Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche [2] 8808060241, 9788808060242 [PDF]

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LIS-T-JUL

1

5 1921

LEZIONI SULLA

TEORIA (ÌEOMirrniCA DELLE EQUAZIONI E DELLE FUNZIONI ALGEBRICHE DI

FEDERIGO ENRIQUES PUBBLICATE PER CURA DEL DOTT.

VOLU3IE

OSCAR OHISINI

II

BOIiOGNA

NICOLA ZANICHELLI EDITORE

PROPRIETÀ LETTERARIA

LIBRO TBEZO

LA TEORIA ELEMENTARE

DELLE CURVE PIANE BASATA SULLA POLARI'l^À

LETTERATURA

G. Desaiigues

Bronillon proiect (rune atteinte aux h'énements iles rencontres du cune avcc un pian (Parigi JG39). Ofi". Oeuvres de Desargues réunies et analysées par M. Po udrà. -

Tomo

Parigi, Leiber, 1864:.

trattato sulle coniche di

mento Pli.

di

De La

(In questa jìiibblicazioiie al

Desargues fa seguito un com-

Hiue).

De La Hire - Sectiones -

I.

conicae

-

in novem libros distrihutae

Parigi, 1(585.

C Mac-Laurin

De linearum genmetriearum

-

neralihuH tractatus {op. e,

O.

]\r()N(ii• e non con con la molteplicità i di (r i) i)as3a per mol teplicità maggiore. coincida Passiamo a esaminare il caso in cui il polo (3ol punto multiplo A. Avremo che: Le successive poUtri di un punto i-plo (i> 1) per la curva f, posseggono il punto con la stessa molteplicità ed hanno ivi le medesime tangenti principali; le polari d'ordine ;> i risultano

—




n

l

9/" i

9?)

^X^

H

X, — '

^

a^

d'\>

X.f -\-

;^

^

dx,-' ^''^

~

dx.-.

'\>{x,x,x.^)

X.,

}^

'

.

dx..

ottiene /(•^l

8i

X.,

Z(X,X., X.,)

X.J

'1>(X,

X, X.,)

df{x^x.,x.,)

d:p(x,x.,x.,)

d'])(x,x.,xj

dx.

dx.

dx^^

df(x,X^

d-^(x,X.,X,)

d']>(x^X.,X,)

dx.

dx.,

dx..

Xy

('ssendo f, ^,

Dify'\>)

x.^ Il

D{x^x^x,)'

X.,

'b

i:\UIQURS

-

II.

•'^3=1,

dello stesso ordine », sussiste

Jlfixy), u\ jy> --pixy), TV jjs r jiì 'l>(xy)l

1)

F.

_

concludo che pei

^=^, y=^^ ed

'\>{x,x,x,),

espressioni equivalenti ^/

si

~

dy

=

x.'^'^xìj)

cp{x^x.,x,),

'

'

f{x,x,x.J, io

33

I

= nBix^x^x^ f ^

^-^^'^^

V identità

LIBRO TERZO

34

L'identità stabilita prova che

apparentemente dine

—

3??.

(V

ordine 3»

si

T

2, si

determinante

riduce effettivamente

d' or-

complesso dei teumiiii di grado può porgere anche nna verifica diretta.

3, ainuillaiKÌosi

più elevato. Di ciò Pongasi invero

—

il

il

= + + + ^n ••••

Ti

'^0

si designano forme di grado i in x, ?/; il ove con f^, rp^, termine di grado 'òn 2 in J sarà J{fnrn']>n) e ^i riconosce che qnesto determinante è identicamente nullo, sostituendo '\)i

—

in esso:

In forza dell'identità

alla

df^

dx

dì/

djf

=

jacobiana della rete //-h -}- vL 0, nelordini diversi, n, ni, j>, dove 4* abbiano n), osserveremo che il determinante J sarà di [Jicp

in cui /, 9, lì

(p


;

uìinimo i

ma

_f_ i

_

1 _l_ i

coordinate non omogenee. y=:0 sia un punto di molteJ{fy'^) contiene x,

y

al

grado

_ — 3i _ 2,

complesso dei termini nante identicamente nullo: il

JU'.r.-'^.

1

di

grado

0:

-">?

