Cours de Thermique Solaire [PDF]

Zitiervorschau

PHQ715 Physique du Solide 5 janvier 2009 Autiwa

2

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières 1

Le réseau cristallin

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Les vibrations du réseau cristallin

2.1 2.2 2.3 2.4 3

Réseau réel et réseau réciproque . Nomenclature des plans atomiques Maille de Wigner-Seitz . . . . . . . Zones de Brillouin . . . . . . . . . Diraction des rayons X,. . . . . . .

3

Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chaleur spécique à basse température . Approximation de Debye . . . . . . . . . Modèle d'Einstein de la densité d'états .

3 3 4 4 5 5

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 7 8 8

Gaz d'électrons libres de Fermi

8

3.1 Niveaux d'énergies à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1 LE RÉSEAU CRISTALLIN

3

Introduction

Pour étudier la physique du solide, on se place dans le régime de la mécanique quantique non relativiste. 1

Le réseau cristallin

Un solide est une molécule géante avec N ≡ 1023 atomes. L'arrangement périodique abaisse l'énergie. Cet état étant de plus basse énergie, il est donc plus stable.

1.1 Réseau réel et réseau réciproque → −

→ −

→ −

Soit une base {ˆe1 = a , eˆ2 = b , eˆ3 = c }. On dénit le réseau réciproque {ˆe∗i } tel que : (1.1)

eˆ∗i · eˆj = δij

où δij est le

symbole de kronecker

. → − → − → −∗ b ∧ c a = V → − → − → −∗ c ∧ a b = V → − → − → −∗ a ∧ b c = V

→ −

→ −

(1.2a) (1.2b) (1.2c)

→ −

où V = a · ( b ∧ c ) est le volume de la maille. → −

Tout vecteur G de la forme → − → − → − → − G = v1 a∗ + v2 b∗ + v3 c∗

où v1 , v2 , v3 sont des entiers est appelé

vecteur du réseau réciproque

(1.3) .

1.2 Nomenclature des plans atomiques

Fig.

1  exemple d'un plan réticulaire : le plan d'indice de Miller (233)

Le plan coupe les axes Ox, Oy et Oz en : 3 2 2

4

1.3 Maille de Wigner-Seitz On inverse et on obtient : 1 3

1 2

1 2

(1.4)

2 6

3 6

3 6

(1.5)

On cherche un dénominateur commun :

Les indices de Miller sont donc (233) Remarque

: Aux intersections suivantes correspondent les indices de Miller : (1.6) (1.7)

1∞∞ −→ (100) 11∞ −→ (110)

1.3 Maille de Wigner-Seitz La maille de Wigner-Seitz est une maille élémentaire (c'est à dire le plus petit volume du réseau cristallin qui contient toute l'information). Elle peut être obtenue de la manière suivante : 1. On trace les lignes qui relient un n÷ud donné à tous ses voisins (on peut en faire plus que nécessaire, de tout manière, c'est le plus petit volume qu'on gardera, donc si les médiatrices n'interceptent plus le volume intermédiaire, inutile de continuer) ; 2. on trace les plans médiateurs de ces segments (ou les médiatrices dans un espace à deux dimensions). Le plus petit volume enclos de cette façon est la maille élémentaire de Wigner-Seitz . Tout l'espace peut être rempli par ces mailles. Remarque

: La maille de Wigner-Seitz dans l'espace réciproque est la première zone de Brillouin.

Fig.

2  Construction d'une maille de

Wigner-Seitz

1.4 Zones de Brillouin Une zone de Brillouin est par dénition la maille de Wigner-Seitz du réseau réciproque. La zone de → − → − → − Brillouin donne une interprétation géométrique simple de la condition de diraction 2 k · G = G 2 soit → − 1→ − − 1→ k · ( G ) = ( G )2 2 2

(1.8) → −

→ −

→ −

Nous travaillons ici dans l'espace réciproque, espace des vecteurs k et G . Choisissons un vecteur G qui relie l'origine à un point du réseau réciproque.

2 LES VIBRATIONS DU RÉSEAU CRISTALLIN

5

3  Les points de la partie de droite de la gure sont des n÷uds du réseau réciproque du cristal. Le vecteur est tracé parallèlement au faisceau incident de rayons X et on place son extrémité en un point du réseau réciproque. On trace une sphère de rayon k = 2π/λ centré en l'origine de k. On obtiendra un rayon diracté si la sphère contient un autre point du réseau réciproque. La sphère tracée ici intercepte un point relié à l'extrémité de k par le vecteur réciproque G. Le faisceau diracté est parallèle à k' = k + G. Cette construction est dûe à P.P. Ewald. Fig. k

