Formules de Mathématiques Financières [PDF]

Zitiervorschau

Calcul de l’intérêt :

Intérêts simples Soit 𝐼 l’intérêt ; 𝐶 le capital prêté ou placé ; 𝑡 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée en années ; 𝑠 la durée en semestres ; 𝑚 la durée en mois ; 𝑗 la durée en jours 𝑰=

𝑪× 𝒕 × 𝒏 𝟏𝟎𝟎

,𝑰=

𝑪× 𝒕 × 𝒔 𝟐𝟎𝟎

,𝑰 =

𝑪×𝒕×𝑻

𝑪× 𝒕 ×𝒎

𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟎𝟎

ou 𝑰 =

ou 𝑰 =

𝑪× 𝒕 × 𝒋 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎

Calcul de la valeur acquise : Calcul du capital :

Soit 𝐼 l’intérêt ; 𝐶 le capital prêté ou placé ; 𝑉𝐴 la valeur acquise 𝐼×100 Soit 𝐼 l’intérêt ; 𝑡 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée 𝐶 = 𝑡×𝑛

Calcul du capital

Soit 𝑉𝐴 la valeur acquise ; 𝑡 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée en années 𝑉𝐴 𝐶 = 𝑉𝐴 − 𝐼 ou 𝐶 = 𝑡×𝑛 (1+

100

𝑉𝐴 = 𝐶 + 𝐼

)

Calcul du taux :

Soit 𝐼 l’intérêt ; 𝐶 le capital prêté ou placé ; 𝑛 la durée 𝐼×100 𝑡 = 𝐶×𝑛 Remarque 𝐼 = 𝑉𝐴 – 𝐶

Calcul de la durée :

Soit 𝑉𝐴 la valeur acquise ; 𝐶 le capital prêté ou placé ; 𝐼 l’intérêt ; 𝑡 le taux d’intérêt 𝑛=

Le taux moyen

Calcul de la valeur actuelle Calcul des intérêts Calcul de la durée

𝐶×𝑡

; 𝑛=

(𝑉𝐴−𝑐)×100 𝐶×𝑡

𝐼×100

; 𝑛 = (𝑉𝐴−𝐼)×𝑡

Le taux moyen de ces trois placements est un taux unique noté «𝑡𝑚 », qui appliqué à l’ensemble de ces trois placements donne le même intérêt global. 𝑡𝑚 =

Calcul de la valeur acquise

𝐼×100

(𝐶1 × 𝑡1 × 𝑗1 ) + (𝐶2 × 𝑡2 × 𝑗2 ) + (𝐶3 × 𝑡3 × 𝑗3 ) (𝐶1 × 𝑗1 ) + (𝐶2 × 𝑗2 ) + (𝐶3 × 𝑗3 )

Intérêts composés Soit 𝐶𝑛 la valeur acquise en 𝑛 ; 𝐶0 le capital initial ; 𝑛 la durée ; 𝑖 le taux d’intérêt 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑛 Soit 𝐶𝑛 la valeur nominale ; 𝐶0 le capital initial ; 𝑛 la durée ; 𝑖 le taux d’intérêt 𝐶0 = 𝐶𝑛 (1 + 𝑖)−𝑛 Soit 𝐼 l’intérêt ; 𝐶𝑛 la valeur acquise en 𝑛 ; 𝐶0 le capital initial 𝐼 = 𝐶𝑛 − 𝐶0 = 𝐶0 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1) Soit 𝑛 la durée ; 𝐶𝑛 la valeur acquise en 𝑛 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝐶0 le capital initial

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1

𝑛=

𝐶 ln( 𝑛) 𝐶0

ln(1+𝑖)

;𝑛=

ln(𝐶𝑛 )−ln(𝐶0 ) ln(1+𝑖)

Calcul du taux d’intérêt

Soit 𝑛 la durée ; 𝐶𝑛 la valeur acquise en 𝑛 ; 𝐶0 le capital initial 𝐶 1 𝑖 = ( 𝐶𝑛) ⁄𝑛 − 1

Solution rationnelle

Soit 𝐶0 un capital placé pendant une période, de 𝑘 années et 𝑝 mois au taux 𝑖

Solution commerciale

𝑝 𝐶𝑘+𝑝 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑘 (1 + 𝑖) 𝑘 𝑘 Soit 𝐶0 un capital placé pendant une période, de 𝑘 années et 𝑝 mois au taux 𝑖

