Maths Fin - Annuités PDF [PDF]

Zitiervorschau

Mathématiques financières Les annuités M. HOUSSAS

Objectifs

 Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite d’annuités de fin de période.  Exploiter les acquis des séances précédentes

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PLAN Définition I –Valeur acquise II – Valeur actuelle II – Exercices

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Définition  On appelle annuité, des sommes payables à intervalle de temps régulier  L’intervalle de temps séparant le paiement de deux annuités est la période. La période peut être l’année, le semestre, le trimestre ou le mois.  Le but des versement des annuités peut être de constituer un capital (dans ce cas on les appelle annuités de placement ou de capitalisation) ou de rembourser une dette (Dans ce cas on les appelle annuités de remboursement). 4

I- Valeur acquise Soient a : le montant de l’annuité constant i : le taux d’intérêt correspondant à la période retenue n : le nombre d’annuité An : la valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité An a a a a a ………………. 0

1

2

3

n-1

n

5

I- Valeur acquise Verse ment

Valeur acquise n-1

2

3

An  a  a1  i   a1  i   a1  i  

1 a(1+i) n-2 ...  a1  i n1 2 a(1+i) n-3 3 a(1+i) ….. ….. n  1  i  1 An  a ….. ….. i n-1 a(1+i) n a

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I- Valeur acquise Exemple 1: Calculer la valeur acquise, au moment du dernier versement, par une suite de 15 annuités de fin période d’un montant de 35 000 dh chacune. Taux : 10 % par an.

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I- Valeur acquise Réponse n= 15 ans i=10% par an a= 35000 alors: n

An

 1  i a

1

15

 35000

i An  1 . 112 . 036 ,86 dh

1  0 ,1

1

0 ,1

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I- Valeur acquise Exemple 2: Combien faut-il verser à la fin de chaque semestre pendant 8 ans, pour constituer au moment du dernier versement, un capital de 450 000 dh. Taux : 4,5 % par semestre.

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I- Valeur acquise Réponse n=16 semestres i=4,5% par semestre An= 35000 alors: n

An

 1 i a i

1

i  a  An n 1  i  1

0,045 a  19.806,92 dh 16 1  0,045 1 10

I- Valeur acquise Remarque: le capital acquis ou la valeur acquise à une date postérieure au dernier versement Soient: a= 25000 dh i=10,5% par an Date du premier versement 31/12/2004 Date du dernier versement: 31/12/2014 TAF Calculer la valeur acquise le 31/12/2014 Calculer la valeur acquise le 31/05/2015

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I- Valeur acquise Solution a= 25000 dh; i=10,5% par an; n=11  La valeur acquise le 31/12/2014: 11  1  0 ,105   1 A11  25000  475 . 966 ,51 dh 0 ,105  La valeur acquise le 31/05/2015: deux solutions possibles: A- Solution rationnelle:

A

5 11 12

 



 A11 1  5  0,105  496.790,04 dh 12

B- Solution commerciale:

A

5 11 12

5 12

 A11 1,105

 496.185,43 dh 12

II- Valeur actuelle Ici on cherche à évaluer la suite d’annuités à la date 0. A0

a

a

a ……………….

0

1

2

3 n

On a An Alors

 1 i a

 1 et

a

An a

n-1

n n

A0  An 1  i 

i

n

1  1  i  A0  a i

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II- Valeur actuelle Exemple 3:

Calculer la valeur d’origine (actuelle) d’une suite de 12 annuités de 32 500 dh. Taux annuel : 8,5%.

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II- Valeur actuelle Réponse: a=32500 dh i=8,5% par an n=12 annuités Alors: n

1  1  i  A0  a i

12

1  1  0,085  32500 0,085

A0  238702,30 dh

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II- Valeur actuelle Exemple 4:

Combien faut-il payer à la fin de chaque année pour rembourser une dette de 350 000 dh, par le versement de 14 annuités constantes. Taux annuel : 10,5%.

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II- Valeur actuelle Réponse: A0=350.000 dh i=10,5% par an n=14 annuités Alors: n

1  1  i  A0  a i

i  a  A0 n 1  1  i 

0,105 a  350000  48.813,31 dh 14 1  1  0,105 17

Exercices Exercice 1: Par le versement de 10 annuités de 18 000 dh chacune, on constitue, au moment du versement du 10ème terme , un capital de 300 000 dh. Trouver le taux de capitalisation. Exercice 2: Calculer, au moment du dernier versement, la valeur acquise de 28 trimestrialités de 5 000 dh chacune, capitalisé à 8% l’an. Exercice 3: Une personne place à la fin de chaque trimestre des sommes constantes de 8 000 dh chacune. Date du premier versement : 31/03/1995; date du dernier versement : 31/12/1998. Taux annuel de 9% . Calculer la valeur acquise au 31/12/1998. 18

III-Exercices Exercice 4: Une personne s’engage à verser auprès d’un organisme de capitalisation, 8 annuités constantes de montant « a ». La valeur acquise un an après le dernier versement est 350 000 dh. Taux annuel 9%. Calculer l’annuité « a ». Exercice 5: Soit une suite de 12 annuités constantes, dont la valeur est égale à: 159 448,39 dh deux ans avant le premier versement 622 059,49 dh deux ans après le dernier versement Calculer le taux d’intérêt annuel ? Calculer la valeur de la suite un an avant le premier versement? Calculer l’annuité « a » 19

Solutions Exercice 1: i=10,93% Exercice 2: An= 185.256,05 dh Exercice 3: An= 152.043,18 dh Exercice 4: a = 29.115,63 dh Exercice 5: a = 25.000 dh

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