Cours Math Fin [PDF]

Zitiervorschau

Filière de Sciences Économiques et Gestion Licence d’ Études Fondamentales Département des Sciences Économiques

Mathématiques Financières Approfondies À l’usage des étudiants inscrits en S5 Parcours : Économie Option : Monnaie Banque

S5 : Monnaie-Banque

1

Sommaire A. Les emprunts indivis B. Les emprunts obligataires C. Rentabilité des investissements

Références bibliographiques • ANSION G. et HOUBEN T., Mathématiques financières, Armand Colin, 1989 • BONNEAU P. et WISZNIAK M., Mathématiques financières Approfondies, Dunod, 1998 • ELMARHOUM A. et DIOURI M., Mathématiques financières, cours et exercices avec solutions, édition Toubkal. S5 : Monnaie-Banque

2

A. Les emprunts indivis Introduction I. Généralités 1. 2. 3.

Définition de l’emprunt indivis Tableau d’amortissement Caractéristiques de l’emprunt indivis

II. Typologie de remboursement de l’emprunt indivis 1. 2.

Remboursement in fine Remboursement en plusieurs annuités a. b. c.

Remboursement par amortissements constants Remboursement par annuités constantes Remboursement par amortissements et annuités quelconques

Exercices d’application S5 : Monnaie-Banque

3

DÉFINITION DES EMPRUNTS INDIVIS L’emprunt indivis fait l’objet d’un remboursement contractuellement fixé au moment de la signature du contrat entre un seul prêteur et un seul emprunteur (physique ou moral). Le remboursement d'un emprunt indivis est composé de deux parties : -

-

Capital amorti, noté mk : fraction du capital emprunté (amortissement à la période k) destinée à rendre au prêteur le capital emprunté ; L'intérêt payé sur la période écoulée k, noté Ik : somme calculée sur le capital restant dû et destinée à rémunérer le prêteur pour assurer le service de la dette. S5 : Monnaie-Banque

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Tableau d’amortissement Pour construire ledit tableau, il faut disposer des éléments suivants : – C0 le montant du capital emprunté « nominal » – i le taux d’intérêt (fixe) – le mode d’amortissement du capital

– n la durée de remboursement (nombre de périodes) S5 : Monnaie-Banque

5

k

Ck  C0   mt

mk amortissement de la période k

Le capital restant dû après le paiement des k premières annuités

Intérêts payés en fin de la période k

t 1

I k  iCk 1

Capital restant dû en début Période de période

Intérêt payé en fin de la période I1  iC0

ak annuité de remboursement de la période k peut être remplacée par semestrialité, mensualité,…

ak  I k  mk amortissements

Annuité à payer

m1

a1

1

C0

2

C1  C0  m1

I 2  iC1

m2

a2

k

Ck 1  Ck  2  mk 1

I k  iCk 1

mk

ak

n

Cn 1  Cn  2  mn 1

I n  iCn 1

mn

an

an  mn   iCn1  et Cn1  mn

Le capital remboursé après le k paiement de k premiers mt amortissements



an  mn 1  i  La dernière annuité met fin à la dette

t 1

n

Et on a : S5 : Monnaie-Banque

C0   mt t 1

6

TYPOLOGIES DES EMPRUNTS INDIVIS L’emprunteur rembourse le capital emprunté 

soit en une seule fois à l’échéance,



soit en plusieurs fois lors du versement des intérêts sous formes d’annuités

S5 : Monnaie-Banque

7

– Remboursement en une seule fois (in fine) : • à la date d’échéance de l’emprunt, l’emprunteur paiera le montant intégral du capital emprunté C0 augmenté des intérêts composés ; • à la fin de chaque période de l’emprunt, l’emprunteur

paiera l’intérêt dû pour cette période, et à la date d’échéance de l’emprunt, il paiera le montant intégral du capital emprunté C0.

