Cours HSL 2016 [PDF]

Zitiervorschau

Surface libre dans un puits de chute par la modélisation 3D (J. VAZQUEZ et M. DUFRESNE)

Formation d'ingénieurs ENGEES Janvier 2016

José VAZQUEZ Professeur en hydraulique à l'ENGEES Responsable de l'équipe MécaFlu au laboratoire Icube Cofondateur de la Startup 3DEau [email protected]

Matthieu DUFRESNE Maître de Conférences en hydraulique à l'ENGEES Chercheur à l'équipe MécaFlu au laboratoire Icube Cofondateur de la Startup 3DEau [email protected]

Ce cours est la propriété exclusive de ses auteurs. Toute diffusion par un tiers sans accord écrit et préalable de ses auteurs est interdite.

Le lecteur trouvera sur le site : http://hydraulique-des-reseaux.engees.eu/ des outils informatiques et des documents de synthèse correspondant à ce cours.

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AVANT PROPOS

L’hydraulique est très présente dans le domaine de l’environnement. En effet, elle a une place déterminante dans la compréhension, l’analyse et le diagnostic des réseaux d’adduction d’eau potable, des stations de traitement, d’irrigation, des réseaux d’assainissement et des rivières. De plus, le contrôle de ces systèmes nécessite une instrumentation qui oblige le concepteur et l’exploitant à une connaissance poussée du fonctionnement hydraulique de ces ouvrages. D’un point de vue réglementaire, la directive 2000/60/CE du Parlement européen établit un cadre pour une politique communautaire dans le domaine de l’eau. Elle incite les Etats membres (dont évidemment la France) à protéger et restaurer la qualité de leurs ressources en eau afin de parvenir à un bon état chimique et écologique. L’eau est donc une préoccupation majeure dans notre civilisation. L’objectif de cet ouvrage destiné aux techniciens et ingénieurs est de fournir les bases nécessaires à la compréhension physique et au calcul des phénomènes présents en hydraulique appliquée au génie de l’eau et de l’environnement. Chaque notion d’hydraulique est ponctuée par une série d’exercices permettant d’illustrer les concepts présentés. Les exemples sont issus d’ouvrages hydrauliques existant. Les techniques de calcul qui sont associées à la résolution des équations mises en œuvre sont élaborées dans un souci d’efficacité. Cet ouvrage est composé de plusieurs chapitres qui s’intéressent à l’hydraulique à surface libre. Ce type de comportement hydraulique se rencontre essentiellement en assainissement et surtout en rivière. Après une description des différentes géométries de canaux et de tuyaux, une description détaillée de l’écoulement fluvial et torrentiel permet de comprendre physiquement le phénomène d’ondes qui lui est associé. On traite ensuite les écoulements uniforme et permanent. Dans ce contexte, on fournit les équations ainsi que les techniques de calcul permettant de dimensionner les canalisations. Le diagnostic d’un réseau en régime permanent est réalisé dans le cas des écoulements dits non-uniformes. On s’intéresse dans ce chapitre à la détermination des courbes de remous ainsi qu’à leur technique de calcul. Un chapitre est ensuite consacré aux ouvrages tels que les seuils, les déversoirs latéraux et les vannes de régulation.

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

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BIBLIOGRAPHIE BERTRAND-KRAJEWSKI J.L., Mesures en hydrologie urbaine et assainissement, éd. Tec et doc, ed. 2000. BONNIN J. (1983). Ecoulements des fluides dans les tuyauteries. Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique. CARLIER M. : Hydraulique générale et appliquée, Editions Eyrolles (1972). CASTRO-ORGAZ O. (2008). Hydraulic design of Khafagi flumes. Journal of Hydraulic Research 46(5), 691698. CETMEF (2005). Notice sur les déversoirs – Synthèse des lois d’écoulement au droit des seuils et déversoirs. Ministère des Transports, de l’Equipement, du Tourisme et de la Mer. CHANSON H. (2009). Current knowledge in hydraulic jumps and related phenomena – A survey of experimental results. European Journal of Mechanics B 28, 191-210. CHOW V. T. (1959). Open-channel hydraulics. McGraw-Hill. COMOLET R., Mécanique expérimentale des fluides, Masson, ed.1982. DINGMANN S. L. (1984). Fluvial hydrology. W. H. Freeman and Company. GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydrodynamique : Une introduction, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1995). GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : écoulement permanent uniforme et non uniforme, Tome 1, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1993). GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : écoulement non permanent et phénomènes de transport, Tome 2, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1996). HAGER W. H. : Wastewater hydraulics theory and practice, Springer, ed. 1999. HENDERSON F. M. (1966). Open channel flow. McMillan. ISO (1983). Mesure de débit des liquides dans les canaux découverts – Canaux jaugeurs à col rectangulaire, à col trapézoïdal et à col en U. Association Française de Normalisation. KHAFAGI A. (1942). Der Venturikanal (Theorie and Anwendung). Thèse de doctorat, Eidgenössishen Technisen Hochschule in Zürich [en Allemand]. LENCASTRE A. : Hydraulique générale, Editions Eyrolles (1996). LESIEUR M. : La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble, Ed. 1994. NEZU I. & NAKAGAWA H. (1993). Turbulence in open-channel flows. IAHR Monograph. PERNES P. : Hydraulique unidimensionnelle - Partie 1 - Analyse dimensionelle et similitudes - Généralités sur les écoulements unidimensionnels - Ecoulements en charge - Ecoulements à surface libre, Cemagref Editions, ed. 2003. SCHIESTEL R. : Modélisation et simulation des écoulements turbulents, Editions Hermès (1993). SINNIGER R.O., HAGER W. H. : Constructions hydrauliques : Ecoulements stationnaires, Traité de Génie Civil, Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1989). VEN TE CHOW : Open-channel hydraulics, McGraw-Hill, ed. 2009. VIOLET P.L., CHABARD J.P., Mécanique des fluides appliquée, Presses des ponts et chaussées, ed. 1998.

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SOMMAIRE

CHAPITRE I : CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS.................................................................. 9 1. - TYPES D’ECOULEMENT ................................................................................................................ 10 2. - GEOMETRIE DES CANAUX ............................................................................................................ 13 3. - REGIME D'ECOULEMENT ET SECTION DE CONTROLE ............................................................................ 15 4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL .................................................................................................. 20 5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS ................................................................................. 26 CHAPITRE II :

ECOULEMENT PERMANENT ET UNIFORME......................................................... 37

1. - DESCRIPTION DE L'ECOULEMENT UNIFORME ..................................................................................... 38 2. - CALCUL DES PERTES DE CHARGE .................................................................................................... 40 3. - FORMULES DU TYPE CHEZY .......................................................................................................... 42 4. - LA HAUTEUR NORMALE HN ........................................................................................................... 44 5. - SECTION DE DEBIT MAXIMAL ........................................................................................................ 46 6. - SECTIONS DE RUGOSITE COMPOSEE ................................................................................................ 46 7. - MARGE DE SECURITE .................................................................................................................. 47 8. - LIMITES DE DIMENSIONNEMENT .................................................................................................... 47 CHAPITRE III :

ECOULEMENT PERMANENT GRADUELLEMENT VARIE ........................................ 49

1. - CHARGE SPECIFIQUE ................................................................................................................... 50 2. - REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE ........................................................................................ 51 3. - EQUATION DE LA COURBE DE REMOUS ............................................................................................ 52 4. - FORMES DES COURBES DE REMOUS ................................................................................................ 55 5. - SECTION DE CONTROLE ............................................................................................................... 66 6. - METHODES DE RESOLUTION ......................................................................................................... 66 CHAPITRE IV :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LE RESSAUT HYDRAULIQUE ....................... 69

1. - LES DIFFERENTS TYPES DE RESSAUT ................................................................................................ 70 2. - DETERMINATION DES PROFONDEURS CONJUGUEES ............................................................................ 72 3. - DETERMINATION DE LA PERTE D’ENERGIE ........................................................................................ 74 4. - LONGUEUR DU RESSAUT .............................................................................................................. 74 CHAPITRE V :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES DEVERSOIRS FRONTAUX ...................... 77

1. - ECOULEMENTS NOYE ET DENOYE ................................................................................................... 78 2. - ECOULEMENTS AERE ET NON-AERE................................................................................................. 80 3. - SEUIL MINCE ET SEUIL EPAIS ......................................................................................................... 81 4. - MISE EN EQUATION POUR UN SEUIL RECTANGULAIRE.......................................................................... 82 CHAPITRE VI :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES CHUTES ............................................... 85

CHAPITRE VII :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES VANNES ............................................. 87

1. - DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT AU NIVEAU D’UNE VANNE .................................................................. 88 2. - LOIS DE VANNE RECTANGULAIRE ................................................................................................... 90 3. - UTILISATIONS PRATIQUES ............................................................................................................ 92

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CHAPITRE VIII :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES CANAUX VENTURIS ............................ 93

1. - DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT DANS UN CANAL VENTURI ................................................................. 94 2. - LOIS HAUTEUR-DEBIT DES CANAUX VENTURI .................................................................................... 97 CHAPITRE IX :

ECOULEMENT VARIE :

LES DEVERSOIRS LATERAUX .......................................103

1. - APPROCHE DU FONCTIONNEMENT HYDRAULIQUE .............................................................................104 2. - FORMULES EMPIRIQUES .............................................................................................................105 3. - RAISONNEMENT A ENERGIE SPECIFIQUE CONSTANTE .........................................................................106 4. - RAISONNEMENT BASE SUR L’EQUATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT..............................................109 CHAPITRE X :

ANNEXES ....................................................................................................111

1. - GEOMETRIES DES SECTIONS.........................................................................................................112 2. - DETERMINATION DE LA CELERITE DE L’ONDE DE GRAVITE ....................................................................115 3. - APPROXIMATION DU NOMBRE DE FROUDE ET DE LA HAUTEUR CRITIQUE ...............................................117 4. - TABLEAU DES RUGOSITES KS ........................................................................................................118 5. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION CIRCULAIRE .......................................................120 6. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION OVOÏDE ...........................................................122 7. - CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION FER A CHEVAL ....................................................124 8. - DEMONSTRATION DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION ......................................................................125 9. - ABAQUES DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION POUR LE CALCUL DE LA COURBE DE REMOUS ........................127 10. - HAUTEURS CONJUGUEES DE QUELQUES SECTIONS ..........................................................................131 11. - LOIS DE QUELQUES DEVERSOIRS FRONTAUX ...................................................................................132 12. - EXPRESSION DU DEBIT DEVERSE..................................................................................................140 13. - EQUATION DES DEVERSOIRS LATERAUX ........................................................................................144 14. - ABAQUES POUR LE CALCUL DES DEVERSOIRS LATERAUX ....................................................................147

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

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Chapitre I :

CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS

I-1 : Aménagement d’une évacuation : du pilote en laboratoire à la construction sur site

Ce chapitre constitue un résumé des bases hydrodynamiques des écoulements à surface libre. L’accent n’est pas mis sur l’approche théorique (pour l’instant) mais plutôt sur l’application des concepts de l’hydrodynamique aux écoulements à surface libre. Nous verrons, dans un premier temps, le vocabulaire couramment utilisé dans le domaine de l’hydraulique à surface libre en définissant physiquement les notions d’écoulement uniforme, non-uniforme, de ressaut hydraulique, etc... Dans un deuxième temps, on s’attachera à définir les différentes caractéristiques géométriques utiles pour un calcul hydraulique. Ensuite, un paragraphe complet est consacré à la notion fondamentale d’écoulement fluvial et torrentiel. La compréhension de ces caractéristiques est déterminante pour le calcul de l’évolution de la hauteur d’eau dans un canal en fonction des conditions aux limites. Un chapitre est ensuite consacré à la turbulence. Celle-ci joue un rôle prépondérant dans le calcul des pertes d’énergie le long des canaux. Le dernier chapitre s’intéressera à la forme de la distribution des vitesses et des pressions suivant la hauteur de l’eau.

