GP Maths Monde 6e PDF [PDF]

Zitiervorschau

6

e

CYCLE 3 PROGRAMME 2016

LIVRE DU PROFESSEUR

LIVRE DU PROFESSEUR sous la direction de Fabienne LANATA,

collège Raymond Queneau à Montivilliers (76)

et

Jérôme LOISEAU,

collège Louis Pergaud à Dozulé (14)

Johnn ADAM,

collège Auguste et Jean Renoir à Angers (49)

Alexandre AGACHE,

lycée Clément Marot à Cahors (46)

Olivier BARRET,

collège Paul Bert à Fécamp (76)

Nathalie ECOFFET,

lycée français Alioune Blondin Beye à Luanda (Angola)

Mathilde LEVÉE,

collège Albert Calmette à Notre-Dame-de-Gravenchon (76)

Émilie SAUNEUF,

collège Irène Joliot Curie au Havre (76)

Matthieu SIMONET,

collège Paul-Émile Victor à Agde (34)

Sommaire Nombres et calculs CHAPITRE 1

Les nombres décimaux

3

CHAPITRE 2

Calculer avec des nombres entiers et décimaux

13

CHAPITRE 3

Les fractions

23

CHAPITRE 4

La proportionnalité

33

CHAPITRE 5

Organisation et gestion de données

47

Grandeurs et mesures CHAPITRE 6

Périmètre et aire

55

CHAPITRE 7

Les angles

67

CHAPITRE 8

Volume, Masse, Durée

77

Géométrie CHAPITRE 9

Règle et Compas

85

CHAPITRE 10

Règle et Équerre

97

CHAPITRE 11

La symétrie axiale

111

CHAPITRE 12

Les solides

2

MathsMonde

123

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

Les nombres décimaux

Ce chapitre a été écrit avec la volonté de diversifier au maximum les approches des nombres décimaux. Les élèves pourront ainsi s’appuyer sur la représentation qui leur correspond le mieux du point de vue cognitif. À chaque nouvelle notion étudiée, les différentes représentations font l’objet d’un exercice spécifique. L’idée est de ne pas privilégier une approche au détriment d’une autre mais aussi de travailler sur les changements de représentation dont on sait qu’ils sont bénéfiques à la construction de savoirs.

Je m e souvie 1

A et C

2

B

ns

3  C

Je découvr

4  C

5  B

6  C

7  C

8  A et B

9  A et C

e

1 Le jeu du nombre 1. On s’attend à des réponses du type 10 ou 11. L’idée est d’amener les élèves au-delà des nombres entiers naturels. On laissera le cours de la partie amener la contradiction de la vision entière. Réponse : Une infinité. 2. On observera les parties des élèves pour y relever le niveau de maitrise de l’écriture décimale. Un des objectifs ici est d’établir avec la classe la nécessaire restriction proposée dans la suite. 3. a. Cette phase permet entre autres de cibler ce que les différents groupes considèrent difficile. b. On travaille non seulement la demi-droite graduée mais aussi la comparaison. Les élèves doivent être actifs et c’est à eux qu’il revient, dans la mesure du possible, de contrôler les résultats des différents intervenants. On pourra éventuellement proposer un score par groupe prenant en compte toutes les interventions. 4. Un quart peut aussi s’écrire 0,25 qui ne pose pas de difficulté particulière. On initie une réflexion sur la différence entre le nombre et ses représentations tout en réactivant la notion de fraction pour faciliter la question suivante. 5. Un tiers. C’est une question de synthèse des questions précédentes. On a vu que si on ne limitait pas le nombre de décimales, le jeu pouvait s’éterniser et que jouer avec des fractions n’était a priori pas forcement impossible.

MathsMonde

3

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

2 De l’ordre dans les idées Cette activité collaborative a pour objectif de faire vivre les ordres de grandeurs dans la réalité des élèves. On veut ici les confronter à l’impossibilité d’être précis que l’on surmonte par une approximation maitrisée qui suffira pour effectuer certaines comparaisons. La dernière question propose de passer de l’ordre de grandeur à l’encadrement.

3 Une nouvelle invasion Cette activité propose une approche « ludique » des nombres décimaux sous la forme de fraction décimale. Le dessin a été créé pour permettre aux élèves de trouver le découpage en cent carreaux. Cette activité sera réutilisée dans plusieurs exercices. On pourra proposer aux élèves, en réinvestissement, de réaliser leur propres « space invaders » en fraction décimales. 1. a. Il faut dix barres vertes. Une barre verte représente un dixième du carré. b. Il faut dix carrés violets pour faire une barre verte. Un carré violet représente un dixième d’une barre verte. Il faut cent carrés violets pour remplir le grand carré. Un dixième de dixième vaut un centième. c. Un dixième du carré est colorié en vert. Trente-six centièmes du carré sont coloriés en violet. 2. Quarante-deux centièmes sont coloriés. 3. On veut observer si l’élève repasse par le dénombrement des vingt-huit carrés violets ou s’il utilise aussi les barres vertes.

4 Le coup de la panne Cette activité propose de travailler la multiplication ou division par 10, 100 en utilisant la calculatrice dans une démarche de recherche et de vérification. a. 0,5 peut s’obtenir avec 1 ÷ 2, 2 ÷ 4, 5 ÷ 10, etc. La première façon devrait être facilement trouvée. b. 6 ÷ 10 c. 7 ÷ 10 = 0,7 et 0,7 ÷ 10 = 0,07 On pouvait faire 7 ÷ 100 = 0,07. d. 0,049 × 100 = 4,9

5 Zéro est arrivé Il s’agit d’une activité sur le rôle du zéro et son éventuelle inutilité dans laquelle le parti pris est d’inviter les élèves à oser supprimer les zéros, puis à lire le nombre obtenu pour voir s’il a changé. a. Il s’agit de 16 et 106. On risquait de les confondre car l’espace entre les chiffres n’était pas forcément évident. En outre, comment différencier clairement 106 de 1 006 avec cette méthode ? b. 024 = 24 1,50 = 1,5 01,43 = 1,43 n’ont pas changé. 4

MathsMonde

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

c. On peut supprimer ceux qui ne modifient pas le rang des chiffres. Les exemples ont été choisis pour servir de contre-exemples aux réponses abusives comme « ceux après la virgules », « ceux qui sont en dernier », etc. d. Il vaut mieux gagner 1,5 millions. Cette question finale permet de mettre en lumière une des difficultés de la lecture des décimaux. On veillera à ce que les élèves ne lisent pas « un virgule cinq », mais bien « un et cinq dixième ». On en profitera également pour proposer d’écrire 1,5 sous la forme 1,50 et expliquer que dans ce cas le zéro inutile peut s’avérer utile, preuve de l’ambiguïté de cette terminologie.

