · x)

∀ x ∈ V.

On helppo todeta, että g · f on lineaarinen, toisin sanoen g · f ∈ V ∗ . Siis (g, f ) 7→ g · f on kuvaus G × V ∗ → V ∗ . Osoitetaan, että se on modulikertolasku. Kun g, h ∈ G ja f ∈ V ∗ , niin mielivaltaisella alkiolla x ∈ V

(g · (h · f ))(x) = (h · f )(g −1 · x) = f (h−1 · (g −1 · x)) = f ((gh)−1 · x)) = ((gh) · f )(x), joten g · (h · f ) = (gh) · f . Siis tämä moduliaksiooma on voimassa. Muut kaksi ovat ilmeisiä.

Määritelmä 2.8.2 Modulin V duaalimoduli V ∗ on duaaliavaruus V ∗ varustettuna modulikertolaskulla

(g · f )(x) = f (g −1 · x)

(g ∈ G, f ∈ V ∗ , x ∈ V ).

(2.32)

Esityksen ρ : G → GL(V ) duaaliesitys on duaalimodulia V ∗ vastaava esitys, merkitään ρ∗ : G → GL(V ∗ ) (tai ρV ∗ ). (Englannin kielessä käytetään myös nimityksiä contragredient module ja contragredient representation.) Duaaliesityksen lauseke on siis

ρ∗ (g)(f ) = f ◦ ρ(g −1 ) = f ◦ ρ(g)−1

(g ∈ G, f ∈ V ∗ ).

(2.33)

Selvitetään duaaliesityksen matriisimuoto. Olkoon R esityksen ρ matriisimuoto V :n kannan {e1 , . . . , en } suhteen. Merkitään R∗ :llä ρ∗ :n matriisimuotoa duaalikannan {f1 , . . . , fn } ¡ ¢ Pn suhteen. Olkoon g ∈ G ja R(g) = aij (g) , eli ρ(g)(ei ) = k=1 aki (g)ek . Silloin n n ³X ´ X ¡ ¢ ρ∗ (g)(fj )(ei ) = fj ρ(g −1 )(ei ) = fj aki (g −1 )ek = aki (g −1 )δjk = aji (g −1 ), k=1

k=1

¡ ¢ joten lemman 2.8.1 kohdan (ii) mukaan ρ∗ (g)(fj ) = i=1 aji (g −1 )fi . Siis R∗ (g) = aji (g −1 ) , toisin sanoen R∗ (g) = R(g −1 )T = (R(g)−1 ))T = (R(g)T )−1 . (2.34) Pn

LUKU 2. RYHMIEN ESITYSTEORIAN PERUSTEITA

40

Esimerkki 2.8.3 Esimerkissä 2.1.20 löydettiin S3 :n erään permutaatioesityksen ρ matriisimuoto R kannan {e1 , e2 , e3 } suhteen ja laskettiin matriisit R(t) ja R(c), missä t = (12) ja c = (123). Duaalisen esityksen ρ∗ matriisimuodolle R∗ (duaalikannan suhteen) saadaan

R∗ (t) = R(t−1 )T

t2 =1

R∗ (c) = R(c−1 )T

c3 =1

= R(t)T , = (R(c)T )2 ,

ja laskemalla nämä esimerkin 2.1.20 tuloksista todetaan, että R∗ (t) = R(t) ja R∗ (c) = R(c). Koska S3 = ht, ci, seuraa R = R∗ . Siis ρ ' ρ∗ (lause 2.3.8), eli ρ on itseduaalinen esitys.

Esimerkki 2.8.4 Olkoon V 6= {0} G-moduli. Osoitetaan, että modulissa V ∗ ⊗V on sellainen z 6= 0, että t · z = z ∀ t ∈ G (ns. kiintopiste, xed point), nimittäin ainakin z = Siis V ∗ ⊗ V ei ole redusoitumaton, jos dim V > 1.

P

i

f i ⊗ ei .

Luku 3

Karakterit Skalaarikunta on edelleen C. Erityisesti kaikki matriisit ovat kompleksisia.

3.1 Ominaisarvoista ja jäljestä Määritelmä 3.1.1 Matriisin A = (aij )n×n jälki (trace) on tr(A) =

Pn i=1

aii .

Jäljen perusominaisuuksia: (i)

tr(rA) = r tr(A) (r ∈ C);

(ii)

tr(A + B) = tr(A) + tr(B);

(iii)

tr(AT ) = tr(A);

(iv)

tr(AB) = tr(BA) (mutta yleensä tr(ABC) 6= tr(ACB));

(v)

tr(P −1 AP ) = tr(A) (similaareilla matriiseilla on sama jälki);

(vi)

tr(A ⊗ B) = tr(A) tr(B) (Kroneckerin tulo);

(vii)

kun λ1 , . . . , λn ovat A:n ominaisarvot (karakteristisen polynomin juuret), niin

tr(A) = λ1 + · · · + λn ,

det(A) = λ1 · · · λn .

(3.1)

Näistä (i)(iv) todetaan oikeiksi laskemalla, (v) seuraa (iv):stä, ja (vi) saadaan määritel¡P ¢¡P ¢ P mästä 2.7.11: tr(A ⊗ B) = i,j aii bjj = i aii j bjj = tr(A) tr(B). Karakteristinen polynomi on ¯ ¯ ¯ a11 −x a12 . . . a1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ det(A − xI) = ¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ ¯ ¯ ¯ an1 an2 . . . ann −x ¯

= (a11 − x) · · · (ann − x) + termejä joiden aste ≤ n − 2 ¡ ¢ = (−1)n xn − (a11 + · · · + ann )xn−1 + termejä joiden aste ≤ n − 2 ¡ ¢ = (−1)n xn − tr(A)xn−1 + termejä joiden aste ≤ n − 2 , 41

LUKU 3. KARAKTERIT

42

ja toisaalta, koska karakteristisen polynomin juuret ovat λ1 , . . . , λn , niin

det(A − xI) = r(x − λ1 ) · · · (x − λn ) ¡ ¢ = r xn − (λ1 + · · · + λn )xn−1 + termejä joiden aste ≤ n − 2 ; vertaamalla näitä saadaan r = (−1)n ja tr(A) = λ1 + · · · + λn . Sijoittamalla x = 0 yhtälöön det(A − xI) = r(x − λ1 ) · · · (x − λn ) saadaan det(A) = λ1 · · · λn . Matriisin jälki säilyy similaarimuunnoksissa, joten tr(A) = tr(B) jos A ja B ovat saman lineaarikuvauksen τ : V → V matriiseja eri kantojen suhteen. Voidaan siis määritellä:

Määritelmä 3.1.2 Lineaarikuvauksen τ : V → V jälki on tr(τ ) = tr(A), missä A on τ :ta esittävä matriisi jonkin kannan suhteen. Olkoon {e1 , . . . , en } V :n kanta ja {f1 , . . . , fn } V ∗ :n sitä vastaava duaalikanta. Lineaarikuvausta τ : V → V esittää matriisi (aij ), missä aij = fi (τ (ej )). Siis

tr(τ ) =

n X i=1

aii =

n X

fi (τ (ei )).

(3.2)

i=1

Muistetaan, että lineaarikuvauksella τ : V → V on ominaisarvo λ ∈ C ja siihen kuuluva ominaisvektori v ∈ V , jos τ (v) = λv ja v 6= 0. Selvästi τ :n ominaisarvot ovat samat kuin τ :ta esittävän matriisin ominaisarvot, riippumatta käytetystä kannasta; ks. (2.3).

Lemma 3.1.3 Kun A ∈ Mn (C) ja Ak = I jollain k:lla, k > 0, niin A on diagonalisoituva. Todistus. Koska Ak = I , niin Ak−1 = A−1 , joten A ∈ GLn (C). Kuvaus R : Ck = hci → GLn (C), R(ci ) = Ai ∀ i, on Ck :n matriisiesitys, ja sen välityksellä Cn :stä tulee Ck -moduli. Maschken lauseen nojalla se on täydellisesti redusoituva, ja seurauksen 2.6.6 nojalla redusoitumattomat modulit ovat 1-ulotteisia. Siis Cn = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn , missä Vi :t ovat 1-ulotteisia Ck -alimoduleja, ja joissa c siis operoi skalaareina. Tästä saadaan Cn :lle kanta, jonka jäsenet ovat A:n ominaisvektoreita; ks. (2.3). 2 Seuraava lemma pitää paikkansa ilman diagonalisoituvuuttakin, mutta lemman 3.1.3 ansiosta tämä helppo tapaus riittää meille.

Lemma 3.1.4 Olkoon A ∈ Mn (C) diagonalisoituva, ja olkoot λ1 , . . . , λn sen ominaisarvot. −1 (i) Kun A on säännöllinen, A−1 :n ominaisarvot ovat λ−1 1 , . . . , λn .

(ii) Matriisin Ak ominaisarvot ovat λk1 , . . . , λkn (k > 0).

Todistus. Olkoon M −1 AM = diag(λ1 , . . . , λn ). Silloin M −1 Ak M = (M −1 AM ) · · · (M −1 AM ) = (M −1 AM )k = diag(λk1 , . . . , λkn ). Tästä nähdään (ii), sillä similaareilla matriiseilla on samat ominaisarvot ja diagonaalimatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Kun A on säännöllinen, niin λi 6= 0 ∀ i, ja −1 M −1 A−1 M = (M −1 AM )−1 = diag(λ−1 1 , . . . , λn ).

Tämä antaa (i):n.

2

Lemmoja 3.1.4 ja 3.1.3 vastaavat tulokset ovat tietenkin voimassa lineaarikuvauksillekin.

LUKU 3. KARAKTERIT

43

3.2 Esityksen karakteri Määritelmä 3.2.1 Olkoon G ryhmä ja ρ : G → GL(V ) sen esitys, missä V 6= {0}. Esityksen ρ karakteri on kuvaus χ : G → C, joka määritellään χ(g) = tr(ρ(g))

(g ∈ G).

(3.3)

Tarvittaessa merkitään χ = χρ . Sanotaan myös, että χ on modulin V karakteri, merkitään χ = χV . Puhutaan myös lyhyesti ryhmän G karakterista. Karakterin χ aste on ρ:n aste (= dim V ); 1-asteista karakteria sanotaan lineaariseksi. Kun R on esityksen ρ matriisimuoto, niin χρ (g) = tr(ρ(g)) = tr(R(g)) (g ∈ G). Esityksen karakteri löydetäänkin muodostamalla ensin sen matriisimuoto. 2 2 Esimerkki 3.2.2 Tarkastellaan C³2 = ³ ´ ³ ryhmää ´ ´ hci ³= ´{1, c}, c = 1 ja sen modulia V = C ,

x jossa operointi on: 1 · y

y vastaavaa esitystä. x . Merkitään ρ:lla ³ ´ 01 Esitysmatriisit luonnollisen kannan suhteen ovat R(1) = I ja R(c) = 1 0 . Näiden jäljet ovat 2 ja 0. Siis karakteriksi χρ = χV saadaan seuraava kuvaus C2 → C: =

x y

x ja c · y

χρ (1) = 2,

=

χρ (c) = 0.

Esimerkissä 2.1.18 ³ ´ samalle esitykselle tehtiin toinenkin matriisimuoto R1 , jossa R1 (1) = I ja 1 0 R(c) = 0 −1 . Näistä saadaan sama χρ , kuten tietysti pitääkin. Huomaa, että yleisestikin χρ (1) = tr(ρ(1)) = tr(idV ) = tr I = dim V ; siis χρ (1) on aina sama kuin ρ:n aste.

Esimerkki 3.2.3 (1-asteiset karakterit) Olkoon ρ astetta 1 ja olkoon V vastaava moduli (siis dim V = 1) . Silloin ρ(g)(v) = γ(g)v ∀ g ∈ G, v ∈ V jollain ryhmähomomorsmilla ¡ ¢ γ : G → C× (esimerkki 2.1.9). Esitysmatriisit ovat 1 × 1-matriisit γ(g) 1×1 , ja ottamalla näistä jäljet saadaan χρ (g) = γ(g). Siis χρ = γ . Näin ollen 1-asteiset karakterit ovat samat kuin ryhmähomomorsmit G → C× . Ykkösesityksen (eli triviaalin 1-asteisen esityksen, esimerkki 2.1.8) karakteri on χ : G → × C , χ(g) = 1 ∀g . Sitä sanotaan ykköskarakteriksi tai pääkarakteriksi (unit character, principal character), ja merkitään usein 1:llä tai 1G :llä, meillä usein χ1 :llä. Jos esityksen aste on > 1, sen karakteri ei ole koskaan ryhmähomomorsmi G → C× (ks. lause 3.2.9). Yleisesti karakteri voi jopa saada arvoja 0.

Lause 3.2.4 Isomorsilla esityksillä on sama karakteri. Todistus. Katso lause 2.3.8. 2

Esimerkki 3.2.5 Tarkistetaan, että lause pitää paikkansa C2 :n niille kolmelle isomorselle esitykselle, jotka ovat esiintyneet esimerkeissä 2.1.6, 2.1.17, 2.1.18 ja 2.3.14.

LUKU 3. KARAKTERIT

44

Esimerkki 3.2.6 Lasketaan C3 :n säännöllisen esityksen karakteri (esimerkki 2.1.19). Esimerkki 3.2.7 Lasketaan D4 :n sen 2-asteisen esityksen karakteri, joka oli pykälässä 2.1.1 ja esimerkissä 2.1.24.

Lause 3.2.8 Olkoon χ n-asteisen esityksen ρ : G → GL(V ) karakteri. Olkoon g ∈ G ja olkoot λ1 , . . . , λn kuvauksen ρ(g) : V → V ominaisarvot. Silloin (i)

χ(g) = λ1 + · · · + λn ,

(ii)

λi :t ovat k :nsia ykkösenjuuria, missä k = #G;

(iii)

|χ(g)| ≤ χ(1),

(iv)

|χ(g)| = χ(1) ⇔ ρ(g) = r idV (r ∈ C),

(v)

χ(g) = χ(1) ⇔ ρ(g) = idV .

Todistus. Ensimmäinen väite seuraa jäljen ominaisuudesta (vii), sillä χ(g) = tr(ρ(g)). Koska g k = 1, niin ρ(g)k = idV . Lemman 3.1.4 nojalla ρ(g)k :n ominaisarvot ovat λk1 , . . . , λkn , ja toisaalta ne ovat 1, . . . , 1. Siis λki = 1 ∀ i. Silloin |λi | = 1 ∀ i, joten n n ¯X ¯ X ¯ ¯ |χ(g)| = ¯ λi ¯ ≤ |λi | = n = χ(1). i=1

i=1

Kolmioepäyhtälössä on yhtäsuuruus tarkalleen silloin kun λ1 = · · · = λn (ajattele, miten λi :t sijaitsevat yksikköympyrän kehällä), mikä on voimassa tarkalleen silloin kun ρ(g) = λ1 idV . Nimittäin diagonalisoituvan matriisin ominaisarvot ovat kaikki samat (λ1 = · · · = λn ) jos ja vain jos matriisi on λ1 I . Tämä antaa (iv):n, ja nyt (v) seuraa helposti. 2

Lause 3.2.9 Kun χ on G:n karakteri, niin (i)

χ(1) = χ:n aste;

(ii)

χ(g −1 ) = χ(g)

∀g ∈G

(iii)

χ(gh) = χ(hg)

∀ g, h ∈ G;

(iv)

χ(hgh−1 ) = χ(g)

(liittoluku);

∀ g, h ∈ G.

Todistus. Väitteet (iii) ja (iv) tulevat jäljen ominaisuuksista (iv) ja (v), ja väite (i) tulee siitä, että χ(1) = tr(idV ) = tr(I) = dim V (kun χ = χV ). Olkoot λ1 , . . . , λn kuvauksen ρ(g) ominaisarvot. Lauseen 3.2.8 ja lemman 3.1.4 mukaan −1 −1 χ(g) = λ1 +· · ·+λn ja χ(g −1 ) = λ−1 1 +· · ·+λn . Koska λi :t ovat ykkösenjuuria, niin λi = λi . (Perustelu: Jos z ∈ C ja z k = 1, niin |z|k = |z k | = 1, joten |z| = 1 ja siis zz = |z|2 = 1.) Siis (ii) on tosi. 2

LUKU 3. KARAKTERIT

45

Määritelmä 3.2.10 Kuvaus f : G → C on ryhmän G luokkafunktio, jos f (hgh−1 ) = f (g)

∀ g, h ∈ G,

(3.4)

toisin sanoen jos f on vakio kullakin konjugaattiluokalla [g]. Luokkafunktioiden joukkoa merkitään H:lla tai HG :llä. Lauseen 3.2.9 mukaan G:n karakterit ovat luokkafunktioita. Myöhemmin nähdään, että kaikki luokkafunktiot ovat karakterien lineaarikombinaatioita.

Esimerkki 3.2.11 Esimerkki 2.1.20 antaa S3 :lle karakterin χ, jolla χ(1) = 3, χ(t) = 1, χ(c) = 0, missä t = (12) ja c = (123). Koska {1, t, c} on S3 :n konjugaattiluokkien edustajisto, kaikki χ:n arvot tunnetaan jo. 1 c c2 c3 χ1 1 1 1 1 on esitetty viereisessä taulukossa. Esimerkin 3.2.3 mukaan ne ovat χ2 1 i −1 −i × ryhmähomomorsmit G → C ja saadaan siis esimerkistä 2.1.11. χ3 1 −1 1 −1 Karakteri χ1 on ykköskarakteri. χ4 1 −i −1 i Esimerkki 3.2.13 Operoikoon G äärellisessä joukossa X . Olkoon ρ siitä saatava permutaatiokarakteri (esimerkki 2.1.14). Osoitetaan, että sen karakteri χ on

Esimerkki 3.2.12 Ryhmän C4 = hci kaikki 1-asteiset karakterit

χ(g) = #X g

(g ∈ G),

(3.5)

missä X g = #{x ∈ X | g · x = x}. Vastaavalla modulilla on kanta {ex | x ∈ X}, ja G:n operointi on kanta-alkioille g · ex = eg·x (esimerkki 2.1.14). Numeroidaan X = {x1 , . . . , xm }. Olkoon R ρ:n matriisimuoto kannan {ex1 , . . . , exm } suhteen. Koska g · exj = eg·exj , niin R(g) = (aij ), missä aij = 1 jos g · xj = xi , ja aij = 0 muuten. Siis matriisin R(g) jälki on päälävistäjällä olevien ykkösten määrä, tr(R(g)) = #{j ∈ X | g · xj = xj } = #X g . Toisaalta χ(g) = tr(R(g)).

3.3 Suoran summan, tensoritulon ja duaaliesityksen karakterit Kun χ, χ1 ja χ2 ovat G:n karaktereja, määritellään χ1 + χ2 , χ1 χ2 ja χ : G → C:

(χ1 + χ2 )(g) = χ1 (g) + χ2 (g) (χ1 χ2 )(g) = χ1 (g)χ2 (g) χ(g) = χ(g)

(pisteittäinen summa), (pisteittäinen tulo), (liittoluku).

Nämäkin ovat G:n karaktereja:

Lause 3.3.1 Olkoot ρ, ρ1 ja ρ2 G:n esityksiä ja χ, χ1 ja χ2 niiden karakterit. (i) Suoran summan ρ1 ⊕ ρ2 karakteri on χ1 + χ2 .

LUKU 3. KARAKTERIT

46

(ii) Tensoritulon ρ1 ⊗ ρ2 karakteri on χ1 χ2 . (iii) Duaaliesityksen ρ∗ karakteri on χ.

Todistus. Olkoot R, R1 , R2 esitysten ρ, ρ1 , ρ2 matriisimuodot joidenkin kantojen suhteen. Esitysten ρ1 ⊕ ρ2 , ρ1 ⊗ ρ2 ja ρ∗ matriisimuodot on aikaisemmin selvitetty, ja saadaan à ! ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ R1 (g) O tr (ρ1 ⊕ ρ2 )(g) = tr = tr R1 (g) + tr R2 (g) = χ1 (g) + χ2 (g), O R2 (g) ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ tr (ρ1 ⊗ ρ2 )(g) = tr R1 (g) ⊗ R2 (g) = tr R1 (g) tr R2 (g) = χ1 (g)χ2 (g), ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ tr ρ∗ (g) = tr R(g −1 )T = tr R(g −1 ) = χ(g −1 ) = χ(g). 2 Modulien kielellä samat kuuluvat:

χV1 ⊕V2 = χV1 + χV2 ,

χV1 ⊗V2 = χV1 χV2 ,

χV ∗ = χV .