→ −

→ −

Construisons le plan perpendiculaire au vecteur G en son milieu ; tout vecteur k mené de l'origine à ce plan satisfera à la contion de diraction. Le plan ainsi décrit forme une partie de la frontière de la zone de Brillouin. Un faisceau de rayons X tombant sur le cristal sera diracté si son vecteur d'onde a → − → − l'amplitude et la direction requise par (1.8) et le faisceau diracté aura la direction du vecteur k − G . → − Cette construction de Brillouin met en évidence tous les vecteurs d'ondes k qui peuvent suvir une réexion de Bragg sur le cristal. La famille des plans médiateurs des diérents vecteurs du réseau réciproque présente une importance particulière dans la théorie de la propagation des ondes dans les cristaux, car une onde dont le vecteur d'onde tracé à partir de l'origine a son extrémité sur l'un de ces plans, satisfait aux conditions de diraction. La maille centrale du réseau réciproque a une importance particulière dans la théorie des solides, et nous l'appelerons première zone de Brillouin. Définition 1 (Première zone de Brillouin)

La première zonde de Brillouin est le plus petit colume entièrement compris entre les plans médiateurs des vecteurs du réseau réciproque tracés à partir de l'origine. Les limites de zone du réseau linéaire sont en k = ±π/a, où a est le paramètre du réseau cristallin.

1.5 Diraction des rayons X,. . . La condition pour avoir des interférences constructives est donnée par la loi de Bragg : 2d sin θ = nλ

(1.9)

où d est la distance entre deux plans, θ l'angle que fait l'onde incidente avec les plans, λ la longueur d'onde de l'onde incidence, et n ∈ N. 2

Les vibrations du réseau cristallin

2.1 Phonons Sur la gure 5, on remarque deux branches distinctes avec une bande interdite en fréquence. La branche supérieure correspond au signe + et la branche inférieure au signe - 1 . 1. Solutions du polynôme de degré 2 en ω 2 où ω± =

√ −b∓ ∆ 2a

6

2.1 Phonons

Fig.

Fig.

4  Démonstration de la

loi de Bragg

5  Courbes de dispersion des vibrations dans un réseau linéaire de 2 atomes par maille primitive.

La première solution ω+ correspond à la branche supérieure. Dans ce cas, on obtient un rapport des vitesses négatifs entre atomes voisins : les atomes vibrent en opposition de phase (gure 6). Une vibration de ce type pourrait être engendrée par le champ magnétique d'une onde lumineuse, c'est pourquoi cette branche est appelée branche optique . : Il n'y a un mode optique que pour les cristaux ayant plusieurs atomes par maille. (Il faut que ça soit des atomes diérents ? styles uniquement pour des cristaux ioniques ?) Remarque

La seconde racine ω− correspond à la branche inférieure. Dans ce cas, le rapport des vitesses vaut 1 et les atomes vibrent en phase, comme pour une excitation acoustique (gure 6) : c'est la branche acoustique , dont le nom peut se justier également par le fait que c'est la branche basse fréquence. La vitesse de propagation d'un phonon dans le réseau, qui correspond notamment à la vitesse de propagation du son dans un solide, est donnée par la pente de la relation de dispersion : ∂∂kω . Avec de faibles valeurs de k (c'est-à-dire aux grandes longueurs d'onde), la relation de dispersion est presque linéaire, et la vitesse du son est proche de ωa , indépendamment de la fréquence du phonon. En conséquence, un paquet de phonons de longueurs d'onde diérentes (mais grandes) peut se propager sur de longues

2 LES VIBRATIONS DU RÉSEAU CRISTALLIN

7

distances dans un réseau sans que les phonons se séparent. C'est la raison pour laquelle le son se propage dans les solides sans distorsion signicative (en quelque sorte, les ondes de grande longueur d'onde ne sont pas inuencées par la structure microscopique du matériau). Ce comportement n'est plus vrai pour de grandes valeurs de k (c'est-à-dire des longueurs d'onde courtes), pour lesquelles la vitesse de propagation dépend de manière signicative de la longueur d'onde. : La physique du son dans les solides est très diérente de la physique du son dans l'air, bien qu'il s'agisse dans les deux cas d'ondes de vibration. Ceci est dû au fait que dans l'air, le son se propage dans un gaz formé de molécules animées de mouvement aléatoires, et non pas dans un réseau organisé. Remarque

Fig.

6  Vibrations 1D transverses selon les branches acoustiques et optiques

2.2 Chaleur spécique à basse température Pour calculer la chaleur spécique à volume constant cv on cherche tout d'abord la densité de modes D(ω) qui correspond au nombre de modes (d'états) qu'il y a entre ω et ω + dω . Dit autrement, il s'agit de compter le nombre de valeurs de k diérentes que l'on a pour des valeurs de ω comprises entre ω et ω + dω . : Dans la densité de modes, on inclu un facteur, égal à 2 pour un problème à une dimension, qui rend compte du fait que la courbe de dispersion a deux branches, et donc il y a autant de modes dans la partie de gauche que dans la partie de droite qui donnent des valeurs de ω comprises dans l'intervalle donné. Remarque

L'occupation moyenne du mode de vibration ω d'énergie ~ω vaut : 1

f (ω) = e

~ω kB T

−1

(2.1)

Ensuite on cherche l'énergie U du système dénit par : ˆ

U=

dω~ωf (ω)D(ω)

(2.2)

On a ensuite : cv =

∂U ∂T

(2.3)

