Mathematiques tout en un - 1re annee, cours et exercices corriges 2100079441, 9782100079445 [PDF]
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French Pages 1414 [1440] Year 2003
Préface......Page 6
Table des matières......Page 8
1.1 Notations......Page 26
1.2 Relations d'ordre......Page 27
2.1 Propositions mathématiques......Page 28
2.3 Applications......Page 29
3.1 Entiers naturels, récurrence......Page 31
4. Structures algébriques usuelles......Page 32
4.2 Groupes......Page 33
4.3 Anneaux et corps......Page 35
4.4 Espaces vectoriels......Page 36
I Pour commencer......Page 42
1.1 Définition......Page 44
1.2 Conjugué d'un nombre complexe......Page 46
1.3 Module d'un nombre complexe......Page 47
1.4 Arguments d'un complexe non nul, forme trigonométrique......Page 49
1.5 Exponentielle complexe......Page 54
2. Applications à la trigonométrie......Page 56
2.2 Expression de cos ntheta et sin ntheta en fonction de cos theta et sin theta......Page 57
2.3 Expression de tan ntheta en fonction de tan theta......Page 58
3.1 Équation du second degré dans C......Page 59
3.2 Racines n-èmes d'un nombre complexe......Page 64
4. Applications à la géométrie......Page 66
1. Définitions, Notations......Page 72
2.1 Coordonnées cartésiennes......Page 74
2.2 Affixes......Page 75
2.3 Coordonnées polaires......Page 77
3.1 Propriétés du produit scalaire......Page 79
3.2 Projection sur une droite......Page 82
4.1 Orientations du plan......Page 83
4.2 Angle orienté......Page 84
4.3 Déterminant de deux vecteurs......Page 85
4.4 Propriétés......Page 86
4.5 Application à la résolution d'un système......Page 88
4.6 Exemple d'utilisation des complexes......Page 90
5.1 Définition......Page 92
6.1 Représentations analytiques......Page 94
6.2 Orthogonalité......Page 98
6.4 Distance d'un point à une droite......Page 100
7.1 Généralités......Page 102
7.2 Droites et cercles......Page 104
7.3 Intersection de cercles......Page 105
7.4 Cercles et angles......Page 107
7.5 Exemples de lignes de niveau......Page 109
8.1 Translations, homothéties......Page 112
8.2 Rotations......Page 114
8.3 Similitudes directes......Page 115
8.4 Symétries......Page 117
8.5 Inversions......Page 118
1. Définitions, Notations......Page 130
2.2 Coordonnées cylindriques......Page 132
2.3 Coordonnées sphériques......Page 133
3.1 Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs non colinéaires......Page 134
3.2 Propriétés du produit vectoriel......Page 137
3.3 Bases orthonormées......Page 138
3.4 Orientation......Page 140
3.5 Interprétations géométriques du produit vectoriel......Page 142
3.6 Produit mixte, déterminant......Page 144
3.7 Coplanéarité......Page 146
4.2 Equations cartésiennes......Page 148
4.3 Intersection d'une droite et d'un plan......Page 153
4.4 Projections orthogonales, distance à une droite ou à un plan......Page 155
4.5 Perpendiculaire commune......Page 158
4.6 Angles......Page 161
5.1 Généralités......Page 162
5.2 Plan et sphère......Page 163
5.3 Droite et sphère......Page 164
5.4 Intersection de sphères......Page 165
4 Fonctions usuelles......Page 170
1.1 Logarithme népérien......Page 171
1.2 Exponentielle......Page 172
1.3 Représentation graphique des fonctions logarithme népérien et exponentielle......Page 173
1.4 Logarithmes et exponentielles de base quelconque......Page 174
2.1 Définition......Page 176
2.2 Fonctions racines......Page 177
2.3 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles......Page 178
3.1 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus......Page 179
3.2 Fonction Arc tangente......Page 182
4.1 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques......Page 185
4.3 La fonction tangente hyperbolique......Page 186
4.4 Fonctions hyperboliques réciproques......Page 187
5.1 Dérivée d'un fonction complexe......Page 190
5.2 Dérivée de e(phi)......Page 191
1.1 Définitions......Page 196
1.2 Exemples de problèmes conduisant à une équation différentielle......Page 197
2.1 Généralités......Page 199
2.2 Équations du premier ordre......Page 201
2.3 Équations du second ordre à coefficients constants......Page 211
1.1 Définition......Page 228
1.2 Propriétés......Page 229
2.2 Interprétation cinématique......Page 231
3.1 Tangente en un point d'un arc paramétré......Page 232
3.2 Tangente en un point singulier......Page 234
4.1 Asymptote......Page 236
4.2 Méthode de recherche d'une asymptote......Page 237
5.1 Réduction du domaine......Page 239
5.2 Plan d'étude d'une courbe paramétrée......Page 241
6.3 Tangente......Page 244
6.5 Réduction du domaine......Page 245
6.7 Étude locale en un point différent du pôle......Page 246
6.8 Étude des asymptotes......Page 247
6.9 Plan d'étude......Page 248
1.1 Définition monofocale......Page 254
1.2 Étude des paraboles......Page 255
1.3 Étude des ellipses......Page 256
1.4 Étude des hyperboles......Page 258
1.5 Équation polaire d'une conique de foyer O......Page 260
1.6 Définition bifocale des ellipses et des hyperboles......Page 262
2.1 Définition......Page 263
2.2 Réduction de l'équation d'une conique......Page 264
2.3 Type d'une conique propre......Page 265
2.4 Tangente à une conique propre......Page 267
II Analyse réelle et complexe......Page 274
8 Le corps des nombres réels......Page 276
1.1 Relation d'ordre......Page 277
1.2 Corps totalement ordonné......Page 279
1.3 Valeur absolue......Page 280
2.1 Borne supérieure, borne inférieure......Page 281
2.2 Rationnels et irrationnels......Page 283
2.3 Droite numérique achevée......Page 284
2.4 Intervalles de R......Page 285
2.5 Propriété d'Archimède......Page 286
2.6 Partie entière......Page 287
2.7 Densité de Q dans IR......Page 288
3.1 L'ensemble F(X,R)......Page 289
3.2 Fonctions bornées......Page 291
3.3 Monotonie......Page 293
3.4 Parité, périodicité......Page 295
3.5 Fonction réciproque......Page 296
3.6 Fonctions lipschitziennes......Page 297
1. Définitions......Page 304
1.1 Définitions liées à la relation d'ordre......Page 305
1.2 Suites convergentes......Page 306
1.3 Propriétés des suites convergentes......Page 309
1.4 Suites tendant vers l'infini......Page 310
1.6 Suites extraites......Page 311
2. Opérations sur les limites......Page 312
2.2 Opérations sur les suites tendant vers 0......Page 313
2.3 Ensemble des suites convergentes......Page 314
2.4 Opérations sur les suites tendant vers l'infini......Page 315
2.5 Inverse et quotient......Page 317
3.1 Passage à la limite dans les inégalités......Page 318
3.2 Existence de limite par encadrement......Page 319
4.1 Suites monotones......Page 320
4.2 Suites adjacentes, segments emboîtés......Page 321
4.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass......Page 323
4.4 Approximation décimale des nombres réels......Page 324
1.1 Fonctions définies au voisinage de a dans R achevé......Page 332
1.3 Limites finies......Page 334
1.4 Propriétés des limites finies......Page 337
1.6 Limites infinies......Page 340
1.7 Caractère local de la notion de limite......Page 342
2.1 Propriétés des fonctions admettant 0 pour limite......Page 345
2.2 Combinaisons linéaires et produits......Page 346
2.3 Inverse et quotient......Page 348
3.1 Passage à la limite dans les inégalités......Page 350
4.1 Image d'une suite convergente......Page 351
4.2 Composition des limites......Page 353
5.1 Limites à droite et à gauche......Page 354
5.2 Fonctions monotones et limites......Page 356
1.1 Définition......Page 362
1.2 Opérations sur les fonctions continues......Page 363
1.3 Restrictions......Page 364
2.1 Théorème des valeurs intermédiaires......Page 365
2.2 Réciproque d'une fonction continue......Page 369
2.3 Image continue d'un segment......Page 370
3.1 Définition, exemples......Page 372
3.2 Théorème de Heine......Page 373
1.1 Dérivée en un point......Page 378
1.2 Dérivées à droite et à gauche en un point......Page 379
1.3 Caractère local de la dérivabilité......Page 380
1.4 Dérivabilité et continuité......Page 381
1.6 Interprétations des dérivées......Page 382
2.1 L'ensemble D(I)......Page 383
2.2 Inverse et quotient......Page 385
2.3 Composée et fonction réciproque......Page 386
3.1 Extremum d'une fonction dérivable......Page 389
3.2 Théorème de Rolle......Page 390
3.3 Égalité des accroissements finis......Page 391
4.1 Variations d'une fonction......Page 393
4.2 Inégalité des accroissements finis......Page 396
4.3 Etude d'une suite récurrente......Page 398
4.4 Condition suffisante de dérivabilité en un point......Page 408
5.1 Dérivée seconde......Page 410
5.2 Dérivée d'ordre n......Page 411
6.1 Définitions, exemples......Page 413
6.3 Composée, inverse, et fonction réciproque......Page 415
1.1 Définitions......Page 424
1.2 Inégalité de convexité......Page 425
1.3 Caractérisation géométrique......Page 426
1.4 Caractérisation en terme de pente......Page 428
2.1 Caractérisation des fonctions dérivables convexes......Page 430
2.2 Position par rapport à la tangente......Page 432
14 Intégration......Page 436
1.1 Subdivision d'un segment......Page 437
1.2 Fonctions en escalier......Page 438
1.3 Intégrale d'une fonction en escalier......Page 439
1.4 Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier......Page 440
2.1 Définition, exemples......Page 442
2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux......Page 444
2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux......Page 445
2.4 Valeur moyenne......Page 447
3.1 Linéarité, relation de Chasles......Page 448
3.2 Inégalités......Page 450
3.3 Cas des fonctions continues......Page 453
3.4 Invariance par translation......Page 455
4. Sommes de Riemann......Page 456
5. Fonctions continues par morceaux sur un intervalle......Page 461
1.1 Définitions......Page 468
1.2 Théorème fondamental......Page 469
2.1 Intégration par parties......Page 473
2.2 Changement de variable......Page 475
3.1 Formule de Taylor avec reste intégral......Page 479
3.2 Inégalité de Taylor-Lagrange......Page 481
3.3 Formule de Taylor-Young......Page 482
16 Étude locale : relations de comparaison......Page 490
1.1 Définitions, exemples......Page 491
1.2 Propriétés......Page 492
2.1 Définitions......Page 494
2.2 Résultats fondamentaux......Page 496
2.3 Obtention d'équivalents......Page 497
2.4 Opérations sur les fonctions équivalentes......Page 498
2.5 Les équivalents et l'addition......Page 501
2.6 Équivalents classiques en 0......Page 503
3.1 Définitions, caractérisations......Page 504
3.3 Utilisation des résultats correspondants sur les fonctions......Page 505
3.4 Opérations sur les suites équivalentes......Page 506
1.1 Développement limité au voisinage de 0......Page 512
1.2 Développements limités en 0 des fonctions élémentaires......Page 516
1.3 Développement limité en x0......Page 517
1.4 Développement limité à droite et à gauche......Page 519
1.5 Développement limité au voisinage de l'infini......Page 521
1.6 Dérivabilité et développement limité......Page 522
2.1 Somme et produit de développements limités......Page 524
2.2 Quotient de développements limités......Page 527
2.3 Composition de développements limités......Page 531
2.4 Intégration des développements limités......Page 532
3.1 Recherche d'équivalents......Page 536
3.2 Étude de tangentes......Page 538
3.3 Recherche d'asymptotes......Page 542
1.1 L'ensemble F(X,C)......Page 552
1.2 Fonctions bornées......Page 553
2.1 Suites convergentes......Page 554
2.2 Suites extraites......Page 556
3.2 Inverse et quotient de suites......Page 557
4.1 Définitions......Page 558
4.2 Propriétés des limites......Page 559
4.3 Opérations sur les limites......Page 560
5.1 Définition......Page 561
5.2 Opérations sur les fonctions continues......Page 562
6.1 Dérivée en un point......Page 563
6.2 Opérations sur les fonctions dérivables......Page 564
6.3 Fonctions dérivables sur un intervalle......Page 565
6.4 Dérivées successives......Page 567
6.5 Fonctions de classe C^n......Page 568
7.1 Intégrale d'une fonction continue par morceaux......Page 569
7.2 Propriétés de l'intégrale......Page 570
7.3 Primitives......Page 571
7.4 Théorème du relèvement......Page 573
8.1 Inégalité des accroissements finis......Page 574
8.2 Formules de Taylor......Page 575
8.3 Développements limités......Page 576
1.1 Primitives d'une fraction rationnelle......Page 580
1.2 Primitives des polynômes-exponentielles......Page 584
2. Méthodes de calcul approché d'intégrales......Page 586
2.1 Méthode des rectangles......Page 588
2.2 Méthode des rectangles médians......Page 589
2.3 Méthode des trapèzes......Page 592
2.4 Méthode de Simpson......Page 594
1.1 Représentation cartésienne......Page 602
1.3 Représentation polaire......Page 603
1.4 Paramétrage admissible......Page 604
2.1 Définitions......Page 605
2.2 Calcul......Page 607
3.1 Arc paramétré orienté......Page 608
3.2 Abscisse curviligne......Page 609
3.3 Paramétrage par l'abscisse curviligne......Page 612
4.1 Courbure, rayon de courbure......Page 613
4.2 Formules de Frénet......Page 614
4.3 Interprétation cinématique......Page 615
4.4 Calculs pratiques......Page 616
1.1 Parties ouvertes......Page 626
1.2 Applications partielles associées à une fonction de deux variables......Page 629
2.1 Limite et continuité d'une fonction de deux variables......Page 630
2.2 Propriétés......Page 632
2.3 L'espace vectoriel C(A,R)......Page 633
2.4 Espace vectoriel C(A,R^2)......Page 636
2.5 Composées de fonctions continues......Page 637
3.1 Dérivées partielles......Page 639
3.2 Fonctions de classe C^1......Page 641
3.3 Dérivée d'une fonction composée......Page 646
3.4 Gradient......Page 647
3.5 Dérivées partielles d'une fonction composée......Page 649
3.6 Coordonnées polaires......Page 650
3.7 Extremum d'une fonction de deux variables......Page 652
4.1 Dérivées partielles secondes......Page 655
4.2 Exemples d'équations aux dérivées partielles......Page 658
4.3 Dérivées partielles d'ordre k>=2......Page 661
1.1 Intégrale d'une fonction en escalier......Page 668
1.2 Intégrale d'une fonction continue......Page 670
1.3 Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue......Page 671
1.4 Calcul de l'intégrale double d'une fonction continue......Page 672
2.1 Fonction intégrable sur une partie bornée de R^2......Page 673
2.2 Calcul d'une intégrale double......Page 675
3.1 Changement de variables affine......Page 677
3.2 Changement de variables en coordonnées polaires......Page 680
4.2 Intégrale triple d'une fonction sur une partie bornée de R^3......Page 683
4.3 Changement de variables......Page 684
1.1 Différentielle, matrice jacobienne......Page 692
1.2 Gradient......Page 693
1.3 Divergence......Page 694
1.4 Laplacien......Page 695
1.6 Potentiel scalaire......Page 696
2.1 Circulation d'un champ de vecteurs......Page 698
2.2 Formule de Green-Riemann......Page 700
III Algèbre et géométrie......Page 704
1.1 Diviseurs, multiples......Page 706
1.2 Division euclidienne sur Z......Page 708
2.1 Définitions......Page 709
2.2 Algorithme d'Euclide......Page 710
2.3 Coefficients de Bézout......Page 712
2.4 Entiers premiers entre eux......Page 713
2.5 Théorème de Gauss......Page 714
2.6 PPCM......Page 715
2.7 Résolution dans Z de l'équation ax+by=c......Page 716
2.8 Plus grand commun diviseur de plusieurs entiers......Page 720
3.2 Propriétés......Page 721
3.3 Décomposition en produit de facteurs premiers......Page 723
1.1 Polynômes......Page 730
1.2 Degré d'un polynôme......Page 734
1.3 Substitution......Page 736
2.1 Multiples, diviseurs......Page 741
2.2 Division euclidienne sur K[X]......Page 742
3.1 Racines......Page 745
3.2 Identification entre polynôme et fonction polynomiale......Page 747
3.3 Racines multiples......Page 748
3.4 Polynômes scindés, fonctions symétriques élémentaires......Page 751
4.1 Polynôme dérivé......Page 754
4.2 Dérivées successives, formule de Taylor......Page 756
4.3 Caractérisation de l'ordre d'une racine......Page 757
5.1 Factorisation dans C[X]......Page 758
5.2 Conjugaison......Page 759
5.3 Factorisation dans R[X]......Page 760
6.1 Plus grand commun diviseur, algorithme d'Euclide......Page 761
6.2 Plus petit commun multiple......Page 763
6.3 Polynômes premiers entre eux......Page 764
6.4 Propriétés du PGCD et du PPCM......Page 765
6.5 Théorème de Gauss......Page 766
7.1 Définition......Page 768
7.2 Propriétés......Page 769
7.3 Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles......Page 770
1.1 Définition, règles de calcul......Page 780
1.2 Représentant irréductible d'une fraction rationnelle......Page 781
1.3 Degré d'une fraction rationnelle......Page 782
1.4 Racines, pôles......Page 784
1.5 Composition......Page 785
2.1 Partie entière......Page 786
2.2 Partie polaire......Page 787
2.3 Décomposition en éléments simples dans C(X)......Page 791
2.4 Méthodes pratiques......Page 794
1.1 Définition, propriétés, exemples......Page 802
1.2 Combinaisons linéaires......Page 804
1.3 Produit d'espaces vectoriels......Page 805
1.4 Sous-espaces vectoriels......Page 806
2.1 Définition......Page 807
2.2 Cas d'une partie finie......Page 809
3.1 Translations......Page 810
3.2 Sous-espaces affines......Page 811
3.3 Parallélisme......Page 813
3.4 Intersection de sous-espaces affines......Page 814
3.5 Barycentres......Page 815
4.1 Définition, caractérisation......Page 820
4.2 Noyau, image d'une application linéaire......Page 822
4.3 Structures de L(E,F) et L(E)......Page 823
4.4 Applications affines......Page 826
4.5 Applications bilinéaires......Page 833
5.1 Définition, exemples......Page 834
5.2 Structure de l'ensemble des solutions......Page 835
1.1 Somme de sous-espaces vectoriels......Page 840
1.2 Sous-espaces vectoriels supplémentaires......Page 841
1.3 Intersection de sous-espaces affines......Page 843
1.4 Projections, symétries, affinités......Page 844
2.1 Familles génératrices......Page 850
2.2 Familles libres......Page 852
2.3 Bases......Page 855
2.4 Bases et applications linéaires......Page 856
3.2 Règles de calcul......Page 859
1.1 Existence d'une base......Page 866
1.2 Dimension......Page 867
1.3 Théorème de la base incomplète......Page 870
1.4 Un exemple : les suites récurrentes d'ordre 2......Page 871
1.5 Dimension des sous-espaces vectoriels......Page 872
2.1 Dimension et isomorphisme......Page 874
2.2 Dimension d'un produit de sous-espaces vectoriels......Page 875
2.3 Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels......Page 876
3.1 Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire......Page 878
3.2 Théorème du rang......Page 879
3.3 Caractérisation des isomorphismes......Page 880
3.4 Hyperplans et formes linéaires......Page 882
1.1 Définitions......Page 892
1.2 Matrice d'une application linéaire......Page 894
1.3 Matrice de changement de bases......Page 897
1.4 Matrice d'une famille finie de vecteurs......Page 900
2.1 Espace vectoriel Mn,p(K)......Page 901
2.2 Produit de matrices......Page 904
2.3 Anneau des matrices carrées d'ordre n......Page 909
2.4 Exemple : une construction de C......Page 915
3.1 Matrices d'une application linéaire dans des bases différentes......Page 916
3.2 Rang d'une matrice......Page 917
1.1 Généralités......Page 926
1.2 Traduction en terme de produit matriciel......Page 927
1.3 Application au calcul du rang......Page 928
1.4 Méthode du pivot de Gauss......Page 930
2.1 Définitions......Page 932
2.3 Interprétations d'un système linéaire......Page 933
3.1 Définition......Page 935
3.2 Résolution d'un système de Cramer par la méthode du pivot de Gauss......Page 936
1.1 Définition......Page 942
1.2 Signature......Page 944
1.3 Groupe alterné......Page 946
2.1 Définition......Page 947
2.2 Expression d'une application p-linéaire en dimension finie......Page 948
2.3 Applications p-linéaires alternées......Page 950
2.4 Expression d'une application n-linéaire alternée en dimension n......Page 952
3.1 Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n......Page 953
3.2 Diverses notions de déterminants......Page 956
3.3 Propriétés des déterminants......Page 960
4.1 Opérations sur les lignes ou les colonnes d'un déterminant......Page 964
4.2 Développement d'un déterminant suivant une rangée......Page 965
4.3 Comatrice......Page 970
4.4 Formules de Cramer......Page 972
1.1 Formes bilinéaires symétriques......Page 980
1.2 Produit scalaire......Page 981
1.3 Norme euclidienne......Page 982
1.5 Identités de polarisation......Page 985
2.1 Familles orthonormées......Page 987
2.2 Bases et repères orthonormés......Page 990
2.3 Procédé d'orthonormalisation de Schmidt......Page 992
3.2 Supplémentaire orthogonal......Page 994
3.3 Équations d'un hyperplan......Page 995
4.1 Projections vectorielles......Page 997
4.3 Distance à un sous-espace......Page 999
5.1 Définition......Page 1001
5.2 Bases orthonormées directes......Page 1002
1.1 Automorphismes orthogonaux......Page 1006
1.2 Isométries affines......Page 1009
1.3 Matrices orthogonales......Page 1011
1.4 Groupe orthogonal......Page 1013
1.5 Rotations, déplacements......Page 1014
2.1 Symétries orthogonales......Page 1015
2.2 Propriétés des réflexions......Page 1017
2.3 Composées de réflexions......Page 1018
3.1 Matrices orthogonales......Page 1020
3.2 Rotations vectorielles, angles......Page 1021
3.3 Réflexions vectorielles......Page 1023
4.1 Étude des déplacements du plan......Page 1025
4.2 Composées de réflexions......Page 1026
4.3 Similitudes du plan......Page 1027
5.1 Orientation d'un plan......Page 1028
5.2 Décomposition en produit de réflexions......Page 1029
5.3 Rotations vectorielles......Page 1030
6.1 Rotations affines......Page 1032
6.2 Vissages......Page 1034
6.3 Composées de réflexions......Page 1037
Notions de base......Page 1042
35 Ensembles, applications, relations......Page 1044
1.2 Connecteurs......Page 1045
1.3 Méthodes de démonstration......Page 1047
2.2 Prédicats......Page 1048
2.3 Quantificateurs......Page 1049
2.4 Négation de quantificateurs......Page 1050
2.6 Opérations sur les parties......Page 1051
2.7 Couples, produit cartésien......Page 1052
3.1 Définitions......Page 1053
3.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité......Page 1056
3.3 Composition d'applications......Page 1057
3.4 Application réciproque......Page 1058
3.5 Images directes, images réciproques......Page 1061
3.6 Familles......Page 1064
4.1 Relations binaires......Page 1065
4.2 Ensembles ordonnés......Page 1066
4.3 Propriétés......Page 1067
1.1 L'ensemble N......Page 1070
1.2 Raisonnement par récurrence......Page 1071
2.1 Définitions......Page 1074
2.2 Propriétés des cardinaux......Page 1076
3.1 Applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini......Page 1084
3.2 Nombre de parties à p éléments......Page 1086
1.1 Généralités......Page 1090
1.3 Produit de n éléments......Page 1094
1.4 Notation additive......Page 1095
1.5 Construction de lois......Page 1096
1.6 Morphismes......Page 1098
2.1 Définitions, exemples......Page 1099
2.2 Sous-groupes......Page 1100
2.3 Morphismes de groupes......Page 1101
2.4 Noyau, image......Page 1102
3.1 Définitions......Page 1104
3.2 Règles de calcul......Page 1105
3.3 Anneaux intègres......Page 1108
3.5 Morphismes d'anneaux......Page 1109
3.6 Éléments inversibles, unités......Page 1110
4.1 Définitions......Page 1111
5. Espaces vectoriels......Page 1113
Solutions des exercices......Page 1114
Index......Page 1430
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Claude Deschamps Andre Warusfel
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(ours et exercices coni!es MPSI· PCSI Sous fa direction de
Claude Deschamps Fran�ois Moulin
,t
Andre Warusfel Jean Fran�ois Ruaud
Ancien eleue de {'tcole Normale Supirieure de fa rue d'Ufm Professeur de Mathimatique! Speciafes MP' au Iyete priu€ Sainte-Genevieve
Ancien eleve de /'Ecole Normale Superieure de la rue d'ufm Professeur de Mathimatiques Speciales MP au Iyeee Saint-louis
Anne Miquel
Jean-Claude Sifre
Ancienne tletle de /'teole polytechnique Professeur de Mathimatiques Supirieures IAPSI au /yete louis-Ie-Grand
Ancien Heve de Neole po/ytechnique Pro/emur de Mathimatiques Sp€ciafes PC' au Iycie Louis-Ie-Grand
2'edition Nouveau tirage corrige
DUNOD
Edmond Ramis. ancien eleve de l'Ecole Normale Superieure de la rue d'Ulm, a ete pro(esseur de Mathematiques Speciales au Iycee Louis-Ie-Grand, puis Doyen de I'lnspection generale de mathematiques.
Couverture: Bruno loste
[� ®l
etobli�ts d'enseignement wperieur. pr
(Z.+.x) (T{R.R).+.x)
\ / Groupe rommUlatif
"""'" rommulalivil�
(Z,+) IR+)
Groupe
Ioi de composilion inlerne associ.ativil�
�"'nu.n, """In> .ymetrique
(�/inverse)
(R.+) (R",x)
�""'duplan
Structures algebriques usuelles (8 cote de chaque structure, quelques exemples importants)
STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES
10
4.3 Anneaux et corps Definition 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Un an1leau est un ensemble munt de deux lois associatives. en general ap pelees addition et multiplication et notees + et . teUes que (A, + ) soit un groupe commutatif, que (A, .) possede un elt?ment neutre et que la multipl cation soH distributive par rapport a l'addition. Les lMments neutres pour les deux lois et . se notent en general et 1 et sont supposes distincts.
+
0
.- Les exemples c1assiques sont (ll, +, .), CR, ) (C, + , . ) . lis sont commu tatifs, c'est-a.-dire que la multiplication est commutative, rnais ce n'est pas toujours Ie cas (cf. anneau des matrices cam��es).
+,
_
_
Le produit de deux elements place de
a · b.
,
,
a et b d'un anneau est souvent note ab a la
En plus des fegles de calcul habituelles, on a les formules 5uivantes, valables lorsque I'anneau est commutatif : 't:In E IN , • = n = L (formule du bin6me de Newton). • 't:In E IN , +
an - b" (a - b) (an-I + a,,-2b+ . . . + ab,,-2 + b,,- I ), (a b)n (:) aP bn-p p=:oo
�
�
_
+, .)
Un sous-anneau d'un anneau (A, est un sous-groupe de (A, +) qui est stable par . et qui contienl 1. Comme pour les groupes, on montre souvent que I'on a affaire a un anneau en monlran! que c'est Ie sous-anneau d'un anneau connu. Un corps est un anneau commutatif non roouit a {O} dont tous les eh�menls non nuls sont inversibles. Les exemples classiques de corps sont (Q,
R et (.
Remarque On prendra garde que I'implication .£ y = 0 =:::} (x = 0 ou y = 0) n'est pas vraie en general dans un anneau. Voir par exemple I'anneau des matrices carrees ou l'anneau des applications de R dans R : on peu! avoir f 9 = 0 sans que f ou 9 soit nulle, puisqu'j) suffit, par exemple, que f soit nulle sur R+ et 9 nulle sur R_ . En revanche on a bien I'implication x y = U =:::} (x = U ou y = U) sur les ensembles de nombres usuels (fIJ, 7l, (Q, R, () pui�ue ce sont des par ties du corps C. et que dans un corps. l'egalite x y = 0 avec x :f- 0 en (xy) = O. traine y =
X-I
11
CHAP. 0 - VOCABULAIRE lIT NOTATIONS
4.4 Espaces vectoriels On designe par K Ie corps R ou Ie corps Definition
3
(.
__ ___
espace vectoriel sur K externe : Un
•
(E,+)
est un groupe commutatif
muni d'une
loi
,
K x E --+ E (a. .1:) 1----+ 0.£
verifiant les quatre proprietes :
_
_
a.({3.x) � (a{3).x
(a + {3).x
l .x =
x
a.(x + y)
Les elements de
E
•
1R2 , 1R3
sont appeles vecteurs, les elements de
K
sont appeles sca
et plus generalement
n K ,
l'ensemble des vecteurs du plan (respectivement de I'espace), I'ensemble I'ensemble
F(X, K) ou X est un ensemble KN des suites it valeurs dans K.
O n note souvent
combinaison fim!aire de forme A X + tty, avec (A, j..t)
n vecteurs Xl, X2 ," "
Un
quelconque, et en particulier
AX it la place ce A' x lorsque >. est u n scalaire e t .£ u n vecteur.
Une
neaire de
_
a.x + a.y
Les exemples c1assiques d'espaces vectoriels sont :
•
_
=
a.x + {3.x
faires. •
_
�
SOIl5-eSpace vectoriel
deux vecteurs x et
E
K2. Plus
y
est un vecteur de la
generalement, une combinaison Ji
" Xn est un vecteur de la forme :
0" d'un espace vectoriel
E
est une partie de
E
conte
nant 0 et qui est stable par combinaisons lineaires. Une fa,on commode de montrer qu'un ensemble a une structure d'espace vectoriel, est de montrer que c'est un sou�pace vectoriel d'un espace vec toriel connu.
_
Si
E
et
F sont
une application
des espaces vectoriels sur
lit/caire si elle verifie :
K, une application f : E _ F
lI(x, y) E E' , II()" I') E 1 0 , �x E la. bl . Ix - xol < " = If(xl - f(xoll c) 'Va E Zl • 'Vb E N· • 3q E Zl , 3r E Zl : a = bq r et 0 � r b •
+
O. ce qui o
Proposition 14 -------,., •
On a :
• Pour z E C l'inverse de e" est e- Z
Demonstration Si z = x + i y et Zl = T'
�
•
+ iy' avec (x,y) E R2 et (x',y') E R2 . on a
Consequence des egaliles e% e -% = eZ-z = 1 .
o
Proposition 15 -----"" Tout nombre complexe « non nul est l'image par I'exponentielle complexe d'au moins un complexe Zo. Ses antecedents sont alors les Zo + 2ibr, avec k E 71.. .
Pour tout complexe non nut a = pr·6 (avec p > 0). resolvons I'equa tion e% = a : Soit z = x + i y telque e = a. Le module de eZ est eX, done x = In p L'egaiM e" = a devient done eiy = ei6 , ce qui donne y = e + avec E Zl. Done Z = Zk = Inp + i8 + 2i n + Reciproquement, les nombres complexes Zk = III P + E Zl) verilient eZk = a. 0
Demonstration
_
_
k
2kn k i() 2ibr (k
CHAI'. 1 - LES NOMBRES COMPLEXES
31
Remarques •
L'applieation exponentielle eomplexe : (
Z
est done :
__
......
C
e%
- surjective d'apres la proposition 15,
- un morphismede groupes de (C +) sur (C, .) d'apres la proposition 14.
•
•
•
Les antecedents d'un nombre eomplexe non nul z par la fonetion exponen tielle sont done les nombres de la forme 1111) + i 8 ou p est Ie module et 0 un argument de z. La fonction exponentielle n'est done pas bijective, definir, comme sur R, une fonetion lagarithrne.
ce
qui nous empeche de
Mais earnme tout nombre complexe non nul admet un unique argu ment dans l'intervalle ] -1T, 1T 1 , la fonetion exponentielle est une bijection de { x + i lJ l (x,Y) E R x ] -1T,1Tl } sur C .
C'est ainsi qu'est definie la fonction In dans MAPLE : c'est la reciproque de cette bijection. Elle est telle que la partie imaginaire de In ( z ) est egale a I'ar gument principal de z. >
In(-1 ) ;
Tn >
evalc ( l n ( 3+4 * I ) ) ;
In(5) + Iarctan >
eval c ( ln ( exp ( 3 + 4 * I ) ) ) ;
(�)
3 + [(4 - 2n) .. Attention Pour z\ et Z2 non nuls, la relation In(zl Z2 ) = 111 Zl + In Z2 est fausse, mais iJ existe un entier k tel que lll( Zl Z2 ) = III Z\ + In Z2 + 2i 1r .
2.
Applications a la trigonometrie
k
Les nombres complexes sont tres utiles pour de nombreux ealculs de trigonome
trie. Par exemple, les formules d'addition :
cos(o +b) = cosacos b - sina�inb
ne sont qU'une autre ecriture des 0, I'equation (E) admet deux racines reelles distinctes.
Si 6. = 0 , I'equation (E) admet une racine double,
Si .6. < guees.
•
0, I'equation (E) admet deux racines complexes distinctes conju
Demonstration II sulli! d'utiliser les resultats precedents el de remarquer que : _
__
-b ± JK , 2a -b ± i v'-f!. . si A < U, les racines son! 2a
si A � 0, les racines sont
o
Exemples I,
Soit t
E
R Pour trouver les raeines de I'equation en x : x2 + 4(t - 1) x + 3t - lOt + 3 = O
on calcule Ie discriminant : f!.
�
4 (4(t - I)' - 31' + lOt - 3)
�
(2(' + I») ' .
On a done deux raeines :
- I) + 2(t + I) = �H I 2 (il n'y en a qU'une seule si t = -I). X
I
= 4(t
_
4(' - 1) - 2(' + I) x, � �'-3
et
2
-b ± JK -;' 2a
Remarque Dans ce cas, iI vaut mieux eviter d'utiliser les formules x = --' ''::'-:
qui introduiraient iei un terme 2.
Pour determiner
±21t + 11
avec des valeurs absolues inutiles.
t = ta.n ;"2 ' on utilise tan � = 1/ v'3, Ainsi : soit
t2 + 2t ..j3 - 1 = 0.
Cette equation admet des raeines rl�elles -V3 duit
tan f2 = 2 - v'3.
± 2. Comme t � 0, on en de
38
REsoLUTION D'EQUATIONS ALGtBRIQUES DANS (
Remarque L'autre racine est la tangente de l'autre element 0 E l -,!> � [ tel que tan(20) = l/.j3, soit 0 = 7r/12 - rr/ 2 = -57T/ 12 .
On en deduit done tan �; = 2 + .;'3.
Proposition 19 -------.., Soient trois complexes a, b et c, avec a '# O.
Deux nombres complexes ZI et 22 (eventuellement egaux) verifient les rela-
lions : el si, et seulement si, ce sont les deux racines de l'equation :
a z2 + bz + c = O.
Demonstration .... Si ZI el Z2 sont les deux racines de I'equation, on a immedialement Zj + Z2 et z, Z2 =
c
a
-
en ulilisant la proposition 17 de la page 36.
c
b
=
b a
... Reciproquement. si ZI + Z2 = -- et Z\ 22 = - alors : a a .
a (z - zJ) (z - 22) = a z2 + b z + c 2 el done les radnes de " equation a Z + b z c = 0 sont 21 et 22 (c'es! une racine double si z, = Z2)· 0
+
Exemples 1. Si Zl et Z2 sont les deux racines de l'equation Z2 - Z + 4 = 0, on n'a pas besoin de les exprimer a I'aide de radicaux pour calculer zf + zi - Z\ Z2 . En effet : zf + zi
-
z\ Z2 = (z\ + Z2 )2 - 3z\ Z2
=
-11.
2. Pour resoudre I'equation z2 - 2z cos O + 1, il est inutile de calculer de discrimi nant, puisque Yon connait deux nombres complexes dont la somme est 2 c�(J et Ie produit 1 : ce sont eill et e- iO (solutions evidentes).
3. De meme. on voH que les deux racines de : 2 sont a et I + a
z2 .
_
(1 + a + a2 ) z + a p + a2 ) = U
CHAP.
3,2
1 - LES NOMBRES COMPLEXES
39
Racines n emes d'un nombre complexe
SoH n un entier naturel non nul. Definition 7
_______
est un complexe, on appelle racille n eme de
que Z" = z . Si
z
On appelle racilles n
tout complexe
z
emes de l'ullite, les racines n tmes de 1 .
Z
tel
,
Racines n emes de I'unite
--Proposition 20 ..... n existe exactement n racines n ellles de I'unite qui sont les complexes :
e" = p;1!!!. .. = elk
Demonstration
avec k E [0, n -
Soil Z = pe;'" un complexe, Ie reel p elanl posilif, et tp un reel. Z" = 1 p" ei..,., = 1
p" = 1 et n
Izl � 1. 14. Resoudre dans (, I'equation : 2b) - 4(cos acos b)z + 1 = O. Z4 - 4(cosacosb)z3 + 2(1 + cos 2a +
10.
b)
=
=
f)
=
1
(,
Z2
..- I
cos
Z2
44
15.
EXERCICFS ( : Xl + pX + q = 0
On considerel'equation dans a) SoH x une racine de (*), on pose :
{ �1 � ::f Justifier I'existence du couple
(*) OU lp.q) E �2 .
(1.£, v ) .
Montrer que 1.£3 et sont racines de i'equation �7 = o. � = U. Montrer b) Reciproquement, soient X' et les racines de que l'on peut trouver une racine cubique u de et une racine cubique de tellesque = � En deduire les racines de (*) . c) Discuter Ie nombre de racines n�elles de (*). Soient et deux nombres complexes conjugues, on pose (X'iO. Cakuler: X2 + qX -
1.'3
X2 +qX -
X"
X"
16.
a
-
tLV
X'
b
a=
Soient . , n I nombres reels et p I'application definie par: + Montrer que si = 0 alors = o. On considere J'equation: Z2 Q = 0 a E C. Montrer qu'i1 existe une valeur de pour laquelle les deux racines de I'equa tion sont complexes conjuguees. Cakuler alors les solutions. Decomposer Ie polynome Z6 cosO + I en produit de trois trinomes du second degre a coefficients reels. Quel est I'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe verifie: ao. a \ , .
_,
a..
p (z)
p(z)
18.
+
=
au
a\z + a:2z2 + . . . + a"zn.
p(z)
- (2 + io)z + ia + 2 fr
19.
20.
1!
.
(a + b)(a2 + &2) . . . (0" + bn).
17.
3
,
- 2z3 Ail
z
z + i = Izl ?
21.
Determiner les nombres complexes tels que module. z
z, z
et 1
-z
aient Ie meme
CHAP. 1 - LES NOMBRES COMPLEXES
22.
45
On definit une suite de nombres complexes par la donnee de z\ et la rela tion : - = o-(zn_\ - Zn_2) , 0- E C. Trouver une condition necessaire et suffisante sur pour que la suite soit pe riodique. a) Soient ( ) E C2 • Montrer I'egalite suivante, appelee identite de la mediane: b) Soit u E C tel que u2 = ZZ' . Montrer que : Z +-Z' I . Izi + Iz'l = 1 + Z +2 Z' I + 1u zo ,
Zn
Zn-l
Q
23.
' z,z
-
1L
24.
11
l
, Zn
. , (1 +
26.
27.
2
Trouver une condition n€cessaire et suffisante sur les =nombres complexes Zt, Z2.··· taus non nuls pour que Izd + IZ21 + . . . + IZn l IZ1 + Z2 + . . . +zn l· Soit a un nombre complexe avec la = 1 . n = On note z\, Z2, . . . les racines de I'equation z a. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont (I + z\)", .. z,,)" sontalignes. Trouver les nombres complexes tels que les points d'affixe z, Z2 et Z4 scient alignes. Resoudre dans (, Ie systeme : c +y+z1 = l .xyz Ixl �=Iyl � 14 , Zn
25.
-
{
z
Chapitre 2
Geometrie plane
Conformement au programme, ce chapitre introduit de maniere elementaire la goometrie du plan. Cette presentation, qui excIut toute thoorie generale des es paces vectoriels, peTmet de travailler dans un cadre theorique precis et de dis poser de tous les resultals cIassiques de la geometrie plane. En premiere lecture. Ie lecteur peut se contenter d'apprendre a utiliser les notions introduites dans ce chapitre (done sans approfondir les demonstrations), quitte a revenir aux fonde menls de la theorie uiterieurement. 1.
Definitions, Notations
Dans tout ce chapitre, on considere Ie plan euclidien usuet E muni d'un repere orthonorrne n = (0, i, j) . •
•
• • •
Tout vecteur il du plan s'eerit de maniere unique SOllS la forme if = 0: i+ /3 j, au 0' et /3 sont des reels appeles composantes ou coordonm!es de i1 dans la base (f,j). Pour tout point du plan, il existe done un unique couple (x, y) de reels tel � que OM = 1' i+ yj. Les reels l' et y s'appellent les coordonnees de M dans Ie repere (0, f, j) . La lIorme ellclidielllle du vecteur i1 = rr f + {3 j est Ilill !
=
Un vecteur est dit ullitaire, ou 1lOrme, s'il est de norme 1 .
V(}2 +1]2.
La distance de deux points A et B de E , notee d(A, B) ou plus simplement AB, est la norme du vecteur AB. �
DEFINITIONS, NOTATIONS
.. •
Si ill
=
OJ
i + {31 j e!
On a immediatement •
172 = 02 i /h j, Ie produit scalaire de iii iIl.U2 = U] U2 + {31 {32.
+
par i12 est :
I l uf = ii.ii.
Deux vecteurs sont ortllogollaux si leur produit scalaire est nul ; ils forment une base ori1lOnormee s'ils sont orthogonaux et unitaires. Un repereorthDrlOrme est un triplet une base orthonormee.
(11, ii, v) ou 11 est un point du plan et (ii, iT)
Remarque Les termes de "base" et de "repere" seront justifies par la proposi tion 6 de la page 55. •
Si A est un point de E et i1 un vecteur, on note A + il l'unique point B de E �
tel que AB = ii.
Si '>' + J1 = 1 , Ie barycentre des points A et B affectes respectivement des co efficients .>. et J1 est note .>. A + J.L B. En particulier, Ie milieu du segment [AB] 1 1 A+B . est note - A + 8 ou 2 2 2 • La dro;fe passant par un point A et dirigee par un vecteur ii non nul est I'en semble des points de la forme A + A ii, avec A E R. On la note parfois (A, ii) au A + lRu. On dit que ii est un vecteur directeur de la droite. •
-
--
�
Si A et B sont deux points distincts, on note (AB) la droite (A, AB). •
•
La directioll de la droite (A, il) est I'ensemble des vecteurs de la forme A ii, avec A E R.
v
Deux vecteurs 17 et sont colim!aires (au propartiannels) s'il existe un reel A tel que A U au un reel ,) tel que ii = /lv.
v=
Remarques
- Si les deux vedeurs if et au
t-: sont non nuls, iI est equivalent d'ecrire
u= tv.
0
v, A
F
= Aii
- Dans Ie cas contraire, pour traduire la calinearite de 11 et on ne peut pas se contenter de rune des egalites, car si et v ¥ 0, il existe ). tel que (evidemment = 0), mais on ne peut pas trouver de reel tel que = A fi.
A
•
i1 =
v
ii = A v
La direction d'une droite V = (A. it), avec it ¥ 0, est done l'ensemble des vecteurs colineaires a it. Les vecteurs directeurs de V sont les vecteurs non nuls colineaires a ii.
CHAP. 2 - CEOMETRtE PLANE
49
Deux droites sont paral/eles si elles ont meme direction c'est-a-dire si elles admettent un vecteur directeur commun. Deux droites dont orthogonales si elles sont dirigees par des vecteurs orthogonaux.
•
•
Remarque Toutes ces notions ont deja ete vues dans les classes anterieures. Elles seront reprises en detail plus tard dans cet ouvrage, et en particulier dans Ie chapitre sur les espaces euclidiens. Proposition 1 -------."
Etant donne un vecteur unitaire if = ("¥ i + /3 j, Ie vecteur ii = -f3i + 0: j est un vecteur unitaire orthogonal it il, et les vecteurs orthogonaux il sont les >. ii avec >. E R.
a
II y a done deux bases orthonormees de premier vecteur ii : it s'agit de (ii, ii) et (u, V) -
.
II est imm8diat que Ie veeteur iJ est norme et que >. if est orthogonal a it !Xlur toul reel >.. Reciproquement, soil tV = Xl + y j un vecteur orthogonal a ii. On a done a x + {3"!J = U. Comme ii est non nul. on peul SUP!Xlser. par exemple. 0 =F O . On a alors x = -({3/er) y . ce qui donne w = (y/a)v. o Le cas {3 -F 0 esl similaire. Demonstration
Corollaire 2
Un vecteur orthogonal
2.
-...,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
a deux vecteurs non colineaires est nul.
Modes de reperage d'un point
2.1 Coordonnees cartesiennes Definition 1
_______
Lescoordolllu.'es d'un point AI de E dans Ie repere orthonorme R = sont les deux reels x et y tels que
On peut ainsi identifier Ie plan couple (x,y).
OM = :r r + y J. On note alors M
E a R2
(0. i.j)
I: .
en associant au point !vI
I:
,
Ie
MODES DE REPERAC,E D'UN POINT
50
Regles de ca/cul Etant donnes des points Atl • •
�
I
Z) ",
l
et Ml "'� : '"
Ie vecteuT MIM2 a pour composantes (X2 - XI,1}2 - VI) dans la base (i,j), si >'1 et ..\2 sont deux reels tels que >'1 + ..\2 = 1, Ie bary centre G = >'1 Aft + >'2 M2 des points MI et M2 affectes respectivement des coefficients AJ et ..\2 a pour coordonnees (>'1 XI + ..\2 X2 , ..\1 '!II + >'2 112).
Ces deux n?sultats sont des consequences des relations vectorielles : et
Definition 2
_______
Ulle equation F(x , y) = U est une eqllation cartesienne d'une partie plan si I'on a I' equivalence :
M I : E A F(x, y) �
A du
,
o.
Remarque SollS les hypotheses de la definition precedente, >. F(x,y) = 0 est aussi une equation de A pour tout ..\ E �• . 2 La nkiproque est fausse, puisque (ax + by + C) = 0 et a x + by + c = 0 sont deux equations non proportionneUes d'une meme partie du plan. En revanche, lorsque (a.b) "# (0,0), la proposition 22 de la page 70 montrera que ax + by + c = 0 est I'equation d'une droite V, et que les equations de V de cette forme (equation lineaire) sont A a x + A by + A C = U avec A "# U.
£xemple Les /ignes de lIiveau d'une fonction F, sont les ensembles d'equations F(x,y) � >..
2.2 Affixes Definitions DtHinition 3 •
•
•
_______
On appelle image du nornbre complexe z = x + i y (avec (x, y) point de coordonnees (x,1/) dans Ie repere orthonorme n.
On appelle a/fixe d'un point
M I : , Ie complexe x + i y .
On appelle a/fixe d'un vecteur
1-1:
i+ f3 J, Ie complexe + i (j . u
E
2 1R ), Ie
,
51
CHAP. 2- GEOMETRIE PLANE On peut ainsi identifier Ie plan E a ( en associant a u point
M
fixe ;r + i y .
Regles de calcul Soient A et • •
L'affixe du vecteur
I;
son af
8 deux points d' afftxes respectives a et b.
AB est Ie complexe b - a .
�
Si >. et J.I sont deux reels de somme 1 , l'affixe du barycentre de A et B affectes respectivement des coefficients >. et p. est >. a + p. b.
Oistance et norme Proposition 3 -------." • La narme d'un vecteur d'affixe z est Izl. •
La distance de deux points d'affixes ZI et Z2 est IZ2 - zil.
Le premier point est une consequence de la relation Izi = va2 + b2 si z = a + i b avec ((L,b) E �2 . Le deuxieme s'en deduit. 0
Demonstration
Exemples 1. L'ensemble U des nombres complexes de module 1 a pour image Ie cerele de centre 0 et de rayon 1 . 2. Plus generalement, Ie cercle de centre A et de rayon r est I'ensemble des points dont I'affixe z verifie I z - al = r, Oll a est I'affixe de A.
3. De meme, les disques ouvert et ferme de centre a et de rayon vemenl caracterises par Iz - al r et Iz - «I :::;;; r . 4. Les inegalites triangulaires :
'1
- Det(v. u).
Ainsi, si it et sont deux vecteurs, XI, .1:2. '!II et Y2 quatre feels, on a : Det,(x\ it + Yl V,X2 U + YZi1) = XIX:.! Det(u, it) + (Xl�f2 - x2yd Det(a,11) + YIY2 Det(V', V) = (Xl1J2 - x2yd Det(ii,V). En particuJier, si (ii, V) est une base orthonormee directe, on a : Det(x, u+y,V,x2u+Y20 =x, 'lJ2 - X2 'IJ,. L'expression du determinant en fonction des composantes est donc Ia meme dans toute base orthonormee directe. resultats de ee chapitre seront done conserves si I'on remplace la base (1:.1) par n'importe queUe base orthonormee directe. En particulier,. si R = (fI, ii. if) est un repere orthonorme direct, on peut asso der tout point M de coordonnees (x, y) dans R son a/fixe dUllS Ie repi:re 'R, c'est-a-dire Ie eomplexe = x + i y. ij
Les
a
z
CHAP. 2 - GEOMETRIE PLANE
63
Exempfe Dans n'importe queUe base orthonormee directe, si un vecteur 11 a pour {3 0) est directe- composantes 0, (3), alors Ie vecteur dont les composantes sont ment orthogonal a 11.
(
(
-
,
En particulier, si tl est normi!, c'est Ie vecteur norme directement orthogonal a it.
Proposition 18 --------..,
Si () est une mesure de I'angle oriente des vecteurs normes cos ()
=
sin ()
el
,u.v
=
Det(il, v).
if et
V, on a ;
En particulier les mesures des angles de (ii, v) et de (v, il) sont opposees.
Remarques
n
• Pour tous vecteurs 11 et ii, o a :
+ Del(a.V)' l iill'· (.) u et v IDel(a, V)I � lIal ll;;lI· (ABeD) A \Det(A"B, AD) I IIADll lsinOI, IIABII (AB,AD). WV)'
• •
� 11,111'
On retrouve que si naux, alms
sont orthogo
L'aire d'un parallelogramme
est
puisqu'il admet pour base
et pom haulem h �
au 0 est une mesure de I'angle •
-=-=.,
D
j[h 7 B
C
En ecrivant la relation (*) dans une base orthonormee directe du plan, on obtient la relation dite de Lagrange, mais remontant en fait a I'Antiquite :
(a2 + b2 )(C2 + d2 )
=
(a d - bc)2 + (ac + bd)2 .
si
Cette formule permet de prouver, par exemple, que deux entiers sont sommes de deux carn.3, il en est de meme de leur produit.
4.5
Application it la resolution d'un systeme
Etant donne un systhne lineaire de deux equations a deux inconnues ;
{
a x + by = e c x + dy � f
on aPlJeUe determinant du systhne Ie reel D =
I� �I
(8) = a d - b c.
DETERMINANT ET ANGLESORIENTEs
64
Proposition 19 -------"" Si son determinant est non nul, Ie systeme donnee par :
If � I
� fI
et
a b c d
Demonstration
(8) admet une unique solution
... Si Ie systeme (8) poss8de deux solutioos (x, y) = (X2 - XI, Y2 - YI) \lerifie Ie systeme :
{
a b c d
(X"Yl)
I
el
(Xl,V2) , Ie couple
ax + by = O cx + dy = O
1
ce qui prow8 que. dans Ie plan, les vecleurs (a,b) et (c,d) son! orthogonaux a (x,y). Commecesdeux vecteurs sontnon colineaires puisqueleur determinant est non nul, on en deduil d'apres Ie coroliaire 2 de la page soil (£1 dId = (X2 ' Y'l ) ' ... Pour I'existence, it sulli! de veritier que Ie couple donne convient.
49
1�
�
que (x. y)
= nd-bc =
(0.0),
o
Remarques •
Dans Ie cas oll Ie detenninant est nul, il y a une infinite de solution ou 3ucune (voir page 72).
•
Ces formules de resolution d'un systeme Iineaire seront generalisees page 947.
•
Cette methode de resolution d'un systeme lineaire de deux equations a deux inconnues est tres utile dans la pratique et doit etre priviJegiee par rapport 11 toute autre methode lorsque les coefficients du systeme dependent d'un uu de plusieurs parametres, car la discussion se fait uniquement sur la nullite du determinant.
Exempfe Le systeme :
{
x cosO - y sinO = a .'l: sin (} + y cos(} = b
admet toujours une unique solution puisque son determinant vaut I . Sa resolution ne necessite la division ni par cos 0 ni par sin (} (ce qui entrainerait une discussion inutile) et donne directement : et x = a cos(} + b sinll y = -a sin O + b cosll.
CHAP. 2
4.6
-
CEOMETRIE PLANE
65
Exemple d'utilisation des complexes
Soient it] el it,! des vecleurs non nuls d'affixes respectives z] et Z2. Des relations : et on deduit qu'une mesure de l'angle (it" 1i2) est egale
a
c'esl-a-dire a un argument de Z2/z, .
un argument de z, Z2.
En particulier : • •
itl et lLz sonl colineaires si, et seulement si,
Z2 z,
it] et li2 sont orthogonaux sit et seulement si,
est reel,
Z2 z,
est imaginaire pur.
Proposition 20 (Relation de Chasles) Si ii], U2 et it;>, sont trois vecteurs non nuls, on a :
Demonstration En effel, si 'll , 'l2 et Z3 sont les affixes respectives de iI" il2 et U3, les mesures des troIS angles de la relation annoncee sont respectivement des arguments des oombres 'l2/'l1 , 23/'l2 et 'l3/'l1 . Le resultat est done une consequence de la relation ('l2/'l,) ('l3 /ZZ) des arguments.
