Funzioni e varietà complesse 3642110088, 9783642110085, 9783642110092 [PDF]

Zitiervorschau

E. Martinelli ( E d.)

Funzioni e varietà complesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 25-July 5, 19633

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-11008-5 e-ISBN: 978-3-642-11009-2 DOI:10.1007/978-3-642-11009-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1963 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, June 25-July 5, 1963

FUNZIONI E VARIETÀ COMPLESSE

H. Cartan:

Faisceaux analytiques coherents...........................................

1

P. Lelong:

Fonctions plurisousharmoniques et formes différentielles positives ........................................................ 91

E. Vesentini:

Coomologia sulle varietà complesse, I ................................ 231

A. Andreotti:

Coomologia sulle varietà complesse, II................................ 265

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C.l. M.E. )

HENRICARTAN

FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS

ROMA - Istituto Matematico dell'Universita

1

FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS par Henri Cartan

1. -

Th~oreme

des syzygies pour l'anneau des

s~ries

convergentes

a. n variables. Soit K un .:orps (commutatif)

valu~

l' anneau des

complet, non discret. On

s~ries

entieres convergentes

a. n variables x , ••. , x ,c'est-a.-dire des s~ries qui convergent au I n vOisinage de l'origine. C'est un anneau integre et noetherien; de plus, c'est un anneau local: l'unique id~al maximal 'YYt

A

t

=K

xl' ...

,Xn

1

(A ) de

se compose des series dont Ie terme con-

stant est nul, c'est-a.-dire des ~l~ments non-inversibles de

d~al

,~,

A

est engendre par Xl' .•. ,xn' et l'on a la

'rf'r; (A)

(Pn)-si J k xl' •••

l'anneau

alors, pour 0

z~ro dans l' anne au (En effet,

(pour O:! k

.d~signe ~

k

~

~

n) l'ideal

L "1-

propri~te:

engendr~

par

n-l, xk+1 n'est pas diviseur de

A /Jk ' A. /J k s'identifie

a. K

f \+1' ... ,xn J

,qui

est un anneau integre). Pour tout anneau d'un

form~e

.A

de

A

,on a. la notion de r~solution libre

-module M : c'est une suite exacte (infinie

.It

-modules et d'applications

3

A

a gauche)

-lineaires, les X.

1

- 2 H, Cartan

A

etant des

-modules libres, 11 existe toujours de telles resolutions

(pour un M donne); en effet, M est quotient d'un module libre, donc on a une suite exacte

o

---+Y1~Xo~ M~O,

puis on a une suite exacte

o~

Y2---+ Xl ~ Y 1 ----+ 0,

et ainsi de suite; en mettant bout

a bout

ces suites exactes, on obtient

la suite (I, I), On dit que la resolution 0,1) est de longueur X

n

= 0 pour n

Si

>p , A est

noetherien,

~

p si

et si M est un module de type fini,

il existe une resolution libre de type fini, c'est-a-dire dans laquelle les modules libres X. ont chacun une base finie: en effet on peut choisir pour 1

Xo un module libre de base finie, et alors Y1 est de type fini (car tout sous-module d'un module de type fini est

lui-m~me

de type fini quand

l' anneau est noetherien), On peut en suite choisir pour Xl un module libre

de base finie, et ainsi de suite, On se propose de montrer les deux theoremes: Theoreme 1,1 - Soit faisant a la condition (P ), Tout n

A

un anneau local noetherien satis-

A

-module de type fini possede une

resolution libre, de type fini. et de longueur

$

n, Plus precisement.

pour toute suite exacte

X

f n-1

Xn- 2 ~'"

4

~Xo~

M~O,

- 3 H. Cartan

ou les X. sont libres de base finie, Ie noyau de f est un module libre (de

--

1

-

[LorSqUe n= 1, f designe l' application Xo

base finie).

Theor~me 1.2. - Soit

A

A

~

p, alors, pour toute suite exacte

X

p-1

.

un anneau comme dans Ie theor~me

,!. Si un ~

~ M]

-module M de type fini poss~de une resolution libre de lon-

-----'~~

X 2 p-

----+ . •. -+ Xo

~

M~0,

ou les X. sont libres de base finie, Ie noya:u de f est libre •

--

1

-

Ces

theor~mes s'appliqueront notamment ~ l'anneu K

\ J . ainsi qu'a l'anneau des series formelles K lC

xl' ••• '

demontre, en fait, que les anneaux locaux pour. lesquels Ie

1Xl' .•• xn~

theor~me

• On 1

est vrai (pour un n convenable) sont les anneaux locaux reguliers, c'est-adire dont Ie complete est isomorphe a un anneau de series formelles (cf.

[15] ). On va donner, des se les foncteurs T or~

0/'n (A, B) est,

1 et 2, une demonstration qui utili-

(A, B), ou A et B designent deux

[5] ).

et n un entier ~ O. (cf. que T

theor~mes

On a seulement besoin de savoir ici

pour chaque n, un

de A et B; que TorA (A, B)=O lorsque n n

dules A et Best libre; que

A

-module, foncteur covariant

~ 1 et que l'un au moins des mo-

Tor!" (A, B) n'est autre que le produit tenso-

riel A ®,A B; que, pour toute suite exacte de

0.2)

A -modules,

I

O~ A -~A

A

-modules:

~ A"~ 0,

on a des applications lineaires

5

,

- 4 H. Cartan

bn :Toll.n (A",B) ~Tor.An- I (I': ,B) qui

d~pendent

fonctoriellement de la suite exacte (2); et que la suite illi-

mit~e

.••

~

A ( , Tor A ,B) n

fn

A,B --+TorA (AII ,B)--+ n

.A ( )

~Tor

n

-.Tor An-l (A' ,B ) ~ ••• ~TorA I (AI I,B) ~ A1f!1\ ~A B~

est une suite exacte. B, et qu'on

consid~re

Propri~t~

analogue lorsqu'on travaille sur la variable

une suite exacte

I O~B ~B

La

d~monstration

des

--+B

th~or~mes

II

~O.

I et 2 va alors

r~sulter

de

plusieurs lemmes: Lemme I ("lemme de Nakayama"). - Soit

d'id~al

maximal

d~r~ comme

.A

iW'(.

,et soit K=

A

/'WC

-module. Soit M un

M

®,A

A

Ie corps

un anneau local,

r~siduel,

consi-

A -module de type fini; si

K = M/'frr.. M

est nul, alors M=O • Par l'absurde: soit (xl' ••• ,xk ) un syst~me minimal de g~n~ra­ teurs du

A

-module M; puisque M=

6

~. M, on a

- 5 -

H. Cartan k

, ~,x,' x = ~ 11 1 i= 1 k

d'ou

~

(1 -

)x

1 1

2-

=

~,x, 1

i=2

1

•

~ 1 a un inverse dans l'anneau local A ,done xl est combinaison lineaire de x 2' ••• ' \ ' contrairement a I'hypothese de minimalite.

Or 1-

Corollaire du lemme 1. -

Soient xi €: M des elements en nom-

Ji dans l'espace K-vectoriel M ®,ft. K=MI 'n'(.M

bre fini, dont les images

A-module M est de type fini,

engendrent cet espace vectoriel, Si Ie

les

x, l'engendrent. 1

En effet, soit M' Ie sous-module de M engendre par les x,; on 1

a une suite exacte

M

I

®.A,

f

K ~ M

®,A.

