Differentielle Totale Exacte PDF [PDF]

Zitiervorschau

´ DIFFERENTIELLE TOTALE EXACTE ´ OLIVIER CASTERA R´ esum´ e. D´efinition et conditions d’obtention d’une diff´erentielle totale exacte.

Table des mati` eres 1. Diff´erentielle d’une fonction d’une variable 2. Diff´erentielle d’une fonction de deux variables 3. Conditions d’obtention d’une diff´erentielle 3.1. Cas des fonctions de deux variables 3.2. Cas des fonctions de trois variables 3.3. Facteur int´egrant

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1. Diff´ erentielle d’une fonction d’une variable D´ efinition 1.1. D´eriv´ee La d´eriv´ee au point (f (a), a) de la fonction f (x) est d´efinie par : f (a + h) − f (a) h→0 h La d´eriv´ee en un point d’une fonction est un nombre. C’est le rapport de la hauteur f (a + h) − f (a) sur la largeur h. C’est donc la tangente de l’angle que fait la tangente `a la fonction f (x) au point (f (a), a) avec l’horizontale. f ′ (a) = lim

D´ efinition 1.2. Diff´erentielle La diff´erentielle au point (f (a), a) de la fonction f est d´efinie par : df (a) = f ′ (a) dx o` u la notation ≪ d ≫ de Leibniz signifie diff´erentielle ou petite diff´erence. En physique, l’expression ≪ diff´erentielle totale exacte ≫ n’est autre que la diff´erentielle que l’on rencontre en math´ematiques. La diff´erence de valeur d’une fonction passant du point a au point infiniment proche a+h n’est pas ´egale `a la diff´erentielle de cette fonction. Il faut ajouter les termes infinit´esimaux d’ordre sup´erieur : f (a + h) − f (a) = f ′ (a) · h + hǫ(h) Date: 25 juin 2013. 1

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Y

f (x + dx)

df

f (x)

O

x

x + dx

X

Figure 1. Diff´erentielle d’une fonction On v´erifie que l’on a bien, f ′ (x) =

df dx

mais que, f (x + dx) − f (x) 6= df 2. Diff´ erentielle d’une fonction de deux variables Soit f (x, y) une fonction des deux variables ind´ependantes x et y, alors : f (x + h, y + h) − f (x, y) df (x, y) = lim h→0 h f (x + h, y + h) − f (x, y + h) + f (x, y + h) − f (x, y) = lim h→0 h f (x, y + h)−f (x, y) f (x + h, y + h)−f (x, y + h) + lim = lim h→0 h→0 h h ∂f ∂f = dx + dy ∂x ∂y −−→ et ∂f sont les composantes du champ de vecteur gradient grad f . o` u ∂f ∂x ∂y 3. Conditions d’obtention d’une diff´ erentielle 3.1. Cas des fonctions de deux variables. Soit V(x, y) un champ de vecteur. On peut lui associer la forme diff´erentielle suivante : Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy

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Cette forme diff´erentielle est dite totale, car pour chacune des variables x et y de V apparaˆıt l’´el´ement diff´erentiel correspondant, dx et dy. Cette forme diff´erentielle est-elle exacte, autrement dit, est-elle la diff´erentielle d’une fonction 1 ? Soit g(x, y) cette fonction, alors il faut et il suffit que : ∂g(x, y) ∂x ∂g(x, y) Vy (x, y) = ∂y

Vx (x, y) =

Par cons´equent, il faut et il suffit que le champ de vecteur V(x, y) soit le gradient de la fonction g(x, y) : −−→ V(x, y) = grad g(x, y) Si c’est effectivement le cas, alors la forme diff´erentielle constitue une diff´erentielle (dite totale exacte en thermodynamique), et, Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy = dg(x, y) Th´ eor` eme 3.1. Condition de Schwarz Une condition n´ecessaire et suffisante pour que la forme diff´erentielle Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy soit une diff´erentielle (totale exacte) est : ∂Vx (x, y) ∂Vy (x, y) − =0 ∂y ∂x D´emonstration. Soit dg(x, y) la diff´erentielle (totale exacte) cherch´ee, montrons dans un premier temps que : Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy = dg(x, y) ⇒