S5 : Monnaie-Banque

8

– Remboursement en plusieurs annuités : • Remboursement par amortissements constants

• Remboursement par annuités constantes • Remboursement d’un emprunt à palier ajustables • Remboursement par annuités en progression géométrique • Remboursement

par

amortissements

et

annuités

quelconques S5 : Monnaie-Banque

9

REMBOURSEMENT EN UNE SEULE FOIS (REMBOURSSEMENT IN FINE) Dans ce cas, on a les propriétés suivantes : ‒ Le capital emprunté Co est intégralement remboursé à la fin de la dernière période ; ‒ Le capital restant dû en début de chaque période étant le même Co ; ‒ Le taux d’intérêt étant fixe ; ‒ l’intérêt payé à chaque période est une constance ; ‒ Les amortissements sont nulles sauf à la dernière période qui vaut C0; ‒ Pour les annuités deux cas se présentent :  1er cas : les annuités sont nulles sauf à la dernière anuité qui incorpore en plus valeurs acquises des intérêts à la date n, le montant du remboursement intégral du capital Co.  2ème cas : les annuités sont constantes et égales au montant de l’intérêt sauf la dernière qui incorpore en plus l’intérêt de la dernière période, le montant du remboursement intégral du capital emprunté C0. S5 : Monnaie-Banque

10

1er cas

l’intérêt payé à chaque période est nul sauf le dernier qui est les intérêts composés à la date n

Le capital restant dû en début de chaque période étant le même C0

Période

Capital restant dû en début de période

Les annuités sont nulles sauf la dernière qui incorpore en plus le montant du remboursement total du capital emprunté C0, les intérêts composés.

Intérêt de la période

amortissements

Annuité à payer

0 0

0 0

0

0

mn  C0

an  mn  I n

1

C0

2

C0

0 0

k

C0

0

C0

1  i   1

n

n

I n  iC0

i

I n  C0 1  i   C0 n

an  mn  I n , mn  C0 et I n  C0 1  i   C0 n

an  C0 1  i 

n

S5 : Monnaie-Banque

11

Exemple : Un agent économique a emprunté, au taux d'intérêt annuel de 8%, une somme d’argent de 800 000,00 dhs. Selon le contrat d’emprunt, il s'engage à rembourser le prêt au bout de 6 ans selon la modalité in fine (remboursement du capital emprunté et intérêts à l’échéance). Données  Le capital emprunté : C0 = 800 000,00 dhs  Le taux d'intérêt nominal fixe : i = 8 % par an  La durée de l'emprunt : n = 6 ans  Modalité de remboursement : in Fine (remboursement du capital emprunté et intérêts à l’échéance) L’agent économique doit payer à l’échéance de l’emprunt (la fin de la 6ème année) en plus du capital emprunté C0 = 800 000,00 dhs les intérêts composés :

C6  C0  I 6  C0 1  i 

6

A.N. :

C6  C0 1  i   800 000, 00 1, 08  1269 499,46 dhs 6

6

S5 : Monnaie-Banque

12

2ème cas Le capital restant dû en début de chaque période étant le même C0

l’intérêt payé à chaque période est une constance

Période

Capital restant dû en début de période

1

C0

I1  iC0

2

C0

k n

Intérêt de la période

Les annuités sont constantes et égales au montant de l’intérêt sauf la dernière qui incorpore en plus l’intérêt de la dernière période, le montant du remboursement total du capital emprunté C0.

amortissements

Annuité à payer

a1  I1

I 2  iC0

0 0

a2  I 2

C0

I k  iC0

0

ak  I k

C0

I n  iC0

mn  C0

an  mn  I n

an  mn  I n , mn  C0 et I n  iC0 an  C0 1  i 

S5 : Monnaie-Banque

I j  iC0  I  cste j  1,

,n 13

Remarque importante Calculons à la fin de k-ième période  k  n  :  La valeur acquise des k annuités, notée Ck : Ck



iC0 1  i 



iC0 1  1  i   

k 1

 iC0 1  i 

k 2

 1  i 



k 2

 iC0 1  i   iC0  1  i 

k 1

 

1  i  1  iC0 1  i   1 k C0 1  i   C0 k

 

 La valeur acquise du capital emprunté, notée Ck : Ck  C0 1  i 

k

Nous remarquons que : Ck  Ck  C0 La différence entre la valeur acquise du capital emprunté et la valeur

acquise de l’ensemble des annuités est la dette restante et qui vaut au capital intégral emprunté. S5 : Monnaie-Banque

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Exemple : Un agent économique a emprunté, au taux d'intérêt annuel de 8%, une somme d’argent de 800 000,00 dhs. Selon le contrat d’emprunt, il s'engage à rembourser ce prêt au bout de 6 ans selon la modalité in fine (Remboursement du capital emprunté à l’échéance et les intérêts sous forme d’annuités).