(3.6)

Muistetaan G:n säännöllinen esitys (esimerkki 2.1.12) ja sitä vastaava säännöllinen moduli C[G] (esimerkki 2.2.2).

Lause 3.3.2 Ryhmän G säännöllisen esityksen karakteri χG on ( χG (g) =

#G 0

kun g = 1, kun g ∈ G \ {1}.

(3.7)

Todistus. Tarkastellaan säännöllisen esityksen matriisimuotoa R kannan {eh | h ∈ G} suhteen (esimerkki 2.1.12). Tietenkin R(1) = I ja χG (1) = #G. Kun g 6= 1, niin R(g):n päälä¡ ¢ vistäjäalkiot ovat nollia, sillä g · eh = egh ja g 6= gh; siis χG (g) = tr R(g) = 0. (Todistus saataisiin myös erikoistapauksena esimerkistä 3.2.13.) 2

Esimerkki 3.3.3 Kun dim V = dim V1 = dim V2 = 1, niin dim V ∗ = 1 ja dim(V1 ⊗ V2 ) = 1. Siis, jos χ, χ1 ja χ2 ovat 1-asteisia karaktereja, samoin ovat χ ja χ1 χ2 . Laadi C4 :n karakterien kertotaulu. Se osoittautuu ryhmän kertotauluksi. Minkä ryhmän? Mikä toimii ykkösalkiona? Entä mikä on χi :n käänteisalkio?

Esimerkki 3.3.4 Esimerkin 3.2.12 taulukosta nähdään C4 :n tapauksessa, että χ1 ja χ3 ovat itseduaalisten modulien karaktereja, mutta karaktereja χ2 ja χ4 vastaavat modulit ovat toistensa duaaleja (isomoraa vaille). Lisäksi χG = χ1 + χ2 + χ3 + χ4 . Kun χ = χV ja n ≥ 1, niin nχ = χ + · · · + χ (n termiä) on modulin V ⊕ · · · ⊕ V karakteri.

Esimerkki 3.3.5 Olkoon φ karakteri. Merkitään χ1 :llä ykköskarakteria ja χG :llä säännöllisen esityksen karakteria. Lasketaan tulot χ1 φ = φ ja χG φ = φ(1)χG .

LUKU 3. KARAKTERIT

47

3.4 Karakterien ortogonaalisuus Merkitään F(G, C) = {φ | φ : G → C}. Tästä joukosta saadaan vektoriavaruus yli C:n määrittelemällä operaatiot tuttuun tapaan pisteittäin:

(φ + ψ)(g) = φ(g) + ψ(g),

(rφ)(g) = rφ(g)

(φ, ψ ∈ F(X, C), g ∈ G, r ∈ C).

(3.8)

Sen dimensio on dim F(G, C) = #G. Nimittäin on helppo todeta, että jos G = {g1 , . . . , gn }, niin kuvaus F(G, C) → Cn , φ 7→ (φ(g1 ), . . . , φ(gn )), on lineaarinen ja bijektiivinen. (Toisin: F(G, C):llä on kanta {φ1 , . . . , φn }, missä φi :t määritellään ehdosta φi (gj ) = δij .) Vektoriavaruudessa F(G, C) määritellään sisätulo 1 X φ(g)ψ(g) (φ, ψ ∈ F(G, C)). (3.9) (φ | ψ) = #G g∈G

Huomautus 3.4.1 Sisätulo ( | ) on siis kuvaus F(G, C) × F (G, C) → C. Se toteuttaa ehdot (i)

(φ | φ) ≥ 0

(ii)

( rφ + sψ | θ ) = r( φ | θ ) + s( ψ | θ ) ∀ r, s ∈ C, φ, ψ, θ ∈ F(G, C);

(iii)

( φ | ψ ) = ( ψ | φ ) ∀ φ, ψ ∈ F(G, C).

∀ φ ∈ F(G, C);

( φ | φ ) = 0 ⇔ φ = 0;

Nämä ovat juuri aksioomat, joilla yleisesti määritellään sisätulo kompleksisessa vektoriavaruudessa. Siis F(G, C) on kompleksinen sisätuloavaruus. Me emme kuitenkaan tarvinne tätä tietoa, vaan yleensä käytämme suoraan lauseketta (3.9) tai ominaisuuksia (i)(iii). Kannattaa huomata, että ominaisuuden (ii) mukaan sisätulo on ensimmäisen tekijän suhteen lineaarinen, mutta sen sijaan on (ii')

( φ | rψ + rθ ) = r( φ | ψ ) + s( φ | θ )

∀ r, s ∈ C, φ, ψ, θ ∈ F (G, C).

Meitä ei kiinnosta niinkään F(G, C) kuin sen aliavaruutena oleva luokkafunktioiden joukko H (määritelmä 3.2.10) ja tämän alkioina olevat karakterit. Sisätulon (3.9) restriktio H × H → C on H:n sisätulo, joten myös H on kompleksinen sisätuloavaruus.

Lause 3.4.2 Olkoot V1 ja V2 G:n redusoitumattomia moduleja ja χ1 ja χ2 niiden karakterit. Silloin

( ( χ1 | χ2 ) =

0 1

jos V1 6' V2 , jos V1 ' V2 .

Todistus. Lauseen 3.2.9 kohdan (ii) avulla karakterien sisätulo saadaan muotoon 1 X 1 X ( χ1 | χ2 ) = χ1 (g)χ2 (g) = χ1 (g)χ2 (g −1 ). #G #G g∈G g∈G Tarkastellaan ensin tapausta V1 6' V2 . Olkoot R1 ja R2 ko. esitysten matriisimuodot ¡ ¢ ¡ ¢ joidenkin kantojen suhteen. Merkitään R1 (g) = aij (g) ja R2 (g) = bij (g) . Silloin χ1 (g) = P P tr(R1 (g)) = i aii (g) ja χ2 (g) = tr(R2 (g)) = k bkk (g), joten

( χ1 | χ2 ) =

n n n ´³ X ´ ´ 1 X³ X 1 X³X aii (g) aii (g)bkk (g −1 ) . bkk (g −1 ) = #G #G i=1 g∈G

k=1

i,k=1

g∈G

LUKU 3. KARAKTERIT

48

Schurin relaatioiden mukaan tämä on 0 (lause 2.6.7(i)). Olkoon nyt V1 ' V2 . Olkoon f : V1 → V2 moduli-isomorsmi. Valitaan V1 :lle jokin kanta {e1 , . . . , en } ja käytetään V2 :lle kantaa {f (e1 ), . . . , f (en )}. Silloin näiden kantojen suhteen muodostetut matriisimuodot ovat samat, siis yo. merkinnöin aij (g) = bij (g) ∀ i, j, g . Nyt yo. laskelmasta ja Schurin relaatioiden tapauksesta (ii) saadaan n ³ n ´ X X 1 X 1 −1 ( χ1 | χ2 ) = aii (g)akk (g ) = δik δik = 1. #G n i,k=1

g∈G

2

i,k=1

Seuraus 3.4.3 Olkoon V G-moduli ja V = W1 ⊕· · ·⊕Wr sen hajotelma redusoitumattomien alimodulien suorana summana. Olkoon S jokin redusoitumaton G-moduli. Silloin #{ j ∈ {1, . . . , r} | Wj ' S} = ( χV | χS ).

(3.10)

Todistus. Koska V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wr niin χV = χW1 + · · · + χWr (lause 3.3.1), joten ( χV | χS ) = ( χW1 + · · · + χWr | χS ) = ( χW1 | χS ) + · · · + ( χWr | χS ) (huomautuksen 3.4.1 ominaisuus (ii)). Seurauksen 3.4.2 nojalla ( χWi | χS ) on 1 tai 0, sen mukaan onko Wi ' S vai Wi 6' S . 2

Seuraus 3.4.4 Jos V1 ja V2 ovat G-moduleja ja χ1 ja χ2 niiden karakterit, niin V1 ' V2

⇐⇒

χ1 = χ2 .

(3.11)

Todistus. Lauseen 3.2.4 mukaan isomorsilla esityksillä on sama karakteri. Oletetaan kääntäen, että moduleilla V1 ja V2 sama karakteri; siis χV1 = χV2 . Kirjoitetaan modulit redusoitumattomien alimodulien suorina summina: V1 = W1 ⊕· · ·⊕Wr ja V2 = W10 ⊕· · ·⊕Ws0 . Valitaan sellaiset redusoitumattomat G-modulit S1 , . . . , St , että keskenään ne ovat epäisomorset ja että jokainen moduleista W1 , . . . , Wr , W10 , . . . , Ws0 on isomornen jonkin Si :n kanssa. (Esimerkiksi voidaan valita moduleista W1 , . . . , Ws0 maksimaalinen määrä epäisomorsia.) Seurauksen 3.4.3 mukaan kukin Sj esiintyy (isomoraa vaille) suorassa summassa V1 = W1 ⊕ · · · ⊕ Wr ( χV1 | χSj ) kertaa ja suorassa summassa V2 = W10 ⊕ · · · ⊕ Ws0 ( χV2 | χSj ) kertaa. Nämä ovat samat, koska χV1 = χV2 . Siis suorissa summissa on isomoroita ja järjestystä vaille samat yhteenlaskettavat. Seuraa, että V1 ' V2 . 2 Redusoitumattomien esitysten karaktereja kutsutaan redusoitumattomiksi karaktereiksi. Maschken lauseesta seuraa, että jokainen karakteri χ on joidenkin redusoitumattomien karakterien summa ; nimittäin χ = χV jollain modulilla V , ja koska V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wr , missä Wi :t ovat redusoitumattomia alimoduleja, niin χV = χW1 + · · · + χWr , ja tässä χWi :t ovat redusoitumattomia karaktereja.

Seuraus 3.4.5 (Karakterien ortogonaalisuusrelaatiot) Kun χ1 ja χ2 ovat redusoitumattomia karaktereja, niin

( ( χ1 | χ2 ) =

0 1

jos χ1 6= χ2 , jos χ1 = χ2 .

(3.12)

LUKU 3. KARAKTERIT

49

Todistus. Yhdistetään lause 3.4.2 ja seuraus 3.4.4.

2

Seuraus 3.4.6 Karakteri χ on redusoitumaton jos ja vain jos ( χ | χ ) = 1. Todistus. Jos χ on redusoitumaton, niin seurauksen 3.4.5 mukaan ( χ | χ ) = 1. Jos taas χ on redusoituva, niin χ = χ1 + · · · + χr , missä χi :t ovat redusoitumattomia karaktereja ja r > 1, ja saadaan (χ | χ) =

r X

( χi | χj ) = r +

X ( χi | χj ) ≥ r > 1.

i,j=1

2

i6=j

Seuraus 3.4.5 sanoo, että redusoitumattomat karakterit muodostavat H:ssa ortonormaalisen joukon sisätulon ( | ) suhteen. Tavalliseen tapaan tästä seuraa, että ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska dim H ≤ dim F(G, C) = #G, niin redusoitumattomia karaktereja on vain äärellinen määrä.

Esimerkki 3.4.7 Esimerkin 3.2.11 karakterille saadaan (χ | χ) =

1 X 1 |χ(α)|2 = (32 + 3 · 12 + 2 · 02 ) = 2. 6 4 α∈S3

Seuraa, että χ = χ1 + χ2 , missä χ1 ja χ2 ovat redusoitumattomia ja χ1 6= χ2 . (Miksi?) Siis vastaava moduli V hajoaa V = W1 ⊕W2 , missä alimodulit W1 ja W2 ovat redusoitumattomia ja keskenään epäisomorsia. Sellaiset alimodulit löydettiinkin esimerkissä 2.4.2.

Esimerkki 3.4.8 Osoitetaan, että jos V on redusoitumaton G-moduli, samoin on V ∗ . Esimerkki 3.4.9 Osoitetaan, että jos V ja W ovat G-moduleja, missä dim V = 1 ja W on redusoitumaton, niin V ⊗ W on redusoitumaton.

Esimerkki 3.4.10 Tulkitaan esimerkin 3.3.5 yhtälöt moduli-isomorsmeina. Esimerkki 3.4.11 Osoitetaan, että χ1 (χ2 + χ3 ) = χ1 χ2 + χ1 χ3 , kun χi :t ovat karaktereja. Mitä tämä merkitsee modulien kannalta? Olkoot χ1 , . . . , χk G:n (erisuuret) redusoitumattomat karakterit. Valitaan sellaiset Gmodulit S1 , . . . , Sk , että χSi = χi ∀ i. Silloin S1 , . . . , Sk ovat eräs redusoitumattomien Gmodulien isomoraluokkien edustajisto. Tämä tarkoittaa, että Si :t ovat redusoitumattomia ja että jokainen redusoitumaton moduli on isomornen tarkalleen yhden Si :n kanssa; ks. seuraus 3.4.4. Tarkastellaan mielivaltaista G-modulia V . Se on redusoitumattomien alimodulien suora summa V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wr . Kukin Wj on isomornen jonkin Si :n kanssa. Merkitään mi = #{ j ∈ {1, . . . , r} | Wj ' Si }. Sanotaan, että redusoitumaton moduli Si esiintyy modulissa V mi kertaa tai että mi on Si :n multiplisiteetti V :ssä. Yhdistämällä keskenään isomorset yhteenlaskettavat voidaan kirjoittaa

V '

k M i=1

mi Si ,

(3.13)

LUKU 3. KARAKTERIT

50

missä mi Si tarkoittaa suoraa summaa Si ⊕ · · · ⊕ Si (mi termiä). Isomorsmi (3.13) on ekvivalentti karakterin χV hajotelman

χV =

k X

(3.14)

mi χi

i=1

kanssa (lause 3.3.1 ja seuraus 3.4.4). Sanotaan myös, että redusoitumaton karakteri χi esiintyy karakterissa χV mi kertaa tai että mi on χi :n multiplisiteetti χV :ssä. Multiplisiteettien mi löytämiseksi ei siis välttämättä tarvitse tutkia V :n rakennetta, vaan riittää tuntea tässä esiintyvät karakterit. Seurauksen 3.4.3 mukaan multiplisiteetit voidaan laskea sisätuloinakin: mi = ( χV | χSi ) = ( χV | χi ). (3.15) Yleisesti luokkafunktioille ( φ | ψ ) = ( ψ | φ ), mutta karakterien sisätulot ( χV1 | χV2 ) ovat seurauksen 3.4.5 mukaan reaalisia (jopa kokonaislukuja ≥ 0), joten ( χV1 |χV2 ) = ( χV2 |χV1 ). Siis modulin V karakterille χV saadaan

χV =

k k X X ( χV | χi )χi = ( χi | χV )χi . i=1

(3.16)

i=1

Ortogonaalisuusrelaatiot (3.12) voidaan kirjoittaa

( χi | χj ) =

1 X χi (g)χj (g) = δij #G

(i, j = 1, . . . , k).

(3.17)

g∈G

Lause 3.4.12 Olkoot χ1 , . . . , χk redusoitumattomat G:n karakterit ja olkoon χG säännöllisen modulin C[G] karakteri. Olkoon χi = χSi ja ni = χi (1) = dim Si . Silloin χG =

k X

ni χi ,

(3.18)

ni Si ,

(3.19)

i=1

C[G] '

k M i=1

missä ni Si tarkoittaa suoraa summaa Si ⊕ · · · ⊕ Si (ni termiä). Todistus. Riittää osoittaa, että ( χG | χi ) = ni . Karakteri χG löydettiin lauseessa 3.3.2. Saadaan 1 X 2 χG (g)χi (g) = χi (1) = ni = ni . ( χG | χi ) = #G g∈G

Erityisesti kaikki redusoitumattomat G-modulit löytyvät C[G]:n sisältä (isomoraa vaille).

Seuraus 3.4.13 Kun χ1 , . . . , χk ovat redusoitumattomat G:n karakterit ja n1 , . . . , nk niiden asteet, niin

k X i=1

n2i = #G;

k X i=1

ni χi (g) = 0

kun g 6= 1.

(3.20)

LUKU 3. KARAKTERIT

51

Esimerkki 3.4.14 Symmetrisen ryhmän S4 kertaluku on 24, joten redusoitumattomien ka-

P rakterien asteet ni toteuttavat i n2i = 24. Oletetaan n1 ≤ n2 ≤ · · · . Astetta 1 olevat karakterit ovat ryhmähomomorsmit S4 → C× (esimerkki 3.2.3). Niitä on kaksi: ykköskarakteri ja merkkikarakteri sign. (Perustelu: Olkoon γ : S4 → C× ryhmähomomorsmi. Ensinnäkin S4 on transpositioiden (i j) generoima (i, j = 1, 2, 3, 4; i 6= j ), joten γ määräytyy jo niiden kuvista γ((i j)). Toiseksi transpositiot ovat konjugoidut S4 :ssä, joten kaikki γ((i j)):t ovat samat. Kolmanneksi (i j)2 = 1, joten γ((i j))2 = 1 ja siis γ((i j)) = ±1. Jos γ((i j)) = 1, γ on ykköskarakteri. Jos γ((i j)) = −1, γ on merkkikarakteri, γ = sign.) P 2 Näin ollen n1 = n2 = 1 ja i≥3 ni = 22, missä ni > 1. Ainoa ratkaisu on n3 = 2, n4 = n5 = 3. Siis S4 :n redusoitumattomien karakterien asteet ovat 1, 1, 2, 3, 3.

3.5 Luokkafunktioavaruus Merkitään G:n konjugaattiluokkia C1 , . . . , Ck0 . (Huom. Kohta osoitetaan, että k 0 = k , sama kuin redusoitumattomien karakterien määrä.) Muistetaan luokkafunktioavaruuden määritelmä 3.2.10:

H = {f : G → C | f on luokkafunktio } = {f : G → C | f (hgh−1 ) = f (g) ∀ g, h ∈ G }. Tämä on vektoriavaruus (F(G, C):n aliavaruus), jossa on määritelty sisätulo (3.9).

Huomautus 3.5.1 Helposti nähdään, että H:lla on kanta {f1 , . . . , fk0 },

( missä fi (g) =

1 0

jos g ∈ Ci , jos g ∈ 6 Ci .

(3.21)

Valitsemalla konjugaattiluokista edustajat ci ∈ Ci voidaan mielivaltainen luokkafunktio f Pk0 lausua f = i=1 f (ci )fi ; tämä on f :n kantaesitys. Tämä kanta on jopa ortogonaalinen, sillä laskemalla todetaan #Ci ( fi | fj ) = δij (i, j = 1, . . . , k 0 ); (3.22) #G 1

siis normalisoimalla saadaan H:lle ortonormaalikanta {(#G/#Ci ) 2 fi | i = 1, . . . , k 0 }. Seuraava kanta on tärkeämpi:

Lause 3.5.2 Redusoitumattomat karakterit muodostavat H:n ortonormaalikannan. Todistus. Koska redusoitumattomat karakterit χ1 , . . . , χk ovat luokkafunktioita ja ortonormaalisia, on enää todistettava, että ne virittävät H:n. Olkoon f ∈ H sellainen, että ( f | χ ) = 0 kaikilla karaktereilla χ. Osoitetaan, että tästä seuraa f = 0. Olkoon V G-moduli ja ρV sitä vastaava esitys. Määritellään kuvaus F = Ff,V : V → V , P F = g∈G f (g)ρV (g), eli X F (v) = f (g) g · v ∀ v ∈ V. (3.23) g∈G

LUKU 3. KARAKTERIT

52

Kuvaus F on modulihomomorsmi sillä se on lineaarinen ja kun h ∈ G niin X X X X h · F (v) = f (g)hg · v = f (hgh−1 )hg · v = f (gh−1 )g · v = f (g)gh · v = F (h · v), g

g

g

g

missä käytettiin sitä, että f on luokkafunktio. Kirjoitetaan V = W1 ⊕· · ·⊕Wr , missä Wi :t ovat redusoitumattomia alimoduleja. Merkitään ρWi :llä Wi :tä vastaavaa aliesitystä; siis ρWi (g) = ρV (g)|Wi : Wi → Wi . Lausekkeesta (3.23) nähdään, että F (Wi ) ⊆ Wi . Restriktioina saadaan F |Wi : Wi → Wi , ja koska nämä ovat modulihomomorsmeja ja Wi :t ovat redusoitumattomia, niin F |Wi = ri idWi joillain skalaareilla ri (Schurin lemma). Osoitetaan, että ri = 0. Koska P F |Wi = g f (g)ρWi (g), niin ³X ´ X ¡ ¢ ¡ ¢ X f (g)χWi (g) = #G( f | χW ) = 0 tr F |Wi = tr f (g)ρWi (g) = f (g) tr ρWi (g) = g

g

g

i

oletuksen nojalla. Toisaalta tr(F |Wi ) = tr(ri idWi ) = ri dim(Wi ). Näin ollen ri = 0. Siis F |Wi = 0 ∀ i, joten F on nollakuvaus. Sovelletaan tätä säännölliseen moduliin V = C[G], jolla on kanta {eh | h ∈ G} (esimerkki 2.1.12). Koska F : C[G] → C[G] on 0, niin X X 0 = F (e1 ) = f (g) g · e1 = f (g)eg , g

g

joten f (g) = 0 ∀ g . Toisin sanoen f = 0, kuten väitettiin. Pk Olkoon vihdoin f ∈ H mielivaltainen luokkafunktio. Merkitään f˜ = f − i=1 ( f | χi )χi . Seurauksen 3.12 mukaan ( f˜ | χj ) = 0 (j = 1, . . . k ), joten ( f˜ | χ ) = 0 kaikilla karaktereilla χ Pk ( f | χ )χ . 2 (ks. 3.14). Näin ollen f˜ = 0, eli f = i=1

i

i

Nyt H:lle on löydetty kaksi kantaa (huomautus 3.5.1 ja lause 3.5.2), ja koska niissä siis on yhtä monta alkiota, saadaan:

Seuraus 3.5.3 Redusoitumattomien karakterien lukumäärä on sama kuin konjugaattiluokkien lukumäärä. Toisin sanoen eo. merkinnöin k = k 0 . Olkoot redusoitumattomat karakterit χ1 , . . . , χk . Koska ne muodostavat H:n kannan, niin Pk jokainen luokkafunktio f voidaan esittää muodossa f = i=1 ri χi (ri ∈ C). Ortogonaalisuusrelaatioista (3.12) seuraa ( f | χj ) = rj . Näin ollen k X f = ( f | χi )χi

(3.24)

i=1

(vrt. (3.16)). Kun f ∈ H, f 6= 0, niin f on karakteri tarkalleen silloin kun kertoimet ( f | χi ) ovat epänegatiivisia kokonaislukuja.