∂Vx (x, y) ∂Vy (x, y) − =0 ∂y ∂x

Nous avons, ∂g(x, y) ∂g(x, y) dx + dy ∂x ∂y = Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy

dg(x, y) =

Les variables x et y ´etant ind´ependantes, on peut ´egaler les coefficients respectifs qui sont devant les diff´erentielles dx et dy, ∂g(x, y) ∂x ∂g(x, y) Vy (x, y) = ∂y

Vx (x, y) =

1. Michel Hulin, Thermodynamique, ´edition Dunod 1994.

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Par cons´equent, ∂Vx (x, y) ∂ 2 g(x, y) = ∂y ∂x∂y 2 ∂Vy (x, y) ∂ g(x, y) = ∂x ∂y∂x Si les d´eriv´ees partielles du second ordre de g(x, y) sont continues, alors l’ordre de d´erivation n’importe pas : ∂ 2 g(x, y) ∂ 2 g(x, y) = ∂x∂y ∂y∂x ∂Vy (x, y) ∂Vx (x, y) = (1) ∂y ∂x Montrons maintenant que, ∂Vx (x, y) ∂Vy (x, y) − = 0 ⇒ Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy = dg(x, y) ∂y ∂x Posons : Z (x,y) g(x, y) − g(x1 , y1 ) = dg(x, y) (x1 ,y1 )

=

Z

(x,y)

[Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy]

(x1 ,y1 )

Si la condition (1) est v´erifi´ee, alors l’int´egrale ne d´epend pas du chemin suivi. Pour le d´emontrer, nous avons besoin du th´eor`eme de Green : Th´ eor` eme 3.2. Th´eor`eme de Green Si D est un domaine ferm´e du plan xy limit´e par une courbe simple ferm´ee C, et si M(x, y) et N(x, y) sont des fonctions continues de x et y ayant des d´eriv´ees continues dans D, alors,  I ZZ  ∂N ∂M (Mdx + Ndy) = dxdy − ∂x ∂y C D o` u C est parcourue dans le sens trigonom´etrique. Le th´eor`eme de Green ne sera pas d´emontr´e. En appliquant ce th´eor`eme `a Vx = M et Vy = N, nous avons :  I ZZ  ∂N ∂M (Mdx + Ndy) = dxdy − ∂x ∂y C D I (Mdx + Ndy) = 0 ABCDA Z Z (Mdx + Ndy) + (Mdx + Ndy) = 0 ABC ZCDA Z (Mdx + Ndy) = (Mdx + Ndy) ABC

ADC

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l’int´egrale pour aller de A `a C est donc ind´ependante du chemin suivi. Par cons´equent, Z (x,y1 ) g(x, y) − g(x1 , y1 ) = [Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy] (x1 ,y1 )

+

Z

(x,y)

[Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy] Z x Z y = Vx (x, y1 )dx + Vy (x, y)dy x1

(x,y1 )

y1

d’o` u, Z x  Z y ∂g(x, y) ∂ Vx (x, y1 )dx + = Vy (x, y)dy ∂y ∂y x1 y1 = Vy (x, y) et, ∂ ∂g(x, y) = ∂x ∂x

Z

x

Z

y

Vx (x, y1 )dx + Vy (x, y)dy y1 Z y ∂Vy (x, y) dy = Vx (x, y1 ) + ∂x y1 Z y ∂Vx (x, y) = Vx (x, y1 ) + dy ∂y y1 = Vx (x, y1 ) + Vx (x, y) − Vx (x, y1 ) x1



= Vx (x, y) La forme diff´erentielle est donc une diff´erentielle totale : ∂g(x, y) ∂g(x, y) dx + dy ∂x ∂y = dg(x, y)

Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy =

 3.2. Cas des fonctions de trois variables. Pour que la forme diff´erentielle Vx (x,y,z)dx + Vy (x,y,z)dy + Vz (x,y,z)dz soit une d.t.e., il faut et il suffit que : ∂h(x, y, z) ∂x ∂h(x, y, z) Vy (x, y, z) = ∂y ∂h(x, y, z) Vz (x, y, z) = ∂z

