Correction td4 PDF [PDF]

Zitiervorschau

Myriam Maumy-Bertrand

M2 Statistique - M2 Actuariat - Sondage - 2012/2013

T. D. no 4 Sondage stratifié Corrigé Exercice 1. Correction. D’après le livre « Les techniques de sondage » de P. Ardilly.. Cet exercice a été corrigé en cours. Exercice 2. Correction. Probabilité d’inclusion. Cet exercice a été corrigé en cours. Exercice 3. Correction. D’après le livre « Exercices de sondage » de A.M. Dussaix et de J.M. Grosbras. 1. Le poids moyen d’un éléphant de la population vaut
1 Y = N1 Y 1 + N2 Y 2 N 1 = (60 × 6 + 40 × 4) 100 360 + 160 = = 5, 2. 100 Les variances non corrigées sont N1 − 1 2 σy21 = S y1 N1 60 − 1 ×4 = 60 = 3, 9333, N2 − 1 2 Sy2 N2 40 − 1 × 2, 25 = 40 = 2, 19375.

σy22 =

Nous pouvons maintenant calculer la variance totale (équation dite « analyse de la variance »).

2
2  1  1 σy2 = N1 σy21 + N2 σy22 + N1 Y − Y1 + N2 Y − Y2 N N 1 = (60 × 3, 9333 + 40 × 2, 19375) 100
1 + 60 × (6 − 5, 2)2 + 40 × (4 − 5, 2)2 100 = 4, 1975. 1

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Donc N σ2 N −1 y 100 = × 4, 1975 100 − 1 = 4, 2399.

Sy2 =

2. La variance de l’estimateur du poids total du troupeau dans le cas d’un plan simple sans remise est donc h i N (N − n) 2 Sy Var Yˆπ = n 100 × 90 = × 4, 2399 10 = 3815, 91. 3. La variance de l’estimateur de total s’obtient 2 h i N −nX 2 Var Yˆπ = Nh Syh n h=1 100 − 10 × (60 × 4 + 40 × 2, 25) 10 = 2970.

=

4. Si nous utilisons une allocation optimale, nous obtenons √ N1 Sy1 = 60 × 4 = 120 et p N2 Sy2 = 40 × 2, 25 = 60. Les tailles des échantillons au sein des strates sont nN1 Sy1 10 × 120 n1 = = = 6, 66667, N1 Sy1 + N2 Sy2 120 + 60 et nN2 Sy2 10 × 60 n2 = = 3, 33333. = N1 Sy1 + N2 Sy2 120 + 60 En arrondissant aux entiers les plus proches, nous obtenons n1 = 7 et n2 = 3. La variance de l’estimateur de Horvitz-Thompson du total est : 2 h i X Nh − nh 2 ˆ Var Yπ = Nh Syh nh h=1 60 − 7 40 − 3 × 4 + 40 × × 2, 25 7 3 = 2927, 14.

= 60 ×

Le gain de précision n’est donc pas très important par rapport à la stratification proportionnelle (résutat bien connu : les 2 allocations en question ne différent que peu, et l’optimum est assez « plat »). Nous préférons donc utiliser la stratification proportionnelle, plus simple à calculer et qui a l’avantage déterminant de ne pas dépendre d’une variable particulière. 2

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Exercice 4. Correction. D’après le livre « Exercices de sondage » de A.M. Dussaix et J.M. Grosbras. 1. Pour résoudre cette question, on se servira de la formule du cours. Nous avons donc : 2 N − n σpop Var[b µ] = × N −1 n 10 000 − 100 162 × = 2, 5346. = 10 000 − 1 100 Par conséquent en prenant la racine carrée, nous avons 1, 5920 ou 1, 5921. 2. La répartition proportionnelle est la suivante n1 = 20,

n2 = 30,

n3 = 50.

L’écart-type de l’estimateur de X dans ce cas est égal à 1, 0646. L’écart-type est plus petit. Par conséquent, nous préfererons cette méthode de sondage à la première. 3. La répartition optimale est la suivante d’après le cours 100 × 2 000 × 18 = 40, n1 = 2 000 × 18 + 3 000 × 12 + 5 000 × 3, 6 100 × 3 000 × 12 = 40, n2 = 2 000 × 18 + 3 000 × 12 + 5 000 × 3, 6 100 × 5 000 × 3, 6 n3 = = 20. 2 000 × 18 + 3 000 × 12 + 5 000 × 3, 6 L’écart-type de l’estimateur de X dans ce cas est égal à : 0.8936. L’écart-type est plus petit. Par conséquent, nous préfererons cette méthode de sondage à la seconde. Conclusion générale : Avec le sondage optimal nous aboutissons à de meilleurs résultats au niveau de l’écart-type.

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