Seuraus 3.5.4 Alkiot g, h ∈ G ovat konjugoituja tarkalleen silloin, kun χ(g) = χ(h) kaikilla redusoitumattomilla karaktereilla χ.

LUKU 3. KARAKTERIT

53

Todistus. Jos g ja h ovat konjugoituja, niin χ(g) = χ(h) lauseen 3.2.9 mukaan. Kääntäen, jos χ(g) = χ(h) kaikilla redusoitumattomilla karaktereilla, niin lauseen 3.5.2 nojalla f (g) = f (h) kaikilla luokkafunktioilla f , ja koska H:lla on kanta (3.21), niin g ja h ovat konjugoituja. 2

Huomautus 3.5.5 Varustetaan H vielä pisteittäisellä tulollakin H × H → H: (f1 f2 )(g) = f1 (g)f2 (g)

(3.25)

(f1 , f2 ∈ H, g ∈ G).

(Tarkista, että f1 f2 ∈ H.) Tämä yleistää karakterien pisteittäisen tulon pykälän 3.3 alussa. Näin H:sta tulee assosiatiivinen C-algebra (määritelmä 5.1.1 jäljempänä). Tätä varten pitäisi osoittaa, että H:ssa määritellyt operaatiot (summa, tulo ja skalaarilla kertominen) toteuttavat vaadittavat aksioomat, kuten tulon assosiatiivisuuden ja niin edelleen. Sen jälkeen voidaan H:ssa suorittaa esimerkiksi seuraava lasku: kun ψ ∈ H, niin

(1 + ψ)2 = 1 + 2ψ + ψ 2 , missä 1 on ykköskarakteri (joka toimii H:n ykkösalkiona). Vertaa esimerkkiin 3.4.11.

3.6 Karakteritaulu Ryhmän karakteritauluksi sanotaan taulukkoa, joka esittää redusoitumattomien karakterien arvot konjugaattiluokilla (tai niiden edustajilla). Huomaa seuraus 3.5.4.

Esimerkki 3.6.1 Selvitetään S3 :n karakteritaulu. Kuten aikaisemmin, S3 = ht, ci, missä t = (12) ja c = (123). Konjugaattiluokkien eräs edustajisto on {1, t, c}, joten G:llä on kolme P redusoitumatonta karakteria. Yhtälöstä #G = i n2i eli 6 = n21 + n22 + n23 nähdään, että asteet ovat 1, 1, 2. 1-asteiset karakterit χ ovat ryhmähomomorsmit S3 → C× , ja koska t2 = 1, c3 = 1 ja tc = c2 t, niin χ(t)2 = 1,

χ(c)3 = 1,

χ(t)χ(c) = χ(c)2 χ(t).

Siis χ(t) = ±1 ja χ(c) = 1. Tämä antaa karakterit χ1 ja χ2 . Lisäksi on yksi 2-asteinen karakteri χ3 . Lauseen 3.4.12 mukaan

χ1 χ2 χ3

1 t c 1 1 1 1 −1 1 2 0 −1

χ1 + χ2 + 2χ3 = χG josta χ3 saadaan. Vertaa esimerkkiin 2.4.2.

Esimerkki 3.6.2 Laaditaan S3 :n redusoitumattomien karakterien kertotaulu. (Nimittäin χV1 χV2 = χV1 ⊗V2 on karakteri, siis redusoitumattomien karakterien lineaarikombinaatio).

Lause 3.6.3 Olkoot χ1 , . . . , χk redusoitumattomat G:n karakterit. Silloin k X i=1

  χi (g)χi (h) =

0, #G  , #[g]

jos g ja h eivät ole konjugaattialkioita, jos g ja h ovat konjugaattialkioita.

(3.26)

LUKU 3. KARAKTERIT

54

Todistus. Olkoon Cj konjugaattiluokka ja olkoon fj vastaava kannan (3.21) alkio. Kiinnitetään c0 ∈ Cj ; siis Cj = [c0 ]. Kun g ∈ G, niin fj (g) =

k X

( fj | χi )χi (g) =

i=1

=

1 #G

k 1 XX fj (g 0 )χi (g 0 ) χi (g) #G i=1 0 g ∈G

k X

X

χi (g 0 ) χi (g) =

i=1 g 0 ∈Cj

k #Cj X χ (c0 ) χi (g). #G i=1 i

Pk Ensimmäinen yhtäsuuruus tuli kaavasta (3.24) jonka mukaan fj = i=1 ( fj | χi )χi , toinen sisätulon määritelmästä (3.9), kolmas fj :n määritelmästä (3.21) ja viimeinen siitä, että χi on vakio konjugaattiluokalla Cj . Väite seuraa nyt fj :n määritelmästä (3.21). 2

Huomautus 3.6.4 Relaatioita (3.26) sanotaan myös 2. ortogonaalisuusrelaatioiksi ja relaatioita (3.12) 1. ortogonaalisuusrelaatioiksi. (Nimitykset vaihtelevat eri kirjoissa.) Relaatiot (3.12) koskevat karakteritaulun vaakarivejä ja relaatiot (3.26) pystyrivejä.

3.7 Modulin kanoninen hajotelma Olkoot χ1 , . . . , χk ryhmän G redusoitumattomat karakterit ja n1 , . . . , nk niiden asteet. Valitaan redusoitumattomat G-modulit S1 , . . . , Sk , joilla on karakterit χ1 , . . . , χk ; siis kyseessä on eräs redusoitumattomien modulien isomoraluokkien edustajisto, ja dim Si = ni = χi (1). Olkoon V mielivaltainen G-moduli. Maschken lauseen mukaan (3.27)

V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wt ,

missä Wj :t ovat jotkin V :n redusoitumattomat alimodulit. Tämä hajotelma ei ole yksikäsitteinen, sikäli että kyseiset alimodulit voi yleensä valita monella tavalla. (Modulit Wj ovat kyllä isomoraa ja järjestystä vaille yksikäsitteiset seurauksen 3.4.3 mukaan.) Kukin Wj on isomornen jonkin Si :n kanssa. Yhdistetään summassa keskenään isomorset Wj :t: M V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk , missä Vi = Wj (i = 1, . . . , k). (3.28) Wj 'Si

(Jos yksikään alimoduli Wj ei ole ' Si , niin Vi = {0}.) Hajotelma V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk on V :n kanoninen hajotelma ja Vi on V :n Si -homogeeninen osa tai Si -homogeeninen komponentti (tai χi -homogeeninen ). Jos vain yksi Vj 6= {0}, sanotaan, että V on homogeeninen (tai isotyyppinen ). Hajotelmaan V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk liittyvät projektiot pi : V → V määritellään

pi (v) = vi

kun v = v1 + · · · + vk ,

Tarvittaessa näitä voidaan katsoa kuvauksina V → Vi .

v j ∈ Vj .

(3.29)

LUKU 3. KARAKTERIT

55

Lause 3.7.1 Olkoon V G-moduli ja olkoon ρV : G → GL(V ) vastaava esitys. Kanoniseen hajotelmaan V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk liittyvät projektiot pi ovat ni X pi = χi (g) ρV (g) (i = 1, . . . , k), #G g∈G eli modulikertolaskun avulla kirjoitettuna ni X pi (v) = χi (g) g · v #G g∈G

(3.30)

(i = 1, . . . , k; v ∈ V ).

(3.31)

Todistus. Tarkastellaan yhtä i:n arvoa. Merkitään n = #G, ja olkoon ni X qi = χi (g) ρV (g) n g∈G (väitteen oikea puoli). Koska χi on luokkafunktio, qi on modulihomomorsmi, mikä nähdään samanlaisella laskelmalla kuin lauseen 3.5.2 todistuksessa kuvauksen F homomorsuus. Tarkastellaan V :n mielivaltaista redusoitumatonta alimodulia W . Olkoon ρW : G → GL(W ) sen esitys, siis ρW (g) = ρV (g)|W : W → W . Silloin ni X qi |W = χi (g) ρW (g). n g∈G

Koska qi (W ) ⊆ W , voidaan katsoa, että qi |W on kuvaus W → W , ja tietenkin sekin on modulihomomorsmi. Schurin lemman nojalla qi |W = r idW (r ∈ C), joten tr(qi |W ) = tr(r idW ) = rnW , missä nW = dim W . Toisaalta ( ¡ ¢ ni X ni jos W ' Si ni X tr(qi |W ) = χi (g) tr ρW (g) = χi (g) χW (g) = ni ( χW | χi ) = n n 0 jos W 6' Si g∈G g∈G karakterien ortogonaalisuuden perusteella. Siis r on 1 tai 0 sen mukaan, onko W ' Si vai W 6' Si . Seuraa ( idW jos W ' Si , qi |W = (3.32) 0 jos W 6' Si . Soveltamalla tätä hajotelman (3.27) moduleihin Wk saadaan ( L id jos Wk ' Si eli jos Wk on summassa Vi = j Wj , qi |Wk = 0 muuten. Tämä merkitsee, että qi = pi .

2

Seuraus 3.7.2 Modulin kanoninen hajotelma on riippumaton siitä, miten hajotelma (3.27) on valittu. Tarkemmin sanoen, käyttäen eo. merkintöjä, ´ ³X χi (g) ρV (g) = Vi = Im(pi ) = Im g∈G

X U ⊆ V alimod U 'Si

U.

(3.33)

LUKU 3. KARAKTERIT

56

Todistus. Väitteet ovat muuten selviä, paitsi että pitää perustella, että kun U ⊆ V on alimoduli ja U ' Si , niin U ⊆ Vi . Lauseen todistuksessa nähtiin (ks. (3.32)), että sellaiselle U :lle on voimassa pi |U = qi |U = idU , joten U = pi (U ) ⊆ Im(pi ) = Vi . 2

Esimerkki 3.7.3 Ryhmän C2 = hci, c2 = 1, redusoitumattomat 1-asteiset esitykset ovat ρ+ ja ρ− , missä ρ+ (c) = 1 ja ρ− (c) = −1 (esimerkki 2.1.11); tämä tarkoittaa, että kun S + ja S − ovat vastaavat redusoitumattomat modulit (dim S + = dim S − = 1), niin c:n operointi S + :ssa on c · x = x ja S − :ssa c · x = −x. Vastaaville redusoitumattomille karaktereille χ+ , χ− : C2 → C on χ+ (c) = 1 ja χ− (c) = −1. Olkoon V C2 -moduli V ja ρ = ρV . Kanonisen hajotelman V = V + ⊕ V − projektiot ovat

¢ 1 1 1¡ + p− = ( id − ρ(c)), χ (1) ρ(1) + χ+ (c) ρ(c) = ( id + ρ(c)), 2 2 2 tai modulikertolaskun avulla lausuttuina 1 1 p+ (v) = (v + c · v), p− (v) = (v − c · v) (v ∈ V ). 2 2 Siis p+ =

V + = Im(p+ ) = { 12 (v + c · v) | v ∈ V },

V − = Im(p− ) = { 21 (v − c · v) | v ∈ V }.

Koska V + koostuu alkioista v , joilla p+ (v) = v ja V − alkioista, joilla p− (v) = −v , niin myös

V + = {v ∈ V | c · v = v},

V + = {v ∈ V | c · v = −v}.

Alimodulin V + redusoitumattomat alimodulit ovat samat kuin sen 1-ulotteiset aliavaruudet (huomaa, että nämä todella ovat alimoduleja!). Vastaava on voimassa V − :lle. Siis kanonista hajotelmaa tarkempi hajotelma (3.27) redusoitumattomien alimodulien summana saadaan hajottamalla V + ja V − jollain tavalla 1-ulotteisten aliavaruuksien suoriksi summiksi. Tämä esimerkki osoittaa, ettei hajotelma (3.27) ole yleisesti yksikäsitteinen.

Esimerkki 3.7.4 Yleistetään edellinen esimerkki syklisen ryhmän Cn = hci, cn = 1, tapaukseen. Redusoitumattomat karakterit ovat 1-asteiset χ0 , . . . , χn−1 , missä χj (c) = ζ j (ζ = ζn = e2πi/n ). Modulin V kanoninen hajotelma on V = V0 ⊕ · · · ⊕ Vn−1 , missä

Vj = {v ∈ V | c · v = ζ j v}. Lasketaan esimerkkinä säännöllisen modulin C[Cn ] kanoninen hajotelma eksplisiittisesti.

Esimerkki 3.7.5 Olkoon ρ S3 :n luonnollinen permutaatioesitys, joka syn-

1 t c tyy S3 :n operoinnista joukossa {1, 2, 3}. Vastaavalla modulilla on kanta χ1 1 1 1 {e1 , e2 , e3 } ja modulikertolasku on α · ei = eα(i) . (Sama esimerkki on esiinχ2 1 −1 1 tynyt jo monta kertaa.) Lasketaan V :n kanoninen hajotelma. Merkitään χ3 2 0 −1 t = (12) ja c = (123). Redusoitumattomat karakterit χ1 , χ2 , χ3 löydettiin esimerkissä 3.6.1. Kanoniseen hajotelmaan V = V1 ⊕ V2 ⊕ V3 liittyvät projektiot pi saadaan kaavasta (3.30). Esimerkiksi ¢ 1¡ n1 X χ1 (α) ρ(α) = p1 = ρ(1) + ρ(12) + ρ(13) + ρ(23) + ρ(123) + ρ(321) , g 6 α∈S3

LUKU 3. KARAKTERIT

57

josta lasketaan

p1 (e1 ) =

1 1 (e1 + e2 + e3 + e1 + e2 + e3 ) = (e1 + e2 + e3 ), 6 3

ja samoin p1 (e2 ) = p1 (e3 ) = 31 (e1 +e2 +e3 ). Siis V1 on alkion e1 +e2 +e3 virittämä 1-ulotteinen aliavaruus. Samoin saadaan p2 (e1 ) = p2 (e2 ) = p2 (e3 ) = 0, joten V2 = {0}. Edelleen,

p3 (e1 ) =

1 (2e1 − e2 − e3 ), 3

p3 (e2 ) =

1 (2e2 − e3 − e1 ), 3

p3 (e3 ) =

1 (2e3 − e1 − e2 ), 3

joten dim V3 = 2 ja V3 = {a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 | a1 + a2 + a3 = 0}. Sama hajotelma V = V1 ⊕ V3 löytyi jo esimerkissä 2.4.2, jossa alimodulille V3 tuli käytettyä kantaa {e1 − e2 , e2 − e3 }.

Esimerkki 3.7.6 Olkoon χr 1-asteinen karakteri eli ryhmähomomorsmi G → C× . Osoitetaan, että sitä vastaava modulin V homogeeninen komponentti Vr on Vr = {v ∈ V | g · v = χr (g)v ∀ g ∈ G}. Erityisesti ykköskarakteria χ1 vastaava homogeeninen komponentti V1 on sama kuin V :n kiintopisteiden joukko V G = {v ∈ V | g · v = v ∀ g ∈ G}.

Huomautus 3.7.7 Lauseen 3.7.1 projektiot pi toteuttavat ehdon pi ◦ pj = δij pi (ts. ne ovat ortogonaalisia idempotentteja ). Sijoittamalla tähän pi :den lausekkeet saa helposti johdettua yleistetyt ortogonaalisuusrelaatiot : ni X χi (gh)χj (g) = δij χi (h) (h ∈ G; i, j = 1, . . . , k). (3.34) #G g∈G

3.8 Suoran tulon esitykset Lause 3.8.1 Olkoot ρ1 : G1 → GL(V1 ) ja ρ2 : G2 → GL(V2 ) ryhmien G1 ja G2 esityksiä. Suoralle tulolle G1 × G2 saadaan esitys ρ : G1 × G2 → GL(V1 ⊗ V2 ) määrittelemällä ρ(g1 , g2 )(v1 ⊗ v2 ) = ρ1 (g1 )(v1 ) ⊗ ρ2 (g2 )(v2 )

(gi ∈ Gi , vi ∈ Vi ).

(3.35)

Kun χ1 ja χ2 ovat ρ1 :n ja ρ2 :n karakterit, niin ρ:n karakteri χ : G1 × G2 → C on χ(g1 , g2 ) = χ1 (g1 )χ2 (g2 )

(gi ∈ Gi ).

(3.36)

Olkoon ρ01 toinen G1 :n ja ρ02 toinen G2 :n esitys ja ρ0 niistä (3.35):n mukaisesti muodostettu G1 × G2 :n esitys, ja olkoot χ01 , χ02 ja χ0 vastaavat karakterit. Silloin (χχ0 )(g1 , g2 ) = (χ1 χ01 )(g1 ) · (χ2 χ02 )(g2 )

(gi ∈ Gi )

(3.37)

ja ( χ | χ0 ) = ( χ1 | χ01 )( χ2 | χ02 ).

(3.38)

Todistus. Ensimmäinen väite todistetaan kuten lause 2.7.8, ja toinen seuraa siitä, että tr(A⊗ B) = tr(A) tr(B); vrt. lauseen 3.3.1 todistus. Kolmas väite saadaan laskemalla (χχ0 )(g1 , g2 ) = χ(g1 , g2 )χ0 (g1 , g2 ) = χ1 (g1 )χ2 (g2 )χ01 (g1 )χ02 (g2 ) = χ1 (g1 )χ01 (g1 )χ2 (g2 )χ02 (g2 ) = (χ1 χ01 )(g1 )(χ2 χ02 )(g2 ),

LUKU 3. KARAKTERIT

58

samoin neljäs,

( χ | χ0 ) =

1 (#G1 )(#G2 )

X

χ(g1 , g2 )χ0 (g1 , g2 )

(g1 ,g2 )∈G1 ×G2

X 1 = (#G1 )(#G2 )

X

g1 ∈G1 g2 ∈G2

χ1 (g1 )χ2 (g2 )χ01 (g1 )χ02 (g2 ) = ( χ1 | χ01 )( χ2 | χ02 ).

