Introduction Finance de Marché [PDF]

Zitiervorschau

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Introduction Le système financier désigne l’ensemble des institutions et agents qui permettent à certaines unités économiques, au cours d’une période, de dépenser plus qu’elles ne gagnent, et à d’autres de trouver un emploi à l’excédent de revenu sur les dépenses. Les agents à besoin de ressources externes les collectent par émission de titres et recours au crédit ; les agents à excédent de ressources les prêtent et augmentent ainsi leur patrimoine financier et monétaire. Les agents à besoin de financement sont souvent appelés emprunteurs ultimes. Pour pouvoir investir davantage que ne le leur permet l’épargne brute, ils vont collecter des ressources externes grâce à l’émission des titres primaires (cette notion recouvre aussi bien des titres négociables comme les actions cotées, les obligations ou les billets de trésorerie que des titres non négociables comme les dotations en capital des entreprises publiques, les crédits à la consommation obtenus par les ménages ou les crédits de trésorerie aux entreprises. En bref, les titres primaires désignent « l’ensemble de toutes les dettes et de toutes les actions émises par les agents non financier » (Gurley et Shaw, 1960). Les titres primaires peuvent être vendus directement aux agents à capacité de financement, qualifiés de prêteurs ultimes. Ils peuvent aussi être vendus à des intermédiaires financiers, agents spécialisés dans l’achat et la gestion de ces titres et ces intermédiaires financiers empruntent leurs ressources auprès des prêteurs ultimes. Le premier processus est celui de la finance directe alors que le second est celui de la finance indirecte.

Marché financier

Pourvoyeurs de fonds ou prêteurs ultimes

Demandeurs de fonds ou emprunteurs ultimes

Intermédiaires financiers

On parle de finance directe lorsque le titre primaire émis par l’emprunteur ultime est acheté par un prêteur ultime. Ainsi, une entreprise peut émettre des actions nouvelles pour accroître son capital. L’Etat peut aussi vendre des bons du trésor pour financer son déficit budgétaire. A l’issue d’une opération de finance directe, le prêteur transforme son épargne en actif portant rémunération et l’émetteur du titre dispose de monnaie qu’il utilisera à l’acquisition d’actifs physique. Le titre primaire représente une dette de l’emprunteur et est donc soumis à remboursement. Dans le cas des actions ou des obligations, le versement des intérêts ou dividendes et le remboursement du principal dépendent de la capacité et volonté de l’emprunteur ultime d’y procéder. En ce sens, les titres primaires sont soumis au risque de défaut de paiement. Les opérations de la finance directe se déroulent sur le marché financier. Ce dernier est composé du marché primaire et du marché secondaire. Le marché primaire est celui sur lequel s’échange les titres émis au cours de la période, on parle encore de marché du neuf. Sur ce marché, se font des émissions d’actions destinée à renforcer les

2 fonds propres des entreprises. On a aussi des emprunts obligataires classiques dont l’objectif est de procurer des capitaux permanents au secteur public, parapublic et parfois privé. Le marché secondaire ou encore marché d’occasion est celui sur lequel se négocie les titres anciens. La négociabilité des titres représente pour le détenteur un avantage considérable, car elle lui permet de pouvoir faire face à un besoin de financement à venir en vendant le titre. De plus, comme le prix du titre négociable varie, le marché secondaire permet le développement d’opérations de spéculation, qui consiste à tenter de tirer avantage de l’écart entre le cours actuel du titre et son cours futur. Il est à noter que le marché secondaire ne permet pas de drainer une épargne nouvelle car l’émetteur du titre ne dispose d’aucune ressource nouvelle, seule se modifie l’identité du détenteur du titre primaire. Aussi, le marché secondaire permet de valoriser les titres déjà existants et indiquent à tout moment les conditions auxquelles peuvent être émis les titres nouveaux. Quelques produits financiers : Les produits rencontrés sur le marché financier sont : les dettes, les actions et les produits dérivés. Les titres de dette sont émis par quiconque a besoin d’argent : les entreprises, les Etats, les ménages. Les titres de dette encore appelés titres de créance sont aussi appelés titres à revenu fixe car ils versent généralement des intérêts fixes. Ces titres peuvent être classés par leur échéance. Le marché de la dette à court terme (moins d’un an) est appelé le marché monétaire, le marché pour la dette à long terme est appelé le marché obligataire (les titres de dette à long terme étant des obligations). Marché obligataire + marché d’actions = marché des capitaux. Les actions représentent les titres de propriétés d’une entreprise. Ces actions sont cotées, achetées et vendues sur les marchés d’actions. Elles peuvent aussi être échangées sur un marché de gré à gré. Une action donne est une part de la société, et chaque action donne droit à la même part de propriété sur les actifs de la société. La plupart du temps, chaque action donne droit à la même part du résultat (dividende), et bénéficie d’un droit de vote. Toutefois, les entreprises peuvent émettre des actions sans droit de vote, ou à droit de vote double. De même, certaines actions peuvent donner droit à une part plus importante, ou plus faible, du résultat. Les actions représentent une créance de dernier rang et un caractère de responsabilité limité. La responsabilité limitée signifie qu’en cas de faillite, si la revente des actifs n’est pas suffisante pour payer les créanciers, ces derniers ne peuvent pas demander aux actionnaires de combler la différence. Les produits dérivés ou produits de gestion des risques sont des titres financiers dont la valeur est liée à (dérive de) la valeur d’un ou plusieurs autres actifs (qu’on appelle sous-jacent), par exemple des actions, des titres à revenu fixe, des devises ou des matières premières. Leur principal intérêt est de servir d’outils de gestion du risque des actifs sous-jacents. Par exemple, un produit dérivé du dollar sert à gérer le risque de fluctuation du dollar. Les produits dérivés les plus courants sont : les options et les contrats à terme. Une option d’achat (ou call option) est un titre qui donne le droit mais pas l’obligation d’acheter un actif à un certain prix et à une certaine date (ou avant une certaine date). Une option de vente (ou put option) est un titre qui donne le droit mais pas l’obligation de vendre un actif à un certain prix et à une certaine date (ou avant une certaine date). L’avantage de l’option tient dans le droit qu’on se réserve d’agir ou de ne pas agir. Exemple : si je possède un actif et que j’achète une option de vente sur cet actif, j’assure cet actif contre la baisse : en effet, si la valeur de l’action baisse plus que le prix de vente fixé dans le contrat d’option, je ne perdrai pas d’argent à la vente, puisque le contrat d’option me garantit un prix.

3 Les contrats à terme sont des titres qui donnent l’obligation à un contractant d’acheter, et à l’autre contractant de vendre, un actif à un prix fixé et à une date fixée. Ces contrats permettent aux contractants d’éliminer l’incertitude sur le prix futur de l’actif. Si la finance consiste à étudier comment les individus allouent des ressources rares au fil du temps, force est de constater qu’elle repose essentiellement sur le risque (l’incertitude) et l’évaluation des actifs financiers. Ce cours qui s’intéresse à la finance de marché a donc pour objectif l’analyse du risque (la mesure du risque, le comportement des individus face au risque, le choix du porte feuille) et l’évaluation des actifs financiers (actions, obligations). Les principales articulations de cet enseignement sont les suivantes : Chapitre 1 : La décision financière en présence du risque (6h) 1. La définition du risque 2. L’espérance mathématique comme mesure du risque 3. L’espérance mathématique de l’utilité comme mesure du risque 4. Forme des fonctions d’utilité et attitudes des individus face au risque 5. La mesure du risque par l’approche espérance – variance Chapitre 2 : Principe de l’évaluation des actifs financiers (4h) 1. Relation entre la valeur d’un actif et son prix 2. La loi du prix unique et l’arbitrage 3. L’arbitrage et le prix des actifs financiers 4. Les mesures comptables de la valeur 5. L’intégration de l’information dans les cours boursiers et l’efficience des marchés Chapitre 3 : L’évaluation des obligations (4h) 1. L’utilisation de l’actualisation pour évaluer les titres à revenu fixe 2. L’évaluation des obligations à coupon zéro 3. Les obligations ordinaires, le rendement actuel et le rendement à l’échéance 4. La variation du rendement des obligations 5. Quelques obligations particulières Chapitre 4 : L’évaluation des actions (4h) 1. Le modèle d’évaluation mono périodique 2. Le modèle généralisé d’évaluation par les dividendes 3. Le modèle de Gordon – Shapiro Chapitre 5 : La théorie du portefeuille (6h) 1. Le rendement d’un titre pour la prochaine période 2. La constitution d’un portefeuille 3. Calcul de l’espérance mathématique et de la variance du taux de rendement d’un portefeuille (cas d’un portefeuille de 2 titres et généralisation à N titres) 4. La sélection de portefeuille et la construction de la frontière d’efficience Chapitre 6 : Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) (6h) 1. Présentation du MEDAF 2. Les fondements de la prime de risque du portefeuille de marché 3. Le bêta et les primes de risque des titres financiers 4. L’utilisation du MEDAF dans le choix de portefeuille 5. Le coût des capitaux propres et les taux d’actualisation normatifs 6. Le coût du capital