Données  Le capital emprunté : C0 = 800 000,00 dhs  Le taux d'intérêt nominal fixe : i = 8 % par an  La durée de l'emprunt : n = 6 ans  Modalité de remboursement : in Fine (remboursement du capital emprunté à l’échéance et les intérêts sous forme d’annuités )

L’intérêt à payer pour chaque période est constant : I  iC0  800 000, 00  0, 08  64 000, 00 dhs

Sauf que l’agent économique doit payer à la fin de la 6ème année, le capital emprunté C0 = 800 000,00 DH en plus de l’intérêt constant :

A.N. :

a6  C0  iC0  C0 1  i 

a6  C0 1  i   C0  I  800000,00  64000  864000,00 dhs S5 : Monnaie-Banque

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REMBOURSEMENT EN PLUSIEURS ANNUITES  Remboursement par amortissements constants Remboursement par annuités constantes  Remboursement d’un emprunt à palier ajustables Remboursement par annuités en progression géométrique Remboursement par annuités et amortissements quelconques

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Remboursement par amortissements constants Selon ce mode de remboursement, on prend :

mk  m  cste

k  1,

,n

À la fin de chaque période de remboursement, l’emprunteur s’engage à rembourser une part constante du capital emprunté en plus de l’intérêt généré au cours de la période. Cette part constante de l’emprunt est tout simplement le rapport du capital emprunté par le nombre de périodes de remboursement.

S5 : Monnaie-Banque

17



Partant d’un capital initial C0, on calcule l’intérêt à la fin de chaque période de remboursement

 On calcule l’amortissement constant

m

I k  i C0   k  1 m 

1

Capital restant du en début de période C0

2

C1  C0  m

k

n

Période

Intérêt de la période

I1  iC0

C0 n

amortissements

Annuité à payer

a1

I 2  iC1

m m

a2

Ck 1  Ck 2  m  C0   k  1 m

I k  iCk 1

m

ak

Cn 1  Cn 2  m  C0  (n  1)m  m

I n  iCn 1

m

an

 On calcule l’annuité  En suite, on calcule le capital restant

selon la formule :

ak  I k  m

dû de la période suivante

Ck  C0   k  1 m  Ck 1  m

ak  ak 1  i m S5 : Monnaie-Banque

18

Exercice : Un agent économique a emprunté, au taux d’intérêt annuel 9 %, une somme d’argent de 200 000,00 DH. Il s’est engagé à la rembourser en 6 ans selon la modalité de remboursement par des amortissements constants. Dresser le tableau d’amortissement de cet emprunt. Données  Le capital emprunté : C0 = 200 000,00 DH  Le taux d'intérêt nominal fixe : ia = 9 %  La durée de l'emprunt : n = 6 ans  Modalité de remboursement : Remboursement par amortissements constants Déterminons l’amortissement constant : A.N. :

m

C0 m n

200 000, 00  33 333,33 DH 6

S5 : Monnaie-Banque

19

Période

Capital restant dû en début de période

Intérêt de la période

Amortissement

Annuité à payer

1

200 000,00

18 000,00

33 333,33 51 333,33

2

166 666,67

15 000,00

33 333,33 48 333,33

3

133 333,34

12 000,00

33 333,33 45 333,33

4

100 000,01

9 000,00

33 333,33 42 333,33

5

66 666,68

6 000,00

33 333,33 39 333,33

6

33 333,35

3 000,00

33 333,35 36 333,35 Somme = 200 000,00

Les annuités de remboursement forment une progression arithmétique (décroissante) de :  

1

1er terme C0  i   et de raison n 

ak  ak 1  i m

iC0 n

S5 : Monnaie-Banque

20

Démonstrations Les annuités de remboursement forment une progression arithmétique (décroissante) . Le premier terme est C0  i  1  en effet, n 

C0  1 a1  I 0  m  iC0   C0  i   n  n

iC0 en effet, n ak  ak 1  I k  m  I k 1  m  I k  I k 1  i  Ck 1  Ck  2   i  Ck  2  m  C k  2   i m iC0  S5 : Monnaie-Banque n

Et la raison est :i m 

21

Remboursement par annuités constantes Selon ce mode de remboursement, on prend :

ak  a  cste

k  1,

,n

À la fin de chaque période de remboursement, l’emprunteur s’engage à rembourser une annuité constante composée d’une fraction du capital amorti et de l’intérêt généré au cours de la période.