2

Lauseessa saatua esitystä ρ sanotaan esitysten ρ1 ja ρ2 tensorituloksi, merkitään ρ1 ⊗ ρ2 . Modulien kielellä: Jos V1 on G1 -moduli ja V2 G2 -moduli, niin V1 ⊗ V2 on G1 × G2 -moduli, modulikertolaskuna (g1 , g2 ) · (v1 ⊗ v2 ) = (g1 · v1 ) ⊗ (g2 · v2 ). (3.39)

Huomautus 3.8.2 Tapauksessa G1 = G2 = G, meillä on nyt kaksi esitysten tensoritulokonstruktiota: määritelmässä 2.7.9 tehtiin kahdesta G:n esityksestä ρ1 : G → GL(V1 ) ja ρ2 : G → GL(V2 ) uusi G:n esitys ρ1 ⊗ ρ2 : G → GL(V1 ⊗ V2 ), kun taas juuri määritelty ρ1 ⊗ ρ2 onkin G × G:n esitys G × G → GL(V1 ⊗ V2 ). Määritelmän 2.7.9 tensorituloesitys saadaan yhdistettynä kuvauksena

G −→ G × G −→ GL(V1 ⊗ V2 ), missä ensimmäinen kuvaus on g 7→ (g, g) (ryhmähomomorsmi) ja jälkimmäinen on yllä määritelty tensorituloesitys. Toisin sanoen määritelmän 2.7.9 tensorituloesitys on juuri määritellyn tensorituloesityksen restriktio lävistäjäaliryhmään {(g, g) | g ∈ G} ' G.

Lause 3.8.3 Tarkastellaan suoraa tuloa G1 × G2 . (i) Jos ρ1 on G1 :n ja ρ2 G2 :n redusoitumaton esitys, niin ρ1 ⊗ ρ2 on redusoitumaton. (ii) Jos ρ on ryhmän G1 × G2 redusoitumaton esitys, niin ρ ' ρ1 ⊗ ρ2 , missä ρ1 on G1 :n ja ρ2 G2 :n redusoitumaton esitys. Lisäksi ρ1 ja ρ2 ovat isomoraa vaille yksikäsitteiset. (iii) Kun ρ1 , ρ2 ja ρ ovat kuten kohdassa (ii), niin ρ on 1-asteinen jos ja vain jos ρ1 ja ρ2 ovat 1-asteisia.

Todistus. Olkoot χ1 , χ2 ja χ esitysten ρ1 , ρ2 ja ρ1 ⊗ ρ2 karakterit, vastaavasti. Väite (i) seuraa siitä, että ( χ | χ ) = ( χ1 | χ1 )( χ2 | χ2 ) = 1 · 1 = 1. Todistetaan (ii). Olkoot χ1 , . . . , χk1 G1 :n ja ψ1 , . . . , ψk2 G2 :n redusoitumattomat karakterit. Merkitään χi ψj :llä kaavasta (3.36) saatavia G1 × G2 :n karaktereja (i = 1, . . . , k1 , j = 1, . . . , k2 ); siis (χi ψj )(g1 , g2 ) = χi (g1 )ψj (g2 ) (g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 ). Yllä todistetun nojalla nämä ovat redusoitumattomia. Väite (ii) seuraa, kun osoitetaan, että nämä ovat kaikki G1 × G2 :n redusoitumattomat karakterit ja parittain erisuuria. Ensinnäkin ne ovat parittain erisuuria, sillä

( χi ψj | χk ψl ) = ( χi | χk )( ψj | ψl ) = 0

kun (i, k) 6= (j, l).

LUKU 3. KARAKTERIT

59

Toiseksi χi ψj :n aste on ni mj kun ni on χi :n aste ja mj on ψj :n aste (dim(V1 ⊗ V2 ) = dim(V1 ) dim(V2 )), joten asteiden neliösumma on seurauksen 3.4.13 mukaan k1 X k2 X

2

(ni mj ) =

i=1 j=1

k1 ³X i=1

n2i

k2 ´³ X

m2j

´ = (#G1 )(#G2 ) = #(G1 × G2 ).

j=1

Seurauksen 3.4.13 nojalla muita redusoitumattomia karaktereja ei ole. Väite (iii) on selvä, koska ρ:n aste on ρ1 :n ja ρ2 :n asteiden tulo. 2

Esimerkki 3.8.4 Muodostetaan Kleinin neliryhmän V4 ' C2 × C2 karakteritaulu. Huomautus 3.8.5 Edellä oli puhe ulkoisesta suorasta tulosta, mutta kaikki soveltuu sisäisenkin suoran tulon tapaukseen. Jos G = G1 G2 on aliryhmiensä G1 ja G2 sisäinen suora tulo, se voidaan katsoa ulkoiseksi suoraksi tuloksi G = G1 × G2 samaistamalla alkiot g1 g2 ja (g1 , g2 ) (gi ∈ Gi ). Lauseen mukaan G:n redusoitumattomat karakterit saadaan Gi :den redusoitumattomista karaktereista kaavalla χ(g1 g2 ) = χi (g1 )ψj (g2 ). Modulien kielellä: Jos V on redusoitumaton G-moduli, niin V ' V1 ⊗ V2 , missä V1 on G1 :n ja V2 G2 :n redusoitumaton moduli, ja V1 ⊗ V2 :n modulikertolasku on (3.39). Näin G:n esitysteoria palautuu G1 :n ja G2 :n esitysteoriaan.

3.9 Karakteriryhmä. Abelin ryhmän esitykset Lause 3.9.1 Ryhmän G 1-asteiset karakterit muodostavat pisteittäisen kertolaskun suhteen b. Abelin ryhmän G

Todistus. Esimerkin 3.2.3 mukaan 1-asteiset karakterit ovat ryhmähomomorsmit G → C× . Helposti todetaan, että kahden sellaisen pisteittäinen tulokin on ryhmähomomorsmi G → b toteuttaa Abelin ryhmän aksioomat. Ykkösalkiona toimii ykköskarakteri ja C× ja että G karakterin χ käänteisalkiona χ. 2 b sanotaan G:n karakteri- eli duaaliryhmäksi. Ryhmää G

Esimerkki 3.9.2 Muodostetaan S3 :n karakteriryhmä esimerkin 3.6.2 avulla. b , sillä tällöin konjugaattiluokkien määrä on #G, Abelin ryhmän tapauksessa #G = #G siis myös redusoitumattomien karakterien määrä on #G, ja seurauksen 2.6.6 nojalla redusoib toteuttavat seutumattomat karakterit ovat 1-asteisia. Abelin ryhmän G karakterit χ ∈ G raavat Abelin ryhmän karakterirelaatiot (merkitään ykköskarakteria χ1 :llä): ( ( X X 0 jos χ 6= χ1 , 0 jos g 6= 1, χ(g) = χ(g) = (3.40) #G jos χ = χ1 , #G jos g = 1. g∈G b χ∈G

Ensimmäiset saadaan ortogonaalirelaatioista (3.17), kun χi = χ ja χj = χ1 , ja toiset relaatioista (3.26), kun h = 1. On helppo todeta (harj.), että kääntäen relaatiot (3.17) ja (3.26) seuraavat relaatioista (3.40) Abelin ryhmän tapauksessa.

LUKU 3. KARAKTERIT

60

Esimerkki 3.9.3 Tarkastellaan syklistä ryhmää Cn = hci. Esimerkissä 2.1.11 löydettiin sen 1-asteiset esitykset: bn = {χ | m = 0, . . . , n − 1}, C m

χm (c) = ζ m ,

ζ = e2πi/n .

bn = h χ i ' Cn , sillä χ = χm . (Huomaa, että nyt χ on ykköskarakYkkösalkio on χ0 , ja C 1 m 0 1 teri.) Esimerkissä 3.2.12 on C4 :n karakteritaulu.

Esimerkki 3.9.4 Esimerkissä 2.1.6 otettiin kolme ryhmän C2 = hci = {1, c} 2-asteista esitystä, jotka sitten esimerkeissä 2.1.18 ja 2.3.14 todettiin isomorsiksi. Kuinka suuri sattuma tällainen on? Paljonko C2 :lla on epäisomorsia 2-asteisia esityksiä?

b. Lause 3.9.5 Kun G on Abelin ryhmä, niin G ' G

Todistus. Otamme todistamatta käyttöön sen tuloksen, että jokainen äärellinen Abelin ryhmä on syklisten ryhmien suora tulo; se todistetaan Algebran kurssissa. Siis G ' Ct1 ×· · ·×Ctr . bt , joten väite on selvä, kun r = 1. Esimerkin 3.9.3 nojalla Cti ' C i b→G b1 × Olkoon G = G1 × G2 . Lauseen 3.8.3 mukaan vastaavuus (3.36) antaa bijektion G b 2 ja yhtälön (3.37) nojalla se on ryhmäisomorsmi. Näin ollen G b'G b 1 ×G b 2 . (Huom. Tässä ei G b b b b b 2 ' G1 ×G2 = G. tarvittu kommutatiivisuutta.) Siis, jos G1 ' G1 ja G2 ' G2 , niin G ' G1 ×G Väite seuraa nyt induktiolla r:n suhteen. 2 Lauseen todistuksesta nähdään, että jos G = Ct1 × · · · × Ctr , missä Cti = hci i, niin

b = {χm ,...,m | m1 = 0, . . . , t1 −1, . . . , mr = 0, . . . , tr −1}, G 1 r

(3.41)

missä

χm1 ,...,mr (ck11 , · · · , ckr r ) = ζtm1 1 k1 · · · ζtmr r kr

(k1 = 0, . . . , t1 −1, . . . , kr = 0, . . . , tr −1). (3.42)

b välillä ei ole kanonista isomorsmia. Esimerkiksi Huomautus 3.9.6 1) Ryhmien G ja G

b , c 7→ χm , missä syt(m, n) = 1, on tapauksessa G = Cn = hci jokainen kuvaus G → G 1 isomorsmi. b b , g 7→ [χ 7→ χ(g)]. Tämän valossa relaatiot (3.40) 2) On kanoninen isomorsmi G → G b :lle. (Jälkimmäisiä sanotaankin duaalirelaatioiksi.) ovat samat, toiset G:lle ja toiset G

Esimerkki 3.9.7 Tarkastellaan ryhmän C6 ' C2 × C3 karakteritaulua.

3.10 Permutaatioesityksistä Olkoon G äärellinen ryhmä, joka operoi äärellisessä joukossa X . Olkoon ρ : G → GL(V ) vastaava permutaatioesitys: V :llä on kanta {ex | x ∈ X} ja ρ(g)(ex ) = eg·x kun g ∈ G, x ∈ X (esimerkki 2.1.14). Olkoon χ esityksen karakteri ja olkoon R matriisimuoto em. kannan suhteen. Kun g ∈ G, niin R(g) on permutaatiomatriisi, jossa erityisesti päälävistäjällä on 1

LUKU 3. KARAKTERIT

61

niissä kohdissa, joissa g · x = x, ja 0 niissä kohdissa, joissa g · x 6= x. Koska χ(g) = tr(ρ(g)) = tr(R(g)), niin χ(g) = #{x ∈ X | g · x = x} = #X g (g ∈ G). (3.43) Selvitetään V :n ykköskarakteria 1 = 1G vastaava homogeeninen osa V1 eli kiintopisteiden joukko V G = {v ∈ V | ρ(g)(v) = v ∀ g ∈ G}. Lauseen 3.7.1 mukaan V1 = Im(p1 ), missä P 1 p1 = #G g∈G ρ(g). Kun x ∈ X , niin

p1 (ex ) =

1 X #Gx X 1 X ρ(g)(ex ) = eg·x = ey , #G #G #G g∈G

g∈G

y∈[x]

missä käytettiin lausetta 1.6.4. Siis V1 :n virittävät alkiot X e[x] = ey (x ∈ X),

(3.44)

y∈[x]

ja koska eri ratoja [x] vastaavat alkiot e[x] ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia, ne ovat V1 :n kanta. Tämä antaa seuraavista yhtäsuuruuksista ensimmäisen:

dim V1 = ratojen [x] lukumäärä = ( χ | 1 ).

(3.45)

Kun V kirjoitetaan redusoitumattomien alimodulien suorana summana V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wt ja kun tässä ykköskarakteria 1 vastaavat W1 , . . . , Wl , niin V1 = W1 ⊕ · · · ⊕ Wl ja

dim V1 = dim(W1 ⊕ · · · ⊕ Wl ) = dim(W1 ) + · · · + dim(Wl ) = 1 + · · · + 1 = l. Toisaalta seurauksen 3.4.3 mukaan l = ( χ | 1 ). Tästä saadaan (3.45):n toinen yhtäsuuruus. Sanotaan, että G:n operointi X :ssä on transitiivinen, jos ratoja on vain yksi. Siis (3.45):n mukaan G:n operointi X :ssä on transitiivinen jos ja vain jos ( χ | 1 ) = 1. Määritellään G:n operointi joukossa X × X :

g · (x, y) = (g · x, g · y)

(g ∈ G, x, y ∈ X).

(3.46)

Vastaavan permutaatioesityksen karakteri on χ2 . Nimittäin ko. esitysavaruudella U on kanta {e(x,y) | x, y ∈ X}, joten on lineaarinen bijektio U → V ⊗ V , jossa e(x,y) 7→ ex ⊗ ey (sillä vektoriavaruudella V ⊗ V on kantana alkiot ex ⊗ ey ), ja selvästi se on G-moduli-isomorsmi (ks. (3.46) ja (2.30)). Lisäksi V ⊗ V :n karakteri on χ2 ; ks. (3.6). Oletetaan jatkossa #X ≥ 2. Ryhmän G operointi X :ssä on kahdesti transitiivinen, jos aina kun (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ X × X , missä x 6= y ja x0 6= y 0 , on sellainen g ∈ G, että g · (x, y) = (x0 , y 0 ) (eli ekvivalentisti g · x = x0 ja g · y = y 0 ). Kahdesti transitiivisuudesta seuraa transitiivisuus, sillä (kun x 6= y ) jos g · (x, y) = (y, x) niin tietenkin g · x = y .

Esimerkki 3.10.1 Symmetrisen ryhmän Sn operointi joukossa Jn = {1, 2, . . . , n} on kahdesti transitiivinen (n ≥ 2). Se on jopa n:sti transitiivinen, mikä tarkoittaa, että aina kun on annettu parittain erisuuret x1 , . . . , xn ∈ Jn ja parittain erisuuret y1 , . . . , yn ∈ Jn , niin on sellainen α ∈ Sn , että α(xi ) = yi ∀ i.

LUKU 3. KARAKTERIT

62

Esimerkki 3.10.2 Alternoiva ryhmä A3 = {1, (123), (132)} operoi joukossa J3 transitiivisesti muttei kahdesti transitiivisesti. Esimerkiksi paria (1, 2) ei saada kuvatuksi pariksi (2, 1) parillisella permutaatiolla.

Esimerkki 3.10.3 Kun n ≥ 4, alternoiva ryhmä An operoi joukossa Jn = {1, . . . , n} kahdesti transitiivisesti. Olkoon esimerkiksi n = 4 ja x, y, x0 , y 0 ∈ Jµ y ja xµ0 6= y 0 . Olkoon 4 , missä x 6= ¶ ¶ x y z u x y z u J4 = {x, y, z, u} = {x0 , y 0 , z 0 , u0 }. Silloin permutaatioissa x0 y 0 z 0 u0 ja x0 y 0 u0 z 0 kuvautuu (x, y) 7→ (x0 , y 0 ), ja permutaatioista toinen on parillinen (ja toinen pariton).

Lemma 3.10.4 Ryhmän G operointi X :ssä on kahdesti transitiivinen jos ja vain jos G:n operoinnilla X × X :ssä on tarkalleen kaksi rataa, ja silloin radat ovat Y1 = {(x, x) | x ∈ X},

Y2 = {(x, y) | x, y ∈ X, x 6= y }.

Todistus. Joukot Y1 ja Y2 muodostavat X × X :n partition. Koska Y1 ja Y2 ovat invariantteja G:n operoinnissa, kumpikin on G:n ratojen unioni. Toisaalta G:n operointi X :ssä on kahdesti transitiivinen jos ja vain jos Y2 on yksi rata. Kun operointi X :ssä on kahdesti transitiivinen, se on transitiivinenkin, jolloin myös Y1 on yksi rata. 2

Lause 3.10.5 Operoikoon G äärellisessä joukossa X , #X ≥ 2, ja olkoon χ vastaavan permutaatioesityksen karakteri. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i)

G:n operointi X :ssä on kahdesti transitiivinen;

(ii)

( χ2 | 1 ) = 2;

(iii)

χ = 1 + ψ , missä ψ on redusoitumaton G:n karakteri ja ψ 6= 1.

Todistus. Koska χ2 on X × X :stä syntyvä G:n karakteri, niin (i) ja (ii) ovat ekvivalentit lemman 3.10.4 ja (3.45):n nojalla. Oletetaan (ii). Olkoot V ja V1 kuten edellä. Silloin V = V1 ⊕ U , missä U on alimoduli. Siis χ = l1 + ψ , missä l = ( χ | 1 ) ≥ 1 (X :ssä on ainakin yksi rata) ja ψ on U :n karakteri, jossa ykköskarakteri ei esiinny. Silloin ( ψ | 1 ) = 0, ja saadaan ( χ2 | 1 ) = ( (l1 + ψ)2 | 1 ) = ( l2 1 + 2lψ + ψ 2 | 1 ) = l2 + ( ψ 2 | 1 ). Koska ( χ2 | 1 ) = 2, niin l = 1 ja ( ψ 2 | 1 ) = 1. Karakteri ψ = χ − 1 : G → C on reaalinen (ks. (3.43)), joten

(ψ | ψ) =

1 X 1 X ψ(g)ψ(g) = ψ(g)2 = ( ψ 2 | 1 ) = 1, #G #G g∈G

g∈G

joten ψ on redusoitumaton 6= 1 ja (iii) on voimassa. Oletetaan nyt (iii). Silloin ( ψ | 1 ) = 0, ja saadaan

( χ2 | 1 ) = ( (1 + ψ)2 | 1 ) = ( 1 + 2ψ + ψ 2 | 1 ) = 1 + ( ψ 2 | 1 ) = 1 + ( ψ | ψ ) = 2, koska ψ on reaalinen (ψ = χ − 1) ja redusoitumaton.

2

LUKU 3. KARAKTERIT

63

Esimerkki 3.10.6 Ryhmä Sn operoi joukossa {1, . . . , n} kahdesti transitiivisesti, joten vastaava moduli V hajoaa V = V1 ⊕ U , missä V1 = Im(p1 ), dim V1 = 1 ja U = Ker(p1 ) on redusoitumaton alimoduli. Kun V :n kannaksi otetaan e1 , . . . , en kuten edellä, niin V1 :n vi¯ ª © Pn P ¯ rittää alkio e1 + · · · + en , ja koska U = Ker(p1 ), niin U = i=1 ai ei ai ∈ C, i ai = 0 . Löydettiin Sn :lle (n − 1)-asteinen redusoitumaton esitys.

Esimerkki 3.10.7 Kun n ≥ 4, edellisen esimerkin U on redusoitumaton An -modulinakin. Esimerkki 3.10.8 Kun n = 2 tai 3, edellisen esimerkin päättely ei käy. Miten V hajoaa nyt An :n redusoitumattomien modulien suoraksi summaksi?

Luku 4

Restriktio ja induktio Tässä luvussa tutkimme ryhmän ja aliryhmän esitysten suhdetta. Oletukset ovat samat kuin ennenkin: #G < ∞, skalaarikunta on C ja modulit ovat äärellisulotteisia.

4.1 Esityksen ja karakterin restriktio Tarkastellaan aliryhmää H ≤ G. Olkoon ρ : G → GL(V ) jokin G:n esitys. Siitä saadaan restriktiolla H :n esitys ρ|H : H → GL(V ). Modulinäkökulmasta katsottuna tässä otetaan modulikertolaskusta G × V → V restriktio H × V → V . Kun merkitään V :n karakteria χV = χ, niin ρ|H :n karakteriksi tulee restriktio χ|H : H → C, sillä jos h ∈ H niin tr(ρ|H (h)) = tr(ρ(h)) = χ(h). Otetaan käyttöön merkinnät

ResH (ρ) = ρ|H ,

ResH (χ) = χ|H ,

ResH (V ) = esitystä ρ|H vastaava H -moduli.

Siis ResH (V ) on vektoriavaruutena V , jossa modulikertolaskuna on restriktio H × V → V , ja ResH (V ):n karakteri on Res(χV ). Usein merkitsemme myös Res tai ResG H. (Kirjallisuudessa näkee myös mm. merkintöjä ρH , χH , VH , V |H .)

Esimerkki 4.1.1 Tarkastellaan ryhmää G = C4 = hci. Sen 1-asteiset (siis redusoitumattomat) karakterit χ1 , . . . , χ4 löydettiin esimerkissä 3.2.12. Restriktioina saadaan jotkin aliryhmän H = hc2 i karakterit.

