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PROBLEMAS CAP. 14

14.11 Un bloque de 2kg que resbala sin fricción se conecta a un resorte ideal con constante de fuerza de 300N/m. En t=0, no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en dirección negativa 12 m/s. Calcule a) amplitud, b) ángulo de fase c) Escriba una ecuación

a)

¿ Vmax∨¿ wA

|Vmax| |Vmax|

A=

b)

=

w

√

k m

=0.98 m

V (t )=−wA sin (wt + ∅) Vmax=−wA sin(w(0)+ ∅) sin ∅ =

|Vmax| −Aw

∅=sin−1[−1]

c)

𝑥(𝑡) = 0.98 cos [12.25

Rad −π ( )¿ s 2

14.17 Sobre una pista de aire horizontal sin fricción, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es 2.50 N/cm. Calcular: a) masa del deslizador, b) desplazamiento máximo del deslizador desde el punto de equilibrio, c) fuerza máxima que el resorte ejerce.

k =2.50 N /cm(100

cm ) 1m

k =250 N /m

T =0.30 s−0.10 s T =0.20 s a) T 2=¿ m=k ¿ 𝑚 = (250𝑁/𝑚) (0.20𝑠/2𝜋) 𝑚 = 0.253 𝑘𝑔

b)

𝐴=

ma max k

𝐴 = 0.0121 𝑚

c)

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐴

𝐹𝑚𝑎𝑥 = (250 𝑁/𝑚)(0.0121𝑚) 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 3.025 𝑁 14.34 Una masa m está unida a un resorte de constante de fuerza 75 N/m y se deja oscilar. La figura E14.34 muestra una gráfica de la velocidad 𝑣𝑥 como función del tiempo t. Determine a) el periodo, b) la frecuencia y c) la frecuencia angular de este movimiento. d) ¿Cuál es la amplitud (en cm), y en qué momento la masa alcanza esta posición? e) Determine la aceleración máxima de la masa y los momentos en que se produce. f) ¿Cuál es la masa m? k=75 N/m |𝑣𝑚𝑎𝑥| = 20 cm/s = 0.20 m/s 𝑇 = 1.60 𝑠

a) 𝑇 = 1.60 s 1 1 =0.625 Hz b) 𝑓 = = T 1.60 c) 𝑓 =

w 2π

𝑤 = 2𝜋𝑓 𝑤 = 2𝜋(0.625𝐻𝑧) 𝑤 = 3.93 Rad/s

√

d) 𝐴 = 𝑣𝑚𝑎𝑥

m k

𝑓¿

1 2π

√

m k

0.20 m V s = 0.051m = 5.1 cm A= max = 2 πf 2 π (0.625 Hz) 𝑣 = ±𝐴 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑥 = 0 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0.4𝑠, 1.25 𝑦 1.8𝑠

e) Amax = f) 𝑇 ¿ 2 π

KA 2 m =( 2 π ( 0.625 Hz ) ) ( 0.051 m )=0.79 2 m s

√

k m 𝑚 = 𝑘(𝑇/2𝜋)2 = 75 𝑁/𝑚(1.60 𝑠/2𝜋)2 𝑚 = 4.9 𝐾𝑔

14.44 La rueda de balance de un reloj vibrar con amplitud angular θ , frecuencia angular w y ángulo de fase ∅=0. Deduzca expresiones para la velocidad angular dθ /dt y la aceleración angular d2θ / dt2 en función del tiempo. b) Calcule la velocidad angular y la aceleración angular de la rueda de balance, cuando su desplazamiento angular sea θ , y cuando sea θ /2y θ este disminuyendo.

a) w=

dθ =−w θ sen( wt) dt

d2θ 2 =−w θ cos ⁡(wt ) 2 dt b)

θ =θ cos ( wt ) 2 α=

−w 2 θ 2

w=

cos (wt )=

−w θ √ 3 2

3 sen(wt)= √ 2

1 2

 cos(wt)en el tiempo t decrece al igual que θ  Para valores grandes de wt , θ =θ /2

14.45 Se tira de un péndulo simple de 0.240 m de longitud para moverlo 3.50° hacia un lado y luego se suelta. a) ¿Cuánto tarda la lenteja del péndulo en alcanzar su rapidez máxima? b) ¿Cuánto tarda si el péndulo se suelta a un ángulo de 1,75° en vez de 3.50°? Solución: Datos: L=0.24 m Θ=3.50

a) 𝑇 ¿ 2 π

√ l =2 π √ 0.24 =0.246𝑠 √g √9.81

b) El ángulo no afecta asique es igual tardaría lo mismo que seria 0.246 s

14.56 Un adorno navideño con forma de esfera hueca de masa M = 0.015 kg y radio R = 0.050 m se cuelga de una rama mediante una espira de alambre unida a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como péndulo físico con fricción despreciable. Calcule su periodo. (Sugerencia: Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de la esfera con respecto al pivote en la rama). Datos: m=0.015 kg r=0.050 m T=? Solución:

