Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche [3] 8808060241, 9788808060242 [PDF]

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HANDBOUND AT THE

UNIVERSITY OF

LEZIONI SULLA ^rin

OlllA

(JEOMETRICA DELLE EQUAZIONI

E DELLE FUNZIONI ALGEBRICHE DI

FEDERIGO ENRIQUES PUBBLICATE PER CURA DEL DOTT.

Volume

OSCAR CHISINI

III

BOLOGNA

NICOLA ZANICHELLI EDITORE

\'

1.'

EDITORE ADEMPIUTI

ESEKCITEBÀ

I

I

DIRITTI SANCITI

e SI

DOVKRI

DAME

LEGGI

LIBRO QUINTO

CURVE E FUNZIONI DI

F.

ENBiqCBS

- III.

ALGEBRICHE

UNA VARIABILE

Capitolo

Le

1.

gere aurva

serie lineari sopra

Introduzione.

—

I

—

Le

una curva.

teorie che ci

spesso comprese sotto

uome

propouiamo

di svol-

una una variabile indipendente, le quali vengono definite come funzioni razionali dei punti di una curva, ovvero come funzioni monodrome sopra una superficie di Eibmann. Sia f{xy) una curva algebrica piana, e si assuma una funzione razionale

—

s:

il

di geometria sopra

riferiscono alle funzioni algebriche di

=

t

'

^li^y)

«he verrà da noi considerata per per valori

di

a;

e

«/

f{xy) la

punti sopra la curva, cioè

i

soddisfacenti alla

= 0:

evidentemente una funzione algebrica della se si vuole a; (o, analogamente suscettibile di essere definita per mezzo dell'equazione

costituirà

t

della

y),

r{xt)

«he

si

—

—

variabile indipendente

= 0,

ottiene eliminando y fra le f{xy)

=

,

-^.{xy)

-

t^.{xy)

=

0.

In luogo di una curva piana si può assumere una curva {xyz) o a uno spazio di maggobba C (appartenente allo S^ gior dimensione), definita da un conveniente sistema di equazioni (cfr. L. 1", § 23, L. 3°, § 18): una funzione razionale t dei punti della curva risulta ugualmente una funzione alge-

=

brica della X, data dalla equazione

r(a;«)

=

che

si

ottiene eli-

LIBRO QUINTO

4

le variabili y, z.... Ciò appare in special modo evidente se la curva C è definita esprimendo le coordinate dei suoi punti come funzioni razionali dei punti di una curva piana, quale è per esempio una sua proiezione. Una funzione algebrica t{x) sì può anche definire qualitativamente come funzione monodroma priva di singolarità essenziali sopra una superficie di Riemann. Ma tale considerazione troverà posto più avanti e potrà anche essere lasciata da parte in una prima lettura di questo libro, per cui si richiede come premessa un minimo numero di cognizioni geometriche, affatto elementari. Ora, nello studio delle funzioni razionali sopra le curve, mireremo particolarmente a quelle proprietà che non mutanoquando la curva data, C, venga sostituita con una sua traSi dice che sformata hirasionale, è una trasformata birazionale di C quando fra G e interceda una corrispondenza biunivoca, in modo che le coordinate dei punti dell' una siano funzioni razionali di quelle dei punti dell'altra: in tal caso è chiaro che ogni funzione razionale su O dà una funzione^ razionale su e viceversa, avendosi un semplice cambiamento di variabili nella funzione algebrica» Come caso particolare, se O è una curva ragionale^ cioè una curva i cui punti corrispondano biunivocamente ai valori di un parametro (o ai punti di una retta), le funzioni razionali sopra G diventano semplicemente funzioni razionali d'una variabile, corrispondenti a involuzioni sopra la retta

minando

—

—

C

C

C

C

(cfr.

L. 2% §

3).

Ripigliando il discorso generale, diremo ora che, nella nostra teoria, è lecito passare indifferentemente da curve piane a curve gobbe e da queste a quelle, per mezzo di una corrispondenza biunivoca che può essere, per es., una proiezione. In conseguenza

curva a cui

ciò

di

ci si riferisce

sia

può anche supporre che la una curva dello spazio ordiovvero una curva piana dotata

si

nario priva di punti singolari, soltanto di punti doppi o multipli a tangenti distinte. Infatti

si

è visto che

:

Una curva

piana dotata di singolarità qualunque si 1) può ridurre, con trasformazioni quadratiche del suo stesso piano, ad una curva dotata soltanto di punti multipli a tangenti distinte, ognuno dei quali corrisponde a un gruppo di punti semplici della primitiva (L. 5", § 15). .

CAPITOLO 2)

luuqne, ^

,

appartiene

=

LMNP

la f^, al

per

rette

e

seganti su f^ le i 9 punti

passando per

loro fascio ; ciò

da

trova poi Tc l tenendo conto della coppia unità. la gì dei gruppi di livello Esempio. Sopra la retta y della funzione razionale e

si

=

appare segata dal fascio

le cui

curve

stessa gì

si

si

spezzano in n rette parallele all'asse le curve del fascio

y.

La

può segare con

Una conseguenza della osservazione precedente è che: aggiungendo ad una g^ un gruppo Gm di m punti fissi, arbitrariamente scelti sopra la curva f, si ottiene sempre una „• Infatti se la gì viene segata su / dalle curve d' un fascio gf],,

si

può sempre

sostituire

a

,

questo fascio secante un altro punti del i suoi punti base

fascio di curve contenente fra

i

una curva G^'. basta a tal uopo aggiungere alle 9^ e che contenga G^^ ,6 se si vuole un fascio di curve irreducibili prendere

gruppo

cp^

fissa 6

—

ì^ota.

—

In ciò che precede appare esteso alle curve

il

con-

cetto della funzione razionale, e della relativa gl^ sopra una retta. Ma alcune delle proprietà elementari delle gì non si

estendono ugualmente passando dalle rette

alle curve.

CAPITOLO Sopra 1)

cioè

i

la retta

15

I

abbiamo che:

Due gruppi

determiiiauo sempre una gj^, una funzione razionale possono essere

di n punti

poli e gli zeri di

assunti ad arbitrio. 2)

Una

gì

possiede 2n

—2

punti doppi.

teorema di Lììkoth, cioè: la serie o^^ dei gruppi di livello di una funzione razionale è caratterizzata dalla proprietà invohiioria, per cui ogni punto della retta appartiene ad un gruppo. E queste tre proprietà non valgono in generale per le curve 1) Consideriamo una cubica priva di punto doppio, e sopra di essa due terne di punti G.^ e G^' appartenenti ad una gì: si dimostra che se la terna G^ è costituita di punti in linea retta, altrettanto avviene per la G^', e quindi una terna di punti non allineati presa insieme alla G^ non può appartenere ad una medesima g\. Se G^ e G^' appartengono ad un^ gfj, questa verrà segata da un fascio di curve ^n i gruppi di y^, assumendo, per es. come coordinate di un gruppo le funzioni simmetriche elementari delle coordinate dei suoi

è evidente a priori per chi

punti.

E

si

ottiene, nel

modo

più semplice, l'equazione di

y, rappresentante la yj, prendendo sopra / le funzioni razionali simmetriche dei punti {Xiyi) dei suoi gruppi

una curva piana

= Xg n = y,y2-"ySj

,

si

-^h-^h

fa passare l^ alla destra di l^, la sostitenuto conto del verso in cui si percortrasformerà mediante '

:

..'•'

•...

Queste osservazioni permettono di assegnare in senso funzionale la riduzione delle riemanniane ad un tipo canonico, cui già accennammo da un punto di vista puramente topologico, dimostrando così, nel suo significato proprio,

Teorema

di

il

Lììkoth-Olbbsoh.