χ1 χ2 χ3 χ4

1 c c2 c3 1 1 1 1 1 i −1 −i 1 −1 1 −1 1 −i −1 i

ResH (χ1 ) ResH (χ2 ) ResH (χ3 ) ResH (χ4 )

1 c2 1 1 1 −1 1 1 1 −1

Huomataan, että ResH (χ1 ) = ResH (χ3 ) (= H :n ykköskarakteri) ja ResH (χ2 ) = ResH (χ4 ). Yleisesti, kun χ on jokin G:n karakteri, niin ResH (χ) on H :n karakteri ja niin muodoin joidenkin H :n redusoitumattomien karakterien summa (Maschken lause; ks. pykälä 3.4). Eri64

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

65

tyisesti, jos χi on G:n redusoitumaton karakteri, niin ResH (χi ) = θ1 + · · · + θr , missä θj :t ovat H :n redusoitumattomia karaktereja. Otetaan konkreettinen esimerkki.

Esimerkki 4.1.2 Tarkastellaan tapausta G = S4 ja H = A4 . Merkitään S4 :n redusoitumattomia karaktereja χ1 , . . . , χ5 , ja olkoot A4 :n redusoitumattomat karakterit θ1 , . . . , θ4 . Otetaan johtamatta käyttöön karakteritaulut; tässä ζ on kolmas ykkösenjuuri e2πi/3 :

S4 χ1 χ2 χ3 χ4 χ5

1 1 1 2 3 3

(12) 1 −1 0 1 −1

(12)(34) 1 1 2 −1 −1

(123) 1 1 −1 0 0

A4 θ1 θ2 θ3 θ4

(1234) 1 −1 0 −1 1

1 1 1 1 3

(12)(34) (123) 1 1 1 ζ 1 ζ2 −1 0

(132) 1 ζ2 ζ 0

Muistetaan esimerkistä 1.5.5, että

[1]S4 = [1]A4 = {1},

[(12)(34)]S4 = [(12)(34)]A4 ,

[(123)]S4 = [(123)]A4 ∪ [(132)]A4

ja että [(12)]S4 ja [(1234)]S4 eivät leikkaa A4 :ää. Karakteritauluista on helppo laskea, että

Res(χ1 ) = Res(χ2 ) = θ1 ,

Res(χ3 ) = θ2 + θ3 ,

Res(χ4 ) = Res(χ5 ) = θ4 .

(Huomaa, että ζ toteuttaa ζ 3 − 1 = (ζ − 1)(ζ 2 + ζ + 1) = 0, josta ζ 2 + ζ + 1 = 0 ja siis ζ 2 + ζ = −1.) Esimerkistä nähdään, ettei redusoitumattomuus aina säily restriktiossa. Paitsi karaktereille, restriktio on tietenkin tärkeä yleisemmin luokkafunktioille. Kun ϕ : G → C on G:n luokkafunktio, sen restriktio ϕ|H on selvästi H :n luokkafunktio, merkitään

ResH (ϕ) = ϕ|H : H → C. Näin saadaan lineaarikuvaus ResH : HG → HH , missä HG ja HH ovat G:n ja H :n luokkafunktioavaruudet. Usein merkitään Res tai ResG H.

4.2 Indusoitu karakteri Olkoon H ≤ G. Esittelemme myöhemmin konstruktion, jolla mielivaltaisesta H -modulista W rakennetaan ns. indusoitu G-moduli IndG H (W ). Sen kanssa rinnakkainen konstruktio, indusoitu karakteri, on helpompi ja usein riittäväkin. Siksi käsittelemme sen ensin erikseen.

Määritelmä 4.2.1 Olkoon H ≤ G ja ϕ ∈ HH . Kuvaus Ind(ϕ) : G → C, joka määritellään Ind(ϕ)(g) =

1 #H

X

ϕ(s−1 gs)

(4.1)

(g ∈ G),

s∈G s−1 gs∈H

on ϕ:stä indusoitu luokkafunktio (kohta todistetaan, että se on G:n luokkafunktio). Merkitään Ind(ϕ) = IndG (ϕ) = IndG H (ϕ). (Kirjallisuudessa G G myös mm. ϕ| tai ϕ .)

G

HG ....

Res

Ind

....

H

HH

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

66

Seuraavassa todistetaan, että jos ϕ ∈ HH , niin IndG H (ϕ) ∈ HG . Näin saadaan kuvaus HH → HG , ja on ilmeistä, että se on lineaarinen. (Muistetaan, että HH ja HG ovat vektoriavaruuksia pisteittäisten operaatioiden (3.8) suhteen.)

Lause 4.2.2 Olkoon H ≤ G ja olkoon ϕ ∈ HH . (i) Silloin IndG (ϕ) ∈ HG . (ii) Jos D on H :n vasempien sivuluokkien edustajisto, niin X IndG (ϕ)(g) = ϕ(d−1 gd)

(g ∈ G).

(4.2)

d∈D d−1 gd∈H

Todistus. Luokkafunktio-ominaisuus Ind(ϕ):lle seuraa laskemalla: kun g, t ∈ G, niin X X 1 1 Ind(ϕ)(t−1 gt) = ϕ(s−1 t−1 gts) = ϕ(u−1 gu) = Ind(ϕ)(g). #H #H s∈G s−1 t−1 gts∈H

u∈G u−1 gu∈H

Kun D on H :n vasempien sivuluokkien edustajisto, niin G = ∪d∈D dH . Määritelmässä (4.1) voidaan kirjoittaa s = dh (d ∈ D, h ∈ H ), jolloin X 1 Ind(ϕ)(g) = ϕ(h−1 d−1 gdh). #H d∈D, h∈H h−1 d−1 gdh∈H

Tässä h−1 d−1 gdh ∈ H jos ja vain jos d−1 gd ∈ H , ja tällöin ϕ(h−1 d−1 gdh) = ϕ(d−1 gd), koska ϕ on H :n luokkafunktio. Siis X X 1 1 X X Ind(ϕ)(g) = ϕ(d−1 gd) = ϕ(d−1 gd) = ϕ(d−1 gd). 2 #H #H d∈D, h∈H d−1 gd∈H

h∈H

d∈D d−1 gd∈H

d∈D d−1 gd∈H

Esimerkki 4.2.3 Olkoon G = C4 = hci ja H = hc2 i. Lasketaan esimerkin 4.1.1 karakterista

G θ2 = ResH (χ2 ) indusoitu karakteri IndG H (θ2 ). Pitää siis laskea IndH (θ2 )(g) kaikille alkioille 2 3 g = 1, c, c , c . Esimerkiksi X 1 θ2 (s−1 1s) Ind(θ2 )(1) = #H s∈G s−1 1s∈H

=

¢ 1¡ ¢ 1¡ θ2 (1−1 · 1 · 1) + θ2 (c−1 1c) + θ2 (c−2 1c2 ) + θ2 (c−3 1c3 ) = 1 + 1 + 1 + 1 , 2 2

eli Ind(θ2 )(1) = 2. Samoin saadaan Ind(θ2 )(c2 ) = −2 ja Ind(θ2 )(c) = Ind(θ2 )(c3 ) = 0 (summaan (4.1) ei tule yhtään termiä, joten summa = 0). Tulos: Ind(θ2 ) = χ2 + χ4 .

Esimerkki 4.2.4 Tarkastellaan taas tapausta G = S4 ja H = A4 . Käytetään esimerkin 4.1.2

merkintöjä. Lasketaan IndG H (θ4 ) kaavalla (4.2). Sivuluokkien edustajistoksi voidaan valita D = {1, (12)}. Kun g ∈ S4 , niin X Ind(θ4 )(g) = θ4 (d−1 gd). d=1,(12) d−1 gd∈A4

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

67

Summassa d−1 gd ∈ A4 ⇔ g ∈ A4 (näin käy aina kun aliryhmä on normaali). Siis Ind(θ4 )(g) = ¡ ¢ θ4 (g)+θ4 (12)g(12) jos g ∈ A4 , ja Ind(θ4 )(g) = 0 jos g ∈ / A4 . Lisäksi riittää laskea tämä, kun g käy S4 :n konjugaattiluokkien edustajiston, koska Ind(θ4 ) on luokkafunktio. Lopputuloksena saadaan, että Ind(θ4 ) = χ4 + χ5 . Samoin lasketaan muut:

Ind(θ1 ) = χ1 + χ2 ,

Ind(θ2 ) = Ind(θ3 ) = χ3 ,

Ind(θ4 ) = χ4 + χ5 .

Myöhemmin laskemme nämä toisella tavalla.

Esimerkki 4.2.5 Lasketaan H :n säännöllisen esityksen karakterista χH indusoitu luokkafunktio. Tulos: IndG H (χH ) = χG .

Esimerkki 4.2.6 Osoitetaan, että H :n ykköskarakterista 1H indusoitu IndG H (1H ) on G:n karakteri, joka tulee G:n permutaatio-operoinnista vasempien sivuluokkien joukossa G/H .

Esimerkki 4.2.7 Osoitetaan, että kun ϕ ∈ HH ja ψ ∈ HG , niin Ind(ϕ Res(ψ)) = Ind(ϕ)ψ . Päätellään, että Ind(Res(ψ)) = Ind(1H )ψ , missä 1H on H :n ykköskarakteri.

Lause 4.2.8 (Frobeniuksen resiprookkikaava) Olkoon H ≤ G. Kun ϕ ∈ HH ja ψ ∈ HG , niin

¡

¯ ¯ ¢ ¢ ¡ ϕ ¯ ResH (ψ) H = IndG (ϕ) ¯ ψ G ,

(4.3)

missä ( | )H tarkoittaa HH :n ja ( | )G HG :n sisätuloa. Huomaa, että koska ( φ1 | φ2 ) = ( φ2 | φ1 ), seuraa myös ¯ ¢ ¡ ¡ ¯ ¢ ResH (ψ) ¯ ϕ H = ψ ¯ IndG (ϕ) G .

Todistus. Sisätulon ja Ind(ϕ):n määritelmien ja ψ :n luokkafunktio-ominaisuuden avulla ¯ ¢ ¡ 1 X 1 1 X X IndG (ϕ) ¯ ψ G = IndG (ϕ)(g) ψ(g) = ϕ(s−1 gs)ψ(g) #G #G #H g∈G g∈G 1 1 X = #G #H

s∈G

Ã

s∈G s−1 gs∈H

X

! ϕ(s−1 gs)ψ(s−1 gs)

g∈G s−1 gs∈H

à ! 1 1 X X ϕ(u)ψ(u) = #G #H s∈G u∈H ¡ ¯ ¢ 1 X = ϕ(u)ψ(u) = ϕ ¯ ResH (ψ) H . #H

2

u∈H

Esimerkki 4.2.9 Tarkastellaan taas tapausta G = S4 ja H = A4 . Merkitään S4 :n redusoitumattomia karaktereja χ1 , . . . , χ5 ja A4 :n redusoitumattomia karaktereja olkoot θ1 , . . . , θ4 kuten esimerkissä 4.1.2. Lasketaan Ind(θ4 ). Kaavasta (3.16) ja Frobeniuksen resiprookkikaavasta saadaan

Ind(θi ) =

5 X ¡ j=1

5 X ¯ ¢ ¡ ¯ ¢ Ind(θi ) ¯ χj χj = θi ¯ Res(χj ) χj ; j=1

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO siis

Ind(θ4 ) =

5 X ¡

68

5 X ¯ ¢ ¡ ¯ ¢ Ind(θ4 ) ¯ χj χj = θ4 ¯ Res(χj ) χj = χ4 + χ5 ,

j=1

j=1

missä käytettiin esimerkissä 4.1.2 laskettuja Res(χj ):tä.

4.3 Indusoitu moduli Todistimme, että jos H ≤ G ja jos ϕ ∈ HH , niin IndG (ϕ) ∈ HG . Nyt tarkastelemme tapausta, jossa ϕ on H :n karakteri.

Lause 4.3.1 Olkoon H ≤ G. Kun ϕ on H :n karakteri, niin IndG (ϕ) on G:n karakteri. Todistus. Olkoot χ1 , . . . , χk redusoitumattomat G:n karakterit. Muistetaan, että jos ψ ∈ HG , Pk niin ψ = i=1 mi χi , missä mi = ( ψ | χi ) ∈ C, ja että ψ on karakteri jos ja vain jos ψ 6= 0 ja mi :t ovat epänegatiivisia kokonaislukuja (ks. (3.24)). Tapauksessa ψ = IndG (ϕ) saadaan ¯ ¢ ¡ ¡ ¯ ¢ mi = IndG (ϕ) ¯ χi G = ϕ ¯ ResH (χi ) H , ja nämä ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, sillä ϕ ja ResH (χi ) ovat H :n karaktereja. (Jos χi on G-modulin Vi karakteri niin ResH (χi ) on H -modulin ResH (Vi ) karakteri.) Lisäksi

IndG (ϕ)(1) =

1 #H

X s∈G s−1 1s∈H

ϕ(s−1 1s) =

1 X ϕ(1) = [G : H]ϕ(1) 6= 0, #H

joten IndG (ϕ) 6= 0. Siis IndG (ϕ) on G:n karakteri.

(4.4)

s∈G

2

Määritelmä 4.3.2 Olkoon H ≤ G. Olkoon W H -moduli ja ϕ sen karakteri. Sanomme, että IndG (ϕ) on ϕ:stä indusoitu karakteri. Jos V on G-moduli, jonka karakteri on IndG (ϕ), niin V on W :stä indusoitu moduli, merkitään V = Ind(W ) = IndG (W ) = IndG H (W ). Kun W on H -moduli, seurauksen 4.3.1 mukaan IndG (W ) on olemassa ja seurauksen 3.4.4 mukaan se on isomoraa vailla yksikäsitteinen. Myöhemmin konstruoimme modulin IndG (W ). Yhtälöstä (4.4) nähdään jo, että dim(IndG (W )) = [G : H] dim(W ). (Kirjallisuudessa merkitään myös mm. W |G tai W G .)

Esimerkki 4.3.3 Olkoot χ1 , . . . , χ5 S4 :n ja θ1 , . . . , θ4 A4 :n redusoitumattomat karakterit kuten esimerkissä 4.1.2. Merkitään vastaavia S4 :n redusoitumattomia moduleja V1 , . . . , V5 ja A4 :n redusoitumattomia moduleja W1 , . . . , W4 . Koska IndSA44 (θ4 ) = χ4 + χ5 (esimerkki 4.2.4), niin IndSA44 (W4 ) ' V4 ⊕ V5 .

Lause 4.3.4 Olkoon H ≤ G. (i) Jos W on redusoitumaton H -moduli, on sellainen redusoitumaton G-moduli V , että ResH (V ):llä on H -alimoduli ' W .

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

69

(ii) Jos V on redusoitumaton G-moduli, on sellainen redusoitumaton H -moduli W , että IndG (W ):llä on G-alimoduli ' V .

Todistus. Todistetaan (i). Olkoon W redusoitumaton H -moduli ja ϕ sen karakteri. Kirjoitetaan IndG (W ) = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr , missä Vi :t ovat redusoitumattomia G-alimoduleja. Merkitään Vi :n karakteria χi :llä. Silloin ¯ ¯ ¢ ¡ ¢ IndG (ϕ) ¯ IndG (ϕ) G = IndG (ϕ) ¯ χ1 + · · · + χr G ¯ ¢ ¯ ¢ ¡ ¡ = IndG (ϕ) ¯ χ1 G + · · · + IndG (ϕ) ¯ χr G ¡ ¯ ¢ ¡ ¯ ¢ = ϕ ¯ ResH (χ1 ) H + · · · + ϕ ¯ ResH (χr ) H .

0 6=

¡

¡ ¯ ¢ Siis jokin ϕ ¯ ResH (χi ) H 6= 0. Tämä Vi on vaadittu G-moduli; ks. (3.16). Todistetaan (ii). Olkoon V redusoitumaton G-moduli ja χ sen karakteri. Kirjoitetaan ResH (V ) = W1 ⊕ · · · ⊕ Wl , missä Wi :t ovat redusoitumattomia H -alimoduleja. Merkitään Wi :n karakteria θi :llä. Silloin ¯ ¯ ¢ ¡ ¢ ResH (χ) ¯ ResH (χ) H = θ1 + · · · + θl ¯ ResH (χ) H ¡ ¯ ¢ ¡ ¯ ¢ = θ1 ¯ ResH (χ) H + · · · + θl ¯ ResH (χ) H ¯ ¢ ¯ ¢ ¡ ¡ = IndG (θ1 ) ¯ χ G + · · · + IndG (θl ) ¯ χ G .

0 6=

¡

¯ ¢ ¡ Siis jokin IndG (θi ) ¯ χ G 6= 0. Tämä Wi on vaadittu H -moduli.

2

Kirjoitetaan lause myös karaktereille:

Seuraus 4.3.5 Olkoon H ≤ G. Olkoot G:n redusoitumattomat karakterit χ1 , . . . , χk ja H :n redusoitumattomat karakterit θ1 , . . . , θ` . (i) Kun restriktiot ResH (χi ) kirjoitetaan θj :den summina, niin kukin θj esiintyy ainakin yhdessä summassa. (ii) Kun indusoidut karakterit IndG (θi ) kirjoitetaan χj :den summina, niin kukin χj esiintyy ainakin yhdessä summassa.

Esimerkki 4.3.6 Esimerkissä 4.1.2 nähtiin, että kaikki θ1 , . . . , θ4 esiintyivät restriktioissa Res(χi ). Esimerkissä 4.2.4 nähtiin, että kaikki χ1 , . . . , χ5 esiintyivät indusoiduissa karaktereissa Ind(θi ).

Huomautus 4.3.7 Lause ja yo. esimerkit osoittavat, että restriktio ja induktio voivat olla tärkeitä etsittäessä H :lle tai G:lle redusoitumattomia karaktereja, kun ne tunnetaan näistä ryhmistä toiselle. Isaacsin kirjassa (s. 6465) on löydetty A5 :n redusoitumattomat karakterit käyttämällä induktiota A4 :n karaktereista.

Esimerkki 4.3.8 Tulkitaan esimerkkien 4.2.54.2.7 tulokset moduli-isomorsmeina.

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

70

4.4 Restriktio normaaliin aliryhmään Frobeniuksen resiprookkikaavan sovelluksena todistamme Cliordin lauseen, joka koskee redusoitumattoman karakterin (modulin) restriktiota normaaliin aliryhmään. Muistetaan, että aliryhmän H ≤ G konjugaattialiryhmät ovat sHs−1 , missä s ∈ G (esimerkki 1.6.8).

Määritelmä 4.4.1 Aliryhmän H ≤ G modulin W konjugaatti eli konjugaattimoduli W (s) on sHs−1 -moduli, joka vektoriavaruutena on W ja jonka modulikertolasku määritellään

k • w = s−1 ks · w

(k ∈ sHs−1 , w ∈ W );

(4.5)

selvästi W (s) todella on sHs−1 -moduli. Kun θ : H → C on W :n karakteri, niin selvästi W (s) :n karakteri on seuraava kuvaus θ(s) : sHs−1 → C:

θ(s) (k) = θ(s−1 ks)

(k ∈ sHs−1 ).

(4.6)

Sanotaan, että θ(s) on θ:n konjugaatti.

Lemma 4.4.2 Olkoon H ≤ G ja s ∈ G. Jos θ on ryhmän H redusoitumaton karakteri, niin θ(s) on ryhmän sHs−1 redusoitumaton karakteri.

Todistus. Lasketaan ( θ(s) | θ(s) ) =

1 #(sHs−1 )

X

θ(s) (k)θ(s) (k) =

1 X θ(h)θ(h) = ( θ | θ ) = 1. #H h∈H

k∈sHs−1

(Vaihtoehtoisesti voisi todeta, että aliavaruus U ⊆ W on W :n alimoduli jos ja vain jos se on W (s) :n alimoduli.) 2 Huomaa erikoistapaukset:

• Jos s ∈ H , niin sHs−1 = H ja esimerkin 2.3.4 mukaan W (s) ' W H -moduleina ja siis θ(s) = θ. • Jos H £ G, niin sHs−1 = H (s ∈ G), joten konjugaatit W (s) ovat H -moduleja ja konjugaatit θ(s) ovat H :n karaktereja. Jos s ∈ / H , voi olla W (s) 6' W ja θ(s) 6= θ.

Lause 4.4.3 (Cliord) Olkoon H £ G ja olkoon χ redusoitumaton G:n karakteri. Silloin ResH (χ):ssä esiintyvät redusoitumattomat H :n karakterit ovat keskenään konjugoituja ja kukin esiintyy yhtä monta kertaa. Toisin sanoen ResH (χ) = e

k X

θ(si ) ,

i=1

missä θ on jokin ResH (χ):ssä esiintyvä redusoitumaton H :n karakteri ja θ(s1 ) , . . . , θ(sk ) ovat ¯ ¢ ¡ sen erisuuret konjugaatit. Lisäksi e = ResH (χ) ¯ θ H .