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

Les écoulements dans les canaux naturels (rivière) et artificiels (irrigation, assainissement) sont, dans la plupart des cas, des écoulements à surface libre. La surface libre est l’interface entre l’air et l’eau. La pression y est égale le plus souvent à la pression atmosphérique. Surface libre

Ligne de courant

I-2 : Surface libre et lignes de courant

1. - TYPES D’ECOULEMENT On peut définir les écoulements suivants la variabilité des caractéristiques hydrauliques tels que le tirant d’eau et la vitesse en fonction du temps et de l’espace. 1.1. - Variabilité dans le temps Le mouvement est permanent (ou stationnaire) si les vitesses U et la profondeur h restent invariables dans le temps en grandeur et en direction. Le mouvement est non-permanent dans le cas contraire.

Ecoulement permanent

Ecoulement non-permanent

I-3 : Ecoulement permanent et non-permanent

Au sens strict, l’écoulement dans les canaux est rarement permanent. Néanmoins les variations temporelles sont, dans certains cas, suffisamment lentes pour que l’écoulement puisse être considéré comme une succession de régime permanent. On peut alors définir ainsi le régime quasi-permanent.

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Types d’écoulement

1.2. - Variabilité dans l’espace

I-4 : Variabilité de l'écoulement dans l'espace

Le mouvement est uniforme si les paramètres caractérisant l’écoulement restent invariables dans les diverses sections du canal. La ligne de la pente du fond est donc parallèle à la ligne de la surface libre. Le mouvement est non-uniforme ou varié si les paramètres caractérisant l’écoulement changent d’une section à l’autre. La pente de la surface libre diffère de celle du fond. Un écoulement non-uniforme peut être accéléré ou décéléré suivant que la vitesse croît ou décroît dans le sens du mouvement. Lorsque le mouvement est graduellement varié, la profondeur ainsi que les autres paramètres varient lentement d’une section à l’autre. Lorsque le mouvement est rapidement varié, les paramètres caractérisant l’écoulement changent brusquement, parfois avec des discontinuités. Cela se manifeste en général au voisinage d’une singularité, telle qu’un seuil, un rétrécissement, un ressaut hydraulique ou une chute brusque. Au régime permanent, dans un canal au régime uniforme ou non, le débit est conservé. Uniforme Graduellement varié Stationnaire

Non uniforme Rapidement varié

ECOULEMENT Graduellement varié Non stationnaire

Non uniforme Rapidement varié

I-5 : Les différents types d'écoulement

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

Applications : Les écoulements stationnaires et transitoires (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) • Pourquoi au régime permanent, dans un canal au régime uniforme ou non, le débit est-il conservé ?

• Habituellement en hydraulique en charge, le remplissage d'un bassin peut être modélisé par une succession de calcul en régime permanent. Peut-on faire la même démarche en hydraulique à surface libre ?

• Le mascaret est une vague qui remonte un fleuve à contre courant. Dans quel type d'écoulement (permanent/transitoire) peut-on modéliser le mascaret ?

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Géométrie des canaux

2. - GEOMETRIE DES CANAUX Dans ce chapitre nous allons définir les grandeurs géométriques les plus utilisées permettant de caractériser l’écoulement.

B yG

S

Dh h A savoir !!!

P I-6 : Géométrie des canaux

• La section transversale d’un canal est la section plane normale à la direction de l’écoulement. • La surface mouillée, S, est la portion de la section occupée par le fluide dans la section du canal. • Un canal dont la section, la pente et la rugosité ne varient pas suivant le sens de l’écoulement est appelé canal prismatique (Les caractéristiques hydrauliques peuvent varier!!). • Le périmètre mouillé, P, est formé par la longueur de la ligne de contact entre la surface mouillée et les parois de la section (la largeur de la surface libre n’entre pas en compte). S • Le rayon hydraulique est donné par : R h = P • La largeur superficielle ou largeur au miroir, B, est la largeur du canal au niveau de la dS surface libre. B = dh S • La profondeur hydraulique est donnée par : Dh = B • La pente, I, varie environ de quelque %. • La position du centre de gravité yG par rapport à la surface libre. h

Moment statique : S.y G = ∫ ( h − z ) B(z)dz 0

Un catalogue de quelques sections courantes est fourni en ANNEXE 1 : Géométries des sections p.112.

A ne pas savoir pas !!! José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

Applications : Géométrie des canaux (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours)

• Dans le cas d'une section rectangulaire, déterminer : S, P, Rh, Dh et yG.

• Calculer le Rh d'une conduite circulaire pleine :

•

Parmi les trois conduites suivantes et pour le tirant d'eau défini, sans faire de calcul, quelle est la conduite ayant le Rh le plus important ? Le plus petit ?

I-7 : Comparaison de sections

•

Quel intérêt peut représenter le Rh vis à vis des pertes de charges ?

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Régime d'écoulement et section de contrôle

3. - REGIME D'ECOULEMENT ET SECTION DE CONTROLE 3.1. - Le phénomène physique Supposons un canal à section constante, à pente constante et avec une hauteur h et un débit constant Q. On crée une perturbation grâce à une vanne que l’on ferme et que l’on ouvre très rapidement.

Fermeture et ouverture rapides

Q h

I-8 : Fermeture rapide d'une vanne

Au niveau de la surface libre, il se crée deux ondes (ondes de gravité). L’une se propage toujours vers l’aval et l’autre se propage vers l’amont si la vitesse dans le canal est inférieure à la vitesse de l’onde de gravité ; elle s’oriente vers l’aval dans le cas contraire.

c’ = 0 Q

c’’ > 0

U=c

I-9 : Régime critique

c’ < 0 Q

c’’ > 0

U 0

c’’ > 0

Q

U>c

I-11 : Régime torrentiel

U : vitesse de l’écoulement c : célérité des ondes c’ : vitesse de l’onde amont c’’ : vitesse de l’onde aval Dans le cas où la vitesse du fluide est supérieure à la vitesse de l’onde c, l’amont n’est pas influencé par les conditions hydrauliques à l’aval (régime torrentiel) ; alors que, dans le cas contraire, on a une remontée de l’onde qui va perturber l’amont (régime fluvial), ce phénomène est appelé influence aval. 3.2. - Les équations La démonstration de la relation permettant de calculer la célérité est disponible en ANNEXE 2 : Détermination de la célérité de l’onde de gravité p.115. La célérité de l’onde de gravité est donnée par la relation : 2 h

c = gD

3.3. - Régimes d’écoulement et nombre de Froude On définit le nombre de Froude comme le rapport de la vitesse de l’écoulement sur la célérité des ondes de surface. U Fr = c Soit, compte tenu de la partie précédente : U Fr = gDh Dans le cas d’un canal de forme rectangulaire, cette expression devient : U Fr = gh 3.3.1. - Régime critique et hauteur critique

L’écoulement est critique lorsque le nombre de Froude est égal à 1.

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Régime d'écoulement et section de contrôle

On parle d’écoulement critique lorsque la vitesse de l’écoulement est égale à la célérité des ondes de surface. On parle alors de « hauteur critique ». La détermination de la hauteur critique hc d’un écoulement s’effectue en considérant un nombre de Froude égal à 1. Fr (Q, hc , caractéristiques de la section en travers) = 1 Le nombre de Froude dépend du débit, de la hauteur d’eau ainsi que des caractéristiques de la section en travers. Il est en revanche indépendant de la pente. Q2 =1 2 S (hc ) gDh (hc ) L’expression précédente aboutit à une équation simple en hc (parfois implicite néanmoins) dans le cas des sections classiques : rectangulaire, triangulaire, trapézoïdale, etc. L’exemple de la section rectangulaire est donné ci-dessous. Dans le cas de sections complexes, les formulations exactes peuvent être fastidieuses à utiliser. Pour des formes couramment utilisées en réseau, des formulations simplifiées existent. 3.3.2. - Régime torrentiel ou sur-critique

Lorsque la hauteur d’eau est inférieure à la hauteur critique, c’est-à-dire que le nombre de Froude est supérieur à 1, l’écoulement est trop rapide pour que les ondes de gravité ne remontent vers l’amont. Les ondes sont seulement générées vers l’aval. On parle de régime torrentiel, sur-critique ou supercritique. 3.3.3. - Régime fluvial ou sous-critique

Lorsque la hauteur d’eau est supérieure à la hauteur critique, c’est-à-dire que le nombre de Froude est inférieur à 1, les ondes de gravité se déplacent aussi bien vers l’aval (à la vitesse U + c, où U est la vitesse de l’écoulement et c la célérité propre des ondes) que vers l’amont (à la vitesse U - c). On parle de régime fluvial ou sous-critique. 3.4. - Point de contrôle des écoulements fluviaux et des écoulements torrentiels Un écoulement torrentiel étant complètement indépendant de ce qui se passe à l’aval (les ondes de gravité ne remontent pas l’écoulement), cela signifie qu’il est entièrement contrôlé par l’amont. On parle de contrôle amont. En revanche, un écoulement fluvial est affecté par ce qui se passe à l’aval (les ondes de gravité remontent l’écoulement). On parle de contrôle aval. Nous retiendrons : • •

Point de contrôle amont pour l’écoulement torrentiel, Point de contrôle aval pour l’écoulement fluvial.

De façon générale, l’hydraulique s’intéresse à deux variables : le débit et la hauteur d’eau. Pour reproduire ces informations partout dans un canal, nous avons besoin de deux informations au niveau des limites de ce canal. L’endroit où ces informations sont nécessaires dépend du régime d’écoulement. En régime torrentiel, il faut connaître le débit et la hauteur d’eau à l’amont pour les déterminer partout dans le canal. En régime fluvial, il faut une information à l’amont (le débit ou la hauteur d’eau) et une information à l’aval (idem).

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

3.5. - Section de contrôle double : Amont et Aval Une « section de contrôle double » est une section dans laquelle l’écoulement est critique. Cela implique que la vitesse de l’écoulement est égale à la célérité des ondes. U=

gD h

Le débit qui s’écrit de façon générale Q = USpeut alors s’écrire comme suit. Q = S gD h

La surface S comme le diamètre hydraulique Dh étant des fonctions croissantes avec la hauteur d’eau h, il apparaît un lien bijectif entre la hauteur d’eau et le débit au régime critique. Ceci est d’une grande utilité en débitmétrie (mesure du débit) des écoulements à surface libre. En effet, dans le cas où l’écoulement est critique, il est possible de s’affranchir de la mesure de vitesse pour évaluer le débit, ce qui, en plus de ne nécessiter qu’un seul capteur de mesure, présente deux autres avantages : • •

Le fait de ne pas nécessiter de capteur immergé, ce qui facilite grandement la maintenance du point de mesure (problèmes de nettoyage ou de détérioration du capteur). Une précision en général meilleure, les techniques nécessitant la mesure de la vitesse nécessitant un passage, parfois incertain, entre la vitesse mesurée localement par le capteur et la vitesse moyenne de l’écoulement, notamment si la mesure est effectuée à proximité d’une singularité hydraulique (coude, jonction, chute, etc.).