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Référence 1. Bodie Zvi et Merton Robert (2009) : Finance, 2ème éditions, Nouveaux Horizons 2. Damoradan Aswath (2002) : Investment Valuation : Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset, Second edition, Wiley Finance 3. Elton J. Edwin, Gruber J. Martin, Brown J. Stephen & Goetzman N. William (2003): Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 6th Edition, John Wiley & Sons, Inc. 4. Goffin Robert (2001): Principe de la Finance Moderne, 3ème edition, Economica 5. Mishkin Frederic (2008) : Monnaie, Banque et marchés financiers, 8ème édition, Nouveaux Horizon

5 Chapitre 1 : La décision financière en présence du risque (6h) Les décisions financières doivent prendre en compte des sommes futures (qui seront encaissées ou décaissées) dont le montant n’est pas connu avec certitude. On dit que ces sommes sont risquées. Le risque est donc un élément important de la finance moderne. Tous les modèles de la finance moderne se place en situation du risque. Il devient par conséquent indispensable de disposer au départ d’une définition du risque qui permette une approche quantitative, c'est-à-dire qui aboutisse à une mesure du risque. Toute fois, il est difficile de dissocier le risque de l’incertitude. L’incertitude est définie comme la caractéristique essentielle de situations où l’agent économique voit les conséquences des décisions qu’il prend dépendre des facteurs exogènes dont les états ne peuvent être prédits avec certitude. On se trouve en situation de risque lorsque l’incertitude peut être quantifiée. Ainsi, on peut dire qu’une somme est risquée si elle peut prendre différents montants possibles, chacun d’eux ayant une probabilité de réalisation. Ce qui signifie que chaque montant possible est connu et sa probabilité de réalisation est également connue. En d’autres termes, une somme est risquée si cette somme est une variable aléatoire dont on connait la distribution de probabilité. Exemple 1 : la recette prévisionnelle d’un commerçant X pour le mois prochain qui a deux montants possibles : 5000000 avec la probabilité 1/3 et 1000000 avec la probabilité 2/3 est une somme risquée. Montant recette 5 000 000 10 000 000

Probabilité 1/3 2/3

Exemple 2 : la recette prévisionnelle risquée d’un commerçant Y pour le mois prochain a une distribution normale d’espérance 100.0000 et d’écart type 25.000. il y a 95% de chances que son chiffre d’affaires soit compris entre 50000000 et 10000000. Le même raisonnement peut s’appliqué au taux de rendement d’un titre, au prix d’un actif, etc. La procédure qui permet d’établir la distribution de probabilité peut être objective ou subjective. Les procédures objectives obtiennent les distributions de probabilités à partir des séries chronologiques passées. Celles-ci fournit une estimation de la distribution de probabilité pour l’avenir. Comment décider face au risque ? 1. L’espérance mathématique des valeurs monétaires comme critère de décision face au risque Dans les décisions financières qu’il doit prendre, un individu doit, la plupart du temps, choisir entre des alternatives risquées. Pour cela, il doit être capable de classer des sommes risquées par ordre de préférence. Par exemple, comment choisir entre 3 projets d’investissement mutuellement exclusifs (c'est-à-dire qu’un seul projet peut être choisi) ? L’investissement initial est nul et les cash-flows nets risqués pendant 1 an sont dans les tableaux suivants :

Cash flow 80 120

Projet A Probabilité 0,5 0,5 E(A) = 100

Cash flow 50 160

Projet B Probabilité 0,5 0,5 E(B) = 105

Cash flow 30 200

Projet C Probabilité 0,5 0,5 E(C) = 115

6 Le critère de classement de ces projets qui vient spontanément à l’esprit est celui de l’espérance mathématique. Ce critère indique que le projet choisi sera celui qui la plus grande espérance mathématique. L’ordre de préférence des trois projets est donc : C, B et A. Mais ce critère ne peut être accepté par tout le monde. Par exemple, si un gain inférieur à 60 va entrainer une catastrophe pour l’entreprise, le décideur préférera le projet A, bien que son espérance soit la plus faible. Cette faiblesse de l’espérance mathématique comme instrument de décision, trouve ses origines dans le paradoxe de Saint-Pétersbourg. Un pauvre mendiant de Saint-Pétersbourg avait pour seule fortune un ticket de loterie qui avait une chance sur deux de gagner 100.000 roubles. Un riche commerçant lui propose de lui racheter son billet pour 10.000 roubles et le mendiant a immédiatement accepté, bien son espérance de gain était de 50.000 roubles, montant supérieur à 10.000 roubles. 2. L’espérance mathématique de l’utilité comme critère de décision face au risque Ce critère de décision a été développé en 1944 par Von Neumann et Morgenstern et constitue aujourd’hui un des piliers de la finance moderne. Le modèle de Von Neumann et Morgenstern encore appelé modèle de l’espérance mathématique de l’utilité, repose sur plusieurs axiomes concernant les préférences et l’attitude des individus face au risque. Axiome 1 : les individus sont toujours capables d’exprimer leurs préférences. Face à 2 alternatives A et B, ils peuvent toujours dire qu’ils préfèrent A à B ou B à A ou que A et B leur sont indifférents. Axiome 2 : les choix des individus sont transitifs. Si A est préféré à B et B à C, alors A est préféré à C. Axiome 3 : un individu peut toujours déterminer l’équivalent certain d’un gain monétaire. Théorème de l’espérance de l’utilité : l’utilité d’un gain risqué est égale à l’espérance mathématique des utilités des sommes monétaires possibles. Considérons un gain risqué qui à deux montants possibles à percevoir a dont la probabilité de réalisation est p et b dont la probabilité de réalisation est 1  p . L’utilité de la somme a perçue avec certitude est U  a  . De même, l’utilité de la somme b perçue avec certitude est U  b  . Sommes monétaires a

Probabilités

p 1 p

b L’utilité du gain risqué = pU .  a   1  p  .U b  A ne pas confondre avec U  p.a  1  b  .b  De façon générale, E U  

 p  w U  w  . Le meilleur projet ou loterie est celle dont l’espérance w

de l’utilité est la plus grande. Soit à choisir entre deux alternatives (deux investissements) A et B dont les gains générés ainsi que les probabilités associées sont consignés dans le tableau ci-dessous :

7 Investissement A Sommes ou gains Probabilités 15 1/3 10 1/3 5 1/3 E(A) = 10

Investissement B Sommes ou gains Probabilités 20 1/3 12 1/3 4 1/3 E(B) = 12

Les valeurs des utilités associées à chaque gain sont obtenues en pondérant les gains par un poids. Les valeurs de ces utilités sont contenues dans le tableau ci-dessous : Gains 20 15 12 10 5 4

1 3

Poids 0,9 1,0 1,1 1,2 1,4 1,5

1 3

1 3

On a : E U A   .U 15  .U 10  .U  5 

Utilité du gain 18 15 13,2 12 7 6

34 3

1 1 1 37, 2 E U B   .U  20   .U 12   .U  4   , dans ces conditions, on choisit le projet B. 3 3 3 3 Généralement, l’utilité des gains est une fonction des gains. Soit w les gains obtenus, on a

U  w  f  w . Supposons qu’au lieu de pondérer les gains pour obtenir leur utilité, que U  w  4w 

1 2 w . En 10

appliquant cette fonction à l’exemple ci-dessus, on obtient :

gains 15 10 5

Investissement A Utilité des gains Probabilités 37,5 1/3 30 1/3 17,5 1/3

gains 20 12 4

Investissement B Utilité des gains Probabilités 40 1/3 33,6 1/3 14.4 1/3

1 1 1 85 1 1 1 88 E U A   .U 15  .U 10   .U  5  ; E U B   .U  20   .U 12   .U  4   3 3 3 3 3 3 3 3 3. Les propriétés économiques de la fonction d’utilité La première restriction d’une fonction d’utilité est que « more is always preferred to less ». L’implication de cette restriction débouche sur :

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la première propriété de la fonction d’utilité

selon laquelle la fonction d’utilité est

croissante, ce qui signifie que U  X  1  U  X  . Comme la fonction d’utilité croît avec les gains obtenus, U '  X   .