La

superficie

di

Biemann

una funzione algebrica ad n diramazione semplici A^A^ .... Ay^ 2w -f- 2^ — 2), si può sempre costruire scegliendo un conve()» niente sistema di tagli susseguentisi OA^, OA^ .... OA^, rispetto a cui i rami (opportunamente numerati) subiscono le trasposizioni ad n rami

fogli,

rappresentativa di

y{x),

=

coi

punti

di

(12)(12)....(12)(12) (23)(23) (34)(34)

.... (ji

1, n){ìi

—

1, n).

{2p -h 2 volte)

In vista

delle applicazioni

che questo teorema riceverà

nel seguito, vogliamo svilupparne qui la dimostrazione, stabi-

lendo successivamente i seguenti punti. 1) Si può ottenere che siano consecutivi

tutti

i

cappi

CAPITOLO

27

I

corrispondono sostituzioni) operanti sopra un medesimo

(cui

ramo

1.

l^ un cappio operante sul ramo 1, e indichiamo insieme dei cappi ad esso consecutivi (a destra e a sinistra) che operano ancora su 1 se tutti gli altri cappi non

Sia infatti

con

(tj

l'

;

operano su 1 (che allora la nostra proposizione sarebbe dimostrata), il primo cappio alla sinistra di 6?^, trasportato alla destra di G^j verrà trasformato mediante le inverse delle sostituzioni di G^ e potrà operare o meno sopra 1 nel primo caso esso verrà aggregato all'insieme G^y nel secondo a un insieme complementare G^, costituito dai cappi consecutivi posti alla destra di G^ i quali non operano su 1. Al gruppo G^ andranno anche aggiunti gli altri cappi operanti su 1 che vengano a troper lo spostamento del cappio indicato varsi ad esso consecutivi. Eseguendo lo stesso trasporto successivamente sui singoli cappi posti alla sinistra di Gì (che non appartengono a (r/), si ottiene in definitiva che tutti i cappi appartengano sl G^ o a G/, sicché quelli operanti sul ramo 1 sono tutti consecutivi. ;

—

—

2) L'insieme, G^J dei cappi operanti sopra il ramo 1 può essere supposto contenere successivamente due cappi (la), due cappi (16), due cappi (lo)...., i rami a, h, e, essendo uguali

o diversi fra loro. Sia infatti (la) la sostituzione relativa al primo cappio ?« da (la) ; se il cappio posto alla sinistra di questo è diverso

di G^

portato alla destra non opera più su dal G^ e aggregato al

G^'.

1,

Così facendo

e viene quindi tolto si

viene a rendere

consecutivo al detto cappio (la) un secondo cappio (la) ; invero non può accadere che il gruppo Gì si riduca al solo cappio (la) poiché il prodotto di tutte le nostre m sostituzioni deve dare l' identità e quelle di G^ non operano sul ramo 1. Ottenuta così una coppia di scambi (la) relativi a due cappi consecutivi, sia (1&), con b diverso od uguale ad a, la scambio relativo al primo cappio h (di G^J alla sinistra di questi. Se il cappio posto alla sinistra di li, dà uno scambio diverso da (16) trasportato alla destra di la viene trasformato mediante il prodotto (]a)(la)(16) e quindi, non operando più viene aggregato al G^'. Si troverà così un secondo (16) consecutivo ad Z^, la cui esistenza effettiva si riconosce come precedentemente. Similmente dopo i due

su

1,

cappio

scambi

(16) si

avranno due scambi

(le) e così via.

LIBRO QUINTO

28 3)

L'insieme G^

può supporre composto

si

di

uu nu-

mero

pari di cappi (12). Infatti anzitutto possiamo iijdicare con 2

ramo

il

a,

sicché

due cappi consecutivi {la) danno due cappi (12). Se &=[=«, si possono portare i due cappi (16) alla destra dei due cappi (la), lasciando invariati questi e trasformando quelli in due cappi {ab) i

-che così cessano di far parte di G^

:

infatti dai quattro cappi

consecutivi (1&)

{Ib)

(la)

(la)

IV

III

II

I

IV

facendo passare III e

•e

'

ha

alla destra di II si

(la)

{ah)

{ab)

(la)

IV

III

II

I

'

facendo ora passare I alla sinistra di II e III (la)

Similmente in G^

si

(la)

opera se

{ab)

c=|=a,....

numero

sicché in definitiva resta

di cappi

(23), il

Infatti poiché

il

cioè di scambi (12).

m cappi possono essere gruppi consecutivi il gruppo G^ di un cappi (12), il gruppo G^ di un numero pari gruppo G^ di un numero pari di cappi (34)....

—1

pari di

ha

(ab).

un numero pari di scambi (la), 4) Teorema di Lììroth. Tutti gli

distribuiti in n

si

:

gruppo

monodromia

di

è transitivo, fuori

del G^ esisteranno dei cappi che operano su 2

facendo astrazione dai cappi del gruppo G^, possiamo operare sui restanti in modo analogo a quello seguito nei numeri 1), 2), 3) sicché tutti i cappi contenenti la determinazione 2 possono essere supposti costituire il gruppo G^ di un numero pari di cappi (23). Si

può anche supporre che G^

di

(t^,

medi.

portando per

E

nello stesso

es. alla

modo

sia

;

immediatamente

destra di questo tutti

si

i

alla sinistra

cappi inter-

costruiscono gli altri gruppi

G._^....

gruppo Gì possiede quattro cappi (i, i -+

ai

4.

come

Serie lineari

sezione di

fl*". •711

—

concetto della

Il

una curva fondamentale

fascio di curve ^oTo(«2/)-t-AiTi(a;y) si

considerata

f{xy) =

con un

0,

lascia generalizzare, definendo cosi le serie lineari

gate su il

=

q^,

*'1l'

/

numero

da un sistema

lineare.

sistema, ovvero questo

dei

punti

fissi

(apparenti

La dimensione

fra

con

i

essenziali

curve 9

numera

punti base delle 9) che

si

il

numero

dei parametri

suoi gruppi, e perciò equivale

i

|

le

del

agli anzidetti gruppi variabili.

r della serie designa

da cui dipendono dimensione del sistema

/

numero aumentato

aggiungano convenzionalmente

se-

n della serie sarà

dei punti intersezioni variabili di

del

alla

U ordine

gfj^,

9

LIBRO QUINTO

30 purché

quando

appartenga ad una sola (^, cioè un Gn della non sia contenuta (totalmente o parzialmente) nel / gij^

detto sistema.

Nel caso che

si

abbia un sistema di curve di dimen-

sione r-{-s

che seghi sopra / una gfj^, accade che ogni gruppo G^ dì questa appartiene ad oo* curve '^, formanti un sistema lineare, tra le quali ve ne sono oo*— * spezzate, che si ottengono imponendo alle nominate di contenere un altro punto di /. Oosì il nostro sistema 9 contiene, entro di sé, un sistema lineare oo*-* di curve, riducibili nella / e in una parte resìdua, il quale può supporsì rappresentato da |

|

é chiaro che la data

g^^

ahe non contiene più

si

annulla per tutti

i

La precedente sostituendo

al

lineare

di

i

(p

|

è segata su

/,

/

dal sistema lineare 0^^

poiché

punti di /.

definizione

sistema

sì

lineare

superficie

estende alle curve gobbe

delle

curve

o di ipersuperficie

scrivendo:

_^l

f '

allora delle

gruppo

il

t,

mente

ed

,

_^2

To

delle

t

—

To

'^»-.

To

intersezioni di

/

e ^^ conterrà

i

poli

punti in cui si annullano contemporaneanumeratori ipj, ^j, .... cp^ di queste funzioni: serie dei gruppi di livello del sistema delle fun-

altri

tutti

i

pertanto la t verrà segata su

zioni

/

dal sistema di curve, superficie o

ipersuperfìcie, ^'oTo -»- '^\^i -1-

••••

-+-

\-^r

— 0.

