Cours Thermique Master [PDF]

Zitiervorschau

ROAUME DU MAROC UNIVERSITE MOHAMMED V FACULTE DES SCIENCES DE RABAT

LABORATOIRE DE THERMODYNAMIQUE ET D’ENERGITIQUE

MASTER I COURS DE TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTION CONVECTION RAYONNEMENT Pr. A. DINANE 2017-2018

CHAPITRE 1 GENERALITES SUR LES TRANSFERTS DE CHALEUR I. Introduction : * Transfert de chaleur, Echange de chaleur, transferts thermiques. * Applications: Conversion et transfert d'énergie, chauffage, climatisation, isolation…. * Transfert de chaleur du corps le plus chaud au corps plus froid (2ème principe) : Deux systèmes à températures différentes, Système unique de température non uniforme. * Equilibre thermique : Egalité des températures. * Grandeur fondamentale : Température - Agitation moléculaire. - Non mesurable. - Effet sur une grandeur physique. - Unité légale ( S.I ) le Kelvin : K - Unité courante : °C , °F - Ecart de température indépendant de l’échelle

II. Définitions: II.1 Champ de température : - Valeur instantané de la température en tout point T ( x, y, z, t ) . - Champ de température : scalaire (°C ou K). - Champ indépendant du temps : régime permanent ou stationnaire. - Champ évolue avec le temps : régime variable ou instationnaire. - Champs :

T ( x, t ) mono(uni)directionnel.

Transfert Thermique

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II.2 Surfaces isothermes : Ensemble des points de l'espace ayant à l'instant t la même température :

T ( x, y, z, t )  C te

- Régime instationnaire, elles sont variables. - Régime stationnaire, elles sont invariantes. - Pas d'intersections entre surfaces isothermes. II.3 Gradient de température:

 - Gradient : Variation d’une fonction scalaire dans une direction de vecteur unitaire n .  grad (T)  n. T/n T : Dérivée de la température selon la direction. n

- Normale aux surfaces isothermes. - Orienté dans le sens des T croissantes. - Coordonnées cartésiennes:

grad (T )  ( T / x , T / y, T / z ) II.4 Flux de chaleur : Une surface dS échangeant la quantité de chaleur dQ pendant le temps dt:

dq  dQ / dt Densité de flux de chaleur : flux échangée par unité de surface (unité :W/m2) :

  dQ / dt.dS

1Kwh : Appareil (1 kW) pendant 1h, lampe (100 W) allumée durant 10h.

II.5 Capacité calorifique et chaleur spécifique : Système de masse m échangeant la quantité de chaleur dQ tel que sa température varie de dT.

Capacité calorifique 

Transfert Thermique

chaleur échangée dQ  en J / C ou J / K var iation de température dT Page 3

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chaleur échangée ) / unité de masse var iation de température 1 dQ c  . en J /(kg.C ) ou J /(kg.K ) m dT

chaleur spécifique (

II.6 Chaleur sensible : Chaleur reçue ou cédée par un corps (solide, liquide, gaz) pour faire passer sa température de T1 à T2, sans qu'il change d'état :

Q  m.C.(T2  T1 ) II.7 Chaleur latente : Chaleur reçue ou cédée par unité de masse de tout corps pour changer d'état (Solideliquide; liquidegaz) sans que sa température change. Pour un corps de masse m :

Q  m.L L : chaleur latente J /g II.8 Différents mode de transmission de la chaleur : * Sont aux nombre de trois. * Sont en général présents simultanément. * Souvent un mode est dominant.

A/ Conduction : - Même corps, température non uniforme. - Deux corps en contact de T différentes. - Pas de déplacement de matière. - Présent dans les solides, liquides et gaz, mais important pour les solides. - Transmission par les vibrations des atomes ou molécules et par les électrons libres.

Transfert Thermique

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B/ Convection : - Transfert de chaleur au sein de fluide de température non uniforme ou entre un solide et un fluide de température différentes. - Convection libre ou naturelle : mouvement du fluide dû à des différences de densité. - Convection forcée : mouvement du fluide dû à une action mécanique extérieure : ventilateur, pompe. - Loi fondamentale de la convection

(Loi de Newton ):

q  h. S .(Tp  T f ) q : flux de chaleur échangé par convection (w). h : Coef de transfert de chaleur par convection (W/m2/°C). h (forme et nature des surfaces, vitesse du fluide, propriétés physiques du fluide). S : surface de contact solide fluide (m2).

Tp , T f

température de la paroi et du fluide loin du solide °C

C/ Rayonnement : -Deux corps de T différentes sans contact. - Pas de support matériel : échange à distance. - Seul mode de transfert entre corps distants. - Transfert par onde électromagnétique émise par le corps chaud et absorbé par le corps froid. - Rayonnement électromagnétique caractéristique de tout corps mais significatif aux hautes températures. - Pour un corps de surface externe S de température T, le flux rayonné est donnée par la loi de Stefan :

q   .S . .T 4 Transfert Thermique

(w ) Page 5

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 : Constante de Stéfan



= 5.669.10-8 w.m-2.K-4 .

: Facteur d'émission de la surface, sans dimension < 1.

S : Surface (m2).

II.9 Autres typesde flux a-Flux de chaleur lié à un débit massique Pour un système parcouru par de la matière avec un débit massique d’entrée et de sortie sont T1 et T2 , le flux mis en jeu est :

 (j/g) tel que les températures m

  m .c.(T2  T1 )

c : chaleur spécifique j/g.K

b. Flux stocké Ce flux correspond à un accroissement de la température au cours du temps. En l’absence de changement d’état ce flux est donné par :

st  .V .c.

T t

 (kg / m3).V (m3).c( j / g.C) : Capacité Calorifique

c. Flux généré par source Présent lorsqu’on une énergie interne (chimique, électrique..) est convertie en énergie thermique :

g   .V

 : Densité Volumique (W/m3 )

II.10 Bilan énergétique Un tel bilan traduit le 1er principe : Egalite des flux reçus et cédés par un système :

entrant  généré  Stocké  Sor tan t

Transfert Thermique

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CHAPITRE II TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION INTRODUCTION - Seul mode de transfert de chaleur en solide. - Transfert sans transport de matière. - Transfert dû à une différence de température. - Propagation de la chaleur des zones chaudes vers les zones froides. I. LOI DE FOURRIER - Etablie expérimentalement par Joseph Fourier en 1822. - Elle exprime la densité de flux de chaleur par conduction à travers une surface S. I.1 CAS D'UN MILIEU ISOTROPE :

 1 1   k.gradT . k ( w.m .K ) conductivité thermique du matériau k: Aptitude à conduire la chaleur. - Matériau isotrope

k (M , T ) .

- Matériau isotrope et homogène k (T ) , si intervalle de T réduit, alors : k=Cte. - Signe (-) : chaleur se propage dans les sens des températures décroissantes. - Lignes de courant : tangentes au flux de chaleur donc orthogonales aux surfaces isothermes. - Propagation de la chaleur mutidirectionnelle :

 x  k .

T x

,

Transfert Thermique

 y  k .

T , y

 z  k .

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T z

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- Propagation de la chaleur unidirectionnelle (x):

  k.

dT dx

k : flux de chaleur traversant une surface unité distantes de 1m, tel que : ΔT

1C

- Plus k grand, plus échange important. - Fonction de : nature chimique du matériau, nature de la phase : S, l, G, température. - Conduction en phase liquide et gazeuse par chocs moléculaires. - Conduction dans les solides par vibration et par transport par les e- libres. - Solide conducteur électriquement ------> conducteur thermiquement. - Solide isolant électriquement ------> isolant thermiquement

k (w.m1.K 1 )

Métaux : - Cu

360

- Fe Isolants :

48 - Polystyrène :

- Laine de verre :

0.037 - 0.047 0.034 - 0.047

Matériaux de construction - Briques terre cuites :

1.1

- Béton

1.4

- Plâtre

0.5

- Bois

0.12-0.23

- Verre

1.1

- Air

0.025

- Liège

0.03

- Eau

Transfert Thermique

0.6

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I.2 CAS D'UN MILIEU NON ISOTROPE: - La conductivité dépend de la direction de propagation de la chaleur :

kx  k y  kz .

