Analyse 3 Cours Et Exercices Corriges [PDF]
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Avant propos Cet ouvrage a pour objectif d’aider les étudiants des universités et des classes préparatoires. Le module « Analyse 3 » est enseigné en deuxième année de licence en Mathématiques du système LMD dans les universités Algériennes. Toutefois il semble qu’il serait d’une utilité certaine pour les licences de physique, de chimie et de technologie ainsi qu’à tous ceux qui souhaitent compléter leurs connaissances en mathématiques. Ce manuscrit est constitué de 7 chapitres. Les six premiers chapitres porteront sur les séries numériques, les suites et les séries de fonctions, les séries entières, les séries de Fourier, les intégrales généralisées et les intégrales généralisées dépendant d’un paramètre. Le dernier chapitre porte sur les sujets d’examens proposés pendant les trois dernières années.
Bensalloua Cheniti Maître de conférence Université de M’sila
1
Table des matières I.
I.1. Généralités, condition nécessaire et condition suffisante, séries alternées ...... 4 I.2. Séries à termes positifs ……………..……………………………….…...…….14 I.3. Convergence absolue et séries à termes complexes………….………........…..23 I.4. Etude pratique des séries, règles de Cauchy et de D’Alembert…………....…24 I.5. Produit de deux séries ……………...………………..…………………...…….29 I.6. Autres problèmes………..………………...………………………………….…31
.
II.
Les suites et les séries de fonctions II.1. Les suites de fonctions ………..……………………..…………………………52 II.2. Distances associées à une norme …………………..………….………...…….53 II.3. Suites de fonctions et convergence dans un e.v.n……………..………..…….53 II.4. Convergence simple et uniforme d’une suite de fonctions .....………………54 II.5. Les séries de fonctions ………………………………………. .…………..….62 II.6. Exercices …….…………………………………………………………………71 II.7.Solutions………………………………………..………………………………..73
.
III.
Les séries entières III.1. Rayon de convergence et disque de convergence …………………………….85 III.2. Convergence uniforme et continuité de la somme……………………………94 III.3. Intégration et dérivation terme à terme ……………………...……….…...…97 III.4. Développement en série entière …………….………………………………..101 III.5. Exercices …………………...………………………………………………….102 III. 6. Solutions …………………………………...…………………………………108
.
IV.
Les séries de Fourier IV.1.Généralités………………………….…………………………………………..123 IV.2. Calcul des coefficients ……………………..………………………………….125 IV.3. Les séries de Fourier.…………………...……………………………………..126 IV.4. Convergence des séries de Fourier….………………………………………..129 IV.5. Propriétés des coefficients …………………...……………………………….131 IV.6. Approximation d’une fonction au moyen d’un polynôme trigonométrique …………………………………….…………………………………………133
.
V.
.
Les séries numériques
Les intégrales généralisées V.1. Généralités……………….………..…………………………………………….148 V.2. Critères de convergence ……………………………………………………….152 V.3.Cas des fonctions positives ……………………………………………………..153 V.4. Techniques pour le calcul des intégrales généralisées ………………...……..155 V.5. La convergence absolue …………....…………………………………...……..157 2
V.5. Exercices ……………………………………………………………………..163 V.6. Solutions ………………………………………………………….………….164 VI.
Les intégrales généralisées dépendant d’un paramètre VI.1. Les intégrales dépendant d’un paramètre………...…………………..……168 VI.2. Les intégrales généralisées dépendant d’un paramètre………..…….……170 VI.3. Applications : VI.3.A. Les fonctions spéciales Gamma et Bêta………………………………….174 VI.3.B. Les transformations de Laplace …………………………………………176 VI.3.C. Les transformations de Fourier…………..…………….……………..….178
.
VII.
Sujets d’examens ………………………………………………...………………….180
3
CHAPITRE I Les séries numériques Lorsqu’on étudie une suite de nombres réels ou complexes
u n
nIN
, il est naturel de sommer les n
premiers termes et de voir si cette nouvelle suite appelée suite partielle d’ordre n , a elle-même une limite ou non.
C’est ce qu’on appelle l’étude de la série numérique u n . A de rares exceptions près, on ne saura pas n 0
calculer la limite éventuelle, appelée somme de la série. On tentera cependant de préciser sa nature (convergente ou divergente) ainsi que des équivalents asymptotiques.
I.1. Généralités, conditions nécessaire et suffisante pour la convergence d’une série, séries alternées: (I.1.1) Définition :
u une suite numérique. On pose S u u u u n
Soit
n
n
k
k 0
0
1
2
..... u n .
S est appelée somme partielle ou somme des n premiers termes. n
u n,S est une série qui sera notée u où u
Par définition la donnée -
Si
n
n
n 0
S admet une limite finie S
n
est son terme général.
quand n tend vers l’infini, on dit que la série
n
u n 0
n
est
convergente de somme S lim S n u n . n 0
n
-
Si
S n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente et c’est le cas lorsque lim S n
n
n
ou
lim S
n
n’existe pas.
n
En cas de convergence, on appelle reste partiel d’ordre n le scalaire :
Rn S S n
u
k n 1
k
u
k n 1
k
(I.1.2) Remarques :
La convergence de la série
u n 0
n
vers S signifie :
0, IN : n 0
0
n
u k 0
k
S
Par définition de la convergence d’une série, on a donc :
S
n
S
lim R
n
R
n
0 . Mais on ne doit pas dire qu’une
n
série est convergente si et seulement si son reste d’indice n tend vers 0, car l’existence même de ce reste suppose déjà que la série est convergente. L’unicité de la limite (si elle existe) d’une suite implique l’unicité de la somme d’une série convergente. 4
Déterminer la nature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente. C’est un problème différent que de calculer la somme de cette série en cas de convergence. Parfois les deux problèmes peuvent être traités simultanément. L’énoncé pourra demander de prouver la convergence, puis de calculer la somme. Enfin il est fréquent qu’on puisse prouver la convergence d’une série mais qu’on soit incapable d’en calculer la somme. En cas de convergence, S n peut être considéré comme une approximation de S et Rn peut fournir une évaluation de cette approximation. Si l’on considère la suite a n des chiffres qui compose le développement décimale de ( a0
n0
correspondant au chiffre des unités i.e. 3). On a donc n0
a 10
n n
.
(I.1.3) Propriété : On ne modifie pas la nature (convergence ou divergence) d’une série en modifiant un nombre fini de ses termes. En revanche, s’il y a convergence, on modifie la somme de cette série. Démonstration : Soit u n une série de terme général u n et soit vn la série obtenue à partir de modifiant un nombre fini de termes. Donc, il existe IN tel que pour tout n on ait un vn un vn 0 . 0
S u et T n
k
k 0
n
en
0
n
n
Soit
u
n
vk . La suite de terme général
S T n
k 0
n
est stationnaire, donc
convergente. En effet, pour tout n , 0
01 0 0 1 0 1 n n Sn T n uk vk uk uk vk vk uk vk . k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 k k 0 0 Si l’une des deux suites S n ou T n possède une limite finie, il en est de même de l’autre. n
1
n
(I.1.4) Exemples: 1. Soit la série de terme général
1 e . La série n 0 n!
S lim S n n
2. Soit la série de terme général
lim S
u n défini par
n
un
1 ; alors n!
n
1 et on a k 0 k!
Sn
1
n! est donc convergente de somme S e .
u
n 0 n
défini par
u
n
1
n
; alors
S
2n
1 et
S
2 n 1
0 et par conséquent
n’existe pas et la série est divergente.
n
3. Soit la série de terme général par conséquent
lim S
n
u
n
défini par
u
n
n ; alors
et la série est divergente.
n
(I.1.5) Série géométrique : (Définition et proposition) 5
n
S k 1 2 3 ....... n n
k 0
nn 1 et 2
On appelle série géométrique toute série de terme général n un a r , a, r C ², n IN , a 0 n
( a est le premier terme et r est la raison). On a S n u k a
1 r
n 1
, r 1. 1 r La série géométrique est convergente si et seulement si r 1 et dans ce cas on a k 0
S lim S n u n n 0
n
a 1 r
Démonstration: n
n
k 0
k 0 n
n
On a S n u k a r a ; r .
1 r
k
k 0
n
r r r
Si r 1 , alors
k
k
k 0 n
k 0
k 1
1 r
n 1
.
S a an 1 et lim S n
n
k 0
n
a lim n 1 ; donc la série est divergente. n
n 1
1 lim r 1 r n lim S n a Si r 1 , alors S n a . 1 r 1 r n On distinguera les cas suivants : (i) Si r 1 alors lim S n donc la série est divergente. n 1
n
(ii) Si r 1 r e , 0,2 donc la série est divergente. i
(iii) Si r 1 alors
lim S n
n
a donc la série est convergente. Dans ce cas, son reste est 1 r
donnée par :
R
n
n 1
u a 1r r
k
k n 1
(I.1.6) Proposition: (Séries télescopiques)
a a est convergente si et seulement si la suite a est convergente et dans ce cas on
La série
n 0
n
n 1
n
a:
S an an 1 a0 lim an 1 .
n 0
n
Démonstration:
S n ak ak 1 a0 a1 a1 a2 a2 a3 ........ an an1 a0 an1 n
n 0
Par passage à la limite on a :
lim S a lim a n
n
0
(I.1.7) Exemples: 6
n
n 1
1) Soit à étudier la série suivante : 1
nn 1 n 1
On remarque que son terme général s’écrit (par décomposition en éléments simples) sous la forme suivante 1 1 1 nn 1 n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n IN *, S n et par 1 ......... 1 k 1 2 2 3 n 1 n n 1 k 1 k k 1 k 1 k conséquent
lim S n
n
1 lim n
1 1. n 1
La série est convergente de somme S 1 . 1 2) Soit la série . On peut écrire son terme général (multiplication par l’expression n 1 n n0 conjuguée) sous la forme suivante : 1 un n 1 n n n 1 n n 1 n IN *, S n k k 1 k 1 k k 0 k 0 0 1 1 2 ......... n n 1 n 1 .
n
La série donnée est divergente. (I.1.8) Remarques: 1) C’est l’unique cas où l’étude d’une série revient à l’étude d’une suite ! La proposition précédente nous permet de passer de l’étude d’une série à l’étude d’une suite et réciproquement. Soit par exemple à étudier la suite an définie par
n 1 an k 1 k ln n, n IN * .
On calcule la différence n n 1 1 1 1 1 1 1 1 ln n ln n 1 ln 1 an an1 n n 1 n n 1 2n ² k 1 k k 1 k Qui est la somme de deux séries convergentes donc convergente. Par conséquent la série de terme général an an1 est convergente ce qui équivaut à dire que la suite an est convergente.
2) Soit f une fonction telle que
f t dt existe et est finie. Si l’on considère la suite u
n
de terme général
0
u f t dt , alors la série u n
défini par :
n
n 1
u n est la série de terme général
0
f t dt et le reste d’ordre n est R
f t dt . Cette série n
converge vers
n 1
n
f t dt .
n 1
0
7
(I.1.09) Proposition:
Soit
u n 0
v
et n
n 0
(i) La série
n
deux séries convergentes. Alors
u v est convergente et on a u v u v n 0
n
n
n
n 0
n
n
n 0
n
n 0
u est convergente et on a u u
(ii) La série
n 0
n
.
n
n 0
n 0
n
.
Démonstration:
n 0
n 0
(i) Soient S u n et T vn . Alors :
n
0
S 0 IN n S S n 1 1 2 n S 0 IN n T T n lim T n 2 2 2 n max , S T S n T n S S n T T n
lim S
n
1
2
u v est convergente de somme S T .
Ceci montre que la série
n
n 0
n
(ii) Si 0 , le résultat est trivial. Supposons que 0 , alors S 0 IN n S Sn Sn lim 1 1 n
n S u k S S n n
1
k 0
u est convergente de somme S .
Donc la série
n
n 0
(I.1.10) Remarques:
L’ensemble des séries convergentes (muni des lois usuelles des suites) est un sous espace vectoriel des suites muni des lois usuelles (réel ou complexe suivant le cas). La somme de deux séries l’une convergente, l’autre divergente est une série divergente. On ne peut rien dire dans le cas de la somme de deux séries divergentes.
Si
u n 0
n
et
v n 0
n
sont deux séries divergentes, alors la série somme
convergente. Si on prend par exemple
u n vn
1 1 n 1
u v peut être
n
u
n
1
n 1
n 0
et vn
1 , on a
n
n
n
1 1 1 0 uk vk 0 un vn 0 . n
n
k 0
n 0
8
u v est convergente.
Par conséquent
n
n 0
n
(I.1.11) Proposition :
Soit
u n 0
n
u est aussi divergente.
une série divergente et IK * . Alors la série
n 0
n
Démonstration:
u est une série convergente. En utilisant la proposition
Par la contraposée. Supposons que
n
n 0
u u
précédente (1.5) (ii) on trouve que la série
1
n
n 0
n 0
n
est convergente.
(I.1.12) Corollaire : Si IK * , alors les deux séries
u sont de même nature.
u n 0
n
et
n
n 0
(I.1.13) Proposition : (Convergence d’une série complexe)
a
La série complexe
n 0
i bn est convergente si et seulement si les deux séries réelles n
a n 0
n
et
b n 0
n
sont convergentes.
Démonstration :
n ak et bk . On a S n ak i bk n i . On en déduit que la suite n
On pose
n
k 0
n
n
k 0
k 0
n
S est convergente si et seulement si les deux suites et sont convergentes c’est-à-dire si et n
n
seulement si les deux séries réelles
a n 0
n
n
et
b n 0
sont convergentes.
n
(I.1.14) Condition de Cauchy:
La série (réelle ou complexe)
u n 0
n
est convergente si et seulement si elle vérifie la condition de
Cauchy: q
0, N IN , p, q IN ² : q p N
u
k p 1
(I.1.15) Remarques :
Pour m, n IN tels que m n 1, on a :
S m S n1
m
n 1
k 0
k 0
uk uk
n 1
m
n 1
k 0
k n
k 0
uk uk uk
Le critère de Cauchy peut encore s’écrire :
9
m
u k n
k
k
.
0, N IN : m n N
0, N IN : n N et p 0
Si l’on pose S n q
m
u
Sm Sn
k n 1
k
S n p S n1
n p
u k n
k
q
u
k n 1
k
, le critère de Cauchy devient :
0, N IN : n N et p 0
La négation du critère de Cauchy est : 0, N IN : m n N et
S
m
S
n p n
Sn
(I.1.16) Exemples :
1. La série harmonique
1
n
est divergente car elle ne vérifie pas la condition de Cauchy.
n 1
En effet ; 1 N IN p n, q 2 p 1 IN ² et 2
2. La série
1
n²
2 n 1
u
k n 1
k
1 2
est de Cauchy.
n 1
Pour p q : p
q p 1 1 1 k 1 k ² k 1 k ² k q 1 k ²
0 S p Sq
On utilise l’inégalité suivante vraie pour k 2 : 1 1 1 1 k ² k k 1 k 1 k Et en reportant on obtient : p p 1 1 1 1 1 0 S p Sq . k q p k q 1 k ² k q 1 k 1 Comme ce dernier terme tend vers 0 quand p, q tendent vers , on déduit que la suite Cauchy donc la série donnée l’est aussi.
S est de n
(I.1.17) Condition nécessaire pour la convergence d’une série :
u est une suite qui converge vers 0. (ii) La convergence de la suite du terme général u vers 0 n’entraîne pas la convergence de la série
(i) Si la série
u n 0
n
est convergente alors
n
n
u n 0
n
.
Démonstration :
10
(i) Soit
u n 0
n
une série convergente, donc elle vérifie la condition de Cauchy. p 1
0, N IN , p, q p 1 IN ² : q p N
u
k p 1
p N
u
p 1
k
lim u p 1 0 . p
On peut également remarquer que un S n S n1 lim un lim S n lim S n1 0 . n
n
(ii) Mais la réciproque n’est pas vraie, en d’autres termes si
n
u converge vers 0 ceci n’entraîne pas n
nécessairement la convergence de la série
u n 0
(Par exemple la série harmonique
n
1
n
est
n 1
divergente alors que son terme général tend vers 0). La condition suivante
lim u
n
0 est une condition nécessaire et elle ne suffit pas à elle-même
n
seule pour assurer la convergence de la série u n . n 0
(I.1.18) Remarque très importante : (La contraposée) Si lim u n 0 ou si n
lim un n’existe pas, alors la série n
u n 0
n
est dite grossièrement divergente. (C’est
la contraposée de la proposition précédente).Ainsi les séries suivantes sont toutes divergentes n 1 n , n ! , , 1 cos n , etc. n n 1 n 1 n 1 n 1 Car leurs termes généraux ne tendent pas vers 0. n La série géométrique de terme général un u0 k , k C ne tend pas vers 0 dès que k 1 et u0 0 ne peut pas donc converger dans ce cas. Pour tout réel x , la série de terme général u n cosnx est grossièrement divergente.
(I.1.19) Condition suffisante pour la convergence d’une série :(Règle d’Abel ou de Weierstrass)
Pour qu’une série
u n 0
(i) (ii)
n
soit convergente il suffit qu’il existe deux suites
u a v , n IN a 0, a est décroissante et lim a n
n
n
a et v telles que : n
n
n
n
0
n
(iii) M 0, n IN ,
n
n
v p 0
p
M i.e. la suite V n v p est bornée p 0
Démonstration:
11
n
n
On pose V n v p et démontrons que p 0
u n 0
n
vérifie la condition de Cauchy.
Soient m et n deux entiers naturels tels que m n 0 . m
u p n
p
m
a v p
p n
p
a v a v n
n 1
n
n 1
an 2 vn 2 ............. am vm
a V V a V V a V V ............. a V V a V a a V ...................... a a V a V M a M a a .................. M a a M a 2M a .
n
n 1
n
n 1
n
n 1
n 1
n
n
n 1
n2
n 1
m 1
n
n 1
n
n2
n
m1
m
m 1
m
m
m
m
m1
m
m
n
0 0 IN n an 1 1 2M m m n u p 2M an 2M 1 2M p n
lim a n
n
(I.1.20) Exemple: int
La série e n 1
est convergente si et seulement si t 2k ; k Z .
n
int
En effet ; si t 2k e e 1 , donc la série e n 2 ki
int
n 1
Supposons que t 2k ; k Z et posant an décroissance. n
n
On pose vk k 0
k 0
n
e it
n
On a 1 a a a k 0
k
k
n
int
n
. Il est clair que la suite
a tend vers 0 par n
k
it
k 0
k 1
1 a
n
v k 0
v e
a ; avec a e .
k 0
1 , n
1 est divergente. n 1 n
k
n 1
1 a
n 1
1 a
. On en tire
i n 1t
n 1
1 a
1 a
1 e
1 e
it
2
21 cos t
1 t sin 2
n 1 M 0 n IN : M v k t k 0 sin 2 int
En utilisant la condition suffisante de la convergence d’une série, on voit que la série e n 1
si t 2k ; k Z . (I.1.21) Définition: (Série alternée)
On appelle série alternée toute série numérique de terme général de la forme suivante : 12
n
converge
u
n
1na ,
n IN où
n
a est une suite réelle à termes positifs. n
(I.1.22) Proposition: (critère de Leibniz ou des séries alternées C.S.S.A)
1n a
a tende vers 0 par décroissance. Dans ce cas sa somme est égale à la limite commune des deux suites adjacentes S et S . En outre R possède le signe de u 1 a et on a Pour qu’une série alternée
n 0
soit convergente il suffit que la suite
n
n
2n
n 1
2 n 1
n 1
n
n 1
l’inégalité importante suivante :
R
n
u
n 1
an1 .
Démonstration :
1 et donc la série est convergente. Soit n
C’est un cas particulier de la règle d’Abel en prenant vn n
S n u k sa somme partielle et k 0
2n2
u
Rn
k n 1
2n
uk uk u2n2 u2n1
S 2n2 S 2n
k 0
k 0
S est une suite décroissante S 2n1 S 2n1
2 n 1
S
i.e.
2n
2 n 2
k
1
2 n 1 k 0
S est une suite croissante i.e. S 2 n 1
2 n 1
2n2
a
2n2
1
2 n 1
a
2 n 1
a2 n 2 a2 n1 0 Donc
S 2n S 2n2 ...... S 0 .
uk uk u2n1 u2n1 k 0
son reste d’ordre n.
1
2 n 1
a
2 n 1
1
2n
a
2n
a2 n1 a2 n 0 Donc
S 2n1 S 2n3 ...... S1 .
S S u u u u 1 a 1 a a a 0 Donc S est une suite décroissante. S S 1 a a 0 S lim a 0 , alors S et S sont adjacentes ; donc Et puisque lim S convergentes vers la même limite l u : S l S S S l u 1 a 1 a 1 a 1 a ...... a a a a a ...... . S l a a a a a ...... a S S 2n2
2n2
2n
2n
k
k 0
2n2
2n2
k
k 0
2 n 1
2 n 1
2n2
2 n 1
2n2
2 n 1
2n
2 n 1
2 n 1
2 n 1
2n
2 n 1
n
2 n 1
2n
2 n 1
n
n 0
n
2 n 1
2 n 1
k 2n 2
2n2
2 n 3
2 n 1
k
2n2
De même :
S 2n l
a
2 n 1
u
k 2 n 1
k
2 n 3
2n 2
2n4
2 n 3
2n4
2 n6
2n4
1 a
k 2 n 1
2n
2 n 3
k
2 n 5
2n2
2n2
k
k 2n 2
2n 4
2 n 1
2n
k
k
2 n 5
2 n 6
1
2 n 1
a2n2 a2n3 a2n4 a2n5 ......
a
2 n 1
13
2n2
1
2n2
a
2n2
2n2
2 n 1
1
2 n 3
a
2 n 3
......
S
l
2n
a
2 n 1
a2 n2 a2 n3 a2n4 a2 n5 ...... a2 n1
On obtient donc pour tout n IN ,
S
n
l
S
n 1
Sn
R
n
u
S
2 n 1
n 1
S 2n
.
(I.1.23) Exemple:
1 La suite alternée
n
n
n 1
est convergente.
I.2. Séries à termes positifs (I.2.1) Définition :
Toute série
u n 0
n
u
telle que
n
0, n IN est appelée série à termes positifs.
(I.2.2) Proposition :(Condition suffisante et nécessaire pour la convergence d’une série)
La série à termes positifs
u n 0
n
est convergente si et seulement si sa somme partielle
S
n
est majorée.
Si est sa borne supérieure, sa somme est égale à en d’autres termes u n . n 0
Démonstration :
Par définition, la série
u n 0
convergente. Démontrons que
n
est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles
S est croissante et majorée. n
S est n
S S u 0 (car la série est à termes positifs), on en déduit que S est croissante. S est convergente si et seulement si elle est majorée. Soit la borne supérieure de S ; alors S , n IN et par conséquent S lim S . D’autre part on a pour tout entier naturel n , S S donc S est un majorant de la suite S . Or est le plus petit des majorants de S , alors n 1
n 1
n
n
n
n
n
n
n
n
S . On en déduit finalement que S .
n
n
(I.2..3) Théorème de comparaison : Soit
u et v deux suites de IR n
n
Alors si
v n 0
Si
n
u n 0
converge
n
diverge
telles que :
0 un vn , n IN
u n 0
v n 0
n
n
est aussi convergente. est aussi divergente.
Démonstration : 14
n
On pose S n u k , k 0
n
T n vk et supposons que la série k 0
v
n
n
n 0
k 0
k 0
k 0
n
est convergente. Alors
S n u k vk T n v k T
Par conséquent la suite S n est majorée par T donc elle est convergente. Le reste de la démonstration est la contraposée de la précédente.
(I.2..4) Exemple pratique :
On veut étudier la série a n 1
n
, a IR .
n
n
1 Si a 1, pour tout entier naturel n on a a . Comme la série harmonique n n d’après le théorème de comparaison la série
1
n est divergente, n 1
n
an
est aussi divergente.
n 1
n
Si 0 a 1 , pour tout entier naturel n on a
a a n
n
. Comme la série géométrique
a
n
est
n 1
convergente (car de raison a 1), d’après le théorème de comparaison la série a n 1
n
n
est aussi
convergente
(I.2.5) Remarques : 1. La proposition précédente reste vraie s’il existe
n
0
tel que 0 un vn , n n0 .
2. La proposition précédente ne permet pas de conclure si 0 un vn , n IN et si par exemple
v n 0
n
est divergente (ou
u n 0
est convergente).
n
(I.2.6) Proposition : Soit
u et v deux suites de IR n
n
(i) Si k 0 et si la série
v n 0
u n 0
n
n
diverge
telles que lim n
converge
u v
n
k . Alors
n
u n 0
n
est aussi convergente.
v n 0
(ii) Si 0 k , les deux séries
n
est aussi divergente.
u n 0
n
et
v n 0
n
sont de même nature.
15
(iii) Si k , la convergence de la série
u n 0
La divergence de la série
v n 0
n
entraîne la convergence de la série
v n 0
n
n
entraîne la divergence de la série u n . n 0
Démonstration :
(i) lim u n 0 0 IN 0 n vn
n u v
0
n
n
Comme est arbitraire, on peut prendre 1 et on trouve n u n vn 0
En utilisant le théorème de comparaison (I.2.3), on obtient (i). u u (ii) lim n k 0 IN n n k 1 1 n vn vn
n k u n k
v
1
Supposons que la série
u n 0
n
n
est convergente, donc pour bien choisi on obtient 0 a k et on
en déduit
n u n vn 1 a
Et par conséquent d’après le théorème de comparaison la série
v n 0
Si la série
u n 0
n
n
est aussi convergente.
est divergente, donc pour bien choisi on obtient 0 b k et on en déduit :
n u n vn . 1 b
Et par conséquent d’après le théorème de comparaison la série
v n 0
(iii) lim u n A 0 IN 2 n vn
n u 2
n u n vn 2 A Le théorème de comparaison nous permet alors de conclure.
(I.2.7) Corollaire :
16
v
n
n
n
est aussi divergente. A
u et v sont deux suites de IR
Si
n
n
telles que u n vn , alors les deux séries
u n 0
n
et
v n 0
n
sont de
même nature et on peut utiliser en particulier les développement limités des fonctions usuelles pour obtenir un équivalent du terme général de la série à étudier : 3
5
sin u u u u u
ou
3!
5!
7!
2
4
6
cosu 1 u u u 2!
4!
6!
3
5
7
shu u u u u 3!
5!
7!
2
4
6
chu 1 u u u 2!
Arc sin u u u
7
ou
4!u
6
5
5
6
5
24.2!².5
Arctg u u u u u 3
7
ou
6!
3
6
ou
4!
3
7
5
7
7
ou
ou
7
1 1 u u u u ou 1 u 2
u
e
1
3
4
u u u u 4 ou 1! 2! 3! 4! 2
3
4
3
4
4
5
u² 5 ln 1 u u u u u o u 2 3 4 5
1u
3
u
u² 3 1 1 1 2 u o u ; IR 1! 2! 3!
(I.2.8) Proposition : Soient
u n 0
v n 0
u et v deux suites de IR n
n
n
converge
n
diverge
n p vn 1 u n 1 . Alors telles que p IN vn un
v
n 0
u n 0
n
est aussi convergente.
n
est aussi divergente.
Démonstration : Pour tout p n , on pose n p ;
u u
n 1 n
v v
n 1 n
u v
p
k . Alors
p
u n 1 u n u n 1 .......
v
n 1
v
n
v
n 1
17
u v
p p
k.
n p ,
u v
n
k u n k vn .
n
Le théorème de comparaison permet de conclure. (I.2.9) Exemple : Soit
v
n
u la suite récurrente définie par : u n
0
1,
u
n 1
v la suite définie par :
2 un et soit
n
2 u n . On cherche à étudier la convergence de la série vn .
Dans un premier temps, on vérifie que la suite
u est bien définie et vérifie : 1 u n
n
2 .
La relation est vraie au rang 0. Supposons qu’elle est vraie au rang n : 1 u n 2 , donc 3 un 2 4 1 3
u
n
2 4 2 . Par conséquent
v
n
0 pour tout n .
Soit f la fonction définie sur 1,2 par f x 2 x . f est dérivable sur 1,2 f f 2 1 1 et f ' x . On a : vn 1 2u n 1 u n . D’après le théorème des 2 2 x 2 3 vn 2un un 2
accroissements finis,
v v
n 1 n
1 2 3
1 pour tout entier n . Or la série géométrique de terme général
n
1 est convergente (car sa raison 1 v 1 ), par ailleurs 0 w 2 3 v 2 3 , donc la série v est aussi convergente.
n 1
n
n
w w
n 1
pour tout entier n
n
n
(1.2.10) Proposition:(Critère intégral de Cauchy). Soit f une fonction positive, décroissante et continue sur l’intervalle 1, . On pose f n un , n IN . *
La série
u n 0
n
est convergente si et seulement si l’intégrale généralisée
f t dt est convergente. 1
Démonstration : Comme la fonction f est décroissante, alors n IN *, x n, n 1 :
u
n 1
f x un
En intégrant de n à n 1 la double inégalité précédente on trouve n 1
un1
f t dt u
n
n
En utilisant la relation de Chasles on a n
n k 1
uk 1 k 1
k 1 k
n
f t dt u k
Donc 18
k 1
n 1
S
n 1
f t dt S
u1
n
1
Si on suppose que l’intégrale généralisée
f t dt converge et comme la fonction
f est positive, alors
1 n 1
S n1 u1
f t dt u1
1
La suite
u n 0
n
f t dt M 1
S qui est croissante est donc majorée. Elle est donc convergente et par conséquent la série n
est aussi convergente.
Si la série
u n 0
n
est convergente, alors la suite de ses sommes partielles
S l’est aussi, donc S est n
n
majorée par une constante positive M et on en déduit n 1
f t dt M ,
n IN *
1 x
La fonction F définie par F : x f t dt est croissante et majorée par M et par conséquent F x 1
admet une limite finie lorsque x tend vers l’infini ce qui veut dire que l’intégrale généralisée
f t dt 1
est convergente.
Applications : (I.2.11) Définition : On appelle série de Riemann (resp. série de Bertrand) toute série de terme général 1 * un , n IN , IR.
n
(resp.
u
n
1
n ln n
, n IN , IR, IR ) *
(I.2.12) Théorème : (i) Les séries de Riemann sont convergentes si et seulement si 1 . (ii) Si 1 , les séries de Bertrand sont convergentes quelque soit IR Si 1 , les séries de Bertrand sont convergentes si 1 et divergentes si 1 Si 1 , les séries de Bertrand sont divergentes quelque soit IR . Démonstration : (i) Si 0 , alors la condition nécessaire pour la convergence d’une série n’est pas vérifiée. En d’autres termes lim u n 0 et par conséquent la série est divergente. n
Supposons que 0 et posons pour tout entier naturel n IN *
19
f n
1
n
La fonction f est continue, positive et décroissante sur l’intervalle 1, , donc d’après le critère 1 intégral de Cauchy la série de Riemann est convergente si et seulement si l’intégrale généralisée n 1
1
dt
t
n
converge.
Or
1 b t b b si 1 dt dt lim t dt lim 1 1 lim 1 b t b 1 t b 1 b ln t si 1 1 1 1 b si 1 lim 1 b ln b si 1
1 si 1 1 si 1
L’intégrale généralisée
1
n 1
1
dt
t
.
n
(ii) Si 1 , on choisit
v
n
'
lim n
converge si et seulement si 1 ; il en est ainsi pour la série de Riemann
1 '
tel que ' 1 . D’après le théorème de comparaison on a
n
1 1 n lim 0 . Comme la série de Riemann converge car ' 1 , on n n ln n n ln n
'
n
n 1
'
en déduit que la série de Bertrand est aussi convergente quelque soit IR . Si 1 , en utilisant le critère intégral de Cauchy on trouve que la série
n 2
nature que l’intégrale généralisée
t 2
u ln t on obtient dt
t 2
ln t
ln 2
dt
ln t
1
n
ln n
est de même
. En effectuant un changement de variable, en posant
du
u
L’intégrale de droite converge si et seulement si 1. 1 Si 1 , on choisit vn ' tel que ' 1 . D’après le théorème de comparaison on a
n
20
'
'
1 n lim n . Comme la série de Riemann est divergente car ' 1 , lim ln n n n ln n n
'
n 1
n
on en déduit que la série de Bertrand est aussi divergente quelque soit IR . (I.2.13) Définition : On appelle fonction de Riemann la fonction définie par
: 1, IR; n 1
1
n
(I.2.14) Proposition : (Règle de Riemann) Soit
u une suite de nombres réels positifs. Alors n
(i) Si 1 et
lim n u
n
A ( 0 A ), la série
n
(ii) Si 1 et
u
n
est convergente.
n
lim n u
n
B ( 0 B ), la série
n
u
n
est divergente.
n
Démonstration : Conséquence immédiate du théorème de comparaison.
(I.2.15) Proposition : (Règle de Raabe Duhamel)
Soit u n une suite de nombres réels strictement positifs. On supposera qu’il existe un nombre réel b tel que un1 1 b o 1 n n un Alors (i)
u Si b 1 , la série u Si b 1 , la série
n
est convergente.
n
(ii)
n
est divergente.
n
Démonstration : Soit 0 . On posera pour tout entier naturel n différent de 0,
u u
n 1 n
vn 1
v
n
b 1 n
n n 1
1
v
n
1
n
e »t on trouvera que
1 1 b 1 o 1 1 o n n n n
b 1 b 1 1 o o n n n n n
21
(i) Si b 1 en choisissant tel que 1, b ; la série
u n 1
v n 1
n
n 1
v n 1
n
est convergente et par conséquent la série
est aussi convergente.
(ii) Si b 1 , en choisissant tel que b,1 ; la série
u
n
n
est divergente et par conséquent la série
est aussi divergente.
(I.2.16) Proposition : (Règle de Kummer)
Soit u n et k n deux suites de nombres réels strictement positifs. Alors 1 u *. Si et si à partir d’un certain rang, k n n 1 k n 1 0 , alors n
k
u
n
n
u
n
diverge.
n
*. Si lim inf k n u n 1 k n 1 0 , alors u n converge. n n un La règle de Raabe Duhamel correspond à k n n et celle de Bertrand à k n n ln n . Le lemme de Gauss est une conséquence de celui de Bertrand
I.3. La convergence absolue, séries à termes complexes (1.3.1) Définition : (Convergence absolue des séries à termes complexes) Soit
u une suite complexe. On dit que la série u n
série numérique
u n 0
n 0
n
est convergente.
(1.3.2) Proposition : Toute série absolument convergente est convergente.
Démonstration :
22
n
est absolument convergente si et seulement si la
Soit
u n 0
n
une série absolument convergente, alors
u n 0
n
est convergente par définition et donc elle
vérifie le critère de Cauchy p 0 0 IN p, q IN IN : p q 0 u k k q 1
p, q IN IN : p q 0
p, q IN IN : p q 0
u
La série
n 0
n
p
u
k q 1
k
p
u
k q 1
p
u
k q 1
k
k
vérifie la condition de Cauchy, comme C est complet, alors
u n 0
n
est convergente.
(1.3.3) Remarque : int
La réciproque de la proposition précédente est fausse (exemple la série e n 1
n
converge mais n’est pas
absolument convergente).
(1.3.4) Définition : On appelle série semi convergente toute série qui converge sans converger absolument. (1.3.4) Définition et proposition : On appelle série de Riemann alternée toute série de la forme
1 , n
n 1
n
IR
Toutes les séries de Riemann alternées sont convergentes (i) Elles convergent absolument si 1 . (ii) Elles sont semi convergentes si 0 1.
I.4. Etude pratique des séries : (I.4.1) Proposition : (Règle de D’Alembert) Soit
u une suite de IK. On pose lim u n
n
n 1
u
. Alors
n
u est absolument convergente. - Si 1 la série u est divergente. - Si 1 la série
n 0
n 0
n
n
- Si 1 on ne peut pas conclure. Démonstration :
23
*
lim n
u u
n 1 n
0 IN 0
n
0
u u
n 0
n 1
u u
n 1
n
n
(i) Si 1, en choisissant convenable tel que 1 , il existe alors k 0,1 tel que
u k 1, n u C u k et la convergence de la série u n 1
0
n
On en déduit que
u
C k ; où n
n
0
0
n
découle de la
n
convergence de la série géométrique k . n
n
(ii) Si 1 , en choisissant convenable tel que k 1, et on trouve k 0,1 tel que
n , 0
Par conséquent
lim u n
n
u u
n 1
k 1
u
n
n k u n 1 k ² u n 2 .......... k 0 u
0
n
0 u n est divergente. n
(I.4.2) Remarque : Si 1 , la règle de D’Alembert ne permet pas de conclure et dans ce cas il faut étudier la série directement.
(I.4.3) Exemples pratiques :
z
1. Pour tout nombre complexe z , la série
n 0
n
est absolument convergente en utilisant la règle de
n!
