Instabilità Metalliche 08 09 [PDF]

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI MESSINA DIPARTIMENTO di INGEGNERIA CIVILE

Strutture Metalliche: SLU per Instabilità

A. Recupero

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L’asta caricata di punta (asta di Eulero) Un’asta in materiale elastico, sia soggetta ad uno sforzo normale di compressione e si ammetta che essa per un motivo qualsiasi sbandi dalla posizione ideale rettilinea.

L N

N

Se si scrive l’equilibrio in condizioni deformate, si ottiene:

d 2u EJ 2 + N ⋅ u ( x) = 0 dx u (0) = u ( L) = 0

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L’asta caricata di punta (asta di Eulero) La soluzione dell’equazione è data da:

dove:

u ( x) = A ⋅ cos(α x) + B ⋅ sin(α x)

α=

Le due condizioni a contorno possono essere scritte:

N EJ

u (0) = A = 0 u ( L) = B ⋅ sin(α L) = 0 La seconda fornisce due soluzioni:

≡0

per ogni x

B=0

banale in quanto u(x)

sin(α L) = 0

α ⋅ L = n ⋅ π con n intero positivo

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L’asta caricata di punta (asta di Eulero) Ricordando l’espressione di α si ottiene:

questo si verifica per valori di sforzi normali pari a:

Il più piccolo dei valori di Nn corrisponde al passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile. Tale valore è quello per n = 1, ed è detto il carico critico euleriano dell’asta compressa:

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L’asta caricata di punta (asta di Eulero) Dal carico critico si deriva facilmente la tensione critica, cioè il valore della tensione che si raggiunge nell’asta quando N = Nc. Tenendo conto della precedente si deduce facilmente che:

dove rapporto adimensionale è chiamata snellezza raggio giratore d’inerzia

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Lunghezza libera d’inflessione Le diverse condizioni di vincolo possono essere ricondotte all’unico caso dell’asta di Eulero con l’accorgimento di sostituire al valore L della lunghezza geometrica dell’asta L0 = β L che definisce la lunghezza libera di inflessione e che rappresenta la distanza tra due successivi punti di flesso della deformata critica. In queste condizioni la tensione critica conserva l’espressione nota:

λ=β

dove in generale

β = 0.5

β = 0.7

β =1

L

ρ

β =2

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L’asta caricata di punta (asta di Eulero) Per un’asta formata con un materiale infinitamente elastico la tensione critica σc potrebbe assumere qualunque valore. Ogni materiale reale ha un limite di resistenza che non può essere superato. Per l’acciaio si fissa convenzionalmente per questo valore la tensione di snervamento fy, per cui deve in ogni caso risultare σ ≤ fy. Imponendo che σc = fy si ottiene il valore della snellezza per la quale si raggiungono simultaneamente la tensione critica e lo snervamento: 1.20 1.00

e si può calcolare il rapporto

σc fy

0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

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L’asta caricata di punta (asta di Eulero) La snellezza λc viene definita snellezza di transizione. Essa separa l’intervallo relativo alle aste snelle (λ > λc) per le quali la crisi si ha secondo il meccanismo dell’instabilità euleriana, da quello delle aste tozze (0 < λ < λc) per le quali la crisi si ha secondo il meccanismo di snervamento in compressione. Il fenomeno dell’instabilità interessa le aste in acciaio con limite di snervamento più alto. Spesso utilmente ci si riferisce alla snellezza ridotta che semplifica di molto le espressioni.

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Asta di Eulero con carico eccentrico L’asta caricata di punta con una forza perfettamente assiale rappresenta un limite ideale a cui le situazioni reali possono tendere ma mai raggiungere completamente. In pratica: 1. la pratica impossibilità di realizzare vincoli privi di eccentricità non intenzionali; 2. la non perfetta verticalità delle colonne; 3. la non perfetta linearità della linea d’asse dell’asta; fanno sì che in ogni sezione sia presente un’eccentricità aggiuntiva, cioè oltre alla forza assiale ci sia anche un momento flettente iniziale che si aggiunge a quello prodotto dagli effetti della deformazione. La presenza di questo momento aggiuntivo modifica sensibilmente la soluzione ottenuta e di questo si deve tener conto quando si verifica un’asta snella soggetta a carico assiale.

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Asta di Eulero con carico eccentrico Naturalmente l’eccentricità casuale generalmente varia lungo l’asta in modo non del tutto prevedibile. Per studiare inizialmente ed almeno qualitativamente il fenomeno si analizza nel dettaglio il caso di un carico agente con eccentricità uniforme. Essa può rappresentare sia il caso di un’eccentricità intenzionale, dovuta alle condizioni di progetto, sia un “valore medio” dell’eccentricità casuale.