- Matériaux orthotropes.

 x  k x .

T , x

 y  k y .

T y

 z  k z .

,

T z

II EQUATION DE LA CONDUCTION DE LA CHALEUR. - Elément de solide S de volume - 1er principe :

dv  dx.dy.dz et de masse dm  .dv

dU  dq  dw

- Solide indéformable : dW=0 :

dU  dq

 dU / dt  dq / dt -

T

croit de dT , U croit de :

dU  m.c.dT  dU / dt  m.c.dT / dt  dq / dt

dq  dqconduction  dqsource - Chaleur engendrée par conduction :

* Face z :

* Face z+dz :

Transfert Thermique

qz  k (T / z) z .dx.dy  0.

qzdz  k (T / z ) zdz .dx.dy  0. Page 9

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qz  qz dz 

* Bilan / z :

 k (T / z) z .dx.dy

+

k (T / z ) zdz .dx.dy qz  qz dz

  (k.T / z ).dx.dy.dz z

q x  qx dx 

 (k.T / x).dx.dy.dz x

q y  q y dy 

 (k.T / y).dx.dy.dz y

dqconduction  (

   (k.T / x)  (k.T / y)  (k.T / z)).dx.dy.dz x y z

dqconduction  ( Div.(k.gradT )).dv - Chaleur engendrée par les sources de chaleur : Cas de réaction chimique, nucléaire, effet joule...



: Puissance volumique dégagée

w / m3 :

dqsource   .dv 1er principe:

( Div.(k.gradT )).dv

+  .dv =

.c.T / t.dv

   (k.T / x)  (k.T / y)  (k.T / z)   .dv  .c.T / t.dv x y z

Transfert Thermique

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III. CAS PARTICULIERS. * Régime permanent:

( Div.(k.gradT )) + 

=0

Si en plus le milieu isotrope et homogène : k(T) :

k.T  K=Cte :

 0

dk T 2 T 2 T 2 .(( )  ( )  ( ) )    0 dT x y z

T   / k  0 Eq de poisson

T  0 Eq de Laplace

* Régime variable et milieu isotrope et homogène:

.c.T / t  k.T  En général

dk T 2 T 2 T 2 .(( )  ( )  ( ) )   dT x y z

dk / dT  0.

(1/  ).T / t  T   / K Equation de Fourier

  k / .c (m2 .s-1) : Diffusivité thermique du matériau.

verre  1.4.102 m2 .s 1 cu  0.4m2 .s 1 IV. COORDONNEES CYLINDRIQUES ( r

.c.(T / t ).r  k.T / r  r

, , z ) .

   (k.T / r )  (1 / r ). (k.T /  )  r. (k.T / z )   .r r  z

* Si k=Cte

1  2T (T / t )  .( 2T / r 2  .T / r  (1 / r 2 ). 2   2T / z 2 )   / .c r  Transfert Thermique

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* Si en plus z est un axe de symétrie : T * Si en plus le flux est radial : T

z  0

V. COORDONNEES SPHERIQUES

r 2 ..c.(T / t ) 

.   0

( r , , ) .

 2  (r .k.T / r )  (1 / sin ). (k. sin .T /  )  12  (k.T /  )   r  sin ( ) 

Pour k=Cte, un flux radial:

2 (T / t )   .( 2T / r 2  .T / r )   .c r VI. CONDITIONS AUX LIMITES SPATIO TEMPORELLES. * Equation d'énergie: équation différentielle aux dérivées partielles. * Infinité de solutions. * Etat thermique à l’instant t dépend des excitations aux frontières du milieu et de l'état initial. 1/ Condition initiale: * Régime transitoire ou variable. * Origine des températures.

t  t0

, T(x, y, z,t0 )  T0 (x, y, z)

2/ Conditions aux limites: * Frontières du système étudié. * Conditions sur la température ou sa dérivé. * Pour : t  t 0 .

a- Condition de Dirichlet. * Température imposée à la surface ( paroi ) du solide. Transfert Thermique

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Tparoi  f(x, y, z,t)

f(x, y,z,t)  f(x, y,z)

f(x, y, z,t)  f(t) f(x, y, z,t)  C te b- Condition de Neuman. * Densité de flux imposé à la frontière.

 k (T n) paroi   ( x, y, z, t ) * n est la normale à la paroi. * La température est inconnue. * Surface isolée :

(T n) paroi  0

c- Condition de Robin. * Paroi (frontière du système) en contact avec un fluide.

 k (T n) paroi  h( Tp - Tf ) ( Tp - T f )  Si

h   : Dirichlet k

Si

h 0

 (T n) paroi

h/k

: Paroi Isolé

d- Autres conditions aux limites. * Présence de rayonnement: 4 4  k (T n) paroi  h( Tp - Tf )

Transfert Thermique

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* Contact entre deux solides :

k1 (

Transfert Thermique

T1 ( x0 )  T2 ( x0 )

T1 T ) x 0  k2 ( 2 ) x 0 x x

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CHAPITRE III. CONDUCTION DE LA CHALEUR EN REGIME PERMANENT UNIDIRECTIONNEL SANS SOURCE

INTRODUCTION En régime permanent : T indépendant du temps t, Cas unidirectionnel : T(x)

div(k.gradT )  0

I. Cas de la plaque (Mur) * Milieu formé par deux plans parallèles de Même surface S d’épaisseur L selon l’axe x, et de grandes dimensions selon y et z. * Chaque surface latérale est dans le même état thermique.

I.1 Conditions aux limites de Dirichlet. * les faces

x  0 et x  L

sont à des

températures uniformes :

T( 0 )  T1 et T(L)  T2 . * Dans la plaque

T/z  T/y  0  T ( x)

x  0 et x  L . x  0 et x  L .

* Surfaces isothermes : plans parallèles aux faces * Flux de chaleur orthogonal aux faces *

k:Cte  T  0  d 2T/dx2  0

d 2T/dx2  0  dT/dx  C te  C  T(x)  C.x  D Transfert Thermique

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T( 0 )  T1  B , T(L)  T2  C.L  B  C  (T2 - T1 ) / L

T(x)  T1 - (T1 -T2 ) .x / L ( T(x)  T1 ) / (T2 -T1 )  x / L * Densité de flux de chaleur :

  -k.dT/dx  C te  C   k.

T1  T2 T1  T2 T - T(x) T ( x)  T2   k. 1  k. L L/k x Lx

Déduction de T(x) ci-dessus.

*Flux de chaleur à travers la surface S :

q  .S 

T1  T2 T -T  1 2 L/(k.S) Rthermique

Rthermique(Plaque)  L / (k.S)  m / ( w.m-1.C -1.m2 )  C / w

Transfert Thermique

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1 / Rthermique  U  Conduc tan ce  k.S / L : w / c

q  U.(T1 - T2 )  u.S.(T1 - T2 ) u : coefficient d'échange surfacique global en

w / m2 c ou conductance globale surfacique

du milieu.

T(x)  T1 - q .x / (k.S) *Analogie électrique :

* Cas d'une combinaison de plusieurs plaques:

q  q A  qB  qc Req  RA 

RB .Rc RB  Rc

Transfert Thermique

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I.2 Conditions aux limites de Robin:

k:Cte

 d 2T/dx2  0

x  0 , -k(

dT )0  h1.(T f1  T1 ) dx

dT x  L , -k( )L  h2.(T2  T f2 ) dx T1 , T2

températures des faces inconnues.