Dal confronto delle due definizioni della gj^ appare che gruppo dei poli del sistema ^\tt figura entro la serie dei gruppi di livello come un altro gruppo qualsiasi. Il cambiamento di esso corrisponde ad eseguire sopra f^ ig •••• ^- "^^ il

,

»

sostituzione lineare.

Eileviamo in definizioni della

modo

gf^ si

esplicito che ugualmente dalle due deduce quel complesso di proprietà per

considerata come un sistema lineare di come uno spazio lineare di astrattamente punti ad r dimensioni, Sy (dove la gf» figura come retta) due gruppi qualsiansi di una g^ appartengono ad una g\ contenuta in essa (proprietà rispondente a quella che due curve di un sistema lineare determinano un fascio appartenente al sistema) tre gruppi della ^,^ non appartenenti a una g^ determinano una g'I contenuta in essa ; e in generale ft -t- 1 gruppi della gf^ non contenuti in una gf^"', cioè indipendenti, appartengono ad una gfj entro la g^, ciò che porta: « una g^-^ ed un Gn fuori di essa, entro la gi^, appartengono ad una gfj »

può

cui essa enti,

cioè

—

essere

—

:

;

(proiezione della g^-^ dal nominato

G^„).

D' altra parte si hanno le proprietà serie lineari contenute in una gf,^, che

di intersezione delle

riassumono nella seguente: una g\ e una gfj", appartenenti a una g"^^, e non a «na serie lineare di dimensione minore, hanno a comune si

32

LIBRO QUINTO

ima r

con

gf*

= Tu-

s

= li-\-h — r,

e quindi

>

un gruppo Gn=^gl per Tu- k.

e nessun gruppo se r Aggiungasi che la prima delle proprietà sopra accenfc

,

nate vale già a caratterizzare la serie lineare curva, cioè

gi^

sopra

una

:

una

gruppi di n punti è tale che due gruppi qualsiansi appartengano ad una gf^ contenuta nella serie, questa se

è

una

serie oo*'

eli

q^.

due G^ della nostra serie, S, determinano una g^ entro S. Se non vi sono Gn fuori di questa g^^ il teorema è dimostrato; se vi è un Gn fuori della g^, proiettando la g^^ dal Gn si ottiene una gf^ contenuta in S, e così via fino a esauInfatti

rimento della serie 2. (Il teorema qui stabilito si riduce sostanzialmente a quello che porge la proprietà caratteristica dei sistemi lineari di curve piane, incontrato nel L.

1°,

^ 14).

Ora osserviamo che: data sopra una curva / una g^, gruppi di questa che contengono un punto generico (che non figuri già fra i punti fissi) formano una g^^-^ che ha quel punto come fisso. Infatti il punto dato impone una condizione lineare ì

alle

cp

del sistema secante.

Dall' osservazione precedente segue

impone

gruppi di una

il

teorema più gene-

contenere s{l, conduce a caratterizzare le gf^, quando si escludano le serie formate da tutti i gruppi di r punti della curva (n r) o, più generalmente, quelle che si ottengano prendendo ad r ad r gruppi di una involuzione irrazionale y^ ('* gf) questo teorema dovuto a Gastblnuovo-Humbert si trovjerà

=

=

i

:

dimostrato nel § 41.

Se una curva / viene trasformata bi razionalmente in una/', ogni g^ data su / si trasforma in una g^ sopra/'. Ciò si rende manifesto sia sostituendo razionalmente le coordinate X y... nell' equazione del sistema delle (curve etc.) ^ secanti la gf^, sia facendo appello alla definizione intrinseca della

flf'"

Ora,

stessa. all'

definita a

una g^^ sopra una curva / (comunque una trasformazione birazionale) si lega

esistenza di

meno

di

CAPITOLO lUìii

particolare trasformazione di

33

1

che dà origiue ad una

/

meno di una trasforcurva On*" di uno mazione proiettiva,- sulla quale curva la nostra g"^ viene segata dal sistema degli iperpiani. Quindi in questo ordine di considerazioni, il problema di riconoscere se una curva (piana o gobba) sia proiezione di un' altra, ovvero se due curve siano proiezioni di una medesima, si ricondurrà a vedere se una serie lineare sia contenuta in un' altra. Si consideri, sopra una curva rappresentata in coordinate spazio Sr, definita a

omogenee di

punti

dsi f{xQX^x.2)

la

fissi,

=

0,

una

serie lineare

gf^

(r>2) priva

quale venga segata dal sistema lineare di curve ^o-Po -t- ^i?i -t-

••••

+ K^r = 0;

al caso generale di una g"^ semplice, cioè tale gruppi di essa contenenti un punto generico non contengano di conseguenza altri punti variabili col primo. Ponendo

e riferiamoci

che

i

Vo

=

^oi^O^i^^o)

1

Vi

=

"Pii^o^i^^)

f{x,x,x,)

,

••••

Vr

=

%-{os,x^x^)

,

=

=

definisce nello Sr iVoVi ..•• Vr) "ua curva Cn che riesce d'ordine n e in corrispondenza biunivoca con /; sopra la quale la gfj^ (trasformata della data) viene segata dagli ipersi

piani

KVo +-

^i2/i

+ -. H- KVr =

0.

vede che una qualsiasi curva Kn di ordine n appartenente ad Sr (e non ad un Sr—J, che. sia in corrispondenza biunivoca con /, e di cui le sezioni iperpiane siano gruppi della gfj^, coincide con la C„ o con una sua trasformata proiettiva. Giacché si passa dall' una all' altra curva mediante in cui si corrispondono gli iperpiani seganti l' omografia gruppi omologhi della g"^. Si

Infatti

:

corrispondenza posta in tal guisa fra gli iperpiani così come di Sr è biunivoca, perchè ogni gruppo della un gruppo della (7„, appartiene ad un solo iperpiano; altrir menti apparterrebbe ad un fascio e la curva starebbe neldi questo che ne contenga un punto ulteriore; l' iperpiano corrispondenza fra gli iperpiani di Sr l' anzidetta 2) è un'omografia, poiché agli iperpiani di un fascio, seganti 1) la

K^

»,

ENRIQUES

-

111.

3

LIBRO QUTNTO

34

una

gf^

su Cni corrispondono gli

ganti su

Kn

la g\

un

iperpiani di

fascio se-

omologa;

P

di O^, nell'omografia così ottenuta, ad un punto considerato come centro di una stella di iperpiani che sega 3)

la gf^-i dei

gruppi di

gf^

contenenti

F

come punto

fisso,

cor-

risponde un punto, definito ugualmente dalla g^-^ con punto fisso, omologa della precedente, e quindi un punto appar-

tenente alla Kn La trasformazione definita innanzi analiticamente, che fa passare da una curva f contenente una g^ ad una Cn di S^ •

su cui la serie viene segata dagli iperpiani, si può comprendere in modo sintetico come un'applicazione della geometria astratta; (si confronti ciò che è detto per le serie lineari

sopra

la retta nel L. 2°, § 6, Voi. I,

Infatti

riguardare

come

i

punti

—

pag. 189 e

seg.).

