Matrice. Operatii Cu Matrice [PDF]

Zitiervorschau

2. MATRICE. OPERAT ¸ II CU MATRICE 1. Not¸iunea de matrice Definit¸ie. Fie m, n P N˚ . Numim matrice de tipul pm, nq o funct¸ie A : t1, . . . , mu ˆ t1, . . . , nu Ñ C. Dac˘a not˘am Api, jq “ aij P C, i P t1, . . . , mu, j P t1, . . . , nu, atunci vom nota pe A sub forma: ¨ ˛ a11 a12 ¨ ¨ ¨ a1n ˚ a21 a22 ¨ ¨ ¨ a2n ‹ ˚ ‹ A “ ˚ .. .. .. ‹ . . ˝ . . . . ‚ am1 am2 ¨ ¨ ¨ amn adic˘a un tablou cu m linii ¸si n coloane ce cuprinde valorile funct¸iei A. ˆIn loc de matrice de tipul pm, nq se mai spune matrice cu m linii ¸si n coloane. Numerele complexe aij se numesc elementele matricei A. De multe ori pentru matricea A se mai folose¸ste notat¸ia prescurtat˘a A “ paij q1ďiďm . 1ďjďn

Not˘am cu Mm,n pCq mult¸imea matricelor de tipul pm, nq avˆand elemente numere complexe. Dou˘a matrice A “ paij q1ďiďm P Mm,n pCq ¸si B “ pbij q1ďiďm P Mm,n pCq sunt egale dac˘a ¸si numai 1ďjďn

1ďjďn

dac˘a au elementele respectiv egale, adic˘a aij “ bij , @i P t1, 2, . . . , mu, @j P t1, 2, . . . , nu. Cazuri particulare: ‚ Dac˘a m “ 1, atunci matricea A este de tipul p1, nq, se nume¸ste matrice linie ¸si are forma ˘ ` A “ a11 a12 ¨ ¨ ¨ a1n . ‚ Dac˘a n “ 1, atunci matricea A este de tipul pm, 1q, se nume¸ste matrice coloan˘a ¸si are forma ¨ ˛ a11 ˚ a21 ‹ ˚ ‹ A “ ˚ .. ‹ . ˝ . ‚ am1 ‚ Dac˘a m “ n, atunci matricea A este de tipul pn, nq ¸si se nume¸ste matrice p˘atratic˘a de ordinul n. Not˘am cu Mn pCq mult¸imea matricelor p˘atratice de ordin n avˆand elemente complexe. Pentru o matrice p˘atrtic˘a de ordin n : ¨ ˛ a11 a12 ¨ ¨ ¨ a1n ˚ a21 a22 ¨ ¨ ¨ a2n ‹ ˚ ‹ A “ ˚ .. .. . . .. ‹ , ˝ . . . . ‚ an1 an2 ¨ ¨ ¨ ann sistemul ordonat de elemente pa11 , a22 , . . . , ann q se nume¸ste diagonala principal˘a a matricei A, iar suma elementelor de pe diagonala principal˘a se nume¸ste urma matricei A ¸si se noteaz˘a cu tr pAq. A¸sadar, tr pAq “ a11 ` a22 ` . . . ` ann P C.

Fi¸se cu teorie pentru clasa a XI-a Algebr˘ a: 2. Matrice. Operat¸ii cu matrice

´1´

Profesor Marius Damian, Br˘ aila

2. Operat¸ii cu matrice 1. Adunarea matricelor. Fie A “ paij q1ďiďm P Mm,n pCq ¸si B “ pbij q1ďiďm P Mm,n pCq. Definim 1ďjďn

1ďjďn

matricea C “ pcij q1ďiďm P Mm,n pCq, unde cij “ aij ` bij , @i P t1, 2, , . . . , mu, @j P t1, 2, . . . , nu. 1ďjďn

Matricea C se nume¸ste suma dintre matricele A ¸si B ¸si se noteaz˘a C “ A ` B, iar operat¸ia prin care oric˘aror dou˘a matrice A ¸si B din Mm,n pCq li se asociaz˘a suma lor se nume¸ste adunare. Observat¸ie. Adunarea a dou˘a matrice se poate efectua numai dac˘a matricele sunt de acela¸si tip. Adunarea matricelor are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: ‚ Adunarea este asociativ˘a, adic˘a @A, B, C P Mm,n pCq ùñ pA ` Bq ` C “ A ` pB ` Cq. ‚ Adunarea este comutativ˘a, adic˘a @A, B P Mm,n pCq ùñ A ` B “ B ` A. ‚ Element neutru. Matricea de tipul pm, nq ale c˘arei elemente sunt toate egale cu 0 se noteaz˘a cu Om,n ¸si se nume¸ste matricea nul˘a. Matricea nul˘a este element neutru pentru adunarea matricelor, adic˘a A ` Om,n “ Om,n ` A “ A, @A P Mm,n pCq. ‚ Orice matrice are o matrice opus˘a, adic˘a pentru orice A “ paij q1ďiďm P Mm,n pCq exist˘a matricea 1ďjďn

´A “ p´aij q1ďiďm P Mm,n pCq numit˘a opus˘a a matricei A astfel ˆıncˆat A ` p´Aq “ p´Aq ` A “ Om,n . 1ďjďn

Observat¸ie. Pentru A, B P Mm,n pCq suma A ` p´Bq se noteaz˘a mai simplu A ´ B ¸si se nume¸ste diferent¸a dintre A ¸si B. Operat¸ia prin care oric˘aror dou˘a matrice A ¸si B din Mm,n pCq li se asociaz˘a diferent¸a lor se nume¸ste sc˘adere. 2. ˆInmult¸irea matricelor. Fie A “ paij q1ďiďm P Mm,n pCq ¸si B “ pbjk q1ďjďn P Mn,p pCq. Definim 1ďjďn