=
(z3/'ld et des proprietes 0
Exemple Si A, B et (' sont trois points distincts du plan, on a :
Autrement dil, la somme des angles d'un triangle est egale a En effet comme .
(�)
=
(
�) , on a :
1r
mo ulo
d
21r.
(At,�) + (BC'.�) + (�,�) = (�) + (�) + (�) -=. = (AB, BA) = rr [2rr[.
DETERMINANT ET ANGLESORIENTEs
56
Methode L'inh?ret de I'utilisation des complexes en geometrie plane est de pouvoir utiliser les proprietes de corps de (, et en particulier Ie produit et Ie quotient (omme Ie montre la demonstration de la proposition prece 0 I'ensemble :
,
Remarques • •
Si /1.4 est un point d'un cercle C centre en 0, son symetrique M' par rapport a 0 est aussi sur C et Ie segment 1MM/] est appele un diametre de C . Pour tout couple de points (M, M/) du cercle, on a :
dI M. M') 0 et V une droite. 1. Si d(A. V)
> R, alors v n c = 0.
2. Si dCA, V) < R, alors V et C ont deux points d'intersection distincts.
3. Si d(A, V) = R, aJors V n C = {M} et V est dite tal/gente a point M.
C
au
80
CERCLES
Demonstration Rechercher les points d'intersection de V et C revient a delerminer les points de V dont a. A vaut R . 1 , i d(A, V) R, alors il n'y a evidemmenl aucun poinl d'inlerseC1ion.
la dislance S > Si d d(A, ) l
2.
= V < R. alors en appelant II Ie pro je e orthogonal de A sur V , on a pour M E V
d(A. At)' � d(A. H)'
M R A
+ d(H. M)'
H
d
ce qui prouve que les points d'intersection de V et C sont les poinls M E V leis D d2• c'est-a-dire les Que d(H, M)2 = RZ 2 deux points H ± JR fP ii, ou ii est un vecleur directeur unilaire de V . 3. Si d(A, V) = R, alors it n'y a qu'un seul point !vi de V tel que d(A, M) = R . c'esl Ie projete orthogonal de A sur V . La droite V est alors orthogonale a. (AM) 0
-
ExempJe Soient C un cerde de centre 0 et B de rayon R > 0 et un point du plan. Po I A sons d = d(O. M) , et p = d2_ R2 lapuissance de M par rapport a C . (l Si V est une droite passant par M tan2 M gente a C en un point on a p = IIMT II T d'apres Ie theoreme de Pythagore. • Si est une droite passant par et coupant C en deux points A et on a p = MA.MB car en notant Ie milieu de lAB]. Ie point 0 est a egaledistance de A et donc se situe sur la mooiatrice de lAB] . Par consequent Of All. Alors: M
et
•
T.
V
M
B,
I
fl,
�
.1
-
MA.Mli � (AIl + IA).(MI +IB) -- -:-:-:t
IIMlII' - limll' � (IIMOII' - 110111') - (lioBl I ' - 110111') �
=
d2 _ R2.
7.3 Intersection de cercles
Etant donnes deux cercles C1 et C2 non concentriques d'l�quatjons respectives :
et:
,
x
+ y, - 2al X - 2b1 Y + Cl = 0
CHAP. 2 - G EOMETRIE PLANE
81
la resolution du probleme d'intersection de C, et C2 mene au systeme equi valent : X2 + �p - 2al .r; - 2bl Y + CI = 0 2(a2 - ad x + 2(� - bd y + CI - C2 = O.
{
Les deux cercles n'elant pas concentriques, on a (a2 - al ' � - bl ) f. (0,0) et la seconde equation est I'equation d'une droite V. Done : C, n C2 = C] n V = C2 n V.
Les cerc1es C1 et C2 ont done
0, 1 ou 2 points d'intersection.
Remarque •
•
La droite muns a
V, appeleeaxe radical des deux cercles, contient done Ies points com
C]
et
C2, ce qui prouve que si C]
el
C2
ont deux points d'intersection
distincts A et B, alors V est la droite (AB) . Comme de plus CI n C2 = C1 n V = C2 n V, si C] et C2 ont un unique point d'intersection, alors V est tangente a C1 et C2 . On dit alors que les deux cerc1es
sont tangents.
Le nombre de points d'intersection des deux cerc1es depend de la distance de leurs centres it la droite V. Plus precisement : Proposition 30 -------.,., Deux cerc1es de rayons R et r ont une intersection non vide si, et seulement s L on a :
lR - rl ( d ( R + 1" ou
d est la distance entre les deux centres.
Demonstration Prenons un repere onhonorme (0, ii, V) d'origine Ie centre d'un des deux cercles ellel que Ie centre de I'autre soil sur la demi-droite (n, it). Les deux cercles ont alors pour equations : "
La droile V mise en evidence ci-dessus a done pour equation 2dx - rP =
de D a V est
I -;(�+ £f2I· R2
R2 -r2 et Ia distance
Une condition necessaire et suffisante pour que les deux cercles soient non disjoints est done : c'est-a-dire : ou encore :
-2dR � R2 _ r2 + d2 � 2dR
et d ;;::: r - R , d ;;::: n - 1" , d � R + 1·.
o
CERCUS
82
7.4
Cercles et angles
Proposition 31 -------., 5i A, B et M sont trois points d'un cerc1e de centre 0 tels que M =I- A et M =f B, alors : �
( OA, DB)
'"
--
2(M .4, MB) [2"J.
Demonstration (Les egalites d'angles qui suiven! sont toules a comprendre modulo O'apres la relation de Chasles, on a :
211'" )
(Of.&) � (Q,i�ONi) + (O;.f.OB),
et comme Ie triangle (AOM) est isocele en 0 : --
--
---=: ::;--
� --
-
A
(OA.OM) � ,, - , (MO. MA) et de rneme :
(OM. DB) � ,, - , (MB. MO). 0'00 :
�
�
M
(OA,OB) � ' (MA,MB).
o
Exemp/e On peut ainsi retrouver geometri quement la formule :
ta.n � =
2
y .c + JX2 + y2
donnan! I'angle polaire d'un point M doni les coordonnees (x,y) ne sont pas de Ia forme (x, O) avec x � O. En effet, d'apres la proposition precedente. on a 0 = 20 Y- et r = Jx2 + y2 , avec tanG = x+r
M
B x
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ � "" Corollaire 32 ___
Quatre points distincts A. B, C el D sont cocycliques ou aHgnes si, et seule-
-
ment si, (CA,CB) '" (DA,DB)
["J .
CHAP. 2 - GEOMETRIE PLANE
83
Demonstralion
Si les points A , B , C et
D
... Si les points A, B, C et
D
_
sont alignes, on a :
(CA:CB) ,, ( OA?iB) ,, 0 [�[. son! eocycliques, alors d'apres la proposition precedente :
et done
_
Reclproquement. supposons : -
-
(CA,GB) " (OA,OB) •
•
Si A, B et C sont alignes, alors (DA,DB) que A, B e! D son! alignes.
==
[�l .
(CA,CB) ;: 0
[7rJ , ce qui prouve
Sinon, soit C Ie cercle passant par A , B et C e! C' Ie cercle passant par A ,
D e! D.
Une droite non tangente a C e! C' , non paral1ele a (AB) e! passant par A recoupe C el C' respec!ivemen! en E et F. Par cocyclicite de (ABEC) et (ABFD ) on a : -
-
-
(EA,EB) " (CA,GB) " (OA,OB) " (FA,FB)
[�l.
Comme (EA) = (FA) , on en dedult (EB) II (FB) c'est-a-dire (EB) = (FB) . les points E et F sont ainsi sur les droi!es non paral1eles (AE) e! (BE), ce qui prOlNe E = F les cercles C et C' on! done 3 points distincts en commun, ce qui prouve qu'ils sont egaux. Done 0 E C et les points A , B, C et D son! cocycliques.
o
Exemp/es
1. Quatre points distincts sont cocydiques au alignes si, et seulement si, Ie birap d-b c-b pori -- -;- ('-- de leurs affixes a, b, (' et d est reel. -a d-a En effet, si M est un point d'affixe x, distinct de A et B, un argument de ;:! -
est une mesure de I'angle (AM. BM).
2. Si z est un complexe non reel, Ie cerde passant par les points d'affixes z, 1 et -1 passe aussi par Ie point d'affixe liz puisque Ie birapport les com plexes I, - I , z et liz vaul - 1 .
CERCLES
84
7.5 Exemples de lignes de niveau
On suppose que A et B sont deux points distincts. Ensemble des points AI tels que
SoH I Ie milieu de lABI . Gn a :
MA.MB = k
� �
MA.MB = (Mi + iA) (Mi + lLi) = IIMi ll' - II IBII' .
et done :
MA.MB = k - --+
Done, si
k
=-
M II 2 = k + 41 11 A--+Llil 2. III--
> -* II -,-" Ab'11, ' I'ensemble cherche est un cercle centre en
sinon il est vide (si k < -� II ABII '>- ou redui. a
A B
;
A+B 2
(si k = -� II ABII' ).
En particulier, si k = 0, il s'agit du cercle de diametre [ABI . trouver une equation du cercle passant par trois points non B et C, on peut commencer par trouver Ie cercle de diametre [AB] dont une equation est P,(M) = 0 au P1(M) = MA.MB. L'equation P2 (M) = 0 de 1a droite (AB) est une equation Iineaire, ce qui im plique que, pour >. E �, l'equation P,(M) + >'P2 (M) = 0 est I'equation d'un cerde, et celui--ci contient evidemment A et B. II suffit d'ajuster la constante >. pour que ce cercle passe aussi par (" ce qui est possible puisque, Ie point C n'appartenant pas a la droite (AB), on a P2 (C) f O . Methode aJignes A,
POUT
� �
Exemp/e i A I � , B I � et C I : , on a Pl{M) = x(x - 3) + 1i et P2 {M) = Y, ce qui donne finalement une equation du cercle passant par A, B et C :
S
x2 +y2 _ 3x+y=D dont Ie centre a pour coordonnees (�> - �) et dont Ie rayon vaut �.
Ensemble des points
M tels que � = k. avec k � 0 IIMHII
L'equation est equivalente a :
IIMAII' - k'IIMBII ' = 0
puisque n n'appartient pas a l'ensemble.
OIAP. 2 -GEOMETRIE
• •
85
PLANE
Si k = 1 , c'est la m&hatrice du segment
[AB] . � � Sinon, it contienl les deux points ]\11 tel que MA = ±k M B, e'est-a-dire les barycentres de A et B affectes des coefficients 1 et ±k . Or, on a : - z - z liMAII - k'IlMHII � (l - k' )(x' + y' ) + "x + tJ y + 'Y et
il s'agit done d'un cercle.
Remarques •
•
Lorsque k "# 1, les deux points d'intersection de ee cercle avec la droite (AB) sont les barycentres GI el G2 de A el affectes des coefficients (1,k) el (l, -k) . Comme ce cercle est symetrique par rapporl 11 (AB). Ie seg ment [GIGZ] en est un diametre.
B
Lo'sque
- k' ¥ 0, l'equaHon IlMAI I ' - k' llMBlI' 0 e,1 done I'equa eercle. Plus generalement, si AI, A2,. . sont des points du plan et 01 , oz, . . On des reels de somme non nulle, en natant G Ie barycentre des points A; affectes des coefficienls 0;, on a : tion d'un
1
.
.
i= 1
�
An
,=1
.= 1
ce qui prouve que I'ensemble des points
M tels que :
I>. 1lMA: I I ' "
i=1
�
k
est soit vide, soil rMuit a G, soil un cercle centre en G . � �
A,
Ensemble des points M tels que (M MB) =:0 0 [27r] • Si 0: == 0 [1T], il s'agit d'une partie de la droite (A B) _ _
:
si Q == 0 [21T] , c' est la droite (AB) privee du segment [AB] si 0' == 7r [27r], it s'agit des points de la droite situes strictement entre A et B . ,
CERCLES
86
• Sinon, c'est un arc de cerc1e d'extremih�s A et B (prive des points A et B). En effel, on peut se placer dans un re pere orthonorme direct (0, ii, V) dans lequeJ les affixes de A et B sont res i pectivement de la forme u = r e- o et b = ii = l' cia : iI suffit de prendre pour 0, Ie point de la mooiatrice de [AB] tel que OJ = 2AB cotano., 1 A+B avec = - ' et u porh: par cette 2 mediatrice. Le point M satisfait it la relation si, et seuJement si, son affixe z verifie . z-b . , . e-'O E IR.+, ce qUI s'eent aUSSl : z-a
, ,
r -
B
l'
(>
A
.
--
e-ia (z - a) (2
-
ti) E �:
qui equivaut a a (z - ii) (2
-
a) E ��
.
Or: a (z - a) (z - a) � a (zz - a (z + z) + ,,') � a (zz - ail)
+ ail (a + a
-
(z + E) ) .
Pour que cette quantite soit dans IR: , it faut : _
d'une part zz - au = 0, puisque a ¢ IR et ad (a + a - (z + z») E �,
.. d'autre part 2Rea > 2 Re z .
Reciproquement, les complexes z tels que Izi = lal et Re z < Re a sont tels que a (z - a) (z - a) E IR�. L'ensemble cherche est done I'intersection du cercle C, centre en n et de rayon r = JaJ, avec Ie demi-plan situe a gauche de (A B) sur la figure prece dente. Remarques • •
Changer tv en (X + 7f revient a changer arc AB du meme eerde.
R� en R:' et co
it done a I'autre
ndu
L'ensemble des points verifiant (MA,MB) == 0' {1T] est done un cercle pas sant par A et B, prive de A et B. On retrouve ainsi, de fa�on plus precise. Ie resultat du corollaire 32 de la page 82.
CHAP. 2 - GEOMETRIE PLANE
•
•
87
On retrouve egalemcnt Ie resultat de la proposition 31 de la page 82 puisque :
(n5[iTIi) " 2" " 2(M-:;G:iih
[2.[. ---. --=... .::::;-...
Lorsque M = B, on ne peut pas parler d'angle (MA,MB). mais on peut montrer aussi que I'angle que fait la droite (AB) avec la tangente au cercle en B (position limite de la droite (MB) lorsque M tend vers B) a IX'ur me sure a modulo 1r .
8.
Transformations remarquables du plan
Si f est une transformation du plan, on peut lui associer une bijection 9 de ( dans lui-meme telle que pour taus points M et M' d'affixes respectives z et z' on ait :
M' = !(M) z' = g(z).
On dit alors que f est representee dans Ie plan complexe par I'application g. 8.1 Translations, homotheties Definition 16 • Si 17 est un vecteur du plan, la translation de vecteur i1 est I'applica tion du plan dans lui-meme qui a tout point M associe Ie point M' tel � que MM' = fI. • Si n est un point du plan et ). un reel non nul, I'homothetie de centre 1! et de rapport ). est I'application du plan dans lui-meme qui a tout point M � � assode Ie point M' tel que OM' = ). OM .
_______
,
ProprifHes
Si A' et B' sont les images de A et B par une translation, alors A'B' = AB . En particulier, une translation conserve les distances (c'est une isometrie). • Si A' et B' sont les images de A et B par une homothetie de rapJXlrt A, alors A'B' = AAB . En particulier, une homothetie de rapport A multiplie les distances par 1>.1. • Les translations et les homotheties transforment done toute droite V en une droite parallele a V. On dit qu'elles conservent les directions. �
•
�
�
�
TRANSFORMATIONS REMARQUABLES DU PLAN
88
Plus precisement. si V est la droite passant par A et dirigee par ii : - l'image de V par la translation de vecteur if est 1a droite passant par A + iJ et dirigee par ii, - I'image de V par une homothetie h de rapport >. est la droite passant par h(A) et dirigee par it. Proposition 33 --------_.., 1. La translation de vecteur 11 est I'application M 1-+ M + il, Elle est done representee dans Ie plan complexe par Z t-+ Z + b, ou b est )'affixe de it. 2. L'homothetie de centre n et de rapport A est I'application : Elle est done representee dans Je plan complexe par Z I-> Zo+). (z - Zo), ou Zo est I'affixe de n . Demonstration Les relations /It[' �
�
=
M + i1 et M' = n +
�
equivalentes a M Af' = 11 el OM' = >. OM .
Theoreme 34 (Theoreme de Thales)
sont respectivement o
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Soient V et 1)' deux droites secantes en un point n . On considere deux points A et B de V differents de n ainsi que deux points AI et B' de V' differents de n . Les droites (AAI) et (BB') sont paralleles si, et seulement si :
A'
B On a alors aussi :
�
). o.M
A
B'
D D'
(AA/) et (BB') n'est parallele a v ou a V'. En effet, si par exemple (AA') etait parallele a V, elle lui serait egale p.Jisqu'elies contiennent toutes deux Ie point A . Ainsi, A' serait sur V et sur V' , soil en 12 ce qui est exclu Demonstration On remarque qu'aucune des droites
CHAP. 2 - GEOMETRIE PLANE
89
Soil II ,'homolhefie de cenlre 0 el de rapport >. =
OB , de sorte que h(A) = B OA L·image par h de la droite (AA') est une droile parallele a (AA'). De plus, It(D) = V el h(V') = V'. ---+ ---+ OB' :: >., alors OB' = >.OA' et done h(A') = B'. On en deduit donc que la OA' droite (Bll') eSl l'image de (AA') par It done esl parallele a (AA').
... Si
Si (AA') est parallele a (BB'), ['image de A' par h se trouve sur V' et sur une droite paral lele a (AA') el passanl par 8', c'esl-a-dire sur (BB') . Comme (BB') et V' se coupent en un unique point B', on en deduit h(A') = 8' et done
OB' OB · = OA OA'
fiB' = >. nA' . Ainsi : �
�
De plus, sous ces condilions, on a h(A) = 8 et h(A') = 8', done B8' = >. AA', ce qui donne la demiere relation o
8.2 Rotations Definition 17 ------- 1
ILl'
La rotatio" de centre n et d'angle () est I'appli cation du plan dans lui-meme qui transforme n en n et tout point M =1= n en l'unique point M' tel que : -
-
II nM II = IlnM'11 Remarque
et
-
(nM , nM') = B
,,
,
, ,
o
[2n[.
o
111
Si I'on prend un repere orthononm? direct centre en
plication qui a tout point d'affixe z assode Ie point d'affixe I'existence et I'unicite de M'.
I b,e Demonstration ,a :
z
fl, c'est I'ap eiO , ce qui preuve
Proposition 3S -------� Soient n un point du plan, d'affixe 20, et {J un reel. La rotation d e centre n t d'angle (J est representee dans Ie plan complexe par z ...... Zo e'O ( z - zo) .
r
r
+
Soil M d'affixe
na
OM' = OM
z
el r(M) = M' d'affixe el
� �
(nM', OM) " B
' z .
Par definition de la roiatioo
[2.[
TRANSFORMATIONS REMARQUABLES DU PLAN
90
�
-
ce qui se traduit, sur les affixes z' - Zo et z - 20 des vecteurs OM' et nM , par 2' - Zo = eiO(z - 20).
o
8.3 Similitudes directes
Definition 18 On appelle similitude directe du plan toute transformation representee dans Ie plan complexe par Z I-> a z + b, avec (a. b) E C x C .
_______
,
Proposition 36 -------=
Une similitude directe conserve les angles et les rapports des distances.
Demonstration Soil f la similitude representee par z _ a z + b. Considerons des points Al . A2. A3 el A4 leis que Al ::F A2 et A3 =f:. A4 . Notons Zj , 2:2, Z3 el 24 leurs affixes respectives ainsi que zj , z�, z; et z� les affixes de leurs images. On a Z2 - Z� = a (z2 - zd
(Z: )
ce qui donne .
- Z, a'g , , Z2 - Zl et prouve Ie resultat.
==
arg
(
. - Z3
'
---
Z2 - Zl
)
et
z� - z3 = a (z4 - z3) e'
o
Proposition 37 --...
Etant donnes a E C et b E e, soH J 1a similitude du plan representee par Z l---+ a z + b . • Si a = 1 , I'application f est la translation de vecteur d'affixe b . • Si a '# 1 , I'application f admet un unique point invariant 1 appele centre
de fa similitude. Si a est un argument de a, l'application f s'ecnt f = hor = roh, avec 'r la rotation de centre n et d'angle a et h l'homotMtie de centre n et de
,apport lal. Le reel lal est appele rapport de fa similitude et a une mesure de tallgle de fa
similitude.
En particuHer : si a E �. , I'application f est l'homotMtie de centre n et de rapJXlrt a ; si lal = 1 I'application f est la rotation de centre n et d'angle
_
_
o.
CHAP.
91
2 - CEOMETRIE PLANE
Demonstration 1 . Lorsque a = 1 , c·esl un des resultats de la proposition 33 de la page 88. 2. Supposons a =F 1 Un point III d'affixe z est invariant par f si, et seulement si, z est solution de I"equa
b tion z = fLZ + b, equation qui a pour solution unique -- car a est diff€rent de 1 . I-a b l'unique point invariant par f est done Ie point n d·aftixe Zo = -- . 1-a De plus. pour tout point M d'affixe z, l'affixe z' du point f(M) verifie : z' - .zo = az + b - (a.zo + b) = a (z - .zo).
Soient r la rotation de centre n et d'angle et It I'homothetie de centre n et de rapport lal . Verifions que f = 0 1" Soit M un point d'affixe z : soient Zl I'affixe de r(M) et Z2 I"aflixe de h(r(M» On a. d'apres les propositions 35 de la page 89 et 33 de la page 88, les relations : Zl - .zo = eio (z - Zo) et Z2 - Zo = lal (Zl - ZO) ce qui donne . Z2 - Zo = lal eio (z - Zo) = a(z - zo ) · Le complexe Z2 est done I·afilxe du point f(M), ce qui montre I'egalite f = h 0 7·. On montre de rneme I"egalite f = ,. 0 h . o
a
h
Corollaire 38
..,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
50it f la similitude directe de centre J (d'affixe Zo) de rapport k et d'angle Q . Pour tout point M d'affixe z Ie point f(M) est d'affixe z' de finie par :
Proposition 39 -------...,
Etant donnes deux segments lAB) et lA'B'] de longueurs non nuUes, il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B' .
Demonstration En notant a, b, a' et b' les alfixes respectives des points A, B, A' et B', x ( tel que · Ie resultat revient a montrer I'existence et I'unicite d'un couple (3) E aa + {3 = a' a·b + {3 = b'.
{
(a,
(*
Ce systerne a une unique solution puisque a =F b, et celle-ci est telle que
a =F 0 puisque a' =F b'
.
o
TRANSFORMATIONS REMARQUABLES DU PLAN
92
Lorsque la similitude de la proposition precedente n'est pas une translation (AB oF A'8') : B') Ie rapport de similitude est d(A' d(A:B) , une mesure de I'angle de similitude est (AD , A'il'), • on peut trouver son centre en cherchant son unique point fixe. Exemple Soil (ABC') un triangle tel que C C soit !'image de B par la rotation de centre A et d'angle tr/2 (c'est un triangle isocele tangle en A). Cherchons un point tel que : Remarques
�
-
•
� -
•
(iff.ifi;) ,, (illDfc)
rec
f2
[2.[
On remarque que Ie centre de la simili tude transformantsimilitude A en Bdirecte et B en C directe convientf puisqu'une conserve les angles. Determinons-Ie. B On peut prendre un repere orthonorme di centre en A et doni Ie premier vecteur est � AB [[ dans ce repere les points A et B ont pour affixes respectivement I et h E R+ . Le point C a ih pour affixe. La similitude f est alors representee par b + (i - 1) z dont I'unique point fixe est: 21J + ill 2-i 5 Le point 0 est done: rect
A
�
;
(j
IJ
2: ......
w � -- � --- .
8.4
Symetries
Proposition 40 -... a M ...... 2A-M , ou 2A-M representele (A, 2) (M, -1).
La symetrie par rapport un point A est l'applieation definie par barycentrede et Demonstration Si a, Z el sonlles affi)(es respectives de A. de et de son symetrique ' z
on a a = (2: + z')/2, soit z' = 2a - z.
III
0
CHAI'. 2 - GEOMErR1E PLANE
93
Proposition 41 -------.,., L'application z ...... z represente la symetrie du plan par rapport a la droite (O,i).
Demonstration Si M et M' sant les deux points d'aHixes z et i , an a �
et MM' colineaire a j. Done M' est Ie symetrique de M par rapport a (0. i)
M + M' E (0,1:) 2
o
Remarque On verra a l'exercice 21 que plus generalement les symetries axiales sont representee. par les applications z ...... a i + b, avec (a,b) E (2 , lal = J et a b + b = O.
8.5 Inversions Soit 0 un point du plan P . Definition 19
_______
5i k est un reel non nul, on appelle inversioll de centre 11 (au de pole 11) et de rapport k I'application de P \ {11} dans lui-meme qui, it tout point M =F 11,
,
� �
assode Ie point M' de la droite (nM ) tel que ON! .nM' = k .
Demonstration L'existenee et I"unicite de Al' sont assurees par Ie fait que si M ad met (r, lJ) pour systeme de coordonnees polaires dans un repere de p6le n , I"unlque poInt M' - verifiant n/l.1 .rl.M' = k est celui qui admet (klr,8) pour systeme de coordonnees polaires 0
Proposition 42 -----� Dans un repere centre en 11, I'inversion de centre 0 et de rapport k est repn'isentee par I'application z ...... kit de (" dans lui-merne. Remarque par :
En coordonnees eartesiennes, eette inversion est done representee (X , y) ......
(
kx
kY
.£2 + y2 ' X2 + y2
)
.
94
TRANSFORMATIONS REMARQUABLES DU PLAN
Proposition 43 --------_., Une inversion est une application involutive.
C'est done une bijection de P \ {U} dans iui-meme. Demonsil'atiOf1 Par symetrie de la definition, si M' est I'image de !' image de M'.
/1.1 ,
alors III est aussi 0
Remarques
L'inversion de centre n et de rapport k est Ie composee de I'inversion de centre n et de rapport I par J'homothetie de c�ntre n et de rapport k.
•
•
Dans toute la suite, nous supposerons k = 1 et n :::: O. L'inversion est done I'application representee dans Ie plan complexe par z ....... liz.
Notations • •
Naus noterons pi Ie plan prive du pole O. La distance de deux points A et B sera nalee AB.
Proposition 44 -------" Soient deux points A et B de P'. Leurs images A' et 8' par I'inversion de pOle 0 et de rapport 1 verifient : A'B' = Demonstration Si
AB GA.DE
a et b sont les affixes de A et B. on a : � Ib' a'i � I���I
- Ii - �I
o
Proposition 45 -------.,-, Soit J I'inversion de pOle 0 et de rapport t .
1 . Vne droite passant par 0 (et privee d e 0 ) est invariante par f .
2. L'image d'une droite ne passant par par 0 est un cercJe passant par 0 (prive de 0). 3. L'image d'un cercle passant par 0 (prive de 0) est une droite ne pas sant par par O . 4. L'image d'un cercle ne passant pas par par O .
0 est un cercle ne passant pas
CHAI'. 2 - GEOMtrRJE PLANE
95
Demonstration 1 . Par delinition. si V est une droite passant par 0 etsi Vi = V \ {O} . on a 1('0') C Vi En appliquant I , on oblienl V'
c 1('0'), d'ou I'egalile. + by + t: = 0 une equation d'une droite V ne passant pas par 0 doc< (a, b) " (0,0) el c " 0.
2, Soit it T �
Si un point M
I:
appartient a V , son image M'
puiSQue 1 est Involutivej est telle que : x -
on a
(c'est-a-clire son antecedent
'
--" ,2-"-,.., , , x
T
+y2
Les coordonnees de M' verifienl done 2 ax' + b'!! + c x'2 + yI = 0
(
I::
;
)
b 2 a x12 + y' + - x' + - y' = O c c qui est l'equation d'un cercle C passant par 0, ce qui donne I(V) c C Reciproquemenl. si M'
soit
I:: appartienl a C' = C \ {O}. son antecedent M I: par 1
est tel que u :l' + b y + e = 0 On a done I(V) = C' .
3. Consequence du resultat precedent puisque 1 est invotutive. 4. Meme raisonnement que prtkedemmenl. L'image du cercle C d'equalion .£2 + y'2 + 11 X + by + (' = 0, avec (' #- 0 est Ie cercle C' d'equation . 1 + ax + by + c(x2 + 1/) = 0.
Remarque Un point de coordonnees (x, y) appartient a C' St, et seulement si, Ie point de coordonnees (ex, ey) appartient a C , On en d8duit que C' est aussi I'image de C par I'homotMtie de centre 0 et de rapport lie. Ainsi, lorsque c = 1 , Ie cercle C est globalement invariant par !'inversion (mais pas invariant point par point) . 0
Remarques •
•
L'application representee dans Ie plan complexe par z ..... liz possede la merne propriete que l'inversion concernant les droites et les cerdes, puis qu'ell� est la composee d'une inversion et de la symetrie par rapport a 0,: . Contrairernent aux transformations t'itudiees preeooemment (translations, ro tations, homotht'ities, similitudes, symetries), les inversions ne eonservent pas I'alignement. Ce ne sont done pas des transformations affines (voir page 803).
L'inversion est ainsi tres utilisee en geometrie pour transformer un probleme de cocyclicite en un probleme d'alignement et reciproquement.
96
TRANSFORMATIONS REMARQUABLF.5 DU PLAN
Exemp/e : tMoreme de Pto/emee. Quatre point distincts A, fl, C et D sont co cydiques ou alignes si, et seulement si, parmi les trois quantites ARCD, AC.fJD et AD.BC, I'une est Ie somme des deux autres.
Demonstration G' el
V'.
Comme :
Par une inversion de centre A, Iransformons les points B , C et D en 8' ,
AC.BD = ARGD + AD.BC
ED A13.AD
el que. d'apres la proposition 44 de la page 94, on a 8' 0' = aulres, on en deduil .
=
CD /3C AC.AD + AIJ.AC
;�
A . D
et de rrhne pour les deux
AG.BD = AB.CD + AD.8C 8'0' = C'O' + B'rt,
Le resullal s'ensuit. puisque A . B , C et D son\ cocycliques si, et seulement si, 8'. G' et D' sont alignes, c'esl-a-dire si, et seulemenl si, parmi les trois quantiles C'OJ. fl'D' et /]'(" rune est la somme des deux autres. 0 ,
Plus precisement les sommets d'un quadrilatere convexe (All('D) sont cocycJiques si, et seulement si, Ie produit des diagonales est la somme des produit deux a deux des cotes opposes : AG.BD = All.CD + AD.I3C.
Remarque D'apres ce qui precede, on a toujours : AC.BD � All.CD + AD.nr (inegalite triangulaire sur les points B', C' et D').
Application L'jnverseur de Hart est un systeme articuJe pennettant de construire I'inverse d'un point donne. I I permet notamment de transformer un mouvement rectiligne (ou du moins une partie d'un tel mouvement) en mouvement circu laire et inversement, probleme mecanique qui resista longtemps aux efforts des ingenieurs a partir d'une solution approchee inventee par James Watt pour la construction de machines a vapeur. Le systeme est constitue de quatre tiges rigides articuIees aux points A, B, C et D, avec All = CD et AC = BD selon Ie schema ci--contre. Le quadrila tere (ABeD) est done un trapeze isocele (Ie polygone croise ABDC porte Ie nom de contre-para/Jelogramme). A
/3
C
D
CHAP. 2 - CEOMETRIE PLANE
97
Q milieux respectifs de [AC] et (BD] sont inverses I'un de I'autre dans une inversion de centre 0 1 et de rapport '4 (AC'2 - AB2 ) . Le point 0, milieu de [AB[ etant fixe, les points P et
En effet, les quatre points A , B, C et D sont cocycliques puisque, par symetrie, les angles
(A1[:4C) et (iJiJJC) sont egaux.
Le quadrilatere etant convexe, Ie theoreme de Ptolemee nous donne regalite : AD.8C = AC.BD - AB.CD = AC2
_
An2.
Or, par Ie theoreme de Thales, on a :
oP � 4 llC ce qui donne :
oP oQ �
et
J llC.AD � (AC' - AB') . �
Le lecteur trouvera it I'exercice 22 un autre systeme articule (l'inversellr de Petlllce lier) permetlant de meme de realiser une inversion.
Remarques •
On peut retrouver la formule DC · AD = AC2 - AB2 en introduisant Ie point
E = D + AB et en calculant la puissance de fJ par rapport au cercle de centre �
D et passant par (' et E .
•
Les points P et Q restent images I'un de I'autre par une inversion de centre o si I'on suppose que 0, P et Q divisent [AB], lAC] et DB dans un rapport k non necessairement egal a
�.
EXERCICES
9'
EXERCICES 1.
Soient C et C' deux cercles. Deux points M et M' decrivent respectivement C et C' de telle sofie que la tangenle a C en M et 13 tangenle it C' en /1.1' soient orthogonales. Trouver Ie lieu du milieu du segment 1M A1'].
2.
Soient A, B,C d'affixes respectives a, b
a) On suppose b :/:-
c.
Determiner I'affixe du projete orthogonal d e A sur la droite (Be), puis la distance de A a 1a droite (Be). c.
b) Donner une condition necessaire et suffisante portant sur fl , b et c pour que les trois points soient aUgnes.
a '# b.
Donner une equation de la droite (AS)' c'est a dire une condition necessaire et suffisante pour que Ie point At d'affixe z appar Henne a la droite (AS). Que devient cette equation si lal = Ihl = I ?
c) On suppose
d) Montrer que i'equation generale d'une droite s'ecrit pz + pz = It au p E e et h E R. Donner I'equation de la droite orthogonale it la droite (BC) passant par A.
e) Determiner I'affixe de I'orthocentre du triangle ADC.
f)
On suppose lal = Ibl = lei = triangle ADC est a + b + e.
1.
Montrer que l'affixe de I'orthocentre du
3.
Dans un triangle ADC, on considere I, Ie milieu de D et C. Une droite va riable passant par 1 coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en 0 et E. Que! est Ie lieu des points d'intersection des droites (BE) et (CD) ?
4.
Dans Ie plan muni d'un repere orthonorme, on considere les trois droites d'equations respectives :
ax + EnJ + C = O.
ax + by = J3(bx - ay)
et
ax + by = -J3(bx - ay).
Montrer que ces trois droites sont les trois cotes d'un triangle equilateraL
5.
Soit z E ( tel que lmz Montrer que :
> O.
l l
. r ,-z
:�l�
t _i
=
21mz
Iz + il + Iz
il
CHAI'. 2 - GEOMETRIE PLANE
6.
99
Dans Ie plan eudidien, muni d'un repere orthonorme, on note f(R) Ie numbre de points dont les coordonnees sont entieres et qui sont dans Ie disque de centre
l'origine et de rayon R ;;:: ./2. Montrer que :
n(R - h)' " J(R) " n(R + h)'.
7.
Soient a, b et
e,
{
Monlrer que :
8.
9.
{
trois reels verifiant :
AnI'
cos a + cosb + cosc = 0 sina + sin b + sine = O.
cos2a + cos2b + cos2c = U sin 2a + sin 2b + sin 2c = O.
M
Soit un triangle equilateral el un point du cercle circonscrit au triangle apparlenanl a I'arc ne contenant pas Montrer que = +
/3C
A.
MA MB MC.
(ABC) (ABC).
Theoremes de Menelaus : soient un triangle du plan affine, ainsi que /3' et trois points situes respectivement sur les draites et et distincts des sommets de
A', (AD)
C'
(BC), (CA)
A'. B' et C' sont alignes si, et seulement si : A'B B'C C'A 1 A'C B'A r'B Soient A, B et C trois points non alignes d'un plan E. On note I Ie milieu de B etde C, J Ie milieu de C etde A et f( Ie milieu de A etde B. Soient n un point de E et h I'homothetie de rapport 2 et de centre n . On note A' 11(1) B' h(J) et h(f(). Montrer que les draites (AA'), (BB') et (Ce') sont concourantes. Soit (ABC) un triangle du plan (trois points non alignes). On dit que (a, jJ,,) est un systeme de coordonnees barycentriques de /1,1/ dans (A B, C) si a+jJ+l' est non nul et si M est Ie barycentre de A, B et C affectes des coefficients a, jJ et a) Montrer que tout point M possede un et un seul systeme de coordonnees
Montrer que
�
10.
=
11.
.
=
�
.
= =
.
1" =
1'.
barycenlriques (a,p,,) verifiant a + 13 + , = 1.
b ) Montrer que deux triplets (0,13,,) et (0',13',1") sont des systemes de co ordonnees barycentriques d'un meme point si, et seulement si, Us sont pro portionneis.
'00
EXERCICFS
d Montrer que
(Det (M'B,!\,[C) , Det (IHC, MA) ,Dct (MA,MB) )
systeme de coordonnees barycentriques de
12.
Soient
est un
1\ A' A pour tout M # F et qu'ainsi ! atteint son minimum en F et seulement ee point. d) On construit comme ci-dessus les triangles equilatt�raux (CAB') et (ABC') ainsi que leurs cercles circonscrits Cn et Ce_ Monlrer que F, appele point de Fermat de (ABC), est Ie point de concours des droites (AA'), (B13') et (CC') et qu'il appartient aux cercles CA, Cn et Ce. en
(ABC)
un triangle positivement oriente du plan euclidien P dont I'angle 20. Soit est de mesure principale strictement superieure a 2; . Le but de cel exercice est de monlrer que I'applieation :
A
[(M) � d(M, A) + d(M, B) + d(M,C) de P vers R+ alteint son minimum en A et uniquemenl en ce point. a) On construit Ie triangle isocele BCA' exlerieur it ABC dont I'angle (A'C,A'B) est de mesure principale A. MontTer que BC e�t stricte ment inferieur a BA'. b) Montrer que I'on a MB + Me � :If, MA', I'egalite n'ayant lieu que lorsque M appartient a I'arc du cercle circonscrit C a ABC compris entre B et C el contenant A. c) Montrer que I'on a !(M) > AB+AC pour lout M # A el qu'ainsi ! alteinl son minimum en A. 1T
�
CHAI'.
2 -CEOM"TR1E l: PLANE
103
21. On considere la transformation du plan representee par /(z)
= az + b, avec a E C et b E L a) Montrer que c'est la composee d'une similitude directe et d'une symetrie axiale (on dit que c'est une similitude illdirecte).
b) Montrer que si / represente une symetrie axiale, on a lai = 1 et a b + b = O. Trouver alors, en fonction de b, un point de l'axe de symetrie. c) Reciproquement, si a = p;o et ah + h = 0, montrer que pour tout z E (, Ie complexe u = e-;O/2(J(z) + z - b) est reel et u = e-;O/2(J(z) - z) est imaginaire pur. En deduire que f represente une symetrie orthogonaJe par rapport it une droite que I'on precisera.
d) Montrer que si lal = I , on a f = s o t = t o s au s represente une symetrie d'axe V et t une translation de vecteur dans la direction de V. Verifier l'unicite du couple (s. t).
22. Un losange (API3Q) de longueur de cote constante a se deforme de fa,on it ce que les points A et 13 restent sur un cerc1e fixe de centre 0 et de rayon r =F (1 .
Montrer que Q est l'image de P dans une inversion fixe que I'on dlHerminera.
Chapitre 3
Geometrie dans I ' espace
Conformement au programme, ce chapitre introduit de maniere eiementaire la geometrie de I'espace. Cette presentation, qui exclut toute theorie generaIe des espaces vectoriels, permet de travailler dans un cadre theorique precis et de dis poser de tOllS les resultats classiques de la geometrie dans l'espace. En premiere lecture, Ie lecteur pcut se contenter d'apprendre a utiliser les notions introduites dans ce chapitre (done sans approfondir les demonstrations), quitte a revenir aux fondements de la theorie uiterieurement.
1.
Definitions, Notations
Dans tout ce chapitre, on consiclere J'espace euclidien usuel E muni d'un repere orthonorme R = (0, r, j, k). •
•
Tout vecteur
it
de }'espace s'eeTH de maniere unique SOllS la
forme it = au f3 et sanies ou coordo1l11f!es de 17 dans la base
ni+ (3j+ r f,
a,
'Y
sont des reels appeles compo
(i,), k).
Pour tout point de I'espaee, il existe done un unique triplet (x, y, z) de reels �
-
tel que OM = x i + y j+ z k . Les reels x, y et de
111
dans Ie repere (0, i, ), k}.
z
s'appellent les coordonmfes
ai+ f3 J+ "I k est : lIull � va' + {3' + 7' ·
•
La /JamIe (eudidiclme) du veeteur it =
•
Un vecteur est dit ullitnire, ou l1orme, s'il est de norme 1 . La distance de deux points A el B de E , notee d(A,B} ou plus simple-
•
�
ment An, est la norme du vecteur AB.
DEFINITIONS, NOTATIONS
106
•
Si fI, = 0:, r + /3, j+ 11 k et 172 par Uz est :
=
frz i + fh. j+ /1 k, Ie produit scafaire de 11,
2
On a immroiatement lIal1 = 11.u. •
Le produit scalaire est bilineaire symetrique, c'est-a-dire que I'on a, pour taus
vecteurs ii, U" uz, if, VI et V2, et pour tous reels >'1 et ).2 : u.
(>'1 VI + ).2V2) = >'1 ii.v, + ).2 il.vz
P'I ill + >'2uz) ·ii = >., UI.iJ+ ).2 11z.ii ii. iJ = if.ii. • •
Deux vecteurs sont orlhogonaux si leur produit scalaire est nul. On appelle base orthonormee, une farnille de trois vecteurs unitaires et deux it deux orthogonaux. Un repi?re ortllOnorme est un quadruplet (n, 17. 17, tv) ou 11 est un point de I'es pace et (ii, V, tv) une base orthonormee. Remarque Les termes de "base" et de "repere" seront ju�tifies par 1a propo sition 5 de la page 114 et la remarque qui la suit.
•
Si A est un point de E et iI un vecteur, on note A + it, I'unique point B de E �
•
tel que AB = it.
La droite passant par un point A et dirigee par un vecteur if non nul est I'en semble des points de la forme A it, avec ). E �. On la note parfois (A. it) ou A + 1R1t.
+ ).
�
Si A et B sont deux points distincts, on note (AB) la droite (A, AB).
•
•
La direction de la droite (A, it) est I'ensemble des vecteurs de la fonne ).17, avec ). E JR. Deux vecteurs it et iJ sont coli1U?aires (au proportionnels) s'il existe un reel ). tel que v = ). ii au un reel J-l tel que 17 = J-l V.
Remarque Comme dans Ie plan, on ne peut pas se contenter de rune de ces deux relations pour traduire la colinearite de deux vecteuTS, sauf si I'on !'.ait qu'ils sont taus les deux non nuls.
CHAP. 3 - GEOMETRIE DANS I:ESPACE •
•
107
Si iJ et t7 sont deux vecteurs non colineaires, Ie plan passant par un point A et dirige par if et fj est I'ensemble des points de la forme A + A if + WiJ, avec (A, J..t) E 1R2 . On Ie note parfois (A, 17, V) ou A + I'! 11 + IR v.
La direction du plan (A. u. V) est l'ensemble des vecteurs de la forme A if+J.L iJ, avec (A.p) E 1R2 . Remarque Toutes ces notions ont deja ete vues dans les classes anterieures. Elles seront reprises en detail plus tard dans cet ouvrage, et en particulier dans Ie chapitre sur les espaces euclidiens.
2.
Modes de representation d'un point
2.1 Coordonnees cartesiennes Tout point M de E peut eire represente par ses coordonnees cartesiennes (.c, y, z) dans Ie repere orthonorme
n. On note alors
M
1;
.
On peut ainsi identifier I'espace E a 1'!3 en associant au point M plet
I;
(x, y, z) de ses coordonnees dans Ie repere orthonorme (0, t, j, k).
De meme, on note
11 1 �
vecteur 11 dans la base
Ie tri
poUT signifier que (0', /3,,) sont les composantes du
(t,]: k).
2.2 Coordonnees cylindriques Si () est un reel, on note : ii(O)
=
cos O i+ sinOJ
v(O)
••
Soit M un point de coordonnees (x, V, z) dans
=
n.
- sin O i+ cosOj Si
pi i
est son projete or
thogonal sur Ie plan (Oxy) muni du repere orthonorme (0, t,j) et si I'on prend un systeme de coordonnees polaires (r.O) de P, on a : ----+
--
-
-
OM � OP + z k � r ille) + z k.
MODES DE REPREsENTATION D'UN POINT
'0'
Definition 1
_______
z
Etant donne un point M de E, on ap- pelle systeme de coordonnees cylindriques de M par rapport au repere R, tout tri plet (r, O , z) E R3 tel que : �
,
z
U �. �y
-
OM � rii(e) + z k.
e .....
x
2.3 Coordonnees spheriques �
Soit M un point de coordonnees cylindriques (p. 'P, z) . Ona OM = pu(tp )+z k et donC T = 1 l0'iiJ 1 1 = Jp'i+ z2. ll existe donc un reel et (J = r sin O,
{X
-
0 tel que Z = T COOO
Les coordonnees cartesiennes (x, y, z) de Iv! verifient alors : = p cosrp = r cos tpsin f} y = p ::;inrp = l' sin rpsin f} z = r cusO
Definition 2
_______
z
Etant donne un point !vI de E, on ap pelle systeme de coordonnees spMriques de /VI par rapport au repere R, tout triplet (r, O , tp) E R3 tel que r � 0, e E [0, �[ et ,
{
" °A:---\---r
x = r cos zd ce qui prouve que les vecteurs ill el iIz sont coli neaires. o
= =
=
ORTHOCONAUTE ET PRODUIT VECTORJEL
110
Proposition 1 �����-,. Soient ttl et U2 deux vecteurs non colineaires. • II existe un vecteur non nul w orthogonal a 171 et ill ' •
•
Les
vecteurs orthogonaux Ii 17\ et il2 sont les vecteurs
Les vecteurs orthogonaux
).. tV, pour
>. E IR.
a 'Iii sont les combinaisons Iim�aires de ill et iZ,l .
Demonstration Pasons :
ii, = XI i+ YI j + z, k
et
lis sont non colineaires, done d'apres Ie lemme on peul supposer, par exemple. que D =
I �:
Un vecteur
�
1
est non nul.
iI = x i+ y j + z k est orthogonal a iii el it2 si, et seulement si, ,'on a .
{
XXt + Y Y1 + Z Zt = O xxz + Y Y2 + Z Z2 = O.
Ce systeme en (x, y) admet D pour determinant, done admet pour tout z une solution unique
Calcul preliminaire. Soil Zo un reel arbitrairement fixe. Le triplet (x, y, Zo) est solution du sysIerne si, et seulement si, ,'on a :
xJ
J
... En prenanl
-ZO z\ y, - zo 22 in D X,
X,
-Z(jZ,
-Zo Zz D
I
�
-
I '0
I �J
"
x,
y, y, D
x, x,
D
" "
I -J I I � -
'0
y,
in
x, y,
x,
"
I
"
x, "
x,
y,
in
x, "
x, In
I I
= D . on a done ur.e solution non nulle : it s'agit du vecteur tV donI les compo sanIes dans la base orthonormee (�,f. k) sont : zo
Q�
I
y, z,
y, "
I
... Taus les vecleurs >. ill sont alors evidemment solutions. Reciproquement, si (x,y,z) est solution, Ie z que (x,y, z ) = (a, {J,,) . V
catcut
... Par bilinearite, tOllS les vecteurs >'1 ii, + ..\2112 son! orthogonaux a tV
preliminaire
montre
CHAP. 3 - GEOMETRIE DANS L'ESPACE
{
111
Reciproquement, soil it = :ri'+y j+z k u n vecleuf orthogonal a W. O n cherche des reels A I el A2 leis que ii = A l iii + A 2 fl2 , c'est-a-dire satistaisanl au sysleme .
Comme
'Y
=
I �: ;: I
AI XI + A2 X2 = x >'1 YI + A2 Y2 = Y
A I 21 + A2 Z2 = Z.
(oj
est non nul, il existe un unique couple (AI, A2) verifianl les deux
premieres equations O'autre part, les vecteurs iii. ii2 et dencon a :
it sonl tous trois orthogonaux a w,
a x + {3 y + 'Y Z = OXI + (3Yl + 'YZj = OX2 + ,JY2 + l' Z2 = O.
En ajoutant les deux premieres equations du syshl!me (*) respectlvement multipliees par -0 et -fl, on obtient alors :
ce qui prowe que la derniere equation esl aussi verifiee puisque 'Y f. O .
o
Remarque Lorsque iii et 112 sont eolineaires, Ie veeteur w defini ci-dessus est nul, done eneore orthogonal a ees deux vecteuTS.
Definition 3
___ __
Soient :
ill = .1:1 i+ Yll+ ZI k
et
deux vecteurs de l'espace.
On appeUe prodllit veetoriel de iii et U2 Ie vecteur dont les composantes dans la base orthonormee
(i,.f. k) sont :
On Ie note ill A il
2.
• • •
II est nul si, et seulement si.
II est orthogonal a
ill
iii et a U2 '
et U2 sont colineaires.
Lorsque UI et U2 sont non colineaires, c'est, I'unique vecteur orthogonal a iii et a U2'
a un reel multiplicatif pres,
,
ORTHOGONAUTE ET PRODUIT VECTORIEL
112
. avec >. = !lUiII et (u,V) tels que (it, v,lLi/>.) soit une base orthonormee.
v,
3.4 Orientation Remarque Soient : 171 = '£1 i + YI j+ ZI k
et
On sait que Ie produit vectoriel Ui = itl A U2 a pour composantes :
(YI Z2 - !l2ZI , ZI X2 - Z2 XI , XI Y2 - X2yJ),
Oans la base orthonormee (�j, -k), les veeteurs itl et iI2 ani pour eomposanles respeclivement (XiI ' ?It, z;) et (x�, y;, z;), avec J:� = X;, Y; = Yi et z: = -Zi . Le vecteur donl les eomposantes dans eette base orthonormee sont : est done egal a -w.
L'expression du produit veetoriel en fonelion de ses composantes dans une base orthonormee depend done de eette base, En revanche, on va voir qu'eJJe est inde pendante du ehoix de la base orthonormee directe.
Definition 4
_______
Une base orthonormee (ii, V, 'U�) est directe si 'Iii = it A v.
Dans Ie cas contraire, c'est-a-dire si 1V = -ii A v, on dit qu'elle est itldirecte.
,
ORTHOGONALITE ET PRODUIT VECTOR1EL
116
Lemme
_ _ _ _
({h, Us. iii)
Si (iii' ii'l, US) est une base orthononnee directe, alors et (u:,!, iii, {h) sont des bases orthonormees directes. On a done : et
Demonstration • _
II est evident qu'il s'agil de bases orthonormees.
Verifions que (U2 ,U:hUl) est directe, c'esl-a-dire que ron a
est egaJ a ±Ul). En nolant leurs U. . 0f1 a :
(x;, y;, zil
it2 " 113
=
iii (on sail qu'il
les composantes dans (�h k) de chacun des vee
x3 = y, Z2 - Y2 z\ , Ys = Z, .2:2 - Z2 x, el Z3 = Xl Y2 - X2 YI ' Comme iii i=- o. on peul supposer. par exemple =F O . La troisieme composanle du vee leur ii,2 A Ul est alors : .2:2 (z\ X2 - Z2.ct) - Y2 lUI Z2 - Y2 zd z,
=
z,
(x� + y�) - 22 (Xl X2 + Yt 112)
(1 - z�) - Z2 (XI X2 + Yl Y2) = 2\ - 22 (T\ X2 + Yl Y2 + Z\ 22) = z] car U\ .U2 = D.
= z.
car
lIil'lll
=
I
Cemme les deux vecleurs il-z 1\ U3 et il, son! colineaires et comme 2\ est non nul, on en deduit qu'ils sont egaux. �
En appliquant ce que I'on vient de man/rer a la base orthonorrnee directe (112 . U3, ud . on en decluit que (113 , ii" U2 ) est aussi direcle. o
Proposition 7 -------� Soit B
=
(it. V, w) une base orthonormee directe. Si : et
sont deux vecteurs de l'espaee, les eomposantes de iii A fi2 dans la base orthonormee B sont :
L'expression du produit vectoriel en fonction des eomposantes est done la meme dans toute base orthonormee directe.
CHAP. 3 - GEOMETRIE DANS I:ESPACE
117
Demonstration On utilise la bilinearite du produit vectoriel el les relations :
u/\v=1n= -v/\iL 1 /\W=U=-W/\tJ w /\ ii = v = -u /\ w u/\fi = /\i; = w/\w = O. v
o
Exemp/e Si et w sont trois vecteurs, on a la formule du double produit veclonel :
il, t�
(u/\ v) /\ = (ii.w) v - Ui.w) ii. Iii
POUf la
demontrer, on se place dans une base orthonormee directe dans laquelle les composante5 des trois vecteurs sont de la fonne :
ul g
ti l i
w
i;
(on prend un premier vecteur iii colineaire a ii, Ie troisieme enfin iz On a alors : ii) w (0 iii 1\ ciiz)) A w
= il:l /\ ttl ).
ii3 colineaire /\ v et a ii
(u/\ /\ = (bttJ + = UCU3/\ (dul + e iiz + j ii3) =adr- (ace+adb)ttJ = adr (ce db) ii ( ) ( ) -
+
- - v- - 1J.W - - U. = u.w
3.5
Interpretations geometriques du produit vectoriel
D'apres la proposition 3 de la page 112, on a I'inegalite de Cauchy-Schwarz : On peut done poser : Definition 5
lil Vi ,; l I illl llv ll ·
_______
Si iJ et v sont deux vecteurs non nuts de l'espace, on appelle mesllre de ['angle des vecteurs i1 et v, l'unique reel (J E (0, 1f] tel que :
iLv = Ililll llvll cos O.
