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POLITECNICO DI TORINO Facoltà di Ingegneria

PROGETTAZIONE ASSISTITA DI STRUTTURE MECCANICHE Prof. Aurelio Somà

Esercitazione n. 1: Verifica di resistenza di una gru a bandiera

Indice 1.

INTRODUZIONE..........................................................................................................................2

2.

MODELLIZZAZIONE DELLA STRUTTURA ....................................................................................2

3.

ELABORAZIONE DEI MODELLI....................................................................................................4

4.

RISULTATI .................................................................................................................................5

5.

CONCLUSIONI..........................................................................................................................16

Anno accademico 2003/04

Verifica di resistenza di una gru a bandiera

2

1. INTRODUZIONE L’esperienza consiste nel determinare il carico massimo sopportabile da una gru a bandiera. Un secondo scopo è quello di analizzare le peculiarità dei modelli possibili della struttura, ed evidenziare le differenze tra i modelli stessi. La gru è costituita da una trave a doppio T, caricata all’estremo libero da una forza concentrata diretta verso il basso, e da una serie di barre che formano una struttura reticolare di controventatura. Il modello della struttura viene elaborato tramite il codice di calcolo ANSYS e in parallelo si effettuano analoghi calcoli su un secondo modello della stessa struttura senza l’ausilio dell’elaboratore, servendosi dunque della teoria di de Saint Venant. Tutti i modelli, sia quelli elaborati con Ansys che quello semplificato, portano ad un carico massimo di 63 kN.

2. MODELLO DELLA STRUTTURA Si riporta innanzitutto il disegno della struttura in figura 1.

Fexp

Figura 1 : Schema della Struttura Il materiale utilizzato nella struttura è un acciaio con le seguenti proprietà σs = 355 MPa

( tensione di snervamento )

E = 210 GPa

( modulo di elasticità longitudinale )

Viene considerato un coefficiente di sicurezza S = 2, di conseguenza si ha:

σ amm =

σs = 177,5 MPa S

La struttura viene simulata mediante tre diversi modelli i cui risultati vengono confrontati:

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2.1 Modello 1 Tutti gli elementi della struttura sono modellizzati come travi, cioè come elementi monodimensionali in grado di resistere a sollecitazioni di trazione, compressione, flessione e torsione. La struttura è vincolata inferiormente con un incastro e superiormente con una cerniera; inoltre è caricata all’estremità da una forza (detta forza esploratrice) di 10 kN. Per maggiori chiarimenti si fa riferimento alla figura 2.

Figura 2 Modello 1 realizzato con Ansys con numerazione dei nodi e degli elementi

2.2 Modello 2 Parte degli elementi sono modellizzati come travi e parte come aste, cioè elementi monodimensionali in grado di resistere a sollecitazioni di trazione e compressione. La struttura è vincolata inferiormente con un incastro e superiormente con una cerniera; come nel modello precedente è caricata all’estremità da una forza (detta forza esploratrice) di 10 kN. Per maggiori chiarimenti si fa riferimento alla figura 3.

Figura 3 Modello 2 realizzato con Ansys con numerazione dei nodi e degli elementi (in azzurro sono indicate le travi, in viola le aste)

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2.3 Modello 3 La struttura è modellizzata con due travi, cioè si trascurano i tiranti ed i puntoni della struttura reticolare. La struttura è vincolata inferiormente e superiormente con un incastro; inoltre, come sopra, è caricata all’estremità da una forza (detta forza esploratrice) di 10 kN. Avendo trascurato l’ultimo tratto della trave a doppio T (cioè quello senza piatti di rinforzo) l’estremità libera è soggetta anche ad un momento concentrato M = 3000 Nm. Per maggiori chiarimenti si faccia riferimento alla figura 4.

400 Elemento 2

800

3

F

Elemento 1 1

M

2 3800 Figura 4 Schema del modello teorico con travi incastrate

3. ELABORAZIONE DEI MODELLI L’elaborazione del modello 1 e del modello 2 avviene tramite il software Ansys 5.5, perciò non occorrono ulteriori chiarimenti. Per quanto concerne il modello 3 si riporta la matrice di rigidezza risolutiva del problema elastico, ovvero la sottomatrice a cui corrispondono carichi nodali noti e solo gli spostamenti nodali incogniti: 343286,69  -22519,09   -649,09

(

con FU 2

(U 2

V2

FV2

 U 2   FU 2        V2  =  FV2  -1936541,68 4905516133,90   A2   M A2 

-22519,09 6318,01

-649,09 -1936541,68

)

M A2 = ( 0 −10 kN -3000 Nm ) , per cui si ottiene:

A2 ) = ( −0,18 mm −2,74 mm -1,69 ⋅ 10-3 rad ) .

