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Cours d’asservissements linéaires et régulations Licence et Master « Commande et Machine Electrique » 2014/2015 SOMMAI
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Cours d’asservissements linéaires et régulations Licence et Master « Commande et Machine Electrique »
2014/2015
SOMMAIRE INTRODUCTION………………………………………………………………….. Chapitre 1 : NOTION DE SYSTEME ET DE COMMANDE
1 2
I.1. INTRODUCTION………………………………………………………..……..
2
I.2. CLASSIFICATION DES SYSTEMES………………………………….……..
3
I.3. SYSTEMES DE COMMANDE ET COMMANDE AUTOMATIQUE…….…
5
1.4. ASSERVISSEMENTS……………………………………………….………..
6
1.4.1. Commande en boucle ouverte ………………………………………………
6
1.4.2.
Commande en boucle fermée ………………………………………………
7
1.5. PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS ……………………………
8
1.5.1. Notion de stabilité ……………………………………………………………
8
1.5.2. Notion de rapidité ……………………………………………………………
8
1.5.3.
Notion de précision …………………………………………………………
9
PROPRIETES DES SYSTEMES LINEAIRES………………………………
9
1.6.
1.7. NOTION DE SIGNAL ………………………………………………………
10
1.7.1. Définition …………………………………………………………………….
10
1.8. REPONSES PARTICULIERES D’UN SYSTEME SCALAIRE ……………
11
1.8.1. Réponse impulsionnelle………………………………………………………
11
1.8.2. Réponse indicielle ……………………………………………………………
11
CHAPITRE 2 : LES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS
12
2.1. QUELQUES NOTIONS IMPORTANTES SUR LES SYSTEMES BOUCLES
12
2.2. DEFINITION ……………………………………………………………………
12
2.3. PRINCIPE DE PROPORTIONNALITE ………………………………………
12
2.4. MISE EN EQUATION D’UN SYSTEME LINEAIRE ………………………
13
2.4.1. Principe de la résolution ……………………………………………………
13
2.5. PRESENTATION DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE………………
14
2.5.1. Transformée de Laplace………………………………………………………
15
2.5.1.1. Définition. ………………………………………………………………
15
2.5.1.2. Propriétés et théorèmes ………………………………………………………
16
2.5.1.3. Transformée de Laplace de signaux particuliers. …………………………
16
CHAPITRE 3: REPRESENTATION GRAPHIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS
19
3.1. FONCTION DE TRANSFERT …………………………………………………………
19
3.2. DIAGRAMME FONCTIONNEL ………………………………………………………
19
3.3. FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE ( FTBF ) …………………
22
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3.4. FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE OUVERTE ( FTBO ) ……………… 3.5. FORMES GENERALES DE LA FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME LINEAIRE……………………………………………………………………………
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23
3.6. REGLES DE TRANSFORMATION DES SCHEMAS FONCTIONNELS……………
23 24
3.6.1.
26
Exemple de réduction successive d'un schéma fonctionnel……………………
3.7. METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS…………………………………
27
3.7.1.
Introduction …………………………………………………………………………
27
3.7.2.
Interprétation dans le plan complexe ………………………………………………
27
3.7.3.
Les lieux de transfert ………………………………………………………………
28
3.7.4.
Lieu de Bode …………………………………………………………………………
28
3.7.5.
Lieu de Nyquist ………………………………………………………………………
28
3.7.6.
Lieu de Black ………………………………………………………………………
28
3.7.7.
Abaque de Black ……………………………………………………………………
28
CHAPITRE 4 : ETUDES DES SYSTEMES ELEMENTAIRES
29
4.1. OBJECTIFS………………………………………………………………………………
29
4.2. DEFINITION …………………………………………………………………………
29
4.3. ETUDE D'UN SYSTEME DE PREMIER ORDRE …………………………………
29
4.3.1.
30
Réponse impulsionnelle……………………………………………………………
4.4. Réponse indicielle ……………………………………………………………… 4.3.2.
31
4.5. 4.3.3.
33
Relation temps–fréquence ………………………………………………………
4.6. 4.3.3.1. Représentation de Nyquist…………………………………………………………
35
4.7. 4.3.3.2. Représentation de Black…………………………………………………………
35
4.8. SYSTEMES DU DEUXIEME ORDRE……………………………………………… 4.4.
36
4.9. 4.4.1.
Etude des pôles d'un système du deuxième ordre………………………………
36
4.10. 4.4.2.
Etude temporelle …………………………………………………………………
37
4.4.2.1. Réponse impulsionnelle …………………………………………………………
37
4.4.2.2. Réponse indicielle ………………………………………………………………
38
4.11. Etude harmonique…………………………………………………………………… 4.4.3.
41
4.12. 4.4.3.1. Représentation de Bode……………………………………………………………
42
4.13. 4.4.3.2. Représentation dans le plan de Nyquist…………………………………………………
43
4.14. 4.3.3.3. Représentation dans le plan de Black …………………………………………………
44
4.15. CHAPITRE 5 : CLASSIFICATION DES SYSTEMES ET PERFORMANCES
45
DES ASSERVISSEMENTS
5.1. INTRODUCTION……………………………………………………………………
45
5.2. CLASSE D'UN SYSTEME ASSERVI……………………………………………
45
5.2.1 Expression générale de l'erreur permanente ……………………………………
45
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5.3. PERFORMANCES STATIQUES DES SYSTEMES BOUCLES……………………
45
5.3.1. Erreur statique……………………………………………………………………
45
…………………………………………………………………… 5.3.1.1. Erreur statique pour une entrée échelon…………………………………………
47
5.3.1.2. Erreur statique pour une entrée rampe unité………………………………………
47
5.3.1.3. Erreur statique pour une entrée parabolique unité……………………………………
47
5.3.1.4. Dualité stabilité-précision………………………………………………………
48
4.16. 5.4. PERFORMANCES DYNAMIQUES DES SYSTEMES BOUCLES………………
49
4.17. 5.5. SYSTEMES D'ORDRE SUPERIEUR………………………………………………
50
4.18.
53
CHAPITRE 6 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES
6.1 INTRODUCTION ……………………………………………………………………
53
6.2. STABILITE ET LIEU DES RACINES …………………………………………………
53
6.2.1. Stabilité des systèmes linéaires ………………………………………………………
53
6.2.2. Critère algébrique de Routh-Hurwitz…………………………………………………
55
4.19.LIMITES DE LA METHODE DE ROUTH-HURWITZ …………………………… 6.3.
60
4.20.STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES AVEC RETARD PUR……………… 6.4.
63
4.21.CRITERE DE HURWITZ……………………………………………………… 6.5.
65
4.22.
67
CHAPITRE 7 : ANALYSE DES SYSTEMES ASSERVIS A TEMPS CONTINU ET STABILITE DE NYQUIST
7.1. INTRODUCTION…………………………………………………………
67
7.2. CRIT`ERE DE NYQUIST…………………………………………………………
67
7.2.1. Théorème : Critère de Nyquist. ……………………………………………………
68
7.2.2. Courbes en polaires…………………………………………………………
68
7.3. LE CONTOUR D’EXCLUSION DE NYQUIST……………………………………
68
7.4. DIAGRAMME DE STABILITE DE NYQUIST……………………………
69
4.23.STABILITE RELATIVE POUR UN SYSTEME ASSERVI…………………………… 7.5.
71
7.5.1. Marge de phase et gain…………………………………………………………
71
7.5.1.1. Marge de Gain…………………………………………………………
71
7.5.1.2. Marge de Phase…………………………………………………………
72
CHAPITRE 8 : LIEU D'EVANS (LIEU DES RACINES OU LIEU DES POLES)
73
8.1. INTRODUCTION…………………………………………………………
73
4.25.PROPRIETES DE BASE DU LIEU DES RACINES……………………………… 8.2.
74
8.2.1. Condition sur l'angle et condition sur le module……………………………
74
8.2.2. Règles du tracé du lieu des racines…………………………………………………
76
4.26. 8.3. CONCLUSION…………………………………………………………………………
79
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CHAPITRE 9 : CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES
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82
9.1. INTRODUCTION ………………………………………………………
83
9.1.2. Stratégie de correction (ou compensation) des systèmes asservis……………………
83
9.1.2.a - Cahier des charges………………………………………………
83
9.1.2.b . Configurations de correction………………………………………………………
85
4.28. 9.2. LES CORRECTEURS………………………………………………………
89
9.2.1. Correcteur proportionnel, P ……………………………………………………… 9.2.1.1. Effet…………………………………………………………………………………
89
9.2.1.2. Réalisation pratique………………………………………………………
89
9.2.2. Correcteur Intégral, I ………………………………………………………
90
9.2.2.1. Effet………………………………………………………
90
9.2.2.2. Réalisation pratique………………………………………………………
90
9.2.3. Correcteur Proportionnel Intégral, PI………………………………………………
91
9.2.3.1. Effet………………………………………………………………………………
91
9.2.3.2. Réalisations pratiques………………………………………………………
92
4.29. 9.2.4. Correcteur à action dérivée (D) ……………………………………………………… 9.2.4.1. Effet…………………………………………………………………………………
93
9.2.4.2. Réalisation pratique………………………………………………………
93
9.2.5. Correcteur Proportionnel Dérivé, PD………………………………………………… 9.2.5.1. Effet………………………………………………………………………………
94
9.2.5.2. Réalisations pratiques………………………………………………………
95
4.30. 9.2.6. Correcteur Proportionnel Intégral Dérivé, PID…………………………………… 9.2.6.1. Effet………………………………………………………
96
4.32. Réalisations pratiques……………………………………………………… 9.2.6.2.
98
4.33. 9.3. CORRECTEUR AVANCE DE PHASE……………………………………………
100
9.4. CORRECTEUR RETARD DE PHASE……………………………………………… 9.5. CORRECTEUR P AVANCE-RETARD : ………………………………………………
101
CHAPITRE 10 : DESIGN DES CORRECTEURS A L’AIDE DU LIEU DES RACINES
102
10.1. INTRODUCTION : ………………………………………………: ………………
102
10.2. CORRECTEUR PROPORTIONNEL P: ………………………………………………
102
10.3. CORRECTEUR PROPORTIONNEL INTEGRAL PI: ……………………………
103
4.35. CORRECTEUR PROPORTIONNEL DERIVE PD: …………………………… 10.4.
104
4.36. CORRECTEUR PROPORTIONNEL INTEGRAL DERIVE PID: ………………… 10.5.
107
4.37. DESIGN DES CORRECTEURS PAR METHODES EMPIRIQUES: …………… 10.6.
108
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89
93
94
97
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10.7. DESIGN DANS LE DOMAINE TEMPOREL: ……………………………………
108
ANNEXE: TABLE DES PRINCIPALES TRANSFORMEES DE LAPLACE ET LEURS PROPRIETES: ……………………………………………… BIBLIOGRAPHIE: ………………………………………………: ……………………
111 112
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INTRODUCTION Ce document s'adresse aux étudiants de la formation d'ingénieur, de Licence et de Master dans le cadre des programmes officiels. Mais bien entendu il peut être étudie par tous ceux en 1er cycle, en 2eme cycle, ou même en post-graduation, qui désirent approfondir leurs connaissances ou avoir un document de base en matière d'asservissement.