,
ORTHOGONAUTE lIT PRODUIT VECTOR1EL
118
Remarques
• C'est done (lllssi la mesure de rangle non oriente des vecteurs ii et if dans tout plan les contenant. •
Le notion d'angle oriente n'a pas de sens dans I'espace, car tout plan de j'es pace admet deux orientations, et aucune ne peut eire privilegiee ("on peut regarder Ie plan de chacun des deux cotes"),
Proposition 8 -------. Si (} est la mesure de rangle des vecteurs non nuls ill et U2. on a :
Demonstration O'apres la proposition 3 de la page 112, on a : el le resultat s'ensuit puisque. Ie reel () etan! dans I'intervalle (0. 1T] . on a sinO � 0
0
Remarque Plus precisement, si I'on orienle un plan P contenanl iii e! U2 dans sa direction par une base orthonormee (ii, iJ) e! si \'on prend IV = 1i 1\ ii de telle sorte que (ii, iJ, tV) soil une base orthonormee directe, alars : iii A ih = Detp(UI,U2)W ou
Detp reprt3ente Ie determinant dans Ie plan oriente P. En effet, si iii = XI 11 + VI V et U2 = X2 11 + V2 v, on a : iii 1\ U2 = (XI Y2 - X2 Yl) W Detp(ul, 172) w. =
Exemp/es 1. L'aire du paralIelogramme eonstruit sur les deux vecteurs non eolineaires ii et v est egale a la nonne de leur produit vectoriel.
2. L'aire d'un triangle (ABC) est done :
A(ABC) �
�IIAB A ACII � �IIBC A BAil � �IICA A CBII ·
On peut d'ailleurs remarquer les egalites :
AB A AC � BC A BA � CA A CB evidentes d'apres la relation de Chasles.
CHAP. 3 - GEOMErRIE DANS L'ESPACE
3.
'19
Soit (OABC) un triedre rectangle, c'est-a-dire tel
que GA, OR et soient orthogonaux deux a deux. Le carre de I'aire du triangle (ABC) est egal a la somme des carres des aires des trois autres tri angles (DAB), (OBC) et (DCA) (resultat trouve par Descartes en 1619). En effet :
A
OC
B c
AB A AC � (oB - 0:4) A (OC - 0:4) � oB A OC - oB A 0:4 - 0:4 A OC + 0:4 A 0:4 � 0:4 A oB + oB A OC + OC A 0:4. Comme ces trois derniers vecteurs sont respectivement colineaires a
OC, GA
-:::-:.:t ), Ie theoreme de Pytha- OB et Oc et DB (parorthogonalite des vecteurs OA, gore donne : --+
--+
ce qui prouve la relation.
3.6
Produit mixte, determinant
Definition 6
_______
Le prodllit mixte au determillallt des trois vecteurs ii, i; et w de l'espace est : Det(11, 17, tV) = (11 1\ V).w
,
Proposition 9 -------...., Le produit mixte est triU1Ufuirc, c'est-a-dire que Det(u. 17. tV) est lineaire • par rapport a chacun des trois vecteurs U, 17 et w . •
II est aJztisymetriqllc, c'est-ii-dire qu'il est multiplie par -1 lorsque I'on echange deux vecteurs.
Demonstration .. La trilinearite est une consequence de la bilinearite du produit vectoriel et du produit scalaire.
__
La relation
Det,(ii, it, tV) = - Dct,(it, v, w) provient de I"antisyrnetrie du produit vectoriel.
ORTHOGONAUTE ET PRODUIT VECTOR1EL
120
... On remarque que Det(ii, V, V) = 0 pour lous vecleurs 11 et 17 puisque 11 /\ v est orthogonal a ii. Or, par trilinearite : Dpt(iI. 17 + tn, ii + tV)
= Det(17. ii, iJ)
+ Det(ii. 17, tl7) + Det(11, tn, it) + Det(ii, w, tii)
ce qui donne :
o = Det(ii. ;!, ?Ii) + Det(ii. tn. V). _
On a en/in : Det(w. ii, it) = - Det(tv. ii. V) = Det.(ii. W, i7) =
-
Det(ii. v. tV).
o
Exemple En pranant tcutes les permutations des vecteurs ii, ii et iE, on obtient, en posant D = Det(ii. v, til) :
Det(ii, iJ, tV) = Det(iJ, tV, U) = Det(tii,17, if) = D
Det(ii,w,V) = Det(tu,v, it) = Det(U,t7, tii) = -D.
Proposition lO -------"VI Etant donnes trois vecteurs dont les composantes dans une base orthonor mee directe sont :
Ie determinant de ii" U2 et il3 est : Det(u" U2. iL3)
=
On Ie note :
£, Y2 Z3 + '£2 Y3 Z, + X3!h Z2 -
XI YaZ:! - XaY2Z1 - X2Yl za·
£, VI Zj
X2 £3 Y2 Va Z2 Z3
Demonstration On utilise la definition :
ce qui donne Ie resultat en developpanl.
o
Cette formule peut se retrouver a I'aide de la methode dite de Sarms : on recopie les deux premieres !ignes du tableau forme des coordonnees des trois vecteurs
CHAP. 3 -GEOMErRlE DANS L'ESPACE
121
sous la troisieme et l'on effectue les produits en diagonale, chacun etant affecte du signe + ou - selon Ie scMma :
x,
x,
x,
,
,
,
X,
X,
X,
Exemp/e
est
volume les
d'un vecteurs
En effet, si
et C, l'aire portee par
,
,
AB, AC
,
,
,
,
,
construit
AD
et
D
8
P
�.:'-,
--(
_ _
C �' - - - -
P est un plan contenant A , B de la base du parallelepipede verifie
AS /I. AC
=
8W
OU
W
A
B
a P. La hauteur AD.w on en deduit : l I
est un vecteur unitaire normal
h=
,
,
,
parallelepipede
iDet(AB,AC,AD) i .
tHant
,
I,
£,
,
sur
,
� y, y, X £,X X X �+ � y, � + y, y, �+ , ,
y,
Le
,
,
iDet(AB, AC,AD) i
�
B iw.ADi � Bh.
3.7 Coplan';aril'; Definition 7
_______
Trois vecteurs sont cop/annires si I'un d'entre eux est combinaison lineaire des
,
deux autres. Remarque Si deux vecteurs panni les trois sont colint'iaires. alors evidemment
les trois sont coplanaires. Les caracterisations qui suivent sont souvent plus interessantes, car elles sont plus symetriques.
ORTHOGONAUTE ET PRODUIT VEcroRIEL
122
Proposition 11 -------.,
Etant donnes trois vecteurs ii, v et W, il est equivalent de dire : (i)
ft,
fi et W sont copianaires,
(ii) ii, 17 et W sont dans 1a direction d'un meme plan,
(iii) iI existe un vecteur ii non nul orthogonal a it, if et w. Demonstration Si deux des trois vecteurs sont colineaires (voire meme les trois). alors les qua\re conditions sont evidemment verifiees. Supposons dooc il. if el tV deux a deux non coli neaires. (i) => (ii) Si 'Iii est combinaison lineaire de i1 el if, alors les trois vecteurs sonl dans la direction du plan (O,ii,V) . (ii) => (iii) Un vecteur ii non nul normal a un tel plan est orthogonal aux trois vecteurs.
(iii) => (i) Si it, if et Iii sonl orthogonaux a un vecleur non nul ii . alors uAv est colineaire a it. Done w est orthogonal a ul\v (qui est non nul puisque I'on a suppose it et v non colineairesj, c'est-a-dire combinaison lineaire de i et v d'apres la proposition t de la page \ to. 0
Proposition 12 --------�� Trois vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leur detenninant est nul. Demonstration Scient U, v et tV trois vecteurs. .. S'ils sont colineaires, ils sont coplanaires et leur determinant est evidemment nul Sinon par exemple ii et fj sont non colineaires. Le determinant Det(11, v, tV) = (iiAV).ill est nul Sl, el seulemenl si, ill est orthogonal a ii/l.V. c'est-a-dire si, et seulement si, ill est combinaison lineaire de ii et jj d'apres la proposition 1 de la page 110. D'w Ie resultal. 0
Remarque Grace a I'expression du detenninant donnee par la proposition 10 de la page 120, on peut verifier que l'on a :
X, 2,
Les veeteurs {II
I ""' ' , ", I I i
si, les vecteurs ii
1/1 "
, Y2
x3
2,
Z.,
"
y, '"
" "
"
Y3
�
1" I"
et 113
'
"
"
X, .lJ1 X, Y2 X3 Y3
2, 2, Z.,
sont done coplanaires si. et seulemenl
et ill �2 sont coplanaires. , v '" " " " "'2
CHAI'. 3 - GEOMErRIE DANS L'ESPACE
123
4.
Droites et plans
4.1
Representations parametriques
Representations parametriques d'une droite La droite passant par Ie point Mo est parametree par :
I" /J 00 ehoisil une droile V normale a P. Prenoos alors une base orthonorrnee direcle (ii, v, w) telie que (ii, U) soil une base de P et Ij: un vecleur direeleur de V . Soil 0 Ie point d'inlerseclion de V avec P Si A eSI un poinl de I'espaee, nolons (x, y, z) ses eoordonnees dans Ie repere orthonorme (0, ii, ii, w). __
Un poinl A' = n + Q iI + {3 v de P est lei que AA' soil orthogonal a P si. el seulernent si. �
AA'.u = AA'.v = O. C'est done Ie cas si, et seulement si, ()' = ./' et fJ = y O'ou I'exislence �
�
et t'unicile de la projection sur P
�
.... Un point A' = 0 + , w de V est lei que AA' soil orthogonal a V si, et seulement si, � AA'.w = O . C'esl donc Ie cas si, el seulemenl si, , = z. O'ou I'existence et I'unicite de la projection sur V . Enfin, si M est un point quelconque de X , on a . �
�
�
AM = AA' + A'M Done :
""""
�
�
AA' .l A'M.
ce qui prouve que A' est Ie poinl de X Ie plus proche de A
o
131
CHAP. 3 - GEOMETRIE DANS L'ESPACE
Remarque Pour composee de : •
• •
iii f-
0, on peut voir l'application iI ...... iII 1\ iI comme la
la projection de iI sur Ie plan une rotation dans
P orthogonal a at,
P d'angle droit,
une homothetie de rapport
lIal li.
Plan defini par un point et deux vecteurs
A et deux vecteurs iii et ii2> Si I'on note H Ie projete orthogonal d'un point Af 1 � sur p , on a liM = A fII 1\ i12 et : � � + =71 AM = AH HM Soit P un plan defini par un point
ce qui donne :
AM.(a, 1\ ii,) = HM (a, 1\ ii,) = .I Ila, 1\ a, II' Comme diM, P) = IIHMII = 1 .l l ll a, 1\ a, l I , on en deduit , �
(a, 1\ a,).ANJI = IDet(a" a" AM)I . ��� = I Ila, 1\ a,1I Ila, a,11 1\
Plan defini par une equation
M 1 ; au plan P dont l'equation cartesienne dans un repere orthonorme est ax + by + cz + d = 0 vaut : d(M,P) = la xJa+2b+y b+2 c+zc+2 dl .
La distance d'un point
Demonstration En reprenant les notations ci-dessus, si iII 1\
a2 1 � et A I �
1 0 (x - xo) + � (y - "0) + > (z - ZQ) I .
jo.2 + f12 + '12 Comme toule equation de P est proportionnetie a a (x - xo ) + {J (y - YO) + "( (z - zo ) diM. P)
=
=
0,
et que la quantile :
d(M, P) I,,(x - xo) +�(" -Yo) +> (z - ZQ) I =
ja2 +,J2 + "(2
est invariante par multiplication de (a, /J, "() par un reel non nUl, on en d8duit Ie resultat
0
DRQITFS ET PLANS
132
Definition 12
_______
On
appelle equation llOnnale d'un plan P toute equation dans un repere or thonorme R du type :
Q x + by + cz = p
,
avec
Le vecteur de composantes (a, b, c) est alors un vecteur unitaire normal au plan P. Remarques •
•
Vne telle equation est unique au signe pres puisqu'il n'y a que deux vecteurs unitaires normaux a P. Le reel Ipi est la distance du centre du repere n au plan P.
Droile definie par un point et un vecteur Soit V la droite passant par un point A et dirigee par un vecteur note H Ie projeh� orthogonal sur V d'un point M de E, on a : -
--
-
-
AM I\ u = AH /\ u + H/vl I\ u = HAl[ /\17.
Comme il et HA1 sont orthogonaux, on a : �
11. Si I'on
ce qui donne :
Droite dfHinie comme intersection de deux plans Soit D one droite definie comme intersection de deux plans non paralleles PI et P2 d'equations respectives :
HA-_� H2
PI (M) = al x + b1 Y + C1 Z + dl = 0 P2(M) = a2x + b2 y + � Z + d2 = o. •
Si les deux plans sont perpendiculaires, c'est-a-dire si :
al � + bl b2 + Cl C2 = o.
en designant par HI et H2 les projections orthogonales d'un point M res pectivement sur PI et P2 et par H la
H,
PI
M
P,
133
CHAP. 3 -CEOMETRIE DANS L'ESPACE
projection orthogonale de
M sur V, on a :
HII � JII MH: II ' + IIMH:II ' �
d(M, D) � 11M
-= =oc---= =---o
�
.,jd(M, P,)' + d(M, P,)' .
• Dans Ie cas general, on garde I'un des deux plans, par exemple PI , et I'on remplace I'autre par Ie plan P contenant V et perpendiculaire a PI , ce qui permet de se ramener au cas precedent. L'equation de P peut s'ecrire, d'apres la proposition 18 de la page 127, comme une eombinaison line;ire J.t PA M) + >. PI (.l\;f) = 0 des equations de PI et P'/.. On doit avoir 1-" i- U puisque ce plan est distinct de PI , et done on peut choisir J.L = 1 . 11 suffit d'ajuster >. pour que ce plan soit orthogonal a PI , ce qui conduit a I'equation :
at a2 + ht bz + CI C2 + ). (a� + b� + ci)
=
0
qui admet toujours une solution puisque (at, bl, cd i- (0,0,0). 4.5 Perpendiculaire commune Attention Contrairement a ce qui se passe en geometrie plane, deux droites non paralleies de I'espace peuvent etre disjointes.
Definition 13 • Deux droites sont orthogonafes si leurs vecteurs directeurs sont orthogo naux. • Elles sont perpelldiculaires si elles sont orthogonales et secantes.
_______
,
Proposition 22 -------..., Etant donnees deux droites VI et V2 non paralleles, it existe une unique droite .6. perpendiculaire a VI et V2. Cette droite est appetee perpelldiCII laire conH1JUl1e a VI et V'/..
DRQITES ET PLANS
134
Demonstration
Posons V]
=
(A1 , 11])
el Vz = (Az, uz). Une droite perpendieulaire a VI et Vz est di rigee par w = u] 1\ Uz et contient un point de V] Elle deil done eIre contenue dans Ie plan PI = (A],it], ill) , D, De meme, elle deit cIonc etre contenue dans Ie plan Pz = (Az, uz,w) . Si ces deux plans etaient paralleles, un vecteur non nul rtOfmal a chacun d'eux serait orthogonal a u] et Uz done colineaire a tiL Comme iI se rait aussi OfIhogooal a w, il serait nul, ce qui est exelu Done PI npz est unedroile, d'ou I'unicile de l:::. . ... Reciproquement, I'intersection de PI et Pz est une droite l:::. qui est dirigee par 1ij, puisque si A appartient a l:::. , alors A + w appartient a PI et a Pz . El1e est done orthogonale a VI et Vz. Comme l:::. et VI sont deux droites OfIhogonales du plan PI , el1es se coupent en un point. De meme pour Vz o
Proposition 23 -----..., Soit l:::.. la perpendiculaire commune it deux droites V] et Vz non paralleles, Si I'on designe par HI et Hz les intersections de l:::.. avec VI et Vz, on a pour tout M] de V] et !viz de Vz :
.
qui donne pour €quation de
•
Comme it appartient a V'l, Ie point pour coordonnees trouve a
= 7/51.
(a.a,O).
H2,
intersection de
PI
= 8/7.
ce
et V2 a
En reportant dans I'equation de
P2,
on
La perpendiculaire commune 6. est done la droite passant par 1-12 et dirigee •
par w.
Pour trouver la distance d(Vi> V2), iI suffit de trouver Ie point d'intersec tion de
6. avec VI, c'est-a-dire Ie point 1-12+>' w qui est dans P. On obtient
I'equation :
ce qui donne >.
(:1 +>') + (:1 - >') +7>' = 0 = -2/51. 1>'l lIwll, 2 � v 51 La distance est donc d(V" V,)
soH :
fCC '
4,6 Angles Angle de deux droites
La mesure de I'angle de deux droites VI et V2 est Ie reel () par :
E [n, 7T/2 J
ou
ou
iit
et
U2
sont des vecteurs directeurs respectivement de VI et V2.
defini
CHAP. 3 - GEOMf'TRIE DANS L'ESPACE
137
Angle de deux plans La mesure de I'angle de deux plans PI et P2 est la mesure de I'angle de leurs normales. C'est done Ie reel 0 E [0, IT defini par :
/2]
ou oil ill et 112 sont des vecteurs nonnaux respectivement it PI et P2 •
Les plans sont perpendiculaires si, et seulement si, la mesure de leur angle est 7r/2. Angle d'une droite et d'un plan
rr/2
La mesure de I'angle d'une droite V et d'un plan P est Ie complement it de la mesure de I'angle de V et d'une droite normale a P. Si V n'est pas or thogonale it p, c'est done aussi la mesure de I'angle de V avec sa projection orthogonale sur P. 5.
Spheres
5.1 Generaliles Definition 14
_______
On appelle sphere de centre A et de rayon R > a I'ensemble :
,
�
{ M E E I IIAMII = R}
Remarque Comme pour les cercles dans Ie plan, il y a unicite du rayon et du centre : I� rayon R d'un� sphere S est Is moitie de la distance maximale entre deux points de S, et Ie centre est Ie milieu de tout diametre, c'est-a-dire de tout segment Oll M et sont deux points de S tels que = 2R .
[MM'l,
M'
d(M. M')
Equations cartesiennes dans un repere orthonorme • La sphere de rayon R dont Ie centre a pour coordonnees equation : - a)' + (y - b)' + (z - c)' = R'
(a, b, c) adrnet pour
(x
ou encore :
x2 + y2 + Z2
avec d = a2 + b2 + c? - R2.
_
2ax - 2by - 2cz + d = 0
138
•
SPHERES
= U,
L'equation X2 + y2 + Z2 - 2ax - 2b1J - 2cz + d = 0, qui s'ecrit (x - a)2 + (y - b)2 + (z - e)2 + d - a2 - b2 - c'l admet des solu tions si, et seulement si, a2 + b'l + C2 d � O. L'ensemble des points verifiant I'equation est alors : -
_ _
reduit au point de coordonnees (a, b, c) si d
=
a2 + b2 + c2,
1a sphere ayant pour centre Ie point de coordonnees (a,b,c) et pour rayon v'a2 + b2 + Cl - d si d < a2 + b2 + c2•
Remarque Comme dans Ie plan, on definit 1a puissance d'un point M par rap port a 1a sphere S de centre A et de rayon R par p = d(A, M)2 R2. -
Si. dans un repere orthonorme, S admet pour equation : ",2 + y2 + Z2 la puissance d'un point M
1�
_
2ax
_
2b y - 2cz + d = O.
est p = :r2 + y'l + Z2 - 2a:r - 2by
-
2(' Z + d.
Representation parametrique dans un repere orthonorme Les expressions des coordonnees cartesiennes en fonction des coordonnees sphe riques donnent immediatement un parametrage de la sphere de centre 0 de rayon R :
{ .c =
R l:us !p sinO y = R sin!p sin O z = R cosO
5.2
Plan
avec
O E [O,IT]
et !p E ] -IT, IT ] .
et sphere
Proposition 24 -------� Etant donnes une sphere S de centre A de rayon R et un plan P : • •
•
si d(A, P)
> R alors p n S
=
0,
si d(A. P) � R, alocs P n s � {H),
si d(A, P) < R, alors P n S est Ie cerde de centre H et de rayon JR2 d'(A, P),
ou H est la projection orthogonale de A sur P .
CHAP. 3 - GEOMfTRIE DANS L'ESPACE
139
Demonstration Si M est un point de p, Ie theoreme de Pythagore pennet d'ecrire
d'(A. M) � d' (A, H) + d' (H, M). Done M appartient a fa sphere si, et seulement si, ce qUi prouve les resultats
d' (H, M) � II' � d'(A. P)
o
Remarque Si A appartient a P, Ie cercle intersection a meme rayon et meme centre que la sphere. C'est ce que I'on appelle un grand cercle de S.
5.3 Droile el sphere Soient D une droite et S une sphere de centre A . La determination de l'intersec tion de V et S se ramene, dans un plan contenant A et V, a I'intersection de V avec un grand cercle de S. On en doouit les resultats suivants :
Proposition 25 -------� Etant donnes une sphere S de centre A de rayon R et une droite V : si rl(A,D» R, alors V n S = 0, si d(A.D) = R, aiors D n S = {H} , et on dit que V est tallgelltea S, si d(A, V) < R, alors 'O n S est roouit aux deux points de V a dis tance VR' - d'(A. V) de H . •
•
•
ou fI
est la projection orthogonale d e A sur 'O .
Methode Dans la pratique, pour trouver les points d'intersection, iI est plus judicieux de partir d'une representation parametrique de la droite. II suffit alars de reporter dans I'equation de la sphere pour trouver les valeurs du parametre.
Remarque Soient M un point et V une droite qui passe par M et qui rencontre la sphere S en deux points P et Q. La quantite ""M""P.MQ est la puissance de M par rapport a n'importe quel cercle contenant P et Q ; en particulier avec un grand cercle de S. On a done : MP.MQ � d(A. M)' � R' avec A et R respectivement les centre et rayon de S.
SPHERES
140
La puissance du point M par rapport a une sphere est done egaJ au pro duit MP.MQ . POUT la meme raison, elle est aussi egaJe a MT2 , ou T est Je point d'intersection de toute droite passant par .M et tangente a s.
5.4 Intersection de spheres Etant donnees deux spheres non concentriques 51 et S2 d'equations respectives : .1'2 + y2 + Z2 2a\x - 2bly - 2c] z + d] = 0 _
et :
x'l + y'l + Z2
_
2uzx - 2b:J.y - 2C2Z + d2 = 0
Ja resolution du probleme d'intersection de 51 et 52 melle au systeme equi valent : x'l + y2 + z'l - 2u\x - 2b,y - 2C1Z + d] = U
{
2(a2 - u\ ) x + 2(� - bd 1J + 2(C2 - el) z + d] - d2 =
O.
Les deux spheres n'etant pas concentriques, on a : (U2 - ai, bz - b1. C:l - cd :p (O,U, u) et la seconde equation est I'equation d'un plan P. Done : 51 n S2 = s\ n P = sz n p. L'intersection des spheres 5, et 52 est done un cerde, un point ou I'ensemble vide.
CHAP. 3 - GEOMfTRIE
DANS L'ESPACE
141
EXERCICES 1.
Soient
X,l1 el z trois vecteurs d'un espace vectonel
E de dimension 3.
MontTer que ;
X 1\ (y t\ z) + z t\ (x t\ y) + Y t\ (z t\ x)
2.
=
O.
L'espace est rapporte au repere orthonorme Oxyz.
a)
Delerminer la perpendiculaire commune el la distance des droites :
VI
ou
AI
santes
=
AI + Rui
et
V2 = A2 + RU2
et A2 sont de composantes (1,0,0) et(O,O,O) et 1ii et U2 de compo
(1, -1, I)
{
et ( I , I , I) .
{
b) Determiner la perpendicuJaire commune et la dislance des droites :
Vl :
3.
V2 :
X + 11 - Z x+y+z
= =
4 -2.
VI
et
V2 non paralleles.
Soit ABC D un letraMre doni dnq des ctlles sont de longueur inferieure ou egal e a
1.
MonITer que Ie volume V de ABCD verifie : V
5.
et
Detenniner une equation cartesienne de I'ensemble (8) des points equidistanls de deux droites
4.
X+Y+Z = 4 x - y+ z = G
1 � _.
� 8
Soit ABeD un tetraMre. On note A', B', C' et D' ies projeclionsorthogonaies de A, B. C et D sur les plans BCD. CDA, DAB el ABC.
a)
Monlrer :
- � - + AC.DB - - + AD.Be AD.CD ;
=
O.
Prouver alors que AB .L CD et AC 1. BD impliquent AD 1. BC.
b) Montrer que AA', BB', CC'
et DO' sont concourantes si, et seulement si,
on a AB 1. CD, AC 1. DD et AD .L BC. On dit alors que ABCD est un tetraedre orthocentrique ; Ie point de concours
H
de AA', B B', ee' et
DD' s'appelle I'orthocentre du tetraedre. c) Monlrer qu'un It�traedre regulier, c'esl-a-dire doni les coles onl meme lon gueur, est orthocentnque.
142 6.
EXERCICES Soient A. B.C,A',B' . C' six points de l'espace affine euclidien ainsi que ' 0, {3, "(, a , {3', "(' six scalaires tels que a + fJ + "( et 0:' + Ii' + Y scient non nuls. Determiner l'ensemble des points M tels que les vecteurs : a
MA + PMB + "(MC
soient orthogonaux. 7.
8.
et
' a
ii ? MIi! + fJ'AfBi + (i .
..
Montrer que Ie centre d'un cercle de rayon r « pose » dans Ie coin (R+)3 de R3 appartient a la sphere de centre 0 et de rayon V2r. a) Soit (P, Q. R) un triplet de plans tel que P et Q sont paralleles. Que peut-on conclure au sujet de R s'il est parallele a P ? secant a P ? perpendiculaire
aP?
b)
9.
On suppose desormais P et Q perpendiculaires. Que peut-on conclure au sujet de n s'il est parallele a P ?
Soit ABC'D un tetraoore forme de points non coplanaires. Un plan P coupe les segments [AC), [BC], [BD] et [AD] en respectivement £, F, G et H. On suppose (AB) et (CD) paralleles a P, montrer que EFGH est un parallelo gramme.
10. Demontrer qu'i1 n'existe aucune droite incluse dans I'ensemble P des points de I'espace defini dans un repere quelconque par I'equation 3"2 + 1/ = 2z. 11.
12.
13.
Soit (ii,v,w) un triplet de vecteurs unitaires de I'espace, et (a,b,c) Ie tri plets de leurs produits scalaire deux a deux, de la forme a = fUii = co:; 0", b = w.17 = cosp et c = ii.v = cos')'. Peut-on calculer Ie determinant d de (ii, V, w) en fonction de (a, b, c) ? Donner la valeur du carre de ce determinant. Soit >. un reel, i un vecteur et {U. J>, Q, R. S) un quintuplet de points de I'es pace, lies par la relation rQ = .>. RS. Que peut-on dire des produit'> scalaires de i des vecteurs OP, OQ, OR et OS ? Que peut-on en deduire des coordonnees des points (P, Q, R, S) dans un repere orthonorme ? Montrer que deux plans strictement paralleies coupant deux droites secantes strictement paralleles definissent un parallelogramme.
CHAt'. 3 - GEOMETRIE DANS L'ESPACE
143
14. Soit (D. D') un couple dt' droites orienh�es non copianaires, A, B, C (respecti vemenl A' , 8', C') trois points de 0 (respectivement D') deux a deux distincts
et tels qu'il existe un reel k (necessairement non nul) verifiant les egalites : �
�
A' B' k B'C' . Monter que les trois droites AA', BB' et CC" sont paralleles a un meme plan. =
15. Soit 0 ABC une pyramide trirectangle definie par les coordonnees respectives (0,0,0), (2a, 0,0), (O,2b,O) et (O,Q, 2c) de ses sommets dans un repere ortho
nonne. On suppose abc -# O.
a) Determiner Ie centre n et Ie rayon R de la sphere contenant les quatre som mets, ainsi que Ie projete orthogonal w de n sur Ie plan ABC . b) Que peut-on dire du projete orthogonal H de 0 sur Ie plan ABC ? Une telle pyramide est un cas particu1ier de tetrarore orthocentrique (voir I'exercice 5).
16. Une pyramide DABe est formee de quatre triangles dont trois sont rectangles en O. On note (a,b,c) les longueurs OA, DB et DC et (0,13,"),) les longueurs lJC, CA et AB. L'objet de eet exercice el des deux suivants est de donner de nouvelles demonstrations du theoreme de Descartes (exemple 3 de la page 119), montrant ainsi la tres grande variete d'outils utilisables en geometrie.
a) Demontrer it I'aide des produits scalaire et vectoriel des vecteurs AI} et .;;-r et de I'egalite sin2 A + cos2 A = 1 que l'aire S du triangle ABC verifie les egalites : 16 S'
� =
(a + !l + 0) (-a + !l + 0) (a - !l + 0) (a + 0 + 0) 2(132")'2 + 'lo:2 + 02.82 ) 0 4 .84 ...,4 �
�
�
.
b) Calculer S en fonction de (a, Il, c) et relrouver ainsi I'egalite : aire (ABCf
=
aire (OBC)2 + aire (OCA)2 + aire (OAB)2.
1 7. Retrouver Ie theoreme de Descartes en introduisant Ie projete orthogonal com mun li de 0 elde A sur la droite BC. 18. Retrouver Ie theoreme de Descartes en introduisant une equation du plan ABC
dans un repere orthonorme convenable.
19. Un triangle ABC etanl donne, etudier I'existence de points 0 tels que les trois droites OA, OB et OC soient deux a deux perpendicuJaires.
144
EXERClCES
20. a) Soit (11. 1i, w) un triplet de vecteurs unitaires de l'espace, et (a,{J, ,..,) Ie tri plet des angles respectifs (ti, Ui). ('Iii, 17) et {f1, ii} . Demontrer, a I'aide des projections orthogonales de ti et 'Iii sur Ie plan orthogonal a 11, I'inegalite Q � {J + 'Y. b) Demontrer que cette inegalite est stricte si Ie determinant des trois vecteurs est non nul. c) Demontrer l'inegalite Q + {3 + 'Y � 27r .
Chapitre 4
Fonctions usuel les
NOllS utilisons dans ce chapitre les proprieh�s de continuite et de derivabilite des fonctions n�elles d'une variable rt�elle. Ces proprit?h?s, vues en terminaie, seront reprises en detail dans les chapitres 11 et 12. En particulier Ie n?sultat suivant sera demontre page 363 : Proposition 1 -------,� Si f est une application derivable sur un intervalle I qui possede une deri vee strictemenl positive sur I (respectivement strictement negative sur 1), alors :
• elle est bijective de 1 surl'intervalle
J = /(1),
• PO"' a E I et b = J (a), on a .q'(b)
1'(a) '
• sa n?ciproqu� 9 est derivable sur J,
=
1
Remarque La derivee de y peut facilement etre retrouvee grace a Ia for mule donnant 1a derivee d'une fonetion composee : comme 9 0 f = Id, on a 9'(J(a)) /,(a) = Id'(a), c'est-a-di,e g'(b) /,(0) = I .
FONCTIONS Loc,ARITHME..S ET EXPONENTIELLES
146
1.
Fonctions logarithmes et exponentielies
1 .1
Logarithme neperien
Definition 1
_______
' La fonction fogarifhme nfperien, notee In, est l'unique primitive sur 1 O. On a ainsi, pour x > 0 : . fC � -(X') d VT) d � -x'- � " -( dx n dx n� Lorsque est impair, la fonetion racine n est definie sur IR, et I'on a \I-x = ::IX Cela permet de verifier qu'elle est derivable sur R:" et que l'on a toujours, pour x < 0 : d dx( �) � n \Yx= " On aurait pu naturellement aussi demontrer ces resuJtats en utilisant la formule donnant la derivee d'une fonetion rt?dproque, mais Ie resultat utilisant la notation puissance est plus facile retenir.
Si n est n eme a
=
=
=
1
"'
•
""
1
eme
n
-
.
1
Remarque
a
2.3 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles
Proposition
-6.......
on a : limxallnxlb = O.
Si a et b sont deux reels strictement positifs, (lnx) b lim et z_+�
Demonstration •
a
� 1, on t �
o�
•
et enlraine
lim In
"'..... +00
x
::r
z_o
- = O. "'_+00 x Jt, ce qui, pour x � 1 , permel d'ecrire :
Comme�ns par prauver Pour t
xa = 0 Inx lim
In x J.' dtt J.' VdtI =
=0
=
I
-�
1
r.
Pour a et b striclement positits quelconques el x
2JX - 2 � 2JX,
on peul ecrir .
> 1, e (In � (�) ' � (�) ' (In(XOI') ) ' x"jb xa x"jb x)'
t = 0. cequi donne lim {In: '"
a
a:-+ov
En remplayanl x par
l/x
el en faisant lendre x vers 0 on a done lim x"lln xl b = 0 ,_0
0
FONCT10NS CIRCULAIRES REClI'ROQUES
154
Proposition 7 --------" Si a et h sont deux feels strictement positifs, on a : \.
exp(aT) "'.....+00 xb
1m
=
+00
et
lim lxl b exp(ax)
x..... -oo
=
O.
Demonstration II suffi! de remplacer x par exp:r dans les relations precedenles.
0
Remarque Les propositions precaientes ne traitent que du cas a > U et b > U, car : • on s'y ramene fadlement par passage a I'inverse si a < 0 et b < 0, •
3.
dans les autres cas, iI n'y a aucune indetermination pour Ie calcul de la limite.
Fonctions circulaires reciproques
Dans cette section, nous supposons connues les fonctions sinus, eosinUS, tan gente (tan x = sin :1:/ cos x) et cotangente (cotal1 x = cos xl sin.£) ainsi que leurs proprietes eJementaires. 3.1
Fonctions Arc sinus et Arc cosinus
Definition 6
_______
La fonetion sinus est continue et strictement croissante sur [-�, � ] ; elle definit done une bijection de I'intervalle [ - �, � ] sur [-1. 1 ] dont la reciproque est appelee Arc sinus et notee arcsin.
,
•
La fonetion Are sinus est done une bijection strictement eroissante et continue de [ -1 . 1 ] sur [-�, I ] . Elle est impaire, puisque e'est la reciproque d'une fonetion impaire. La definition de la fonetion Arc sinus donne immediatement :
Proposition 8 -------..., Pour x E [ -1. 1 ] , Ie reel arcsin x est I'unique eh�ment de [ _ :!!:" :!!: ] dontle sinus vaut x.
,
CHAP. 4 - FONCTIONS USUELLES
155
Relations fondamentales Crace a cette proposition, on retrouve tres facilement des resultats consequences de la definition. •
Dn a :
'r;/x E [ -1. 1 ] . sin(arcsinx) = x
puisque Ie sinus de "I'unique. . . dont Ie sinus vaut x" est evidemment x . •
Si a E [ - � , � l , 'Tunique element de [ - �, � ] dont le sinus vaut sina" est evidemment a, ce qui donne la relation : 'r;/a E [ -�, � ] , arcsin(sina)
•
=
o.
En revanche, cette derniere relation n'est pas valable (bien qU'ayant un sens) pour tout reel 0' . On a ainsi par exemple ru'csin(sin ; 5 ) = �.
Definition 7 _______ , La (onction eosinus est continue et strictement decroissante sur [0, 'IT ] ; elle definit done une bijection de l'intervalle [0, 7T ] sur [ -1, 1 ] dont la reci proque est appelee Arc eosinliS et notee arccos.
La fonetion Are eosinus est done une bijection strictement decroissante et conti nue de [-1, 1 ] sur [O, 'IT ] , De meme que pour la fonetion Are sinus, on a im mooiatement :
Proposition 9 -------'" Pour x E [ - 1. 1 ] , Ie reel arccos x est I'unique element de [0, 'IT] dont Ie cosinus vaut x . Relations fondamentales
Comme pour Are sinus, on prouve :
'r;/x E [ - 1 , 1 ] , cos(arccosx) = x Vo E [0, 7T ] , arccos(coso) = a cette derniere relation etant fausse en general pour 0 E R, puisque l'on a, par exemple, arccos(cos(-j») = j. Exemples
1. Simplifions : Comme ara;in x E
cos(arcsinx)
avec
x E [ - 1, 1 ] .
[-�, % ] , son cosinus est positif et done :
y=
y
=
Jl - sin2(arcsinx)
=
�,
FONCTIONS C1RCULAJRES RECIPROQUES
'56
De meme, on a :
'rIx E [ -1 . 1 ] . sin(arccos .c) = Jl - :r'l. 2. La relation sin x = cos (� - T) montre que les graphes : et
sont symetriques par rapport a la droite d'equation x = � . Les graphes des fonc tions Arc sinus et Arc cosinus sont les symetriques des precedents par rapport a la premiere bissectrice ; i1s sont done symetrigues I'un de I'autre par rapport a la droite d'equation y = "i , ce qui donne :
�
Vx E [ - 1, 1 ] , arcsinx + arccos x = .
On peut verifier cette relation par Ie caleul en posant prouvant : et sill y = X
y = % - arccos et en x
ou bien en verifiant, grace a la proposition suivante, que la quantile arcsin x + arccos x est constante.
= �,
Proposition 10 -------"" Les fonctions Arc sinus et Arc cosinus sont derivables sur ] -1, 1 [ et : \Ix E ] - 1 , 1 [ , arcsin' (x)
'. t2 + e
•
avec
De meme sur ] -00, U { , la solution gcnerale est :
yet} = 1J,t2 + t3 avec
•
Sur R ia theorie ne s'applique pas. _
I E)
f1.
E R.
SoH y une solution sur � de I'equation (E) . Ell e est solution sur done on peut trouver une eonstante >. telle que :
R�,
'r:/t > O , 1I(t) = >' t2 + t3. De meme, on peut trouver une constante 11. telle que :
'r:/t < O , y(t) = f1.t2 + t3.
La continuite de alors y(O) = o.
y en 0 (ou I'equation (E) verifiee par y) entraine
EQUATIONS DIFFERENllElLES UNEAIRES
182
{
.. Reciproquement, soit y la fonetion definie sur IR par :
1 (t) =
Y
>. t2 + t3 si t � O J1,t2 + f3 si t < O
ou A et J-t sont deux reels donnes. CeUe falletion est continue sur �, derivable sur R* et l'on a :
V, ,, o . ' y'(,) - 2 y(') � ,3
puisque les restrictions de y a R� el a R:" sont solutions de I'equation differentielle (E). De plus, y est derivable a droite et a gauche en 0 puisque ses restrictions a R+ et R_ COincident au voisinage de 0 avec des fonctions derivables, et l'on a :
y�(O)
=
y�(O) = O.
Done y est derivable sur R, et puisque 01/(0) - 2y(O) = 03, 101 fonction y est solution SUT R.
{
La solution generale sur R est done definie par :
y( t) = au ). et
�
>' t2 + t3 s t � O p,f2 + t3 51 /. < 0
sont deux reels donnes. On COllstate, dans eel exemple, que la solution gent-Tale sur R depend de deux parametres. Si l'on veut determinercompletement une solution Y, on doH don ner deux conditions initiales y(to) = Yo et y(td = YI correspondant it deux valeurs to et tl telles que to tl < O. Jt
2. Resolution sur R de l'equation :
,' y'(I.) - y(') •
(E)
� o.
Si y est solution, alors y est solution sur R� et J'on peut donc trouver une constante ..\ telle que :
Vt. > 0 , y(t)
=
..\I,-I/t
.
De meme, on peut trouver une constante II. teIJe que : Vt < 0 , y(t) = ltC- l It.
Puisque y est continue en 0, elle est bornee au voisinage de 0 et l'on doit I avoir IJ. = 0 puisque lim e- /t = +00. Donc : t-O-
{
Vt > O , y(t) = ..\ e-I/! Vt � O , y(t) = 1)
CHAP. 5 -EQUATIONS DlFFERENTJELlES •
'83
Reciproquement, on constate que la fonction y definie ci-dessus est continue, e- I/! derivable sur R' ainsi qu'en 0 puisque lim ' 0 par comparaison des fonctions exponentielle et puissance. De plus, elle verifie l'equalion (E) sur
t = !-o+ -
R' el, de fa O
Q > O.
Le comportement des solutions depend du signe du discriminant 6. = wij
(�2 - 4)
de I'equation caracteristique, et done du facteur de qualite Q. On dit que Ie regime est : •
•
apiriodiqlle si (j < 1/2. Les solutions sont alors combinaisons Iineaires de deux
exponentieUes decroissantes.
pseudo-piriodique si Q > 1/2. Les solutions sont alors produit d'une exponen tielle decroissante par une fonction trigonometrique : y(t)
•
= A e-WfJt/2Q cos(w� t + rp)
avec
,
Wo = wo
1 - 4Q2' VrT
critique si Q = 1/2. Les solutions sont alors de la forme y(t) = e-WfJ t (A t + B).
191
CHAP. 5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES -
Voici ('allure de trois courbes inte grales correspondant a une meme va leur de Wo et aux conditions ini tiales y(O) = Yo et y'(O) = O.
Remarque L'ensemble des solutions de i'equation differentielle Eo est un �-espace vectoriel de dimension 2 puisque ses elements sont, dans chacun des cas, combinaisons Iineaires de deux solutions non proportionnelles.
Resolution de I'equation
a
Q � 1/4
Yo
Q � 1/2
"
. , , , , , ,
\
Q�1
y"(t) + b y'(t) + cy(t} = d(t)
Soient a, b et (" trois complexes, a etant non nul, et d une fonction continue sur un intervalle I . On considere I'equation differentieJle :
ay"(t) + by'(t) + cy(t) � d(t).
(E)
Comme, d'apres les resultats precedents, on connait I'ensemble des solutions de I'equation homogene associee (EI) ) , iI suffit alors de determiner une solution partiruliere de I'equation (E).
Utilisation d'une solution evidente Comme pour les equations differentielles lineaires du premier ordre, il peut ar river que I'on devine une solution particuliere, ou qu'elle nous soit donnee par Ie probleme physique, geometrique,. . . dont est issue I'equation differentielle.
RLC rRq U = Cq + Rdqdt + Ldt2'
Dans I'exemple d'un circuit electrique I'equation differentielle : Exemple
•
•
•
de la page 173, on obtient
Si U est constant, il existe une solution correspondant a un circuit sans courant. On cherche donc une solution particuliere constante, et I'on trouve
U Uocos(wt.)
q = CU.
w, q = cos(wt+
est une fonction sinuso"idale de pulsation on constate que Si = Ie regime permanent est un courant sinusoidal de meme pulsation, mais dephase A '-P) . d'un angle '-P. On verifie alors qu'il existe une solution du type Elle est obtenue en physique par des calculs d'impedance complexe. La solution generale de I'equation homogene associee, a base d'exponentielles decroissantes, tend rapidement vers O. Elle correspond it ce que les physiciens appellent Ie regime transitoire. lis la negligent quand its s'interessent au regime pennanent.
EQUATIONS DIFFERENTIElLES UNEAIRES
192
Cas ou
d est une fonction polynome
On cherche une solution polynomiale, en remarquant que si de degre p, alors c y est un polynome :
a y" + by' +
• •
•
11
est un polynome
de degre p si c ;;f. 0, de degre p
de degre p
-
-
c = U et b #:- 0, 2 si c = b = O. 1 si
Proposition 9 -------� Si est un polynome de degre n, l'equation differentielle :
P
o
y" (t) + by'(t) + c y(t) = P(t)
(E)
possede comme solution particuliere, une fOllelion polynomiale de degre : •
• •
c f:- 0, n + 1 si c = 0 et b #- 0, n + 2 si b = c = O. n
si
Demonstration Posons :
n
P(') = L Ok ,' . k=O
.. Si c '# O . prenons
y une fanelion polynomiale de degre n : y(') = L fI," . k=O
On a alors :
'1-2
ay"(,) + by'(t) + cy(t) = L (0 (k + 2) (k + I) flk+, + b (k + I) fI,+, + cfl,) ,k k=O
Une lelle fonction y est solution de (E) si, el seulemenl si, la famille Uhc)O".k,.. verifie Ie systEm-.e :
0:" = c/3n 0:,-,_1 = bnPn + C{Jn_l tln_2 = a n (n - l) {3n + b (n - l} /3n_1 + CRn�2
Ok
= a (k + 2) (k + 1 ) .Bk+2 + b(k + 1) th+ l + eiA
fro
= 2alh + b{31 + ef30
CHAI'.
_
193
5 - EQUATIONS DIFFl!RENTIEI..LES
Puisque c #- 0, on peul resoudre ee sysleme de proche en proche (e'est un systeme Iri angulaire avec des lermes non nuts sur la diagonale). It admet done une solution, ee qui prouve que requation (E) admet une solution polynomiale, et celte-ci est de degre n PJlsque !3n = o..le #- O. Si r = 0 el b #- O. I'equation (E) est une equation differentielte du premier ordre e n z = y' . Or Ie caleul precedent montre que requation differentielie : Oz"(,) + a z' (,) + bz(')
� P(')
admet une solution polynomiale de degre n . En integranl celie solution. on oblienl une lonction polynomiale de degre /I + ) solution d e (E) .
�
Si b = e = 0, I'equation differentielle (E) est a y" (t) = 1-'(t) , avec a #- O, et done en integrant deux lois Ie polyn6me Pia, on oblient une solution polynomiale de degre 71 + 2 0
Cas ou
d(t)
=
e711tP(t) avec m E
C
Si Ie second membre d est de la forme :
en posant �/ (t) =
p""
z(t), I'equation : ay"(t) + b y'(t) + cy(t)
� e'"' o.
Montrer que toute solution de l'equation differentielle :
V" + q(x)V = 0 est bornee au voisinage de +00, c'est a dire qu'i1 existe un intervalle de la forme [B, +oo[ sur Iequel la fonction est bornee. On pourra considerer la fonction definie sur [A + oo[ par : y'2(X) . z(x) � "'(x) + q(x) 8.
Integrer l'equation differentielle :
x2 + V2 - 2xyy' = O.
201
CHAP. 5 - EQUATIONS DIFFERENTIELLE.O
1l 1'1 + 2/ - 1 . . . .f au vOismage est posit! Comme (t + 1)(t2 + 1)
'
de 1 = I , on en deduit que I'arc, au voisinage de t = 1 , est en dessous de l'asymptote pour t > I et au dessus pour t < I .
� /r --
-
t- 1 /2
-� corume asymptote en t
=
5 l 4
� _
_
=
-'. 4oc (t + 1 )' ] 2t-,: +-,::--
-�. >-1
Ainsi, la courbe arlmet en ce point une tangente de pente Au vu des variations de x et 11, la courbe se trouve, au voisinage de -1, dans Ie deuxieme quadrant autour du f point (-3, 2). La position par rapport a la tangente est donnee par Ie signe de : 2(t + l)3 . 5 (y(t) - 2) + • (x(t) + 3) � 2' + 1 Trace :
219
CHAP. 6 - COURBES PARAMETREES
6.
Courbes en coordonnees polaires
6.1 Representation polaire Si p et 0 soot deux fonctions de c1asse Ck sur un iotervalle I . on peut definir une courbe parametree (1, f) par : J : I _ R2
t � p(tJil(U(tJ)
ou (0, it(O), iJ(O») designe Ie repere polaire.
I
Remarque
de pl.
On a donc 11/(l)11
=
Ip(l)1 (on ne suppose rien concernant Ie signe
6.2 Vitesse et acceleration Pour une courbe de representation polaire J(t) = p(t) it(O(t»), avec des fonc tions p et 0 de dasse Ck, pour k � 2, les regles de derivation des fonctions vectorielles oous donnent :
du dO
_
=v
et
puisque u = (cos B, sin 0) et v = ( - sin 0, cos 0). Donc la vitesse est donnee en representation polaire par :
d�� = p'(t) il(O(t)) + p(t) O'(t) ii(O(t)) �
encore notee :
et I'acceleration vaut :
,p�t[
�
=
(p' - pO" ) il + (2pO' + p O"Jii.
6.3 Tangente Dans Ie cas particuiier oil la representation polaire est 0 1-----+ p(O) u(O), on dit que la courbe a une equation polaire r = p(6). Le vecteur derive est alors :
d�; = p'(O) il(O) + p(O) ii(O). �
COURBES EN COORDONNEES POLAIRES
220
On s'ape�oit que, dans ce cas, seule I'origine pellt etre un point singulier, et qu'en dehors de ce point la tangente fait un angle V avec Ie vecteur 'ii(O) , ou �I est dtHini modulo 211' par ; cos V = ou modulo
7r
p' r i=:� VP + rt' '
et
sin V =
P --r i"' "= ,, + rt' VP'
par cotan V = pi /p.
6.4 Elude d'une courbe d'equalion polaire
r =
p(IJ)
Dans la suite de cette section, r designe une courbe d'equation polaire T = p(O), D de R dans R . Un couple de coordon
Oll P est line application d'une partie
nees poiaires du point courant M(O) est done (p(O), 0) .
6.5 Reduction du domaine Domaine de description totale •
Souvent la fOlletion p est 2n-periodique, ce qui permet, pour tracer loute 1a combe, de l'etudier seulement sur un intervalle de longueur 271".
II en est de meme si la (olletion p est 2mr-periodique avec n E N . •
De meme, si p(() + 11") = -p(O), alors la courbe est entierement decrite sur un intervalle de longueur 11". En effet, les deux points de coordonnees po laires (r, O) et ( -r, (} + 11") sont confondus.
Symetries
Certaines proprietes de p (parite, imparite, 1I"-periodicite) correspondent a des invariances par symetrie. Exemp/es
1. Si p(() + 7T) = p(O), alors la courbe est symetrique par rapport a O. II suffit de tracer la partie ohtenue en faisant varier 0 dans un intervalle d'amplitude 7T puis de completer par symHrie par rapport a O.
2. La cardioi"de d'equation polaire p(O) = I + cosO est totalement decrite dans un intervalle d'amplitude 27r. Si I'on choisit cet intervalle egal a ( -7r, 7r] , la relation p( -0) = p(O) nous dit que la courbe est symHrique par rapport a Ox. On peut done limiter Ie trace a () E (0, 7r] puis completer par une symetrie par rapport a
Ox.
CHAP, 6 - COURBES PAKAMETREES
221
6.6 Elude locale au pole Soit 00 une valeur pour laquelle p(Oo) = 0, c'est-a-dire pour laquelle Ie point M (Oo) se trouve au pole (). Comme Ie vecteur fi(O) dirige la droite (OM(8)) et comme it(O) courbe admet commc tangente la droite d'equation polaire
---+
0......00
it(Oo), la
0 = 00,
Dans Ie repere polaire(O. i1(Oo), v(Oo»), les coordonnees du point lIif((j) sont (X(O). Y(O)) avec , X(O) � prO) cos(O - 00)
et
YeO) � prO) sin(O - 00).
ce qui donne les signes de X et Y au voisinage de
00,
Exemp/e A I'origine (0 = 1T) la cardioide d'equation polaire p = 1 + cosO est tan gente a la droite d'angle polaire 1T et la positivite de r nous donne I'allure suivante au voisinage de 1T :
6.7 Etude locale en un point different du pole Soit 00 une valeur pour laquelle p(Oo) '# 0, c'est-a-dire pour laqueUe Ie point M(Oo) ne se trouve pas au pOle O. Le vecteur :
d�:[ (0,,) � p'(O,,) u(O,,) + p(O,,) v(O,, ) �
est alors non nul et il dirige done la tangente a la courbe au point de para metre Ou. C1assiquement on appelle V(Oo) I'angle de la droite (0, a(Oo)) et de 1a tangente. En utilisant les composantes de
d�8M
dans Ie rerere (0. fi" iJ), on obtient :
p' eotan V = -. p
Remarque La tangente a la courbe au point M(Oo) est perpendiculaire a la droite (OM(Oo)) si et seulement si p'(lJo) = O.
222
COURBES EN C()()RDONNEES POI..AIRF.5
6.8 Etude des asymptotes On suppose que
Ip(I':J)1
Cas au 90 = 0 •
•
La rapport y/x
=
tend vers
+00 lorsque IJ tend vers °0_
tanO tend vers
0, done la courbe admet I'axe Ox pour
direction asymptotique.
II Y a alors line asymptote si, et seulement si, y
finie. Si
y
tend vers
Cas general
= p(O)
sin (} admet line limite
+00 Oll vers -00, iI Y a line branche parabolique.
La courbe se decluit de 1a courbe d'equation polaire tion d'angle
r = p(Oo + 0)
par line rota
90_ On se ramene done au cas precedent, ce qui prouve l'existence Bo. Si 00 == 7r/2 [21T] , I'etude de ,I; = p(O) cos(J au de y = p(O) sin () permet de
d'une direction asymptotique d'angle polaire • •
trouver l'asymptote eventuelle.
Sinon, on se place dans Ie repere
(0, i1(£1u), v(Oo»), c'est-a-dire que I'on etu die la limite eventuelle de YeO) = p(O) sinCO (0), -
Exempfes
1.
Etude de la branche infinie en Au voisinage de
i on a :
�
de la courbe d'l!quation polaire r =
0�
1!. ' ,
· (0 - -rr ) _ O sin(O - 7r/3) -> P(0) SlIl 3 () 1r/3 1I_"/3 :� etla droited'l!quation }' = i dans Ie repere polaire (O,i1( j),v(i)) estasymp tote a la courbe en 3' 7r -
rr
2.
La courbe d'equation polaire r en •
=
+� � O cos O
admet des branches infinies
0 et 11:/2 (les aUITes s'en deduisant par symetries). En 0 on etudie :
y = r sinO = tauO + I 8_0 -> l
ce qui donne une asymptote d'equation
Oe plus, Ie signe de asymptote. •
Sill
= tan () donne la positon par rapport a ceUe
x = 1 + catanO, ce qui donne une asymptote x = I , la position de la courbe etant donnee par Ie signe de x - I = cotan D. En
1r/2,
y- 1
11 = t .
on etudie
d'equation
CHAP. 6 - COURBF.5 i'ARAMETREES
223
6.9 Plan d'etude • Determiner Ie domaine de definition D de p, puis un domaine de description totale de la courbe et enfin Ie domaine de trace Dj . •
•
•
Etudier Ie signe de p sur D\ et resumer les resultats dans un tableau en com pletant avec les limites aux bornes. La plupart du temps iI est inutile d'etudier les variations de p . Etudier les branches infinies et determiner les asymptotes eventuelles et, si possible, leur position par rapport a la courbe.
En utilisant les resultats precedents et en determinant quelques tangentes en des points particuliers (intersection avec les axes par exemple), tracer l'allure de la courbe decrite par M pour 0 E Dj Completer, Ie cas echeant, Ie dessin obtenu en effectuant les symetries neces saires. •
Exempfes
1. Cardiolde d'equation polaire p = I + cosO. •
•
•
L'etude se fait sur [0, 11" 1 avec une symetrie par rapport a Ox.