D’Alembert
u lim u
n 1
n 1
n
n! lim z . n 1! z
n
n
n
z lim n
1 0 1 n 1
On appelle fonction exponentielle toute fonction définie par n
e
z
: C C,
ze z n! z
n0
24
2. On pose pour tout x IR , *
u u
1
n 1
x
n
x
n 1
x
x 1
n
x
n
x
n 1
1
x
1
.
1
n
u
n
x
2n
1
x
n
2n2
x
1
. On trouve
n
2 n 1
x
2n2
1
x 1 x
n 1
On distingue trois cas : a. Si x 1 , alors lim u n 1 x 1 , la série est donc convergente.
u 1 Si x 1, alors lim u 1 , la série est donc convergente u x 1 Si x 1, alors lim u 0 , la série est donc divergente 2 n
b.
n
n 1
n
c.
n
n
n
(I.4.4) Corollaire :
u u Si lim u u Si lim n
n 1
n 1
n
1 , la série
u
n
u
n
est convergente.
n
n
1 , la série
est divergente.
n
n
On remarquera qu’on a utilisé la limite supérieure en ce qui concerne la convergence et la limite inférieure en ce qui concerne la divergence. Mais si
lim n
u u
n 1
1 on ne peut pas conclure sur la nature
n
de la série en général.
(I.4.5) Proposition : (Règle de Cauchy) Règle de Cauchy : Soit
u une suite de IK. On pose: lim u n
n
u est absolument convergente. - Si 1 la série u est divergente. - Si 1 la série
n 0
n 0
n
n
n
- Si 1 on ne peut pas conclure. Démonstration (i)Supposons que 1 et soit q ,1 , il existe alors tel que 0
n
u
n
q, n 0
u
q , n . n
n
0
25
n
. Alors
La convergence de la série
u
découle de la convergence de la série géométrique q . n
n
n
n
(ii) Supposons que 1 , et soit q 1, tel que IN n : 0 0 Par conséquent lim u n 0 u n est divergente. n
n
u
n
1
u
n
1
n
(I.4.6) Remarque : Si 1 , la règle de Cauchy ne permet pas de conclure et dans ce cas il faut étudier la série directement. Si la quantité
n
u
n
tend vers 1 par valeur supérieure, on peut conclure directement que la série
n
est divergente.
IN n : 0
Par conséquent
lim u n
n
n
0
u
n
1
u
n
0 u n est divergente.
1
n
(I.4.7) Exemples pratiques : k
on pose u n 2
1. Pour tout nombre réel k ,
n
n
.
En appliquant la règle de Cauchy on trouve
n
k
n
lim u n
n
n
lim
2
n
1 1 2
k
La série
n 2
n
est donc convergente.
n
n²
n 2. Pour tout entier naturel n , on pose u n 1 n
.
En appliquant la règle de Cauchy on trouve n
n 1 lim lim u lim n 1 1 1 n n
n
n
n
n
n
n²
La série
u
n n 1
est donc convergente.
n
26
1 1 e
n
ln n
3. On pose pour tout entier naturel n 2 , ln n ²
ln n n
u n . On trouve ln n n
n
n e lim u lim ln n lim ln n n
n
n
n
n
n
ln n ² ln n 0 lim e n 1 lim n n n n n La série donnée est donc convergente.
Or
lim
u
n
0
(I.4.8) Corollaire :
1 , la série
u
n
u
n
Si lim n
u
n
Si lim n
u
n
lim u
n
1 on ne peut pas conclure sur la nature de la série en général.
n
n
n
est convergente absolument.
n
1 , la série
est divergente.
n
n
(I.4.9) Remarque : L’existence de la limite
u u
n 1
lim n
entraîne l’existence de la limite lim n n
n
u
n
. La réciproque est
fausse. Par exemple soit la série n n n 1 n n 1 n 1 a ab a²b a²b² ............. a b a b a b ..... On passe d’un terme au terme suivant en multipliant une fois par a et une autre par b alternativement. On remarque que le rapport
u u
n 1
est égal à a ou b alternativement. En prenant par exemple
n
1 3 1, b 3 1, ab 1 4 4 On trouve que la règle de D’Alembert ne permet pas de conclure. Appliquant la règle de Cauchy a
b , a b ab a b , a b a b ab On en déduit que lim u ab 1 quelle que soit la parité de n et donc la série est convergente. u u
2n
a
n
n
1n
2 n 1
2n
n
n
n
n 1
2 n 1
n
n 1 2 n 1
n 2 n 1
n
n
n
On peut résumer les résultats précédents en appliquant les règles de Cauchy ou celle de D’Alembert dans le tableau suivant
27
lim n n
u
u
existe
1, cas douteux On applique une autre règle sauf celle de D' Alembert
n
n' existe pas On applique une autre règle sauf celle de D' Alembert 1, la série est absolument convergente 1 existe 1, la série est divergente 1, cas douteux On applique une autre règle sauf celle de Cauchy n' existe pas On applique une autre règle y compris celle de D' Alembert
n
n
lim n
1, la série est absolument convergente 1, la série est divergente
1
u u
n 1 n
Si on arrive à démontrer la convergence d’une série par la règle de Cauchy, il est aisé d’avoir une évaluation du reste de la série : n 1
u k
n
n
Rn
k k k 1k k p
p n 1
n 1
p
p 0
n
n (1.4.10) La Formule de Stirling : Au voisinage de l’infini on a : n! e
2n .
Pour démontrer la formule de Stirling, on suivra les pas suivants : n! Soit la suite u n définie par u n ; n IN * . n
v a ln u
On pose
n
ln u n et
n n e a v v . On a n
n
n 1
n 1 n 1 1 ln u n1 ln n!n ln ln n ln n 1!n 1 ln ln n 1 n n e 2 e 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ln 1 1 n an 3 2 n 2 n 2n² 3 n 12n² Donc la série an est convergente, d’où l’on déduit que la suite vn est convergente. Soit
n
l lim vn lim u n e l
n
n
p lim p! e p p e p!
p
p
p
p
2 p! 2 p! D’après la seconde formule de Wallis lim lim 2 p! p 2 p! p 4
4p
2p
2
p
p
28
2
2p
p p ² 2 2 p! e 2 p ! p 2 p 2p e 2p
2
2p
2 p!
2p
2
2p
2 p !
2
p
2
On trouve la formule de Stirling n
n n! e
2n
I.5. Produit de deux séries : (I.5.1) Définition : Soit
u et v deux suites de IK . On appelle produit des deux séries u n
n
n
w
général
n
n
et
v
n
la série de terme
n
défini par n
wn u p vn p ; n IN p 0
Remarquons que le produit des deux séries
u
n
et
n
En effet, soit
Or
u
u n
n0
n0
1
n
n
et
2
1 n
D’où u n vn n0
1
2
v
1
1 2
n
1 n
, on a
3
2 et
v n0
n
n0
1 n
3
est différent de la série u n vn .
n
n
u v n0
n
v
n
1
6
3 . 2
1 3
1
n
n0
1
n
1
6 . 1 5 1 6
6 3 u n vn 2 3 . 5 n0 2 n0
(I.5.2) Proposition : Soit
u et v deux suites de IK . Si les deux séries u n
n
alors la série produit
w
n
n
n
et
v
n
n
est aussi absolument convergente et on a
n
w
n
n
u n vn n n
(I.5.3) Exemple :
29
sont absolument convergentes,
n
n
Soient a et b deux éléments de IK . On considère les séries de termes généraux u a et v b . Le n! n! a b . En effet, on a : terme général de la série produit est w n! a b C a b n! a b n! a b n!u v n!w . n
n
n
n
n
n
k
n
nk
k
n
k 0
a b
k 0
k!n k !
k 0
n
a b
e
n0
n!
n0
nk
k
n
nk
k
k!
n
n
n k !
k 0
k
nk
n
n
w u v an! bn! e e a
n
n
n0
n0
n
n0
b
n0
(I.5.4) Proposition : Soit
u et v deux suites de IK . Si la série u n
n
convergente, alors la série produit
est absolument convergente et la série
n
n
w
v
n
est
n
est convergente.
n
n
(1.5.5) Inégalité de Schwartz : Soit
u et v deux suites de IR n
n
. Alors :
n 2 ui vi u i i 1 i 1 n
1 2
n 2 vi i 1
1 2
Démonstration :
u v ² u ² v ² 2 u v 0 u v u ² 2 v ² i
i
En remplaçant
u par u i
i
et
i
i
i
i
i
i
v par v on trouve ²u ² v ² ; uv 2
i
i
1
i
i
2
i
i
i
i
0 .
Par sommation on trouve n
ui vi i 1
² A² B ² 2
2
; A
n
v
i 1
² A² B ² 2
Le minimum de la fonction
n
ui , B 2
en supposant A 0 et B 0 on trouve
2
n
u v i 1
i
i
2
i
i 1
sur l’intervalle 0, est atteint au point
2 0
A² 0 B ² 2
2
(I.6) Autres problèmes 30
A.B
0
B et A
Quand on considère des sommes finies, les problèmes d’associativité et de commutativité sont relativement simples. Lorsque nous considérons des sommes infinies (qui viennent d’être définies en terme de séries convergentes), le problème est différent et les réponses à ces problèmes sont nuancées. Par exemple, nous avons déjà vu que la série de terme général
u
n
1 ne converge pas. Pourtant si n
l’on réunit les termes deux à deux, on a, pour tout entier n :
1 1 1
2 n 1
n
0. k 0 k 0 On serait tenté d’en conclure que lorsque n tend vers l’infini cette somme donne la limite de la série
1
n
k
2 k 1
2k
ce qui est faux.
Une question qui se pose est donc de savoir quand on peut rassembler les termes d’une série par « blocs » sans changer sa nature ou sa somme. (I.6.1) Propriété : Soit une application strictement croissante de IN dans IN . On considère les séries 0
n
v0 u k et
vn
. Si la série
u
n
u
n
k 0
u
k k n 11
n
et
pour tout n 0 .
est convergente, il en est de même de la série vn . est à termes positifs, les séries
n
n
n
n
n
Pour tout entier p , on pose
n
sont de même nature. Dans
n
n
p
p
p
k 0
k 0
k 0
S p u k et S p ' vk
S 'est sous suite extraite de
n
n
Démonstration :
La suite
n
n
u et v le cas de convergence simultanée, on a u v .
. Si la série
u
u S . k
p
p
Etude de la série u
n
:
n
Est ce que
lim u
n
0 ?
n
Si non, la série diverge Fin . Si oui : est ce que la série est à termes positifs ? Si oui : Appliquer le critère de comparaison, ou le critère d’équivalence, ou le critère de comparaison avec une intégrale, ou la règle de Cauchy ou celle de D’Alembert. Si non : Etudier u n Si
u n
n
n
converge, alors
u
n
converge.
n
Si non, est ce que u n n vn ? Si oui appliquer le théorème d’Abel. Si non on se débrouille Fin . 31
v n
n
, où
REMARQUES :
On s’est intéressé à une somme infini de termes. Le problème peut se poser de façon similaire à un n
produit infini de termes. Par exemple, pour que
u k 0
lim u n
n
k
ait une limite finie quand n , il faut que
1 . Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Une solution consiste à remarquer que
d’un produit, on peut se ramener à une somme, en utilisant les logarithmes s’il n’y a pas de termes n n négatifs ou nuls. En effet, ln u k ln u k . k 1 k 1 Une extension des séries se trouve dans les limites des sommes doubles ou triples et aussi des sommes non dénombrables. La méthode que nous avons utilisée pour définir des sommes infinies semble naturelle. Pourtant il existe d’autres types de convergence pour une série u n : -
1 n 1 : c’est la moyenne n k 0 S k n 1 des sommes partielles. En considérant ce type de limite, on a bien S quand 2 Au sens de Césaro. La somme si elle existe est S lim
u
n
1 . n
Au sens d’Abel, la somme si elle existe est S lim u n r . r 1 n 0 Certains disent que ces deux types de convergence sont plus fines que la classique dans le sens où elles fournissent des convergences à des séries qui n’en ont pas dans la méthode classique. -
EXERCICES Exercice (I.1)
32
n
Sommation des séries : i) Série géométrique :
a z
Montrer que la série géométrique
n
n
converge si et seulement si z 1 et dans ce cas sa somme est
n0
a z n0 n a z 1 z , z C : z 1 n n0 Calculer les sommes des séries suivantes :
égale à :
a)
e
3n
chn ;
b)
n 0
3 7 n2
n
n
n2
;
c)
n 0
x² d) 1 x²
x²
1 x²
n
;
.
n 0
ii) Série télescopique : Soit v n une suite numérique. Pour n n0 , on pose u n vn vn 1 . Montrer que n n0 la série de terme général u n converge si et seulement si la suite v n converge et que n n0
dans ce cas
u vn lim v n
n
n n0 En utilisant les sommes partielles, calculer les sommes des séries numériques suivantes : 1 1 1 a) ; b) ; c) Arc tan ; n² n 1 n n 1 n 1 n 1 2n 12n 5 n 1 n
0
1 cos n . log 2 n0 1 1 1 Ind. Pour la série ©, montrer que : Arc tan Arc tan Arc tan , n IN * . n² n 1 n n 1 Pn iii) Série de la forme : n 0 n! Le principe consiste en la décomposition du polynôme Pn suivant la base : 1, n, nn 1, nn 1n 2, ........ Utiliser ensuite la formule bien connue: 1 e n 0 n! Calculer les sommes des séries suivantes : 1 2 d) n n 2 n 1
n² a) ; n 0 n!
, n 1
1
e)
1 ; n 1 nn 1n 2
f)
3
b)
n n 0
n!
;
*c)
n n 0
4
n!
.
Exercice (I.2) A l’aide de la condition nécessaire de convergence, établir la divergence (grossière) des séries numériques aux termes généraux donnés par : 33
a)
u
n
1 n ln 1 ; b) n
u
1 n sin ; c) n
n
u
n
1 1 . exp 1 ; d) u n n 2 sin n 4
Exercice (I.3)
u n une suite de IR . Que pensez-vous des propositions suivantes ? 1. Si u n converge vers un réel l , alors u 2n et u 2n 1 convergent aussi vers l . 2. Si u 2n et u 2n 1 sont convergentes, il en est de même de u n . 3. Si u 2n et u 2n 1 sont convergentes vers la même limite l , il en est de même de u n . b) Montrer que si les deux séries de termes généraux a 2n et a 2n 1 convergent, alors la série de terme général a n converge aussi et que dans ce cas on a : a) Soit
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a a
3 1n
c) Application : Calculer
n0
n0 n
n
n0
2n
n
a2 n 1 n0
Exercice (I.4) En utilisant les règles de Cauchy et de D’Alembert, donner la nature des séries numériques aux termes généraux donnés par : 2 n n 1 n n 1 ; d) 2n a ; n!² ; n.n! a) u n b) u n ; c) u n 2 un 2n ! n 3n b n 1
2
e)
u
n
n
n a n b nb
na
n² 5n 1 u n ² 4 n 2 n
n
n
g)
2n
; avec a, b IR ; f)
2
;
h)
a u ch n
n
n
a u 1 a 1 a² ......1 , a 0 ; a n
n
3
n
;
i)
3
a u 1 e n
an²
n
Exercice (I.5) A l’aide du critère d’équivalence, donner la nature des séries suivantes :
a)
1 cosh 1 ; n
n 1
d)
n 1 n ;
n 1
1 cos n
un e
2 cos n
e
1 cos n ; n 1
e)
n 1
;
b)
h)
c)
1
3
n 1
n 1 n ; n
un n
n 1
f)
2 n
34
u
n
n
3
n² 1 ;
n 1; n 1
g)
Exercice (I.6) A l’aide du critère de comparaison avec une série géométrique, donner la nature des séries suivantes: a) u 3 n 5 3 n
n
4
n
n
;
b)
u
n
ch2n ; ch3n
u
c)
n
thn a thn, a IR .
Exercice (I.7) En appliquant la règle de Raabe, étudier les séries :
2n 1!! 1 , , IR ² 2n!! n
a)
n 1
n!
2 n
k 1
k
b)
,
n 1
Exercice (I.8) Déterminer la nature des séries alternées de termes généraux :
a)
u
n
1
sin n² 1 ,
b)
u
n
tanhn
1 . u n 1 n
n
c)
,
n
n
Exercice (I.9) En appliquant le théorème d’Abel, déterminer la nature des séries suivantes : cosn ln n a) , IR , n n 2
b)
n 2
cos5n
n ln n
1 cosn n
,
c)
n 1
n 1
Exercice (I.10) Soient
u
nIN
n
et
v
nIN
n
deux séries numériques dont les termes généraux sont donnés par :
n n 1 1 u n ln 1 , vn n n 1 n 1. Donner la condition nécessaire pour la convergence de chacune des deux séries. 2. Déterminer par la méthode des développements limités la nature des deux séries. 3. Etudier la convergence absolue de u n et vn . nIN
nIN
4. En déduire les valeurs de et de pour lesquelles
u
nIN
Exercice (I.11)
35
n
et
v
nIN
n
sont semi convergentes.
Soit
u une suite à termes réels positifs, on suppose n² u convergente, montrer qu’il en est de 2
n1
n
n
même de u n . n1 Exercice (I.12) Soit
u une suite à termes réels positifs et v n
n
u
n
1 un
. Montrer que les séries
n 1
même nature.
Exercice (I.13). Calculer
u n 0
n
1 . k 0 n k ! k!
sachant que u n n
1
nk
n
Même question que la précédente si u n
k 0
k!
nk
2
.
SOLUTIONS Solution exercice (I.1)
Sommation des séries : i) Série géométrique : 36
u
n
et
v n 1
n
sont de
Soit S n Si z 1 ,
n
a z
k
n
, la somme partielle jusqu’à l’ordre n .
n0
a n n n
Sn
0
k
1a et la série diverge grossièrement car son terme général ne tend pas
n0 vers 0. Supposons que z 1.On a : n
n
1 z S n a z n a z n1 a z n k
a z n0 a z D’où
k
n0
n 1
n0
0
1
1
2
a z n0 ......a z a z n0 a z n0 .... a z n
n 1
.
S
a z n0 a z
n 1
1 z Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, la série converge si et seulement si z 1 et dans ce cas on a : a z n0 n a z 1 z , z C : z 1 n n0 Applications : n n n n 1 1 1 1 3n 3n e e e 2 e 4 a) e chn e 2 4 2 2 n 0 n 0 n 0 n 0 1 e 2 1 e n
(Somme de deux séries géométriques convergentes de raisons respectivement
2
e
c) la série en question est une série géométrique de premier terme x ² , de raison
x IR * . Donc elle est convergente sur IR * de somme : x² x² x² S x 1 x ², x IR * n 1 x² n 0 1 x² 1 1 x² 1 x²
Si x 0 ,
1 et
4
e
1 ).
1 1 pour tout 1 x²
n
S n 0 0 0 lim S n 0 0 , la série et convergente de somme 0. k 0
n
ii) Série télescopique : Soit v n une suite numérique. Pour n n0 , on pose u n vn vn 1 . Montrer que n n0 la série de terme général u n converge si et seulement si la suite v n converge et que n n0
dans ce cas
u vn lim v n
n
n n0 Calculant la somme partielle jusqu’à l’ordre n : n
n
n
0
vk vk 1 v v 1 v 1 v 2 ...... u k n0 n0 n0 n0 k n0 k n0 Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient
Sn
37
v v vn v k
k 1
0
k 1
.
lim S n n
u vn lim v n
n
n0 La série en question converge si et seulement si la suite Applications :
1
1
1
k 1
:
n
v converge . n
1
1
1
1
u 2n 12n 5 4 2n 1 2n 5 4 2n 1 2n 3 2n 3 2n 5
a)
1
1
0
n
1 4
v v ; avec v n 1
n
n
1 1 . 2 n 1 2n 3
D’après ce qui précède, la série en question converge car
lim v n
1
2n 12n 5 v lim v 1
n 1
n
n
n
0 , sa somme est égale à :
1 1 2 . 3 5 15
c) Vérifions d’abord que le terme général de cette série se met sous la forme : 1 1 1 Arc tan Arc tan Arc tan , n IN * n² n 1 n n 1 En effet, la fonction x tan x est strictement croissante de , sur IR . Elle admet donc une 2 2 fonction réciproque x Arc tan tan x qui est aussi strictement croissante de IR sur , . Posons 2 2 1 1 n Arc tan n et n Arc tan n 1 , nous avons : tan n tan 1 n tan n n n² n 1 1 tan n tan
n
D’où :
Arc tan tan n
n
Arc tan n² 1n 1 n
n
Arc tan
1 1 Arc tan n n 1
Par définition de la suite des sommes partielles, nous avons : n n 1 1 1 S n k 1 uk k 1 Arc tan k Arc tan k 1 Arc tan1 Arc tan n 1 En faisant tendre n vers l’infini dans l’expression de S n , on trouve :
lim S n
n
Arc tan1 lim Arc tan n
1 . n 1 4
1 11 2 1 1 1 1 1 1 nn 1n 2 2 n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2 1 1 1 vn vn 1 , avec vn . 2 n n 1 n 1 n 1 1 vk 1 v1 vn 1 Sn u v k k 2 k 1 2 2 k 1 En faisant tendre n vers l’infini dans l’expression de S n , on trouve : e)
u
n
38
lim S n uk k 1
n
iii) Série de la forme
n 0
1 1 1 1 1 lim vn 1 1 . v 1 2 2 n 2 2 4
Pn : Il s’agit de séries convergentes bien sûr (appliquer par exemple la n!
règle de Cauchy). n² n nn 1 1 1 a) u n , n IN , n 2 . n 1! n 2! n! n! n² n² 1 1 1 1 1 e 1 e 2e . n 1 n! n 2 n! n 2 n 1! n 2 n 2 ! 1 1 1 1 1 v1 lim vn 1 1 S u lim n k 2 2 n 2 2 4 n k 1 Solution exercice (I.2) a) Le DL de la fonction x ln 1 x au voisinage de 0 à l’ordre 2 nous donne :
1 x² 1 1 1 1 1 ox² u n n ln 1 n o 1 o 2 n 2n n ² n V 0 n 2n ² Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini on a : 1 1 lim n ln 1 lim 1 1 0 u lim n n 2n n n n La série en question diverge grossièrement. ln 1 x x
c) Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini on a : 1 1 lim exp 1 0 u lim n n e n n La série en question diverge grossièrement.
Solution exercice (I.3) a) 1. Vrai : Toute sous suite d’une suite convergente est convergente vers la même limite. 2. Faux : La suite
u
n
1 est divergente, u n
2n
1 et
u
suites extraites stationnaires. 3. Vrai : Fixons 0 , comme par hypothèse la sous suite
2 n 1
u
2n
1 sont deux sous
converge vers l , alors il
Existe N 1 : 2 p N 1 u 2 p l . Et de même, comme par hypothèse la sous suite
u
2 n 1
converge vers l , alors il
Existe N 2 : 2 p 1 N 2 u 2 p 1 l . On prend comme par hypothèse la sous suite
u
2n
converge vers l , alors il
Existe N max N 1 , N 2 , alors pour tout n N u n l . b) Soit
S n .la suite des sommes partielles jusqu’à l’ordre n de la série a . On a : n
n 0
39
n
n
n 1
p 0
p 0
S 2n a2 p a2 p 1 et
Si les deux séries
a n 0
n
n
p 0
p 0
S 2n1 a2 p a2 p 1 .
2p
a
et
n 0
2 p 1
sont convergentes, alors les deux sous suites
S 2n 1 sont convergentes vers la même limite :
S 2n et n
n
p 0
p 0
a2 p a2 p 1
Et par conséquent, d’après a) .3. la suite
S n converge vers la même limite : n
a a a n 0
c) Application :
a
n
31 n
n
n 0
2n
n 0
2 n 1
n
n
1, , a 4 a 16
n
2n
2n
2 n 1
2 n 1
2
11 . 2
4
1 1 , sa somme est : 16 n 0 1 16 a 2p 1 15 n 0 1 16 1 La série géométrique a 2 p 1 est convergente de raison r ' 1 , sa somme est : 4 n 0 1 1 2 a 2 p 1 1 3 2 n 0 1 4 16 2 26 Par conséquent an a2 n a2 n 1 . 15 3 15 n 0 n 0 n 0 La série géométrique
a
2p
est convergente de raison r
Solution exercice (I.4) a) On applique la règle de D’Alembert : n!² n 1!² n 1²n!² n 1² n!² n 1² u n n2 , u n1 n 12 n ² 2n1 2n1 n² 2n1 u n 2 2 2 2
2
u u
n 1 n
n 1² 2 n 1
2
2
lim n
u u
n 1 n
lim n
n 1² 0 1. 2 n 1
2
40
Comme la limite du rapport
u u
n 1
est égale à 0 qui est inférieure à 1, la série en question est
n
convergente. c) On applique la règle de Cauchy : 1
1
n
1 1 1 1 1 1 n 1 n n n 1 1 exp nln1 ln1 u 1 1 1 n 1 1 1 1 n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n exp n o n exp 2 o 1 n² 1 1 n 2n² n 2n² n² 1 1 n n n 1
n
n
1
1
Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient : 1
1 1 n lim u lim 1 1 n
1 1 exp 2 o 1 . n² e²
n
n
n
n
La série en question converge. Dans l’expression n u n , on pourra poser n 1 , on obtient :
n
2 u 2 n
D’où lim n n
2 1
2 2 exp ln 1 exp 2 ln 1 2 1
u lim exp 2 2 ln1 2 e² 1 . n
n
e) On applique la règle de Cauchy : n
u
n
n
2
n a n b b 1 n
a 1 n
n² n a n b
1
n a nb b n
1 1 1 a b b a a b n n 1 1 n n a b n n 1 1
n
n
41
a n
1 1 a b n 1 1 n n a b ln n a b n exp ln n lim exp a b 1 n lim lim n n n n n
lim
a lim 1 n
b n
n
b lim 1 n n
lim u n
n
a n
ab a ²b 1 b a a² b a 1 lim exp ln 1 lim exp o lim exp o 3 1 3 n n n n² n² 2 n n n n n 2n ² n ab ab² 1 a b b² a b 1 1 lim exp ln 1 lim exp o lim exp o 3 3 n n n n² n² 2 n n n n n 2n ² n
1 , c’est un cas douteux, on ne peut pas conclure.
n
On effectue une comparaison avec une série de Riemann, soit 1 a b , alors d’après la règle de Riemann on a :
n u
n
a 1 n
n
2 n
n a n b
nb
nb
na
1
n
a b
1 nb
na
a b 1 1 n n
a a² a 1 exp n b ln 1 exp n b o n n² n 2n ²
a ² ab a ²b 1 exp a o . 2 n n 2n ² n²
b 1 n
na
b b² b 1 exp n a ln 1 exp n a o n n² n 2n ²
b² ab ab² 1 exp b o . 2n n 2 n ² n²
lim n u lim n
n
n
1
n
a b
1 n b
na
a b 1 1 n n
1 a ² ab a ²b b² ab ab² n exp a b ln n exp a exp b 2n n 2n² 2n n 2n² 1 lim 0. a ² b ² ab ab a b n exp a b ln n a b 2 2n n 2n²
lim
Comme la série de Riemann
n 1
1
est convergente (car 1 a b ), alors d’après le théorème de
n
comparaison, la série en question est convergente pour a, b IR : 1 a b g) On applique le critère de Cauchy,
42
5
1
1 n² 5n 1 n n ² . exp n log lim lim u lim 4 2 n² 4n 2 1 n n² n
n
n
n
n
n
5 1 4 2 lim exp n log1 n log1 . n n² n n ² n u² On a log 1 u u 2 5 23 5 1 4 2 4 6 log1 et log1 n 2n ² n n² n n² n n² 23 6 9 n lim exp 5 4 e 1 , la série est convergente. u lim n n n n n i) On applique le critère de Cauchy, n²
a lim u lim 1 e n
an
n
n
n
n
lim exp n² log1 n
a an . n
a a² a² 1 1 a² lim exp n² o an lim exp an o an exp . n 2 n ² n ² 2 n n n 2
Si a 0 ,
lim u n
Si a 0 ,
n
1 0 , la série diverge grossièrement.
lim u n
n
n
a² exp 1 , la série en question est convergente. 2
Solution exercice (I.5) a) Le DL de la fonction x coshx au voisinage de 0 jusqu’à l’ordre 2 nous donne x² cosh x 1 ox ² 2 Au voisinage de l’infini, on a : 1 1 1 1 1 1 1 cosh 1 o u n cosh 1 . 2n ² n ² 2n ² n n 2 n 1 Comme la série harmonique est divergente, alors la série donnée l’est aussi. n 1 n
c)
un 3
3
n
1 n² 1
1 3
1 2
n31 n21 n 1 13 n 1 12 . 1 3
1 2
n
n
Au voisinage de l’infini, on a : 1 3
1 1 1 o 1 , 1 3 3 3 3n n n Par conséquent
1 1 2 n
1 2
1
1 2n
43
2
1 1 1 1 o 3 u n o 2 2n 3n² n n
u v n
n
1 2n
w
Comme la série harmonique de terme général
n
1 diverge, donc la série n
v
n
est aussi divergente,
1 n² 1 est divergente. n 1 n 1 1 1 1 e) u n 3 vn 3 .. n n n 1 n n 2 1 1n 1 n2 3 Comme la série de Riemann vn est convergente, 1 , alors la série 2 n 1 n est convergente. n 1 2 1 2 cos cos 1 1 g) u n e n e n exp 1 o exp 1 o 2n ² n² n² n² la série
n
3
3
1 2 1 2 1 3e 1 1 1 eexp o exp o e 1 1 o . 2 n ² n ² n ² n ² 2 n ² n ² n ² 2 n ²
1 est convergente (car 2 1) alors la série n 1 n ²
Comme la série de Riemann
2 cos 1 cos n e n est e n 1
aussi convergente. Solution exercice (I.6) 4
1 n 3 3 3 a. u 3 n 5 3 5 3 5 1 5 n
n
4
n
n
n
n
n
n
convergente de raison
3 1 convergente ; donc 5 n
1 1 e ch2n e e b. u ch3n e e e 1 e n
2n
2 n
3n
3 n
convergente de raison c. Sachant que
qui est le terme général d’une série géométrique
4 n 6 n
x
x
x
x
2x
e e
2x
n
est aussi convergente.
n
n
1 e
1 1 convergente ; donc e
thx e e e e
u
1
u n
qui est le terme général d’une série géométrique
n
2n a
u e 1 e n
est aussi convergente
2 na
44
1
2n
1
2n
1
e 1 e
2n a
2
e
e
2n a
e
2n
e
1
2n
1
2n
u
n
e
2a
2 e 2n a
e
2 1 e 21 1 e
2n
e
n
2 a
1
2 a
e
convergente de raison
1 1 . Donc la série donnée est aussi convergente. e²
Solution exercice (I.7) a)
u
n
n!
2 n
k
u
,
n 1!
n 1
2 n 1
k 1
u u
n
2 n 1 n 1
n 1
qui est le terme général d’une série géométrique
e²
2n
k
2
k 1
1
2 n 1
n 1 n!
n
n 1 2 k
un
2
n 1 n 1
.
k 1
.
Donc u u 2n n n 1 lim n n 1 lim n 1 n n u n 1 u n 1 D’après la règle de Raabe la série en question converge.
2n n 1
1 .
b).Il faut faire attention de ne pas interpréter n!! comme la factorielle de n! , qui serait écrite n!! et est un
n! pour la
nombre largement plus grand. Certain mathématiciens ont suggéré la notation alternative double factorielle et d’une façon similaire
k
pas répandu. De façon générale, la
1
n! k
si
n
nk !
k
e
2
n! pour les autres multifactorielles, mais cet usage ne s’est k
multifactorielle est définie de façon récurrente par :
k n0 si n 0
2n 1!! 1 , u 2n!! n 2n 1!! 2n 1 2n 1!! 1 1 u n 1 2n 2 2n!! n 1 u 2 n 2 ! !
n
n 1
n
2n 1 2n 2
D’où
u 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n u 2n 1 n 2n 1 n n
n 1
Donc u n n 1 lim 2 n u n 1
u n n 1 . u n 1 2
D’après la règle de Raabe, la série en question converge pour Solution exercice (I.8) 45
2
1 et diverge pour
2
n n 1
1.
a)Vérifions qu’il s’agit bien d’une série alternée. En effet :
u
n
sin
n² 1 n
Or
1
et 0
n² 1 n cosn
n² 1 n n sin
1
n² 1 n n² 1 n Donc la série en question est une série alternée. On a :
lim sin n
1 x² 1 x
n² 1 n 0 .
sin 0 0 .
n² 1 n
n
n
1 , n IN sin 2
n² 1 n lim sin
Comme la fonction x
1 sin n² 1 n
est décroissante pour tout x 1, on déduit que la suite
sin est aussi décroissante. n² 1 n Ainsi, d’après le critère de Leibnitz, la série en question est convergente.
1
n
b)
u
n
tanhn
. Il s’agit d’une série alternée, avec n
2 n
2 n
1 e 1 e e 1 e lim 1 0. an tanhn n n 1 2n lim a 2n n n n 1 e e e e On en déduit que la série en question diverge. n
1 . Vérifions qu’il s’agit d’une série alternée. c) u n 1 n
n
n
Remarquons que les termes de cette série sont : 1 1 1 1 1 ..... 3 2 5 4 7 C'est-à-dire que son terme général Comme la suite On a :
u
n
s’écrit sous la forme
un
1 v , n
n
v
n
1
n
1
n
.
v n’est pas décroissante, on ne peut pas appliquer le critère de Leibnitz. A cette série. n
1n 1 1 1 u n n 1 n En utilisant le DL de la fonction x 1 x 1 x , on obtient : n
1
n
n
n
0
1 1 1 1 1 n
u
n
n
n
n
1 Sachant que les deux séries de termes généraux
n
n
n²
n
n Leibnitz et Riemann, alors la série u n converge.
46
et
1 convergent respectivement d’après n²
Solution exercice (I.9)
cos2k ln n ln n est divergente, série de Bertrand. n n n 2 n 2 Si 2k , k Z , prenant par exemple 0,2 , à cause de la périodicité. ln n On pose u n et vn cosn . n ln x ln n On a : lim u n lim est décroissante pour x 3, 0 . En outre la fonction f : x n x n n 1 ln x (voir le signe de f ' x ). x² D’autre part, on a : n n n n 1 1 cos k cos k sin 2 sin k sin k v k 2 2 k 1 k 1 k 1 k 1 sin 2 sin 2 2
a)Si 2k , k Z , la série numérique
sin 3 sin 2 sin 5 sin 3 ........ sin n 2 sin n 2 2 sin 2 1 sin n sin . 2 2 2 sin 2 Comme n 1 . sin n sin 2 , pour tout n, , alors : vk 2 2 k 1 sin 2 D’après la règle d’Abel, la série numérique en question converge pour tout réel 0,2 . 1 b) On pose u n et vn cos5n . n ln n 1 0 . En outre u n est décroissante voir par exemple le signe de On a : lim u n lim n ln n n n 1
u
n 1
un .
D’autre part, d’après a) en prenant 5 on a : n 1 . v k 5 k 1 sin 2 D’après la règle d’Abel, la série numérique en question converge. c) Remarquons que
1 cosn , ce qui nous donne 1 cosn cosn cosn cos 1n . n
n
On pose
u
n
1 n 1
et vn cos 1n. 47
On a :
n
n
u
n 1
1
lim u lim
0 . En outre
n 1
n
u est décroissante voir par exemple le signe de n
un .
D’autre part, d’après a) en prenant 1on a : n 1 . v k 1 k 1 sin 2 D’après la règle d’Abel, la série numérique en question converge.
Solution exercice (I.10)
u
1. Les deux séries
nIN
lim ln 1 u lim n n n
n
v
et
nIN
n
1 0 si 0 et n
n
lim u lim v
peuvent être convergentes seulement si
n
n
n
n
0.
1 0 si 0 . lim v lim n1n n
n
n
n
Les conditions nécessaires de convergence des deux séries
u
nIN
n
et
v
nIN
n
sont donc 0 et 0 .