S5 : Monnaie-Banque

22

 Partant d’un capital initial C0, on calcule

 On calcule l’annuité constante i a  C0 n 1  1  i 

l’intérêt à la fin de chaque période

k 1   I k  i C0   mt  t 1  

Période

Capital restant du en début de période

Intérêt de la période

amortissements

Annuité à payer

1

C0

I1  iC0

m1

2

C1  C0  m1

I 2  iC1

m2

a a

k

Ck 1  Ck  2  mk 1

I k  iCk 1

mk

a

n

Cn 1  Cn  2  mn 1

I n  iCn 1

mn

a

 On calcule l’amortissement

 En suite, on calcule le capital restant

selon la formule :

dû de la période suivante

mk  a  I k

k 1

Ck  Ck 1  mk  C0   mt

mk 1  (1  i )mk

t 1

S5 : Monnaie-Banque

23

Démonstration (formules importantes) •

L’annuité de remboursement est obtenue en appliquant la formule de la valeur actuelle

des flux constants versés en fin de période pendant n périodes et au taux d’intérêt i :

C0

0

a 1  i 

1

a 1  i 

2

a 1  i 

3

a 1  i 

1

2

3

n 1

n

a

a

a

a

a

 n 1

a 1  i 

n

C0  a 1  i   a 1  i   a 1  i   1

2

3

S5 : Monnaie-Banque

 a 1  i 

 n 1

 a 1  i 

n

24

C0



a 1  i   a 1  i   a 1  i  



a 1  i 

n



a 1  i 

n

 

a 1  i  a

1

2

 a 1  i 

 n 1

1  1  i 1  

n

1  i 

n

3



 a 1  i 

  n 1

 a 1  i 

n

 a 1  i   a 1  i   a 1  i  3

 1  i 

n 3

2

 1  i 

n2

 1  i 

n 1

1

 

1

i

1  1  i 

n

i

Donc,

C0  a

1  1  i  i

n



a  C0

S5 : Monnaie-Banque

i 1  1  i 

n

25

• Les

amortissements

successifs

forment

géométrique croissante de raison 1  i  et de



m1  a  I 0  a  iC0  a  a 1  1  i 

n



1er

une

progression

terme a 1  i 

n

en effet,

 a 1  i   m1  a 1  i  n

n

m.k 1 a  I k 1 I  I k 1 C  Ck m   1 k  1  i k 1  1 i k  1 i mk a  Ik a  Ik a  Ik mk

m.k 1  1  i  mk 1  (1  i)mk mk

S5 : Monnaie-Banque

26

• Autre formule :

C0

D’où,

 

m1  m2  m3   mn m1  (1  i )m1  (1  i ) 2 m1 



m1 1  (1  i )  (1  i ) 2 



(1  i ) n  1 m1 i

 (1  i ) n 1 m1  (1  i ) n 1 

(1  i) n  1 C0  m1 i

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27

Exemple : Un agent économique a emprunté, au taux d’intérêt fixe annuel 8 %, une somme d’argent de 800 000,00 dhs à rembourser en 6 ans sous forme de mensualités constantes. Données  Le capital emprunté : C0 = 800 000,00 dhs  Le taux d'intérêt nominal fixe : ia = 8 %  La durée de l'emprunt : n = 6 ans = 72 mois (72 nombre de périodes)  Modalité de remboursement : Remboursement par mensualités constantes

Déterminons la mensualité constante de remboursement : im 1 12 a  C0 avec i  1  i  a  1 m n 1  1  im  A.N. : im  0,006434 et

a  800000

0,006434 1  1  0,006434 

S5 : Monnaie-Banque

72

 13917,78 dhs

28

En suite, on calcule le capital restant dû de la période suivante

Ck  Ck 1  mk 1 Période

Capital restant dû en début de période

 On calcule

 On calcule l’annuité

l’amortissement :