K ~ (M/M') ~ K ~ 0 ,

et puisque f est surjective par hypothese, on a (MIM') ®,A. KeO, donc

MIM' =0 d'apres Ie lemme 1, puisque MIMI est de type fini. Lemme 2 - Soit.A un anneau local, de corps residuel K. Pour qu'un

A-

module Y, de type fini, soit libre, il faut et 11 suffit que Tor~ (y, K)=O. La condition est evidemment necessaire. Pour '{oir qu'elle est suffisante, on choisit des Yi £ Y dont les images

'~t €

Y

®,A K forment

une base de cet espace vectoriel; les y, sont en nombre Hni, et engendrent --

1

A

Y (corollaire du lemme 1). Soit X Ie

-module libre ayant pour base

des elements x, en correspondance bijective avec les y,; on a done une ap1

plication lineaire surjective X duit un isomorphisme

X

~

1

Y, qui par passage aux quotients in-

®Jl K ~ 7

Y

®,A

K . Soit N Ie noyau de f •

- 6 H. Cartan

La suite exacte des foncteurs Tor donne ici:

Puisque g est un isomorphisme, et que TO~ (y, K)=O par hypoth~8e, on obtient N QP", K=O, donc (lemme 1) N=O; par suite, f:X -

Y est un isomor-

phisme, et puisque X est libre, Y est libre.

C.Q.F.D. Lemme 3. -

Soit

A

Alors on a, pour tout

un anneau local satisfaisant

.It. -module M,

°a la condition (P n)

•

pour i) k,

0.3)

et en particulier, pour k=n,(J = n

'We. (

A ) ):

A Tor n+l (M,K) = O.

0.4)

En effet,

consid~rons,

pour chaque entier k tel que 1 $r kEn,

la suite exacte

0.5)

A /J k _1 sur son quotient A/J k ,

OU vk est l'application canonique de et Uk

la multiplication par xk ' qui par hypoth~se est une injection. La suite exacte des Tor noils donne ici des suites exactes d~signe

8

- 7 H. Cartan

0.6)

On va alors prouver (3) par recurrence sur k: c'est trivial si k=O, car

Tor~1 (M,A

)=0 pour i

> O.

8i 0.3) est vrai pour k-l (k

~

1), et si i :> k,

les deux termes extr@mes de la suite exacte 0.6) sont nuls, done Ie terme median est nUl. C.Q.F.D. Nous pouvons maintenant demontrer Ie par

hypoth~se,

0-... y

o

A

n-

1.1. Nous avons,

des suites exaetes

o --... y 1 -+ Xo --+ M

oil X , ••• , X

theor~me

n

-+-X

n-

0

~1 Y ~1 0

n-

1 sont libres de base finie.

A

~

A

On en deduit des suites exactes

A

Tor +1 (X , K) ~ Tor 1 (M, K) ~ Tor (Yl' K) -+ Tor (X ,K) 0 n+ n n • n A J.. .}.. A. Tor n (X 1,K) ~Tor n (Y 1,K) ~ Tor n_l(Y 2 ,K) ~Tor n-l (X 1,K)

Dans ehacune de ces lignes, les termes extr@mes sont nuls, puisque les X, sont des modules libres; on obtient done 1

9

- 8 H. Cartan

Or,

J.

Ie Iemme 3, Tor

d'apr~s

n+

I (M,K)=O. Done

A Tor .. (y ,K) ,;a

n

= 0,

et eomme Y est de type fini, eeci entrafne que Y est libre (lemme 2). n

Ceci

n

d~montre

D~montrons

Ie

th~or~me

enfin Ie

1.

tMor~me

1.2. Supposons l'existenee de

suites exaetes

0-+ BI ---'Ao--+ M ~ 0 0-+B2~Al~BI~ 0

o ~B P~A p-~I oj) A , .. ., A I et B sont libres (non o p_ p -raisonnant eomme ei-dessus, on trouve

B

p-

-""PI

0,

n~eessairement

...

~

de type fini). En

.A

Tor 1 (B ,K) ='0 • p

Done Tor J,. 1 (M, K) = 0 • Soit maintenant une suite exaete eomme dans

p+

l'~none~

du

tMor~me

2 (les X., pour i 1

~

p-l,

~tant

libres de base finie),

et soit Y Ie noyau de X 1 ~ X 2 (resp. de X p

m~me

p-

p-

•

raisonnement que ei-dessus montre que

10

M si p=l) • Le

- 9 H. Cartan .A

.A

:::s Tor 1 (Yp,K) ,

Tor p+l (M,K) .A

et par suite Tor 1 (Yp,K) = 0; d'apr~s Ie lemme 2, Yp est libra, et Ie th~or~me

2.

1. 2 est

Pr~faisceaux,

d~montr6.

faisceaux et espaces

~tal~s.

On rappelle ici lIuccinctement les notions essentielles; pour plus de d~tails on renvofe au livre de Godement T

d~signe

un espace topologique,

Un prMaisceau G de greupes

donn~

[7] . une fois pour toutes.

sur T, est

ab~liens,

pour chaque ouvert U C T, d'un groupe

ab~lien

d~fini

o~

Y 1 ----+ Xo ~ F

Y2

q

~

1 .

la resolution (6, 1) en petites suites

exactes

o~ o ---?

-.~

Y n-l

Xl

--')00

.-+

0

Yl ~ 0

X· ~ Y ~ 0 n-2 n-2

Xn-~ Xn_l~ Yn_l~O

35

4),

- 34 H. Cartan

On a r H (P, X.) 1

=0

pour r

parce que chaque X. est isomorphe 1

isomorphes

a (f ,

et que Hr (P,

~

a une

1

(i=O, ... ,n),

sommeqirecte de faisceaux

rr )= 0 pour r ::,. 1 (cf.

fin du

n~ 5,

corollaire). Alors les suites exactes de cohomologie relatives aux suites exactes (6.2) donnent successivement, pour q

;r.

1,

q( q+l() q+2( ) _. _. q+n )_ H P,F) ~ H P'Y l ~ H P'Y 2 ~ ... ~H (P,Xn -0, ce qui demontre Ie theoreme. Proposition 6.2. - Si on applique Ie foncteur F ~

r (P, F)

~

la suite exacte (6. l), la suite que l' on obtient

est exacte

[on obtient donc un "theoreme des syzygies" pour Ie modu-

r (P, F) sur l' anne au r (P, if ) des fonctions holomorphes sur l~ cube compact P J

le

Demonstration: on applique Ie foncteur-section aux petites suites exactes (6.2); on obtient des suites O~

(6.3)

I

f(p,y l ) ~ r(p,X o ) ---. f(P,F)

~O

0---. r(p'Y2) ~r(p,Xl) --+f(p,y 1 )---.. 0

.. .......... . ... . ..... ... .. 36

- 35 H. Cartan

qui sont exactes, parce que

HI (P, X ) = 0 n en vertu du

theor~me

B ci-dessus. En composant les suites exactes

(6.3), on obtient la proposition 6.2. On va maintenant prouver Ie

theor~me

theoreme suivant, qui depend d'un entier p . ) Theor~me \6.3 • -

cr

un faisceau pOint x

e

~

6. 1. II result era du

0.

n Soient P un cube compact de ([ , et F

p

--

-

-coherent au voisinage de P; Supposons que, en chaque

rfx -module

P, Ie

F x admette une resolution libre de type

fini et de longueur ~ p (cf. n~

1). Alors Ie faisceau F poss~de, dans

un voisin age de P, une resolution libre de type fini et de longueur Admettons pour un istant ce 1.1, Ie module F

x

theor~me.

theor~me

theor~me

p. Donc Ie

theor~me (6.3)

6. 1. II nous reste donc seulement

p

a chaque

fini, de longueur ~ p, du

U

theor~me

a prouver

n Ie

(6.3) , pour chaque p. Attachons

du

Ie

theor~me

point x E P une resolution libre de type

ifx-module

d'Oka, chaque point x E P

F

x

. 0' apr~s Ie corollaire

poss~de

un voisinage ouvert

dans lequel existe une resolution libre de type fini, de longueur

~ p, du faisceau F

Iv.