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

71

Todistus. Lasketaan ResH IndG (θ). Kun h ∈ H , niin IndG (θ)(h) =

1 #H

X

θ(s−1 hs) =

1 X 1 X (s) θ(s−1 hs) = θ (h), #H #H s∈G

s∈G s−1 hs∈H

s∈G

P 1 (s) joten ResH IndG (θ) = #H . s∈G θ Olkoon ϕ redusoitumaton H :n karakteri, joka ei ole mikään konjugaateista θ(s) . Silloin ϕ ei esiinny karakterissa ResH IndG (θ), sillä ¡ ¯ ¢ ¡ ¯ X (s) ¢ 0 = ϕ¯ θ = #H ϕ ¯ ResH IndG (θ) . s∈G

Koska θ esiintyy ResH (χ):ssä, niin χ esiintyy IndG (θ):ssä, sillä Frobeniuksen resiprookkikaavan nojalla ¯ ¢ ¡ ¡ ¯ ¢ Ind(θ) ¯ χ G = θ ¯ Res(χ) H 6= 0. Siis Ind(θ) = χ + ψ , missä ψ on G:n karakteri tai 0. Seuraa Res Ind(θ) = Res(χ) + Res(ψ). Siis, koska ϕ ei esiinny Res Ind(θ):ssa, se ei esiinny myöskään Res(χ):ssä. Toisin sanoen Res(χ):ssä ei esiinny muita redusoitumattomia H :n karaktereja kuin θ:n konjugaatteja θ(s) . Näin ollen

ResH (χ) =

k X ¡

¯ ¢ ResH (χ) ¯ θ(si ) θ(si ) .

i=1

Käyttämällä sitä, että χ ∈ HG ja H £ G summan kertoimiksi saadaan

¡

¯ ¢ ResH (χ) ¯ θ(s) =

¯ ¢ ¡ 1 X 1 X χ(h)θ(s−1 hs) = χ(h)θ(h) = ResH (χ) ¯ θ H = e. #H #H h∈H

2

h∈H

4.5 Indusoidun modulin konstruktio Olkoon H ≤ G. Olkoon W vasen H -moduli. Esitämme indusoidulle modulille IndG H (W ) konkreettisen konstruktion. (Nämä indusoidut modulit ovat erikoistapaus paljon yleisemmästä renkaiden tai algebrojen esitysteoriaan kuuluvasta modulien indusoinnista. Näissä yleisemmissä tapauksissa ei kylläkään ole vastinetta kohta esitettävälle konkreettiselle menetelmälle.) S Kiinnitetään H :n vasempien sivuluokkien edustajisto D. Silloin G = d∈D dH . Muo¯ ©P ª ¯ dostetaan vektoriavaruus R, jolla on kantana D, siis R = (alkiot d∈D rd d rd ∈ C muodollisia summalausekkeita). Tarkastellaan tensorituloavaruutta R ⊗ W .

Lemma 4.5.1 Avaruuden R ⊗ W alkiolla on yksikäsitteinen esitys muodossa

P d∈D

d ⊗ wd ,

missä wd ∈ W . Todistus. Valitaan W :lle kanta {e1 , . . . , em }. Koska R:llä on kanta D, niin R ⊗ W :llä on kanta { d ⊗ ei | d ∈ D, i = 1, . . . , m }.

(4.7)

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

72

Siis R ⊗ W :n mielivaltainen alkio on m XX

rdi d ⊗ ei =

d∈D i=1

X

d⊗

m ³X

´ rdi ei

(rdi ∈ C),

i=1

d∈D

mikä on vaadittua muotoa. Tässä käytettiin tensoritulon laskusääntöjä (2.25) (tensorikuvauksen bilineaarisuutta). P P Olkoon jollain alkiolla kaksi esitystä d∈D d ⊗ wd = d∈D d ⊗ wd0 . Kirjoitetaan wd = P P 0 P P P P 0 0 0 i rdi ei ja wd = i rdi ei . Silloin d d ⊗ wd = d,i rdi d ⊗ ei ja d d ⊗ wd = d,i rdi d ⊗ ei , 0 0 joten rdi = rdi ∀ d, i. Siis wd = wd ∀ d ∈ D. 2

Lemma 4.5.2 Joukot d ⊗ W merk = {d ⊗ w | w ∈ W } (d ∈ D) ovat avaruuden R ⊗ W aliavaruuksia ' W , ja R ⊗ W on niiden suora summa, M R⊗W = d ⊗ W.

(4.8)

d∈D

Todistus. Kukin d ⊗ W on aliavaruus, sillä r(d ⊗ w) + r0 (d ⊗ w0 ) = d ⊗ rw + d ⊗ r0 w0 = d ⊗ (rw + r0 w0 )

(r, r0 ∈ C).

Kiinnitetyllä d:llä kuvaus W → d ⊗ W , w 7→ d ⊗ w, on lineaarinen (vaikka yo. laskelma), se on selvästi surjektio ja lemman 4.5.1 nojalla se on injektio. Siis d ⊗ W ' W . Väitetty suora summa seuraa lemmasta 4.5.1. 2 Määritellään G:n modulikertolasku avaruudessa R ⊗ W . Tarkastellaan ensin kiinnitettyjä S alkioita g ∈ G ja d ⊗ w ∈ d ⊗ W . Sivuluokkahajotelman G = d∈D dH perusteella on yksikäsitteiset sellaiset d0 ∈ D ja h0 ∈ H , että gd = d0 h0 . Merkitään

g · (d ⊗ w) = d0 ⊗ h0 w,

missä gd = d0 h0 , d0 ∈ D, h0 ∈ H.

(4.9)

Tässä, kuten jatkossakin, merkitsemme yksinkertaisuuden vuoksi H :n operointia W :ssä ilman pistettä: h0 · w = h0 w. Osoitamme seuraavaksi, että (4.9) on modulikertolasku. Lemman 4.5.1 nojalla (4.9) määrittelee hyvin määritellyn kuvauksen g · (−) : d ⊗ W → d0 ⊗ W (alkion d ⊗ w ∈ d ⊗ W esitys tässä muodossa on yksikäsitteinen, ts. ei ole sellaista alkiota w0 6= w, että d ⊗ w = d ⊗ w0 .) Tämä kuvaus on lineaarinen d ⊗ w:n funktiona, koska

g · (r d ⊗ w + r0 d ⊗ w0 ) = g · (d ⊗ (rw + r0 w0 )) = d0 ⊗ h0 (rw + r0 w0 ) = d0 ⊗ (rh0 w + r0 h0 w0 ) = r d0 ⊗ h0 w + r0 d0 ⊗ h0 w0 = r g · (d ⊗ w) + r0 g · (d ⊗ w0 ). Lemman 4.5.2 suorasummahajotelman ansiosta voimme yhdistää nämä  g :n operoinnit lineaarikuvaukseksi R ⊗ W → R ⊗ W : ³X ´ X g· d ⊗ wd = g · (d ⊗ wd ) (wd ∈ W ). d∈D

d∈D

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

73

Tämä saadaan aikaan jokaisella alkiolla g ∈ G, joten kyseessä on kuvaus G × (R ⊗ W ) → R ⊗ W , joka on R ⊗ W :n alkion suhteen lineaarinen. Olkoon g1 , g2 ∈ G. Silloin

g2 · (g1 · (d ⊗ w)) = g2 · (d0 ⊗ h0 w) = d00 ⊗ h00 (h0 w), missä d0 , d00 ∈ D ja h0 , h00 ∈ H määräytyvät ehdoista g1 d = d0 h0 ja g2 d0 = d00 h00 . Näistä seuraa (g2 g1 )d = g2 d0 h0 = d00 h00 h0 = d00 (h00 h0 ), missä d00 ∈ D ja h00 h0 ∈ H , joten

(g2 g1 ) · (d ⊗ w) = d00 ⊗ (h00 h0 )w. Siis g2 · (g1 · (d ⊗ w)) = (g2 g1 ) · (d ⊗ w). Koska vielä selvästi 1 · (d ⊗ w) = d ⊗ w, niin moduliaksioomat ovat voimassa. Näin R ⊗ W :stä on tehty G-moduli.

Huomautus 4.5.3 1) Ryhmän G operointi permutoi aliavaruuksia d ⊗ W . 2) Voidaan olettaa 1 ∈ D. Silloin 1 ⊗ W on H -alimoduli ja on H -moduli-isomorsmi 1 ⊗ W ' W , 1 ⊗ w 7→ w. (Itse asiassa, vaikkei olisi 1 ∈ D, niin jokin D:n alkio d1 kuuluu H :hon, ja nytkin on H -moduli-isomorsmi d1 ⊗ W ' W , vaikkei yhtä yksinkertainen; vrt. esimerkki 2.3.4.) 3) Seuraavassa lauseessa nähdään, että R⊗W on modulin IndG H (W ) konstruktio. Käytännössä sitä on helppo käyttää, kunhan muistaa suorasummahajotelman (4.8) (tai kannan (4.7)) ja modulikertolaskun määritelmän (4.9). 4) Yhtälöä (4.9) voi olla helpointa ajatella muodollisen laskelman g · (d ⊗ w) = gd ⊗ w = 0 0 d h ⊗ w = d0 ⊗ h0 w kautta, käyttäen sitä, että gd = dh0 , ja sääntöä  H :n alkiot saa viedä tensoritulomerkin yli. Tällaiselle ei meidän konkreettisessa lähestymistavassamme kylläkään ole oikeutusta! (Esimerkiksi mitä merkintä gd ⊗ w tarkoittaisi?) Jos olisimme määritelleet indusoidun modulin siten kuin se määritellään yleisemmässä renkaiden tai algebrojen teoriassa, tämä laskelma ja sääntö olisivat tarkkaan oikein.

Lause 4.5.4 Käytetään eo. oletuksia ja merkintöjä. Kun H -modulin W karakteri on ϕ, niin

G G-modulin R ⊗ W karakteri on IndG H (ϕ). Siis R ⊗ W ' IndH (W ).

Todistus. Olkoon ρ : G → GL(R ⊗ W ) modulia R ⊗ W vastaava G:n esitys ja χ sen karakteri. Tarkastellaan yhtä alkiota g ∈ G. On laskettava χ(g) = tr(ρ(g)). Ajatellaan ρ(g):n matriisia R ⊗ W :n kannan {d ⊗ ei | d ∈ D, i = 1, . . . , m} suhteen, missä {e1 , . . . , em } on W :n kanta. Kanta-alkion d ⊗ ei kuva kuvauksessa ρ(g) on ρ(g)(d ⊗ ei ) = g · (d ⊗ ei ) = d0 ⊗ h0 ei ,

missä

gd = d0 h0 , d0 ∈ D, h0 ∈ H.

(4.10)

Jos d0 6= d, niin kanta-alkiota d ⊗ ei vastaavalle pystyriville ρ(g):n matriisissa tulee päälävistäjälle 0; siis tällaisista aiheutuu jälkeen tr(ρ(g)) vain osuus 0. Tarkastellaan nyt sellaista d:tä, että (4.10):ssä on d = d0 . Siis gd = dh0 , h0 ∈ H . Merkitään ρ(g)d :llä ρ(g):n restriktiona saatavaa kuvausta d ⊗ W → d ⊗ W ; siis

ρ(g)d (d ⊗ ei ) = ρ(g)(d ⊗ ei ) = d ⊗ h0 ei = d ⊗ τ (h0 )(ei ),

LUKU 4. RESTRIKTIO JA INDUKTIO

74

missä τ on H -modulia W vastaava esitys H → GL(W ). Selvästi ρ(g)d :n matriisi d ⊗ W :n kannan {d ⊗ e1 , . . . , d ⊗ em } suhteen on sama kuin τ (h0 ):n matriisi kannan {e1 , . . . , em } P suhteen. (Jos τ (h0 ):n matriisi on (aij ) ts. τ (h0 )(ej ) = i aij ei , niin ³X ´ X ρ(g)d (d ⊗ ei ) = d ⊗ τ (h0 )(ei ) = d ⊗ aij ei = aij d ⊗ ei , i

i

¡ ¢ ¡ ¢ joten (aij ) on myös ρ(g)d :n matriisi.) Siis kuvauksen ρ(g)d jälki on tr ρ(g)d = tr τ (h0 ) = ¡ ¢ ϕ(h0 ). Koska ehdosta gd = dh0 seuraa h0 = d−1 gd, niin tr ρ(g)d = ϕ(d−1 gd). Panemalla ρ(g) taas kokoon kuvauksista d ⊗ W → d0 ⊗ W saadaan X ¡ ¢ tr ρ(g) = ϕ(d−1 gd). d∈D d0 =d

Edellä todettiin, että jos d0 = d niin d−1 gd = h0 ∈ H , ja tämä on voimassa kääntäenkin: jos d−1 gd ∈ H , niin kirjoittamalla gd = d(d−1 gd) saadaan d0 = d ja h0 = d−1 gd. Siis X ¡ ¢ tr ρ(g) = ϕ(d−1 gd). d∈D d−1 gd∈H G Lauseen 4.2.2 mukaan oikea puoli on IndG H (ϕ)(g), joten χ = tr(ρ(g)) = IndH (ϕ).

2

Esimerkki 4.5.5 Tarkastellaan diedriryhmää G = Dn = ha, bi (an = 1, b2 = 1, bab = a−1 ) ja sen aliryhmää H = hai ' Cn . Olkoon ζ ∈ C jokin n:s ykkösenjuuri ja olkoon W 1ulotteinen hai-moduli, jossa a:n operointi on a · w = ζw ∀ w ∈ W . (Koska hai ' Cn , on ryhmähomomorsmi hai → C× , jossa a 7→ ζ , ja W on tätä vastaava 1-ulotteinen moduli.) n Konstruoidaan IndD hai (W ). Koska Dn = 1hai ∪ bhai, sivuluokkien edustajistoksi voidaan ottaa D = {1, b}. Valitaan n W :lle kanta {e1 }. Silloin modulilla IndD hai (W ) = R ⊗ W on kanta {1 ⊗ e1 , b ⊗ e1 } (ks. (4.7)). Olkoon R : Dn → GL2 (C) matriisimuoto tämän kannan suhteen. Lasketaan R(a) ja R(b). Käyttämällä modulikertolaskua (4.9) saadaan

a · (1 ⊗ e1 ) = 1 ⊗ ae1 = 1 ⊗ ζe1 = ζ 1 ⊗ e1 −1

−1

a · (b ⊗ e1 ) = b ⊗ a e1 = b ⊗ ζ e1 = ζ µ ¶ ζ 0 Siis R(a) = . Samoin saadaan 0 ζ −1 b · (1 ⊗ e1 ) = b ⊗ 1e1 = b ⊗ e1

−1

sillä a1 = 1a, 1 ∈ D, a ∈ hai;

b ⊗ e1

sillä ab = ba−1 , b ∈ D, a−1 ∈ hai.

sillä b1 = b1, b ∈ D, 1 ∈ hai;

b · (b ⊗ e1 ) = 1 ⊗ 1e1 = 1 ⊗ e1 sillä bb = 11, 1 ∈ D, 1−1 ∈ hai, ³ ´ 01 josta R(b) = 1 0 . Näistä saadaan kaikki R(ai bj ):t, koska R on ryhmähomomorsmi. n (Harjoitus: Laske matriisimuodosta R modulin IndD hai (W ) karakteri. Kirjoita W :n karakteri n ϕ ja laske siitä indusoitu karakteri IndD hai (ϕ). Pitäisi tulla sama.)

Luku 5

Ryhmäalgebra Esimerkissä 2.1.12 määriteltiin G:n säännöllinen esitys avaruudessa C[G]. Modulikertolasku G × C[G] → C[G] tuli G:n kertolaskusta. Seuraavassa käytämme hyväksi sitä, että G:n kertolasku määrittelee myös tulon C[G] × C[G] → C[G], joka tekee C[G]:stä ns. assosiatiivisen algebran. Tutkimme tämän algebran rakennetta ja sen yhteyttä edellä kehiteltyyn G:n esitysten teoriaan. Seuraavassa käytetään mielivaltaista kuntaa K , mutta koska tässä kurssissa olemme kiinnostuneita vain tapauksesta K = C, voi joka kohdassa ajatella K :n tilalle C:n jos haluaa.

5.1 Assosiatiivinen algebra 5.1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 5.1.1 Algebra yli kunnan K eli K -algebra on K -vektoriavaruus A, jossa on määritelty kertolasku eli tulo A × A → A, merkitään a · b tai ab kun a, b ∈ A, joka toteuttaa seuraavat ehdot:

• Kertolasku on bilineaarinen , eli (ra + r0 a0 )b = rab + r0 a0 b,

a(rb + r0 b0 ) = rab + r0 ab0

∀ a, a0 , b, b0 ∈ A, r, r0 ∈ K.

• Kertolasku on assosiatiivinen , eli a(bc) = (ab)c ∀ a, b, c ∈ A. • Algebrassa A on ykkösalkio , siis sellainen alkio 1 = 1A , että a1 = 1a = a ∀ a ∈ A. Tarkemmin sanottuna tässä määritelty K -algebra on assosiatiivinen, ykkösalkiolla varustettu K -algebra. Algebra A on kommutatiivinen, jos lisäksi ab = ba ∀ a, b ∈ A. Siis K -algebra on joukko, joka on sekä rengas että vektoriavaruus yli K :n ja jossa nämä kaksi rakennetta ovat luonnollisella tavalla yhteensopivat. Huomaa, että tulon bilineaarisuus sisältää distributiivilait. Oletamme aina, että algebrat ovat äärellisulotteisia. 75

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

76

Esimerkki 5.1.2 Matriisijoukko Mn (K) = {(aij )n×n | aij ∈ K} varustettuna tavallisilla matriisien yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla ja skalaarilla kertomisella on K -algebra.

Esimerkki 5.1.3 Toinen tuttu K -algebra on polynomialgebra K[x] = {r0 + r1 x + r2 x2 + · · · + rs xs | s ≥ 0, r0 , . . . , rs ∈ K}. Tämä algebra on ääretönulotteinen ja kommutatiivinen.

Esimerkki 5.1.4 Kunta K itse on K -algebra. Esimerkki 5.1.5 Luokkafunktioavaruus HG on kommutatiivinen C-algebra pisteittäisen tulon suhteen. Itse asiassa F(G, C) on C-algebra ja HG sen alialgebra (määritelmä 5.1.9).

Esimerkki 5.1.6 Olkoon V vektoriavaruus yli K :n. Sen endomorsmiavaruus merk

EndK (V ) = HomK (V, V ) = {τ : V → V | τ on K -lineaarinen} on K -algebra, kun kuvausten summa ja skalaarimonikerrat määritellään tuttuun tapaan ja tuloksi otetaan kuvausten yhdistäminen; tätä kutsutaan V :n endomorsmialgebraksi.

Esimerkki 5.1.7 (Ryhmäalgebra) Äärellisen ryhmän G ryhmäalgebra K[G] on K -vektoriavaruus, jonka kantana on G:n alkiot, siis ½X rg g K[G] =

¯ ¾ ¯ ¯ rg ∈ K ∀ g ∈ G ¯

(5.1)

g∈G

(alkiot ovat muodollisia summalausekkeita), ja jossa kertolasku määritellään laajentamalla G:n kertolasku bilineaariseksi koko K[G]:lle; siis ´ ´³ X ´ ³X ´³ X ´ ³X X³ X X rh rg0 hg = rh rg0 u. rh h rg0 g = rg g rg0 g = g∈G

g∈G

h∈G

g∈G

h,g∈G

u∈G

h,g∈G hg=u

Tämä on hyvin määritelty bilineaarikuvaus K[G] × K[G] → K[G]. Bilineaarisuuden vuoksi assosiatiivilaki riittää tarkistaa kanta-alkioille, joille se seuraa G:n tulon assosiatiivisuudesta. Ykkösalkiona toimii G:n ykkösalkio. (Ajatellaan G upotetuksi K[G]:hen ilmeisellä tavalla.)

Esimerkki 5.1.8 Tarkastellaan tapausta K = C, G = C3 = hci, c3 = 1. Joukkona C[C3 ] = {r0 1 + r1 c + r2 c2 | ri ∈ K}, missä yleensä merkitään r0 1 = r0 . Esimerkiksi (2 + c − c2 )(3 − c2 ) = 6 − 2c2 + 3c − c3 − 3c2 + c4 = 5 + 4c − 5c2 , c(1 + c + c2 ) = c + c2 + 1 = 1 + c + c2 .