Vx (x, y, z) =

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autrement dit, il faut et il suffit que le vecteur V(x, y, z) soit le gradient de la fonction h(x, y, z) : −−→ V(x, y, z) = grad h(x, y, z) Th´ eor` eme 3.3. Condition de Schwarz Une condition n´ecessaire et suffisante pour que la forme diff´erentielle Vx (x, y, z)dx + Vy (x, y, z)dy + Vz (x, y, z)dz soit une diff´erentielle (totale exacte) est : ∂Vz (x, y, z) ∂Vy (x, y, z) − =0 ∂y ∂z ∂Vx (x, y, z) ∂Vz (x, y, z) − =0 ∂z ∂x ∂Vy (x, y, z) ∂Vx (x, y, z) − =0 ∂x ∂y On ´ecrit que le rotationnel de V(x, y, z) est nul : − → rot V(x, y, z) = 0 Ce th´eor`eme permet de comprendre pourquoi le champ de vecteur V(x, y, z) ayant trois coordonn´ees peut s’´ecrire `a l’aide du gradient d’un unique scalaire h. Il faut que ses trois coordonn´ees soient reli´ees entre elles par les trois relations pr´ec´edentes. C’est cette d´ependance des coordonn´ees qui est utilis´ee pour ´ecrire V(x, y, z) sous la forme d’un gradient. 3.3. Facteur int´ egrant. − → Soit un champ de vecteurs V(x, y, z) tel que rot V(x, y, z) 6= 0. La forme diff´erentielle qui lui est associ´ee, Vx (x, y, z)dx + Vy (x, y, z)dy + Vz (x, y, z)dz n’est donc pas une diff´erentielle (totale exacte). Existe-t-il une fonction scalaire µ(x, y, z) telle que V/µ soit le gradient d’une fonction, et telle que par cons´equent, Vy Vz Vx dx + dy + dz µ µ µ soit une d.t.e. ? Si tel est le cas, on dit que µ est un facteur int´egrant pour la forme diff´erentielle initiale. V/µ est le gradient d’une fonction ssi son rotationnel est nul :   −−→ 1 1− − →V → rot = rot V + grad ×V µ µ µ =0

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d’o` u, −−→ − → rot V = −µ grad

  1 ×V µ

− → ce qui implique que rot V est perpendiculaire `a V : − → V · rot V = 0 Cette relation constitue une condition n´ecessaire et suffisante a` l’existence d’une fonction qui soit un facteur int´egrant. 3.3.1. Remarque 1. Pour les champs de vecteurs V(x, y) `a deux dimensions, nous avons :     0 Vx (x, y) − → =0 0 V Vy (x, y) · rot V  ∂Vy (x,y) ∂Vx (x,y) 0 − ∂y ∂x

Par cons´equent, il existe toujours un facteur int´egrant pour les champs de vecteurs `a deux dimensions. 3.3.2. Remarque 2. Soit un champ de vecteur V(x, y, z) tel que sa forme diff´erentielle, Vx (x, y, z)dx + Vy (x, y, z)dy + Vz (x, y, z)dz ne soit pas une diff´erentielle (totale exacte). Si l’on a pu lui associer un facteur int´egrant µ, nous avons : V −−→ = grad f (x, y, z) µ soit encore, Vx Vy Vz df = dx + dx + dz µ µ µ Soit g(x, y, z) une fonction de la fonction f (x, y, z) : g = F (f ) dg = F′ df dg = F ′ df Vx F ′ Vy F ′ Vz F ′ = dx + dx + dz µ µ µ A partir du facteur int´egrant µ on trouve la d.t.e. df , puis a` partir de celle-ci on trouve f . On contruit une fonction F de f , que l’on d´erive. On obtient ainsi une famille de facteurs int´egrants µ/F ′ , de la forme diff´erentielle de d´epart. E-mail address: [email protected] URL: http://o.castera.free.fr/