L’annexe suivant donne les formulations approchées pour différentes sections : (ANNEXE 3 : Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique p.117) Applications : Régime d'écoulement et point de contrôle (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours)

A ne savoir pas !!!

•

Calculer la hauteur critique dans un canal rectangulaire et montrer qu’il est possible de calculer le débit en mesurant la hauteur critique.

•

Quel effet sur le régime d'écoulement peut avoir une élévation brutale de la profondeur dans un canal (exemple d'un seuil) ?

•

Quel effet sur le régime d'écoulement peut avoir une diminution brutale de la largeur dans un canal (exemple d'un venturi) ?

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Régime d'écoulement et section de contrôle

•

Identifier le régime fluvial, torrentiel et identifier les points de contrôle sur le profil en long suivant. La droite Nc représente la hauteur critique.

•

Identifier le régime fluvial, torrentiel et identifier les points de contrôle sur le profil en long suivant. La droite Nc représente la hauteur critique.

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL 4.1. - Le phénomène physique La turbulence est un mouvement tourbillonnaire qui présente une large étendue de dimensions de tourbillons et de vitesse de rotation. Ce mouvement toujours rotationnel peut être conçu comme un enchevêtrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs rotationnels sont orientés dans toutes les directions et sont fortement instationnaires (même en régime dit : « permanent »). La différence entre les plus gros et les plus petits tourbillons, augmente avec l’intensité de la turbulence. Les structures turbulentes peuvent être considérées comme des éléments tourbillonnaires qui s’étirent les uns les autres. Cet allongement des filets tourbillons est un aspect essentiel du mouvement turbulent. Il produit le passage de l’énergie à des échelles de plus en plus petites jusqu’à ce que les forces visqueuses deviennent actives et dissipent l’énergie : c’est la cascade d’énergie. Richardson 1922 : Les gros tourbillons ont des petits tourbillons, Qui se nourrissent de leur vitesse, Et les petits tourbillons en ont de plus petits, Et c’est ainsi jusqu’à la viscosité.

I-12 : La cascade d’énergie

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La turbulence dans un canal

Les gros tourbillons qui sont associés aux basses fréquences du spectre, sont déterminés par les conditions aux limites de l’écoulement et leur dimension est de l’ordre de grandeur du domaine occupé par l’écoulement. Les gros tourbillons interagissent avec l’écoulement moyen car leur échelle est du même ordre de grandeur, ils extraient de l’énergie cinétique du mouvement moyen et la fournissent aux agitations à grande échelle. C’est surtout les mouvements à grande échelle qui transportent la quantité de mouvement et la chaleur. Ainsi le taux de dissipation d’énergie est déterminé par les mouvements à grandes échelles bien que la dissipation soit un processus visqueux dont les petits tourbillons sont le siège. La viscosité du fluide ne détermine pas le taux de dissipation mais seulement l’échelle à laquelle cette dissipation se produit.

I-13 : Schéma du spectre d’énergie turbulent

E(k) : spectre d’énergie ou densité d’énergie cinétique turbulente. 2π κ: κ= avec r longueur de l’onde. r Vr

r

Vr

I-14 : Définition des caractéristiques d’un tourbillon

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

Une solution turbulente est toujours une solution compliquée non stationnaire des équations du mouvement, présentant des fluctuations irrégulières dans l’espace et dans le temps. Henri Poincarré d’après J.L. Chabert et A.D. Dalmedico 1991 : Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissons exactement les lois de la nature et la situation de …« l’écoulement » à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même « écoulement » à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu’approximativement (…) ; il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux.

I-15 : Phénomènes d’aspiration et de rejet

I-16 : Tourbillon en épingle à cheveux

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La turbulence dans un canal

I-17 : Vue de dessus et profil en long d’un tourbillon en épingle à cheveux

I-18 : dissipation d’un tourbillon

4.2. - Approche statistique de la turbulence Devant cet aspect désordonné de l’évolution turbulente et cette apparente complexité du phénomène, l’attitude naturelle et la plus utilisée a été d’introduire des méthodes statistiques. Dans ce cas, les méthodes statistiques alimentées par des modèles de turbulence ne décrivent pas le détail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur l’écoulement moyen. Pour un écoulement turbulent, la vitesse en un point, u, indique que des fluctuations aléatoires de haute fréquence, u’, se superposent à des vitesses moyennes temporelles u . Ainsi, on considère que la vitesse instantanée, u, est la somme d’une vitesse moyenne, u , et d’une vitesse due aux fluctuations, u’, on l’écrit :

u = u'+u José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements t +T

1 La valeur moyenne de la vitesse est définie par : u = ∫ udt T t L’intervalle de temps, T, doit être suffisamment important pour englober un grand nombre de fluctuations de vitesse et la vitesse moyenne doit conserver une valeur fixe quel que soit cet intervalle.

1 u' = T

t +T

∫ u'dt = 0 t

Les valeurs moyennes u' sont donc nulles, mais il n’en est pas de même des valeurs moyennes de u’2. Les expériences montrent que la distribution des fluctuations de vitesse, u’ est quasi gaussienne.

f (u ' ) =

1 e σ 2π

(

 − u −u   2 σ2 

)2   

σ 2 = u '2 L’intensité de la turbulence ou degré de turbulence est défini par : I=

u '2 , pour un écoulement unidirectionnel, l’intensité de turbulence dépasse rarement la u

valeur : I =

u '2 ≤ 0 .1 u

I-19 : L’expérience de Reynolds

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La turbulence dans un canal

4.3. - Le nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds caractérise la turbulence. C’est le rapport entre les forces inerties et les forces de viscosité. Dans le cas des écoulements en canaux à surface libre Re est donné par : R .U Re = h ν U : Vitesse moyenne de l’écoulement, Rh : Rayon hydraulique, ν : Viscosité cinématique. Les expériences avec différents canaux à surface libre de grandeurs comparables à ceux utilisés pour l’assainissement et en rivière montrent que l’écoulement est turbulent dès que le nombre de Reynolds atteint des valeurs de 1000. Les limites : • Ecoulement laminaire : Re < 500 • Transition 500 < Re < 1000 • Ecoulement turbulent : Re > 1000 Dans les écoulements à surface libre, le régime visqueux existe pour des valeurs du nombre de Reynolds inférieur à 500. Ce régime ne se produit que dans des canaux extrêmement petits (≈ mm) ou avec des vitesses très faibles (≈ mm/s). Dans ce cas, ces applications techniques se limitent presque exclusivement à la théorie du graissage. On rappelle que dans le cas des écoulements en charge on a : D.U Re = ν • Ecoulement laminaire : Re < 2000 • Transition 2000 < Re < 4000 • Ecoulement turbulent : Re > 4000 D Pour les conduites circulaires en charge on a : R h = . 4

Applications : Le nombre de Reynold (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Expliquer la différence entre de valeur entre le Re en charge et le Re à surface libre.

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25

Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS 5.1. - Répartition des vitesses 5.1.1. - Représentation 1D, 2D et 3D

Un écoulement permanent dépend généralement de trois variables x, y et z. On l’appelle écoulement tridimensionnel. Pour un canal, l’écoulement est représenté par la figure suivante :

I-20 : Champ de vitesse 3D

Si le canal a une largeur B, importante par rapport à la profondeur h, l’écoulement est considéré bidimensionnel, sauf sur une petite distance proche des parois verticales.

I-21 : Champ de vitesse 2D

Les calculs en hydraulique sont considérablement facilités si on admet que l’écoulement est unidimensionnel. On utilise donc la vitesse moyenne. Dans les canaux de géométrie simple, on ne rencontre généralement que des écoulements turbulents où la vitesse ponctuelle diffère peu de la vitesse moyenne.

26

Distribution des vitesses et des pressions

I-22 : Champ de vitesse 1D

5.1.2. - Distribution des contraintes de cisaillement

Dans un écoulement turbulent, on a les forces de viscosité et les forces de turbulence. La contrainte de cisaillement peut donc s’écrire :

τ xz = τforce de viscosité + τforce de turbulence Pour l’écoulement dans un canal, la répartition verticale des contraintes tangentielles est donnée par la figure suivante :

I-23 : Evolution de la contrainte de cisaillement dans un canal à surface libre

A la paroi et tout près de la paroi, les contraintes se confondent avec les tensions de viscosité. Les tensions dues à la turbulence tendent vers zéro. Le gradient de vitesse est important. En s’éloignant légèrement de la paroi, l’écoulement turbulent génère des tensions dues à la turbulence qui deviennent importantes par rapport aux tensions dues à la viscosité. Loin de la paroi, les tensions dues à la turbulence deviennent prépondérantes. On appelle zone intérieure la zone pour laquelle la tension est constante. La tension totale atteint une valeur maximale τ0 près de la paroi et une valeur nulle en surface.

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27

Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

5.1.3. - Calcul de la contrainte de cisaillement au fond du canal

La contrainte de cisaillement τ0 est obtenue en faisant l’équilibre des forces d’un canal prismatique en régime permanent et uniforme :

A savoir !!! I-24 : Représentation de la contrainte de cisaillement dans un canal à surface libre

Appliquons l’équation de la quantité de mouvement au volume de contrôle encadré en gris sur la figure précédente. Le volume de contrôle est soumis à une force de volume : son poids, et à deux forces de contact, à savoir les forces dues à la pression sur les faces amont et aval ainsi que la force de frottement sur la surface de contact entre les parois du canal et l’écoulement. Il vient donc l’équation suivante. ∑ ρ .V . V .n . S = Fpression + Ffrottement + W Dans cette équation, le terme de gauche correspond aux forces d’inertie. Le débit (conservation de la masse) et la vitesse (écoulement ni accéléré ni décéléré) étant conservés entre les sections S1 et S2, ce terme est égal à 0. Concernant les forces de pression, les lignes de courant étant rectilignes et parallèles pour un écoulement uniforme, la pression est hydrostatique sur les faces amont et aval du volume de contrôle. Les aires des faces amont et aval étant les mêmes (canal prismatique et hauteur d’eau constante), il vient alors que les forces de pression, si elles existent bel et bien, se compensent. Les forces de pression agissant sur le volume de contrôle sont donc nulles. Les seules forces non nulles sont donc le poids et les frottements. Un écoulement uniforme peut donc être vu comme un équilibre entre le poids et les frottements. Projetons ces deux forces selon la direction principale de l’écoulement. Concernant le poids, il s’exprime comme suit, où ρ est la masse volumique du fluide, g l’accélération gravitationnelle, S la surface de passage de l’écoulement, dx la longueur du volume de contrôle et θ l’angle du canal. W .e x = ρ gSdx sin (θ ) Concernant les frottements, ils agissent au niveau de la surface de contact entre les parois du canal et l’écoulement. Cette surface peut s’exprimer comme le produit du périmètre mouillé P par la longueur dx du volume de contrôle. La force de frottement peut alors s’exprimer comme suit, où τ0 est la contrainte de cisaillement moyenne sur la surface de contact entre les parois et l’écoulement. Ffrottement .e x = −τ 0 Pdx En combinant les deux équations précédentes, il vient l’expression suivante pour la contrainte de cisaillement.