gruppi di una g"^ si possono ovvero come gli iperpiani di

abbiam visto che

i

—

—

o riuno spazio lineare ad r dimensioni, in cui la retta corrisponda ad una gj^ spettivamente il fascio di iperpiani contenuta nella gf^. Adottando la seconda interpretazione si viene a porre una omografia fra la g"^ e lo S^ concepito come spazio di iperpiani, e si riesce in tal guisa a definire, a meno di una trasformazione proiettiva, la curva C„. Effettivamente un punto generico, P, della /determina una g^-^ entro gf^^ che lo contiene come punto fisso, e a questa g^-^ corrisponde una stella di iperpiani dello S^., avente un certo centro P': al variare di P, il punto P' descrive la curva C„ Abbiamo detto che la C'„ è in generale in corrispondenza biunivoca con /, e a questo caso ci siamo riferiti nelle considerazioni precedenti. Consideriamo ora il caso di eccezione alla invertibilità della corrispondenza, in cui « gruppi di g^^ contenenti un punto fisso generico P P^, contengono di conseguenza altri q 1 punti fissi Pg.... P^, suscettibili di variare con P ». Al variare di P su /, i gruppi analoghi a PiP2 .... Pr descrivono una involuzione y^ (lineare o no), e tutti i gruppi della gi^ sono composti con gruppi di questa. In tal caso il punto P', costruito nello Sr, risponde non solo al punto P, ma a tutto il gruppo della y^ da esso definito, sicché la corrispondenza fra / e la curva C, descritta da P', è una corrispondenza [q, 1]. E la curva C, che rappresenta

—

i

=

—

l'involuzione y^, riesce d'ordine n'

=-

:

ma

—

in virtù della

CAPITOLO

35

T

—

corrispondenza che la leira ad / si può ritenere come una Cn ridotta a una (7„/ multipla .secondo il numero q: su questa si può dire ancora che gli iperpiani seghino la o^, e quindi altrettante sono le gf^ proiettive

ad una data, mentre tutte

le g\

sono

=*

(come

i

punti o gli

iperpiani di S^. Inoltre le due g\ (essendo contenute nella

gf*),

avranno a comune una g\. Le serie date corrisponderanno a due quartiche gobbe razionali G^ i

come sezioni piane deduce come proiezione

e C^' (aventi rispettivamente

gruppi delle due

gfj),

dalle quali

si

una medesima quartica piana O^, corrispondente alla g\ comune alle due g\. È chiaro che fra G^ e C^' si ha una corrispondenza biunivoca Q, dove

si

corrispondono

i

punti che

danno origine ad un

medesimo punto di C^; dimostriamo che questa corrispondenza non è proiettiva. Infatti si consideri un gruppo G^ segato su G^ da un piano generico, e la sua immagine su G^ sì ha così una quaterna che non appartiene alla gì corrispondente alla G^\ altrimenti le due g\ da -.

cui siamo partiti coinciderebbero; pertanto alla quaterna G^ non può corrispondere su G^ una quaterna di punti appartenenti ad un piano. Ora si può dubitare che fra (7/ e C/' interceda una proìettività n,

diversa

dalla

corrispondenza Q.

Ma

m

tal

caso

CAPI

l'Oli»)

41

I

a una corrispondenza biunivoca, cioè trasformante 1' una nell' altra le due g\ da

n, indurrebbe su

la

una

proiettività,

cui siamo partiti. storica. La considerazione fondamentale della completa determinata da uno dei suoi gruppi, compare in Brill e Nobthbr (1873) attraverso il così detto Teorema del resto (Restsatz) che porge la costruzione di codeste serie sopra una curva piana, mediante curve aggiunte

Notizia

serie

0, 1. (La Nota relativa ai casi 2> 2, .... costituirà soltanto 7.

teoria generale delle serie lineari sopra

=

di

una curva

=

una esercitazione per lo studioso). Giova premettere una disuguaglianza, cui soddisfa la dimensione di una g"^ sopra una curva di genere p qualsiasi : dimostriamo infatti che si ha

r>n — p, mentre ricordiamo che

si

ha

d' altra

parte

(^ 4)

r n — p.

Giova rilevare che per

^^^

dalle aggiunte ^rn—ì+hì

r^=n^p, la

p

quando

sia

7i

dimensione della serie

=

la serie g^ segata sussiste certo l'uguaglianza

o a fortiori per h 0) di cui si fissino n nere una residua g], la quale permette di far corrispondere la curva data, punto per punto, ad una retta (cfr. il § 2). Così

—

viene dimostrato

Teorema

il

Olebsch

di

p=:0

Le curve di genere

:

sona

razionali.

Osservazione.

La dimostrazione

originale del teorema

si

riduce alla precedente, ove si ricordi come è stata ottenuta la diseguaglianza jp. Presa una curva piana / d'ordine n

r>n —

punti doppi,

^

con

giunte cp„_2 d'ordine n di /; si

ha

cosi

un

—2

si

considerino

passanti

per n

le

—3

fascio di curve secanti la

/

in

curve agpunti

fissi

un punta

variabile che viene a corrispondere biunivocamente al para-

metro del fascio. Ora vale la pena di rilevare che il teorema di Olebsch conduce subito al Teorema di Lùroth. Se le coordinate dei punti d' una

=

si lasciano esprimere razionalmente curva algebrica, f{xy) per un parametro t, mediante formule ,

che non sieno univocamente invertibili, la f è razionale cioè coordinate dei suoi punti si possono esprimere mediante funzioni razionali invertibili di un altro parametro x, che a sua volta funzione razionale di t. è le

—

—

'NeW ipotesi dell' enunciato, fra la retta su cui è disteso il parametro t e la curva / intercede una corrispondenza [n, 1], con n 1, e i gruppi di punti della retta che corrispondono ai punti di /, formano una involuzione y^: si tratta di provare che la Y^ è una serie lineare q^. La dimostrazione di ciò è stata fornita nel L. 2% § 3, dove appunto il teorema

>

di

LÙROTH

la retta.

fu dato

Ma

come proprietà caratteristica delle g^ sopra una nuova dimostrazione del resul-

qui otteniamo

genere p di /, sulla base della conoscenza del numero dei punti doppi della Y^, che è dato dalle coincidenze di una corrispondenza [n 1, n 1], e

tato in parola, calcolando

il

—

—

CAPITOLO

49

J

—

però vale certo 2n 2. Infatti se la / è d' ordine in (con punti multipli a rami lineari) il numero delle tangenti ad esse per un punto generico del piano vale 2m -f- 22> 2, e ciascuna tangente porge un punto doppio della g]^ segata su / dalle rette per 0, cui risponde sulla retta (della t) un gruppo Gn di n punti doppi. D' altronde alla gl^ segata su / corrisponderà sulla retta nominata una g^ dalle rette per composta colla y}^, la quale possiederò 2>hw 2 punti doppi, 2 punti doppi per la y^ e 2i«-f-2j> e precisamente 2n 2 gruppi Gn. Si deduce

—

—

—

(2m -{-2p ossia

—

— 2)u H- 2» — 2 == 2mn — 2 2>

=

0.

Nota. Tra le curve razionali le

,

.

f{xy)

=

che ammettono

mediante polinomi

e.

si

trovano

in

d. d.

particolare

una rappresentazione parametrica

:

6)

a;

=

cpi(' assorbenti un certo numero ^) 0) di punti doppi; la

curve

l'

/(a;^/)

awa/m

0,

delle singolarità dei

:




(semplici).

Risulta auclie di qui

una curva contenente una Infatti codesta curva

l'

inversione del teorema precedente:

g^-'^ coìnjìleta lìer

n

>3

è

di genere

1.

una cubica piana La proprietà precedente non si estende ad «='2, come appare già dall' esempio di una quartica con un punto

=

,

=

=

jjossiede 2 -1-2^

=8

punti doppi, onde,

p=S.

In ogni caso le considerazioni che abbiamo sviluppata innanzi persuadono facilmente che la trattazione diretta del problema delia dimensione di una serie completa sopra una

diventa rapidamente complicata col crescere dei valori Ma a tale problema forniranno una risposta generale gli sviluppi dei seguenti paragrafi. ciirra,

del genere p.