-2

è il(let(Mnìi-

36

TilBIlO

perciò: la

un

ininto i-plo per /,

TERZO

(y, 4*?

generale (3i

^ ''*

curva jacohiana della rete À/ H-

[Ji(p

+ = = (00) per

—

V)-'plo lìer

0.

v]^

la suddetta Ma la molteplicità del punto jacobiana può risultare superiore al numero indicato. Ponsia t-plo (i gasi, per esempio, clie 0) per / ed abbia per cp, à diverse molteplicità r, s

>

:

i'^r ),

r -h

>

;

ha per la jacobiana (almeno) la molteplicità 1. -f2, che può superare 3^ In particolare si consideri il caso di una rete con un punto base semplice 0; questo punto sarà in generale doppio X)er la jacobiana, ma potrà diventare triplo, e l'analisi completa delle circostanze in cui si avvera tale ipermolteplicità si può far dipendere dall'esame delle reti di coniche, nel quindi

e i

+r

.9

modo che

—

—

segue.

Pongasi che la cubica jacobiana di una rete di coniche C\ possegga un punto triplo nel punto base e si spezzi quindi in tre rette a, h, e per 0. Un punto generico A di a è doppio per una conica G della rete, la quale si spezza nella retta à=:AO e in un'altra retta; due casi j)ossono presentarsi, secondochè questa retta residua di a coincide con a stessa o è diversa da a e quindi variabile con A. In questo secondo caso la retta a appartiene ad infinite coniche della rete \C\, formanti un fascio, e le rette residue di a formano pure un fascio; in particolare vi è dunque una conica spezzata in a e in un'altra retta a per 0, conica che ha un i)unto doppio |

in

A.

La stessa conclusione si j)uò ripetere per le rette h, e; ciascuna delle tre rette a, Z>, e, fa parte in ogni caso d'una conica con un punto doppio in 0, conica costituita da

—

—

due rette distinte o da una retta contata due volte. Ora combinando linearmente due coniche C aventi in un j)unto doppio, si otterrà un fascio col punto base dopi)io 0;.e combinando linearmente due coniche del fascio con un'altra conica fuori di esso, si otterrà una rete di coniche tangenti a quest'ultima

I

CAPITOLO

37

I

punto 0. Si concliule dunque che la nostra rete — nel— è costiche la jjicobiana consti di tre rette per tuita da coniche aventi, nel punto base semplice 0, la medesima tangente. Viceversa, se le coniche C di una rete col punto base semplice 0, posseggono in una tangente fìssa «, imponendo nel

l'ipotesi

C

alle

C

di toccare

un'altra retta per

si

ottiene

un punto doppio, cioè formate da

un

lascio

coppie un'involuzione I. Allora si assumano per definire la rete tre coniche (7, due delle 6* ipiali con doppio; la molteplicità della jacobiana di di di

aventi in

rette

costituenti

nel

oc.^

fascio

|

j

in

risulterà uguale

a

tre

:

precisamente codesta cubica

jacobiana consterà della retta a (facente parte di un fascio di coniche C spezzate) e delle due rette doppie dell'involuzione / definita nel fascio 0. come si è detto Si conclude: la condizione necessaria e sufficiente affinchè un pìinto base semplice sia triplo amiche doppio per la jacohiana di una rete di coniche è che in esso le coniche della rete ahhiauo la medesima tangente. Osservai ione. Giova osservare che la dimostrazione precedente contempla il caso in cui la cubica jacobiana consti di tre rette a, h, e distinte; i casi di coincidenza possono riguardarsi come casi limiti e si costruiscono direttamente

—

—

come segue 1) Assumendo f

nel fascio A una involuzione non degenere avente due rette doppie b, e ed una conica tangente alla b, si dà luogo alla coincidenza « 6; involuzione assumendo nel fascio una degenere A 2)

=

da una retta fissa 6 e da una retta variabile, e prendendo una conica qualsiasi per 0, si dà luogo ad una

costituita

rete per cui &

= e;

3) se nel caso 2) la conica considerata tocca

b,

la jaco-

= =

biana si riduce a codesta retta contata tre volte: ^t & e. Dalla considerazione della rete di coniche si pass^a a quella di una rete di curve qualunque (d' ordine n 2), sostituendo alle curve

>

/=/. +/;

+

..