2. Déterminons par la méthode des DL la nature des deux séries. x² a) En tenant compte du fait que ln 1 x x , on obtient : 2 V 0
1 n
u n
1
2
2n 1 est convergente d’après la règle de Leibnitz puisque 0 Or la série alternée n 1 1 série converge si et seulement si 2 1 (série de Riemann). 2 2n 1 1 Donc la série u converge si et diverge si . 2 2
n
n
; alors que la
2
n
nIN
b) En tenant compte du fait que
1 x
1 x , on obtient :
V 0
1n 1 1 1 1 1 1 v 1 1 n n n n n n n n 1 1 est convergente d’après la règle de Leibnitz puisque 0 ; alors que la Or la série alternée n 1 série converge si et seulement si 1 1 0 (série de Riemann). n n
n
n
n
n
1
48
n
n
1
Donc la série
v
nIN
n
converge si 0 et diverge si 0 .
u
3. Etudions la convergence absolue de
nIN
n
et vn . nIN
a) En tenant compte du fait que ln 1 x x , on obtient : V 0
1
n
u n
Or la série alternée
n
1
n
1
est une série de Riemann qui convergente pour 1 ; alors la série
n
converge absolument si 1 . b) En tenant compte du fait que
1 x
1 n1n
v
n
Or la série alternée
1
n
v
n
1 , on obtient :
n
n
V 0
1n 1 1 1 n n n
n
u
n
1
n
est une série de Riemann qui convergente pour 1 ; alors la série
converge absolument si 1 . 4.
u
n
est semi convergente pour
1 1 , 2
v
n
est semi convergente pour 0 1 .
Remarques :
1
n
1. Le DL à l’ordre 1 ne permet pas l’étude de la série u n , puisque
u n
d’équivalence n’est valable que pour les séries à termes positifs.
alors que la règle
n
2. On ne pourra rien conclure sur la nature de la série e utilisant le DL à l’ordre 1 de
1 qui est le terme général d’une série alternée. n
qui nous donne
v n
n
Solution exercice (I.11) L’inégalité de Cauchy Schwartz n n n a p b p ² a2p b2p p 1 p 1 p 1 1 Donne, en prenant a p p u p , b p , p
49
1 x 1
V 0
n n n 2 n 1 a p b p ² u p ² p²u KS p p 1 p 1 p 1 p 1 p ²
Où K p 1
2 1 ² et S p²u ; d’où p p² 6 p 1 n
n IN *, u p
KS ,
p 1
Majoration qui assure la convergence de u n . n1 Solution exercice (I.12) Supposons que la série
v u n
n
alors
v n 1
On a aussi
u
n
u n 1
n
v
n
est convergente, alors son terme général
n
1 vn
et si on suppose que la série
v u n
n
et par conséquent
u n 1
n
0 (ce qui implique que la série
N 0 , il existe n N tel que
u n 1
n
u
n
u n 1
n
0 nécessairement. Comme
n
n
est convergente son terme général
v
n
0
est aussi convergente.
est convergente, on procède comme avant.
u n 1
n
conséquent
v n 1
Autre méthode : Dans le cas où la série
lim u
n
est aussi convergente.
nécessairement. Donc
Si
u
n
est divergente) alors il existe 0 quel que soit
(rappelons que
u
n
0 ) donc
v
n
0 lim vn 0 et par
1
n
est aussi divergente.
Solution exercice (VII.1.13) Remarquons que d’après la définition du produit de deux séries
a et b n 0
n
n 0
n
, on a
n n 1 1 1 ; donc ak bk . an bn u n , avec u n ak bnk n k ! k! k 0 k 0 k! n0 n0 n0 1 Par conséquent u n ² e² . n0 n 0 k!
50
CHAPITRE II
Suites et séries de fonctions Introduction Soit
f une suite de fonctions de même domaine de définition. On s’intéresse dans un premier temps à n
la convergence de cette suite vers une nouvelle fonction f et aux propriétés dont f hérite.
On applique ensuite ces idées aux séries de fonctions n 0
f x . n
II.1. Suites de fonctions : Norme de la convergence uniforme (II.1.1) Définition : Soit E un espace vectoriel sur le corps IK . On appelle norme sur E toute application N : E IR , x N x ou . : E IR , x x telle que : (i) x E, N x 0 et N x 0 x 0 (ii) x E, IK : N x N x (iii) x, y E, N x y N x N y (II.1.2) Exemples : 1) La valeur absolue est une norme sur IR. 2) Le module est une norme sur C. 3) L’application : IR² IR , x, y x y n’est pas une norme car la condition (i) n’est pas vérifiée : Il existe (i) x, y 1,1 0,0 telle que (i) 1,1 1 1 0 .
Si l’application x x est une norme, le couple E , . est appelé espace vectoriel normé et le nombre
x est dit norme du vecteur x. 4) Les trois normes usuelles sur
x
n
1
k 1
x
k
;
x
2
, n IN * . Pour x x1 , x2 ,....., xn IK on a :
IK
n
x
n
n
k 1
k
x
² ;
sup 1 k n
x
k
(II.1.3) Remarques : 1) Une norme est toujours positive. 2) La propriété (iii), dite inégalité triangulaire, implique l’inégalité très utile suivante : N x y N x N y 51
3) L’application N est souvent notée
.
. On lit E
x
norme de x pour x E . E
(II.1.4) Définition : F E, IK ) dénote l’ensemble de toute les fonctions de E dans IK. On dit que f F E, IK ) est bornée si l’image de E par f est bornée :
M 0, x E; f x M .
L’ensemble des fonctions bornés de F E, IK ) est noté par BE, IK ) . Si f BE, IK ) , on pose
f
sup f x et on remarque que l’application
.
xE
: BE, IK IR
est une norme. On l’appelle norme de la convergence uniforme.
(II.2) Distance associée à une norme (II.2.1)Définition : Soit E , . un e.v.n ; on appelle distance associée à . l’application :
d : E ² IR définie par: x, y E ², d x, y x y . (II.2.2)Proposition : Soit E , . un e.v.n ; d la distance associée à . . On a : 1) x, y E ², d x, y d y, x (symétrie) 2) x, y E ², d x, y 0 x y (séparation)
3) x, y, z E , d x, z d x, y d y, z (inégalité triangulaire) 3
4) x, y E ², IK ; d x, y d x, y (positive homogénéité)) 5) x, y, z E , d x z, y z d x, y (invariance par translation) 3
(II.3) Suites et convergence dans un espace vectoriel normé : (II.3.1) Définition : On dit qu’une suite
x n d’un espace vectoriel E, . converge vers x E si et seulement si : n
0, IN , n
x
n
x
Ou si 0, IN , n d
x , x n
Et on écrit :
lim x
n
x.
n
On dit qu’elle diverge si et seulement si : x E, 0, IN , n et
x
n
x
Ou si x E, 0, IN , n et d (II.3.2) Remarques : 52
x , x n
(i) La limite d’une suite dans un espace vectoriel normé si elle existe est unique. (ii) l’ensemble des suites convergentes dans un e.v.n forme un espace vectoriel sur IK. (iii) Toute suite convergente est une suite bornée. (II.3.3) Proposition : La suite x n d’un espace vectoriel E , . converge vers x E si et seulement si la suite
n
x x est n
convergente vers 0. (II.3.4) Proposition : Soient
x n et y n deux suites dans un e.v.n E , n une suite dans IK ; x, y E; IK . On a : n
n
n
x x. 2. 0 x 0. x et y y x y x y . 3. 4. 0 et y bornée y 0 . n 5. x 0 et n bornée x 0 . 6. et x x bornée x x .. 1.
x x x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(II.4) Convergence simple et uniforme (II.4.1) Définition :
f F E, IK )converge simplement vers la fonction f F E, IK ) au point x si et seulement si la suite numérique f x converge vers f x ; en d’autres termes : On dit qu’une suite de fonctions 0
n
n
0, , x0 0, n , x0
lim f x f x ; On dit qu’une suite de fonctions f Et on écrit :
n
0
0
f x f x n
0
0
0
0
F E, IK )converge simplement vers la fonction f F E, IK ) sur A ( A E ) si et seulement si la suite numérique f converge vers f en tout point de A : n
n
n
x A, 0, , x 0, n , x
f x f x n
On remarque que , x dépend de et de x , et la fonction f x est appelée limite simple de la suite
f F E, IK ). n
(II.4.2) Exemples :
f x x , n IN * Si x 0,1 , lim f x 0 (1) E 0,1,
n
n
n
n
53
Si x 1,
lim f 1 1 n
n
Par conséquent la suite
0 si x 0,1 f x 1 si x 1
f est convergente simplement sur E 0,1vers f qui est définie par: n
(2) E IR , f x 1 x , n IN * 1 x Si x 1 , lim f x 1 Si x 1 , lim f 1 1 Si x 1 , lim f 1 0 Par conséquent la suite f est convergente simplement sur IR vers f qui est définie par : 2n
2n
n
n
n
n
n
n
n
n
1 si x 1,1 f x 1 si x 1 0 si x 1
(3) E 0, ,
nx f x 1 nx , n
n IN *
lim f x 1 Si x 0 , lim f 0 0 Si x 0 ,
n
n
n
n
Par conséquent la suite
f est convergente simplement sur IR vers f qui est définie par : n
1 si x 0 f x 0 si x 1 On peut dans ce cas facilement trouver , x : Si x 0 ,
f 0 f 0 0 et , x est arbitraire.
Si x 0 ,
nx 1 1 1 1 f x f x 1 nx 1 1 nx 1 nx n x 1
n
n
11 Il suffit de prendre , x = 1 . x (4) Déterminer le domaine de la convergence simple de la suite de fonctions
f x 1 sinn x .
f définie par : n
n
n
Cette suite n’admet pas de fonction limite, pour tout x IR . Ainsi D . (la suite diverge). (II.4.3) Remarques : 1. La valeur du nombre , x peut appartenir à IR. 2. La limite d’une suite de fonctions continues n’est pas nécessairement continue.
54
3. Si
f est croissante (resp.décroissante) et convergente vers f, alors f est aussi croissante n
(resp.décroissante). (II.4.4) définition :
f F E, IK )converge uniformément sur E vers la fonction
On dit qu’une suite de fonctions
n
f F E, IK ) si et seulement si :
0, 0, x E, n
f x f x Ou si : lim sup f x f x 0 lim f f 0 n n
xE
n
n
n
Ici la valeur de dépend uniquement de .
(II.4.5) Proposition : Si une suite de fonctions convergence uniformément sur E, alors elle converge simplement sur E. Preuve :
x E, n IN :
f x f x sup f x f x . n
n
xE
La réciproque est fausse : Comme contre exemple, on considère la suite de fonctions
f x x , x 0,1 n
n
0 si x 0,1 On sait que f x et par conséquent sup f x f x 1 . n 1 si x 1 x0,1 La convergence ne peut être uniforme sur 0,1 . Si on considère la même suite de fonctions sur l’intervalle 0, a, a 0 la convergence serait uniforme car :
sup f x f x sup x a n
x0, a
n
n
0.
x0, a
(II.4.6) Interprétation géométrique : La convergence uniforme d’une suite de fonctions f F E, IK ) sur E vers f F E, IK ) veut dire que pour tout 0 , il existe tel que pour tout
n
n le graphe de
f
n
est situé dans une bande de largeur 2 .
Géométriquement : f x
2 symétrique par rapport à f
f x f x et contenant f . n
ça implique l’existence d’une seule bande de largeur
n
(II.4.7) Exemples : 1. Montrer que la suite de fonctions D 0,1 .
f définie par n
55
x f x n x est uniformément convergente sur n
En effet, la limite simple de cette suite de fonctions est la fonction x f x 0, x 0,1 . (Ainsi la convergence est simple vers 0 sur D 0,1 . Vérifions que la convergence est uniforme : x 1 f n x f x x n n , x D. 1 1 1 D’où, pour 0 , f x f x dès que i.e. n . Il suffit de prendre N 1 , n n d’où on déduit la convergence uniforme vers 0 sur D 0,1 . 2. Montrer que la suite de fonctions
f définie par f n
n
x nx² enx est uniformément convergente
sur D 0, . En effet, la limite simple de cette suite de fonctions est la fonction x f x 0, x 0, . (Ainsi la convergence est simple vers 0 sur D 0, . Vérifions que la convergence est uniforme en déterminant :
sup f x f x . , i.e. sup nx² e
nx
n
xD
f ' x 2nx n² x² e
nx
n
nx2 nx e
nx
.
xD
0 x 0 ou bien
x
n
2 n
2 2 n n2 4 2 n ² e e 0 , d’où la convergence uniforme de la n n n n n n xD suite de fonctions donnée vers la fonction nulle sur D 0, . Donc sup
f x f x . f
Remarque : Si la suite de fonctions
f x f x a n
n
f vérifie à partir d’un certain rang N : n
, x D
et
a
n
0
Alors la convergence est uniforme. 3. Etablir la CU sur D IR de la suite de fonctions :
f x lim n
f x lim n
x²
n
f x f x n
La convergence de
f n
f x n
x²
1 . n
1 x² x . n
1 1 1 x x x n n n 1 est uniforme puisque lim 0. n n x²
4. Etablir la CU sur D 1, de la suite de fonctions :
n
a ² b² a b .
1 f x n sin nx .
1 1 1 lim f x f x Remarquons que sin n x nx nx n 1 1 1 1 f n x f x n sin nx x n sin nx nx .
56
1 t² . On a sin t t sin , 0,1 (Théorème des accroissements finis). nx 2 t² 1 1 1 sin t t sin sin f x f x 0 , d’où la convergence n 2nx² 2n 2 2n ² x ² uniforme. Posons t
(II.4.8) Etude pratique : On calcule :
lim f n
x0 E tq lim f x0 n' existe pas f x ne converge pas simplement sur E n n n f n f 0 pas de lim ite uniforme x lim n n x E , lim f n x f x est lim ite simple n lim f f 0 f est la lim ite uniforme n n
(II.4.9) Remarques : (i) Pour qu’une suite de fonctions
f converge uniformément sur E vers f il suffit de n
convergente vers 0 telle que : f x f x
trouver une suite de nombres réels positifs
n IN , x E,
n
n
f ne converge pas uniformément sur E vers f il suffit de trouver une suite de points x E telle que : f x f x ne converge pas vers 0. (ii) Pour qu’une suite de fonctions
n
n
n
n
n
n
(II.4.10) Proposition :( condition de Cauchy) Pour qu’une suite de fonctions
f F E, IK )converge uniformément sur E vers f il faut et il suffit n
qu’elle vérifie la condition de Cauchy : 0, 0, x E, p , q
f x f x p
q
(II.4.11) Définition : Soient E et F deux e.v.n et f : E F une application. On dit que f est continue au point seulement si : 0, 0,
x x0
E
f x f x0
F
f est continue sur A ( A E ) si et seulement si f est continue en tout point de A. C E, IK dénote l’ensemble de toutes les fonctions continues de E dans IK. (II.4.12) Théorème :
f F E, IK ) une suite de fonctions uniformément convergente vers f sur E. Si toutes les fonctions f sont continues en x E , alors f est aussi continue en x . Soit
n
n
0
0
57
x
0
si et
Preuve :
f converge uniformément vers f sur E : n
0, 0, y E, n 0
f continue en x n
Pour tout n
0
0
0
x x0
et
f x f x0
: 0, 0,
F
f y f y 3 n
x x0
E
f nx f nx0
F
3
on a : E
f x f nx
f nx f nx0
F
f nx0 f x0
F
Par F
conséquent f est continue en x0 . (II.4.13) Remarques : (i) Si la suite de fonctions
f CE, IK ) converge vers f telle que f est discontinue sur E, n
alors la convergence ne peut être uniforme sur E (voir exemple (I.3.13)). (ii) Le théorème précédent donne une condition suffisante pour que f soit continue, mais la condition n’est pas nécessaire. (II.4.14) Exemples : 1. Soit la suite de fonctions
f définie par f n
n
: 0,1 IR, x
n
x
; on sait que :
0 si 0 x 1 lim f x f x 1 si x 1 n
n
La fonction f n’est pas continue en 0, la convergence ne peut être uniforme sur 0,1 .
2. Soit la suite de fonctions
f définie par : f n
1 nx si 0 x n 1 2 : 0,2 IR, x nx 2n si x n n n 2 0 si x n
f est continue, simplement convergente vers
La suite
n
x 0, lim n
f 0 ; car si x 0 le résultat est évident et si
2 f x 0 si n x . n
La convergence n’est pas uniforme:
sup f x f x f x0, 2
n
1 n . n n
(II.4.15) Théorème : Soit
f F E, IK ) une suite de fonctions uniformément convergente sur A E vers f. On pose n
lim f x ; alors la fonction f admet une limite au point a et on a : n
x a
n
58
lim lim f x n
n
x a
(II.4.16) Théorème : (convergence uniforme et intégration) Soit
f Ca, b, IK ) une suite de fonctions uniformément convergente sur a, bvers f. n
b Alors la suite a
f
IK converge vers Soit n
b
b
f et on a :
a
b
f t dt lim
a
a
n
f t dt . n
(II.4.17) Théorème :
f CI , IK ) une suite de fonctions uniformément
Soient I est un intervalle de IR, a un point de I et
n
convergente vers f sur tout intervalle borné de I. Alors la fonction f est continue sur I et la suite g C I , IK définie par :
n
x
g
n
: I IK , x
g x f t dt converge simplement sur I (et uniformément sur tout intervalle n
n
a
x
borné de I) vers la fonction g : g : I IK , x g x f t dt . a
Preuve : x a, b,
g x g x f t f t dt f t f t dt x
n
x
n
n
a b
a
f t f t dt b a sup f t f t
n
n
ta ,b
a
(II.4.18) Remarques: b
b
1. Pour avoir l’égalité f t dt lim n
f t dt , la condition de la convergence uniforme n
de la suite
f est suffisante mais pas nécessaire : Comme exemple soit la suite de fonctions f définie par : a
a
n
f
n
0 si x 0 1 : 0,1 IR, x 1 si 0 x n n 1 0 si x 1 n
La suite
f est simplement convergente vers n
uniforme sur 0,1 car: n IN *, sup x0 ,1
1
f 0 ; car si x 0 , mais la convergence n’est pas
f x 1. n
1
1 f t dt 0 lim f t dt lim n . 0
n
n
0
n
2. Soit la suite de fonctions définie pour x 0,1 , par
59
nx f x 1 nx , n
n IN *
f est convergente simplement sur IR vers f qui est définie par : f x 10 sisi xx 00 Comme f ne converge pas uniformément vers f, on ne peut déduire l’égalité La suite
n
n
1
1
f t dt lim f t dt . n
n
0
0
On effectue un calcul direct :
1 1 nt dt log 1 n t dt lim dt lim dt lim 1 1 n 1 nt 1 nt n n n n 0 0 0
1
1
I lim n
f
0
1
1
1
0
0
0
1
f t dt dt 1 et par conséquent f t dt lim f t dt . n
n
0
3. Soit la suite de fonctions définie pour x 0,1, par
x² f x 1 nx , n
n IN *
f est convergente simplement sur 0,1vers f qui est définie par:
La suite
n
f x 0 .
1 f x f x lim sup f x lim 1 n 0 lim sup n
x 0,1
n
Donc
n
x 0,1
n
n
f converge uniformément vers f sur 0,1, on peut déduire l’égalité n
1
1
f t dt lim f t dt 0 . n
n
0
0
(II.4.19) Théorème : (convergence uniforme et dérivation) Soit
f C I , IK ) une suite de fonctions telle que la suite f 1
n
uniformément sur tout intervalle borné de I vers f . S’il existe un point
x
0
de I tel que la suite numérique
' n
converge simplement sur I et
f x converge, alors f converge 0
n
n
simplement sur I vers f C I , IK ) et uniformément sur tout intervalle borné de I , en outre la 1
dérivée de f est la fonction g : x I , f ' x lim n
Preuve : 1) Montrons d’abord que
f x . '
n
f converge simplement sur a, b. Soit x a, b , puisque f C a, b, IK ) , on a : n
1
n
f x f x f t dt x
n IN ,
n
n
a:
n
x0
En appliquant le théorème (II.4.17) à la suite de fonctions x
'
0
x
f ' sur l’intervalle x , x, on n
f t dt converge lorsque n tend vers l’infini vers g t dt .
x0
'
n
x0
60
0
D’autre part, il existe l IK tel que
f x converge vers l . 0
n
Donc ' x lim f x0 lim f t dt l g t dt f lim n n n n n n x
On a montré que
x
x0 x0 converge simplement sur a, b vers la fonction :
f n
f x l
x
g t dt
x0 2) Montrons que cette convergence est uniforme. Soit x, n a, b IN :
f x l f t dt g t dt x
f n x f x
0
n
0
n
Comme
lim f x l n
n
0
n
x0
f x l b a f 'n g
x
'
x0
f x l n
0
x
x
f nt dt g t dt '
x0
x0
' lim f n g
0 et
n
0 et b a est fini, alors lim n
f n f
d’où la convergence uniforme.
3) De la définition de f découle que f C a, b, IK ) et que f ' g . 1
II.5. Les séries de fonctions (II.5) types de convergences d’une série de fonctions (II .5 .1) Définition : Soit
u F E, IK une suite de fonctions. On appelle série de fonctions de F E, IK . n
n
La série u nx . On pose S n x u k x . k 0
n
(i) On dit que la série de fonctions
u x converge simplement sur E si et seulement si n
n
la suite de fonctions
S x converge simplement sur E. n
u x la fonction S définie par :
On appelle somme de la série de fonctions
n
n
S : E IK ; x S x lim S n x u nx . n
(ii) On dit que la série de fonctions
n0
u x de BE, IK converge uniformément sur E n
n
si et seulement si la suite de fonctions (iii) On dit que la série de fonctions
S x converge uniformément n
sur E.
u x de BE, IK converge absolument sur E n
n
61
0,
u x
si et seulement si la série de fonctions
n
de BE, IK converge absolument sur E.
n
(iv) On dit que la série de fonctions
u x de BE, IK converge normalement sur E n
n
u x est bornée et la série u n
si et seulement si la suite de fonctions
n
n
converge.
(II.5 .2) Remarques : (i) Soit
u x une série de fonctions de F E, IK qui converge simplement sur E. On définit R , le n
n
n
reste de cette série par :
Rn : E IK ; x On remarque que la série
u k x Rn x k n 1
u x converge uniformément sur E si et seulement si R converge n
n
n
uniformément vers 0 sur E. (ii) S’il existe une suite de points
x de E telle que R x ne converge pas vers 0, alors la série n
n
u x ne converge pas uniformément sur E.
n
n
n
Par exemple, la série géométrique
z
n
converge simplement sur le disque ouvert D z C; z 1,
n
elle diverge ailleurs. Sa somme S sur D vaut : S z z n
n0
R z z
k
z
1 , le reste d’ordre n de la série est 1 z
n 1
. 1 z La suite des restes n’est pas bornée sur D. Il n’y a donc pas convergence uniforme sur D. n
k n
n 1
Soit 0 r 1 et Dr z C; z r, on a :
Rn
n 1
max z r 0 , la série converge 1 z 1 r z
Dr uniformément sur Dr . Cet exemple est exceptionnellement simple. C’est un des rares cas où l’on peut calculer exactement la suite des restes. (II.5.3) Exemples : 1) Etudier la convergence simple et uniforme de la série de fonctions
u z : n
n
u z : C C; z u z 1 z z . On pose A z C / z 1 B z C / z 1. Pour z B , la suite u z ne converge pas vers 0 et donc la série est divergente. n
n
n
n
On suppose que z A , et on applique la règle de D’Alembert :
1 z z u z lim z lim 1 z u z
n 1
n 1
n
n
n
z 1
n
La série converge absolument pour z 1 . 62
Si z 1 , alors
S z u z 0 lim S z 0 et la série est aussi convergente. n
0 k n
k
n
n
1 z , si z 1 S z 1 z 0, si z 1
Etude de la convergence uniforme : 1 z n 1 , si z 1 Rn : A C ; z Rn z 1 z z 0, si z 1 n 1
On remarque que
1 1 1 1 R n n n
uniformément sur A.
Si on pose Ar z C / z r, r 0,1 ,
1 0 et par conséquent la série n’est pas convergente e
R z r n
n
0 et la convergence est uniforme sur Ar .
2) Etudier la convergence simple de la série de fonctions x 1 n0
1 n
x
n
sur D 0, .
1 Si x 0,1 , lim u n x 1 0 la série donnée est grossièrement divergente. ( 1 0 n
x
1 n
e
ln x n
e
1 ).
0
n
1 lim u 1 2 0 la série donnée est grossièrement divergente.
Si x 1 ,
n
n
Si x 1 ,
1 1 1 1 x n n u n1 x x n1 1 x x n1 x 1 1, lim lim lim 1 x n n u n x n 1 xn1 x 1n x n xn x 1n x donc la série donnée est convergente simplement. n
Finalement
1 x n0
1 n
x
diverge si 0 x 1 n converge si 1 x
3) Etudier la convergence des séries de termes généraux : x , , avec 0 ensuite sur D2 0, . a) u n x sur 1 nx 1 n 1x D1
1 sur D 0, . x n
b)
u
n
nx
n 1 1 1 1 1 S n x u k x S x a) u n x 1 nx 1 n 1x 1 x 1 n 1x n 1 x k 1 La série converge simplement sur D2 0, et aussi sur D1 ,
63
1 1 sup S x S x sup 1 n 1x 1 n 1 0 . La série converge uniformément sur n
x
x
D1 D1 , .
n
D1
1 sup S x S x sup 1 n 1x 1 . La série ne converge pas uniformément sur D n
x
2
.
x
D2
D2
u x
b) Série alternée,
n
D 0, .
1 nx
0 par décroissance suivant n , la série converge simplement sur n
S x S x R x u x n 1
1
n 1 x La série converge uniformément sur D 0, . n
n
1 n 1
0 . n
(II.5.4) Proposition : Toute série de fonctions convergente normalement est convergente uniformément et absolument. (II.5 .5) Proposition : Soient (i)
u et v deux suites de fonctions de F E, IK , k une fonction de F E, IK . Si u et v convergent simplement sur E, alors u v (resp. k u n
n
n
n 0
n 0
n
n
n0
n
n 0
simplement sur E. Si u n et vn convergent uniformément sur E et k BE, IK , alors
(ii)
n 0
n 0
n
) converge
u v (resp. n
n0
n
k u ) converge uniformément sur E. Si u et v convergent normalement sur E et k BE, IK , alors u v (resp. k u ) converge normalement sur E. n
n 0
(iii)
n
n 0
n 0
n 0
n
n0
n
n
n
(II.5.6) Proposition :
u une suite de fonctions de BE, IK . Pour que la série u converge normalement sur E, il faut et il suffit qu’il existe une suite de nombres réels positifs telle que : (i) n IN , x E : u x (ii) La série numérique converge Soit
n
n 0
n
n
n
n 0
Preuve : La suite
n
n
u xest majorée par n
n
, par conséquent
un
d’après le critère de comparaison. 64
n , la série
un n0
est convergente
Si la série
un n0
est convergente, il suffit de prendre
un
n.
Résumons, on s’intéresse à la série u n . Il faut avant tout penser à la convergence normale : n 0
1. Pour montrer la convergence normale, on cherche à majorer la norme uniforme :
un
n . On montre ensuite la convergence de la série majorante
n 0
n
en appliquant
à cette série les théorèmes bien connus sur les séries numériques. La convergence normale sur E, de la série de fonctions entraîne la convergence uniforme, la convergence absolue et la convergence simple sur E. 2. Au cas où il n’y a pas convergence normale, on étudie la suite des restes : (a) On montre la convergence simple de la série sur E. Cette étape permet de définir et manipuler la suite Rn des restes de la série. (b) On montre que la suite des restes
R tend uniformément vers 0 sur E. n
(II.5 .7) Exemples : 1) Etudier la série
cos nx
n 1
On a u n x
cos nx 3
3
.
n
n
u x n
1 3
, n IN *, x IR . Comme la série
n
n 1
1 3
est
n
convergente (série de Riemann 3 1) alors la série donnée converge normalement sur IR.
1
n
2) Etablir la convergence normale de la série
1
n 1
n² sin nx
.
n
On a sup xIR
n² sin nx
3) Même question pour
1 1 . Donc la série donnée converge normalement sur IR . n² 1 n²
x² e
nx
sur D 0; .
n 1
u x x² e
nx
'
n
' x2 nxe
nx
0 x0
2 4 2 e n n² xD Donc la série donnée converge normalement sur D 0; .
sup u x u x u n
4) Exercice : Etudier les séries
n 1
n
1
n² n
4
x²
et n 1
(II.5 .8) Proposition : (Condition de Cauchy)
65
n
n
sin nx
n
3 2
.
x
n
2 n
u x de F E, IK converge uniformément sur E, il faut et il suffit
Pour qu’une série de fonctions
n
n 0
que la condition de Cauchy suivante soit vérifiée :
0, 0, x E , n , p IN : 0
0
n p
u x k n
k
(II.5 .9) Remarque : Si
u x converge uniformément sur E, alors la suite de fonctions u x converge uniformément n
n 0
n
vers 0 sur E.
(II.5 .10) Proposition : (Critère d’Abel)
u x de BE, IK converge uniformément sur E, il suffit de trouver
Pour qu’une série de fonctions
n
n 0
deux suites de fonctions : (i) n IN ,
et v F E, IK telles que : n
u x x. v x n
n
n
n
est décroissante suivant n (iii) sup x 0 (ii)
n
xE
n
v x A
(iv) A 0, x E , n IN :
0 k n
k
(II.5.11)Exemple : Etudier la convergence uniforme sur D ,2 ; 0 de la série de fonctions n 1
Si 1, la convergence est normale sur IR car
sin nx
n Si 0 1 , on pose n x
1
,
n
1
sin nx
; 0 .
n
.
n
v x sin nx et on applique le critère d’Abel. n
(II.5 .12) Proposition : (Critère de Dirichlet) Pour qu’une série de fonctions
u x de BE, IK converge uniformément sur E, il suffit de trouver n 0
deux suites de fonctions : (i) n IN ,
et v F E, IK telles que : n
u x x. v x n
n
n
n
n
est monotone suivant n (iii) x M , x D (ii)
n
n
66
(iv)
v x converge uniformément sur D . n
n
(II.5.13) Exemple :
1 Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions
n
n 1
nx²
nx e
sur D 0, .
(II.6) Propriétés de passage à la limite : (II.6.1) Théorème : (Continuité de la somme) Soit
u une suite de fonctions de CE, IK telle que la série de fonctions u x converge n
n 0
n
uniformément (resp. normalement) sur E. Alors la somme de cette série est une fonction continue sur E. n 1 Exemple : Pour tout x 0 et tout entier n 1 , on pose S n x x , il s’agit d’une série de Riemann k 1
k
et l’on sait qu’elle converge pour x réel si et seulement si x 1. Soit la fonction limite définie sur 1 E 1, : x lim S n x x . k 1
n
k
Il est clair que pour tout entier n 1 , le terme général x
1
n
x
est continu sur E. Que dire de la
continuité de la fonction ? En vue d’une application du théorème précédent, on étudie la convergence uniforme sur E ; on compare série et intégrale d’une fonction monotone. k 1 k dt 1 dt Soit x 1, k 1 on a : x x x d’où pour tous entiers n, p 1 ,
t
k
n p 1
n 1
k
dt
t
x
n p
k n 1
k 1
1
k
x
t
n p
n
dt
t
x
Après intégration, on obtient n p 1 1 1 1 1 1 1 x 1 n 1 x 1 n p 1 x 1 k n 1 k x x 1 nx 1 n p x 1 En faisant tendre p vers l’infini, on obtient un encadrement du reste Rn ,
1 . x 1
1
n1
x 1
Rn x
1 1 . x 1 x 1 n
On constate que la fonction S n n’est pas bornée sur 1, . Elle est équivalente à
1 au voisinage x 1 de x = 1. On voit une obstruction à la convergence uniforme se situe au voisinage du point x = 1. On exclut donc un voisinage de ce point.
67
R nx
On considère un réel a 1 . L’inégalité précédente donne : On conclut que la suite
S n
1 1 . a 1 0 . a 1 n
S converge uniformément sur a, . On peut appliquer le théorème de la n
continuité précédent. On en déduit que la fonction est continue sur a, . (II.6 .2) Théorème : (Intégration terme à terme) Soit
u une suite de fonctions de Ca, b, IK telle que la série de fonctions u x converge n
n
n 0
uniformément (resp. normalement) sur a, b . Alors la série de terme général
b
u t dt est convergente n
a
un t dt un t dt b
et on a :
b
0n Exemple pratique : reprenons l’exemple de la série géométrique, soit r 0,1 , 1 k S x x , x 1. 1 x k 0 La série converge normalement sur r, r , d’après le théorème d’intégration terme à terme, on a : 0 n a
a
r
k 1
k 1
r
r r S t dt ln 1 r t dt k 1 ; d’où pour tout r 0,1 , ln 1 r k 1 . k
k 0 0
0
k 0
k 0
1
(II.6 .3) Exercice : Démontrer l’égalité suivante :
t
n
0 n 0
sin t dt
sin t dt . t 0
(II.6 .4) Théorème : (Dérivation terme à terme) Soit
u une suite de fonctions de C a, b, IK telle que la série de fonctions u x converge '
1
n
uniformément (resp. normalement) sur a, b . S’il existe un point c a, b telle que la série numérique
n 0
n
u c converge, alors la série u x n
n
convergente uniformément sur a, b , en outre sa somme est de classe
x a, b, S ' x u nx .
n
C a, b, IK et on a :
n
1
'
n
Exemple pratique : reprenons l’exemple de la fonction Zêta : x k 1
Les fonctions
u x k
1 x
sont de classe
C
1
k
x
.
sur 1, , pour tout k 1 . La série des dérivées converge
k ln k normalement sur a, , pour tout a 1 . En effet, soit a 1 , u x . Pour tout x a , on a : k '
k
68
x
ln k ln k et la série major ante u x k k classe C sur a, , et on a ln k ' x . k '
a
a
k
est convergente. On en déduit que la fonction est de
k
1
k 1
x
ln ² k
k 1
k
On peut de même montrer que est de classe C , ' ' x 2
x
…….
EXERCICES Exercice (II.1) Etudier sur le domaine D la convergence simple des suites de fonctions définies par : x x , D IR , a) f x b) f x n ln 1 , D 0, n n x ² n² n
69
n
n
c)
f x x 1 x n
n
D 0,2 ,
,
e)
x f x 1 , n n
Exercice (II.2) Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions
1 x² , D 0,1,
a)
f x x
c)
x² f x n ln1 n , D IR
n
n
b)
1
n
f n sur le domaine D : n
1 f x nsin x n sin x,
n
D a, a,
et
D 0,
2
a0
D IR
.
Exercice (II.3) Soit la suite de fonctions
f n définie sur 0,2, pour tout n IN *, par : n
1 1 1 si 0 x 1 n n 1 1 f n x 1 nx 1 si 1 n x 1 n . 1 1 1 si 1 x 2 n n 1. Tracer dans le même repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions f 4 , f 8 et f 1000 . 2. Montrer que la suite de fonctions
f n converge simplement vers une fonction f que n
l’on déterminera. Tracer le graphe de f dans le même repère. 3. Calculer sup x0 , 2
f x f x . La convergence de la suite de fonctions f n est-elle n
n
uniforme sur l’intervalle 0,2 ? Exercice (II.4) Pour tout n IN * , on considère la suite de fonctions
f n définie sur 1,1, par : n
1 1 n 2 x ² 2n si x n . f n x 1 x si x 1 n On admet sans démonstration que f C1 1,1 , IR . n 1. Tracer dans le même repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions f et f .
2
8
2. Montrer que la suite de fonctions
f n converge simplement vers une fonction f que n
l’on précisera. Tracer le graphe de f dans le même repère 3. Montrer que la convergence de
f n est uniforme sur l’intervalle 1,1 . n
70
4. Est ce que la convergence de
f 'n est uniforme sur l’intervalle 1,1 ? n
Exercice (II.5)
f n définie sur D 0,1 par : 1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions f . n Considérons la suite de fonctions
n
f x n
n
2
x
1 n 2 x² n
.
n
1
2. Etudier la suite numérique définie par u n n
f t dt . Que peut-on conclure ? n
0
Exercice (II.6) Etudier la convergence simple des séries de fonctions suivantes : n ln n n ln x , x 0 a) x , b) x , c) Arc tann²1 x ² n 1 n 0 2 n 1 Exercice (II.7) Etudier la convergence normale sur D des séries de fonctions dont les termes généraux sont donnés par : n x ² sin x nx a) u n x e b) u n x x² e , D 0, , D 1, , Exercice (II.8) Etudier la convergence uniforme des séries de fonctions suivantes sur le domaine D : 2x n² x ² a) ln b) Arc tan , D IR , D a, a , a 0 , 3 n² n2 n 0 x² n c)
1
n2 3
n x
n
,
1
D 0, ,
d)
n2
n
x, 1 n² x n n
5
D 0,1.
Exercice (Ii.9) Considérons la suite de fonctions
u n définie par : u x n
n
x
1 x²
n
.
1. Etudier la convergence normale de la série de fonctions u n x sur IR et sur n 1
D a,, a 0 . 2. Etudier la convergence uniforme de cette série de fonctions sur IR .