J ’appliqu e Méthode 1 1

a. Écriture décimale : 13,05. 1 305 . Écriture fractionnaire décimale : 100 207 . b. Écriture fractionnaire décimale : 10 Écriture décimale : 20,7. 0 560 56 2 1. a. soit 1000 100 1730 314 125 c. d. b. 1 100 10 2. Ces nombres ont une écriture sous la forme d’une fraction décimale. Ce sont donc des nombres décimaux. 3 1. Ces nombres sont tous écrits sous la forme d’une fraction décimale. Ce sont donc des nombres décimaux. Les nombres décimaux ont une écriture décimale limitée.

2. a. 0,8

b. 1,78

c. 0,495

1 7 + 10 100 3 1 8 + c. 7 + + 10 100 1000 4

b. 2 × 100 + 4

a.

d. 4 × 100 + 3 × 10 + 5 + 5

6 100

15,024 = 1 × 10 + 5 +

2 4 + 100 1000

6 1. a. 5,432 b. 70,31 c. 68,09 d. 800,0009 e. 3,47 5 432 7 031 b. 2. a. 1000 100 6 809 8 000 009 347 e. c. d. 10 000 100 100 7

a. 5

b. 420

c. 31

d. 0

Méthode 2 8 a. 11 < 13 c. 11,57 < 13,56

b. 0,56 < 0,57 d. 4,61 < 5,2

9 a. 42,3 > 42,28 b. 247,7 < 247,9 c. 125,456 = 125,4560 d. 15,1 > 15,01 10 a. 12,2 < 12,3

c. 6,3 > 6,21

b. 4,5 = 4,50

11 a. 1,24 est bien supérieur à 1,2. Ce n’est qu’un exemple où la méthode fonctionne et non une preuve. b. Prenons 1,8 et 1,52. Avec la méthode de Chuck, on aurait 1,52 qui serait supérieur à 1,8. Or ce n’est pas vrai. Ce contre-exemple prouve que la méthode n’est pas bonne. MathsMonde

5

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

12 b. Il faut préciser que si un rang n’est pas présent dans une écriture, on le fera apparaitre à l’aide d’un 0. Ainsi 4,7 s’écrira 4,70. c. Bob a comparé des chiffres qui n’ont pas le même rang. Dans 1,5, le chiffre 1 est au rang des unités, alors que dans 14 le chiffre 1 est au rang des dizaines.

13 On a dans l’ordre décroissant : 8,38 ; 8,37 ; 8,29 ; 8,25 ; 8,17 ; 8,1 ; 8,06 ; 8,05 ; 7,97 ; 7,87 Le français a fait un saut de 8,05 m.

Activités Flash Notion de nombres décimaux 14

a. b. et d.

15

À faire lire à l’oral.

16

a. c. et d.

22

Ordre sur les nombres décimaux 23 a. FAUX (0,01 et 4) b. FAUX (1,5 et 1,50) 24

B

Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000 20 a. 0,05 × 10 = 0,5 b. 120 = 1,2 × 100

d. 3,2 = 32 ÷ 10

1. « Lorsqu’on multiplie un nombre par 10, a. le chiffre des unités passe au rang des dizaines. » b. le chiffre des millièmes passe au rang des centièmes. »  2. Lorsqu’on divise un nombre par 100, le chiffre des unités passe au rang des centièmes. MathsMonde

A

1

19 a. 7,05 b. 7,05 et 7,050 c. 7,05 = 7,050 et 7,500 = 7,5

6

100 100 20 d. 2 = 10 400 4 f. = 1000 10

b. 1 =

10 1 = 100 10 3 000 e. 3 = 1000

18 a. Non b. Oui. C’est une écriture de 23. c. Oui d. Oui

21

10 10

c.

17 a. Centaine et dixième b. Dizaine c. Unité et centième d. Dix-millième

c. 3,57 ÷ 10 = 0,357

a. 1 =

2 Des valeurs proches

25

a. 22,5

b. 4,25

c. 3,95

26 a. Non, car 2,1 > 2,05 b. Oui. c. Oui. d. Non, car 13,81 < 13,9 27 5,9 ↔ 6 4,051 ↔ 4,1

5,49 ↔ 5,5 4,8 ↔ 5

D’un chapitre à l’autre 28

Félix devrait tracer un angle de 38°.

29

L’échelle de ce plan est

1 . 100

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

J E m’e ntraîn

e 39 a. 5,3

Maths et langage 30 a. Détruire. b. Retirer un dixième.

c. Il reste 9.

31 Compas Raie (Comparer) Classe Haie (Classer) Rang Jet (Ranger) Or Dos Nez (Ordonner)

Notion de nombres décimaux 32 a. 6 b. 3 c. 100 d. 36 e. 167 10 10 100 100 100 Exercice avec une progression interne.

4 000 33 a. 4 = 40 = 400 = 10 100 1000 10 000 58 580 5 800 b. 58 = = = 1 10 100 3 000 30 3 300 c. = = = 100 10 1000 10 000 4 000 400 4 40 d. = = = 1000 10 100 10 000 10 1 = 100 10 10 1 = c. 1000 100 34

35

a.

a. 2,34

a. 0,8 = 0,80 c. 13 = 13,0000 36

b. 5 =

500 100

b. 1,06 b. 0,75 = 0,750

a. 4,2 =

38 a. 0,24 ; 0,240 ; 0,2400 b. 5,12 ; 5,120 ; 5,1200 c. 724 ; 724,0 ; 724,00 d. 0,2 ; 0,20 ; 0,200

c. 810 f. 10,101

2 6 + 10 100

40

0,26 =

41

a. 72,018 = 7 × 10 + 2 +

b.