0

𝑝

𝐶𝑘+𝑝 = 𝐶0 (1 + 𝑖)𝑘+𝑘 𝑘

Calcul d’un taux proportionnel

Taux proportionnel et taux équivalent Soit 𝑖𝑎 le taux annuel ; 𝑖 𝑚 le taux mensuel ; 𝑖 𝑇 le taux trimestriel ; 𝑖 𝑠 le taux semestriel 𝑖

𝑖 𝑚 = 12𝑎 ;𝑖 𝑇 = Calcul d’un taux équivalent

Calcul de la valeur actuelle Calcul de l’escompte

Calcul du taux d’escompte

𝑖𝑎 4

;𝑖𝑠 =

𝑖𝑎 2

; …… 𝑖

Le taux proportionnel au taux i pour une période divisée en k sous-périodes est 𝑖𝑘 = 𝑘

Soit 𝑖𝑎 le taux annuel ; 𝑘 le nombre de périodes dans l’année ; 𝑖𝑘 le taux équivalent pour la période de capitalisation ; 1 𝑖𝑘 = (1 + 𝑖𝑎 ) ⁄𝑘 − 1 L’escompte Soit 𝑉0 la valeur actuelle à la période 0 ; 𝑉𝑛 la valeur nominale à la période 𝑛 ; 𝑒 l’escompte 𝑉0 = 𝑉𝑛 − 𝑒 Soit 𝑉𝑛 la valeur nominale à la période 𝑛 ; 𝑒 l’escompte ; 𝑡 le taux d’escompte ; 𝑛𝑗 la durée en jours 𝑉𝑛 × 𝑡 × 𝑛𝑗 𝑒= 36000 Soit 𝑉𝑛 la valeur nominale à la période 𝑛 ; 𝑒 l’escompte ; 𝑡 le taux d’escompte ; 𝑛𝑗 la durée en jours 𝑒 × 36000 𝑡= 𝑉𝑛 × 𝑛𝑗

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Calcul de la durée d’escompte

Soit 𝑉𝑛 la valeur nominale à la période 𝑛 ; 𝑒 l’escompte ; 𝑡 le taux d’escompte ; 𝑛𝑗 la durée en jours 𝑒 × 36000 𝑛𝑗 = 𝑉𝑛 × 𝑡

Taux réel d’escompte

Taux de revient

𝑡𝑟 =

𝐴𝑔𝑖𝑜𝑠 × 36000 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 × 𝐷𝑢𝑟é𝑒𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒

𝑡𝑒 =

𝐴𝑔𝑖𝑜𝑠 × 36000 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 × 𝐷𝑢𝑟é𝑒𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒

𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 = 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 – 𝐴𝑔𝑖𝑜𝑠 𝑇𝑇𝐶

Calcul de l’annuité constante à partir de la valeur actuelle

Calcul de l’annuité constante à partir de la valeur acquise

Calcul de la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes Calcul de la durée d’une suite d’annuités constantes

Les annuités constantes Soit 𝑉0 la valeur actuelle à la période 0 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée ; 𝑎 l’annuité constante 𝑉0 × 𝑖 𝑎= –𝑛 1 − (1 + 𝑖) Soit 𝑉𝑛 la valeur acquise à la période 𝑛 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée ; 𝑎 l’annuité constante 𝑉𝑛 × 𝑖 𝑎= 𝑛 (1 + 𝑖) − 1 Soit 𝑉𝑛 la valeur acquise à la période 𝑛 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée ; 𝑎 l’annuité constante (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑣𝑛 = 𝑎 𝑖 Soit 𝑉𝑛 la valeur acquise à la période 𝑛 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée ; 𝑎 l’annuité constante

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Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes

𝑣 ×𝑖 𝑙𝑛( 𝑛𝑎 + 1) 𝑛= 𝑙𝑛(1 + 𝑖) Soit 𝑉0 la valeur actuelle à la période 0 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée ; 𝑎 l’annuité constante 𝑣0 = 𝑎

Calcul du capital restant dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

Calcul du 1er amortissement dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

Calcul d’un amortissement quelconque en fonction du 1er amortissement dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

Calcul d’un amortissement quelconque en fonction d’un amortissement autre que le 1er dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes Calcul du capital remboursé à la fin d’une période quelconque dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