SOLUTIONS Solution exercice (II.1) a) Si x 0 ,
f 0 0 lim f 0 0 . n
n
n
71
Si x 0 , On a :
lim f x lim x² n² 0, x IR La suite de fonctions f converge simplement sur IR n x
n
n
n
n
x f x 0
f : IR IR,
.
vers la fonction nulle définie par :
b) Pour tout x 0,, lim n
x x² x 1 f x lim n ln1 n lim n n 2n² o n² n
n
n
x² 1 lim x o x . 2n n n
La suite de fonctions
f n converge simplement sur D n
vers la fonction f définie par :
x f x x .
f : D IR,
n
c)
Si x 0,1 , lim x 0 et donc lim f x lim x 1 x 1 1 Si x 1 , lim f 1 lim 2 2 n
n
n
n
n
n
n
0
n
n
n
Si x 1,2 , lim x et donc lim f x lim x lim 1 x
1
n
n
n
La suite de fonctions
n
n
n
n
n
1 x
1
1
f n converge simplement sur 0,2 vers la fonction f définie par : n
f : 0,2 IR,
0 si x 0,1 1 x f x si x 1 . 2 1 si x 1,2
n
e)
x lim f x lim 1 e . La suite de fonctions f n n x
n
n
n
n
converge simplement sur 0,
vers la fonction f définie par : f : 0, IR,
Solution exercice (II.2) a) Si x 0,1 , lim f x lim
n
n
1 x² 0 . En outre
lim f 1 0 on en déduit que la suite de n
n
n
Calculons lim sup n
x0,1
f x f x lim sup f x . n
n
x0,1
n
f x 0 sur l’intervalle 0,1 . Etudions pour cela les variations f n x xn 1 x² sur l’intervalle 0,1 .
Puisque
x
x
f n converge simplement sur l’intervalle 0,1 vers la fonction nulle. n
fonctions
n
x
xe .
n
Nous avons : 72
de la fonction
x
f ' x
n 1
1 x²
n
n x²n 1 0 x
n n 1
D’où le tableau de variations :
x
n n 1 0
0
f ' x f x
+
1 -
n
n
0
f
n n n 1
n 2
0
1 2
1 et donc n 1 lim sup f x e 0 0 . Par suite, la suite de fonctions f n converge uniformément sur
On déduit que
sup f x f n
x 0 ,1
n
1 n 1 n n 1 n
1 2
n
x0 ,1
n
l’intervalle 0,1 vers la fonction nulle. b)
1 1 1 f x nsin x n sin x nsinx cos n cosx sin n sin x
1 sin n 1 n sin x cos 1 cos x . 1 n n n
On en déduit que
1 lim f x sin x lim ncos n 1 cos x lim n
n
Car
1
n
1
n
1
1 sin n cos x 1 n
1
lim ncos n 1 lim n1 2n² o n² 1 lim 2n 0 et lim n
n
Ainsi , la suite de fonctions
n
n
f n converge simplement sur IR
Remarquons que pour tout x IR ,
n
1 sin n 1. 1 n
vers la fonction f : x cos x .
1 1 f x f x n sin x cos n 1 cos x n sin n 1
n
1 1 cos 1 sin 1 n n . 1 1 n n 73
.
On en déduit que
sup f xIR
1 1 cos 1 sin x f x n n 1 n 1 1 n n
Et que
1 1 cos 1 sin n n 1 0 . 1 1 n n
lim sup f x f x lim n
xIR
n
n
1 1 1 1 1 1 o et sin o lorsque n tend vers l’infini, on a : Ou bien, puisque cos 1 2n ² n n² n n n²
lim sup f x f x 0 xIR
n
n
Ainsi, la suite de fonctions c)
f n converge uniformément sur IR vers la fonction f x cos x . n
x² f x n ln1 n , D IR et D a, a, Si x 0 , lim f 0 lim 0 0 2
1
n
n
n
Si x 0 ,
f
a0
n
4 4 x² x² 1 1 x x x n ln 1 n o x ² o lim n n 2n ² n ² n 2n n n
On déduit que la suite de fonctions
n
x² g x f x f x n ln1 n x²
1
g x g x , on restreint l’étude de g x à l’intervalle 0, . n
n
n
On remarquera que :
2 x² g ' x n x² 0 x 0 Comme g 0 0 , la fonction g x est décroissante sur 0, : n
n
n
x
g ' x g x
0
_
n
n
Alors
D IR de la fonction :
n
Comme
0
sup g x lim g x . xIR
n
x
n
f n converge simplement sur IR vers la fonction f x x² .
Pour l’étude de la convergence uniforme, étudions les variations sur n
f x x² .
n
74
x² x² ln 1 n ln 1 n x lim x² n 1 lim x ² 1 , puisque par la règle de g lim n x² x² x x x n ln 1 y 1 lim 0. l’Hôpital, lim y yx yx 1 y Ainsi,
lim sup f x f x , c'est-à-dire que f n ne converge pas uniformément sur IR . n
xIR
n
n
Etude de la convergence uniforme sur Soit a 0 , on a :
D a, a : 2
4 4 a² a² a² 1 1 a a sup g n x n ln1 n a² a² n ln1 n a² n n 2n² o n² 2n o n 0 n x a , a La convergence est uniforme sur tout intervalle de la forme D2 a, a , avec a 0 .
Solution exercice (II.3) 1. 3 3 si 0 x 4 4 3 5 f 4 x 3x 1 si 4 x 4 , 5 3 si x2 4 4
999 1000 f 1000x 999x 1 999 1000
si 0 x
f
7 7 si 0 x 8 8 7 9 x 7x 1 si x 8 8 8 7 9 si x2 8 8
999 1000
999 1001 x 1000 1000 1001 si x2 1000 si
75
1 2. Soit x fixé dans 0,1 . Il existe N IN * tel que : n N : x 0,1 et n lim f x 1 f x . n
n
n
1 Soit x fixé dans 1,2. Il existe N IN * tel que : n N : x 1 ,2 et n lim f x 1 f x .. n
1 f x 1 n . D’où
1 f x 1 n . D’où n
n
Si x 1 ,
f 1 0 f 0 . n
Ainsi, la suite de fonctions
f : 0,2 IR,
f n converge simplement vers la fonction n
1 si 0 x 1 f x 0 si x 1 1 si 1 x 2
3. Comme f n’est pas continue sur 0,2, la convergence n’est pas uniforme. Remarque : On voit sur le graphe que la convergence n’est pas uniforme sur 0,2 puisque la bande contenant
f x f x est discontinue en x 0 . n
76
Solution exercice (II.4)
1.
f
1 1 x ² 4 si x 2 x , 2 1 x si x 1 2
f
1 1 4 x ² 16 si x 8 x 8 1 x si x 1 8
2. Soit x fixé dans 0,1 . Il existe N IN * tel que : 1 n N : x ,1 et f x x x f x n n n .. . Soit x fixé dans 1,0 . Il existe N IN * tel que : 1 n N : x 1, et f x x x f x .. n n n
f 0 0 f 0 . Ainsi, la suite de fonctions f n Si x 0 ,
n
n
converge simplement vers la fonction f : 1,1 IR,
3. On constate d’après le graphe que sup x1,1
f x x .
1 f x f x f 0 f 0 2n 0 , ainsi la n
n
n
convergence est donc uniforme. Remarque : On voit bien sur le graphe que pour n assez grand, même bande.
77
f x f x n
est contenu dans la
4. Comme la fonction limite simple f x n’est pas dérivable en 0, on déduit d’après le théorème de dérivation terme à terme que la suite de fonctions
f 'n ne converge pas uniformément sur 1,1. n
Solution exercice (II.5) 1. Si x 0 ,
f 0 0 lim f 0 0 f 0 . n
Soit x 0,1 ,
n
n
f x n
n
2
1 n 2 x² n
Ainsi, la suite de fonctions f : 1,1 IR,
n
x
f x 0 .
2
n
2
x
1 x nx n 2 x
0 f x .
1
1
nx
n
2
n
x
f n converge simplement sur l’intervalle 0,1vers la fonction n
t 1 1 n 2. a) Comme f t dt 2 dt ln 1 n 2 ln 1 n t ² 2 2n 2n 1 n 2 t² 1 ln 2 Et lim , la suite proposée est convergente. Nous avons alors ln 1 n 2 2n 2 1
n
1
n
n
0
0
1
n
t 0
n
n
1
lim u nn lim n n b) Comme
f
ln 2 f t dt 2 . n
0
1 est intégrable sur D , et lim nn n 0
f n t
1 dt f t dt 0 , on en déduit d’après le 0
théorème d’intégration terme à terme que la convergence de la suite de fonctions
f n vers la n
fonction f n’est pas uniforme sur D . Solution exercice (II.6) a) Le terme général de la série donnée n’est défini que pour x 0 En appliquant le critère de D’Alembert, on :
u x n 1 x ln x n x ln x u x n 1
n 1
n
n
1
1 x, n
x 0 et x 1
Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient : 1 u n1 x x 1 x lim lim n n n u n x
La série converge absolument pour tout x 0,1 , diverge pour tout x 1 . Pour x 1 , la règle de d’Alembert ne permet pas de conclure. n
Remarquons que u n 1 0 S n 1 u k 1 0 lim S n 1 0 . Par conséquent, la série converge k 1
n
au point x 1 . En résumé la série converge simplement pour tout x 0,1 .
78
u x exp ln n ln x exp ln x ln n n
ln x
b) remarquons que
n
Or la série de Riemann
1
n
ln x
1
ln x
, x 0 .
n
1 converge si et seulement si ln x 1 x . On en déduit que la e
1 série donnée converge simplement pour x 0, .. e
1 Arc tant Arc tan , on en déduit que pour tout réel x , 2 t 1 1 1 . Arc tann²1 x² Arc tan 2 n²1 x ² n n²1 x ² n n² 1 Comme la série de Riemann est convergente car 2 1, alors il découle que la série de n² fonctions Arc tann²1 x ² converge simplement pour tout x IR . n 0 2 c) Comme pour tout t 0,
Solution exercice (II.7) a) Posons x x² sin x . On a : ' x 2 x cos x 0, x 1, , c'est-à-dire que x est croissante sur 1, . Comme 1 0 , on en déduit que
1 géométrique 1 e
n
0u x e , x 1, . Or la série 1 est convergente car sa raison est 0 1, on en déduit que la série en 1 e n 1
n
question converge normalement (donc uniformément) sur 1, .
u x x² e , D 0, 2 Remarquons que u ' x x2 nx e 0 x 0 x et que u ' x 0 pour 0 x x n u ' x 0 pour x x . u x x² e
nx
b)
n
D 0,
,
nx
n
nx
n
n
n
n
n
x
2 n
0
79
n
et
u x u x
+
'
-
n
Comme
n
un 0 0 et
u x 0, n
2
2 4e u n n n²
x 0 ,
0
sup u x u x
on déduit que
2
4e
4e
0
2
. Puisque la série numérique converge (série de Riemann 2 1 n² n² ), alors la série en question est normalement convergente sur D . n
xD
n
n
Solution exercice (II.8)
x² x² n² x ² a) remarquons que u n x ln ln 1 , car ln 1 t t , t 0 . n² n² n² x² a² Or pour tout x a, a, a 0 , on a : u n x et comme la série numérique n² n² (série de Riemann 2 1 ), alors la série en question est normalement (donc uniformément) convergente sur D a, a, a 0 . Etudier la convergence uniforme des séries de fonctions suivantes sur le domaine D : b) Posons
2x u x Arc tan x² n
et étudions la série
3
n
xIR
Notons pour tout x 0,
f n x
est impaire, on aura donc
sup f x f x
IR
2x
sup x²
2x
et donc 3
x² n n
n
f
n 3
convergente, on en déduit que la série de fonctions
n
' x
1 3
3
car Arc tan t t , t IR .
n
2 n x² 3
0
x² n ² 3
3
xn n 2 Comme
. Or la série numérique
n
2x
Arc tan x²
a²
n² converge
3
1
3
f
n
est
n
converge normalement (donc
n
uniformément) sur IR . c) Les conditions de la règle de Leibniz sont vérifiées pour cette série car
lim u lim n
n
et
u
u n . Par suite, on aura
R x S x S x u x
1
n
3
1
1 3
n x
0
; quantité qui n 1 n 1 x tend vers 0 lorsque n , indépendamment de x . On déduit la convergence uniforme de cette série de fonctions sur D 0, puisque lim sup Rn x lim sup S n x S x 0 . n n xIR xIR n 1
n
n 1
n
80
3
On peut également appliquer la règle d’Abel pour établir la convergence uniforme de cette série de n 1 fonctions en posant u n x et vn x 1 . 3 n x
u x tend vers 0 par décroissance (par rapport à n) et v x 1, on déduit d’après la n
Comme
n
k 1
k
règle d’Abel que la série de fonctions en question est uniformément convergente sur D 0, . d) Appliquant la règle de Dirichlet pour établir la convergence uniforme de cette série de fonctions en
1
n
x posant : u x 1 n x Comme u x 1 n
n
et
n
v x n
5
n² x
.
n
n
x x x x ' exp n ln 1 u n x ln 1 exp n ln 1 . n n x n n
On dérivé par rapport à n !
Sachant que n ln 1 x² (car ' n 0, nx n ²
x x 0 n x n n IN ,
lim n , lim n 0 ). n 0
n
On en déduit que u n x 0, n IN ; c'est-à-dire que la suite de fonctions u n x est croissante suivant n. La croissance de cette suite s’établit aussi à l’aide de la formule du binôme de Newton : n n n! nn 1n 2.....n k 1 k nk k et du fait que pour tout a b C n a b , avec C kn k!n k ! k! k 0 '
k
1 1 2 k 1 k 1 , on a : C 1 1 .....1 . Ainsi : k ! n n n n x x x 1 2 k 1 u x 1 1 C 1 k! 1 n 1 n ......1 n n n m m m m , m IN , on aura alors u x u x . Comme 1 1 puisque n n 1 n n 1 n k
n
k
n
n
k 1
k
n
k
n
k 1
n
n
n 1
n
n
x 1 1 D’autre part nous savons que u x 1 1 , x 0,1 et comme lim 1 e n n n , on déduit que u x e, x 0,1 et n IN , c’est que la suite de fonctions u x est bornée. Utilisons la règle de Leibniz pour établir la convergence uniforme de de la série de fonctions v x n
n
n
n
n 1
n
1 est décroissante sur 0,1 . En effet, cette série est alternée, alors que la suite de fonctions 5 n² x
81
n 1² x
suivant n puisque : n 1² x n² x et vérifie aussi lim n
n 1² x
1
n² x
. Elle
0 . Par suite, cette série de fonctions est convergente simplement sur 0,1 ,
1 5
1
n² x
n² x
et donc :
x 0,1.
1 1 R x S x S x v x n 1² x n 1² ,
.
n
n 1
n
On aura :
5
5
S x S x 0 lim sup R x lim sup n
n
x 0,1
x 0,1
n
n
v x converge uniformément sur 0,1 .
C'est-à-dire que la série de fonctions
n
n 1
Solution exercice (II.9) 1 a) Etude de la convergence normale sur IR : Comme la suite de fonctions
u n est impaire, on restreint l’étude des variations de n
u n à IR . La fonction dérivée u x 1 1 2nx² 0 x 1 x²
1
'
n
n 1
n
2n 1
n
.
n
1 0 ; on déduit alors Comme u 0 lim u x 0 et u x 1 2n 1 2n 1 1 1 que sup u x sup u x u x . . Or u x 1 e . 2n 1 2 IR 2n n 1
n
n
n
n
n
n
n
xIR
x
n
n
n
n
n
n
et en tenant compte de la divergence de la série numérique
1
n
1 2
1 2
1 2
, on conclut que la série numérique
sup u x . diverge et donc la série en question ne converge pas n
xIR
normalement sur IR . b) Etude de la convergence normale sur a, , a 0 . Comme lim n
1 2n 1
0 , il existe alors N IN : n N , on a
82
1 2n 1
a , a 0 .
n
Par suite
1 a a . Or a sup u x u a 1 a² 1 a² 1 a²
x a ,
n
n
n
géométrique convergente de raison 0 q
n
1
1 a²
qui est une série
1 . Donc la série numérique
sup u x xa ,
n
est
convergente, c'est-à-dire la série de fonction en question est normalement convergente sur a, , a 0 . 2. Remarquons que
u n CIR, n
n IN . D’autre part puisque pour tout x 0 , on a :
n
1 S x x 1 x ²
n 1
1 et x
u 0 0, n
n IN , on obtient alors que S 0 0 .
1 si x 0 En résumé S x x 0 si x 0 La fonction somme x S x n’est pas continue au point 0, et par conséquent S x C IR . On déduit que la convergence de la série de fonctions donnée ne peut pas être uniforme sur IR .
83
CHAPITRE III
Les séries entières INTRODUCTION En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme n an z , où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. n 0
Une explication de ce terme est qu’au XVII ième siècle, on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe. On parle de séries entières lorsqu’elles s’expriment sous forme de n
séries en a n z . Par extension, ce nom s’est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s’expriment pour la plupart à l’aide de son rayon de convergence , grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon ), la fonction somme de la série peut-être dériver indéfiniment terme à terme. Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d’un de leur points c comme somme d’une série entière de la variable z c : celle-ci est alors la série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu’une fonction est développable en série entière en tout point d’un ouvert, elle est dite analytique sur cet ouvert. III.1. Rayon de convergence et disque de convergence (III.1.1) Définition : On appelle série entière toute série de fonctions
u n 0
n
telle que :
u : C C; z a z , a C, n IN , z C u : IR IR; x a x , a IR, n IN , x IR n
n
n
n
n
Ou
n
n
n
Exemples : 1. z ,
n IN ,
n
n 0
2. z
2 n 1
,
a
n IN ,
n
1
a
n0
2n
n
3. z , nn 1 n0
a a 0, 0
1
0,
a
2 n 1
1
n IN 0,1,
a
n
1 nn 1
Le but de ce chapitre est de déterminer, si possible, le domaine de convergence d’une série entière et étudier les propriétés de sa somme S . On répondra aussi à la question suivante : Etant donnée une fonction f x existe –il une série
a z n 0
n
n
f z ?
(III 1.2) Définition : (Rayon de convergence) 84
n une série entière. L’ensemble I r IR ; an r est un intervalle non vide n0 n 0 contenant 0 . La borne supérieure de I dans IR est appelée rayon de convergence de la série entière Soit
a z
a z n 0
n
n
n
n
. On remarquera que 0 I I , r I 0, r I
L’ensemble I peut être : (1) égal à 0, exemple r 0,
v n r n
n z n
n 1 n
;
n
n
lim v n
n
. La série
n
v
n
est divergente.
n
(2) égal à 0, , le rayon de convergence est égal à l’infini. Exemple z n 0
n
n!
n
v v rn! ; lim 0 . La série v v (3) égal à 0, , IR . Exemple z . r 0,
n 1
n
n
n
r IR ,
r
est convergente.
n
*
n
n
n
n 0
r 1 . Dans ce cas, I 0,1 .
n
. n
(4) égal à 0, , IR . Exemple z . n² *
n 0
n
r IR , r 1,
r IR , r 1,
v v rn² lim v 1 v v n² lim v
n 1
n
n
n
n
est divergente.
n
r 1. La série
n
Dans ce cas, I 0,1 .
v
n
n 1
n
r 1 . La série
v
n
est convergente.
n
(III 1.3) Définition : Soit
a z n 0
n
n
une série entière de rayon de convergence . L’ensemble
D z C :
appelé disque ouvert de convergence de cette série. ( I x IR : x , est appelé intervalle ouvert de convergence).
(III 1.4) Théorème :
85
z est
Soit le rayon de convergence de la série entière an z . La série converge absolument en tout point n
n 0
z .
zD . Elle diverge en tout point z C :
Tous les cas sont possibles aux points z (appelé cercle d’incertitude), convergence ou divergence, cela dépend de chaque série. En outre, est unique. Preuve : Considérons l’ensemble des z tel que z ; il existe R D tel que z R . Puisque la suite
a R est bornée, alors le lemme d’Abel permet de conclure que a R est absolument n
n
n
n 0
n
convergente. Lemme d’Abel :
r 0 tel que l’ensemble a r série a r est convergente. S’il existe
0
n
n 0
; n IN est borné sur IR , alors pour tout r 0, r 0 , la
n
n
n
Démonstration du lemme d’Abel : n L’ensemble an r 0 ; n IN est borné, il existe donc A 0 tel que : n IN ,
a r n
n 0
A.
n
r A a r r0
r 0, r 0 , n IN ,
n
n
n
r r De la convergence de la série géométrique car elle est de raison r r0 théorème de comparaison la convergence de la série a r . n
1 , on déduit d’après le 0
n
n
a z est convergente, la suite a n z n est bornée : r 0, z a r n
En résumé, si la série
n
n
n 0
n
n
n
n
En d’autres termes, z . Si maintenant z , alors z D et ainsi Supposons qu’il existe ,
1
1
2
2
a z n’est pas bornée. n
n
vérifiant les conditions du théorème. On peut supposer par exemple
.
1ier cas : Si , on pose 2
1 2
, on a alors d’une part a 1
2
n 0
n
n
converge absolument
n (car ) et d’autre part a n n’est pas bornée, puisque ; d’où la contradiction. 2 1 2ième cas : Si , on pose 1 , et on aboutit à la même contradiction. 2
1
86
On pourra aussi utiliser la contraposée : z an z est divergente. n
n
On remarquera que si 0 .alors Dans ce cas,
D . Comme exemple pratique, soit la série entière z , son rayon de convergence est 1 . n n
n 1
Si z =1, on a les cas suivants :
(1) Si 0 , la série est divergente (2) Si 0 1, la série converge pour tout z tel que z 1 (3) Si 1 , la série converge absolument
(III 1.5) Théorème : Le rayon de convergence d’une série entière
a z n 0
(1) sup z , z C : (2) sup z , z C :
(4) supz ,
(3) sup z , z C :
n
n
a z est bornée a z 0 n
n
(Formule D’Hadamard)
n
a a
n 0 n a nz n 0
a z
n
n
z C :
lim sup n (6) lim
est défini par l’une des relations suivantes :
n
1
(5)
n
n
a
n
n
(Formule de D’Alembert)
n 1
Preuve : (i) (ii) (iii)
La relation est correcte d’après la définition du rayon de convergence. En utilisant les théorèmes précédents. Si les valeurs de z vérifient z , la série converge et son terme général tend vers 0, par conséquent la suite
a n z n est bornée. n
a n z n est non bornée.
(iv)
Si les valeurs de z vérifient z , la suite
(v)
On utilise le critère de Cauchy, on pose : r 0,
lim sup v
n
lim sup v
n
n
1 est vérifiée, alors la série
n
v n
n
n
n
1 , alors la série
v
n
diverge..
n
87
n
v a r n
n
n
. Si la condition
converge absolument. Par contre si
a
Supposons que lim sup n n
, alors
n
lim sup v
r lim sup n
n
n
n
n
1
la série est absolument convergente pour r
. Si
lim sup a n
n
lim sup v n
n
0, r 0 et si
lim sup a n
n
n
n
n
n
n0
Et si :
z
n0
et on trouve que
n
n
0
n
n
v
n
z an z converge absolument an z converge
n
lim sup a
lim sup n
Récapitulation : Soit z C , on a :
a
n
, r 0
a z 0 . n
n
n
a z n’est pas bornée a z ne converge pas. n
n
n
n
n0
(III.I.6) Remarques : *. Dans les cas faciles, on utilise la règle de Cauchy ou celle de D’Alembert pour étudier la série
a r n 0
n
n
.
*. Le rayon de convergence d’un polynôme est égal à l’infini. *. Le rayon de convergence d’une série entière
a z n 0
a z
Les séries entières
n 0
n
n
et
a z
n
n
n 0
n
n
ne dépend que du module des coefficients a n .
ont le même rayon de convergence.
(III.1.7) Exemples : Trouver le rayon de convergence des séries entières
a z n 0
n 1 (i) z n n (iv) tan z 7
n
n
suivantes :
n²
n
(ii)
n 1
n 2
n
(v)
n!
2n ! z
n
2
a z , n
n
n 1
n0
n
a C
*
n²
n
1
,
lim a
n
n
n
1 n
1 lim 1 n n
88
(vi)
e z n
n 1
Réponses:
n 1 (i) a n
sin n n n z n 1
(iii)
e
n
.
(ii)
a
n
n!
2 2n! n
a
,
n 1
n 1! ; an lim n an1 2 2n 2!
n 1
n!
2 2n!
2 2n 22n 1
n
lim n
sin n (iii) 0 n
n 1! n 1 2 2n 2!
z
n
z
n
lim
n 1
n
4.
n
z : z 1,
lim n
sin n n 0 et z : z 1, n z
n sin n ne tend pas vers 0, alors la fonction n
sup z , z C :
n
lim zn
. La fonction
n
sin n n ne tend pas vers 0 aussi. n z
a z 0 1. n
n
0 si n 7k , k Z tan si n 7k 1, k Z 7 n (iv) Pour tout n IN , tan 2 si n 7 k 2, k Z 7 tan 7 tan 3 si n 7 k 3, k Z 7 n n n 3 Pour tout n IN , tan z z tan . 7 7 z C : z 1 lim u n 0 . n
z C : z 1
lim u n
sup z , z C :
3 tan 0 lim 7 n 0 1
7 n 3
a z n
n
(v) Série géométrique, admet pour rayon
u
n
0
1 . a n
(vi) la série donnée admet pour rayon 1. En effet, z 1 e
z 0 , n
n
n
z 1 e
z . n
n
(III.1.8) définition : Soient
a z n 0
n
n
une série entière de rayon de convergence 0 . On appelle somme de cette série
entière l’application :
S : D C;
z S z an z n0
(III.1.9) Opérations sur les séries entières : 89
n
a z
*. La somme de deux séries entières
n 0
a n b n
n
n
et
b z n 0
a z b z a b z n
a z
*. Le produit d’une série entière
n
n
n0
n
est la série entière associée à la suite
:
n
a n
n
n
n0
n
n0
n
n
par le scalaire IK est la série entière associée à la suite
n
n
n 0
n
:
a z n
n0
n
an z n0
a z
*. Le produit de deux séries entières
n 0
n
n
n
et
b z n 0
n
n
est la série entière associée à la suite
c n
n
tel que : n
c n a k bn k k 0
n n n an z bn z cn z n0 n0 n0 On déduit de ce qui précède que l’ensemble des séries entières complexes (resp. réelles) est une CAlgèbre (resp. IR-Algèbre) par rapport aux trois lois ainsi définies, commutative. (III.1.10) Proposition : (Comparaison de rayons) Soient
a z n 0
n
n
et
b z
n
n
n 0
Alors : 1) Si pour tout n IN , 2) Si pour tout n IN ,
deux séries entières de rayon de convergence
a a
n
n
n
1
2
n
1
2
b b
1
et
2
respectivement.
Preuve :
1) Soit z C tel que z on a : n IN , 2
az n
n
bz n
n
et on déduit que la série
a z n 0
est absolument convergente et donc z .
n
n
1
2) Le reste de la preuve est analogue au précédent.
(III.1.11) Exemples : 1) La série
e z sin n
n
a pour rayon de convergence 1. En effet,
n 0
séries entières
e z 1
n
n0
et
e z 1
n
1
e
e
sin n
e . Comme les deux 1
sont de rayons 1, on conclut que le rayon de convergence
n 0
de la série donnée est 1.
90
n 1 n 2) La série 1 e z a pour rayon de convergence 1. En effet, n0 n n
1 1 n
1 1 1 1 1 1 exp n ln 1 exp n o 2 exp 1 o n 2n n 2n ² n n n
1 1 e 1 1 e1 o 1 e o . 2n n 2n n n On conclut que la série donnée a pour rayon de convergence 1.
(III.1.12) Théorème: (Opérations sur les séries entières) Soient
a z n
n 0
n
et
b z n 0
n
n
deux séries entières de rayon de convergence
1
et
2
respectivement.
Alors : (i) le rayon de convergence de la série
(a b ) z n
n 0
inf
n
n
vérifie
, si 1
2
1
1 si 1 2
Dans les deux cas, on a : inf (ii) IK * , les deux séries entières
a z n
n 0
n
et
a z n
n 0
n
2
, . 1
2
ont même rayon de convergence . 1
n n n (iii) ' le rayon de convergence de la série (c ) z an z bn z , n n0 n0 n0 vérifie : ' inf ,
1
2
n
cn C n ak bnk p
k 0
Démonstration :
, , la série (a b ) z est absolument convergente comme somme de deux séries absolument convergentes et par conséquent inf , . (i) Pour tout z C tel que z inf
n
1
Si , alors pour tout z C tel que 1
2
2
n 0
1
n
n
z , la série 2
1
(a b ) z n 0
n
n
n
2
est divergente comme
somme de deux séries l’une absolument convergente et l’autre divergente. Donc inf
, . 1
2
(ii) La multiplication par un scalaire ne modifie pas la nature d’une série . (iii) Même démonstration que dans (i) sachant que le produit de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.
91
(III.1.13) Remarque : Si , le rayon de convergence de la série somme 1
2
supérieur à . Par exemple les deux séries entières 1
1
2
(a b ) z
1
n! 1 z n
1 , alors que . Voir aussi
z
n
n
n
n 0
n
n
n
peut être strictement
1 n et 1 z , on trouve ici que n n!
et z . n
n
(III.1.13) Théorème : Soient
a z n 0
n
n
et
b z n 0
n
n
deux séries entières de rayon de convergence
(i) , IK ², z C,
z inf
, :
a n0
(ii) z C,
z inf
, : 1
1
1
et
2
respectivement. Alors :
2
bn z an z bn z n
n
n
n0
n
n0
2
n n n n ak bn k z an z bn z n0 k 0 n0 n0
III.2. Convergence uniforme et continuité de la somme : (III.2.1) Proposition : Toute série entière
a z n 0
n
n
de rayon de convergence est normalement (donc uniformément)
convergente sur tout compact A tel que A D . Démonstration : La fonction z z est continue et comme A est compact, alors il existe
r
0
z sup z z D 0 r 0
zA
normale de la série
0
a z n 0
n
n
0
et z A, n IN :
z A tel que : a z a r . La convergence 0
n
n
n
n
0
découle de la convergence de la série numérique a n n
(III.2.2) Théorème :(Continuité de la somme)
92
r
n 0
.
Soit
a z
n
n
n 0
une série entière de rayon de convergence 0 . Alors sa somme S z an z est n
n0
une fonction continue sur D . Démonstration : * Soit z 0 D , alors il existe R IR tel que
z R . La restriction de S z sur le disque fermé D z C : z R S est continue sur D d’après le théorème précédent. Et donc S est la somme d’une série de fonctions (continues sur D comme des polynômes) uniformément convergente sur D . Comme D est un voisinage de z , de la continuité de S au point z découle la continuité de S z au point z . R
0
R
R
R
R
R
0
R
0
R
0
(III.2.2) Remarque : En général, une série entière de rayon de convergence 0 n’est pas uniformément convergente sur D . Par exemple, le rayon de convergence la série entière
x
n
est égale à 1.
n 0
x 1,1, S x x n
n 0
x 1,1,
S x S n x
x
k
k n 1
x
1 1 x
n 1
1 x
sup S x S n x x1,1
(III.2.3) Théorème : (Etude sur le bord du disque de convergence) Soit
a x n 0
(resp.
n
n
une série entière réelle de rayon de convergence 0 . Si la série numérique
a ) est convergente, alors la série a x n
n 0
n
n 0
l’intervalle 0, (resp. ,0 ).
a n 0
n
n
n
est uniformément convergente sur
Démonstration : On pose
S n, p
n p
a
k n 1
k
k
k n 1
S
n, p
A A
k
n 1
x A n
i n
k n 1
k n (transformation d’Abel).
n p 1
k
k
k n
k
k 1
n p
n p 1 k n 1
i
i
k 1
k
n p
k 1
k
k n 1
k
k
k
n p
k
x x a et A a ; x x x A A x x x A A k
n p
n p
k
93
n
Comme la série
a
n
n
n 0
est convergente, alors :
0, 0, n 0
A
k
0
x 0, , n , p IN :
2
; kn
0
S Donc la série
x 2
n, p
a x
n
n
n 0
n 1
x k n 1
x
k 1
k
n p 1
x
n p
x
n 1
vérifie la condition de Cauchy pour la convergence uniforme sur l’intervalle
0, . Dans le cas de convergence de la série an , on aura le même résultat que le précédent n
n 0
et cela en considérant la série n 0
1n a x . n
n
(III .2.4) Remarque importante : En pratique, on peut avoir dans la plupart des cas la convergence uniforme sur l’intervalle 0, (lorsque la série
a n
n 0
*.
a
n
a
n
n
n 0
*.
est convergente) avec des méthodes simples :
converge, à termes positifs, la série
a x n 0
n
n 0
n
n
n
est normalement convergente sur 0, .
converge est alternée :
x 0, ,
a x k n
k
k
a x a 0 . n
n
n
n
n
(III.2.5) Théorème : Soit
a x n 0
n
(resp. an n 0
n
une série entière réelle de rayon de convergence 0 . Si la série numérique
) est convergente, alors sa somme n
a n 0
n
S x an x est une fonction continue au
point (resp. au point ).
n
n0
(III.2.6) Exemples pratiques : Etudier la continuité de la fonction définie par S : IR IR;
x S x x n 1
On pose u n
x x
n
n²
lim n
n
n²
.
u x x . Donc le rayon de convergence de cette série est 1 . u x n 1 n
94
n
1 est aussi convergente n
1 Si 1 , la série est convergente, et si 1 , la série n 1 n ²
n 1
n²
n
On en déduit que la série
xn² est normalement convergente sur l’intervalle 1,1 et par conséquent la n 1
fonction somme S x x n 1
n
n²
est continue sur l’intervalle 1,1.
Même question que la précédente pour les deux fonctions suivantes : n n 1 x 1 G : IR IR; x Gx n n 1
sin n x Gx x , n
H : IR IR;
n 1
n
IR Z .
III.3. Intégration et dérivation des séries entières réelles : Ce paragraphe est consacré à l’étude des séries entières réelles. (III.3.1) Théorème : (Intégration des séries entières réelles) Soit
a x n 0
n
n
une série entière réelle de rayon de convergence 0 . Alors pour tout x IR tel que
0 x , on a : n 1
n n dt an t dt an x a 0 nt n 1 n0 n0 0 n0 x
x
Preuve : A cause de la convergence normale (donc uniforme) de la série sur le compact 0, x . (III.3.2) Théorème :
Soit
a x n 0
n
n
une série entière réelle de rayon de convergence 0 . Alors la série entière
(déduite de la série
a n0
a x n 0
n
n
x
n
n 1
par intégration terme à terme) admet le même rayon de convergence .
Preuve : 95
n 1
Soit
1
le rayon de convergence de la série entière a n n0
x
n 1
n 1
. D’après le théorème précédent, on
.(si 0 0 ). Supposons que , alors il existe deux réels et ' tels que : ' . Comme la série a est convergente, alors il existe M IR tel que : déduit que
1
1
1
1
n 1
n0
n
n 1
a n 1 M n 1
n IN ,
n
n 1
n 1
n 1 ' a a ' n 1 '
' M n 1 n IN , ' ' , on trouve qu’elle est M En appliquant la règle de D’Alembert à la série n 1 ' convergente. Par le théorème de comparaison, on déduit que la série de terme général a ' est aussi convergente, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse donc et par conséquent . n 1
n 1
n
n
n 1
n 1
n
1
1
1
(III.3.3) Remarque : Les deux séries
a x
n
a
n 1
ont même rayon de convergence donc même intervalle ouvert n 1 de convergence i.e. même nature. Mais aux extrémités, la nature de l’une peut être différente de l’autre. n 0
n
et
x
n0
(par exemple la série x n 1
n 1
n
n
est divergente pour x 1, mais la série x n 1
n
n²
est convergente au même
point). (III.3.4) Exemples pratiques : Démontrer l’égalité suivante :
log 1 x 1 x , n n 1
n
x 1,1
n 1
On a : x 1,1,
1 x n
n 1
On choisit le compact A 0, x,
1 1 x
x 0 ; on trouve : x
x 1,1, log 1 x
dt 1 t n0 0
Et comme la somme de la série
n
1 xn n 1
n
n 1
1 nx 1 1 xn n 1
n
n 1
est continue sur 1,1, on obtient :
n 1
96
n
1
n 1
lim 1 x lim log 1 x log 2 n
n
n 1
n
n 1
x
n 1
1
x
1
On en déduit que :
x 1,1, log 1 x 1 x n
n
n 1
n 1
Même question que la précédente pour : 2 n 1
Arc tan x 1 x , 2n 1
x 1,1
n
n0
On a :
1 x
x 1,1,
n
2n
n0
On choisit le compact A 0, x,
1 1 x²
x 0 ; on trouve : x
x 1,1,
dt Arc tan x 1 t ² n0 0
2 n 1
1 2xn 1 n
2 n 1
La série 1 x est uniformément convergente sur l’intervalle 0,1 et 1,0, alors : 2n 1 n
n0
1
n 1
n 1
2n 1
2 n 1
lim 1 x lim Arc tan x 2n 1 4 n
x
n 1
1
x
1
On en déduit que : 2 n 1
x 1,1, Arc tan x 1 x 2n 1 n
n0
(III.3.5) Définition : Soit
a x n 0
n
n
une série entière réelle. La série dérivée première est :
na x n 1
n 1
n
n0
La série dérivée seconde est :
nn 1a x n2
n
n2
n0
n1a
n 1
x
n
n 2n1a
De manière générale, si p IN * , la série dérivée p-ième est /
nn 1.......n p 1a x n
n p
n p
n0
n1.......n p 1a x
n p
n p
n
g 0 n! an an
n!