Dans le cadre de ce cours, nous nous intéressons principalement à l'étude de la théorie des systèmes linéaires d’asservissement et régulation automatique, décrit à l’aide de fonctions de transfert. La transformation de Laplace, l’outil mathématique principal, sur lequel se basent les modules analytiques utilisés, est considérée, ainsi que les représentations graphiques de systèmes qui en suivent, notamment le schéma fonctionnel et le graphe de fluence. La mise en équations des systèmes physiques est discutée.
La stabilité est introduite comme une propriété qu’on doit impérativement attribuer au système asservi. Pour assurer un fonctionnement, adéquat aux taches à effectuer, des exigences supplémentaires sont imposées aux paramètres principaux qui caractérisent le comportement dynamique du système. Ceux-ci sont dits performances du système asservi. Les outils et les méthodes principaux d’analyse dans le domaine temporel, dans le domaine fréquentiel, ainsi que dans le plan complexe, sont présentés.
Le but recherché n'est donc pas d'épuiser le sujet, mais d'essayer d'en dégager les idées essentielles, simplifiées, quand cela est nécessaire, dans un but didactique. En conséquence, l'accent est mis sur les explications physiques et les exemples, plutôt que sur les démonstrations, mais celles-ci sont également traitées en détail surtout lorsqu'elles sont indispensables a la bonne compréhension du résultat. Melle GUERGAZI Aicha
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Chapitre 1 : Notion de système et de commande I.1. INTRODUCTION Les notions de système et signal jouent un rôle principal dans le domaine de commande automatique. Plusieurs définitions du terme système existent. Pour l’automaticien, un système physique peut être un ensemble d’éléments associés pour effectuer une tache ou obtenir un fonctionnement spécifié, ou bien, une entité, conditionnellement séparée du milieu, dans laquelle s’effectue une transformation d’énergie, de matière, d’information, qui peut représenter un processus physique, chimique, un mécanisme, etc. • Le mot système : Un système peut être défini comme un ensemble d’éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l’intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelés signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes : x1(t)…xN(t) pour les signaux d’entrée de commande. y1(t)…yM(t) pour les signaux de sortie. Les signaux de sortie d’un système sont aussi appelés réponse du système
Remarque Les systèmes à une entrée et à une sortie sont appelés systèmes mono variables ou systèmes scalaires. Un système est connu par son action sur le milieu extérieur. Lorsqu’on applique certains signaux d’entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie particuliers. Le système est parfaitement connu par la connaissance des relations liant les entées avec les sorties Exemple Soit le circuit électrique suivant :
∗ Avec :
On a donc l’équation du système ∗∗
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(1.1) (1.2) (1.3)
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• Une grandeur physique :(variable) est une entité dont la valeur peut se modifier et qui peut être en général mesurée. • Un signal : est une grandeur physique mesurable, dont certains paramètres (amplitude, phase, etc), appelés paramètres informatiques du signal qui variant dans le temps, portent de l’information sur d’autre variable physique. De ce point de vue, le signal peut être considéré comme l’attribut informatif associé à la grandeur correspondante. Le mot signal porte un sens plutôt abstrait fonctionnel, tandis que le mot grandeur, un sens physique. Le système, étant conditionnellement séparé du milieu, interagit avec lui et avec d’autres systèmes par l’intermédiaire de signaux qu’on peut diviser en deux groupes- des signaux d’entrée qui possèdent une action sur le système, qui sont appliqués au système et qui sont indépendants des autres grandeurs dans le système et des signaux, fournis par le système au milieu ou à d’autres systèmes. En plus, parmi les signaux d’entrée on distingue deux groupes de signaux de point de vue de la possibilité de pouvoir agir sur eux : des entrées de commande (ou simplement entrées), des signaux d’entrées qu’on peut modifier d’une manière désirée et des entrées de perturbations (ou simplement perturbations), qui peuvent être mesurables ou non, mais qu’on n’est pas capable de modifier. Les sorties du système, les variables fournies par le système au milieu ambiant, sont des grandeurs qui caractérisent l’état du système du point de vue extérieur, vis-à-vis au fonctionnement spécifié désiré. I.2. CLASSIFICATION DES SYSTEMES Les systèmes peuvent être classifiés selon des critères différents. On va présenter cidessous une classification selon les critères qu’on considère principaux. -
Système statique : Un système est appelé statique, si sa réponse (l’évolution des sorties du système à une excitation par une où plusieurs entrées) à une excitation est instantanée.
-
Système dynamique : Un système est dit dynamique, si sa réponse dépend simultanément de l’excitation présente et des réponses et/ou des excitations passées.
-
Système linéaire : Un système est linéaire s’il obéit au principe de superposition, défini par les propriétés d’additivité et homogénéité. Formellement, ces propriétés des systèmes s’expriment comme :
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Soient les paires d’excitations et réponses correspondantes suivantes : → , → , … … . . →
⋯ → …
(1.4)
Un système obéit au principe de superposition si :
, … étant des constantes.
(1.5)
Autrement dit : Un système est linéaire si la réponse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d’entrée est égale à la combinaison linéaire des réponses.
Si on applique à l’entrée :
On obtient en sortie :
∗ ∗
∗ ∗
(1.6)
(1.7)
Tout système, pour lequel la condition ci-dessus n’est pas satisfaite, est non linéaire. -
Système stationnaire : Un système est stationnaire (invariant), si ses propriétés ne varient pas avec le temps. De point de vue de son interaction avec le milieu, la réponse à une même excitation ne dépend pas de l’instant de son application. Un système, qui ne répond pas à cette spécification est dit non stationnaire.
Autrement dit : Un système invariant est aussi appelé système à paramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence.
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Exemple: Moteur
Si on néglige l’usure, le moteur n’évolue pas dans le temps : le système est invariant. -
Système est continu : Un système est continu si tous les signaux, par le système existent et peuvent changer de valeurs à chaque instant, c’est-à-dire sont des signaux analogiques.si parmi ces signaux il y a tels qui ne sont définis et ne peuvent varier que dans des instants du temps déterminés, le système est appelé discret. Un système dans lequel sont introduits des processus qui créent des signaux discrets dans le temps pour différents buts, la commande, par exemple) est appelé échantillonné.
-
Système mono variable (simple) : Un système est appelé mono variable (simple), s’il a une grandeur d’entrée et une grandeur de sortie. Si le système comporte plusieurs grandeurs d’entrée et/ou de sortie, il est dit multi variable (multiple).
I.3. SYSTEMES DE COMMANDE ET COMMANDE AUTOMATIQUE - Terme commande : Le terme commande peut être défini de la manière suivant : une action délibérée sur le système (par les signaux d’entrée) qui fait que l’état du système s’approche dans un sens (les sorties) d’un état désiré (des trajectoires désirées). Alors, commander un système veut dire plutôt commander les variables de sortie. - Commande automatique : On parle de commande automatique dans les cas où, les signaux de commande sont générés par un autre système, ne nécessitant pas l’intervention immédiate de l’homme. L’interconnexion du système commandé avec le système qui génère les signaux de commande, appelé régulateur, contrôleur, compensateur, correcteur, et qui dans presque tous les cas, implémente aussi la fonction de comparateur forme un système qu’on appelle système de commande. De structures différentes des systèmes de commande, respectivement de principes différents qui sont à la base de l’élaboration des signaux de commande existent. Un système, dont le régulateur génère les signaux de commande en se basant sur la déviation du comportement actuel du système par rapport au comportement désiré donc, sur l’écart entre les trajectoires désirées des sorties et celles qui se réalisent effectivement, est appelé un système asservi.
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L’utilisation d’un retour par la sortie représente le principe sur lequel est basé le fonctionnement de presque tous les systèmes de commande. D’autres chaines supplémentaires peuvent être introduites dans la structure du système de commande. Lorsqu’on parle d’asservissement, on s’adresse à la poursuite des valeurs de référence, la consigne, par les sorties. La tache de la régulation représente un cas particulier d’asservissement, caractérisé par des consignes constantes. Dans ce cas, il s’agit du rejet des effets des perturbations sur les sorties. 1.4. ASSERVISSEMENTS • Système asservi : Un système asservi est un système qui prend en compte, durant son fonctionnement, l'évolution de ses sorties pour les modifier et les maintenir conforme a une consigne. Cette branche de l’automatique se décompose en deux autres sous branches (séparées artificiellement par l'usage) :
Régulation : maintenir une variable déterminée, constante et égale a une valeur, dite de consigne, sans intervention humaine. Exemple : Régulation de température d'une pièce.
Systèmes asservis : faire varier une grandeur déterminée suivant une loi imposée par un élément de comparaison.
Exemple : Régulation de la vitesse d'un moteur, Suivi de trajectoire d'un missile.
L’étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents processus rencontrés. Il existe deux solutions pour commander un système 1.4.1. Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties. On peut illustrer son rôle au travers de l’exemple simple suivant, qui consiste au résistance chauffante: Résistance chauffante sans régulation ⇒ SYSTEME EN BOUCLE OUVERTE
Pour utiliser ce type de commande, il est nécessaire de connaître le système et les réponses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiples perturbations peuvent modifier l’action de ces commandes : si la porte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne correspondent plus à la température intérieure. GUERGAZI Aicha
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1.4.3. Commande en boucle fermée Pour améliorer les performances d’une commande, il est indispensable d’observer les sorties du système pour les comparer à ce que l’on désire obtenir. Dans ce deuxième type de commande, les sorties du système sont contrôlées. C’est à ce niveau que l’on rencontre la notion de système asservi. Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une correspondance définie entre une ou plusieurs grandeurs d’entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques plus élevés. Un système asservi est caractérisé par la présence de : • Chaînes directes: Elles comprennent des éléments amplificateurs et éventuellement, des convertisseurs de puissance, en liaison avec la source d’énergie. • Chaînes de retour : Elles sont constituées d’éléments de précision généralement passifs. Ce ne sont pas des chaînes de puissance ; elles transmettent à l’entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comparées aux signaux d’entrée au moyen de comparateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d’entrée et les informations images des signaux de sortie. Exemple : Chauffage d’un immeuble
Figure A
Figure B
Figure C La figure A représente le système. La température θ à l’intérieur de l’immeuble est fonction de la température T de l’eau chaude envoyée dans les radiateurs et de la température extérieure θe. Nous représentons cette description, volontairement simplifiée par une boite munie d’une sortie θ, d’une entrée de commande T à la disposition de l’opérateur et d’une perturbation θe . GUERGAZI Aicha
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Le rayonnement solaire dans l’immeuble, le vent ou d’autres grandeurs agissant aussi sur la température θe . C’est volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises en compte par notre modèle qui doit, avant tout, être simple. C’est l’utilisateur qui règle T, en vue d’obtenir θ =19°C par exemple (en régime permanent). Il sait, par expérience, qu’il obtient un bon résultat en réglant T. La figure B représente alors une première tentative de réglage automatique de T, tel que (T=a*( θ - θe). Dans cette configuration, l’opérateur n’aura plus besoins de retoucher T en fonction de la température extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse de θe. Quand θe=θ0 on a T=0, ce qui signifie qu’on doit bien entendue, couper le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats. La figure C représente une amélioration du réglage automatique de T. Supposons que par temps froide le soleil pénètre à l’intérieur de l’immeuble. La température θ va s’élever sans pour autant que la température T de l’eau des radiateurs ne soit réduite puisqu’il ne dépend que θe. Il se produira une surchauffe et on doit modifier T, c’est à dire pour diminuer θ0. Il est clair que cette opération peut s’effectuer de façon automatique en rendant0θ dépendant de la température θ effectivement atteinte dans l’immeuble. Pour cela θ est comparée à une consigne θc, réglable par l’utilisateur à l’aide d’une boucle d’asservissement. 1.5. PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS 1.5.1. Notion de stabilité : On dit qu’un système est stable, lorsque celui-ci tend à revenir à son état d’équilibre lorsqu’on lui applique une perturbation de courte durée.
