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Résolution par la méthode des tableaux du simplexe (Exemple complet) Abdelaziz CHETOUANI

Résolution par la méthode des tableaux du simplexe (Exemple complet)

Abdelaziz CHETOUANI École Nationale de Commerce et de Gestion - Oujda Département de commerce Recherche opérationnelle

23 novembre 2020

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Résolution par la méthode des tableaux du simplexe (Exemple complet)

Application : Problème de maximisation avec trois variables La société BETA fabrique trois modèles de meubles : classiques, rustiques, modernes.

Abdelaziz CHETOUANI

La société BETA souhaite déterminer un programme de production optimal. 2/8

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Forme canonique du programme

• Variables

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Forme canonique du programme

• Variables • x :

nombre de modèles classiques à produire

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Forme canonique du programme

• Variables • x : • y :

nombre de modèles classiques à produire nombre de modèles rustiques à produire

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Forme canonique du programme

• Variables • x : nombre de modèles classiques à produire • y : nombre de modèles rustiques à produire • z : nombre de modèles modernes à produire

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Forme canonique du programme

• Variables • x : nombre de modèles classiques à produire • y : nombre de modèles rustiques à produire • z : nombre de modèles modernes à produire • Contraintes  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 5x + 8y + 5z ≤ 900 x + 2y + 3z ≤ 516   2x + 2y ≤ 200   F (x, y , z) = 1000x + 960y + 1200z    

Objectif : Maximiser F (x, y , z)

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Forme canonique du programme

• Variables • x : nombre de modèles classiques à produire • y : nombre de modèles rustiques à produire • z : nombre de modèles modernes à produire • Contraintes  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 5x + 8y + 5z ≤ 900 x + 2y + 3z ≤ 516   2x + 2y ≤ 200   F (x, y , z) = 1000x + 960y + 1200z    

Objectif : Maximiser F (x, y , z)

• Forme standard  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, e1 ≥ 0, e2 ≥ 0, e3 ≥ 0    5x + 8y + 5z + e1 = 900  x + 2y + 3z + e2 = 516   2x + 2y + e3 = 200   F (x, y , z) = 1000x + 960y + 1200z

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Étape 1 : détermination d'une solution initiale La solution initiale ou solution de base consiste à annuler les variables de décision ( variables hors base) et donc les variables d'écarts (variables de base) prennent les valeurs maximales. x = y = z = 0, e1 = 900; e2 = 516 et e3 = 200. Il correspondent à une production est nulle (x = 0; y = 0; z = 0), la valeur de la fonction économique est donc nulle. La capacité disponible des facteurs de production est intacte : e1 = 900; e2 = 516 et e3 = 200. Premier tableau

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Étape 2 : Critère de la variable sortante On calcule les rapports : second membre coef. de la col. de la var. entrante >0 (ici min(900/5; 519/3; 100/0) = 519/3 = 172) que l'on indiquera dans une colonne θ ⇒ e2 variable sortante.

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On obtient le deuxième tableau

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Il s'agit de la solution optimale : tous les coecients de la dernière ligne sont négatifs ou nuls. • Il faut donc fabriquer 12 meubles classiques, 0 rustiques et 168 modernes.

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Il s'agit de la solution optimale : tous les coecients de la dernière ligne sont négatifs ou nuls. • Il faut donc fabriquer 12 meubles classiques, 0 rustiques et 168 modernes. • La fonction économique a pour valeur : 213 600.

Résolution par la méthode des tableaux du simplexe (Exemple complet) Abdelaziz CHETOUANI

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Il s'agit de la solution optimale : tous les coecients de la dernière ligne sont négatifs ou nuls. • Il faut donc fabriquer 12 meubles classiques, 0 rustiques et 168 modernes. • La fonction économique a pour valeur : 213 600. • e1 = e2 = 0, les deux premières contraintes sont saturées.

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Il s'agit de la solution optimale : tous les coecients de la dernière ligne sont négatifs ou nuls. • Il faut donc fabriquer 12 meubles classiques, 0 rustiques et 168 modernes. • La fonction économique a pour valeur : 213 600. • e1 = e2 = 0, les deux premières contraintes sont saturées. • e3 = 176, il reste 176 unités du centre de nition non exploitées.