La seconde propriété de la fonction d’utilité

est l’hypothèse faite sur l’attitude de l’investisseur face au risque. Il y a trois possibilités : l’investisseur peut être averse au risque, neutre face au risque ou preneur de risque. Prenons l’exemple d’un jeu d’argent équitable (Fair Gamble) dans le tableau suivant. Supposons que l’on doit investir 1 unité monétaire. Si on n’investit pas, on gagne avec une probabilité certaine 1. Mais si on investit, on gagne soit 0, soit 2 unités monétaires avec des probabilités égales. La valeur espérée du jeu si on investit est de 1 unité monétaire, qui est égal au coût de l’investissement (c’est la raison pour laquelle ce jeu est appelé jeu d’argent équitable car le gain espéré est égal à son coût).

Gain 2 0

Investit Probabilités 0,5 0,5

N’investit pas Probabilité 1

Gain 1

L’aversion au risque signifie que l’investisseur va rejeter ce jeu d’argent. D’après le tableau cidessus, il va préférer ne pas investir et gagner avec certitude 1 unité monétaire. En d’autres termes, on a U 1

1 1 U  0   U  2   U 1  U  0  U  2   U 1 . Ce qui signifie que la variation entre 2 2

les deux premières unités est plus grande que la variation entre les deux dernières. Ce qui signifie que l’utilité marginale est décroissante, c'est-à-dire que : U ''  w

0.

La neutralité face au risque signifie que l’investisseur est indifférent entre jouer à cette loterie et ne

1 2

1 2

pas jouer. En d’autres termes, on a : U 1  U  0   U  2   U 1  U  0   U  2   U 1 . Ce qui signifie que la variation entre les deux premières unités est la même que la variation entre les deux dernières. Ce qui signifie que l’utilité marginale est constante, c'est-à-dire que :. U ''  w  0 . Le goût pour le risque signifie que l’investisseur préfère jouer à la loterie. Il va préférer investir 1unité monétaire et gagner soit 0, soit 2 unités. En d’autres termes, on a

U 1

1 1 U  0   U  2   U  2   U 1 U 1  U  0  . Ce qui signifie que la variation entre 2 2

les deux premières unités est plus faible que la variation entre les deux dernières. Ce qui signifie que l’utilité marginale est croissante, c'est-à-dire que : U ''  w

0.

La troisième propriété de la fonction d’utilité est l’hypothèse sur les changements des préférences des investisseurs suite à une variation de leur richesse ou gain. Si la richesse ou les gains de l’investisseur augmente, devra-t-il plus ou moins investir cette richesse dans les actifs risqués ? Par exemple, supposons un investisseur qui a 10.000 et qui investit 5.000 dans les actifs risqués. Supposons que la richesse du même investisseur passe à 20.000. Devra-t-il investir plus, moins ou 5000 dans les actifs risqués ?

9 -

-

-

Si l’investisseur augmente le montant d’argent investit dans les actifs risqués lorsque sa richesse augmente, alors il est dit exhiber une décroissance d’aversion absolue au risque (decreasing absolute risk aversion) ; Si le montant d’argent investit dans les actifs risqués reste inchangé lorsque sa richesse augmente, alors l’investisseur est dit exhiber une constante d’aversion absolue au risque (constant absolute risk aversion) Si le montant d’argent investit dans les actifs risqués diminue lorsque sa richesse augmente, alors il est dit exhiber une croissance d’aversion absolue au risque (increasing absolute risk aversion).

Comme le degré d’aversion au risque est associé aux dérivées de la fonction d’utilité, l’aversion absolue au risque est aussi associée aux dérivées de la fonction d’utilité, notamment à la quantité :

A  w 

U ''  w . Ainsi, la dérivée A '  w de A  w par rapport à la richesse est une mesure U '  w

appropriée de l’aversion absolue au risque. Le tableau ci-dessous résume les différentes situations : Condition

Définition

Propriété

de Exemple fonction

A '  w

Croissance d’aversion Lorsque la richesse augmente, l’argent absolue au risque investit dans les actifs risqués diminue. Constante d’aversion Lorsque la richesse augmente, l’argent absolue au risque investit dans les actifs risqués ne change pas. décroissance d’aversion Lorsque la richesse augmente, l’argent absolue au risque investit dans les actifs risqués augmente.

A '  w

0

de

U  w  wcw

2

A '  w  0

U  w  ecw

A '  w

U  w  ln w

0

pour restreindre la fonction d’utilité de l’investisseur est : comment le pourcentage de richesse investit dans les actifs risqués change lorsque la richesse change ? Par exemple si l’investisseur met 50% de sa richesse dans les actifs risqués lorsque sa richesse est de 10.000, maintient-il toujours ces 50% dans les actifs risqués lorsque sa richesse passe à 20.000 ? Si tel est le cas, l’investisseur est caractérisé par une aversion relative au risque constante.

La dernière caractéristique qui est utilisée

S’il investit une plus grande proportion (60% par exemple) de sa richesse dans les actifs risqués, il est caractérisé par une aversion relative au risque décroissante. S’il investit une faible proportion (moins de 50%) de sa richesse dans les actifs risqués, il est caractérisé par une aversion relative au risque croissante. La mesure de l’aversion relative au risque est : R  w 

wU ''  w  wA  w U '  w

Le tableau ci-dessous résume les différentes possibilités : Condition

Définition

Propriété

de Exemple fonction

de

10

R '  w Croissance d’aversion Lorsque la richesse augmente, relative au risque proportion de richesse investit dans actifs risqués diminue. Constante d’aversion Lorsque la richesse augmente, relative au risque proportion de richesse investit dans actifs risqués ne change pas. décroissance Lorsque la richesse augmente, d’aversion relative au proportion de richesse investit dans risque actifs risqués augmente.

la les

R '  w

la les

R '  w  0

U  w  ln w

la les

R '  w

U  w  e2w1/ 2

0

0

U  w  w  bw2

4. Mesure du risque et l’approche espérance – variance Dans ce paragraphe, nous supposons que l’investisseur est averse au risque. Dans un tel cadre, comment un individu peut-il classer des sommes risquées ayant la même espérance mathématique ? Alternative 1 Gains 75 125 EVM = 100

 1  25

probabilités 0,5 0,5

Alternative 2 Gains 50 150 EVM = 100

probabilités 0,5 0,5

 2  50

Alternative 3 Gains 0 200 EVM = 100

Probabilités 0,5 0,5

 3  100

Lorsque les espérances des valeurs monétaires sont les mêmes, le critère de décision est l’écart type ou la variance. La meilleure alternative est celle qui a le plus faible écart type. Ce critère permet de classer par ordre de préférence les alternatives comme suite : 1, 2, 3 En posant U  w  w  w2 , qui est une fonction d’utilité des individus averses au risque, on constate que c’est l’alternative 1 qui est la meilleure. Les alternatives sont classées comme suite : 1, 2, 3. Ainsi, sous l’hypothèse d’aversion au risque, la variance ou l’écart type permet de classer les alternatives de gains risquées ayant même espérance des valeurs monétaires (EVM). La variance (écart type) est donc un indicateur numérique de mesure du risque. Pour que la variance remplisse cette fonction, il faut que : -

La distribution de probabilité des sommes monétaires soit symétrique (c’est par exemple le cas de distribution normale) ; La fonction d’utilité du décideur est quadratique ou, plus exactement, est la partie croissante d’une fonction quadratique.