..+/n=0

= + H- •— + ?« = = + + -. ^=

cp

cpi

92

4^i

'^,

-+- ^,1

) mini di grado 1 o 2 delle /, 9, Ciò posto le coniche approssimanti alle curve della rete, e quindi (]ueste stesse curve, avranno in una tangente fissa, Reciprocamente, se ciò accade la rete contiene un fascio di curv^e con un punto doppio, entro il quale si possono prendere due curve determi natrici della rete, e quindi la jacobiana ha in un punto di moltei

'\>.

plicità 2

4-2

Nel caso

+ 1 — 2=3 2)

si

consideri

(almeno). il

fascio delle curve X/-h(jicp-hv^=0

aventi una

medesima conica approssimante, O, che può supnon avere in un punto doppio, essendo O i^unto base semplice per la rete. Imponiamo ad una curva del fascio di toccare in una retta diversa dalla tangente a (7; la curva, F, del fascio così definita non ha più una conica approssimante determinata giacche questa dovrebbe in pari tempo coincidere con la C ed avere in un punto doppio, come accade porsi

per le curve della rete dotate che l'anzidetta F possiede in nell'equazione

F=0

Eeciprocamente, se

i

la

di

punto doppio. Si conclude un punto triplo, mancando

termini di i^rimo e secondo grado. rete If -{- ixrp -\- y]) contiene una

—

CAIMTOLO

39

1

può prendersi al posto di lina delle /, cp, '^ per determinare la rete e sì deduce che la un punto di molteplicità 3-{-l-f-l— 2=^ JHcobiana possiede in lu'vu

dotata

di

punto

triplo, (jiicsta

(aIin«'no).

avverano contemporaneamente se le hanno una tangente fissa e perciò la rete contiene un fascio di curve aventi in un punto doppio, mentre per una di queste curve il punto diviene triplo. Dal fatto che la rete può essere determinata mediante tre curve una delie quali ha un punto triplo, la seconda un ^^^unto doppio, e la terza un punto semplice in 0, si conclude ^H|he la molteplicità di per la jacobiana vale almeno Le ipotesi

1),

2) si

(MU've della rete

^B H- 2 + — 2 = 1

^H

4.

almeno ^^nguale a 5, se la rete contiene due curve aventi in un ^Kunto triplo. È ciò che accade appunto nel caso 3); infatti imponendo alle curve della rete di possedere una tangente diversa da quella della conica approssimamente fìssa, si definisce un fascio di curve per cui la conica approssimante è un punto triplo. indeterminata, cioè che hanno in Viceversa se la rete contiene due curve con un punto tri{)lo, si vede subito che le curve di essa posseggono la meQuesta

molteplicità

diviene più

desima conica approssimante, cioè

si

elevata,

avvera

cioè

l'ipotesi 3).

Dall'analisi fatta basterà trarre la conclusione che: Uìi

pìinto

ììdue,

semplice per

una

rete di curve d'ordine

ii

per la curva jacohiana, salvo in dui- casi che portano una molteplicità almeno uguale a 3 se hi curve della rete posseggono nel punto base una tangente fissa, oppure se la rete contiene una curva avente in quello un 2 e porta che le punto triplo. Quest'ultimo caso suppone n Il

-^ 2) e precifiamente doppio

:

>

coniche approssimanti a tre curve della rete non siano linear-

mente indipendenti. Il precedente teorema

si

x>uò

colo diretto dei termini di secondo

anche dimostrare col calgrado che figurano nello

sviluppo del determinante jacobiano J(f'^'^). Poniamo come innanzi

i

TKHZO

L1J3K0

40

termini di secondo grado nello sviluppo di

stessi

)

somma

dati dalla

dx

dx

dx

9/2

3cp^

3^2

2'lt _^_

dy

dy

dy

dy

dx

dx

dy

determinanti:

di tre

fi

9i

'^1

9/i

9(^1

9^i

dx

ex

dx

?Ìi

5/2

?^

^i?

dy

9?/

9?/

dy

/a

T2

^2

fi

Ti

4^1

3/;

s?!