constante

a  13917,78 dhs

mk  13917,78  I k Intérêt de la période

Amortissements

avec

Annuité à payer

im  0,006434

Partant d’un capital

1

800000,00

5147,20

8770,58

13917,78

2

791229,42

5090,77

8827,01

13917,78

initial C0, on calcule l’intérêt à la fin de chaque période

3

782402,41

5033,98

8883,80

13917,78

I k  0,006434  Ck 1

4

773518,61

4976,82

8940,96

13917,78

5

764577,65

4919,29

8998,49

13917,78

6

755579,16

4861,40

9056,38

13917,78

7

746522,77

4803,13

9114,65

13917,78

8

737408,12

4744,48

9173,30

13917,78

68

68265,87

439,22

13478,56

13917,78

69

54787,31

352,50

13565,28

13917,78

70

41222,04

265,22

13652,56

13917,78

71

27569,48

177,38

13740,40

13917,78

72

13829,08

S5 : Monnaie-Banque 88,98 13829,08

13917,78

N.B. :  À la dernière période, le capital restant dû est exactement égal à l’amortissement La somme des tous les amortissements est égale à 800000,00 dhs 29

Exercice : Sur quelle durée peut-on rembourser un emprunt de 300 000,00 dhs au taux d'intérêt annuel de 12% si le remboursement s'effectue sous forme de mensualités constantes de 16539,19 dhs ? Données  Le capital emprunté : C0 = 300 000,00 dhs  Le taux d'intérêt nominal fixe : ia = 12 %  La durée de l'emprunt : n inconnue (nombre de périodes)  Modalité de remboursement : Remboursement par mensualités constantes a = 16539,19 dhs

Déterminons la durée de l’emprunt : tout d’abord, im  1  ia 

1 12

a  C0

im

1  1  im 

n

A.N. : im  0.009488  0.95%



1

C    ln 1  0 im  a   n ln 1  im  300000    ln 1  0.009488   16539.19   n  20 mois n ln 1.009488 S5 : Monnaie-Banque

30

Exercice : Un agent économique a remboursé un emprunt de 450 000,00 dhs en 10 annuités constantes de 57 572,00 dhs chacune. Quel taux d'intérêt a été appliqué à cet emprunt ? Données    

Le capital emprunté : C0 = 450 000,00 dhs Le taux d'intérêt nominal fixe : ia = inconnue La durée de l'emprunt : n = 10 ans Modalité de remboursement : Remboursement par annuités constantes a = 57 572,00 dhs

Déterminons la durée de l’emprunt : tout d’abord, A.N. :

a  C0

1  1  ia  ia

ia

1  1  ia 

10

n



1  1  ia  ia

n



C0 a

C0 450000, 00    7,816299  ia  4, 75% a 57 572,00 S5 : Monnaie-Banque

31

Exercice : Un capital de 250 000,00 dhs a été emprunté au taux d'intérêt de 11 % l'an. Le remboursement s'effectue sous forme de 8 annuités constantes ; dresser le tableau d’amortissement de cet emprunt. Données  Le capital emprunté : C0 = 250 000,00 dhs  Le taux d'intérêt nominal fixe : ia = 11 %  La durée de l'emprunt : n = 8 ans  Modalité de remboursement : Remboursement par annuités constantes Déterminons l’annuité constante :

a  C0

ia

1  1  ia 

n

A.N. :

a  250000

0,11 1  1  0,11

8

 48580,26 dhs

S5 : Monnaie-Banque

32

Le tableau d’amortissement de cet emprunt : Période

1

2 3 4 5 6 7 8

Capital restant dû en début de période

Intérêt de la période

Amortissements

Annuité à payer

250 000,00 228 919,74 205 520,65 179 547,66 150 717,65 118 716,33 83 194,86 43766,04

27 500,00 25 181,17 22 607,27 19 750,24 16 578,94 13 058,80 9 151,43 4 814,26

21 080,26 23 399,09 25 972,99 28 830,02 32 001,32 35 521,46 39 428,83 43 766,00

48 580,26 48 580,26 48 580,26 48 580,26 48 580,26 48 580,26 48 580,26 48 580,26

N.B. : l’intérêt diminue avec le temps à l’opposé des amortissements

S5 : Monnaie-Banque

33

Remboursement par amortissements et annuités quelconques Selon ce mode de remboursement, on prend : k  1, mk quelconque

et

S5 : Monnaie-Banque

,n

ak quelconque

34

Exemple : Un agent économique a emprunté, au taux d'intérêt annuel de 11%, une somme d’argent de 650 000,00 dhs. Il s’engage à la rembourser en 5 annuités, selon la modalité d’amortissements suivante : • • • • •