2 m r2 3 2 2 −5 𝐼𝑐𝑚 ¿ ( 0.015 ) ( 0.050 ) =2.5 x 10 3 𝐼𝑐𝑚 ¿

𝑇¿ 2 π

√ ld =0.57𝑠 √ gmd

14.62 Una masa está vibrando en el extremo de un resorte de constante de fuerza 225 N/m. La figura E14.62 muestra una gráfica de la posición x como una función del tiempo t. a)¿En qué momentos no se mueve la masa? b)¿Cuánta energía tenia este sistema originalmente? c)¿Cuánta energía pierde el sistema entre t=1,0s y t=4,0s?

a) t=0s, t=1s, t=2s, t=3s y t=4s 1 1 b) 𝐸0 = 𝑘𝑥2 = (225 𝑁⁄𝑚)(0.07𝑚)2 = 0.55𝐽 2 2 1 1 c) 𝐸1 = 𝑘𝑥2 = (225 𝑁⁄𝑚)(−0.06𝑚)2 = 0.405𝐽 2 2 1 2

1 2

𝐸4 = 𝑘𝑥2 = (225 𝑁⁄𝑚)(0.03𝑚)2 = 0.101𝐽 La energía perdida 𝐸1 − 𝐸4 = 0.3𝐽 14.61 El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito por la ecuación (14.42). Sea el ángulo de fase φ = 0. a) Según la ecuación, ¿cuánto vale x en t = 0? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en t = 0? ¿Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de x contra t cerca de t = 0? c) Deduzca una expresión para la aceleración ax en t = 0. ¿Para qué valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en t = 0, la aceleración es negativa, cero o positiva? Comente cada caso en términos de la forma de la curva de x contra t cerca de t = 0.? a) φ = 0, x(0) = A

b dx −b =A e−(b /2 m)t cos w' t −w' sin w' t , t=0 V x =− A dt 2m 2m dv c) a x = x = A e−(b/ 2 m)t ¿,t=0 dt b2 b2 k 2 a x= A −w A − = 2 2 4m 4m m

[

b) v x =

(

) (

]

)

14.70 Un cohete acelera hacia arriba a 4.00

m desde la plataforma de lanzamiento en la tierra. s2

En su interior, una esfera pequeña de 1.50 𝐾𝑔 cuelga del techo mediante un alambre ligero de 1.10 𝑚. Si la esfera se desplaza 8.50° de la vertical y se suelta, encuentre la amplitud y el periodo de las oscilaciones resultantes de este péndulo.

Solución: Cuando el cohete es impulsado hacia arriba, esa aceleración actúa de manera inversa en la esfera. Por lo que la fuerza de gravedad sobre ella está dada por: 𝑔′ = 𝑎 + 𝑔

g' =4.00

g' =13.82

m m + 9.81 2 2 s s

m s2

El periodo del péndulo está dado por: 𝑇 ¿2π

𝑇

¿2π

√l √g √ 1.10 m

√

13.82

m s2

𝑇 ¿ 1.77 s

La amplitud es el máximo desplazamiento, y este no es afectado por el movimiento del cohete, por lo consiguiente: 𝐴 = 8.50°

14.83 Una perdiz de 5.00 kg cuelga de un peral mediante un resorte ideal de masa despreciable. Si se tira de la perdiz para bajarla 0.100m con respecto a su posición de equilibrio y se suelta, Vibra con un periodo de 4.20 s. a) ¿Qué rapidez tiene al pasar por su posición de equilibrio? b) ¿Qué aceleración tiene cuando está 0.050 m arriba de dicha posición? c) Cuando está subiendo, ¿qué tiempo tarda en moverse de un punto 0.050 m debajo de su posición de equilibrio a un punto que está 0.050 m arriba? d) La perdiz se detiene y se retira del resorte. ¿Cuánto se acorta este?

a) Usando la conservación de energía

1 1 1 mv x 2+ k x2= k A 2 2 2 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0

g)