9;-K

9/2

9cp2

9(|;.3

9a;

9a;

dx

9a;

da;

9.^;

^

?ii

^

§^

^

9?/

9?/

9//

dy

dy

^2

-\-

facile verificare che la somma degli ultimi due determinanti equivale al doppio del primo mutato di segno. A tale scopo nel secondo determinante sottragghiamo l'ultima linea dalla prima, ciò che in forza del teorema di Eulero

Ora è

9/*

equivale a sostituire Z^,

cp^,

(];i,

analogo nel terzo determinante con -^y, ''' dy

il

^y, dy ^'

Ciò -^V' dy

secondo determinante

si

si

posto,

9cp,

94'.

^™^? y^^5

m

possono sostituire

/j,

con ^—x^

con

facile

modo cpj,

'l'i

trasformazione,

riduce a

9/,

9cp2

d']^^

dx

dx

dx

hi

d^,

dx

dx

dx

A

9^

h,

dy

dy

dy

Effettuando l'analoga trasformazione sul terzo determinante e sommandolo al secondo, con l' applicazione- del teorema di

Eulero

(2/;

=Ax-\-

A

y^

....)^

^i

trova appunto

il

doppio

CAI' ITO LO

J

41

del primo determiuiuile miitiito di segno. In coucliisioiie l'insieme dei termini di secondo grado nello sviluppo di J(/9^) è dato da f.

Li URO

42

approssimante

la

TERZO

curva jacobiaiia della rete X/H-!r^

+ = 0, v']>

nel punto base semplice 0, è /2

92

'^2

9/1

S^i

2$i

3;C

9.1;

CIX

?/i

9?i

3?/

9?/

= 0.

S^i 9?/

Ora entro la suddetta rete \C\ esiste sempre una curva dotata punto doppio in 0, che può assumersi come curva '^; la

di

conica approssimante ad J{f-j^'h)=.0 diventa quindi

§A

?9i

dx

dx

dy

dy

'1^2

essendo dx

La

rete

ha

in

dy

tangente variabile se

9.r

9a;

4=0,

e le

le

M,

hi

dy

dy

tangenti principali nel punto doppio della jacohiana sono

tangenti alla curva

4>

dotata di punto doppio: i>,

'Nei casi in cui la

punto

triplo in

= 0.

jacobiana della rete \C\ acquista un

0; dj\

9cpi

dx

dx ^2

di/

dy

= 0,

capìtolo (uirvu

la

'l)

considerata innanzi diviene indeterminata o ik)sdiviene indetcn-minata così

siede un punto tri[)lo in 0, e

o identicamente nulla. In le

4^

/

']

fiuizionale F(f, 9,

=

'^)

una relazione

0',

infatti, in tale ipotesi,

^/

dXi

3^ dXi

dXi

94»

Eeciprocamente è noto che l'annullamento identico del determinante

'^

^,

D{x,x,x.,)

funzionale

significa

l'

esistenza

di

un legame^

^

(')

Fif,

'f,

'\>)

= 0.

sono forme algebriche dello stesso ordine, questo teorema può essere precisato, giacché il i)roce(limento dimostrativo che serve a riconoscere la relamediante zione F=:0 mostra anche come si possa costruire risulta una equazione algeeliminazioni, sicché J^/, cp, '];) ]Sel

nostro caso, in cui/,

-^,

'])

F

=

brica

omogenea

che, divisa per

una iiotenza

di /, si

riduce

al tipo

4,1=0. ('>

Ct'r. i)er es.

S.

Pincherle

Bologna, 1915, pag. 257.

« Lezioni di

Calcolo iIltilHtL^*imale

*.

TERZO

LTIUiO

4()

Ove non si voolia ri tornare rema relativo ai determinanti

sulla dimostrazione del

funzionali,

teo-

può pervenire

si

alla conclusione sopra indicata sostituendo alle considerazioni

precedenti una- verifica diretta. 0/ 0/ .'*'-'

CD( 0/

Osserviamo anzitutto

ctie

soltanto dai rapporti

Quoziente

il

X,

x^ r^{x^x.,x,;)

y,

x^

'

_

sicché

si

^ -^

dipende

può scrivere

rfjxy) Ol.'r?/),

f{x^x^x.J~~f{xy) et

analogamente ']){x^x^x^)

_'l>{xy)

fix,x,x.,)

fixy)

Ora verifichiamo che e,

come

D(fcpb) B(X^X^X^)'

il

= ^i^ìl)-'

determinante funzionale delle O,

identicamente nullo. Infatti

^9 ^ dx'^

3/..