( )

28

Distribution des vitesses et des pressions

S sin (θ ) P Pour les angles θ « petits », tangente et sinus sont quasiment identiques. Dans l’équation précédente, sin(θ) peut donc être remplacé par I, pente du canal.

τ 0 = ρg

sin(θ ) ≈ tan(θ ) = I

De façon plus quantitative, un calcul rapide permet de se rendre compte que l’écart relatif entre la pente et le sinus de l’angle est limité à 0,1% jusqu’à une pente de 5,4% et limité à 1% jusqu’à une pente de 14,5%. Les pentes couramment rencontrées en pratique étant en général de quelques dixièmes à quelques pourcents, guère plus, on comprend aisément que l’approximation précédente est tout à fait cohérente. En effet, en procédant ainsi, l’erreur effectuée sur la contrainte de cisaillement est absolument minime. En intégrant ce résultat et en remarquant que le rapport de la surface mouillée sur le périmètre mouillé a été défini dans un chapitre précédent comme le rayon hydraulique, il vient alors l’expression suivante pour la contrainte de cisaillement moyenne, valable au régime permanent uniforme dans le cas d’un canal avec pente.

τ 0 = ρgRh I La contrainte de cisaillement au fond du canal est ainsi le paramètre le plus représentatif des pertes de charge dans un canal.

Applications : Le La contrainte de cisaillement (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Exprimer la contrainte de cisaillement dans le cas d'un canal rectangulaire très large.

5.1.4. - Détermination du profil de vitesse

Afin de pouvoir déterminer la distribution des vitesses suivant la verticale, il est nécessaire de prendre en compte un modèle de turbulence pour déterminer la contrainte de cisaillement générée par les forces de frottement. Dans ce cas, le modèle de turbulence ne décrit pas le détail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur l’écoulement moyen.

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29

Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

I-25 : Profil de vitesse dans un canal à surface libre

La contrainte de viscosité s’écrit en fonction de la loi de comportement du fluide newtonien : ∂u τforce de viscosité = ρν ∂z Le modèle de turbulence de Boussinesq considère que les forces de turbulence agissent comme les forces de viscosité : ∂u τforce de turbulence = ρε ∂z On appelle ε le coefficient de mélange. Il a la dimension de la viscosité cinématique, c’est pourquoi il est souvent appelé viscosité turbulence. Les deux viscosités ε et ν sont fondamentalement différentes ; ν est une propriété du fluide et ε est une caractéristique de l’écoulement. Prandt considère que la viscosité turbulente ε est proportionnelle à la variation de la vitesse ∂u suivant la verticale. ε = l 2 ou l est appelée longueur de mélange. Les hypothèses de Prandt ∂z sont des approximations qui ne sont justifiées que par une bonne concordance avec les données expérimentales. On a donc :

τxz = τforce de viscosité + τforce de turbulence τxz = ρ(ν + ε)

∂u ∂z

Compte tenu des remarques précédentes, il est ainsi justifié d’admettre que pour un écoulement le long d’une surface les tensions totales sont souvent exprimées par les tensions dues à la turbulence :

τ xz = (τforce de viscosité ≈ 0 ) + τforce de turbulence

 ∂u  ∂u τ xz = ρε = ρl 2   ∂z  ∂z 

2

30

Distribution des vitesses et des pressions

I-26 : Détail du profil de vitesse

En admettant que la longueur de mélange l peut s’écrire suivant Prandt de la façon suivante : l = κ.z ou κ est la constante de Karman valable près de la paroi (dans la zone dite interne). On a près de la paroi : 2

 du  τ0 = ρκ z    dz  Après intégration, on a : u (z ) = A. ln( z) + B 2 2

Bien que la relation précédente ne soit valable que dans la zone interne, les expériences montrent une assez bonne concordance sur toute la profondeur d’eau du canal. La distribution de la vitesse suivant la verticale pour un écoulement turbulent est logarithmique : u (z ) = A. ln( z) + B . Les constantes numériques sont obtenues par de nombreuses expériences pour les écoulements uniformes. Pour les écoulements nonuniformes, ces constantes sont légèrement différentes. 5.1.5. - Mesure des champs de vitesse

Dans une section normale à la direction de l’écoulement, si l’on connaît la distribution des vitesses ponctuelles dans la section, la vitesse moyenne dans cette section est donnée par : 1 U = ∫ V dS S S On applique parfois des règles empiriques qui permettent de mesurer la vitesse en un certain nombre de points seulement. Ainsi pour les canaux rectangulaires, on recommande le procédé suivant : Vn : la vitesse moyenne sur une verticale n : 1 Vn = (Vn ,1 + 2.Vn , 2 + 3.Vn ,3 + 3.Vn , 4 + 2.Vn ,5 + Vn ,6 ) 12 La vitesse dans la section à la valeur : 1 U = (V1 + 2.V2 + 3.V3 + 3.V4 + 2.V5 + V6 ) 12

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31

Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

I-27 : Points de mesure pour le calcul de la vitesse moyenne

Pour déterminer la vitesse moyenne, U, dans une section, on donne les relations approximatives suivantes : U = (0.8 à 0.9) Usurface de l’eau (formule de Prony)

U = 0.5 (u0.2 + u0.8)

U = u0.4

I-28 : Méthodes simplifiées pour le calcul de la vitesse moyenne

32

Distribution des vitesses et des pressions

I-29 : Recirculations dans un canal à surface libre

Distribution de la vitesse dans le plan longitudinale.

I-30 : Distribution de la vitesse dans une conduite rectangulaire haute

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33

Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

I-31 : Distribution de la vitesse dans une conduite rectangulaire basse

I-32 : Distribution de la vitesse dans une conduite en assainissement

34

Distribution des vitesses et des pressions

5.2. - Répartition de la pression Le système d’équations intrinsèques consiste à écrire les équations d’Euler en régime permanent ( ∂ ∂t = 0 ) dans un repère particulier. Ce repère est constitué par les lignes de courant pour le vecteur t et par le vecteur n tel que v ⊥ n.

I-33 : Ligne de courant dans un canal à surface libre, représentation des variables

r

en appelant s le vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire, on a : r r r r dV dV r ds = s+V V = Vs et dt dt dt r r r d s d s ds n avec : = . = V dt ds dt R r r R : rayon de courbure et n le vecteur perpendiculaire à s .

∂V 1 ∂ =− (ρ.g.z + p) ∂s ρ ∂s V 1 ∂ V. = − (ρ.g.z + p) R ρ ∂n V

r suivant s r suivant n

Pour un écoulement uniforme, lorsque la vitesse moyenne U est constante et les lignes de courant sensiblement rectilignes, la répartition de la pression est hydrostatique dans la section droite du canal.

I-34 : Distribution de la pression dans une conduite à surface libre

Pour un écoulement non uniforme, à courbure convergente ou divergente, il existe une accélération qui provoque une force d’inertie. La répartition de la pression n’est plus hydrostatique.

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35

Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

∂  p V2 − = z +  ρg  g.R ∂n   p   z +  augmente toujours quand on s’éloigne du centre de courbure de la trajectoire. ρg   n

h h

I-35 : Distribution de la pression non hydrostatique

Pour un courant extérieurement concave, la force centrifuge augmente les pressions ; pour un courant convexe, cette force diminue les pressions. Dans le dernier cas, elle peut même les rendre inférieures à la pression atmosphérique, provoquant un décollement du liquide du fond du canal et une pression négative par rapport à la pression atmosphérique.

I-36 : Distribution de la pression non hydrostatique sur un seuil

Applications : Répartition de la pression (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) • En supposant un écoulement dans un canal de rayon de courbure 1m, de vitesse uniforme 2m/s et de tirant d'eau 0.5m, calculer la variation de pression en mCE due à la courbure par rapport à celle qu'on aurait obtenue en hydrostatique.

36

Chapitre II :

ECOULEMENT PERMANENT ET UNIFORME

II-1 : Régime permanent uniforme

Sous certaines conditions, la hauteur d’eau d’un écoulement à surface libre peut demeurer constante quelle que soit la position considérée : on parle alors d’écoulement uniforme. Si ces conditions sont peu rencontrées en pratique, l’écoulement uniforme présente néanmoins un grand intérêt en hydraulique puisque le dimensionnement des canaux se fait généralement au régime permanent et uniforme.

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37

Chapitre II : Ecoulement permanent et uniforme

1. - DESCRIPTION DE L'ECOULEMENT UNIFORME Un écoulement uniforme, tel qu’illustré sur la figure suivante, peut être décrit de plusieurs façons (Hager 1999) : • • • •

Hauteur d’eau constante : h1 = h2, Vitesse moyenne sur la section constante : U1 = U2, Surface libre parallèle au fond, Egalité entre la pente énergétique J (-dH/dz), la pente de la surface libre et la pente du canal I (-dz/dx).

U12/2g h1

2

U2 /2g H1

z1

h2

H2

z2

Plan de référence II-2 : Evolution de la charge dans un écoulement permanent uniforme

Pour se produire, un certain nombre de conditions doivent être nécessairement rencontrées : • • • • • • •

Pente (I) du fond constante, Rugosité des parois constante, Débit constant à la fois dans le temps et dans l’espace : pas d’apports ou de prélèvements latéraux, Section prismatique : la section en travers ne varie pas le long du canal ou de la canalisation, Canal (canalisation) droit(e) : pas de coudes, Loin des conditions aux limites, Pression constante au-dessus de la surface libre.

L’écoulement uniforme et permanent se caractérise ainsi par une constance des paramètres hydrauliques. Ainsi la vitesse moyenne, le tirant d’eau et donc le débit restent invariables dans les différentes sections du canal le long de l’écoulement. Les lignes de courants sont rectilignes et parallèles et la pression verticale peut donc être considérée comme hydrostatique. La pente de fond, la pente de la surface libre et la pente de la ligne d’énergie sont parallèles. Si elles sont nécessaires, les conditions précédentes ne sont cependant pas suffisantes. En effet, l’écoulement uniforme est un phénomène asymptotique qui pourra seulement s’établir 38

Calcul de la hauteur normale

après une longueur d’écoulement « suffisamment » importante (Hager 1999). Dit autrement, l’écoulement uniforme ne peut s’établir qu’à une distance suffisamment grande d’une section de contrôle ; le chapitre sur les courbes de remous donnera le moyen de quantifier cette distance.

II-3 : Différences entre écoulement non uniforme et uniforme

Dans le cas d'un écoulement uniforme et permanent, un état d’équilibre peut ainsi apparaître entre les forces de pesanteur et les forces de frottement. La hauteur d’eau résultante s’appelle hauteur normale et ne dépend que du débit, du fluide, de la forme de la section ainsi que de la rugosité.

Applications : Régime permanent uniforme (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Localiser les zones en uniforme et non uniforme.

