Convection [PDF]

Zitiervorschau

[MODULE DES TRANSFERTS THERMIQUES]

[ UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUES TANGER ]

[Département de Physique]

[ TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION ] [ Master en Génie Civil] Programme [ coefficient d'échange convectif , Analyse dimensionnelle , théorème de VaschyBuckingham, convection forcée, nombre de Reynolds, nombre de Prandtl:, nombre de Nusselt, convection naturelle, ]

Pr : J.BEN ABDELOUAHAB [ Année 2014/2015] 0

1 - Notion de coefficient d'échange convectif Les phénomènes de convection se rencontrent essentiellement dans les échanges de chaleur entre une paroi solide et un fluide. La résolution de ces problèmes est très complexe et dans bien des cas ne peuvent être faite que de manière approchée. Nous indiquerons simplement quelques notions fondamentales permettant un calcul approché des échanges convectifs pour certains cas types. Considérons une paroi solide "léchée" par un fluide en mouvement (fig. l) et supposons, dans un premier temps, que les transferts radiatifs sont négligeables. La densité de flux surfacique conductif, à la paroi dans le solide S, s'écrit:

 TS    y  y 0

 S ( x )   S 

Fig.1: Echanges convectifs le long d'une paroi

Le transfert thermique dans le fluide à la paroi est uniquement conductif puisque la vitesse du fluide en ce point est nulle." La densité de flux côté fluide a pour expression:

 T f    y  y 0

 f ( x )   f 

Ce flux est ensuite dissipé par convection dans le fluide en mouvement. Donc, la densité de flux  f (x ) appelée abusivement flux convectif résulte

Profil réel

d'un phénomène conductif transverse à la paroi (côté fluide) et d'un Phénomène convectif dans le sens de l'écoulement. Pour le déterminer, il est Profil adopté e nécessaire, en toute rigueur, de résoudre les problèmes thermiques et mécaniques couplés. Fig.2: Profil de température Nous allons, en fait, adopter un modèle simplifié. . Considérons le profil de température dans le fluide (fig.2). Dans une sous-couche d'épaisseur e, le transfert thermique suivant oy est quasiment conductif ce qui revient à dire que le profil de température est quasiment linéaire si on admet que la conductivité thermique du fluide est constante.

 T  TS    e  y 0

D'après le profil de température ainsi adopté, il vient:

 f ( x )   f 

Cette expression peut être mise sous la forme:

 f ( x)  h( x)TS  T 

Cette loi est appelée Loi de Newton

h(x) est appelé coefficient d'échange convectif local. Il s'exprime en W/m2K Si nous supposons connues les températures de surface de la paroi et celle du fluide au loin, l'évaluation du flux convectif passe par la détermination de h(x).

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2 - Analyse dimensionnelle 2.1 – Théorème des groupements



Le théorème des groupements  ou de Vaschy-Buckingham dit que la forme la plus générale de n'importe quelle équation physique complète, c'est à dire dans la quelle figure toutes les grandeurs qui interviennent dans le phénomène, F(E1 , ..., En ) = 0 peut se mettre sous la forme:

F(1 , ...,

p-q ) = 0

Les  désignent des produits sans dimensions indépendants qui peuvent être constitués au moyen des p grandeurs physiques considérées. Le nombre de ces produits indépendants est égal à p - q, q étant le nombre des unités fondamentales intervenant dans la mesure des p grandeurs. Dans nos problèmes, les dimensions fondamentales sont généralement la masse (M), la longueur (L), le temps (T) et la température (). 2.2 - Application à la convection forcée Soit une plaque à température Tp "léchée" par un fluide dont la vitesse et la température loin de la plaque sont Uo et To (fig. 3). La densité de flux locale s'exprime par:

 ( x)  h( x)Tp  T0 

On montre que l'épaisseur e considérée pour l'évaluation du coefficient h(x) dépend de la viscosité dynamique du fluide (), de la valeur de la vitesse Uo et de la distance x. De plus,

Fig.3: Plaque en convection forcée

h(x) dépend également de la conductivité thermique du fluide (). Le flux échangé à la paroi est ensuite dissipé par mélange dans le fluide en mouvement. La quantité de chaleur dissipée dépend donc de la capacité thermique du fluide. Le phénomène physique va donc être lié à la masse volumique () du fluide ainsi qu à sa chaleur spécifique (Cp). Dans un problème de convection forcée, le problème physique est donc entièrement déterminé par les 7 grandeurs

h(x)

W/m2K

MT-3-1



kg/m3

ML-3



kg/ms

ML-1T-1



W/mK

MLT-3-1

Cp

J/kgK

L2T-2-1

x

m

L

Uo

m/s

LT-1

physiques suivantes (tableau): Ces grandeurs physiques s'expriment en fonction de quatre dimensions indépendantes fondamentales M, L, T et . Le problème thermique peut donc être décrit, d'après le théorème , par 3 produits sans dimensions indépendants. Supposons que la solution s'écrit sous la forme d'un produit de puissance de ces groupements:

h(x) a.b.c.Cpd Uoe.xf = A

avec A une constante. Compte tenu des dimensions des différentes grandeurs et pour que A soit une constante, il vient: en : c=-d-1 en M: b=d-a en T: e=a en L: f=a+1