L'etude au p61e a deja ete faite page 221. sin 0 On a cotan V = = tan{Oj2) . 1 + =0 -
I0I 0
�/2 1
�/4 •
Courbe :
y
x
COURBES EN CQOROONNEES I'OLAIRES
224
2. Courbed'equation polaire r = •
•
•
•
• •
� + �·
cos 17 8111 O La courbe est entierement decrite sur tout intervalle de longueur puisque p(O + iT) = -p(O).
1T
Pour pouvoir utiliser la relation p(1r/2 - 0) = p(O), on prend I'inter valle pnkooent symetrique par rapport a 7r/4 et l'on peut limiter I'etude a [ -1t/4, 1T/4] puis completer la courbe par une symetrie par rapport a la premiere bissectrice. La courbe passe par J'origine pour () = -rr/4 avec done pour tangente la deuxieme bissectrice. La position par rapport a la tangente est donnee par Ie signe de r .
Signe de r :
rr/4 o
o
rr/4
I
L'asymptote en 0 a lite etudiee page 222. Courbe :
-
Les egalites x = r cos 61 et y = r sin () donnent aussit6t : x = l + cotanO et y = l + taIlO. Done (x - l ) (y - I) = I , c'est-a-dire xy = x + y. Remarque
225
CiIAI'. 6 - COURSES PARAMETREES
Reciproquement, si .J; 1J = J. + Y, on a •
•
Si 0 =: U [n/21, on a la courbe.
x
=
Sinon, on a /" = n ou ,. =
0 ou 1
--
cosO
11
1"2 !jill f}
ClIS f}
= or (sin (J + /.(81)) .
= 0 et done x = 11 = o . Le point est done sur
1 +� O el Ie point est encore sur la courbe. Sill
La courbe etudiee est donc l'hyperbole d'equation (x - l) (y - I)
=
I.
EXERCICES
226
EXERCICES
x
2
1.
La normale en un point M de 1a parabole d'equation cartesienne = y re coupe cette parabole en N. La paralleie en AI a la tangente en N coupe la parallele en N a la tangente en M en un point P. Determiner Ie lieu de P et Ie tracer.
2.
a) Etudier la courbe parametree
r definie par :
x = ln l l - tj et = ln ll + tl b) Pour quels points M de r peut-on trouver des points M\ et 12 tels que les tangentes a r en M, /1.1/\ et /1.'/2 forment un triangle equilah�ral ? Determiner y
·
/1..
alors les parametres t\ et t2 de ces deux points en fonction du parametre I de M et en deduire un parametrage du lieu C des isobarycentres de IH, All et M2 (J, et en deduire que C se deduit de r c) Exprimer tan 30 en fonction de par une homothetie.
tan
3.
{ x(') � :
Soil r 10. combe parametree :
1
y(t)
=
t' [
"
3·
-
+t
a) Montrer gu'une droite du plan coupe cette courbe en au plus trois points.
M(td, Mtt2} et Mlt:!). Donner
b) Reciproquement, on se donne trois points une condition necessaire et suffisante portant sur trois points soient alignes.
t], t2 et t,:! pour que les
M(t) recoupe la courbe en M(t'). Exprimer t' en fonction de t. d) Soient M(td, /l.4(t2) et M(t.:! ) trois points alignes de la courbe. Les tan c) La tangente en
gentes en ces points recoupent la courbe respectivement en M(t� ), M(t2} et M(tJ}. Montrer que res trois points sont alignes. 4.
a) Construire la courbe :
{ x(t) � t + 2:' Y(')
� 2"" + "1
Montrer en particulier que la courbe admet un axe de symetrie. b) Montrer que l'ensemble des points par lesquelles passent deux tangentes a la courbe orthogonales entre elles est une droite dont on donnera i'equation.
CHAr'. 6 - COURBE.S PARAMETREF..5
227
5.
Soit C un cercle du plan de centre 0 et de rayon R, soit D une droite telle que d(O, D) > R. D'un point P de D, on mene les tangentesau cerde C, les points de tangence etant notes M et ",-I' . Etudier la courbe decrite par G isobarycentre de P, 1\/ et M' lorsque P decrit D .
6.
a) Tracer la courbe d'equation p
= cos13 , . _ _
:1
b) Montrer qu'une droite passant par () et d'angle polaire (J coupe la courbe en trois points et que les tangentes en ces trois points a la courbe sont les cOtes d'un triangle equilateraL
7.
Etudier la courbe d'equation polaire p
= L + tan � .
Montrer que la courbe a un point double en lequel les tangentes sont orthogo nales.
Chapitre 7
Coniq ues
Dans tout ce chapitre, E est Ie plan euclidien.
1.
Ellipses, hyperboles, paraboles
1.1 Definition monofocale Definition 1
_______
Soient V une droite, F ¢. D un point du plan et e un reel strictemenl positif. L'ensemble :
c = { M I d(F, M) = e d(M,V))
est appele : •
•
•
hyperbole si e > 1 , ellipse si (' < 1 , parabofe si e = 1 .
Le point F est appele foyer de C, la droite V, directrice associee au foyer F et e est l'excentricitt. L'ensemble C est appele cOlliqlle d'excentricite e, de foyer associee V. La droite contenant
F et de directrice
F et orthogonale it V est appelee I axe [ocal. '
,
ELLIPSES, HYPERBOLES, PARABOLES
230
Remarques • II
•
est evident que I'axe focal est un axe de symetrie
h
de C .
It
F a la directrice V, Ie reel p = e It est appele parametre. II correspond a 1a dis tance de F a chacun des deux points de C sHues sur la droite passant par et paralleie a v.
Si
est la distance du foyer
F
F
1 .2 Elude des paraboles SoH
P la parabole de foyer F et de directrice V. Prenons un repere orthononne F dans lequeJ V admet pour equation = -po avec p :I 0 (Ie para
centre en
metre de la parabole est alors Ipi).
POUT un point
a alors :
M de coordonnees
(.c, y), on
diM, V)' � (x + p) ' .
et
Vne equation de
x
P est done :
ou encore :
y2 _ 2p
(x + �) = O.
En prenant pour nouvelle �ngine Ie point de coordonnees
(-p/2, 0) appele SOIf/
met de la pambo/e, on obtient une equation riduife de P : y2 = 2pX. Reciproquement, au vu du calcul precedent, si
y2 = 2pX
dans un repere orthonorme
pour coordonnees
(p/2, 0)
OXY
p :I U
la courbe d'equation
est la parabole dont Ie foyer a
et la directrice associee pour equation
X = -p/2.
L'origine du repere est Ie sommet de la parabole ; c'est son unique point d'inter section avec I'axe focal.
Parametrage La paraboJe
P
d'equation
se parametrer par :
y2 = 2p X peut
avec tER (X � 2pt' , Y � 2pt) . y Commeon a lun - = 0, la paraboJe pos
t_± X
serle deux branches paraboliques rection asymptotique
OX.
(!) de di
y d
,,
, d F
X
CHAP. 7 -CONIQUES
231
1 .3 Elude des ellipses Soit
£
I'ellipse d'excentricite l:
< 1,
de foyer F et de directrice associee
Prenons un repere orthonorme centre en tion
x = -h, avec h > O. Pour un point d(F, M )
done :
Y'
On obtient ainsi une equatiOll
L
eh - e2
et b
(
et
Dans ce repeTe, Ie foyer F a pour
he2 = --, = e a . 1-e
Reciproquement, si
0
J, de foyer F et de directrice assodee V. De meme que pour I'ellipse, une equation de 1i dans un repere orthonorme centre en F est :
x2 ( e2 - 1) ou It est la distance de F a V.
_
2 2 y2 + 2h e x + e2 h = 0
234
ELLIPSES, HYPERBOLES, PARABOLES
En posant X = x + X' -
h ' � et Y = y. une equation de 1t s'ecrit done : e -1
--1 y' e2
�"
avec
On obtient ainsi une equation riduite de " hyperbole norrne : X2 yz ---�1 a2 b2 avec a =
_ ,e e
h
- I
1-1.
dans un repere ortho
et b = a .JC2"'=L. Dans ce repere orthononne, Ie foyer F a pour
coordonnees (c,U) avec c = Reciproquement, si a
= -,-he'
e
1
ca.
yz
= I dans un # 0 et b '# 0, 1a courbe d'equation x2 a2 b2
repere orthonorme OXY est une hyperbole, puisqu'i1 suffit de prendre e > 1 (e' - I) a tel que e2 - 1 = b2/a2 puis h = pour obtenir l'equation (*).
e
• L'axe focal OX est aussi appele axe transverse. II coupe I'hyperbole aux deux points de coordonnees (a,O) et ( -a. 0). Le reel a est appele demi-axe focal. • La droite OY est aussi un axe de symetrie. On l'appeJle axe 11011 focal ou axe 11011 trallsverse. II ne rencontre pas " hyperbole. Le reel b est appete doni-axe 11011 focal.
•
Le point 0 est centre de symetrie de I'hyperbole. La distance c = e a = va2 + 1? du foyer F au centre est appelee distallce tocale.
• Par syrnetrie, il existe un autre couple de foyer-directrice symetrique de (F,D) par rapport a o. • L'ordonnee Y de chacun des deux points de t: d'abscisse c verifie : Y' � b'
(
c' - 1 a2
)
�
Le pararnetre de I'hyperbole est done p = b2la.
U' .
a2
Parametrage
X2 y2 L'hyperbole d'equation reduite � - 11 = 1 peut se pararnetrer par : (X � £ach t , Y � bsht)
avec
t E IR et � = ±l.
CHAP. 7 -CON1QUES
•
235
La branche correspondant a
y
X
- - - = e-t a b
tite
vers
+00
E
= 1 appartient au demi-plan X > O. La quan-
(respectivement
X
a
Y
- = et ) tend vers 0 quand t b
branche correspondant
aE =
-
1
,
b = � et b = -a- . y
Y
X
asymptotes.
y
± arct,an(b/a) par rapport
('axe
OX.
X < 0,
et
O . Elle admet donc les memes
Les deux asymptotes font un
a
X
appartient au demi-plan
est symetrique de la precaiente par rapport a
angle
tend
(respectivement vers -(0), et on en ded.uit qu'il y a, pour cette
branche, deux asymptotes d'equations
• La
+
/'
On en deduit Ie
schema ci-contre.
Les asymptotes sont orthogo nales si, et seulement si,
b=a;
on dit alors que l'hyperbole est
eqllifatere.
Les hyperboles equi
lateres sont done les coniques d'excentricite
J2.
1 .5 Equation polaire d'une conique de foyer
0
On utilise les coordonnees polaires dans un repere orthonorme (0, r, fJ .
Proposition 1 -----.� Soit
h
V une droite d'equation polaire r = coo(9 90 ) ' avec h f:. O .
Une equation polaire d e l a conique d'excentricite c , d e foyer 0 et d e direc trice
V, est :
Demonstration Si 00 = 0, la conique esl l'ensemble des points dont les coordonnees verifienl . � c'esl-a-dire
C'est donc I'ensemble des points verifiant :
l' = 0l-"+::e�,", >�O eh
00
r=
r = ±e (rcos O - h).
-
eh >",O 7 1_� :': e',",-
236
ELLIPSES, HYPERBOLES, PARABOLES
Comme (r.B) et (-T. 0 + 7l") sont des couples de coordonnees polaires d'un �me point. les deux courbes d'equations polaires :
oh T � '1-;+-''-'''08:::'.0
et
,. =
eh
- -:'O ' 1 ',= cos"
sont les memes el on en dedUl! qu'une equation potane de la conlque est par exemple : r=
eh . l + e cos(}
Dans Ie cas general, it sullil d'effectuer une rotation d'angle 00 pour oblenir I'equation : eh . 1 + e cos(O - 00 )
r=
o
Une equation polaire generaIe des coniques de foyer 0 est done :
ave, p
>0
et
Ir =
laire r =
c�(O - Ou) = 1 +
�+ .B
a cos
(0 c, I'ensemble des points
tels que :
a
F II + 11MF' I = 2a F' et de demi-grand axe a .
�
11M est I'ellipse de foyers F et
2. Si
JII/
II FF' II
�
a < c, l'ensemble des points M tels que :
IIIM FII - IIMPIII = 2a est I'hyperbole de foyers F et F' et de demi-axe focal a. Demonstration Elant donne un point M on pose r = I I MF I el r' = l I �n Considerons Ie nombfe : n(M) = (2a + l' + r') (2a + r - r') (2a - r + r/) (2a - r - r/). D'apres I'lnegalite triangulaire, OIl a .
r + r' � 2c
et
Ir - r/l :::;;: 2c
n(M) = 0 r + r' = 2a lorsque a > c, n(M) = 0 Ir - 1"1 = 2a lorsque a < c. Prenons un repere orthonorme dans lequel F el F' onl pour coordonnees (c, 0) el ( posons = cia On a alors, pour M de coordonnees (x, y) . n(M) = (4a' - (r + r')') (4a2 _ (r r')2) = (4a2 r2 r,2) 2 4r2r,2
ce qui prowe les equivalences : �
_
-c,
0) . el
e
_
_
_
_
(4a2 (x c)2 y2 (x + C)2 ,/)2 4 ( x C)2 + y2) ( x + c)2 + y2) = (402 _ 2(;r2 +y2 + (2)) 2 - 4 ( ;r2+y2 +c2)2 - 4x2c ) = 1004 \6a2 (x2 + y2 + c2) + 16;r2 c2 =
_
_
_
_
_
_
_
_
238
DEANITION ANAI.'(fIQUE
Si a > c , en posan! IJ = a � , on a done '
2 x2 r + r' = 2a ¢=:> 2 + ybl = 1. a
Si a < c, en posant h = a JC2=} , on a donc :
�
x2 y2 Ir - r' l = 2a -¢=:> a2 - b2 = 1 .
o
Remarque On peut definir de plusieurs fa�ons )'interieur d'une conique propre : •
•
•
2.
pour une conique de foyer F, de directrice associee V et d'excentricite e, c'est I'ensemble des points M leis que d(M. F) < e d(M. V). c'est 1a partie du plan delimitee par la courbe et contenant Ie ou les foyers (dans Ie cas de I'hyperbole, eet ensemble est constitue de deux parties), dans Ie cas de I'ellipse et de I'hyperboJe, c'est I'ensemble des points lesquels f!(M) > O.
11'1
pour
Definition analytique
2.1 Definition Definition 2
___
__
On appelle cOl1iqlle du plan eudidien E, toute courbe dont I'equation. dans un repere orthonorme, est du type : A x2 + 2B x y + C y2 + 2D x + 2E y + F = 0
,
avec (A, B , C) " (0, 0, 0) . Proposition 3 --------...., Dans tout repere, une conique possede une equation de ce type.
{
Demonstration Les formules de changemenl de repere s'ecrivant x = ax' + f3 y' + A avec a8 - {3'Y f:. O y = ,,( x' + 8 y' + p, il est evident qU'une equation dans Ie nouveau repere sera de la forme .
+
' ' A' X,2 + 28' x V C, y,2 + 2D' x' + 2E' y' + F' = O. De plus, si les trois scalaires A', 8' el C' etaient nuls, par Ie changemenl de repere inverse, on 0 obtiendrait A = B = C = 0 ce qui est exclu par hypothese.
239
CHAP. 7 - CONIQUES
Cas particufiers de coniques • L'ensemble d'equation x2 + y2 = I'ensemble vide (0 < 0).
0
est un cerde (0' > 0), un point (0 = 0), ou
Une ellipse, une hyperbole ou une parabole. • La reunion de 2 droites (eventuellement confondues), d'equation : •
(o L + i1 y + ,)(o' x + i3' y + i)
� O.
2.2 Reduction de I'equation d'une conique (Descartes, 1 637) Soit C une conique d'equation dans un repere orthonorme : A .r2 + 2B x y + Cy2 + 2Dx + 2E y + F = O. Proposition 4
�.. ....
-
II exist€' un repere orthonorme dans lequel C possede une equation sans terme en xy, c'est-a-dire de la forme : A\ £2 + Ct!/ + 2D\ £ + 2£] y + F]
Demonstration En eflectuant une rotation du repere :
{
x = X cos O - Y sinO y = X sin O + Y cosO
= O.
OeR
Ie coefficient du terme en XY de l'equallOn obtenue est ·
0) = (C - A) sin 20 + 2B eos20. 1 ( 2B ) . A = C. il u f t done de prendre 0 = /4 et sinon () = 2" arctan A C 0
2cosOsinO (C - A) + 2B (cos2 - sin2
Si
s li
7J"
_
o
Prenons done un repere orthonorme dans lequel une equation de C est : A] x2 + C] y2 + 2D\ X + 2EI y + F\ •
= O.
Si Al C, t- 0, en prenant pour nouvelle origine Ie point nees
_
(-�: ,-�:),
on obtient I'equation : Al x2 + C, y2 + F = O. 2
Si Al CI > 0, alors : * soit A, F > n et C est vide, 2 * soit F = a et C est reduite au centre 0 du repere, 2
0
de coordon-
DEf.1NITION ANALYTIQUE
240
*
soit A\F2
b > O. Deux points P et Q decrivent respectivement des cercles de centre 0 de rayons respectifs a + b et a b, de fa,on que I'axe des abscisses soit toujours bissectrice inh§rieure de ('angle des demi-droites (OP, OQ). Que peut-on dire du lieu du milieu kl de PQ, et de la normaIe en M a ce lieu ? Admettant que ce lieu est une conique de foyers F et F', cakuler Ie pmduit MF.I,,,1F' en fonction de P et Q. -
13. A tout point M d'une ellipse, qui se projette orthogonalement en I sur I'axe fo cal, on assode l'un des deux points P de cette conique ou la tangente est paral lele a OM, et sa projection J. Calculer l'aire du triangle MOP (premier theo reme d' Apollonius), ainsi que les reels 0/1.,/2 + Opl (second thooreme d'Apol lonius) et 0[2 + OJ2 . 14. Deux points M et MI decrivent une ellipse de foyers F et pi de fa\"on que leurs tangentes se coupent en un point P du cerde principal (tangent a I'el lipse en les sommets de I'axe focal). Montrer qu'au prix d'un eventuel echange entre M et M' Ie quadrilatere MFFI MI est un trapeze (on pourra comparer les pentes des droites MF et OP).
Proprhf!tes des coniques a centre 15. Une conique r varie en passant par un point fixe M et en gardant meme centre o et meme demi-axe focal a . Determiner Ie lieu des foyers F et FI de r.
CHAP. 7 - CONIQUES
16.
247
Etant donnes un point [ et une conique r de centre 0, on considere un point variable R de r tel que la parallele a OR passant par I coupe r en C et D. Que peut-on dire du rapport du produit des mesures algebriques de Ie et ID par OR2 ? Retrouver la notion de puissance d'un point par rapport a un cercle. En deduire une proprithe des cordes CD et BG communes a un cercle et a une ellipse non circulaire (theoreme de Joachimstahl).
17. Ecrire une equation poiaire d'une conique a centre en prenant Ie centre 0 pour pOle et i'axe des abscisses pour axe polaire. En deduire que, si P et Q dtkrivent unE" ellipse de fa,on a ce que OP et OQ restent perpendiculaires, ia droite PQ reste tangente a un cerde fixe. Retrouver ce resultat par un caleul direct a partir de la representation parametrique usuelle de I'ellipse. 18.
Montrer que Ie produit des distances des deux foyers d'une conique a centre a une tangente variable est constant (on orientera arbitrairement la direction de la normale de fa,on a disposer de mesures algebriques).
19.
La tangente en un point M
d'une conique a centre coupe son axe de symetrie non focal en un point / dont les projections orthogonales sur les rayons vec teurs MF et Mpi sont notees et H'. Montrer que PH = F'H' est constant et que HH' est paralleie a la normale en M et passe par Ie centre de la conique (on pourra utiiiser les expressions donnant la longueur du segment MP en fonetion de l'abscisse de An.
H
:.r
20.
Demontrer que les projections orthogonales K et K' des foyers F et F' d'une (onique a centre sur une tangente variable d'une conique a centre ap partiennent au cercle principal (tangent it la conique en les sommets de l'axe focal).
21.
Demontrer a I'aide de la definition bifocale des coniques a centre que la tan gente en un point M est bissectrice des rayons vecteurs MF et A'1 pI en posant � � MF = r, 11Ser P ou q impair. Or, I'egalite p2 = 2q".l. prouve que p2 (et par suite p) est pair. On a done p = 2p' et par 0 suite q'l. = 2p,2 ce qui prouve que q est pair et contredil l'hypothese. ,
•
•
Sur (Q, la fonction polynomiale f : x x2 2 prend des va!eurs positives et des va!eurs negatives mais elle ne s'annule pas, ce qui n'est pas "nature!". L'ensemble X = {.c I .c > U et x2 � 2 } ne possede pas de borne su perieure dans Q (voir la definition 5 de la page 256 et la remarque de la page 259). 1-+
-
252
J'ROPRIETEs LlEES A LA KELATiON D'ORDKE
Cette insuffisance des nombres ratiannels se manifeste aussi par exemple dans Ie fait que les suites (u,,)nEI'I et (v")nE definies par : N et
t
vn = 'Un + , n.
sont telles que : •
u
est croissante,
v est decroissante it partir du Tang
•
1a difference Vn
•
-
'Un
1,
tend veTS 0 quand
n
tend veTS +00,
alors que l'on peut monlTer qu'elles ne convergent vers aucun rationnel. Pour remedier a ces insuffisances, on introduit Ie corps IR des reels, qui contient I'ensemble (Q des rabannels comme sous-corps, dans lequel toute partie non vide et majoree possed.e une borne superieure. Comme (Q ne verifie pas cette propriete, I'inclusion (Q c R est stricte. Les eh�ments de R qui n'appartiennent pas a Q sont appelf!s irratiOll1lels. NallS admettrons dans la suite J'existence de IR verifiant les proprietes suivantes que nous definissons et deveioppons dans ce chapitre : Proposition 1
--------..., IR est un corps totalement ordonne verifiant la propriete de la borne sure rieure.
1.
Proprietes Hees a la relation d'ordre
1 .1 Relation d'ordre Sur IR, on dispose de la relation :s;;; de comparaison. Cest une reiatioll d'ordre, ce qui signifie qu'elle est :
reflexive : alltisymetriqlle :
"Ix E IR, x :s;;; x ; "I(x, y) E IR2 , (x :s;;; y et y :S;;; x) => x = 11 ; "I(X,1J,Z) E 1R3 , (x :S;;; y et y :S;;; z) => x :S;;; z .
trallsitive : eet ordre est total, ce qui signifie que deux reeis rabIes : on a toujours x :s;;; y ou y :s;;; x.
.c
et y quelconques sont cvmpa
CHAP. 8 - LE CORPS DES NOMBRES REELS
Definition 1
253
___ __
Soient A une partie de IR et a un element de A .
,
On dit que a est Ie plus gralld tlbncllt de A si 't/x E A , x � a. Quand iI existe, Ie plus grand element de A se note max(A) ou maxA .
•
On dit que
•
a est Ie plus petit dement de A si 't/x E A , a � x .
Quand il existe, Ie plus petit element d e A se nute min(A) au min A .
Remarque L'unicite d u plus grand element ($Ous-entendue par I'article de fini « Ie ») vient du fait que si a et b sont deux tels elements, on a a :::; b et b :::; a, done a = b.
II en est de meme pour Ie plus petit element.
Exemples
tJ, lL, «) et R n'admet de plus grand element; parmi eux, seul tJ possede un plus petit element (0).
1. Aucun des ensembles
2. L'intervalle [0, 1 ] possede : • •
3.
un plus grand element 1 , un plus petit element O .
L'intervalle ] 0, 1 ] muni de I'ordre usuel : • •
possroe un plus grand element 1 , ne possede pas de plus petit element puisque 'r/x > O.
0
0 , lal :S;; E est nul.
2.2 Rationnels et irrationnels
L'ensemble (Q des rationnels est un sous-corps de R.
• On a vu que son complementaire IR \ (Q (I'ensemble des irrationnels) est non vide puisqu'il contient /2. • Si x est un irrationnel et !J un rationnel, alors z = .I: + !J est irrationnel. En effet, si z etait rationnel, alors .I: = Z - Y aussi, ce qui est contradictoire. • On peut demontrer de meme que Ie produit d'un rationnel non nul par un irrationnel est un irrationnel.
CHAP. 8 - LE CORPS DF.5 NOMRRES REELS
L'ensemble IR
•
forme
r
\ (Q
259
est done infini, puisqu'il contient tous les reels de la
+ /2, avec r
E (Q .
La somme et Ie produit de deux irrationnels peuvent tres bien etre des nombres rationnels, eomme par exemple (1 + /2) + (1 - /2) .... Attention
et
(I + 12) ( 1 - 12) .
Remarque L'ensemble � des rationnels ne verifie pas la propriete de la borne superieure. En effet, si I'ensemble: possedait une borne superieure a, on aurait, en reprenant avec des rationnels Ie raisonnement de I'exemple de la page 257, la relation a2 = 2, ce qui est impos sible.
2.3 Droite numerique achevee Definition 6
_______
On appelle droitr nllmeriqlle achevee l'ensemble :
,
R = IR U {-oo, +oo} . On prolonge la relation d'ordre � sur IR en posant :
'rix E IR , x � +00
et
\Ix E IR , x ;;;:: -00.
Avec cette definition, il est imm€diat de voir que : • •
+00 est Ie plus grand element de IR. -00 est Ie plus petit element de R
Soit X une partie de � . Par convention : • •
si X n'estpas majoree dans � , on pose supX = +00, si X n'est pas minoree dans � , on pose inf X = -00.
Ces conventions correspondent en reaHte aux notions de bornes superieures et inferieures dans �, puisqu'une partie non majoree dans � admet +00 pour unique majorant dans � ; son plus petit majorant dans IR est done +00. De meme, une partie non minoree dans IR admet -00 pour plus grand minorant dans � .
260
PROPRIFrE DE LA BORNE SUPERIEURE
On prolonge partiellement is � les operations sur
�
selon les tables ;
+ II I y Ell I I ? -00 -00 -00 x E R -00 x + y +00 ? +00 +00 +00
+00
-00
II - OO I Y E R , 1 0 1 Y E R'± 1 +00 1 -00 +00 +00 ? -00 -00 x E R* +00 x y 0 x y - 00 x
0
T E R* +00
?
-00 -00
0
xy
-00
0 0 ?
0
xy +00
'!
+00 +00
oil ? correspond a un cas ou " operation n'est pas definie (forme jlldftermim:e). 2.4 Intervalles de R Rappel Les illiervalles de
R autTes que R sont les parties de R de la forme :
[a.bJ � {X E R I a ,;; x ,;; I>} [", b [ � {x E R I a ,;; x < b} [",+OO [ � {X E R I " ,;; x} J -oo,bJ � {X E R I x ';; h}
J a. b [ � {X E R I a < x < h} J a, bJ � {X E R I a < x ';; b} J ", +Oc [ � {X E R I ,, < x} J -00,1, [ � {x E R I ,' < b}
avec a el b deux reels. Remarques •
•
•
• •
•
L'ensemble vide est un intervalle puisque, par exemple, 0 = ] O. 0 [ . Si a :0::;; IJ, l'intervalle [n,b] est appele segment. Par convention, si a > b, on note aussi [a. /I] Ie segment d'extremites a et b, c'est-a-dire Ie seg ment [ b, a ] . Pour a < b, ]'intervalle ) a, b [ est appele illterval/e ouverl d'extremites a et b. Les intervalles ] +00 [ , et ] -00. b [ sont appeles demi-tlroites ouvertes. Les intervalles (u, +00 [ et ] -00, b] sont appeJes demi-droites fcrll/ies. Pour a < b, les intervalles [a, b [ et ] a,b] sont appeles il1tcrvallcs semi iL,
ouucrts Oll scmi-fcrmes.
CHAP. 8 - LE CORPS DES NOMBRES REELS
261
Proposition 9 Les intervalles de � sont les parties convexes, c'est-a-dire les parties 1 telles que : 'Ix E I , Vy E I , ( x , !J ] c J .
---...
_ _
de IR
Demonstration Les intervalles sont evidemmenl des parties convexes. Monlrons la reci proque. Soit J une partie convexe de vide et posons :
F . Si J est vide, alors c'est un intervalie. Supposons donc J non
a = inf I E
F
"
b = sup [ E R
Monlrons les resultats resumes dans Ie tableau ci-dessous .
aEl a E R\I (t = -00
II
bEl I � [a,b] l = ] a, b j I � ] -oo, b]
b E R \I l � [a, b [ J = j (t, b ( 1 = ] -oo, b [
b +00 1 = (a,+oo ( 1 = J a, +cx: [ 1 = J -00,+00 [
... II est evident que dans chaque cas, I'ensemble 1 est inclus dans I'intervalle indique. .. Pour la reciproque, il suffil de montrer I'inclusion 1 a, b ( c I puisqu'alors on aura :
J = l a, b ( , J = l a, b ] , J = (a, b [ ou 1 = [a. b ] en fonctlQn de I'appartenance de a et b a 1 . Soil z E 1 a.ll [ . Comme z < b, Ie reel z n'esl pas un majorantde I, el on peul trouver y E [ lei que z < y De meme on peul Irouver x E 1 lei que T < z . On a ainSI z E [x, !I] avec x E I el y E I, ce qui entraine z E 1 Done ] a, b [ c I. 0
2.5 Propriete d'Archimede Proposition ]O -------..., � e!>t arcl1imtdicII, ce qui signifie : V.c E IR.� , Vy E R , 3 n E N : nx ) y.
Demonstration Faisons une demonstration par t'absurde en supposant, pour el y E �
Yn E tJ , n:r < y.
x
E F�
L'ensemble A = {ft J" I n E foJ } esl alars une partie non vide el majaree de F qui possede done une borne supeneure a On a 'r/u E foJ , (n + I)x :s;; a et donc "In E foJ . nx :S;; a - x ce qui signilieque a - x est un majorant de A strictement inferieur it a et contredit Ie fail que a est Ie plus petit des majorants 0 . A.
262
PROPRIETE DE LA BORNE SUrERIEURE Remarque Le corps «:) est aussi un corps totalement ardonne possedant la pro pri{M� d'Archimede, bien qu'il ne possede pas la proprieh� de la bornesuperieure.
En effe!, si x et y sont deux rationnels leis que x > 0, on peut trouver un entier 11 tel que nx � y . C'est evident si y ::;;; O.
•
•
0, en ecrivant x = prendre n = be.
Si y >
Corollaire 11
a "
et y =
C avec (a,b,c,d)
d
E l'Jo4 , il suffit de
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
•
"I
_
Etant donnes deux reels que Tn � y.
x
et y avec x >
1 , iI existe un entier n E
N tel
Comme .1: > 1 . on peut poser x = 1 + h avec It > O. Si n est un enlier naturel, Ja formule du bin6me de Newton permel d'ecrire :
Demonstration
(1 + h)fi � 1 + n h. O'apres la propriete d'Archimede on peut trouver n tel que 11 h � y - I el on a alors Tn � y 0
�'
2.6 Partie entiere
------Proposition 12 -
....
tant donnes x E IR et a E R�, iI eXlste un umque entier relatif que n n � x < (n + 1 ) a, c'est-a-dire tel que :
x = n a + y avec 0 � y < a.
Demonstration
Unicite. Si n el n' sont deux entlers repondanl a !a question, on a . �
x
n � - < n' + I done n - n' < 1 , e'est-a-dire n - n' ::;;; 0, a x 11' � - < n + 1 done n' - n < 1 , c'est-a-dire It' - It ::;;; O. a
On en deduil n = n' . Existence. R elanl archimedien, on peut trouver � �
n, tel que x ::;;; an, un entier n2 tel que -x ::;;; (L n2. un entier
n
tel
CHAP. 8 - LE CORPS DES NOMBRES REELS
263
l'ensemble {k E lL I ka " X} etant une partie non vide de lL (elle conlienl -n2 ) el majo ree (par n, 1. elle contient un plus grand element n ventiant n a :-:;;;: x . Puisque I'entier n + I n'appartienl pas a eet ensemble on a x < ln + 1 ) a ce qui prouve que n convient. o
Remarque Si (l > 0, on definit la relation de congruence modulo x =: y raj
{::::::}
3n E 7L y = x + na.
Q
par :
:
La proposition pnkedente signifie que pour tout reel x, il existe un unique y E [O, n [ telque .£ =: y [a] . On utilise frequemment en geometrie les congruences modulo 211" (pour les me sures d'angles de vecteurs) et modulo (pour les mesures d'angle de droites). 11"
Definition 7
_______
Si .£ est un reel, l'unique entier relatif n verifiant n � x < n + 1 s'appelle la .r et se note E( x), [x] ou lxJ .
,
partie entierc de Remarque • •
C'est la fonetion floor de MAPLE qui correspond a la (onetion partie en Here E. La fonetion trunc eo·incide avec E sur R+ mais verifie la relation : trunc( -x) = -trunc(x)'
•
ee qui la distingue de la partie entiere mathematique. On peut encore dter la fonetion ceil : si T est reel ceil (xl designe Ie plus petit entier superieur ou egal .it x. En mathematiques, on la note rx1 .
2.7 Densi!'; de II) dans R
Les ensembles CQ et IR \ CQ sont dClIses dans R, ce qui signifie : Proposition 13
,
Etant donnes deux reels .c et y verifiant .£ < y, il existe au moins un ration nel et un irrationnel dans \'intervalle ] x, y [ .
FONCTIONS REELLES
264
Demonstration �
Prenons q = E
1_) + 1 ;:: 1 puis p = E(q x) . On a alors : (_ V-x 1 P � < p+ 1 81 x - < V -x
et done :
--
-
q
q
p+ I
q
I
::;;; x + - < x + (y - x) = y q q + ce qui prouve que Ie rationnel r = p veri/ie .c < r < y q D'apres la propriete precedente. on peut !rouver un rationnel r appartenant a l'inter valle 1 x+V2, y+J2 [ . Le nombre r-J2 est done un irrationnel appartenant a ] x, y [ . 0 x
;EX
E Xl·
Exempfes 1. Si f et 9 sont majorees sur X, alors f + 9 est majoree sur X et on a supU + g) � sup f + supg.
x
x
x
:
CHAP. 8 - LECORPS DES NOMBRF..5 REELS
2.
261
L'inegalite ci-ciL.ossus n'est pas toujours une egalite comme Ie prouve I'exemple des fonctions sinus et cosinus qui verifient
slIpsin = sup R
R
:
cos = 1
et
p( in + cos) = J2
:m
R
s
la demiere egalite pouvant se justifier a I'aide de la relation :
sinx+cosx = J2sin(x + 11"/4).
Definition 9 On dit que f admet un m(lximum en a E X si Ir:/x E X , f{x} On dit que f admet un maximum local en a E X si :
_______
311 > 0
,
s;;;:
f{a}.
,
'Ix E X , Ix - al " h =- fIx) " f(a).
On definit de maniere analogue les notions de minimum et de minimum local. On dit que f admet un extremum (respedivement un extremum local) si f admet un maximum (respectivement un maximum local) ou un minimum (respectivement un minimum local).
Exempfes
1. La fonction definie sur R par f(x) • •
=
l +_x, ' 1
_
est majoree el possede un maximum en 0 qui vaut 1 . est minoree ell' on a inf f = 0, mais ne possede pas de minimum. R
211".
2. La fonelion
admel un maximum 1 qui est atteint en taus les multiples de De meme, elle possede un minimum I atteint en taus les points de la fonne 2k1l", avec k E 7l.. .
11" +
CC6
�
2£8
FONCTIONS REELLES
3. La fonetion definie sur F1 par :
f(x) = .r3 - 3x
admet un maximum local en - I et un mini mum local en I mais n'a ni maximum ni mini mum SUT R.
Remarques •
Lorsque f possede un maximum sur X, celui--ci se note maxi au max f(.c). La x :!:EX fonetion f est alars evidemment majoree et l'on a sup! = maxi. X x
• De meme, si f admet un minimum sur X, celui--ci se note min f au min f(x), X rEX et I'an a inf / = minJ. X X • Une fonetion peut evidemment etre majoree (respectivemenl minaree) sur X sans admettre de maximum (respectivement de minimum) sur X (c[. exemple 1. d-dessus). •
On dit que la fonetion f admet un maximum, minimum Ull extremum strict en a si I'inegalite de 1a definition prec&iente est stricle pour x #- a.
3.3 Monotonie Definition 10
X - IR est : croissal1te si \f(x,y) E X2 , X � Y => f(x) � I(y), strictemenf croissallte si 'V(x, y) E X2 , X < Y => f(x) < I(y)'
On dit que • • • •
_______
f
:
,
(strictement) decro;ssollie si -l est (strictement) croissante,
(strictementJ mOJlOtolle si elle est (strictement) croissante ou (stridement) dtkroissante.
Proposition 15 --------, Soit I une application d'une partie X de IR dans une partie Y de � et fJ une application de Y dans IR. Si I et 9 sont monotones (respectivement stric tement monotones), alors monotone).
g 0
I est monotone (respectivement strictement
CHAP.
8 - LE CORPS DES NOMBRES REELS
26'
Demonstration En notant / pour « croissante et '\. pour decroissante -, si tableau suivant recapitule les 4 cas possibles : �
�
f/ f '-. ) x f(y) f( :;, f(y 9 f(x) � 9 f(y) 9 f(x ) :;' g f(y) g'-. 9 f(x) :;'g f(y) 9 f(x) '; g f(y) f(x )
.0 /
:0:;;;;
x y, Ie
.;
De merne pour la stricte monotonie avec des inegaliles strictes, lorsque les rondions striclernenl monotones.
I et sont
y
0
Exemples
1. Une fonction monotone est strictement monotone si, et seulement si, die est in jective.
2. La somme de deux fonctions croissantes est une fonetion eroissante. 3. La somme de deux fonctions monotones n'est pas necessairement monotone, eomme Ie prouve I'exemple de + sur �. 4. Etant donne. des feels r, d verifiant 0 et c ¥ 0, l'IJOmographie (ou jOllcfioll lwmograplliqlle) I :
x .... eX e-x a, b, ad - be ¥ R \ HJ
x � ux+b cx+d est strictement monotone sur ] -00, - � [ et sur ] -�, +00 ear on a : (ad -be) V«x,y) E D .,.. y ==} f(x)x - f(y) _ (cx+d) (cy+d)' (
t , ·T �
Y
-
.. Attention La fonction I n'est pas monotone sur � \ { - � } .
5. L,;,
fonetion
f
J . ....
:
III (2e('xX++21 ) definie sur � et est monotone comme compo-
see de trois fonctions monotones : p...xp , III et une fonetion homographique definie sur l'intervalle �+ done monotone sur eet intervalle. Comme 1(0) = 0 et 1(ln = In(5/4} > 0, on en deduit que I est croissante. 6. La fonction a
I
2) eX e-x eX +e X est croissante _
:
_1 l(x) = e2x eX+l
, - ,
:c ....
SUf �. En effet, pour tout
.f
on
et comme dans ]'exemple precedent, I est la composee d'une
fonction homographique croissante sur �+ et d'une fonction croissante a valeurs dans �+ . 7. Si I et sont des fonctions positives et cfoissantes, la fonction est croissante.
9
I9
8. Si I est monotone et garde un signe constant, alors 1/1 est monotone.
FONCTIONS REELLES
270
3.4 Parite, periodicite Definition 11
_______
On dit que J est paire si X est symetrique par rapport it 0 et si :
•
,
'Ix E X , I( -x) � I (x). On dit que / est impaire si X est symetrique par rapport it
•
'Ix E X , I( -x)
� -I(x).
0 et si :
Exemples
1. La fanetion f
R
(
2 In � + I eO: + 2
2. La fanction definie sur R- \ {11"/2 + k1r
)
est impaire.
I kE
7l} par f(:,.) = tan
-- est palre.
x
.
x
Proprietes • Le graphe d'une fanetion paire est symetrique par rapport a Oy. •
Le graphe d'une faoetion impaire est symetrique par rapport it U.
• L'ensemble des fonctions paires (respectivement impaires) definies sur R est stable par combinaisons lineaires, done est un sous--espace vectoriel de F(RR).
• L'ensemble des fonctions paire est stahle par produit, mais pas celui d� fonc tions impaires.
Definition 12 • Un reel T est une piriode de J si :
_______
'r:/X E � , X E X {=::::} x + T E X
•
et
'Ix E X , I(x + T) � I(x).
La fonction f est periodique si elle admet au moins une periode T non nulle. On dit alors que f est T-periodiqlle ou periodiqlle de periode T.
Remarques
• SoH f une fonction periodique. n est evident que : _
si T est une periode de f, alors -T est aussi une periode de f ,
,
CHAI'. 8 - LE CORPS DES NOMBRES REELS •
• •
I, alors T, + T2
est aussi une periode
L'ensemblt' des periodt.'S de I est donc un sous-groupe de (�, +) . O'apres la structure des sous-groupes de (R,+) (voir I'exercice 18) : _
_
•
si T, et T2 sont deux periodes de de f.
211
si f possede une plus petite periode T strictement positive, alors ses pe riodes sont les multiples non nuls de T, sinon, I'ensemble de ses periodes est dense dans R.
Ce dernier cas peut se produire sans que f soit constante (prendre la fonction qui vaut 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels dont I'ensemble des pe riodes est Q). sauf si on suppose I continue (voir l'exercice 15 de la page 351 du chapitre sur la continuite).
Proposition 16 -------..,. Soit T un reel non nul. L'ensemble des fonctions T-periodiques sur X est stable par combinaisons lineaires et par pnxluit. C'est done un sous-espace vectoriel de :F(�, �).
3.5 Fonction reciproque Proposition 17 -------� Si f est une bijection d'une partie X de IR sur une partie Y de IR, alors Ie graphe de f et de I-I sont symetriques I'un de I'autre par rapport a la premiere bissectrice.
Demonstration
del-I).
Nolons
r,
(respeclivement
r - . ) Ie graphe de
,
(X,y) E r, -¢:::::::> x E X et y = f(x) -¢:::::::> y E Y et x = I-1 (y) -¢:::::::> (y,.c) E r,_ . .
f
(respectivemenl
o
FONCTIQNS REELLES
272
Exemples
1. Graphes des fonctions exponentielle et logarithme : Y
= CXP T
y :::: III X
, "
./
" " 2. Si f est bijective et croissante, la fonetion Teciproque de f est une fonetion crois sante. (Rappelon� qu'une fOlletion bijective croissante e;t strictement cmissante.) En effet :
r' (£) ;, r' (y) = x � f (r'(x) ) ;, f (I- I (y)) � Y
et done par contraposition :
x < y = r' (x) < r'(y)
ce qui prouve que 1-1 est strictement croissante.
3. De meme, la nkiproque d'une falletion bijective (strictement) decroissante est
(strictement) decroissante. 4. Si f est une falletion impaire bijective de X dans Y, alors sa reciproque est aussi impaire. En effet, Y est symetrique par rapport a 0 et pour tout eU�ment y E }' , on a :
f(r'H)) � -y � -f(r'(y)) � f (-r' (y)) , etl'injectivite de f permet de conc1ure f- l (_ y) = -f-I (1)) .
3.6 Fonctions lipschitziennes Definition 13
___
__
Une application / definie sur un intervalle I est lipsc/Jitzienllesur I s' il existe un reel k tel que :
\I(x, y) E f' . If(x)
-
f(y)1
"
klx - YI·
On dit alors aussi que / est k-lipschitziell1,e ou lipschitziel1l1e de rapport k .
,
CHAI'. 8 LECORPS DES NOMBRES REELS
273
-
Exemples
Toute fonction affine I(x) = u.r, + b est lipschitzienne de rapport l a l . 2. La fonction racine n'cst pas Iipschitzienne sur R+, puisque pour k E R, on ne peut pas avoir : '.f + " 9)(x) - (>.f + " 9)(y)1 " I>'lif(x) - f(y)1 + 1� l lg(x) - 9(g)1 " (1)'1 k,
+ 1,'1 k,)Ix - YI·
Comme la fonction nulle est lipschitzienne, on en deduit que I'ensemble des fonc tions lipschitziennes sur J cst un sous--espace vectoriel de F(l. R).
4. En revanche, un produit de fonctions lipschitziennes n'cst pas necessairement Iipschitzienne comme Ie prouve l'exemple de la fonction IdR dont Ie carre n'est pas lipschitzien. 5.
Soient I une fonction k. -lipschitzienne sur / et 9 une fonction a valeurs dans / , lipschitzienne de rapport k2 sur un intervalle J. On a, pour (x, y) E J"1 :
If 0 y(x) - f o 9(y)1 " kdY(x) - 9(y)1 " k, k,lx - gl ce qui prouve que Ia fonction 1 0 9 est lipschitzienne de rapport kl kz. 6. Soient /, et trois reels leis que a < b < r et I une fonction definie sur [a, r] 5i I est k-lipschitzienne sur [a. b] et sur [b,c] alors I cst k-lipschitzienne sur [a, e ] . En eHet, montrons pour (x, y) E [a, c] 2 : (1 ,
•
•
.
c
,
If(x) - f(y)1 " k Ix - YI· Si a " J. � y � b ou b � x " y " C, rest vrai par hypothese. 5i 1: : � b " y, aiors : If(x) - f(y)1 " If(x) - f(b)1 If(b) - f(y)1 " k Ib - xl + k Iy - bl puisque (x, b) E [a, b] 2 et (b,Y) E [b,c] 2 . Donc :
+
If(x) - f(y)1 " k (b - x) + k (y - b) � k (y - x) � k lx - vi.
27.
EXERCICES
EXERCICES 1.
Soient a, h, r. et d, quatre reels verifiant :
a2 + b2 + c2 + d2 = ub + />C + I·d + da. Montrer que a = b = c = d. 2.
Parmi les relations suivantes, quelles sont celles qui sont verifiees quels que soient les quatre reels Xl, X2 , YI et yz, verifiant XI � 1/1 et .l:2 � 1/2 ? a)x� � y? b) Xl - X2 :s;;; VI - Y2 c) Xl + X2 ,,;; VI + Y2 d) XIX2 � YI!/2 YI XI e) � , X 112 Meme question, si I'on suppose de plus les quatre reels positifs ?
3.
Resoudre :
4.
Simplifier :
avec
5.
Va + 2../a- bvb + Va - 2Ja - bvb
(a,b) E R� et a � b.
a) V(a.b)
Montrer que :
b)
E (R+)' , Ja + b � J. 8 - lE CORPS DES NOMBRES REELS 9.
275
Soient II d h deux reels strictement positifs, les parties suivantes sont-elles majorees. minorees, si oui, quelles sont leurs bames superieures, inferieures ?
{a+ lm l n E N} {a + (_ I) nb I n E N) {a+ n� I n E N°} {(- I)"a + n!>. l n E N") {a + (- nI}"), I n E NO } --
a et b deux n�els, montrer que : a) a � I) -==> E(a) � E(b) b) E(a) + E(b) ( E(a + b) ( E(a) + E(b) + 1.
10. Soient
1 1 . Soit n
�1
et X I . X2 Montrer que :
• • . . •
Xn,
n reels strictement positifs.
(f>.) (t :) 1= I
1=1
'
;,
,,'
.
1 2. Montrer que l'intersection de deux intervalles est un intervalle (eventuellement vide). Que peut-on dire de I'intersection de deux intervalles ouverts ? De deux
intervalles fennes ?
A
deux partie non vides et barnt�es de F1:.
s -A � {-x l x E A} A + n = {x +y I x E A,y E B} a +A = {n +x l .t E A} AB � {xy I x E A.y E B). a) Montrer qut' sup(-A) = - inf(A). b) Montrer que sup(A + B) sup(A) + sup(B). d Montrer que sup(a + A) = a + sup(A). d) A-t-on sup(An) = sup(A)sup(B) ?
13. Soient
On note :
ct n
=
EXERCICES
276
1 4.
Soient A et B deux parties non vides et bornees de �. Montrer que A U B est non vide et bomee et determiner
!;llp(A u B)
infrA U B).
15.
et
Soient .J; un nombre reel et n un entier naturel non nul, montrer que :
E (E(;:X») � E(x).
16.
Montrer : Vn E I\J· , In+l - jT)
. 8 - LECORI'S DES NOMI3RF..5 REELS
20. Determiner It.."'S applications I : R
2T7
_
R qui verifient
:
�(x,y) E R' . If(x) - f(y)1 � Ix - YI·
21. Soient J une fonction majoree et 9 une fonction bornee definies sur une partie X de R. Montrer que : 5upI + inf 9 � sup{ f + g). x
x
x
22. Montrer que la fOllction I definie sur jn, Ij par :
est bornee. Atteint-elle ses bornes ? 23.
I(x) = (I - x)sin
�x
considere n fonctions numcriques II, h., . . . , In definies sur R. Parmi ces n fonctions, p sont decroissantes ( 0 � p � n) et n - 7) croissantes. La fonction II 0 h. . . . 0 I.. est-elle monotone ? Si oui, quelle est sa monotonie ? On
24. Soient I et 9 deux fonctions numeriques definies sur X qui sont paires ou impaires ? Que peut-on dire du produit I9 ? 25. Soit I definie par : si T E �, I(x) = 1 etsi x E R \ �, I(x) = 0 . Determiner l'ensemble des periodes de I. 26. On definit la fonction I de R dans R, par I(x) = x si E � et I(x) = x + I, si x E R \ � Montrer que I est bijective et donner son application reciproque. :r
27. Montrer que toute fonction lipschitzienne est la difference de deux fonctions lipschitziennes croissantes. 28. Montrer que Ie produit de deux fonctions lipschitziennes bornees est lipschit zienne. En est-il de merne si les deux fonctions ne sont pas bornees ?
Chapitre 9
Su ites rE�elles
1.
Definitions
On appelle
suite a termes reels, Oll suite reelle, une famille de nombres feels in dcxee par l'J , c'est-a-dire une application de N dans IR. TraditionnclIement, si 11 est une suite on utilise plutot Iii notation indicee 11" a la place de u(n) pour designer I'image par u de I'entier n . La suite u est alors notre (Un)"E ' N L'ensemble des suites n�elles est note
IRN .
Par extension, nous appellerons aussi suite n�elJe une famille de feels indexee par
N' voire plus generaiement par un intervalle cotier du type [no, +00[. On ,
peut en ramener I'etude au cas des suites definies sur d'indice p
Definition 1 Une suite •
•
IN
par Ie changement
= n - no_______
tI
est :
cOl/stallte si 'tin E r\J ,
U,,+l
= U,,'
statiollllnire si elle est constante a partir d'un certain nmg, c'eshl-dire si : 3p
E N : 'tin � p ,
U,,+l
= un_
,
DEFINITIONS
280
1.1 Definitions liees it la relation d'ordre Definition 2
_______
Une suite (U,')nEN est : •
•
,
majoree si 3M E R : 'rfn E N , Un � M, minortie 5i 3m E R : 'rfn E IN , Un ) m,
• bonuie si elle est majon�e et minoree c'est-a-dire si : 3M E IR : 'rfn E N , IUnI � M. Definition 3
_______
Une suite (un)nEr. est : • •
,
croissallte si 'rIn E N , U,,+\ ) Un, decroissmlfe 5i 'rIn E IN . Un+ 1 � Un,
• mOl1otolle si elle est CroiS5 £
ce qui est tres lourd et n'est donc, en general, pas utilise.
II est evident d'apres les definitions que si une suite /I converge vers alors la suite -1£ converge vers -e etla suite (117,+ t}nEN converge vers l . Exemple
P,
Donc si la suite 1£ = ( -l)rt) ..E N converge vers l', on doit avoir f = -i, ce qui prouve e = O. Or, comme on a 11£.. 1 = 1, la suite 1£ ne peut pas converger vers O. Elle est par consequent divergente. Nous verrons plus loin une methode beaucoup plus rapide pour prouver celte di vergence.
CHAP. 9 - SUITES REELLES
283
-Proposition 1 ...... Soient 11 une suite reelle et P un reel. S'j) existe une suite v convergeant vers 0 telle que 'rIn E IN , � v" ' alors la suite 11. converge vers
£.
lu" - £1
Demonstration
Puisque la suite
v tend vers 0, on a :
"If; > 0 , 311{)
:
n�%�
Ivnl ::;;; €
et done ' o
Exemp/e Soit
f une fonction majoree definie sur une partie X de
on peut trouver une suite
(Xn)nHI
IR.
Si /It{ = sup f,
n_+oo f(xn) = M .
d'elements de X telle que lim
x
En effel, d'apres la caracterisation de la borne superieure, on peut trouver pour tout n E N, un element Xn E X tel que :
M
Pour tout n E N, on a alors
-
1
2"
::;;; f(x,,) ::;;; M.
If(xn) - M I ::;;; 2-" , ce qui montre "_+00 lim f(x..) = M .
Methode Pour demontrer qu'une suite
u converge vers un reel i, on peut donc
Iu., - il et essayer de Ie ma;orer pour : soit h"Ouver une suite v tendan! vers 0 teUe que lu - il ::;;; v,
commencer par evaluer • •
suit monlrer :
Par exemple, la majoration
Proposition 2 Si une suite vers
Ifi.
I lu.. I - I£11 � lu.. - fl prouve :
� (u")"EN converge vers £, alars la suite lui = (lu"I)"EN converge
� ANention L.., suite
( lunl ) "EN peut converger alors que la suite (U")"EN est
divergente, comme Ie prouve l'exemple de 1a suite
Un = (-I)" .
284
DEFINITIONS
1 .3 Proprieles des suites convergentes Proposition 3
� ""
�Toute suite convergcnte est bornee.
-
)
Demonstration
.. Soil 11 une suite convergeant vers O. En utilisant la derinition avec par exemple € = 1 , on peut (rOLlVer un entier N tel que 'in � N , 1u,.1 � I . En pasanl M = max{ I�I, [uti, . . . , [uN-d. 1 } on a evidemment Vn E I'J , [1/.,,[ � /1'1
,
.. Soil 11 une suite convergeant vers un reel I!. La suite u - f converge vers 0 done est bornee, d'apres ce qui precede, par un certain reel M . L' inegalite lui � Itt - l'1 + lei preuve alors que 11 est bornee par M + IfI · 0 Exemples
1. La suite (n)71EJI n'est pas convergente, car elle n'est pas bornee. 2. La
reciproque de la proposition precooentl:' est fallsse : par exemple la suite
( ( -1 )n) "EN est bornee mais n'est pas convergente.