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39

Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

2. - CALCUL DES PERTES DE CHARGE 2.1. - A partir des écoulements en charge Dans le cas des conduites circulaires en charge rectilignes prismatiques à rugosité de paroi uniforme, la perte de charge par unité de longueur s’écrit : λ V2 J = D 2g λ : Coefficient de perte de charge, V : Vitesse, D : Diamètre. Le coefficient de perte de charge peut être exprimé par la relation de Colebrook et White :  ε 1 2,51   avec : Re > 4000 = −2 log + λ  3,7 Re λ  Re nombre de Reynolds, ks ε : Rugosité relative de paroi (sans dimension) ε = D ks : rugosité équivalente de sable ou rugosité standard (m). L’idée d’appliquer ces équations par similitude aux écoulements à surface libre est évidente. Le rayon hydraulique étant le paramètre le plus représentatif des pertes de charge, en introduisant le rayon hydraulique Rh=D/4 dans les relations précédentes, on établit une relation qui permet d’exprimer la hauteur uniforme. En reprenant les notations déjà utilisées précédemment : J =I

La pente du canal I est une caractéristique géométrique. La pente énergétique J peut quant à elle être déterminée au moyen d’une formulation de perte de charge, où λ est le coefficient de perte de charge linéaire. λ U2 J= 4 Rh 2 g Par transposition directe de la relation de Colebrook et White établie aux écoulements en charge dans des canalisations circulaires, les équations suivantes peuvent être utilisées pour calculer le coefficient adimensionnel λ de perte de charge. k est la rugosité équivalente. 4 ρURh Re =

µ

 Re λ 3.71 × 4 Rh = 2 log 10  + 2 , 51 k λ 

1

   

L’approximation est d’autant plus juste que la section de passage de l’écoulement est proche d’une forme circulaire. Dans le cas de canalisations d’assainissement, Hager propose les valeurs du tableau précédent (Hager 1999). Ces valeurs tiennent compte de façon globale à la fois des pertes par frottement mais aussi des pertes locales, très souvent difficiles à évaluer.

40

Calcul des pertes de charge

Application

k (mm)

Valeur minimale

0,1

Conduite sous pression, siphon inversé, canalisation sans regard

0,25

Canalisation sans apports latéraux avec regard

0,50

Canalisation avec apports latéraux et avec regards ; canalisations sans apports latéraux avec regards spéciaux

0,75

Canalisation avec apports latéraux et avec regards spéciaux ; canaux en maçonnerie ; égouts non standards sans information sur la rugosité1

1,50

Valeurs de rugosité opérationnelle proposées par Hager (1999).

2.2. - A partir de l'analyse dimensionnelle Nous allons déterminer la perte de charge à partir de l’analyse dimensionnelle. Les variables qui interviennent sont les suivantes : Variables Symboles Dimensions -2 -2 Perte de charge par unité de longueur ML T ∆p ∆l Rayon hydraulique Rh L Vitesse moyenne de l’écoulement U LT-1 Masse volumique ML-3 ρ On suppose que la relation est un produit de puissance : ∆p a = ξ.R h .U b .ρ c ∆l ξ est une constante adimensionnelle. La relation dimensionnelle est alors :

(

)(

ML−2T −2 = (L) LT−1 ML−3 Ce qui donne : L : -2 = a+b-3c M :1=c T : -2 = -b D’où en regroupant :  ρU 2  ∆p  = ξ. ∆l R  h  a

b

)

c

 ∆p  1 En régime uniforme on a : J = I =  .  ∆ l  ρg

I=J=

1

ξ  ρU 2  ξ  U 2   = .  . ρg  R h  g  R h 

Majoration de la rugosité pour aller dans le sens de la sécurité dans un contexte de dimensionnement.

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41

Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

3. - FORMULES DU TYPE CHEZY Cette expression développée par l’ingénieur français Antoine Chézy en 1769 (Chow 1959) fait le lien entre l’hydrodynamique à travers la vitesse moyenne U de l’écoulement et les caractéristiques géométriques du canal : son rayon hydraulique Rh et sa pente I. Elle provient directement de l'analyse dimensionnelle précédente : 2 ξ  U2  −2  U   = C .  I = J = . g  R h   Rh 

U = C Rh I

Dans cette équation, C, est un coefficient, appelé le coefficient de Chézy, devant être déterminé par l’expérience. Plusieurs auteurs ont proposé des quantifications de C, parmi lesquels Kutter, Bazin, Manning-Strickler, etc. (Chow 1959). 3.1. - Approche de Bazin et Kutter C : coefficient donné par diverses formules, dont les plus utilisées sont :

Bazin C=

Kutter

87 R h KB +

Rh

C=

100 R h KK +

Rh

Ces relations ne sont valables qu’en régime turbulent rugueux. KB et KK dépendent de la rugosité des parois et sont donnés par les tableaux suivants : Caractéristiques

KB (m1/2)

42

Formules de type Chézy

KK (m1/2)

Caractéristiques

3.2. - Approche de Manning-Strickler Quand l’écoulement est turbulent, ce qui est le cas le plus courant en hydraulique, de nombreuses formules expérimentales ont été proposées pour tenir compte de l’écoulement turbulent pour des canaux rugueux. La formule de Manning-Strickler est considérée comme une bonne approximation de la réalité valable en turbulent rugueux. 2 1 C = K s R h 6 ce qui donne : I = U2 4 / 3 K S Rh U : vitesse moyenne, Rh : rayon hydraulique, Ks : coefficient de Strickler (m1/3s-1) et n = 1 le coefficient de Manning. KS Cette relation est valable pour une rugosité relative ε :

7.10−4 < ε < 7.10−2

En reprenant l’équation de Colebrook en turbulent rugueux :  ε 1 2,51   ε  2.301  ≈ −2 log = −2 log +  ≈ 1/ 6 λ  3,7  ε  3,7 Re λ 

V2 λ U2 En utilisant la relation : J = , ainsi que : I = 2 4/3 2g 4R h KS R h On a :

K S .ks1 / 6 = 25.68

Avec : 7.10−4 < ε < 7.10−2 La limite de validité est ainsi donnée par la relation suivante :

31.8 < K S R h

1/ 6

< 68.4

Le tableau des rugosités est disponible en ANNEXE 4 : tableau des rugosités Ks p.118.

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Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

4. - LA HAUTEUR NORMALE hn Une fois fixées la nature de la paroi et la pente, on dispose, en régime permanent et uniforme, d’une relation reliant la hauteur h au débit Q. Q Q 2/3 = CS Rh = KSSR h = KSS(h n ).R h (h n ) 2 / 3 ou I I A un débit donné, hn est appelé profondeur normale.

Dans les sections évasées, le débit croît toujours lorsque la profondeur de l’eau augmente.

II-4 : Evolution du débit en fonction de la hauteur normale

Il n’en est pas de même pour les sections voûtées, puisque, dans la partie supérieure des ces dernières, le périmètre mouillé croît plus rapidement que la superficie, ce qui entraîne une diminution du diamètre hydraulique et en conséquence du débit. Le lecteur trouvera en : ANNEXE 5 : Calcul de la hauteur normale pour une section circulaire p.120 ANNEXE 6 : Calcul de la hauteur normale pour une section ovoïde p.122 ANNEXE 7 : Calcul de la hauteur normale pour une section fer à cheval p.124

44

La hauteur normale hn

Applications : Régime permanent uniforme (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Donner l’expression de la hauteur normale pour une conduite rectangulaire.

•

Donner l’expression du débit au régime permanent et uniforme pour une conduite circulaire en fonction de l’angle δ.

•

Donner l’expression du débit au régime permanent et uniforme pour une conduite circulaire à pleine section.

•

Montrer qu’en faisant le rapport entre le débit de la question 2 et le débit de la question 3, ce rapport ne dépend pas de la rugosité et de la pente.

•

Expliquer pourquoi le débit n’est pas maximal à la pleine section.

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Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

5. - SECTION DE DEBIT MAXIMAL La construction d’un canal pour transporter un débit Q, avec une pente I et un coefficient de rugosité n, coûtera d’autant moins cher que la section, S, sera plus faible. Q = Cste. S 5/ 3 . P −2 / 3 Parmi toutes les sections possibles, c’est la forme du demi-cercle qui réalise P minimal pour une section donnée.

II-5 : Sections de forme optimale

6. - SECTIONS DE RUGOSITE COMPOSEE Les coefficients de frottement sont valables à condition que tout le périmètre mouillé ait la même rugosité ; on dit alors que la section mouillée est homogène. Pour des sections à périmètre mouillé non homogène, il faut alors calculer un coefficient de frottement équivalent.

II-6 : Section de rugosité composée

Selon Einstein, on divise, de manière raisonnable, la surface mouillée S en N parts chacune ayant son périmètre mouillé P1, P2, ... PN et son coefficient de frottement n1, n2, ... nN. On admet que la vitesse moyenne de chaque section partielle reste la même U. En utilisant la formule de Manning, on a : 1 S U =   n  P

2/3

I

1/ 2

1 S  =  1 n1  P1 

2/3

I

1/ 2

1  S2  =   n 2  P2 

2/3

I 1/ 2

Ainsi le coefficient de frottement équivalent d’une rugosité composée se calcule par :

(

 N 3/ 2 i i  ∑ Pn n =  i =1 P   

)

     

2/3

46

Section de débit maximal

7. - MARGE DE SECURITE Le calcul des pertes de charge dans les canaux n’a pas toujours la même précision que pour les conduites en charge. Une perte de charge non prévue provoque une élévation de la surface libre et un risque de débordement ou de mise en charge de la conduite. C’est pourquoi il faut toujours prévoir une marge de sécurité au-dessus de la ligne d’eau calculée afin de tenir compte des difficultés de calcul des pertes par frottement et de l’accumulation des dépôts solides. La marge de sécurité oscille, généralement autour de ¼ de la profondeur.

8. - LIMITES DE DIMENSIONNEMENT Hewitt et Hall-Taylor (1970) ont distingué six régimes possibles pour un écoulement mêlant gaz et liquide : • • • • • •

Ecoulement stratifié dans lequel la phase liquide est en-dessous de la phase gazeuse (a). Ecoulement ondulé qui possède une interface ondulée entre phase liquide et phase gazeuse (b). Ecoulement en bouchon avec une surface de nature très ondulée qui atteint le fond du tuyau et qui sépare ainsi la phase gazeuse en cellules indépendantes ( c ) Ecoulements en bulles avec des bulles et des poches de gaz qui sont toutes distribuées sur la partie supérieure de la conduite (d). Ecoulements en gouttes avec une distribution quasi uniforme de bulles de gaz dans le phase liquide (e) Ecoulement annulaire avec une large portion de gaz qui pousse le liquide

Ces divers types de transition d’un écoulement à surface libre à un écoulement en charge sont représentés sur la figure suivante :

II-7 : Transitions d’un écoulement à surface libre à un écoulement en charge

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Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

Applications : Section de rugosité composée (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Expliquer pourquoi il ne faut pas utiliser la relation d’Einstein concernant les lits composés dans le cas d’un écoulement à surface libre dans une rivière ayant un lit majeur très largeur par rapport au lit mineur.