L’aversion pour le risque signifie que U '

0 et U '' 0



Lorsque ces conditions sont réunies, on a : E U   f EVM ,  2 2 Donc, E U  diminue avec  . De même, on a

5. Les techniques de gestion du risque

E EVM

0.



et on montre que

E  2

0.

11 Il existe quatre techniques fondamentales pour réduire le risque : éviter le risque, prévenir le risque, absorber le risque ou transférer le risque. -

Eviter le risque consiste à décider volontairement de ne pas prendre un certain risque. Par exemple, un individu peut décider de ne pas travailler dans un secteur d’activité. Une entreprise peut éviter certains marchés qu’elle considère trop risqués. Mais il y des risque qu’on ne peut pas éviter : risque de maladie, risque de variation des prix, etc. - Prévenir le risque : cela englobe les actions pour réduire la probabilité ou le montant de pertes. On peut agir avant que les pertes n’arrivent, au moment où elles arrivent, ou même après qu’elles se soient produites. On peut par exemple éviter les maladies en mangeant sainement, en s’abstenant de fumer, en dormant suffisamment, etc. - Absorber le risque consiste à l’assumer et à payer les pertes sur ces propres ressources. Cela arrive très souvent par défaut, par exemple quand on n’était pas au courant du risque ou quand on a délibérément décidé d’ignorer ce risque. Par exemple supporter ces dépenses maladies, supporter la baisse des prix, etc. - Transférer le risque consiste à se débarrasser du risque en le transmettant à d’autres personnes. On peut citer trois méthodes de transfert de risque : se couvrir, s’assurer ou se diversifier. a) La couverture : un individu se couvre contre un risque lorsque la démarche de réduire son exposition à une perte implique simultanément pour l’individu de renoncer à un gain. Par exemple quand les agriculteurs vendent leur récolte de maïs avant la récolte à un prix fixé par avance pour éviter le risque d’une baisse de prix, ils se privent d’un gain potentiel si jamais les prix remontent à la date de la moisson. C’est par exemple le cas des contrats à terme. Il est toute fois important de faire la distinction entre une opération de couverture (hedging) et un contrat à terme. Le contrat à terme peut avoir lieu entre deux spéculateurs et on n’a pas besoin de détenir de sous-jacent. Or l’opération de couverture implique la détention du sous-jacent. b) L’assurance : s’assurer signifie payer une prime (le prix du contrat d’assurance) pour éviter les pertes futures. En souscrivant un contrat d’assurance, vous remplacez une probabilité de perte importante (si vous ne vous assurer pas) par une certitude de perte faible représentée par la prime d’assurance. Les options sont un exemple d’assurance. Exemple : vous résidez au Cameroun et vous avez une société ‘import-export. Dans deux mois, vous savez que vous allez recevoir 100.000$ américains. Le cours de change actuel est de 450fcfa pour 1$, mais vous ne savez pas quel sera le cours de change dans deux mois. Vous pouvez gérer ce risque en vous assurant, c'est-à-dire en versant une prime pour obtenir une option de vente (ou put option), qui vous donne le droit, mais pas l’obligation, de vendre vos 100.000$ à 450fcfa chaque 1$ dans deux mois. Si le cours du dollar baisse, c'est-à-dire si à l’échéance 1$ = 430fcfa, vous êtes protégé, car vous pourrez exercer l’option de vente. Mais si le taux est supérieur à 450fcfa, vous choisirez ne pas exercer l’option de vente et de bénéficier du gain de valeur sur le marché. Avec l’assurance, on se protège en conservant la possibilité de gain. En se couvrant, on passe par exemple un contrat de vente à terme, pour vendre les 10.000$ à 450fcfa chaque 1$ dans deux mois. Cette couverture ne coûte rien, mais on abandonne la possibilité de réaliser un gain si jamais le cours du dollar passe au dessus de 450fcfa. c) La diversification : se diversifier signifie détenir des montants équivalents de plusieurs actifs risqués, plutôt que de tout investir dans un seul actif. La diversification limite ainsi votre exposition au risque par rapport au risque d’un actif unique. Les détails sur la diversification feront l’objet du prochain chapitre.

12

Chapitre 2 : La théorie du portefeuille Au cours de la décennie 50, Harry Markowitz, spécialiste américain de la recherche opérationnelle, apporta une contribution déterminante à la théorie financière moderne. Dans son ouvrage publié en 1959 (Portfolio Selection : Efficiency Diversification of Investments, New York, Wiley), il présente un problème de sélection optimale de portefeuilles de valeurs mobilières avec une structure hautement combinatoire, dont le traitement requiert, la prise en compte explicite et rigoureuse de l’incertitude de l’avenir. Ce chapitre montre comment chaque individu doit investir sa richesse, une démarche appelée le choix de portefeuille. Le portefeuille d’un individu donné inclut tous ses actifs (actions, obligations, parts sociales, maisons, rentes, contrat d’assurance, etc.) Il n’y a pas une stratégie unique de choix de portefeuille qui convienne à tout le monde. Il y a en revanche quelques principes, comme par exemple le principe de diversification, qui s’applique à tous les individus ayant une aversion au risque. 1. La mesure de la rentabilité d’un placement L’objectif poursuivi par l’acheteur d’actifs financiers est d’accroître son patrimoine espéré dans le futur. De deux ou plusieurs stratégies d’investissement, la meilleure est celle qui maximise la fortune finale de l’investisseur, l’horizon économique de l’opération ayant été préalablement défini. L’accroissement de la fortune initiale qu’on appelle return on investment ou, plus brièvement, return est défini en temps discret par la relation :

rt   Pt  Pt 1   Ct Où rt est le return de l’actif financier pour la période (se terminant au temps) t

Pt est le prix de marché au temps t de l’actif financier C t est le revenu liquide attaché à la détention de l’actif financier durant la période (se terminant au temps) t . Le taux de rentabilité (rate of return) quant à lui est donné par l’expression suivante :

Rt 

 Pt  Pt 1   Ct Pt 1

2. Les caractéristiques d’un titre : espérance mathématique et écart type Pour chaque titre, il est possible de lui associé son espérance mathématique ainsi que son écart type. Prenons l’exemple d’un titre dont le taux de rentabilité ainsi que les probabilités associées à chaque niveau de rentabilité sont contenus dans le tableau suivant : Taux de rentabilité 6% 8% 10% 12% 14% 16%

Probabilité 1/12 2/12 4/12 3/12 1/12 1/12

13 i 8

E  R    PR i i  10, 67% et i 1

i 8

Var  R    2   Pi  Ri  E  R  

2

i 1

Le taux de rentabilité espéré permet d’avoir une idée sur la récompense moyenne de l’investissement. Il est souvent considéré comme le taux de rentabilité anticipé. La variance quant à elle donne une information sur la volatilité du taux de rentabilité. Exemple : déterminer les caractéristiques des titres suivants Etats de l’économie Dépression Récession Normale Prospérité

Rentabilité pour l’action A (%) -25 13 33 51

Rentabilité pour l’action B (%) 8 22 -11 9

Lorsqu’il n’y a pas de probabilité, on suppose que les différents états de la nature apparaissent avec la même probabilité. Dans ce cas, on obtient : E  R  

1 i4  Ri . Avec l’hypothèse d’équiprobabilité, on 4 i 1

peut aussi déterminer la variance associée à chaque titre. 3. Caractéristiques d’une combinaison de titre Très souvent, le problème pour l’investisseur n’est pas de choisir entre plusieurs titres, mais de déterminer la combinaison optimale des titres de son portefeuille. ième Si RPj est le j rendement du portefeuille et X i est la fraction des fonds de l’investisseur dans

ième l’actif i et il dispose de N actifs, iN

RPj   X i Rij i 1

iN  iN  iN RP  E  RPj   E   X i Rij    E  X i Rij     X i Ri  i 1  i 1  i 1

La seconde caractéristique est la variance d’une combinaison de titre. a. Portefeuille à deux titres

 P2  E  RP  RP   E  X 1R1 j  X 2 R2 j   X 1R1  X 2 R2    E  X 1  R1 j  R1   X 2  R2 j  R2   2

2

2 2  P2  E  X12  R1 j  R1   2 X1 X 2  R1 j  R1  R2 j  R2   X 22  R2 j  R2    

2

14 2 2  P2  X12 E  R1 j  R1    2 X1 X 2 E  R1 j  R1  R2 j  R2   X 22 E  R2 j  R2  









 P2  X12 12  2 X1 X 2 E  R1 j  R1  R2 j  R2   X 22 22 E  R1 j  R1  R2 j  R2  est la covariance entre les rendements des actifs 1 et 2. Notons le par :