, on trouve que :
g 0 n!
97
x
n p !
(III.3.6) Remarque : On pose g x n
n2
n
a x n p
n
(III.3.7) Théorème : Soit
a x n 0
n
n
une série entière réelle de rayon de convergence 0 . Alors toutes les séries dérivées ont
le même rayon de convergence . Démonstration : On remarquera qu’on obtient la série
a x n
n 0
Alors la série
a x n 0
n
n
n
en intégrant terme à terme la série entière
na x n 1
n 1
n
et sa dérivée première ont le même rayon de convergence . Et ainsi de suite, on
voit que la série dérivée d’ordre k 1 et la dérivée de la série d’ordre k et ont même rayon de convergence . (III.3.7) Théorème : Soient le rayon de convergence de la série entière
a x n 0
dérivée d’ordre p avec p IN * . Alors : p IN *,
et S sa somme,
S
p
la somme de sa
x , ; d a x d a x dx dx p
p
n
p
n 0
En d’autres termes :
n
n
p IN *, x , ;
p
n
n 0
n
n
S x S x p
p
Démonstration : x
x , ; S x S 1t dt 0
Comme S 1 est continue sur , , on en déduit que : x , ; S ' x S 1 x et ainsi par récurrence on obtient ce qui est demandé. (III.3.8) Théorème : Soient 0 le rayon de convergence de la série entière an x . Alors sa somme S est une fonction n
n 0
indéfiniment dérivable sur , et on a :
0 S ! n
n IN , Démonstration :
p IN *, x , ;
a
n
S x S x nn 1n 2.....n p 1 a x p
p
n
n p
p
S 0 0 p ! S ap ap p! p
n
(III.3.9) Théorème :
98
n p
Soient
a x n 0
n
n
et
b x n 0
n
n
deux séries entières de rayon de convergence non nuls et '
respectivement telles que :
x , ;
a x b x n
n0
Alors pour tout n IN ;
n
n0
n
n
a b . n
n
Démonstration :
x , ;
a b x n
n0
n
n
0
0 S ; où S est la fonction nulle sur n
D’après le théorème précédent on a : n IN ,
, et on en déduit que :
n IN ;
a b n
n
n!
a b . n
n
(III.3.10) Remarque : Soit g une fonction de IR dans IR . Pour que g soit de classe
C
au voisinage V d’un point a IR , il
suffit de trouver une série entière telle que sa somme est égale à la fonction x g a x sur V . Exemple :
ln x est de classe C sur 0, . x 1 Comme g 1 1 , on trouve un problème en 0. Pour tout u 1, , on pose f u g 1 u , Démontrons que la fonction g : x
1 Pour tout u 1,1 , f u
n 0
ln 1 u si u 0 f u u 1 si u 0
n
n 1
u
n
et donc f C
g C
1,1 et par conséquent
0,2 g C 0, .
III.4. Développement en série entière (DSE) (III.4.1) Théorème : Soit f une fonction de IR dans IR , développable en série entière au voisinage de 0 (en abrégé
DES (0)). Alors f C au voisinage de 0, en outre cette série est donnée par :
n 0
f 0 n
n!
(III.4.2) Définition :
99
x
n
Soit f une fonction de IR dans IR , f C au voisinage d’un point a IR . On appelle série de Taylor de la fonction f au point a la série entière : Si a 0 , la série
n
f 0
n!
n 0
x
n
f a
n 0
n!
n
x a .. n
est appelée série de Maclaurin.
(III.4.3) Théorème : Soit f une fonction de IR dans IR , développable en série entière au voisinage de 0 (resp. au voisinage de a IR ), alors ce DSE est unique et ce n’est que la série de MacLaurin de f (resp. la série de Taylor de f au point a ). (III.4.4) Théorème : Soit f une fonction de IR dans IR , développable en série entière au voisinage de 0 (resp. au voisinage de a IR ), alors toutes les dérivées de f sont DSE. (III.4.5) Exemple :
x1² si x 0 Soit f la fonction de IR dans IR , définie par : f x e 0 si x 0 On démontre par récurrence que f est de classe n IN , x IR* :
n
f x
p x e x n 3N
6
1 X²
,
C IR sachant que :
f 0 0 ; où p x est un polynôme de degré n
n
2n 2 . La série de MacLaurin de f est la série nulle, ainsi on ne peut pas trouver aucun voisinage de 0 tel que
f x
f 0 n
x
n
. n! Donc les deux conditions : *. f C au voisinage de 0 n 0
*. La série de MacLaurin de f admet un rayon de convergence non nul Ne suffisent pas pour assurer que f est DSE au voisinage de 0.
III.5. Développement en utilisant la formule de MacLaurin Soit f une fonction de IR dans IR , f C sur V a, a, a 0 telle que la série de MacLaurin de f admet un rayon de convergence non nul.
100
A. Utilisation de la formule de Taylor Lagrange : On a : n IN *, x V ,
k
n 1
n
0,1 : R x f x x f 0 x f x k! n! n
k
n
k 0
(III.5.1) Définition : Pour que f admet un DSE au voisinage de 0 il faut et il suffit qu’il existe 0 tel que :
x , ,
lim R x 0 n
n
La condition suffisante est l’existence de 0 et de M IR tel que : *
f x M
n IN *, x , , On obtient dans ce cas :
n
x , , R x M n!
n
n
La relation
lim R n
n
x 0 découle de la convergence de la série n 0
n
n!
.
B. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral : On a :
x t f t dt x V : f x x f 0 n 1! k! k
n 1
n IN *,
n 1
x
k
k 0
n
0
En utilisant la définition, pour que f admet un DES au voisinage de 0 il faut et il suffit qu’il existe 0 tel que : x , ,
x
x t
n 1
n
lim n 1! f t dt 0; n
n
C
n
f 0
n0
n!
0
x t
n 1
t dt f n 1!
0 si n 2 p 1 p si n 2 p
n f 0 cos 2 1 n
1 cos x
p
x
n
x IR,
2) La fonction x f x sin x est de classe
p 0
C
n
au voisinage de 0, en outre
x IR, n IN
n
f x
x IR, n IN
n f x cos x 2 1,
x IR,
avec Rn x
0
APPLICATIONS : 1) La fonction x f x cos x est de classe n f x cos x 2 ,
x
2 p ! x
2p
;
au voisinage de 0, en outre
101
n f x sin x 2 , n
n f x sin x 2 1, n
f 0
f x n0
n
n!
p
si n 2 p 1
x IR, n IN
1 sin x
n
x IR,
0 si n 2 p
n f 0 sin 2 1
x IR, n IN
p
x
n
x IR,
p 0
3) La fonction x f x e est de classe x
C
2 p 1! x
2 p 1
;
au voisinage de 0, en outre
Pour tout x IR , le reste de Lagrange d’ordre n de la formule de MacLaurin sur l’intervalle 0, x est : n
x R x n! e , x
n
0,1
x
R x
n
0 n! e
n
x
n
n
x IR,
4) La fonction x f x
1 x ;
x ; n!
n0
IR est de classe
C
sur 1, ; en outre
f x 1 2...... n 11 x
x 1,, n IN *
Sa série de MacLaurin est donc :
e
x
n
n
1....... n 1x ; n
1
1 n! Pour tout x 1, , le reste intégral d’ordre n 1 de la formule de MacLaurin sur 0, x est : n 1
1....... n 1 Rn1 x x t 1t x
n!
n
n 1
dt
0
Et comme 1 , notre l’étude de la suite des restes R x se restreint sur l’intervalle n 1
x t 1t x
n 1
n
x
dt
0
t 0, x;
0
x t x 1 t
Avec : Ax
1t x
x t 1t 1t
x 1
n
R x
dt
1....... n 1
n 1
1
1
n!
x Ax n
dt quantité qui ne dépend pas de n.
0
Or x 1,1; que
1....... n 1
lim R x 0 .
n!
x
n
est le terme général d’une série convergente, d’où découle
n
n
x 1,1,
1 x 1
1....... n 1x ; n
n!
n 1
102
1
AUTRES METHODES DE DSE : a) Par intégration de DSE connus : 1 n x 1,1, x 1 x n0 n 1 x 1,1, 1 n x 1 x n0 2n 1 x 1,1, 1 n x 1 x² n0 1 2n x 1,1, x 1 x² n0
1
x 1,1, ln 1 x x n 1
1
1 1
n
1
n
x 1,1, ln 1 x 1 x n
n
n 1
1
n 1
x 1,1,
n 1 Arctgx x
2 n 1
1
2n 1 x 1,1, Argthx x n0
2 n 1
n0
1
2n 1
b) Par dérivation de DSE connus : 1 n x 1,1, x 1 x n0 x 1,1, p IN * :
1 p 1
1
1 x
p
1 d 1 p 1! dx p 1 1 x
nn 1......n p 1 n p 1 p 1 n C n p 1 x , x p 1! p 1 n n 0
c) Par combinaison de DSE connus : x IR, chx
1 2
e e x
x
x
Du DES de la fonction x e on déduit : x IR,
2n
chx x 2n! shx x
n 0
x IR,
n 0
2 n 1
2n 1!
103
;
shx
1 2
e e x
x
1
x 1,1,
1 ln 1 x ln 1 x ; et ainsi on obtient le DES de x Argthx à partir du 2 DES des deux fonctions : x ln 1 x et x ln 1 x . d) Par multiplication de DSE connus : Argthx
x 1,1, ln 1 x 1 x n n 1
n
1
n 1
x 1,1, ln 1 x 1 x n 1
x 1,1,
n 1 1 n x 1 x n0 n 1 1 n 1 1 2 ..... n x
1 1
e) Utilisation d’une équation différentielle :
Soit f une fonction de IR dans IR , f C au voisinage de 0. Supposons l’obtention d’une équation
différentielle E et un intervalle ouvert I tel que 0 I et que la restriction de la fonction f sur I est la seule solution de E sur I vérifiant des conditions initiales fixées.
a x
Supposons qu’on a défini une série entière
n 0
n
n
de rayon de convergence 0 telle que sa somme
est solution de E sur , vérifiant les mêmes conditions initiales précédentes. Alors on a :
x I , ,
f x an x
n
n 0
Exemple : x
Soit la fonction x e la solution unique sur IR de l’équation différentielle suivante :
E
y'y 0 tel que y0 1.
Soit la série entière
a x n 0
n
n
de rayon de convergence 0 . Pour que sa somme f soit solution de
E sur , , il faut et il suffit que la condition suivante soit vérifiée : x , ,
x , ,
x , ,
n 1 a x a x n 0
n
n 1
n 1 a n 0
n 0
n 1
an
x
0
n
n1
n
1
0
n 1 an1 an 0
2
On remarque que la relation 2 permet de calculer avant de déterminer les coefficients
a x ax
n 1
n 1
De la relation 2 on tire :
n
n
x
n 1 n
n IN ,
a 104
n
0
a
0
n!
a
n
:
Par ailleurs, la condition initiale f 0 1 nous donne
a
0
1 et ainsi il existe une et une seule série
entière de rayon de convergence 0 , sa somme f est solution de E sur , et vérifiant
f 0 1 , c’est la série entière
f x x n0
n
n!
de rayon de convergence :
x IR,
e
x
105
x n0
n
n!
EXERCICES Exercice (III.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
n 1 a n
n²
a)
n
a x
n
n
avec :
n
n 1 , n
,
b)
a
n
c)
n 1!
a
n
1 ln 1 sin . n
Exercice (III.2)
1 Soit la série entière
n
n0
3n 2 x
3n 2
où x est une variable réelle.
1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série ; x t dt ; 2. Montrer que sa somme S x 3 0 1 t 3. Donner une décomposition en éléments simples de la fraction 1 t 1 t 1 t t ² ;
1 1 t
3
sachant que
3
1 , En déduire la somme de chacune des deux séries numériques suivantes : n
4.
n0
3n 2
1
6n 26n 5 . n0
Exercice (III.3)
1 Soit la série entière
n
n0
2n 1 x
n
où x est une variable réelle. Notons f x sa somme.
1. Déterminer son rayon de convergence R ; 2. (a) Montrer que pour x 0 , on peut écrire f sous la forme f x
1 2n 1 x
g
x où g est x
n
la somme de la série entière
2 n 1
;
n0
(b) Utiliser le rayon de convergence de f x pour calculer celui de g x ; © En citant soigneusement le théorème utilisé, dériver la fonction g et la calculer sur un intervalle à préciser ; (d) En déduire une expression de f x sur 0,1 ;
1 . (e) Donner la valeur de la série numérique n
n0
106
2n 1
Exercice (III.4) 1. (a) Développer en série entière la fonction f définie par : f x
1 1 x
(b) Préciser son rayon de convergence ; © En déduire le développement en série entière sous la forme
a x n0
g x
x
n 3
n
de la fonction
3
2 x
et préciser son rayon de convergence ; 3
2. (a) Trouver les coefficients , et tels que :
x
2 x 1
(b) En déduire la valeur de l’intégrale suivante :
x ² x
t
x2
;
3
2 t dt ; 0
3. (a) Intégrer le développement en série entière de g en citant soigneusement le théorème Utilisé ;
1
n
(b) En déduire la valeur de la série numérique suivante :
n 4 n0
n 1
.
2
Exercice (III.5) Pour chacune des séries entières suivantes, déterminer le rayon de convergence R , calculer la somme pour x R, R et étudier éventuellement les cas où x R et x R :
n
(a) x , nn 1 n 1
3 n 1
(b) x , 3n 1 n 0
n
(c) x , 2n 1 n 0
(d)
n x 3
n
n 0
Exercice (III.6)
1 définies pour x D , Soit la série de fonctions
n
D 0, et S x sa somme. nx 1. Etudier la continuité et la dérivabilité de la somme S x et trouver une relation entre S x 1 et S x ; n 1
1
2. Montrer que pour tout x D , on a : S x 0
3. Vérifier l’équivalence S x
t
x 1
1 t
dt ;
1 . 2x
Exercice (III.7)
2n 1 2 n , où x est une variable réelle. n! x n0 1. Calculer le rayon de convergence R de cette série ; 2. En intégrant les termes de cette série, déterminer sa somme S x .
Soit la série entière
107
Exercice (III.8)
1 Soit la série entière
n
n0
4n 1 x
4 n 1
où x est une variable réelle.
1. Déterminer son rayon de convergence R ; 2. Donner l’expression de la série dérivée correspondante ;
1 . 3. En déduire la somme de la série numérique n
n0
4n 1
Ind. La décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle
1 x 2 x 2 . 2 2 x ² 2 x 1 x ² 2 x 1
108
1 1
x
4
est donnée par :
SOLUTIONS Exercice (III.1)
n 1 1 Comme lim a lim lim 1 n n n
a)
n
1 , on obtient donc R e . e
n
n
n
n
n
n
n 1! n n b) Nous avons lim a lim n lim n 2! n 1 n 2 n 1 a n 1
n 1
n
n
n
n
e , il découle que
n
1 R . e
1 1 1 c) Remarquons que ln 1 sin sin , par suite la série proposée est de même nature que la n n n n
série entière x ,
x IR . C'est-à-dire que les deux séries entières ont le même intervalle de n convergence et par conséquent même rayon de convergence. Ainsi R 1. Exercice (III.2) 1. Soit u n x le terme général de la série entière donnée, c'est-à-dire
1 x
n
u
n
3n 2
3n 2 x
u x x 3n 2 x u x 3n 5 x 3n 5
n 1
3
3n 2
n
, x IR . Comme
3n 2 3n 5 lim n
u x lim x u x n 1 n
n
3
3n 2 3n 5
x
3
.
On déduit d’après la règle de D’Alembert, que la série entière est absolument convergente et donc convergente si
3
x
1 ou si x 1 . Ainsi le rayon de convergence R 1.
Remarquons ensuite que la série entière diverge si x 1 et converge si x 1 , l’intervalle de convergence de la série entière en question est donc 1,1.
1 2. Pour tout x 1,1, nous avons S x
n
n0
égalité, on aura alors S ' x n0
1 x n
3n 1
x n0
x3 1 xx , n
3
x
Comme S 0 0 , On aura : S x 0
3. La fraction
1 1 t
3
3n 2
3n 2 x
t 1 t
3
. En dérivant les deux membres de cette
x 1,1 .
dt , x 1,1 .
se décompose en éléments simples comme suit :
109
t 1 t
3
a bt c 1 t t² t 1
1 1 Après réduction au même dénominateur et identification, on trouve a , b c . 3 3
1 4. Calcul de la somme de la série
n
: 3n 2 La série proposée converge pour x 1, d’après le second lemme d’Abel, on aura alors : n0
1 S x n
lim
3n 2
1
t
1
3
dt
t 1 Calculons à présent cette dernière intégrale propre ; d’après la question 3, on aura : 1 1 1 t 1 1 t 1 1 1 2t 1 3 0 1 3 dt 3 0 1 t t ² t 1 dt 3 0 1 t 2t ² t 1 1 3 dt t 2 t ² 2 4 x
n0
0
t 1 2t 1 3 . En tenant compte du fait que : t ² t 1 2t ² t 1 1 3 2 t ² 2 4 x d dx 1 1 x a x² a² a x a Arc tan a Cte ² 1 a On aura :
Puisque
1
2 1 1 3 t 1 dt ln 1 t ln 1 t t ² Arc tan t 1 3 t 2 2 3 2 1
3
0
0
1 1 1 1 Arc tan ln 2 3 Arc tan ln 2 . 3 3 3 3 3
1 1 n
On déduit alors que
n0
Calcul de la somme
ln 2 . 3 3
3n 2
1
6n 26n 5 : n0
2n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 En remarquant que 6n 26n 5 3 6n 2 6n 5 3 32n 2 32n 1 2
1
1 1 ln 2 . 1 Il découle que 3 n0 3n 2 9 3 n 0 6n 2 6n 5 n
1
Exercice (III.3) 110
1
1 2n 1 a 2n 1. Comme n 1 1 , alors R 1 . La série en question converge n an 2n 3 1 1 3 n 2n absolument dans l’intervalle 1,1 , diverge à l’extérieur c'est-à-dire dans ,1 1, . 1 1 1 Au point x 1 , u n 1 et comme la série harmonique est divergente, la série 2 n 1 2n 2n entière en question diverge au point x 1 . 1
n 1
1 1
n
Au point x 1 ,
u
n
. La série vérifie la règle de Leibniz, car la série numérique
2n 1
1 est alternée et 1 n
u
1 u 1 2n 1 tend vers 0 par décroissance suivant n . Elle est donc
n 2n 1 convergente ‘et non absolument convergente) en ce point. L’intervalle de convergence est : 1,1.
n
2. (a) Supposons que x 0 . Alors :
1 g x
n
n0
2n 1 x
1 x
g x 2 g x x 1 f x x x 2n 1 2n 1 x n
2 n 1
n0
n
n
n
n0
(b)
1 © La série entière g x
n
n0
2n 1 x
2 n 1
est indéfiniment dérivable dans l’intervalle ouvert de
convergence 1,1 . Et on a d’après le théorème de dérivation terme à terme : n 1 x 1,1, g ' x x² 1 x² n0 (Série géométrique convergente de premier terme 1, de raison x ² 1 car x 1 ).
En intégrant terme à terme sur le segment de droite 0, x 1,1 on aura : x
dt Acr tanx , x 0,1 1 t² 0
g x
x
Arc tan x , x 0,1 . x x (e) Comme la série entière converge au point x 1 , par passage à la limite lorsque x1 tend vers 1 par valeurs inférieurs, on obtient : (d) On en déduit que f x
g
1
1 Arc tan1 . f x f 1 n
lim x
1
Exercice (III.4) 1 1. (a) f x 1 x n0 raison x 1 ).
x , n
n0
2n 1
4
x 1,1 . (Somme d’une série géométrique de premier terme 1 de
111
f 0 n
Nous pourrons aussi utiliser la formule suivante : f x
1 n! f x 1 x n
f
n
n
n 1
(b) Le rayon de convergence est R 1. 3
3
3
3
x © g x x x x f x x 2 x 2 2 2 2 1 2 1
n!
n0
x
n
, avec
0 1 n! n
1 x x 2 2 n
n
n0
n0
n 1
n 3
.
n x x 1 x u n 1 2 Comme lim lim 1 x 2 , donc la série en question n2 n n3 x 2 n n un 1 x 2 converge absolument sur l’intervalle 2,2 , diverge à l’extérieur ; c'est-à-dire que son rayon de n 1
n4
convergence R 2 . 2. (a) Par réduction au même dénominateur et identification on obtient : 3 3 x x² x x 2x² 2 x 2 2 x x2 2 x 2 0 2, 2 0 4, 2 0 8 . 1
t 10 8 2 t 2 t dt t ² 2t 4 2 t dt t ² 4t 8 ln 2t 3 8 ln 3 ; 3 1 est normalement (donc 3. (a) en choisissant x 0,2 , la série entière g x x 2 1
3
3
1
(b)
0
0
0
n
n 3
n 1
n0
uniformément) convergente sur 0, x , en intégrant terme à terme on obtient : x
x 2,2,
1 g t dt
n
n0
0
n 1
2
x
t 0
1 dt n 42 n
n 3
n 1
n0
t n 4 n412 n
x
0
n0
(b) par passage à la limite lorsque x 1 , on aura :
1 1 x lim g t dt g t dt lim n 42 n 42 1 10 8 ln2 d’après 2.(b). Par conséquent x
x 1
0
n
1
n
n4
x 1 n 0
0
n 1
n0
n
n0
n 4 2n1
33
Exercice (III.5) 112
n 1
.
n 1
x
n4
(a) On pose
x
n
u x nn 1 et a n
n
1 . Comme lim nn 1 n
a a
n 1
lim n
n
nn 1 1 , donc le rayon n 1n 2
de convergence est R 1 . La série entière donnée converge absolument sur 1,1 , diverge à l’extérieur c'est-à-dire sur ,1 1, . 1 1 Aux points x 1 , u n 1 , donc la série converge absolument aux extrémités x 1 et nn 1 n² x 1. n
Calcul de la somme de x : nn 1 n IN *, x 1,1 : u x x x nn 1 n n 1
n
n
n
x
n
n
n
n 1
(Les deux dernières séries sont absolument convergentes sur 1,1 ). Soit S x x n 1
n
x x x n 1 nn 1 n n 1 n 1
n 1
n
la série entière de rayon de convergence R1 1 . Elle est indéfiniment dérivable sur
n
1,1 et on a : S ' x xn1
1 , x 1,1 (série géométrique de premier terme 1 et de raison 1 x n 1 x 1 ). En choisissant le compact A 0, x, x 1 et en intégrant terme à terme on aura : n
dt n 1 n 1 S x t dt t dt x ln 1 x 1 t n 1 0 n 1 n 0 n 1 0 x
Soit H x x n 1
1,1 et on a :
x
x
n 1
n 1
la série entière de rayon de convergence R2 1 . Elle est indéfiniment dérivable sur
x , x 1,1 (série géométrique de premier terme x et de raison 1 x n 1 x 1 ). En choisissant le compact A 0, x, x 1 et en intégrant terme à terme on aura : H ' x x n
n 1
t 1 1dt 1 n n H x t dt t dt x 1 dt x ln 1 x . 1 t 1 t n 1 0 n 1 n 1 0 n 1 0 0 x
x
xx
1 1 ln 1 x Or x x H x 1 , n 1 x n 1 x x n 1
n
n 1
x
x 1,1 , x 0 .
n 1
n
n
n
En conclusion, x x x 2 ln 1 x x, nn 1 n n 1 n 1
n 1
x 1,1
n 1
3 n 1
(b) On pose u x x . Comme 3n 1 n
1
3n 4 1 u n1 x x 3n 1 x 3 3n 3 1 x lim lim lim 4 3n 4 x3n 1 n n n u n x 1
x 1 , donc le rayon de
3n convergence est R 1 . La série entière donnée converge absolument sur 1,1 , diverge à l’extérieur c'est-à-dire sur ,1 1, . 113
Au point x 1 ,
1 1 u 1 3n 1 3n , donc la série diverge. n
1 est une série alternée qui vérifie la règle de Leibniz, 1 n
u
Au point x 1 ,
n
3n 1
1 u 1 3n 1 tend vers 0 par décroissance suivant n donc la série converge en ce point mais ne n
converge pas absolument. 3 n 1
Calcul de la somme de x : 3n 1 n 0
3 n 1
Soit S x n 0
x
3n 1
la série entière de rayon de convergence R 1 . Elle est indéfiniment dérivable sur
11x ,
1,1 et on a : S ' x x3n x 3 n0 n0 de raison
x
3
n
3
x 1,1 (série géométrique de premier terme 1 et
1 si x 1 ). En choisissant le compact A 0, x, x 1 et en intégrant terme à terme
on aura : 3 n 1
dt 3n 3n S x t dt t dt x , x 0,1 .. 3 n0 0 n 0 3n 1 0 n0 0 1t x
x
x
Sachant que 1 t 1 t 1 t t ² , en faisant une décomposition en éléments simple et une identification, on aura : a bt ² a b c t a c , 1 1 a bt c 3 3 1 t 1 t t ² 1 t t ² t 1 1 t 1 t 3
a b 0 a b, a b c 0 2a c 0, a c 1 a 1, c 2. 1 1t
3
1 t 2 1 t t² t 1
En intégrant on aura x x x x dt t 2 dt 1 2t 1 5 1 dt 0 1 3 0 1 t t ² t 1 0 1 t 2 0 t ² t 1 dt t
ln 1t
x
0
1 2t 1 5 dt 1 ln 1 x 2 0 t² t 1 2 0 t² t 1 2 x
x
x
x
5 dt ln t ² t 1 0 2 1 3 0 ² t ² 2 2 x 1 5 4 dt ln 1 x ln x ² x 1 2 2 3 0 2 1 t ² 1 3 2
1 5 dt ln 1 x ln x ² x 1 2 2 0 1 3 ² t ² 2 2 2 1 d t x 1 5 4 3 3 2 ln 1 x ln x ² x 1 2 2 3 2 0 2 1 t 2 ² 1 3
114
x
2 1 1 5 ln 1 x ln x ² x 1 Arc tan t 2 2 3 3
x
0
2 1 1 5 1 ln 1 x ln x² x 1 Arc tan x Arc tan 2 2 3 3 3
1 an1 2n 1 , donc le rayon de lim 3 an n 1 2n convergence est R 1 . La série entière donnée converge absolument sur 1,1 , diverge à l’extérieur c'est-à-dire sur ,1 1, . 1 1 Au point x 1 , u n 1 , donc la série diverge au point x 1 . 2n 1 2 n 2n 1 2n 3 lim n
1 © On pose an . Comme lim 2n 1 n
1
1 est une série alternée qui vérifie la règle de Leibniz, 1 n
Au point x 1 ,
u
2n 1 1 u n 1 2n 1 tend vers 0 par décroissance suivant n donc la série converge en ce point mais ne converge pas absolument. n
n
Calcul de la somme de x : 2n 1 n 0
Si u 0 , alors soit S u la somme de la série entière : S u u
2 n 1
2n 1 Convergence R 1 . Elle est indéfiniment dérivable sur 1,1 et on a : n 1 2n u 1,1, S ' u u u ² 1 u² n 0 n 0 Série géométrique de premier terme 1, de raison u ² 1 si u 1 .
de rayon de
n 0
En choisissant le compact A 0, u , u 1 et en intégrant terme à terme on aura : 2 n 1
dt 2n 2n S u t dt t dt u , u 0,1 . 2 n0 0 n 0 2n 1 0 n0 0 1t u
u
dt 1 1 1 1 1 t dt ln 1 t² 2 0 1 t 1 t 2 1t 0
u
u
Or S u
u
u
1 1 u ln . 2 1 u
0
S u u 1 1 x Donc . En posant u x , on obtient x . ln u 2 x 1 x n 0 2n 1 n 0 2n 1 2n
Si x 0 , on pose u x , donc
n
x 2nx 1 1 2n 1
n 0
n
n 0
115
n
n
1 x 1
n 0
n
x
2 n 1
2n 1
.
Soit H u la somme de la série entière : H u
1 u n
2 n 1
de rayon de 2n 1 Convergence R 1 . Elle est indéfiniment dérivable sur 1,1 et on a : n 1 u 1,1, H ' u u ² 1 u² n 0 Série géométrique de premier terme 1, de raison u ² 1 si u 1 . n 0
En choisissant le compact A u,0, u 1 et en intégrant terme à terme on aura :
H u u n0 0
1 t n
2n
dt n0
1 t n
0
2n
dt
1 u n
0
2n 1
n0
u
2 n 1
u
dt 1 t
2
, u 0,1 .
0
Or H u
dt Arc tan u . 1 t² u
H u Donc u n 0
1 u n
3
nx
n
. En posant u
2n 1
* (d) On décompose On aura donc :
2n
3
n
n
3
n
x , on obtient x 2n 1
1 x
n 0
Arc tan x .
suivant la base 1, n, nn 1, nn 1n 2 :
n 3nn 1 nn 1n 2 , et par conséquent :
n x 3nn 1 x nn 1n 2 x n
n
n
1 , x 1,1 , de rayon de convergence R 1 . 1 x n0 Sa première dérivée est donnée par : 1 x x n 1 n n nx nx x 2 x ², x 1,1 nx 1 x ² n1 1 x ² n3 1 x ² n 1
Soit la série entière x n
Sa dérivée seconde est donnée par : n 3 2 n n n 1 x 3 n2
1 x
n1x
n2
n
2 x²
1 x
3
n1x
n n 3
n
2 x , x 1,1
2 x²
2
1 x
3
Sa dérivée tierce est donnée par :
nn 1n 2x
n 3
n 3
Donc
n x 3
n 1
n
x 8x² n
3
n 3
6
1 x
4
x
n
n1n2x
, x 1,1 n n2
n
6x
3
1 x
4
x 8 x² n x 3 nn 1 x nn 1n 2 x
x x 8x² x 2 x² 1 x ²
n
n 3
2 x²
1 x
3
n
n 3
2x 2
6 x
n 3
3
1 x
4
116
, x 1,1 .
, x 1,1
n
Exercice (III.6) 1. (a) Remarquons que le terme général de cette série de fonctions est continue sur D 0, alors
1 vérifie les n
1 1 que S n x S x u n 1 x ; puisque la série alternée n 1 x n
n 1
1
nx
n
0 et décroît suivant n , pour tout x fixé dans D . Par nx n suite, la série de fonction proposée converge uniformément sur D , ce qui implique que S x C D
conditions de la règle de Leibniz :
(b) Les conditions du théorème de dérivation sont satisfaites. La série
u x ; où '
n 1
1 x
n
n 1
u
'
est normalement (donc uniformément) convergente sur D , car
n x ² 1 conséquent S x C D . n
1
'
n
1 S x 1 et donc
n
(c)pour tout x D , S x 1
1 u x n² . Par
n
n x 1 n1 n x x 1 1 S x 1 S x ................. x 2. retrouvons l’expression de S par la méthode des sommes partielles en calculant n0
1 . x n
lim S x N
N
N
, avec S N
n 1
nx
1
1 n x 1 En tenant compte des deux relations suivantes t dt et n x 0 On aura
S x 1 t 1 N
N
n
0 n 0
n x 1
1
dt 0
t
x 1
1 t n
1 t
t N
n
1
n 0
1
N 1
t
N 1
1 t
Nx
dt .
Or 1
t
N x
1
1 t dt t 0
0
N
1 dt 0 , ce qui donne que N 1 N
1
t
x 1
lim S x S x 1 t dt . N
N
3. Comme la fonction S x est positive et décroissante, alors
0
lim S x existe. De la relation (1), on x
déduit que
lim S x 1 S x lim 2xS x 1 c'est-à-dire S x 2 x . 1
x
x
Exercice (III.7)
117
1. On pose
2n 1 u x n! x n
2n
. Comme
3 1 2 2n 3 x n! 2n u n1 x x lim 0 1, x IR donc lim lim 2n 1 n 1! n n n u n x 2n 1 x 1 n 1 2n le rayon de convergence est R . La série entière donnée converge absolument sur IR tout entier 2n 1 2 n 2. Calcul de la somme de : n! x n0
2n2
2n
Remarquons que
2n 1 2 n x 2n x n! n! n!
x
2n
x
2n
2
n!
x
2n
n 1!
Donc
, n IN * 2 n 1
2n
2n 1 2 n 2n 1 2 n x² x² x² S x 1 1 x 2x² x 1 e 1 2 x ² e 1 2 x² e x x n! n! n0 n 1 n 1 n! n 1 n 1! On peut aussi effectuer une intégration terme à terme : pour tout x IR , on a : x
S t dt 2n 1 t n0 0
2 n 1
n!
dt C x n0
2 n 1
xn!
Où C est une constante d’intégration. Or x IR ,
n0
2 n 1
C
n!
x² x x n
n0
n!
e
x²
, on obtient alors :
S x x e ' 1 2 x² e . x²
x²
Exercice (III.8)
1 x
n
1. On pose u n
4n 1 x
4 n 1
. Le rayon de convergence s’obtient à l’aide de la formule de
1 1 4 4 x x 1 4n 1 4n u n 1 D’Alembert : lim lim x lim x 1 4 n 1 5 4n 5 n n n u n x 1 1 n x 4n D’où la série converge si x 1 , c'est-à-dire le rayon de convergence est R 1 . La série entière donnée
n 1
4n 5
converge absolument sur l’intervalle 1,1 .
118
u
Regardons la nature de la série au point x 1 ,
1 1
n
qui est une série convergente 4n 1 1 d’après la règle de Leibniz (car la série est alternée et u n 1 tend vers 0 par décroissance 4n 1 suivant n). n 0
Pour x 1 ,
u
n
n 0
1 1
n 1
qui est aussi une série convergente d’après la règle de Leibniz (car 4n 1 1 la série est alternée et u n 1 tend vers 0 par décroissance suivant n ). 4n 1 Donc l’intervalle de convergence est : 1,1. n 0
n
n 0
1 2. Calcul de la somme de S x
n
n0
4n 1 x
4 n 1
:
On peut dériver la série donnée terme à terme à l’intérieure de son intervalle de convergence 1,1 . n n 1 4n x 1,1, S ' x 1 x x 4 4 n0 n0 1 x
1 3.a) Remarquons que d’après la règle de Leibniz la série numérique
n
n0
4n 1
converge. Par
application du second lemme d’Abel, on aura alors :
1
1
n
n0
1 b) Soit S x
4n 1
n
n0
x
S x
4n 1
n
lim x
n0
1
4 n 1
S 1 lim S x x 1
1 , d’après ce qui précède on trouve et S n
x
4 n 1
n0
4n 1
1
dt
4n 1 x
(où x 0,1 ) d’où S
dt
. 4 1 1 0 0 t t c) Calculant cette dernière intégrale. En effectuant quelques transformations algébriques, on aura : 1 1 1 dt 1 t 2 t 2 S dt dt 4 2 2 2 2 0 t 2t 1 2t 1 0 1 t 0 t 1 1 1 11 1 2t 2 2t 2 dt dt dt 2 dt 2 2 2 4 2 0 t 2t 1 2t 1 4 0 0 t 0 2 2 t 1 t 1 2 2 2 2 4
119
t d dt 1 1 t a En tenant compte des relations Arc tan C et t ² a² a t a a ² 1 a 1 Arc tant Arc tan , t 0 , on aura : t 2 1
t ² 2t 1 1 S ln 4 2 t ² 2t 1
1 4 2
Puisque
ln 3 2
22 2 22 2
1 2 2
Arc tan 2t 1 Arc tan 2t 1 1
0
0
2 ,
3 2 2 et
1 2 1
2 1.