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Chapitre III :

ECOULEMENT PERMANENT

GRADUELLEMENT VARIE

III-1 : Ecoulement graduellement varié

Les écoulements graduellement variés représentent la majorité des écoulements en canaux. Ils sont systématiquement calculés et étudiés dans le contexte des diagnostics de réseau. Ce chapitre définit, dans un premier temps, les concepts de base permettant de comprendre l’écoulement. Dans un deuxième temps, l’équation permettant le calcul de la courbe de remous est démontrée. La dernière partie est consacrée à l’interprétation des courbes de remous et aux méthodes de calcul.

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Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

1. - CHARGE SPECIFIQUE La charge E ou énergie totale dans une section par rapport au plan de référence est la somme de trois termes : la hauteur géométrique, la hauteur piézométrique et la hauteur cinétique.

U2 U2 E = z + h. cos(θ) + ≈z+h+ 2g 2g La ligne de charge diminue toujours dans le sens de l’écoulement. Entre deux sections, la charge E subit une variation correspondant aux pertes par frottement.

III-2 : Profil en long de la charge totale

La charge spécifique peut être définie par :

U2 Q2 =h+ 2g 2gS2 Tandis que la charge totale E décroît toujours dans la direction de l’écoulement, l’énergie spécifique Hs par rapport au fond, peut rester constante comme dans le cas du régime uniforme, ou bien peut être croissante ou décroissante suivant les caractéristiques de l’écoulement. L’équation de la charge spécifique Hs définit, pour une section donnée, un rapport entre Hs, h et Q valable pour n’importe quel type d’écoulement. Hs = h +

A débit constant, Hs(h) ou à charge constante, h(Q) sont données par :

III-3 : Variabilité de la charge spécifique

50

La charge spécifique

On voit que le même débit Q, avec la même charge spécifique H, peut s’écouler sous deux profondeurs différentes h’ correspondant au régime torrentiel et h ’’ correspondant au régime fluvial.

2. - REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE Le point minimal de la courbe est obtenu pour : D’où :

dH =0 dh

Q S(h c ) = S(h c ) avec B la largeur au niveau de la surface libre. B(h c ) g

Applications : Régime critique (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Montrer que le point minimal de la courbe correspond bien au régime critique.

En analysant la courbe H(h), on constate qu’au voisinage de la charge critique une légère variation de H conduit à une variation appréciable de la hauteur d’eau. C’est pourquoi, dans tout écoulement au voisinage du régime critique, on rencontre des ondulations importantes de la surface libre.

III-4 : Ecoulement proche de la hauteur critique dans un canal

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

51

Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

La pente critique pour un débit donné est celle pour laquelle ce débit s’écoule en régime Sc critique et uniforme : I c = g 2 4/ 3 Lc K S Rhc => hn > hc . Dans le cas où la pente est inférieure à la pente critique : I < Ic Dans le cas où la pente est supérieure à la pente critique : I > Ic => hn < hc . Pour un débit donné, si la pente est supérieure à la pente critique, on dit que le canal est à forte pente pour ce débit. Dans le cas contraire, on dit que le canal est à faible pente. L’intérêt du régime critique est multiple : • On dispose d’une relation bijective entre le tirant d’eau et le débit. • L’utilisation des hauteurs critique et normale va permettre de caractériser et donc de calculer la courbe de remous.

3. - EQUATION DE LA COURBE DE REMOUS La courbe de remous est déterminée en réalisant un bilan énergétique. Rappelons la charge d’un écoulement à surface libre dans le cas d’une pente pas trop importante et d’une distribution uniforme de la vitesse. Q2 E =z+h+ 2gS 2 Dans cette équation, z est la cote altimétrique ; h, la hauteur d’eau (perpendiculaire au fond du canal) ; Q, le débit ; g, l’accélération gravitationnelle et S, la section de passage de l’écoulement. Précisons que cette équation n’est strictement valable que si la pression est hydrostatique. Cette hypothèse est généralement vérifiée, à l’exception des zones où la pente et la courbure des lignes de courant sont importantes comme par exemple le passage par la hauteur critique. Nous cherchons à établir l’évolution de la hauteur d’eau h en fonction de x. Dérivons donc par rapport à x. dE dz dh Q 2 dS = + − dx dx dx gS 3 dx Or : ∂S ∂S dS = dh + dx ∂h ∂x Et, dans le cas d’un canal prismatique : ∂S =0 ∂x Donc :

dE dz  Q2 ∂S  dh  = + 1 − dx dx  gS 3 ∂h  dx ∂S S est la largeur au miroir B ; , le diamètre hydraulique Dh. Il vient donc l’expression ∂h B suivante, où le nombre de Froude est rappelé ci-dessous : dE dz dh = + (1 − Fr 2 ) dx dx dx

52

Equation de la courbe de remous

Fr =

Q

S gDh En notant respectivement J la perte de charge linéaire par unité de longueur et I la pente du canal : dE J=− dx dz I=− dx Il vient, en excluant le cas d’un nombre de Froude égal à 1 : dh I−J = dx 1 − Fr 2 Dans cette équation, I est un paramètre géométrique ; le nombre de Froude Fr est une fonction du débit, des paramètres géométriques et de la hauteur d’eau h. Reste à exprimer la perte de charge linéaire J. Plusieurs modèles sont utilisables. Choisissons ici le modèle correspondant à l’équation de Gauckler-Manning-Strickler, ce qui revient à considérer que la perte de charge linéaire calculée au régime permanent et uniforme est valable en régime graduellement varié en remplaçant la pente du fond I par la pente énergétique J. Q2 J= 4 K 2S 2 R h 3 En injectant cette loi de frottement dans l’équation précédente et en remplaçant le nombre de Froude par son expression, il vient : Q2 I− 4 K 2S2 R h 3 dh = dx Q2 1− 2 S gD h

Il s’agit d’une équation différentielle en h qui peut être résolue dès que la hauteur est connue en une section, par exemple au niveau d’une section de contrôle. En plus de correspondre à un écoulement unidimensionnel, l’équation précédente a été obtenue en considérant deux hypothèses : une répartition uniforme de la vitesse dans la section de passage et une distribution de pression hydrostatique (valide uniquement en cas de ligne de courant rectilignes et parallèles). Dans le cas d’une ligne d’eau à forte courbure (à proximité d’une chute par exemple, de façon générale à proximité d’un passage par la hauteur critique), cette dernière hypothèse n’est pas valide.

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

53

Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

Applications : Régime non uniforme graduellement varié (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Dans le cas d’un canal rectangulaire très large h hc : pente faible hn < hc : pente forte

Le débit intervenant dans ces deux hauteurs, la nature de la pente est une notion hydraulique et non pas une notion purement géométrique. Ainsi, un canal présentant une pente donnée peut être faible pour un certain débit et forte pour un autre débit.

I>0

I < Ic I > Ic I = Ic

canaux à pente faible canaux à pente forte canaux à pente critique canaux à pente zéro

I=0 I hc Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hn, le numérateur ainsi que le dénominateur sont positifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe M1. Une courbe M1 tend asymptotiquement vers hn de l’aval vers l’amont. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial (h > hc). → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'aval vers l'amont en fluvial. hn représente une asymptote.

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hn et supérieures à hc, le numérateur est négatif ; le dénominateur, positif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe M2. Une courbe M2 tend asymptotiquement vers hn de l’aval vers l’amont ; elle tend de façon perpendiculaire vers hc vers l’aval (dérivée infinie). Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'aval vers l'amont en fluvial. hn représente une asymptote.

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hn et à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe M3. Une courbe M3 tend de façon perpendiculaire vers hc vers l’aval (dérivée infinie). Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'amont vers l'aval en torrentiel. En se rapprochant de hc, la tangente est verticale.

Précisons que la pression n’étant pas hydrostatique à proximité du passage par la hauteur critique, l’équation de la courbe de remous est fausse dès que la hauteur s’approche de hc. Elle demeure néanmoins acceptable dans l’objectif de reproduire une ligne d’eau globale, sans chercher la précision à proximité immédiate de la hauteur critique.

56

Forme des courbes de remous

10 / 3

I>0 Num > 0

I < Ic (hn > hc) Den. > 0

h > hn > hc dh/dx > 0

I>0 Num < 0

I < Ic (hn > hc) Den. > 0

hn > h > hc dh/dx < 0

I>0 Num < 0

I < Ic (hn > hc) Den. < 0

hn > hc > h dh/dx > 0

h 1 −  n  h dh Num.  =I =I 3 dx Den. h 1 −  c  h  

Exemple :

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Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

4.2. - Pente forte Une pente forte (steep slope en Anglais) se définit comme une pente pour laquelle la hauteur normale est inférieure à la hauteur critique. hn < hc Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc et à hn, le numérateur ainsi que le dénominateur sont positifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe S1. Une courbe S1 tend perpendiculairement vers hc de l’aval vers l’amont. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'aval vers l'amont en fluvial. En se rapprochant de hc, la tangente est verticale.

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc et supérieures à hn, le numérateur est positif ; le dénominateur, négatif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe S2. Une courbe S2 tend asymptotiquement vers hn de l’amont vers l’aval ; elle tend de façon perpendiculaire vers hc vers l’amont (dérivée infinie). Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'amont vers l'aval en torrentiel. hn représente une asymptote.

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hn et à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe S3. Une courbe S3 tend asymptotiquement vers hn vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'amont vers l'aval en torrentiel. hn représente une asymptote.

58

Forme des courbes de remous 10 / 3

I>0 Num > 0

I > Ic (hn < hc) Den. > 0

h > hc > hn dh/dx > 0

I>0 Num > 0

I > Ic (hn < hc) Den. < 0

hc > h > hn dh/dx < 0

I>0 Num < 0

I > Ic (hn < hc) Den. < 0

hc > hn > h dh/dx > 0

h 1 −  n  h dh Num.  =I =I 3 dx Den. h 1 −  c  h  

Exemple :

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Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

4.3. - Pente critique Une pente critique (critical slope en Anglais) se définit comme une pente pour laquelle la hauteur normale est égale à la hauteur critique. Il s’agit d’un cas limite entre la pente faible et la pente forte. hn = hc Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc, le numérateur ainsi que le dénominateur sont positifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe C1. Une courbe C1 tend perpendiculairement vers hc = hn de l’aval vers l’amont. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'aval vers l'amont en fluvial. hn représente une asymptote.

On parle de courbe C2 lorsque la hauteur d’eau est égale à hc = hn. Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc = hn, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe C3. Une courbe C3 tend vers hc = hn vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel. → L'écoulement tend vers la hauteur normale quand il s'éloigne du point de contrôle de l'amont vers l'aval en torrentiel. hn représente une asymptote.

60

Forme des courbes de remous

I>0 Num > 0

I = Ic (hn = hc) Den. > 0

h > hc = hn dh/dx > 0

I>0 Num < 0

I = Ic (hn = hc) Den. < 0

h < hc = hn dh/dx > 0

Exemple :

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Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

4.4. - Pente nulle Une pente nulle ou horizontale (horizontal slope en Anglais) est une caractéristique strictement géométrique : I = 0. Dans ce cas, la pente I ne peut pas compenser les pertes énergétiques J dues aux frottements et il est donc impossible pour l’écoulement de se stabiliser à une hauteur d’équilibre. Il n’existe donc pas de hauteur normale finie pour une telle pente, l’application de la relation de Gauckler-Manning-Strickler aboutissant ainsi à une hauteur d’eau infinie. hn = ∞ > hc La hauteur normale étant infinie, il n’existe pas de courbe dénommée H1. Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc (et nécessairement inférieures à hn), le numérateur est négatif alors que le dénominateur est positif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe H2. Une courbe H2 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial.