1 8 + 100 1000

905 9 5 + =0+ 10 1000 1000

c. 31,0008 = 3 × 10 + 1 +

8 10 000

42

Ils ont tous les deux raisons et ils ont 1 = 0,01. donné la même réponse, car 100 43 a. Solal et Jasmine ont tous les deux raison. Solal parle du nombre entier de cartons, alors que Jasmine envisage une réponse plus précise. 2 5 + . b. 5,25 = 5 + 10 100 Le disquaire remplira donc 5 cartons, 2 boites et il restera 5 CD. 44 Faux : 3 = 1. 3

Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000 45

42 420 4 200 42 000 = = = 1000 10 000 10 100 1360 13 600 136 b. 1,36 = = = 1000 10 000 100 97 030 9 703 c. 9,703 = = 10 000 1 000 37

b. 102,27 e. 6,06

d. 7

a. 350 b. 164,32 c. 730

46 a. 110 c. 1 024 47

a. 0,1

b. 302 400 d. 100 b. 0,24

48 a. 0,0021 c. 2,001 49

d. 9 157,7

c. 0,0346 d. 0,027 b. 0,0018 d. 0,0152

a. 1 703 b. 0,0137 c. 4,28 d. 51

50 a. Pour passer de la fraction coloriée en violet à celle coloriée en vert, on multiplie par 10. Pour passer de la verte à la violette, on divise par 10. 3 3 × 10 = b. 100 10 0,03 × 10 = 0,3 MathsMonde

7

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

51 On obtient un pixel art en forme de cœur :

52 Les fourmis tisserandes sont capables de porter 0,5 g.

a. 26 × 0,01 = 0,26. Il fera au minimum un score de 0,26. b. 0,03 ; 0,12 ; 0,21 ; 0,3 ; 1,02 ; 1,11 ; 1,2 ; 2,01 ; 2,1 et 3. 53

Proportionnalité 54 a. Non car la pièce de 50 ¥ vaut 10 fois plus que celle de 5 ¥ mais ne pèse pas 10 fois plus. b. 1,35 kg = 1,35 × 1 000 g = 1 350 g Il faut donc 1 350 pièce de 1 ¥ pour obtenir 1,35 kg.

Ordre sur les nombres décimaux 55

0,6 > 0,38

95 124 < 100 100 478 4 132 c. > 10 100 56

a.

4 780 478 = 100 10 51 51 > d. 100 1000

a. 0,83 > 0,8 123 c. 1 < 100

b. 0,011 < 0,02

59 a. 1,24 > 0,95 (quatre-vingt-quinze centièmes) 31 5 = 3,1 = 3,10 et 3 + = 3,05. b. 10 100 8

MathsMonde

60

a. 5,3

5

6

b. 1,78

1,7

1,8

c. 39,94

39,9

40

2. a. 5 < 5,3 < 6 b. 1,7 < 1,78 < 1,8 c. 39,9 < 39,94 < 40 61

On a : 18,5 > 18,25 > 17,75.

62 a. On risque de le confondre avec 30,05, soit trente euros et cinq centimes. b. Il vaut mieux payer trente euros et quarante centimes.

Calcul mental réfléchi

b.

57 a. 1 + 2 + 4 > 9 + 5 10 100 10 100 6 8 6 8 b. 7 + + 4+ + 100 10 10 100 58

On a donc 3,10 > 3,05 > 3,04. 31 5 >3+ > 3,04. D’où 10 100 77 c. = 0,077 ; 77,1000 = 77,1 1 000 8 = 0,08 = 0,080. et 100 77 8 < 77,1000. D’où < 100 1000

63

a. 200

64

a. 56 327 b. 60

65

a. 0,5

b. 0,42 c. 0,063 d. 1,2

66

a. 0,5

b. 0,36 c. 0,019 d. 2,06

b. 9

c. 6 400 d. 10 c. 20

d. 2

67 a. N(1,5) ; R(2) ; V(2,1) ; J(12,29) ; D(12,37) ; G(12,42) ; A(0,018) ; K(0,022) et C(0,03). b. Dans l’ordre croissant : A, K, C, N, R, V, J, D, G. Donc on a : 0,018 < 0,022 < 0,03 < 1,5 < 2 < 2,1 < 12,29 < 12,37 < 12,42 68

c. COMPRIS

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

69

b. On a 2 cL < V cL < 3 cL à 1cL près. Ce n’est pas très précis. c. On a 0,027 L < V L < 0,028 L au mL près.

a.

59

60

59

59,1

59,05

25 427 = 2,5427 10 000 a. 2,5 < 2,5427 < 2,6 au dixième près  b. 2,542 < 2,5427 < 2,543 à 0,001 près 76

59,06 M

59,056

1

7 9 + = 46,709 10 1000 a. 46,7 < 46,709 < 46,8 à 0,1 près  b. 46,70 < 46,709 < 46,71 au centième près 77

59,057

b. M(59,0564) Des valeurs proches

46 +

78 a. 5 < 5,015 < 5,1 au dixième  b. 5,01 < 5,015 < 5,02 au centième

70

a. On peut écrire l’encadrement : 0,3 > 0,27 > 0,2 b. Le meilleur ordre de grandeur de 0,27 est 0,3.

79 a. On a 0 231,059 < 0 231,06. La consommation de Mme Deilles est la plus importante. b. 0 231,059 = 231,059 et 0 231,06 = 231,06. c. Un compteur indiquant par exemple 0 231,0591 convient.

71 a. Le point A a pour abscisse 0,34. b. On peut écrire les encadrements de 0,34 suivants : 0 < 0,34 < 1 à 1 près. 0,3 < 0,34 < 0,4 à 0,1 près. c. Le meilleur ordre de grandeur de l’abscisse de A serait 0 à l’unité et 0,3 au dixième.

3,04 < 3,0476 < 3,05 à 0,01 près 3,047 < 3,0476 < 3,048 à 0,01 près 72

80

Il y a une infinité de solutions.

81

Il y a une infinité de solutions.

82 a. Tim va garder 3,7 cm. b. 3,7 < AB < 3,8

73 a. 178 < 178,420 < 179 b. 178,4 < 178,420 < 178,5

83 a. La France compte 70 millions d’habitants (66,81 en 2015). b. Un humain a 100 000 cheveux (Le Parisien). c. La Terre a 5 milliards d’années (4,543).

74 a. 3,14 < π < 3,15 b. 3,141 < π < 3,142

Grandeurs et mesures

84

75 a. Il parait difficile de donner précisément le volume de réactif parce que nous n’avons pas de graduation plus fine et que le liquide n’est pas plat.

Je suis 0,26. Maths’Mag

03/08/01/20 donne le mot CHAT.