* Régime permanent conservation du flux de chaleur qui se propage du fluide chaud (

T f1  T f2 ) au fluide froid en traversant le mur : T f1 - T1 T2 - Tf2 T1 - T2 q   1/h1S L/kS 1/h2 S

Tf1 - Tf2 Tf1 - Tf2 q  1/h1S  L/kS  1/h2 S Rthermiqueglobale Rther globale  Rther convection1  Rther conduction  Rther convection2 Par unité de surface :

Rthermique  1 / h1  L / k  1 / h2 * Températures des faces : Transfert Thermique

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T1  T f1 - q/h1S Tf 1 Tf 2 k.(  )  T f 1.L h2 h1 T1  1 1 k(  )  L h1 h2

T2  Tf 2  q/h2 S  T1 - q.L/kS k.( T2 

Tf 1 h2



Tf 2

)  T f 2 .L

h1 1 1 k(  )  L h1 h2

* Température au sein de la plaque :

T1 - T(x) q  x/ks k.( T ( x) 

Transfert Thermique

Tf 1 h2



Tf 2

 T(x)  T1 - q.x/KS )  Tf1.L

h1 1 1 k(  )  L h1 h2 Page 19

(T f 1  T f 2 )  .x 1 1 k(  )  L h1 h2 Pr. A. DINANE

T ( x)  T f 1 1 x 1  .(  ) 1 1 Tf 2  Tf 1 (   1) L Bi1 Bi1 Bi2 Bi : Nombre adimensionnel de Biot  Pour

h.L k

Bi   ( h i   , k  0) : Résultats de Dirichlet.

h1 tend vers 0 (surface isolée) température tend vers Tf2. * Analogie électrique :

q  U (Tf 1 - Tf 2 )  u.S.(Tf 1 - Tf 2 )

1  Rthermique  1/ h1S  L / kS  1/ h2 S u.S

1  1/ h1  L / k  1/ h2 u u : coefficient d'échange surfacique global en

w / m2 c ou conductance du système.

I.3 Cas de conductivité dépendante de la température.

Transfert Thermique

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* Faces de la plaque aux températures:

T0 et TL

k(T)  k0 .(1  T )

* * Densité de flux :

  k. dT dx  k0 (1  T ).dT dx * Profil de température :

d dT dT (k . )  0  k .  C te  E   dx dx dx k0 .(1  T ).dT  E.dx k0 .(T  T 2 / 2)  E.x  D

x  0  D  k0 .(T0  T02 / 2) x  LE 

k0  (TL  T0 ) (TL  T0 )(  1)   L 2

T ( x)  

1



 (

1



 T0 ) 2  2.

 .x  .k0

II . CAS DE CYLINDRES COAXIAUX. * Deux cylindres coaxiaux de longueurs assez grande et de rayons

r1,r2 .

* Chaque surface latérale est dans le même état thermique. * Flux de chaleur radial Transfert Thermique

 isothermes : des cylindres coaxiaux de même axe. Page 21

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T (r ) donnée par résolution de :

*

d 2T 1 dT d dT T  2   (r )  0 dr r dr dr dr T (r )  ALn(r )  B * C L : Constantes A et B. II.1 condition de Dirichlet :

T(r  r1 )  T1 , T(r  r2 )  T2 T (r )  T1 

T1  T2 T Ln(r2 / r )  T2 Ln(r / r1 ) Ln(r / r1 )  1 Ln(r2 / r1 ) Ln(r2 / r1 )

- Densité de flux de chaleur :

  k

dT T T 1 k 1 2 . dr Ln(r2 / r1 ) r

* Flux de chaleur / cylindre (r, l) :

q  S  .2rl  2k

T1  T2 T1  T2 T   1 Ln(r2 / r1 ) Ln(r2 / r1 ) Rthermique 2kl

Rthermique 

1 Ln(r2 / r1) 2kl

II.2 Conditions de Dirichlet et de Robin.

T(r1 )  T1 , - k

dT ) r r  h(Tr2  T f ) dr 2

r h h r T1 (1  r2 Ln( 2 ))  r2Tf Ln( ) k r k r1 T (r )  r h 1  r2 Ln( 2 ) k r1

Transfert Thermique

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h r k 2

T q  2kl(T1  T f ).  r h 1  r2 Ln( 2 ) Rth k r1 III.3 Conductivité dépendante du temps

k(T)  k0 .(1  T )

*

d dT dT 1 (r.k. )  0  k.  C1   dr dr dr r k0 .(T  T 2 / 2)  C1.Lnr  C2 T (r )  

1



 (

1



 T0 )2 

q r ln( )  .l.k0 r1

T0 température de la surface interne (r1)

III. CAS DE SPHERES CONCENTRIQUES. Deux sphères concentriques de rayons r1,r2 . * Surfaces à température imposée : condition de Dirichlet :

T(r  r1 )  T1 , T(r  r2 )  T2 * Flux de chaleur radial *

 isothermes : des sphères concentriques de même centre.

T (r ) donnée par résolution de :

d 2T 2 dT 1 d 2 dT T  2   (r )0 dr r dr r 2 dr dr *

T (r )  A / r  B

* C L : Constantes A et B.

1  1 r r1 T (r )  T1  (T1  T2 ) 1  1 r1 r2 Transfert Thermique

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* Densité de flux de chaleur :

  k

T T dT 1 k 1 2 . 2 1  1 r dr r1 r2

* Flux de chaleur à travers une sphère de rayon r :

q  S  .4r 2  4k

T1  T2 T1  T2 T   1  1 1 1 ( r  1r ) Rthermique r1 r2 1 2 4k

Rthermique 

1 r2  r1 4k r1r2

* Sphères concentriques de conductivité thermique :

k(T)  k0 .(1  T )

1 d 2 dT ( k . r )0 r 2 dr dr

T (r )  

1



 (

1



 T0 )2 

q

1 1 (  ) 2 k0 r1 r

T0 température de la surface interne (r1)

Transfert Thermique

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CHAPITRE IV LES AILETTES I. INTORDUCTION * Surface baignant dans un milieu fluide :

q  h. S .(TSOLIDE  Tf ) * Pour un écart de température et un fluide donné : augmenter q nécessite de croitre S. * Surfaces auxiliaires collées sur la paroi solide (paroi mère) ayant pour fonction d’augmenter les échanges de chaleur entre la paroi et le fluide. * Transfert entre l’ailette et la paroi mère par conduction. * Echanges avec le fluide par convection. * Utilisées dans les échangeurs industriels, le chauffage central, les radiateurs de véhicules.

II AILETTE RECTANGULAIRE

Hypothèses : * Paroi mère à température uniforme T0. * Régime permanent. * Température uniforme dans une section de l’ailette.

Transfert Thermique

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* Bilan sur l’élément

(2B, dz,W )

qz |z 2BW  qz |z z 2BW  h(2W z )(T  T )  0 dqz h  (T  T ) dz B d 2T h  (T  T ) dz 2 kB



, k

d 2 h   dz 2 kB

  (T  T ) ,

dT  qz dz

2 , on pose : m 

h kB

d 2  m 2  0 2 dx

Equation differentielle :

r2-m2=0

Equation caractéristique :

  C1e mx  C 2 e -mx

Solution de la forme :

  C1' chmx   C '2 shmx 

ou

Deux constantes selon les conditions aux limites. Quatre cas sont possibles ayant une condition aux limites commune : température de la surface mère. II.1 – Ailette infinie : Ailette rectangulaire de très grande longueur

x ,

T  T

  0  T0  T

,

  L  0

  x   C2emx C2  0 Solution en T :

Transfert Thermique

 x    0 e mx

T - T    emx T0 -T 0

,

Page 26

 h  m   kB 

1

2

Pr. A. DINANE

Chaleur totale dissipée par l’ailette. 1. Flux dissipé sur toute la surface de l’ailette. L

 p  2. hW . .  z dz 0

2. Flux à la section d’abscisse

x  0.  d    dx  x0

 p  c ( x  0)  kS 

c  x  0  kS0  m emx x0

c ( x  0)  KSm0  2.W . h.k.B.0 II.2 Ailette courte. Flux dissipé par la surface latérale et la section droite extrême.

 d    0  0  T0  T , - k    he  x  L   dx  x L he cœfficient d’échange par convection à l’extrémité.

