RDM Formules de Bresse [PDF]

Zitiervorschau

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PRE RENTREE – RDM FORMULE DE BRESSE

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FOCUS SUR LES FORMULES DE BRESSE

Table des matières I.

Formules de Navier-Bresse.............................................................................................................. 2 1.

Rappel du théoreme de CASTIGLIANO : ...................................................................................... 2

2.

Formules de Navier Bresse pour une poutre en abscisse curviligne........................................... 3

1.

Formules de Bresse dans le cas de poutre droite : ..................................................................... 6

II.

Applications des Formules de Bresse .............................................................................................. 7 1.

Définition des rotations d’extrémité d’une poutre isostatique : ................................................ 7

2.

Application aux poutres hyperstatiques ..................................................................................... 8 1.

Définition de la courbe des moments hyperstatiques à partir des moments sur appuis ....... 8

2.

Définition des rotations hyperstatiques sur appui ................................................................ 10

III.

IV.

Exemples d’application.............................................................................................................. 11 1.

Etude des déformations d’une poutre isostatique sur 2 appuis ........................................... 11

2.

Etude d’une poutre hyperstatique d’ordre 1 ........................................................................ 12

3.

Etude d’une poutre isostatique ............................................................................................. 13 Fonctions de singularité ............................................................................................................ 14

1.

Définition ................................................................................................................................... 14

2.

Exemple de mise en place : ....................................................................................................... 14

3.

Exemple d’application 2 sur une poutre encastrée .................................................................. 15

4.

Exemple d’application 3 : poutre sur deux appuis et encorbellement ..................................... 16

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I. FORMULES DE NAVIER-BRESSE Les formules de Navier Bresse peuvent être définies à partir du théorème de CASTIGLIANO.

1. RAPPEL DU THEOREME DE CASTIGLIANO : Soit un tronçon de poutre (Go G). Ce tronçon de poutre est soumis à un champ de déplacement défini tel que : • •

Déplacement de l’origine Go du tronçon d’une valeur de Uo selon l’axe x du repère global et de Vo selon Y du repère global Rotation du tronçon de la poutre de wo au niveau du point Go

Un torseur d’effort (X, Y, C) est appliqué au niveau du point G Le théorème de CASTIGLIANO nous permet d’écrire les formules de déplacements du point G d’abscisse x dans le repère fixe GLOBAL : =

+

=

−

−

+

=

+

−

+

Avec u0, déplacement dans le sens des x du repère d’origine de la poutre Avec vo, déplacement dans le sens des y du repère d’origine de la poutre Avec wo, la rotation à l’origine de la poutre Avec xo, yo, cordonnées du point GO d’origine de la poutre un fois le déplacement de repère effectué (uo, vo, wo) Avec x, y, cordonnées du point G de la poutre un fois le déplacement de repère effectué (uo, vo, wo) Avec w(x), la rotation du point G une fois le déplacement de repère effectué (uo, vo, wo) Avec X, effort extérieur appliqué au point d’abscisse x selon l’axe x. Avec Y, effort extérieur appliqué au point d’abscisse x selon l’axe y. Avec M, moment extérieur appliqué au point d’abscisse x selon l’axe z. Avec W, l’énergie interne de déformation du système.

NOTA : dans la majorité des cas de RDM étudiés, le champs de déplacement du repère local (Uo,Vo,Wo) est nul ;

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2. FORMULES DE NAVIER BRESSE POUR UNE POUTRE POUTRE EN ABSCISSE CURVILIGNE CURVILIGNE En reprenant la poutre ci-dessus : La poutre est encastrée au niveau du point Go, de coordonnées (Xo,Yo) dans le repère global cartésien, ou encore d’abscisse curviligne σ0. Soit un point G cette poutre, de coordonnées (X,Y) dans le repère global cartésien global, ou encore d’abscisse curviligne σ. Soit un torseur d’effort (X,Y,C) s’appliquant au point G Soit un point quelconque Г de cette poutre, de coordonnées (ξ , η) dans le repère global cartésien. Au niveau du point Г, on note : • •

M,N,V le torseur d’effort interne initial M1,N1,V1 le torseur final un fois les forces extérieures (X,Y,C) appliquées

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On définit rapidement avec la méthode des coupures que : M1 = M + Y ( x – ξ) – X (y – η) + C N1 = N – X. cos θ – Y. sin θ V1 = V + X. sin θ – Y. cosθ

Pour rappel, l’énergie de déformation globale d’une poutre vaut (Formule générale en 3D) : =

+

.

+

.

+

+

+

!

En calculant chaque dérivée partielle de W par rapport aux efforts (X,Y,C), il vient :

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Puis, "# 1 = ", 2 "# = ",

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Enfin, "# 1 = "< 2 "# = "