1.5.2. Notion de rapidité : La rapidité quantifie le temps de réponse du système. Elle correspond au temps de réaction de la sortie par rapport à la consigne.
Le temps mis par la réponse pour ne plus dépasser ±5% de la valeur finale. Ce temps est retenu comme critère de rapidité : t5% GUERGAZI Aicha
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1.8.3. Notion de précision La précision quantifie l’erreur lorsque l’équilibre est atteint. Avec e(t) et S(t) de même nature. Autrement, un système est précis si la sortie suit la consigne en toutes circonstances avec un écart inférieur à la valeur définie dans un cahier des charges.
1.9.
PROPRIETES DES SYSTEMES LINEAIRES
Quand un système est linéaire, il jouit de propriétés importantes qui permettent une étude plus commode, en particulier le
principe de superposition linéaire
!!"#"$"#é:
qui se traduit par les relations:
*+ # ⟹ -+ #
Entrée
) '
Sortie
/ *. # ⟹ -. # ( ' &*+ # *. # ⟹ -+ # -. #
ou e(t) et s(t) sont les grandeurs d'entrée et de sortie
*# ⟹ -#
/ λ ∗ *# ⟹ λ ∗ -#
01213é4é"#é: 5
Ce principe traduit le fait que les effets sont proportionnels aux causes et que les causes ajoutent leurs effets
1.7. NOTION DE SIGNAL 1.7.1. Définition GUERGAZI Aicha
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Un signal dans un système de commande automatique représente une grandeur physique qui peut être une température, une force, une pression, une vitesse, une tension, un débit. Ce signal peut être sous forme logique (binaire), analogique, numérique (codé), selon la nature de commande : analogique ou numérique. Dans notre cas, nous étudions les signaux analogiques relatifs à la commande linéaire continue des processus. En pratique, un signal est une tension entre 0 et 5V ou un courant entre 0 et 20 mA, cas de processus industriels. • • •
Un signal S(t) est causal si S(t)=0 ∀ t0 : e(t)=e0 Si t
@
@ A
@ A0)
d. Intégration :
\]^ Y_
e. Retard :
\]^Y E θ_ ;θO VW
f. Changement d’échelle :
bO O
(2.14)
(2.15)
\]^Y ∗ _ L V SLU
O
(2.16)
2.5.1.5. Transformée de Laplace de signaux particuliers. Ces méthodes sont basées sur l'utilisation d'entrées dites canoniques, faciles a mettre en œuvre dans toutes les techniques (électrique, mécanique, hydraulique). On en déduit alors les différentes constantes de la fonction de transfert. \]^Y_=O
échelon u(t) :
fonction rampe c . . C
(2.17)
\]^c_ d> L
(2.18)
Impulsion de Dirac δ(t)
GUERGAZI Aicha
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Ce signal est issu de la théorie mathématique des distributions. A titre d’information, les distributions sont des fonctions non continues pour lesquelles les propriétés mathématiques relatives aux fonctions continues s’appliquent. La figure présente une visualisation d’une impulsion de Dirac. Dans le modèle mathématique le paramètre α tend vers 0. limh→[ i 0 pour tout t≠0
On aura donc les relations suivantes : limh→[ i ∞ pour tout t=0 De plus, nous appellerons impulsion de Dirac unité, le signal δ(t) vérifiant la formule suivante : ;[ i 1 Z[
(2.19)
Cette relation signifie que l’énergie du signal considéré est unitaire. A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants : 1. Théorème de la valeur finale :
limO→9 WVW lim→[ Y
(2.20)
2. Théorème de la valeur initiale :
limO→[ WVW lim→9 Y
(2.21)
Il est souvent plus simple de calculer la transformée de Laplace d’une fonction à partir de la transformée connue d’une autre fonction en utilisant les propriétés et théorèmes énoncés. A partir de quelques résultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement les Transformées de Laplace de la plupart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d’éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroupe dans des tables de Transformées de Laplace. Une table résumée des Transformées de Laplace les plus usuelles en électronique (voir Annexe A). Exemple :
Le comportement de chaque constituant est décrit par les équations suivantes : GUERGAZI Aicha
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CD E CF ∗
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(2.22)
GH
(2.23)
Passons dans le domaine symbolique \]^CF _ NF W,
\]^CD _ ND W
On pose :
\]^_ kW
(2.24)
Nous savons que la dérivée première d’une fonction temporelle est :
\] l
m
n W ∗ VW E Y0Z ,
si \]^Y_ VW
de même pour la dérivée seconde : \] l
(2.25)
n W ∗ VW E WY0Z E Y a 0Z
m > >
(2.26)
CD -CF ∗ ⟹ ND W E NF W kW ⟹ kW ∗ W ∗ NF W
(2.27)
ND W E NF W ∗ ∗ WNF W NF W
(2.29)
Nous supposons que les conditions initiales sont nulles :
GH
(2.28)
En substituant I(p), on obtient :
Zτ∗O
ND W
On prend pour l’entrée CD N9 , donc dans le domaine symbolique ND W NF W Zτ∗O ∗
Décomposition en éléments simples :
NF W Zτ∗O ∗
op O
O
N9 S Zτ∗O O U ⟹ NF W N9 S q
r
On déduit donc s 1 t Eτ
q∗OZr∗ Zτ ∗O U Zτ∗O∗O
O
(2.31)
(2.32) (2.33)
La décomposition s’écrit NF W N9 S
U
Zτ∗O O
D’où la solution : CF N9 S1 E ;QR U P
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op
op
(2.30)
;τ
2.34)
(2.35)
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Chapitre 3: Représentation graphique des systèmes linéaires continus 3.1. FONCTION DE TRANSFERT Un système linéaire d’entrée x(t) et de sortie y(t) est régi par une équation différentielle à coefficients constants du type
: :
;
:
9 ?
@ A A
(3.1)
Si on écrit la transformation de la Laplace de l’équation différentielle à conditions initiales nulles on trouve :
uW wO Appelée fonction de transfert ou transmittance du système vO
Le but de cette représentation est de pouvoir déterminer les caractéristiques de la sortie
y(t) connaissant la fonction de transfert H(p) du système et le signal d’entrée x(t).
On peut mettre H(p) sous la forme :
uW wO vO
H(p) peut s’écrire sous la forme :
xA OA ZxA (la pente de la ©
tangente est égale à la dérivée en ce point).
On peut montrer facilement que l'intersection de cette tangente à l'origine avec l'axe des temps se fait à t= τ comme indiqué sur la figure.
Figure 4.1: Réponse impulsionnelle d'un système du premier ordre
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La figure suivante (4.2) permet de se rendre compte de l'influence de τ sur la réponse impulsionnelle :
Figure 4.2: Réponse impulsionnelle d'un système du premier ordre en fonction de τ On remarque donc queτ influence la rapidité du système (le temps que le système met pour revenir à l'état initial après une impulsion) mais ne modifie pas l'allure générale de la courbe. La variation de K ne fait que déplacer le point de départ de cette courbe de réponse. Par souci de clarté, cette courbe est normalisée par rapport à K. 4.3.2. Réponse indicielle
L’entrée est définie par x(t)=u(t), soit dans le domaine de Laplace }W O
La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : zW OOZτ∗O Une décomposition en éléments simples nous donne : zW O Zτ∗O q
r
La réponse temporelle a donc pour expression : K S1 E τ U C P
©
© O
(4.6)
E Zτ∗O ©τ
(4.7) (4.8) (4.9)
La représentation graphique de la réponse indicielle d’un système de premier ordre est donnée par la figure ci-dessous :
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Figure 4.3 : représentation graphique de la réponse indicielle d’un système de premier
Temps de réponse :
On appelle temps de réponse d'un système, le temps que met la réponse indicielle du système pour ne plus sortir d'un intervalle de ±5% autour de sa réponse finale (les anglo-saxons utilisent couramment une référence à ±2%). On considère alors que le régime permanent est obtenu au bout d'un temps égal au temps de réponse du système (la sortie est alors « quasi-équivalente » au gain statique K *amplitude de l'entrée). L'évolution de la sortie jusqu'au temps de réponse correspond alors au régime transitoire. Cette définition est valable quelque soit l'ordre du système considéré. Pour déterminer le temps de réponse d'un système du premier ordre, il suffit de trouver tr (pour temps de réponse) tel que : y(tr) = 0:95AK. C'est à dire : ± tK S1 E ; τ U 0.95tK ⇒ ; τ = 0.05 P²
P²
Et donc : ± Eτµ¶0.05 · 3τ
(4.10)
Erreur statique :
Si le système est stable, on appelle erreur statique (aussi erreur de position), la différence que l'on relève sur une réponse indicielle, entre l'entrée et la sortie d'un système lorsque t→∞ lim { lim^ E _ lim ^}W E zW_
Pour un système du premier ordre, on peut calculer l'erreur statique comme suit : →∞
→∞
O→9
limO→9 ^}W E zW_ limO→9 t^1 E VW_
(4.11)
t1 E K L'erreur statique n'est donc nulle que pour les systèmes du premier ordre dont le gain statique K est unitaire. On l'exprime en pourcentage (en divisant par A. Elle est alors indépendante de l'amplitude A de l'entrée :
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La tangente à l'origine coupe l'axe horizontal y = AK pour t = τ .
La réponse indicielle est la dérivée de la réponse impulsionnelle.
L'amplitude de la réponse indicielle pour t τ est :
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τ tK1 E ; · 0.632tK
(4.12)
Pour un système du premier ordre, la constante de temps est donc le temps au bout duquel la réponse indicielle atteint 63,2% de son régime final. 4.4.4. Relation temps–fréquence Le comportement dynamique d’un système est entièrement décrit par sa constante de τ , donc la fréquence de coupure estY 1»2ºτ .
temps τ. Cette dynamique est aussi appelé espace fréquentiel. On définie pulsation de coupure
On appelle temps de montée du système : c’est le temps nécessaire pour passer de10% de
la valeur finale de la sortie à 90 % de la valeur finale pour un échelon d’entrée. ¼ K1 E exp SE τU ∗ C
(4.13)
On a ¼ 9% 0.1 ∗ K ¼Á9% 0.9 ∗  Or ? Á9% E 9%
(4.14)
Après tout calcul fait on obtient ? 2.2 ∗ τ
Donc ?
