8 - Trains D'engrenages [PDF]

Zitiervorschau

L t i d’ Les trains d’engrenages

M. Ben Jaber

Cours ‐ Chapitre n°8 : Trains d'engrenages

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1. Fonction Un train d’engrenages est une combinaison de roues dentées dont les unes entraînent les autres par  l’action des dents successivement en contact. Le rôle d’une transmission par un train d’engrenages est de: • modifier les caractéristiques cinématiques du mouvement entre le moteur M et le récepteur R • lier la partie motrice  à la partie réceptrice et y transmettre la puissance. 2. Classification

Trains d’engrenages

Rapport de vitesses  constant

Réduction Réducteur

Multiplication Multiplicateur

Rapport de vitesses  variable

Boites de vitesse

3. Disposition des axes  On distingue: O di i • Les trains d’engrenages à axes fixes(ordinaires) : les axes géométriques de toutes les roues dentées des  transmissions par engrenages sont immobiles par rapport au bâti. • Les trains d’engrenages à axes mobiles: connues sous le nom de trains épicycloïdaux possèdent dans leurs schémas  cinématiques au moins une roue dentée dont l’axe géométrique est mobile par rapport au bâti. i é i i d é d l’ é é i bil bâ i M. Ben Jaber

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4. Train d’engrenages à axes fixes Les axes des différentes roues dentées peuvent être parallèles, concourants ou quelconques ( engrenages gauches)  ‰Rapport de transmission ‰Rapport de transmission Le rapport de transmission (i) d’un train d’engrenage exprime le rapport entre la fréquence de rotation de  l’arbre de sortie et celle de l’arbre d’entrée.

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4. Train d’engrenages à axes fixes ‰Application

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4. Train d’engrenages à axes fixes ‰Application

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.1 Définition Sous le nom de train épicycloïdal ou engrenage planétaire, on désigne un système de transmission de puissance  p y g g p , g y p entre deux ou plusieurs arbres dont certains tournent non seulement autour de leur propre axe, mais aussi avec  leur axe autour d’un autre axe. Les engrenages peuvent être cylindriques ou coniques. Ceux dont l’axe coïncide avec un axe fixe dans l’espace s’appellent “planètes” et ceux qui tournent avec leur axe  p pp p q autour d’un autre s’appellent “satellites”. Ces derniers sont généralement maintenus par un châssis mobile  nommé “porte satellites”. ‰Avantages: • Possibilité d’arrangement coaxial des arbres. • Réduction du poids et de l’encombrement pour une puissance  donnée. donnée • Rapport de vitesse très élevé possible avec un minimum  d’éléments pour des transmissions à faible puissance. • Excellent rendement quand le système est judicieusement  choisi. choisi ‰Inconvénients: •• Fortement hyperstatique Fortement hyperstatique • Rendement lié au mode de fonctionnement • Difficulté à aligner les éléments et à éviter les  déformations qui  modifient l’alignement

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.2 Train épicycloïdal simple Le train épicycloïdal est donc composé de: p y p •un planétaire d’entrée (1) •un planétaire de sortie (3) •un ou plusieurs satellites (2) •un porte satellite (4) ou (PS) p ( ) ( )

On distingue deux cas: • L’axe fixe et l’axe mobile sont parallèles. Le train est dit train épicycloïdal plan p p y p • L’axe fixe et l’axe mobile sont concourants. Le train est dit train épicycloïdal sphérique Notre étude sera limitée au train épicycloïdal à axes parallèles (plan)  ‰ Etude de mobilité. Etude de mobilité •Mécanisme à 4 pièces mobiles (p = 4) •Les liaisons en rotation sont de type pivot (degrés de liaison=5). •Les contacts au niveau des dentures sont supposés ponctuels (degrés de liaison=1). •Pour le cas de la figure ci‐dessus, on a 4 liaisons pivots et 2 liaisons ponctuelles.  Pour un système isostatique (h=0)  on a: h = m + ∑ li − 6 p = 0 i

⇒ m = 6 p − ∑ li = 6 x 4 − 4 x5 − 2 x1 = 24 − 22 = 2 i

Les trains épicycloïdaux ont deux degrés de mobilité (mouvements indépendants).