Prêt pour le contrôle ? 1

A et C

2

B

3

7

B et C

8

A et B

4

B 9

C

B et C

5

B

6

B

10 B MathsMonde

9

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

Accompagnement personnalisé

1 Des dinosaures parmi nous ? 1 m = 0,018 m 1000 1 m = 2,3 m 23 × 1 dm = 23 × 10 1 m = 0,56 m 56 × 1 cm = 56 × 100 On a donc par ordre croissant : 0,018 < 0,4 < 0,56 < 2,3 < 3,25 < 6,12 < 6,2 < 12 < 17,8 < 18 Ce qui nous donne comme ordre : Gomme ; Microraptor ; Labrador ; Porte ; Tricératops ; Tyrannosaurus Rex ; Maison ; Giraffatitian ; Sauroposéidon ; Immeuble. 18 × 1 mm = 18 ×

J ’approfon

86 Le programme de calcul a été pensé pour donner une réponse décimale. 87 C’est un problème ouvert. On peut classer les Roucools en terme de taille ou de poids, mais il faudrait convenir d’une règle pour associer les deux. 88 a. Do : 0,262 ; Ré : 0,294 ; Mi : 0,33 ; Fa : 0,349 ; Sol : 0,392 ; La : 0,44 ; Si : 0,494 ; Do : 0,523 MathsMonde

* Alice aura assez si elle prend 10 € pour le CD, 2 € pour le stylo et 1 € pour la gomme soit un total de 13 €. ** 1,46 a pour ordre de grandeur supérieur 1,5. 0,47 a pour ordre de grandeur supérieur 0,5. Or 1,5 + 0,5 + 9,5 = 11,5. Bob aura donc assez s’il prend 11,5 €. *** On a : 1,4 < 1,46 < 1,5 à 0,1 près et 0,4 < 0,47 < 0,5 à 0,1 près. Donc la somme à prendre est entre 11,3 et 11,5 euros.

dis

85 1. On ne peut donner qu’un encadrement car chaque couleur n’est pas unique. En effet, il faut prendre en compte l’existence des nuances. 2. Pour chaque couleur, il existe une infinité de longueurs d’onde. Chacune correspond à une nuance. L’ordinateur affiche en fait 16,7 millions de nuances. 3. a. Orange b. Vert c. Bleu 4. L’indigo se rapproche du bleu (0,46) et du violet (0,43).

10

2 Calcul mental 

b. Cette note se situe entre 0,44 et 0,494 c’est-à-dire entre La et Si. Il s’agit d’un La dièse ou Si bémol. c. Il est très proche de la fréquence 0,494 c’est-à-dire un Si. Il a un problème de justesse (Il chante faux). 89 On note T la température mesurée. On a : 72° F < T < 74° F et 23° C < T < 24° C. 90 a. Les deux calculatrices fonctionnent a priori bien. Elles ont trouvé le même 1 résultat. En effet : = 0,125. Ce sont 8 deux écritures d’un même nombre. 2. Cette touche sert à passer de l’écriture décimale à l’écriture fractionnaire (et vice versa). 3. Cette écriture bien que désagréable n’est pas fausse. Elle comporte juste beaucoup de zéros qui ne nous donnent pas d’information.

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

1 1. 42 dA = 42 × 1 dA = 42 × A 10 = 4,2 A 1 2. 15 mV = 15 × 1 mV = 15 × V 1 000 = 0,015 V 3. Une ampoule de lampe de poche demande une batterie avec, au minimum, 28 dV et 75 cA pour fonctionner. a. 28 dV =2,8 V et 75 cA = 0,75 A b. Le courant suivant ne convient pas pour notre ampoule car son intensité est inférieure à 0,7 A. 91

92

1. a. Les matelots ont dû se partager 8 en dix parts : 8 ÷ 10 = 0,8. Chaque matelot a donc eu 0,8 lingot. Boucrou quant à lui a eu 0,73 lingot. Or 0,8 > 0,73 donc c’est les matelots qui ont été gagnants. b. Un trésor de 8,8 lingots serait par exemple équitable. 2. Vertbarb a obtenu 0,2 lingot. Il faut donc diviser les 20 lingots de façon à faire des parts de 0,2. Or, on a : 20 ÷ 100 = 0,2 L’équipage de Vertbarb compte donc 100 matelots.

3. Pour Bleustach et son équipage, le partage sera équitable pour les trésors : 3,75 ; 2,5 ; 1,25 et 0. 93 a. Le journaliste voulait dire que la présence de coursiers pour des livraisons a augmenté. b. Du point de vue mathématique, le journaliste a oublié de préciser par combien le nombre avait été multiplié. c. 523 × 1 = 523 523 × 0,01 = 5,23 d. L’expression française « se multiplier » pourrait laisser croire qu’une multiplication implique toujours une augmentation. 94 As one penny is equal to 0,01 pound, we need 89 coins of one penny to get one euro. 95 On a : 1 503 fen = 1 503 ÷ 10 jiao = 150,3 jiao 150,3 jiao = 150,3 ÷ 10 yuan = 15,03 yuan. Avec 1 503 fen, on peut donc former 15 yuan.

Outils numériques 96 a. La date 19/11/2021 correspond à la cellule A366. b. La cellule B2 doit contenir 1,25. c. On dépasse le 5 m à la cellule B190. d. Le bambou dépassera les 5 mètres de hauteur le Jeudi 27/05/2021. La précision du jour de la semaine correspondant au 19/11/2021 permet de vérifier le réglage de la fonction JOURSEM ou d’éventuellement opter pour une liste de jour en partant du jeudi en C1. 97 b. Espagne, France, Allemagne. c. France, Espagne, Allemagne.

98

a. On doit placer les blocs : en en

1

2

b. L’utilisateur dispose de 12 essais. c. Le programme peut avoir choisi les nombres : 0,001 ; 0,002 ; 0,003 ; 0,004 ; 0,005 ; 0,006 ; 0,007 ; 0,008 ; 0,009 et 0,01. On pourra faire remarquer que l’utilisateur est certain de gagner en 12 coups et faire réfléchir les élèves à des pistes pour améliorer le jeu. (moins de coups, plus de possibilités, compteur de score…)

MathsMonde

11

1

L E S N O M B R E S D ÉC I M A U X

Je prends des initiatives Quoi de neuf docteur ? Les résultats du patient correspondent avec les recommandations officielles à part le L.D.L qui ne convient pas si le patient présente un facteur de risque.

12

MathsMonde

Circulez ! Seule la Caddy Maxi pourra traverser.

Calculer avec des nombres entiers et décimaux

2

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

Je m e souvie 1

B

2

B

ns

3  B

Je découvr

4  A

5  A

6  C

e

1 Le compte est bon ! But : Introduire les critères de divisibilité par Temps estimé : 20 minutes. Mise en œuvre : se mettre par binôme. a. 90 = 2 × 5 × 9 b. 26 = 2 × 13 51 = 3 × 17

a. 10 - 5

b. 2 - 3 - 4 -9.

560 = 2 × 5 × 7 × 8 315 = 3 × 5 × 7 × 9 117 = 9 × 13

105 = 5 × 3 × 7 468 = 2 × 2 × 9 × 13

2 Un tour du monde But : introduire la division euclidienne en cherchant combien de fois on peut mettre 7 au maximum dans 80. Mise en œuvre : se mettre par binôme ou groupe de 4. Temps estimé : 15 minutes pour trouver le vendredi (plus si on demande la date précise). 80 = 7 × 11 + 3 Il doit rentrer au plus tard le vendredi.