120
CHAPITRE IV LES SERIES DE FOURIER INTRODUCTION La théorie des séries de Fourier permet d’interpréter certains signaux (autrement dit, certaines fonctions définies sur un intervalle réel) comme résultant de la superposition d’une infinité de signaux sinusoïdaux de fréquences différentes. L’idée d’une telle décomposition apparaît en 1807 dans une première communication de Joseph Fourier à l’académie des sciences de Paris, concernant la résolution de l’équation aux dérivées partielles qui régit la propagation de la chaleur dans les solides. Notre but est de présenter ici quelques résultats fondamentaux sur les séries de Fourier. IV.1. GENERALITES (IV.1.1) Définition : On dit qu’une fonction f : IR C est périodique de période T 0 si f x T f x Parmi les fonctions périodiques les plus simples figurent les fonctions sinusoïdales du type : f x cosnx ; n IN De pulsation , d’amplitude 0 et de phase . 2 Une période est alors T .
Ces fonctions peuvent s’écrire aussi sous la forme complexe: inx inx f x a cos nx b sin nx c e c' e Les polynômes trigonométriques sont des superpositions de fonctions de ce type. (IV.1.2) Définition :
u
On appelle série trigonométrique toute série de fonctions
n 0
c
0
: IR C; x c0 constante. n IN *,
c
n
inx
: IR C; x cn e cn e inx
La série trigonométrique est notée par :
c c e
inx
0
n
n1
inx
c n e
;
n
de F IR, C telle que :
c , c C ² n
n
(IV.1.3) Remarque : En posant
a
2 c0 ,
a
0
ou
c
0
0
2
,
,
b
icn cn ,
1 i , 2 an bn
c
a c c n
c
n
On trouve que la suite
n
n
n
n
1 i , 2 an bn
u est définie par n
121
n IN *
n IN *
: IR C; x
a
0 Constante 2 n IN *, un : IR C; x an cos nx bn sin nx La série trigonométrique est notée par :
u
0
a a 2 0
n 1
n
cos nx bn sin nx
(IV.1.4) Définition : Soit
n une suite de fonctions définies et intégrables sur a, b. On dira que le système n
, , ,......., ,.... est orthogonal sur a, b si : x xdx Cte0 b
1
2
3
m
n
n
a
si m n . si m n
(IV.1.5) Lemme : Pour tout n IN * , le système 1, cos x, sin x,......., cosnx , sinnx ,....est orthogonal sur , . Démonstration :
sin nx 0 cosnx dx n cosnx 1 cosn cos n 0 sinnx dx n n
(IV.1)
(IV.2)
On utilise les identités trigonométriques suivantes :
sinm n x sinm n x 2 cosm n x cosm n x cosmx cosnx 2 cosm n x cosm n x sin mx sin nx 2
sin mx cosnx
Pour calculer les intégrales suivantes : . Pour m n :
sinmx cosnx dx
cosmx cosnx dx
sinmx sinnx dx
. Pour m n , n 1 :
cos ²nx dx
1 sinm n x sinm n xdx 0 2
(IV.3)
1 cosm n x cosm n xdx 0 2
(IV.4)
1 cosm n x cosm n xdx 0 2
(IV.5)
1 cos2nx 1dx 2
122
(IV.6)
sin ²nx dx
1 1 cos2nx dx 2
(IV.7)
(IV.1.6) Remarque : Soit f une fonction 2 périodique , alors pour tout réel on a : 2
f x dx
f x dx
f x dx
2
f x dx
Dans la dernière intégrale, on effectue le changement de variable : x t 2 , on obtient : 2
f x dx
f x dx f x dx
Donc l’intégrale d’une fonction périodique a la même valeur si l’on intègre sur un intervalle arbitraire dont la longueur est égale à la période. (IV.1.7) Théorème :
c
Si les deux séries
n 1
trigonométrique
n
c
et
n 1
c c e
inx
0
n1
n
n
(resp.
a n 1
inx
c n e
n
et bn ) sont convergentes, alors la série n 1
(resp. a2 a cos nx b sin nx) converge normalement 0
n 1
n
n
(donc uniformément) sur IR.
(IV.1.8) Propriétés Soit
c c e
inx
0
n1
n
de la somme inx
c n e
(resp. a2 a cos nx b sin nx) une série trigonométrique d’une 0
n 1
n
n
fonction f .
P . L’ensemble de définition de la fonction 1
de la forme : x x 2 p ;
f c’est-à-dire
pZ .
D
f
est toujours stable par les transformations
P
2
. f est 2 périodique.
P
3
. f est continue sur tout intervalle I contenu dans IR où la série trigonométrique est uniformément
convergente sur I .
IV.2. Calcul des coefficients 123
(IV.2.1) Théorème : Soit
c c e
inx
0
n
n1
inx
c n e
(resp. a2 a cos nx b sin nx) une série trigonométrique d’une 0
n
n 1
n
fonction f convergente uniformément sur IR. Alors (resp. a0 an cos nx bn sin nx ) une série trigonométrique d’une fonction f . 2 n1 n Z ,
cn
n IN ,
a
n IN *,
n
2
1 2
inx
e
f x dx
0
1
2
f x cos nxdx
bn
0
1
2
f x sin nxdx 0
Démonstration : Supposons que la fonction 2 périodique f x soit représentée par une série de Fourier convergente dans l’intervalle , :
f x
a a 2
0
n 1
n
cosnx bn sin nx
(IV.8)
En intégrant sur l’intervalle , , on obtient : a0 a 0 f x dx cos nx sin nx dx dx cos nx dx sin nx dx a n a b b 2 n n n 2 n 1 n 1 Compte tenu des formules (1.1) et (1.2) on a alors la première formule de Fourier :
1
f x dx
en multipliant les deux membres de l’égalité (1.8) par coskx , on obtient l’égalité :
a0
a f x coskx 0 coskx an cosnx coskx bn sin nx coskx
(IV.9)
(IV.10)
2 n 1 En intégrant sur l’intervalle , , on obtient :
f x coskxdx
a
coskxdx an cosnx coskx bn sin nx coskx dx (IV.11) 2 n 1 La série du second membre est major able et donc être intégrée terme à terme, on obtient ainsi :
0
f x coskxdx a
Qui fournit une expression de
a
k
k
(IV.12)
:
(IV.13) f x cos kxdx De même en multipliant les deux membres de l’égalité (1.8) par sin kx et en intégrant sur , , on obtient l’égalité :
ak
1
124
f x sinkxdx b
D’où l’on déduit une expression de
b
:
k
bk
(IV.14)
k
1
f x sinkxdx
(IV.15)
IV.3. Les séries de Fourier (IV.3.1) Définition : Soit f une fonction de IR dans C, 2 périodique continue par morceaux sur IR (C’est-à-dire continue sur tout segment de droite , IR ), les coefficients de Fourier de f sont les nombres complexes définis par :
cn f
n Z ,
1 2
2
inx
e
f x dx
0
2
1 an f f x cos nxdx
n IN ,
0
n IN *,
2
b f f x sin nxdx 1
n
0
La série de Fourier de f est la série trigonométrique :
S f c0 f cn f e cn f e n1
inx
inx
a f f cos nx f sin nx a b 2 0
n 1
n
n
QUESTIONS : -
Pour quelles fonctions f y a –t-il convergence ? Y a-t-il convergence vers f ? De quel type de convergence s’agit-il ? simple ? uniforme ? normale ? en moyenne quadratique ?
(IV.3.2) Propriétés : Soit f une fonction de IR dans C, 2 périodique continue par morceaux sur IR
P
4
. Si les valeurs de f sont réelles, alors les coefficients de Fourier de f : Sont réels, tandis que les coefficients
P
5
.
a f c f c f , n
n
n
n
c f et c f sont complexes conjugués. n
n
b f ic f c f , n
a f et b f
n
n
125
n IN * .
n
2
1 P6 . IR, cn f 2
inx
e
f x dx
2
1 an f f x cos nxdx
2
b f f x sin nxdx 1
n
P7 . Si f est paire, alors : n IN*,
bn f 0 ,
n IN *,
2 an f f x cos nxdx 0
P8 . Si f est impaire, alors : n IN ,
an f 0 ,
n IN *,
2 bn f f x sin nxdx . 0
(IV.3.4) Exemples pratiques : 1. Soit f : , IR,
a f 0,
n IN
n
b f 2
f x x
n
1 x sin nxdx 2
n 1
n
0
1
n 1
S f 2
sin nx
n
n 1
2. Soit f : , IR,
c f 2 1
0
f x
x 2
1 cn f 2
dx
x 2
x 2
2
1 dx
n 1
inx
e
2in
a f 2c f a f c f c f 0, 0
0
n
n
n
b f ic f c 1 sin nx S f 2 n n
n
n
n 1
1 , f n
n
n 1
n
n 1
3. Soit f : , IR,
si x 0, 2 f x si x ,0 2
Laissé comme exercice. (IV.3.5) Remarque importante : 126
Si la fonction f admet un développement en série de Fourier S f , alors f S f . (IV.14) Exemple : Soit la fonction f 2 périodique définie par : 1 si 0 x x , , f x 1 si x 0
a f a f 0,
On remarque que f est impaire,
0
n
0 si n 2 p 4 n IN *, bn f sin nxdx si n 2 p 1 0 2 p 1 2
x , , Sf x
sin 2 p 1x 2 p 1 p 0
4
Au point x0 0, Sf 0 0 , par contre f 0 1 et ainsi Sf 0 f 0 . (IV.3.6) Remarque : Si f est T périodique , les coefficients de Fourier de f sont donnés par : 2 2 an f T f x cos T nxdx T
n IN ,
0
2 2 n IN *, bn f f x sin nxdx T 0 T La série de Fourier de f est la série trigonométrique f 2 2 Sf x a0 an f cos nx bn f sin nx 2 T T n 1 T 2 1 in x n IN , cn f f x e T dx T 0 T
Sf x
2
ik x ck f e T
n k n
L’étude de la fonction Sf x
2
ik x ck f e T est dite étude en temps. Le calcul des coefficients de Fourier
n k n
c f est l’analyse spectrale de la fonction ou du signal. n
Les physiciens travaillent avec une représentation en fréquence du spectre d’amplitude, le spectre de raie, 1 constitué de bâtons espacés de fréquence et de hauteur ck et du spectre de phase dont le k ième T k bâton d’abscisse , d’ordonnée k arg ck , . T
127
(IV.3.7) Exemples :
1) Soit la série trigonométrique u nx , avec u n x r cosnx , 0 r 1 . Pour étudier cette série n
n 0
trigonométrique on lui associe :
v x , avec v x r n
n 0
n
n
sin nx ; puis avec
wnxu x v x r e r eix . n
n
inx
n
n
La série
w x est normalement (donc uniformément) convergente sur IR , car : n 0
w x r n
n
n
telle que la série géométrique
r eix 1 r n
n
est convergente.
n
1
n
r
ix
e
1 r cos x ir sin x 1 2r cos x r ²
D’où, en prenant les parties réelle et imaginaire : 1 r cos x r sin x n n cos nx et r sin nx . r 1 r ² 2r cos x 1 r ² 2r cos x n 0 n 0 inx
2) Soit u n
0,2 .
x e
n
, n 1 . La convergence uniforme est connue par le critère d’Abel sur l’intervalle
inx
ix ix ix ix x x x ix Ln 1 e Lne 2 e 2 e 2 Ln 2i e 2 sin ln 2 sin i 2 2 2 n 1 n D’où, en prenant les parties réelle et imaginaire :
Sachant que e
cosnx x sin nx x ln 2 sin , avec 0 x 2 . et n 2 n 1 n 2 n 1
(IV.3.8) Théorème : Si la série de Fourier de f est convergente uniformément sur IR, l’égalité suivante a lieu : S f f IV.4. CONVERGENCE : On donne trois cas où la série converge : Premier cas : Déjà vu dans le théorème (IV.9) où on a la convergence normale. Deuxième cas : Théorème d’Abel pour la convergence uniforme
128
Si
a et b sont des suites positives qui tendent vers 0 en décroissant, la série trigonométrique est n
n
convergente, elle converge uniformément sur tout compact ,2 , 0 ; sa somme f est donc continue sur 0,2 donc sur IR 2Z . Preuve : Posons
a cosnx et a décroît vers 0, uniformément par rapport à x puisque indépendant n
n
n
n
de x , comme
n
coskx Ré e k 0
n
k 0
i n 1 x
e
ikx
ikx
1 e
2
avec : 2
1
1
x sin sin 2 2 Sur ,2 . Donc la série n est uniformément convergente sur ,2 d’après le critère d’Abel. k 0
1 e
ix
1 e
ix
ix 2
e e
ix 2
ix 2
e
n 1
De manière analogue à la précédente, on démontrera que la convergence uniforme de la série
n 1
b cosnx .
n
, avec
n
n
Troisième cas, le théorème de Dirichlet : (IV.4.1) Théorème de Dirichlet : Soit f une fonction de IR dans C, continue par morceaux sur IR telle que f admet en chaque point x de IR une limite à droite notée f x 0 et une limite à gauche notée f x 0 . On dit que f admet une dérivée à droite (resp. à gauche) de x si la limite suivante existe : f x u f x 0 f x u f x 0 (resp. lim ). lim u u u 0 u 0 u 0
u 0
C’est le cas par exemple lorsque f est de classe
C
1
par morceaux sur IR.
(IV.4.2) Le théorème : Soit f une fonction de IR dans C, 2 périodique continue par morceaux sur IR Si f admet au point x une dérivée à gauche et à droite, alors S f est convergente au point x de somme : 1 f x 0 f x 0 2 (IV.4.3) Lemme : (Noyau de Dirichlet) On a :
1 sin n u 2 1 cos pu Dn u 2 p 1 u 2 sin 2 n
Preuve : 129
On a
1 n ipu 1 n cos pu Ré e . Supposons u IR 2Z . 2 p 1 2 p 1 n
Comme e e ipu
p 1
iu
1 e
iun
1 e
iu
, on obtient : i n 1u
1 e 2e 1 n ipu 1 iu 1 e e e iu iu 2 p 1 2 1 e 21 e iun
iu
i n 1u
1 e 2e iu
e
iu 2
iu
1 i n u 2
e2 2e
u 4i sin 2 e e e 2 u i 1 1 cos cos n u i sin n u . 2 2 u 2 2 sin 2 Il suffit de prendre la partie réelle pour obtenir le lemme, qui reste valable pour u 0 mod 2 par prolongement. On en déduit que : 1 sin n x n 1 n 2 dx cos px dx cos px dx 0 2 p 1 2 p 1 0 x 0 2 2 sin 2 1 sin n x 2 dx . De même on a 2 x 0 2 sin 2
iu 2
iu 2
iu 2
IV.5. Propriétés des coefficients (IV.5.1) Proposition
: (Lemme de Riemann Lebesgue)
Soit f une fonction définie et intégrable sur un compact a, b IR , prenant des valeurs réelles ou b
complexes. Pour tout réel t , on définit I t f x e dx . Alors I t tend vers 0 lorsque t . itx
a
Preuve : Nous examinons deux cas : Premier cas. Si f est fonction en escalier sur a, b, il existe une subdivision que f x k constante sur n
. I t k 1
ck
n
c , c k 1
f x e dx k
c k 1
itx
k 1
c
0
a c1 ...... cn b telle
k
ck
e
dx
itx
c k 1
1 n it k 1 k
e c e c ; it
it
k
k 1
D’où
I t
1 n t k 1 k
e c e c it
k
it
k 1
2 n A 0 . k t k 1 t t
Cas général. f étant intégrable, il existe une fonction en escalier g telle que f x g x Sur a, b. Il suffit d’écrire que f x e f x g x e g x e pour avoir itx
itx
130
itx
b
I t f x g x dx a
b
g x e
itx
dx b a
a
a
Conséquences : Les coefficients de Fourier
n
et
b
A' '. t
ainsi que c n , tendent vers 0 quand n .
n 2
1 c f 2 f x e
inx
n
dx 0 n
Et 2
2
2
a f f x cos nxdx Ré f x cos nxdx Im f xcos nxdx 1
1
i
n
Posons hx Ré f x et k x Im f x :
1 2 inx 0 h x cos nxdx Ré h x dx e n 1
2
De même 2
1 2 inx k x cos nxdx Im k x e dx 0 n Finalement a n tend vers 0 lorsque n . On prouve de façon analogue que 1
b
n
tend vers 0 lorsque n .
(IV.5.2)Formule de Perceval : Soit f une fonction de IR dans C, 2 périodique continue par morceaux sur IR, alors : (1)
a f ² 0
2
1 a f ² b f ² f x ²dx 2
n
n 1
n
0
1 c f ² c f ² c f ² f x ²dx 2
(2)
0
n
n
n 1
0
(IV.5.3) Exemple : Développer en série de Fourier la fonction f de IR dans IR, 2 périodique définie par : x 0,2 , f x x² . 2
1 8 a0 f x²dx 3 ² 0
2
n 1,
a f x² cos nxdx n
0
4 4 an f n² n²
2
n 1,
4 ² 4 bn f x² sin nxdx n bn f n 0
Comme f est de classe
C
1
par morceaux sur IR, on a :
1 f x 0 f x 0 2 ² 4 ² 4 1 2 3 n 1 n ² 1 ² On en déduit . 6 n 1 n ² x 2Z ,
131
En utilisant la formule de Perceval, on trouve : 4 16 16 ² 1 2 4 32 4 32 4 1 4 dx 4 . 0 x 9 n ² 5 90 n 1 n 1 n n
IV.6. APPROXIMATION D’UNE FONCTION AU MOYEN D’UN POLYNÖME TRIGONOMETRIQUE En pratique, la somme partielle
S x obtenue lorsque l’on se limite au N ième terme de la N
représentation d’une fonction f x en série de Fourier constitue une expression approchée de la fonction que l’on développe. On peut démontrer que c’est la meilleure expression approchée, au sens où elle 2 minimise la déviation quadratique N obtenue par :
2 N
Si f x prend des valeurs complexes, alors :
N 2
(IV.6.1) Inégalité
1 2
f x S x ²dx b
N
a
b
f x S x ²dx
1 2
N
a
de Bessel
Considérons les sommes partielles :
a S N x 0 ak coskx bk sinkx N
2 k 1 sont les coefficients de Fourier de f x d’indice inférieur ou égal à N . On a :
a , b 1 1 2 f x S x²dx 2 f ²x 2 f x S x S xdx
Où les
k
k
b
2
2
N
N
a
1 2
f ²x dx
a 8
N
a0 N 1 f x ak coskx bk sin kxdx 2 2 k 1 1
1 2 2 0
N
a0 N coskx bk sin kx ²dx a 2 k k 1
1 a ak f x coskxdx bk f x sin skxdxdx f ²x dx 20 f x dx k 1 N
1 1 1 a dx 2 a coskxdx b sinkxdx 2 a coskx² a coskxb sinkx 2 b sinkx²
N
N
N
N
N
0
k 1
k
k
2 N
1 2
k
k 1
f ²x dx a
2 0
4
1 N 2 k 1
k 1
a b ²
²
k
k
k
k 1
k
k 1
k
(IV.16)
Comme 2N 0 , on a quel que soit N l’inégalité : 1 2
f ²x dx
a
2 0
4
1 N 2 k 1
a b ²
²
k
k
(IV.17)
Il s’ensuit que la série du second membre converge lorsque N . On en déduit l’inégalité de Bessel : 132
1 2
(IV.6.2) Egalité
f ²x dx
a
2 0
4
1 2 k 1
a b ²
²
k
k
(IV.18)
de Perceval
On peut démontrer que pour toute fonction f x bornée, monotone par morceaux, la déviation quadratique 2 N obtenue lorsque l’on remplace cette fonction par la somme partielle de Fourier S N x tend vers 0 lorsque N . Il résulte alors de la formule (1.16) l’égalité :
1 2
f ²x dx a
2
0
4
1 2 k 1
a b ²
²
k
k
(IV.19)
Dite égalité de Perceval. En utilisant la forme complexe des séries de Fourier, on montre aussi que l’égalité de Perceval s’écrit aussi : 1 2
f ²x dx
c
k
n
(IV.20)
²
Pour une fonction à valeurs complexes, on a les formules suivantes : 1 2
1 2
f x ² dx
a
0
²
4
k
f x ²dx c
n
1 2 k 1
a
k
²
b ² k
(IV.19) (IV.20)
²
On ne peut pas sérieusement toucher un sujet de physique sans utiliser d’une manière ou d’une autre les séries de Fourier (ou leur généralisation, les transformées de Fourier). Les séries de Fourier ont également joué un grand rôle dans le développement des mathématiques. Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes ? La base de Fourier est en fait très bien adaptée pour étudier les phénomènes oscillatoires, et ces derniers sont abondants dans la vie de tous les jours : - Le mouvement d’un camion sur un pont génère des vibrations dans toute la structure de ce dernier - Le mouvement des pistons dans le moteur met la voiture en vibration - Une onde électromagnétique provoque l’oscillation des électrons à la surface du métal, - ………Nous ne pourrions pas traiter ces problèmes si nous ne disposions pas de la base de Fourier. L’intérêt des séries de Fourier apparaît notamment quand on cherche à résoudre les équations différentielles linéaires du second ordre associées aux circuits électriques. Considérons un circuit RLC comprenant un condensateur de capacité C, une bobine d’inductance L et une résistance R. On envoie dans ce circuit un courant alternatif, dont la tension est une fonction périodique S t et on s’intéresse à la charge Qt . L’expression E qui régit ce circuit est : LQ' ' RQ '
Q S t C
E
On sait qu’on en trouve les solutions en ajoutant à la solution générale de l’équation homogène E 0 associée à E une solution particulière de E . Lorsque le signal S t sint , c’est facile car on cherche une solution de la forme : a cost b sin t
Mais souvent le signal fourni est plus compliqué, et pas forcément régulier (signal en créneau ou en dent de scie par exemple). Si l’on a une décomposition de S t en somme de fonctions trigonométriques : 133
N
S t a n cosnt bn sin nt n 0
Le calcul est encore facile en traitant séparément le cas de chaque terme (on parle d’harmoniques)et en les ajoutant (principe de superposition). En général, on ne pas espérer avoir un tel développement avec une somme finie et c’est pourquoi on va essayer d’avoir une fonction périodique S t comme une série trigonométrique. C’est toute la problématique des séries de Fourier. La théorie des séries de Fourier permet d’interpréter certains « signaux » (autrement dit, certaines fonctions définies sur un intervalle réel) comme résultent de la superposition d’une infinité de signaux sinusoïdaux de fréquences différentes. L’idée d’une telle décomposition apparaît en 1807 dans une première communication de Joseph Fourier à l’académie des sciences de Paris, concernant la résolution de l’équation aux dérivées partielles qui régit la propagation de la chaleur dans les solides. En 1822, Fourier publie sur ce sujet un ouvrage devenu célèbre, intitulé : théorie analytique de la chaleur. Cependant, c’est sous l’impulsion de Gustave Lejeune Dirichlet que la théorie de Fourier, jusqu’alors controversée, prend vraiment son essor: en particulier, Dirichlet publie en 1829 la première démonstration rigoureuse d’un résultat de convergence pour les séries de Fourier. Dès lors, le développement de l’analyse au XIX siècle devient indissociable des problèmes liés à ces séries, qui seront à l’origine de contributions monumentales de Riemann (sur l’intégration), d’Abel (sur la convergence des séries de fonctions)., de Weierstrass (qui introduit la convergence uniforme et met les bases de l’analyse sous leur forme actuelle) et de Cantor (qui fonde la topologie générale). Au XX ième siècle, le développement de la théorie de l’intégration et celui de l’analyse fonctionnelle ouvrent de nouveaux horizons à l’analyse de Fourier.
Que faire en général dans les exercices ? 1) Tracer le graphe de f sur plusieurs périodes 2) Déterminer la classe (régularité) de f pour connaître la convergence de la série de Fourier 3) Calculer les coefficients de Fourier de f ( an , bn , cn selon le contexte) 4) Appliquer l’égalité de Perceval et/ou Dirichlet selon la classe de f .
Que faire si on ne comprend rien ? Apprendre le cours, refaire les exercices de TD et poser des questions.
EXERCICES Exercice (IV.1) 1. Soit f une fonction 2 périodique égale à 1
x² sur , . Calculer les coefficients de ²
Fourier de f . 2. En déduire les valeurs des sommes suivantes :
1 , n
(a)
n 1
n²
(b)
1 , n 1 2n 1²
Exercice (IV.2)
134
(c)
n 1
1
n
4
,
1. Développer en série de Fourier la fonction 2 périodique définie par : 1 x si x 1,0 f x 1 x si x 0,1
1 2. En déduire que n
2n 1
n 0
4
1 ² . 6 n 0 n²
et
Exercice (IV.3) Soient f et g deux fonctions définies sur IR par f x cos x et g x sin x . 1. Tracer les graphes des deux fonctions. Que peut-on remarquer ? 2. Développer les deux fonctions en séries de Fourier ; En utilisant le théorème de convergence de Dirichlet, l’égalité de Parseval et l’égalité de Parseval généralisée (1), calculer la somme de chacune des séries numériques suivantes :
1 ,
1 . 1 1 (a) (b) , (c) , (d) n 1 4n ² 1 n 1 4n ² 1² n 1 4n ² 1 n 1 4n ² 1² (1) L’égalité de Parseval généralisée est : l 1 a0 0 f x g x dx a n n bn n , l l 2 n 1 n
n
où a n , n et bn ,
n
sont les coefficients de Fourier des fonctions f et g respectivement.
Exercice (IV.4) Soient un nombre réel strictement positif et f une fonction 2 périodique définie sur l’intervalle , par f x coshx. 1. Déterminer le développement en série de Fourier de f ;
1 2. Calculer les sommes des séries numériques et n 1 n ² 1
1
n 1
n
n² 1
;
3. pour tout t IR , montrer que : *
(a)
1
n
n² ² t ² n 1
1 t 1 , 2t ² sinh t
(b)
1
n² ² t ² n 1
t cotht 1 . 2t ²
Exercice (IV.5) Soit f une fonction 2 périodique donnée sur l’intervalle , par : x x si x ,0 f x . x x si x 0, 1. Tracer le graphe de f . Que peut-on remarquer ? 2. Déterminer le développement en série de Fourier de f ; 3. En déduire les sommes des deux séries trigonométriques, à l’aide du théorème de dérivation en justifiant les étapes de calcul :
135
cos2n 1x sin2n 1x , x , , , (b) 2n 1² 2n 1 n 0 n 0 4. En déduire la somme de chacune des séries numériques :
x 0,
(a)
1 , n
(a)
2n 1
n0
1
n
1 (b) , n 0 2n 1²
(c)
n 0
5. Calculer à l’aide de l’égalité de Parseval les sommes :
n 0
2n 1
3
1
2n 1
4
et
n 0
2n 1
1
n 1
n
6
6
1
n 1
n
6. À l’aide de combinaisons appropriées, déterminer la valeur des sommes et
1
;
4
.
Exercice (IV.6) Soit la fonction f , 2 périodique et impaire définie sur l’intervalle 0, par f x x et la fonction g , paire et 2 périodique donnée par g x x² sur l’intervalle 0, . 1. (a) Développer f en série de Fourier ; (b) Calculer les sommes des séries
1
n 1
n
2
1 . et n
n 1
2n 1
2. (a) En déduire par intégration le développement en série de Fourier de g .
1 (b) Déterminer les sommes des séries
n
n
n 1
2
et
n 1
1
n
4
.
3. (a) Déterminer à l’aide du développement en série de Fourier de g , la somme de la série
1
n 1
n 1
n
2
sin nx sin ny pour x, y vérifiant x
2
et y
2
;
1
2n 1² .
(b) En déduire la valeur de la somme :
n 0
SOLUTIONS Solution exercice (IV.1) 1) La fonction f : x 1
b f 0,
x² est paire sur l’intervalle , , donc les coefficients de Fourier ²
n IN * .
n
2 x² 2 x a f 1 ² dx x 3 ²
3
n
0
n IN *,
2 4 3 3
0
2
x² a f 1 ² cosnx dx 0
n
136
On effectue une intégration par partie, 2 fois de suite on pose :
u 1
n IN *,
x² x sin nx u ' 2 ; v' cosnx v ² ² n
x² sin nx f 1 ² n 2a
2 2 x sin nx dx x sin nx dx ²n 0 ² n 0
n
0
u x u ' 1; v' sin nx v
n IN *,
cos nx 2 f x a n 2 ² n n
cosnx n
4 1 f 0
n 1 1 2 1 cosnx dx n0 n²
n 1
n IN *,
a
n
² n²
Donc la série de Fourier de f est :
2 4 1 x , , S f cosnx 3 ² n 1 n² La série de Fourier S f est normalement convergente sur IR car : n 1
1
n 1
(i) IN *, x IR :
(ii)
1
n²
n²
cos nx
1 n²
est une série de Riemann convergente, 2 1
n 1
Par conséquent f est égale à la somme de sa série de Fourier : x , ,
x² 2 4 f x 1 ² 3 ² n 1
1 cosnx n
n²
1 2 4 1 2² ² 1 3 ² n 1 n² n² 3 4 12 n 1 2 4 1 1 ² f 0 (b) 3 ² n 1 n² 6 n 1 n ² ² 1 1 1 ² 1 1 6 n 1 n² n 1 2 p ² n 1 2 p 1² 24 n 1 2 p 1² n 1 2 p 1² © En utilisant l’égalité de Perceval : 2 a0 f ² an f ² bn f ² f x ²dx 2 n 1 0 n
2) (a)
f 0 1
n
6
² 24
4 8 16 1 2 x² 2 x ² x 2 4 4 1 ² dx 1 2 4 dx 9 n1 n 0 ² 0 ²
²
137
2x3 x 5 x 3 ² 4 5
0
16 15
² 8
n 1
1
n
4
16 8 15 9 16 90 4
4
Solution exercice (IV.2) 1) La fonction donnée f x est impaire sur l’intervalle 1,1, donc les coefficients de Fourier
a f 0,
n IN .
n
1
n IN *,
bn f 2 1 x sinnx dx 0
On effectue une intégration par partie, on pose :
u 1 x u ' 1; v' sin nx v
cosnx n IN *, b f 2 1 x n
1
cosnx n
2 2 2 sin nx cos nx dx n n n n
1
1
n
0
0
2 n IN *, bn f n Donc la série de Fourier de f est :
S f
2
2 n
0
sin nx n n 1
2) a) La fonction f x est discontinue en 0. Sur l’intervalle 0,1 , on peut montrer la convergence uniforme de la série de Fourier en appliquant le critère d’Abel. 2 sin nx x 0,1, f x 1 x S f n 1 n n n sin sin 1 1 2 1 2 2 f 1 2 2 n 1 n n 4 2 n 1 0 si n 2k n k Or sin si n 2k 1 2 1 Par conséquent :
1
k 0
k
2k 1
4
b) En utilisant l’égalité de Perceval : 1
2 1 x ² dx 0
4 1 1 ² ² n 1 n² 6 n 1 n ²
Solution exercice (IV.3) 1) Graphes de f x cos x et g x sin x 2) Pour la fonction f x cos x : Elle est paire, périodique , donc n IN *, 138
b f 0 n
4 4 4 a0 f cosxdx sin x02
2
0
n IN *,
2
2
a f cos x cos2nx dx cos1 2nx cos1 2nxdx 4
2
n
0
0
sin 1 2nx sin 1 2nx 1 2 n 1 2n 2
2
0
sin 1 2n sin 1 2n 2 2 2 1 2n 1 2n
4 1 2 cosn cosn 2 2 cosn 1 2n 1 2n n² 1 1 4n² Donc la série de Fourier de f : x cos x est : n
2 4 1 x , , S f cos2nx n 1 1 4n² 2 2 Pour la fonction g x sin x : Elle est paire, périodique , donc n IN *, n
b f 0 n
4 4 4 0 f sinxdx cos x02
2
0
n IN *,
2
2
n
0
2
f sin x cos2nxdx sin1 2nx sin1 2nxdx 4
cos1 2nx cos1 2nx 1 2 n 1 2n 2
0
2
0
cos 1 2n cos 1 2n 2 2 2 2 1 2n 1 2n 1 4n ²
4 1 4n² Donc la série de Fourier de f : x sin x est :
2 4 1 x , , S f n cos2nx n 1 1 4n² 2 2 3) Comme les séries de Fourier de f et de g convergent normalement sur IR , alors :
2 4 1 x , , cos x cos2nx p 1 4 p ² 1 2 2 p 1
2 4 1 x , , sin x cos2nx p 1 1 4n² 2 2 a) Dans 1 , on pose x 0 , on obtient :
139
1
2
1
1
p
p
2 2 1 1 . p 1 4 p ² 1 p 1 4 p ² 1 4 4 4 2 b) Dans 2 , on pose x 0 , on obtient : cos 0 1
2
4
sin 0 0
1 1 2 2 1 2 4 1 p 1 4 p² 1 p 1 4 p² 1 4 4 4 2 ..
p
c) En utilisant l’égalité de Perceval, on obtient :
4
sin 2 x x 2
2
16 16 1 2 sin ² xdx 0 2 ² ² p 1 4n² 1²
2
16 16 1 2 ² ² p 1 4n² 1²
0
1 16 ² ² 1 1 2 ² 16 16 2 p 1 4n ² 1²
d)
2 l
l
f x g x dx
a
0
0
0
2
n 1
a n
n
bn
n
4 n n ² 4 1 8 16 1 4 4 cos x sin xdx 0 2 ² ² n 1 1 4n² ² n 1 1 4n ² 1 4n ²
2
2
1 0 cos x sin xdx 2
sin ² x
2 0
1 1 . 1 2 4 1 2 n 1 1 4n² ² 8 2 n 1 1 4n ² ² n
n
Solution exercice (IV.4) 1) La fonction f : x coshx est paire sur , , périodique , donc n IN *, 2 2 2 a f coshx dx sinh x sinh
0
b f 0 n
0
0
n IN *,
a f coshx cosnx dx 2
n
0
On effectue une intégration par partie, 2 fois de suite on pose :
u coshx u ' sinh x ; v' cosnx v
sin nx f coshx a 2 n
n IN *,
n
n
0
0
0
n IN *,
cosnx f sinh x a 2 n n
n
140
sinhx sinnxdx n sinhx sinnxdx
u sinh x u ' coshx ; v' sin nx v
sin nx n
cosnx n
coshx cosnx dx n 0 0
n²
sinh cosn
²
a f n
2 n²
1 sinh f
1 sinh
n
²
1 2 n² a n
n²
n
a f
2
Donc la série de Fourier de f est : x , ,
sinh
1
n
2 sinh
cosnx n² ² 2) La série de Fourier de f converge normalement sur IR, donc f est égale à la somme de son développement en série de Fourier : x , ,
S f
n² ²
n
f x coshx
sinh
Pour x 0 , on obtient dans I :
f 0 cosh 0 1
1
n
n 1
n² ²
1
n
2 sinh
n² ²
n 1
sinh
cosnx
(I )
1
n
2 sinh
n 1
n² ²
n
n² ²
1 1 2 ² sinh
II
n
n 1
n 1
1
1 La série de fonction
1 sinh 1 1 2 sinh 2 ² sinh
n 1
n² ²
converge normalement pour tout 0 n car :
1
n
u n
1
n²
n² ²
1 , n IN *, 0 n²
est convergente (série de Riemann, 2 1).
n 1
1n Comme la suite de fonctions du terme général n² ² 1 est continue sur * . de la série S IR n² ²
sont continues, alors la fonction somme nIN *
n
n 1
Par passage à la limite lorsque 1, on obtient :
1 S S 1 n
lim 1
Pour x , on obtient dans I :
n 1
n² 1
f cosh
lim 1
sinh
141
sinh sinh 2 ² sinh 2 sinh
2 sinh
1
n² ² n 1
sinh coth 1 1 cosh 2 sinh 2 ² n 1 n ² ² coth 1 1 III 2 ² n 1 n ² ² 1 La série de fonction converge normalement pour tout 0 n car : n 1 n ² ² 1 1 vn n² ² n² , n IN*, 0 1 est convergente (série de Riemann, 2 1). n 1 n ²
Comme la suite de fonctions du terme général
de la série F n 1
1
1 n² ²
sont continues, alors la fonction somme nIN *
n
*
n² ²
est continue sur IR .
