Asserv Analyse Fréquentiel 16 17 [PDF]

Zitiervorschau

Ch. 4

Analyse harmonique des systèmes Objectifs  

acquérir la méthodologie d’étude des réponses fréquentielles d’un système déterminer et caractériser les diagrammes de Bode d’un système du premier et deuxième ordre.

1.

GENERALITES SUR LES ETUDES HARMONIQUES

1 Généralités L’étude harmonique consiste à étudier le comportement d’un système soumis à une entrée sinusoïdale. Dans le cas où le système est stable, on peut montrer que la réponse en régime permanent est sinusoïdale :

 que l’entrée - d’amplitude s0 qui dépend de  . - avec un déphasage  qui dépend de  . - de même pulsation

e(t) = eo sin(ωt)

s(t) = so(ω).sin(ωt +φ(ω) )

e0 s0

T  2 /  s(t) = so(ω).sin(ωt +φ(ω) )

e(t )  e0 . sin(.t )

On appelle le gain du système le rapport :

2 Réponse à une entrée sinusoïdale La réponse à une entrée sinusoïdale connue

sera définie si on peut calculer so et φ.

Soit l’équation différentielle liant l’entrée et la sortie d’un SLCI :

à l’entrée sinusoïdale

On cherche la réponse Posons

et

en régime permanent.

: e(t) et s(t) représentent les parties imaginaires de

et

.

L’équation différentielle devient alors :

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D’où : est la réponse harmonique du système. Le gain du système, rapport entre les amplitudes d’entrée et de sortie, est donné par le module de

Le déphasage , entre l’entrée et la sortie est l’argument de

:

:

3 Méthodologie d’étude. Connaissant la fonction de transfert H(p) du système étudié, il suffit de remplacer p par jω, et de calculer le module et l’argument de H(jω). On représente l’évolution du gain et de l’argument en fonction de ω sur différents types de diagrammes.

4 Diagrammes de Bode La représentation de Bode se décompose en deux diagrammes utilisant des repères semilogarithmiques :  le diagramme de gain qui représente son module exprimé en décibels (dB) en fonction de la pulsation

 le diagramme de phase qui représente sa phase exprimée en degrés en fonction de la pulsation :

Rappel sur l’échelle logarithmique : Dans une graduation logarithmique, il y a autant de distance entre 1 et 2 qu'entre 2 et 4 et 20 et 40. L'intervalle entre deux points dont le rapport est égal à 2 est appelé une octave. Il y a aussi autant de distance entre 1 et 10 qu'entre 10 et 100. L'intervalle entre deux points dont le rapport est égal à 10 est appelé une décade. Intérêt : L’échelle logarithmique permet de réunir sur un même diagramme des pulsations très petites et très grandes.

Remarque : Le 0 n'apparaît jamais, il est rejeté à l'infini à gauche

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Interprétation d’un diagramme de Bode :

Propriétés : 

La multiplication de deux fonctions de transfert : correspond à une addition dans un diagramme de Bode :



La division de deux fonctions de transfert : correspond à une soustraction dans un diagramme de Bode :

5 Diagramme de Black-Nichols ω=0 D’autres représentations du gain et de la phase en fonction de ω sont possibles. Une autre connue est celle de Black-Nichols.

On représente le module

ω1

de

en décibels en fonction de la phase exprimée en degrés, et on gradue la courbe en . Certains points sont complétés par la pulsation correspondante.

ω=

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2. APPLICATION AUX SYSTEMES DU 1er ORDRE

La fonction de transfert d’un système du premier ordre a la forme canonique suivante :

H ( p) 

K 1 .p

En remplaçant p par jω, il vient :

H ( j. ) 

  K GdB ( )  20.log   2 2  1   . 

D’où

et

K 1  j..

   arctan(. )

Propriétés du gain :  quand   0 , H ( j. )  K donc GdB (  0)  20.log  K  ,  quand  pour

   , H ( j. ) 



1 , .  1 , le gain réel du système vaut GdB (1/  )  20.log  K   20.log 

Propriétés de la phase : - quand   0 , 

-

K donc GdB ( )  20.log  K   20.log   , soit une pente de -20dB/décade, j..