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Asta di Eulero con carico eccentrico Per tener conto dell’eccentricità iniziale e sufficiente aggiungere all’equazione differenziale il termine noto dovuto all’eccentricità.

che risolta fornisce:

che modificata diventa:

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Asta di Eulero con carico eccentrico Lo spostamento massimo si verifica in mezzeria (x = L/2) e diventa:

ricordando che:

l’espressione dello spostamento massimo si semplifica in

L’eccentricità totale è la somma di quella iniziale deformazione um

e e di quella di

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Asta di Eulero con carico eccentrico Ricordando che per - π/2 ≤ x ≤ π/2, si scrive:

L’espressione della eccentricità totale può essere sostituita da:

dove sostituendo l’espressione di α con semplici passaggi diventa:

ed Nc è il carico critico euleriano dell’asta compressa.

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Asta di Eulero con carico eccentrico Per l’intera asta la sezione più sollecitata risulta quella di mezzeria dove agiscono uno sforzo normale ed un momento flettente comprensivo dell’eccentricità iniziale più quella di deformazione:

N

sforzo normale

M tot = N ⋅ e1

momento flettente totale

La tensione normale massima nella sezione di mezzeria è:

M = N ⋅e

momento flettente del primo ordine

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Asta reale – calcolo pratico J A ymax la tensione massima nella sezione indagata diventa

Ricordando che

dove con

σc =

Nc A

J

W=

e

e

σm =

ρ2 =

N A

fissata la distanza del limite del nocciolo di inerzia dal baricentro

e0 =

ρ2 ymax

si può esplicitare la misura il rapporto tra l’eccentricità effettiva e quella limite del nocciolo di inerzia. Misura dell’imperfezione iniziale

e ⋅ ymax

ρ2

e = =m e0

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Asta reale – calcolo pratico Ma la tensione sull’asta σmax≤fy

In questa equazione per caratteristiche dell’asta fissate L, A, J, W e per fissato m ossia per fissata imperfezione non intenzionale, l’unica incognita è σm (Equazione di Ayrton-Perry).

e introducendo il rapporto:

γm =

σm fy

Si ottiene

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Asta reale – calcolo pratico La precedente ricordando l’espressione della snellezza ridotta diviene: Risolta l’equazione di Ayrton-Perry in forma normalizzata, si ottiene per il fattore di riduzione della resistenza l’espressione:

il parametro m è il mezzo analitico con cui modulare gli effetti delle imperfezioni sulla risposta della colonna ed attraverso esso si possono dunque tener conto, seppur in modo approssimato, anche gli altri tipi di imperfezione.

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Asta reale – calcolo pratico Si nota come, intorno a valori unitari della snellezza ridotta, sia marcato il decadimento e come questo si riduca velocemente fino ad affiancarsi alla curva ideale (m=0) per alti valori di questa.

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Curve reali – calcolo pratico Nell’equazione di Ayrton-Perry, il parametro m può essere rappresentativo, in forma generalizzata, degli effetti combinati di tutte le imperfezioni presenti quali: • imperfezioni di rettilineità e verticalità della colonna; • imperfezioni geometriche della sezione trasversale; • presenza di autotensioni sezionali; Diventa necessario definire una imperfezione geometrica equivalente, i risultati di estese campagne di indagine sono stati utilizzati al fine di identificare la variabilità di questo coefficiente

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DM 14 Gennaio 2008 4.2.4.1.3 Stabilità delle membrature - 4.2.4.1.3.1 Aste compresse La verifica di stabilità di un’asta si effettua nell’ipotesi che la sezione trasversale sia uniformemente compressa. Deve essere: dove

NEd è l’azione di compressione di calcolo; Nb,Rd è la resistenza all’instabilità nell’asta compressa, data da: o da

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DM 14 Gennaio 2008 Stabilità delle membrature (Aste compresse) I coefficienti χ dipendono dal tipo di sezione e dal tipo di acciaio impiegato; essi si desumono, in funzione di appropriati valori della snellezza ridotta: 1 χ= ≤ 1.0 2 2 φ + φ −λ dove φ = 0.5 ⎡⎣1 + α ⋅ (λ − 0.2) + λ 2 ⎤⎦

α

è il fattore di imperfezione, ricavato dalla Tab 4.2.VI del DM

e la snellezza ridotta è pari a: sezioni di classe 4 per caratteristiche geometriche “efficaci”, Aeff riferirsi all’UNI EN1993-1-5

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DM 14 Gennaio 2008

Ncr è il carico critico elastico basato sulle proprietà della sezione lorda e sulla lunghezza di libera inflessione l0 dell’asta, calcolato per la modalità di collasso per instabilità appropriata. Nel caso in cui λ < 0,2 oppure nel caso in cui la sollecitazione di calcolo NEd < 0,04 Ncr, gli effetti legati ai fenomeni di instabilità per le aste compresse possono essere trascurati.