Par passage à la limite lorsque 1, on obtient : cosh sinh cosh sinh 1 F F 1 lim lim 2 ² sinh 2 sinh 1 1 n 1 n ² 1 t si t 0 * 3) Dans (II ) pour tout t IR , on prend x 0 et t si t 0 t n 1 1 1 1 1 t 1 2t ² sinh t t t t n 1 n 1 n ² ² t ² n² ² 2 ² sinh
n
Dans (III ) pour tout t IR
*
t si t 0 , on prend x et t si t 0
t t coth 1 t cotht 1 1 1 2t ² t t n 1 n 1 n ² ² t ² n ² ² 2 ²
Solution exercice (IV.5) 1) La fonction f est impaire, donc an f 0, n IN . n IN *,
b f x x sinnxdx 2 b f x x sinnx dx . 2
n
n
0
0
On effectue une intégration par partie, 2 fois de suite. On pose :
u x x u ' 2 x; v' sin nx v 142
cosnx n
cosnx n IN *, b f x x 2 n
1 1 2 x cosnx dx 2 x cosnx dx n0 n0
n
0
sin nx n 2 2 sin nx dx sin nx dx n0 n² 0
u 2 x u ' 2; v' cosnx v
1 f n IN *, 2 bn n
2xsin nx
n
nx
0
0 si n 2 p 4 1 si n 2 p 1 3 2 p 1 n 0 n 0 si n 2 p 8 n IN *, bn f si n 2 p 1 3 2 p 1
2 cos n²
2 3 1
n
Donc la série de Fourier de f est : x , ,
S f
8
sin2n 1x
2n1
3
n 0
Comme la série de fonction
sin2n 1x
2n 1
3
n 0
sin2n 1x
2n 1
3
1
2n 1
3
1 3
converge normalement (donc uniformément) sur IR (car
qui est le terme général d’une série de Riemann convergente), donc f
n
est égale à la somme de son développement en série de Fourier : 8 sin2n 1x x , , f x 3
x , ,
S x
sin2n 1x
2n1
3
n 0
2n1
n 0
8
x x
(I)
2) On applique le théorème de dérivation terme à terme sur la série de fonctions
sin2n 1x , f x 2n1 n
n 0
f nx C D, 1
n
n IN .
b) La série de fonctions des dérivées
f 'x converge normalement donc uniformément sur D . En n 0
effet, x D, n IN :
La série de Riemann
n
x D , :
3
a) La suite de fonctions
f x , avec
1
n²
n
cos2n 1x 1 1 f x 2n 1² f x 2n 1² n² '
'
n
n
est convergente.
n 1
143
c) Il existe un point c , , soit par exemple c
2
tel que la série numérique n 0
f c est n
convergente.
Alors la série
f x est uniformément convergente sur D , en outre sa somme est dérivable sur D et n
n 0
on a : x , ,
cos2n 1x 2 x 2 8 n 0 2n 1
S ' x
De manière analogue à la précédente, on considère la série de fonctions
n 0
(II)
cos2n 1x
2n 1
2
de terme
général
cos2n 1x , x A a, b 0, , g x 2n1 i) La suite de fonctions g x C A, n IN . n 2
n
n IN
1
n
g 'x converge uniformément sur A , par application du
ii) La série de fonctions des dérivées
n 0
n
critère d’Abel de la convergence uniforme. En effet, ' sin2n 1x x A, n IN : g x n 2n 1 1 On choisit n , alors la suite n tend vers 0 par décroissance par rapport à n ; 2n 1 n 1 i 2 n 1 x Et vn x sin2n 1x Im e , alors vk x M. a k 0 sin 2
iii) Il existe un point c a, b , soit par exemple c
2
tel que la série numérique g c est n 0
n
convergente.
Alors la série
g x est uniformément convergente sur A , en outre sa somme est dérivable sur n 0
n
on a :
sin2n 1x 2n 1 4 n 0 sin2n 1x x a, b, 2n 1 4 n 0
x a, b, S ' ' x
Dans (III), on prend x
2
, on obtient
n sin n sin 2 n 1 2 1 2 . 2n 1 2n 1 4 n 0 n 0 n 0 2n 1 Dans (II), on prend x 0 , on obtient
144
(III)
A et
n 0
Dans (I), on prend x
2
1
2n1
2
² 8
.
, on obtient
n 0
1
n
2n 1
3
3
32
145
CHAPITRE V LES INTEGRALES IMPROPRES La notion d’intégrale généralisées est l’extension de la théorie du calcul intégral aux cas des fonctions non bornées et les fonctions définies sur un intervalle non borné.
(V.1)Généralités : (V.1.1)Définition : Soit I un intervalle quelconque de IR ( I fermé ou non fermé, borné ou non borné) et soit f une fonction définie sur I . loc On dit que f est localement intégrable sur I et on écrit f L I si f est intégrable sur tout segment de droite , I . (V.1.2)Remarque :
I . IR appartient à L I . loc
Toute fonction continue sur un intervalle I appartient à L Toute application monotone de I dans
loc
(V.1.3)Définition : Soit a IR , b IR tel que a b et f une fonction définie sur l’intervalle I a, b de L On dit que f admet une intégrale généralisée sur I si la fonction F définie par
loc
I .
x
F : x f t dt a
Qui est définie sur I admet une limite finie à gauche de b . On écrit dans ce cas b
x
f t dt lim F x lim f t dt x
b
a
x
b
a
b
Et on dira que l’intégrale généralisée
f t dt converge (ou définie). a
b
Dans le cas ou l’intégrale généralisée
f t dt ne converge pas (ou n’est pas définie), on dira qu’elle est a
divergente. (V.1.4)Remarque : x
Si la fonction f est continue de I dans IR , alors F : x f t dt est dérivable sur I et on a a
F ' x f x .( F est une primitive de f ). (V.1.5)Exercices : Etudier les intégrales généralisées suivantes :
146
f : 0, IR; t e
t
g : 0, IR; t sin t
h : 0,1 IR; t t
1 2
(V.1.6)Remarques : x
(i)
Si la fonction f La, b , on sait que la fonction F : x f t dt est continue sur a, b et par a
conséquent F admet une limite finie au point b qui est l’intégrale de Riemann usuelle. (ii)
Si a ou b , l’intégrale généralisée
b
f t dt est dite du premier type. a
b
Si f n’est pas borné sur a, b , l’intégrale généralisée f t dt est dite du second type. a
(iii)
Toute intégrale généralisée du premier et du second type est dite de troisième type. On a défini l’intégrale généralisée de f sur un intervalle semi ouvert à droite, on pourra de manière analogue à la précédente définir l’intégrale généralisée de f sur un intervalle semi ouvert à gauche, ouvert des deux extrémités.
(V.1.7)Relation de Chasles : (i)
Soient a et b deux nombres réels de IR tels que a b , I un intervalle de IR d’extrémités a, b et f une fonction définie sur I . On dit que f admet une intégrale généralisée sur I si et seulement si f admet une intégrale généralisée sur chacun des deux intervalles suivants : x I : x cet x I : x ctel que c est un nombre quelconque vérifiant : a c b . Et on écrit dans ce cas b
a
(ii)
c
b
a
c
f t dt f t dt f t dt
On obtient des résultats analogues au précédent si f est définie sur I sauf au point c . On dit que f admet une intégrale généralisée sur I si et seulement si f admet une intégrale généralisée sur chacun des deux intervalles suivants : x I : x cet x I : x c. Et on écrit dans ce cas b
c
b
a
c
f t dt f t dt f t dt
a
Il découle que l’intégrale généralisée de f est indépendant du choix de c . (V.1.8)Exemple : 1
Pour démontrer que l’intégrale généralisée c
ln t
1
ln t
ln t
t 1dt est définie, on doit prouver que les deux intégrales 0
t 1dt et t 1dt sont définies avec 0 c 1 . 0
c
147
1
1
dt dt Attention à l’erreur suivante : n’existe pas. Pour tout 0; ln ; d’où l’on t t 1
1
déduit que l’intégrale généralisée
dt 0 t est divergente. Même chose pour l’intégrale généralisée
0
dt . t 1
1 Alors que la fonction t est impaire, donc son intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à t l’origine existe et est égale à 0. (V.1.9)Exemples résolus : Etudier les intégrales généralisées suivantes : 1 dt I1 1 t² I 2 cost dt 0 0
dt I 3 1 t²
I4
1
dt
t
dt lim lim Arc sin x , l’intégrale est convergente. 2 1 t² x 1 0 1 t ² x 1
1
x
dt
I 1
0
b
I 2 cost dt lim cost dt lim sinb ; limite qui n’existe pas, l’intégrale est divergente. b 0
0
I
3
b
b
dt dt 2 lim 2 lim Arctg b ; l’intégrale est convergente. 1 t² b 0 1 t ² b 0
2
1 1 1 b si 1 si 1 1 1 I 4 lim lim b 0 1 t t b ln b si 1 si 1 Donc l’intégrale généralisée est convergente si et seulement si 1 .
b
dt
dt
(V.1.10)Remarques :
(i)
Soit f L
loc
a , a telle que i
i 1
n 1
f : i 1
a 1 i
a , a IR . Si Les intégrales f t dt existent, i 1
i
ai
n 1 a i 1 on définit l’intégrale : f t dt f t dt n 1 i 1 ai a i ,a i 1 i 1
(ii)
Si la fonction f est définie sur a, c c, b et l’intégrale
b
f t dt existe, on a : a
x
b
x c a y c
y
b
f t dt lim f t dt f t dt a
148
b
Cas particulier :
a
b c f t dt lim f t dt f t dt . Le membre de droite de l’égalité 0 a c b
précédente est appelée valeur principale de Cauchy et est notée : V .P f t dt a
a
a a
V .P f t dt lim b
V .P f t dt Peut-être convergente et a
f t dt
b
f t dt divergente.. a
(V.1.11)Exemple :
a
a a
f : IR IR; x x ; V .P tdt lim tdt 0 1 dt 1 dt 1 g : IR* IR; x ; V .P g t dt lim 0 . x 0 1 t 1 t
(V.1.12)Linéarité de l’intégrale généralisée : Soit I un intervalle de IR ou de IR , avec I a, b ; f , g deux fonctions définies sur I (sauf en un nombre fini de points) admettant sur I des intégrales généralisées. Alors pour tous les nombres réels , la fonction f g admet une intégrale généralisée sur I et on a : b
b
b
a
a
a
f g t dt f t dt g t dt (V.1.13)Remarque : (i)
(ii)
La fonction f g peut admettre une intégrale généralisée convergente sur I , alors que chacune des deux fonctions f et g n’admet pas une intégrale généralisée convergente sur I (prendre par exemple 1, f g avec f n’admettant pas une intégrale généralisée sur I ). loc Soient a et b deux réels, f une fonction appartenant à L a, b . Si la fonction f admet un prolongement sur a, b à la fonction f La, b , alors f La, b et on a : b
b
f t dt f t dt . En effet, soit x, y a, b .
a
a
y
x
y
b
x , y a ,b x
a
lim f t dt f t dt .
(V.1.14)Exemple : 149
y
f t dt f t dt car f f sur a, b et on a x
sin t dt est bien définie car le problème en zéro est un faux problème. En effet t 0
1
L’intégrale généralisée
sin t admet un prolongement par continuité en zéro à une fonction continue t t 1 1 e dt . sur l’intervalle 0,1 . Même remarque que la précédente pour l’intégrale généralisée t 0 la fonction qui a t associe
V.2. Critères de convergence (V.2.1)Théorème : b
Soit f une fonction continue sur I , F une primitive de f sur I . L’intégrale généralisée
f t dt est a
convergente si et seulement si la fonction F admet une limite finie à droite de a et une limite finie à gauche de b . Et on écrit dans ce cas
f t dt lim F x lim F x F x b
x
b . a
x a b Ce théorème permet d’étudier la plupart des intégrales généralisées et même de les calculer en cas de convergence. a
(V.2.2)Exemple essentiel : (les intégrales de Riemann) Soit a, IR et c IR . Alors *
a c
(i) L’intégrale généralisée
t a
a
(ii) L’intégrale généralisée
dt
c
dt
t
converge si et seulement si 1 .
converge si et seulement si 1 .
Preuve :
ln c ln a si 1 1 1 1 (i) si 1 1 a t a u 1 1 c On voit que la dernière quantité admet une limite finie lorsque 0 si et seulement si 1 . (ii) Etudié avant. a c
dt
c
du
(V.2.3)Exercices :
150
(i) Montrer que l’intégrale
I
n
1
(ii) Montrer que l’intégrale
a
dt
1t ²
n
dt
t ln t
t ² dt
1
(iii)Montrer que l’intégrale
t
4
; n IN * existe et calculer sa valeur par récurrence.
converge si et seulement si 1 , 0 a 1 .
est convergente et la calculer.
V.3. Cas des fonctions positives Soit a IR, b IR ; a b et f une fonction de pose :
L a, b positive sur l’intervalle a, b . On loc
x
F x f t dt
F est alors croissante sur l’intervalle a, b car
a
x'
x, x' a, b; x x' F x' F x f t dt 0 x
D’après le théorème de la limite monotone, F admet une limite à gauche de b si et seulement si F est majorée. Dans ce but, on essaiera de majorer F par une intégrale généralisée convergente. D’où : (V.3.1)Critère de comparaison : Soit a IR, b IR ; a b , f et g deux fonctions définies positives sur a, b appartenant à
L a, b telles que : 0 f t g t ; loc
t a, b . Alors
b
b
a
a
g t dt est convergente, alors l’intégrale généralisée f t dt est aussi
(i) Si l’intégrale généralisée convergente (ii) Si l’intégrale généralisée
b
b
a
a
f t dt est divergente, alors l’intégrale généralisée g t dt
est aussi
divergente. Preuve : (i)
x
x
a
a
On pose F x f t dt et G x g t dt . On a F x Gx , et comme g admet une
intégrale généralisée sur a, b , la fonction Gx admet une limite finie à gauche de b ,puisque Gx est croissante, alors Gx est majorée et F x serait aussi majorée et comme F x est une fonction croissante, alors F x admet une limite finie à gauche de b . (ii) C’est la contraposée de (i). (V.3.2)Exemple :
151
2
(i) L’intégrale généralisée
dt
sin t est divergente. 0
1 1 t 0, ; sin t t . t sin t 2 2
Comme l’intégrale généralisée
0
dt est divergente (intégrale de Riemann 1 , au voisinage de zéro) ; t 2
d’après le théorème de comparaison
dt
sin t est aussi divergente. 0
(ii) t 1,; t t ²
1 1 . Or l’intégrale de Riemann t² t
dt 1 t ² est convergente tandis que
1
dt est t
divergente. (V.3.3)Théorème : Soit f et g deux fonctions de a, b dans IR appartenant à L a, b . f t S’il existe k tel que lim k , alors g t t b (i) Si 0 k , alors les deux intégrales généralisées sont de mêmes natures.
(ii)
loc
Si k , alors la divergence de l’intégrale généralisée
b
g t dt entraîne la divergence de a
b
l’intégrale généralisée f t dt . a
(V.3.4)Corollaire : (La règle de Riemann)
IR appartenant à L a, b vérifiant : bt f t k .lorsque t b , avec , k IR . Alors
Soit f une fonction de a, b dans
loc
(i)
Si 1 , l’intégrale généralisée
b
f t dt converge. a
(ii)
Si 1, k 0 , l’intégrale généralisée
b
f t dt diverge. a
Soit f une fonction appartenant à
L a, vérifiant : loc
t f t k .lorsque t , avec , k IR . Alors
(iii)
Si 1, l’intégrale généralisée
f t dt converge. a
152
f t dt diverge.
Si 1, k 0 , l’intégrale généralisée
(iv)
a
(V.3.5)Exercice : Etudier l’intégrale
t
e
ln t dt .
0
V.4. Techniques pour le calcul des intégrales généralisées (V.4.1) Intégration par parties : Soit a IR, b IR , a b ; f , g deux fonctions dérivables sur a, b telles que fg ' et f ' g
appartiennent à C a, b (Ces hypothèses sont vérifiées si f , g C a, b .On supposera en outre 1
lim f x g x existe. Alors
que
x
b
b
Les deux intégrales
b
f t g ' t dt et
f ' t g t dt sont de même nature et dans le cas de convergence
a
on b
f t g ' t dt
a
f t g t f ' t g t dt b
b
a
a
a
De manière générale, si f , g C b
f t g
a
n 1
n2 t dt k 0
1
k
n 1
f
a, b , on a
t g n 2 k t
k
b
1
n 1
b
f
n 1
t g t dt .
a
a
(V.4.2) Exercices : (i) Si A 0 , montrer que l’intégrale
1
1
1
t sin t dt est convergente. 0
(ii) Montrer que l’intégrale suivante est convergente : 1
n IN ,
I n t
ln t dt n
0
Trouver une relation de récurrence entre
I
n
1 2 n
n
I
n
et I n 1 , déduire la valeur de
n! ).
(iii)
Etudier l’intégrale
f t dt sachant que f t t e n
n
n
0
(V.4.3) Changement de variable : 153
t
; n IN .
I
n
(réponse
Soit a IR, b IR , a b , f C I ; une fonction strictement monotone de classe sur J a, b telle que f J I . On pose L lim x . Alors les deux intégrales x b
C
1
b
f t ' t dt et a
L
f u du sont de même nature et dans le cas de convergence, les deux intégrales sont égales.
a
(V.4.4) Exercice : 1
Montrer que l’intégrale
(i)
0
Arc cost dt est convergente.
1 t
2
Montrer que l’intégrale
(ii)
tgt dt est convergente et donner sa valeur.
0
(V.4.5) Exemple :
Convergence et calcul de l’intégrale I ln sin t dt . 0
La fonction f : t ln sin t est continue sur l’intervalle 0, et par conséquent f L
loc
0, . On
pose u t , on a
2
0
ln sin t dt ln sin t dt et ainsi le problème au voisinage de zéro et au 2
voisinage du point est de même nature. Au voisinage de zéro, ln sin t ln t et la fonction f : t ln sin t garde un signe constant (négatif) alors
2
2
ln sin t dt ln t dt 0
0
t ln t 1 2 ln 2 1
2 0
ce qui assure la convergence de I .
2
0
0
I ln sin t dt 2 ln sin t dt
En posant u
2
2
2
0
0
t on trouve
ln sin t dt ln cos t dt Et par conséquent
sin 2t I ln sin t dt ln cos t dt ln dt ln 2 ln sin 2t dt 2 2 0 0 0 0 On pose dans l’intégrale du membre de droite de l’égalité précédente u 2t , on a 2
I
2
2
2
2
ln 2
1 I ln sin u du ln 2 I ln 2 . 20 2 2
154
V.5. La convergence absolue : b
f L a, b . On dit que l’intégrale f t dt
Soit a IR, b IR , a b et
loc
converge
a
b
f t dt est convergente.
absolument si et seulement si l’intégrale
a
(V.5.1)Théorème : Toute intégrale convergente absolument est une intégrale convergente. Démonstration : b
Supposons que l’intégrale
f t dt est convergente. On pose : a
f
f ,f
sup f , 0,
L
loc
a, b;
f
0
f
sup f , 0
f ; 0
f
f b
Donc d’après le théorème de comparaison, on trouve que les deux intégrales
f
t dt et
a
sont convergentes. Comme f
f
f
b
f t dt
a
, en utilisant la linéarité de l’intégrale, on trouve que
b
l’intégrale
f t dt est convergente. a
b
b
a
a
f t dt est convergente sans converger absolument, on dit que l’intégrale f t dt est
Si l’intégrale
semi convergente. (V.5.2)Exemple :
Soit l’intégrale I 1
sin t dt t 0
I
sin t dt . t 0
sin t dt t 1
1
On sait auparavant que
sin t dt est convergente. t 0
x
sin t dt . Une intégration par parties nous donne : t 1
Soit F : x
x
cos t cos t dt cos 1 cos x cos t dt F x t² t t ² x x
1
x
1
1
155
.
x
cos t 1 cos t Or pour tout t 1, x; lim dt est convergente absolument. Comme t² t² x 1 t ² cos x 0 , alors la fonction F admet une limite finie lorsque x , c’est-à-dire l’intégrale lim x x I est convergente. sin t Démontrons que dt ne converge pas absolument. t 0 x
On pose I x
sin t
0
t
x dt; x ; n E . n 1 k 1
I x k 0
On pose t k u , on trouve : n 1
I x k 0 0
u 0, u k k 1
sin u u k
sin t t
k
x
du
x
dt
n
sin t
n
t
sin t t
dt
n 1
sin u du k 0 0 u k
dt
1 1 u k k 1
n 1
1 2 n 1 1 . I x sin udu k 0 k 1 k 0 k 1 0 n 1
1
k 1 est la somme partielle jusqu’à l’ordre n de la série harmonique divergente, sa limite lorsque x , alors lim I x . Comme
k 0
x
(V.5.3)Exercice : iat * 1 Soit f la fonction définie par f : 1, C; t e sin ; a IR . t
(i)
Montrer que l’intégrale
f t dt est convergente.
1
(ii)
Montrer que l’intégrale
f t dt est convergente. 1
Rappel : Soit f une application quelconque de a, b IR . Une condition suffisante et nécessaire pour que F x admette une limite finie l lorsque x tend vers b est la suivante : xn a, b; xn b lim F xn existe.
n
(V.5.4) Critère de Cauchy :
156
b
loc
Soit f une fonction appartenant à L
a, b . Pour que l’intégrale f t dt converge il faut et il suffit a
que la condition de Cauchy suivante soit vérifiée : v 0c I u I v I c u v f t dt u Démonstration : Supposons que
b
x
a
a
b
f t dt converge. Alors la fonction F x f t dt A f t dt . x
b
a
0c I x c, b F x A
u, v I : c u v
2
v
f t dt F v F u F v A F u A u
Par conséquent la condition de Cauchy est vérifiée. Supposons que la condition de Cauchy est vérifiée et
lim x
n
x une suite de points de a, b telle que n
b.
n
v 0c I u I v I c u v f t dt u xm n m F xm F xn f t dt 0 0 xn F xn est une suite de Cauchy dans IR , donc elle est convergente. D’après ce qui précède, F x admet
b
une limite finie lorsque x b et par suite l’intégrale
f t dt converge. a
(V.5.5) Proposition : (Critère d’Abel) x
Soit f : a, IR une fonction continue telle que x a,; F : x f t dt est bornée sur a, a
. Soit g : a, IR une fonction de classe
C
1
telle que g est décroissante vers zéro lorsque t .
Alors l’intégrale
f t g t dt converge. a
Démonstration : Soit b1 , b2 IR; a b1 b2 . Une intégration par parties donne 157
b2
b2
f x g x dx F b g b F b g b F x g ' x dx 2
2
1
1
b1 b1 Comme g est décroissante, alors g ' x 0 . En appliquant la deuxième formule de la moyenne, on trouve qu’il existe y b1 , b2 tel que
b2
b2
F x g ' x dx F y g ' x dx F y g b g b 2
1
b1 b1 Comme F est bornée sur IR , alors il existe k 0 tel que x a,; F x k
lim g x 0 0 a, x , g x 4k x b2 0 a, b1 b2 f x g x dx b1
f t g t dt converge.
Donc la condition de Cauchy est vérifiée et on en déduit que l’intégrale
a
(V.5.6) Exemple :
Etude de l’intégrale
sin t
t
dt , 0 .
La fonction g : , IR; t
1
t
tend vers zéro par décroissance lorsque t .
x
La fonction F : , IR; x sin t dt est bornée car x ,;
Alors l’intégrale
sin t
t
x
sint dt 2 .
dt , 0 est convergente.
(V.5.7) Remarque :
(i)
L’intégrale
1
dt
t
2
est convergente avec lim t
1 0 . Mais t²
1
dt t
n’existe pas avec lim t
1 t
0.
Donc la convergence des intégrales généralisées est une notion plus fine que l’étude de la limite lim f t . t
158
(ii)
Si
lim f t L,
f t dt converge, alors L 0 . Supposons par
L et l’intégrale
t
a
l’absurde que L 0 . Alors il existe un nombre A tel que x L L t A f t f t dt x A 2 2 A
Donc l’intégrale
f t dt est divergente ce qui contredirait les hypothèses. a
(iii)
Toute l’étude précédente reste vraie en remplaçant l’intervalle a, b par chacun des deux intervalles suivants a, b ou a, b .
(V.5.8) Première Formule de la moyenne : Soit f une fonction de Ba, b, IR (l’ensemble des fonctions bornées) telle que
m inf f x et a , b
M sup f x . a , b
b
f La, b m, M : f t dt b a a
Si f une fonction de C a, b, IR , a, b , on pose f et on obtient la formule générale pour f , g C a, b, IR avec g 0 ou g 0 : b
b
f t g t dt f g t dt; a, b
a
a
(V.5.9) Deuxième Formule de la moyenne : Soient f , g : a, b IR deux fonctions telles que f C et g monotone. Alors 1
b
b
a
a
a, b : f t g t dt f a g t dt f b g t dt
(V.5.10) Inégalité de Cauchy Schawrtz : Soient f et g deux fonctions de C a, b, IR , alors b
b
b
a
a
a
f t g t dt f ²t dt g ²t dt Démonstration : f , g La, b f tg La, b et f tg ² La, b . b
La fonction t f tg dx 0 quelque soit t . Donc son déterminant est inférieur ou égal à zéro : a
159
b b b 4 fgdx ² 4 f ² dx g ² dx 0 . a a a
(V.5.11) Les intégrales de John Wallis On appelle intégrales de Wallis la quantité
n IN ,
2
2
n
définie par
cos tdt sin tdt n
n
n
0
On remarque que 0 n 2,
0
1. Par intégration par parties, on trouve n n1 2 p ! 1.3.5.....2 p 1 2.4.........2 p . 2 p!² . 2
,
1
n2
n
2 p 1
2p
2
p!² 2 p ! 2.4.........2 p 2 p1 1.3.5.....2 p 1 22p 1! 2p
(V.5.12) Lemme de Riemann Lebesgue Soit f une fonction de classe C a, b . Alors 1
b
lim a
b
f t cost dt lim f t sin t dt 0 a
160
EXERCICES Exercice (V.1)
1 x sin * x ² sur Etudier l’intégrabilité de f : x . IR ln 1 x Exercice (V.2)
ln x f :x est intégrable sur 0,1 . 1 x
Déterminer les valeurs de et pour lesquelles la fonction
Exercice (V.3) Etudier l’intégrabilité sur 1, de f : x
x 1
x 1
en fonction des paramètres et .
Exercice (V.4) Etudier l’intégrabilité de f : x
1 x ln x
1 sur 2, puis 0, en fonction des réels et . 2
Exercice (V.5) 0 * Soient 0 et f C 1,, IR .
1) On suppose que f est intégrable sur 1, . On pose Rx l’intégrabilité de x
f t dt
pour x 1. Etudier
x
f x
Rx
sur 1, . x
2) On suppose que f n’est pas intégrable sur 1, . On pose S x f t dt pour x 1. Etudier l’intégrabilité de x
f x
S x
1
sur 2, .
Exercice (V.6) Soit 0 , montrer que
1
sin t
t
dt est convergente et que
f :t
seulement si 1 . Indication : On pourra minorer sin t par sin ²t .
SOLUTIONS 161
sin t
t
est intégrable sur 1, si et
Exercice (V.1) * La fonction f est continue sur IR . On étudie son intégrabilité sur 1, puis sur 0,1 .
1 o 3 , donc f est intégrable sur 1, . 3 x 2 ln 1 x x x2 1 1 x sin sin 1 x² x² On a : f x o 3 . On ne dispose pas d’équivalent simple pour x x x x 0 x2 1 sin 1 1 1 x² sin , on peut en revanche majorer donc . Puisque x est intégrable sur 0,1 , x x x² x x On a : f x x x ² ln 1 x x
1
1 sin x ² l’est également et donc est intégrable sur x f 1, . x Exercice (V.2)
1 1 La fonction f est continue sur 0,1 . On étudie l’intégrabilité sur 0, puis sur ,1 . 2 2 1 , (car x ln x 0 , par croissance comparées si 0 , On a : f x ln x o x x 0 x 0 x 0 1 directement sinon), donc f est intégrable sur 0, . 2
De plus, f x
x
x 1
1
x 1
1
x 1
1 o 3 . Donc f est intégrable sur x x2
1 2 ,1 si et seulement si
1. f est intégrable sur 0,1 si et seulement si 1 .
Exercice (V.3) La fonction f est continue sur 0, , sauf lorsque 0 puisque dans ce cas f n’est pas définie. On commence par chercher un équivalent simple de f au voisinage de 1. En posant x 1 h , on h h 1 obtient alors : f 1 h 1 1 h 1 h0 h h
D’où : f x
x 1
1
x 1
1
, donc f est intégrable sur 1,2 si et seulement si 1 1. Soit 2 .
162
Il faut faire attention lors de la recherche d’un équivalent en car
x
n’a pas le même
comportement suivant le signe de . x 1 Si 0 , alors f x 1 , et donc f est intégrable sur 2, si et seulement si 1 1 x
, soit 2
x
x
Dans le cas où 0 , alors f x
x , et donc f n’est pas intégrable sur 2, .
x
Finalement f est intégrable sur 1, si et seulement si 0 , 2 et
2
.
Exercice (V.4) Intégrabilité sur 2, : l’idée est de se dire que le comportement principal de la fonction pour 1 l’intégrabilité est celui de sauf au cas limite d’intégrabilité, lorsque 1. Plus précisément, par
x
1
croissances comparées,
x ln x
1 si ' . o ' x x
Si on peut trouver un tel ' avec ' 1 , on obtient l’intégrabilité de f sur 2, . C’est possible lorsque 1 . 1
Dans le cas où 1, on a
xf x x ln x
de limite infinie lorsque x . Ainsi f x
1 pour x x
suffisamment grand, donc f n’est pas intégrable sur 2, .
ln x Dans le cas où 1 , f x
ln x est la dérivée de x
1
lorsque 1 et celle de 1 x ln ln x si 1 . La fonction f est positive et elle est intégrable sur 2, si et seulement si une
x
et f
primitive de f sur 2, admet une limite finie en . Cela ne sera le cas que lorsque 1 0 soit 1. Conclusion : La fonction f est intégrable sur 2, si et seulement si 1 ou 1 et 1 . 1 1 Intégrabilité sur 0, : le raisonnement est similaire. La différence provient du fait que x est 2 x
1 intégrable sur 0, si et seulement si 1 . 2 ' - Si 1, pour tout ' , lim x f x 0 par croissances comparées et si on choisit ' ,1 , x 0
alors f x
1 avec x 1 intégrable sur o ' ' x 0 x x
1 0, 2 ce qui donne l’intégrabilité de f sur
1 0, 2 . 163
- Si 1 , avec des primitives semblables (attention aux valeurs absolues) et le même raisonnement 1 que dans la première situation, f est intégrable sur 0, si et seulement si 1 . 2 1 1 - Si 1 , xf x , f x au voisinage de 0 et f n’est pas intégrable sur 0, . x 2 x 0 1 Conclusion : La fonction f est intégrable sur 0, si et seulement si 1 ou bien 1 et 1 . 2 Exercice (V.5) 1) On commence par quelques propriétés importantes de R . Pour tout x 0. 1, . On pose R x
x
f t dt f t dt , ce qui permet de montrer que R est de classe
et que lim Rx 0 . De plus R 1
1
C
1
sur 1, , de dérivée f
est strictement positive sur 1, et f est également positive, donc
x
g:x
f x
Rx
est de signe fixe et l’étude de l’intégrabilité équivaut à l’existence d’une limite finie
x
pour x g t dt lorsque x . Soit X 1 , comme R' f , on obtient : 1
X 1 Rx X f x si 1 dx 1 1 1 Rx X si 1 ln R x 1 Puisque lim Rx 0 , l’intégrale considérée admet une limite finie lorsque x si et seulement si
x
1 0 c'est-à-dire 1 . Finalement g : x
1. 2) La fonction S est une fonction de classe
f x
Rx
C
1
est intégrable sur 1, si et seulement si
sur 1, , de dérivée f nulle en 0, strictement
positive sur 2, ce qui justifie l’existence et la continuité de de limite infinie en . Une primitive de
g sur 2, est
1 . Comme dans la première question, on montre que seulement si 1 . Exercice 6 :
164
g : x
f x
S x
1
1 S x
1
sur 2, , et
si 1 et ln S si
g est intégrable sur 2, si et
On a pour tout t 0 ,
sin t
t
est intégrable sur 1, et
1
t
. La fonction t
1
t
est intégrable sur 1, lorsque 1 . Donc
f
f t dt converge. 1
Si 0,1 , soit X 1 . En intégrant par parties, on obtient :
cos t dt t t X
X X
sin t
cos t
Puisque 1 1, on montre comme précédemment que t
cos t
1
1
1
cos t
t
dt cos 1 1
cos X
X
X
1
t
1
t X
X
cos t
1
t
1
sin t
t
1
sin t
t Comme
1
dt
t
sin ²t
t
1 cos2t
t
. On montre comme ci-dessus que
1
et
1
sin t
t
dt , ce
cos2t dt est convergente.
t
1
diverge, l’intégrale
X
dt .
sin t
t
dt diverge.
sin t dt converge si 0 et Remarque : On montre de même que
1
0.
cos X
X
qui donne la convergence de
est intégrable sur 1, . La fonction
dt admet une limite finie lorsque X . Il en est de même pour
Pour t 1 ,
1
dt
t
165
1
cos t dt converge si 0 et
t
CHAPITRE VI LES INTEGRALES GENERALISEES DEPENDANT D’UN PARAMETRE Soit X , d un espace métrique et I a, b un intervalle de IR. On dit que f : X I IK est continue si et seulement si
0, x0 X , t 0 I , 0, x X , t I , t t 0 , d x, x0 f x, t f x0 , t 0 .
(VI.1) LES INTEGRALES DEPENDANT D’UN PARAMETRE (VI.1.1) Théorème : Soit f : X I IK une fonction continue ; u, v : X I deux fonctions continues. Alors l’application : X IK définie par
x X ,
x
vx
f x, t dt
ux
Est continue sur X. (VI.1.2) Corollaire : Soit f : X a, b IK une fonction continue. Alors l’application : X IK définie par b
x X ,
x f x, t dt a
Est continue sur X . Démonstration : b
x h x f x h, t f x, t dt a
f étant continue par rapport à l’ensemble des variables x, t , on peut trouver un nombre tel que,
si h f x h, t f x, t
Et ce nombre ne dépend pas de t , car la continuité est uniforme. Alors : x h x b a Ce qui exprime la continuité de x . (VI.1.3) Théorème :
f soit définie et x continue sur X I ; u, v : X I deux fonctions dérivables. Alors l’application : X IK définie par Soit f : X I IK une fonction continue telle que la dérivée partielle première
166
x
x X ,
vx
f x, t dt
ux
Est dérivable sur X et on a
x X ,
' x
vx
f
x x, t dt v' x f x, vx u' x f x, ux
u x
(VI.1.4) Corollaire : Soit f : X a, b IK une fonction continue telle que la dérivée partielle première continue sur X a, b. Alors l’application : X IK définie par
f soit définie et x
b
x f x, t dt
x X ,
a
Est dérivable sur X et on a f x, t dt x a
b
' x
x X ,
Démonstration :
x h x f x h, t f x, t dt h h a b
f x h, t f x, t f x, t continue par rapport à tend par hypothèse vers une limite h x x et t , donc intégrable. On en déduit que : b b x h x f f x h, t f x, t f x, t dt x, t dt . h x h x a a f x, t existe, D’après la formule des accroissements finis, valable puisque x f x h, t f x, t f x1 , t , x1 étant compris entre x et x h . Comme f x, t est uniformément h x x continue par rapport à x pour l’ensemble des valeurs t de a, b , étant donné , on peut trouver f x1 , t f x, t indépendant de t , tel que, si h , donc x1 x , on ait x x Lorsque h 0 ,
x h x f x, t dt b a h x a b
f x, t dt . x a
b
Ce qui prouve que x a une dérivée égale à (VI.1.5) Théorème :
Soit f : , a, b IR une fonction continue. Alors
b b f x , t dt dx f x , t dx dt a a
167
Démonstration : b x x Considérons l’intégrale x f , t d dt . La fonction f , t d admet par rapport à x une a dérivée, qui est une fonction continue de x et de t . D’après le théorème sur la dérivation, on a donc : b
x
x b
a
a
' x f x, t dt . Par suite : ' d f , t dtd . Qui pour x expriment le théorème de
l’intégration sous le signe .
(VI.2) INTEGRALES GENERALISEES DEPENDANT D’UN PARAMETRE On supposera dans ce qui suit que X est ensemble non vide (ensemble des paramètres) et I a, b un intervalle de IR ( a b ) et f : X I IK une application telle que
f x,. : I IK ; t f x, t L
x X ,
loc
I .
(VI.2.1) Définition : b
(i)
f x, t dt converge simplement sur
On dit que l’intégrale
X si et seulement si
a
La condition suivante est vérifiée : b
f x, t dt
x X ,
a
On notera F l’application définie par : b
F : X IK ; x F x f x, t dt a
b
(ii)
On dit que l’intégrale
f x, t dt converge uniformément
sur X si et seulement si
a
Les deux conditions suivantes sont vérifiées :
b
L’intégrale
f x, t dt
converge simplement sur X
a
0, c I , u c , b, x X
b
f x, t dt u
b
. (iii)
On dit que l’intégrale
f x, t dt converge normalement
sur X si et seulement si
a
Il existe une application g : a, b IR vérifiant les conditions suivantes :
x X , t I :
gL
loc
f x, t g t converge simplement sur X
b
g t dt a
168
Condition de Cauchy pour la convergence uniforme : (VI.2.2) Théorème : b
Pour que l’intégrale
f x, t dt converge uniformément sur
X il faut et il suffit que
a
0, K 0, x X , K
x2
x , x f x, t dt 1
2
x1
Condition d’Abel pour la convergence uniforme : (VI.2.3) Théorème : Soit h : X a, b IR une fonction qui vérifie : 1) L’application définie par : x X , hx,. : t hx, t est décroissante sur I
2)
sup hx, t 0 xX
t
b Soit g : X a, b IK une application qui vérifie :
3) x X , g x,. : I IK ; t g x, t L
loc
I
u
4) M 0, u I , x X
g x, t dt M a
u
Alors l’intégrale
g x, t hx, t dt converge uniformément sur
X.
a
(VI.2.4) Théorème : Soit X , d un espace métrique et f : X a, b IK une fonction continue telle que l’intégrale u
f x, t dt converge uniformément sur X .