3 La bonne découpe But : Différencier division euclidienne et décimale. Temps estimé : 15 – 20 minutes. Matériel : prévoir 2 bandes de papier de 21 cm de longueur par élève. 1. a. 21 cm= 5 cm × 4 + 1 On a découpé 5 morceaux. Le morceau restant mesure 1 cm. MathsMonde

13

2

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

b. 1 cm - 3 cm - 7 cm - 21 cm. Ce sont les diviseurs de 21. c. 134 cm = 4 cm × 33 + 2 cm. Il resterait un morceau de 2 cm de longueur. Cette question permet de renforcer le fait qu’un nombre dont les chiffre des unités vaut 4 n’est pas toujours divisible par 4 (possibilité d’introduire la notion de contre-exemple). 2. a. Chaque morceau mesure exactement 5,25 cm. Les élèves qui mesurent trouvent 5,2 ou 5,3 cm. Or, si on effectue 4 × 5,2 cm ou 4 × 5,3 cm on obtient 20,8 cm ou 21,3 cm. Pour trouver le résultat exact, on doit effectuer une division décimale. b. 82 ÷ 5 = 16,4 cm. La longueur d’un morceau sera de 16,4 cm.

4 Multiplication de deux nombres décimaux But : Passer de la multiplication de nombres entiers à celle de nombres décimaux à l’aide d’ordres de grandeur. Temps estimé : 30 minutes. 1. a. 194 × 85 = 16 490 b. 194 × 8,5 = 1 649 194 × 0,85 = 164,9 19,4 × 8,5 = 164,9 On répondra à cette question en utilisant des ordres de grandeurs. 2. a. Elle va payer 164,9 euros. b. 850 g = 0,85 kg. L’ensemble de ces paquets pèse 164,9 kg. c. 194 × 8,5 = 1649. Elle a parcouru 1649 m, soit 16,4 km.

1,94 × 0,85 = 1,649

5 Programme de calcul But : Introduire les priorités opératoires. Temps estimé : environ 20 minutes. Matériel : calculatrice collège. Pour la question 1, les élèves n’ont pas le droit d’utiliser la calculatrice. 1. a. 50 + 7 = 57 57 × 10 = 570 570 – 38,5 = 531,5 b. 19,35 + 7 = 26,35 26,35 × 10 = 263,5 263,5 – 38,5 = 225 2. a. On constate que la calculatrice affiche 81,5 au lieu de 531,5 b. La calculatrice a commencé par effectuer la multiplication. Mathis doit mettre des parenthèses pour obtenir le bon résultat. 3. Les élèves peuvent « remonter » le programme de calcul. 81,5 + 38,5 = 120 120 ÷ 10 = 12 12 – 7 = 5. Il faut choisir 5 pour obtenir 81,5.

6 Faites le bon choix ! But : Choisir la bonne opération. Aide possible pour les élèves en difficulté : carte mentale p. 30. Temps estimé : Environ 10 minutes. 14

MathsMonde

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

2

a. Il a épargné 3 132 euros. b. Il lui faut 22 étagères. c. Il a envoyé 273 SMS. d. Un verre pèse 21,75 g.

J ’appliqu e

Méthode 1 1

a. 34 b. 211,5 c. 146 d. 19

2

a. 60 b. 205

c. 7 555

3

a. 96 b. 715

c. 70 902

4

B–B–B

a. 3 366

8

0,80€.

16 ÷ 20 = 0,8. Un timbre coute

9

5 a. On multiplie par 100 et on divise par 4. b. On divise par 2. 6

7 4,70 × 4 = 18,8. Un kilogramme de framboises coute 18,80 €.

b. 3 876

c. 72 072

1

2

3

A 2

3

4

B 8

9

2

C 8

1

D

7

E

0

4

5 1

5 2

1

1

2

0

4

0

5

Méthode 2 10 a. 3 × 30 = 90 b. 700 × 60 = 42 000 c. 300 × 6 = 1 800 11

d. 50 × 0,5 = 25

a. 87, 74 c. 8 774 d. 87,74

b. 877,4

12 a. 200,128 c. 258,44

b. 47 650,812 d. 12 297,12

13

Faux.

14 60 × 0,89 = 53,4. Le prix est d’environ 53,40 €.

15 4 × 18,5 cm = 74 cm. Le périmètre vaut 74 cm. 18,5 cm × 18, 5 cm = 342,25 cm2. L’aire vaut 342,25 cm2. 16 9,3 × 1,54 = 14,322. Elle va payer 14,33 euros. 17 4,41 × 60 = 264,6 et 264,6 × 60 = 15 876. 264,6 enfants naissent chaque minute et 15 876 enfants naissent chaque heure.

MathsMonde

15

2

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

Méthode 3 18

2 3 4

1

On doit prévoir 47 tables. Elle recevra 2 roses. On a distribué 2 960 manuels. Elle possède 362 €.

19 Louise possède 65 billes et Édouard 80 billes. 20

55 – 42,7 = 12,3. Tim pèse 12,3 kg.

21 a. 4 × 11,60 = 46,4. Ils vont payer 46,40 euros. b. 23 h 40 – 22 h 12 = 1 h 28. Le trajet durera 1 h 28 min. 22 307,2 ÷ 24 = 12,8. La hauteur d’une marche vaut 12,8 cm. 23 M. Cibois a acheté 3 paquets de biscuits à 1,90 €, 4,3 kg de tomates à

2,60 € le kilo et une baguette à 0,85 €. À la caisse, il a payé avec un billet de 20 €. 24 20 × 7 = 140 min. 140 × 3 = 420. Cela représente 420 minutes, soit 7 heures. 25 3 880 – 185 × 14,60 = 1 179 et 1179 ÷ 150 = 7,86. Le prix d’une place à tarif réduit est 7,86 €. 26

50 × 12 = 600 et 600 + 50 = 650.

27 1,25 t = 1 250 kg. 9 × 100 × 0,7 = 630. Le chargement pèse 630 kg. 1 250 + 630 = 1 880. Le camion chargé pèse 1 880 kg, donc il peut s’engager sur le pont car 1 880 kg = 1, 88 t.

Activités Flash Addition, soustraction 2017 – 1972 = 45. Elle existe depuis 45 ans. 28

a. 4,6 + 23 = 27,6. 27,6 est la somme des termes 4,6 et 23. b. 30 – 3,9 = 26,1. 26,1 est la différence des termes 30 et 3,9. 29

30 30 – (17,5 + 10) = 30 – 27,5 = 2,5. Il leur reste 2,5 km à parcourir.

