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1.9 AXIOMA DEL SUPREMO Definición 1.14 . Un conjunto A ℝ es acotado superiormente si y solo sí existe un número real k tal que b k , para todo elemento b A . EL número k se llama cota superior de A Definición 1.15 . Un conjunto A ℝ es acotado inferiormente si y solo sí existe un número real c tal que c b , para todo elemento b A . EL número k se llama cota inferior de A Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado . Todo conjunto A ℝ que es acotado tiene infinitas cotas Ejemplo 1. a) El conjunto A = { x ∈ ℝ / x > -1 } es acotado inferiormente , pues existe c = -3 ℝ tal que -3 b , para todo b A ; pero no es acotado superiormente . Se observa que cualquier número real c tal que c ] - , -1] es una cota inferior para el conjunto A, entonces el conjunto de cotas superiores de A es ] - , -1]. Fig.1.23 b) El conjunto B = { x / x 4 } es acotado superiormente pero no es acotado inferiormente . El conjunto de cotas superiores de B es ] 4 , + [ . Fig.1.23 c) C = { x ℝ / -1< x < 4} es acotado ., por que C = ] –1 , 4 [ Cotas inferiores de C o__________C___________o Cotas superiores de C ______________o______o_______________________o________________ -3 -1 4 Fig. 1.23 d) D = { x ¡ / 3x -12 < x -1 } es acotado puesto que,
3x -12 x 1 x - 1 0 - ( x – 1) < 3x – 12 < x – 1 x 1 ( 1- x < 3x – 12 3x – 12 < x – 1 ) 13 11 x 1 (x> x< ) 4 2 13 11 , x ; es decir 4 2 13 11 , D= 4 2 Definición 1.16 Se dice que el número real s es el supremo de un conjunto dado A contenido en ℝ , se denota s = Sup(A) ,si y solo si se cumple que : a) s es una cota superior de A s a , a A , y b) s es la menor cota superior de A . Es decir , si L es una cota superior cualquiera de A entonces s L Asimismo se dice que el número real i es el ínfimo de A , se denota i = inf (A) si y solo si , i es una cota inferior de A además es la mayor de todas las cotas inferiores de A . Teorema 1.31. Dado el conjunto A contenido en ℝ , el número real s es el supremo de A si y solo si se cumplen : 1) a s , a A 2) ε > 0 ( tan pequeño como se desee) existe un elemento x A tal s - ε < x Demostración. ( ) s = Sup(A) entonces s es una cota superior de A, es decir s x , x A
Para demostrar que ε > 0 , existe un elemento x A tal s - ε < x . por reducción al absurdo, suponga que s - ε > 0 tal que: s - ε x , x A ; luego s - ε es una cota superior menor que s ( absurdo) puesto que s es la menor de todas las cotas superiores de A . Por lo tanto la suposición es falsa , luego se concluye que ε > 0 , existe un elemento x A tal s - ε < x . ( ) La hipótesis a s , a A , implica que s es cota superior de A . Suponiendo que s no es la menor de las cotas superiores , entonces existe una cota superior S tal que S < s , luego existe un número ε > 0 tal que S + ε = s S = s - ε Pero por hipótesis existe x A , x > s - ε , luego x > S , con x A ( absurdo) por que S es cota superior de A . Por lo tanto s es la menor e todas las cotas inferiores ; es decir s = Sup (A) . Corolario 1.5. Dado el conjunto A C ℝ , el número real i es el supremo de A si y solo si se cumplen : 1) i a , a A 2) ε > 0 ( tan pequeño como se desee) existe un elemento x A tal x < i + ε Ejemplo 2. El conjunto A = { x ∈ ℝ - / x ² > 9 } es acotado superiormente , pues x ² > 9 (x 3 x 3) Pero x ∈ ℝ - entonces x < -3 ; esto significa que A = ] - , -3 [ y el supremo de A es s = -3 Por que se cumplen : 1) -3 es una cota superior 2) Dado ε > 0 , tal que 0 < ε < 1 , el número x = -3 – 0,5 ε pertenece al conjunto A y es tal que –3 - ε < x Entonces por el teorema 1. 31 , s = -3 es el supremo de A . AXIOMA DEL SUPREMO ( AXIOMA DE COMPETITUD ) AXIOMA 8 . Todo subconjunto A de ℝ , diferente del vacío y acotado superiormente tiene supremo , el cual es un elemento en ℝ . Utilizando este axioma puede demostrarse que todo subconjunto A de ℝ no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo, el cual es un elemento en ℝ . Aunque en algunos casos no es posible determinar el supremo de un conjunto acotado superiormente de manera inmediata , el axioma asegura su existencia en ℝ . El axioma no se cumple en otros conjuntos numéricos . Se dice que ℝ es un cuerpo ordenado y completo por que en ℝ se satisfacen los axiomas de cuerpo, de orden y el axioma del supremo . Ejemplo 3. El conjunto A formado por todas las aproximaciones decimales sucesivas e inferiores a 2 tiene supremo. Solución. En efecto, A = { 1,4 ; 1,41; 1,414; 1,4142; ... } tal que si x A entonces x ² < 2 Se observa que A ℝ y A no es vacío , además A es acotado superiormente ,por que una cota superior del conjunto es por ejemplo x = 1, 6 , luego por el axioma del supremo existe Sup(A) el cual es un número real . Puesto que si x A entonces x ² < 2 x > 0 se tiene 0< x ² < 2 , de donde resulta 0< x < 2 En consecuencia Sup(A) =