  0  C1'  T0  T  0 he he '  d  ' ' '  dx   mC1sh(mL)  mC2ch(mL)  - k  L   k C1ch(mL)  C2 sh(mL)  xL





he   '  he  msh ( mL )  ch ( mL ) C   sh(mL)  mch(mL) C2' 1    k   k 

Transfert Thermique

Page 27

Pr. A. DINANE

 he   he   mk  ch(mL)  sh(mL)  mk  ch(mL)  sh(mL)   C2'  C1'   0   he   he   mk  sh(mL)  ch(mL)  mk  sh(mL)  ch(mL)      he   mk  ch(mL)  sh(mL)   sh  mx   x    0 chmx  0  h  e  mk  sh(mL)  ch(mL)   h  h  ch(mx)ch(mL)   e  ch(mx)sh(mL) -  e  ch(mL)sh(mx) - sh(mL)sh(mx)   x  mk   mk   0 h  ch(mL)   e  sh(mL)  mk  h  ch  m  L - x     e  sh  m  L - x     x  mk   0 h  ch  mL    e  sh  mL   mk  T  x   T   x  ch  m  L - x    He sh  m  L - x     T  x   T0 0 ch  mL   He sh  mL 

,avec : H e



he m

Flux total dissipé :

msh(mL)-mHech(mL)  d    kS  0  ch(mL)  Hesh(mL)  dx  x0

 p  c ( x  0)  kS 

 p  mkS0

th  mL  He 1  He th  mL

P  2W h.k.B.0

Transfert Thermique

th  mL  He 1  He th  mL

Page 28

Pr. A. DINANE

II.3 Ailette adiabatique Surface d’échange à l’extrémité est plus faible que celle latérale : négliger les échanges à l’extrémité (

h e  0 ).

Solution déduite du deuxième cas en ( h e  0 )

 x chmL - x  0 ch(mL)

 x ch(mL)ch(mx) - sh(mL)sh(mx)  0 ch(mL) Tx   T  x    chmx   th mL shmx  Tx   T0 0 Flux total dissipé par l’ailette :

 d    dx  x 0

 p  c  x  0  kS 

 p  kS0 mtanh(mL)  p  2.W.0 h.k.B tanh  mL II.4 Ailette de deux surfaces mères :   0  0 ,   L   L C1'  0 , C'2 

 L   0 chmL   C'2 shmL 

θL  θ0 chmL  θ0 θL   shmL  shmL  th mL 

0   L shmx    shmL  th mL  

 x   0 chmx  

 Tx   T  x  1 1  shmx    chmx    L      Tx   T0 0  sh mL th mL  0 

Transfert Thermique

Page 29

Pr. A. DINANE

Flux total de dissipation :

 d    dx  x0

 p  kS 

 L 0   kSm     sh(mL) th(mL)   L  0ch  mL   sh mL    

 p  kSm 

Transfert Thermique

Page 30

Pr. A. DINANE

CHAPITRE IV. CONDUCTION DE LA CHALEUR EN REGIME PERMANENT UNIDIRECTIONNEL AVEC SOURCE * Exemples de sources: - Résistances et câbles électriques. - Réacteurs nucléaires, Réactions chimiques. * Sources de chaleur :

Cte, f(T), f(M), f(t), 0 , 0 )

I. CAS DE LA PLAQUE ( MUR ). * Milieu formé par deux plans parallèles de même surface S d’épaisseur 2L selon l’axe x et de grandes dimensions selon y et z. * Chaque surface latérale est dans le même état thermique. *

d 2T/dx2   K  0 ,  (w / m3 )

I.1 Conditions aux limites de Dirichlet. * les faces

x  0 et x  2L

sont à des températures uniformes :

T( 0 )  T1 et T( 2L)  T2 . T(x)  

 2 .x  A.x  B 2k

2L2 x x x T(x)  T1  .[  ( )2 ]  (T2  T1 ). k 2L 2L 2L

Transfert Thermique

Page 31

Pr. A. DINANE

* Densité de flux de chaleur :

  -k.dT/dx  k

  0: *

(T1  T2 ) x   .L(1  ) : ( x ) 2L L

T(x) et (x)

chap 2

2L2 x x .[  ( )2 ] Si T1  T2 : T(x)  T1  k 2L 2L

* Max de température au milieu : x  L 

dT )L  0 dx

* Changement d'origine.

d 2T/dx2   K  0

T(x)  T1 

 2 2 .( x  L ) 2k

dT ) x0  0 et T(L)  T1 dx

Tmax  T ( x  0)  T1  T(x)  Tmax 

 2 .L 2k

 2 .x 2k T(x)  T1 x  1  ( )2 Tmax  T1 L

* Flux de chaleur à travers 1 surface S :

q( x)   k.S.

dT ) x   .S.x dx

Inversement de la conservation de Flux ci-dessus et on déduit T(x) calculée auparavant.

q( x  L)   .S.L  Transfert Thermique

2.k.S.(Tmax  T1 ) L Page 32

Pr. A. DINANE

* Plaque symétrique en contact avec un fluide sur les deux faces.

q( x  L)   .S.L  T ( L)  T f 

2.k.S.(TMax  TL ) L

 .L h

I.2 Conditions aux limites de Dirichlet - Robin.

d 2T/dx2   K  0 , 0  x  L T( 0 )  T1 , - k. 

dT ) xL  h.(T ( L)  T ) dx

x h.L , Bi  L K 1

T  T1 L2 1  2Bi T(x)  T1   .(   2) 1 1 2k 1  Bi 1  Bi * Pour

Bi 

h.L  K

* Surface isolée

Bi 

 Dirichlet T(L)  T

h.L 0 K

T(x)  T1 

L2 2k

.(2   2 )

I.3 Conductivité fonction de la température. *

k(T)  k0 .(1  T ) d dT (k . )    0 , 0  x  L dx dx k0 .(1  T ).

Transfert Thermique

dT   .x  C dx

Page 33

Pr. A. DINANE

* Surface

x0

tel que :

dT  0 ( Symetrie dans une plaque 2L, ou isolation )  C  0. dx 

 2.k0

x2  T 

 2

T2  D

D : condition aux limites en x= L, Dirichlet ou Robin

  1  , T(x)  -  (T1  ) 2  .(L2  x 2 )    k0   1

T ( L)  T1

1/ 2

II. CYLINDRE PLEIN. * Cylindre de grande longueur dont la surface est dans le même état thermique. * Flux radial

 T(r)

d 2T 1 dT    0 dr 2 r dr k d dT  .r (r )  0 dr dr k

T (r )  

 4.k

r 2  C.Ln(r )  B

*

r  0  C  0 ( Divergence, symétrie, Bilan )

*

r  R  Toute condition sauf

dT 0 dr

II.1 Condition de Dirichlet à la surface. * *

T(r  R)  TR T(r)  TR 

R2

r .(1  ( )2 ) 4k R

T(r)  TR r  1  ( )2 Tmax  TR R * Quantité de chaleur / cylindre (r , L):

q   k.S.

dT   .r 2 .L. dr

II.2 Condition de Robin à la surface.