Multiplication 31 1. a. Le nombre de bouteilles dans le rayon. b. Le prix d’un pack. c. Le nombre de litres dans un pack. d. Le nombre de litres dans le rayon. 2. 300 – 1,8 – 9 – 450 32 16

a. 63,5

b. 49

MathsMonde

c. 360 000

33

a. 12,6

b. 0,4367

c. 0,05967

34

a. 19

b. 17

c. 5

35

a. 8

b. 19

c. 40

Division euclidienne 36 a. 228 est le dividende, 7 est le diviseur, 46 est le quotient et 6 est le reste. b. Sept amis veulent se répartir 328 bonbons équitablement. Combien en auront-ils chacun ? 37 a. Q = 6 R = 3 c. Q = 25 R = 0

b. Q = 6 R = 4

38 a. Il s’agit de la division euclidienne de 452 par 31. b. 452 = 31 × 14 + 18 39 a. 252 - 255 - 258 b. 2070 - 2370 - 2670 - 2970 c. 1125 - 4125 - 7125

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

Division décimale 40

a. 4,3

41

52,20 ÷ 6 = 8,70. Une place coute 8,70 €.

b. 0,823

c. 0,045

42 (54 + 8) ÷ 4 = 15,5. Elle utilise 15,5 cm de ruban par paquet.

J E m’e ntraîn

D’un chapitre à l’autre 43

45 a. Travailleur et compétent, il était en somme indispensable à l’entreprise. Agathe possède beaucoup de produits de beauté. Je n’ai pas remarqué de différence entre les deux jumeaux. Les causes de cet accident sont multiples. b. 7 est la somme des termes 3 et 4. 21 est le produit des facteurs 3 et 7 5 est la différence des termes 20 et 15. 36 est un multiple de 6.

Non.

51 23,90 + 38,90 + 4,90 = 67,70 80 − 67,70 = 12,30 Il reste 12,30 € à Blandine. 12,30 + 16,70 = 29 Il reste 29 euros à Lorène. 52 7,2 – 5,84 = 1,36. Elle doit libérer 1,36 Go. 53 a. 47,9 – 17,3 = 30,6 Il y a 30,6 km entre Cabourg et Deauville. b. 36,8 + 47,9 = 84,7. Il y a 84,7 km entre Caen et Honfleur. 54 7,93 – (2,05 + 1,24) = 4,64. La pizza coute 4,64 euros.

Grandeurs et mesures

66,4 25,45 40,95 7,5 17,95 23 4,45 3,05 14,9 8,1

a. 2 × 12,1 = 24,2. Le périmètre vaut 24,2 cm. b. largeur : 4,8 cm et longueur : 7,3 cm 55

A-C-B

48 Dans l’addition, il n’a pas aligné les virgules. Dans la soustraction, il aurait dû ajouter un 0 inutile pour 134,60. 49

Robe : 41,31 €

44 204 x 3 ÷ 4 = 153. 153 millions de spams sont envoyés chaque minute.

Addition et soustraction 47

Pantalon : 14,95 €

e

Maths et langage

46

2

54 30,1 23,9 17,3 12,8 11,1 7 10,3 2,5 8,6

50 A = 15,8 + 23 + 0,25 + 0,2 + 37 A = 16 + 60 + 0,25 A = 76,25 B = 29,17 + 0,9 + 16 + 5,1 + 8,83 + 14 + 6,7 B = 38 + 6 + 30 + 6,7 B = 80,7

56 0,2 × 450 = 90. Il peut déplacer un objet de 90 g.

Multiplication 57 a. 60 × 30 = 1 800 b. 200 × 40 = 8 000 58

a. 4536

b. 115,52

c. 20,638

59

a. 4 536

b. 115,52

c. 20,638

60 La recette journalière est de 18 075 euros. MathsMonde

17

2

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

61 Combien de bonbons a-t-elle achetés ? Elle a acheté 200 bonbons. Quel est le prix de la bouteille de jus de fruits ? Elle coute 2,40 euros Quelle somme d’argent possédait-elle avant ses achats ? Elle possédait 44,85 euros. 62

À partir de 4 h.

63 2,3 × 2 + 0,753 × 3 = 6,859. Il a parcouru 6,859 km.

9 × 340,29 = 3 062,61 m. L’orage se trouve à 3,06261 km d’Ana. 64 65

C’est la petite fille.

66

a. Les calculs sont justes mais il a écrit beaucoup d’égalités fausses. b. La verte. Proportionnalité 67

a. 16 personnes

68

15 cm – 22,5 cm

75 a. Q = 70 et R = 3 493 = 7 × 70 + 3 b. Q = 790 et R = 0 6 320 = 8 × 790 c. Q = 4050 et R = 9 52 659 = 13 × 4 050 + 9 76 a. Q = 72 et R = 17 b. Q = 506 et R = 0 c. Q = 630 et R =0 77

a. 36 + 4 × 25 = 136 b. (43,7 + 6,13) × 10 = 498,3 c. 65 × 4 – 5 × 4 = 240 d. 654,3 – (100 + 0,45) = 553,85 e. 5,1 × 3 + 7 = 22,3 f. (12 – 2) × (7 + 2,8) = 98 70 a. 10 + 3 × (9 − 5) = 22 b. 32 + (15 − 6) × 7 = 95 71 a. 34,2 + 549,3 × 0,1 = 89,13 b. 100 × (35 – 18,2) = 1 680

20 – (2,30 × 0,9 + 13,9 × 0,6) = 9,59 On va lui rendre 9,59 €. 72

a. 7-14-49-707-7 000 0-11-22-33-121-1 100 25-425-500-600-3000 50-750- 800-1000-400 000 0-31-62-310-620-930 b. 1-5-6-15 1-2-7-14 1-8-9-36 25-50-100-1000 Calcul mental réfléchi 79

74 a. Le reste est plus grand que le diviseur. b. Le 3 et le 4 ont été descendus en même temps sans mettre de 0 au quotient. MathsMonde

a. 210 b. 137 c. 3 420 d. 12 000

80 a. 4 060 d. 2,356 81

d. 0,7

a. 8

b. 3,21 e. 0,908

c. 0,067 f. 0,0013

b. 17,5 e. 0,7

c. 3,1 f. 0,6

82

a. 45

83

a. Faux

b. Faux

c. Vrai

84

a. 8 154

b. 20 - 44

c. 20 - 25

85

a. Faux

b. Vrai

c. Faux

86

13 27

Division euclidienne 73 a. 6 × 23 = 138 et 138 + 11 = 149 b. Q = 6 et R = 11 c. Q = 24 et R = 5

b. 72

78

b. 1,25 L

69

18

a. 327

12

7

3

30 34

b. 14

c. 39

93

73 71

d. 1

92

45 60

65

39 51 54 66 72

568

81

252

102

613

215 201

330

540 702

405

900

87 2 013 = 65 × 30 + 63. Il y aura 30 roses par bouquet. 88

458 = 52 × 8 +42. Il faut prévoir 53 bus.