2
Observación 1.15. Si s = Sup(A) y si s A entonces s se llama máximo de A . Si i = inf(A) y si i A , entonces i se llama mínimo de A. Por ejemplo , A = ] 6 , 9] es acotado , 6 es el ínfimo pero no es mínimo , 9 es el supremo que al mismo tiempo es el máximo del conjunto . Observación 1.16. Se prueba que el supremo de un conjunto no vacío de números reales que acotado superiormente es único . Si , A no es vacío y es acotado superiormente , entonces, por el axioma del supremo, A tiene supremo . Suponiendo que s = Sup(A) no es único ; es decir existe S ∈ ℝ tal que S = Sup(A)
S s
Como s = Sup(A) , entonces por definición s es una cota superior de A además s S Asimismo S = Sup (A) entonces S es una cota superior de A y S s . Entonces s = S , esto contradice el supuesto ; de donde el supremo es único. En forma análoga puede probarse que el ínfimo , cuando existe, es único. Ejemplo 4. El conjunto de los números naturales no es acotado superiormente . Solución. Suponiendo que ℕ es acotado superiormente , existiría un número real s , s = Sup (ℕ) ; Luego por el teorema , ε > 0 , n ¥ / s - ε < n . En particular si ε = 1 se tendrá s –1< n de allí que s < n +1 esto contradice la definición de supremo. Por consiguiente ¥ no es acotado superiormente . Teorema 1.32. ( propiedad Arquimediana ).Si a y b son números reales positivos entonces existe un número natural n tal que na > b Demostración . Suponiendo que na b , es decir , na b ; para todo n real, se tendría n
b , en este caso el a
b sería una cota superior de ℝ , luego ℝ es acotado superiormente , lo a que es una contradicción . Por consiguiente , existe un número natural n tal que na > b . número real positivo
A partir del teorema pueden demostrarse los siguientes corolarios. Corolario 1.6. Si x es un número real , entonces existe un número natural n , no nulo, tal que n > x 1.7 . Si x es un número real positivo , entonces existe un número natural n tal que 0
. ε 2 2ε nε > 2 – 2 ε Pero la inecuación: n > ε 0 > 2 – 2 ε - nε n > n + 2 – 2 ε - n ε = (n +2) ( 1 - ε ) ; luego se tiene n > ( n +2) ( 1- ε ) n 1 n2 n A / an 1 ε En consecuencia ε > 0 , a n n+2 Teorema 1.33. ( Teorema del mayor entero ) Dado el número real a , existe un número entero n tal que : n a < n +1 Demostración. Deben demostrarse la existencia y la unicidad del número entero n . Por el corolario 1.8 existen números enteros a y b tal que a< x < b Dado que el número b – a > 0 , existe un número entero positivo c tal que a < x < a +c , donde c = b - a. Por el Principio de Buen Ordenamiento (Apéndice) existe un número m que es el menor número entero positivo tal que x < a + m .................................................( 1 ) Además para cualquier entero p se tiene a + p x , en particular si p = m – 1 ; entonces a + (m - 1) x ........................................................................................( 2 ) Sea n + 1= a + m , entonces de ( 1 ) y ( 2 ) n x c b > a 7) a < b a n < b n ; n ¢ + 5) a < b a
0
a 2 a , a ¡
11) La solución de una ecuación en IR siempre es el vacío o un conjunto finito en IR 12) Cualquier número real no es superior a su máximo entero. EJERCICIOS Y PROBLEMAS V. Demostrar las siguientes propiedades en IR
a -a a , a , b ¡ b 0 b b -b 1 2 2) a 2 2 , a 0 a 3) a ² < a , si a ] 0 , 1 [ ab ab , si ab > 0 4) 2 9x + 7 x - 7 1)
5)
3x
tiene un valor constante en IR si x ] 0 , 5 [.
6) Si A = { a n ¡ / a n
3n 3 , n ¢ +0 } entonces Sup(A) = e Inf(A) = 0 2n 5 2
VI . Hallar 1) ] –3 , 4] I ] 3 , 8[ 2) ( ] –2 , 7 [ I ] –3, 4 [ ) U ] 6 , + [
1
3) Los números reales A y B tales que si x ,1 2
entonces A
x+2 B x+3
3 16 5) A´ I B´ si A = { x ¡ / 2x 3 x } , B = {x ¡ / x + 3 x 6 } 4) El número real M tal que x ² + 2kx + k >
VII. Resolver : 1) x ² - 8x < 4x – 6 2) 1 – x ² > x – 5 3) x 3 (x –3 )( x + 6 ) 0 4) ( x +1) ( x² + 2x –7) x ² -1
2 x2 1 x2 x2 x2 x4 6) x 8 x 3 5)
7)
x 1 x² x + 4
1 1 4x² 3 x 9) x² -8x + 15 8)
10)
1 x 1 3x
11) § 3x 4¨ 12)
x² + x -2
2x 1
§ x ¨ 12 1 3 x
13) 4 3x § x+2 ¨
1 - 2x
VIII. Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p , el cuadrado encierra mayor área. IX.
Un tren se detuvo durante 20 minutos antes de llegar a su destino por desperfectos en la vía férrea . Para recuperar el tiempo perdido , en un tramo establecido para 80 km/hr tuvo que viajar 20 km/hr más rápido de lo acostumbrado .¿ Cuál era la velocidad del tren? .
X.
Hallar el número real positivo δ dependiente de ε , si se sabe que
x -2δ 8x - 16
ε