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe H3. Une courbe H3 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel.

62

Forme des courbes de remous

I=0 Num < 0

I = 0 (hn = ∞) Den. > 0

h > hc dh/dx < 0

I=0 Num < 0

I = 0 (hn = ∞) Den. < 0

h < hc dh/dx > 0

Exemple :

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63

Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

4.5. - Contre-pente Une contre-pente (adverse slope en Anglais) correspond à une valeur I négative, c’est-à-dire dz que la fonction est croissante. dx Dans ce cas, la hauteur normale n’existe pas. Aucune courbe ne porte le nom de A1. Pour des hauteurs d’eau h supérieures à hc, le numérateur est négatif alors que le dénominateur est positif. La dérivée de h par rapport à x est donc négative. La hauteur d’eau h est décroissante ; on parle de courbe A2. Une courbe A2 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est fluvial.

Pour des hauteurs d’eau h inférieures à hc, le numérateur et le dénominateur sont négatifs. La dérivée de h par rapport à x est donc positive. La hauteur d’eau h est croissante ; on parle de courbe A3. Une courbe A3 tend perpendiculairement vers hc de l’amont vers l’aval. Le régime d’écoulement correspondant est torrentiel.

64

Forme des courbes de remous

I 0

h > hc dh/dx < 0

I h dh/dx > 0

Exemple :

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65

Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

5. - SECTION DE CONTROLE L’intégration de l’équation de la surface libre est nécessaire pour procéder aux calculs et à la construction des formes de la surface. Quelle que soit la méthode adoptée, le résultat ne donnera que la ligne d’eau à une constante près. Il est évident que la position de cette ligne d’eau n’est pas arbitraire. Pour la situer, il faut connaître la section de contrôle à partir des propriétés hydrauliques d’une singularité qui est à l’origine d’un écoulement graduellement varié. Pour intégrer l’équation de la courbe de remous, il faut définir les conditions aux limites. Il faut donc connaître les caractéristiques de l’écoulement dans une section de contrôle ou de référence. Cette section de contrôle est localisée à l’aval pour les écoulements fluviaux du type M1, S1, C1, M2, H2, A2. Dans ce cas, la courbe de remous doit être calculée de l’aval vers l’amont. Cette section de contrôle est localisée à l’amont pour les écoulements torrentiels du type S2, S3, M3, C3, A3, H3. Dans ce cas, la courbe de remous doit être calculée de l’amont vers l’aval.

6. - METHODES DE RESOLUTION 6.1. - Résolution à partir d’abaques Pour traiter l’écoulement dans un canal prismatique de profil quelconque de manière généralisée, on transforme le profil effectif (réel) en un profil de substitution. Etant donné que la hauteur normale hn, et la hauteur critique hc, sont des caractéristiques du profil, une fois le débit Q, la pente du radier I et le coefficient de rugosité Ks donnés, ces deux hauteurs sont calculées pour le profil effectif. Seule la courbe de remous est calculée pour le profil de substitution. On prend le profil de substitution le plus simple, c’est-à-dire le canal rectangulaire de largeur b. Ce procédé conduit à des différences de 10% au maximum relativement à la courbe de remous du profil réel. (ANNEXE 8 : Démonstration de la méthode par substitution p.125)

Les figures suivantes montrent la solution complète dans les cas suivants :

Conditions

Type de courbes

Résolution

hc > hn et h > hn hc ≤ hn et h > hn hc < hn et h < hn hc ≥ hn et h < hn

S1, S2 M1, C1 M2, M3 S3, C3

A B C D

(ANNEXE 9 : Abaques de la méthode par substitution pour le calcul de la courbe de remous p.127)

66

Section de contrôle

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Chapitre III : Ecoulement permanent graduellement varié

6.2. - Résolution par intégration directe

Q2 I− 2 2 4 Ks S R h 3 dh = La courbe de remous s’écrit : dx Q2B 1− g.S 3 Il suffit d’intégrer entre x1 et x2 :

Q2 B x2 h2 g.S3 dh 2 ∫ dx = h∫ Q x1 1 I − 4 2 K s S2 R h 3 1−

En connaissance le point de contrôle (h1, x1), on cherche x2 en fonction de h2. L’intégration peut se faire, par exemple, par la méthode des trapèzes avec un tableur.

68

Chapitre IV :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE :

LE RESSAUT HYDRAULIQUE

Photo : Hubert CHANSON IV-1 : Ressaut hydraulique au pied du coursier du barrage de Chinchilla (Australie) – Figure provenant de Chanson (2009).

L’objectif de ce chapitre est de décrire le phénomène du ressaut hydraulique (hydraulic jump en Anglais), de présenter sa mise en équation et d’illustrer ses utilisations pratiques.

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

69

Chapitre IV : Ecoulement rapidement varié : le ressaut hydraulique

1. - LES DIFFERENTS TYPES DE RESSAUT Le ressaut hydraulique est un phénomène consistant en une brutale élévation du niveau d’eau, l’écoulement passant d’un régime torrentiel à un régime fluvial, tel qu’illustré sur les figures précédentes. Le phénomène de ressaut hydraulique est en général brutal. Du fait du bouleversement des lignes de courant, le ressaut hydraulique s’accompagne d’une dissipation d’énergie pouvant être importante selon l’intensité du ressaut. Le ressaut étant un phénomène relativement localisé, on peut qualifier la perte de charge correspondante de perte de charge locale. 1.1. - Ressaut ondulé : 1 < Fr ≤ 1, 7 La surface libre présente de petites oscillations. La différence de hauteur entre l’amont et l’aval du ressaut est faible, ce qui le rend parfois difficilement perceptible. La vitesse est très peu perturbée (pas de bouleversement des lignes de courant, pas de recirculations importantes), ce qui implique que la dissipation d’énergie est quasiment inexistante. On rencontre souvent ce type de ressaut au niveau de l’entrée des canaux de laboratoire, lorsque l’eau arrive par trop-plein depuis une bâche.

IV-2 : Ressaut ondulé

1.2. - Ressaut faible : 1, 7 ≤ Fr ≤ 2, 5 Pour Fr compris en 1.7 et 2.5, on constate le même phénomène mais plus accentué. Dans ce cas, il se produit des petits tourbillons superficiels.

IV-3 : Ressaut faible

1.3. - Ressaut oscillant : 2, 5 ≤ Fr ≤ 4, 5 Un jet oscillant (sans véritable période néanmoins) prend place dans ce type de ressaut entre le fond du canal et la surface libre. L’écoulement est pulsatoire. La plus grande turbulence se

70

Le ressaut hydraulique

vérifie soit près du fond soit à la surface. Chaque pulsation produit une onde de période irrégulière. Cette onde peut se propager sur une très grande distance.

IV-4 : Ressaut oscillant

1.4. - Ressaut établi : 4, 5 ≤ Fr ≤ 9, 0 Plus stables que le type précédent, les ressauts stationnaires présentent une zone de recirculation importante. La dissipation d’énergie peut atteindre 45% à 70% de l’énergie amont.

IV-5 : Ressaut établi

1.5. - Ressaut fort : Fr ≥ 9, 0 Ce type de ressaut provoque des rouleaux intermittents, ce qui peut provoquer d’importantes vagues à l’aval. La dissipation d’énergie peut atteindre 85%.

IV-6 : Ressaut fort

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71

Chapitre IV : Ecoulement rapidement varié : le ressaut hydraulique

2. - DETERMINATION DES PROFONDEURS CONJUGUEES En termes mathématiques, aucune équation de ligne d’eau ne permet de passer d’un régime torrentiel à un régime fluvial. Cela peut se comprendre par le fait que les lignes d’eau ont été établies en considérant une dissipation d’énergie uniquement sous la forme d’une perte linéaire. Or, un ressaut est un phénomène local fortement dissipateur d’énergie. Une mise en équation simple du phénomène passe par l’utilisation de l’équation de la quantité de mouvement (voir le chapitre sur la mise en équations des écoulements stationnaires). Limitons la mise en équation au cas d’un ressaut hydraulique sur fond horizontal. Appliquons l’équation de la quantité de mouvement au volume de contrôle délimité par les sections amont (1) et aval (2).

IV-7 : Ensemble des forces formant un ressaut hydraulique

Le volume est soumis aux forces suivantes : les forces de pression, la force de pesanteur et les forces de frottement sur le fond. En négligeant les frottements, en supposant un coefficient de non-uniformité β égal à 1 et en projetant sur l’axe horizontal, il vient : − ρQU 1 + ρQU 2 = ρghG1 S 1 − ρghG 2 S 2 La partie gauche de l’égalité correspond aux forces d’inertie. Quant à la partie droite, il s’agit de l’expression des forces de pression en supposant une pression hydrostatique (voir le chapitre sur l’hydrostatique : F = ρghG S , où hG est la profondeur du centre de gravité de la surface). hG1 est la profondeur du centre de gravité de la surface S1 ; hG2 , la profondeur du centre de gravité de la surface S2. Simplifions et réorganisons cette expression en regroupant tout ce qui concerne l’amont et tout ce qui concerne l’aval. Nous obtenons ainsi l’équation suivante.

Q2 Q2 + hG1 S1 = + hG2 S 2 gS1 gS 2 Cette équation porte le nom de relation des hauteurs conjuguées, ou encore relation des hauteurs conjuguées. Elle constitue le lien entre la hauteur d’eau à l’amont du ressaut et la hauteur d’eau à l’aval du ressaut. Elle est utilisée en pratique pour localiser le passage entre le régime torrentiel et le régime fluvial, c’est-à-dire la position du ressaut. Les termes h G S

72

Le ressaut hydraulique

correspondant aux sections rencontrées classiquement sont donnés dans le chapitre sur les caractéristiques géométriques des canaux et canalisations. Les hauteurs h1 et h2 sont appelées profondeurs conjuguées du ressaut. La distance entre les sections 1 et 2 est appelée longueur du ressaut. La perte de charge est représentée par ∆H.

IV-8 : Caractéristiques hydrauliques d’un ressaut

(ANNEXE 10 : Hauteurs conjuguées de quelques sections p.131)

Applications : Le ressaut hydraulique (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Déterminer la relation des hauteurs conjuguées dans le cas d’un canal rectangulaire.

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73

Chapitre IV : Ecoulement rapidement varié : le ressaut hydraulique

3. - DETERMINATION DE LA PERTE D’ENERGIE Le ressaut provoque une importante dissipation d’énergie mécanique ; ce phénomène est irréversible. Les caractéristiques turbulentes sont très complexes et dépendent fortement des conditions d’écoulement de l’amont. Dans un canal, on calcule la perte d’énergie par : ∆H = H1 - H2 3 h2 − h1 ) ( D’où pour un canal rectangulaire : ∆H = 4 h1 h2 Applications : Le ressaut hydraulique (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours) •

Retrouver l’expression de la perte d’énergie dans le cas d’un canal rectangulaire.