Vn raisonnement de compacite et un quadril-

lage convenable du cube montre alors que Ie theor~me (6.3)

p

sera de-

montre si nous savons resoudre Ie probl~me elementaire de "recollement" que voici : Probl~me

p.

admet une resolution libre de type fini et de longueur

~ n, et ceci quel que soit Ie point x E

entrafne Ie

D'apr~s

~

(p) . -

Consicterons, dans IR

37

2n

= lR x IR

2n-l

,deux

- 36 H, Cartan

cubes P " = I x Q et P "=" I x Q,

.\ OU

. I I et I " d~t'slgnent deux segments con-

tigus de JR, et Q un cube compact de lR 2n-1; soit P = pi U p" = I x Q , avec I = I' U I" (P est donc un cube compact, et I' () I" est r~duit

1a 1

un point ~, de sorte que pi ("\ p" est un cube

x Q), Soit F un

faisceau coherent au voisinage de P, Supposons :.onnue une libre, de type fini et de longueur

~

~

r~solution

p, du faisceau F dans un voisina-

ge de p' ; et de m~me dans un voisinage de p", dans un voisinage de P, une

a

r~solution

n s'agit

de constuire,

libre, de type fini et de longueur

p, du faisceau F, On va prouver, par

est soluble, La

r~currence

r~currence

sur p,

commence avec p

probleme (0) n'est nullement

~vidente.

= 0;

que Ie probleme (p) mais la solution du

Dire que Ie probleme (0) est so-

luble, c' est dire que tout faisceau coh~rent F dont la restriction et la restriction

a p"

a pi

sont des faisceaux libres, est lui-m~me un fais-

ceau libre au voisinage de p, La solution du probleme (0), puis la

d~monstration

de la

r~-

currence, utilisent Ie : Lemme sur les matrices holomorphes inversibles, les notations

pr~c~dentes,

soit M une matrice

carr~e (a

Avec

q lignes et q

colonnes) holomorphe au voisinage de p' ("\ p", et inversible (i, e, dont Ie d~terminant est

f

0 en tout point de pi" p", donc en tout point d'un

voisinage), Alors il existe une matrice M' (a q lignes et q colonnes) holomorphe et inversible au voisin age de pI, et une matrice M" (a q lignes et q colonnes) holomorphe et inversible au voisinage de p", telles que l' on ait

M = M"

0

M' -1

dans un voisinage convenable de p'" p",

38

- 37 H, Cartan

Nous ne d{!montrons pas ce lemme ici, et renvoyons a [3] ' ainsi qu'a un livre annonc{! de Gravert -Remmert, qui contient une d{!monstration simplifi{!e de ce lemme, On va maintenant r{!soudre Ie probleme (0), Soit

If': dql~F un isomorphisme de faisceaux au voisinage de pI, et soit

If "

/'f'q"

V

---9>'

F

un isomorphisme de faisceaux au voisinage de p", Dans un voisinage convenable de p',.. pI!, on peut consid{!rer l'isomorphisme

L'existence d'un tel isomorphisme implique d'abord ql =q"; soit q leur

Cf ,,-1 0 'P':

valeur commune, Alors sections continues de

(fq

-dq

est dMini par q

(Jq au voisinage de pI f"I p", c'est-a-dire par

une matrice holomorphe M (a q lignes et q colonnes) au voisinage de P I,.. p",Comme

ID,,-I ... ,. ..

lDI T

"lsomorp h"lsme, M es t"mv e rSl"ble , estun

D'apres Ie Iemme pr{!cMent, on a M = M"

(0" "f

0

M" --

lD' ... M' 1"

0

(j q -+ 39

,d'ou

" " de pi" au vOlsmage , 1 p"

Or Ie premier membre est un isomorphisme pI, et Ie second un isomorphisme

1-1

M

if q ~ F

,

au voisinage de

F au voisinage de p",

- 38 H. Cartan

Puisque ces deux isomorphismes coincident au vOlsmage de p' f'I pI!, ils dMinissent, dans un voisinage convenable de P

(J q -+ F, Ceci resout Ie probleme

morphisme

Soit maintenant p

= pi U pI!, un iso(0).

1, et supposons que Ie probleme (p-l) soit

~

resoluble pour tout faisc eau coherent F au voisinage de P

= pI V pI!,

On va montrer que Ie probleme (p) est resoluble, Par hypothese, on a deux suites exactes de faisceaux:

(6,3)

j ° ~ Nt ° Nil ~

c.p'

~

o-ql --'--"""''''

F

-'---t-)o

rJ ql! _-=----+,. c.p"

F ~

11" If 1/

-+0 au

voisinage de pI,

°au voisinage de pI!,

et Ie faisceau N' possede une resolution libre de type fini, de longueur ~ p-l, au voisinage de pI, tandis que NI! possede une resolution libre,

de type fini, de. longueur ~ p-l, au voisinage de pI!, Passant aux sections continues au-dessus de p' () pI!, on obtient deux applications surjectives

(cf, proposition 6,2) f' pI! , 0' qI ) ~ r(p' f'I P",F)

pI! , (J ql!)

II existe donc une application

g:

telle que fl!

0

r (p' "

pI!,

-4 r (pJ"

r (pi 0" q

I

fl

)~

pl!,F) ,

if )-lineaire

pI!,

r (P n I

pI!,

if q

I!

)

g. = f' ; une telle g est definie par les images des q' ele-

ql ), ments de base (1,0, ... ,0), (0,1,0, ... ), .. ,,(0, .. ,,0,1) de r(p'(,,\ pI!, I! qui sont q' sections de ()' q au-dessus de p'" pI! (donc au-dessus d'un

cr

40

- 39 H. Cartan

voisinage de pi" pll). Ces ql sections definissent un morphisme de faisceaux

t '1 es t 'Imm","'d'lat que dans un VOl'sl'nage de p'" • lpll, eI

If"o'A ='f'

(6.4)

au voisinage de p' () pll.

Pour la m@me raison il existe, au voisinage de p' f'\ pll, un morphisme

tel que

If' 0 f

(6.5)

\f"

=

au voisinage de pI" pll.

Des suites exactes (6.3) on deduit les suites exactes

O~N'$ (J'q (6.6)

o~ (} q'•

II

N

II

(

I

1)

I

If,~ (J~e (/q

(1, ",")

I'q'

> V

II

(..,'

,

0)

~F-+OauvoisinagedeP:

. .-tI" (0, 'l' ") ,, II $ (, ,. F -'" 0 au vOlsmage de P • II

Observons que, au vblsinage de pI, Ie faisceau N'. (/q solution libre de type fini, de longueur ceau

d qI ~

~

p-l; de

m~me

admet une repour Ie fais-

Nil au voisinage de p".