 12 , on obtient donc :  P2  X 12 12  2 X 1 X 2 12  X 22 22 E  R1 j  R1  R2 j  R2  qui est la covariance peut être positive ou négative. Elle permet de mesurer le sens de la liaison entre les deux actifs. Mais pour apprécier le sens de variation entre les actifs, on préfère souvent le coefficient de corrélation. Son expression est donnée par :

12 

 12  1 2

b. Portefeuille à trois titres En procédant de la même façon, on obtient :

 P2  E  RP  RP   E  X 1R1 j  X 2 R2 j  X 3 R3 j   X 1R1  X 2 R2  X 3 R3  2

 E  X 1  R1 j  R1   X 2  R2 j  R2   X 3  R3 j  R3 

2

2

 P2  X 12 12  X 22 22  X 32 32  2 X 1 X 2 12  2 X 1 X 3 13  2 X 2 X 3 23 c. Généralisation jN

jN k N

   X     X j X k jk 2 P

j 1

2 j

2 j

j 1 k 1 k j

Si tous les actifs sont indépendants, on obtient : jN

 P2   X 2j  2j car  jk  0 j 1



Si les mêmes proportions sont investies dans chaque actif, c'est-à-dire si X j  jN

jN k N

 P2   1 N   2j    1 N 1 N   jk j 1

2

j 1 k 1 k j

1 , j on a : N

15

1   N 2 P

  2j   N  1 j  N k  N  jk      N j 1  j 1 k 1 N  N  1  N  jN

k j

Ces deux expressions sont des moyennes. Le second est terme est divisé par N  N 1 car l’indice k va de N à  N 1 , ceci parce que k doit être différent de j . En remplaçant les différentes sommes par les moyennes, on a :

 P2 

1 2  N  1 j   jk N N

En réarrangeant cette expression, on obtient :

 P2 

1 2  j   jk    jk N

Cette expression permet d’apprécier les effets de la diversification sur le risque d’un portefeuille. La variance est minimale pour les portefeuilles de grande taille et est égale à la moyenne des covariances entre tous les actifs du portefeuille. Plus on augmente les actifs, plus le premier terme va tendre vers 0. Il s’agit de :

1 2  j   jk  N

Exemple : Les caractéristiques de deux titres : action et obligation d’une place financière sont les suivantes : Ra  12, 5% ; Ro  6% ;  a  14,90% ;  o  4,8% et le coefficient de corrélation entre les rendements des actions et des obligations est  ao  0, 45 . En faisant varier les proportions des deux titres de 0 à 1, on obtient les différentes combinaisons suivantes : Proportion d’actions 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Proportions d’obligations 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Rendement du portefeuille 12,5 11.85 11.2 10.55 9.9 9.25 8.6 7.95 7.3 6.65 6



Ensuite, on peut faire une représentation dans le repère  ; R



Ecart type du portefeuille 14,90 13.63 12.38 11.15 9.95 8.80 7.70 6.69 5.82 5.16 4.80

16 4. La forme fonctionnelle de la fonction R  f   La représentation graphique d’une telle relation est plus plausible dans le cas des portefeuilles à deux titres. Nous savons que le rendement espéré d’un portefeuille à deux actifs est donné par :

RP  X A RA  X B RB Où X A est la proportion d’action A dans le portefeuille, X B la proportion d’actif B dans le portefeuille, RP est le rendement espéré du portefeuille, R A le rendement espéré de l’actif A , RB le rendement espéré de l’actif B .

X A  X B  1  X B  1 X A

RP  X A RA  1  X A  RB On sait aussi que :

 P   X A2 A2  X B2 B2  2 X B X A AB 

12

En introduisant le coefficient de variation  AB 



 AB   AB   AB A B , on obtient :  A B

 P  X A2 A2  1  X A   B2  2 X A 1  X A   AB A B 2



12

On sait aussi que 1   AB  1 , nous allons traiter de quelques cas extrêmes Cas où  AB  1



 P  X A2 A2  1  X A   B2  2 X A 1  X A  A B

 X Y 

2

2



12

qui est un carré parfait et on peut écrire :

 X 2  Y 2  2 XY , d’où

 P  X A A  1  X A  B et RP  X A RA  1  X A  RB De l’expression de l’écart type du portefeuille, on trouve : X A 

 P  B en remplaçant dans  A  B

l’expression du rendement espéré du portefeuille, on trouve :

RP 

 A RB   B RA  RA  RB     P , qui est bien une fonction affine de  P  A  B   A  B 

17 Exemple : soit un portefeuille constitué de deux actifs : CAMTEL et AESSONEL (SONEL), avec les caractéristiques suivantes Rendement espéré

Ecart type

CAMTEL

14%

6%

SONEL

8%

3%

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs du rendement espéré et de l’écart type du portefeuille pour quelques valeurs de X C , qui est la fraction de l’actif CAMTEL dans le portefeuille et  CS  1 .

XC

0

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

1,0

RP

8,0

9,2

10,4

11,0

11,6

12,8

14,0

P

3,0

3,6

4,2

4,5

4,8

5,4

6,0

Le graphe de R  f   Montre que c’est bien une droite. Cette droite peut être obtenue à l’aide de l’expression suivante :

RP 

 A RB   B RA  A  B

 R  RB   A   P , en remplaçant par les valeurs des actifs du portefeuille, on   A  B 

obtient : RP  2  2 P , avec les valeurs du tableau et/ou graphiquement, on peut vérifier cette relation. Cas où  AB  1



 P  X A2 A2  1  X A   B2  2 X A 1  X A  A B

 X Y 

2

2



12

qui est un carré parfait et on peut écrire :

 X 2  Y 2  2 XY , d’où

 P  X A A  1  X A  B et RP  X A RA  1  X A  RB L’écart type dans ce cas est toujours inférieur à celui obtenu lorsque les deux actifs sont parfaitement corrélés, c'est-à-dire lorsque  AB  1 . X A A  1  X A  B   P  X A A  1  X A  B L’expression de l’écart type doit toujours être positive, c'est-à-dire que :

 P  X A A  1  X A  B

0

Le portefeuille à risque minimum est obtenu lorsque  P  X A A  1  X A  B  0 , on trouve que c’est obtenu lorsque : X A 

B  A B

18

De l’expression de l’écart type du portefeuille, on trouve : X A 

P B en remplaçant dans  A B

l’expression du rendement espéré du portefeuille, on trouve :

RP 

 A RB   B RA  RA  RB     P , qui est bien une fonction affine de  P  A B   A B 

Exemple : en reprenant l’exemple ci-dessus, on a : Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs du rendement espéré et de l’écart type du portefeuille pour quelques valeurs de X C , qui est la fraction de l’actif CAMTEL dans le portefeuille et CS  1 .

XC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

RP

8,0

9,2

10,4

11,6

12,8

14,0

P

3,0

1,2

0,6

2,4

4,2

6,0

Le graphe de RP  f  P  , à partir des valeurs du tableau montre que cette relation est celle d’une droite affine. L’équation de cette droite peut être obtenue à partir de : RP 

 A RB   B RA  A B

 R  RB   A  P     A B 

2 3

L’application numérique donne : RP  10   P Cas où  AB  0



Dans ce cas, on a :  P  X A2 A2  1  X A   B2



2



12

. De façon générale, le risque minimum est obtenu

lorsque  P  X A2 A2  1  X A   B2  2 X A 1  X A   AB A B 2

faut que :

 P  2     0  X A  2 B 2 A B AB X A  A   B  2 A B  AB Dans le cas où  AB  0 , on obtient

 P 2  0  XA  2 B 2 X A  A B



12

est à son minimum. Pour cela, il

19 Exemple : En considérant l’exemple ci-dessus, on a le tableau suivant : Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs du rendement espéré et de l’écart type du portefeuille pour quelques valeurs de X C , qui est la fraction de l’actif CAMTEL dans le portefeuille et CS  0 .