Alors l’application : X IK définie par
a
b
x X ,
x f x, t dt a
Est continue sur X .
Démonstration :
169
x h x
f x h, t f x, t dt a
T
f x h, t f x, t dt a
f x h, t dt
T
T
T
a
T
x h x f x h, t f x, t dt étant donné , on peut trouver un nombre
f x, t dt
f x h, t dt
f x, t dt
T
T 0 tel que, si T 0 T ,
f x, t dt . C’est la définition de
T
la convergence de l’intégrale. La convergence étant uniforme, ce même nombre
T
0
(fonction de )
permet d’assurer aussi l’inégalité
f x h, t dt .Il ne dépend pas de h . T ayant ainsi une valeur
T
fixée, indépendante de h , on peut choisir h assez petit pour que T
f x h, t f x, t dt (Continuité des intégrales non généralisées). a
On a finalement, pour un choix convenable de h , x h x 3 ce qui prouve la continuité de x .
(VI.2.5) Théorème : Soit f : , a, b IK une application telle que l’intégrale
u
f x, t dt converge uniformément sur a
, .
. Alors l’intégrale
b
a
f x, t dxdt est convergente et on a
b b a f x, t dt dx a f x, t dxdt
Démonstration : T T x dx f x , t dt dx f x , t dt f x , t dt dx f x , t dt dx f x , t dt dx a a T a T D’après le théorème sur l’intégration sous le signe des intégrales non généralisées, le premier terme du second membre s’écrit aussi f x, t dx dt . On veut démontrer qu’il tend vers le premier membre T
lorsque T . Il suffit pour cela de montrer que f x, t dt dx tend vers 0. T
Etant donné , on peut trouver un nombre
T
0
indépendant de x tel que
f x, t dt .
T
On a donc f x, t dt dx T
f x, t dt dx .
T
170
Cette quantité est arbitrairement petite, d’où le résultat.
(VI.2.6) Théorème : Soit f : X a, b IK une fonction continue telle que : f 1) la dérivée partielle première est définie et continue sur X a, b x u
2)
f x, t dt converge simplement sur X a
u
3)
f
x x, t dt converge uniformément sur X . a
Alors la fonction : X IK définie par b
x f x, t dt
x X ,
a
Est dérivable sur X et on a f x, t dt x a
b
x X ,
' x
b b f d En d’autres termes f x, t dt x, t dt dx a a x
Démonstration :
Considérons l’intégrale
f
x x x, t dt . Elle existe par hypothèse, et converge uniformément par 1
a
rapport à x . On peut donc, d’après le théorème ci-dessus qui vient d’être démontré, intégrer écrire : f . 1x dx x, t dxdt f , t f x0 , t dt x a x a x0 0
Par hypothèse
f x0 , t dt existe. Donc
a
x et 1
f , t dt existe pour tout (dans un intervalle convenable), et a
a
a
x dx f , t dt f x , t dt . 1
x0
0
x étant continue, le premier membre est une fonction dérivable, qui admet pour dérivée. On 1
1
a donc
1 x
f , t dt . a
Comme par hypothèse
f 1 x x x, t dt , a
La règle de dérivation est établie. 171
(VI.3) APPLICATIONS (VI.3.A) LES FONCTIONS SPECIALES LA FONCTION GAMMA : Soit l’intégrale généralisée dépendant du paramètre x définie par : x IR , x
t
e t
*
x 1
dt
0
(VI.3.A.1) Théorème : La fonction définie ci-dessus est de classe n IN *, x IR , *
C IR , IR et on a :
*
t x 1 x e ln t t dt
n
n
0
(VI.3.A.2) Quelques formules : Par intégration par parties, on trouve
x IR , x *
t
e t
x 1
dt
0
t x
e t x
t
e t
x
dt
0
t 0
On en déduit que : x 1 x …………………………………………….(1)
Sachant que 1 1 et en utilisant la formule (1), on trouve que : 2 1 1 11 1! 3 2 1 22 2! ………………………….. n IN *, n n 1! …………………………………….(2) Dans l’intégrale , en posant t r ² , on trouve :
x 2 e
r ²
r
2 x 1
dr …………………………………………..(3)
0
Sachant que l’intégrale de Gauss vaut : r ² 0 e dr 2 172
Dans la formule (3) en prenant x
1 , on a : 2
1 ………………………………………..………………………..(4) 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ………………………………… 1 1 3 5 .........2n 1 n IN , n …………………..……….(5) n 2 2 (VI.3.A.3) Formule des compléments : x : 0 x 1; x 1 x
x : 0 x 1; x 1 x
sin p
t
………………………………….….(6)
p 1
1 t dt
……………………………….…….(7)
0
(VI.3.B) LA FONCTION bêta : Soit l’intégrale généralisée dépendant des deux paramètres p et q définie par : p, q IR ²,
1
p, q t
*
p 1
1t
q 1
dt …………………………………..……..(8)
0
En posant t sin ² dans la formule (8), on a : p, q
IR ², *
1
p, q 2 sin
2 p 1
2 q 1
cos
d ….….………………..……..(9)
0
(VI.3.B.1) Théorème : p, q
IR ², *
p, q
p q …………………………………………..(10) p q
(VI.3.B) LES TRANSFORMATIONS DE LAPLACE (VI.3.B.1) Définition : 173
Soit f t une fonction réelle de la variable réelle t définie pour t 0 . Dans le cas où la fonction f t est définie pour tout t , on posera f t 0 pour t 0 . On supposera en outre que f t est continue par morceaux sur l’intervalle 0, . Pour assurer la convergence de quelques intégrales, on supposera l’existence de deux constantes réelles M 0 et x0 telles que f t M ex0 , t 0, …………………..(*) t
On appellera abscisse de convergence de la fonction f t la plus petite valeur possible de x0 vérifiant (*). Soit F p l’intégrale généralisée dépendant du paramètre complexe p a ib définie par F p F p est convergente simplement pour a
pt
e
f t dt
0
x. 0
(VI.3.B.2) Définition : On appelle transformée de Laplace ou image de f t la fonction F p définie précédemment, alors que f t est appelée l’original de F p et on écrit : f t F p ou F p L f t (resp. L
1
F p f t ).
(VI.3.B.3) Propriétés : 1. Linéarité : Soient f t F p et g t G p . Alors pour tout , IK on a f t g t F p G p
1 p F , pour tout a 0 . a a
2. f at 3.
e f t F p c, ct
Ré p c
4. f ' t pF p f 0 f ' ' t p² F p pf 0 f ' 0 ………………………………….. f t p F p p n
n
t
5.
f d 0
6. t
n
n!
n 1
f 0
x
p
0
n2
f ' 0 ........
F p p
1
p
n 1
F p 7. t f t 1 d dp n
n
n
n
174
f
n 1
0
t
f g t d F p G p
8.
0
f 0 lim pF p p
lim f t lim pF p t
p 0
f t dt F p
0
0
0
f t dt t
F p dp 0
d nF p t f t dt 1 n d p
n 1
n
0
t
e
f t dt
0
F p
0
0
TABLEAU f t
N°
F p
pt
e
f t dt
0
1.
1
2.
sin at
3.
cosat
1 p a p² a² p p² a² 1 pa a p² a² p p² a² a p ² a² p p ² a²
at
4.
e
5.
shat
6.
chat t
sin at
t
cosat
7.
e
8.
e
175
9.
n
t
n!
10
t sin at
11.
t cosat
p
2 pa p ² a ² ² p² a² p ² a ² ² 1 p a ²
at
12.
te
13.
t f t
n 1
1 dd F p p
n
n
n
n
14.
F p G p
t
f * g t f g t d 0
15.
t
16
1
1
p
, 1
p
1 t
(VI.3.C) LES TRANSFORMATIONS DE FOURIER (VI.3.C.1) Rappel : Soit f t une fonction réelle définie sur IR telle que f t et f ' t soient continues par morceaux sur tout
intervalle fini de IR et
f t dt . Alors :
En chaque point de continuité de la fonction f t , on a : f t F
1 2 1
F e
it
d
(Formule inverse)
f t e
it
(1)
(Formule directe) (2) dt 2 Aux points de discontinuités de fonction f t , il est nécessaire de remplacer f t par la valeur moyenne f t 0 f t 0 . 2 F est appelée la transformée de Fourier de la fonction f t et est notée aussi : fˆ . Par contre f t est appelée la transformée de Fourier inverse de F . (VI.3.C.2) Cas des fonctions paires : Si la fonction f t est paire, alors les deux formules (1) et (2) deviendront :
176
f t
2
F
2
F cost d
(Formule inverse)
(3)
0
f t cost dt
(Formule directe)
(4)
0
(VI.3.C.3) Cas des fonctions impaires : Si la fonction f t est impaire, alors les deux formules (1) et (2) deviendront : f t
2
F
2
F sint d
(Formule inverse)
(5)
0
f t sint dt
(Formule directe)
(6)
0
( VI.3.C.4) Propriétés : Supposons que f t et g t sont deux fonctions qui admettent des transformées de Fourier F et G respectivement. Alors :
(1)
Linéarité :
f g = F G , d f t i F , dt n
, IK
n
(2)
(3)
Dérivation :
n
Multiplication par un exponentiel :
e
n IN *
i 0t
f t e F
f t F 0
i
(4)
Signal retardé :
(5)
Produit de convolution : On appelle produit de convolution de f t et g t , la fonction ht définie par :
0
ht f g t
f g t d
ht F .G
THEOREME :
(6) Identité de Parseval :
1 f ²t dt 2
F ²d
177
Université de M’sila
EXAMEN FINAL, Janvier 2017
EXERCICE N°1 : Etudier la convergence (et la convergence absolue si nécessaire) de chacune des séries numériques suivantes :
1
1.
n 1
n 3 2 n 1
n ln n
n
n
2.
n² n
nn!
3.
n 1
n 0
EXERCICE N°2 : Soit la série de fonctions
f x 1 x x , n 1
n
n
x 0,1 .
n 1
f x sur l’intervalle 0,1 .
1. Etudier la convergence simple de la série de fonctions
n 1
2. Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions
f x sur l’intervalle 0,1 .
n 1
3. Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions n 1
avec a 1.
EXERCICE N°3 : Soit la série entière
n
S x x 2 n 0
n
.
1. Trouver son domaine de convergence. Conclusion ? 2. Calculer S x . n 1
3. Calculer la somme de la série nxn . n 1
2
4. En déduire la somme de la série numérique :
n 1
178
n n
2
n
.
n
f x sur l’intervalle 0, a , n
SOLUTION EXO I :
1 1. La série numérique
n
est une série alternée avec
a
1
, en appliquant le critère n² n n² n spécial des séries alternées, pour que cette série converge, il suffit que la suite an tend vers 0 par décroissance. 1 Remarquons que la fonction f : x définie sur 1, est dérivable, x² x 1 3 1 1 2x 1 2 f ' x x² x ' 2 x 1 x² x 2 0, x 1, 3 2 2 2 n 1
n
x² x
1 f est décroissante sur l’intervalle 1, et par conséquent la série
n
Donc la fonction
n 1
convergente.
1
n² n
est
n
La série
n 1
1
n² n
1
1 est équivalente à la série harmonique divergente , donc la série n² n n 1 n
n 1
n
n² n
n 1
ne converge pas absolument.
1 En résumé, la série
n
n 1
n² n
est semi-convergente.
u n1 n! 1 1 n 1! n u n La série n est divergente.
n
n 1
n 1
n
n
n 0
n
n
, avec u n . n! n!
2. Appliquons la règle de D’Alembert à la série n
n
n
1 lim u lim 1 u n n 1
n
n
e 1.
n
n
n 0
n!
n 3 , en utilisant le critère de Cauchy, on trouve : 3. Le terme général est u 2n 1 3 3 1 1 1 n n 3 1 n exp ln n ln u 1 2 1 1 2n 1 2 1 2n 2n n ln n
n
ln n
ln n
n
n
179
1 3 9 1 1 3 1 exp ln n ln 2 ln 1 ln 1 exp ln n ln 2 o n 2n² 2n 8n² n 2n n ² 5 35 1 exp ln n ln 2 o . 2n 8n² n ² 5 35 1 n exp ln n ln 2 o 0 1 u lim lim n 2n 8n² n ² n n
n 3 2n 1
n ln n
La série
est donc convergente.
n 1
Remarque : Dans 2. et 3. comme les séries données sont à termes positifs la convergence est identique à la convergence absolue.
EXO II : 1. Pour x 0 ou x 1, f 0 f 1 0 S n 0 S n 1 0 lim S n 0 lim S n 1 S 0 S 1 0 , n
n
n
n
la série de fonctions
f x est convergente absolument (et simplement) aux points x 0 et x 1. n
n 1
Supposons que x 0,1 : Méthode 1 : En appliquant le critère de D’Alembert, on trouve : n 1 f n1 x 1 x x lim n x 1 lim n f n x n x 1 x
La série converge absolument (donc simplement) sur l’intervalle 0,1 . Méthode 2 : On peut écrire
n 1
n 1
n f nx 1 x x qui est une série géométrique de premier terme
x1 x , de raison x . Elle converge absolument (donc simplement) si et seulement si x x 1 . Comme x 0,1 , la condition de convergence est vérifiée. En outre, sa somme est donnée par :
0 si x 0 ou x 1
S x 1 x x x 1 x
si x 0,1
En résumé, la série
f x converge simplement et absolument sur l’intervalle 0,1 . n
n 1
2. Méthode 1 : Etant donné que : (i) la suite de fonctions f x est continue sur l’intervalle 0,1
n
180
(ii) La fonction somme x S x n’est pas continue au point x 1, car lim S x lim x 1 S 1 0 x 1, x 1
x 1, x 1
Alors la convergence ne peut être uniforme sur l’intervalle 0,1 . Méthode 2 :
1 On considère la suite des points xn 1 ; n IN * , il est évident que xn 0,1 . n
k n 1 n2 n 3 n 1 n ... n 1 Rn x 1 x x 1 xx x x ........ 1 x x 1 x x² .... x x
k n 1
n 1
1 R x x 1 e 0 . n Il existe donc une suite xn telle que R x ne converge pas vers zéro, et par conséquent la n 1
n
n
1
n
n
n
n
convergence ne peut-être uniforme sur l’intervalle 0,1 . On remarquera aussi que sup R x sup x x0,1 x 0 ,1
n 1
1 ne converge pas vers 0 lorsque n et par
n
conséquent la convergence ne peut pas être uniforme sur l’intervalle 0,1 . 3. Méthode 1 : Supposons que x 0, a, a 1. On a : n IN *, x 0, a :
f x 1 x x a n
n
n
. Comme la série géométrique
f x converge normalement donc n
Méthode 2 : Supposons que x 0, a, a 1. Alors x 0, a, n IN * : n 1
est convergente
n 1
uniformément) sur l’intervalle 0, a, a 1 .
a
n
n 1
(car de raison a 1 ), il découle que la série de fonctions
Comme la suite numérique géométrique
a
R x x
n 1
n
a
n 1
tend vers 0 lorsque n , alors la suite des restes
.
R x converge uniformément vers 0 sur l’intervalle 0, a, a 1 et par conséquent la convergence de la série de fonctions f x est uniforme sur ce même intervalle. n
n 1
n
EXO III : 1. Calcul du rayon de convergence : On a
a
n
1 n
, donc
2
181
lim a a n
n 1
lim 2 2
n
2.
n
n
n 1
1
1 2. 1 n n n an 2 2,2 , divergente à l’extérieur de
On pourra aussi utiliser la règle D’Hadamard : lim
I
La série entière est absolument convergente dans
lim
(divergente pour tout x ,2 2, ou x 2 ). Aux deux extrémités x 2 , la série numérique
I
1 est divergente car son terme général ne tend n
n 0
pas vers 0. Le domaine de convergence est l’intervalle ouvert :
I 2,2 .
n
x est une série géométrique de premier terme 1, de raison 2 x r . Elle converge absolument dans I , en outre : 2
2. Calcul de S x : Remarquons que
n 0
n
x 2
x I : S x n 0
1
1
x 2
2 . 2 x
n 1
3. Calcul de la somme de la série nx : 2 x La série entière est dérivable terme à terme dans I et on a : 2 2 2 x I : S ' x nx ' 2 2 x 2 x ² 2 1. La fonction S ' x est continue sur I En particulier pour x 1, on a : 2 x ² n
n 1
n
n 0
n 1
lim S ' x lim x 1
n 1
x 1
n 1
n
nx
n 1
n
2
n 1
n n
2
S ' 1 2 .
Université de M’sila
Examen final, Janvier 2018
Exercice 1 182
a) Question de cours : On considère deux séries numériques
a et b n
n 0
1) Donner le terme général
c
n
n 0
n
.
du produit de Cauchy
c n 0
n
de ces deux séries. Enoncer le principal
résultat du cours de ce produit de Cauchy.
1 , pour tout n IN . Calculer n
2) Application : On considère a n bn
n
2
somme de la série cn . n 0
b) On considère la série :
1 n
c
n
et déterminer la
n² 1 n .
n0
b.1) Montrer qu’elle est convergente. On note S sa somme. b.2) Est-elle absolument convergente ? Justifier votre réponse. b.3) Soit S 49 la somme des 50 premiers termes de la série. Majorer l’erreur d’approximation S S 49
Exercice 2 Soit l’application
f
n
définie pour tout n IN par
x
n
x x e
f : 0, IR;
n!
n
.
n
n On donne la formule de Stirling : n! e
2n .
(a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions
n0
n
n 0
f x ;
n
f x sur D et
(b) 1) Etudier la convergence simple de la série de fonctions calculer sa somme. S x
f sur D 0, ;
n
f x sur D ;
2) Etudier la convergence normale de la série de fonctions
n
n 0
3) Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions
f x sur D . n
n 0
Exercice 3
1 x n
(a) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière n 0
2n
2n 12n 2
.
Que se passe t-il si x R ?
(b) Calculer pour tout réel x : x R sa somme S x n 0
1 x n
2n
2n 12n 2
.
(Effectuer une décomposition en éléments simples et utiliser les données :
1 x
n 0
n
2 n 1
2n 1
1 x Arc tanx et
n 0
n
n 1
183
n 1
ln 1 x ).
1
n
(c) En déduire la valeur de la série numérique n 0
2n 12n 2
.
Exercice 4
x Soit f la fonction périodique de période 2 définie par f x cos , x , . 2 1) Tracer le graphe de f sur l’intervalle 3 ,3 . 2) Calculer les coefficients de Fourier de f . 3) Donner le DSF de f . Est-ce que f est égale à la somme de son DSF ? Justifier.
1 En déduire la somme
n 1
4)
n 1
4n ² 1
. et
1
4n² 1. n 1
SOLUTION Exercice 1 a) 1) On considère deux séries numériques
a et b n 0
n
n 0
de ces deux séries est donnée par :
184
n
. Le terme général
c
n
du produit de Cauchy
n
cn ak bnk a0 bn a1 bn1 a2 bn2 .............. an1 b1 an b0 k 0
a et b sont absolument convergentes, alors la série c l’est aussi. *.Si l’une des deux séries a et b est absolument convergente et l’autre convergente alors la série produit est convergente et on a : a b c *. Si les deux séries
n
n 0
n
n 0
n
n 0
n 0
n
n 0
n
n0
2)
a n 0
n
n
n
n0
n
n0
est une série géométrique de raison égale à
1 1 1 et comme 1 , alors elle converge 2 2 2 n
1 a b 2
absolument, sa somme est
n
n0
n0
n
nk
k
n
n
nk
k
k 0
a n bn c n n0 n0 n0 n0
2 . 3 n
1 2 n
k 0
D’où :
1 2
1
n0
1 1 Par ailleurs, c a b 2 2 n
1
1 1 1 n 1 n
n
n
n
2
k 0
n
2
k 0
1 n 1 2 2 4 . n
n
3
2
3
9
b) 1) On multipliant par le conjugué on obtient :
1 n² 1 n n²11 n 1 a , n
n
n
n
La série est alternée,
lim a
n
a
n
1
n² 1 n
0, n IN
0 . Puis :
n
n 1² 1 n 1 Donc la suite
n 1² 1 n 1
1 n² 1 n
an , n IN
a est décroissante ; d’après le critère spécial des séries alternées elle est convergente. n
1 n² 1 n n
2) On a :
1
n² 1 n an 1
Or la série harmonique
1
n
1 n² 1 n
1 2n
est divergente, d’où découle que la série donnée ne converge pas
n 1
absolument (elle est semi convergente). S S 49
3)
R
50
a50
1 50² 1 50
1 10²
2
L’erreur d’approximation est inférieure à10 . Exercice 2 a) Etude de la convergence simple de la suite de fonctions
lim f x 0, n
n
x D . La suite de fonctions
fonction nulle.
185
f :
f converge simplement sur D vers la n
n
Etude de la convergence uniforme de la suite de fonctions
f : n
n x e La suite de fonctions f est de classe C D : f x x n! On peut alors dresser le tableau de variations de f : n 1
x
'
1
n
n
, x D .
n
x
0
f ' x f x
n 0
+
-
n
n
f n
0
n
0
Et affirmer que : n
1 f n sup f x f n nn! e 2n 0 On en déduit que la suite de fonctions f converge uniformément sur D vers la fonction nulle. n
n
xD
n
n
n
b) 1) Etude de la convergence simple de
f x et calcul de sa somme: n 0
n
Appliquons la règle de D’Alembert à cette série, on obtient :
f n 1x lim x e n! x lim 1 0, x IR lim n 1! x e n 1 f n x La série de fonctions f x est convergente simplement sur IR (donc sur D ). n 1
x
n
n
x
n
n 0
n
n
S x
Soit S x sa somme, alors x D,
n0
f x e
x
n
f x :
2) Etude de la convergence normale de
n 0
Donc la série numérique
fn n 1
fn
f n nn! e n
n
1 2
n 1
1 1 ), par conséquent la série de fonctions 2
3) Etude de la convergence uniforme de
n0
n
n!
x
e e 1. x
n
n
On a vu dans la question a) que
x
1
1 2n
.
qui est divergente (série de Riemann
n
f x ne converge pas normalement sur D . f x : n 0
n 0
n
n
Si on supposera que la série converge uniformément sur D , alors par passage à la limite on obtiendra : lim f x lim f x x n 0
n
n 0 x
n
C'est-à-dire que 1 0 , ce qui est absurde. La convergence n’est pas uniforme sur D . Exercice 3 186
1 x n
a)
1
n 1
2n
x
2n2
u x 2n 12n 2 , u x 2n 32n 4 n 1
n
On utilise le critère de D’Alembert : 1 u n 1 x 1 x 2n 12n 2 x ² lim lim lim 2n 2n 32n 4 n n n un x 1 1 n x La série entière donnée converge absolument si x 1 , diverge pour x 1 .
n 1
2n2
1 1 2n 3 1 2n
1 n x ² 1, 2 n
Donc son rayon de convergence est R 1 . 1 1 1 Si x 1 x 1, u n 1 . La série de Riemann est 2n 12n 3 4n² n 1 n ² convergente, car 2 1) donc la série converge aux extrémités x R . Sur l’intervalle 0,1 (resp. 1,0) la série entière donnée est uniformément convergente, donc sa somme est continue sur 0,1 (resp. 1,0). b) On effectuera la décomposition suivante : 1 1 1 2n 12n 2 2n 1 2n 2 Pour tout x 1,1, on a :
1 x n
2n
1 1 1 x 2n 1 2n 2 n 0 2n 12n 2 n 0 n 0 Pour tout x 1,1 0, on a : n
2n
1 x n
2n 1 Pour tout x 1,1 0, on a : n 0
1 x n
n 0
D’où
c)
2n 2
2n
2n
1 x n 0
1 2 x² n 0
n
n
2n 1
2 n 1
2n 1
1 x² n
1 x
n 0
n
2n 2
Arc tanx x
n 1
n 1
2n
ln 1 x ² 2 x²
Arc tanx ln 1 x ² si x 1,1 0 x 2 x² S x 1 si x0 2
1
n
Arc tanx ln 1 x² ln 2 .. x 2 x² 4 2
2n 12n 2 S 1 lim S x lim n 0
1 x
1 x
x 1
x 1
Exercice 4 1)
187
2n
x x 2) x , , x , et f x cos cos f x . 2 2 La fonction f est paire, et par conséquent on a : bn f 0, n 1 .
x 2 4 x a f cos 2 dx sin 2
0
0
Pour tout
n1,
4
.
0
1 x x x an f cos 2 cosnxdx cos 2n 1 2 cos 2n 1 2 dx 0 0
2
2 x x 1 2 sin 2 n 1 sin 2 n 1 2n 1 2n 1 2 2 2 1 1 2 sin 2n 1 sin 2n 1 2n 1 2 2n 1 2
3) Le DSF de la fonction f est : S f x
1
2
4
0
cosn cosn 4 1 . 2n 1 2n 1 4n² 1
1
n 1
n 1
n 1
4n ² 1
cosnx
n 1
*.
4n ² 1
cos nx
1 1 , n IN *, x IR 4n ² 1 n ² 1 est convergente. n 1 n ²
*. La série de Riemann
1 Donc
n 1
cosnx converge normalement (donc uniformément) sur IR . 4n ² 1 Par conséquent, f est égale à la somme de son DSF : n 1
x 2 4 1 cos cosnx 2 n 1 4n² 1 n 1
x , ,
4) Pour x 0 , on obtient : 1
2
4
1
n 1
1
n 1
2 1 1 . 4 4 2
n 1 4n² 1 n 1 4n ² 1 2 4 1 1 1 . Pour x , on obtient : 0 n 1 4n² 1 n 1 4n² 1 2
188
Université de M’sila
Examen de rattrapage, Mars 2018
Exercice 1 (5 points) a) Donner la nature de la série numérique suivante :
n 1 . n 1 n 1
n
b) Etudier la convergence et la convergence absolue de la série numérique: cas de convergence calculer sa somme S n 2
Exercice 2
1 ln nn 11 . n
(5 points)
Soit f la fonction définie par f : IR IR;
nx
x 1 e n² 1
n 0
n
(a) Quel est le domaine de définition de la fonction f ? (b) Montrer que f est continue sur . © La fonction f est-elle dérivable sur ? Justifier votre réponse. 189
1 ln n 1 . En n
n 2
n 1
Exercice 3 (5 points) Soit f la fonction définie sur l’intervalle 1,1 par : f x
Arc sin x 1 x²
.
(d) Justifier que f est D.S.E sur l’intervalle 1,1 . (e) Montrer que f est solution de l’équation différentielle suivante : 1 x² y' xy 1 © Déterminer le D.S.E de f sur l’intervalle 1,1 . Exercice 4 (5 points) Donner le développement en série de Fourier (D.S.F) de la fonction 2 périodique , définie sur l’intervalle 0,2 par : f x e , avec a 0 (On utilisera les coefficients de Fourier cn f ). ax
a 1 a . En déduire et trouver lim . a n 1 a ² n ² n 1 a ² n ² n 1 n ²
En utilisant l’égalité de Perceval calculer
SOLUTION Exercice 1
a)
un n
1 n
1 n
n1 1 1 1 exp 1 ln1 1 1 n 1 1 n n n 1 n n
11 1 1 1 1 1 1 1 1 exp o 1 exp o 1 1 o 1 o . n² n² n ² n² n² n² n² n n 2n ²
Comme la série de Riemann
1
n² est
convergente ( 2 1 ) alors la série donnée est aussi
n 1
convergente. b) On applique le critère spécial des séries alternées, on peut écrire la série donnée sous la forme n n 1 suivante : 1 an avec an ln 0, n 2 . n 1 n 2 1 1 n 1 n0 lim ln lim ln a lim n 1 n 1 n n n 1 n
190
x 1 La fonction x ln est dérivable sur l’intervalle 2, de dérivée : x 1 x 1 1 1 2 ln x 1 ' ln x 1 ln x 1' x 1 x 1 x 1x 1 0
Donc cette fonction est décroissante, et en particulier la suite an est aussi décroissante. Il découle d’après le critère spécial des séries alternées que la série donnée est convergente. Etudions la convergence absolue de cette série. 1 1 n n 1 n 1 n ln 1 1 ln 1 1 On a : 1 ln an . Or an ln ln 1 n 1 n 2 n 1 n n n2 1 n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . o o o n 2n ² n ² n 2n ² n² n n² n 1 Comme la série harmonique est divergente, il découle que la série en question ne converge pas n 1 n absolument, donc elle est semi convergente.
Calcul de la somme : N N N n n n n n 1 N ln ln n 1 ln n 1 ln n 1 1 n 1 1 1 1 lnn 1 SN n2 n2 n2 n2 On effectuera deux changements d’indice le premier dans la première somme partielle : n 1 k ' , n 2 k ' 3 et n N k ' N 1 ,
1 N
n
n2
N 1
ln n 1
k '3
1
k ' 1
N 1
ln k '
k '3
1
k ' 1
ln k '
1
N 1
ln N
1 lnN 1 N
puis le deuxième changement dans la deuxième somme partielle : n 1 k ' ' , n 2 k ' ' 1 et n N k ' ' N 1 ;
1 N
1 1 ln k ' ' ln 2 1 ln k ' 1 ln N 1 ln N 1 1 ln k ' ' ln 2 1 ln 2 1 ln N 1 1 ln N ln 2 1 ln 1 N n
n2
N 1
ln n 1
k '' 1
k ' 1
N 1
k ''1
N 1
S S
N
k '' 1
k '3
N 1
N
k '3
k '' 1
k '3
N
N
N 1
ln k ' '
N
N
Car les deux sommes sont égales, donc se simplifient, et par passage à la limite quand N , on obtient : S lim S N ln 2 . N
Exercice 2 a) Le domaine de définition de la fonction f est égal au domaine de convergence simple de la série de nx
fonctions 1 e . n² 1
n
n 0
Etude de la convergence simple : On applique la règle de D’Alembert, et on a :
191
1
n 1 x 1 x n² 1 x u e n² n 1 lim lim nx e lim 2 2 n 1² 1 e n n n u n x 1 x
Si x 0 , alors e
n 1 et donc la série est absolument convergente.
x
e
n²
x
Si x 0 , alors e 1 et donc la série est divergente.
Si x 0 , alors 1 et la règle de D’Alembert ne permet pas de conclure. Or en ce point, la série
1 est absolument convergente car 1 numérique n 0
n
n
n² 1
n² 1
1 1 qui est le terme général d’une n² 1 n²
série de Riemann convergente. Remarque : Le même résultat est obtenu en appliquant la règle de Cauchy ou C.S.S.A. En résumé, la fonction f est définie sur 0, . b) Etude de la convergence uniforme : nx
On voit que pour tout n IN * et pour tout x :
1 1 u x ne² 1 n² 1 n² . n
nx
n 1 D’autre part la série de Riemann est convergente, donc la série 1 e est normalement n² 1 n 1 n ² n 0 (donc uniformément) convergente sur . nx n e sont continues sur , on en déduit que la fonction somme Comme la suite de fonctions 1 n 1
nx
f x 1 e est continue sur . n² 1
n
n 0
Remarque : On peut considérer que la série (qui est convergente absolument) est alternée et que son reste tend uniformément vers 0 et on en déduit que la série est uniformément convergente sur . c) Etude de la dérivabilité : nx n e est de classe 1 sur , et on a : *. La suite de fonctions 1 C n² 1
n IN , x ,
n
u x 1
**. La série de fonctions
u x 1
n 1
'
'
n 1
nx
ne
n² 1 nx
ne
est absolument convergente (en appliquant par n² 1 exemple la règle de Cauchy) sur , comme elle est alternée, on peut majorer son reste par le premier terme négligé : n 0
n
n 0
n 1 x
x , n IN : 0
e
R x n 1² 1 n² 2n 2 0 sup R x n² 2n 2 1
n
1
x
192
n
Par passage à la limite lorsque n , on voit que lim n
dérivée
Rn
0 , ce qui revient à dire que la série
u x est uniformément convergente sur . n 0
'
n
nx
***. La série 1 e converge simplement n² 1
n
en tout point de
n 0
On en déduit que la fonction somme f x n 0
x ,
f ' x n 0
Exercice 3
u
(a) La fonction
x
1 x²
1 2
1u
1 2
nx
1 ne² 1 est dérivable sur et que : n
1
n 1
nx
ne
n² 1
est D.S.E pour u 1 , donc par substitution la fonction
est aussi D.S.E pour x ² 1 c'est-à-dire aussi pour x 1 .
La fonction x Arc sin x (qui admet pour dérivée la fonction D.S.E x
1 x²
1 2
)est elle
aussi D.S.E pour x 1 (Intégration d’un D.S.E). Finalement comme produit de deux fonctions D.S.E, la fonction f est D.S.E pour x 1 .
1 x² .Arc sin x est dérivable, de dérivée : 1 f ' x 2 x 1 x² . Arc sin x 1 x² 2 1 1 xf x 1 x 1 x² . Arc sin x 1 1 x² 1 x²
(b) Pour tout x 1,1 , la fonction f x
x 1,1,
On en déduit que :
1 2
3 2
1
1 2
1 x² f ' x xf x 1 1 x² f ' x xf x 1
(1)
© On pose :
f x an x
n
n 0
Où
a x n 0
n
n
est une série entière réelle de rayon de convergence 0 .
Elle est dérivable sur son domaine de convergence et on a :
f ' x nan x
n 1
n 1
En substituant dans l’équation différentielle, on obtient pour tout x 1,1 :
n 1
n 0
1 x² nan xn1 x an xn 1 Ou
na x n 1
n
n 1
nan x n 1
n 1
an x n 0
193
n 1
1
(2)
On effectue un changement d’indice dans la première série du membre gauche de l’égalité précédente, on pose : k n 1, n 1 k 0, n k
na x
n 1
n
n 1
k 1 ak 1 x
k
k 0
On effectue un changement d’indice dans la deuxième et la troisième série du membre gauche de l’égalité précédente, on pose : k n 1, n 1 k 2, n k
na x
n 1
n
n 1
a x
n 1
n
n 0
k 2
k 1a
ak 1 x
k 1
x
k
k
k 1
L’équation (2) devient :
k 1a x
k 1a x a 2 a x² k 1a x k 1a x a a a x 2 a x² k 1a k a x 1
k
k 1
k 0
k
k 1
k 2
1
2
k 1
0
2
(3)
k 1
k
k 1
k 2
1
k
k
k 2
ak 1 x 1
k 2
x a k
k 1
0
x 1
(4)
k
k 1
k 1
k 2
Par identification, on obtient : a0 0 , a1 1 , a2 0
k 2,
k 1ak 1 k ak 1 0
k k 1 ak 1 2 2p 2p 2 Si k 2 p, a2 p 1 , a2 p 1 , …………, a3 a1 a a 2 p 1 2 p 3 3 2 p 1 2 p 1 1 2 p 1 2 p 1 Si k 2 p 1, a2 p 2 , a2 p , …………, a2 a0 0 a a 2p 2 p 2 2 2p 2 2p k 2,
a
k 1
2
p p! 2p 2p 2 2 2 Si k 2 p, a2 p 1 ....... a1 2 p 1! 2 p 1 2 p 1 3 2 p 1 2 p 1 1 Si k 2 p 1, a2 p 2 ....... a0 0 2p 2 2p 2
f x p 0
2 p! x p
2
2 p 1!
2 p 1
, 1.
Exercice 4 Pour tout n Z , on a :
1 cn f 2
2
inx
e 0
1 f x dx 2
2
a in x
e 0
1 dx 2
2 a in x e
a in
194
0
1 2
a in 2
e
1
a in
2a
e
1
2 a in
2a
x 0,2 : Sf x e
1
2
inx
ae in
n
En utilisant l’égalité de parseval, on a :
e
2a
1 ²
1 2 n 4 ² a ² n ² 4a
2
0
1 f ²x dx 2
4a
2
e 1 e dx 4a 2 ax
0
e 1 1 1 1 e 1² a² n² 2a tha a 1 1 1 1 ² lim a² n² n² lim 2a tha a 6 1 a n a ² n ²
a 0
2 a
n 1
n 1
n 1
a 0
195
Donc
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196