1er amortissement m1 = 120 000,00 dhs 2ème amortissement m2 = 143 000,00 dhs 3ème amortissement m3 = 100 000,00 dhs 4ème amortissement m4 = 150 000,00 dhs 5ème amortissement m5 = 137 000,00 dhs

Le tableau d’amortissement de cet emprunt : Période

Capital restant dû en début de période

Intérêt de la période

Amortissements

Annuité à payer

1

650 000,00

71 500,00

120 000,00

191 500,00

2

530 000,00

58 300,00

143 000,00

201 300,00

3

387 000,00

42 570,00

100 000,00

142 570,00

4

287 000,00

31 570,00

150 000,00

181 570,00

5

137 000,00

15 070,00

137 000,00

152 070,00

S5 : Monnaie-Banque

35

Emprunt à paliers ajustables Selon ce mode de remboursement, on prend : a1  cste

n1

annuités

a2  cste

n2

annuités

a p  cste

np

annuités

avec

n  n1  n2 

 np

Ici, Ainsi un palier correspond à une suite de périodes pendant lesquelles les annuités de remboursement sont constantes. On a la valeur actuelle d’un emprunt C0 au taux i à plusieurs paliers est telle que :

C0  a1  ap

1  1  i 

 n1

 a2

i 1  1  i  i

 np

1  1  i 

1  i 

i 

 n2

1  i 

 n1  n2   n p1

 n1

 a3

1  1  i  i

 n3

1  i 

 n1  n2 





S5 : Monnaie-Banque

36

En effet, 0 1

C0 a1

1  1  i 

a2

ap

 n1

n1

 n2

i

1  1  i 

C0  a1

1  i 

np

i

1  1  i  i

ap

n2

i

1  1  i 

a2

a1 a2

a1

ap

np

 n1

1  i  

 n1  n2   n p1

 n1

 a2



1  1  i  i

 n2

1  i 

 n1

 a3

1  1  i  i

 n3

1  i  

S5 : Monnaie-Banque

 n1  n2 

  ap

1  1  i  i

np

1  i  

 n1  n2   n p1

37



Exemple : Un agent économique a emprunté, au taux d'intérêt annuel i, une somme d’argent C0. Il s’engage à la rembourser en 6 annuités. Selon le contrat, c’est un emprunt à 3 paliers de 2 ans chacun : • 1ère annuité constante a1 = 8000,00 dhs • 2ème annuité constante a2 = 9000,00 dhs • 3ème annuité constante a3= 10 000,00 dhs Sachant que l’amortissement associé à la dernière période est de 9090,91dhs calculer le capital initial de l’emprunt, puis dresser le tableau d’amortissement

On a la relation entre la dernière annuité et le dernier amortissement :

a6  m6 1  i  D’où,

a6 10 000,00 i 1   1  0,1  10% m6 9090,91 S5 : Monnaie-Banque

38

Le capital emprunté est donné par la formule :

C0  a1 C0 

1  1  i 

2

 a2

i

1  1  i  i

2

1  1  i  i

2

1  i   a3 2

1  1  i 

2

i

1  i 

4

 a1  a2 1  i 2  a3 1  i 4   

or

1  i 

2

 0,826446

C0 

et

1  1  i  i

2

1  i 

4

 0,683013 et

1  1  i 

2

i

 1,735537

 a1  a2 1  i 2  a3 1  i 4   38647, 20  

S5 : Monnaie-Banque

39

Le tableau d’amortissement de cet emprunt : Période

Capital restant dû en début de période

Intérêt de la période

Amortissements

Annuité à payer

1

38647,20

3864,72

4135,28

8000,00

2

34511,92

3451,19

4548,81

8000,00

3

29963,12

2996,31

6003,69

9000,00

4

23959,43

2395,94

6604,06

9000,00

5

17355,37

1735,54

8264,46

10000,00

6

9090,91

909,09

9090,91

10000,00

a6 / m6  1  i

S5 : Monnaie-Banque

40

Remboursement par annuités en progression géométrique Selon ce mode de remboursement, on prend les annuités en progression géométrique de raison 1  r  et de premier terme a : a1  a,

Et

a2  a 1  r  ,

a3  a 1  r 

C0  a1 1  i   a2 1  i   1

C0 

a1 a2   2 1  i 1  i 

a 1  r  a C0    2 1  i 1  i 

,

an  a 1  r 

 an 1  i 

2



2

n 1

n

an

1  i  n 1 a 1  r   n 1  i  n

n 1   1  r   a 1 r C0    1   n 1 1 i  1 i 1  i    S5 : Monnaie-Banque

41

Donc,

a C0  1 i

  1 r 1     1 i 

  