—

Le serie jaeohiane e la serie canonica. Dopo la relativa alle curve di genero 0, l,.-.j riprendiamo la teoria generale delle serie lineari appartenenti ad una curva di genere 2> (lualsìasi. Qui vogliamo indicare un'ope8.

digressione

razione elle

~

al pari della

somma

o della sottrazione

per-

-

mette di costruire nuove serie lineari a partire da serie date. Otterremo così (per 2> 1) una successione di serie covarianti di una Qn data, e riusciremo per sottrazione a definire una serie g2p—2 ^^^ì riuscendo indipendente dalla scelta della nominata gn, ci forniiti un invariante caratteristico della curva,

>

considerata di fronte alle trasformazioni birazionali.

Data nna gj^ sopra /, esistono, in generale, gruppi di questa per cui due (o più) punti vengono a coincidere in un punto (loppio V ìusieuie dei punti doppi della g^ costituisce il suo gruppo jacohiauo. Se la / è piana, e la gj^ è segata su :

da un

di essa

'fascio di curve,

il

gruppo jacobiano è formato

dai punti di contatto delle curve del fascio tangenti ad/. Così, 1^A, sopra una / d'ordine n con

la al

(n — l)(u— 2) .1— nodi, per Gmp=z^ •

5

~

^ o,

segata dal fascio delle rette passanti per un punto gene-

rico, 0,

manti

possiede 2n

il

-]-

2p

— 2== ——^r—- — 25 punti doppi, for-

suo gruppo jacobiano; un nodo, P, di

PO

/ non

ne fa

due punti

gruppo sovrappongono in P appartengono a rami diversi della curva, onde si ha soltanto una coincidenza a^iparente di essi, relativa alla geometria del piano e non alla geometria sopra parte, poiché per

che

la

il

segato dalla retta

i

si

curva.

data sn/ possiede un punto fisso 0, questo appargruppo jacobiano, poiché si può imporre a un gr«ippo della serie di contenere una seconda volta. Ma, quando si consideri una g^ con punti fìssi come limite di nna serie senza punti fissi, giova determinare quante volte un punto fìsso, 0. debbasi contare entro il gruppo jacobiano. Questo computo è dato dall'equazione stessa che determina su / il gruppo jacobiano, e che scriveremo fra poco. Senza fare uso dì tale equazione, si può arrivare al resultato riconducendoci

Se

tiene al

la gì

LIBUO QUINTO

56

sopra la retta, trattato nel L. 2% § 5 (Voi. 1°) pag. 178), e ciò in base all'osservazione seguente: Le propì'ietà della geometria sopra la curva (relative a al caso delle gì

molteplicità di intersezione ecc.) aventi carattere differenziale,

ad analoghe proprietà

j)nnto, si riducono

nell'intorno di un

della geometria sopra una retta, potendosi ottenere come se la curva proposta sia razionale. Infatti basta sostituire alla curva data una parabola oscula-trice al

ramo che passa per

il

punto, di un ordine abbastanza

non lineari si sostituirà razionale). ugualmente una In virtù dell'osservazione precedente, possiamo affermare che: un punto fisso per una gj^ assorbe due punti del gruppo jacohiano, e così conta in generale per due punti di esso. In modo analogo si riconosce che un punto i-plo per un elevato. (Nel caso di curve con rami

iperparabola osculatrice, che è

:

—1

punti del gruppo jacohiano. gruppo della g^ conta per i Ora dimostriamo che J gruppi jacoMani delle g^ appartenenti a una medesima (r 1) sono equivalenti. Basta dimostrare il teorema j)er due g^ aventi un gruppo a comune e perciò appartenenti a una medesima g^, giacche, per la proprietà transitiv^a dell' equivalenza, date nella g^ due gì qualsiansi, ci si riduce al caso precedente, costruendo la gl^ determinata da un gruppo della prima e da un gruppo :

gf^''

>

della seconda.

Ora,

si

una

consideri entro

comune uno

stesso (?„:

nenti un certo

i

g^

il

fascio delle g^ aventi a

gruppi Jacobiani di queste, contedi punti, formeranno una involu-

numero m una serie

zione razionale, cioè

lineare

gK Ohe

la serie dei

G^

che codesti Gm corrispondono biunivocamente alle g^ del nostro fascio, pertanto (§ 2) basta provare che alla serie di essi compete il carattere involutorio, cioè che un punto generico, P, di / determina un Gm- Ma- ciò risulta evidente per il fatto che P, contato due volte, determina un gruppo della g'^ il quale appartiene ad una q^ del nostro fascio. In base al teorema precedente gruppi jacohiani delle gì anzidetti sia razionale, risulta da ciò

i

contenute in una

g^^

lineare completa, che

una

appartengono ad una medesiina

dirà la serie jacobiana della data: se

si

serie lineare (completa) è designata

biana

si

designerà con

serie

|

a^

|.

con

j

«!, la sua jaco-

CAPITOLO

57

I

Sussiste la seguente

Proprietà fondamentale delle serie jacohiane: la jacoòiana somma di due serie, si ottiene sommando la jacohiana deir una al doppio delV altra. lu simboli

della

:

(a

I

-\- 1>)j

\

= \aj-h21}\,

si suppone che la dimensione della serie \a\ sia r > 1. Siano n, m, gii ordini di |«| e |6| rispettivamente: sommando ad una gj contenuta in a un gruppo G^ della 6 |, si ottiene una g\^^^^ con m punti fissi contenuta nella \a-hb\, e il gruppo jacobiano della gl^^ consta del gruppo jacobiano

(love

|

aumentato

della gì

Neil' ipotesi di

di 2(t^;

che

da ciò

due

le

dimensione non nulla,

|

|

risulta

serie \a\ e

;

il

&

|

teorema. siano

ambedue

proprietà precedente dà luogo

la

alla relazione espressiva

\aj-{-2b\ dalla quale

si

=

\

hj -+-

2a \

deduce formalmente \aj

— 2a\-.\hj — 2h\.

Questa uguaglianza assume significato quando contenga \2a\, nel qual caso avremo dunque

la serie

|

aj \

:

jacobiana aj di una serie a contiene il doppio 2« altrettanto accade per la jacobiana di una qualunque altra serie hj rispetto a 26, e la serie differenza rt; 2a\ riesce definita dalla curva / che la contiene, dipendendo solo da questa curva e non dalla scelta della serie a\ che serve a costruirla: questa serie

Se

di

la

\

!

questa,

1

\

,

|

|

—

'

e

riceve

il

nome

=

1

aj

di serie

— 2a

1

== I

bj

— 26

1

....

canonica della curva

f.

In ordine all' esistenza della serie canonica sopra una curva di genere p, è facile vedere che « la serie jaco». A tal uopo è biana \aj\ contiene sempre '2a\ per lecito riferirci alla jacobiana della serie gf„ determinata sulla / dalle rette del piano. Allora il gruppo jacebiano della grj segata da un fascio di rette di centro 0, non è altro che l'interse-»^

y>0

LIBRO QUINTO

58

=

nodi) delia polare di zione (fuori dei punti doppi C); per conseguenza alla serie jacobiana completa della nostra gf„ apparterranno i gruppi sezioni delle curve ^n— u d'ordine n 1^

—

punti doppi di/, cioè aggiunte ad/. Pertanto passanti per se riesce chiaro che questa serie jacobiana contiene 2^„ esistono curve 9„_3, d'ordine ii 3, aggiunte ad/, le quali i

|

1

—

rette formano appunto delle ^n— 1« Ora, per oo^~^ aggiunte (p,,_3 e quindi si conalmeno j>>0, possiede una serie canoclude che una curva di genere ^^ >' l. Più tardi dimostreremo che la nica di dimensione r>p

sommate a due esistono

,

—

—

la dimensione della serie canonica vale precisamente p 1 serie completa venendo segata dal sistema delle cp„_3, e questo sistema non essendo mai sovrabbondante (per una curva irriducibile). l, riferendosi alla cubica e alla serie a segata Per p 2^ e quindi la su questa dalle rette, si vede che aj serie canonica si riduce ad una ^^; se si prende come modello una curva di genere 1 d' ordine jì 3 si ha una cp»-» aggiunta che non sega la curva fuori dei punti doppi: si veda per es. la quartica piana con due punti doppi A e B dove si ha come retta aggiunta la AB. La serie canonica manca in senso assoluto per p 0, nel quale caso si potrebbe dire che diventa negativa, venenda sostituita dalla «er/e anticanonica 2a aj g'^.