Proposition 4 --------=
Soit m un recl. Si (U'.) "E N est une suite convergeant vers une limite e > m, alors iI existe un entier no tel que 'Vn ) no , UtI ) m.
Demonstration
entier no tel que Pour 1t �
II suffil d'appliquer la definition de la limite avec c = f. - m el l'on !rouve un 'rfn � 110 ,
no, on a donc
11."
- f.
111." - f.1 � c.
� m - f e! par consequent, 11." � m .
Remarque Dans ceUe situation, on dit que la suite d'lIll certain rang. Corollaire 5
II
o
est minoree par w Ii partir _ ..,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
�
Une suite (U") "EN convergeant vers une limite f > U est minoree par un reel m > 0 a partir d'un certain rang.
Demonstration
II suffi! d'apphquer Ie resulta! precedent avec m = fj2
o
CHAP. 9 - SUITES REELLE"S
CorolJaire 6
285 --..: ,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si (U,,) ..€ N est une suite convergeant vers une limite J =f:. 0, alors minoret:- a partir d'un certain rang par un reel strictement positif. Demonstration
vers Ill > u
lui est
II suffit d'appliquer Ie resultat precedent a la suite lu.I qUI converge
0
1 ,4 Suites tendant vers I'infini Definition 6
_______
On dit que la suite (Un)n€N
• lend vers +00 si : lend vers
•
VA E IR, 3 � E IN
-
00 si :
VA E IR. 3 nn E
N
,
Vn E IN . n ;;;;: no ::::::} Un ;;;;: A . Vn E IN , n ;;;;: no ::::::} Un � A.
Exemples
Un = n tend vers +00 (prendre no = E(A) + 1). 2. Si a > 1, la suite 1L,. = an tend vers +00. En effet la proprietc d'Archi 1. La suite
mede multiplicative permet de dire que pour A fixe, il existe un entier que (t'' O. Comme lilll u =
IU",(,,) - el '" t:.
e, on peut trower no lei que : '1n � no , Iun - t'l "' t:.
Comme '1n � no. �(n) � n � no,onen dectuit : '1n �
no ,
IU",(n) - t'j '" t:.
o
Methode On utilise surtout Ie n�sultat precedent pour demontrer qU'une suite n'est pas convergente en exhibant deux sous-suites convergeant vers des !imites differentes. Exemples
(_I)n est divergente, car la sous-suite (U2n) nEN converge vers 1 et la sous-suite (U2n+l)nEN converge vers -1. La suite u = (cos(.7r/4)) diverge puisque U4n = (_I)n en est une sous-suite
1. La suite tin
2.
=
divergente.
Proposition 9 -------... Si u est une suite telle que les deux sous-suites (U2n) nEN et (u2n+dnEN convergent vers une meme limite e, alors la suite u converge vers e .
Demonstration Soil e > 0, on peut Irouver n l el 712 leis que :
IU2" - el '" e et '1n ;:: n2 , IU2n+1 - tl '" e. Si ron pose no = max {2nJ . 2n2 + I} . on a ev;demment : '1n � no , IUn - l'1 '" e ce qui prouve la convergence de u vers l' '1n ;:: nJ ,
2.
o
Operations sur les limites
Cette section regroupe les resultats, que I'on appelle tluforemes general/X, qui per mettent de determiner la limite d'une suite qui est somme, produit et quotient de suites possedant des !imites.
OPERAT10N55UR LES UMITES
268 2.1
Ensemble des suites bornees
Proposition 10
-------".,
L'ensemble B(lR) des suites bornees est stable par combinaison lineaire et par produit. Demonstration
suites ), u + /t V el 2.2
lt
Si tI et v sont bornees, respectivement par MI el Af"2 ' alers les o v sontbornees respectivement par IAI M1 + II-LI 1H"2 et M1 M"2 .
Operations sur les suites tendant vers 0
Proposition 11 -----_ 1. La somme de deux suites tendant vers 0 est une suite tendant vers O . 2.
Le produit d'une suite bomee par une suite tendant vers 0 est une suite tendant vers O .
Demonstration 1.
Etant donnees deux suites dire :
1t
et 11 tendanl vers n prouvons que 1l + 11 lend vers (). e'eS1-tl-
'rI£ > 0 , 3no : \In � no , lun+ v,,1 � £.
Soit £ > 0 Comme u el 1.' tendent vers 0, on peul lrouver n1 et nz leIs que :
e
I:fn � Tt1 , Iunl � "2
En choisissant no
2.
=
et
max{ TI J 112 } on a . •
,
I:fn � 11{) , IUn + v,,1 � lu,,1 + Iv,,1 � £.
Elant donnees une suite u bornee et une suite v tendanlvers 0, prouvons que u t· tendvers O. c'est-a-dire : \1£ > 0 , 3no : ' O. La suite v est bornee, done on peut trouver un reel
/1.-1 > 0 tel que :
' 0 et nl E N leis que Vn � 1/.1 , Vn � m. La suite u tendant vers +00, on peut trower n2 E N tet que 'rIn � n2 , Un � Aim Pour n � max{ nl, n2}, on a alOfS .
et done Un Vn � A.
v.. � m � O
et o
Remarque Comme dans la demonstration precedente, lorsque I'on veut montrer une proposition du type : VA E R .
· · · ===? · · ·
�A
,
on peut se limiter au cas au A � 0, car si la propriete est vraie pour un certain A, elle est vraie pour taus ceux qui sont inferieurs. Proposition 14 -------�
Soient u et v deux suites n�elles admettant des limites p\ et £2 dans 1R . • Si la forme £1 + P2 n'est pas indeterminee, on a lim(u + v) = PI + £2 ,
• Si la forme £1 P2 n'est pas indeterminee, on a lim(uv) = £] £2'
291
CHAP. 9 - SUtTES REELLES
Demonstration (Voir page 260 I'extension des operations a Si PI el t2 sonl reels. Ie resultal a €lIe deja vu.
�
IR
)
Pour la somme : • si £1 = + 00 et £2 -=F - (X), alors soil tJ est convergenle done bornee, soil elle tend VefS +0(.1 el alors elle esl minoree (cr. exemple 3. de la page 285). Dans les deux cas on a la sornrne d'une suile tendant vers +00 el d'une suite minoree, somme qui tend done vers +0(",. • Le cas £1 = -00 et £2 -=F +00 s'en deduit aJors en considerant les suites -u et -v. Pour Ie produil . • si £1 = +00 alors pour £ 2 E R� , la suite v est minoree a partir d'un certain rang par un reel slnclement posilil (d'apres Ie corollaire 5 de la page 284) el pour £2 = +00 la definition nous dit que 11 est minoree a partir d'un certain rang par I (par exemple). Dans les deuxcas onen deduil lim(uv) = +00 • Les autres cas s'en deduisent en considerant les suites -u au -v o
On ne peut rien dire : de Ia somme de deux suites qui tendent respectivement vers +00 et -00, du produit d'une suite qui tend vers l'infini et d'une suite convergeant vers O.
... Attention • •
... ( - *) (�) tend veTS -00 puisque : (�n) (I - .!.n ) 1 > 0 et est un reel strictement superieur a I, une suite verifiant : .. = + b est soit constante, soit divergente vers au veTS -00. En dfet, en notant I! on a : I'unique reel tel que £ + .. - £ = £)
Exemples
1. La suite u =
III
1
lim III "'-+00
=
lim "-+00
2. Si a
-
= 00
.
u
';In E f>J,
U +I
a u"
+00
h=
fI
';In E tJ , u
n avec n_+"" Jim a = +00.
3.
P,
an (u.o -
Les resultats de la proposition 14 de la page ci-contre ne permettent pas de prouver directement la convergence de la suite u definie 2 par u,., = rl + _ n2•
( �)
En revanche, Ie calcul : 1 1 Un = n2 + 2 + _ _ n2 = 2 + -
permet de dire "_+00 lim u" = 2.
n2
n2
292 2.5
OPERATIONS SUR LES LIMITES
---------------------
Inverse et quotient
.....
Proposition 15 -
Si u est une suite convergeant vers une limite f I- O. Alors a partir d'un certain rang no tOllS les 14, sont non nuls, et la suite (I/un)n; O.
O'ou la divergence de
011
a alars, pour '/I � nl ,
II/unl � A, c'est-a-dire 1/11n � A
(l/un),,�no vers +0(,.
0
.. Attention
L'inverse d'une suite a termes non nuls convergeant vers 0 peut tres bien ne tendre ni vers +00 ni vers - 00 comme Ie prouve l'exemple de la suite
•
u" � (-i)"ln .
En revanche, si lim u = U et si 'tin E IN , U" i= U, alors lui est une suite a termes strictement positifs convergeant vers 0, et donc lim I fl ul = +00.
•
Remarques
• Si I'on ecrit lim"U = 0+ (respeciivement lirnu = 0- ) pour signifier que la suite u tend vers 0 et a tous ses termes strictement positifs (respec tivement strictement negatifs) a partir d'un certain rang, alors les resul tats des trois propositions precroentes peuvent se resumer en disant que si lim 11 = f E R* U {-oo, +oc, O+,O-}, alors on a lim{l/u) = 1/1 en posant : j
0+ •
= 00 + ,
1 = 0- -00
el
1 � O. ±oo
En utilisant les resultats sur I'inverse et Ie produit, on peut donner les resul tats sur Ie quotient de deux suites : si u et v sont des suites admettant respec tivement £1 E R et £2 E R' U {-oo, +00. O+. O- } pour limites, alors u/v ad met £\/l1 pour limite s'il n'y a pas unedes fonnes indeterminees suivantes &
au ±oo. ±�
3.
Limites et relation d'ordre
3.1 Passage a la limite dans les inegalites
Proposition 18 -------� Soient 11 et 11 deux suites convergentes.
S'il existe un entier nu tel que 'r:In � no , u" � 0, alors lim u � O . 2. S'il existe un entier 110 tel que 'r:In � Ito , u" � alors liIII � lim v .
1.
/l",
Demonstration 1 . A partir d'un certain rang, la suite converge vers £, 011 a done :
U
u elant positive elle est egale a sa valeur absolue. Si elle
e = limu = lim lui = It I � o.
294
2.
L1MITES ET RELATION D'ORDRE
On applique Ie resullal precedent a la suite u - 11
o
On ne peut pas affiner Ie resultat precedent en utilisant une inega lite stricte comme Ie prouve l'exemple de la suite strictement positive Un = lin dont la limite est nulle. ... Attention
3.2 Existence de limite par encadrement Proposition 19 -------""
Soient u et w deux suites convergeant vers la meme limite. Si l' est une suite verifiant : alors la suite v converge et lim u = lim v = lim w.
Demonstration O'apres les hypotheses on peut ecrire :
37l() : Vn � no , O ::;;; v..
-u ..
� wn - un.
Puisque Iim(w - u) = 0, la proposition 1 de la page 283 permet de cooclure que la suite converge vers O. Comme = u + (v - u) , on a lim v = lim u d'apres les lheoremes gEmeraux.
v
v
-
u
o
Si I'on ornet I'hypothese Jimu = lim w, on ne peut absolument rien conclure comme Ie prouve I'exemple des suites u" = - 1 , v" = (-1)" et w" = 1 . ... Attention
Remarque Bien remarquer la difference entre les hypotheses des deux demieres propositions : • on suppose la convergence de toutes les suites intervenant dans la proposi tion 18, • dans la proposition 19, la convergence de fait partie de la conclusion. l'
Proposition 20 -------'"
Soient U et v deux suites verifiant 3no 1. Si lim u = +00, alors lim v = +00. 2. Si lim v = -00, alors lim u = -00.
'rIn ;;?; nll ' Un � v., .
Demonstration Evident en revenant a la definition
o
CHAP. 9 -SUITES REELLES
4.
295
Consequences de la propriele de la borne superieure
4.1 Suites monotones Theoreme 21 Soit
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
u une suite croissante.
1. Si elle est majoree, elle converge vers f. = sup
{un I
n
E N} .
2. Si elle n'est pas majoree, elle tend veTS +00.
Demonstration 1 . Si ron suppose la suite 11 rnajoree, I'ensemble {un I n E N } est non vide et majore ; il possed€! done une borne superieure t. Montrons que U converge vers f en elablissant :
\Ie > 0 , 3no : \In � 1/.0 . e e < Un � £. Solt e > 0 D'apres la caractensaliOn de la borne sup€neure, on peut trouver no lei que £ e < U"o � £ . Comme 11 est eroissante, on a . -
-
\In � no , £ - e < Uno � Un � £ ce qui termine la defl1Of1stration. 2. Supposons 1t non rnajoree el montrons qu'elle tend vers Soit M un reel quelconque II ne majore pas la suile, done on peultrouver un entier no tel que /1,,1 < 11,, . Comme la suite 11 est croissante, on a
+00.
\In � no , !\1 < u"" ce
�
11",
qui proLNe que lim 11 = +ClL.
o
Remarques •
•
Toute suite eroissante admet done une limite dans it
Lorsque I'on a majore une suite croissante, on a non seulemen t montre sa convergence, mais aussi trouve un majorant de sa limite, puisque eelle-d est Ie plus petit des majorants.
ExempJe La suite
,=
1l..
E � est evidemment eroissante
p=o V·
.
.
I I On peut verifier par recurrence \In � 1 . - .; 2"- , ce qUi donne : ' nl " I I \In � I , Un � 1 + 2k- 1 = 3 - 2,,-1 � 3. ---
L
k=1
a 3.
La suite u est eroissante et majoree par rieure au egale
3, don
e
elle converge et sa limite est infe
CONSEQUENCES DE LA PROPRIETE DE LA BORNE 5UPERIEURE
296
______________________��
Corollaire 22 _ Soit
1.
n
une suite decroissante.
Si elle est minoree, elle converge veTS
e = inf { Un I n E IN} .
2. Si elle n'est pas minoree, elle tend veTS -00.
o
Demonstration Appliquer Ie Iheoreme precedent a -u.
4.2 Suites adjacentes, segments emboites Definition 8 Scient
__ ___
u et v deux suites n�elles. On dit que u et
•
'rin E N , Un :::;;' Vn,
•
II. est croissante el v est decroissante,
•
(vn - un)nEI"l
tend veTS
/1
sont adjncenfes si :
,
O.
Proposition 23 -------""
u et v Un � e :
CHAP. 9 - SUITES REELLF.5
299
On pose 0 , [ a � £, a + d n D1 "F 0, definition qui serait suffisante pour demontrer J'unicite de la limite (voir page 310). Cependant, pour les fonctions d'une variable. 1a definition 1 de la page prece dente est suffis.'nte puisque dans la pratique les fonctions semnt definies sur un intervalle, eventuellement prive d'un nombre fini de points.
Definition 2
_______
Une fonction f est : •
•
difitlie all voisillage de +00, s'U existe un reel A tel que [A, +00 (
difinie all voisillage de -00 s'U existe un reel A tel que ] -00, A J ,
c
c
,
Df, Df.
Exemples
R est definie au voisinage de +00. ,jX 2. En designant par D ie compiementaire de i'ensemble (finO des racines de x3 - x - I, la fonction :
1.
R+
_
D
�
x _ est definie au voisinage de
R
x:1
+00 et de -00.
1 x
CHAP. 10 - UMITES - CONTINUITE PONCfUELLE 0
1 .2 Fonctions tendant vers Definition 3
309
___ __
Une fonetion J felld vers 0 en a E IR si elle est definie au voisinage de a et si l'on a :
,
£xempfes 1. La fonetion f diifinie sur R par f(x) = x - a tend vers 0 en a . 2. La fonetion racine earn?e tend vers 0 en 0 : elle est bien definie au voisinage de 0, et pour E: > 0 il suffit de prendre 11 = E:2 pour avair : \Ix � 0 , Ix l � 11 =} 1v'X1 � E:. Definition 4 • Vne fonetion J teud vers etsi l'on a :
_______
0
\If > 0 , 3A E " •
en +00 si elle est definie au voisinage de +00, ,
\Ix E DJ . x � A - lflx)l "
f.
Vne fonetion f telld vers 0 en -00 si elle est definie au vOisinage de etsi l'on a : \If > 0 , 3A E "
,
,
-00,
\Ix E DJ , x " A - lflx)l " f.
Exempfes 1. La fonetion x ...... l/x tend vers 0 en +oc et en -00. 2. La fonetion exponentielle tend vers II en - 00 (prendre A = Ind.
1 .3 Limites finies Definition 5
_______
Vne {onetion f admet Ie reel t pour limite en a E � si la fonetion vers 0 en (J .
J - i tend
Ce reel ( est alors unique ; on I'appelle limite de la {onetion J en a et on Ie note : I! = lim f ou i = lim f(x). a :I:_a
,
DEFINITIONS, PROPRIETFs
31.
Remarques •
• •
•
Dans ce cas, on dit aussi que f tend au converge vers e en a, Oll que f(x) tend au converge vers £ quand x tend vers a. Par definition, une telle fanction est definie au vOisinage de a. S'iJ existe un reel e tel que f converge vers e en a, on dit que J admet une limite finie en a. La convergence de f vers £ en a s'ecrit - dans Ie cas Oll a E R : 'V£ > O , 31] > 0
- dans Ie cas Oll u = +00 :
';;/x E D/ , Ix - al � TJ ===} lf(x) - £ I ::;;; e,
'ric > U , 3A E R
'v'x E Df , X � A ==> !J(x) - £1 � £,
- dans Ie cas oll a = -00 :
" 0 , 3A E R : 'r/x E D" x ::;;; A => lf(x) - el � £.
•
Oans toute 1a suite, les resultats sur les limites se traduiront done mathema tiquement par trois enonces suivant qu'il s'agit d'une limite en une valeur n�elle, en +00 all en -00. Les demonstrations correspondantes etant tres si milaires, nOllS n'en ferons qu'une, laissant au lecteur Ie soin de l'adapter aux autres cas.
Demonstration de I'unicite de la limite par exemple dans Ie cas ou a E
IR .
Supposons que f lende vers deux reels i, el £2. el monlrons i, = £2. Pour loul £ > 0 on peul lrouver deux reels '7, e! Tf2 striclement positifs leis que pour tout x E DJ . on ait : e' I x - a l .; '" = Iflx) - f,l .; £.
Prenons '7 = min(1JI,1]2) Comme f esl definie au voisinage de (t. on peut trouver un ele ment x E DJ lei que Ix - al � '7 Pour un lei x on a alors
If, - f,l .; If, - f(x)1 + If(x) - f,l
.; 2£.
Ona ainsi : ce qui prouve i,
= (2 .
o
Proposition 1 -------....,
Si une fonction f, definie en a, admet une limite finie en a, celle-ci est egaJe a f(a). On dit aJors que f est cOl/til/lie en u.
CHAP. 10 - LlMITES - CONTINUITE PONCTUELLE
Demonstration
P
En eifel. soit
que .
311
= lim J Pour tout reel e > 0, on peu! trouver 'I} > 0 tel _
"
Vx E Df ' Ix - al f(x) � 0 (*) la propriete ( *) etant d'ailleurs equivalente a : 3A E R , Vx ;' A . f(x) ;' O f lorsque est definie au voisinage de +00. 3. La fonction definie sur R par f(x) = x2 (1 - x2) est positive au voisinage de 0 et negative au voisinage de +00 ou de -00. 31/ > U ,
Proposition 5 --------,�
Une application qui admet une limite finie en a E IR est bornee au voisinage de a .
E R. Posons e = lim f. Pour € = 1 . on peut Irouver un reel
Demonstration par exemple pour a o
'I}
strictement positif tel que :
314
DEANITIONS, PROPRIETFs
On a alors, avec M = I fI + 1 : 'Ix E
D"
Ix - a l " " ==> I f (x) 1 " III + If(x) - II " M.
o
Proposition 6 ------,., Soit m un reel. Une application qui admet une limite t > m en a E R est minoree par m au vOisinage de a.
Pour c = £ - m > O . on peut Irouver un reel A lei que :
Demonstration par exemple pour a = � oo .
A1ors, pour lout x
Vx E D" X " A ==> If(x) - I I " ,.
E Df on a :
x � A => m - € � f(:r) - e � e - m
ce qui donne x " Corollaire 7
A => f(x) � m.
o __
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Une application admettant une limite e > 0 en a E R est minoree au voisi nage de a par un reel strictement positif. Demonstration
Corollaire 8
Appliquer Ie resultat precedent avec
171 = £/2
o ",
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si f admet une limite R. non nulle en a E R, alors I f I est minoree au voisi nage de a par un reel strictement positif.
Demonstration Si la fonction f tend vers e oF 0, alors la fonction I f I tend vers ItI > 0 et Ie corollaire 7 permet de conclure. 0
Remarques •
•
On en ded.uit que si f admet une limite f non nulle en a, alors au voisinage de It, Ia fonction f ne s'annule pas.
En particulier, si f est une fonction continue en a E � et si f{a} -::f:. 0, alors f ne s'annule pas au voisinage de a. Plus pnkisemen t, Ie corollaire 7 montre que si f est continue en a et si f(a) > 0, alors f reste strictement positive au voisinage de (1 .
315
CHAP. 10- UMITES - CONTINUITE PONCTUELLE
•
Le t ecteur notera que dans Ie cadre des fonctions, I'expression au voisinage de» remplace dans tes proprietes correspondantes, I'expression « partird'un certain rang utilisee pour les suites. «
»
1.5
a
Prolongement par continuite
Definition 7
_______
Si f est une application non definie en a E � qui admet une limite finie e en a, alors la fonction g definie sur Df U {a} par :
g(x) =
e(X)
,
si x = a sinon
est continue en a.
Cette fonction g est appelee prolongemellf par cOllfilluiteen a de la fonction f. Remarque On dit souvent : « prolongeons f par continuite en posant I(a) = f » et I'on note de la meme fa O , Vx E D! , I x - ah ry = f(x) � A, pour a = +oo : V'A E IR , 3B E � V'x E Df , x � B ==? f(x) � A, pour n. = -oo : V'A E � , 3B E � V'x E Df , x � B ==? f(x) � A.
On dit aussi que ! admet +00 pour limite en a et on ecrit : lim ! = "
+00
Oll
lim f(x)
>-0
=
+00.
,
316
DEFINITIONS, PROPRIETEs
Remarques •
a E �, les assertions :
Dans Ie cas
VA et :
E
VA E
31] > 0
R.
'ria; E DJ . Ix - al � 7] � /(x) � A
311 > U : Vx E D" Ix - al � 7] =* fi x) ;;:: A
R+ ,
etant equivalentes, it arrive parfois, dans 1a caracterisation precroente, que
VA E
I'on remplace
R par
VA E
R+, voire par
VA > 0,
pour eviter des
problemes de signes (cf. par exemple les demonstrations des propositions de la page 321 au 18 de la page 324). De meme 5i •
a = +00
au
a = -00.
Une fonction qui tend vers
+00 en a
puisque sinon on aurai! :
VA E ce qui est impossible.
Definition 9
Il,
E R ne peut pas etre definie en
a,
flap A
_______
J tend vers -00 en a E IR 51 - f tend vers +00 en a. On dit f admet -ex: pour limite en a et on eerit :
Une fonction aussi que
14
lim / o
=
-cx.'
ou
Jim
X_"
,
Ilx) = - f(x) � A. _
lorsque
a = -00 :
\fA E •
R,
38 E R : \fx E DI '
.t
� B ==> J(x) � A.
De meme que precedemment, il arrive dans ces caracterisations que l'on rem E R par \fA E R_ .
place \fA
CHAP. 10- L1M1TES - CONTINUITE PONCTUELLE
317
1 .7 Caractere local de 10 notion de limite
Definition 10
_______
La fonetion f coi"ncide avee la fonetion 9 au voisinage de a E IR si f et 9 sont definies au voisillage de a, et que : •
•
lorsque a E � , il existe un reel h > 0 tel que I'on ait, pour tout reel x (x E D, et Ix - al " h) = (x E D, et [(x) � 9(X)),
:
lorsque a = +00, il existe un reel A tel que I'on ait, pour tout reel x : (x E D,
•
,
et x � A) = (x E D, et f(x) � 9(X)),
lorsque a = -00, it existe un reel A tel que I'on ail, pour tout reel x : (x E D, et X " A) = (x E D,
et f(x) = 9(x) ) .
Exemples 1. Soient f et 9 les fonctions definies sur R par : /(x) = lx - 11 et g(x) = x - 1. • Au voisinage de tout point de ] 1, +00 [ , la fonction f cOIncide avec la fOllction g. • Au voisinage de tout point de ] -00, 1 [ , la fonctiOll f COIncide avec la fOllction -g. • Mais au vOisinage de 1 , la fonctiOll f ne cOIncide ni avec 9, ni avec -9. 2. La fonction x _
x, - a,
x-a la fOllclion T _ j2 +
definie sur R \ {a} coincide au voisinage de a avec
U.1: +
n"l
definie sur R.
Proposition 9 -------�"
Si f coIncide avec 9 au voisinage de a E IR et si 9 admet e E IR pour limite en fl, alors f admet aussi f pour limite en u .
Demonstration par exemple pour a E
R
et l
= + 00 .
Puisque f coincide avec 9 au voisinage de a, on peut Irower u n reel h >
0 lei que ron ail :
VX E D! , Ix - al ( h ::::::;.. (x E Dg et f(x) = g(x) ) .
Soil A E R quelconque. Puisque lim 9 = +00. on peut Irower T} > 0 tel que : o
"Ix E Dg, Ix - al
::;;;
T} ::::::;"
g(x)
� A.
DEANITIONS. PROPRIETEs
318
x E Df Ix-al (aalors ona xE Dg /(x) g(x) .Donc. 'r/xE Ix -al 1(x) l n +00 a el
et
Prenons a = min(1],h) . Si
( a =>
D/ .
On n
a al si prOtNe que f e dal! vers
=
� A.
en
o
Exemples 1. Soit f la function definie sur � par :
"Ix /(x) =x2 +x+ 1- lx2 -11. 1x9(x) -9(2)12 = Ix -21. E R,
Pour montrer que f est continue en 2, iI suffit de remarquer qu'elle coincide I---< X + et que cette function est au voisinage de 2 avec la fanction .Q continue en 2 camme Ie prouve l'egalite
ax3 a3 x xa g(a) a2. - (I
2. Dans l'exempJe 3 de 1a page 311, on a demontre en fait 1a continuite en function 9 :
x.-. x2+ax+x2, a
possede une limite en
cequi nous permet de prouver que
et que ceUe limite vaut
de la _
>--->
=3
-:: ,,
Methode La proposition 2 de la page 312 nous donne un methode pour de montTer qu'une fonction admet une limite f : iI suffit de majorer If par une fonction qui lend vers O. Le caraetere local de la notion de limite permet de ne faire eette majoration qu'au voisinage de
a:
Definition 11
_______
La fonction J est majoree par la fonetion 9 au voisil1age de a sont definies au voisinage de a, et que : •
lorsque a E � , il existe un reel
(x E Df •
et
E IR si J et 9
h > U lei que I'on ait, pour tout reel x
Ix - al .:; h) = (x E D, et J(x) ,:; g(x) ,
lorsque a = +00, il existe un reel
A tel que I'on ail, pour tout reel
(x E Df et x " A) = (x E D, et J(x) .:; g (x) ,
•
lorsque a = -00, il existe un reel A tel que I'on ail, pour tout reel
(x E Df et
x ':; A) (x E D, =
et
x
J( ) .:; g(xl).
On definit de meme la notion de mil10rati0l1 au voisil1age de
u.
x: x:
:
,
319
CHAP. 1 0 - I ..IMITES- CONTINUITE PONCTUELLE
Proposition 10 -------., Soient ! et 9 deux applications dtHinies au voisinage de a E IR,
• Si lim 9 = 0 et si I ! - £1 est majoree par 9 au voisinage de "
lim! � P. "
+00 +00.
• Si lim 9 = •
lim !
•
•
=
a, alors
et si ! est minoree par 9 au voisinage de a, alors
Si lim 9 = -00 et si f est majoree par 9 au voisinage de a, alors "
lim ! = -00,
•
= +00. L'hypothese de majoration au voisinage de a nous permet de trouver un reel
Demonstration par exemple pour a �
A 1 tel que : Vx x � A, = (x el If(x) - £1 .; g(x)). Soit € > U quelconque. Comme lim g = U, on peut trower un reel A 2 tel que : 'r:/x X � A2 ==* Ig (x) 1 � €. II suffit de prendre A = max(A\ , A 2 ) pour avoir ' Vx Df' x � A = If(x) - £1 .;
E Df,
E D,
•
E D9,
_
E
o.
Les deux autres points se demontrent de fa. et 11, deux reels. Si lim f = R et lim.'J = m, alors :
9
,
,
lim(>. f + fly)
,
= >' P + fL1H
lim(f x
e1
,
g) = 1m.
Demonstration �
Pour tout L E V , I'inegalite triangulaire perme\ d'ecrire :
I ( A f(") + g(x)) - (AI + m)1 ,,; IAl lf(x) - 'I 1 l lg x) i Ig - + IJ.1It)J 0 +1 1 9 J(>. + Itg) + lt9) = V, If(")9(x) - I l � If(xl(g(x) - + m(l(x) - 1) 1 ,,; If(x)1 19(x) l I l l f x) -II · 91 19 l 0 1(f - 1 x g) = I. x I'
I'
Les fonclions
Par suite,
11 1
-m ·
ml lendenl vers en a , done 1).1 11 - il /1 1 - ml aussi. est majoree par une fonction qui tend vers 0 et done : - (>. e
, on peut ecrire :
Pour tout :r E
(
il et
lim().1
_
+ �
>'f + wm.
)
m
m
-m + m
(
la fonetion 1 est bomee au voisinage de a , puisqu'elle admet une limite en a et la fonc tion 111 tend vers 0 en a . Donc la fonction 1 1 - m tend vers 0 en a De meme, la fonction Iml ll - il tend vers en u . la fonetion x g) (f 1ft) est alors majoree par une fonction qui tend vers 0 et done lim(J m.
,
0
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ � ' " Corollaire 13 _
Les combinaisons lineaires et produits de fonctions continues en fonctions continues en a .
Exemple
a
sont des
Les fonctions poiynomiaies sont continues en tout point de �, puisque ce
sont des combinaisons lineaires de puissances de l'identite.
Proposition 14 -------'"
+00. 9
Soient a E R ainsi que f et de JR avec lim f
1. Si
9 g9
,
=
deux applications definies sur une partie V
est minoree au voisinage de
a, alors
f
+9
tend vers
+00
en
a.
2. Si est minoree au voisinage de a par un reel strictement positif, aJors f x tend vers en a .
+00
322
OPERATIONS SUR LES UMITES
Demonstration par exemple pour a E �.
1 . Soil
A E R, Cemme 9 est minoree au vOisinage de a, on peuf trouver 1/1 telsque : I:Ix E V , Ix - al � '11 ==> 9(X) � m.
La fonction f tendant vers +00 en a, on peut Irower rn
> 0 et Tn E
R
> 0 tel que ' Vx E V , Ix - al � '12 ==> /(x) ;=: A - 111..
On en deduit ;
"Ix E V , Ix - al � min(1}\, 112) ==> f(x) + 9(X) � A. 2. Soil A E R+ . Gomme .Q est minoree au voisinage de a par un reel m > 0, on peut !rower 1/1 > 0 lei que : 'r/x E D , Ix - al � 711 ==> g(x) � m > O. La !anchon f tendant vers +00 en a. on peut Irouver 11z > 0 tel que : A 'r:/x E V , Ix - al :0;;;; '12 ==> /(x) ;=: � O. -
m
On en deduit
Vx E V , Ix - al
� min(1/h ,t.!) ==> I(x) g(x) � A.
o
.... Attention Dans la deuxieme partie de la proposition precedente, l'hypothese strictement positive au vOisinage de a » ne suffit pas pour avoir Ie n$ultat, comme Ie prouve I'exemple des functions definies au voisinage de +00 : « y
f : x ....... x
et
g'
X 1--+
1
_.
X
Proposition 15 --------_.., Soient f et 9 deux applications definies sur une partie D de R et admettant, en a E If( respectivement pour limites f et Tn elements de IR. •
•
Si f + Si
m n'est pas une forme indeterminee, alors lim(f + 9) = f. + m. o
fm n'est pas une forme indeterminee, alors lim(f 9) = 1m. o
Demonstration � �
�
Le resultal esl deja connu si f el Tn sonl reels. Pour la somme, si e :;o; +00, on a Tn oft - 00 el done la fonclion 9 est minoree au voisinage de a, ce qui permel d'appliquer Ie resultat de la prOjXlsition precedente. Le cas f = - 00 s'en deduit en considerant -f et -g . Pour Ie produit, on se ramene de meme au cas au rune des fonctions tend vers +00, I'autre avant une limite slriclemenl posilive el done etan! minoree au voisinage de a par un reel stric· lemen! posilif. 0
323
CHAP. 10 - UMITES -CONTINUITE PONCTUELLE
Exempfes 1. On prouve lim x" Z_TO 0 lei que I'on all I f(x) \ � Q au vois.nage de a, ce qui prouve que J ne s'annule pas au voisinage de (t . Alors au voisinage de a. on a .
I I:x) - � I I Ij�1�)1 1 IJ(x) - tl �
Comme
I ��� ItI Q
Corollaire 17 • 5i f et 9
=
� \/(x) - 1\
I(x) > 0. VI n [a - h, a + h ] \ {a}, la fonction 1/ f est definie et strictement
Si I'on pose V = positive sur V . Supposons lim 1 = 0 et etablissons lim 1/1 = +00 , c·est-i'l-dire : o
0
' O , 3?} > O ; \lX E V , Ix - al � 1I ==>
1 I(x} � A.
CHAP. 10 - UMITES- CONTINUITE PONCTUELLE
325
Soil A E R·.. Le reel IIA esl un nombre slriclemenl posilir, donc I'hypolhese Iim l o pennel de Irower un reel 7] > 0 lei que : 1 Vx E V , Ix al '" 'I = I/(x) 1 '" ;r .
=
0
-
Pour :r E D, on a alors
Ix al ::;;; 1} ===} -
I I ;;?: A l ( f x)
ce qui donne Ie resultat puisque 1II est positive sur V .
o
Remarques •
Si 1a restriction de I si f tend vers U en notation lim f = 0-.
a Df \ {a} est strictement positive au voisinage de a et a, on ecrit alOl'S lim f = 0+ . On introduit de meme la "
"
•
3,
De meme que pour les suites, en combinant ces resultats sur les inverses avec c�ux relatifs aux produits, on obtient que si deux fonctions admettent des li mites f et m , alors leur quotient admet pour limite Rim s'il n'y a pas de forme indetenninee du type 0, mais lim e'l: = O. "'.....-00
3.2 Existence de limite par encadrement Proposition 21 --------_. Soient f, 9 et h trois applications definies sur une partie D de R teUes que lim / = lim h = e E R . "
"
Si f � 9 � h au voisinage de a, alors lim 9 = e. o
Demonstration Au voisinage de a, on a Ig(x) - f(x)1 � Ih(x) -f(x)l . La proposition 10 de la page 319 permet done de cooclure que 9 - f tend vers 0 Comme 9 = (9 - f) + f, la fonction 9 a une limite et on a . limg = lim(g - f) + lim ! = 0 + 1,' = e. o 0
"
•
Remarque Ce resultat pennet de montrer I'existence d'une limite, contrairement au corolla ire 20 de la page precedente qui nous donne des relations sur les limites une fois que I'on a montre leur existence.
Exemple L'encadrement :
x-I
-x+2
x+I � x x+ +cQSx � -2 x+2
. valable pour x > -2, prouveque hm +
0:_ 00
4.
x + 0 quelconque ; on peul lrouver A E R lel Que : Vx E Df .
X " A = If(x) - £1 " ,.
PuisQue lim u = +00, on peul lrouver un enlier no lei Que ' 'in ;:: no,
On en deduil alors :
'in �
110 ,
u,.,
I/(un)
;::
-
A.
£1
� c.
Done (j(u.,)) .. El'Ij converge vers £.
ExempJe
sinx Saehant que lim -.,_0 x
puisque :
0
=
(.!.) �
1, on en deduit que n lim n sin _+oo n
e.
n
1 lim - = 0. .._+00 71
Methode Ce resultat est souvent utilise pour montrer qU'une fonction I n'ad met pas de limite en (} : il suffit d'exhiber une suite eonvergeant vers a dont !'image ne converge pas, au deux suites canvergeant veTS dant les images par I ant des limites differentes.
0
De meme, pour montrer la diseontinuited'une fanetion I en ft, il suffit de trouver une suite eonvergeant veTS 0 et dont !'image par I ne converge pas veTS 1(0). ExempJe La fonetion f definie sur R* par I(x)
cos(ljx) ne peut pas etre pro1 lungee par eontinuite en 0, puisque la suite definie par .en = - tend vers 0 alors nrr que f(x,,) = (_1)n ne converge pas. PCSI
=
Proposition 23 -----"" Une fonction f definie au vOisinage de a admet une limite f. E IR en a si, et seulement si, I'image par f de toute suite de Df convergeant vers a est une suite convergeant vers e.
Demonstration _
On sait deja d'apres Ie theoreme precedent que si f admet £ pour limite en a, alors I'image par I de loute suite de D! convergeant vers a est une suite convergeant vers £.
32.
�
THEOREMES DE COMPOSITION DES UMITES
Demonlrons la reciproque par contraposition : supposons que c'est-a-dire : Ole > 0 , Y" > 0 , 3x E DI ' Ix - al � " el
f ne lende pas vers f en
If(x) el > O. Pour tout entier n, on peul done Irauver un element Xn de Df que IXn - al :%: 2-» el If(xn) - el > E. La suite (Xn) "elll ainsi conslruite tend vers a , et la relation . Yn E 1'1 , If(x.) - el > < > 0 prouve que (J(Xn)) EN ne peut pas converger vers e. n
u.
-
tel
o
4.2 Composition des limites Theoreme 24
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Soit 9 une application admettant une limite e E
R en n E
R.
Si f est une
fonction a valeurs dans Dg admettant a pour limite en to E R, alors la fonction g o f admet e pour limite en tn .
Demonstration par exemple pour to E R, a E R et t = -00. Soil A E R quelconque, On peut lrouver un feel E > 0 tel que :
"Ix E D9 , Ix - al � E => g(x) � A.
Comme on a lim f = a, on peut trouver un reel 1] > 0 lei que : '0
On a alors : puisque 't:It E Df '
Yt E DI, It - 101 � 'I = g (J(t)) � A f(t) E Dg, ce qui prouve que 9 0 f admet -00 pour limite en to .
2) x = I, on en deduit que lim sin(.:r -- -- = 1.
Exemple Sachant que lim --sin
:.;--+0 X
0
>;--+0
,
X
Corollaire 25 --------" 1 Soient 9 une application continue en b E � et f une application a vaJeurs dans Dg' continue en a E IR et telle que f (a) = b. Alors la fonction g o f est continue en u .
PCSI
CHAP. 10 - UMITE.,) -CONTINUITE PQNCTUELLE
.
Exempfe La relation /(x) = III
329
(X2=--�->'2 3X:;:-;1:" + 2)":: definit un� fonction continue en O. x +
En effet. la fonction h :
x2 - 3x + 2 x2 + I est definie sur � et continue en 0 avec h(O)
2 > O.
=
Done h est strictement positive au voisinage de 0 et la fonction : / = lnoh
est definie au voisinage de O. La continuite en 2 de la fonction
In nous donne alors la continuite de / en O.
Cas des fonctions monotones
5.
5.1 Limites a droite et a gauche Dans cette section, a est un reel.
Definition 12
_______
La fonction J admet f
•
E � pour limite a droite en a si la restriction de J
a DI n I a. +00 [ admet I! pour limite en On note alars :
f = limJ ,+
ou
,
o..
e = ,.�a+ lim f(x).
• La fanction J admet f E � pour limite a gauche en a si la restriction de J it DI n ] -00, 0. [ admet f pour limite en o.. On note alors : e = lim f(x). ou P = lim J ,
,.�a-
Remarques •
•
Par definition, si / admet une limite a droite (respectivement a gauche) en a, alors iI existe un reel 11 > 0 tel que I u. a + h [ C DI (respective ment ] a - h, a [ C D/)' On utilise aussi parfois les notations /(0.+) et /(0.-) pour designer les limites a droite et a gauche de / en fL .
330
CAS DES FONCTIONS MONOTONES
Definition 13 _______ , On dit que f est : •
COlltinuea droite en a si sa restriction a Df n c'est-a-dire si lim f = f(a),
[a, +00 [
est continue en a,
.+
•
contillue if gauche en a si sa restriction a Df n ) -00, a] est continue en a, c'est-a-dire si lim f = f(a} . .-
-....
Proposition 26 Soit f une application verifiant :
-
3h > 0 , [a - h, a + h J \ {al e D,> •
•
Si a ¢ Df, alors / admet une limite P E IR en ad met f pour limite a droite et a gauche en a. Si a E Df, alors f est continue en it droite et a gauche en a.
Demonstration
a si, et seulement si, elle
0 si, et seulement si, elle est continue o
Evident en revenant aux definitions.
Exempfes 1. SoH f l'application definie sur � par : si x � 0 si.r, > 0 • •
La fonction f est continue a gauche en 0 puisque sa restriction a R_ est nulle. On a lim f 0+
que I'on a :
=
0
=
ItO) puisque la restriction de f a R+ est ,>1m
2"-0+
,
- = +00 x
et
lim e-t
t-++oo
=
.J; 1-+
("-1/:£ et
O.
Donc f est continue a droite en O. Par suite, f est continue en O. 2.
Soit n E ll. La {oncHon partie entiere :
• est continue a droite en n, puisque sa restriction a [ It, +00 [ co"indde au voisinage de n avec une {oncHon constante,
CHAP. 10 - LIMITES-CONTINUITE PONcnJELLE
• •
331
admet une limite it gauche en H, puisque sa restriction it ] -00, It [ COIncide avec une fonction constante au voisinage de n,
a
n'est pas continue gauche en n, puisque lim E t= E(n). A fortiori, elle n'est n-
pas continue en n.
3. La fonction definie sur �' par f(x) = l/x n'admet pas de limite en 0 puisque I'on a : limf = +00 et lim! = -00. o o·
5.2 Fonctions monotones et limites Theoreme 27
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
SoH J une application croissante defInie sur un intervalle ouvert [ = ] a, b [ avec a E •
•
• •
�, b E � et a < b.
Si J est majoree, elle admet pour limite en b Ie reel sup J. , Si J n'est pas majoree, on a limJ = +00.
b
Si J est minoree, elle admet pour limite en a Ie reel
inC f. ,
Si J n'est pas minoree, on a lim J = -00 . •
Demonstration b. Soit E = {j(x) 1 T E I} . La fonction ! est majoree si. et seulement si. I'ensemble £ est majore, Puisque I est non vide, E est non vide.
Limites en
Si ! est major8e, alors f. = sup E existe. Montrons que c'es! la limite de f en b Soit � > 0 quelconque. D'apres la caracterisation de la borne superieure, on peul trouver un element Yo de E tel que C � < Yo � f.. Si Xo E I est un antecedent de Yo. on a : -
' xo . En prenant 1/ = b - xo > 0 an a :
Yx E I . Ib - xl � " =- If(x) - £ 1 � c. •
Si b = +00 on a directement :
'
l!(x) - CI � �.
CAS DE. A Prenons un antecedent .co de Yo On a alors
'VX E [.co, b [ . A < !(Xn) ::;;; f(x) ce qui prouve, de la meme fa90n que precedemment, que f tend vers +0.., en b Limites en a. 11
suffit d'appliquer Ie re-sultat precedent a la fonclion croissante 9 definie sur ] -/I, -a [ par
g(tl � -f(-t)·
o
Remarques •
•
•
•
II existe des resultats analogues pour une fanction f decroissante sur un in
tervalle ouvert. On les obtient en appliquant Ie theoreme precedent it la fane tion -f. Pour une fanetian monotone, on vait immooiatement sur un dessin la condi tion de majoration all de minoration mkessaire pour montTer que f admet une limite finie en une borne de son intervalle (ouvert) de definition :
a a Dans Ie thooreme 27 de la page precedente, I'hypothese « I intervalle ouvert » est indispensable, puisque par exemple la restriction a [0. I ] de la fonction partie entiere n'a pas de limite en J . En revanche, si f est monotone sur un intervalle / quelconque, en appliquant Ie theoreme 27 de la page precooente a la restriction de f a / prive de ses homes, on en deduit que : si J admet un plus grand element b, la fonction f admet une limite a gauche en b, et cette limite est finie puisque f est majoree (ou minoree) pa, f(b) , si [ admet un plus petit element droite en a.
u,
la fonction f admet une limite finie
a
333
CHAP. 10 - UMITES - CONTINUITE PONCTUELLE
Theoreme 28
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Vne application f monotone definie sur un intervalle I admet des limites finies a droite et a gauche en tout point qui n'est pas une extremite de I .
Demonstration Quilte a considerer -f , on peul supposer I croissante Si a est un element de I qui n'est pas une extremite de I , alors larestriction de f a In] 00 a [ est croissante et majoree par I(a) Done I adrnet une limite a gauche finie en a et on a lim! � I(a}, -
o
De meme pour la limite a droite
.
o
Remarques •
Si f est une fonction croissante sur un intervalle I et si a n'est pas une extn� mite de T, on a, d'apres la demonstration precedente : lim f � f(a) � lim f. 0+
o
•
Si f est une fonction eroissante sur un intervalle I el si a et b sont deux elements de I leis que a < b, alors lim I � lim f. o.
b
En eUet, soit r strictemenl compris entre a et b. La limite de f a droite en 11 est sa borne inferieure sur I n ] a, +00 [ , done est plus petite que f(c} . De meme, on a ftc) � lim I , ce qui donne Ie resultat. b
•
On a des resultats similaires pour des fonctions decroissantes.
334
EXERClCFS
EXERCICES 1.
Montrer que toute falletion f periodique qui admet une limite finie en +()(, est constante.
2.
SoH f une fonction definie sur veTS +00. Montrer que lim /(x)
.,......+00
3.
=
�+
croissante telle que la suite (f(n)) diverge
+00.
Etudier les limites suivantes :
x3 + x2 + 5 en +00. 5,' "2 + 2 b) vx2 + 2x 3" en +00. t�n5x a)
-
d
d) 4.
Sill .r
en O.
e3"' + 2x + 7 en +00. e'" + e '"
Etudier les Iimites en 0 des fonctions suivantes definies sur
m f, ' - ,E m h : £ _ X2E (�) .
R� :
fO X - E
5.
Determiner les limites suivantes :
(= _s::: ,in,, " :: 'n,, ',,-) a) "Im %_0 J:
( �) '
b) "'.... lim .. 00 1 + X + 6.
{
Soit f la function definie sur R+ par :
/(x) =
I s� x est un entier premier O smon
MontTer que pour tout x > I , la suite f(nx) converge vers O.
f admet-elle 0 pour limite en +oo?
CHAP. 10 - LIMITE..') -CONTINUITE PONCTUELLE
7.
Soit I une fonction croissante definie sur [a,b], qui prend au mains une fois loute valeur comprise entre I(a) et I(b) . Montrer que I est continue en tout point de [a, bJ .
8.
Detenniner les limites suivantes : .)
b) c)
d) e)
9.
335
x2 I sill2 x sinx -sin5x en O . . . Sill x + Sill fix tanx-sinx en O . x3 sin ! � en O .
+ -- en U .
e,. + 1
sin2 x - sill2 a en a i- O . x2 a2
Soil I definie sur R el continue en 0 telle que :
Vx E R , [(2x) � [(x).
Montrer que I est constante.
10. Soit I la fonction definiesur R� par :
Quels sont les points au I est continue ?
Donner les Iimites a droites et a gauche en un point de discontinuite de I.
11 . Soit I une fonclion definie au voisinage de 0 telle que : lim
",_0
!;m [(2x) - [(x) � O. [(x) � 0 e' ",_0 X
Montrer que :
lim
I(:r)
",_0 X
On ecri"
= O.
[(x) � � ([ ( 2:-') - [ (;) ) + [ (;) .
33' 12. Montrer que la fanction definie sur R par :
{ si :r
E � , f(x) = 5i x E R \ que la fonc· tion .£ 1-+ In Ixl est continue sur R� et sur R:' . Comme In I = 0, la restriction de 9 a [ - 1 , 1 ] est nulle, done continue. On en deduit que 9 est continue sur R.
2.
Les theoremes fondamentaux
2.1 Theoreme des valeurs intermediaires -, Theoreme 8 Soit f une application continue sur un intervalle I . Si a et b sont deux points de J tels que f(a)f(b) ,;; 0, alors : __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
3c E
[a, b]
:
f(c) = o.
Demonstration Supposons par exemple (l � b. Quil1e a Changer f en -f. on peut sup pose, f(a) '" 0 '" feb) . Conslruisons deux suites (an lnE N et (bn)nE N par recurrence : .. En posant CI(J = a et bo = b . o n a Uo
� bo et f(aol � O � f(bo) ·
CHAP. 11 - CONTINUITE
�
341
Supposons fLn el b" conslruils leis que un � bn el f(a.,, ) � n � f(bn ) el prenons c., = (an + b,,)/2 . • •
Si f(c.. ) � U on pose a.,+1 = c..... el bn+1 = b" . Si f(c.,) on pose an+1 = a... et b...+1 = c " .
>0
Dans les deux cas on a an � an+1 � b,,+1 � b" el f(u,,+ I) �
0 � f(bn+ 1 ) .
La suile (a,,)..E N esl croissante, la suite (b")nEN est decroissanle et Vn E I'J , un � bn. Enfin lim b.o - a" = 0 puisque par conslruction on a : '1..... +00
b-a
Vn E I'J , b.. - an = � ·
Par consequent les deux suites sont adjaCentes et verilient : "111 E N , f(an) � 0 � f(b..) . En appelant alors c leur limite commune. on a c E [a, b J En passant a la limite, la continuite de f en c nousdonne f(c) � 0 � f(c) . d'oUle resultat.
o
Remarques •
•
On peut enoncer Ie resultat precedent en disant que, sur un intervalle, une fonction continue qui ne s'annule pas garde un signe constant.
La demonstration precedente IlOUS donne un algorithme simple pour trouver la valeur approchee d'une racine de I'equation f(x) = 0 : c'est la methode de resolution par dichoiomie que I'on arrete lorsque (b - (£)/2'1 est inferieur a la precision demandee.
Exemple en MAPLE
> # Re solution par dichotomie >
#
de l
'
equation
tan ( x ) =x sur j Pi , 3 * Pi/2 [
> a : =Pi: b : = 3 * p i / 2 - 0 . 0 1 :
f : =x->tan ( x) -x:
eps : =lE-7 :
> a : =eval f ( a ) : b : =eval f ( b ) : > while abs ( a -b » > >
then a :
> od:
'=
( a+b ) /2
else b : = (a+b ) / 2
> >
=eps do
if sign ( f ( (a+b ) / 2 ) ) =sign ( f ( a ) )
H;
> lprint
( ' la solution est comprise entre ' , a , ' et ' , b ) ;
la solution est comprise entre 4 . 493409450 et 4 . 4 9 3 4 0 9 5 4 3
LES THEOREMES FONOAMENTAUX
342 > >
*
comparaison avec
fsolve
fsolve ( f ( x ) , x , Pi . . 3 * Pi/2 ) ;
4.493409458
Theoreme 9 (Theoreme des valeurs intermediaires) -------, Soit f une application continue sur un intervalle [a, b] . Toole valeur com· prise entre J(a) et J(b) est atteinte par 1a fOlletion f sur (a, b) .
Demonstration Si est compris entre f(a) et f(b). il sullil d'appliquer Ie theor€ln"le a de la page 340 a la fonetion f -
d
Remarques •
0
d.
II existe une variante du resultat precedent utilisant line limite. Soil f une
fanction continue sur ] a, b 1 «(L E �) telle que :
[(b) > 0
et
lim J = t E R "
Si f < 0 (en particulier si f = -oo). a!ors il existe c E l a, b 1 tel que f(c) = 0. En effet, puisque la limite de f en a est strictemenl negative, f est stric· lement negative au voisinage de u. Done on peut trouver a' E ] a, b] tel que /(a') < O. Par suite il existe donc c E [a',bl tel que /(c) = O .
• On a aussi Ie resultat plus general suivant : si f est continue sur I et admet aux extremites de I des limites finies ou infinies (ou des valeurs) non nulles et de signes opposes, alors / s'annule en au moins un point de I . II suffit de traiter chacun des cas :
I = [a b [ , I = .
[a, +00 [ , I =
1 a. b 1
,
de la meme fa\on que ci-dessus.
Corollaire 10
-------�'K1
L'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle.
Demonstration Si / est conlinue sur un intervalle [ , it faut montrer que J(I) est aussi un intervalle, c'est-a-dire : \f(y" y,) E [(I) ' . [y" y,] c [(1). Soient (Y" Y2) E J(1) 2 et y E [Y"Y2 ] . Prenons (XI,."!;2) [2 tet que Yl = J(,,-d et Y2 = J(X2 ) . Le theoreme des valeurs intermecJiaires nous donne I"existence d'un element c de I eompris entre Xl et X2 tel que y = J(c) . Done y E J(I). 0
E
343
CHAP. 11 - CONTINUITE
Proposition 11
Si j est continue et strictement monotone sur J, Ie tableau suivant donne' I'intervalle f(J) en fonetion de J ; f / f(l}
[a, b] [ J(a), f(b)]
[a, b [ j[ [J(a) , lim ,
] a, b] ] lim f,f(b) I
] a, b [ ] limj,lim j [
f ". f(I)
[f(b),f(a)]
I limf,f(a)] ,
[f(b), lim j [
] limj,lim j [
f
0
"
o
,
,
0
Demonstration Traitons par exemple Ie cas aU I est eroissante et ou [ = [a, b [ . La fonction I etant eroissante. on a : V, E I , f(x) � f(a)
et done f(a) est Ie plus petit eh�ment de f(l) . Si I n'esl pas majoree. alors : f(I) � [ f(a), +oo [ ce qui donne Ie resultat puisque lim I = +00 . _
,
_
Si I est majoree, sa limite en b est supl et 1(1) est alors un intervalie de barnes I(a) ,
et M = lim I qui est egal a SliP l(l) d'apres Ie theoreme sur les limites des fonctions , monotones. Cemme I'intervane J n'a pas de plus grand element, pour tout x E r, on peut trower .II E J lei que y > x. Comme I est strictement croissante, on a alors I(x) < I(Y) � M , ce qui montre que M ¢ 1(1). Done I(I) = [ J(a) , M [ , ce que l'on voulaitdemonlrer o Remarque Si f est une application continue sur I'intervalle r, l'intervalle f(f) « se voit " dans Ie tableau de variations de f .