J e dis que, au voisinage de pI" pll, il existe un isomor-

41

- 40 H. Cartan

tel que

(0. lp ") 0 J)

(6.7)

Pour dMinir

= (

'P' .0) au voisinage de

)) • il suffit de dire comment il I

(x' • x") de sections de

(/ q et

(J q

pI" p".

op~re

sur les couples

II

; posons

V(x'.x") = (x'- IAx". '>.x'+x"- Afx ll ). ou ~

et

ont ~t~ d~finis plus haut. On v~rifie aussitllt (6,7) en uti-

fA"

lisant (6,4) et (6.5); et on prouve que exhibant l'isomorphisme

r~ciproque

(x'.x")-... (x'+ D'apr~s

vest un isomorphisme. en

fA x"- f-A x'. x"-

'),x/).

Ie lemme sur les matrices holomorphes inversibles. on a

v = Mil

0

M

1-1

au voisinage de p'" pll.

ou M I (resp. Mil) est une matrice holomorphe inversible (fl. q lignes et q colonnes. q=q' +q") au voisinage de pI (resp. pll). La relation (6,7) donne alors

(0.

'P")

0

Mil = (0.

'P')

0

42

M' au voisinage de p'

n p".

- 41H. Cartan

II existe done, dans un vOlsmage de p=p I U pll, un morphisme

oq-+

t.p ")

F, qui coincide avec (0,

avec (0,1/' )

0

M' au voisinage de

pl.

Mil au voisinage de pll, et

0

Ce morphisme

If

tif; soit N son noyau. Au voisinage de pI, Nest isomorphe au voisinage de pll, Nest isomorphe

aN

la solution du

probl~me

If:

,

a (Jq e

est surjec-

aq;

a N' $

Nil. Appliquons alors

(p-1):. on voH que N admet, au voisinage de

P, une resolution libre de type fini et de longueur p-l. La suite exacte

o

O'q ---+

-+- N ~

F

---+

0

fournit alors une resolution de F au voisin age de P, resolution qui est Hbre, de type fini et de longueur

~

p.

Nous avons ainsi demontre Ie en particulier Ie

7.

Theor~mes

theor~me

(6.3)

p

pour tout p;

6.1 est etabE,

theor~me

A et B : passage

a

la'limit.e •

Au numero precedent, nous avons etabli deux

theor~mes,

de-

signes sous Ie nom de l'theor~me A" et de "theor~me B", pour les cubes compacts de tn, On se propose d'etablir des theor~mes analogues dans d'autres cas. Nous adopterons Ie langage suivant: nous dirons que les

theor~mes

A et B sont vrais pour un ouvert U (d'une variete analy-

tique complexe X) et un faisceau coherent F sur U, si Ies assertions suivantes sont vraies: (a) l'image de F , quel que soit x

x

(£

r

(U, F)

-~ F engendre Ie x

{/' - module

x

U;

(b) Hq (U, F) = 0 pour q ~ 1 • Proposition 7.1 -

Si U est un polydisque relativement compact

43

- 42 H. Cartan

de (];n, et si F est un faisceau coherent au voisinage de I' adherence U, les theoremes A ~ B sont vrais pour U ~ En effet, on sait que Hr (U, ()' )

FI U •

= 0 pour r ~ 1 (cf. la fin

du n~ 5), Par ailleurs, tout voisinage V de U contient un produit de disques ouverts U1 x.•• x Un contenant U; par une transformation conforme sur chacune des variables complexes, on se ramene au cas ou U1" " , Un sont des carres ouverts; il existe donc un cube compact P

-

contenu dans V et contenant U • Si F est un faisceau coherent au voisinage de U, F est COherent dans un V, donc au voisinage d'un cube compact P contenant U, D'apres Ie tMoreme 6.1, il existe, au voisinage de P (donc au voisinage de et de longueur

~

'IT)

une resolution libre de F, de type fini

n, ·On peut la restreindre

Ie theoreme A est vrai pour U et phisme surjectif de faisceaux (

a l' ouvert

11 U parce

U, Cela etant,

que, dans U, on a un mor-

d IU)p --+ FI U,

Quant au theoreme B,

il se demontre comme dans Ie cas du cube (cf. n~ 6), compte tenu du

fait que HZ(U,

if) = 0 pour

r ~ I,

La proposition 7,1 n' a qu'un

inter~t

transitoire. On verra en

effet plus loin que les theoremes A et B sont vrais pour tout polydisques ouvert U (non necessairement borne) et tout faisceau coherent F sur U, Mais, pour Ie demontrer, il reste celle du passage

a la

a surmonter

une nouvelle difficulte:

limite, D'une fa(J 4: la

(( -modules:

on obtient une suite exacte teur "exact

(suite exacte) •

--~> F

If x s'interprete comme suit :

h~

x

morphisme f de (15) est defini

par q sections continues fl, ••• , fq de (j P, c' est- a-dire par q fonc1 q P tions holomorphes f , ••• , f a valeurs dans (f: • Alors la valeur de t.p x sur Ie i-ieme

~ecteur

de la base canonique de 4: q est egale

a i(x) :

valeur, au point x, de la fonction holomorphe fi. Ainsi, f1, ••• , f q de-

72

- 71 H. Cartan

finissent une matrice holomorphe M (x) a. p lignes et q colonnes; et la matrice de l' application

lin~aire

'f' x est

la valeur. au point x. de

cette matrice. Cela dit. l'exactitude de la suite (15.2) donne, en comptant les dimensions des espaces vectoriels :

(15.3)

>m

Les points x 011 rg (F x)

m est un sous -ensemble analytique Y x distinct de X. Si X est irreductible (c'est-a-dire si X n'est pas reunion de deux sous-espaces analytiques Xl et X" tous deux distincts de X), l'ouvert X - Y est dense dans X. Dans Ie cas general (ou X n'est plus necessairement irreductible), un raisonnement facile montre que l'on a encore Ie resultat suivant : Theoreme 15.3. - L'ensemble des points x ~ X

~F x n'est

pas libre est un sous-espace analytique, dont Ie complementaire est un ouvert D partout dense.

Le rang de F • aux points x E D. est constant x

si X est irreducible. Supposons maintenant que X soit une variete analytique complexe de dimension n. Alors Ie theoreme des syzygies (theoreme 1.1) s'applique au

ifx-module

F

• x Definition: on appelle dimension hoinologique de F x' et on

note dh (F x), Ie plus petit des entiers m tels que F x possede une resolution libre, de type fini, et de longueur m (cf. n2 1). On con'ient que si F x = 0, dh (F x) = -00; sinon, dh (F x) est un entier

~

0 et

~

n;

dh (F ) = 0 si et seulement si Fest libre et! 0 • x x -Si FrO, Ie theoreme 1.2 donne Ie critere suivant : choisisx 74

- 73 -

H. Cartan

sons arbitrairement une suite exacte

et soit N Ie noyau de f

x

[Si m = 0, la suite se compose uniquement

x

de F -+ 0, et N = F ; si m = I, f d~signe ( (J )PO ~ F ] x x x x x x ~ dh (F ) .. m, il faut et il suffit que N soit libre.