2

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

6 480 ÷ 12 = 540. Le montant d’une mensualité est de 540 €. 89

90

16

33

126

96

× 32,5

16

× 47,3 756,8

1 052

520 ×0,52 1 000

+ 243,2

1. a. Q = 38 et R = 13 b. 38,52 2. a. Un chocolatier possède 963 chocolats qu’il veut répartir dans des paquets de 25. Combien peut-il remplir de paquets ? b. Pour son mariage, Coralie a acheté 25 nappes et a payé 963 €. Quel est le prix d’une nappe ? 97

91

Divisible par 2

non oui non non non non

Divisible par 3

oui non oui

Divisible par 5

non oui non oui

Divisible par 9

oui non non non non non

Divisible par 4

non oui non oui non non

Nombre

117 940 129 300 115 143

98

oui non non oui non

Prix unitaire

Quantité

Total

Stylo

0,99 €

10

9,90 €

Cahier

0,92 €

15

13,80 €

Classeur

3,97 €

6

23,82 €

Gomme

2,48 €

1

2,48

Total

50

99

89,5 cm

100 Magasin 1 : 1,38 € le litre au lieu de 1,4 € le litre dans le magasin 2.

6 × 5 = 30. On peut mettre 30 papayes par cagette. 21 455 = 30 × 715 + 5. 716 – 103 = 613 Il faut 716 cagettes, donc il doit en acheter 613. Il lui manque 25 papayes pour remplir la dernière cagette. 92

101 4,45 € 102 1. a. 9,56 b. 4,2 2. b. Dans la cellule B3 «= B2 + 8» et dans la cellule B4 «= B3/10».

Division décimale 93

a. 5,6

94

a. 7 cm

95

a. 43,25

b. 12,75

c. 30,4

b. 5,25 cm

Maths’Mag d. 0,58

c. 4,2 cm

b. 8,47

5

12 10

4

9

4

8

6

13

15 6 9 4

10 3 16 5

8 12 2 11

1 13 7 14

Prêt pour le contrôle ? 1

C

2

7

B et C

A 8

3

A

A 9

4

C

B

5

10 B

B

6

C

11 A et C

12 C MathsMonde

19

2

C A L C U L E R AV EC D E S N O M B R E S E N T I E R S E T D ÉC I M A U X

Accompagnement personnalisé

1 La fête au collège Montant total à verser au groupe : Le groupe vient jouer 2 h 30 et chaque musicien doit être payé 75 euros par heure. 75 + 75 + 37,5 = 187,5. Chaque musicien doit être payé 187,5 euros 1 87,5 × 6 = 1 125. Le groupe doit être payé 1 125 euros pour jouer mais n’oublions pas les frais de déplacement : 1 125 + 128,45 = 1 253,45. Le montant total à verser au groupe est de 1 253,45 euros. Montant reçu par le FSE : 154 + 249,45 = 403,45 Le FSE a récolté 403,45 euros. Calcul du prix minimum par élève : 1 253,45 – 403,45 = 850. Il reste 850 euros à payer au groupe. 850 ÷ 416 ≈ 2,05. Le montant minimum est de 2,05 euros par élève.

J ’approfon

2 Promenons-nous dans les bois

Matériel : on peut réaliser ce partage avec des pates par exemple pour les élèves en difficulté. Nombre de noisettes distribuées à chaque tour : 5+3+1=9 9 noisettes sont distribuées à chaque tour . Nombre de tours : 152 = 9 × 16 + 8 Alexandre peut réaliser 16 tours complets et il restera 8 noisettes. Répartition des noisettes : Alice : 16 noisettes Adèle : 16 × 3 noisettes soit 48 noisettes Alexandre : 16 × 5 + 8 noisettes soit 88 noisettes On peut vérifier que 16 + 48 + 88 = 152

dis

103 Il y en a 8 : 1929 – 1992 – 1938 – 1983 – 1947 – 1974 – 1956 – 1965

109 a. 7 - 3,5 - 1,75 c. 36 - 49 - 64

104 32 chameaux et 23 dromadaires

110 N vaut S.

105 Ligne 1 : 6 – 3 – 3 – 2

111 Renard : 12,1 kg Mouton : 88,4 kg

Ligne 2 : 0 – 4 – 5 – 5 Ligne 3 : 3 – 2 – 3 – 6 Ligne 4 : 5 – 5 – 3 – 1 La somme magique est 14 (on peut additionner tous les nombres et diviser par 4). 106 4 × 7 × 3 = 84. Elle peut composer

84 tenues différentes.

107 C’est 0, car c’est un multiple de 10. 108 a. Faux 5 > 4 et 5 admet 2 diviseurs tandis que 4 en admet 3. b. Vrai 20

MathsMonde

b. 9 5 - 191 - 383

Poule : 2,9 kg

112 36 et 25 113 Ils doivent vendre 337 billets. 337 = 25 × 13 +12. Le professeur doit en vendre 12. 114 a. 2 × (128 − 90) + 3 × (90 − 65) = 151 ou (2 × 128 + 3 × 90) − (2 × 90 + 3 × 65) = 151 b. La famille économiserait 151 S, soit 40,77 €. 115 44 coureurs ont été disqualifiés. Elle est donc 265e.

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116 a. Dans la classe de 6B, il y a 25 élèves. Chaque élève doit acheter une calculatrice à 14,5 €. Le fournisseur fait une remise de 3,25 € par calculatrice car le collège est « bon client ». Quel sera le montant de la facture ? b. Pour faire 4 colliers, Sabine achète 6,8 m de chaîne à 21,30 euros le mètre et des pierres pour 32 euros. Quel est le prix d’un collier ? 117 C’est Léa. 6 est divisible par 2 et 3 mais pas par 5. 118 a. 679,90 + 6 × 39,95 + 2 × 23,75 + 15,90 – 50 = 933. Elle va payer 933 €. b. 933 ÷ 12 = 77,75. Elle paierait 77,75 € par mois. 119 Un croissant coûte 0,95 € et un pain au chocolat coûte 1,15 €. 120 3 × 99 + 1 = 298. Il y aura 298 carrés.