Transfert Thermique

Page 34

Pr. A. DINANE

-k.

*

*

*

dT ) x  R  h.(T ( R)  T ) dr

T(r)  T 

 .R  .R2 2.h

q(r )  k.S.

r .(1  ( )2 ) 4.k R



dT )r   .r 2 .L. dr

 ( r  R) 

q( R)  .R   h.(TR  T ) 2 .R.L 2

II.3 Conductivité fonction de la température.

k(T)  k0 .(1  T )

*

* Bilan :

r 2  2rk0 (1  T ).

dT dr

T2 r 2 T   D 2 4k 0 III . CAS DE CYLINDRES COAXIAUX.

* Deux cylindres coaxiaux de longueurs assez grandes et de rayons

r1,r2 .

* Surfaces latérales à températures uniformes * Flux de chaleur radial  isothermes : des cylindres coaxiaux de même axe.

III.1 condition de Dirichlet :

T(r  r1 )  T1 , T(r  r2 )  T2 T (r )  T2  r22 r12 Ln(r / r1 ) r 2 r12 Ln(r / r2 )  [(1  2 )  ( 2  2 )]  T1  T2 4K (T1  T2 ) r2 Ln(r2 / r1 ) r2 r2 Ln(r2 / r1 ) III.2 Dirichlet à l’extérieur et isolation à l’intérieur Transfert Thermique

Page 35

Pr. A. DINANE

dT ) r r1  0 , T(r2 )  T2 dr  L(r 2  r12 )  2 rkL. T (r )  

r 2 r12 4k



2k

dT dr

Ln(r )  B

T (r )  T2 

 (r22  r 2 )  r12 4k



2k

Ln(r / r2 )

III. CAS DE SPHERES PLEINES.

*

d 2T 2 dT  1 d 2 dT     (r ) 0 dr 2 r dr K r 2 dr dr K

1 d2   ( rT )  0 2 r dr K T (r )   * *

 6k

r2  A 

B r

B  0: Divergence , symétrie, bilan en r  R T (r  R)  TR , T (r ) 

 6k

( R 2  r 2 )  TR

* Idem par bilan thermique :

4 3

 r 3  k.4r 2

Transfert Thermique

dT dr

Page 36

Pr. A. DINANE

III. CAS DE SPHERES CONCENTRIQUES.

dT ) r r  0 , T(r2 )  T2 dr 1 T (r )  T2 



(r  r )  2 2

6k

2

r13 1 1

(  ) 3k r2 r

IV SOURCES DEPENDANTES DE LA TEMPERATURE. * Résistance électrique :

T

* Réactions chimiques :  : exp(-T)

(T)   0 .(1  T ) IV.1 LA PLAQUE.

*

d 2T/dx2   0 (1  T ) K  0 dT ) x0  0 et T(L)  T1 dx

* Solution particulière :

T 

1



* Solution sans second membre :

d 2T / dx2   2T  0 SOLUTION :

,

2   0 / K

T ( x)  A Cos( x)  B Sin( x)

* Solution générale :

T ( x)  A Cos( x)  B Sin( x) 1/ 

Transfert Thermique

Page 37

Pr. A. DINANE

* Conditions aux limites :

1 Cos( x) T ( x)  (T1  ) 1/   Cos( L) *

x0

*

Lw   /2

*

Lw  L

 T  Tmax

 T   : fusion de la plaque  0 k

  /2

  0 

 2 .k 4.L2

IV.2 LE CYLINDRE PLEIN.

d 2T 1 dT    0 dr 2 r dr k *

,

(T)   0 .(1  T )

dT )r 0  0 , T(r  R)  TR dr

d 2T 1 dT  0 (1  T )   0 dr 2 r dr k * Solution particulière :

T 

1



* Solution sans second membre :

d 2T 1 dT    2 .T  0 2 dr r dr

,

2   0 / K

Equation de Bessel d’ordre  :

d2 f df z . 2  z.  ( z 2  2 ). f  0 dr dr 2

De solutions J0 et Y0 tel que : J0(0)= 1 Transfert Thermique

et Y0(0)= Infini Page 38

Pr. A. DINANE

*

  0 , z  .r T (r )  TR 

*

 1 J 0 (r ) ( 1) ,   ( 0 )1/2  J0 (R) k

T   si J 0 ( R)  0   R  R (

Transfert Thermique

 0

Page 39

k

)1/2  2.408

Pr. A. DINANE

CHAPITRE V CONDUCTION EN REGIME VARIABLE SANS SOURCE INTRODUCTION Suivre l’évolution de la température du système en fonction du temps

V.1 SYSTEMES THERMIQUES A TEMPERATURES UNIFORMES. Solide en contact avec un fluide (h,Tf) et dont on cherche la température sous l’hypothèse suivante : -Température uniforme au sein du solide. Chauffage et refroidissement en bloc. -

Gradient de température interne négligeable.

-

Résistance thermique par conduction négligeable devant celle par convection.

-

Critère du modèle :

Bi  1 Bi 

avec :

L h.L Résis tan ce thermique par conduction  k 1 k Résis tan cethermiqueparconvection h Avec L : Longueur caractéristique

-

L

V S

Bonne précision. Solide de température T à t. dt , dT : Conservation d’énergie :

 .C.V .dT  h.S.(T  T f )dt S : Surface d’échange , Transfert Thermique

V : Volume du corps Page 40

Pr. A. DINANE

T  Tf h.S  Exp( .t ) Ti  T f .C.V

:

.C.V h.S

Refroidissement et chauffage

   Seconde  C te du temps :

T ( )  Tf 1   0.368  36.8 % Ti  Tf e

h.S h.L k t t . .  Bi.Fo .C.V k .C L2

;

Fo 

k t t . 2  2 .C L L

Fo : Nombre de Fourier T  Tf  Exp(Bi .Fo ) Ti  T f Transfert Thermique

Page 41

Pr. A. DINANE

V.2

SYSTEMES

THERMIQUES

DE

RESISTANCES

THERMIQUES

NON

NEGLIGEABLES EN REGIME UNIDIRECTIONNEL. * Résolution de l’équation de la chaleur pour des configurations de base pour diverses conditions aux limites à la surface du système : température ou flux imposés et échange par convection.

(1/  ).T / t  T Equation de Fourier A. LA PLAQUE. Plaque infinie par rapport à y et z et d’épaisseur 2L, de diffusivité thermique initiale

Ti



et de température

.

A.1 CONDITION DE DIRICHLET. 1ere technique : Variable séparées.

 2T  (1/  ).T / t x2

T ( x,0)  Ti : 0  x  2L

T (0, t )  T (2L, t )  T1

 ( x, t )  T ( x, t )  T1  2  (1/  ). / t x2

 ( x,0)  i  Ti - T1

,

 (0, t )   (2L, t )  0

 ( x, t )  f (t ).g ( x) g ' ' ( x) 1 f ' (t )  .  C te  m2 g ( x)  f (t ) Transfert Thermique

Page 42

Pr. A. DINANE

g ' ' ( x)  m2 .g ( x)  0 , f ' (t )   .m2 . f (t )  0

g ( x)  ACos (mx)  BSin(mx) , f (t )  Cem t 2

 ( x, t )  (C1Cos(mx)  C2Sin(mx)).em t 2

 (0, t )  0  C1  0  (2L, t )  0  C2 .Sin(2Lm)e-αm t  0 2

n.π , n  N* 2.L

Sin(2Lm)  Sin(n. )  m 

* Solution élémentaire :  ( x, t )  Cn Sin(

m 

Sin(

n. n. x).exp( ( )2 .t) 2.L 2.L

n.π : Valeurs propres 2.L

n. x) : Fonctions propres 2.L

* Solution générale :

 ( x, t )  Cn Sin( n 1

n. n. x).exp( ( )2 .t) 2.L 2.L

 ( x,0)  i  Cn Sin( n 1

n. x) 2.L

1 n. Cn  .  ( x,0).Sin( x).dx n  1,2,3 L 0 2.L 2L

 ( x, t )  [ n 1

1 2L n. n.  ( x , 0 ) Sin ( x ) . dx ] Sin ( x) L 0 2.L 2.L n. .exp(- ( )2 t ) 2.L

Transfert Thermique

Page 43

Pr. A. DINANE

A.1.1 Température initiale uniforme :

 ( x,0)  i  Ti - T1  Cte Cn 

4 .i , n  1,3,5,.... n

 ( x, t ) T(x, t) - T1 4 1 n.    Sin( x) i Ti - T1  n 1 n 2.L n. .exp(- ( )2 t ) , n  1,3,5,...