4. - LONGUEUR DU RESSAUT

Lj Lr

Lf Longueurs d’un ressaut hydraulique – Figure inspirée de Hager & Schleiss (2009).

La longueur du ressaut L est difficile à définir. Hager & Schleiss (2009) distinguent, tel qu’illustré sur la figure précédente : 74

Le ressaut hydraulique

• • •

La longueur du rouleau Lr, La longueur du ressaut hydraulique Lj, La longueur Lf nécessaire pour que la vitesse près du fond soit identique à la vitesse moyenne.

Lj/h2

Lr/h2

Longueur du rouleau adimensionnelle et longueur du ressaut adimensionnelle dans un canal rectangulaire en fonction du nombre de Froude amont – Figure inspirée de Hager & Schleiss (2009).

La figure précédente illustre la variation des longueurs adimensionnelles du rouleau Lr et du ressaut Lj en fonction du nombre de Froude. Si les bandes inférieures et supérieures de cette figure ne permettent qu’une détermination approximative de la longueur du ressaut, il s’agit d’un des rares moyens pratiques d’estimer la longueur d’un phénomène complexe à prévoir. Lencastre (1996) propose la formulation (très) approchée suivante pour les canaux trapézoïdaux. Dans cette équation, h2 est la hauteur aval ; B2, la largeur au miroir à l’aval et B1, la largeur au miroir à l’amont.  B2 − B1  L  ≈ 51 +  h2 B 1   D’autres formulations existent ; se reporter par exemple à Hager & Scheliss (2009).

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

75

Chapitre IV : Ecoulement rapidement varié : le ressaut hydraulique

76

Chapitre V :

ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE :

LES DEVERSOIRS FRONTAUX

V-1 : Quelques déversoirs frontaux (photos Matthieu Dufresne)

Un déversoir est un ouvrage hydraulique dont la crête (ou hauteur de seuil) limite la hauteur d’eau en amont, ainsi qu’illustré sur la figure précédente. On parle de déversoir frontal lorsque la crête est perpendiculaire à la direction principale de l’écoulement.

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

77

Chapitre V : Ecoulement rapidement varié : les déversoirs frontaux

1. - ECOULEMENTS NOYE ET DENOYE 1.1. - Ecoulement dénoyé

H2 H1

h1

h2

p V-2 : Ecoulement dénoyé au niveau d’un déversoir frontal.

L’écoulement arrive au niveau du seuil en régime fluvial (énergie principalement potentielle). Il y a mise en vitesse au niveau du seuil : une grande partie de l’énergie potentielle est convertie en énergie cinétique. En aval, le régime de l’écoulement est torrentiel. Du fait de la transition entre le régime fluvial et le régime torrentiel, l’écoulement passe par le régime critique, garantissant ainsi une bijection entre le débit et la hauteur : il n’existe pour un débit donné Q qu’une unique hauteur d’eau h1. Ce comportement dit dénoyé est illustré sur la figure précédente. Dit autrement, un écoulement dénoyé signifie que la hauteur d’eau amont h1 est entièrement conditionnée par le débit Q déversé par l’ouvrage. La hauteur d’eau aval h2 n’influence pas la hauteur amont h1 pour un débit Q donné. Les lois de seuil proposées dans la littérature correspondent à ce type d’écoulement. 1.2. - Ecoulement noyé

h1

h2 p V-3 : Ecoulement noyé.

Lorsque la cote de la surface libre aval devient supérieure à la cote de la crête du seuil, l’écoulement devient noyé. Un écoulement noyé signifie que la hauteur d’eau amont h1 dépend à la fois du débit Q et de la hauteur d’eau aval h2. Dit autrement, le débit Q dépend des hauteurs d’eau h1 et h2. L’influence sur le débit est d’autant plus importante que le rapport h2 est important. La figure précédente illustre le cas d’un écoulement noyé par une h1 influence aval importante.

78

Les déversoirs frontaux

1.3. - Critères d’ennoiement Le critère « niveau d’eau aval supérieur au niveau du seuil » est souvent largement suffisant pour déterminer si un seuil est noyé est pas. Pour certaines applications (par exemple une mesure très précise du débit), il peut être nécessaire de s’intéresser plus finement au phénomène d’ennoiement. Le tableau suivant distingue ainsi les différents modes de fonctionnement possibles. Les notations utilisées sont celles de la figure suivante ; h2 est compté positivement.

Ecoulement dénoyé

Ecoulement noyé en dessous

Ecoulement noyé

z2 < zseuil et h2 < h1 z2 < zseuil et h2 > h1

z2 > zseuil

A ressaut éloigné ou bien à ressaut recouvrant le pied du seuil V-4 : Critères d’ennoiement d’un seuil (CETMEF 2005).

h1 h2 zseuil Plan de référence

z2

V-5 : Notations utilisées pour les critères d’ennoiement d’un seuil.

Dans le cas d’une influence aval, un ressaut va prendre place à l’aval du seuil. Si l’influence aval n’est pas trop importante, le ressaut sera éloigné du seuil et n’influencera pas du tout le fonctionnement hydraulique du déversoir, ainsi qu’illustré sur la figure suivante.

h2

h1 p V-6 : Ecoulement dénoyé (avec ressaut éloigné non influent).

Si le ressaut est proche du seuil, le seuil ne sera plus aéré (présence d’air). Sa loi Q = f(h1) en serait légèrement modifiée.

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

79

Chapitre V : Ecoulement rapidement varié : les déversoirs frontaux

h2

h1 p V-7 : Ecoulement noyé en dessous à ressaut éloigné.

Si l’influence aval devient plus importante, l’écoulement devient noyé en dessous à ressaut éloigné. L’influence de la hauteur aval h2 est alors très faible : elle peut par exemple être responsable d’un défaut ou d’une insuffisance d’aération (il n’y a plus de bulle d’air sur la face aval du seuil).

h2

h1 p V-8 : Ecoulement noyé en dessous à ressaut recouvrant le pied du seuil.

Si l’influence aval devient plus importante, le ressaut vient se plaquer au pied du seuil. L’influence de la hauteur h2 sur la loi de débit augmente mais reste néanmoins limitée.

2. - ECOULEMENTS AERE ET NON-AERE Un seuil est dit aéré si une bulle d’air se place à l’aval immédiat de la structure. La présence de cette bulle d’air, qui s’explique par la diminution de la pression vers l’intérieur des lignes de courant, a une influence – certes limitée – sur la relation entre le débit et la hauteur d’eau amont. Pour un débit donné, la hauteur d’eau amont est en effet légèrement plus grande dans le cas d’un écoulement aéré que dans le cas d’un écoulement non aéré.

Photo : José VAZQUEZ V-9 : Exemple d’un écoulement non aéré – Lycée Agricole d’Obernai.

80

Les déversoirs frontaux

Zone de dépression

Photo : José VAZQUEZ V-10 : Exemple d’un écoulement aéré derrière un seuil – Lycée Agricole d’Obernai.

Certains déversoirs peuvent fonctionner en régime aéré ou non-aéré, selon les conditions hydrauliques auxquelles ils sont soumis ; leur aération doit donc être contrôlée afin de savoir quelle loi de débit utiliser. D’autres, comme les déversoirs à contraction latérale, fonctionnent toujours en régime aéré. Afin de mieux contrôler la loi de déversement, il est préférable de forcer l'aération de l'ouvrage. Dans ce cas, l'écoulement sera plus stable. En effet, dans le cas ou l'aération du seuil n'est pas contrôlée, l'écoulement devient plus instable et le mode de fonctionnement hydraulique du déversement passe d'un écoulement aéré à non aéré en permanence.

3. - SEUIL MINCE ET SEUIL EPAIS Les seuils minces et épais doivent être distingués dans la mesure où ils ne présenteront pas la même loi hauteur – débit. Le CETMEF propose les critères donnés dans le tableau suivant et illustrés sur les figures suivantes (CETMEF 2005). Seuil mince

C


2 H1 3

V-11 : Critères de définition d’un seuil mince et d’un seuil épais (CETMEF 2005).

C H2 H1

h1 p

h2

V-12 : Ecoulement correspondant à un seuil mince.

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

81

Chapitre V : Ecoulement rapidement varié : les déversoirs frontaux

C H2 H1

h1 h2

p V-13 : Ecoulement correspondant à un seuil épais.

Le caractère mince ou épais est donc une caractéristique hydraulique – et pas seulement géométrique – dans la mesure où la charge amont H1 intervient. La loi du seuil, autrement dit la relation entre le débit et la hauteur d’eau amont, dépend du caractère mince ou épais de la crête. Dans le cas d’un seuil n’étant ni mince ni épais (

H1 2H 1

∂h ∂Q ∂V ∂Q .dx − Ffrottement = ρV ( − V )S + ρVQ + ρV dx + ρQ dx − ρ dx.U. cos( α ) ∂x ∂x ∂x ∂x

∂V 1 ∂Q Q ∂h = − B ∂x S ∂x S 2 ∂x

José VAZQUEZ et Matthieu DUFRESNE

145

Annexes

ρ.S.dx.g sin(β) − ρgS.

∂Q ∂h ∂Q  1 ∂Q Q ∂h  .dx − Ffrottement = ρV dx + ρQ − 2 B dx − ρ dx.U. cos(α) ∂x ∂x ∂x  S ∂x S ∂x 

Q2 ∂h ∂h ∂Q ∂Q dx − ρ 2 B dx − ρ ρ.S.dx.g sin(β) − ρgS. .dx − Ffrottement = 2.ρV dx.U. cos(α) ∂x ∂x S ∂x ∂x ∂Q ∂Q ∂h  Q2  ρ.S.dx.g.I − Ffrottement − 2.ρV dx + ρ dx.U. cos(α ) = ρgS.dx 1 − 3 B  ∂x ∂x ∂x  gS  On a vu que :

β

On a : τ0 = ρgRh I En régime non uniforme on prend comme approximation : τ0 = ρgRh J ρ.S.dx.g.I − τ0 Périmètre .dx − 2.ρV

∂Q ∂Q ∂h  Q2  dx + ρ dx.U. cos(α ) = ρgS.dx 1 − 3 B  ∂x ∂x ∂x  gS 

ρ.S.dx.g.I − ρgR h J.Périmètre .dx − 2.ρV ρ.S.dx.g.I − ρgS.J.dx − 2.ρV

∂Q ∂Q ∂h  Q2  dx + ρ dx.U. cos(α) = ρgS.dx 1 − 3 B  ∂x ∂x ∂x  gS 

∂Q ∂Q ∂h  Q2  dx + ρ dx.U. cos(α) = ρgS.dx 1 − 3 B  ∂x ∂x ∂x  gS 

V ∂Q ∂Q U ∂h  Q2  1 − 3 B  + . cos(α ) = gS ∂x ∂x gS ∂x  gS  Q' I − J + (U cos(α ) − 2V ) dh Sg = Q2B dx 1− 3 gS

I − J − 2.

146

Annexes

14. - ABAQUES POUR LE CALCUL DES DEVERSOIRS LATERAUX Cas 1 : Teta=0, F1 0.6 0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

W=w/H

0.1

0.5

0.05

0.4

Y=h/H

0.0

0.3

0.2

0.1

0 0

0.5

1

1.5 X=kx/b

154

2

2.5