=

j

j

=

,

,

j

|

>

,

=

— =

^

La

abbiamo pòrta

canonica racchiude un teorema d' invarianza per trasformazioni hirazionali della curva /, di cui vogliamo mettere in luce il contenuto. A tal uopo si osservi che: assumendo come serie a quella determinata sopra / dalle rette del suo piano (ovvero dai piani o dagli iperpiani dello* -S,., se si tratta di una curva definizione che

della

serie

può ritenere come covariante di /, la Ora la serie a^ riuscendo indipendente da a, sarà invariante per trasformazioni birazionali di /, mutandosi nella serie analoga (bj 26) gobba), la serie

[

«j

si

|

rispetto alle trasformazioni proiettive.

|

—

|,

—

(^)

Di qui

stabilito

una

g^^

si

innanzi

può ricavare una dimostrazione proiettiva del teorema che

«

sono equivalenti

i

»

;

grappi basta

jacobiani riferirsi

delle

alla

g^

appartenenti

ad

curva piana trasformata,,

su cui la g:^ (supposta semplice) viene segata dalle rette del notare che le polari di questa curva formano una rete.

piano,

e^

CAI'l i'OLO

5'J

I

per quella trasformazione di/ in/' che sostituisce alla serie « segata dalle rette su /, la serie b segata dalle rette su /'.

Ma

poiché si è visto sopra che la serie caiiouica di una piana curva /, d' ordine n (dotata soltanto di punti doppi) viene determinata dalle curve aggiunte rpn—3 d'ordine n .3, così otteniamo il Teorema. Se una curva piana f (Verdine n viene tran formata hirasionalmente in un'' altra curva /' iV ordine m, la serie determinata sulla prima dalle curve aggiunte d* ordine )i analoga serie determinata sulla 3, si trasforma nella

—

—

seconda dalle curve aggiunte d* ordine

m — 3.

A

questo punto non siamo ancora autorizzati ad affermare che un gruppo di punti comune ad/ e ad una 2, una qualsiasi g^^, e si cerchino punti di questa che posseggono P insieme dei punti tripli costituirà un un punto triplo gruppo G, covariante della gf^. Si può provare che, al variare della ^2 entro la a (per r 2), si ottengono sempre G equivalenti fra loro. Basta fornire la prova per due gf^ aventi a comune una g^^ e quindi contenute in una g^. (Sì pensi che dati due piani a e p di un S,. si possono sempre costruire due. piani ausiliari y e 5 in guisa che le coppie a;, yo e 5^ si

lascia generalizzare nel

Si consideri entro la serie a, i

:

>

siano costituite

come per

il

1) le

sima

gì

incidenti

piani

di

secondo una

retta). Ora,

caso del gruppo -jacobiano, si vede che: contenute in una g^ e contenenti una medeg'I

formano un

fascio, sicché

la

serie

dei

relativi

G

è

razionale; 2) la serie dei

determina una un unico G. Avremo dunque che

della

G

detti

come

della curva preso grfj,

un punto appartenendo ad un gruppo

è involutoria, perchè

triplo,

sola

gf^

del nostro fascio, e quindi

definisce

i

gruppi di punti

tripli

G, appar-

una

serie cova-

tenenti alle gì contenute in a, determineranno

designeremo con «3 La designazione analoga per serie jacobiana che conviene adottare in quest'ordine di

riante, che la

1.

|

—

idee più generale

—

porta aj

= a^.

Alle nuove serie covarianti

che

ci

hanno condotto

jacobiana.

A

tale

estendono le considerazioni fondamentali della serie aggiunga ad una g^, contenuta "Si

alle relazioni

scopo

si

CAPITOLO

T

(»7

un punto P; e sì ricerchino punti tripli (ìclUr (/^ col punto fìsso Z*: si vede che occorre aggiungere ai punti ìli

a

i

,

punto F, il (juale figura efiettivaniente come gruppo della gf^^j corrispondente al gruppo (iella che ha in P un punto doppio. Occorre valutare quante volte P figuri nel gruppo cova-

tripli (Iella

triplo

il

gr;

per

il

gf';^

riniite della fif';,,!, e si trova che esso assorbe precisamente 3 punti tripli. La cosa appare chiara se la curva data è una curva d'ordine u 1 dello *S\, sulla quale la nostra gf'^ venga segata dai piani per il punto P, giacché allora il piano oscu-

+

P

latore in è limite di 3 piani osculatori alla curva condotti da un punto esterno. E a questo caso appunto ci si può ridurre -\- P è concon una trasformazione della curva, se la gr'^^^j tenuta in una 1 punti infinitamente vicini, che sia neutro e jjer tal

g^'J,)

punti

(r

— l)-pli della

tJt,

X)er

l'anzidetta

punti

(r

^J'~^

— l)-pli

di

P

residua: allora

codesta

g^z^t,

e

assorbe (r

di

tanto

si

—

2)([Aj

—

1)

accresce la

P nel gruppo G dei punti r-pli della data $r[~^ volte, Successivamente può accadere che P, contato dia luogo ad un gruppo di [x, punti infinitamente vicini che sia neutro per la fif^" v-p, residua di (v -f- [i.i)P, ecc. Queste considerazioni guidano al resultato generale che enunciamo, senz'altro, in forma proiettiva. molteplicità di

[i.,

»

Una

curva, d^ordine n

un gruppo

(t

e

genere p, dello spazio Sy—^ possiede

di

r(«-f-2j>

— 2)

punti di flesso o d* ondulazione, in cui l' iperpiano osculatore ha uu contatto r-punto: un punto singolare origine d'un

,

LIBRO QUINTO

72

ramo (r

-

iV l)(v

ordine

-

jmuti del Il

1)

v

^-

di classi

e

(r

-

2)(iJi,

-

(')

1)

ij-^^

H-(r

[jl^, ,

-

3)(jx,

assorhe

[jl,._2

....

- + 1 )

...

4- [x,_,

e

=

-1

(?.

teorema

d'

invariauza della serie caiiouica

quando

lascia generalizzare

|

|

si

g^p—z

|

\

considerino, in luogo delle tra-

si

sformazioni birazionali delle curve, trasformazioni semplice-

mente

razionali non univocamente invertibili, cioè corrispondenze [1, »], in cui ai punti di una curva C (di genere ti 0) rispondano i gruppi di una involuzione irrazionale y^, dotata d'un certo numero o di coincidenze: Se fra due curve intercede una corrispondenza [1, n\ la serie trasformata della serie canonica di C, sommata al gruppo dei punti di coincidenza su K, appartiene alla serie canonica di K. Questa generalizzazione è immediata in rajjporto al nostro modo di definire la serie canonica. Infatti ad una gf^ presa su O risponde sopra K una gj^^ che ha come punti doppi gli nd punti corrispondenti ai d punti della g^^, e i 5 punti di coincidenza della corrispondenza [1, n]. Pertanto, se si designa con \a\ la serie completa determinata dalla predetta gl^ su O, con a^ la sua jacobiana, con a' e (%)' le serie complete omologhe appartenenti a K e con \lc\ la serie completa determinata su questa curva dal gruppo delle 5 coin-

>

GeK

:

|

\

|

|

|

[

,

cidenze,

avremo \{ajy-\-lc\

e quindi, essendo

(a^ |

{a)j I

— a)' =

= \{a)j\, {a^)'

\

— «'1 =

—

\

{aj

.