9.ÃÄ mÅ
© ¥¥¥¥¥¥¥¥ © uW Zτ∗O et en posant W ∗ ¼é ⟹ u¤¼
ZτÇ
4.4.4.1.Etude Harmonique ⟹ u¼
©
ZτÇ>
É | ∗ exp ∗ exp~Etc τ¼ |u
¥¥¥¥¥¥¥¥ ⟹ u¤¼ ZτÇ> ⟹ B
ZτÇ> ©
;©τ
4.4.4.2.Représentation de Bode
¥¥¥¥¥¥¥¥¥Ì MD~ÊËÇ
Í =Îτ> Ï> ¥¥¥¥¥¥¥¥¥Ì; Íτ Ð?~ÊËÇ =Îτ> Ï>
/
(4.15) (4.16) (4.17)
¥¥¥¥¥¥¥¥ en fonction de la pulsation w. |u¼|r de la fonction u¤¼
On trace les deux courbes suivantes : -
¥¥¥¥¥¥¥¥ en fonction de la pulsation w. tc u¼ de la fonction u¤¼
Représentation du module en dB |u¼|r 20 µ¬ 9
Etude des asymptotes • Pour
Ç
ÇÅ
≪1
©
ZτÇ>
20 ∗ µ¬ 9 K E 10 ∗ µ¬ 9 ^1 τ¼ _ (4.18)
|u¼|r ⟶ 20 µ¬ 9 K: tW¬ a éÓC ¬¶ |u¼|r 20 µ¬ 9 K
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• Pour ¼ ⟹ |u¼|r 20 ∗ µ¬ 9 K E 3 s • Pour
Ç
ÇÅ
(4.19)
≫ 1 ⟹ |u¼|r ⟶ E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ ¼ τ
(4.20)
|u ∗ 10 ∗ ¼ |r E |u ∗ ¼ |r
E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ 10 ∗ ¼ E E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ ¼ = E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ 10 ∗ ¼ E µ¬ 9 τ ∗ ¼
= E20 ∗ µ¬ 9
τ∗ 9∗Ç= =-20*µ¬ 9 10 τ∗Ç=
⟶C’est une droite de pente -20dB/décade
Ou |u ∗ 2 ∗ ¼ |r E |u ∗ ¼ |r
(4.21)
E20 s (4.22)
E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ 2 ∗ ¼ E E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ ¼ = E20 ∗ µ¬ 9 τ ∗ 2 ∗ ¼ E µ¬ 9 τ ∗ ¼
= E20 ∗ µ¬ 9
C’est une droite de pente -6dB/octave
τ∗∗Ç= =-20*µ¬ 9 2 τ∗Ç=
(4.23)
E6 s
(4.24)
Représentation de la phase
tcu¼ E c τ ∗ ¼
(4.25)
Etude des asymptotes • • •
Pour ¼ ⟶ 0 ⟹ 0 : asymptote horizontale
Pour ¼ τ ⟹ Etc 1 E Ö
Õ
Pour ¼ ⟶ ∞ ⟹ tc~u ∗ ¼ – c tg ∞ E : asymptote horizontale E . Õ
Õ
Figure 4.4 : Diagramme de Bode GUERGAZI Aicha
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4.4.4.3. Représentation de Nyquist
¥¥¥¥¥¥¥¥¥ Û SÜ*~0ÙÚ ¥¥¥¥¥¥¥¥¥U On trace la courbe Ø2~0ÙÚ ¥¥¥¥¥¥¥¥ É ¼ et k~u¤¼ Soient u
D’où ZτÇ>
©
(4.26)
©∗τ∗Ç
ZτÇ>
(4.27)
Ý 0 ⟶ c µ ¶é Y (4.26) ⟹ 1 τ ∗ ¼
© @
et τ ∗ ¼
© @
E1
(4.27) ⟹ Eτ ∗ ¼ ∗ ⟹ τ ∗ ¼ ∗ S @ E 1U ∗ K ∗ E
Donc
©
E K ∗ 0 E ©
©> Ö
(4.28)
C’est une équation d’un cercle de centre (K/2, 0) et de rayon K/2 .
4.4.4.4.Représentation de Black
On représente |r Y : c’est un diagramme contracté obtenu en éliminant w
Etude des asymptotes
• Pour ¼ ⟶ 0 |u¼|r ⟶ 20 µ¬ 9 K ; 0
• Pour ¼ ⟹ |u¼|r 20 ∗ µ¬ 9 K E 3 s; E
• Pour ⟶ ∞ |u¼|r ⟶ E∞ ; E . C’est une asymptote τ
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Õ
Õ Ö
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4.5. SYSTEMES DU DEUXIEME ORDRE Ce chapitre permet d'étudier le comportement des systèmes linéaires invariants du deuxième ordre. Par définition, ces systèmes obéissent à une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants: Un système linéaire d’entrée x(t) et de sortie y(t) est régi par une équation différentielle à coefficients constants du type
> >
(4.29)
Où x(t) et y(t) représentent respectivement l'entrée et la sortie du système. La transformée de Laplace de l'équation 4.29, où les conditions initiales sont considérées nulles, permet d'obtenir facilement la forme générale de la fonction de transfert des systèmes du premier ordre :
|W
vO
wO
LO> ZxOZ
©p>
O> Zßp OZp>
(4.30)
9 est la pulsation propre non amortie du système (elle s'exprime en radians par seconde).
K est appelé gain statique du système.
à est le facteur d'amortissement du système.
Ces trois grandeurs suffisent à caractériser tout système du deuxième ordre : ce sont ses grandeurs caractéristiques.
4.4.3. Etude des pôles d'un système du deuxième ordre Les pôles d'une fonction de transfert G(p) sont les valeurs de « p » qui annulent le dénominateur de G(p). Ce sont donc les racines de l'équation caractéristique qui suit : W 2á9 9
(4.31)
Le discriminant réduit associé à cette équation est :
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∆=(á E 19
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Selon que á sera supérieur ou inférieur à 1, l'équation (4.31) admettra des solutions réelles ou complexes
conjuguées. 4.4.4.
Etude temporelle
4.4.4.1. Réponse impulsionnelle L’entrée est définie par x(t)= δ(t) soit dans le domaine de Laplace X(p)=1. La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :
zW O> Zß pOZ> © > p
p
(4.32)
á â 1 ⟹ ã â 0; Le système est amorti est le dénominateur possède deux racines réelles :
Cas 1 :
W / 9 Eá å á E 1 Ý 0
Y(p) se décompose en deux éléments simples :
zW O;O
Après identification, on trouve : t Es
©p>
= O;O>
©p
ß > ;
La réponse temporelle a donc pour expression :
=
q
O;O=
K0
2æá2 E1
(4.33)
r
O;O>
W1 E W2 )
(4.34)
Cas 2 :
á 1 ⟹ ã 0; Amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace s’écrit :
zW
©p>
OZp >
(4.35)
La réponse temporelle a donc pour expression :
La réponse temporelle a donc pour expression : K9 ;p t
(4.36)
Cette courbe a la même allure que dans le cas où á â 1. Le maximum est alors atteint pour : ?L@ et son amplitude est : çèé
Cas 3 :
p
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©p D
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á Ý 1 ⟹ ã Ý 0; Le système est sous amorti et le dénominateur possède deux racines complexes conjuguées :
W / 9 Eê å + E ê. Ý 0
(4.37)
W1 E W2 )
La réponse temporelle a donc pour expression :
K0
2æá2 E1
(4.38)
Soit, après développement des exponentielles complexes :
©p
;ß >
~ ;pß sin9 1 E á
(4.39)
Représentation graphique :
On peut remarquer que le signal (4.39) est oscillant (à cause desin9 1 E á et amorti (à cause de
~ ;p ß ). On note O 9 1 E á la pulsation propre amortie du système. La période de ces pseudos oscillations est \O
Õ
ë
Une étude de la fonction (4.30) montre qu'elle possède des extremas aux points d'abscisses : ;ß > î ß
ì c ¶ í
引
4.4.4.2. Réponse indicielle
p ;ß >
L’entrée est définie par C soit dans le domaine de Laplace}W O
La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :
zW
©p>
~O> Zßp OZp> O
(4.40)
á â 1, le système est amorti et la réponse est apériodique. Y(p) se décompose en trois éléments simples : Cas 1 :
zW O;O
©p>
= O;O> O
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= q O
r
O;O=
O;O>
(4.41) Page 43
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Avec a=K
s O
©p>
= ;O> O=
©p>
p ß > ; O=
O
©p>
= ;O> O>
ét
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©p>
p ß > ; O>
La réponse temporelle a donc pour expression
Si on pose W E
τ=
K ì1 E
et W E
τ>
p
ß > ;
S
D ë> P O>
E
D ë= P Uï O=
(4.42)
ou τ et τ sont les constantes du temps, la réponse temporelle s’écrit : P
K ì1 E τ
íτ τ= = ;τ>
P
E τ τ> îï
(4.43)
Représentation graphique :
á 1 Amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace s’écrit :Tapez une équation ici. Cas 2 :
zW
©p>
OOZp
>
;©p
OZp
La réponse temporelle a pour expression :
>
K1 E 1 9 ;p
;©
OZp
© O
(4.44)
(4.45)
á Ý 1 , le système est sous amorti et la réponse est pseudopériodique. Cas 3 :
La réponse a toujours pour expression dans le domaine de Laplace :
zW O> Zß
©p>
> p OZp O
(4.46)
On décompose cette expression sous la forme :
zW O O> Zß q
rOZ
> p OZp
(4.47)
Après identification des constantes, on trouve :
zW
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O> Zß O
©
©OZ
> p OZp
(4.48)
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On modifie le dénominateur d’ordre 2 pour faire apparaître un carré parfait :
zW
© O
E
©OZ©ßp
O> Zßp OZß > p> ;ß > p> Zp>
© O
E
©OZ©ßp
OZßp > ZSp ;ß > U
>
(4.49)
Une nouvelle transformation permet d’identifier les transformées de Laplace des cosinus et sinus amortis :
zW K l / E O
OZßp
OZßp > ZSp ;ß > U
>
E/
p ;ß >
ß
>
;ß > OZß > ZS ;ß > U p p
ö
(4.50)
La réponse dans le domaine temporel s’écrit donc : K ì1 E ;ßp cos~9 1 E á E On pose cos á sin 1 E á La réponse temporelle s’écrit
K ì1 E Représentation graphique
;ß >
ß
;ß >
;ßp sin~9 1 E á ï
;ßp sin~9 1 E á
(4.51)
(4.52)
ï
(4.53)
Particularités : •
Pseudo–période.
La réponse présente des oscillations amorties dont la période, appelée pseudo période, est : \O •
p
′
•
Õ
;ß >
Õ ë
ou O 9 1 E á est la pulsation amortie.
(4.54)
Pente à l’origine. ©p
;ß >
;ßp sinS9 1 E á U Donc lim→9Î ′ 0 et la pente est nulle
Dépassements relatifs.
Les dépassements relatifs sont donnés pour les instants tk tels que a ÷ 0 GUERGAZI Aicha
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Donc ÷ Â
Õ
0 æ1Eá2
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avec k entier
Par conséquent le premier dépassement est donné par: ø ?L@ E ∞
;
ùú
æ=
(4.55)
Soit en pourcentage : Par conséquent le premier dépassement est donné par :
•
ø % 100 ∗
;
ùú
æ=
(4.56)
Temps de réponse.
Il n’y a pas d’expression simple. Un abaque donne la valeur du temps de réponse réduit, t5%*w0, en fonction du coefficient d’amortissement. Le temps de réponse minimum est obtenu pour un dépassement relatif de 5% ce qui correspond à un coefficient d’amortissement de valeur ξ=0,7. On a alors : t5% : w0=3.