È opportuno limitare la snellezza λ al valore di 200 per le membrature principali ed a 250 per le membrature secondarie.

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DM 14 Gennaio 2008

I passi logici da compiere per condurre la verifica di instabilità sono: 1) Classificare la sezione trasversale dell’elemento strutturale e determinare eventualmente un fattore di riduzione βA=Aeff/A; 2) Determinare il coefficiente dal tipo di profilato impiegato e dal piano di inflessione previsto come riportato nel prospetto della tabella 4.2.VI; 3) Calcolare la snellezza ridotta:

λ=

βA ⋅ A⋅ fy N cr

4) Calcolare il fattore di riduzione χ secondo l’espressione:

χ=

1

φ + φ2 − λ 2

≤ 1.0

φ = 0.5 ⎡⎣1 + α ⋅ (λ − 0.2) + λ 2 ⎤⎦

5) Condurre la verifica dell’asta secondo la formula:

N sd ≤ N b , Rd

χ ⋅ βA ⋅ A⋅ fy = γ M1

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Applicazione In una struttura pendolare le colonne portanti realizzate con dei profilati HE 200 B (S235-FE360) hanno una altezza libera di 7.50 m. A metà altezza della colonna è presente un livello intermedio di vincoli che impedisce lo sbandamento ortogonalmente all’anima.

HE 200 B (Classe 1) A = 78.1 cm2 Area Iy = 5696 cm4

(lato forte)

Iz = 2003 cm4

(lato debole)

L0,y=750 cm L0,z=375 cm

N cr , y = N cr , z =

π 2 EI y 2 0, y

L

π 2 EI z 2 0, z

L

≅ 2100 kN ≅ 2950 kN

λy = λz =

βA ⋅ A⋅ fy N cr , y

βA ⋅ A⋅ fy N cr , z

≅ 0.935 ≅ 0.788

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Applicazione Poiché le colonne portanti sono realizzate con dei profilati HE 200 B (S235-FE360) si deve cercare la curva adatta nella tabella 4.2.VI.

λ y ≅ 0.935 ⇒ curva b ⇒ χ y = 0.6387 λz ≅ 0.788 ⇒ curva c ⇒ χ z = 0.6693

N b , Rd = χ min ⋅ A ⋅

fy

γ M1

= 0.6387 ⋅ 7810 ⋅

235 = 1116 kN 1.05

ROTAZIONE ULTIMA E DUTTILITÀ DI SEZIONI IN ACCIAIO La duttilità in rotazione degli elementi compressi si ottiene limitando i rapporti larghezza spessore b/t delle parti che compongono la sezione, in relazione all’entità dell’azione assiale presente

In un profilato a parete sottile o contenente elementi sottili, ossia con elevato rapporto larghezza/spessore, può accadere che prima o subito dopo lo snervamento, a causa dell’insorgere di fenomeni di instabilità locale, non si riesce ad attivare la capacità rotazionale sufficiente a garantire la duttilità richiesta alla struttura.

Il problema è analogo a quello degli elementi strutturali soggetti a fenomeni di instabilità laterale. In figura è rappresentato il caso di pilastri a mensola aventi sezione a doppio T e con diverso rapporto larghezza/spessore. 2b

M/Mpc

t w

d

∆

1

b/t= 8

P H

b/t= 11 b/t= 15

θ

l

M = H l+ P ∆ θ= ∆ /l 1

θ/θ pc

(Mpc= momento plastico ridotto per effetto del carico assiale; θpc= rotazione corrispondente)

Analogamente, in sezioni cave a parete sottile (ridotti rapporti b/t) soggette ad azioni assiali, le curve tensioe-deformazione presentano andamenti simili,influenzati dai fenomeni di instabilità locale delle membrature snelle.

fs

Per b/t=60 la curva A mostra che ancor prima di raggiungere lo snervamento la sezione è soggetta ad instabilità locale; Per b/t=45 (spessore 1.33 volte più grande) la tensione di snervamento si attinge ma la duttilità è molto piccola; Per b/t=20 o 15 (spessore 3 o 4 volte più grande) si raggiungono resistenza e duttilità adeguate.