«' |

—

a)

-\-li\.

1

Tuttavia il teorema di trasformazione delle serie canoniche nelle corrispondenze \n, 1] è stato ottenuto prima che si x>ervenisse alla semplice definizione di queste serie che qui viene adoperata: vi è giunto (1891) per via trascendente

Paul Painlevé,

nella sua

memoria

sulle

equazioni differen-

Annales de P Ecole Normale » (dove, invero, l'enunciato è inesatto èssendo omessa la considerazione dei S punti di coincidenza), e d'altra parte ne ha pòrto una dimostraziali degli «

(1)

Cfr. L. 5°,

§ 32,

voi.

II-,

pag. 567, 575.

CAI' ITO LO

73

1

zioue geometrica il Oastelnuovo, in una sua Nota inserita nei Eencìiconti dell'Accademia dei Liiìcei, lo stesso anno 1891.

Però già innanzi

conosceva

si

detto teorema esprime u(2tc

Infatti, fino dal

1871,

generale che lega

spondenza [m, n]

formula numerica

— 2)-ho = 2p — Zeuthen

lo

caratteri

i

la

significato funzionale

il

di

(')

())

2>)

r'

2))

1

4-

/e

(/e

> 0)

;

viene r'

quindi

-\-r

=r h-^-k, = = 0. -\- r' -\-

/i

/c

Lo stesso teorema si può esprimere nella forma / gruppi di una serie speciale completa p|| impongono

= —

k n r condizioni ai gruppi della serie canonica che bano contenerli. Infatti la dimensione della serie

rispetto alla

g?,~}_.,

r'

onde

residua di

uno

deli-

di essi

canonica vale

= {p — — = r — (n — — k z=n — 1)

fe

i>)

1

r.

La prima parte (lei teorema di Riemann-Koch si può anche enunciare come segue Ogni g^ completa che non sia contenuta nella serie canonica, e in particolare una serie per cui n ;>1p — '2 o r >• j> — 1, ha la dimensione r n p. :

= —

E

poiché abbiamo gÌ5\ osservato che per la serie canonica n (complete) in essa contenute si ha r />, possiamo affermare che « la proprietà di una serie g'^ di essere speciale (r n « 2^) e non speciale (r p) corrisponde all' essére la gj'^ medesima contenuta o meno nella serie canonica ».

e per

> —

le serie

> —

= —

LIBRO QUINTO

8G

teorema fondamentale che abbiamo

Il

dimostrato

as-

numero delle costanti arbitrarie da cui dipende, linearmente e omogeneamente, la costruzione delle' funzioni razionali sopra una curva /„i, cui si assegni un dato gruppo Gn di poli (alcuni dei quali possono ridursi, in partisegna, in sostanza,

il

colare, a punti d'indeterminazione): queste

generale

n — p-\-Ì-\-\,

designando

i

il

costanti

numero

sono in

delle

'f,»_à

passano per il G^ se il gruppo è non speciale). Sotto questa fornui il (« teorema è stato dato da Eiemann nel n. 5 della sua « Tbeorìe der Abel'schen Fuuctionen » (1857), limitandosi al caso generale per n 2^ (t 0) e valendosi della rappresentazione delle funzioni razionali mediante integrali di differenziali algebrici di seconda specie. Il calcolo di Iliemann, con l'introduzione delle «p,„_3 aggiunte alla curva /„j che passano per il 6^„, è stato poi completato dal Roch (') (18G4). Brill e Nobther (^) (1873), rilevando l' importanza fondamentale di cotesto teorema (che essi appunto hanno designato col nome di Riemann-Eoch) ne lianno porto la prima dimostrazione algebrica, che riferiremo nel seguente capitolo (§ 17). La dimostrazione del testo riproduce sostanzialmente quella fornita da Oastelnuovo nel 1889. Aggiungiamo ancora che il teorema per le serie speciali è stato posto da Brill e ISToETHER sotto un'altra forma equivalente, cui il Klein dà il nome di Teorema di reciprocità Se due serie complete gr[^ e hanno aggiunte, linearmente indipendenti,

clie

=

=

>

:

gl'^',

come somma

canonica,

la serie

n Infatti, l'indice r'

+

r e,

— u = 2{r — specialità

di

l,

=n—

poiché

n 4la relazione

ha

si

n'

r').

della

j)

-h r

=

2})

-\- 1

—2

,

precedente equivale alla n

— = 2{r —

(1)

Journal tur

(^)

Mivfh. Aiiiialeii, Bd. 7.

Mutli.,

Bd.

n'

64.

r').

prima

serie

essendo

CAPITOLO

87

I

Rileviamo esplicitamente corollari del teorema di Eieluuiin-Roch che concernono la serie canonica l) La serie canonica è r unica gp-^, appartenente ad una curva di genere p. Infatti ogni gv-^,^ è speciale, cioè contenuta i

nella serie canonica, con la quale coincide

avendone

il

me —

funzionale della serie stessa 2)

La

seriii

(cfr. § 8).

canonica gfP^^ non ha punti

Infatti se per la g^^K^ (P

>

1)

vi

fosse

fissi.

un punto

fisso

P,

otterrebbe una serie g^~z!:-^, il cui indice di spe(numero dei gruppi canonici contenenti un gruppo della serie) dovrebbe essere ancora i l, mentre il teorema di Eiemann-Roeh darebbe togliendolo

si

cialità

=

i=:p-[(2p-3)-(p-

1)]

=

2.

Teorema di Clifford. Per una serie speciale comha sempre n 2r. Infatti un gruppo della ^|[ presenta n — r condizioni ai gruppi canonici che debbono contenerlo, ed evidentemente questo numero è almeno uguale al numero r dei punti di un gruppo della serie che possono assumersi ad arbitrio 3)

pleta

g^^

^

si

:

n

— r>

Nel seguente paragrafo

si

r,

n

> 2r.

vedrà che

1'

= 2r,

la copi)ia

—

neutra si troverebbe nna serie g'^^~\ P^i* 0; infatti abbiamo visto esse ha 1' ordine n 2 2p e la dimensione

che

(^ 7)

la serie

segata da

=

— + hm r>p — 2 H- hm = n —

p',

poiché questa serie non è contenuta nella serie canonica, sarà precisamente 2 4- hm

r=p —

,

e la detta serie risulterà completa.

Lo

stesso resultato

per /i,=:0, pleta

le

^>m—i

abbiamo

poco anzi sussistere serie canonica com-

visto

segando su

/

la

gfP-^g.

>

Ora anche la serie segata su / dalle cp„^_3_^ (/i 0) riuscirà sempre completa, poiché questa si può ritenere come serie residua rispetto alla cati su

/

da

7j

gl~}_

che figura nella deduzione precedente, ci porge il modo di segare mediante curve aggiunte ogni serie lineare g'^ che possa essere data sopra /: Precisamente « la serie completa definita su / da un gruppo di n punti G, si può costruire mandando per G una curva aggiunta 9, d'ordine abbastanza elevato per assicurarne l'esistenza, a segare ulteriormente/ fuori dei punti multipli le 9 dello stesso ordine, passanti per G' in un gruppo G' segnano su / la serie completa ».