XC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

RP

8,0

9,2

10,4

11,6

12,8

14,0

P

3,0

2,68

3,00

3,79

4,84

6,0

En mettant ces valeurs dans un graphe, on n’obtient plus une droite.

XC 



2 S

  2 C

2 S



On trouve

9  0, 2  20% 36  9

Exercice : faire le même travail lorsque  AB  0,5

5. La frontière d’efficience C’est l’ensemble des possibilités qui offrent à l’investisseur : (1) une rentabilité élevée pour le même niveau de risque, ou (2) un faible risque pour un même niveau de rendement. Combinaison d’un actif risqué et d’un actif sans risque. Un actif sans risque est un titre qui offre un taux de rentabilité parfaitement certain, compte tenu de l’unité de compte choisie et de la longueur de l’horizon de décision de l’investisseur. Quand l’investisseur n’est pas identifié, l’actif sans risque représente un titre offrant un taux de rentabilité parfaitement certain sur l’horizon de transaction (c'est-à-dire l’horizon de décision le plus court possible). Dans cette analyse, il existe des possibilités de prêt et d’emprunt.

RP  XRA  1  X  RF L’actif sans risque a pour rendement RF et pour écart type  F  0 .



 P  X 2 A2  1  X   F2  2 X 1  X   AF A F  P  X A  X 

RP 

2

P et on trouve : A

    R  RF P RA  1  P  RF  RF   A A  A   A

  P 



12

, or  F  0 d’où

20



 RA  RF  .  A 



Cette droite passe par les points  0, RF  et  A , RA et admet comme pente  Si  A

 P , on obtient une combinaison de prêt (exemple d’un investissement en bond du trésor avec

un rendement certain) et du titre et/ou portefeuille A . Si  A

 P , on obtient une combinaison d’emprunt (exemple vendre un titre) et du titre et/ou

portefeuille A .

RP  RF   RA  RF 

P  RF   RA  RF  X A

Ainsi, le taux de rentabilité espéré pour un portefeuille est le taux sans risque RF . en sus, le portefeuille va rapporter une prime de risque qui va dépendre de (1) la prime de risque sur l’actif





risqué RA  RF et (2) la part du portefeuille qui est investie en actif risqué, notée X où X 

P A

Exemple 1 : Relier la rentabilité espérée du portefeuille à la proportion investie dans l’actif risqué. Vous disposez de 1.000.000fcfa et vous hésitez entre un actif qui rapporte du 0,06 par an et un actif risqué dont l’espérance d’utilité est de 0,14 et dont l’écart type est de 0,20.

 R  RF RP  RF   A  A

   P  0, 06   0,14  0, 06  X  0, 06  0, 08 X . 

Si l’on veut une rentabilité de 10%, il suffit d’investir RP  0, 06  0, 08 X  0,1  X  0,5 . La répartition d’un tel portefeuille est de 50% en actif risqué et de 50% en actif sans risque. Si l’on veut plutôt avoir 9% de rentabilité, il faut investir 37,5% en actif risqué et 62,5% en actif sans risque. Si on augmente la proportion d’actif risqué de 1%, on obtient un rendement espéré additionnel de 0,08. On peut aussi calculer l’écart type en appliquant  P  X  A Exemple 2 : Relier la rentabilité espérée du portefeuille à son écart type.

 R  RF RP  RF   A  A

   P . La rentabilité espérée d’un portefeuille exprimée en fonction de son écart   RA  RF   . La pente de cette  A 

type est une équation de droite dont la constante est RF et la pente est 

droite mesure la rentabilité supplémentaire obtenue par unité de risque supplémentaire que l’on est prêt à prendre. Avec les données ci-dessus, on obtient :

RP  0, 06  0, 4 P

21 Cette équation correspond au tableau suivant : Portefeuille Proportion investie dans Proportion investie l’actif risqué l’actif sans risque

dans Rentabilité espérée

Ecart type

F

0

100

0,06

0,00

G

25

75

0,08

0,05

H

50

50

0,10

0,10

I

75

25

0,12

0,15

S

100

0

0,14

0,20

Le portefeuille efficient Un portefeuille efficient est défini comme le portefeuille qui offre la meilleure rentabilité espérée possible, pour un niveau de risque spécifié. Prenons le graphique représenté par RP  0, 06  0, 4 P et ajoutons un deuxième actif risqué à notre exemple, avec espérance 0,08 par an et un écart type de 0,15. On se retrouve au point R sur le graphique. Mais R est inefficient, car l’investisseur peut obtenir la même rentabilité avec un écart type plus faible. Exemple pour 0,05 d’écart type, on a un rendement de 0,08 (point qui correspond à 25% d’actif risqué et 75% d’actif sans risque). De fait, un investisseur qui a une aversion pour le risque se trouvera toujours mieux sur un point quelconque de la droite. Tous les points de cette droite représentent des portefeuilles efficients, on parle aussi de frontière d’efficience.

6. Choix du portefeuille préféré -

Lorsqu’on a deux actifs risqués, on peut construire une représentation graphique de toutes les combinaisons risque-rentabilité possibles. Soit R-S cette courbe

-

Construire une droite qui connecte le portefeuille sans risque (noté F) au portefeuille ayant la plus grande rentabilité et peut être le plus grand risque. C’est la droite risque-rentabilité dans la combinaison d’actif sans risque et d’actif risqué.

-

Si on trace une droite connectant le point F situé sur l’axe des ordonnées à un point quelconque de la courbe R-S, cette droite représentera l’ensemble des couples risquerentabilité composés à partir d’une combinaison donnée d’actifs risqués 1 et 2, et d’actif sans risque.

-

Cette droite est tangente à la courbe R-S et le point de tangence noté T est appelé combinaison optimale d’actifs risqués. Il correspond au portefeuille d’actifs risqués qui, mélangé à l’actif sans risque, permet de construire l’ensemble des portefeuilles efficients.

-

Les proportions du portefeuille au point T sont données par la formule suivante :

22

X1 

 R  R    R  R       R  R    R  R  R  R   A

R

A

 RF

2 B

2 B

F

B

B

2 A

F

F

A

A

F

B

B

F

B

et

A

X 2  1  X 1 où X 1 et X 2 sont les proportions d’actifs risqués A et B respectivement.

Le portefeuille préféré par un investisseur est par conséquent constitué du portefeuille tangent et de l’actif sans risque.

7. Généralités sur les techniques de choix du portefeuille préféré Lorsque les ventes à découverts sont autorisées, le problème se pose de la façon suivante :

Max  

RP  RF

P

N

s/c

X i 1

i

1



N

X 

En posant : RF  1RF  



N

N

i 1

i 1

i 1

i

N  R   X i RF  et l’expression de  devient :  F  i 1 

  X i Ri     X i RF  12

N  N N  X 2 2  X i X j ij   i i   i 1 i 1 j 1 j i  

La solution du problème de maximation posé ci-dessus revient à résoudre le système d’équation suivant :

 d  dX  0  1  d  dX  0  2  d 0   dX 3    d  0  dX  N  Cette équation n’utilise pas la contrainte parce que les équations du système ci-dessus sont homogène de degré 0. On montre que :

23

d     X 1 1i   X 2 2i   X 3 3i  dX i Où  est une constante et  

RP  RF

 P2

Ri  RF  Z1 1i  Z 2 2i  Z 3 3i  A l’optimum, on trouve : X k 

  X i i2 

  X N 1 N 1i   X N  Ni   Ri  RF  0

. Posons : Z k   X k , on obtient :

 Z i i2 

 Z N 1 N 1i  Z N  Ni

Zk N

Z i 1

i

Exemple : considérons trois actifs avec les caractéristiques suivantes : Correlation coefficient Security

Mean return (%)

Standard deviation (%)

A

14

6

B

8

3

C

20

15

A

B

C

0.5

0.2 0.4

RF  5%

 R1  RF  Z1 12  Z 2 12  Z3 13  2  R2  RF  Z1 12  Z 2 2  Z3 23  2  R3  RF  Z1 13  Z 2 23  Z3 3 14 1 3 ; Z2  et Z1  et en appliquant l’expression des 63 63 63 14 1 3 , on trouve : X 1  ; X2  et X 1  18 18 18

En remplaçant, on trouve : Z1 

Xk 

Zk N

Z i 1

i

24

Chapitre : Le Choix des Investissements L’objectif de ce chapitre est d’appliquer le concept de cash flow actualisé aux décisions d’investissement que les entreprises doivent prendre. Par exemple, pour le lancement d’un nouveau produit, ou pour investir dans les laboratoires de recherche, des usines, pour acheter de nouvelles machines, des entrepôts, des boutiques, ou encore pour décider si l’on lance une campagne de publicité, si on forme les employés, etc. le processus d’analyse de ces décisions s’appelle le choix d’investissement. L’objectif de tout investissement étant de : conquérir un nouveau marché (nouveau produit), réduire les coûts de production ou augmenter la capacité de production des entreprises. Dans ce chapitre, nous détaillons comment les entreprises procèdent à leurs choix d’investissement. Même si les modalités pratiquent ne sont pas toujours les mêmes suivant les entreprises, on peut dire que tout choix d’investissement consiste en trois étapes : -

Etablir des propositions de projets d’investissement ;

-

Evaluer les différents projets ;

-

Décider quels investissements accepter et quels projets rejeter.