On a W ¼, ce qui donne :
4.4.3. Etude harmonique
¥¥¥¥¥¥¥¥ u¤¼
©Çp>
Çp> ;Ç > Z∗yÇÇp
©
Ï > Ï í ;S U îZ∗∗y∗ Ïp Ïp
¥¥¥¥¥¥¥¥£ 20 ∗ µ¬ 9 K ∗ ¼9 E 10 ∗ µ¬ 9 ¼9Ö ¼ Ö 4 ∗ ü E 2 ∗ ¼9 ∗ ¼ £u¤¼ r On a alors :
GUERGAZI Aicha
(4.57)
(4.58) Page 46
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¥¥¥¥¥¥¥¥£ 20 ∗ µ¬ 9 K E 10 ∗ µ¬ 9 ýí1 E S Ç U î S2 ∗ ü ∗ £u¤¼ r Çp
4.5.3.1. Représentation de Bode A/ Représentation du module
¥¥¥¥¥¥¥¥£ 20 ∗ µ¬ 9 K E 10 ∗ µ¬ 9 ýí1 E S Ç U î S2 ∗ ü ∗ £u¤¼ r Çp
Etude des asymptotes • Pour
Ç
Çp
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Ç
Çp
U ö
Ç :/.
Çp
U
(4.59)
ö
≪1
|u¼|r ⟶ 20 µ¬ 9 K: tW¬ a éÓC ¬¶ |u¼|r 20 µ¬ 9 K
• Pour ¼ ¼9 ⟹ |u¼|r 20 ∗ µ¬ 9 K E 3 s I ü
• Pour
Ç
Çp
√2 ⟹ |u¼|r 20 ∗ µ¬ 9 K E 10 ∗ µ¬ 9 2 2
(4.60)
20 ∗ µ¬ 9  E 3 s î
≫ 1 ⟹ |u¼|r ⟶ E40 ∗ µ¬ 9
Ç
Çp
|u ∗ 10 ∗ ¼ |r E |u ∗ ¼ |r
E40 ∗ µ¬ 9 S
9∗Ç= Çp
= E40 ∗ µ¬ 9 S = E40 ∗ µ¬ 9
=p∗Ï= Ïp Ï= Ïp
⟶C’est une droite de pente -40dB/décade
E40 ∗ µ¬ 9 S
U E µ¬ 9 SÇ= U Ç
Ç
p
(4.62)
p
= -40*µ¬ 9 10 E40 s (4.63)
Ou |u ∗ 2 ∗ ¼ |r E |u ∗ ¼ |r
∗Ç= Çp
E40 ∗ µ¬ 9 í
= E40 ∗ µ¬ 9
U E E40 ∗ µ¬ 9 SÇ=U
9∗Ç= Çp
(4.61)
>∗Ï= Ïp Ï= Ïp
U E E40 ∗ µ¬ 9 SÇ= U Ç
2 ∗ ¼
¼
î E µ¬ 9 í î ¼9 ¼9
p
(4.64)
= -40*µ¬ 9 2 E12 s
C’est une droite de pente -12dB/octave
GUERGAZI Aicha
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B/ Représentation de la phase
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥ u¤ ∗ ¼ E c
tcu¼ E c τ ∗ ¼
Etude des asymptotes •
Ï Ïp Ï >
∗y∗
;S
Ïp
U
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(4.65)
Pour ¼ ⟶ 0 ⟹ 0 : asymptote horizontale Õ
•
Pour ¼ ¼9 ⟹ Etc ∞ E
•
Pour ¼ ⟶ ∞ ⟹ tc~u ∗ ¼ ·– c tg (0) Eº On a asymptote horizontale Eº.
4.5.3.2. Représentation dans le plan de Nyquist ¥¥¥¥¥¥¥¥ u¤¼
GUERGAZI Aicha
©∗Çp> ∗~Çp> ;Ç >
> ~Çp> ;Ç > Z∗y∗Çp ∗Ç>
E
∗©∗Çp> ∗Ç >
~Çp> ;Ç > Z∗y∗Çp ∗Ç>
(4.66)
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20 ∗ µ¬20 ∗ µ¬ 9 |u¼| Y C’est un diagramme contracté obtenu en éliminant w. 4.3.3.4. Représentation dans le plan de Black
Etude des asymptotes • • •
Pour ¼ ⟶ 0 ⟹ |u¼|x ⟶ 20 ∗ µ¬Â; 0
Pour ¼ ¼9 ⟹ |u¼|x ⟶ 20 ∗ µ¬Â E 3 s; Sü Pour ¼ ⟶ ∞ ⟹ |u¼|x ⟶ E∞; ⟶ Eº On a asymptote horizontale Eº.
GUERGAZI Aicha
Õ
√ U
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Chapitre 5 : Classification des systèmes et performances des asservissements 5.1. INTRODUCTION Dans ce chapitre nous intéressons aux classifications et les performances de réponse en régime permanent. 5.2. CLASSE D'UN SYSTEME ASSERVI 5.2.1 Expression générale de l'erreur permanente On a vu que l'erreur peut s'exprimer en fonction du signal d'entrée X(p) et de la fonction de
transfert en boucle ouverte T(p) par W ZO . Par conséquent si l'on écrit la fonction de wO
transfert en boucle ouverte sous la forme générale suivante :
\W O S ZL= OZL> O>Z⋯ZLA O: U ©
Zx OZx O> Z⋯Zx OA =
>
Où l est appelé classe du système
On obtient :
{W O ZL
:
(5.1)
wOO ~ ZL= OZL> O> Z⋯ZL: O:
= OZL> O
> Z⋯ZL O: Z© Zx OZx O> Z⋯Zx OA : = > A
{∞ limO⟶9 W{W limO⟶9
Donc :
wO∗OÎ= O Z©
(5.2)
(5.3)
L'erreur permanente dépend donc de l'entrée et de la classe du système, c'est à dire du nombre d'intégrateurs (termes en W ) présents dans la chaîne directe. Attention : ne pas confondre ordre et classe ! ! !.
5.3. PERFORMANCES STATIQUES DES SYSTEMES BOUCLES La précision d’un système est définie à partir de l’erreur ε entre la grandeur de consigne E et la grandeur de sortie S. Nous distinguerons la précision statique qui caractérise la limite de l’erreur au bout d’un temps infini pour une entrée donnée, c’est-a-dire le régime permanent, et la précision dynamique qui tient compte des caractéristiques d’évolution du processus en régime transitoire. 5.3.1. Erreur statique La précision statique du système est caractérisée par l’erreur en régime permanent en réponse à un échelon :
{[ lim { →[
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Cette erreur est appelée erreur statique (ou erreur de position). D’après le théorème de la valeur, on peut la calculer par :
{[ limO→9 WW
(5.4)
La précision d’un asservissement, en régime permanent, est définie par l’écart permanent ε(t) qui existe entre la sortie réelle et celle que l’on désire obtenir. Par définition, on dira qu’un système est d’autant plus précis que le signal d’erreur ε(t) est plus faible. L’idéal serait que l’on ait : ε(t) = 0, ∀ t En pratique, il en est autrement, car : •
La consigne peut varier : la recherche de la minimisation de ε(t), en décompte de ces variations, constitue un problème de suivi (ou de poursuite).
•
Un signal de perturbation aléatoire (exemple : un bruit) peut venir de superposer au signal utile en un point de la chaine : le maintien de ε(t), en décompte de la perturbation, constitue un problème de régulation
Considérons la classe des systèmes à retour canoniques définis par le schéma fonctionnel représente ci-contre.
La fonction de transfert en boucle ouverte de ce système peut s’écrire |W ∗ uW
©∗∏A =OZy ∏: =~OZO
Si on à a zéros et b pôles à l’origine |W ∗ uW
©∗O§ ∏A
0 µ 0,1
r= 9 µ O r> 9
2 /
∞ µ â 2
(5.12)
L’erreur en régime permanent d’un système à retour unité stable de type l, quand le signal d’entrée est une fonction parabole unité est lié à la constante d’erreur d’accélération par : ∞ lim⟶[ ©
§
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(5.13)
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Remarques importantes: Les constantes d’erreurs Kp, Kv, et Ka décrivent l’aptitude du système asservi à réduire ou éliminer l’erreur statique. Elles renseignent, par conséquent, sur les performances du système en régime permanent. Il est généralement préférable d’accroitre les constantes d’erreurs, tout en maintenant la réponse transitoire dans des proportions acceptables ; En effet, l’erreur statique, lorsqu’elle est finie et non nulle, décroit lorsque le gain en boucle ouverte croit. Mais cette croissance du gain peut détériorer la stabilité du système. Cette propriété est connue sous le nom de " Dilemme Stabilité – Précision ", qui nécessite souvent un compromis. Il est à noter également que pour améliorer les performances en régime statique, nous pouvons augmenter la classe du système en ajoutant un ou des intégrateur(s) dans la chaine directe du système. Ceci peut, cependant, engendrer des problèmes de stabilité supplémentaires.
5.3.1.4. Dualité stabilité-précision On peut facilement comprendre à partir d’un exemple que les notions de stabilité et de précision ne vont pas de pair. Ainsi, un système de classe 0 est d’autant plus précis en boucle fermée que son gain statique est grand. Or, une augmentation du gain de la boucle ouverte diminue la marge de phase. En effet, la courbe de gain dans le diagramme de Bode étant translatée vers le haut, la pulsation de coupure est translatée vers la droite et donc la marge de phase diminue. Autre exemple : si le système comporte une intégration les risques de le voir devenir instable sont plus grands, le système ayant, d’emblée, i. e. aux basses fréquences, une phase de -90 deg. C’est pour cela que l’on parle de dualité stabilité-précision.
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5.4. PERFORMANCES DYNAMIQUES DES SYSTEMES BOUCLES Dans la majorité des cas pratiques, les caractéristiques de performances désirées pour les asservissements sont exprimées relativement au temps. Les systèmes qui emmagasinent de l'énergie ne peuvent répondre instantanément et présentent des réponses transitoires a chaque fois qu'ils sont soumis a des entrées ou perturbations. Généralement, le comportement dynamique d'un système peut être entièrement caractérise par la réponse temporelle de ce système suite a une entrée échelon puisqu'elle est facile a générer. En général, la réponse (indicielle pour notre étude) transitoire laisse apparaître des oscillations amorties avant d'atteindre un régime permanent comme l’indique la figure suivante :
La réponse transitoire d'un système suite a une entrée échelon dépend des conditions initiales. Par commodité dans la comparaison des réponses transitoires de différents systèmes, il est plus pratique d'utiliser les conditions initiales standards (système au repos a l'instant initial et toutes les dérivées par rapport au temps sont nulles). Les caractéristiques des réponses peuvent alors être comparées. La réponse transitoire des systèmes asservis pratiques présente souvent des oscillations amorties avant d'atteindre le régime permanent. Les critères de performances, communément utilises pour la caractérisation des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel, sont définis comme suit : •
Temps de retard (time delay), td : il est défini comme étant le temps nécessaire pour que la reponse atteigne la moitie de sa valeur finale.
•
Temps de montée (rise time), tr : temps nécessaire a la réponse pour évoluer de 10 a 90%, de 5 a 95%, ou de 0 a 100% de sa valeur finale. Pour les systèmes du 2nd ordre peu
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amorti, le temps de montée de 0 a 100% est plus généralement utilise. Pour les systèmes º E c ¬¶á
très amortis, l'évolution de 10 a 90% est plus souvent choisie. \±
•
Temps de pic (peak time), tp : temps nécessaire pour atteindre le 1er pic de dépassement.