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.2 Train épicycloïdal simple ‰ Etude de la mobilité. Les trains épicycloïdaux ont deux degrés de mobilité (mouvements indépendants). Il faut donc imposer deux  mouvements au mécanisme pour connaître le mouvement de sortie. Généralement un des éléments est  bloqué.  On obtient alors les cas particuliers suivants: On obtient alors les cas particuliers suivants:

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.3 Différents types de trains plans simples

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.4 Etude cinématique Soit le train épicycloïdal suivant. Prenons un satellite double pour l’étude générale. p y p g La condition de roulement sans glissement écrit aux point M et N donne:

⎧⎪V ((M ∈1 / 2) = 0 ⎨ ⎪⎩V ( N ∈ 2' / 3) = 0

⎧ r1ω1 / 4 + r21ω 2 / 4 = 0 ⎨ ⎩ r23ω 2 / 4 + r3ω 3 / 4 = 0

r21 ⎧ ω = − ω2/4 1 / 4 ⎪⎪ r1 ⎨ r ⎪ω 2 / 4 = − 3 ω 3 / 4 ⎪⎩ r23

ω 1 / 4 r21 .r3 = ω 3 / 4 r1 .r23

Remarque : Les 4 axes de rotations étant fixes dans le repère du porte  satellites ceci nous ramène à des équations de trains ordinaires. On  peut donc écrire directement (sans passer par le RSG): p ( p p )

ωs/4 Π rmenantes = ( − 1) k ωe/4 Π rmenées

r .r r .r ω1/ 4 = (−1) 2 21 3 = 21 3 ω3 / 4 r1.r23 r1.r23

Remarque: On remarque que les arbres des planétaires, du porte satellites et du satellite sont mobiles dans le repère p lié au bâti (l’axe du satellite tourne autour des autres axes). Si on se place dans un repère lié au porte satellites, tous les axes sont fixes dans ce repère (le repère tourne). Décomposons les vitesses en passant par le porte satellites.

où k est le nombre de contacts extérieurs où k est le nombre de contacts extérieurs

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.5 Formule de Willis Définition: On appelle raison de base (ou basique) le rapport des vitesses de rotation des deux planétaires  par rapport au porte satellites. On le note λ et vaut :

λ=

ω1 / 4 ω1 / 0 − ω 4 / 0 = ω3 / 4 ω3 / 0 − ω 4 / 0

On a alors la formule de Willis:

ω1 / 0 − ω 4 / 0 r21 .r3 Z 21 .Z 3 = = =λ ω 3 / 0 − ω 4 / 0 r1 .r23 Z 1 .Z 23

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4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.6 Les valeurs de λ pour les différents types de trains

λ=−

λ= M. Ben Jaber

Z3 Z1

Z 2 .Z 3 Z 1 .Z 2 '

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λ=−

λ=

Z 2 .Z 3 Z 1 .Z 2 '

Z 2 .Z 3 Z 1 .Z 2 ' 12

4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.7 Formule de Ravigneaux On peut aussi écrire cette relation sous la forme suivante appelée équation du fonctionnement du train ou formule  p pp q de Ravignaux:

ω1 / 0 − λω 3 / 0 − (1 − λ )ω 4 / 0 = 0 Remarque : Vous pouvez remarquer que la somme des coefficients est nulle. 4.8 rapports planétaires On appelle “rapport planétaire” le rapport des vitesses angulaires de deux éléments du train lorsque le troisième  est immobilisé par rapport au bâti. On constate 3 rapports planétaires:

(ω1 / 0 / ω 3 / 0 )ω (ω 3 / 0 / ω 4 / 0 )ω

=0

= λ : Premier rapport planétaire ;

=0

= µ : Troisième rapport planétaire

4/0

1/ 0

(ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

3/0

=0

= υ : Deuxième rapport planétaire;

D’après la formule de Ravignaux: p g

ω 4 / 0 = 0 ⇒ ω 1 / 0 − λω 3 / 0 = 0 ⇒ (ω1/ 0 / ω3 / 0 )ω

4 / 0 =0

=λ

k avec λ = ( − 1)

Z 21 .Z 3 Z 1 .Z 23

où k est le nombre de contacts extérieurs

ω 3 / 0 = 0 ⇒ ω1 / 0 − (1 − λ )ω 4 / 0 = 0 ⇒ υ = (ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

3 / 0 =0

ω 1 / 0 = 0 ⇒ − λω 3 / 0 − (1 − λ )ω 4 / 0 = 0 ⇒ µ = (ω3 / 0 / ω4 / 0 )ω

= 1 /(1 − λ )

1 / 0 =0

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= (λ − 1) / λ 13

4. Train d’engrenages à axes mobiles 4.8 rapports planétaires

υ = (ω 4 / 0 / ω1 / 0 )ω

Z 21 .Z 3 Z 1 .Z 23

Aveec inversion du u  sen ns de rotation

µ = (ω3 / 0 / ω4 / 0 )ω

= 1 /(1 − λ )

1 / 0 =0

= (λ − 1) / λ

υ>0

λ

Multipliccateurs

où k est le nombre de  contacts extérieurs

3 / 0 =0

Rapports planétaires

µ >1 Réducteurs

λ = ( − 1) k

=λ

1

µ