2.L  ( x, t ) T(x, t) - T1 4 1 n.    Sin( x) i Ti - T1  n 1 n 2.L n. .exp(-( )2 .F0 ) , n  1,3,5,... 2

* Temps assez grand

T(x, t) - T1 4    .exp(-( )2 .F0 ) Sin( x) Ti - T1  2 2.L

Transfert Thermique

Page 44

Pr. A. DINANE

A.1.2 Chaleur échangée: Le flux de chaleur instantané traversant tout plan d’abscisse x est donné par :

d 2S.k.i n. ) cos( x)  dx L n 1 2L * n. .exp(-( )2 .F0 ) , n  1,3,5,... 2

q( x, t )  kS

q(L,t)  0 A.1.3 Chaleur cumulée: La quantité de chaleur ayant traversé un plan d’abscisse x entre les instants t=0 et t est :

Q( x, t )   q( x, t )dt   t

0

[1- exp(-(

8S.k.L.i.

 2

n. 2 ) .F0 )] 2

1 n. . cos( x)  2 n 2 L n 1 *

, n  1,3,5,...

Pour x  0 ou x  2L , on obtient la chaleur entre les mêmes instants gagnées ou perdues par la plaque :

Q(0, t )   q(0, t )dt   t

0

8S.k.L.i.

 2

n. [1- exp(-( )2 .F0 )] 2

1

n . n 1

2

, n  1,3,5,...

*

Chaleur totale emmagasinée ou à céder par la plaque :

Qmax   cL(T1  Ti )S Q(0, t ) 8 1 n.  2  2 . [1- exp(-( )2 .F0 )] , n  1,3,5,... Qmax  n1 n 2

1 2   2 8 n 1 n Transfert Thermique

Page 45

Pr. A. DINANE

Q(0, t ) 8 1 n.  1  2  2 . exp(-( )2 .F0 ) , n  1,3,5,... Qmax  n1 n 2

2ème technique : Transformée de Laplace.

 2T  (1/  ).T / t x2 T ( x,0)  Ti : 0  x  2L

T ( L, t )  T ( L, t )  T1 ,

T (0, t )  0 x

 ( x, t )  T ( x, t )  Ti  2  (1/  ). / t x2

 ( x,0)  0 ,  ( L, t )  T1  Ti ,

 )0  0 x

* la transformé de Laplace de la température  ( x, t ) est

( x, p)  L ( x, t )   exp(-pt) ( x, t )dt 

0

Transfert Thermique

Page 46

Pr. A. DINANE

Celle de l’équation à résoudre donne :

d 2 1  [ p   ( x,0)]  0 dx2 

 ( x,0)  0 

d 2 2 p 2  q   0 , avec q  dx2 

( x, p)  Ach(qx)  Bsh(qx) * Transformée de Laplace de la C.L au centre :

 )0  0  B  0 x * Transformée de laplace de la C.L à la paroi :

( L, p) 

( x, p) 

T1  Ti T T  A 1 i p pch(qL)

(T1  Ti )ch(qx) (T1  Ti )(eqx  e qx )  pch(qL) peqL (1  e2qL )

( x, p) 

(T1  Ti )  q ( L x )  q ( L x ) 1 [e e ] p (1  e2qL )

(T0  Ti ) q( L x) q( L x)  ( x, p)  [e e ](1)ne2qnL p 0  (T0  Ti )  n q[( 2 n1) L x ] ( x, p)  [(1) e  (1)neq[(2n1) Lx] ] p n0 0

* La

transformation inverse donne finalement :  T ( x, t )  Ti (2n  1) L  x (2n  1) L  x   (1) n [erfc( )  erfc( )] (T0  Ti ) 2  t 2  t n 0

erf (u) 

2



u

0

e x dx 2

, erf (0)  0 , erf ()  1

erfc(u)  1  erf (u) Solution qui converge plus rapidement pour les temps faibles que celle donnée par la première technique. Transfert Thermique

Page 47

Pr. A. DINANE

A.2 ECHNAGE CONVECTIF A LA SURFACE * Origine des x au centre.

 ( x, t )  T - Tf

*

 2  (1/  ). / t x2  ( x,0)  Ti - Tf : 0  x  2L

* *

 ) x 0  0 , t  0 , x

*

* *

x  0

 h ) x L    ( L, t ) , t  0 , x  L x k  ( x, t )  f (t ).g ( x)

g ' ' ( x) 1 f ' (t )  .  C te  m2 g ( x)  f (t )

g ' ' ( x)  m2 .g ( x)  0 , f ' (t )   .m2 . f (t )  0

g ( x)  ACos (mx)  BSin(mx) , f (t )  Ce

 ( x, t )  (C1Cos(mx)  C2Sin(mx)).e

 m2t

 m2t

* 1er condition aux limites: 2  ) x0  0  C2 .em t  C2  0 x

 ( x, t )  C.Cos(mx).em t 2

*

* 2ème condition aux limites: Transfert Thermique

Page 48

Pr. A. DINANE

2  h ) x L  C.m.sin(mL).em t  -  ( L, t ) x k

2 2  h ) x L  C.m.sin(mL).em t  - C. cos(mL).em t x k

*

m. sin(mL) 

* En posant

  mL

h cos(mL) k on a :

ctg (mL)  ctg ( ) 

k.m k(mL) λ   h hL Bi

Dont les courbes sont pour Bi=10 :

*

n  mn .L

racines

de

l’équation

transcendante

précédente

(graphiquement

ou

numériquement). 

*

 ( x, t )  Cn .Cos(mn x).em

* Constantes

n

t

2

n 1

Cn

à partir de la condition initiale : 

*

Transfert Thermique

 ( x,0)  i  Cn .Cos(mn x) n 1

Page 49

Pr. A. DINANE

* Même technique qu’auparavant : multiplier par

Cos(mp x)

et intégrer entre

x  0 et x  L . *



*

2  . Cos ( m x ). dx  C . Cos (mn x).dx i n n 0 0

L

0

Cos(mn x).Cos(mp x).dx  0 , si n  p

L

L

A.2.1 Température initiale uniforme * Solution générale:

x sin  cos(  ) n n 2 2  ( x, t ) T ( x, t )  Tf L   2 .en (t / L ) i Ti  Tf n 1 n  sin n cos n 

2 2  ( x, t )   n1 2 Bi Bi  n .   (1) cos(   ). e n i n ( Bi2  Bi  2n ) n 1

n

Bi 

hL k

F0 

,

t 2

L

,

2

F0

Où :

  Lx

* Bi   : condition aux limites de Dirichlet : T ( L, t )  T f : n  (2n  1)

 2

indépendamment

de L, La solution générale avec ses données se réduit à celle établi pour les conditions de Dirichlet (A.1).