Pour étudier la chaleur spécique de façon plus générale, nous constatons d'abord qu'à la limite d'un cristal de grande taille, l'ensemble des vecteurs d'onde discrets sur lequel on somme devient dense à l'échelle sur laquelle le terme sommé varie de manière appréciable. Nous pouvons remplacer la somme par une intégrale pour tout ensemble de vecteurs d'onde satisfaisant aux conditions aux limites de Born-von Karman. On obtient : cv =

→ − → − ∂ X dk ~ωs ( k ) → − ∂T s (2π)3 e~ωs ( k )/kB T − 1

(2.4)

8

2.3 Approximation de Debye

2.3 Approximation de Debye Dans l'approximation de Debye, la vitesse du son est considérée comme une constante pour chaque type de polarisation, comme ça serait le cas dans l'approximation classique du continuum élastique. La relation de dispersion s'écrit : (2.5)

ω = ck

De plus, l'intégrale dans (2.4) sur la première zone de Brillouin est remplacée par une intégrale sur une sphère de rayon kD , choisie pour contenir exactement N vecteurs d'onde permis, où N est le nombre d'ions dans le cristal. Puisque le volume de l'espace des k par vecteur d'onde k est (2π)3 /V , ceci implique que (2π)3 N/V doit être égal à 4πkD 3 /3, de telle sorte que kD soit déterminé par la relation : n=

kD 3 6π 2

(2.6)

Comme résultat de ces simplications, (2.4) se réduit à cv =

∂ 3~c ∂T 2π 2

ˆ

kD

k 3 dk e −1

(2.7)

β~ck

0

Pour évaluer l'intégrale 2.7, il est pratique de dénir une fréquence de Debye par et une

température de Debye

ωD = kD c

(2.8)

kB ΘD = ~ωD = ~ckD

(2.9)

par

où kD est une mesure de l'inverse de la distance entre particules, ωD une mesure du maximum de la fréquence des phonons, et ΘD une mesure de la température au-dessus de laquelle tous les modes commencent à être excités, et au-dessous de laquelle certains modes commencent à  geler  2 . Je crois que c'est incomplet mais vu que j'ai pas tout compris, je suis incapable de faire un truc bien fait.

2.4 Modèle d'Einstein de la densité d'états Considérons à une dimension N oscillateurs de même fréquence ω0 . La densité d'états d'Einstein est D(ω) = N < n > ~ω =

N ~ω ~ω/ kB T

e

−1

(2.10)

où, pour simplier l'expression, nous avons remplacé ω0 par ω . La capacité calorique de ces oscillateurs est :  Cv =

∂U ∂T

 

= N kB

(2.11) V

~ω kB T

2

e 

e

~ω

/k T B

~ω/ kB T

2 −1

(2.12)

Dans un modèle tridimensionnel, on remplace N par 3N car chaque atome a trois degrés de liberté. 3

Gaz d'électrons libres de Fermi

Dans l'approximation des électrons libres, on néglige les interactions entre les électrons et les ions du réseau : tous les calculs sont faits dans l'hypothèse où les électrons sont libres de se déplacer n'importe où dans l'échantillon et indépendants les uns des autres. Plus exactement, nous négligerons leur répulsion coulombienne, mais nous n'oublierons pas le principe de Pauli. L'énergie totale ne comprend que de l'énergie cinétique ; l'énergie potentielle est négligée. 2. On peut aussi voir ΘD et ωD comme des mesures de la  rigidité  du cristal.

3 GAZ D'ÉLECTRONS LIBRES DE FERMI

9

3.1 Niveaux d'énergies à une dimension Considérons un gaz unidimensionnel d'électrons libres, obéissant à la théorie quantique et au principe de Pauli. Un électron de masse m est enfermé dans un segment de longueur L par des barrières inniment hautes (gure 7). La fonction d'onde ψn (x) de l'électron est solution de l'équation de Schrödinger Hψ = ψ où on néglige l'énergie potentielle. On a les conditions aux limites ψn (0) = ψn (L) = 0, imposées par les barrières d'énergies innies. On obtient donc les fonctions d'ondes et l'énergie en fonction de n :  ψn = A sin

 2π x λn

(3.1a)

avec 1 nλn = L 2 ~2  nπ 2 n = 2m L

(3.1b)

7  Trois premiers niveaux d'énergie et fonctions d'onde d'un électron de masse m emprisonné dans un segment de longueur L. Les niveaux d'énergies sont numérotés d'après les nombres quantiques n qui donnent le nombre de demi-périodes de la fonction d'onde. les longueurs d'onde sont indiquées sur les fonctions d'ondes. h2 n 2 L'énergie En du niveau de nombre quantique n est égale à ( 2m )( 2L ) Fig.

Index

B Born-von Karman (condition aux limites de) . . . . 7 branche acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 branche optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

D Debye approximation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 fréquence de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 température de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 diraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I indice de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 4

L loi de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5, 6

M maille de Wigner-Seitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

P plan réticulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

S symbole de kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Z zone de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

10

RÉFÉRENCES Références

[1] NW Ashcroft and N.D. Mermin. Physique des solides. EDP Sciences Editions, 2002. [2] C. Kittel. Physique de l'état solide 7 ème édition. Ed. Dunod, Paris, 1998.

11