 0 , quand    ,   90 (   / 2) , 1 pour   ,   45 (   / 4) .



c 

1 

 2   20.log  K   3dB .

est la pulsation de cassure, elle

correspond au point de rencontre des deux asymptotes du diagramme de Gain.

ω

ω 0°

-90°

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3. APPLICATION AUX SYSTEMES DU 2eme ORDRE La fonction de transfert d’un système du deuxième ordre a la forme canonique suivante :

H ( p) 

p  j 

K 2z p2 1 p 2

0

K

H ( j )  (1 

0

 2 z )  j 2 0 0 2

et

On en déduit, après calcul :

GdB  20.log

K 2

     1  2    2.z.  0   0   2

Propriétés du gain :  quand   0 ,  

2

     2z    0   arctan   pour   0 , 2      1        0            2 z    0     pour   0 .    arctan  2         1        0    

et

H ( )  K donc GdB ( )  20.log  K  ,

 GdB ( )  20.log  K   40.log   , soit une pente de -40dB/décade,  0  pour   0 , le gain réel du système vaut GdB (0 )  20.log  K   20.log  2 z  , quand

   , H ( )  K

0 2 2

donc

Propriétés de la phase :  quand   0 ,  ( )  0 ,  

   ,  ( )  180 (  ) , pour   0 ,  ( )  90 (  / 2) . quand

Propriétés des asymptotes :  les asymptotes se croisent en

  0

0°

Dans tous les cas, on aura les asymptotes suivantes →

-180°

On trouve ensuite différentes formes de courbes en fonction du coefficient d’amortissement.

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Diagramme de Bode dans le cas où z < 1 Deux types de courbes peuvent apparaitre :

z

ω 0

z

z

ω

z

Cas où

:

La courbe de gain est toujours au dessous des asymptotes, et toujours décroissante.

Cas où

: Résonance

La courbe de gain est toujours au dessus des asymptotes. La courbe de gain présente un maximum qui peut être déterminé à l’aide du facteur de surtension :

Cette valeur maximale se trouve à la pulsation

R , pulsation de résonance, telle que

  R  0 . 1  2.z 2

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dG ( R )  0 , soit pour : d

.

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K

Diagramme de Bode dans le cas où z ≥ 1 1

La fonction de transfert présente 2 pôles réels p1 et p2, distincts ou confondus.

2.z

0

.p 

1

0 2

. p2

er

Le système peut alors être considéré comme le produit de deux systèmes de 1 ordre de constantes de temps T1 



1 1 et T2   : p1 p2

Le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés du gain et des phases des deux systèmes du premier ordre construits séparément dans un premier temps.

K 1  T1. j

ω 0

Pour



1 1  T2 . j

1 la courbe de phase T1.T2

passe toujours par – 90°.

Remarque : dans le cas ou z=1, la fonction de transfert se met sous la forme

et on procède de la même

manière.

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4. ANALYSE DE LA STABILITE D’UN SYSTEME Propriété : Un système bouclé sera stable si, pour un déphasage de 180°, le gain G de sa FTBO est inférieur à 1.

Marge de gain :

FTBO

Marge de phase :

FTBO

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Synthèse sur les diagrammes asymptotiques

Synthèse sur les comportements temporels et fréquentiels du 2 ème ordre s(t)

s(t) S0

S0

COMPORTEMENT TEMPOREL

t

t

0

2 /2

Non résonant

G

G

G

COMPORTEMENT FREQUENTIEL

KdB

m z

1

Résonant

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Non oscillant amorti

Oscillant amorti

INSTABLE



KdB

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

KdB



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Tracé diagramme de Bode : méthode analytique Soit un système dont la Fonction de Transfert est :   

Tracer les diagrammes de Bode de ce système. En déduire la pulsation pour laquelle les amplitudes d’entrée et de sortie sont identiques. En déduire la pulsation pour laquelle le déphasage sortie/entrée est minimum.

Réponse :

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