Si noti inoltre che nella realizzazione dei tre modelli non è stato valutato il carico derivante dal peso della struttura poiché esso, risultando complessivamente di 2 kN, può essere considerato trascurabile rispetto al carico massimo applicabile.

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4. RISULTATI Si evidenziano i punti in cui le sollecitazioni sono massime, i valori di tali sollecitazioni ed il carico massimo sopportabile dalla struttura. Dato che il problema è lineare e si è sollecitata la struttura con una forza di 10 kN, per determinare il massimo carico sopportabile è sufficiente scrivere la seguente similitudine: Fexp σ max,exp

=

σ Fmax ⇒ Fmax = Fexp amm σ amm σ max,exp

Dove Fexp Fmax σmax,exp σamm

è la forza esploratrice è il carico massimo sopportabile è la sollecitazione massima a fronte della forza esploratrice è la sollecitazione ammissibile.

4.1 Modello1 Si riporta innanzitutto l’andamento della tensione massima a trazione ed il nodo della struttura in cui essa assume valore massimo.

Figura 5 Andamento della tensione massima di trazione, il valore massimo è in corrispondenza della trave superiore (valori in MPa)

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NODO 11

Figura 6 Particolare della zona più sollecitata della struttura La sollecitazione massima si trova nel punto indicato dal grafico di figura 6 (ovvero al nodo 11, sul bordo superiore della trave) e vale σmax,exp = 28,2 MPa Dove la tensione massima utilizzata nel calcolo è quella di trazione poiché la tensione massima di compressione risulta di poco superiore a quella di trazione, inoltre il materiale è di gran lunga più resistente a compressione che a trazione. Lo stesso vale per il modello 2. Di conseguenza il carico massimo vale Fmax = Fexp

σ amm = 63,1 kN σ max,exp

Si riportano qui di seguito i grafici, forniti da ANSYS, inerenti a: deformata della struttura, momento flettente, sforzi normali e tangenziali negli elementi.

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Figura 7 Deformata della struttura come risulta secondo il Modello1

Figura 8 Andamento del momento flettente (valori in Nmm) relativamente al Modello 1. I momenti flettenti relativi alla trave superiore e alla struttura reticolare non compaiono in figura, essendo molto più piccoli del momento lungo la trave a doppio T

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Figura 9 Andamento del momento flettente lungo la trave superiore

Figura 10 Andamento dello sforzo di taglio (valori in N) relativamente al Modello 1 Come si nota dalle figure 8, 9 e 10 la struttura reticolare di controventatura presenta una sollecitazione a flessione trascurabile rispetto alla trave a doppio T, giustificando le approssimazione fatte nel Modello 2, ovvero la modellizzazione della struttura reticolare con aste. Si riporta infine per completezza il diagramma di sforzo normale.

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Figura 11 Andamento dello sforzo normale relativamente al Modello 1 (valori in N)

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4.2 Modello 2 Si riporta innanzitutto l’andamento della tensione massima a trazione ed il nodo della struttura in cui essa assume valore massimo.

Figura 12 Andamento della tensione massima di trazione nelle travi (valori in MPa)

Elemento 8

Figura 13 Andamento della tensione assiale nelle aste. Nell’elemento 8 quest’ultima assume valore massimo

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La sollecitazione massima (di trazione) si trova nel punto indicato dal grafico di figura 13 (elemento asta n° 8, tra i nodi 9 e 10) e vale σmax,exp = 27,7 MPa Di conseguenza il carico massimo vale Fmax = Fexp

σ amm = 64,2 kN σ max,exp

valore lievemente sovrastimato rispetto a quello ottenuto con il modello 1. Si riportano qui di seguito i grafici, forniti da ANSYS, inerenti a: deformata della struttura, momento flettente e sforzi normali negli elementi.

Figura 14 Deformata della struttura come risulta secondo il Modello2

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Figura 15 Andamento del momento flettente, lungo la trave a doppio T, (valori in Nmm) relativamente al Modello 2

Figura 16 Andamento dello sforzo normale relativamente al Modello 2 (valori in N) Confrontando la deformata e gli andamenti delle sollecitazioni appena riportati con quelli relativi al Modello 1 appare evidente l’equivalenza dei due modelli.