2

En remplaçant dans le produit solution et en posant k1 = -a et k2 = -d, nous obtenons:

 U 0 x   Cp   A          k1

h( x ) x



k2

Dans cette expression nous pouvons distinguer trois groupements adimensionnels qui sont:

Nu ( x) 

h( x ) x

nombre de Nusselt local



U 0 x  Cp Pr  

Re( x ) 

nombre de Reynolds local nombre de Prandtl

Remarque: En utilisant a = ./Cp et =/ les nombres de Reynolds et Prandtl s'écrivent:

Re(x) = Uo x / 

Pr =  / a

avec: a diffusivité thermique du fluide (m /s)  viscosité cinématique (m2/s) Nous pouvons également considérer le coefficient de transfert moyenné sur la plaque associé à un flux surfacique moyen:

  h T p  T0 

2

L

avec: h 

1 h( x)dx ; L : longueur de la plaque. L 0

En substituant L et h à x et h(x), nous obtenons les groupements adimensionnels suivants:

Nu L 

hL

. nombre de Nusselt rapporté à L

 U 0 L Re L  nombre de Reynolds rapporté à L  Il est possible de donner une signification physique aux trois groupements adimensionnels:

U 0 2 Le nombre de Reynolds:

Re L 

L  Forces.d ' inertie U 0 Forces.de.vis cos ité 2 L

Ce nombre caractérise directement l'écoulement, en particulier la nature du régime (laminaire, turbulent..). Le nombre de Prandtl:

Pr 



a

vis cos ité.cinématique diffusivité.thermique



Il compare les deux phénomènes dissipatifs transverses par diffusion (conduction thermique et dissipation par viscosité). Le nombre de prandtl ne dépend que des propriétés physiques du fluide. Le nombre de Nusselt local:

Nu ( x) 

h( x)(T p  T0 ) Flux.convectif  (T p  T0 ) Flux.conductif .de.référence  x

Ce nombre caractérise le flux convectif échangé à la paroi. Le nombre de Nusselt moyen:

Nu L 

hL



L

D'après la définition de h, il vient:

Nu L   0

Il caractérise le flux convectif global échangé à la paroi.

3

Nu ( x) dx x

2.3 - Application à la convection naturelle Considérons une plaque plane verticale maintenue à la température Tp et baignant dans un fluide à la température To au loin et sans vitesse (fig.4). Au voisinage de la paroi, la température du fluide varie (continuité entre Tp et To) et donc sa masse volumique. La loi de variation de la masse volumique est donnée par: (T)= 0(T0)[1-(T-T0)]  est le coefficient de dilatation du fluide à pression constante. Il est défini par:



 0 (T0 )   (T ) T  T0

1  0 (T0 )

Fig.4: Plaque en convection naturelle Po = r0T0 P = rT -1 Ce qui donne  = 1/T (K ) ou  = 1/T0 si on considère que T - T0 1 NuD = 0.023 ReD0,8 Pr1l3 Cas des gaz: 0.5 < Pr < 1

NuD = 0.021 ReD0,8 Pr0,6

Les propriétés physiques des fluides et des gaz sont évalués à la tempqrature Tf=(Tp + T0)/2 3.2 - Convection forcée externe Ecoulement laminaire: Re(x) < 3 105 Nu(x) = 0.324 Re(x)0,5 Pr1l3 NuL= 0.628ReL0,5Pr1/3 Ecoulement turbulent: Re(x) > 3 105

Nu(x) = 0.0288 Re(x)4/5 Pr1l3 NUL = 0.035 ReL4/5 Pr1l3 Les propriétés physiques du fluide sont évaluées à la température Tf=(Tp + T0)/2 3.3 - Convection naturelle en espace libre Ecoulement laminaire: 104 < RaL < 109

Nu(x) = 0.39 Ra(x)1/4 NuL = 0.59 RaL1/4

Ecoulement turbulent: 109 < RaL < 1012

Nu(x) = 0.12 Ra(x)1/3 NuL = 0.13 RaL1/3

Les propriétés physiques du fluide sont évaluées à la température Tf=(Tp + T0)/2

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Références bibliographiques H.S. Carslaw, J.C. Jaeger Conduction of heat in solids ;Oxford University Press, 1959 N. Osisik Heat conduction ;John Wiley and sons, New-York, 1980 J.F. Saccadura Initiation aux transferts thermiques Technique Documentation, Paris, 1978 R. Siegel, J.R. Howel Thermal radiation heat transfer ; Hemisphere publishing coorporation, New-York, 1981 E.M. Sparrow, R.D. Cess Radiation heat transfer ; Brooks-Cole publishing company, Belmont, California, 1970 J. Taine, J.P. Petit Transferts thermiques: mécanique des fluides anisothermes Dunod université, Paris, 1989 J.Padet Fluides en écoulements: méthodes et modèles Masson, Paris, 1990

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