^'\>

2/.

dx^

dx^

dx'^

9cp

df

S'I

5/,

9?/

a?/^

dy'

dy'^

r ~D(xy)

iF

:

r

r

.1

Questo determinante moltiplicato per/^ è nguale

alla

somma

di quattro determinanti:

df

d^^

dx/

dx^'

dx-'

dy'

dy^

dy

d'-f

f

9/

3/-,

ai^

tx^

2'^

df

df

dy

dy"^

dy

d']>

dx^

„

C'X

^^ dy

dy

L'ultimo determinante è evidentemente nullo; primi tre equivale a

f.J(fr]>)=f

¥ dx

d'^

dx

dx

d-^

dy

dy

dy

la

^

somma

dei

I

CAPITOLO

Ricordando che, per x._^=

si

conclude

clie è

47

I

ì,

anche 0,

e perciò le

souo legate da una relazione funzionale

= 0.

F{%'i\

f

fi e.

significato di questa relazione funzionale è che,

Il

dosi sopra

una curva

y.

= cost.

generico, resta sempre ^.:=:cost.

— c/=0,

a j^artire da

;

([uindi le

d. d.

moven-

un suo punto

curve dei due fasci

—

cj'=0, passanti per uno stesso punto genepiano avranno una parte comune. Ora se le curve del fascio :p cf=0 sono irriducibili, ciascuna di esse apparterà pure al fascio del medesimo ordine apparle curve/, cp, in questa ij^otesi 4» cf 0, ossia teranno ad un medesimo fascio. Se invece le curve del fascio 9 cf sono riducibili, le loro componenti variabili formeranno un fascio, con le curve del quale saranno comanche le curve poste a i)rescindere da parti fisse 9

'ji

rico del

—

=

—

—

—

']>

—

—

—

'i— 6/=(). In conclusione possiamo enunciare Teorema: Se la curva jacohiaua di

il

medesimo ad f, un fascio, sono comiìoste alV infuori di parti comuni dalle curve di un fascio; la jacobiana di una rete diventa diuHiue indeterminata soltanto se la rete è formata di curve riducibili, composte di parti fisse e di j^arti variabili in un ordine

'-p,

'h

è

indetermiìiata:

—

fascio.

tre curve del

queste curve apiìartengono

—

LIBRO TERZO

48

È chiaro, reciprocamente, che, per mia rete siffatta, la jacobiana è indeterminata, giacché ciascuna curva del fascio di una curva contata due volte nominato fa parte

—

—

della rete.

La dimostrazione

del

teorema precedente

collegare semplicemente al principio di Infatti dall'equazione algebrica

si

Lamé

può anche

(L. 2°, § 14).

omogenea

grado con m, si conclude subito che nel caso che manchi, in F, il tranne 0, termine/"^; ma questa apparente eccezione si toglie sostituendo ad / una combinazione lineare X/+[xcp -\~y\). La curva passando per le Intersezioni delle curve dello stesso ordine cp=:0 e 0, il principio di Lamé dice appunto che/ di cui

/=0

designeremo

per

cp

il

= = (];

f=0

'ji

=

una combinazione lineare delle cp, oppure che le/, cp, — a prescindere da parti comuni sono composte con le curve di un fascio. Infine si può richiedere una dimostrazione geometrica del teorema precedente che non faccia appello alla proprietà del determinante funzionale di dare col suo annullamento la relazione F=0. Una tale dimostrazione può essere fornita in vari modi; il più semplice sembra quello che qui rapidamente accenniamo (^). A tale scopo ricordiamo il teorema di Bbrtini (Ofr. L. 2% § 5), che le curve di una rete non possono avere punti doppi

è

'\>,

'];,

—

^

variabili e pertanto le parti variabili delle curve della rete sono formate di xjunti semplici. Ora data una rete la cui jacobiana sia indeterminata, un punto generico A del piano è semplice per oo^ curve della rete e doppio j)er una di queste; qnindi le oo* curve della rete passanti per A, e formanti un fascio, posseggono in A una tangente fìssa a. Si deduce che le curve della rete soddisfano tutte a una medesima equazione differenziale del primo ordine che fa corrispondere al x)unto A la retta associata a

segue che le dette curve della rete a prescindere da parti fìsse con le curve di un fascio, integrali dell'equazione differenziale predetta. (Ofr. L. 2°,

^-^

sono composte

(0 Cfr.