—

:

—

CAPITOLO

89

I

Variando la 9 per G, e quindi il G\ non muta la serie completa definita dal G, onde si può enunciare che Se due gruppi G^ e G, sono insieme residui di un medesimo gruppo (7/ rispetto alla serie segata su f dalle curve aggiunte di un dato ordine, G^ e G^ sono anche corresidui di un altro qualsiasi gruppo G/, residuo di uno di essi. Questo teorema costituisce il celebre Restsatz di Buill e NoETHER ed importa come ha messo in luce Ca8tklNuovo (1890) due affermazioni ben distinte 1) un teorema di natura invariantiva, riguardante l' integrità della serie residua di un gruppo di punti rispetto ad una serie completa (sottrazione delle serie); 2) un teorema proiettivo che afferma l' integrità delle serie segate dalle curve aggiunte. Osservazione. Giova rilevare esplicitamente quanto risulta :

—

—

:

dall'analisi sopra

svolta,

sovraì)ì)ondante,

come

i

che:

cioè

il

una curva piana

(7i>'0), aggiunte ad

punti doppi di

— l)-pH)

/

(o

sistema

/

d'

delle ^^_.^^,^

ordine

m, non

è

punti r-pli imposti

i

dando luogo a condizioui indipendenti per le curve d' ordine ?h 3 4- li che debbano passarvi. Questa affermazione non si estende alla ,«— 4)

d'ordine

vi

— 4,

speciale ed appartiene ad

pleta di dimensione r

= m — p:

dunque

la

una

gfj^

segata

serie

com-

curva f, (che in tal caso dicesi) non speciale, sarà proiezione di una curva gobba, dello stesso ordine soltanto se m j> -h 2, ed in questa ipotesi potrà derivarsi da una curva normale delio spazio S^n—pPongasi invece che la / sia una curva speciale (ad es d'ordine wì-ì-2), cioè che sia speciale la g'^ segata su di

>

la

LIBRO QUINTO

90

aggiunte ad /, le quali segano su / la serie completa residua di un gruppo qualunque della g"^^. Designando con i (> 0) il numero delle -4- ^

f

sarà proiezione di una curva

appartenente ad un S^, con r

> 2,

i^ p -\-'2 — m.

—

La serie canonica gfj^, apparCurve iperellittiche. tenente ad una curva / di genere p 1, quando non sia composta, conduce ad una immagine proiettivamente determinata della /, che prende il nome di curva canonica e ha fondamentale importanza nella come vedremo che nostra teoria. Occorre pertanto premettere l'esame del caso particolare in cui la serie canonica risulti composta. Prenderemo le mosse dalla seguente osservazione, basata sul teorema dì come tutti gii sviluppi che seguono 12.

>

—

—

—

—

Riemann-Roch: Se per la serie canonica g^-^,^ (j>>l) esiste una coppia neutra G^, questa appartiene ad una g^. Infatti il G.^ imponendo una condizione ai gruppi canonici,

— =

ì. appartiene a una gf^ con 2 r Dall'osservazione precedente segue che: Condizione perchè la serie canonica fi'^"!*:.,» appartenente ad una curva f di genere j> 1, sia composta, è che la f contenga

>

una

gì: allora tutti i gruppi canonici coppie di questa serie.

Infatti, se la g^~_^2 ^ di

essa contenenti

si

compongono con p

composta, ciò significa che

un punto

P

di /,

contengono

—1

i

gruppi

di

conse-

guenza (almeno) un altro punto P', e così P P' costituiscono una coppia neutra per la detta serie, appartenendo quindi a una gì. Ora se la / contiene una gì, invertendo la deduzione fatta innaiìzi, si trova che ogni coppia di questa presenta una sola condizione ai gruppi canonici che debbono contenerla, e perciò ogni gruppo canonico sarà composto con p 1 coppie di essa.

—

CAPITOLO le

quali potrtiuiio assumersi

I

l contiene non può contenere una seconda gf.i, giacché un ^J, 1 coppie generiche della Viluppo canonico composto di j> gfj non prima riuscirebbe composto con le coppie della seconda. Dunque: Segue

una

di qui che, se

essa

—

Uua curva

contenente due gì

è

di genere

=

p=ì,

i)^ oppure p per p=:l ogni coppia

ed in entrambi casi contiene infinite g\ determina una gì onde si hanno oo^ ^J, e due g}, diverse non hanno alcuna coppia a comune; invece per p=:0 tutte le coppie stanno in una medesima g'i, contenente oo' gì, e così due g^ qualsiansi hanno una coppia a comune. i

:

Questi risultati si ottengono anche direttamente costruendo una curva piana immagine della /contenente due gì, che risulta essere una quartica con (almeno) due punti doppi, come si è visto, nella

Nota

del ^

7.

p^O

si

Alla famiglia delle curve di genere contenenti una g}^ collega lo studio di una classe elementare di integrali di

— Jdx che

—

per p

= — 1

,

V/.'c) si

chiamano

integrali eìlittici e per

j>

>

l

integrali ipereUittici.

Per questo motivo

genere si denominano di genere j> ^1, curve gì, iperellittiche; qualche volta quest' idtima. denominazione viene usata nel senso più esteso per designare tutte le cnrve^concurve

ellittiche,

tenenti Il

le

curve

e quelle contenenti

una gì. primo esempio

di -curve

di

I

una

propriamente

iperellittiche

viene offerto dalle curve di genere p==2, la cui serie canonica è

appunto una

g^.

L'esistenza effettiva di curve iperellittiche per qualsiasi valore del genere p, risulta dal considerare le curve d* ordine

un punto p-plo, al (jual^ tipo si può ridurre ogni curva iperellittica di genere ]> mediante la gcompleta non speciale determinata su di essa (hi un gruppo generico di p -{-'2 punti: una tale g-^^,^ contiene certo parzialmente la g^ (essendovi un gruppo Gp+G.y che ne contiene una coppia G.,); perciò la /^^2 iioi'niale su cui gruppi della g'^^.^, sono segati dalle rette del piano, d()\ im avere un punto p-plo, 0, corrispondente })-\-2 con

,^

i

LIBRO QUINTO

92 al

Gp-, la

sua equazione (preudeiido

punto

nel

all'infinito

dell'asse y) risulta fp-^2 i^y)

La

/^^_2

= ^p

(^)

•

2/'

+ Bp+i

(*•)

•

y +- (^p+2

anzidetta non jjossiederà

i^)

punti

altri

=

.

multipli,

genere p per la singolarità costituita dal punto p-plo. Questo tipo normale delle curve iperellitticlie permette anche di verificare direttamente che gruppi canonici di esse sono composti con p 1 coppie della g^ giacché le 9^,_j aggiunte alla fp^^ ^^^^ "•' punto p-yloO^ dovendo passare peicon la molteplicità 2> — 1, si spezzano in y 1 rette per 0. Proiettando la curva fp\» dal punto p-plo (ossia riferendo proiettivamente le coppie della gi^ ai punti di una retta), si rappresenta la curva iperellittica di genere p sopra una retta doppia con 2p-\-2 punti di diramazione, corrispondenti alle 2j>H-2 tangenti alla /p^., condotte da 0: il gruppo dei punti di diramazione è dato da risultando già di

i

—

—

ed è un gruppo di 2p -h 2 punti arbitrari della retta, giacché scelti ad arbitrio un polinomio B^p+^ix) ed un polinomio Bp+^ix) è sempre lecito decomporre il polinomio di grado 2p-h2, D^p-hii^) -S^+i(*)? uel prodotto di due fattori di grado ^ e 2> 2.

—

—

—

+

'Tutte le

doppia cogli

curve iperellittiche rappresentate sopra una retta stessi

punti di diramazione

sono Mrazionalmente identiche, perchè le coordinate dei loro punti si esprimono razionalmente per mezzo di

X,

MD^p^^yx),

e reciprocamente ogni punto di

una curva iperellittica siftatta determina nn valore di questo radicale. Ora fra le curve iperellittiche rappresentate sulla retta doppia (a;, \ D^p^^{x)) viene messa in evidenza quella di ordine

"Ip -\-

2: Tip+2

=

2/'

-^ip-^ì (^)

=^

?

CAiMTOLo

I

'.;;j

che può essere assunta come tipo della famiglia, in ln()«i() 4-2 punti di diramazione assegnati; nel caso che l'ordine