2

121 a. Euclide

b.

1

Il a vécu à Alexandrie vers –300. Un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13 sont des nombres premiers 3 On lui doit l’ouvrage « Les éléments ». Site : http://www.maths-et-tiques.fr http://www.bibmath.net/ 2

122 1,45 – 5 × 0,002 = 1,44 1,44 ÷ 6 = 0,24. Chaque quille mesurera 24 cm. 123 a. (110 − 13,72 − 14,02) ÷ 9 = 9,14. Il y a 9,14 m entre chaque haie. b. Environ 7,69 m/s 124 Il faut 36 personnes pour une

pyramide à 8 étages et 210 pour une pyramide à 20 étages.

Outils numériques 125 1. Elles doivent payer 190,8 euros.

2. a.

b. On peut noter la commande dans la colonne C. On peut indiquer le montant total dans la cellule C10 grâce à la formule suivante : =B2*C2+B3*C3+B5*C5+B6*C6+B7*C7+ B9*C9 3. On va beaucoup plus vite avec le tableur car il suffit de modifier la colonne C et le total se calcule automatiquement.

126 1. b. Il permet de calculer la somme de deux entiers consécutifs. 2.

3. On peut conjecturer que la somme de 3 nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 3.

MathsMonde

21

2

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Je prends des initiatives Le lait, c’est bon pour la santé Doc 1 : ll y a 621 élèves dans le collège. Doc 2 : Une vache produit 25 litres de lait par jour. Doc 3 : Il faut 500 ml soit 0,5 L de lait par jour pour un adolescent. 0,5 × 621 = 310,5. L’ensemble des élèves du collège a besoin de 310,5 L de lait par jour. 310,5 ÷ 25 = 12,42. Il a besoin de 13 vaches. En raisonnant sur une semaine, on obtient les mêmes résultats.

22

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En route ! Doc 1 : Consommation moyenne sur autoroute : 3,4 L pour parcourir 100 km Consommation moyenne sur route nationale : 4,6 L pour parcourir 100 km Doc 2 : Prix du carburant : 1,263 € pour 1 litre Doc 3 : 662 km sur autoroute et 40 km sur route nationale. Besoin en carburant sur autoroute : 662 × 3,4 ÷ 100 = 22,508 Besoin en carburant sur route nationale : 40 × 4,6 ÷ 100 = 1,84 Besoin total de carburant : Il faut prévoir 24,348 litres de carburant pour l’aller donc 48,696 litres (aller-retour). Cout total du carburant : 48,696 × 1,263 ≈ 61,51 Il faut prévoir environ 61,51 euros de carburant (aller-retour).

3

LES FR AC TIONS

Les fractions

Je m e souvie 1

B

2

C

ns

3  A

Je découvr

4  B

5  A

6  A et C

7  A

8  A

e

1 Fraction et géométrie Alors que pour le carré, la longueur du côté est entière (16 ÷ 4 = 4 cm), pour le rectangle les possibilités sont multiples, notamment décimales. Il est ensuite nécessaire d’introduire un nombre non décimal pour le cas du triangle. La longueur du côté du triangle équilatéral est 16 de . Il est intéressant de faire manipuler les élèves afin qu’ils se rendent compte qu’avec 3 une ficelle de longueur 16 cm, on peut tout à fait faire un triangle équilatéral et donc que la longueur du côté existe.

2 Multiplier par une fraction Cette activité permet de mettre en évidence les différents chemins pour multiplier par une fraction. Pour cela, les élèves manipulent en construisant les figures. Visuellement, il est assez aisé d’en arriver à la conclusion que « Diviser par …, puis multiplier par … équivaut à multiplier par …, puis diviser par … ». 5. a. Les deux séquences de calculs : 200 × 3 ÷ 5 et 200 ÷ 5 × 3. b. La masse de chocolat est de 120 g.

3 Histoire de longueurs Cette activité est similaire à l’activité 2, mais sans manipulation cette fois-ci. Le but est d’arriver à la nécessité d’introduire de nouveaux nombres. 22 . La longueur du côté est de 3 MathsMonde

23

3

LES FR AC TIONS

4 Histoire de distances Dans cette activité, on peut découvrir l’égalité des fractions. 39 13 52 Slimane : Anaïs : 1. Distance parcourue • David : 6 2 8 • David : 6,5 km Slimane : 6,5 km Anaïs : 6,5 km 39 13 52 = = . 2. Donc : 6 2 8 3. a. David a raison. b. La valeur d’une fraction ne change pas si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

5 Fraction d’un nombre L’enseignant pourra lister au tableau toutes les différentes méthodes de calcul du produit d’un nombre et d’une fraction que les élèves auront mises en évidence. 1 5 Au bout de 6 mois : 640 € × = 400 € 1. Le 1er mois : 640 € × = 80 € 8 8 3 3 2. Il reste , soit 640 × = 240 €, donc il a économisé : 640 – 240 = 400 €. 8 8

J ’appliqu e Méthode 1 1

Triangle : faux ; parallélogramme : vrai ; disque : faux ; rectangle : vrai. 2

a.

2 1 = 8 4

3

24

MathsMonde

b.

1 3

c.

2 7

4

a.

2 9

b.

4 9

c.

1 2

5 Sidonie doit partager le gâteau en huit parts égales, pour cela elle partage en deux, puis encore en deux et encore en deux.

3

LES FR AC TIONS

Méthode 2 6

 1  4  11 a. E   F   G   3 3 3

9

a. A (0,2) B(0,6) C (1,6) D (2,2)  1  3  16  22 b. A   B   C   D    5  5  10  10

 1  7  9 b. E   F   G   4 4 4 7

10

b et d 0

8

0

1 7 —— 2 10

1 1,4 3 8 20 — — — 2 5 10

1 3 1 3 — — — 8 2 4

13 — 8

2

9 — 4

2,5

Méthode 3 12 9 7 > 1 b. < 1 c. =1 7 13 7 12 a. 5 > 2 b. 15 < 4 c. 29 > 4 2 4 7 85 51 104 < 10 e. 7 < f. 11 > d. 9 7 10 11

13

a.

a.

23 1 1 1 1 1 = + + + ... + + 11  11 11  11 11  11 23 termes

23 1 1 1 1 1 1 1 = + + ... + + + + ... + + 11  11 11 11  11 11 11 11 11termes

23 1 =2+ 11 11 19 1 b. =3+ 6 6

11termes

c.

8 2 =2+ 3 3

d.

13 3 =2+ 5 5

e.

51 1 =5+ 10 10

5 < 1 correct car 5 < 6 6 13 13 < 14 faux car 3