Iperspazi

»,

14,

—

Bertini pag. 235.

28)

;

—

-

« lutroiluzione

alla

Geometria Proiettiva degli

CAPITOLO

49

I

—

Hossiana di una curva. Dicesi hessiuiui di una ciuva () la curva, d'ordine 'òn (5, jacobiana della rete delle sue prime polari. In virtù del teorema di permutabilità di Pluckku, la curva hessiana, luogo dei punti doppi delle prime polari, si può delinire anche come luogo dei punti la cui conica polare ha un punto doppio. Infatti se la prima polare di Olia un punto doppio P,la vetta polare mista di P contato n 2 volte e di è indeterminata, e quindi la conica polare di P possiede in un i)unto doppio. Ciò risulta anclie dall'espressione analitica del determinante hessiano che è 7.

f{xy) =

—

—

d\f 3a;/-

h

=

d\f

y-f

50

LIBIiO

TERZO

ad / di un certo punto 0: hìh j) questa polare. appartiene anche ad/, la retta OP risulta tangente P, e per di più ha ivi due intersezioni (almeno) con la polare j>: ciò significa che il punto P è punto doppio i)er il rispetto al gruppo G, intersezione della gruppo G', polare di retta OP con la curva/. Quindi nel gruppo G il punto P deve essere punto triplo; cioè la tangente OP deve avere in P tre intersezioni riunite con la/, vale a dire essere tangente di flesso. Dimostriamo ora la seconda parte del nostro teorema, cioè che ogni flesso della curva è comune alla sua hessiana. Per questo ci serviremo della seconda deflnizione della hessiana, cioè faremo vedere che se F è un flesso la conica polare di F si spezza (nella tangente di flesso e in una retta residua). Infatti siccome F l)olare rispetto

Ora se ad /in

P

è un flesso, la tangente di flesso

t

ha

in

F

tre

riunite con la curva; tutte le successive polari di

intersezioni

F dovendo

avere tre intersezioni con la t riunite in F, la conica polare si spezza nella te in una retta residua. Giova avvertire che il teorema precedente può essere precisato nel senso che: se un punto semplice, P,di.f «appartiene alla P è un flesso di /in cui la tangente ha con /un sua hessiana, contatto trij)unto e non più elevato semprechè le due curve/, h /*.,

non

si

tocchino.

Infatti riprendendo

dimostrazione precedente si può dimostrare escluso il contatto che di / con P hessiana la curva j), polare di 0, ha come tangenti princij)ali, nel jpunto doppio P, due rette, distìnte da OP, le quali separano armola

g

:

polare limite,

polari

—

—

nicamente la OP e la tangente ad h. A tale scopo consideriamo un punto P', vicino a P, su /; P' è doppio per una curva

quale insieme a p determina un fascio dì polari al quando P' tende a P, codesto fascio diventa il fascio delle per P, cui poli variano sulla retta OP. Ora, designando

p', la

;

i

\e i\

principali

taugiMiti

p' in P', prossinìc alle a,

punti

2— i, si

3 '11

ir-^

'

dx.,

è divisibile per re/"' e

non per

x^

a potenza superiore,

è divisibile per x^^^^, ZX

i

OX.-f

;-^

è divisibile per x^\

Ciò posto, e

non per

la tanente

x^

ad/

in particolare

all'

divisibile

i

—

2,

e

non

jyer .r/"~^

più, int 1) rette aj^, p. es. a^a^....as, codesta punto avrà precisamente per le 9,,_j la molteplicità s 1^ tenuto conto delle molteplicità delle rette a^a,.... giacche passanti per quel punto — si ha che esso ha per / la molparti

le

fisse

r —

'Pp—i

1. II

i

sistema delle

i

—

—

teplicità /,

e

+ + /,

....

H-

is

quindi ha la molteplicità

+

i',

per

i.

-H

....

+ —1 ^^

1(?

cp„_j

Si

==

ah-^

....

.

ajo-^'^r-i

P

alcuna tangente ^r—i i'f>ii hanno in esclude anzitutto che le 9r— i possano tutte toccare

aggiunga che

tìssa p; si

ff.;'2-l.

le

una medesima retta 2> diversa dalle a^a.^....as, perchè lare d'un punto