5.1.2 Algebroja koskevia perusasioita Määritelmä 5.1.9 Algebran A osajoukko B ⊆ A on alialgebra , jos se on A:n aliavaruus ja jos 1A ∈ B ja aa0 ∈ B ∀ a, a0 ∈ B . Ekvivalentisti: B on alialgebra jos se on sekä aliavaruus että alirengas.

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

77

Esimerkki 5.1.10 Matriisialgebralla Mn (K) on alialgebroina mm. diagonaalimatriisien ja yläkolmiomatriisien algebrat Dn (K) = {(aij ) ∈ Mn (K) | aij = 0 kun i 6= j } ja Tn (K) = {(aij ) ∈ Mn (K) | aij = 0 kun i > j }.

Esimerkki 5.1.11 Kun H ≤ G, niin K[H] on K[G]:n alialgebra. Määritelmä 5.1.12 Olkoot A ja B K -algebroja. Kuvaus f : A → B on algebrahomomorsmi, jos kaikilla alkioilla r, r0 ∈ K, a, a0 ∈ A f (ra + r0 a0 ) = rf (a) + r0 f (a0 ),

f (aa0 ) = f (a)f (a0 ),

f (1A ) = 1B ,

eli ekvivalentisti, jos f on sekä lineaarikuvaus että rengashomomorsmi. Jos f on bijektio, sitä sanotaan (algebra)isomorsmiksi. Jos on isomorsmi A → B , niin A ja B ovat isomorset, merkitään A ' B .

Esimerkki 5.1.13 Ryhmähomomorsmin G1 → G2 laajennus lineaarikuvaukseksi K[G1 ] → K[G2 ] on algebrahomomorsmi. Esimerkiksi normaalista aliryhmästä H £ G saadaan ryhmähomomorsmit H → G → G/H ja siis algebrahomomorsmit K[H] → K[G] → K[G/H].

Esimerkki 5.1.14 Olkoon V vektoriavaruus, dim V = n. Kiinnittämällä V :lle kanta jokainen τ ∈ EndK (V ) voidaan esittää matriisilla M (τ ), ja kuvaus τ 7→ M (τ ) on algebraisomorsmi EndK (V ) → Mn (K). Siis EndK (V ) ' Mn (K). Tämän restriktio GL(V ):lle on lauseen 2.1.15 ryhmäisomorsmi GL(V ) ' GLn (K).

Esimerkki 5.1.15 Kun H ≤ G, niin ResG H : HG → HH on algebrahomomorsmi. Esimerkki 5.1.16 Muodostetaan algebraisomorsmi C[C3 ] → D3 (C) esimerkin 2.2.5 avulla. Määritelmä 5.1.17 Aliavaruus I ⊆ A on A:n vasen ihanne, jos ax ∈ I ∀ a ∈ A, x ∈ I . Aliavaruus J ⊆ A on A:n oikea ihanne, jos xa ∈ J ∀ a ∈ A, x ∈ J . Jos I on sekä vasen että oikea ihanne, se on A:n ihanne eli kaksipuolinen ihanne.

Esimerkki 5.1.18 Jos f : A → B on algebrahomomorsmi, niin Ker(f ) on A:n ihanne ja Im(f ) on B :n alialgebra. Tämä todistetaan samaan tapaan kuin renkaille.

Esimerkki 5.1.19 Tarkastellaan esimerkin 5.1.8 tapausta K[C3 ]. Merkitään x = 1 + c + c2 ∈ K[C3 ]. Kun g = 1, c, c2 niin gx = x ja xg = x. Seuraa, että K[C3 ]:n yleiselle alkiolle a = r0 + r1 c + r2 c2 on voimassa ax ∈ L(x) ja xa ∈ L(x). Siis L(x) on 1-ulotteinen ihanne.

Esimerkki 5.1.20 Yleisestikin ryhmäalgebralla A = K[G] on aina 1-ulotteinen ihanne, jon-

P ka virittää alkio g∈G g . Sillä on aina myös (#G−1)-ulotteinen ihanne, jonka muodostavat P P ne alkiot g∈G rg g , joilla g∈G rg = 0. Vertaa esimerkkiin 2.2.2.

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

78

5.1.3 Algebran modulit ja esitykset Määrittelemme algebroille esitykset, matriisiesitykset ja modulit vastaavasti kuin ryhmien tapauksessa (vertaa määritelmiin 2.1.5, 2.1.1 ja 2.1.21).

Määritelmä 5.1.21 Olkoon A K -algebra. (i) A:n esitys avaruudessa V on algebrahomomorsmi ρ : A → EndK (V ). Dimensio dim V on esityksen aste. (Meillä esitysten asteet ovat aina äärellisiä.) (ii) A:n n-asteinen matriisiesitys on algebrahomomorsmi R : A → Mn (K). (iii) A:n (vasen) moduli on vektoriavaruus V varustettuna modulikertolaskulla A × V → V , merkitään (a, x) 7→ a · x = ax, joka täyttää ehdot:

• kuvaus A × V → V , (a, v) 7→ av , on bilineaarinen; • a(bv) = (ab)v aina kun a, b ∈ A, v ∈ V ; • 1v = v aina kun v ∈ V . Olkoon V vektoriavaruus yli K :n. Aivan samoin kuin ryhmillä (lause 2.1.22) algebran A esitykset ρ : A → EndK (V ) ja modulikertolaskut A × V → V vastaavat toisiaan kääntäen yksikäsitteisesti ; yhteyden antaa

ρ(a)(v) = av

∀ a ∈ A, v ∈ V.

(5.2)

Valitsemalla V :lle kanta saadaan algebraisomorsmi EndK (V ) ' EndK (V ) ρ......................... ... ... ............ . . . . . . Mn (K) (n = dim V ), ja tämän välityksellä A:n esitykset ρ : ' A ....... ............ ............ ... ............. A → EndK (V ) ja matriisiesitykset R : A → Mn (K) vastaavat .. R Mn (K) toisiaan kääntäen yksikäsitteisesti. Algebran A modulin V aliavaruus W on alimoduli, jos aw ∈ W ∀ a ∈ A, w ∈ W . Moduli V on alimoduliensa W ja U suora summa, merkitään V = W ⊕U , jos se on vektoriavaruutena niiden suora summa. Moduli V on redusoitumaton eli yksinkertainen, jos V 6= {0} ja jos sen ainoat alimodulit ovat {0} ja V . Moduli V on täydellisesti redusoituva, jos se on joidenkin redusoitumattomien alimoduliensa suora summa. Kun V1 ja V2 ovat A-moduleja, lineaarikuvaus f : V1 → V2 on A-modulihomomorsmi (lyhyesti homomorsmi ), jos

f (av) = af (v)

∀ a ∈ A, v ∈ V1 .

(5.3)

Samoin kuin lauseessa 2.3.11 osoitetaan, että kun f : V1 → V2 on modulihomomorsmi, niin Ker f ⊆ V1 ja Im f ⊆ V2 ovat alimoduleja. Bijektiivinen A-modulihomomorsmi f : V1 → V2 on (A-moduli-)isomorsmi. Jos on olemassa isomorsmi V1 → V2 , niin V1 ja V2 ovat isomorset, merkitään V1 ' V2 tai V1 'A V2 . Isomorsmin käänteiskuvauskin on isomorsmi, ja kahdesta isomorsmista yhdistetty kuvaus on isomorsmi (harj.).

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

79

Määritelmä 5.1.22 Algebran A säännöllinen moduli on A itse varustettuna tulon antamalla modulikertolaskulla a · x = ax ∀ a, x ∈ A. Merkitsemme tätä modulia A◦ :lla. Vastaava esitys A → EndK (A◦ ) on A:n säännöllinen esitys. (Usein modulia A◦ merkitään A A.)

Esimerkki 5.1.23 Modulin A◦ alimodulit ovat tarkalleen A:n vasemmat ihanteet. Kun V ja U ovat A-moduleja, merkitään

HomA (V, U ) = {f : V → U | f on A-modulihomomorsmi}. Erityisesti merkitään EndA (V ) = HomA (V, V ). Helposti todetaan, että EndA (V ) on algebra, kun vektoriavaruusoperaatiot ovat tavalliset ja tulona on kuvausten yhdistäminen. Se on EndK (V ):n alialgebra (esimerkki 5.1.6). o n³ ´¯ a b ¯ a, b, c, d ∈ C on isomoraa vaille vain Esimerkki 5.1.24 a) Algebralla M2 (C) = ¯ n ³c d´¯ o x ¯ yksi redusoitumaton moduli, nimittäin C2 = ¯ x, y ∈ C , operaatio tavallinen. n³ ´¯ o y a 0 ¯ b) Algebralla D2 (C) = 0 d ¯ a, d ∈ C on kaksi epäisomorsta redusoitumatonta modulia, kummankin dimensionon ³ 1. ´¯ o a b ¯ c) Algebralla T2 (C) = a, b, d ∈ C on kaksi epäisomorsta redusoitumatonta ¯ 0 d modulia, kummankin dimensio on 1. Myös C2 on luonnollisella tavalla T2 (C)-moduli; se on redusoituva muttei täydellisesti redusoituva.

Huomautus 5.1.25 Voidaan osoittaa, että seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Moduli V on täydellisesti redusoituva (redusoitumattomien alimodulien suora summa). (ii) Moduli V on redusoitumattomien alimodulien summa (ei ehkä suora). (iii) Aina kun W ⊆ V on alimoduli, on sellainen alimoduli U ⊆ V , että V = W ⊕ U . Kirjallisuudessa täydellinen redusoituvuus määritelläänkin yleensä millä tahansa näistä ehdoista. Pykälän 5.2.1 mukaan ekvivalenttisuus pätee ryhmän G moduleillekin.

5.1.4 Algebran idempotenteista ja suorasummahajotelmista Olkoon A äärellisulotteinen K -algebra. Algebran A keskus on alialgebra

Z(A) = {z ∈ A | az = za ∀ a ∈ A }. Alkiota e ∈ A sanotaan idempotentiksi, jos e2 = e. Kaksi idempotenttia e1 , e2 ovat ortogonaaliset, jos e1 e2 = e1 e2 = 0. Idempotentti on keskusidempotentti, jos se kuuluu keskukseen. Kun e ∈ A, merkitään Ae = {ae | a ∈ A}. Selvästi Ae on vasen ihanne. Se on itse asiassa e:n generoima vasen ihanne.

Lemma 5.1.26

(i) Oletetaan, että e1 , . . . , ek ovat A:n ortogonaalisia idempotentteja ja että e1 + · · · + ek = 1. Silloin A = Ae1 ⊕ · · · ⊕ Aek .

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

80

(ii) Oletetaan, että A = I1 ⊕ · · · ⊕ Ik , missä Ij :t ovat vasempia ihanteita. Kirjoitetaan 1 = e1 + · · · + ek (ej ∈ Ij ). Silloin ej :t ovat ortogonaalisia idempotentteja ja Ij = Aej (j = 1, . . . , k ).

Todistus. Todistetaan (i). Kun a ∈ A, niin a = a1 = ae1 +· · ·+aek , joten A = Ae1 +· · ·+Aek . Jos ae1 + · · · + aek = be1 + · · · + bek , niin kertomalla oikealta ei :llä saadaan aei = bei (koska e2i = ei ja ej ei = 0 kun i 6= j ). Siis summa on suora. Todistetaan (ii). Koska ei = ei 1 = ei e1 + · · · + ei ei + · · · + ei ek , ja ei ∈ Ii ja ei ej ∈ Ij , niin summan suoruudesta johtuen e2i = ei ja ei ej = 0 kun i 6= j .

2

Siis A:n hajotelmat A = I1 ⊕ · · · ⊕ Ik vasempien ihanteiden suoriksi summiksi vastaavat kääntäen yksikäsitteisesti 1:n hajotelmia ortogonaalisten idempotenttien summiksi 1 = e1 + · · · + ek . Tapaus, jossa ei :t ovat keskusidempotentteja, on erityisen tärkeä. Kun ei on keskusidempotentti, niin Aei on 2-puolinen ihanne, koska silloin Aei = ei A. Lisäksi tällöin Aei :tä voidaan katsoa algebroina:

Lemma 5.1.27 Olkoon e ∈ A keskusidempotentti. Silloin Ae on assosiatiivinen algebra, kertolaskuna A:n kertolaskun restriktio ja ykkösalkiona e. Todistus. Kertolaskun A × A → A restriktio antaa binäärioperaation Ae × Ae → Ae, koska aina (ae)(be) = (aeb)e ∈ Ae. Se on assosiatiivinen, koska se on assosiatiivinen koko A:ssa. Lisäksi e on Ae:n ykkösalkio, koska (ae)e = ae2 = a ja e(ae) = (ea)e = (ae)e = ae. 2 Siis, jos e1 , . . . , ek ∈ A ovat ortogonaalisia keskusidempotentteja, joiden summa on 1, niin A = Ae1 ⊕ · · · ⊕ Aek , missä Aei :t ovat sekä 2-puolisia ihanteita että algebroja, ykkösalkioina ei :t.

5.2 Ryhmäalgebra 5.2.1 Ryhmän ja ryhmäalgebran esitysten yhteys Osoitetaan, että jokaisesta ryhmän G esityksestä yli C:n saadaan ryhmäalgebran C[G] esitys ja kääntäen. Olkoon ρ : G → GL(V ) ryhmän G esitys C-vektoriavaruudessa V . Algebralla C[G] on kantana G:n alkiot, joten ρ laajenee yksikäsitteisellä tavalla lineaarikuvaukseksi ρe : C[G] → EndC (V ): ³X ´ X ρe rg g = rg ρ(g) ∈ EndC (V ) (rg ∈ C ∀ g). (5.4) g∈G

g∈G

Koska ρ on ryhmähomomorsmi, niin ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) ∀ g, h ∈ G ja ρ(1) = idV . Siis ρe on algebrahomomorsmi eli ryhmäalgebran C[G] esitys.

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

81

Kääntäen, olkoon annettuna ryhmäalgebran C[G] esitys τ : C[G] → EndC (V ). Restriktiona saadaan τ |G : G → EndC (V ), joka tietenkin toteuttaa τ |G (gh) = τ (gh) = τ (g)τ (h) = τ |G (g)τ |G (h) kun g, h ∈ G. Itse asiassa τ (g) ∈ GL(V ) ∀ g ∈ G, sillä koska

τ (g)τ (g −1 ) = τ (gg −1 ) = τ (1) = idV ,

τ (g −1 )τ (g) = τ (g −1 g) = τ (1) = idV ,

niin τ (g −1 ) = τ (g)−1 . Siis τ |G , katsottuna kuvaukseksi G → GL(V ), on ryhmän G esitys. Lisäksi on selvää, että ρe|G = ρ ja τg |G = τ . Näin ollen ryhmän G ja ryhmäalgebran C[G] esitykset samassa avaruudessa V vastaavat toisiaan kääntäen yksikäsitteisesti. Toisin sanoen G-modulia V voidaan katsoa C[G]-modulina ja kääntäen. Tässä vastaavudessa säilyy kaikki oleellinen; seuraavat on helppo todeta oikeiksi (V, V1 , V2 ovat G-moduleja):

•

f : V1 → V2 on G-modulihomomorsmi

•

V1 ' V2 G-moduleina

•

W ⊆ V on G-alimoduli ⇐⇒

•

V = V1 ⊕ V2 G-modulina ⇐⇒

•

V on redusoitumaton G-moduli ⇐⇒

•

⇐⇒

⇐⇒

f on C[G]-modulihomomorsmi;

V1 ' V2 C[G]-moduleina; W ⊆ V on C[G]-alimoduli; V = V1 ⊕ V2 C[G]-modulina; V on redusoitumaton C[G]-moduli;

V on täydellisesti redusoituva G-moduli ⇐⇒ moduli.

V on täydellisesti redusoituva C[G]-

Näistä ensimmäinen ominaisuus HomG (V, U ) = HomC[G] (V, U ) on ratkaisevin siinä mielessä, että muut voidaan johtaa siitä. Johtopäätös: G:n esitysteoria yli kunnan C ja C[G]:n esitysteoria ovat oleellisesti sama asia.

Esimerkki 5.2.1 Tarkastellaan ryhmän C3 = hci matriisiesitystä R : C3 → GL2 (C), R(c) = ³ ´

1 0 2πi/3 e : C[C3 ] → M2 (C), . Vastaava C[C3 ]:n esitys on R 0 ζ , missä ζ = ζ3 = e µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 0 e 0 +r1 c+r2 c2 ) = r0 1 0 +r1 1 0 +r2 1 02 = r0 + r1 + r2 R(r . 01 0ζ 0ζ 0 r0 + r1 ζ + r2 ζ 2

Esimerkki 5.2.2 Jos ρ : G → GL(V ) on G:n triviaali esitys, ts. ρ(g) = idV ∀ g ∈ G, niin vastaava C[G]:n esitys on ρe(a) = ²(a)idV ∀ a ∈ C[G], missä ² : C[G] → C määritellään ¡P ¢ P ² g rg g = g rg . Kutsutaan tällaista esitystä C[G]:n triviaaliksi esitykseksi. (Huom. ² on algebrahomomorsmi C[G] → C, ns. augmentointi.)

ª | v ∈ V . Silloin h·w = w ∀ h ∈ G, w ∈ W , toisin sanoen G:n esitys avaruudessa W on triviaali. Ryhmäalgebran P avulla W voidaan kirjoittaa muodossa W = {x · v | v ∈ V }, missä x = g∈G g ∈ C[G].

Esimerkki 5.2.3 Olkoon V G-moduli. Merkitään W =

©P

g∈G (g·v)

Huomautus 5.2.4 Olemme käsitelleet ryhmän esityksiä vain yli C:n (siis G-modulit ovat olleet vektoriavaruuksia yli C:n), paitsi että yleisempi tilanne on mainittu huomautuksissa 2.5.5 ja 2.6.4. Ryhmän G esitys yli kunnan K on ryhmähomomorsmi G → GL(V ), missä

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

82

V on vektoriavaruus yli K :n; V on vastaava esitysavaruus ja siitä saadaan tuttuun tapaan G-moduli. Kuten edellä päätellään, että ryhmän G ja ryhmäalgebran K[G] esitykset samassa K -avaruudessa V vastaavat toisiaan kääntäen yksikäsitteisesti. Toisin sanoen G-modulia V voidaan katsoa K[G]-modulina ja kääntäen. Tarkemmin tutkimalla saadaan nytkin tulos: G:n esitysteoria yli kunnan K ja K[G]:n esitysteoria ovat oleellisesti sama asia. Huomaa kuitenkin, että K[G]:n esitykset ovat aina K :n yli, kun taas ryhmälle G voidaan muodostaa esityksiä minkä tahansa kunnan yli (vrt. huomautus 2.5.5).

5.2.2 Ryhmäalgebran idempotenteista P Olkoon G ryhmä (äärellinen kuten meillä aina). Ryhmäalgebran C[G] alkiot g∈G rg g voiP daan tietenkin kirjoittaa g∈G f (g)g , missä f on funktio G → C eli f ∈ F(G, C).

Lemma 5.2.5 Olkoon G ryhmä ja olkoon f : G → C funktio. Ryhmäalgebran C[G] alkio

P

g∈G

f (g)g kuuluu keskukseen Z(C[G]) jos ja vain jos f on luokkafunktio eli f ∈ HG .

Todistus. Merkitään a =

P g∈G

f (g)g . Saadaan

a ∈ Z(C[G]) ⇐⇒ ab = ba ∀ b ∈ C[G] ⇐⇒ ah = ha ∀ h ∈ G ⇐⇒ h−1 ah = a ∀ h ∈ G. Toisaalta

h−1 ah =

X

f (g)h−1 gh =

g∈G

Siis a ∈ Z(C[G]) jos ja vain jos f (hgh

−1

X

f (hgh−1 )g.

g∈G

) = f (g) ∀ g, h ∈ G eli jos ja vain jos f ∈ H.

2

Olkoon V G-moduli. Katsotaan sitä myös C[G]-modulina. Lauseessa 3.7.1 löysimme kanoniseen hajotelmaan V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk liittyvät projektiot pi : V → V : ni X χi (g) g · v (i = 1, . . . , k, v ∈ V ). (5.5) pi (v) = #G g∈G

Voimme lausua nämä muodossa

pi (v) = ²i · v

(i = 1, . . . , k, v ∈ V ),

(5.6)

missä ²i :t ovat C[G]:n alkiot

²i =

ni X χi (g) g #G

(i = 1, . . . , k).