A.2.2 Flux de chaleur instantané : Le flux échangé entre la paroi et le fluide s’écrit :

q( x, t ) 2i k  n sin2 n n 2 (t / L2 ) ) xL  . e  S L n1 n  sin n cos n

Transfert Thermique

Page 50

Pr. A. DINANE

A.2.3 Flux de chaleur cumulé: t q( x, t ) Q( x, t ) ) xL   ) x  L dt 0 S S

2i kL  sin2 n [1  e n (t / L ) ] Q( x, t ) ) xL  .  S  n 1 2n  n sin n cos n 2

2

 i kL 2 sin2 n e n (t / L ) Q( x, t ) ) xL  (1   2 ) S     sin  cos  n 1 n n n n 2

2

 2 sin2 n e n (t / L ) Q( x, t ) ) x  L  Qmax (1   2 ) S n 1 n  n sin n cos n 2

2

A.3 FLUX IMPOSE Plaque d’épaisseur 2L initialement à température uniforme et soumise sur ses deux faces au même flux q0. Avec l’origine des coordonnées au plan médian : * Technique de variables séparées :

q0 L t x 2 1 2 (1) n n.x T(x,t)-Ti  [ 2  2   2  2 cos( ) k L 2L 6  n 1 n L n. . exp(-( ) 2 .t )] L

* Transformée de Laplace:

A détailler

2q  t T ( x, t )  Ti  0 k

ierfc(u) 

1





 [ierfc( n 0

(2n  1) L  x (2n  1) L  x )  ierfc( )] 2 t 2 t

Avec :

exp(u2 )  u[1  erf (u)] : Fonction tabulée

B. LE CYLINDRE.

Cylindre infini ( Longueur diamètre) : température fonction uniquement de la variable radiale.

B.1 température imposée à la surface. Transfert Thermique

Page 51

Pr. A. DINANE

d 2T 1 dT   (1/  ).T / t dr 2 r dr T (r ,0)  Ti : 0  r  R

; T ( R, t )  T1

 (r, t )  T (r, t )  T1 d 2 1 d   (1 /  ). / t dr 2 r dr

 (r ,0)  Ti - T1

;

 ( R, t )  0

 (r, t )  f (t ).g (r ) g ' (r ) r  1 . f ' (t )  C te  2 g (r )  f (t )

g ' ' (r ) 

f ' (t )   .2 . f (t )  0 g ' ' (r ) 

g ' (r )  2 .g (r )  0 r

Equation différentiel de Bessel d’ordre Zéro de solutions :

g (r )  AJ 0 (r )  BY0 (r ) J0 et Y0 sont les fonctions de Bessel de 1er et 2ème espèce d’ordre Zéro.

f (t )  Ce t 2

 (r, t )  (C1J0 (r)  C2Y0 (r)).e t 2

J 0 (0)  1 ,

Y0 (0)  



C2  0

 (r, t )  C1J0 (r).e t 2

 ( R, t )  0  C1.J 0 (R)  0

*

J 0 (n .R)  0  J 0 (M n ) , n  1,2,3 .. *

Mn

racines positives de la fonction de bessel

Transfert Thermique

J0

Page 52

avec :

J 0 ( M n )  J 0 ( M n ) Pr. A. DINANE

n 

Mn : Valeurs propres R

J 0 (n .r ) : Fonctions propres * Solution générale : 

r R

 (r, t )  Cn J 0 (M n . ).exp(.( n 1

Mn 2 ) .t) R

* Constantes Cn : condition initiale. 

r R

 (r,0)  Cn .J 0 (M n . )  i n1

* En multipliant par r.J 0 (M m . r ) (m entier ) et en intégrant entre 0 et R sachant que les fonctions de R

Bessel sont orthogonales c’est à dire : R

 r.J 0 (M n 0

r r ).J 0 (M m ).dr  0 R R

R

r R2 2 2 r . J ( M ). dr  ( J (M )  J (M n )) n 1 n 0 0 R 2 2 0

si

mn si m  n

J 0 (M n )  J 0 (n .R)  0 R

2  r. J 0 ( M n 0

r R2 2 ).dr  ( J1 (M n )) R 2

si m  n

* Les cœfficients C n sont donnés par:

Cn 

 (r , t ) 

R 2 r r.i .J 0 (M n . )dr  R J (M n ) 0 R 2



2  R 2 n1

Transfert Thermique

2 1

r ) Mn 2 R R e ( R ) t r J (M r )dr 0 i 0 n R J12 (M n )

J 0 (M n

Page 53

Pr. A. DINANE

B.1.1 Température initiale uniforme :

 z.J ( z)dz  z.J ( z)  C 0

te

1

J1(0)  0

,

r )  ( M n )2 t  (r, t ) T (r, t )  T1 R   2. e R i (Ti  T1 ) M . J ( M ) n 1 n 1 n J 0 (M n



B.1.2 Flux instantané: * Pour un cylindre de référence quelconque de longueur l, le flux est donné par :

T r

q(r , t )  k.2rl

* Pour une température initiale uniforme :

dJ 0 ( z )   J1 ( z ) dz

q(r , t )  4kli .



r  R n1

r ) Mn 2 R e  ( R ) t J1 ( M n )

J1 ( M n

B.1.3 Flux cumulé: Entre deux instant o et t le flux de chaleur traversant le cylindre de référence est :

Q(r, t )   q(r, t )dt   t

4kli

0

.





.rR.

r ) R J1 ( M n )

J1 ( M n

n 1

M α( n )2t 1 R [ 1 e ] 2 Mn

Le flux de chaleur traversant le cylindre de rayon R est :

Q( R, t )   q( R, t )dt   t

0

4kli





M α( n )2t 1 R [ 1 e ] 2 n 1 M n

.R 2 .

M  α( n )2t Q( R, t ) 1  4. 2 [1- e R ] Qmax n 1 M n

Avec :

Qmax  R 2lc (T1  Ti )  R 2l

Transfert Thermique

k



(T1  Ti )

Page 54

Pr. A. DINANE

B.2 ECHANGE CONVECTIF EN SURFACE * Cylindre initialement à la température T (r ,0)  Ti

et

plongé dans un milieu de température ( T , h ).

 (r, t )  T (r, t )  T

*

d 2 1 d   (1 /  ). / t dr 2 r dr

 (r ,0)  Ti -T , t  0 , 0  r  R

*

 ) r 0  0 , t  0 , r

*

r  0

 h )r R    ( R, t ) , t  0 , r  R r k

*

 (r, t )  f (t ).g (r ) g ' (r ) r  1 . f ' (t )  C te  2 g (r )  f (t )

g ' ' (r ) 

g ' ' (r ) 

g ' (r ) 2   .g ( r )  0 r

f ' (t )   .2 . f (t )  0

g (r )  AJ 0 (r )  BY0 (r ) * Température au centre finie :

 (r, t )  C1J 0 (r ).e Avec

2t

 C1J 0 (

r R



).e

( ) 2 t R

  .R

Transfert Thermique

Page 55

Pr. A. DINANE

* Condition en surface: 

C1.e Avec

 ( ) 2 t h . .J1 ( )  .C1.e R J 0 ( ) R k



d r  r J 0 (  )  - .J1 (. ) dr R R R

J 0 ( ) k     J1 ( ) h R Bi

* *

( ) 2 t R

n

, Bi 

hR k

racines de l’équation précédente de constante associée C n

* Solution générale :

r ( Rn )2 t  (r, t )   Cn J 0 (n ).e R n 1 

* Condition initiale : 

r R

 (r,0)  i  Cn J 0 (n ) n 1

r 2 J 0 ( n . ) R 2 2 r R  (r , t )   2 2 [ r.i .J 0 (n . )dr ].ent / R 2 0 R n1 R ( J 0 ( n )  J1 ( n )) 