Exemple La fonction f : en
R x
_ �
est continue sur R et tend vers 0
R -
I + x2 +00 et en -00. Son tableau de variations :
nous donne
f(R) = ] 0, 1 ] .
0 1
x
oc
f
o/ �o
+00
LES THEOREMES FONDAMENTAUX
344
2.2 Reciproque d'une fonction continue Lemme
I
Soit f une fanction monotone sur un intervalle J . Si /(1) est un intervalle, alors f est continue. Supposons par exemple f croissante. Soil a un element de T qui n'est pas sa borne superieure, La fonelion f etan! croissanle, elle admet en a une limite a droite e � f(a). Supposons e > f(a). On a pour tout x element de I : I(b) - - - - - - - - - - I (x > a ==> I(x ) " /) J / --------I I(a) et : (X " a ==> I(x) " I(a»).
Demonstration __
7:
- - - - - - - - - -
71
- - - - - - -
f ne prend done aucune va leur slrictement comprise entre f(a) el e. Or, puisque a n'est pas Ie plus grand element de [ . on peu! trouver b E J strictement plus grand que a. ce qui donne f(a) � p � f(b) La lonelion
- -
I I
- - ,----/ : 1
Comme J == 1(1) est un intervalie. on a [f(a), f(b) 1 C J et en particulier tOIJteS les valeurs de ] f(a} , e [ sonl atteintes. C'es! conlradicloire, done e = f(a). Par suite, f est continue a droite en a (c'est-a-dlfe continue en a si a est Ie plus petit element de J ) De meme, on demontre que f est conbnue a gauche en tout POint de J qui n'est pas sa borne inferieure, o Donc f esl continue sur J Theoreme 1 2
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Si f est une application continue strictement monotone sur un intervalle I alors f induit une bijection de T sur l'intervalle J = f(1) et sa reciproque est continue de J dans I,
I
I
Demonstration La fonction f est injective puisqu'elie est strictement monolone. Elie est donc bijective de [ sur J = 1(1) qui est un intervalie d'apres Ie coroliaire 10 de la page 342. Sa reciproque est alors une bijection strictement monotone de l'intervalie J sur I'intervalle J donc 0 est continue sur J d'apres Ie lemme precedent. ,
CHAr. 11 - CONTINUITE
345
Exempfes
1. Soit n un entier naturel non nul. L'application R+ ---+ R+ est continue, T � Tn strictement croissante prend la valeur 0 en 0 et tend vers +00 en +00. C'est done une bijection de R+ dans R+ dont la reciproque est continue. Cette reciproque est la fonction racine
2. De meme, si
n
n
eme
:
R+ ---+ x �
R+ . y'x
est un entier naturel impair la fonction x ...... x" est bijective de R ,
dans R, ce qui permet de definir la fonction racine nemr sur R .
3. La fonction sill est continue et strictement croissante sur [ -11"/2,11"/2] . Elle in duit done une bijection de [ -11"/2,11"/2] sur [ - 1 , 1 ] . Sa redproque, la fonction « Arc sinus ", est done continue sur [ - 1, 1 ] . 2.3 Image continue d'un segment
Theomme 1 3
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Toute application continue sur un segment possede un maximum et un mi nimum. MPSI
Demonstration (Le resultat est admis en peSI)
Soit J une !anctian continue
sur un segment [It. b] . .. Montrans que f admet une borne superieure AI sur [a, b] et qu'it existe x E [a, b] tel que AI = f(x} . •
En raisonnant par I'absurde, supposons f non majaree sur [u, b] c'est-a-dire :
VA E R , 3x E
[a,b]
:
f(x) > A.
On peut alors construire une suite (x"')"E I'l d·elements de [a. b] telle que : Vn E N . f(x...) � n.
•
(*)
Celie suite etant bornee, on peut en extraire une sous-suite convergente (x O . 3(x,y) E I' Ix - YI " ry et If(x) - f(y)1 > E. Prenons € = 2 > 0 et > 0 quelconque. Les reels x = 1/1/ et y = x + 1/ verifient Ix -yl � 1/, alorsque y2 _ x2 = 2 + 1/2 >€ . '1
V(x,y) E R , I sinx - sillyl = 1 2 sin (x;y) coo (X;Y) I � Ix - yl puisque Vt E R, I costl � I et I sin tl � Itl .
3. La fonction sinus est uniformement continue sur
R car eUe est lipschitzienne :
348
CONTINUlTE UNiFORME
4. L'application
f:
R+
x
lipschitzienne sur R+ : •
•
1----+
_
R
.,f7
est uniformement continue sur R+ .mais p..'s
If(x) - /(0)1 = ji = vx 1x - 0) prouve que I'on ne peut pas trouver de rt?e1 k tel que \i(x,u) E R� , I f(x) - f(y)1 � klx - yl · Pour l'uniforme continuite de f sur R+ . on commence par remarquer que : V{a,b) E R� , Ja + b � va + Vb. 1
L'egalih�
(II suffit de comparer les carres de ces deux nombres positifs.)
V(x,y) E R� , x � 11 ==} ..;y ..;x � Jy - x. Soit to > 0 que1conque ; en prenant 'I] = £2 > 0, on a :
On en deduit
-
V(x,y) E R� , Ix - vi � 1} ==} IJX - JYI � viz - vi � E.
Remarque Aucune des deux implications :
f Iipschitzienne ==} f uniformement continue f uniformement continue ==} f continue n'est done une equivalence d'apres les exemples precedents.
3.2 Theoreme de Heine Theoreme 15
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Soit I un segment de continue sur J.
IR. Toute application continue sur I est unifonnement
Demonstration Soit f une application continue sur Ie segment I Supposons que f ne sOit pas uniforrr.ement continue sur I c'est-a-dire . 30 > 0 V, > O . 3(x,y) E 1' Ix - Y l 0 lei que :
Vx E I , Ix - al '" h, = [(x) '" [(a).
CHAP_ 12 - DERIVATION
365
Posons II. = min(hl' h2 ) ; fXlUr 0 < x - a � h. on a alors : a) )� ,-, /(2 (x'.1"' �O
x-a
etdonc :
a Id(a) � lim I(x) - I( )
,;;
o.
a De meme. pour -It � x - a < O. an a : (,x'-I" ,), ---'1-" (a:f-);; 0 et on se ramene au cas precedent.
En revanche, si U() E ] -1,0 [ , il se peut que la suite ne soit plus definie a partir d'un certain rang. Par exemple, si Uo = -1/2, aJors u\ = -1 et U2 n'est pas defini. On peut verifier que les valeurs de Uf) pour lesqueJles la suite n'est pas definie constituent une suite recurrente de premier terme -1 et associee a la fonetion x 1--+
x
--
I-x
1L\
=
(nkiproque de
f ).
Dans toute la suite nous supposerons que de la forme :
1
designe un intervalle ferme de IR
I � [u, bJ , I � [u,+oo [ , I � J -oo,bJ au I � J -oo, +oo [ et que f est une fanction continue sur I telle que f( l) c [ . Recherche de la limite eventuelle Proposition 28 .... Soit J une fonction continue sur l'intervalle ferme I .
Si la suite converge, sa limite l appartient a [ et verifie f = f (f).
Demonstration Comme I est defini par une au deux inegalites larges, la propriele de pas· sage a la limite dans les inegaliles (Iarges) prouve £ E I Comme I est continue en P, on peut dire que ' lim j(u.) � j(l), 71--->+ 00
c'esl-a-dire lim Un+ 1 = I(l) , et I'unicite de Ie limite impose donc f = f(l) 71_+00
Consequence divergente.
Exemple
Si
o
I'equation x = f(x) n'a aucune solution, aloI'S la suite est
Taute suite verifiant Un+ 1 = u� + 2 est divergente puisque : \:Ix E R , X =/:- Xl + 2,
Plus precisement. on a \:Ix E R , x < x2 + 2, ce qui prouve que la suite est (stricte ment) croissante. Comme elle diverge, elle tend vers +00.
CHAP. 12 - DERIVATION
375
Majoration directe de
I!(un) - ll Pour prouver que 11. converge vers un reel 1'., solution de I'equation J (x) = x, une premiere methode consiste a majorer lu" - 1'.1 pour demontrer que cette quantite tend vers O . Proposition 29 -------..., S'il existe un intervalle J c J contenant e et un reel k E [0, 1 [ tel que :
' a, alors ttl < tl() et la suite est decroissante. Comme elle est mino ree par 0, elle converge. .. Si uo < a, alors UI > Uo et la suite est eroissante. On montre par recur rence qu'elle est majoree par a, donc elle converge. Dans tous les cas, Ia suite converge vers a . Proposition 33 -------"" Si f est decroissante sur " alors les suites U2n et 1L2n+1 sont monotones de 5ens opposes.
Demonstration Elles verilient toutes les deux une recurrence du type Vn+l = (f 0 f)(vn) avec ! 0 ! eroissante. Elles sont done monotones. et comme 1l2n+ 1 = !(U2n), la croissance (respectivement la de croissance) de Il2n entraine la decroissance (respectivement la croissance) de U:!n+ l 0 Exempfe ttude de 1a suite definie par 110 E [0,2] et Un
=
J2 1!n 1 .
• Une construction graphique donne :
M
•
La fonction ! 1-1" J2 done bien definie.
-
T
"
ufO)
est definie sur [0. 2] a valeurs dans [0. 2 ] . La suite est
• L'unique point fixe de ! est 1 , done la suite ne peut converger que vers 1 .
380
APPUCATIONS
• Comme f est une application decroissante, les suit� ILZn et tones. De plus eUes sont bornees, done elles convergent
1/'2,,+1
sont mono
• Leurs limites sont des points fixes de f 0 J. On pourrail rnontrer que 1 est Ie seu! point fixe de f 0 J, ce qui prouverait la convergence de u vers 1 . Mais nous allons plutot monlrer directement cette convergence.
[0,2} . I/(:r) - I I-x f(x) - I � 1 + v2 If(x) - I E;; Ix - 11, IUn < 2, I < l. (,,) k = 1 + v'2""=O Vx E [O, a] , If(x) - 11 " k i T - 1 1 1 " uo < 2,onaaiors'r;/n E tJ , Iun - II � (t = 11Q < 2. (, ) la u 1. 0 :s;; Uo � 1 , 1 " ttl � v'2 110 = 2, � 1,
• La fanetion f fl'est pas lipschitzienne SUT
Majorons done
I
:
� x
et done I ce qui ne pt!Trnd pas de condure, mais prouve que la suite - 11 est decroissante. Remarquons de plus, que pour a: on a : avec
Si par _
Si
.. Si
luo- I l etdonc la suiteest majoree prouve alors convergence de vers
La relation
et on se ramene au cas precedent.
alors
on a
1.1. 1
ce qui
se ramene au cas precedent.
Dans tous Ie!'> cas, on a montn'i la convergence de la suite vel'S I.
11 Y a des cas ou les deux suites U2" et 1L2..+ 1 ne convergent pas vers 1a meme limite. Pour montrer 1a divergence de la suite, on peut parfois utiliser Ie resultat suivant :
Proposition 34 -------,
f. f est derivable en a et si 1f'(a)1 > 1 , alors la a que si elle est stationnaire.
Soit a un point fixe de Si suite ne peut converger vers
S'il existe no tel que I.I.n" = a, alors la suite (u")n�no est constante Si la suite n'est pas stationnaire, on a donc 'in E U ¥ a, Supposons alors 1 tL = a. On donc : n Un+, - a � (un) - f(a) 1'(0). +oo un a n On deduit donc qu'a partir d'un certain rang on a tL +1 - a l � 1 , ce qui prouve que la I suition.te IUn - al est croissante. peut done pas convergervers 0 ce qui donne une contradic Done la suite diverge. Demonstration
tJ ,
im
a
f
Un
en
Elle ne
(1
�
n.....
n"
- 0
o
381
CHAP. 12 - DERIVATION
Etude de la suite definie par
Exemple 110 •
E �+
et la relation !tn+ l
= +32X2 J
Une etude graphique soignee montre que la suite ne converge pas car les s'eloignent de I'abscisse du seul point d'intersection de la courbe d'equation
Un
Y = 1 +32x2 et de la droite d'equation
y = x. •
Comme l'application
f x
�
1\
! u
,
•
3 �1-:-'; + 2� x; '"
,
est continue, cette suite ne peut conver ger que vers I, seule solution de l'equation f(x) = x. • •
Lorsque
1LO
,
" �
ijl
III I
."
"
.,
-
= 1, la suite est constante.
Lorsque 110 oF 1 , on a "In E tJ , Un oF 1 puisque l'equation f(x) = 1 n'admet que 1 comme racine positive. La suite diverge done puisque 1 est la seule limite possible, et qu'en ce point la derivee de f vaut -4/3 < 1 . �
Remarques •
•
Lorsque la fonction n'est pas monotone, on peut essayer de trouver des inter4 valles stables sur lesquels la fonction est monotone. Si I'un des termes de la suite est dans cet intervalle, on se ramene a un des cas precedents ou I'on peut eondure. Mais il existe des cas ou Ie comportement de la suite parait assez aleatoire. Par exemple, avec f(T) = 4x (1 - x) et tI{] E ] 0, 1 [ , on obtient Ie graphique suivant :
u(O)
382
APPLICATIONS
Methode de Newton Pour n�soudre de fa�on approchee une equation du type /(x) = 0, on pellt utiliser une suite nkurrente verifiant 14.+1 = g(un } avec g(x) = x - /(x) .
Si f est continue, la limite eventuelle d'une telle suite est un point fixe de 9 done line racine de f . Malheureusement, cette methode ne fonctionne pas toujours, car 1a suite obtenue peut ne pas converger. On pellt alors modifier la fonction 9 pour avoir cette convergence : on prend g( x) = x - (fJ( T) I(x), Oll IP ne s' annule pas. La methode de Newtoll consiste, pour line (onelion f derivable doni la derivee ne s'annule pas, a pcendce 9(X)
�x
-
JY;)'
Cette methode revien! a partir d'un point a de l'intervalle de definition de f, a prendre J'abscisse du point d'intersection de la tangente en a avec l'axe Ox et a recornmencer avec celui d. En effet, la tangente en a a pour equation :
"
,
y - J(a) � 1' (a) (T - a) et pour y = 0, on obtient : x�a-
J(a) 1'(")
� 9(a).
Exemple SoH a un reel strictement positif. Pour trouver une valeur appro chee de Va, on peut utiliser la fone lion J(x) = x2 - a, ce qui donne : " x' - a g(x) = x - -- = - x + - .
2x
l(
2
x
)
\
"
Etudions done une suite u dtHinie par flO > 0 et U.. +l = g(un ) . Elle est bien definie puisque �� est stable par y .
Vne etude graphique montre que la suite converge tres rapidemenl veTS Va.
"'
ufO)
"
"
CHAP. 12 - DERIVATION
383
Pour Ie justifier, on commence par remarquer que :
.(j(X) _ Va =
(x - fo)2 2x
ce qui prouve que I'intervalle [ Va, +00 [ est stable par y et que UI (a d(Haut de uo) appartient a cet intervalle.
Or, pour x ;:: Va , on a g(x) � x, done la suite est decroissante (a partir du rang 1). Comme elle est minoree par 0, elle converge et sa limite ne peut etre que Va, seule racine positive a l'equation !J(x) = x.
O'autre part, on a l'inegaIite : 11,,+1
r;:
- Va =
(un - .fii)2
21!"
�
I
2 Vr;:a (Un
r:: 2. - va)
C'est ce que 1'0n appelle une convergence quadratique : par exemple, si 2fo � I , on a : Iu" - Val � c ==> IU,,+I - Val � £2
ce qui prouve que Ie nombre de chiffres exacts dans I'approximation de Va par Un est au mains multiplie par 2 a chaque ilt�ration. Ainsi, pour a. = 2, on obtient pour 110 = 1 (en gras les chiffres exacts) :
UI = 1.500000000 00000000000 U2 = 1.41666666666666666667 U3 = 1.41421568627450980392 U., = 1.414213562374ti�991U(j3 Us = 1.41421356237309504880
et cette demiere valeur est une approximation de ..j2 a 10-20 pres. 4.4 Condition suffisante de derivabilite en un point -, Theoreme 35 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
I
Soit a un element de I. Si une fonction f est continue sur I, derivable sur J \ {a} et si It \ ..} a une limite finie e en a, alors I est d�rivable en a,
t(
on a f'(a) = e et donc f' est continue en a.
Demonstration Soil x E J \ {a} . La formule des accroissements finis nous donne un point cr Slrictemenl compriS entre a et x tel que :
/(x) - /(a) � 1'( x2 sin(l/x) prolongee par continuite en 0 (voir page 362). Proposition 36 -------., Soit a un element de J. Si une fanction J est continue sur I, derivable sur en a, alors : [ \ {a} et si II'1\la) tend vers
+00
. Inn
z_a
f(x) - f(a) x-a
=
+00.
Demonstration Analogue a celie du theoreme 35 de la page pn3cedente
o
Remarque Soil J une fonction continue sur J et derivable sur 1 \ {a} . Pour prouver que la courbe representative de f possooe une tangente au point d'abscisse a, iI suffit done, d'apres les deux resultats precedents, de demontrer que la restriction a I \ fa} de sa derivee possede une limite en a : • si cette limite est un reel m, la tangente a pour pente m, •
si elle est infinie, la tangente est parallele a Oy.
Exemp/es 1.
La fonction ! definie sur [ - 1 , 1 ) par !(x) = an'sin(l - x J ) : •
•
est continue sur V = [ - 1 , 1 ) comme composee d'une fonction polynomiale a valeurs dans [ 0. 1 ] et de la fonction Arc sinus qui est continue sur [0. 1 ] .
est derivable sur V· = [ - 1, 0 [ U ] 0, 1 ) comme composee d'une fonction polynomiale a valeurs dans [0, 1 [ et de la fonction Arc sinus qui est derivable sur [ 0, 1 [ .
Pour x # O, on a :
[,(x) �
-4 7
J2 -
.1'4
Comme lin i("D+ = 0 et que ! est continue en 0, on en deduit que ! est derivable & en 0 et que 1'(0) = o.
CHAP. 12 - DERIVATION
385
De meme, la fonetion 1 definie sur V par sur V et derivable sur V· . Pour .r f. 0, on a :
2.
1'(x I � •
f(x) = arcsin(l - x2), est continue
-2 x "'2 x' j;i' _
= 11[0.1) est continue en 0, derivable sur ] 0, 1 ] et : lilll . )0.1) = lim!, = -h. 0+ Done est derivable en 0 et fJ' (O) = -)2. Par suite 1 est derivable a droite en 0 et fd(O) = -h .
La fonetion !J
o
lJ,'
y
•
On demontre de fa�on analogue que
La fonetion anguleux.
5.
1
est derivable
a
gauche en 0 et
que I;(UJ � J2.
1
n'est done pas derivable en 0 e t son graphe y presente un point
Derivees successives
5.1 Derivee seconde Soit f une fonetion definie et derivable sur 1 . Definition 4
_______
La fonction f est deux lois derivable sur J si la fonction f' est derivable en tout point de 1 . Sa derivee est appelee fonetion dtfrivee seconde de f ; elle est notee . J" , D'I au
,
a'J
dx2 '
Exempfes 1. La derivee d'une fonetion polynomiaJe etant une fonetion polynomiale, toute
{
fonetion polynomiale est deux fois derivable.
2. On a vu page 359 que la fonetion f definie sur � par :
J f(:r) = o.i (X - 1)2 sisi.xr Ee ][0,-oo1 ] O [ U ] l. +oo [ .
{
est derivable sur R et sa derivee est :
!'(X) � 2X(X - I)(2X - I) ,i x E [0. 1 ] U six e ] -oo,O [ U ] I, +oo [
DER1VEES SUCCESS1VES
386
{
a ] -00,0 [ ] 0, 1 ] 1, +00 a [ !"(a) = o12a2 - 12a + 2 sisi aa EE ]] O,l - oo O [ U ] J, +oo ( La restriction de f' a [1, +00 [ est la fanetion constante nulle. La faoetion f' est done derivable a droite en I et (f')�(l) = O. La restriction de f' a [0,1] est 1a faoetion polynomial\:! x ...... 2x(x - 1)(2x - 1). La fanetion f' est done derivable a gauche en 1 et (f')�(l) = 2. La faoetion l' n'est done pas derivable 1 et / n'est pas deux fois derivable. • On prouve de la meme fa,on, ou en cansiderant .r ...... !(1-x),que f' n'est pas derivable en O.
Au voisinage de E U [U [ la fnoetion f' coincide avec une fonetion polynomiaJe, elle est done derivable en et :
•
,
.
:
en
Interpretation c;nematique Lorsque f{t) est I'abscisse a I'instant t d'un point en mouvement rectiligne, alors f"(t) , s'il existe, represente l'accefCrafion du point a l'instant t.
5.2 Derivee d'ordre
n
On considere un entier naturel
Definition 5
n.
__ ___
Etant donnee une fonction I de I dans IR, on pose 1(0) = I et l'on definit par recurrence la fonction derivee n cine de I sur I, notee pn) , comme la derivee de Iin-O, si elle existe.
.
On la note aussl D"I ou
,
d" dxfn ·
Remarques •
L'existence de j(n) sur I entraine I'existence el la rontinuite sur I de toutes les derivees d'ordre striclement inferieur.
•
Si elle existe, la derivee 1) ellle de f est aussi la derivee (n eme de 1', et m plus generalement la derivee p e e de j(rt-p) (pour p ::;:; n).
0 ::;:;
- 1)
CHAP. 12
- DERIVATION
387
Proposition 37 --------.,.,
9
Etant donnes deux fonctions f et definies et n fois derivables sur I ainsi que deux reels .A et IL. la fonction .A J est n fois derivable sur I . Recurrence sur n en utilisant Ie fait que si + I!Y)' = >'1' +
Demonstration
>.f + 11, 9
alors
+ /L 9
rest aussl et
It g'.
(>.f
/ et
9
Proposition 38 (Formule de Leibniz) Si f et sont deux fonctions n fois derivables sur I, alors f derivable sur l et :
9
Demonstration ...
sont derivables, o
9 est n fois
Demontrons ee resultat par recurrence sur n
La propriete est evidente pour
n=0
f
Supposons Ie resullat vrai pour un entier naturel n et considerons deux fonetions et 9 suppa sees n 1 lois derivables sur [ . Elles SOn! done n lOIs der;vables et I'hypothese d ecrire . '
+
(f 9len)
Hn permet
est une combinaison lineaire de produils de lonclions derivables ; elle est La lonction done derivable el par suite est n + 1 lois derivable. De plus, on a :
(J
g),n+"
/9 �
=
=
(� C) gln-p») ' to (p) (I(V) g(n-v+ lj 1',)
f(V+1) g(n-v») V= (Z) f g(n+1) + t, (;)/(v) g 0 , f, (x) � � -
Comme 1im
2vx
'
SillU = 1, e t eoreme e composition es Imltes anne : 1 h" d ' d I" d --
.._0 u
sin .;x I . Illll --= --, 2J:i 2
"'.....0
ce qui prouve, puisque f est continue sur IR+ , que f est de classe 1 l'on a 1'(0) = -"2.
C' sur R+ et que
FONCTIONS DE CLASSE C n
390 6.2 Ensemble des fonctions de classe en
Proposition 40 -------_ e"(1) et COO(1) sont des R--espaces vectoriels et l'application : C"(l)
J
�
1-----+
C'(I) f in)
est lineaire.
Demonstration Soient ). ei lL deux reels. Si I'on suppose les fonctions f et 9 declasse C" , on sail que ). f + J.t 9 est n lois derivable. La relation :
(.) (>' 1 + /1.9)('1) = ).f(n) + Ity(n) prouve alors la continuite de (>.. f + /1. g) (n) . Comme Ie fonction constanle 0 est de classe en, on en deduit que cnu) est un sous-espace vecloriel de C(I, R) . ) La relation (. ) preuve alors la lineari!e de I'application f ...... f rn . o Proposition 41 --------_'" Un produit de fonctions de classe C" sur I est une fonction de c1asse e" sur T.
Demonstration Si I'on suppose les lonctions f et 9 de classe en, on sait que f 9 est n 0 lois derivable et la f()(mule de leibniz prouve la continuite de sa derivee n eme Exemples 1. Toute fonction polynomiale est de dasse Coo sur �.
2. La fonction tangente est de dasse Coo sur ] -�, � [ car elle est derivable et la re lation tan' = I +tru12 prouve que si elle de dasse C", elle est aussi declasse cn+l .
6.3 Composee, inverse, et fonction reciproque Les resultats qui suivent sont enonces pour des fonctions de classe cn, avec It E IN. lls s'etendent naturellement au cas des fonctions de classe Coo.
----------------------... Proposition 42 Etant donnes deux intervalles / et J, ainsi que deux fonctions f E C"( l) et 9 E C"(J) telles que I(!) c J, la fonction g o f est eh�ment de C"(l).
CHAP. 12
-
DERIVATION
391
On demontre par recurrence sur n, la proprjEM� Hn :
Demonsb'ation
Vf E en (I), Vg E en(J) , f(J) c J = g o f E en (I). Ho est vraie d'apres les resultats sur les lonctions continues. __
Supposons H" et demontrons H +1 n Soit I E C..+ I (I) et 9 E Cn+ 1 (J) telles que I(I) c J . La lanetion 9 0 I, composee de lonctions derivables, est derivable et :
(g o f) ' � (g' o f) J'. Puisque I E Cn (/), g' E Cn (J) et 1(/) C J, I'hypothese de recurrence montre que 91 0 I est de classe Cn et comme f' est de classe Cn , Ie produil (9' 0 f) f' I'est aussi. •
L'aPPlicatian (90 IY etant de classe Cn. on en deduit 9 0 1 E C,,+I (/) et done H,,+I
0
Proposition 43 --------_'" Si f E en (!) ne s'annule pas sur
I, alors 1/1 est el€�ment de e" (J).
Demonstration Puisque I est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle I. elle garde un signe CQIlstant, par exemple positil On a done 1 (/) C R� el comme la lanelian u : x 1---+ .;. est de classe C" sur R� , la lanctian -} = U 0 I est de classe Cn d'apres la proposition preeedenle.
o
Exemples •
•
Une fraction rationnelle est de dasse Coo sur tout intervalle au elle est definie, puisqut:: c'est It:: quutient de deux fonctions polynomiales. Toute fonction obtenue par des sommes, des produits, des quotients et des com posees de fractions rationnelles et de fonctions usuelles (exp, In, sin, cos, . . . )' qui sont CO 0, alors iI existe c entre a et b tel que f'(c) = O. On pouTTa uti Iiser Ie resultat de I'exercice 9 du chapitre J 1 .
b) Montrer que 1'(1) est un intervalle. 23. Extension du theoreme de Rolle. Soit f une application definie et continue sur la, +00[, derivable sur la, +001, telle que /(x) tende veTS f(a} lorsque x tend vers +00. Montrer qu'il existe Xn dans la, +001 tel que f'(Xn } = U.
24. Soit f une application definie et derivable sur R� telle que f'(T) tende veTS U lon.que .E tend veTS +00. Montrer que
f(x) x
tend veTS 0 lorsque x tend vers +00 et que f est lipschit
zienne sur un intervalle du type [a, +oo{ ou a E R� .
25. On pose :
a)
1 d" ( ' ). - 2"n! -"dx" (x - I )
P.
--
"
Muntrer que P" est un polyn6me de,degre n, pair uu impair suivant la parite de n.
b) Montrer que P,,(l) = 1 , en liieduire p.. ( -1). c) Montrer que P" admet n zeros distincts entre -1 et I .
397
CI-lAI'. 12-0ERIVATION
26.
Resolution d'equation differentielJes lineaires du premier ordre a(t)yl(t) + b(t)y(t) = eft) sur un intervalle I sur lequel la fonction a s'annule. Les equations differentieUes suivantes ont ete resolues sur des intervalles 1 sur lesquelles la fonctions s'annule dans l'exercice 2 du chapitre 5. Trouver les solutions de res equations differentielles sur l'intervalle sur lequel elles sont definies. a) (xlnx)y' - y = -.!. (Inx + l) x x-I b) (I -x)y' +y = -a
c) d)
27.
x 2xy'+11 = :r" , n E N.
y'!Sin.r, -ycOISx + l = 0
Reprendre I'exercice 9 du chapitre 5 et trOllver les solutions sur IR de I'equation differentielle : (1 - X2)y" -xy' + = O. y
28.
Etudier les suites definies par : = U et 1t,,+1 = a) b) = et U,,+l = (1 - 1t,.,)2 . c) E jO.tr[ et 1t..+ 1 = [(Un - l ) sin(u,I ) [ . d) E �+ et 11�'+1 - 1 + I . 11O
11O
tl.(l
1to
29.
�
eos1t".
.
=
\
, tt"
Soit f continue croissante de �+ dans R\-, telle que : \ . hm -f{x) k z_+oo avec k < 1 . Etudier 1a suite definie par un+! = f(u,,). :r
=
Chapitre 1 3
Foncti ons convexes
Dans tout Ie chapitre, I designe un intervalle de R (ontenant au moins deux points et J une fonction de J dans R .
1.
Generalites
1.1
Definitions
Definition 1
_______
La faoeticn f est convexe sur 1 si : V(x"x,) E 1' , V>, E [0, 1 ]
,
f (>' x, + (I - >,} x,) " >, f(x, } + (1 ->,} f(x,}.
La fonction f est concave si -f est convexe.
Interpretation graphique Soit r Ie graphe de la faoetion f dans Ie plan. La fonction f est convexe sur [ si, et seulement si, pour tOllS points Al et A2 de r d'abscisses respectives XI et :1"2, Ie graphe de fh" " 1 est en dessous de la " 2 carde [A\,A21.
En effet, pour tout
appartenant au segment (Xl, X2 ] , c'est-a-dire de la x
x,
x
,
GENERALITEs
400
fonne >' X 1 + (I - ).)X2 avec >. E [0, [ ] , les points P et J\l d'absdsse x et se trouvant respectivement sur r et sur la corde [AI, A2] , admettent respective ment fP.. Xl + (1 - >.) X2 ) et ). f(xd + (I - )..) f(X2) pour urdonnees.
Exemples 1. Toute fanction affine est a 1a fois convexe et concave. 2.
La fanction valeur ahsolue est convexe car pour ). E [0. 1 1 et
(x, y) E R2 , on a :
1.I.r. + (I - A ) yl � I A xl + 1(1 - A)YI � A lxl + (I - A) lyl·
3. Une somme de fonctions convexes est une fanction convexe.
1 .2 Inegalite de convexile -Proposition 1 ....... Etantdonnees une fanction f convexe sur T et une famille ().') I �i!i;" de reels , positifs telle que L A; = 1 , on a :
.= 1
Demonstration D€monlrons par recurrence sur l' la propriete HI' . Pour tout (AJ, >12, . . . , Ap) E ( R+ )P el pour tout (Xl , X2 , . . . ,Xp) E [f!, on a :
HI est vraie de falton evidente car si p = 1 alors ),1 = 1 . Supposons "P-l avec p � 2. Soil une famille (T l ' x2, . . . ,x 1' ) E /1' ainsi qu'une fa
, , mille (AI.A2 . . . . . Ap) E (R+)P verifiant I: Ai = I Le point I: Ai .c, appartient bien a I, i=1
i=1
comme barycentre a coefficients positifs d'elements de I . • Si Ap = I , alors pour tout i E (I,p - I) on a A, = 0, et par suite
•
Si Ap '" I , on peut ecrire : p p-l 1'- 1 A I: A; Xi = I: AiXi + >'p.cp = ( I - >'1') I: -.- Xi + >'pXp. •=1 i=1 i=l I - A1'
CHAP. 13 - FONCTIONSCONVEXES
La somme des reels positifs
401
( I �\ )
elant €gale a I , Ie reel
1';'1'-1 1'-1 '\ ,
l'
-
yp = .",, :E1 , _ , Xi "1'
appartient a
,
et la propriele H,,_ I donne .
(
1'- 1
1(11,) � I .2:
• =1
La convexlte de 1 entraine alors :
I
( t A. x,) = 1(( 1= \
,\ .
1'-1
,\
' 2: , _ I (x;) \ x,) .; .=1 >.
1 -
1
l'
l'
.
- '\1' ) yp + '\1' Xp)
.; (I - >.,) I(y,) + >., I(x,,) � (I
- Ap)
ce qui prolNe Hp .
C�: �\p I(xd) + Apl(T,,) 1
.
o
Remarque 1 etant convexe sur I, si ,\], '\2 , . . , ),1' sont des reels positifs non tous nuls, on a :
1 .3 Caracterisation geometrique
On considere dans cette section une fonction f definie sur un intervalle J et I'epigraphe de f defini par :
"J � {(T,Y) E 'R' I T E l et I(x ) '; y} .
402 Proposition 2 -----..
La fanetion / est convexe sur 1 si, et seulement si, son epigraphe est une partie convex€' du plan, c'est-a-dire si, et seulement si, on a :
Demonstration ... Supposons f convexe sur I. Elanl donnes deux points M, et M2 de £j de coordonnees respectives (XI, yd et (X2, Yz ) , tout point M de coordonnees (x, y) du segment [M" Athl est barycentre des points (MI, ).) et (Mt , l - >.) avec ). E [0, 1 ] . On a donc .
et
y = ). YI
+ ( I - >.) 112.
y
(x) x,
x
La fonction f elan! convexe, on a :
fix) .;; ,\ f(xd + ( 1 - ,\) fix,). Comme les points MI et M2 appartiennent a £j , on a !(x,) � Yt et 1('£2 ) � YZ , ce qul donne : f ix) .;; Af(xd (1 - >.) fix,) .;; >'y, (1 - >')y, � Y
+
__
+
et prouve que Ie point M appartienl a £f . Supposons £/ convexe, c'est-a-cJire :
Soienl AI et At deux points de
r d'abscisses respectives XI
el It . Comme Al et Az
appartiennent a £,. tout point ILl du segment [A"At]. de coordonnees (x, y) . appar tien! a £[. et par suite f(x) � y . Le graphe de fhz" �21 est done en dessous du seg ment [A I , A2] ' ee qui prouve que f est eonvexe o
CHAP. 13
-
403
FONCT10NS CONVEXES
1 .4 Caracterisation en terme de pente Proposition 3 -------,;; Pour f E F(l. �), les proprietes suivantes sont equivalentes :
(i) f est convexe,
x ,) < Y < z = fly) - f(T) " f( - f( ) , z-x y-x f y) - f(x) " f(') - f (y) , (iii) If(x, 11, ') E I" , x < y < , = l z y y x f(,) - f(x) J(,) - f(y) . (iv) If(x, y,,) E J' , x < y < , = " z-x z-y (ii) If(x, y , ,) E I' ,
T
Remarque Les proprietes prece dentes, qui �'expriment en terme de pentes de droites, se retiennent faci lernent a l'aide d'un dessin. Demonstration (i) => (ii) Soient x. y et z des elements de J veriliant x < y < z ; on a :
y = >. x + (I - .\) z
f(y) " el donne : fly) - f(x) "
('
-Y z-x
( ) '-y z-x
f(x) +
- 1) f(x) + (I
_
( - , - Y) , Y) I
z-x
f(,) z-x
(ii) => (i) Soient (XI,X2) E [2 tel que XI y = >'TI + (1 - >') X2 · Si XI = X2 ou >. E {O, l} , on a :
�
,
y
x
-Y >. = Z E [ O, I ] z -x ce qui, d'apres la convexite de f , implique :
f(')
�
(y
X2 el >.
_
/(z) - f(x) .
x
E
Z
[0, 1 ] . Posons
__
f()'x, + (! - ),) x, ) � ), f(x. ) + ( I - ),) f(x, ) . __
Si X I < X2 et 0 < ),
. [
n
division u = (Xi)iE lo,rol adaptee a I. Pour i E (1, oJ, la reslrietioo de I a ] Xi- \ , Xi [ se prolonge en une fonctioo continue qui est alars bornee sur Ie segment [Xi_I, Xi] . Par suite. la fonction I est bornee sur ] Xi_l, X; [ et. en posant tion I est done bomee sur [a, b] par : max
(M" M" . . . , Mo, I/(xo)l, I/(x.) I , ·
Mi =
sup
j Z,_ I .Z, !
III . la fone·
. , I/(xo) I)·
o
Proposition 8 -------� L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a,b] constitue un sous--espace vectoriel de F( [a, b] , �). II est de plus stable par produit
.
CHAI'. 14 - INTECRATION
419
Soienl f el 9 deux fonetions continues par morceaux sur [a,b] , ainsi deux reels. Prenons une subdivision tt = (X;);€(o.nl adaplee a f et a g . Les
Demonstration
que >. el
11
restriClions des fonctions f et 9 a chacun des intervatles ] X;_l, X; [ soniconlinues et admettenl des limiles finies en xi_1 el Xi, done it en est de meme pour >. f + J.l. 9 et f g . Les fonelions >. f + 11!J et f y sont done continues par morceaux sur [a. b] Comme de plus la fonction nutle est continue par morceaux, on en deduil le resullat. o
2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux PeS!
Seul le theoreme 10 est au programme de PCSI, et il est admis.
MPSI Proposition 9
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
--. �
Soit I une fonction continue sur Ie segment [a, b] . Pour tout reel e > 0, iI existe une fonction en escalier 0 telle que II - 01 � e.
Demonstration Soit c > U fixe. O'apres Ie IhOOreme de Heine, la fonction sur Ie segment [a. b] est unifOfmement continue sur [a. b ) On peut done trouver un reel 1} > 0 tel que :
f qui est continue
Vx E [a,b] , Vy E [a,b] , Ix - "1 0 O'apresle theorerne 1 0 de la page 419,on peuttrower (jJ E £- (f) et l/J E £+ (f) telles que l/J - (jJ � € On a alors
r W - J[a,r b) J[a.b]
Or, par definition de Q et j3, on a :
0 , 0 � j3 - Q � c (b ce
qui Pfouve Q = j3
-
a) o
422
FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX
Definition 5
_______
Si J est une fonetion continue paT morceaux sur de f sur [a,b) le rrel :
r
J [a.b}
f = sur
{ Jr[a.b)
'P I 'P E c- {f)
}
= inr
[a. b] , on appelle integrale
{ Jr(a.b)
}
,
.p 1 .p E f+(f) .
Coherence Si f est en escalier sur [a, b] , alors elle est continue par morceaux et son inh�grale en tant que fonetion continue paT morceaux est la meme que son
inh?grale en tant que fonetion en escalier. ce qui permet de noteT de 1a meme fa,
1, - >,
I, - >,
1 - 1 + 1 - >,
1 - 1 + 1 - >,
h
h
h
,, 2(& - a)(l>d + 1>,1> 0 , t> ,, 2(b - a)(I>d + 1>,1) < =
0 et done . o
Exemple Deux fonctiom; continues par morceaux sur [a. u] qui sont egaJes s..'lUf en un nombre Hni de points ont la meme integrale car leur difference, qui est nulIe sauf en un nombre fini de points, est une fonction en escalier dont l'integrale est nulle. Proposition 13 (Relation de Chasles) Soil c E j a, h [ et f une fonction definie sur [a.h] .
La fonetion f est continue par morceaux sur [a, b] si, et seulement si, ses restrictions it [a, c] et a [c, b] sont continues par morceaux, et l'on a alors :
;:[a,b] f ;:[a,c] h ;:[c.b] h,.... �
..
" +
Demonstration
demonstration de I'equivalence est similaire a celie corresporldant au cas des fonctlons en escalier. La
Soit alors tp une fonction en escalier sur [a, b 1 plus petite que f. On a : et
CHAP. 1 4 - INTECRATION
425
Par suite :
r = ira,c] r CPh reel ir[a,c) Ih + ir[e,b) ira, bl
le
II'
.e] +
..
r
�
r
i[c,b] CPI(c.&] i[a,c)
II(G.c(
a-(f) }
r + ire,b]
Ille.&I .
Ille.b) qui est un majorant de I'ensemble :
...
cJ
{ ir b \p I [a l ,
II'
est dooc plus grand que la borne superieure de ce dernier. ce qui donne :
r
ira, b]
I�
r
f�
r
i[a,c)
Ih .e] + ..
r
ilc,b] II{c,w
En appliquant ce resulta! a -I, on en deduit I'inegalite inverse, el done :
i[a,b!
r
i[a�] f"
•."
r f",.", + i[�]
o
Remarque Soient I une fonction continue par morceaux sur [a.b] , et U = (X' )iE(O,n( une subdivision adaptee it I. Notons J;. la fonction continue sur [£.-1, Xi ] dont la restriction a ] Xi_I, Xi [ est egale a celie de I . La relation de Chasles nous donne alors :
Ainsi, l'integrale d'une fonction continue par morceaux est la somme d'integrales de fonctions continues.
3.2 Inegalites Proposition 14 -----'" • Une fonction positive et continue par rnorceaux a une inh�gra le positive. •
Si f et 9 sont deux fonctions continues par rnorceaux sur [a, b ] aim'S : f(g=
r f ( Jr[a,b)
J (a,b]
g.
Demonstration ... Si I est poSitive, alers la fonetion nulle appartient a £- (1) et son integrale est plus petite que I'integrale de I qui est done positive. ... 11 sullil d'appliquer Ie resultat precedent a la fonction positive 9 - I el d utiliser la linearite de '
['integrale
0
PROPRIFrEs DE L'INTECRAlE
42. Theoreme 1 5
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Si f est continue par morceaux sur [a, b) , alOTs If I est continue par mor ceaux sur [a, b] et :
I J[a,b] r Ifi. f l J(a,b] f ,;
(x;) iElo,nl une subdivision adaptee a la fonction f AIOfs la restriction de f a chacun des intervalles ] .£.-1, Xi [ est continue et admet des limites en Xi_I
Demonstration
Soil
'U =
II en est done de meme pour la fonction
IfI d'apres les proprietes des limiles. En integrant la double inegalite -IfI ,,;;: f � IfI , on obtien! .
el
Xi'
c'est-a-dire .
r I!I· I irr a,b) !I " ira,b]
o
Interpretation geometrique Comme l'integrale a ele construite (cf. in troduction), la quantite
r
1 [a,b]
If I re-
presente 1a somme des aires des par ties du plan comprises entre I'axe Ox et la courbe representative de f, alors que
r
1 [a,b}
f represente la somme alge-
brique de ces aires, les parties situees sous J'axe Ox etant comptees negative ment. Cela suppose necessairement que les nombres de telles parties soient finis.
a
b
Proposition 16 (Im!galite de la moyenne) -------'" Si f et 9 sont deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] , alors :
I Jrll.f b] f 9 1 ,; [Il.b] If I Jrll.r b] 191· sup
427
CHAP. 14 -INTEGRATION
M = [a,b] 111. On a : Yx la.b] I f(x)g(x)1 "Mlg(x)1 1 1r[a.b] f gl " 1r[a.b) If gl " 1r[a.b] Migi � M 1r[a.b} Igl· sup
Demonstration Nolons
E
et donc :
Corollaire 17
•
o _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si f est continue par morceaux sur
[ a, b ] , alors : (b
-
aJ
sup
I [a,bl fl· o
Demonstration 11 suffit d'appliquer I'inegalite de la moyenne avec 9 = 1 . Theoreme 18 (Inegalite de Cauchy-Schwarz)
Si f et 9 sont deux fonctions continues par morceaux sur Ie segment on a :
'
[a, b ]
(h b] ) h .b] f' h b] 9'. ..
f9
�
0 tel que : , Ix - cl ::;; TJ ==> f(x) � c 't/x E
[a, b
a
�
[a,b] a +-e . c - 1} el (3 = mm. ( -He En posant a = max ( --, c + 17) , oo a : ) 2 2 f J � f J+ f + f i[a.b] i[a.o] i [o,{3] J llfH} J puisque f est positive ;> f J J[o '{ 3 ] ;> (� - a) < > O puisque 'v'x E [0', (3] , I(x) � e ce qui prolNe que I'integrate de f est non nulle. Si c = ou c = b : la lanclian f est continue et f(e) > 0, ee qui prouve que f est strietement positive au voisinage de e II exisle done un reel d E l a, b [ tel que f{d) > O. et a
_
ron est ramene au cas precedent.
0
.. Attention S'il manque l'une des deux hypotheses (continuih� ou positivite), Ie resultat peut tomber en defaut. •
•
La fonction cus est continue et non nulle sur est nulle. La fonction definie sur [0, 1 J par f {x) �
{�
[0, 7T] alors que son integrale
si x t- O si x = 0
est positive et n'est pas la fonction nulle, mais son integrale est nulle.
CHAP. 14 - INTEGRATION
•
429
Neanmoins,si J est positive et continue par morceaux. la demonstration pre croente montre que si son inh�grale est nulle, alors J ne peut pas etre stricte ment positive en un point Oll elle est continue. Comme une fonction continue par morceaux n'a quiun nombre fini de points de discontinuite, on en deduit qu'une fonction continue par morceaux posi tive qui a une integrate nulle est nulle sauf eventuellement en un nombre fini de points. Remarque Le n?sultat du theoreme precedent sera demontre plus simplement dans Ie chapitre suivant en utilisant que si la fonction est continue, alors elle
est la cterivee de la fonction x I-t Corollaire 20
I
f I.
ira,�]
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si f et 9 sont deux fonctions continues sur Ie segment
'' g g' I I a,b] - a,b] a,b] .
(h
) h
[a, b ] , on a :
""
_
h
si, et seulement si, f et 9 sont proportionnelles. Demonstration _
_
>. tel que I = >'!J ou !J = >. I Supposons = y. f ·(l) 2 = ira,b] (ira.b] f f9. ) 'l = >.'l (ira.b] f ·l. f I'l ira.b]
Si I et y sont proportion nelles, il existe un reel par exemple I >. Alors :
Supposons que I'egalile ail lieu et reprenons Ie polyn6me P de la demonstration de I'inegalite de cauchy-Schwarz :
•
•
f U + >. y)'l = >.'l i[a, P(>') = i[".b] ( 1 9 + f 12 . { b] 92 + 2>' i[a.b] i[a,b] Si f 92 = 0, alors y'l est continue positive et a une integrale nulle. La lonelion 9 i[a,b] est done nulle et I et 9 sont proportionnelles. Sinon, Ie polyn6me P a un discriminant nul, et on peut done trouver un reel '>'0 tel que P(AO) 0 La fonetion U + '>' O y)'l est alors continue, positive et d'integrale nulle. Par suite I + '>'0 9 = 0, ce qui prouve que I et 9 sont proportionnelles. 0 �
PROPRIETEs DE L'INTECRALE
430
3.4 Invariance par translation
Proposition 21 -------.., Soient f une fonction continue par morceaux sur [a, b ] et Ct un reel. La fonction fa definiesur (a + a, b + o ] par fo.{x) =. J(x - o:) est continue par morceaux sur [ a + 0, b + a ] et :
r
J [ a,h]
f=
r
}[+0,1>+0)
fa
Demonstration
... Si f est en escalier sur [a. b ] : soil u = (xt};EIO,n] une subdivision adaptee a f. alors la famille (Y;);Elo,nJ definie par y; = Xi + o. est une subdivision de [a + Ct:,b + 0') Si f vaul C; sur !'intervalle ] Xi_t,Xi [ . alors fa est constante el vaul aussi valle ] Xi_ l + a, Xi + 0' [ . Done fa est en escalier sur [ a + 0, b + a ] De plus :
_
Si f est une fonCIion continue par morceaux sur [a, b)
pour tp E £( [a, b l ) , par : 0,.
[-u.) = {"'a I
Done :
( rp = f l[n.b] 1 [a+ o,I>+ 0]
:
c;
sur rinter
d'apn3s Ie resultal precedent. on a
IPo- , Ou l/'o 8stdefiniesur
[ u + o,b+o]
"'a(X) � ",(x - 0) .
'"
E [-U)} ·
o
Exemple Soient T > 0 et f une fonction T-periodique et continue par morceaux sur une periode et donc sur tout segment de FL On a : Va E
�, {
J [a,a+ T]
f�
{
J[O,T]
f.
CHAP. 14 - INTEGRATION
431
En effet, avec les notations de la proposition 21 de la page ci-eontre : • si a = nT, avec n E ll, la periodicite de f nous donne f = fa et done
{ a+T] f. � J{[O,T] f. J{[a,a+T] f � J[a,
sinon, soil n E ll tel que a < nT < a + T. On a
•
J{[a.a+T] f � J{[a,nT] f + J{[71T,a+T] f
� J{[a+T,71T+T] fr + J{[71T,a+T] f � J{[a+T.71T+T] f + J{[..T.a+T] f - J[nT.nT+T! { f - J{[O.T] f
4.
Sommes de Riemann
Definition 7
__ ___
Soient u = (x;).E(O,711 une subdivision de [a. b] et mille de points de [a. b] telle que :
v = (Vi).E(I,nl une fa
Vi E (1. n) , Yi E [Xi_ I , X; ] . Si f est une fonetion continue sur [a. b ] , on appeUe somme de Riemann de associee a la subdivision et a la suite v, la quantite :
u
aU, u, v) �
,
f
L: (x; - x;-,Jf(y;), n
;=1
Remarque La somme de Riemann aU, u, v) est egale a l'integrale d'une fonction en escalier qui vaul f (y;) sur l'intervalle 1 Xi_I'X; [ .
ExempJes leg cas les plus utilises sont ceux ou la subdivision u = (Xi)iElo,n) est a (b - a) pas constant, c•est-a'-d'lI'e Xi = a + t, --, n
SOMMES DE RIEMANN
432 1. Si 'Ii E (I.n) , Yi = x;,on obtient :
a(J, n,v) � 2.
�
-- �
(
)
(
)
b-a b-a i (b - a) L., f a + L., f(x, ) � n ;=1 n ."" n
-
Si Vi E Il,n] , Yi = Xi_ l , on ohtient :
n-' n-' i (b - a) b-a b-a a(f,u, v) � --;;- L f(Xi) � - -L f a + n n 1=0 •=0 3 S'1 'rI'z E (I , nI , Yi = •
R,, (J).
= Sn(f) .
Xi + X;_1 , an abhent : ' 2
4. On utilise egalement la
Un (f) �
�
somme :
R,, (f) + Sn(f) 2
egale a I'integrale de la fonetion affine par morceaux sur [a, b] qui prend les memes valeurs que I aux points de la subdivi sion u. Cette somme s'ecrit aussi :
a
b
Proposition 22 -------.., Soit J une application k-lipschitzienne SUT [a. b] Si 11 est une subdivision de [ a , b] de module o(u) et si v = (Vi) iE(I,nl est une famille de points telle que : 'Vi E (I. n] , y; E [£i-l , xt l ,
.
alors on a :
r ] 1 J{a,,,
f-
aU, u,
v)1
(�
1 " 6(a) � L 11
pres de l'integrale, il suffit de prendre
i(b n
a)
= ,,--: :!:
(a i(b:a))) (b _ a)
S : ::=Sum ( l n ( x_i) , i=l . . n ) * (b-a) / n ;
> a : =l : b : =2 : > n : =10 0 : > eval f ( S ) ;
ln
+
n
n valeur de 1a somme de Riemann
.3897559304
434
SOMMES DE RIEMANN
> evalf (Int (ln ( t ) , t=1 . . 2 ) ) ; .
> int ( ln ( t ) , t=1 . . 2 ) ;
#valeur approchee de l ' integrale
3862943611
#lvaleur exacte
21n(2) > evalf (
.)
-
I
;
.386294361 Si Ie pas de la subdivision tend vers 0, les sommes de Riemann d:une fonction Iipschitzienne sont donc aussi proches que I'on veut de son integrale. Ce resultat est valable aussi pour toute fonction f continue, bien que I'on n'ait plus alors de majoration de
I J(a.{ b] f - aU, u, v)1 '
Proposition 23 -------.., Soit f une application continue sur [a, b] ,
Pour tout reel c > 0, il existe un reel " > 0 tel que pour toute subdivi sion u = (x');Elo,nl et pour toute famille v = (Y;);E (1 nJ verifiant : , 'Vi E ( l , nJ , Yi E [ X;_h X; ) on ail :
o(u) '; ry = Demonstration PCSI
MPSI
( 1 - a(f, u,v) l ,; I J(a,bl
€.
Le resultat est admis en PCSI D'apres la relation de Chasles. on a :
J, f-a(f,u,v) � tJ, f - tJ, � t. /'.. ... (J -f(y,)). ;=1 {"" _Io"';]
(a,b]
_,
;=1 ["'1_1,,,,, 1
1
f(v,)
f,
Soit c > 0 fixe. D'apres Ie IhOOreme de Heine, la fonclion qui est continue sur Ie seg· ment [a, b] est uniformemenl conlinue sur ce segment. On peul donc trouver un feel 71 > 0 lei que :
,
V(x,v) E
[a,b] ' , Ix
- vi "
ry =
I/(x)
- l(y)1 " b�a '
CHAP. 14 - INTEGRATION
435
u a un module inferieur a 11 . pour x E [Xi_ I, Xi] . on a . Ix - Y;I � Ix; - Xi_I I � o(u) � 1] If(x) - f(y,)1 [
•
inf E
f E existe-t-il ?
(irii' J(x)dx iar' fdx(x) )
Si oui, est-i1 atteint ? 13. Soient f et 9 continues par morceaux sur
[a. b].
Montrer que :
On suppose de plus f et 9 continues, trouver une condition necessaire et suffi sante pour avoir une egalite. 14. Etudier la limite de: •
?I- I
U,, = k=l L .jn21 k2
15 . Soit f une fonction continue sur
(V(a.fJ)
Montrer que :
16. Soient
p
J(O) � O.