x

x

Th~oreme ri~te

' Pour

15.4, -

Soit F un faisceau coherent sur une va-

analytique X. L'ensemble des x E X tels que

dh (F ) x

'>

m

est un sous-espace analytique de X. En effet, c'est vrai si m des x tels que F

x

f

m)

> m.

ou 1'espace analytique X n'est plus

nec~s­

sairement une variete, on introduit une notion autre que celle de dimension homologique (celle-ci pourrait

~tre

X comme sous-espace a.'lalytique d'une F est un faisceau

infinit:), variet~

(f (X)-cohCrer.t, llo~ons ~ Ie

"

ir.duit F sur X et est nul hers de X; F doit

75

Realisons localement Y de dimer,sion N; si faisceau, sur Y, qui

~trc c(Jl'sideI'~

comme fais-

- 74 H. Cartan

rr (Y)-coh~rent.

ceau

On a, pour x e X,

(f'x) ~

dh

[ dh

(F'x)est

N

consid~r~ comme module x (Y), et non comme module

la dimension homologique de F

sur l'anneau de

s~ries

sur l' anne au quotient

ifx

convergentes

0:

• On montre que la

(X) ]

diff~rence

;...

N-dh(F) x ne

pas du choix du plongement de X (au voisinage de x) dans

d~pend

une vari~t~. Cet entier

S' appelle

la profondeur du

{/ -module F , x

x

et se note

prof (F ). x

II est ~gal

a + 00

Le

si

Fx = 0;

th~or~me

Flo. x

15.4 a pour : Soit F un faisceau coMrent sur un espace ana-

Corollaire. ~

il est fini et ~ 0 si

X. L' ensemble des x tels que prof (F )

m), on voit que I' espace analytique du

car pour r> 0,

d~rivable,

V r,

e.,

=

V*'« *~ = V fit r'""

lim qui montre que V

r,

en est de meme de Ceci

e.

= V

Ve.. '

pos~,

r

'* oL~

0, on a

r=O

~tant

V r,

e. =0

130

=

V.

Ve. , r

=V

e..

fonction croissante de

montrons

V = lim

e.,

0(0 ~c( ~ r

e. ' il

- 37 P. Lelong It

Tout d' abord V = lim

V

existe et est une fonction semi-conti-

eo. =0 e,

nue sup~rieurement. En effet,

E.

> 0 ~tant donn~,

pour

e.

suffisam-

ment petit on a en un point x :

V (x)

m

ce qui donne,

+

e

1 c

d'apr~s

(9 )

De plus on a V(x) = lim

e. =0

v: (x)

moyenne A(V,x,e.,) sur la boule

II

a-dire presque part out

tMor~me

gration pour partie, (8)

Ve, (x) (on d~signe par

unit~ dans R m).

"C

m

d'apr~s s'~crit

=

Ie

J

m-l

tout point x ot) la

xI-xII = ~

tend vers V(x), c'est-

de Lebesgue. Par une

int~­

en effet

r m o1

,W

en

!,

A(V, x,

e.

m

d~

u) u (-~) du

les mesures de la boule et de la sph~re

On a donc V = V" presque partout, et en prenant en chaque point Ie maximum en mesure et observant que V* est semi-continue sup~rieurement,

on obtient pour tout x :

V(x) = V (x) ,

(0)

Alors (9) et (0)

m

~tablissent

pour tout x:

131

V* (x)

- 38 -

p. Lelong

V(x)

(11)

= V". (x) = lim Ve.. (x)

Remarque: On a

aussi

~tabli

V(x) =liro

(12)

e =0

A [V, x,

e.J

en tout point x. On retrouve alors les definitions bien connues : Theoreme J. Pour qu'une fonction V(z) soit plurisousharmonique dans D, il faut et 11 suffit qu'elle y possede les proprietes suivantes 2a) On a

-00

~V

< +00

en tout point; V

¢

-00

dans D

2b) Vest semi-continue superieurement 2c) La restriction de V

est localement la constante plan L

1

-00,

a une

droite complexe L 1

. .

ou une fonction sousharmonique dans Ie

de la variable u. Remarque.

Pr~cisons

2c) : D () L 1 est la somme d'ouverts

connexes di et l'on exige que vi(u), restriction de V harmonique dans d. - ou, sinon, la constante

lit~

1

-00.

a di

soit R2 -sous-

On notera la possihi-

de construire Ie do maine d'holomorphie D d'une fonction f, et L 1

de maniere de L 1() D comporte des dk dans lesquels on a fk!! 0 pour certains k, f . • 0 pour d' autres, fj . etant la restriction ad. de f : J J V = log f.1 est plurisousharmonique dans d .• J J En ce qui concerne Ie cas sousharmonique, on a

I

Theoreme 3 I.

Pour qu'une fonction V(x) soit R m- sousharmoni-

132

- 39 P. Lelong

que dans D'C,R~ il faut et il suffit qu'elle soit semi-continue sup~rieure­ ment,

v~rifie

(3)

V(x)

0,

b

>o.

Des lors la recherche de sup V , V n

n

~

F dans un domaine

D, se ramene 8, celIe de la limite d'une suite croissante

F'.

Dans Ie cas sousharmonique cette- limite n'est une fonction sousharmonique que si elle est semi-continue. Toutefois on a : TMoreme 5. Si Vt est une famille F de fonctions sousharmoniques (respectivement plurisousharmoniques), W = sup Vt petite majorante semi continue

sup~rieurement

a pour plus it

une fonction W qui est

sousharmonique (respectivement plurisousharmonique). Definition:

On appellera

plus petite majorante semi-continue La pr~sentation

d~monstration

potentielle.

r~gularis~e sup~rieure (not~e sup~rieurement

directe du

a partir

des

th~oreme propri~t~s

d'une fonction W.

5 sans passer par la redes moyennes est clas-

sique (cf •. T.Rado: Subharmonic functions, Etg.der Math. dans Ie cas SDusharn'lonique. (cf. [4]),

E. ,n.1,

19'37)

Dans Ie cas plurisoushatmonique

on remarque alors que Ie passage

139

It

W ) la

a

Ia limite et

- 46 p. Lelong

la regularisation , W --+ W" permutent avec les changements Uneaires de variables utilises au theoreme 1 : celu1-ci permet donc d' affirmer que s1

Vest plurisousharmonique, W~ l'est aussi.

t

.

On peut d' ailleurs se ramEmer au cas un lemme de Choquet (cf. Lemme: nombrable d' ouverts, les sur E.

n existe

d'une suite V d' apres n

[2J):

Soit E un espace topologique, ayant une base de-

fy-

i (: I une fa mille de fonctions

a valeurs

reel-

une sous-famille denombrable 10 C I, telle que si

g(x) est semi continue inferieurement et verifie

g(x) ' fr (x)

•

= inf.

f. (x),

i

l'

e

10

on ait aussi

g(x) ~ fI (x) = inf. f.(x)

~ I

1

Demonstration:

Au besoin en posant

supposer -1 ~ f ~ +1. On utilise une suite

f = ~ 1 1+ft,

WI' .... W p''''

de E formant une base des ouverts sur E, chaque

on peut d'ouverts

W k etant repete dans

la suite une infinite de fois, Alors pour chaque on, 11 existe i ' I , sahsn

faisant

inf

(14)

f. n

On posera g ~ fi

[in~ = I~, ~n

In

1 fr(y)(n'

(y) - inf n

montrant que pour g(x) semi continue,

' pour tout ix, entraine g.( fr La semi-continuite de g entraine n

140

- 47 P, Lelong

que pour tout x

E-

E. et

c> o.

g(y)

done un

wp CU.x

avee

il

existe un voisinage U tel qu'on ait

x

e. > g(x) - -2

.L = W* 1 '

et

donc

W ( W (. W* 1~ 1

= W*

et

Etude des suites croissantes - Cas sousharmonique.