D B/t =15 C

B/t =20 B

fy

t B A

B/t =45 B/t =60

ε

CLASSIFICAZIONE DELLE SEZIONI IN ACCIAIO

Μ/Μp

Μu/Μp

In funzione delle capacità di rotazione e di deformazione plastica l’EUROCODICE 3 distingue le sezioni dei profilati in acciaio in 4 classi : CLASSE:

classe 1

1

classe 2 classe 3

Μy/Μp

classe 4

Rst 1

R θm/θy

θu/θy

θ/θy

1. (DUTTILI) quando l’instabilità delle parti compresse si sviluppa in campo

plastico, e la sezione può sviluppare grandi deformazioni plastiche senza riduzione di resistenza

2. (COMPATTE), quando l’instabilità locale si verifica dopo che la sezione ha sviluppato il proprio momento resistente plastico, ma i rapporti larghezza spessore sono tali da consentire una capacità rotazionale limitata

3. (SEMI-COMPATTE) le tensioni calcolate nelle fibre esterne compresse

raggiungono la resistenza allo snervamento, ma l’instabilità locale avviene prima che si sviluppi l’intero momento plastico

4. (SNELLE) quando l’instabilità locale avviene in campo elastico, senza consentire l’inizio di plasticizzazioni

INFLUENZA DELLA CLASSE SUI METODI DI ANALISI Per le strutture composte con sezioni di classe 1 è accettabile la teoria dell’analisi limite (limit design) fondata sullo sviluppo delle cerniere plastiche, con possibilità di ridistribuzione dello stato di sollecitazione tra parti della struttura. Se le sezioni appartengono alle altre tre classi occorre determinare le sollecitazioni in base a modelli di calcolo elastici-lineari; la verifica delle sezioni può essere effettuata secondo le seguenti regole: - sezioni di classe 2); sollecitazioni di calcolo inferiori alle resistenze di progetto

Md < MRd = My / 1.1 - sezioni di classe 3); tensione massima di calcolo inferiore alla resistenza di calcolo

fd = fy / 1.1 - sezioni di classe 4); tensione massima di calcolo da valutare con riferimento a porzioni effettive della sezione

CLASSIFICAZIONE DI SEZIONI IN ACCIAIO Secondo l’EUROCODICE 3 l’appartenenza delle sezioni alla classe dipende dal rapporto (minimo) b/t fra larghezza e spessore degli elementi compressi. A titolo di esempio, si riportano le limitazioni dei rapporti per le ANIME delle sezioni a I c tf

asse neutro

d

-classe 1: d/tw < 72 d/tf < 10 -classe 2: d/tw < 83 d/tf < 11 -classe 3: d/tw < 124 d/tf < 15

-classe 4: d/tw > 124 d/tf > 15

tw

ε = 235 / fy

fy

235

275

355

ε

1

0.92

0.81

Valori limite del rapporto larghezza/spessore per diverse classi ANIME INTERNE AGLI ELEMENTI

Valori limite del rapporto larghezza/spessore per diverse classi FLANGE

Valori limite del rapporto larghezza/spessore per diverse classi ANGOLARI E SEZIONI TUBOLARI

L’ordinanza 3431, come l’Eurocodice 8, semplifica la classificazione, raggruppando le sezioni in 3 classi

„

„

„

DUTTILI (classe1) quando l’instabilità delle parti compresse si sviluppa in campo plastico, e la sezione può sviluppare grandi deformazioni plastiche senza riduzione di resistenza PLASTICHE,(classe 2 e 3) quando l’instabilità locale si sviluppa in campo plastico, ma i rapporti larghezza spessore non sono tali da consentire deformazioni plastiche significative SNELLE,(classe 4) quando l’instabilità locale avviene in campo elastico, senza consentire l’inizio di plasticizzazioni

Le sezioni vengono classificate in funzione del parametro s , che esprime il rapporto fra la tensione massima corrispondente alla capacità portante ultima della sezione f1b e la tensione di snervamento del materiale fy (s= f1b/ fy) La tensione massima corrispondente alla capacità portante ultima della sezione f1b è la tensione massima che la sezione è in grado di sviluppare per effetto dell’incrudimento (f1b> fy ; s >1 ) per sezioni duttili o plastiche, mentre è pari alla tensione critica σcr che da luogo a fenomeni di instabilità per sezioni snelle (f1b= σcr < fy ; s