On POSt! :
E
E tJ·
[a. b['. et
[a. b) .
t J(x) dx
f de [0, 1]
) (vx E [a. I>[ , /(x) � 0)
�0 =
continue sur
t J (n:kP) Etudier la limite de la suite (Un). u" �
k=O
[0, Ij, derivable en ° telle que
Chapitre 1 5
I ntegration et derivation
1.
Primitives et integrale d'une fonction continue
Dans cette section, I est un intervalle de
IR
contenant au moins deux points.
1.1 Definitions Definition 1
_______
Si f est une fonction continue de I dans �, on appelle primitive de f sur I
louie fonction de I dans IR, derivable sur I et dont la derivee est egale a J .
,
Proposition 1 --------.,. Si F est une primitive d'une fonction f continue sur l, alors les primitives de f sur J sont les fonctions F + A avec ). E IR. Demonstration Une lonClion G est une primitive de f si, et seulement si. la fonction G - F a une derivee nulle sur I'intervatle 1 . c'est-a-dire si. el seuremenl si . elle est conslante sur T. 0 Exemple Les primitives de la fcnction polynomiaJe : "
J(x) � L a,x' sont les fonctions F + >. avec :
/0:",0
e'
>. E R
PRIMITIVES ET INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE
444
1.2 Theoreme fondamental Proposition 2 -------_,. Soient f une fonction continue par morceaux sur [ et a un point de I. La fanetion Fo. definie par : est continue sur I. Demonstration Soil en eifel x E I : on peut Irouver h > 0 tel Que I n [ x - It , x + It ] soit un segment. La fanclian f etan! continue par marceaux, elle est bomee sur ce segment par un certain reel AI Pour y E I tel que Ix - yl :;;; h , on a alors :
I Fo(Y) - F.(x)1 � ce qui montre la continuite de F en x .
I f J(t) dtl
0 , 31'/ > 0
•
:
'Vx E J , 0
(i). Si : "Ix E DI n [xo. +00 ( , I(x) = "Ix E DI n ] -oo,xo] , avec lim
"'...."' .. 0
tend vers
( )
£1 X =
n k I(x) = L ak (x - xO) + (x - xo)nc2 (x) k=O
k=O
lim c2(x) = O, alors la fonclion c definie sur
"'-''''0
0 et I'on a :
n L ak (x - XO ) k + (x - XO )"£I (X)
{
DI
par :
£ (x) = c1 (X) s � x � xo £2(X) SI X < Xo n
"Ix E DI , I(x) = L ak (x - XO) k + (x - xotc(x). k=O
o
Ainsi, lon;qu'une fonction f possede en Xo des developpements limites a I'ordre n a droite et a gauche dont les parties regulieres sont differentes, alors elle n'admet pas de developpemenl limite a l'ordre n en Xo . 1
admet un develop?€"" Exemple La fonction 1 definie sur RO par I(x) = 1 + Ixl3 ment limite a I'ordre :3 au voisinage de U a droite puisque : IIR+ (x) = --, = 1 - x3 + 0(x3) 1 +x 1
et un developpement limite a I'ordre 3 au voisinage de 0 a gauche puisque :
Comme Ie:; parties regulieres de ces developpements sont differentes, on en deduit que 1 ne (X'ssede pas de developpement limite it I'ordre 3 en O. En revanche, la fonction 1 admet un developpement limite s'ecrit /(x) = 1 + 0(x2 ) .
a I'ordre
2 en
0 qui
DEFINITIONS, EXEMPU5
.96
1 .5 Developpement limite au voisinage de I'infini
Soit J une fonetion definie au voisinage de +00 ou de -00. On pose : t. =
W x E DJ n R' } ' (�) .
et on note 9 la fonction dlHinie sur
Definition 5
[).
par g(u) = J
_______
La fondion f admet un dtveioppement limite a I'ordre n all voismage de +00 (respectivement 011 voisinage de -(0) si 1a fonction 9 possroe un developpe ment limite it l'ordTe n en 0 a droite (respectivement a gauche), c'est-a-dire s'il existe une (n + i)-Iiste de Teels (ao. al, " " an ) telle que J'on ait, au voi sinage de +00 (respectivement au voisinage de -(0) :
!(x) = .:;-.
ak
� Xk k=O
+0
,
(x"� ) .
Remarque On dit que f admet un developpement limite a l'infini si 9 possede un developpement limite en O .
Elle est alors definie au voisinage de +oc ou au voisinage de nage des deux) et y admet un developpement limite.
-00
(ou au voisi
Exemp/es 1. Developpement limite a l'ordre 2 au voisinage de I'infini de la fonction f definie x su, R \ {l} pM f(x) = x-I I S·I pour x E R' on pose u = - , on a : x 1 I f(x) = ..-"-- = -- . J u 1 u -_ .
La fonction u ......
I a pour deveioppement limite a i'ordre I-u I 2 2 -1 - " = 1 + u + u +o(u )
--
ce qui, en revenant a ia variable x, donne : f(x) = 1 + � + X
�x'l. + 0 (�) . x2
2 en 0 :
CHAP. 17 - EnroE LOCALE ; DEVELOPPEMENTS LlMITEs
497
2. Pour obtenir Ie developpement pft?cedent (en +00) avec MAPLE, on utilise aussi
la fonetion series : >
series (x/ (x-l ) , x=infinitY, 3 ) ;
1 1 (1) 1+-+-+0 x
x2
x3
De la meme fa�on que pour les developpements limites en a E �, iI faut toujours demander un ordre de plus que necessaire a cause de la notation O . 1 .6 Derivabilite et developpement limite
Oeveloppement limite it I'ordre
0
Soit f une fonetion admettant une limite reelle e en Xo E fonetion e sur DJ par e(X) f(x) - e, on obtient :
=
'Ix E OJ , I(x) = e + « x)
avec
R
En definissant la
lim « x) = o.
a l'ordre
30-300
La fonetion f admet done un developpement limite de Xo _
0 au voisinage
Reciproquemenl. Soit f une fonetion possedant un developpement limite a J'ordre 0 en Xo E IR, pour laquelle on peut done trouver un reel ao et une fone tion e verifiant : avec lim e(X) 0_ I(x) = series (tan(x) , x , 6 ) ;
Comme la fonetion tan est de dasse Coo au voisinage de 0, elle y possede un deve loppement limite .it I'ordre 5 et on a done : tan(5) 0 =
2.
2 x 120 = 16. 15
-
Operations sur les developpements limites
L'utilisation de la formule de Taylor-Young n'est pas en general la meilleure me thode pour calculer effectivement Ie developpement limite d'une fonction f, car elle necessite la recherche des derivees successives de f dont Ie calcul est sou vent penible. On prefere Ie plus $Ouvent utiliser les resultats que 1'0n va etablir dans cette partie et qui permettent d'obtenir un developpement limite comme $Omme, produit, quotient, composition ou integration d'autres developpements limites. D'apres les definitions pnkroentes, on voit que les calculs effectifs de develop pements limites s'effectuent en O. C'est pourquoi les resultats qui suivent sont d'abord donnes pour des developpements limites au voisinage de O. 2.1 Somme et produit de developpements limites
Proposition 5 --------..", Soient V une partie de R, ainsi que f et 9 deux applications de V dans R admettant en 0 des deveioppements limite. a J'ordre Tl qui s'ecrivent : et I(x) = P(x) + o(x") g(x) = Q(x) + o(x"). Alors les fonctions f + 9 et f 9 admettent au voisinage de 0 des developpe ments limites a J'ordre n qui s'ecrivent : J(x) + g(x) = P(x) + Q(x) 0(£" ) J(x) g(x) = R(x) + o(x")
+
ou R est Ie polynome obtenu en ne gardant, dans Ie produit P Q, que les termes de degre inferieur ou egal a n.
OPERATIONS SUR LfS DEVELQPPEMENTS UMITEs
500
Demonstration Par hypothese, il existe des fonctions £1 et £2 definies sur V telles que : "'Ix E V , /(x) = P(x) + XnC l (X)
Jim ( ) = 0 lim £2(X) = O.
avec
'-::.
a I'ordre 2 en .c = U,
v3 - :r b) .,fX a l'ordre 3 en x = 2,
.;x a" I ordre 3 en +00. d v'X+2
2.
La fonction x ...... .,fX admet-elle un developpement limite d'ordre n � 1 en 0 ?
3.
Soit n E I'll . La fonetion :
x ...... Ixln
admet-elle un developpement limite d'ordre n en x = ° ?
4.
Calculer les developpements limites suivants : a) ...,rr-=x + JT+X a I'ordre 4 en 0,
b) ( In( 1 + x)) 2 a l'ordre 4 en 0, x2 + [ x, + 2x + 2
d) In e)
a I'ordre 3 en 0,
( _'_ ) a cos:!"
l (x + l ) (x
(
_
I'ordre 4 en 0,
2)
a I'ordre 3 en 0,
)
o In x + Jl + x2 - lnx a l'ordre 4 en +oo , g)
5.
( )
arccos ' + X a l'ordre 2 en O. 2+x
Etudier les asymptotes du graphe de la fonetion : x '!'" {/(x2 - 2Hx + 3).
6.
Etudier Ies branches infinies de la courbe d'equation :
y=
1 (2
_
x
2
x
_
l)e1/:r
522 7.
EXERCICES Soit f la fonction definie par :
I
f(x) = - In x
e"' - l
-_ .
•
a) Ca1culer f(-x) en fonction de f(x). QueUe consequence en deduit-on sur la courbe representative de f ? b) QueUe est I'allure de la courbe au voisinage de 0 ? c) Etudier les variations de f, puis tracer sa courbe representative. 8.
Trouver ies Iimites suivantes : ) lim
.
._a
a'"
- b'" avec x
(a.b) E (R�)'.
b) liIl1, (tanx)tan2'" , ·-
x
. (a:l: + b"' ) ;
oJ hm
2
._a
d) lim
",_0
C- - In(l1+ x) ) , T
. (l + x) t - e . e) lim .-a
9.
x
La fonction f definie par : f(x)
�
{
coo Fx si x < O ch ,fii si x > O
I si x = O
a-t-elle un deveioppement limite au voisinage de 0 ?
).
10. Trouver Ie developpement limite a l'ordre n + au voisinage de 0 de: .' X" f(x) = ln l + x + - + · . . + 2! n!
(
1 1 . Soit f l a fonction definie par : f(x) �
1
1·, •
dt Ii+7'
Donner un deveioppement limite de f en 0 a l'ordre 4.
523
CHAP. 17 - ETuDE LOCALE , DEVELOPPEMENTS UMITEs
12. Determiner a et /, pour que la partie principale en 0 de la fanction : cos x -
1 + ax2 1 + bT2
soit de degre Ie plus grand posssible.
13. Soit 1 la fonction definie sur
] -�, � [ par l(x) = 2 tan x - x .
Montrer que 1 admet une reciproque impaire de c1asse Coo . Donner Ie developpement limite de 1-1 it ordre 6 en O .
I'
n E r.J* , I'equation eX +x - n
14. Montrer que pour lout dans R+ que I'on notera
U".
On definit ainsi une suite (ttn)"�I ' Monlrer que : lim
71_+:;>0
Un
Montrer ensuile que : U" '"
On considere v" = u" - In ·l .
= +00.
In n.
Trouver un equivalent de Vn.
Montrer qu'i1 t'xiste des nombres a et b tels que :
ttn = a lnn + b --;;- + o -;:;:- .
Inn (Inn)
15. Soil :
1 -2I +
u" = + Monlrer que :
en encadranl
1,,+1 "
un "' ln
dt t
.
n
_.
Etudier la convergence de la suite u"
1
. . + -.
- In n.
n
= 0 a une unique solution
524
EXERCICES
16.
Montrer que l'equation tanx = x a une unique solution x.. dans I'intervalle
l-�2 + n1r' �2 + n1r [ Monlrer que x.. puis que x.. Chercher un equivalent de: .
'"" n1r,
Xn
Conclure que :
x.. 17.
=
/1,11" +
- n1r
-- - 1 •
2
'""
- - - + _.I n1l"
�2
_
_.
n.
•
2
mr
( )
1 +o � . n2
1 + __ n7r 2n27r
_ _
SoH une suite reelle lelle que: Un
'rIn E N ,
Un
E 1-1, +00[ .
Monlrer que si o(y'n) alors (1 + �)" '"" e"" . b) Monlrer la reciproque. On pourra d'abord etablir que si -In(1 + ) converge vers 0, alors Un converge veTS O. a)
Un =
Un
18.
u ...
Soil f une fonetion de R+ dans R+ continue telle que: f(x) = x - + o(x 0 el a > 1 . On definit une suite (un) par E R+ et la relation : ax
a
'lI{)
f(u,.). a) Montrer que pour assez petit, la suite est decroissanle el converge vers U. 'rIn E N .
11.'1+1 =
Un
b)
Soil /3 > 0, on pose :
Trouver un equivalent de (x..) En choisissant judicieusemenl /3, trouver un equivalent de la suite ( ) On pouITa utiliser Ie tMoreme de Cesaro (voir exercice du chapitre d) Application : prendre f(x) sinx. c)
Un .
29
=
9).
CHAP. 17
19.
-
ETUm: LOCALE: DEVELOPPEMENTS LIMITEs
Soit (E) I'equation differentielle :
2XV" -Vi + X2V
525
= O.
a) Trouver une solution sur R+ possed.ant un developpement limite en 0 a tout ordre ainsi que ses derivees. b) En effectuant un changement de variable pour ramener I'equation (E) a une equation differentielle lineaire du second ordre a coefficients constants, resoudre I'equation sur R+ et sur I e . c)
QueUes sont les solutions sur R ?
Etudes locales et asymptotiques des courbes parametrees 20. Etudier la courbe parametree par :
x(t) = sint
et
Y
2t . (t) = 2 coscost
On determinera en particulier les points d'inflexion.
21. Tracer [a courbe parametree par :
x(t) = 6t2 + 4t3 + t4
y(t) = 3t2 +2t3 .
et
On etudiera en particulier les points d'inflexion.
22. Un cercle
r roule sans glisser sur une droite. Determiner et tracer la courbe
decrite par un point
/1,11
fixe sur r .
23. Etude de la courbe parametree par : • I'
x
�
" ( 1-,,, , ," )(7 '1-',"' ,)
]4. a) Etude de la courbe
el
r parametree par :
Y
I' ,,-� -; ;_ = 1')(1 ")
= (I
X = 2t.2 _ 2t + t2I el y = 2f + t2I · b) Trouver les coordonnees du point double (point ayant deux antecooents). On pourra utiliser x - y et x + y. c) Trouver des reels a, b et pour que I'on ait : lim y2 - ax - by - c = O. 0 est asymptote On dit alors que la courbe d'equation y2 - ax - by c
t..... ±oo
c =
a r . Quelle est la nature de cette courbe ? En determiner I'axe et Ie sammet.
Chapitre 1 8
Su ites et fonctions com plexes
Le but de ce chapitre est d'etendre aux suites et fonctions a valeurs complexes les principales notions et proprietes des suites et fonctions n.�elles. Toutes les fonctions considerees sonl done definies sur une partie de � et a va leurs dans (. 1,
Glmeralites
1 . 1 L'ensemble F(X, ()
Si f et 9 sont deux applications d'une partie X de IR dans ( et si >. et J-L sont deux complexes, on definil les fonctions .\ f + 11 9 et f 9 en posant, pour X E X : et
(AJ + 1' 9) (X) � AJ(X) + I'g (x)
(J g)(x) � J(x) g(x).
• Notations Soit f une application definie sur X . •
On note IJl la fonction definie sm X pa, IJl(x) � If(x)l·
.. On note Re f et 1m f les fonctions definies sur X par :
(R.ef)(x) � Re(J(x))
et
(Imf)(x) � Im(J(x))
.. On pose 7 = Ref - i 1m! ; c'estla fonction definie sur
X par f(x) = f(x) .
GENERAUTFS
528 Remarques • •
Le cas des suites complexes s'obtient en considerant X = N .
O n note plutot eN I'ensemble des suites complexes.
1 .2 Fonctions bornees Definition 1
_______
st bonlee si If I est majoree c es
On dit que f e
'
3M E IR
,
i si
hl-d re
'Ix E X , If(x)1
:
,
" M.
Remarque Lorsque l'on a :
'Ix E X , If(x)1 " Al,
et
on dit que f s bornee par M. Proposition 1 -
-
......
Etant donnee une fonction complexe f, il est equivalent de dire que J est bornee ou que Re J et [m f sont bornees.
Demonstration Le resultal vlenl des Inegaliles :
I Refl " If I ,
I Imfl " I fl ., If I
"
I Re fl + I lmfl·
o
Proposition 2 -------.... de bornees sur X est X.
Une combinaison lineaire (respectivement un produit) fonctions une falletion bornee sur
Demonstration ... Si f et 9 sont bofnees. alors leurs parties rI�elles et imaginaires sont bofnees. done les parties rf*lIe el ;maginaire de f + 9 aussi. ce qui prowe que f + 9 est borrtee. Si f et 9 sont deux fonctions bornees. on peut Irouver 1141 el 1142 leis que : d'ou I'on deduil .
Vx E X , If(x)1 " Al, ., 'Ix E X . 19(X)1
"
Al,
'Ix E X , I f(x)g(x)1 " Al, Al,.
On en deduil en particulier que si lion k f est bornee
f esl bornee par 114 , alors pour loul complexe k, la fonc 0
CHAI'.
18 - SUITES ET FONCT10NS COMPLEXES
2.
Suites complexes
52.
2.1 Suites convergentes Definition 2
__ ___
On dit qu'une suite complexe U = (U,.)"'EN est cOllvergellte s'il existe A E ( tel que la suite reelle (Iun - Al )nEN converge vers O. Le complexe ). est alors unique. On l'appelle limite de la suite ou
A = lim u.
11
,
et on note :
On dit aussi que la suite U converge vers A. Demonstration S'il existe deux complexes ). et ). ' leis que Itt - ).1 el Itt - >.'1 lendenl vers 0, alors on a l'inegalile : ' 0 ", IA - ,'I '" IA - unl + I"" - >. 1 qui, par passage a la limite sur des suites a lermes n§els, entraine 0 � 1 ). - >" 1 � 0 Done >. = >.' . o
Proposition 3 Etant donnes une suite cornplexe valent de dire : (i) la suite U converge vers A,
-
(ii) les suites
Re
11
u et un nombre complexe
�
.....
A, iI est equi
et 1m U convergent respectivernent vers Re). et 1m >..
Demonstration .. l'implication (i) � (ii) est une consequence des inegalites :
0 ", I Re"" - ReAl '" I"" - AI
el
... L·implication (ii) � (i) est une consequence de :
I Un - AI ", I Reun - ReAl + 1 1m"" - ImAI·
o
Exemples
1. La suite definie par
Un
done lim lui = O.
=
( 1 + i)n converge vers 0 car on a 1"Un 1 2n
( �) ( �)
=
1/# et
i converge vers 1 + 2i car les + 2+ 2 suites n�elles Re u et 1 m u convergent respectivernent veTS 1 et 2.
2. La suite definie par Un
=
1+
530
SUITES COMPLEXES
3. La suite definie par Un = I + n i ne converge pas car 1a suite 1m u ne converge pas.
Si k est un nombre complexe de module strictement inferieur a i, 1a suite geometrique ( k")nEfli converge veTS 0 puisque son module est une suite gro rnetrique de raison Ikl < I . 5. Si (Tn )nEN et (On )nEN sont deux suites n�elles convergeant respectivement veTS r et 8, alors la suite (Tn riO., ) nE N converge veTS r eU} , puisque I'on a :
4.
Tn eiOn = Tn cosOn + i T., sinOn
et que les proprietes des suites reelles prouvent que (Tn COSO")nEN et (Tn sin On )n€ N convergent respectivement veTS r cosO et r sin O .
6. La reciproque du resultat precedent est fausse : on peut avair (1'" (,;(}") nEN qui converge sans que (rn )nEN et (On )"EN convergent. II suffit de prendre par exemple Tn = ( _ )" et en = n1T.
I
Proposition 4 --------.. Si u est une suite convergeant vers A, alors la suite lui converge vers IAI . Demonstration Evident en ulilisant I'inegalite Iriangulaire :
0 ", lI"nl - I.l1I '" I"n - .II·
o
... Attention • La reciproque de la proposition precedente est fausse : la suite Iuni peut converger sans que la suite u converge comme Ie prouve I'exemple de la suite definie par Un = exp(nin/4). La suite des modules est constante et done convergente mais la suite u ne converge pas car la suite rt�elle Re u = (cos(nn/4)} nEr-I ne converge pas. •
Si une suite u a valeurs dans (* converge vers un complexe A '# 0, la suite des arguments principaux (Arg un)n€r-I ne converge pas necessairement, et a fortiori ne converge pas vers Arg A. II suffit pour s'en convaincre de considerer la suite It,., = _ e( - I)"i1f!Jl qui
converge vers - 1 . On a : n Arg Un = -n + - si n est pair, _ n n _ Arg Un = n - - si 7J est impair.
n
l
Corollaire 5
,)
-....
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Toute suite convergente est bornee.
531
CHAP. 18 - SUITES ET FQNCT10NS COMPLEXES
Demonstration Soit u une suite convergeant vers ). . O'apres la propoSitiOfl precedente, la suite reelle lui converge vers 1).1 ; elle est done bornee, ce qui €!quivaut a dire que la suite u est 0 bornee. ... Attention Encore une fois, la reciproque est fausse comme Ie prouve I'exemple de la suite definie par un = exp(nin/4) .
Proposition 6
--. ..
-
Si U est une suite convergeant vers A, alors la suite u converge vers );". Demonstration On a IUn - 'XI = IUn - ). 1 ·
o
2,2 Suites extraites Definition 3
_______
Une suite 11 = (Vn)nEN est appelee suite extraite, ou SQus-suite, d'une suite U = (U.,)n€N s'H existe une application (j), strictement croissante de 1\1 dans 1\1 verifiant : 'in E IN ) Vn = u..,(n) ·
,
Proposition 7 -------" Soit v = (Vn)nEN une suite extraite d'une suite U = (Un)n€N ' Si U converge vers A, alors 11 converge vers A .
Demonstration En eftel, la suite I v - ). 1 est une sous-suite de la suite lu -).1 qui converge 0
_ 0.
Methode On utilise surtout Ie resultat precedent pour demontrer qu'une suite n'est pas convergente en exhibant deux sous-suites convergeant veTS des limites differentes.
Exemple On peut utiliser ce resultat pour donner une preuve de la divergence (non convergence) de la suite l/.n = exp(ni7r/2). II suffit de remarquer que la suite (tl4n)nEI'l est constante et converge veTS I , et que la suite (U4n+l)n€N est constante et converge veTS i. MPSI
Proposition 8 (Theoreme de Balzano-Weierstrass) -------.., Toute suite bornee possede une sous-suite convergente.
PROPRIETEs DES SUITES CONVERGENTES
532 Demonstration
Soil u une suite complexe bornee. La suile reelle Re u est borne8 , on peut done trouver une fondion rp : I\J ....... I\J slrictement croissante lelle que la suite (Reu,.,(n» nEN soil convergenle_ La suite v = (1m u..,(n» nEN est alars bornee el on peul done en extraire une sous suite (v,p(n» n€ N convergente (avec tJ! : tJ -+ I\J stnclemenl crolssante) La suite (1m U",o,p(n»)n€f'.J est done convergente par construchon et la sUite (R.eu",oV>(n»)nEN est convergente comme suite extraite d'une suite convergente Donc la suite (uopo,p(n» n€ N est convergente.
.. Attention La suite extraite de (U (i). Consequence de 0 � If - 'I � I Re f .... Refl 1 1m ! - hnll 0
+
Proposition 13 -------� Si une fanetion complexe f admet une limite en a E �, alors celle-d est unique. On I'appelle la limite de f en a.
Demonstration Si f adme! une limite f en a, alors la partie fI��elle de e est la limite de Re f 0 el la partie imaginaire de P est la limite de 1m f, ce qui prowe l'unicile de l' •
Notation Lorsqu'elle existe, la limite de f en
a
se note lim] ou lim f(x).
Exemp/es
.1 + l,m)1 � 1.\1 11 - II + 1�119 - ml
I/g - lml � 1 / (9 - m) + m (f - 1)1 � 1/1 1 9 - ml + Imlll - II et du fait que f est bornee au voisinage de a.
o�
o
-Proposition 17 -.... Soient ! et 9 deux fonetions complexes definies sur une partie V de IR et telles que : lim! = e et limg = m i= O. 0
o
AloTS fig est definie au voisinage de
Demonstration
a
et lim( fIg) = elm. o
Comme limg = m , la fonction 9 9 admet pour limite mm = Iml2 #- 0 o
en a C'est une fonetion reelle, done on sait que son inverse admet 1/lm12 pour limite en a On peut ators ecrire au voisinage de a :
L f!j � qq
La fooclion
fI
.
.
£ . produit de trois fonetions admettant des limites, admet une limite qui vaut : 9 o
-__ Proposition 18 ---
a
Soit J une fonetion eomplexe admettant une limite f.. E ( en E IR. Si u est une suite d'elements du domaine de definition de f admettant a pour limite, alors la suite (J(un)) nEIII tend vers e.
53.
CONTINUITE SUR UN INTERVALLE
Demonstration Les suites ReU (Un )) et Im(f(Un )) convergent respeclivemenl vers Re f el 1m l, ce qui prouve la convergence de la suite f(u.., ) vers f . 0
Proposition 19 (Composition des limites)
Soit J une fonction complexe admettant une limite f E ( en a E R. Si I{J est une fonction rcelle a valeurs dans Df et admettant a pour limite en to E /R, alors la fonction f 0 I{J admet e pour limite en to·
Demonstration II suf/it d'ecrire Ile(f 0 . lb f(x)dx. o Proposition 42 -... Si I esl continue par morceaux sur [a, b] , alors III est continue par mor ceaux sur [a, b 1 et :
I l f(T) dx l l lf(T)1 dx. "
Demonstrationb •
l f(x)dx E Ii:+ 9 = Ref h = 1mf I,' h(£)dX �O 1,'9(X)dX� I,'/(X)dx � II,'f(X)dx l· 9 = Ref � IfI , [ g(x) dx [ 1 /(x)1 dx el posons
Supposons
el
et
Or,
done :
ce qui donne I'inegalite souhaitee.
,;;
A1ors :
INTEGRATION
546
.... Dans Ie cas general, on peut trouver un nombre complexe >. de module 1 lei que
)'
lb f(x)dx
E R+ .
(II suffit de prendre >. = e-i8 aU 0 est un argument de nulle, el >. = 1 Sinon.) A1ars la fonclion h = >.
f
lb f{x) dx
si celte integrale est non
I t f(L)dXI 1 � l lt ['(X) "'I � It f, (x) "'I " t If, (x) 1 '" t If(x)I '"
a une integrale n!!elle positive el donc, d'apres ce qui precede :
�
�
7.3 Primitives
Soient J un intervalle de � et
o
f une fonction continue de I dans (.
Definition 14 _______ , On appelle primitive de f sur dont la derivee est egale a f.
T
toute fonction F de l dans (, derivable,
Les resuitats sur 1a derivation donnent immediatement : Proposition 43 -------� 1. Une fonetion F definie sur I est une primitive de f sur l si, et seulement si, Re F et 1m F sont primitives respectivementde Ref €ltde 1m f sur f . 2. Si F est une primitive de f sur I , les primitives de fonctions F + ). avec ). E C .
Exemples 1. Si est un complexe non nul, les primitives de tions : 1 ,vee
k
.I; I-->
). X I--> kexp(kx) +). 2. Pour calculer une primitive de f definie par : f(t.) ",.(bi.) exp(at.), �
f sur I sont les
cxp(
EC
k x) sent les fonc-
avec (a,b) E 1R2 et (a,b) oF (0,0), on peut utiliser I'egalite avec g(t) = e(a+i b)l.
f
= Reg
CHAP. 18 - SUITES ET FONCTIONSCOMPLEXES
Comme
G, dt'ifinie par G(t)
deduit que
=
547
a+ � a + , b r( ib)t, est une primitive de
F = Re G est une primitive de f, avec : __. e(a+ibJt) F(t) = (_' a + lb He
=
g,
on en
e + b e a2 a .? ., cos(b t) a2 b2 . , s. (b t) .
+u-
Proposition 44 (Theoreme fondamentaH 1. Si a E I, la fonction definie par :
Fa
+
m
--------�
F.(x) � [ f(t) dt
est I'unique primitive de / sur I qui s'annule en a.
2, Si F est une primitive de / sur J, on a, pour tous points a et b de J :
l f(x)
Demonstration 1 . Comme .
dx �
F(b) - F(a) .
F.(x) � l' f(t)dt � l' (Ref(t) + ; hnf(t» dl �
on a :
f
l' Ref(t.)dt+i 1'lmf(t)dt
ImFa(x) = 1'" lmf(t)dt. R f Faf Re Fa f.f
La fooction etant continue, les fone\lons e et 1m sont continues el d'apres Ie Iheoreme fondamental (cas reel), les fonetions el 1m sont derivables et ont pour derivees respecliveS les fonctions Re et lm La fonction Fa est done derivable et a pour derivee C'esl par consequent une primitive de qui s'annule en a . Comme deux primitives de f sur l'inlervalle I different d'une constante. il ne peul y en avoir qu'une qui s'annule en a est donc vrai pour toutes les primitives de f, puisque 2. Le resutlat. qui est evident pour celles-ci sont egales a a une conslante pres. 0
f
Fa
f·
Fa ,
� _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Corollaire 45 _ ' "
Etant donnee / E C1(I, C) , on a :
feb) - f(a) �
1b I'(t) dt.
INTEGRATION
54'
Theoreme du relevement
7.4
Theoreme 46
-,
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Soit f E Ck(J, () avec k " I telle que fonction Q: E Ck (J, R) telle que :
'It E J , f(t)
'It E
�
I,
If(t)1
�
1 . 11 existe une
e;o(,)
Demonstration �
�
Si Ct repond au probleme, alors l' = i ci etO et a est une primitive de /'Ii!.
Posons done, pour to E I :
a{t) = 0'0 +
I
r' 1'(u) du,
i JIQ f eu)
au 0'0 est un argument de f(to}. c'est-8-dire esttel que f(to) = einQ (Ia foncbon f est de module 1 ). La fonction
I):
est une primitive
(8 priori complexe)
de la fonclion f'lil qui appartient
Ck-'(/, {) . Done E C"(I.q et ron a 0/ = f'/if En posant 9 = f e-ill , on a g' = e-i0(1' - to/!) 0
a
a
= Donc la foflCtion g est constante sur I'intervalle I. el puisque g(to) = /(to) e-"oo = 1 , on en deduit que 9 vaut t sur f . Par suite : Vt E I , /(t) = eia(f).
Enfin a est a valeurs rt�elles puisque pour lout I. E J :
e- 1m(O(f» = letOft) 1 = IfU) 1 = I .
o
Remarques •
•
Soit I une fonction de classe Ck qui ne s'annule pas sur 1. Le theoreme du relevement, applique a 11 111 , nous donne l'existence d'une fonction a de dasse Ck telle qu'en tout point l E I, Ie reel Q(t) soit un argument de I(l) . Mais dans certains cas, on peut trouver explicitement une telle fonction a sans faire appel a ce theoreme. ... Si I = 9 + i h avec 9 a valeurs dans R:, it suffit de prendre
o(t) = arctrul
( )
(�gD .
De meme, si 9 ne prend que des valeurs strictement negatives, on peut "(t) . prendre a(t) = 7l" + arctau g(t}
CHAP.
18 -SUITES ET f.""()NCT10NS COMPLEXES _
Si
f
549
= !1 + i II ne prend pas d� valeur reelle negative au nulle, la fonction
(t) + h(t)2 ) ( '1(t) + Jhg(t), d p est un argument de f(t) pour
definicpM o(t) = 2 an"tan
En effel, c'est une fonction de classe Ck on peut verifier que o(t)
8.
convient.
'
a res les theoremes generaux, et tout t (cj. page 54).
Accroissements finis, formules de Taylor
8.1 Inegalite des accroissements finis Proposition 47 --------., Soit J une fonction de c1asse C1 sur Ie segment [a, b] . Si M designe la borne superieure de 11'1 sur [a, b} , on a :
If(b) - f(a)1 " Mlb - al· Demonstration II suffit de Ie demonlrer dans Ie cas au
on a :
d'oU :
a � b . Puisque
J'
feb) - f(a) � t j' (t.) dt If(b) - f(a)1 � It j'(t) dtl " tlf'(t)1 dt " t dt � M(b M
est continue,
)
- a .
0
.. Attention Le theoreme de Rolle et donc la formule des accroissements fi nis ne sont pas generalisables aux fonctions complexes. Par exemple, la fonc tion definie sur [0,271"] par f(t) = eit verifie f (O) = 1(271"), pourtant sa deri vee J'(t) = i. eit ne s'annule pas sur { O . 271" ] .
Interpretation cinematique • Une fonction complexe peut representer un mouvement ponctuel dans Ie plan euclidien identifie a ( . Sa derivee est alors Ie vecteur vitesse et son module la norme de ce vecteur vitesse. L'inegalite des accroissements finis nous dit que si la vitesse d'un mobile est, entre les instants tJ et t2 , infe rieure en norme a vo, alors Ie mobile parcourt une distance au maximum €gale VO(t2 - t. ) . • Le fait que Ie theoreme de Rolle ne soit pas verifie se traduit par Ie fait que, contrairement a ce qui se passe pour un mouvement rectiligne, Ie mobile peut revenir a son point de depa rt sans pour autant que sa vitesse s'annule.
ACCROISSEMENTS FINIS, FORMULES DETAYLQR
5SO
8.2
Formules de Taylor
Proposition 48 (Fonnule de Taylor avec reste integral) Soient n un entier naturel non nul, I un intervalle et f line fonction de c1asse cn+ 1 sur J . Etant donnes deux elements et de I, on a :
a b I(b) t (b -,k.a)' 1(>' (a) + la' (b -,/)" I'"+" (t) dt. �
n.
k=O
II sulfi! d'appliquer la formule de Taylor aux parties reelle et imaginaire de f et d'utiliser la linearite de I'lntegrale et de la derivation. 0
Demonstration
Proposition 49 (lnegalite de Taylor-Lagrange) � Soient n un entier naturel non nul, I un intervalle et f une fonction de c1asse sur J. Etant donnes deux elements et de I et fvl la borne superieure de la fonction 1 1(n+ 1) I surle segment 1 on a :
Cn+1
a b [a, b (b - a)' I" '(a) " ",lb_-.=.a",I"+,' M. I(b) - U
,
V(x,y) E l'
,
Ix - yl � " = I f(x) - [(y)1 � 0 ,
Montrer que I n'a qu'un nombre fini de zeros.
7.
Dans (, on considere la transformation :
Z + I zi J ,. Z >---+ et la suite definie par la donnee de Zo Etudier la suite (Zn) .
8.
Soit (z,,) unesuite complexe telle que lim z� = 1 et :
n_+' -ft) j , dx. j x2..\+bx+c 2 x2 + bx+c 2 x2 +bx+c
La premi�re partie est egale it : ).
•
'2 ln{x2 + bx + c) + k. Pour la seconde, on met Ie trin6me x2 + b x + c sous forme canonique : j x2 +bx+c , dx -- j (X + �), 2 + W2 dx avec w = Jc- b:
doni on peut donner une primitive a l'aide du resultat suivant (evident en derivantl : j x dx+ u , ( X ) + k 5i E �•. Cette methode montre que Ie resultat est une combinaison lineaire des foncb ) ce qUi. permet de ( J2X+ hons f : X """ In(x2 + bx + c) et 9 : X """ 4c b' chercher une primitive sous la forme Q f + {J 9, avec (Q,{l) E �2 (methode des coefficients indetermines). 2
·
2
:= - arctan a
-
It
a
arctan
Exemp/es 1.
dx Pour ca1culer j x3 - , , on commence par faire une decomposition en eie ments simples sur ( : 1 1 1 j l I x3---1 � :3 -(x----' ) + :3 -(x----,) + P"3 "C(x-':"" _ i" ' ),
CHAI>. 19 -CALCUL arctan
v3
( 2X + l ) +
� on remarque que : 2+ x+2
----r;; v3
k.
,
:r
A .c + J.t x3 x 2 + --;; '"""2 C-;; 'x� 2� + x�+ x2 + 2x + 2 = -
D'apres la remarque de la page ci-contre, on sait qu'il existe une primitive de la forme :
x' F(.c) = 2" - 2x + aln(x2 + 2x + 2) + baretan(x + 1) et en derivant on doit avoir :
x3 2x + 2) + b . x-2+ a( x2 + 2x + 2 = T2 + 2T + 2 En prenant :r: = - I on obtient b := 2 puis avec x = 0 on trouve a = I . Done :
J
::r3 x2 dx = - - 2x + in(x2 + 2x + 2) + 2 aretan(x + l) + k. 2 2 + 2.r+ 2
T
1.2 Primitives des polynomes-exponentielles Proposition 3 --------.. Si a est un eomplexe non nul et P une fonetion polynomiale, alors la fone tion x I-> P(x) ea.x possroe une primitive de la fonne x 1-+ Q(x) eax ou Q est une fonction polynomiale de meme degre que P.
CALCUL DE PRIMITIVES
560
Demonstration
On demontre par recurrence sur n la propriete Hrl : Si P est un polynome de degre stnctement plus petit que n . il exisle un polyn6me Q de meme degn� que P tel que (Q(.'£)eGx)' = P{x) eGx.
HJ esl evident carsi P eS\COnSlanlon peul prendre Q = Pia ... Supposons Un pour n ;) 2 el considerons P un polyn6me de degre 71. Une integration par parties donne : __
J P(x) eGx d.x = �P(x)eax - � J P'(x)eGx(Lc. Le polyn6me P' est de degre n - I el I'hypothese de recurrence pennel de dire qu'il existe un polyn6me Qu de degre n - 1 tel que ! P'(x) eO' dx � Qo(x) eo' + k. I Le polyn6me Q = - (P - Qo) est alors de degre n et veririe : a ! P(x) eO' dx Q(x) eO' + k. �
o
Remarque On peut determiner Q : •
soit en inh�grant plusieurs fois par parties comme dans la demonstration pre cedente,
•
soit en cherchant par une methode de coefficients indtHermines un poly nome Q verifiant :
(eO' Q(x)j' c'est-a-ciire :
�
eO' P(.,)
aQ(x) + Q' (x) � P(x).
Exemples 1. On cherche une primitive de /(x) = e:t(2x:1 + 3x2 - X + 1) sous la forme : On a alors :
F(x) = ,,:t (UT3 + IIx2 + I'X + d),
F'(x) � e'(a x' + (3a + b) x' + (2b+ c)x + (c + d)) ce qui permet de prouver que F est une primitive de / lorsque a = 2, b = 3 - 3u = -3, c = - 1 - 2b = 5 et d = 1 - c = -4.Ona donc :
J eZ(2x� + 3x2 - x + l ) dx
2. Pour evaluer
=
(2x3 _ 3:1;2 + 5x - 4)eX + k.
/ x cosxez dx, on peut ecrire : / x COl> X eX dx = Re (/ xe(1+.) :t dx) .
CHAP. 19 - CALCULS D'INTEGRALES
561
Une integration par parties donne :
!xe{l+')"'dX
Par suite :
( i) l + i .(e(J+ol",dx = e(J+i)", ( --=-�.!.) + k ave s : =solve ( ( p ( u ) = f ( u ) , p ly) = f (v) , p (w) = f (w) } , {A, B , C } ) : > Integrale: =int ( subs ( s , p ( x) ) , x=u . . v) : >
factor ( Integrale) ;
�(v - u) �(u) + f(v) + 4f Gu + H)
La methode de Simpson donne done comme valeur approchee de I'integrale (en posan! h � 5..
(b - a)/n) , (f) � 6"h � {;-: [4f (x;_,2+ x; ) + f(x;-d + f(x;)1 2 f a) f b) � � [ ( ; e + � f(a +; h) + 2 t. f (a + i; 1 h) �
La
suite
80. ,
�(T.,(f) + 2 R�(f)).
qui est baryeentre des suites Tn et rr.." converge done vers
L'interet de cette nouvelle methode t::st qu'elle est d'ordre Ie prouver. Lemme
1
"11 +'
1 f·
4 , comme nous allons
Soit f E C4(1) telle que J!4) soit bornee par /\14 sur l. Si 0:" est un point de 1 et It un nombre positif tel que [0:" - h. 0:" c 1, alors : c.- h
+ h] I f(t) dt .'.U(a + h) + f(a h) + 4f(,,)) I 3 -
-
M 90
,, ' h'.
Mfm-IODFS DE CALeUL APPROCHE
570
Demonstration
D'INTEGRAlES
Si F est une primitive de f sur J , la tonchon rp oofinie sur [0, h) par :
",(t) � F(H t) - F(o - t) - 3t (F'(0 + t) + F'(o - t) + 4F'(o)) est de classe C4 , et on a :
2 a + ') + F'(o - tll - 3t (F"(o + t) - F"(o - ')) - 34 F'(o) � 3(F'( ","(1.) � � (F"(o + t) - F"(o - t)) � (F'''(o + t) + F"'(o - tll
'1"(')
-
"'( ) �
",
,
-
�3 (F" )(o + t) - F" )(o t)) � �3 (1(3)(0 + t) - 1''''(0 - ,) ) -
-
ce qui entraine r.p(O) = rp'(O) = rp"(O) :::: 0 e! :
Irp"'(t) 1 � 2�[4/,2 .
On en deduil :
puis :
el :
o Incertitude de la methode
En posant :
ll, � [, I(t) dt - � [41 (x' '2+ X, ) + f(x,_,) + f(X,)]
X'_l + X•' et h = b-- a ' on obtient :
et en appliquant Ie lemme avec a = ' 2
Ill . l ,;: M, ( b 1 ""' 90
)
a ' 2n -
-
2n
CHAP. 19 - CALCUL tan-· 2 g :
[0,2.]
11' (cos 'it, sin 'it)
definissent deux arcs parametres qui ont meme support. Cornme Ie point (-1,0) admet un seu! antecedent par f et deux antecedents par g, it ne peut pas exister de bijection 'P telle que f = 9 0 'P .
Remarque Soient (J. g) un parametrage admissible d'un arc parametre (I. f) de classe Ck el 'P : 1 ---> J tel que f = 9 0 'P un changement de parametrage de classe Ck• Si Mo est Ie point de paramctre to sur ('arc (1,1), et de paramctre rare (J,g). alors on a : /'('0) � ",'(to)g'(".).
Uo =
rp(to) sur
Comme �'(to) # 0, la relation precedent€' montre que Ie point de parametre to est regulier sur I'are (l. J) si, et seulement si, Ie point de parametre «t) = �(to) est regulier sur I'arc (J, g) et elle etablit que les vecteurs 1'( to) et 9' (uo) sont coli neaires, cequi prouve que les arcs (I, J) et (J. 9) ont meme tangente au point k/o .
2.
Longueur d'un arc parametre Soient tl < t2 et f E Ck ( [ t] , t2 1 , �:l ) . 2.1 Definitions Definition 2
_______
On appelle {o1lgueur de I'arc
( [t] , h ] , f)
Ie reel positif :
tll J'(t)l l dt.
,
58'
CHAP. 20 - I'ROI'RIETEs METRIQUES DES COURBES PARAMETR�E5
-___ -Proposition 1 -Si ( [ul > uz l ,g) s u, < uz,
e t un reparametrage admissible de I'are ( [tJ,lzl, f), alors :
avec
[111'(t)11 � [ lll (u)1 1 dt
duo
La longueur d'un arc parametre est done independante du parametrage ad missible ehoisi.
rp [t" tz 1 gorp . t 1I!'(t) I dt t 1I'I" (t) 9('I'(t))11 dt � 1" 1'I" (t)1 1 9'('I'(t))11 dt.
Demonstration Avec les hypotheses. il existe une application bijective. de elasse Ck et telle que f = On a done :
--
[ ti"
uz 1
�
"
Le ehangement de parametrage rp etant monotone :
u, rpUd = rp(tz) 1" 1I!'(t) I dt 1" 1 9'('I'(t))11 'I"(t)dt � f l g'(u))lI du u, !f'( tz) et Uz rp(t,) t 1I!'(t) 1 dt t I g'('I'(t))II'I" (t) dt � lr.,u, I g'(u)) 1I duo
.. si rp est eroissante alors
et 1tz
=
ce qui donne :
�
t,
.. si rp est deeroissante alors
I,
=
=
�
Exemples 1. Si A
ce qui donne :
-
o
et sont deux points du plan, Ie segment lAB] peut etre parametre par: R' f ' [ 0.1) t t B+ ( l - t) A = A+ t AB. Comme f' = AB, la longueur du segment est done: 1J
�
I--->
�
resultat eonforme a ce que I'on pouvait attendre.
�
LONGUEUR D'UN ARC PARAMETRE
582
2. Soit ( [a, b]
J) une courbe parametree de c1asse C1 , avec a < V. Si u = (ti),E IO n) est une subdivision de I, 1a longueur de 1a ligne polygonale , joignant les points M(to ) , M(td,. . . , M(t,,) est : ,
"
,
L. = L II M(t;-d M(t; ) II . •=1
Comme on a :
on en deduit :
L. ,,;
t t 1I1'(t) II dt = t lll'(t)11 0, la longueur de rarc parametre par f(t) = (a cos3t,a sin3t) avec
I. E [O.
�] , vaut :
l'II J'{t)lI dt � a l ' V9='t,in'tdl . 3a = -· = -3a2 1 i sm2tdt 2 3. Pour la cardio'ide d'equation polaire a (1 + cos0) avec 0 E [0. 21T] et a > 0, Dn a : [" I J'{O) I dO � n [" j'in' 0 + ( I + ",,, 0)' dO 2a 1021< Icoo; I dO 4a 101< cos; dO Ba. (2cost.3sint) avec [O.21T] , a pour lon4. L'ellipse, parametree par f(t) gueur : ["IIJ'{t)lI dt � [" V9co>'t+4,in'tdt, r =
=
0
=
=
=
I =
quantite qui ne peut etre exprimee a I'aide des fonctions elementaires, ce qui a conduit a introduire les integrales et les fonctions dites elliptiques.
3.
Abscisse curviligne sur un arc oriente
3.1
Arc parametre oriente
Definition Etant donne un arc parametre (1, de dasse Ck, on a vu que les reparametrages de cet arc sont les arcs parametres (J, g) de classe Ck pour lesquels it existe un changement de parametrage '{J, de c1asse Ck de 1 dans J, strictement croissant ou strictement decroissant et tel que J = g o '{J.
J)
On appellenrc parnmetreoriente, un arc (1, j) pour lequel on n'autorise que les re parametrages (J, g) correspondant a des applications '{J strictement croissantes.
Tangente orientee Si (1, f) est un arc parametre oriente reguHer et M(t) Ie point de parametre t de eet arc, Ie vecteur non nul est un vecteur directeur de la tangente a I'arc en AI/(l). II definit donc une orientation de ceUe tangente que I'on appelle alors tnllgellie oriel/tee en M(t).
J'(t)
ABSCISSE CURVIUGNE SUR UN ARC ORIENTE
584 Remarque
L'orientation de la tangente en un point ne depend pas du parame
trage de eet arc oriente regulier. En effet. si
(J,g)
est un reparametrage de eet
arc oriente regulier, il existe un changement de parametrage ({J de c1asse dans
J strictement croissant et tel que f = g o 'P, et I'on a :
Ck de I
Vt E I . /,(t) � to , art) � alto ) +
l' 11 !' (u) II du, "
I, on a :
,
CHAP. 20 - PROPRIETEs METRIQUES DES COURBES PARAM�TREES
•
585
'It < to, o(to) o(t) + 1', l !, (u) 1 1 du, 'It E o(t) o(to) + l' 111'( u) 1 ,lu �
,
et done :
1,
�
On en deduit les n?sultats suivants :
"
Proposition 2 -------", 1. Les abscisses eurvilignes de I'are oriente (J, f) sont les primitives de la fonction
1 1' 11.
2. Les abscisses eurvilignes d e I'arc oriente (I,I) sont egales constante additive pres.
(1, 1) 'It E 1 . c:, (t) 111'(t)II·
3. Toule abscisse eurviligne (1 de I'are oriente fie :
It une
est derivable et veri
�
Remarques 1. Si est un element de / , il existe une et une seule abscisse curviligne (1 telle que et verifie : = U. Elle est appelee abscisse curviligne d'origine
to(1(to )
'It olt) � lll!'IV)lI dV.
M{to)
E1.
2. Soient (.!, g) un reparametrage admissible de I'arc oriente (1, f) et rp tel que et u =
orp g rp(t) ofIt) [II!'I")I I dv l' ' �'Iv) I g'I�lv))1I dv 1)g'lw)lI dW f=
alors :
un changement de parametrage de c1asse Ck . Si
:
/
--+
.!
Uo = rp(to)
�
�
carrp' > U
"
�
= a/Au) ce que I'on peut exprimer en disant que I'abscisse eurviligne est independante du parametrage admissible de I'arc oriente (J, f). 3. Un calcul similaire montre que si I'on change I'orientation d'une courbe, les nouvelles abscisses curvilignes sont les opposees des anciennes.
ABSCISSE CURVILIGNE SUR UN ARC ORIENTE
..6
Calcul pratique de l'abscisse curviligne •
•
I(x} = (x,y(x») do dx = Y +y/2. f(t) = (x(t),y(t»),aiors: dO" dt = Y/X'2 + 01/2. f(9) da ./ 2 2 de = Y P + P' .
En representation cartesienne
,
/}
Sil'arcest parametre en cartesiennespar _
•
on a :
H
Si l'are est parametre en polaires par
= p(B) uCO), alors :
a x(t) = a coo3 f yet) = a t [o, �] : do-dl = VT'(t)2+y'(t)2=a v9cos2tsl " Il2 t=-15m2tl=-l:H 32(1 . 32a ,Il2f Vte [ 'j , o-(t}=-""43a cos2t+k. Pour p = aU + cosO) 2 �: = vp(O)2+rI(O)2 = a J 2 0+ +C(80)2 = 2a jcos� I ' 'riO 17(0) = i('o 20 oos"2t dt = 4a n VOe a(O} + if) 2a Icos�l dt=8a-4a!:iil �'
Exemples Soit
1. Pour
> O.
et
!;in3 avec f E
et done :
0' 2
2.
la cardio'ide d'equation polaire
avec (J E [0,
sin
1T
] , on a :
(1
En prenant Ie point M(O) comme origine des abscisses curvilignes, on a : E [0,71"]
e
si 2 '
,
( 7r , 21l" ] ,
= O(7r)
Remarque L'utilisation de [-7r, 7r] comme domaine de variations de () au rait hite les problemes de valeur absolue et donne : 'rJ() E [-7r, 7r ] ,
t2 n 0-·2 0"(0)= lo' 2acos-dt==4asi
CHAP. 20
- PROPRIETEs METRIQUES DES COURBES PARAMETREES
587
3.3 Parametrage par I'abscisse curviligne Dans toute la suite de ce chapitre, on considere un arc oriente regulier (I, f). Proposition 3 -------," Si a est une abscisse curviligne de I'arc oriente regulier (I, f) de classe Ck , alors I'application 0 est un changement de parametrage de classe Ck stric tement croissanl de I'intervalle 1 sur I'intervane J = 0(1). Demonstration L'applicalion (1 elanl une abscisse curviligne de I'arc (1, 1) , elle esl derivable el veri tie tT' = 111'11 Comme f' ne s·annule pas, I'applicalion 11 1'11 esl de classe Ck- 1 sur I (voir page 544), el l'on en deduil que (1 est de classe Ck sur J ... De plus, (1' etant striclemenl positive sur I , la tonction (1 est s!rictemen! croissan!e sur 1 Puisqu'elle est continue, elle delinit une bijection de 1 sur l intelValle .J = tT(I). _
'
_
Comme
' (1
ne s annule pas sur I , sa bijection reciproque est de classe Ck sur J . '
0
Proposition 4 -------.." Avec les notations de la proposition precedente, si I'on pose : g '
.J S
_
�
1R2 I("- '(s))
alors rare (J,g) est un reparametrage de l'are oriente (I, f) . Ce parametrage est dit normal, c'est-a--dire qu'il verifie :
'Vs E J , 119'(s)11 � I .
Le parametrage (J, g) est appele parametrage de I'arc (I, f) par f'abscisse cur
vifigrlc.
Demonstration __ Par definition, on a la relation f = Y 0 (J , Ie changement de paramelrage (J elan! strictement croissant de I dans J, ce qui montre que (J, 9) est un reparametrage de I'arc oriente (1,1). En derivan! la relation f = Y 0 (] , on oblien! : e! donc :
'Vt E I , I'(t) � o'(t ) 9'{o(t)),
I'(t) Vt E 1, III (o(t)) II � II o (t) lI- � 1 '
c'est-a-dire : o
COURBURE O'UN ARC ORIENTE RECULIER
588
4.
Courbure d'un arc oriente regulier
Dans cette section, on considere un arc oriente regulier de c1asse C�· avec k � 2, dont (J, g) est un parametrage par l'abscisse curviligne.
4.1 Courbure, rayon de courbure
...... Proposition 5 Si M(s) est un point de parametre s de I'arc (J. g). iJ existe un unique reel, note 'Y(s) et appete COllrbllre de I'arc au point M (s). tel que : -
�
dT (8) ds
Demonstration �
�
�
'(8)N(s).
.
�
dT En derivantla relation T . T = 1 on obtienl 2 T - = 0 . d.'l ---> -
.
--+
Le veeteur ds est done orthogonal a T . et par consequent colineaire a N . dT
Definition 5
_
_
o
_______
Le point M(s) de parametre s de I'arc (J, g) est biregillier si ')'(s) i O . On
.
appelle alors rayoll de COllrbllre au pomt M(s), Ie reel 'R(s) =
1
,
')'(8)'
Une courbe est biregilliere si tous ses points sont bireguliers,
Proposition 6 -------...., Soit (J, f) un arc parametre regulier. Un point M(t) est biregulier si, et
seulement si, les vecteurs
Demonstration
�
----;It et ----;It sont non colineaires. dOM
Les egalites :
�
dOM
CHAP. PROPRIETEs METRIQUES DESCOURBES PARAMETREES 20
enlrainent :
.