(5.7)

g∈G

Siispä V :n homogeeniset komponetit Vi voidaan kirjoittaa Vi = pi (V ) = ²i V , ja V :n kanoninen hajotelma siis on V = ²1 V ⊕ · · · ⊕ ²k V. (5.8)

Lause 5.2.6 Alkiot ²i ovat C[G]:n ortogonaalisia keskusidempotentteja joiden summa on 1.

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

83

Todistus. Tarkastellaan säännöllistä G-modulia C[G]. Sen kanoninen hajotelma on (5.8):n nojalla C[G] = ²1 C[G] ⊕ · · · ⊕ ²k C[G]. Kun a ∈ C[G], niin a = p1 (a) + · · · + pk (a) = ²1 a + · · · + ²k a. Tapaus a = 1 antaa 1 = ²1 + · · · + ²k . Lemmasta 5.1.26 seuraa, että ²i :t ovat ortogonaalisia idempotentteja. Lemman 5.2.5 mukaan ne kuuluvat C[G]:n keskukseen. 2

Esimerkki 5.2.7 Eräs idempotenteista ²i kannattaa mainita erikseen, nimittäin ykköskarakteria χ1 vastaava ²1 . Ykköskarakteri toteuttaa χ1 (g) = 1 ∀ g ∈ G; siis

²1 =

1 X g. #G

(5.9)

g∈G

Modulin V kiintopisteiden joukko V G = {v ∈ V | g · v = v ∀ g ∈ G} on ykköskarakteria vastaava V :n homogeeninen osa (esimerkki 3.7.6), joten

V1 = V G = { v ∈ V | gv = v ∀ g ∈ G } = p1 (V ) = ²1 V.

(5.10)

5.2.3 Ryhmäalgebran rakenne Sovitaan seuraavat merkinnät:

 S1 , . . . , Sk on redusoitumattomien G-modulien isomoraluokkien edustajisto,        ρi : C[G] → EndC (Si ) on modulia Si vastaava esitys,   (5.11) χi = χSi ,     ni = dim Si = χi (1),     P  ni ²i = #G g∈G χi (g) g.

Huomaa, että tässä G-modulia Si katsotaan myös C[G]-modulina, ja yo. algebran esitys ρi : C[G] → EndC (Si ) on ryhmän esityksen G → GL(Si ) lineaarinen laajennus (ks. (5.4)); Merkitään kumpaankin ρi :llä.

Lause 5.2.8

(i) C[G] = C[G]²1 ⊕ · · · ⊕ C[G]²k .

(ii) ²1 , . . . , ²k ovat ortogonaalisia keskusidempotentteja, ja niiden summa on 1. (iii) Hajotelma (i) on säännöllisen modulin C[G] kanoninen hajotelma, ja siihen liittyvät projektiot pi ovat a 7→ ²i a. (iv) Idempotentti ²i operoi Si :ssä identiteettikuvauksena ja Sj :ssä nollana kun i 6= j .

Todistus. Kohdat (i)(iii) on todistettu aikaisemmin. Koska redusoitumattoman modulin Si kanoninen hajotelma on Si = Si (vain yksi homogeeninen komponentti), niin projektio (5.6) pi : Si → Si on identiteettikuvaus ja siis ²i operoi Si :ssä identiteettikuvauksena (ks. (5.6)). Jos i 6= j , niin Sj :ssä ei ole Si -homogeenista komponenttia (eli se on {0}), joten vastaava projektiokin on nollakuvaus, ts. ²i operoi Sj :ssä nollana. 2

Lause 5.2.9

(i) Jokainen C[G]²i on algebra, ykkösalkiona ²i .

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

84

(ii) Esityksen ρi : C[G] → EndC (Si ) restriktio komponentille C[G]²i (5.12)

ρ|C[G]²i : C[G]²i −→ EndC (Si )

on algebraisomorsmi. (iii) On lineaarinen bijektio

F : C[G] −→

k M

EndC (Si ),

F (a) = (ρ1 (a), . . . , ρk (a))

∀ a ∈ C[G].

(5.13)

i=1

Todistus. Väite (i) seuraa lemmasta 5.1.27. Esitys ρi : C[G] → EndC (Si ) on algebrahomomorsmi, mikä tarkoittaa että ρi (ab) = ρi (a)ρi (b) kun a, b ∈ C[G] ja että ρi (1) = id. Osoitetamme seuraavaksi, että ρi :n restriktio C[G]²j → EndC (Si ) on nollakuvaus, jos i 6= j , mutta algebraisomorsmi, jos i = j . Lauseen 5.2.8 kohdan (iv) mukaan ( id jos i = j, ρi (²j ) = 0 jos i 6= j. Siis kun i 6= j , niin ρi (a²j ) = ρi (a)ρi (²j ) = 0 eli ρi (C[G]²j ) = 0. Tapauksessa i = j ρi :n restriktio C[G]²i → EndC (Si ) on algebrahomomorsmi, koska ensiksikin ρi (ab) = ρi (a)ρi (b) (jopa kaikilla C[G]:n alkioilla a, b), ja toiseksi C[G]²i :n ykkösalkion ²i kuva ρi (²i ) = id on EndC (Si ):n ykkösalkio. Jotta ρi :n restriktio C[G]²i → EndC (Si ) olisi algebraisomorsmi, on osoitettava, että se on bijektio. Näytetään ensin injektiivisyys. Olkoon ρi (a²i ) = 0 jollain alkiolla a ∈ C[G]. Silloin a²i operoi nollana Si :ssä, ja edellä todetun mukaisesti a²i operoi nollana myös muissa Sj :ssä. Maschken lauseen nojalla a²i operoi silloin nollana kaikissa G-moduleissa, siis myös säännöllisessä modulissa C[G]. Seuraa (a²i ) · 1 = 0 eli a²i = 0. Tämä todistaa väitetyn injektiivisyyden. Koska C[G]²i on C[G]:n Si -homogeeninen komponetti ja koska Si esiintyy C[G]:ssä ni kertaa (lause 3.4.12), niin C[G]²i ' Si ⊕· · ·⊕Si (ni yhteenlaskettavaa). Siis dim(C[G]²i ) = n2i . Mutta myös dim(EndC (Si )) = n2i . Siis injektiivinen lineaarikuvaus C[G]²i → EndC (Si ) on myös surjektiivinen. Näin (ii) on todistettu. Isomorsmeista ρi |C[G]²i : C[G]²i → EndC (Si ) voidaan panna kokoon isomorsmi

C[G] = C[G]²1 ⊕ · · · ⊕ C[G]²k −→

k M

EndC (Si ),

i=1

kuvaamalla a1 + · · · + ak 7→ (ρ1 (a1 ), . . . , ρk (ak )) (ai ∈ C[G]²i ). (Vasemmalla puolella on sisäinen ja oikealla ulkoinen suora summa.) Kun a = a1 + · · · + ak , niin ρi (a) = ρi (a1 + · · · + ak ) = ρi (ai ), sillä edellä todetun mukaan ρi (aj ) = 0 kun i 6= j . Siis tämä isomorsmi on juuri väitteen F . 2

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

85

Assosiatiivisten algebrojen Bi , . . . , Br suora summa B1 ⊕ · · · ⊕ Br määritellään vektoriavaruuksien (ulkoisena) suorana summana, jossa on lisäksi kertolasku

(b1 , . . . , br )(b01 , . . . , b0r ) = (b1 b01 , . . . , br b0r )

(bi , b0i ∈ Bi ).

On helppo todeta, että B1 ⊕ · · · ⊕ Br on assosiatiivinen algebra, jolla on ykkösalkio (1, . . . , 1). Lauseen 5.2.9 isomorsmista F tulee algebraisomorsmi, kun oikea puoli varustetaan tällä algebrarakenteella. Tulos voidaan esittää matriiseillakin käyttäen isomorsmeja EndC (Si ) ' Mni (C): Olkoon P Lk n = i n2i = #G. Silloin lauseesta saadaan isomorsmi C[G] ' i=1 Mni (C), ja oikea puoli voidaan samaistaa Mn (C):n alialgebran kanssa, jonka muodostavat lohkomatriisit   M1 O . . . O M2 O  O . . ..  (Mi ∈ Mni (C)). (5.14)  .. . .  . O O . . . Mk Kyseessä on jopa algebraisomorsmi.

Lause 5.2.10 (Fourier'n inversiokaava) Lauseen 5.2.9 isomorsmin F käänteiskuvaus on F −1 : EndC (S1 ) ⊕ · · · ⊕ EndC (Sk ) → C[G], ¶ k Xµ 1 X ¡ ¢ −1 −1 F (f1 , . . . , fk ) = ni trSi ρi (g )fi g. #G i=1 g∈G

(5.15)

(Tässä trSi tarkoittaa kuvauksen Si → Si jälkeä.) Toisin sanoen, kun fi ∈ EndC (Si ) (i = 1, . . . , k ) ovat mielivaltaisia, on yksikäsitteinen sellainen a ∈ C[G], että ρi (a) = fi ∀ i, P nimittäin a = g∈G rg g , missä k

¡ ¢ 1 X rg = ni trSi ρi (g −1 )fi #G i=1

(g ∈ G).

(5.16)

Todistus. Koska F tiedetään bijektioksi, riittää osoittaa, että väitteen kuvaus F −1 toteutP taa ehdon F −1 ◦ F = id. Olkoon a = h∈G rh h ∈ C[G] mielivaltainen. Silloin F (a) = (ρ1 (a), . . . , ρk (a)). Kun tähän sovelletaan väitteen kuvausta, saadaan ¶ k Xµ 1 X ¡ ¢ −1 ni trSi ρi (g )ρi (a) g. (5.17) #G i=1 g∈G P P Tässä ρi (g −1 )ρi (a) = h rh ρi (g −1 )ρi (h) = h rh ρi (g −1 h) (Huomaa, että ρi tarkoittaa sekä G:n esitystä G → GL(Si ) että siitä laajennettua C[G]:n esitystä C[G] → EndC (Si ).) Siis lausekkeessa (5.17) g :n kerroin on k k ³X ´ ¡ ¢ 1 X 1 X X ni trSi rh ρi (g −1 h) = ni rh trSi ρi (g −1 h) #G i=1 #G i=1 h∈G

h∈G

k k 1 X X 1 X X rh χi (g −1 h) = rh ni χi (g −1 h) = ni #G i=1 #G i=1 h∈G h∈G 1 X −1 = rh χG (g h) = rg , #G h∈G

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

86

missä käytettiin ensin jäljen tr lineaarisuutta ja lopuksi χG :n kahta lauseketta (lauseet 3.3.2 P ja 3.4.12). Siis (5.17) on g∈G rg g = a. 2

5.2.4 Ryhmäalgebran keskus ja keskusidempotentit On helppo nähdä, että C[G]:n keskuksella Z(C[G]) on kanta C1 , . . . , Ck ovat G:n konjugaattiluokat. Siis

©P

g∈Ci

¯ ª g ¯ i = 1, . . . , k , missä

dim Z(C[G]) = k = G:n konjugaattiluokkien määrä.

(5.18)

Myös {²1 , . . . , ²k } on Z(C[G]):n kanta. Nimittäin lauseen 5.2.6 mukaan ²i :t ovat keskuksessa, ja koska ne ovat ortogonaalisia idempotentteja 6= 0, ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Lisäksi niitä on oikea määrä.

Esimerkki 5.2.11 Ryhmän S3 redusoitumattomat karakterit χ1 , χ2 , χ3 löydettiin esimerkissä 3.6.1. Niiden asteet ovat n1 = n2 = 1, n3 = 2. Näin ollen dim Z(C[S3 ]) = 3 (vaikka S3 :n keskus on {1}!) ja Z(C[S3 ]) = C²1 ⊕ C²2 ⊕ C²3 . Edelleen, C[S3 ] = A1 ⊕ A2 ⊕ A3 , missä Ai = C[S3 ]²i ja dim A1 = dim A2 = 1 ja dim A3 = 4. Laske idempotenttien ²i lausekkeet. Algebran A esitystä ρ : A → EndK (V ) sanotaan uskolliseksi, jos ρ on injektio. Seuraava esimerkki osoittaa, että ryhmän G esitys G → GL(V ) voi olla uskollinen ilman että vastaava ryhmäalgebran esitys C[G] → EndC (V ) olisi uskollinen.

Esimerkki 5.2.12 Jatketaan S3 :n tarkastelua. Esimerkissä 3.7.5 tutkittiin S3 :n luonnollista 3-asteista permutaatioesitystä; katsotaan sitä nyt C[S3 ]:n esityksenä ρ : C[S3 ] → EndC (V ). Modulille V löydettiin kanoninen hajotelma V = V1 ⊕ V3 , ja V1 ' S1 ja V3 ' S3 . Koska V :stä puuttuu S2 -homogeeninen komponentti, niin A2 = C[S3 ]²2 operoi V :ssä nollana; toisin sanoen ρ(A2 ) = {0}. Siis algebran C[S3 ] esitys ρ : C[S3 ] → EndC (V ) ei ole uskollinen. (Tarkemmin tutkimalla todettaisiin, että sen ydin on tarkalleen A2 .) Kuitenkin esimerkin 2.1.20 mukaan ryhmän esitys S3 → GL(V ) on uskollinen! Esimerkki 5.2.13 Tutkitaan samaa asiaa esimerkin 5.2.1 esitykselle. Esimerkki 5.2.14 Miten Z(C[G]):n edellä löydetyt kaksi kantaa lausutaan toistensa avulla?

5.2.5 Abelin ryhmän ryhmäalgebra Tässä pykälässä G on Abelin ryhmä. Merkitään n = #G. Konjugaattiluokkia on n kappaletta ja jokaisen kertaluku on 1. Olkoot χ1 , . . . , χn redusoitumattomat karakterit, siis ryhmähob :n alkiot). Ortogonaalisuusrelaatioista (3.17) ja (3.26) saadaan momorsmit G → C× (G

1 X χi (g)χj (g) = δij , n g∈G

n

1X χ (h)χi (g) = δhg . n i=1 i

(5.19)

(i, j = 1, . . . , n ja h, g ∈ G). Edelliset ovat karakterien ortogonaalisuusrelaatiot ja jälkimmäiset niiden duaalirelaatiot.

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

87

Koska C[G] on kommutatiivinen algebra, niin Z(C[G]) = C[G], joten keskusidempotentit P ²i = n1 g χi (g) g muodostavat C[G]:n kannan. Kantojen {g | g ∈ G} ja {²i | i = 1, . . . , n} välillä on muunnokset X 1X ²i = χi (g) g, g = χi (g)²i . (5.20) n g i Jälkimmäinen saadaan helposti ortogonaalisuusrelaatioista. Näistä kaavoista johdetaan edelP P leen seuraava seikka: Kun alkiolla a ∈ C[G] on kantaesitykset a = g rg g = i qi ² i (rg , qi ∈ C), niin kertoimilla on yhteys

qi =

X

rg χi (g),

rg =

g

1X qi χi (g) . n i

(5.21)

Kun alkiot esitetään kannassa {²i | i = 1, . . . , n}, niin niiden skalaarimonikerrat, summat Pn Pn ja tulot saadaan heti: Jos a = i=1 ri ²i ja b = i=1 si ²i , niin

ra =

n X

rri ²i

(r ∈ C),

a+b=

i=1

n X

(ri + si )²i ,

i=1

ab =

n X

ri si ²i .

i=1

Tämä merkitsee, että algebrana C[G] on isomoraa vaille määrätty, heti kun #G = n on annettu. Siis: Jos G ja H ovat Abelin ryhmiä ja #G = #H , niin C[G] ' C[H] algebroina.

Esimerkki 5.2.15 a) Ryhmien C4 ja V4 ryhmäalgebrat ovat isomorset diagonaalisten 4×4matriisien algebran kanssa. Mistä edellä esiintyneestä kohdasta tämä nähdään heti? b) Kirjoitetaan C[C4 ]:n ja C[V4 ]:n idempotentit ja kummallekin kantojen {g | g ∈ G} ja {²i | i = 1, . . . , 4} väliset muunnokset. c) Kirjoitetaan kummankin algebran kertotaulu käyttäen kumpiakin em. kannoista. Todistetaan lopuksi, että vaikkei Abelin ryhmä G määräydykään yksikäsitteisesti C[G]:stä (kun tätä katsotaan vain algebrana), niin se määräytyy ryhmärenkaasta Z[G]. Tämä on C[G]:n osajoukko ¯ ½X ¾ ¯ rg g ¯¯ rg ∈ Z ∀ g ∈ G Z[G] = (5.22) g∈G

varustettuna C[G]:stä restriktioina saatavilla yhteenlasku- ja kertolaskuoperaatioilla. Nämä operaatiot tekevät Z[G]:stä renkaan. (Skalaarilla kertominen jää pois; Z[G] ei ole C-algebra.)

Lemma 5.2.16 Olkoon G Abelin ryhmä. Jos u ∈ Z[G] ja uk = 1, k > 0, niin u = ±s jollain G:n alkiolla s. P P Todistus. Olkoon u = g∈G rg g = gi=1 qi ²i , missä rg ∈ Z ja qi ∈ C. Käyttämällä sitä, että ²i :t ovat ortogonaalisia idempotentteja, saadaan k

u =

µX g i=1

¶k qi ² i

=

g X i=1

qik ²i .

LUKU 5. RYHMÄALGEBRA

88

Toisaalta uk = 1 = ²1 + · · · + ²n . Siis qik = 1, joten |qi | = 1. Koska u 6= 0, niin jokin rs 6= 0 P missä s ∈ G. Kaavojen (5.21) mukaan rs = n1 i qi χi (s). Kolmioepäyhtälöstä saadaan ¯ X ¯ ¯1 ¯ ¯ ¯ 1 X¯¯ 1 X¯¯ ¯¯¯¯ ¯ |rs | = ¯ qi χi (s) ¯¯ ≤ qi χi (s) ¯ = qi χi (s) ¯ = 1, n i n i n i sillä myös | χi (s) | = 1 (ykkösenjuuria). Koska rs ∈ Z \ {0}, seuraa, että rs = ±1 ja että kolmioepäyhtälössä on yhtäsuuruus. Seuraa, että summan kaikki termit qi χi (s) ovat yhtäP suuria (oletetaan tunnetuksi tämä kolmioepäyhtälön ominaisuus). Koska rs = n1 i qi χi (s), niin qi χi (s) = rs ∀ i. Näin ollen qi = rs χi (s) ∀ i. Saadaan

rg = Siis u = rs s = ±s.

1 X 1X qi χi (g) = rs χi (s)χi (g) = rs δsg . n i n i

2

Lause 5.2.17 Jos G ja H ovat Abelin ryhmiä ja Z[G] ' Z[H] (rengasisomorsmi), niin G ' H (ryhmäisomorsmi). Todistus. Jos G ' H , niin tietenkin Z[G] ' Z[H]. Oletetaan nyt, että on rengasisomorsmi f : Z[G] → Z[H]. Toisin sanoen f on bijektio ja toteuttaa ehdot f (u1 + u2 ) = f (u1 ) + f (u2 ) ja f (u1 u2 ) = f (u1 )f (u2 ) (u1 , u2 ∈ Z[G]) ja f (1) = 1. Selvästi f antaa bijektion ©

¯ ª u ∈ Z[G] ¯ uk = 1 jollain k :lla > 0

−→

©

¯ ª v ∈ Z[H] ¯ v k = 1 jollain k :lla > 0 ,

siis lemman mukaan bijektion

{g | g ∈ G} ∪ {−g | g ∈ G} → {h | h ∈ H} ∪ {−h | h ∈ H} (sillä kun g ∈ G niin (±g)2(#G) = 1 ja vastaavasti H :lle). Siis #G = #H . Restriktiona saadaan injektio f |G : G → {h | h ∈ H} ∪ {−h | h ∈ H}. Tässä ei esiinny tapausta f (g1 ) = h ja f (g2 ) = −h (gi ∈ G), sillä seuraisi f (g1 + g2 ) = 0, mikä on vastoin f :n injektiivisyyttä. Näin ollen, sopivilla etumerkeillä σh = ±1, f :n restriktio antaa bijektion G → f (G) = {σh h | h ∈ H}. Lisäksi f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) (gi ∈ G). Siis alkiot σh h muodostavat ryhmän H1 (renkaan Z[H] aliryhmän) ja f |G : G → H1 on ryhmäisomorsmi. Selvästi H1 ' H . 2