V p =

Soit

e F(D),

Jl::l

lim V = W J, W*, On voit que la mesure U. (cO) = p r"p I Vp d -e = fj VP au sens des distributions converge vague-

f

ment car si

lim f'p

r

(f )

1 ~ ~ (D), Cf I '

lim

on a

Jb.

Vp,/, d'J: 'lim

Or West mesl1rable; si l'on pose sur les

€- ~ (D)

f" ( 0 dans D telle qu'on ait

m~mes z~ros).

Alors pour que

au voisin age de xo ' soit ~quivalente dans un voisinage de

fonction strictement plurisousharmonique d~rivable' V, il faut et

il suffit que soient satisfaites les conditions de Levi-Kroszka :

ucp»o

:-+ pour tout dz ,v~rifiant

167

f

1

dZ i =

r

-i dzi=O

- 74 p. Lelong

La

d~monstration

est classique : on peut prendre pour U Ie

polynome

les

cp i

~tant calcul~es en z

•

> 0,

; 0(

Al est Ie coefficient du d~velop-

pement

On a

' i

.

pos~ d cp = cP dZ i ' d" cP = cp 1 dZi • On obtient ainsi une autre definition de la classe

ment on a

~tabli

(C~).

Finale-

:

(5 )

(r ") ;

On a d'autre part (C 3)C on l'~tablit a partir de la notion suivante. On appellera agr~gat (de dimension n-l dans Cn) une r~u­ nion d'ensembles

'U1! n e~1 = e., 1

ferm~s

e., dont chacun est 1

constitu~

par l'intersection

~tant un ensemble analytique de dimension homo gene n-l d~fini dans un domaine U. et U. C U. un domaine compact dans U. ; 1 1 1 1 e.' 1

on appellera point int~rieur

sur e. , un point x E U.' () e! • 11 est clair 1

1

1

qu'a partir des ensembles analytiques not~s plus haut S(zo), attach~s a chaque point zO sont pas

€.

bD, D C (C~), on construit un agr~gat (les e i ne

suppos~s d~nombrables) et que la distance

6(z ,7) de

z € D

a b D paralielement a ~t est la distance de z a l'agr~gat. On a alors (cf.

[2bJ ) Proposition. - Si E = Je., 1

168

i

E (I)

I

est un agr~gat de di-

- 75 p. Lelong

mension n-1, D un domaine tel que D () E

z, qui est point interieur pour l'un des e.,

existe sur E un point que

t,

OU

S(z, t)

= ~, si pour tout z Eo D,

-7 = t £(z , t), -t

tel

1

vecteur unitaire, alors

est la distance de z

~

D

a l'agregat

-log

S (z, "t)

E parallelement

a

-r.

est une fonction plurisousharmonique dans D • Seule la classe (C 2) definie par la propriete du disque n'est pas incluse dans la suite (5). On etablit (C 2)C (("'!II) directement (cf. r1a]

et [2bJ) en s'appuyant sur la propriete du maximum pour les

fonctions sousharmoniques. On enoncera Theoreme. -

Les classes de domaines dans Cn considerees

successivement et fermees par Ie passage

a la

limite d'une suite crois-

sante de domaines sont identiques. Passage du local au global pour la P-convexite dans Cn • - On dira que D , do maine de Cn est localement P-convexe couvrement de D par des D.,

eux-m~mes

1

s'n existe un re-

P-convexes, de maniere que

D () Di ait ses composantes P-convexes. Soit Xo ~ bD; i1 existe alors une boule de centre x santes P-convexes.

, soit B de maniere que B () D ait ses compo-

• Supposons

D borne: il existe alors un recouvrement

de bD par des boules B l' ••• ,BN satisfaisant existe a

>0 tel que les boules B~)

a la

condition enoncee ; il

B~ concentrique a Bk ayant un

rayon r ~

= r k - a, recouvrent encore bD. Soit 1 Ie minimum de

pour z E

lJ B~

, et 11

distance de z, D

a

= inf

bD, et

(1,

~

frontiere de cet ensemble, on a

Sk(Z)

8 (z) eta~t la z E Bk n D a la ,-

) ; il est _ci,ir que,

~k (z) la distance de

a

(z)

169

8(z) ,

- 76 p. Lelong

des qu'on a nique pour

8(z) < 11 ; autrement dit :-log $ (z) est plurisousharmo8(z) < 11 ' des lors V(z) = sup [ - log 8(z), -log \ J

est une fonction V £ P (D) qui tend vers too quand z -+bD : Ie domaine

S(z) est plurisousharmonique

D est P-convexe ; en particulier -log dans D.

Le passage du local au global se fait donc sans toutes les

propri~t~s ~nonc~es

plus haut,

propri~t~s

difficult~

pour

qui expriment la

convexit~ de D, Cn ;par' rapport a. la classe P(D) des fonctions plurisousharmoniques.

2. Le probleme de Levi pour les espaces analytiques • Rappelons que si M est un sous ensemble analytique d'un domaine D d'un cn, une fonction f dMinie sur M est dite analytique (respectivement (Coo), respectivement plurisousharmonique) sur M si tout point xo ~ M a un voisinage U dans Cn suI lequel est dMinie une fonction monique, respectivement]

(c'est-a.-dire dans l'espace ambient)

r analytique

[(Coo) - plurisoushar-

et telle que la restriction de

7

a. M soit f.

En particulier une application holomorphe d'un ensemble ana.

I

,

lyhque M dans un M CDC C m est la application

'f',

donn~e

x 0 £ M ~f(x 0) E. M'

pour tout Xo

~

M d'une

d~finie et holomorphe sur

un U(x o ) de l'espace ambiant Cn • Les espaces qui suivent seront ni. Un espace analytique X pst un espace a un voisinage U(x) tel que U(x)

suppos~s annel~

denomQrables a. l'infi-

dont chaque point x E X

n X soit isomorphe a. un sous-ensemble

analytique coIhplexe M mum du faiscea.'u d'anneaux des germes de fonctions holdmorphes: plus pr~ci's~ment il existe un recouvrement

170

- 77 -

p. Lelong

de X par des ouverts U., et des isomorphismes (f). [U.] = M., M. 1 TIl 1 1 ~tant dMini comme sous ensemble analytique d'un certain Cni ; la con-

If

"" Ui fi Uj f 'f' i 0 ~ j -1 . est un isomorphisme d'ensembles analytiques appliquant (/) . [ u. () U.1 C M. I J 1 J J sur CD .W. () U.) C M .• r 1 1 J 1 Une fonction R sera dite analytique (respectivement (COO), plu-

dition de compatibilit~ s'~nonce

Sl.

:

risousharmonique) sur un domaine 0

C X,

X ~tant un espace analytique,

si l'on a

,..., f = f.

1

sur U.