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4.3 Modello 3 Anche per il modello teorico risulta utile riportare l’andamento della tensione massima a trazione ed il nodo della struttura in cui essa assume valore massimo.

Nodo 2

Figura 17 Andamento della tensione massima di trazione nelle travi (valori in MPa) La sollecitazione massima si trova nel punto indicato dal grafico della figura 17 (cioè al nodo 2 dell’elemento 2, sul bordo inferiore) e vale σmax,exp = 28,1 MPa. Di conseguenza il carico massimo vale Fmax = Fexp

σ amm = 63,1 kN σ max,exp

Come per i due modelli precedenti la trave obliqua risulta l’elemento soggetto alla tensione più elevata, inoltre il carico sopportabile dalla struttura è identico a quello ottenuto con il modello 1. Si noti infine dall’andamento del momento flettente nelle figure 19 e 20 (riportate subito dopo) come l’elemento 2 possa essere considerato un semplice tirante incernierato, essendo la trave a doppio T a sopportare la maggior parte dell’inflessione. Si riportano infine i grafici inerenti a: deformata della struttura, momento flettente e sforzi normali negli elementi.

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Figura 18 Deformata della struttura come risulta secondo il modello teorico

Figura 19 Andamento del momento flettente, lungo la trave a doppio T, (valori in Nmm) relativamente al modello teorico. Il momento lungo la trave obliqua non appare in figura perché di gran lunga inferiore a quello lungo la trave doppio T, come si nota in figura 20

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Figura 20 Andamento del momento flettente, lungo la trave obliqua, (valori in Nmm) relativamente al modello teorico

Figura 21 Andamento dello sforzo normale relativamente al modello teorico (valori in N)

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5. CONCLUSIONI Sostanzialmente si vede che i risultati del primo modello e del secondo modello sono praticamente identici, da ciò si conclude che è corretto considerare come delle aste gli elementi della struttura reticolare di sostegno della trave a doppio T. Infatti la lieve differenza di tensione massima tra i due modelli è da imputarsi esclusivamente alla tensione flessionale, evidentemente nulla nel caso di aste. Anche la schematizzazione a due travi per il calcolo teorico fornisce un risultato prossimo a quello ottenuto al calcolatore, oltre alle inevitabili differenze nell’andamento delle tensioni, come illustrato in precedenza. Una buona convergenza dei risultati ottenuti dai tre modelli risulta anche dal confronto delle deformate (vedi figure 7, 14 e 18): come si nota dai valori in tabella 1 per uno stesso nodo i tre modelli forniscono spostamenti verticali confrontabili. Si noti ancora l’equivalenza tra modello 1 e modello 2 anche per il campo di spostamenti. Tabella 1 Confronto tra gli spostamenti per i tre modelli Spostamento verticale massimo v [mm] Confronto spostamenti verticali [mm], per uno stesso nodo (estremità libera della trave lunga 3800 mm)

Modello 1

Modello 2

Modello 3

-3,07 (Nodo 8)

-3,07 (Nodo 8)

-2,74 (Nodo 2)

-2,47 (Nodo 7)

-2,47 (Nodo 7)

-2,74 (Nodo 2)

Tabella 2 Confronto tra le reazioni vincolari per i tre modelli Reazioni vincolari nella cerniera (Nodo 9) Reazioni vincolari all’incastro (Nodo 1)

Reazioni vincolari nella cerniera (Nodo 9) Reazioni vincolari all’incastro (Nodo 1)

Reazioni vincolari all’incastro (Nodo 3) Reazioni vincolari all’incastro (Nodo 1)

Modello 1 Forza orizzontale Forza verticale FX [kN] FY [kN] -45,6 11,3 Forza orizzontale Forza verticale FX [kN] FY [kN] 45,6 -1,3 Modello 2 Forza orizzontale Forza verticale FX [kN] FY [kN] -45,5 11,3 Forza orizzontale Forza verticale FX [kN] FY [kN] 45,5 -1,3 Modello 3 Forza verticale Forza orizzontale FY [kN] FX [kN] -44,6 10,5 Forza orizzontale Forza verticale FX [kN] FY [kN] 44,6 -0,485

Momento flettente MZ [Nm] Momento flettente MZ [Nm] 24,9 Momento flettente MZ [Nm] Momento flettente MZ [Nm] 24,3 Momento flettente MZ [Nm] 1,86 Momento flettente MZ [Nm] 1154,7