1 :to: DI'\ (dOAi.dlOM) (Is ds2 � . dsdt .
ce qUI donne Ie resullal pUlsque
Remarques •
• •
589
-
� (�n21'
- ¥- ()
I
3 (dS) =
dt
On appelle centre de cOllrbllre en un point biregulier que :
.\1 -;-"" (CC , )C "'"' ( ,)
�
n(
s) IV(8)
Le lieu des centres de courbure d'une courbe
pee de
l'
o
M(s),
Ie point
C(s)
tel
r bireguliere est appele develop
r.
Si I'on change l'orientation d'une eourbe bireguliere : - l'abscisse curviligne est multipliee par - Ie vecteur �
teur N, Ie vecteur
�
T
est multiplie par
dT -
d
�
.
-1 ;
-1,
il en est donc de meme pour Ie vec-
_
est done inchange, et la relation ,N
M(s)
courbure et Ie rayon de courbure sont multiplies par
Le centre de courbure en sur !'arc.
dT = d, 1
�
-
prouve que la
.
ne depend done pas de l'orientation choisie
4.2 Formules de Frlmet
......
-
Proposition 7 -
I existe une fonction Cl de�lasse L
Ck-l
sur
J
telle que :
\:Is E J , T (s) = coso(s)eJ + sin o(s) Ci .
Demonstration L'apphcation s ...... T (8) est de classe Ck- 1 sur J et verilie :
V, E J ,
1 1'(8)11 �
I.
Le resultat est done une consequence du theoreme du relevemenl de la page 548. Dans la suite de eette section, fiant :
c'est-il--dire
a
�
T
---::; (0.£, T)
=
(l
designe une fonetion de classe
=
cos o el + sin o C; ,
et done
---::;
(Ox, N)
=a
+ 2' 'Tr
Ck-1
o sur
J veri
COURBURE D'UN ARC ORIENTE REGUUER
590
Proposition 8 --------.... En tout point d'un arc regulier, on a :
do 'Y � ds
-
�
dN -�
et
'Y T
-
ds
�
,
Demonstration
... En derivan! la relation T = COIl a et + sin a €2 , on oblient : �
� dT da � _ + COSOC:;! ) = do - = --;-- ( - sin O:Pl - N' ".� s .� d d do Par definition de la courbure, on a done "( = ds ' ... En derivanl la relation N = - sin Q ifl + cos Q e2 , on obhent : � dN dO da � - = - l - cosae l Sllla e2) = - T ds ds ds � dN el done ds = -"IT . _
_
-
,
_
�
o
Remarques •
En supposant 1'arc (J.y) biregu ' 1ier, on a
do ds
4 = "( -r
, 0 et I'appI'Ication a est
done une bijection strictement monotone de J sur a( J), de c1asse Ck-1 ainsi que sa reciproque. On peut done inverser I'application a et definir s camme fanction derivable de 0 , ce qui permet d'ecrire :
s
1 plot ( { [ x , y , t=-Pi . . P i ] , [ X , Y , t = - Pi . . Pi ] » ) ;
-.
-,
Courbe definie en coordonnees polaires
•
r=
Pour une courbe definie en coordonnees polaires par p(O), au lieu d'appli quer les resultats precedents, iI est beaucoup plus judicieux de faire les ca1culs a I'aide du repere mobile (0. ii. ij). � � dOM En derivant l'egalite OM = fJii, on obtient � = p' ii, + pv.
COURBURE D'UN ARC ORIENTE REGULIER
596
Abscisse curviligne et repere de Frenet
� dO M
En normant Ie vecteur �
dS _ l z 2 • de - V P � � de dOM s ---;u;• T d � • N = -bit + a v.
=
+ p' ,
a
=B+
t',
btient :
0
= au_ + bv,_ avec a2 + b2 = I ,
Delennination de I'angle
Dn a
= p, u- + p - on
�-
Q
�
[2:rrJ OU V est une mesure de l'angle (u, T ) .
Courbure en 1'-'1(6)
• Si )'on pelit determiner one expression de V en foncHon de {}, on a : ��
d(e + V) de
de
• S'il n'existe pas d'expression simple de
0'
ds'
en fonction de 0 on petit deriver :
coLan V = P '
P
ce qui donne
dV et permet d'utiliser 1a formule ( *) . dB
(
• On pelit egalement utiliser la formule : Dct
dOM d'OM )
--;W-'
de'
��
(dS)' de
qui donne, en calculant Ie produit mixte dans la base orthonormee (U,11) :
ri' 2p" - pp" = (p' + P" )3/' �
+
puisque :
�
R} ,
eomplementaire de B(a, R), est un ouvert de �2 . En effet si Ul est un point de X el si p = I uI on a p R et pour 2 vcrifiant I u uI I p < -R : tout u E �
l
- all ,
a
>
l - i II" - all " lIa, - all - lIa, - all > R eequi prouve B(uI,p - R) e X .
3. L'intersection de deux ouverts VI et Vz est un ouvert. En effet, si u E VI n Vz , tels que B(u,ht} C VI et B(u, h2 ) C V2 • on peut trouver hi et h2 Pour h = min(hi , hz), on a alol'S B(u. h) C VI n Vz .
>0
>0
4. Toule reunion de parties ouvertes est une partie ouverte.
Definition 4
_______
2 2 On dit qu'un point n. E IR est adherent a la partie A de IR si toute boule centree en a et de rayon strictement positif rencontre A , c'est-a-dire :
,
'Ie > 0 , 3a E A Ilu - all 0 est adherent a la
604
PRELIMINAIRES En effet si
a
est un point de .'), pour tout reel ! E 1 0. R [ , Ie point : u=
verifie les relations :
�uo + (1 - �)
a.
el
Remarques
• Une partie de E =
•
�2 est fermee si elle contien! tous ses points adherents.
Une partie A est fermee si, et seulement si, son compJementaire est un ouvert. En effet, E \ A n'est pas un ouverl si, et seulement si, ]'on a : 3a E E \ A , V, > O , B(a,,) n A ,, "
et ceci est equivalent it dire qu'il existe un point adherent a A qui n'est pas dans A .
1.2 Applications partielles associees a une fonction de deux variables Etant donne un point a = (a,.B) E A, on definit les parties A l et A2 de IR par :
A, = {X E IR I (X, jJ) E A) A2 = { Y E R I (U,Y) E A).
el
h :
h detinies par : - �
�
(a,(J)
f(t, (J)
,
.42 - IR t � flu, t)
sont appelees les applicatiolls partielles associees it
Exemples
1. Soient A = {(x,y) E R2 1 x2 _ y2 � et 1 definie sur A par
l(x,y) = J:r2 _ y2 .
A
A,
Les applications 11 et
II : A I t
- - - - - -,,--r-.,.
o}
• Au point (2, 1). les fonctions par tielles 11 VtT=1 et 12 : I 1-+ J4=t'I sont definies res pectivemenl sur : Ai = ] -00, - 1 ] U [ l, +oo [
t 1-+
A, = [ -2, 2] .
f au point
A, u.
,
CHAP. 21
•
-
"UNCTIONS DE DEUX VARIABLES
605
Au point (0,0), la premiere fonction partielle 11 I >-+ ItI est definie sur 1': , alors que la deuxieme fonction partielle n'est definie qu'en O. :
A est un ouvert, on peut trouver h > 0 tel que B(a. h) c A, ce qui prouve gut' les ensembles Al et A2 contiennent respectivement les inter valles ] - h, a + h ( et ] {3 - h, {3 + h [ . Les deux fonctions partielles sont donc definies respectivement au voisinage de et au voisinage de fl. 3. Meme si a est un point adherent a A \ {a }, les fonctions partielles peuvent ne pas €ire definies au vOisinage de a et fl, comme Ie montre J'exemple ci-dessus avec a = (0,0). 2. Si
0"
a:
Les fonctions partielles permettent d'etudier Ie comportement d'une fonction de deux variables Ie long d'une droite parallele it l'un des deux axes de coor donnees. Ce sont des fonctions d'une variable reelle, auxquelles on peut donc appliquer les resultats classiques concernant ces fonctions. Plus generalement, on peut etudier Ie comportement d'une fonction de deux variables sur toute droite passant par un point a = (0, ,3) de A en considerant, pour tout vecteur non nul u = (h, k), la fonction definie par :
'P. (t) � f(a+ t u) � j(o + t h,il + t k). Cependant, nous verrons que I'etude de la limite d'une application de deux va riables ne peut pas se ramener it l'etude de ses restrictions it toutes ces droites, et encore moins a l'etude de ses deux fonctions partielles.
2.
Continuite
2.1
Limite et continuite d'une fonction de deux variables
Definition 5 Soit a un point adherent it A . • On dit que f tend vers 0 en a, ou admet 0 pour limite en a , si :
_______
VU E A , Ilu - all '; ry = If(u) 1 '; E. Etant donne R. E � , on dit que ! a pour limite P en si ! - P tend vers O. VE > O , 3ry > O ,
•
Q
Le reel ( est alors unique et on Ie note : R. = lim ! •
•
ou
e � hm
.-0
feu).
Lorsque a E A, si f admet une limite en a celle-ci est egale it f (a) et on dit que f est continue en fl. .
,
CONTINUITE
606
de Supposons que I admel\e deux limiles £'1 el Soil E: > 0 ; il exisle 1]1 > 0 el '12 > 0 leis que
Demonstration l'uRlcite.
el :
Vu E A , lIu -all '" 'J, ""* If(u) - f>l "" Vu E A , lIu - all '" If(u) - f21 '" . a A. min(fJi, fh ) a � Ilu all If, -i,1 '" If(u) -i,1 + If(u) -(,I ", 2,. "Ie > 0 , It -£2 1 � 2e, £1 = £2 . £. E A, I > lI a -ali � V, If(a) - fl "" t= I(a)
Soil 1] = que
;
'" ""*
comme
est adherent
1} . On a alors :
Done, Dans Ie cas OU a Comme on a "1'1}
I
,
il existe un element
uE
t2 ·
A lei
ce qui prouve supposons que admel\e une limite 0, fl, on en d&:Juit : > 0,
o
ce qui prouve que
Exemples 1. Les projections canoniques :
R, 2 ...... R R2 R (x y) x (x, y) Y R2 Iy, - '" I ( x, . V,) - (X" y,)II · lx, -",I '" 1 (£" V,) - (X" ",)11 2. R2 R (x,y) ...... ()x+/3y+, R2 . 3. L' I A = R2 \ {(O, O)} - R I(x,y) = 3xVX22++yxy2 y) E A, 411 (x,y)I I' ' 1 (x,,,)I I · If(x, y)1 13xlI('x,+,,xYI '" )11 I (x, 11)1 1 E: > 0 = cf4 Vu E A , lIu - 011 '" 'J ""* If(u)1 '" . O. f 4. A R a, et
---+
_
1---+
sont continues en tout point de
puisque : et
1121
Plus generalement, une application affine : _
est continue en tout point de application
definie par :
:
tend vers 0 en (0.0) car, pour tout (.c,
on a :
�
�
On en deduit que pour un
donne iI suffit de prendre 1]
On peut ainsi prolonger par continuit� la fonction
5i une fonction de dans est continue en de A contenant Q est continue en Q .
,
pour avoir :
en pasant 1(0.0) = alors sa restriction it toute partie
CltAt'. 21 - FONCTIONS DE DEUX VARIABLES 2.2
607
Proprietes
Proposition 1 --------.." Si est continue en a alors elle est bonu!e all voisillage de a, c'est-a-dire :
f
3h > 0 , 3M
E R 'iu E A , II" - a ll " h - I f(u)1 " M. ,
En ulilisanl la definilion de la conlinuile avec (par exemple) done Irouver h > 0 lei que .
Demonstration
ce
'iu E A ,
qUt enlraine :
'iu E A ,
c
=
I,
on peul
II" - all " h = If(u) - f(a)1 " 1 II" - all " h = I f(u) 1 " If(a)1 + 1.
o
Proposition 2 -------.,� Si est continue en a = (0:, (3), et si les applications partielles selon a sont definies au voisinage respectivement de 0: et de {3, alors elles sont continues respectivement en ("t et (J.
f
Demonstration
Elan! donne c > 0, la conlinuile de 1 perme! de Irower 1} > 0 lei que :
'iu E A , l Iu - all " " = If(u) - f(a) 1 ,, 0, la rontinuite de f en a pennet de !rouver r, > 0 tel que :
Va E A . Iia - all " 'I """ I/(a) - l(a)1 ,, O . la convergence de (U,,)nEf'.I veTS a permel de trouver 11{) tel que : 'In � no. IIUn - all " ry. Comme pour tout n , Ie vecteur Un est element de A, on en deduit :
'In � no .
•
2.3
ce qui prouve Ie resultat.
lJ(a") - l(a)1 ,,
0 el '/2 > 0 leis que :
�
Va E A , lIa - all .; ry, = If(a) - f(a) 1 .; 21 ,1 + "
En prenant 'J = mill('T/I .'12). pourtoul u E A tel que 111l - all :::;; 'T/ , on a :
1(,If + I'I/)(a) - (,If + �9)(a)l .; 1 ,Il lf(a) - f(a)1 + 1�l lg(a) - 9 (a)l .; O. Comme f est continue en a , elle est bornee au voisinage de a et on peut done
trower 'II > 0 el AI leis que :
Va E A , lIa - all '; .n = If(u)l .; M.
On peut aussi trower 112 > 0 el 713 > 0 leis que :
0, on Cemme g est continue en a , en ulilisanl la definition de la continuile avec e = � peut trouver flo > 0 tel que : Yu E A , Ilu - all ,;; ,� = Ig(u) - g(a)1 Pour u E A et lIu - all � 1}o . on a : Ig(a)I - lg(u)l ,;; 19(a) - g(u)l ,;; g�a) l , el done '
ce qui prouve que rayon 1]0 O. Pour E A el
>
Ig(u)1 ;. l g�a) > 0
1
I
,;; Iy�al
1 I
1/9 est definie sur I'intersection de A avec Ie disque de centre a el de
lIu -all " 7/0. on a alers : 1 1 Ig(a) - g(u)1 ,;; 2 Ig(a) - 9(u)l · � ) g(u) g(a 19(u)l ly(0)1 g(a)' la conlinuite de en a. permet de Irouver '71 > 0 tel que ' Yu E A , lIu - all ,;; = Ig(") - g(a)1 i g(a)' u
!J
I
I
En posan! 1/ = min(7/o, 1/1 ) on a alers :
,;;
",
I
Yu E A , II" - all ,;; " = y � ( ) g(�) ce qui proLNe la continuite de 1/9 en a. Corollaire 5
I
,;;
U , 3'J > U
,
Ilf - I(a) 11 tend
,
Vu E A , Ilu - ali (, ry ==} lif(u) - f(a) 11 (, c.
On designe par qA. R2) I'ensemble des fonctions continues de A dans 1R2, c'est-a-dire des fonctions continues en tout point de A . Proposition 6 -------�
Si I E F(A. 1R2) il est equivalent de dire :
I est continue en a. (ii) Les applications II et 1 sont continues en a. (i) L'application
2
Demonstration
Consequence de l'egalite :
IIf(u) - f(a)1I = V(b(u) - f, (a))' + (h(u) - h(a))'
et des inegalites :
Ib(u) - f, (a)l ,; Ilf(u) - f(alll
et
Ih(ul - h(all ,; IIf(ul - f(alll·
o
� Attention Ne pas confondre :
• les fonctions composantes d'une application a valeurs dans R2 : on a I'equi valence entre la continuite d'une fonction et de ses fonctions composantes,
•
les fonctions partielles d'une fonction I definie sur R2, dont la continuite n'est qU'une condition necessaire de continuite pour I.
612
CONTINUITE
Exemples 1. L application : '
(X2 + x y, 3'2 +2�'lJ2 I )
Il'
(x, y)
+
J1:2
est continue car les deux applications composantes sonl continues d'apres les theoremes sur les fonctioru; de dans R. 2. Toole application affine de est continue car ses applications compo dans sanies sont affines de dans R et done continues.
R2 R2 R2
Les resultats demontres sur la continuite des fonctions de A dans � se gene
ralisen! done faciiement, grace a la proposition precedente, au cas des fonctions vectorielles. En particulier ; •
•
2
si f E F(A . R ) est une fooetion continue en n alors elle est bornee au voisi nage de a ; C(A, IR2) est un R--espace vectoriel .
2.5
Composees de fonctions continues
On considere ici (n,p,q) E { l , 2p .
Proposition 7 -----....., Soient A une partie de Rtl, B une partie de IR"', f E C(A. IRP) et 9 E C(B,Rq) . Si f(A) c B, alors la fonction g o ! est continue sur A .
Demonstration
{Lorsque x E � , la notation Il x ll represenle Ixl.}
SOient a E A et b = f(a) E B . Pour prOlNer que 9 0 f est continue en a il raut etablir :
V< > O , 3,p O , Vu E A , IIU - all ,;; " = l g o /(u) - y o /(a)I ,;; 0 , on peut trouver 7/0 > 0 lei que On peut ensuite trouver 7] > 0 tel que :
Vu E A , lIu - all ,;; " = II/(u) - /(a)1I ,;; ,� . Comme pour tout u E A on sait que f(u) E B . il est alors evident que :
VU E A , IIU - all ,;; " = lIy o /(u) - 9 0 /(a)II ,;; est continue sur U . on peul !rouver 112
> 0 tel que :
Vv E U , I v -ali '" I��(v) - ��(a)1 '" ¥ En supposant l I u -all � min(h" h2 ) an a : 1I (t" y) -all '" lIu - all '" 11, et done : i lx - ol "' illu -all . De la m�me fat;On en appliquant Ie theareme des accroissements finis a la deuxien-.e fenelion partielleenlre (3 el y. on prouvel'existence d'un reel 113 > 0 lei que pour li n -al i � min(h], h3 ) on ait : '" � Iy - i3I '" i l u -all En resume, on a 0 < l I u -al i � min(h . , //..2 , h3 ) ===} Ic(lt)1 � Comme I'inegalite j € (u) j � 1} est aussi valable pour u a, on a done prouve lim c(u) = 0 c'est-a-dire la continuite de en a . 11,
=
fl, '"
fl,
7/ .
=
€
u_o
:
o
CHAP. 21
- FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
619
Remarques •
B ainsi qu'une fonetion e tendant vers 0 ( ) f(a) � f(a) + A (x -0) + B (y - �) + lIa - all £(a)
Lorsqu'il existe des nombres A et en et verifiant :
a
.
on dit que I possCde un dtveloppemel1t limite a l'ordre 1 en a ou que I est differelltiable en
a.
- On a done prouve qu'une fonetion de classe C' sur U possede en tout point de IJ un developpement limite a I'ordre 1 .
a
- Reciproquement si 1 possede en un developpement limite a I'ordre donne par ( *) , alors ses deux fonetions partieJles 11 et h admettent des developpements limites a I'ordre 1 respectivement en n et (3, donnes par :
I
f,(t) � [. (0) + A(t - 0) + It - ol,(t,#) h(t) � hlP) + B(t - #) + It - PIe(o, t)
ce qui prouve leur derivabilite et done I'existenee de derivees partielles pour l en a : et
of (a) B 8y �
mais on ne sait rien en ee qui eoneeme la continuite de ees derivees par tielles. - La differentiabilite d'une fonetion I de deux variables revient a ecrire 1(1t) comme somme d'une eonstante, d'une forme lineaire en - et d'une fonetion negligeable devant 1t - au voisinage de
a.
a
CeUe forme lineaire qui est done :
u
a
(h.k) � h 88xf (a) + k of [)y(a) est unique et s'appelle la diffirelltielle de I en a. On la note diu . On a I'habitude de noter dx et dll les deux formes lineaires coordonnees : dx : (h.k) ...... h et dy ; (h.k) ...... k Avec ces notations, on a :
df. � �uxf (a)dx + 1)8'yf (a)dy. •
Lorsque I est une fonetion de classe = (0',(3,,),) E U et EU;
CI
sur un ouvert de R3 , on a pour
a u = (x,y,z) 8]' (a) + lIa - all ,(a) 8J + (y - �) "(a) + (z - ,) "(a) f(a) � f(a) + (x - 0) of 8z vx uy -.
avec lim "
€(u) = O.
DERIVEES D'ORDRE D'UNE FONCfION DE DEUX VARIABLES
620
J
Proposition 9 -------.c, Si f est de classe C l sur alors elle est continue sur
U,
U.
O'apres la proposition pr8cedente une telie lonclion est somme d'une fonc lion affine, done continue, et d'une application de la forme :
Demonstration
u � lI u - a ll o(u)
qui est continue en a comme produil de deux fonctions continues en a.
o
Remarque CeUe proposition n'a pas d'interet pratique pour demontrer la conti nuite d'une fonction de deux variables car, meme si les derivees partielles sont obtenues par des derivations de fonctions d'une seule variable, ce sont des fonc Hons de deux variables dont la continuite n'est done, a priori, pas plus simple a demontrer que ceJle de f (en plus, il y en a deux 0. ee sont les theoremes generaux qui permettent en general de mOlllrer la conti� nuite d'une fonction aussi bien que son app 0 , f(x,O) � 'P,(x) � ",(x)
OU !.pI et !.p2 sont deux fonctions de classe C1 sur IR qui COIncident sur ��.
3. Soit a resoudre sur R2 I'equation :
(E)
On remarque que lex, y) =
"2 est une solution particuliere.
x'
L'equation (E) etant Iineaire, iI suffit done d'ajouter a cette (olleticn, 1a solution generale de I'equation homogene associee : 8f _ 0f � 0. 3 oy ox
(Eo)
Pour cela, on effectue un changement de variable du type :
{
;I' = U + O: U y = u + fJ v
avec
c'est-a-dire que I'on pose g(u. v) = J(u + Ct v, y = u + (3 v) . La regie de derivation des fonctions composees nous donnel : og
au
-
�
of of ox of oy of + + � au ox ou oy oX i'hJ
-
-
-
-
ox of + oy of 09 � � av ay 8v 8.c 81)
-
a
-
of IJ of + 8y ax
Si on prend Ct = 1 et (3 = -3, I'equation (Eo) est equivalente a c'est-it-dire it g(u, v) = 'P(u), avec 'P de c1asse C 1 sur IR.
�� = u,
I En sous-entendant les points 01'1 se calculent chacune des derivees partielles: (x. y) pour / et (u, u) pour g .
CHAP. 21
-
FONCfIONS DE DEUX VARIABLES
Comme 11 =
3x 4+ y
-
635
' les solutions de (E) sont done :
x' fix, ,,) � 2 + ,p(3x + y )
avec
,p E C ' ( R).
4. Considerons I'equation des ondes en dimension 1 :
&'f 2
1 &'f ax - v2 at2 = U (v E IR�) d'ineonnue la fonetion f(x, t) de C2 (�2 , � ) .
On utilise Ie ehangement de variable :
{ sr == xx +- vtvt
c'eshl-dire que I'on eherche f sous la forme :
f (x,t) = g(x - v t, x + lJ t)
avec
9 E C'(IR').
Les derivations suceessives donnentZ : puis puis equat'Ion est done eqUiva L" • . 1ente La fonetion
'
&'g 0 aras = .
�! est done de la forme : &9s ( s) � (s) avec & d
T.
E C'(R).
En notant
0 , f(tx, ty) � t'f(x, y) .
a) Montrer que les dcriv(-es partieUes d'une fonction homogene de degre T sont homogenes de degn? T
- 1.
b) Montrer que I est homogene de degre r si et seulement si :
8f (x.y) � rf(x,y). f V(x· Y) E Il, . xaay ax (x'Y) + Y-
c) On suppose I de classe ('2. Montrer que :
d) SoH:
21 a 2 a'l l x2 0 2 (x.y) + 2XV 'll �_ ( x , y) + y :4.. (x . y) = r(r - l )/(x ,y). aXviJ 8x UY2
f(x,y) � Montrer que :
.'1:5 + xJy2 + y5 pour x3 + 2y3
x > O et y > O.
' 8'f D'f . fl ( ox Oy ) � ( ax2 ) ( {)y2 )
642
EXERCICES
23. Etudier les e'Xtrema locaux des fonctions suivantes : a) I(x,y) = x3 + y3 sur R2
b) I(x, y) = x2 + y2 + sin(x2 + y2) sur [-I, IF. c) I(x, y) = x2 + 3y2 - 2x - lOy + 2xy + 6 sur R2. d) I(x, y) = e� coo; y sur R2. 24. Soit I la fonction definie par :
y I(x,y) � x' Calculer la derivee de I en un point de ('ellipse eE) d'equation : 2x2 + y2 = a2 - -
dans la direction de la normale a I'ellipse. Que peut-on en deduire sur eE) et les paraboles d'equations y2 = 2p.1; ?
Chapitre 22
I ntegrales m u ltiples
PCSI
Tous les resultats de ce chapitre pourront etre admis.
1.
Integrale double sur un rectangle
Dans toute cette section on considere des feels u, b, c et d tels que u < b et c < d, et on note n Ie rectangle : R � [a, b] x [c, d ] .
1 .1 Integrale d'une fonction en escalier
Definition 1
_______
de n tout couple a = (a], 0"2 ) oil 0"1 = (Xi)O�i�n est une subdivision de (a, b) et 0"2 = (Yj)O';;;j';;;m une subdivision de [c, d] .
On appelle subdivision
Une telle subdivision definit done un decoupage du rectangle tangles [ X._ I, X. ] x [y,_I , Yj ] '
n
,
en des rec
INTEGRALE OOUBlE SUR UN RECTANGLE
644
Y Yrn Ym- l y, y, Yo I I
Definition 2
_______
Une fonclion
r.p
de R dans IR est ell escalier sur R si elle est bornee
,
et s'il existe une subdivision (J = ( Xi)o:S:;;io;;;n ' (YJ )O!iOi"""') de R telle que r.p soit constante sur chaque rectangle ouvert ] X. _I ' X, [ X ] Yj- l , YJ [ pom ;. E ( l , n! el j E ( I , m] .
Vne telle subdivision est dite adoptee a
;.p .
• Notation On designe par £(R) I'ensemble des fonctions en escalier sur n.
Definition 3
_______
E £(R) et (J = ( X;)O ";i:s;;n ' (YJ )o";j..;;;m) une subdivision adaph�e a
0 ,
3�
> 0 , 'I(u,v) E n' , Ilu - vii " � = If(u) - f(v)l " o.
Demonstration Supposons I non uniformement continue sur n. c'est-A-dire : 30
>n
,
'fry > 0 , 3('0, ) E R' ,,
1 1 '0 - vII
,
,; 'I et
Prenons un tel f; > 0 ; pour 1} = 1/2", considerons (u,.", v,, )
)f('O) - f(v)) > o.
E R2 tel que :
)f(",,) - f(v,,)) > o.
et
Les suites (U.')"EIll et (v")nEN ainsi construites verifient :
n lim+o 0, iI existe deux fonc tions t.p et tf; en escalier sur 'R telles que : et
MPSI
Demonstration
tel que :
Puisque f est uniformement continue sur 'R., on peul trower un reel 7J > 0
�(u. v) E n' . lIu - v I I
)
"'
"
==> I/(u) - l(v)1 '"
�.
Si ( Xi)'E o.nl ' (Yj)jElo,ml est une subdivision de R telle que ( e! ' lL I ,, )L g
Proposition 5 (Additivite par rapport au domaine) --------.." Etant donnes E ] a, b [ et E ] c, { , on a pour toute fonc�
Xo Yo d hon 1 E C(R) , lL / � 11,.," ',[0,'/+ 11,.." ', [0,'[ 1 et : f'rIR I = f'rJ[a.b] [c,w] I + f'Jr[a,b] [y(),d] f. x
x
1.4 Calcul de I'integrale double d'une fonction continue Proposition 6 (Theoreme de Fubini) Si E C(R) , on a ,
1
--------��
lL I= [ ([ I(X, Y)dY) dx � [ ([ l(x,Y)dX) dy.
Demonstration C'est evident si f est une fonction en escalier" et on Ie demontre par enca dremenl pour loute fonction continue en u\ilisant Ie corollaire 2 de la page ci·contre.
0
Corollaire 7 -------c.
9 C( [a, b] ) et h C( [c, d] ) on lLg(x)h(y)d:rdy = ([ 9(X) dX) ([h(Y) dY)
Etant donnees deux fonctions
" Altention : dansct! cas fini de points.
fd
E
,
E
f(x,y)dy n'estdHinin prioriquesur
[u,b]
a:
prive d'un nombre
[NTEGRALE OOUBLE O'UNE FONCTION SUR UNE PARTIE BORNEE DE R2
648
Demonstration !i 9(X)h(y)dXdy � l' (ld 9(X) h(Y) dY) dT � l' g(x) (1' h(Y)dY) � (1'9(X)dX) (1'h(Y)'IY) dx
Exemples 1. Calcul de I
o
1 ( = jrJ(O,l flxdy. ] X [O, I) x + y + l
En utilisant la fonnule de Fubini, on obtient :
{' ( (
'
io Jo x +y+ ) dY" ) dx = 11 [ln (x + v + l)l�dT 11(II1(X+ 2) - IIl(X + l))d;r = 31n3 - 41n2. 2. Si = [0. a] x [0. b] est une plaque rectangulaire homogene de densile surfa· cique de masse a, son moment d'inertie par rapport a Ox = jri[Q,a] { (o,bl y20dxdy I�
1
=
R.
est :
lox
x
ml? = O' aTb3 = 3
ou m est la masse totale de la plaque.
2.
Integrale double d'une fonction sur une partie bornee de
IR2
Fonction integrable sur une partie bornee de R2 Soient R = [a, b] x [c,d] un rectangle de IR2 et J une fonction bornee de n dans IR. Notens : • E+(/) I'ensemble des fonctions en escalier sur n plus grandes que f. 2.1
CHAP. 22 - INTEr:RALES MULTIPLES
649
• E- U) I'ensemble des fonctions en esealier sur R plus petites que
f.
• /'1'1 (respectivement m) un majorant (respeetivement un minorant) de f sur R. L' ensemble :
L'ensemble :
(d
-
c) et admet done une borne superieure cr .
est minore par m (b - a) Q � /3.
(d
-
c) et admet done une borne inferieure /3, et l'on a
est maion� par M (b - a)
Definition 5
f
_______
On dit que
est integrable sur R si :
Cette valeur commune est appelee integrate double de ou
Definition 6
f sur R et notee :
fL f(x, y) dxdy.
_______
Scient A une partie bornee de une fonetion bornee de A dans IR un rectangle contenant A. On dit que f est integrable et R = [a. b] x [c. sur A si la fonetion 1 definie sur R par :
�2, f d] E A j(x, y) Wx, y) si (x,y) (x,y) =
5;
,
,
et b > 0) : a)
h)
1 = fL.r;Y dxdY D � {(x,Y) E R' l 0 '; x , O '; y , � j'i{fD 2xydxdy T2 + y2 D = {(x, y) E �2 I 0 :::;; , x2 + y2 -2y :::;; O} I
T
1 = fi exp (:��) dxtly D = {(x,y) E �2 1 U :::;' x , U :::;; y , x + y :::;; I}
d)
)
.
3.
flo lx+yldxdy D � {(x,y) E R' I lxl '; 1 , Iyl '; I}.
Soit X > O et :
D = {(x,y) E �2 1 x � () , y � () , :r2 +y2 :::;; X2} � = {(X,Y) E �2 1 0 � x :::;; X , O :::;; y � X}
a) Ca1culer ;
b) On pose :
J(X) fi e-("'�+l/) dxdy. Donner un encadrement de J(X) a l'aide de c) Montrer que la fonction X lX dx admet une limite en +00 et don =
I.
......
ner la valeur de cette limite.
e-",2
664 4. 5.
EXERCICES CaJculer I'aire du domaine limite par les paraboles
x
� o.
et .1/
= 3 - 3.( et
=a
Determiner I'aire du domaine interieur a la courbe
7.
Soient f une fonction de classe C4 et :
Soit
d
.c � n .
b E R avec b � I. Calculer : b cos�dy dx. 1 = j,;;; (f" cos u �dy dx+ 21/ ) ';;; "2y ) .f..;;; (j.,;; .
,fi
CaJculer les integrales triples suivantes
b)
•
l � !'rio XYf(JX�tY2 (x,y)dxdy. t
a)
y2 = :r2(2 -x)
D = {(X,Y) E R2 I O � x � a , O � y � b}·
CaJculer :
9.
T
Soit (t > O. Trouver I'aire du domaine exterieur au cercle d'equation polaire T et interieur a la cardio'ide d'equation r = a(1 + integrales suivantes : a)
//L (xy + ZJ" + yz)d.rdydz D = {(:r, y,z) E R3 1 x2 + y2 + Z2 � R:.t}.
b)
D = {(x,y,z) E R3 I x2 + y2 � R2 , 0 � z � h}. c) (n.,IJ,c)
E (R�)3
d)
1=
!!L lx2 � y2IdXdydz
D = {(x,y,Z) E R3 1 :r2 + y2 � z2 , O � z :::';; I } . 11. Calculer Ie volume de I'ellipsoide defini par :
{
y,
E = (x, z) E R3 I
:: + � + � I} . :::.;;
12. Calculer les coordonnees du centre d'inertie du solide homogene S defini en coordonnees spheriques par :
{(r,O,1p) ! O � r � R , O � O � 1T , -Ct :::';; 1p :::';; Ct} au 0" E ]0, [ et R E R�. 1T
Chapitre 23
Calculs de cham ps de vecteu rs
Dans tout Ie chapitre, n = 2 ou n = 3 et U est un ouvert de IRn muni de sa structure euc1idienne canonique. (�) Ce chapitre utilise la notion de matTice. (;) Definition 1
_______
On appelle champ de vecteurs sur U toute application de U dans I'!n :
V, 1.
u
M
I
�
�
,
Rn
V(M)
Gradient, divergence, rotationnel
1.1 Oifferentielle, matrice jacobienne Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 sur U. Ses fonctions
composantes (Y.h";"n sont alors de cJasse C1 sur U et verifient, pour A'I E U et h = ( h1 , h2, , hn ) tel que M + h E U : • • •
..;:-- av,'
V;(M + h-) = V; (M) + L., ax . (M) hj + 11 h- 11 o ( h-)
avec lime, = O. o Pour tout point que : avec limE o
= U.
,.. I
J
.
M E U, il existe done une application lineaire notee dVM telle V(M + h) = V(M) + dV,., (h) + Ilhll o(h)
GRADIENT, DIVERGENCE, ROTAT10NNEL
66.
Cette application lineaire, appelee differentielle de V en AI, a pour matrice dans la base canonique de IRn :
( oox)V,(M)) J(i ,}";;n appeJee matrice jacobiel1l1e de V en M. J=
1 .2 Gradient
Rappels
Soit et h
f une application de classe C1 sur U a valeurs dans IR. Pour M E U = (hl.hz, . . , hn) tel que M + h E V , en a : f(M + k) = f(M) + t :: (M) hj + IIkll « k) .
avec lim c = o. °
J
J=I
�
f dont les composantes dans la base canonique de IRn f est appele gradient de f en M. II est tel que : son' (� . (M)) uX, l(i(n f(M + k) = f(M) + k. g;:ad" f + IIkll « h)
Le vecteur gradA!
avec lime = O. °
�
�
On note grad f I'application M 1--+ gradM J. Proprh�tes • •
�
f
L'application 1--+ grad! est une application lineaire de Cl(U,�) dans CO(U, fl") . Elle verifie, pour E CI(U,�) et 9 E CI (U, IR) :
f
�
grad(f g) =
�
�
f grad g + 9 grad f·
ExempJes 1. On a vu page 623 que Ie gradient d'une fonction f definie sur U par :
oil
r 1l0A
divAl V .
n) dans
div V est une application iineaire de C1 (U, �
Elle verifie, pour f E C l (U,�) et V E C I (u,lRn) : div(f V) � (gmrl f).V + J div V. .....
-
Exemple Si V(M)
----+
....
�
=
OM , on a V;(M) = Xi __ r"
110"'11 " all, I rO ax; + =
-
Xi
ce qui donne : .
-
1t
dIVA! V = rO
( -a ) (x;) ro+1
7
....
et donc :
=
I
rO
-
xi
0' ro+2
f x� H-Ct n-O' a IIWr' 1=1
ro+2
=
�=
GRADIENT, DIVERGENCE, ROTAT10NNEL
67.
1 .4 Laplacien Si f est une application de classe C2 sur U a valeurs dans IR, on appelle lAp/nden de / en M E V, Ie- reel : On a
done :
On note 6.1 I'application M
Proprietes • L'application f dans CO (U, IR). •
.......
.......
b.",f.
1:::..1 est une application lineaire de C'l(U, R)
Elle verifie, pour I E C'(U, R) et g E C ' ( U, R )
,
[;. (f g) = 1 [;.9 + 9 [;.1 + 2 (grad J).(gmd g). �
�
Exemp/e Cherchons les fonctions a symetrie spherique, c'est-a-dire ne dependant que de r = II OAI/ II . dont Ie Japlacien est nul sur lJ = Rn \ {OJ (on dit alors qu'elles sont harmoniques).
, . (oM) �
Ol\l
Si I(M) = if'(r). alors grarlAJ f = if" (r) -- et done : r _
f::. Ad = rp (r)dJvAf
-r
, oM
+ gradAl if' (r) · �
l
'
OM OM " - I + "" (r) -= r.p' (r) -. -r r r n-l = rp'(r) -- + rpl/(r). r �
�
On doit done resoudre I'equation differentielle r rpl/(r) + (n - t) a � b.
En effet. si a I b alors b = k a avec k E 7l. et, puisque a et b sont strictement positifs, on a k E tJ· et par suite /) � II Ce resultat est faux dans N puisque, par exemple, 1 I n. .•
-------------
l
Proposition 1 On a (a I b et b I a)
_
Ibl ·
l al =
-__ --
)
Demonstration __
Supposons a I b et b I a. II existe alors des entiers relalifs et a = k' b, ce qui donne a = k' ka .
k
el k' leis que b = k t1
• Si a = O , alors b = k O = 0 et lal = Ihl = o. •
Si a -# 0, alors k' k = 1 Comme k et k' sont des entiers relatils, on a )k) = )k'i = 1 . ee qui monlre lal = Ibl .
.. Si l al = Ibl . alors 1/ = b ou a = -I). Done a l b et /) I U .
o
La proposition suivante est une consequence evidente de la definition.
.
--
Proposition 2 -Soient a et b deux entiers relatifs •
•
Si (u, v) E 71..2 , alors :
(d I a et d I b) ==> d I au + b v .
Si x est un entier non nuL alors :
-..... "
CHAP. 24-
ARITHMETIQUE DANS
683
7L
1 .2 Division euclidienne sur � __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ Theoreme 3 __ --,
Soient a un entier relatif et b un entier naturel non nul. II existe un unique couple d'entiers relatifs (q, r) tel que :
a = bq + r
avec
O :>';; r < b.
•
q est appele quotient de fa division eucfidierlIle de
•
r
est appele Teste de la division eucfidienne de
a par b,
a par b.
Scient (q, r) et (q', r') deux couples veri/iant (*). Montrons que q = q' et r = r' . Puisque 0 � r < b et 0 � r' < b . on a b lq-q'1 = Ir' -rl < b. cequi entraine Iq-q'l = 0 puis r' - r = O.
Demonstration Unicite.
Existence.
.. Si a E N : I·ensemble A = {n E N I n b � a} est une partie de N non vide puisque 0 E A. De plus A est maloree par (I. puisque si n E A , alors n � n b � a (b est non nul done superieur ou egal a. 1 ). Dooc A admet un plus grand element q qui veri/ie alors : • q b � a puisque q E A . (q + 1) b > a pulsque q + l Ij! A
En posant r = a - bq. on a alors (L = b q + r et 0 � r < (q + l ) b - b q = b. •
Cas general : comme b � I. on a lai b � lal. et done a + lal b E N En appelant q' et r les reste et quotient de la division euelidienne de a + lal b par b. on oblient : (t = b(/ + r - I al b = bl./ + r
avec q = q' - lui.
o
Remarques • Si q est Ie quotient et " Ie reste de la division euclidienne de a par b -# 0, on au
R
designe la (onetion partie entiere, pui�ue I'on a I'equivalence : "'q E lL ,
(q � � < q + l ¢::::::} b q :s;; a < bq + b) .
• Si q est Ie quotient de la division euc1idienne de I'entier naturel a par b . l'en semble A = {n E N I n b � a} est l'intervalle 10, q) .
684 PLUS GRANO COMMUN DIVI5EUR (PCeD! ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (PPCMl •
Etant donnes a E 7l et b E N" , ootons q et T les quotient et reste de la division euclidienne de a par b. - Si T = O, alors a = bq et donc h !
u.
- Reciproquement, si b I a, alors on a a = k b + 0 avec k E 7l. el 0 � 0 < b. L'unicite de la division euc1idienne nous donne done k = q et r = O. On a done I'equivalence
b I a � r = O.
ExempJe En MAPLE, la division eudidienne des entiers naturels se fail a l'aide des fonctions iquo et irem, la premiere donnant Ie quotient et la deuxieme Ie reste. > q : =iquo ( 12 3 4 5 6 , 4 5 6 ) ;
q :=
.,.
r : =irem ( 1 2 3 4 5 6 , 4 56 ) ;
> q*456+r;
270
r := 336 123456
2. MPg,
Plus grand commun diviseur (PGCD) et plus petit commun multiple (PPCM)
2.1 Definitions
b deux entiers relatifs. (a,b) t (0,0), I'ensemble des diviseurs communs a
Soient •
a
et
Si (j et b est une par tie de 7l, non vide puisqu'elle eontient I , et majoree par ma.x { lal. Ibl) 1 . Elle possede done un plus grand element, superieur ou egal a L Si a b =F 0, I'ensemble des multiples strictement positifs communs a a et b est une partie de N , non vide ear elle contient la bl . Elle possede donc un plus petit element. •
•
Definition 2 • Le reCD de a et
_______
b, note a 1\ b, est :
.. Ie plus grand des diviseurs communs a a et b lorsque (a, b) .. 0 lorsque a =
•
=F (0,0),
b = O.
Le PPCM de u et 0, note It V b, est :
.. Ie plus petit des multiples strictement positifs communs a a et lorsque a b =F 0, .. 0 lorsque a = 0 ou
b = O.
I E1le est meme majoree par min(lal, Ibl) si a et b sont non nuls
b
,
CHAP. 24- ARITHMETIQUE DANS 7L
685
Remarques • Etant donnes deux entiers relatifs a et b, on a :
et
•
C'est pourquoi I'on supposera souvent par la suite que a et b sont des entiers naturels. Par definition, on a, pour tout a E 7L. : IJ I\ O = lal
et
n V O = O.
• Si a = b = 0, les diviseurs communs a 0 et b sont tous les entiers, et it n'en existe donc pas de plus grand pour la relation d'ordre E;; (voir cependant la remarque de la page 688).
• Si ab = 0, seul 0 est un multiple commun a It et b et il n'existe done pas de multiple strictement positif eommun a a et b. Exemp/e En MAPLE, ce sont les fonetions iged et Hem qui calculent Ie reeD et Ie PPCM , >
igcd ( 3 42 , 5 6 4 ) i
> ilem(342 , 3 6 4 ) i
6 3214� 2.2 Algorilhme d'Euclide __ Proposition 4 Soil (a.b) E IN x f'..j ' . Si a = b q + r, alors : Via) n V(b) � Vir) n V(b)
et par consequent
a I\. b = b I\. T.
Demonsllation
-. Si d E V(a) n V(b), alors d I (bq) et d I a, done d I (ft - bq) = r , par suite d E V(r) nV(b). •
Par symetne, pUlsque r = a - b q , on a aussi VCr) n V(b) c Veal n V(b) .
D'oU regalite
Via) n V(b) � veri n V(b) et done les plus grands eh§ments de V(a) n V(b) et de V(r) n V(b) sont egaux, ce qui donne � _.
0
Le resultat precedent est en particulier vrai lorsque q et r sont respectivement Jes quotient et reste de la division eucJidienne de a par b et done pour ealculer Ie reeD de a et b, it suffit de eaJcuter celui de b et de r.
PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (PGCD) ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (PPCM)
686
Comme r < b, on se ramene a un couple d'entiers plus petits. II suffit alors de recommencer, ce qui constitue I'nlgoritllme d'Euclide que nous decrivons ci dessous. Description
Etant donnes deux entiers naturels a et b, definissons : • TO = a • TI = b. • Pour
n
par Tn.
� 1 , si rn i:- 0, rn+1 est Ie reste de la division euclidienne de Tn_I
La suite T ne peut pas etre definie sur IN, car elle est strictement decroissante a partir du rang 1 et a valeurs dans IN. II existe done un rang N pour lequel on a rN i:- 0 et TN+! O'apres la proposition precedente, on a alors :
= O. a
/\ b
= TO /\ Tl = rl /\ T2 = . . . = 1·N /\ rN+1
et comme TN+I = 0, on a TN /\ TN+! = TN. Le de a et de b est done Ie dernier reste non nul obtenu dans la suite des divisions successives.
peeD
Remarque Historiquement, I'algorithme d'Eudide reposait sur I'egalite V(a) n V(b) = V(a - b) n V(b). II etait ainsi plus long, puisque si q et r sont les quotient et reste de la division eudidienne de a par b, iI fallait q etapes pour se ramener au couple (b, r).
En revanche, i l etait plus simple puisqu'il ne necessitait que des soustractions et pas de division. Algorithme
DONNEES :
VARIABLES :
• x_a
les entiers naturels n et x, y et 1" .
b.
• y_b • tant que y i:- 0 _ _ _
r __ reste de 1 a division de x par y x-y y-r
Rf:SULTAT :
x.
CHAP. 24 -
AR[THMETIQUE DANS Z
687
Remarques
• Lersque b = 0, on n'effedue aucune division et Ie resultat obtenu est bien a = a A tJ. • Lersque a < b, la premiere division donne a pour reste et l'algorithme com mence done par echanger x et y . Par la suite, on a toujours j > y .
2.3
Coefficients de Bezout
Soient a et b deux entiers relatifs. Proposition 5 -------� II existe des entiers relatifs u et v tels que : a u + b v = a l\. b.
Un tel couple (u, v) est appele un couple de coe/ficietJts de Btzollt de a et
b.
Quitte a remplacer a par lal et b par Ibl, i[ sullit de traiter [e cas au a et b sont des entiers nature[s. Oemontrons par recurrence sur b E "'" la propriele HI> . ·Pour lout enlier naturel a, il exisle (u,v) E 7L? tel que au + bv = a A b." Ho est vrale car a x I + 0 x 0 = a = a A O. ... Supposons la propriele vraie /usqu'au rang b - I , avec b E """ . Soil a E ...., ; nolons d Ie PGCO de Q. et b On effectue la division euclidienne de a par b : o � r < h. a = /J(J + r O'apres la proposition 4 de la page 685, on a done d = b A r et la propriete Hr montre qu'il exisle (u', v') E 7l? tel que : bu' + rv' = d. On a donc : bu' + (a - bq)v' = d ce qui donne : a u + bll = d avec u = v' et v = u' - qv' . 0'00 HI>. o
Demonstration
�. .... Proposition 6 -Les diviseurs communs a a et b sont les diviseurs de a I\. b.
En reprenant les notations de I'algorilhme d'Euciide de la page precedenle, on a V(f"o) n V(f"J) = V(f"N) n V(rN+d = V(rN) et donc V(a) n V(b) = V(a A b) ce o qu'il lallail demonlrer.
Demonstration
PLUS GRAND COMMUN D1VISEUR (PC;CD) ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (PPCM)
688
Remarque
Le PCCD de
u
et
b
est done Ie plus grand, au sens de la divisibilite,
des diviseurs positifs communs a Ce resultat est valable meme si
a
et a
b.
It = IJ = 0, car dans ce cas, l'ensemble des di a tJ et 0 est bien Ie plus grand element de tJ
viseurs positifs communs est egal
pour la divisibilite. En revanche, pour I'ordre naturel de
ce cas de plus grand diviseur commun it
a et b.
1\1, il n'existe pas dans
2.4
Entiers premiers entre eux Definition 3
_______
b sont premiers entre eux si fl /\ IJ = 1 , c'est-a-dire si les seuls communs it a et b sont 1 et -1.
Les entiers diviseurs
fl
et
,
Proposition 7 (ldentite de Bezout) -------,,, Les entiers existe (u, v)
a el b sont premiers entre E 712 tel que au + b v = 1 .
eux si, et seulemenl
si, il
Demonstration
... Si a el b sont premiers entre eux, alors a /\ b = l ei, d'apres la proposition 5 de ta page prececlente, it existe (u, v) E 71..2 tel que a u + bv = a 1\ b = 1 S il existe deux entiers relatifs u. el v leis que tL II, + b v = I , alors tout diviseur commun a () et b divise t! I/. + btl done est egat a 1 ou a - I On en deduit que (t el IJ sont premiers entre 0 _
'
Proposition 8 -------, Si
d = a /\ b,
que
a
=
alors il existe deux entiers
da' et b = dfl.
' (j
et II' premiers entre eux tels
Demonstration _ _
Si a = b = O , on a d = U el il suffit de prendre a' = b' = 1 Sinon, comme d divise a el b, il est clair qu'it exisle a' et b' leis que a = d a' et b = d b' . Comme d est Ie PGCD de a el b, il exisle u el v enliers leis que d = a u + b tJ . ce qui donne I = (t' u + b' v . Ainsi. a' et b' sont premiers entre eux o
Corollaire 9
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
� � ,
" Tout nombre rationnel s'eerH sous forme irnMuctible, c'est-il-dire sous la forme
a b
ou
a
et
b sont des entiers premiers entre eux, b etan! non nul.
Pour obtenir cette forme irreductible d'un rationnel quelconque, iI suffit de divi ser son numerateur et son denominateur par leur
PGCD.
CHAP. 24 2.5
ARITHMFrIQUE DANS
7l.
68.
Theoreme de Gauss
-,
Theoreme 1 0 Etant donnes trois entiers relatifs a, b et c, on a :
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
(a 1\ b � 1
et
a I be) => a I
c.
Supposons (l A & = I et a I be. O'apres I'identite de Bezout, il exisle deux eoliers relalirs u et l' leis que au + & v = I , ce qui implique a c u + be v = e Comme a I be. on a a I brv el done :
Demonsb"ation
a I aeu + b r l.' = c.
o
Remarque Ce theoreme est egalement appele parfois lemme de Gauss.
Exemple Etant donne un rationnel possedant deux formes irreductibles
:: et : '
on a al fl2 = U2 bl • Ainsi bl divise (.t) 1J.z, et comme il est premier avec ai, on en deduit qu'il divise � . Par symHrie, on a aussi � I bl . Alors fl2 = c bl avec c = ±l et par suite U2 = c a l . Un rationnel et a A b =
I.
r
s'ecrit done de maniere unique sous la forme
C'est ce que I'on appelle I'ecriture canonique de 1' .
� avee a E
71.. , & E N·
Proposition 11 -------...., Etant donnes trois entiers relatifs a, u et e, on a : (a A n = 1 et
n
A c = 1) {=:} a t>. (be) = 1.
Demonstration .. Supposons a A & = 1 et a A c = 1 On peul monlrer a I'aide du theoreme de Gauss que a el IJr son! premiers entre eux, mais on peut aussi utiliser I'identite de Bezout : si a A b = 1 et a A c = 1 , il existe (u, u,u',v') E tel que :
if4
...
a tt + b u = l et ILu' + cv' = l. En mullipliant membre a membre ces deuxegalites on oblienl alors immediatement une relation du type a U + b (. V = 1 , ce qui prowe que a et b (' sont premiers entre eux. La reciproque est evidente, puisque u A b et u A e sont des diviseurs communs a a el be. 0
Cette proposition 5e generalise facilement par nxurrence a un produit fini quel conque :
Proposition 12 -------'5) Un produit est premier avec un entier a si, et seulement 5i, ehacun de ses facteurs est premier avec a .
690
PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (reCD) ET PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (PPCMl
Corollaire 13
'"
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si a et b sont deux entiers relatifs premiers entre eux, alors on a :
\fern, n) E t.J 2 , am 1\ b" = 1 . 2.6 PPCM
Proposition 14 -------,. Si a et b sont deux entiers premiers entre eux, alors les multiples communs it et b sont les multiples de a b.
a
En particulier, on a a V b =
la bl.
Demonstration
II est evident que les mulliples de a ll sont des multiples communs a a el b. Reciproquement. supposons a I x et b I x : il exisle done un entler c lei que x = be, Gomme a I x et a 1\ b = 1, Ie theoreme de Gauss montre que a divise r:: . II existe done un enlier y tel que c = ay, ce qui donne .L = a b y el prouve Ie resullat. 0
On peut facilement generaliser ce rt?sultat it un produit fini quelconque d'entiers premiers entre eux : Corollaire 15
.. �
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si des entiers premiers entre eux deux it deux divisent un entier a, alors leur produit divise
a.
Corollaire 16
_ '"
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Soient a et b deux entiers. Notons d leur PCCD et prenons a' et b' premiers entre eux tels que = da' et b = db',
a
• Les multiples communs it a et b sont les multiples de d a' b' . • En particulier, on a a V b = d la' h'l et :
(a V b) (a A b) �
labl-
II est evident que d a' b' = a b' = a' b est un multiple de a el b. Reciproquement, soit x un multiple commun a a et b. Alors x est un multiple de d et ron peut ecrire x = dx', avec x' E 7l . On a done a' I 3" et Ii I 3" (m�me si d = 0 , pulsqu'alors a' = b' = I) el comme a' el b' sont premiers entre eux. a' b' I x' . Ainsi d a' b' I d x' = x o Le deuxieme point est immediat.
Demonstration
CHAP. 24
-
ARITHMETIQUE DANS :l:
Corollaire 17
6" ..,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Les multiples communs a a et b sont les multiples de a V b.
Remarque Le PPCM de a et h est done, au sens de la divisibilite, Ie plus petit
des multiples positifs communs a 0 et a b. Le plus grand multiple commun est, quant a lui. egal a 0