1

n 0, f.~tant analytique

ment]

crJ. T1

0

[(Coo), plurisousharmonique respective-

1

sur M., c'est-a.-dire restriction a. M. de telles fonctions dMi1

1

nies dans un ouvert de Cni • On v~rifie: l'invarlance de cette d~finition par rapport a. la "r~alisation" M., qui constitue la carte de U. 1

1

ex.

On a en effet : Proposition. X et Y

~tant

Soit f une application analytique de X dans Y ,

des espaces analytiques; si pest plurisousharmonique sur

Y, alors po f' est plurisousharmonique sur X • En effet soit x. ~ X ; il existe un isomorphisme analytique

1': V ~ M d'un voisinage V de f(x o ) sur un ensemble analytique M 0 CN • II existe aussi un isomorphisme 'f' d'un voisinage U de Xo

.

sur un ensemble analyt1que

M, ,

G

CCm ,ou

'f

0 et G ont des do-

If

maines de CN et Cm respectivement. Alors 0 f 0 -1 est une application holomorphe de A dans CN et (quitte a. restreindre G) cette application F est d~finie dans G : G --. CN • Par ailleurs p

0

f

-1

est la' restriction d'une fonction plurisousharmonique P dMinie dans 0

171

- 78 -

p. Lelong

(en restreignant ~ventuellement D). Finalement Po Fest une exten-1 m sion de (p 0 f) 0 ~ a un voisinage de (x,,) dans e • ce qui

r

~tablit

la proposition. En particulier

dMinition des fonctions plurisous-

l~

harmoniques donn~e ne d~pend pas du .. plongement X f'\

u.1 -+ M.1 (

Fonctions strictement piurisousharmoniques • -

'f .

X.

d~finie sur un espace analytique

Une fonction

est dite strictement plurisous~

a valeurs

harmonique, si pour toute fonction h.

eni,

port compact dans X, il existe un nombre r~el

r~elles. (Coo), et

e>

a sup-

0 tel que

r:p+£h

-e0 et tout

faisceau analytique

holomorphiquement convexe et obtenu




[I'] ,

. ,(1) = 0 r,l 0, (theoremes A et B), que Hq(D t , (J) ~ Hq (0, IJ ) est

Ia methode de Grauert

surjectif. Il en resulte

(cf.

on deduit du fait que Hq(U

4a

et 4c et 4d

l

en utilisant un proce-

de en voie de devenir classique que

dim Hq (0

,C1 ) o.

2. II est clair que si D n'est pas un .do maine d'holomorphie, une fonction construite par Ie procede precedent

a.

partir d'une suite

se proiongera (par Ie procede) dans I'enveloppe d'holomorphie H(D) de D, les fk s'y prolongeant, ainsi que les Vk qui forment encore une famille

F

dans H(D) • Par

c~ntre

si dans Rn { Xl,..XnJ espace des parties reelles

(xk ) des (zk)' on se donne un domaine d non convexe

et une fonction

V (xl"'" xn) convexe, mais non prolongeable com me fonction convexe dans l'enveloppe de convexite d , V(x) est une fonction plurisousharmoc nique dans Ie tube T dMini par (de R

= partie

reelle) •

L'enveloppe d'holomorphie de Test T(d ), et si V etadt susceptible

c

d' ~tre construite selon la Proposition 1 dans T(d), elle se prolongerait en une fonction plurisousharmonique V(z) bornee superieurement sur tout tube T (d I), d I (: (d

• Alors V' (z) = sup V(z+ii) realiserait un prolonc t gement convexe de V(x) dans d , contrairement a. l'hypothese : un exemc pIe particulier d'une telle construction a ete donne dans [lb

1.

3. Supposons V(z) plurisousharmonique et continue maine d'holomorphie de en. Sur un compact KeD tif precedent

185

dans un do-

Ie procede construc-

- 92 p. Lelong

f

W (z)

= lim sup Vn ( z)

l

w*(z)

= V(z)

V (z) n

= a log n

I fn I ,

a ') 0 n

nous fournit un resultat particulier par application d'un theoreme enonce

£ > 0 etant n >N •

au Chapitre 2: pour

Z'

e K,

donne, on aura

Vn(z)

< W:£

= V +E

it

D'autre part on a W = W sur un ensemble part out dense et

*

en un point z ou W(z) = W (z) = V(z), il existe une fonction V telle n

qu'on ait

£.

/

~

V(z) - -2- (.. Vn(z) ~ V(z) + 2

11 existe alors un voisinage ouvert U de z dans lequel on a encore pour z 'E. U

et l' on peut recrouvrir K avec un nombre fini de tels ouverts U. ; chacun d'eux on aura fait correspondre une fonction V ni Finalement on aura: Proposition 2 . -

1

a

I f.1 1

Si V(z) est plurisousharmonique et continue

dans un domaine D, P-convexe, correspond un ensemble fini

= a. log

1

a tout

[ ai

> 0,

compact KeD et f i } ,.

a tout e.

>0

fi holomorphe dans D ,

tel qu'on ait

I

I

JI1 variables

du type (1,1) :

[ t dz" p,q p,q p

dz

q

p,q=l. ... ,n

,

r t p,q hp hq > 0,

pour tout vecteur

t = (hk)

complexe. Rappelons qu'A ~~e fonctlon V (A valeurs r~elles) plurisousharmonlque est attacMe une mesure

(2)

.

positive pour tout 1i • On me idz

ext~rieure

1\

p

-

h h P q

pr~f~rera interpr~ter

t correspondante, obtenue en

la condition sur la for-

rempla~ant

•

h h par p q

dz • Elle s'~crit t = id d.. V, et est dans ce cas une forme q z z

g6nAralis6e (ou courant, au Bans de G. de Rham). On est conduit ainsi 191

- 98 P, Lelong

a la

notion de forme positive

de degre I relativement

rieure E 2n (dz ,dz), La notion s'etend

a l' algebre

exte-

au degre p, 0, p, n, Les

formes positives de degre p sont de type (p, p) et forment un

c~ne

con-

vexe E~, D'autre part, les coefficients peuvent Nre pris dans un espace vectoriel (cas des courants) ou dans un anneau (par exemple celui des fonctions continues), Dans ce dernier cas, un

mon~me,

produit (exterieur)

de q formes positives de degre I , est encore une forme positive; on obtiendra un

c~ne

positif dont les elements sont multipliables,

2, Elements positifs, Plac;ons-nous d'abord dans Ie cas d'une algebre exterieure complexe E 2n sur Ie corps K des constantes complexes, avec l'involution a ....

a

qui se ramene

a la

base autoconjuguee (WI"'"

,

,_'

(WI' .... W n' WI'"

OJ

conjugaison sur

Wn ,

K , On considerera une

WI' ....

CJ n ) ; les bases

-/ W n ) dectuites de la premiere par une tran-

sformation (T)

(3 )

qui permute avec la conjugaison, seront dites permises; les transformations (T) forment un groupe G, Par definition les elements positifs de E 2n ' de degre zero, sont les constantes reelles positives a

e R+ ,

considerera de plus une forme fondamentale

- ) avec c ' R + (i W 1\ W

(4)

n

192

n

On

- 99 p. Lelong

Le passage

par c

I

a toute

I -I

autre base permise (W, W ) remplace c I ofdans (4), et l'on a encore c ~ R • On appelle lin~aire pour tout

~l~ment

':l(

~ E2n qui s' ~crit )( = DMinition • -

Un

r.

~l~ment

~k W k' ak E K.