1ďkďp

matricea C “ pcik q1ďiďm P Mm,p pCq, unde 1ďkďp

cik “ ai1 b1k ` ai2 b2k ` . . . ` ain bnk “

n ÿ

aij bjk , @i P t1, 2, , . . . , mu, @k P t1, 2, . . . , pu.

j“1

Matricea C se nume¸ste produsul dintre matricele A ¸si B (ˆın aceast˘a ordine) ¸si se noteaz˘a C “ A ¨ B, iar operat¸ia prin care oric˘aror dou˘a matrice A P Mm,n pCq ¸si B P Mn,p pCq li se asociaz˘a produsul lor lor se nume¸ste ˆınmult¸ire. Observat¸ie. Are sens s˘a vorbim despre produsul matricei A cu matricea B (ˆın aceast˘a ordine) numai dac˘a num˘arul de coloane ale matricei A este egal cu num˘arul de linii ale matricei B. ˆInmult¸irea matricelor are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: ˆ ‚ Inmult ¸irea este asociativ˘a, ˆın sensul c˘a @A P Mm,n pCq, B P Mn,p pCq, C P Mp,q pCq are loc egalitatea pA ¨ Bq ¨ C “ A ¨ pB ¨ Cq. ˆ ‚ Inmult ¸irea matricelor este distributiv˘a la stˆanga ¸si la dreapta fat¸˘a de adunare, ˆın sensul c˘a @A P Mm,n pCq, B, C P Mn,p pCq ùñ A ¨ pB ` Cq “ A ¨ B ` A ¨ C @A, B P Mm,n pCq, C P Mn,p pCq ùñ pA ` Bq ¨ C “ A ¨ C ` B ¨ C. ˆ ‚ In mult¸imea Mn pCq exist˘a un element neutru fac˘a de ˛ ˆınmult¸ire. Matricea p˘atratic˘a de ordin n ¨ 1 0 ¨¨¨ 0 ˚0 1 ¨ ¨ ¨ 0‹ ˚ ‹ In “ ˚ .. .. . . .. ‹ ˝. . . .‚ 0 0 ¨¨¨ 1 are proprietatea c˘a oricare ar fi A P Mn pCq are loc A ¨ In “ In ¨ A “ A. Observat¸ie. ˆInmult¸irea matricelor nu este comutativ˘a ˆın sensul c˘a, ˆın general, pentru A, B P Mn pCq avem A ¨ B ‰ B ¨ A.

Fi¸se cu teorie pentru clasa a XI-a Algebr˘ a: 2. Matrice. Operat¸ii cu matrice

´2´

Profesor Marius Damian, Br˘ aila

3. ˆInmult¸irea cu scalari a matricelor. Fie A “ paij q1ďiďm P Mm,n pCq ¸si α P C. Definim matricea 1ďjďn

B “ pbij q1ďiďm P Mm,p pCq, unde bij “ α ¨ aij , @i P t1, 2, , . . . , mu, @j P t1, 2, . . . , nu. Matricea B se 1ďjďn

nume¸ste produsul dintre num˘arul α (sau scalarul α) ¸si matricea A (ˆın aceast˘a ordine) ¸si se noteaz˘a B “ α ¨ A, iar operat¸ia prin care oric˘arui scalar α P C ¸si oric˘arei matrice A P Mm,n pCq li se asociaz˘a produsul α ¨ A se nume¸ste ˆınmult¸ire cu scalari (la stˆanga). ˆInmult¸irea cu scalari a matricelor are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: ‚ Dac˘a A P Mm,n , atunci 1 ¨ A “ A. ‚ Dac˘a A P Mm,n ¸si a, b P C, atunci pa ` bq ¨ A “ a ¨ A ` b ¨ A. ‚ Dac˘a A P Mm,n ¸si a, b P C, atunci pa ¨ bq ¨ A “ a ¨ pb ¨ Aq. ‚ Dac˘a A, B P Mm,n ¸si a P C, atunci a ¨ pA ` Bq “ a ¨ A ` a ¨ B. ‚ Dac˘a A P Mm,n , B P Mn,p ¸si a P C, atunci a ¨ pA ¨ Bq “ pa ¨ Aq ¨ B.

3. Transpusa unei matrice Fie A “ paij q1ďiďm P Mm,n pCq. Matricea t A “ pt akl q1ďkďn P Mn,m pCq, unde t akl “ alk pentru orice 1ďjďn

1ďlďm

k P t1, 2, . . . , nu ¸si l P t1, 2, . . . , mu se nume¸ste transpusa matricei A. Matricea t A se obt¸ine din matricea A astfel: prima linie din A devine prima coloan˘a din t A, a doua linie din A devine a doua coloan˘a din t A ¸si a¸sa mai departe, a n´a linie din A devine a n ´ a coloan˘a din t A. Mai precis: ¨ ˛ ¨ ˛ a11 a12 ¨ ¨ ¨ a1n a11 a21 ¨ ¨ ¨ am1 ˚ a21 a22 ¨ ¨ ¨ a2n ‹ ˚ a12 a22 ¨ ¨ ¨ am2 ‹ ˚ ‹ ˚ ‹ t A “ ˚ .. P M pCq ùñ A “ ‹ ˚ .. .. .. .. . . .. ‹ P Mn,m pCq. m,n ... ˝ . ‚ ˝ . . . . . . ‚ am1 am2 ¨ ¨ ¨ amn a1n a2n ¨ ¨ ¨ amn

Fi¸se cu teorie pentru clasa a XI-a Algebr˘ a: 2. Matrice. Operat¸ii cu matrice

´3´

Profesor Marius Damian, Br˘ aila