•
9 1 E á
\O
º
9 1 E á
Dépassement maximum, D : c'est la valeur du pic maximal de la réponse mesurée relativement a l'unité. Si la valeur finale du régime permanent diffère de l'unité, on utilise plus souvent le dépassement maximal exprime en pourcentage. Il est défini par : ø% 100 ∗
;Õξ
æ ;ξ>
L'importance de ce dépassement maximum (en %) est qu’il renseigne directement sur la relative stabilité du système. •
Temps de réponse ou d'établissement (settling time), ts : c'est le temps requis pour que la courbe de sortie atteigne et reste a l'intérieur d'une bande, exprimée en pourcentage 3 á9
(généralement 5%), relativement a sa valeur finale. F ·
Ces 5 grandeurs donnent une mesure directe de la caractéristique transitoire du système asservi relativement a sa réponse indicielle. Cela veut dire que le système doit être modifie jusqu'a ce que la réponse transitoire soit satisfaisante. Il est a noter que ses grandeurs ne sont pas toutes, nécessairement, applicables a n'importe quel système. Pour un système très amorti (non oscillant), tp et D ne sont pas définis. 5.5. SYSTEMES D'ORDRE SUPERIEUR du système, et plus particulièrement par la valeur et donc la position 9 et à déterminent la situation dans
Nous venons de voir que la forme de la réponse d'un système linéaire est déterminée par l'ordre
le plan complexe) de ses pôles.
Un système d'ordre élevé comporte un grand nombre de paramètres et étudier ses réponses temporelles (surtout si on l'écriture de la même manière que précédemment) peut se révéler fastidieux. L'objectif est de pouvoir déterminer le comportement d'un système en fonction de ses réponses temporelles tout en considérant un nombre restreint de paramètres (un système relativement simple). Un système d'ordre élevé comporte un grand nombre de pôles (réels ou complexes conjugués) et tous ne possèdent pas la même influence sur les réponses temporelles. Sur l'exemple ci-dessous on remarque qu'il
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n'y a plus de différence en régime permanent. Le résultat mis en évidence par cet exemple possède plusieurs conséquences : un système d'ordre élevé possède, la plupart du temps, 1 ou 2 pôles dominants et se comportent donc comme un système du premier ou du deuxième ordre. on peut simplifier la fonction de transfert d'un système d'ordre élevé en ne conservant que le (ou les) pôle(s) dominant(s) (approximation par un système du premier ou du deuxième ordre). en pratique, un pôle peut être négligé dès qu'il est 3 à 4 fois supérieur au précédent
Exemple : Système d'ordre 3 Considérons le système suivant : uW
ë
ë >>
ZOS Z U Z
Il possède 3 pôles réels en -1, -6 et -22 et sa réponse indicielle unitaire vaut : 1 E 1.257 expE 0.275 expE6 E 0.017exp E22 Au fur et à mesure que l'on avance dans le temps, ces termes « s'éteignent » les uns après les autres. En effet, le terme en exp(-22t) décroît très rapidement et devient très vite négligeable. Au contraire les termes correspondant aux pôles situés les plus proches de l'origine du plan complexe conservent plus longtemps leur influence sur l'allure de la réponse temporelle. Dans notre cas, -1 est le pôle lent et -6 et -22 sont les pôles rapides. On parle alors de pôle dominant pour le pôle -1. La forme de la réponse dépend essentiellement des pôles dominants. Les pôles les plus éloignés ne jouent que sur la forme du début du régime transitoire comme le montre la figure (où l'on a tracé les réponses indicielles des systèmes d'ordre 1 : ZO, d’ordre 2 :
ë
ZO Z
et H(p) :
Réponse indicielles et pôles dominants
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Ce qui est plus visible si on trace l'erreur entre les 3 systèmes :
Erreurs sur les réponses indicielles et pôles dominants
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Chapitre 6 : Stabilité des systèmes asservis linéaires 6.1 INTRODUCTION L’objectif de ce chapitre est de présenter les techniques d’analyse des systèmes linéaires et invariants dans le temps. Nous nous intéressons principalement aux techniques d’étude de la stabilité des systèmes linéaires est de celles des lieux des racines. Nous avons vu que la réponse transitoire d’un système asservi dont le modèle est décrit par des équations différentielles ordinaires (linéaires) avec coefficients constants est gouvernée par les racines de l’équation caractéristique. En particulier, si le système possède une ou plusieurs racines à partie réelle positive, la réponse correspondante augmente avec le temps le système set dit instable. Etant donné qu’un système asservi instable ne peut pas fonctionner de manière adéquate, la stabilité doit être considérée comme première spécification lors du design de ces systèmes. En règle générale, l’emplacement des pôles de l’équation caractéristique du système en boucle fermée caractérise la réponse dynamique et la stabilité. C’est aussi un moyen de caractériser la marge de stabilité d’un système donné. Le positionnement de ces pôles aux valeurs qui assurent les performances désirées fait souvent intervenir l’ajustement d’un ou plusieurs paramètres. La technique des lieux des racines permet de voir comment les pôles de l’équation caractéristique se comportent lorsqu’un paramètre varie. Le but consiste à concevoir un système asservi stable et précis. Nous voulons aussi que le système asservi soit insensible aux variations des paramètres du système. Nous voulons, pour un gain K, une constante de temps T et un Kr donnés, trouver les valeurs de Kp qui assurent au système en boucle fermée une . 6.2. STABILITE ET LIEU DES RACINES : Stabilité absolue et une très bonne précision. Pour répondre à ces questions, nous avons besoin de quelques méthodes appropriées. Ces méthodes font l’objet de ce chapitre. 6.2.1. Stabilité des systèmes linéaires Au cours de cette section, nous allons voir comment caractériser la stabilité des systèmes dynamiques linéaires à coefficients. pour cela, considérons le schéma-bloc de la figure, qui illustre la structure simplifiée d’un système asservi linéaire sans perturbation.
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Figure 6.1 : Structure de Commande
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Figure 6.2 : Domaine de stabilité
Les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée d’un tel système sont données \W |W ∗ uW
respectivement par les expressions suivantes : VW
O
ZO∗ÊO
(6.1)
O
ZO
(6.2)
La stabilité de ce système exige que les racines de l’équation caractéristique 1+T(p) =0, soient toutes à partie réelle négative. La figure 6.2 illustre le domaine de stabilité qui comprend tout le demi-plan gauche du plan complexe. Pour examiner la stabilité d’un système donné, on peut penser à chercher les racines de l’équation caractéristique, c’est-à-dire les pôles du système. Ensuite, après avoir examiné toutes les parties réelles des racines, on peut conclure sur la stabilité.
Exemple 1: Etude de la stabilité d’un système de second ordre Considérons par exemple le système linéaire tel que représenté à la figure 6.1 avec |W O> ZÄ∗OZÄ et H(p)=1
L’équation caractéristique correspondante est :
1 \W W 5 ∗ W 6 0
Cette équation est un polynôme du 2eme ordre dont les deux racines sont -2et-3. C’est-à-dire (p + 2)(p + 3)=0 . les deux raciner sont toutes à partie réelle négative et, par conséquent, on peut dire que le système en question est bien stable. Une telle technique n’est utilisable que lorsque le degré de l’équation caractéristique est faible, c’est-à-dire d’ordre inférieur ou égal à 3 ; plus l’ordre de l’équation caractéristique augmente et plus la méthode ne devient lourde et presque impossible sans moyen de calcul.
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D’autres techniques s’imposent alors pour contourner la résolution de l’équation caractéristique. Quelque méthodes ont été développées pour répondre à ce besoin, parmi lesquelles on trouve : Le critère algébrique de Routh-Hurwitz et le critère géométrique de Nyquist. Le critère géométrique de Nyquist est lié à la réponse en fréquence. 6.2.2. Critère algébrique de Routh-Hurwitz Ce critère nous renseigne principalement sur le nombre de racines de l’équation caractérisation du système qui ont une partie réelle positive. Ce nombre est égal au nombre de changement de signe dans la première colonne du tableau de Routh-Hurwitz. Le principe de ce critère consiste à :
Remplir le tableur de Routh-Hurwitz ;
Voir le nombre de changement de signe de la première colonne d’une ligne à une autre de ce tableau ;
Conclure sur la stabilité en se basant sur la première colonne.
Soit un système linéaire possédant l’équation caractéristique suivante : 1 \W W ; W; ; W; ⋯ W 9 0 Avec â 0
(6.3)
Ceci est la forme générale d’une équation caractéristique se traduisant par un polynôme de degré n à coefficients réels constants. Ce polynôme possède n racines, qui peuvent être soit réelles, soit complexes. L’étude de stabilité de ce système requiert la connaissance de ces n racines .Mais le critère de Routh-Hurwitz est une technique d’étude de stabilité qui ne nécessite pas la connaissance de ces racines, et qui consiste principalement à remplir le tableau (6.1) en utilisant seulement les coefficients du polynôme caractéristique du système. pn pn-1 pn-2 pn-3 pn-4 Pn
an an-2 an-4 ……. an-1 an-3 an-5 ……. b1 b2 b3 ……. c1 c2 c3 ……. d1 d2 d3 ……. . . . . . . . . Tableau 6.1 : Tableau de Routh-Hurwitz
Les termes bk, k = 1, 2, ….., dans ce tableau sont calculés comme suit :
+ E GUERGAZI Aicha
4
4;+
4;. 4;
4;+
4;+ 4;. E 4 4; 4;+
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. E . . . E
4
4
4;+
4;+
4; 4;
4;+
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4;+ 4; E 4 4; 4;+
4;.
4;+ 4;. E 4 4; .Z+ 4;.Z+ 4;+ 4;+
Les termes ck, k = 1, 2,…, se calculent à partir des termes bk comme suit :
+ E . E
. . . E
4;+ +
4;+
+ 4;+
+
+ +
4; .
4;
+ 4; E 4;+ . + + 4; E 4;+ +
4;.Z+ + 4;.Z+ E 4;+ Z+ Z+ + +
Routh a démontré que le nombre de " pôles instables " (c'est-à-dire le nombre de pôles à partie réelle positive) de la fonction de transfert en boucle fermée est égal au nombre de changement de signe que comporte la 1ère colonne, lue de haut en bas. Si ce nombre est différent de zéro, alors le système est instable. Remarques : Cette méthode a l'avantage d'être rapide est exacte, mais elle ne donne pas une mesure de la stabilité comme les autres critères ; car elle se borne à dire si le système est stable ou non. De plus, elle est inapplicable si on ne connaît pas l'expression mathématique de la fonction de transfert. Le critère de Routh est intéressant pour connaître le nombre de racines réelles positives, mais il est incapable de donner des renseignements sur l'amortissement du système quand celui-ci est stable.
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La méthode est cependant en défaut dans les 2 cas suivants : -
Si tous les coefficients d'une ligne sont nuls.
-
Si un terme de la 1ere colonne de gauche est nul a l'exclusion des autres termes de la même ligne.
