Cours - Torsion Simple Avec Application [PDF]

Zitiervorschau

Cours Génie mécanique

Torsion simple

ELARBI JAFFEL

1- Mise en situation: Système malaxeur de peinture (page 294) 2- Définition : Une poutre est sollicitée à la torsion simple lorsqu’elle est soumise à ses deux extrémités à des actions mécaniques qui se réduisent à deux couples (Mt) égaux et opposés dont les moments sont portés par la ligne moyenne.



Max

XMax = L

3- Déformation angulaire : =.x pour xMax= L, alors :

Avec :  : angle unitaire de torsion exprimé en rad/mm.  : angle de torsion exprimé en rad. L : Longueur de l’éprouvette en mm.

Max =  .L

4- Relation contrainte tangentielle () et angle unitaire () :

 = G .  .  Pour Max = R, alors :



 Max = G . R .  Répartition de la contrainte

5- Relation moment de torsion (Mt) et angle unitaire () :

Mt = G . Io .  ν =d/2

Avec : Mt : Moment de torsion en N.mm G : Module d’élasticité transversale en N/mm2 Io : Moment quadratique polaire en mm4

I0 = (π.d4)/32

ν =D/2

I0 = π.(D4-d4)/32

6- Relation contrainte tangentielle () et moment de torsion (Mt): Avec :

Max =

Mt I0 v

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 Max : contrainte tangentielle maximale en N/mm2 I0 : module de torsion en mm3 v Mt : Moment de torsion en N.mm

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Torsion simple

7- Condition de résistance :  Reg = e Notation : Max  Rpg avec Rpg = Reg / s  Rpg =   p

8- Condition de rigidité (de déformation):

Notation :  Max =  Limite

   Max

9- Calcul du moment de torsion :  On donne la puissance P et la vitesse de rotation N.

P = C.

P : puissance en w. C = Mt : Couple en N.m.  : Vitesse angulaire en rad/s

=

N : vitesse de rotation en Tr/min

2 N 60

 Engrenage :

(Z1,N1)

 On donne le schéma ci –contre :

Moteur

T1/2 Recepteur

C = Mt = T1/2. (d2/2 )= T1/2. (m.Z2/2 ) (Z2,N2)

 On donne PM , NM et (ZM et ZR ou NR) et le rendement : 

 = PR / PM

PR= PM

D’où : r=

10-

NR = NM

CR . R =  CM . M ZM ZR

= 

CR . NR =  CM . NM

CM CR

Conversion des unités :  Puissance, Force, longueur et résistance

 Angle : x ( π / 180)

 (°)

1Kw = 103 w 1N.m = 103 N.mm

 (rad) x ( 180 / π)

1m = 103 mm x (π /180 000)

1daN = 10 N 1 MPa = 1 N/mm2

(°/m)

(rad/mm) x ( 180 000 / π)

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P= Mt× =

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Torsion simple

𝐌𝐭×𝛑𝐍 𝟑𝟎

d’où : Mt =

𝐏×𝟑𝟎 𝛑𝐍

AN/ Mt =

𝟏𝟒𝟎𝟎×𝟑𝟎 𝛑×𝟔𝟑𝟎

= 21.22 N.m

𝐌𝐭 Condition de résistance à la torsion : Max  p avec : Max= 𝐈𝐨

I0=

𝛑 𝐝₁⁴

𝐑

Donc : Max=

𝟏𝟔 𝐌𝐭

≤p

𝛑𝐝₁³

𝐌𝐭

𝛂

𝐝₁³ ≥

= 𝐆 .𝐈𝐨= 𝐋 d’où Avec :

I0=

α=

𝟑𝟐.𝐋. 𝐌𝐭

𝐆.𝛑.𝐝₁⁴

𝟑

𝟏𝟔 𝐌𝐭 𝛑𝛕𝐩

𝟏𝟔 𝐌𝐭 𝛑𝛕𝐩 AN/ α =

𝐝₁ 𝟐

AN/ d₁min =

𝟑𝟐×𝟓𝟎𝟎×𝟐𝟏𝟐𝟐𝟎

𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 ×𝛑×(𝟏𝟐.𝟗𝟐)⁴

𝟑

𝟏𝟔 ×𝟐𝟏𝟐𝟐𝟎 𝛑×𝟓𝟎

=12.92mm

=0.048rd = 2.7o

𝟑𝟐

𝐌𝐭

𝟑𝟐 𝐌𝐭

avec: I0=

= 𝐆.𝛑.𝐝₂⁴≤Limite 𝟒

𝛑𝛕𝐩

d₁min =

𝟑𝟐

R=

𝛑 𝐝₁⁴

= 𝐆 .𝐈𝐨≤Limite AN/ d₂min =

𝟏𝟔 𝐌𝐭

et

𝛑 𝐝₂⁴ 𝟑𝟐

et: Limite = 0.1o/m = 1,745.10 ̄ ⁶rd/mm

𝐝₂⁴ ≥

𝟑𝟐 𝐌𝐭

𝐆.𝛑.𝛉𝐋𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞

d₂min =

𝟑𝟐 𝑴𝒕

𝟒

𝐆.𝛑.𝛉𝐋𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞

𝟑𝟐 ×𝟐𝟏𝟐𝟐𝟎 = 35.27 mm 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎× 𝛑×𝟏,𝟕𝟒𝟓.𝟏𝟎 ̄⁶

dmin = d₂min = 35.27mm Cours En Ligne

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