0

entraine, si

fIE

f2~ E~:

On a

a~ R

On pose

n E+

193

=[

o

E~

•

t

•

E~,

et

- 100 -

p. Lelong

20

'f

Pour que

appartienne

a E~ il faut et il suffit qu'il

f

existe une base permise ( W, (;j ) dans laqueUe q

f

(6 )

I)

3

,

=

s.

'1

J

W.I\ W., J

1 ( q ~ n, s.

J

J

on obtient une fonctirln d'un 2(n-p)-vecteur

(5) pour un ensemble

A

=

lL~-P

a la

O(k

,s

d'un L

,s

= r.~k,S w.J

1

Cf)

est fixe,

n-p , 0( 1'···'

de systemes de

-

T (i) ,(j)

base ( W, {;j l. si

Si l' on explicite les elements 'Xk

+•

R

ex n-p)

On Ie voit en ecrivant

, .•• , L;P

etant Ie nombre de coefficients

l' ecriture par rapport

ex

£:

Ln-p , autoconjugue, notee

e(1' , Ln- p) ; cette application est injective. n

f

Pour la suite, remarquons que si dans (5)

et si 1'on fait varier Ie systeme Ln - p (c( 1' ... '

N = (C P)2

s'exprime par

f

f

L~-P

,

dans

est de type (p, pl.

n-p s

k = 1, ••. , n-p;

s = l, .... N •

On determine les coefficients par Ie systeme des equations (5)

a condition que Ie systeme soit regu-

lier. Considerons d' abord Ie determinant

(./) = II'a,J II .

h J S

k, S

'

j

e (j' ) ,

k = 1. .... n-p

(j I ) designant la combinaison complementiare de (j) • Le systeme qui

determine les

cP

(i), (j)

est regulier si 194

11 F a OU /j

est Ie deter-

,

- 101 -

p. Lelong

minant d'ordre N :

UII.X(j')

(7)

s = 1, •• "N (i I ) et (j' ) parcourant les combinaisons Cn - p ; I est la signature de n

la permutation

[ (i) , (il)]

par rapport

~

[ 1, ••• In]

• Si l' on

explicite les parties r~elles et imaginaires des aj k.s = a.,j + ia"j j \, s k. S k. s

on obtient pour ~ Ie produit par une constante non nulle d'un polyr Ij ] ~ coefficients r~els, non identiquement nul. nOme P Lak,s' a"j k,s Si 1'on pose

N = N(n-p)n • 1 a"j) dans 1'espace R2N 1 des (a I j ' k k ,s ,s ensembles

A

les points

r~sulte

que dans tout ouvert de R2N 1 •

il Y a des points repr6sentatifs de systllmes

r6sultat est utilis6 dans ~

'f'

des

non r~guliers forment une vari~t~ a1g~brique de dimen-

sion 2N 1 - 1 , soit W • II en

relatifs

repr~sentat'if s

A

non d6g6n6r6s; ce

[ 4] . Si l'on considllre les

et aux Ln-p s

d'un systllme r6gulier

J\ _ [n-p -

Ll

195

n-p , , ••• , LN

J'

e(

p; enfin t1 est donne

- 120 p. Lelong

Il suffit d' ~tablir Ie

localement, c' est- a-dire dans

th~or~me

un doma1ne D de en ; on dM1nit tl par (15) qui a bien un sens, car S(z)

> 0 dans D ; de plus tIE

Tr

q

s1 q ~ p , I' adjoint d' un courant

t € T+' appartenant a T" ; si pc::: q, on a Iftl = O. P n-p On ~tablit (14) a partir de (15), s1 test une forme, en appliquant la proposition 6 en chaque point. Pour passer aux courants on

proc~de par r~gularisation ; on a ~videmment en appelant RO( t =0( Ie

r~gularis~

Soit

de t au moyen du noyau

~

m

*t

0(

I,m

= 0(

m

t et

m

= S-2(z) ~ql\ ,

*t m

On a alors, d'aprh (14) et (5), puisqu'il n'intervient que des formes a coefficients continus

t

D' autre part

'f q

m

=t

I,m

Al,Jlq 1

~tant a coefficients continus,

t = lim m=oo D'apr~s

t

une suite de noyaux r~gular1sants, continus, tendant

vers la mesure de Dirac. Soit t

(6)

*

(16) lim tl,m=t 1 ex1ste et v~rifie

214

- 121 P. Lelong

et l'on a

t

Pour

l'unicit~,

et si t 1 est positif,

*\

= (lim

t

) 1\ q = t A UI q • 1, m I l

'¥

si ron a

l' est aussi et 11 existe alors t2 ' tel que

l'on ait

D'ou

t2 = S-2 (z)

et d' apr~s (17)

on retrouve ainsi l'expression (15).

215

*t

- 122 -

p. Lelong

Image d'un courant positif. -

Soit z J = f(z) une application

propre et analytique complexe d'une variete Wn analytique complexe dans une variete W' n analytique complexe. Soit t un courant positif sur Wn• Son image t I = ft est definie par

011 f 1

'f

resulte de

de z et dz ; t'

'P

par remplacement de z /

et dz I

en. fonction

est un courant positif.

On notera que si l'on considere deux ouverts U et U

I

en cor-

respondance biunivoque par f, et deux compacts K C u, K' Co u', avec K' = f(K) , il existe deux constantes a, b (dependant de' K) telles que

Applications. Cas des courants positifs fermes. 10

Si Vest une fonction plurisousharmonique, t = id

z

d- V

z

est un courant positif ferme. Reciproquement si Vest une fonction 10calement sommable ( tion 1c

-0)

~

de la Definition 1

V < +00 en tout point), si V verifie la condi-

,§

1 du Chapitre 2, et si id z dz V

'T~

Vest plurisousharmonique. De plus, si l'on se donne un courant t positif ferme de degre 1, l' equation

t

id

d_ V

z z

admet localement une solution V plurisousharmonique.

216

,

- 123 -

p. Lelong

2

/)

8i l'on consid~re en particulier la fonction V = log I f(z) I

associ~ t = i .1t -1 d d_ log

ou fest holomorphe, Ie courant

z z

If I

l'op~rateur d'int~gration

sur Ie diviseur f = 0 et la me sure positive

(1 B)

0"

t

=

,

est

Ap n-1 (n-l)!

= 0, On pose

est l'aire de l'ensemble analytique f

0(

Le

i = "2 dz d

r~sultat

[3

Courants positirs

e T~-P

1 -..r E T;.

\ log '- zk z k

n dans C - 0 .

a H.

(pour la formulation

(1B) remonte

actuelle, voir Kodaira

degr~ n-p, t

z

Poincar~

J ). ferm~s,

-

A un courant t positif,

de

, associons les courants de degr~ maximum

..; = Jt'

-p t "

0( p

fop p!

mentale

ferm~

est la forme fonda-

"~l~ment de volume" de la dimension complexe p. La forme

est la forme positive dMinie par

217

0(

- 124 p~

Lelong

(19)

Elle est positive car on a vu que V = log II z 1\ est plurisousharmonique, Elle est

d~finie

cr

plication

sauf pour z = 0 , Alors d'aprh Ie

et

th~or~me

de multi-

sont des mesures positives si t est un courant

)J

positif de type (P, p) , Utilisons maintenant l'hypotMse que t est en supposant d'abord que t soit une forme Ions

/lull B -B

en supposant t d~fini dans

11