1 1 mv x 2= k A2 y v ¿ A k 2 2 m

√

h) Podemos encontrar

Entonces

√

√

k k con el periodo tenemos que 𝑇 ¿ 2 π m m

√

2π A m k 2π =0.15 entonces v= = T s m T

b) Se sabe que la fuerza de un resorte está dada por 𝐹 = −𝑘𝑥 y que F=ma

a x=

−kx k m =− x=0.112 2 m m s

( )

c) De x=0 a x= +0.050 Tenemos que x= Acos(ωt + φ) φ=-π/2 Entonces x= Acos(ωt - π/2) ó x= Asin(ωt) Para un tiempo t x= +0.050m 0.050=0.1m sin((2π/T)t) 0.050 = 0.1𝑚 𝑠𝑖𝑛 (

0.050 = 0.1𝑚 𝑠𝑖𝑛(

2π t) T

2π 𝑡) 4.2 s

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡

t=

( 4.2 s ) arc sin(

0.050 m ) 0.1 m

2π t = 0.350 s d) Cuando el resorte se acorta es porque el peso sobre la cuerda que está atada a él, disminuye su tensión. Por lo que el perdis se retira cuando este se acorta.

14.87 En el planeta Newtonia, un péndulo simple tiene una lenteja con masa de 1.25 kg y longitud de 185.0 cm. Cuando la lenteja se suelta del reposo, tarda 1.42 s en describir un ángulo de 12.5° hasta un punto donde otra vez tiene rapidez cero. Se determinó que la circunferencia de Newtonia es de 51400 km. Calcule la masa del planeta. Solución: Con los datos que nos dan podemos calcular la gravedad de Newtonia 𝑇 ¿ 2 π

√l se despeja para √g

g y obtenemos:

2π 2 m ) =9.055 2 𝑇 ¿ L( T s Tenemos que la circunferencia es 5.14x10 7m Entonces 5.14x107m = 2πR R=

5.14 x 107 6 =8.18 x 10 m 2π

Usando la fórmula de la gravitación

MN=

g R2 24 =9.08 x 10 kg G

14.95 En la figura P 95 ◄, la esfera superior se suelta del reposo, choca contra la esfera inferior estacionaria y se pega a ella. Ambos cordones tienen 50.0 cm de longitud. La esfera superior tiene masa de 2.00 kg y está inicialmente 10.0 cm más alta que la inferior, cuya masa es de 3.00 kg.

Pregunta Calcule: La frecuencia y el desplazamiento angular máximo del movimiento después del choque.

Fig. P 95

Solución Frecuencia 𝑓¿

1 2π

√

g l

𝑓¿ 704.85 x 10−3 Hz Desplazamiento angular máximo del movimiento después del choque Conservación de Energía

mgh=

m v2 2

v=√ 2 gh v=1.400

m s2

Durante el choque la conservación de momento

m2 v=( m2 +m3 ) V v=

m2 v

( m2+ m3 )

v=0.56

m s

Aplicando Conservación de Energía para conocer la diferencia de alturas

m v2 mg h2= 2 h2 =

v2 2g

h2 =16 mm Entonces

Desplazamiento: d=16 mm(cos ⁡(arc cos

50 cm−16 mm )) 50 cm

d=15.49mm 14.100 Una varilla uniforme de longitud L oscila con ángulo pequeño alrededor de un punto a una distancia x de su centro.

a) Demuestre que su frecuencia angular es

b)

√

gx 2 2 L x + 12

Demuestre que su frecuencia angular máxima se presenta cuando x=

c) Que longitud tiene la varilla si la frecuencia angular máxima es 2𝜋

a)

𝐼0 = 𝑚𝑑2 + 𝐼𝑐𝑚

Donde

𝐼𝑐𝑚 =

1 m L2 12

Por lo tanto, 𝐼0 = 𝑚𝑑2 +

Reemplazando

w=

√

𝑚𝐿2

mgx ¿ L2 ( x ¿¿ 2+ ) m 12

b) Para 𝜔𝑚𝑎𝑥, x varia, por lo tanto

Entonces √ g

d dx

x

L 2

(√) L2 x + 12 2

=0

dw =0 dx

w=

√

gx L2 x2 + 12

𝑟𝑎𝑑

⁄𝑠

L √12

1 x 2

√

−1 2

L2 x + 12 2

−

1 2

2x

(√

x 2+

2

2

L L ∗x 2+ 12 12

)

( √ x )=0

x=

L √12

c) 𝝎𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔

w= L Utilizando x= √12

√

gx L2 𝐿 x2 + 12

𝝎𝒎𝒂𝒙¿

√

g

L √ 12

L 2 L2 )+ √ 12 12 g 3 L= √ 2 W max (

𝑳 = 𝟎. 𝟒𝟑𝟎 𝒎