*

B.2.1 Température initiale uniforme :



R

0

r R2 r.i .J 0 (n . )dr  .i .J1 (n ) R n

 (r , t )  2 J1 (n ) r  t / R  . J (  . ).e 0 n 2 2 i R n1 n ( J 0 ( n )  J1 ( n )) 2 n

2

r J (  . )  0 n  (r , t )  n2 FO' R  2.Bi . .e 2 2 i n 1 J 0 ( n )(n  Bi ) Transfert Thermique

Page 56

Pr. A. DINANE

B.2.2 Flux de chaleur instantané:

q(r , t )  k.2rl

T r

,

dJ 0 ( z )   J1 ( z ) dz

B.2.3 Flux de chaleur cumulé:

Q(r, t )   q(r , t )dt t

0

B.3 FLUX IMPOSE Pour une température initiale uniforme la solution est donnée par:  2  q0 R  1 r2 2 r T (r, t )  Ti  J 0 (n )en F0 . 2F0   2   2 k  4 2R n1 n J 0 (n ) R 

C. LA SPHERE. C.1 CONDITION DE DIRICHLET.

d 2T 2 dT   (1 /  ).T / t dr 2 r dr T (r ,0)  Ti : 0  r  R ; T ( R, t )  T1

 (r, t )  T (r, t )  T1 d 2 2 d   (1 /  ). / t dr 2 r dr

 (r ,0)  Ti - T1

;

 ( R, t )  0

 (r, t )  f (t ).g (r) d 2 g 2 dg   m 2 .g ( r )  0 2 dr r dr

h(r )  r.g (r ) 1 g (r )  ( A cos(mr)  B.sin(mr)) r Transfert Thermique

Page 57

Pr. A. DINANE

C.1.1 Température initiale uniforme:

 (r, t ) T(r,t)-T1 2R (1)n1 nr   Sin( )  i Ti -T1 r n 1 n R n. .exp(- ( )2 t ) R

C.1.2 Flux de chaleur instantané: * Pour une sphère de référence quelconque de rayon r, le flux est donné par :

q(r , t )  k.4r 2

T r

(1)n1 n. q(r, t )  8kr R.(T1-Ti ). .exp(- ( )2 t ) n R n 1 1 n.r n. n.r [ 2 Sin( ) cos( )]. r R rR R 2

C.1.3 Flux de chaleur cumulé: Entre deux instant o et t le flux de chaleur traversant la sphère de référence est :

(1) n1 n. Q(r, t )  2 (T1-Ti ) 3 (1- exp(- ( ) 2 t ))  n R n 1 1 nr n. n.r [ 2 Sin( ) cos( )] r R rR R 8kr 2 R3

A travers la sphère de rayon R, on a

Q( R, t ) 

8k



1 n. 2 (1 exp ( ( ) t )) 2 n R n 1

R3.(T1-Ti ).

Q( R, t ) 6 1 n.  2 . 2 (1  exp(- ( )2 t ) ) Qmax  n1 n R Avec :

Transfert Thermique

Qmax

4R3  .c(T1  Ti ) 3 Page 58

Pr. A. DINANE

C.2 ECHANGE PAR CONVECTION EN SURFACE. *

*

*

*

*

 (r, t )  T (r, t )  T d 2 2 d   (1 /  ). / t 2 dr r dr

 (r,0)  Ti - T , t  0 , 0  r  R  ) r 0  0 , r

t 0 ,

r  0

 h )r  R    ( R, t ) , t  0 , r  R r k  (r, t )  f (t ).g (r )

d 2 g 2 dg   m 2 .g ( r )  0 2 dr r dr

,

h(r )  r.g (r ) 1 g (r )  ( A cos(mr)  B.sin(mr)) r * C.L :

tan   

Transfert Thermique

 Bi  1

Page 59

Pr. A. DINANE

C.2.1 Température initiale uniforme:

 (r, t ) T (r, t )  T   i Ti  T n1 

2(sin n  n cos n ) R sin(n (n  sin n cos n )rn

r ) R .en2t / R2

C.2.2 Flux de chaleur instantané: * Pour une sphère de référence quelconque de rayon r, le flux est donné par :

q(r , t )  k.4r 2

T r

C.2.3 Flux de chaleur cumulé: Entre deux instant o et t le flux de chaleur traversant la sphère de référence est :

Q(r, t )   q(r , t )dt t

0

C.3 FLUX IMPOSE Température initiale Ti

uniforme, la solution est donnée par :

r   2 R sin(  ) 2  n  2 qR 3 r R e n F0 . T (r , t )  Ti  0 3F0   2   2  k  10 2R n 1 rn sin(n )    Où

 n représente les racines de l’équation : tan(  )   .

V.3 MILIEU SEMI INFINI SOUMIS A UNE VARIATION SINUSOÏDALE DE LA TEMPERATURE. * Contrôle automatique des températures (Chauffage des locaux). * Variation de la température terrestre journalière et annuelle.

Transfert Thermique

Page 60

Pr. A. DINANE

Tmax  Tmin .Cos(.t ) 2  2T T / t   . 2 x

T (0, t )  Tmoy 

 ( x, t )  T ( x, t )  Tmoy

 (0, t )  T (0, t )  Tmoy  0 .Cos(t)  2  / t   . 2 x *Solution par la technique de : - Variables séparées. - Variables complexes.

 (0, t )  0 .Cos(t)  0 .Réel(ejt )  ( x, t )  A.Réel(ej(t kx) ) x

x

 ( x, t )   0 . exp( ).Cos(.t  )   x

 ( x, t )   m ( x).Cos(.t  )  *   ( 2. )1 / 2 : Profondeur de pénétrations des oscillations. 

*

:

Coefficient d’atténuation

:

Facteur d’amortissement

………… …………

 m ( x)  x  ;   , T 

Transfert Thermique

Page 61

Pr. A. DINANE

*

x 

*

x  

x0

, m (x)  0 /e

, m ( x)  0 /e  0 / 23

et la surface

et déphasage de  entre la surface

x.

V.4 Milieu semi infini soumis à un saut de température. Soit un milieu semi infini initialement à la température température

*

Ti

et dont la face x=0 est portée à la

T0 .

 2T T / t   . 2 x

*

T ( x,0)  Ti ,  x

*

T (, t )  Ti ,  t

,

T (0, t )  T0 ,  t

 ( x, t )  T ( x, t )  Ti  2  (1/  ). / t x2

 ( x,0)  0 , x ,  (0, t )  T0 - Ti  i ,  t

 (, t )  0 Transfert Thermique

, t Page 62

Pr. A. DINANE

( x, p)  L ( x, t )   exp(-pt) ( x, t )dt 

0

d 2 1  [ p   ( x,0)]  0 2 dx 

d 2 2 p  ( x,0)  0  2  q   0 , avec q 2  dx  ( x, p)  Ae qx  Beqx *

 (, t )  0

 B 0

 (0, t )  i  A  * ( x, p) 

i P

i P

e qx

T ( x, t )  Ti x  erfc( ) T0  Ti 2 .t

T ( x, t )  T0 x  erf ( ) Ti  T0 2 .t 2

. eu 2 .du x

*

erf (x) 

*

erf (0)  0

*

erf(-x)  -erf(x) , erfc(x)  1-erf(c)

x *

2  .t



0

,

 1.82 : erf (

Transfert Thermique

erf ()  1

x 2  .t

) 1

Page 63

Pr. A. DINANE

 T ( x, t )  Ti  Technique pour tout milieu fini de longueur L tel que :

L 2  .t

Transfert Thermique

 1.82

Page 64

Pr. A. DINANE