1−(1+𝑖)−𝑛 𝑖

; Remarque : (1 + 𝑖)−𝑛 =

1 (1+𝑖)𝑛

Soit 𝐶𝑘 le capital restant dû à la période 𝑛 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée totale ; 𝑎 l’annuité constante ; 𝑘 le nombre d’annuités remboursées (1 + 𝑖)−(𝑛−𝑘) 𝐶𝑘 = 𝑎 𝑖 Soit 𝑀1 le 1er amortissement ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑛 la durée totale ; 𝐶0 la valeur actuelle (capital emprunté) à la période 0 𝑖 𝑀1 = 𝐶0 (1+𝑖)𝑛 −1 Remarque : les amortissements sont en progression linéaire de raison 𝑀𝑝+1 = 𝑀𝑝 (1 + 𝑖) (par exemple :𝑀6 = 𝑀5 (1 + 𝑖) ) Soit 𝑀1 le 1er amortissement ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝐾 le rang de l’amortissement recherché ; 𝑀𝑘 la valeur de l’amortissement à la période 𝑘 𝑀𝑘 = 𝑀1 (1 + 𝑖)𝑘−1 Soit 𝑀𝑝 l’amortissement de la période 𝑃 ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝐾 le rang de l’amortissement recherché ; 𝑀𝑘 la valeur de l’amortissement à la période 𝑘 𝑀𝑘 = 𝑀𝑝 (1 + 𝑖)𝑘−𝑝 Soit 𝑀1 le 1er amortissement ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑘 la période ; 𝐶𝑘 la capital remboursé à la période 𝑘 𝐶𝑘 = 𝑀1

(1 + 𝑖)𝑘 − 1 𝑖

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Calcul de l’amortissement constant Calcul d’une annuité en fonction de l’annuité précédente

Calcul du capital restant dû

Les amortissements constants Soit 𝑉0 le capital emprunté ; n la durée ; A l’amortissement constant 𝑉0 𝐴= 𝑛 Soit 𝑉0 le capital emprunté ; 𝑛 la durée ; 𝑖 le taux d’intérêt ; 𝑎𝑘 l’annuité de la période𝑘 = 𝑝 + 1 𝑘 ; ap l’annuité de la période 𝑃 ; 𝐾 le rang de la période 𝑘 = 𝑝 + 1 ; 𝑃 le rang de la période 𝑝 𝑉0 𝑎𝑘 = 𝑎𝑝+1 = 𝑎𝑝 − ( ) 𝑖 𝑛 (1 + 𝑖)𝑝 − 1 𝐷𝑉𝑝 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑝 − 𝑖 Ou 𝐷𝑉𝑝 = 𝑎 Ou encore 𝐷𝑉𝑝 = 𝐶

(1 + 𝑖)−(𝑛−𝑝) 𝑖

(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑖)𝑝 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

Emprunts indivis Principe de l’emprunt indivis L’emprunt indivis se caractérise par le fait que l’emprunteur s’adresse à un seul créancier(le nominal de la dette n’est pas divisé). Donc, l’emprunt se caractérise par le capital initial empruntéC0 la durée de remboursement ou d’amortissement de ce capital et le taux d’emprunt i ; en plus de la modalité de remboursement.

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Décomposition de l’annuité

Modalités de remboursement

En une seule fois(en bloc)

En une seule fois(en bloc) 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 𝐼 =𝐸×𝑖 En plus du dernier versement (en fin de la dernière période), on verse le principal en bloc.

Par

Par annuités

amortissement

(échéances)

constant

constantes

Emprunts par amortissement constant 𝑀 = 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚3 = 𝑚4 = 𝐸/𝑛 𝑉0 𝑀= 𝑛

Aléatoire

Emprunts par échéances constantes 𝑎=

𝑉0 × 𝑖 1 − (1 + 𝑖)

–𝑛

Remboursement aléatoire Les échéances ou l’amortissement sont déterminés par négociation ou imposé par l’une des parties et n’obéissent à aucune loi (ou règle).

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Remarque : Pour les emprunts, il importe de tenir en compte la TVA sur les intérêts débiteurs, l’annuité sera a = I + TVA + M : le taux pour calculer l’annuité constante sera différent de celui de l’intérêt (tenir compte du taux de la TVA sur agios qui est de 10%). TABLEAU D’AMORTISSEMENT

Périodes

CDP

I

TVA

M

a

CFP

1 2 3

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