Quel est le critère que les dirigeants doivent adopter pour choisir les investissements ? Dans ce chapitre, on montre que pour maximiser la satisfaction de ces actionnaires, une entreprise ne doit entreprendre que les projets qui augmentent ou, en tout cas, qui ne diminuent pas la valeur de marché des actions de la société. Nous présenterons essentiellement les techniques utilisées pour le choix d’investissement. 1. Quelques rappels sur la valeur de l’argent dans le temps et l’actualisation de cash flow Valeur future : Nous savons que 10000FCFA aujourd’hui est supérieure à 10000FCFA dans un an. Ceci pour au mois trois raisons : cette somme peut être placée, l’inflation peut réduire la valeur de cette somme et l’incertitude de recevoir cette somme dans le futur. La valeur future d’une somme d’argent peut être obtenue, soit par intérêts simples ou par intérêts composés. Si on place 10000FCFA au taux de 10%. On obtient par intérêt simple au bout de deux ans 12.000FCFA soit 2000FCFA d’intérêts alors qu’en intérêt composé on obtient comme valeur future VF  10000 1,1  12.100FCFA , soit 100FCFA de plus. Dans cet exemple, la valeur 2

actuelle ou valeur présente (VP Present value) ou encore valeur initiale de mon compte est de 10000FCFA. Au bout de n année, on a VF  10000 1,1 . L’expression par laquelle on multiplie n

10000 correspond à la valeur future d’1FCFA et s’appelle le coefficient de capitalisation. Son expression est : 1  i  . Il suffit de consulter vos tables financières. n

Taux d’intérêt équivalent : les taux d’intérêt des emprunts ou des placements sont généralement exprimés sous la forme d’un taux d’intérêt nominal (par exemple 6% par an), avec une certaine fréquence de versement des intérêts (par exemple, versement mensuel, on parle aussi de capitalisation mensuelle). Etant donné que la fréquence de versement peut différer d’un emprunt à l’autre, il est important de disposer d’un moyen de comparaison des taux d’intérêt. Ce moyen de comparaison est appelé le taux équivalent, qu’on définit comme le taux d’intérêt si le versement des intérêts était fait tous les ans.

25 Supposons que votre argent rapporte un taux d’intérêt annuel de 6%, capitalisé mensuellement. Cela signifie que chaque mois, un intérêt est versé sur votre compte, pour un montant égal à 1/12 e du taux annuel de 6%. Le vrai taux est donc de 6/12% par mois, soit 0,005 par mois. On appelle ce taux un taux proportionnel. Pour trouver le taux équivalent, on calcul la valeur future à la fin de l’année d’1FCFA placé au début de l’année. Pour cet exemple, on obtient VF  1,005  1,0616778 12

et on obtient :

taux équivalent  1,0616778 1  0,0616778  6,16778% par an . De manière générale, le taux m

 taux annuel  équivalent est donné par la formule suivante : taux équivalent  1   1 où m est le m   taux annuel nombre de périodes de versement des l’intérêts dans l’année. est le taux proportionnel. m Plus on augmente la période de capitalisation (en passant de mensuel à hebdomadaire, à journalier ou à la minute), plus le taux équivalent augmente, mais jusqu’à une certaine limite. Lorsque m tend vers

 

m

l’infini, 1 

taux annuel  taux annuel . Pour un taux annuel de 6%, on a le tableau suivant :  e m 

Tableau : Taux d’intérêt équivalent pour un taux annuel de 6% m Fréquence de capitalisation

Taux d’intérêt équivalent %

Annuel

1

6,00000

Semestrielle

2

6,09000

Trimestrielle

4

6,13614

Mensuelle

12

6,16778

Hebdomadaire

52

6,17998

Quotidienne

365

6,18313

Continue

Infini

6,18365

Valeur actuelle et actualisation : le calcul des valeurs actuelles est l’inverse du calcul des valeurs futures. La valeur actuelle nous dit combien nous devions placer aujourd’hui pour avoir une somme d’argent dans le futur. Nous voulons avoir 10000fcfa dans 1 an et les placements possibles rapportent 10% par an. Nous devons donc placé aujourd’hui la somme de VA *1,1  10000  VA  c’est dans deux ans, on a : VA * 1,1  10000  VA  2

10000

1,1

2

10000 , si 1,1

 8264, 4628 . Le fait de calculer les

valeurs actuelles s’appelle l’actualisation. La formule générale pour calculer la valeur actuelle d’1fcfa touché dans n périodes avec un taux d’actualisation par période i est donnée par : VA 

1

1  i 

n

. Ainsi, la valeur actuelle de 10000fcfa

26

dans 5 ans à 10% par an est donnée par : VA  L’expression

1

1  i 

n

10000

1,1

5

 10000*0, 62092  62092 fcfa .

est appelé le coefficient d’actualisation et est donnée dans la table financière.

Exemple : si vous prêter 100000fcfa à votre ami, remboursable dans 6 mois. Quelle sera la valeur de 10000fcfa si le taux d’actualisation annuelle est de 5% ? On obtient un taux proportionnel de 5/2%=2,5% et VA 

10000  9756, 0976 1, 025 

Les recettes nettes d’exploitation : les cash flow d’exploitation. Elles sont constituées par la différence entre : -

Les recettes d’exploitation : le CA encaissé (HT)

-

Les dépenses d’exploitation (HT) imputables à l’investissement étudié (matières premières, salaires, énergie, charge de structure, …) ainsi que l’impôt sur le résultat de cette activité.

On obtient donc : CF=résultat net d’exploitation + dotation aux amortissements d’exploitation.

2. Les critères de choix des investissements a) Le critère de la Valeur Actuelle Nette : VAN n

VAN   I 0   t 1

CFt

1  k 

t

où k est le taux d’actualisation. Les règles de décision sont les suivantes :

i) Un projet est retenu si sa VAN est positive. ii) Un projet est préféré à un autre s’il possède la VAN la plus élevée des deux. Le taux d’actualisation représente le coût d’opportunité du capital investi. Exemple 1 : on donne I 0  250 et CF1  CF2  CF3  CF4  100 . Supposant que le taux d’actualisation est de 10%, on trouve VAN  250 

100 100 100 100     66,98 . La 2 3 1,1 1,1 1,1 1,14

VAN étant positive, la décision est d’investir dans ce projet. Exemple 2 : Considérons les deux projets suivants : Année

0

1

2

3

Projet A

-100.000

500.000

400.000

600.000

Projet B

-100.000

500.000

500.000

100.000

Lequel des deux projets choisir si le taux d’actualisation est de 10% ? Dans le cas de deux projets de durée différente, on dupliquera les deux projets :

27 -

Sur une durée infinie

-

Ou sur une durée égale au PPMC de chacune des durées individuelles.