Exemple 2 On cherche la stabilité du système linéaire dont l’équation caractéristique est donnée par : S3 + 6s2 + 12s + 8 = 0 Ce système représente l’asservissement de position d’un moteur à courant continu qui entraine une charge donnée. Le tableau de Routh-Hurwitz correspondant est donné par : WÃ W W W9
1 6 72 E 8 6
12 8 0
8
La première colonne associée est : 1 6 32 3 8 Le nombre de changement de signe dans la première colonne est égal à 0. Par conséquent, le nombre de racines à partie réelle positive de l’équation caractéristique est nul. II en résulte que toutes les racines du système en boucle fermée sont à partie réelle négative. Le système est stable. Les racines obtenues sont p1,2 = - 2.00001= j0.00002 et p3 = - 1.99998. ce qui confirme que le système est bien stable. Exemple 3 Etudions la stabilité du système dont l’équation caractéristique est : p3 + 3p2 + 3p + 11 = 0 Cette équation caractéristique correspond à l’asservissement de l’orientation d’un satellite. Le tableau de Routh-Hurwitz associé à cette équation caractéristique est :
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WÃ W W W9
1 3 E2 3 11
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2 11 0 0
La première colonne de ce tableau est : 1 3 E2 3 11
On constate qu’il y a deux changements de signe, ce qui correspond à l’existence de deux racines à parties réelles positives. Le système est instable. On obtient comme pôles S1,2 = 0.077 + j 1.87 et S3 = - 3.15 Ce qui confirme le résultat précédent. Exemple 4 Dans cet exemple, nous allons voir que le critère de Routh-Hurwitz peut être utilisé pour choisir la plage de variation des paramètres du système asservi. Nous cherchons dans cet exemple à déterminer les conditions que doit vérifier le gain Kp du correcteur proportionnel utilisé pour que le système en boucle fermée soit stable. Le système en boucle ouverte est stable car ses trois racines – 200,-62.5,0 sont toutes situées dans le demi-plan gauche du plan complexe. La présence du pole à l’origine place le système en boucle ouverte à la frontière de stabilité. L’équation caractéristique de ce système est donnée par l’expression suivante : WÃ 262.5W 12500W 250ÂO 0
1 12500 262.5 250ÂO 0 0
Et le tableau de Routh-Hurwitz s’écrit : WÃ W W
W9
Où
Ä99Ä.Ä;Ä9÷ë .Ä
et 250ÂO
D’après le critère de Routh-Hurwitz, la stabilité de ce système exige qu’il n’y ait pas de changement de signe dans la première colonne. Ceci correspond aux conditions suivantes : b1 > 0 c1 > 0 GUERGAZI Aicha
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la seconde condition (c1 > 0) donne kp > 0 . par contre, la première condition (b1 > 0) peut s’écrire comme suit :
Ce qui correspond à :
12500262.5 E 250ÂO â0 262.5 12500262.5 E 250ÂO â 0
12500262.5 13125 250
Finalement, on obtient la condition suivante : ÂO Ý
Pour avoir alors la stabilité du système, il faut choisir le paramètre kp de manière à satisfaire la condition suivante :
0 Ý ÂO Ý 13125
Les racines obtenues sont p1 = - 200.89, p2 = - 59.51 et p3 = - 2.09. Ainsi, le système est bien stable. Exemple 5: système à deux paramètres variables Considérons maintenant la commande d’un système de deuxième ordre par un correcteur PI.
WÃ 2W + (5 +5ÂO W 5ÂÐ 0
L’équation caractéristique de ce système est donnée par :
Le tableau de Routh-Hurwitz associé s’écrit : WÃ W W W9
1 2 10 10ÂO E 5ÂÐ 2 5ÂÐ
5+5ÂO 5KÐ 0 0
Pour que le système en boucle fermée soit stable, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées :
5ÂÐ â 0
10 10ÂO E 5ÂÐ â0 2
Ces deux conditions sont équivalentes aux suivantes : ÂÐ â 0
ÂÐ E 2ÂO Ý 2
Les racines obtenues sont p1,2= - 0.73 = j2.95 et p3 = - 0.54 . ce qui confirme le résultat. GUERGAZI Aicha
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6.3. LIMITES DE LA METHODE DE ROUTH-HURWITZ Le critère de Routh-Hurwith est un critère qui a certaines limites, parmi lesquelles on peut citer : 1. Le critère algébrique est valable uniquement quand le polynôme traduisant l’équation caractéristique est à coefficients réels constants. 2. Le critère est non valable pour les systèmes avec retard, c’est-à-dire des systèmes de la forme : VW ;O
O O
3. Le critère cesse d’être applicable lorsque le pivot est égal à zéro. 4. Le critère cesse d’être applicable lorsque tous les termes d’une ligne sont nuls. Les limites énoncées ci-dessus constituent des cas particuliers que nous étudierons dans le cas des exemples suivants : Exemple 6: un zéro sur la première colonne. Etudions la stabilité du système dont l’équation caractéristique est : p4 + 2p2 + p + 4 =0 Le tableau de Routh-Hurwitz est donné par : WÖ WÃ W
1 0 9;
9
2 4 1 0
∞ 0
Si le premier élément de la ligne est nul, la ligne suivante ne pourra pas être calculée car il y aurait une division par zéro. Pour éviter cela. Trois techniques peuvent être utilisées pour résoudre la question.
Remplacer la variable p par (1/x) dans l’équation caractéristique. Suite à cette transformation, on obtient une nouvelle équation qui est la nouvelle équation caractéristique qui sert de base au critère de Routh-Hurwitz .
Remplacer le zéro à la première colonne par un ε>0 (suffisamment petit) pour appliquer la règle. pour trouver le changement de signe dans la première colonne, on procède par passage à la limite, c’est-à-dire qu’on fait tendre ε vers 0.
Multiplier l’équation caractéristique initiale par (p + ε) , ε > 0 (ε doit être petit ; par exemple ε = 1 ). La nouvelle équation sert de base au critère.
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Si nous appliquons la troisième méthode à l’exemple précédent, nous obtenons : W 1WÖ 2W W 4 WÄ WÖ 2WÃ 3W 5W 4 0
Cette nouvelle équation caractéristique donne le tableau de Routh-Hurwitz suivant :
WÄ WÖ WÃ W
W
W9
1 1 2E3 1 -1 E3 E 1 E1 4 1 2 1
2 3 5E4 1 1 4 4 1 0
5 4 0 0
(division par 4)
Comme il y a des changements de signe dans la première colonne, le système est bien Les racines obtenues sont p1,2= 0.72å1.37 et p3,4 = E0.72å1.08 et p5=-1.0 . instable.
En appliquant la première méthode au même exemple précédent, on remplace par (1/x) dans l’équation caractéristique, et on obtient la nouvelle équation de base suivante. 1 Ö 1 1 1 2 1 í î 2í î í î 4 Ö 4 0
En multipliant cette équation par Ö , on obtient :
1 2 Ã 4 Ö 0
De cette équation, on déduit le tableau de Routh-Hurwitz suivant : WÖ WÃ W W
W9
4 1 E1 2 -1 1
2 0 0
1 0
0
En examinant la première colonne, on constate qu’il y a deux changements de signe, donc le Les racines obtenues sont p1,2= E0.43å0.64 et p3,4 = 0.30 å 0.57 . système considéré est instable.
Par les deux méthodes, on constate que deux racines du système sont à partie réelle positive, ce qui confirme que le système est bien instable.
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Exemple 7 Dans cet exemple, on étudie la stabilité du système linéaire dont l’équation caractéristique est donnée par :
WÖ 2 WÃ 4 W 8W 10 0
En appliquant la deuxième méthode, on obtient : 1 WÖ Ã 2 W { W
B1 W C1 W9 Avec B
ε;9 ε
4 8 10 B2=0
10 0
, B 0 et C 10
En procédant par le passage à la limite, on obtient :
8ε E 20 E20 E∞ →9 ε 0
B lim
En examinant la première colonne, on constate qu’il y’a deux changements de signe, donc le système est bien instable. Les racines obtenues sont p1,2= E0.42å1.86 et p3,4 = E1.42 å 0.86 . on constate que deux racines sont à partie réelle positive, ce qui confirme que le système est bien instable.
Comme deuxième limite du critère de Routh Hurwitz, considérons le cas ou tous les termes d’une ligne donnée sont nuls. La méthode que l’on peut utiliser pour contourner ce problème consiste à former une équation auxiliaire à partir de la ligne précédente (juste au dessus de la lige à zéros), dont la dérivée remplace la ligne qui a tous ses termes nuls. Ceci est illustré par le tableau suivant : i
x
x
x
x
(équation auxiliaire)
i+1
0
0
0
0
(dérivée de l’équation auxiliaire par rapport à p)
Ou toutes les composantes de la (i+1)e ligne sont nulles. L’équation auxiliaire dans ce cas sera formée à partir de la ie ligne. Les coefficients de la dérivée de cette équation vont remplacer les zéros de la (i+1)e ligne. Exemple 8 Etudions la stabilité du système linéaire dont l’équation caractéristique est donnée par : Ã 3 + 4s +12 = 0
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Le tableau de Routh-Hurwitz associé est donné par :
1 4 WÃ 3 12 W e
W 0 0 Ligne qui répond au 2 cas W9 Ce tableau possède une ligne ou tous les termes sont nuls. Le critère ne s’applique pas. Nous devons alors former l’équation auxiliaire correspondante, qui s’écrit :
WÃ W W
W9
1 4 3 12 6 0 12
3W 12 0
La dérivée de cette équation est 6p. Le tableau est :
En examinant la première colonne, on constate qu’il n y’a pas de changements de signe, donc le système est stable. Les racines obtenues sont p1= E-3 et p2 = E2 et p3 = 2 on constate qu’il n’ya pas de racines à partie réelle positive, ce qui confirme que le système est bien à la limite de la stabilité.
6.4. STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES AVEC RETARD PUR Il existe des systèmes dont la réponse à une excitation donnée prend du temps pour se manifester. De tels systèmes s’appellent des systèmes avec retard. Pour étudier la stabilité de ces systèmes linéaires comprenant un retard, on utilise l’une des approximations suivantes : 1. Développement en série de Taylor de *;τ W Ã WÃ ;O 1 E W E ⋯ 2! 3! Qu’on arrête par exemple à : W ;O 1 E W 2! 2. Deuxième possibilité d’approximation de *;τ 1 ;O W 1 W 2! 3. Troisième possibilité : consiste à utiliser l’approximation de Padé de *;τ W 1E 2 ;O W 1 2 Evidement, par ces méthodes, nous faisons une approximation de la stabilité.
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Exemple 9 : Commande d’un système avec retard pur La fonction de transfert du système commandé est donnée par ;τO donnée par KO ;O |W WW 2W 2 En utilisant l’approximation de *;τ donnée par :
;O = 1 –τp +
> O> !
;OZ> O>
L’équation caractéristique du système en boucle fermée s’écrit 1 \W 2WÃ ~4 ÂO W ~4 E 2ÂO W 2ÂO
En supposant que ÂO â 0 et que4 E 2ÂO â 0, c’est-à-dire ÂO ∈ l0, n le tableau de Routh
associé est :
Ou
WÃ 2 W 4 ÂO W
W9 2ÂO
4 E 2ÂW 2ÂO
~ÖZ÷ë > Ö;÷O ;Ö÷ë ÖZ÷ë >
â 0 ÂO â 0
La stabilité exige que :
Ces relations traduisent le domaine de stabilité
Exemple 10 En utilisant cette fois ci l’approximation de Padé ;τO de donnée par : W 1E 2 ;O W 1 2 L’équation caractéristique du système en boucle fermée s’écrit :
1 \W WÖ 1 WÃ 2 W S2 E
En supposant que ÂO â 0 et que 2 E est :
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֑
֑
U W ÂO =0
â 0, c’est-à-dire ÂO ∈ l0, n, le tableau de Routh associé Ö
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WÖ WÃ W W
W9 Ou
ZZ; ; ֑ >
Z
x= ; ֑ ֑ Z >
x=
>
,
1
2
2 E ÂO
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ÂO
0
ÂO ,
,
La stabilité exige que : â 0, â 0, et â 0, ces relation traduisent le domaine de stabilité.
6.5. CRITERE DE HURWITZ
Pour appliquer ce critère, il faut d'abord construire une matrice carrée de dimension n. Elle contient les coefficients du polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dans la diagonale principale. Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs à la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant.
Le système linéaire d'ordre n est stable si les n déterminants contenant le premier terme de la matrice de Hurwitz sont positifs. Si on calcule explicitement les déterminants jusqu'à l'ordre 4, on retrouve les conditions de stabilité.
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On constate que ces critères ne donnent qu'une réponse binaire: stable ou instable, mais pas d'information sur la qualité de la stabilité, contrairement aux critères décrits aux sections suivantes. Dans une situation où on dispose sur ordinateur d'outils mathématiques performants pour le calcul des racines de polynômes ou les tracés de réponse harmonique, ces critères algébriques, dont la mise en œuvre augmente rapidement en volume de calcul avec l'ordre du système, ont perdu considérablement de leur actualité au profit de critères, donnant des réponses plus complètes.
Nous venons de présenter un critère algébrique simple qui permet d’analyser la stabilité des systèmes linéaires invariants. En notant bien que : Le critère renseigné sur l’effectif des racines à partie réelle positive ; Le critère ne donne aucune information sur le degré de stabilité ; Le critère ne donne aucune information sur la façon de stabiliser un système instable.
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Chapitre 7 : Analyse des systèmes asservis à temps continu et Stabilité de Nyquist 7.1. INTRODUCTION L’analyse de Nyquist, méthode ayant trait (portée) à la réponse fréquentielle consiste essentiellement en un procédé graphique de détermination de la stabilité absolue et relative des systèmes de commande en boucle fermée. Il y a plusieurs raisons pour choisir la méthode de Nyquist pour accueillir des renseignements sur la stabilité d’un système. • La méthode de Routh et Hurwitz, ne conviennent souvent pas parce que, à quelques exceptions près, on ne peut les employer que pour établir la stabilité • On ne peut les appliquer qu’a des systèmes dont l’équation caractéristique est un polynôme fini en P (exemple : signal est retardé de T) en cherche l’approximation. La méthode de Nyquist s’applique à des systèmes de retards de parcours sans qu’on ait besoin de faire des approximations, et par conséquent donne des résultats exacts sur la stabilité…. 7.2. CRIT`ERE DE NYQUIST Le critère de Nyquist est un critère fondamental à la base de diverses variantes pour l’analyse de stabilité. Son application est basée sur le tracé dans le diagramme de Nyquist du lieu de la réponse harmonique en boucle ouverte. Pour déterminer le lieu il faut tout d’abord définir le contour de Nyquist CN. Il s’agit d’une courbe du plan complexe comprenant l’axe des imaginaires et dont les extrémités sont reliées à l’infini par un demi-cercle centré à l’origine et situé dans le demi-plan droit (voir figure 7.1). Le contour est orienté selon le sens antitrigonométrique, c’est-`a-dire selon les ω croissants sur l’axe imaginaire. Si la FTBO possède des pôles sur l’axe imaginaire, le contour doit ˆêtre modifié´e de façon à les exclure. La figure le cas ou le système possède une paire de pôles complexes conjugués en å . Quand un point 7.1 donne une illustration de ce que peut ˆêtre le contour de Nyquist dans le cas général et dans
d’affixe W parcourt le contour de Nyquist, la FTBO du système parcourt le lieu de
Nyquist complet N. Ce lieu est symétrique par rapport à l’axe réel et l’on peut se contenter de calculer d’abord la partie correspondant aux points du contour de Nyquist à partie imaginaire positive. On rend ensuite symétrique le lieu par rapport à l’axe réel. Le tracé du lieu de Nyquist permet de déterminer la stabilité du système en boucle fermée en examinant la façon dont le lieu de Nyquist entoure le point critique, d’affixe -1.
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7.2.1. Théorème : Critère de Nyquist. L’intérêt du critère de Nyquist, c’est de déterminer le nombre de pôles à partie réelle positive de la fonction de transfert en boucle fermée, sans avoir à les calculer, car ce n’est pas toujours possible. En effet, alors qu’il est souvent assez simple d’identifier la fonction de transfert en boucle ouverte, il est plus délicat de connaître la fonction de transfert en boucle fermée. 7.2.2. Courbes en polaires On peut représenter une fonction de transfert F(p) dans le domaine des fréquences sous la forme d’une fonction de transfert sinusoïdale, en remplaçant p par (j ω) dans l’expression de F(p). la forme qui en résulte F(j ω) est une fonction complexe de la seule variable ω. Ainsi on peut en faire le graphique à deux dimensions en prenant ω comme paramètre et l’écrire sous l’une des deux formes équivalentes suivantes : Fjω |Fjω| фω
Forme polaire :
Fjω |Fjω|cosфω jsinфω Forme d’Euler :
|Fjω|Est le module de la fonction complexe F(j ) фω est son angle de phase, ArgF(jω) |Fjω|cosфω est la partie réelle et |Fjω|sinфω est la partie imaginaires de F(j 7.3. LE CONTOUR D’EXCLUSION DE NYQUIST Le contour d’exclusion de Nyquist est un contour fermé du plan de p qui enferme complètement le demi plan droit du plan de p (DPD) Le diagramme de Nyquist est l'image par H(p) du contour fermé appelé contour d'exclusion de Nyquist. Ce contour entoure tous les pôles et zéros de H(p) à partie réelle strictement positive. SiH(p) a des pôles nuls ou imaginaires purs, le contour d'exclusion les évite par des demi-cercles de rayon ε→0. On représente le contour d’exclusion de Nyquist généralisé par le contour du plan des p.
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Figure 7.1 – Contour de Nyquist
On voit que tous les pôles et les zéros de H(p) situés dans le DPD sont enfermés par le contour d’exclusion de Nyquist quand on l’applique dans le plan de H(p). On peut décrire analytiquement les différentes portions du contour d’exclusion de Nyquist de la manière suivante : Chemin ab : p=jω
0ÝωÝ ω9
Chemin cd :
W lim#→9 ω9 $ % )
Chemin fg :
p=jω
Chemin hi :
p=jω
Chemin bc :
p=jω
ω9 ÝωÝ ∞
Chemin def :W limM→[ %
E∞ ÝωÝ Eω9
Chemin gh : W lim#→9 E ω9 $ % )
Eω9 ÝωÝ 0
Chemin ija : W lim#→9 $ % )
-90° & ' & 90°
+90° &θ & E90°
-90° & ' & 90°
-90° & ' & 90°
7.4. DIAGRAMME DE STABILITE DE NYQUIST Le diagramme de stabilité de Nyquist est une application du contour d’exclusion de Nyquist en entier dans le plan de H(p). On le construit en utilisant les propriétés des équations précédentes. La relation : Z=P–N donne le nombre Z de zéros instables de l'équation caractéristique1 + FTBO(p) = 0 et donc de pôles instables de la FTBF(p), avec : •
P : Nombre de pôles instables de la FTBO(p),
•
N : Nombre de tours que fait le lieu complet de Nyquist ( ω variant de –∞ à +∞ ) autour du point critique (–1,0) dans le sens trigonométrique ( sens anti-horaire ).
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En particulier, le système asservi est stable, à condition que : Z = 0 → P = N On notera P et Z les nombres respectifs de pôles et de zéros.
Ainsi, le système est stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist complet fait P tours autour du point critique. En pratique, on retiendra les étapes suivantes pour appliquer le critère de Nyquist :
•
Etudier la stabilité de la FTBO →
•
Calculer le nombre de tours (comptes algébriquement dans le sens trigonométrique), soit N, que
•
P: nombre de pôles instables de la FTBO.
Tracer le lieu de Nyquist complet de la FTBO (ω variant de –∞ à +∞).
fait le lieu complet de Nyquist (ω variant de –∞ à +∞), autour du point critique (-1,0). •
En déduire Z = P – N = nombre de poles instables de la FTBF.
1 Système stable 2 Système en limite de stabilité 3 Système instable Exemple :
Soit un système asservi a retour unitaire dont la FTBO est : G(p) =|W ;∗O \ â 0 )
Discutons sa stabilité suivant les valeurs de K.
K>0 • La FTBO(p) a un pole instable p = +1/T. →P= 1 • Le nombre de tours autour du point (-1,0) est : →N = 0 Z=P–N=10 1 pole instable de la FTBF →Systeme instable en boucle fermee. → Ce système est instable en boucle ouverte et instable en boucle fermée
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K © O>
(8.19)
Ainsi, le lieu des racines quitte le point d’intersection trouvé lorsque la dérivée seconde de K par rapport à p, évaluée au point considéré, est négative. Dans le cas contraire, le lieu des racines arrive en ce point. Règle 8 : Intersection avec l’axe imaginaire Si l’équation caractéristique possède des racines à partie imaginaire pure, les coefficients des lignes p1 et p0 dans le tableau de Routh-Hurwitz sont tous nuls. Deux méthodes sont possibles pour déterminer l’intersection avec l’axe imaginaire : La première méthode : les parties réelle D et imaginairek? . On résoudre ensuite :
La première méthode consiste à remplacer p par jω dans l’équation caractéristique puis à isoler D 0
Ce qui donne ω
k? =0
La seconde méthode : La première méthode consiste à appliquer le critère de Routh-Hurwitz en considérant l’équation caractéristique puis à annuler les termes correspondant à p1 et p0 dans le tableau de Routh. Ceci nous donne la valeur de gain K et la ligne p2 dans le tableau de Routh et nous donne les valeurs des pôles recherchés. 8.3. CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons introduit la technique du lieu d'Evans pour les systèmes asservis linéaires. Cette technique constitue une méthode graphique d'investigation des racines de l'équation caractéristique des systèmes linéaires lorsqu’un ou plusieurs paramètres varient. Au cours du prochain chapitre consacre a la correction des systèmes asservis, cette méthode sera largement utilisée.
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Exemple
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Soit à déterminer le lieu des racines du système dont la ܱܤܶܨW OOZOZÄ ©
•
Points de départ du lieu = pôles de la FTPO :
•
Points d’arrivée du lieu = zéros de la FTBO :
•
Nombre de branches asymptotiques = n-m=3
•
Direction asymptotiques
•
å 9° ∗Z ;?
p=0, p=-2, p=-5 → ¶ 3 aucun
→0
(l=0,1,2,…)
å 9° ∗Z Ã
60° , E60° , 180°
(l=0,1,2,…) (l=0,1,2,…)
∑ W¬µ V\s