Lorsque le taux d’actualisation varie selon les périodes, nous avons :

VAN   I 0 

CF1 CF2 CF2   1  k1  1  k1 1  k2  1  k1 1  k2 1  k3 

Variabilité de la VAN par rapport au taux d’actualisation : plus le taux d’actualisation est élevé, plus la VAN est faible. b) Le critère de l’indice de profitabilité L’indice de profitabilité est le rapport entre la valeur actuelle des rentrées nettes de trésorerie et la dépense d’investissement. n

IP 

 CF 1  k  t 1

t

I0

Donc : IP  1  i)

t



I 0  VAN VAN  1 I0 I0

VAN . Les règles de décision sont : I0

Un projet est accepté si son indice de profitabilité est supérieur à l’unité.

ii) Un projet est préféré à un autre si son indice de profitabilité est le plus élevé des deux. Ce critère contrairement à la VAN permet de comparer entre eux des investissements de montants différents. Notes : si IP

1  VAN

0

Exemple 3: Considérons les deux projets suivants : Année

0

1

2

Projet E

-100.000

60.000

80.000

Projet F

-1.000.000

700.000

650.000

Supposons que le taux d’actualisation est de 20%. On trouve VANE=5555,55 et VANF=34722,22. On calcul l’indice de profitabilité des deux projets et on conclut. IPE=1,0555 et IPF=1,0347. Il faut donc choisir le projet E. L’indice de profitabilité est un indice de rentabilité relative car

VAN mesure le surplus actualisé reçu I0

pour 1FCFA de capital investi. Ce critère est intéressant pour sélectionner des investissements dans une situation de rationnement du capital. c) Le critère du taux interne de rentabilité

28

Le TIR est le taux qui annule la VAN, c'est-à-dire le taux tel que : VAN   I 0 

n

 t 1

CFt

1  TIR 

t

0

Exemple 4 : Dans l’exemple 1, on obtient :

VAN  250 

100 100 100 100     0  TIR  21,85% . 2 3 1  TIR  1  TIR  1  TIR  1  TIR 4

Ceci

signifie que le projet peut être assimilé à un placement effectué au taux de 21,85%. Le TIR se trouve par tâtonnement et pour améliorer la précision de sa détermination, on utilise l’interpolation linéaire. Les règles de décision sont les suivantes : i) Un projet est accepté si son TIR est supérieur à un seuil fixé d’avance ; ii) Un projet est préféré à un autre si son TIR est le plus important des deux. Le TIR favorise les projets à forte liquidité. d) Le critère du délai de récupération (pay-back) du capital investi C’est le temps au bout duquel le montant cumulé des rentrées nettes de trésorerie actualisées est égal à la dépense d’investissement. Les règles de décision sont les suivantes : i) Un projet est accepté si son délai de récupération est inférieur à un seuil fixé d’avance. ii) Un projet est préféré à un autre si son délai de récupération est le plus cours des deux. Exemple 5 : Reprenons l’exemple 1 en maintenant le taux d’actualisation de 10%. On trouve Périodes

Recettes

cumul

Recettes actualisées

nettes Cumul

1

100

100

100 1,1  90,90

2

100

200

2 100 1,1  82,64 173,54

3

100

300

100 1,1  75,13

4

100

400

4 100 1,1  68,30 316,97

1

3

90,90

248,67

Sans actualisation, le délai de récupération est de 2 ans et demi. Avec l’actualisation, ce délai est de 3 ans et plus. Ce délai est déterminé avec un peu plus de précision par l’interpolation linéaire. La limite de cette technique est qu’elle ne prend pas en compte les flux éloignés.

3. Décision d’investissement en incertitude Supposons que les flux liés aux différents projets dépendent des états adoptés par la nature, ceci nous permettra d’introduire l’incertitude. La valeur actuelle nette deviendra une variable aléatoire. Deux méthodes de résolution peuvent être proposées.

29 a) Approche risque-rentabilité Chaque projet est entièrement caractérisé par la donnée du coût initial I 0 et des flux futurs

CF1 , CF2 , CF3 ,

, CFn . Ces flux constituent des variables aléatoires car la valeur prise par chacun

d’entre eux dépend de l’état pris par la nature. La VAN du projet est alors donnée par : n

VAN   I 0   t 1

CFt

1  k 

t

Exemple 6 : Considérons un projet nécessitant un investissement initial de 100.000 dont les flux futurs sont les suivants : Etat de la nature

Probabilités

Flux futur dans un an

Croissance

0,25

121.000

Stagnation

0,5

110.000

Récession

0,25

104.000

Au taux d’actualisation de 10%, trois VAN pourront se réaliser selon l’état de l’économie. Etat de la nature

Probabilités

VAN

Croissance

0,25

100.000 

121.000  10.000 1,1

Stagnation

0,5

100.000 

110.000 0 1,1

Récession

0,25

100.000 

104.000  5.000 1,1

E(VAN)=0,25*10.000+0,5*0+0,25*(-5.000)=1250. Var(VAN)=0,25(10000-1250)2+0,5(0-1250)2+0,25(-5.000-1250)2=29.687.500 et l’écart type donne 5.448,62. Si les flux sont indépendants d’une année à l’autre, la variance de la VAN sera donnée par l’expression suivante :

 

n

Var CFt

t 1

1  k 

Var VAN   

2t

Exemple 7 : Considérons un projet requérant un investissement initial de 100 et dont les flux sont indépendants tout au long des deux années de fonctionnement :

30 Etat de la nature

Probabilité

Flux futur année 1

Flux futur année 2

Croissance

0,25

120

150

Stable

0,5

100

100

Récession

0,25

80

50

Pour

chaque

année,

nous

 

 

E CF1  0, 25*120  0,5*100  0, 25*80  100 ,

avons :

 

Var CF1  0, 25 120  100   0,5 100  100   0, 25 80  100   200 et  CF1  14,14 2

  Var  CF   0, 25 150  100 

2

2

E CF2  0, 25*150  0,5*100  0, 25*50  100 2

E CFt

t 1

1  k 

2

t

 

1,1

2

Var CFt

200

t 1

1  k 

1,1

Var VAN   

2t

 

 0,5 100  100   0, 25  50  100   1250 et  CF2  35,35

   100  100 

n

E VAN    I 0  

2

2



1250

1,1

4

2

100

1,1

2

 73,55

 1019, 05

Soit un écart type de 31,92. Le projet est alors entièrement caractérisé par le couple (rentabilité, risque). La mise en route du projet dépendra de la position du couple espérance-risque au sein de l’espace rentabilité-risque. Dans le cas du choix qui pourrait se poser entre plusieurs projets, on utilisera soit le critère de Pascal, soit le critère de Markowitz. La règle de décision est la suivante : i) Choisir le projet dont l’espérance mathématique de la VAN est positive. ii) Pour le choix entre deux projets, on peut utiliser le critère de Markowitz ou le critère de Pascal( le critère de Pascal indique qu’il faut choisir l’investissement dont l’espérance mathématique de la VAN est la plus grande). Le critère de Markowitz consiste à :

-

Règle 1 Ak

 E  Ak   E  Al  et   Ak    Al   Al si ou E A   k  E  Al  et   Ak     Al 

Si cette règle de comparaison venait à ne pas fonctionner, on utiliserait l’une des règles ci-dessous si E  Ak 

E  Al  et   Ak    Al 

31

-

Règle 2 : Ak

Al si

-

Règle 2 bis : Ak

E  Ak    Ak 

Al si

E  Al    Al 

E  Ak   E  Al    Ak     Al 



La règle 2 consiste à comparer les coefficients de variation

 et à choisir l’action possédant le plus E

petit coefficient de variation, c'est-à-dire l’investissement ayant la plus faible variation par unité d’espérance. b) L’approche par l’arbre de décision L’évolution des différents projets dans le temps peut être représentée par le biais d’un arbre de décision. Nous présentons cette approche en considérant deux projets nécessitant chacun un investissement de 100 et donc les flux futurs sont : Un an plus tard

Deux ans plus tard

Etat de la nature

Croissance

Stagnation

Croissance

Stagnation

Probabilités

0,7

0,3

0,5

0,5

Projet A

150

100

100

50

Projet B

120

100

120

40

L’on obtient l’arbre de décision ci après : (voir format)

Cette représentation suppose que le choix d’un projet ne soit pas influencer par la réalisation d’un autre. La résolution se fera à rebours, en partant de l’extrémité de l’arbre. On aura successivement les arbres réduits ci-dessous : (voir format)

En définitive, le projet choisi sera le projet B. Reprenons le projet initial et supposons qu’il sera abandonné dans la mesure à le flux futur viendrait à être inférieur ou égal à l’investissement (ici 100). L’arbre de décision est le suivant :