 1 r     1 i 

n 1

  

n  1  r   1    a  1 i   C0  1 i   1 r   1  1 i    

      n   1 r   1     a   1 i   C0  ir  1 i    1  i   n   1 r   1     1  i    C0  a    ir     S5 : Monnaie-Banque

42

Exemple : Un agent économique a emprunté, au taux d'intérêt annuel de 10%, une somme d’argent. Il s’engage à la rembourser en 6 annuités. Selon le contrat, le remboursement de cet emprunt se fait par des annuités en progression géométrique de raison 1,25 dont le premier terme est 6 000,00 dhs. Déterminer le capital emprunté et dresser le tableau d’amortissement. Le capital emprunté est donné par la formule :

  1  r n   1, 25  1  1      1,1  1  i    6000    46131,89 C0  a     ir 0,1  0, 25     6

S5 : Monnaie-Banque

43

Le tableau d’amortissement de cet emprunt : Période

Capital restant dû en début de période

Intérêt de la période

Amortissements

Annuité à payer

1

46 131,89

4 613,19

1 386,81

6 000,00

2

44 745,08

4 474,51

3 025,49

7 500,00

3

41 719,59

4 171,96

5 203,04

9 375,00

4

36 516,55

3 651,65

8 067,10

11 718,75

5

28 449,45

2 844,95

11 803,49

14 648,44

6

16 645,96

1 664,60

16 645,95

18 310,55

a6 / m6  1  i

S5 : Monnaie-Banque

44

Exercice d’application

S5 : Monnaie-Banque

45

Exercice : du tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par mensualités constantes, on tire les informations suivantes : 7ème amortissement : 837,75 dhs 11ème amortissement : 857,36 dhs Dernier amortissement : 862,33 dhs Déterminer : 1. le taux d’intérêt nominal 2. l’annuité constante 3. le 1er amortissement 4. le montant de la dette 5. la durée de remboursement 6. le capital remboursé après paiement de la 8ième annuité 7. le capital restant dû en fin de période après paiement de la 10ième annuité 8. présenter la première et les deux dernières lignes du tableau d’amortissement S5 : Monnaie-Banque

46

1. Pour le taux d’intérêt : on a le fait que les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i),

m11  m7 1  i 

117

 m7 1  i   i  4

D’où, i

4

4

m11 1 m7

857, 36  1  0,0058=0,58% 837, 75

2. Pour l’anuité constante : on a la formule an  mn 1  i  D’où,

a  an  mn 1  i   862,33 1  0, 0058  867,33 dhs 3. Pour le 1er amortissement : on a la formule m7  m1 1  i  D’où,

m1  m7 1  i 

6

 837, 75 1, 0058 S5 : Monnaie-Banque

6

6

 809,18 dhs 47

4. Pour le montant de la dette : on a la formule a  m1  I1  m1  iC0 D’où,

a  m1 867,33  809,18 C0    10026,00 dhs i 0, 0058 5. Pour la durée du remboursement : il y a plusieurs formules, comme

C0  a

1  1  i 

n

ou encore

m1  a 1  i 

n

i D’où, la durée du remboursement est 12 périodes. En effet,

m1  a 1  i 

n



 809,18  m   ln  1   ln   867,33 a      12 n ln 1  i  ln 1, 0058 

S5 : Monnaie-Banque

48

6. Pour le capital remboursé après paiement de la 8ième annuité : on a la formule 8 8 8

Crem8   mk  m1  1  i  k 1

D’où,

k 1

1  i 

8

Crem8  m1

k 1

i

1

 m1

1, 0058   809,18

8

0, 0058

1

1  i 

1

i

 6606,39 dhs

7. Pour le capital restant dû en fin de période après paiement de la 10ième annuité : on a plusieurs méthodes 1ère méthode : c’est exactement le capital initial C0 diminué des 10 premiers amortissements : 10

10

k 1

k 1

C10  C0   mk  C0  m1  1  i  S5 : Monnaie-Banque

1  i 

10

k 1

 C0  m1

1

i 49

Ou, dans ce cas il reste deux annuités à payer à savoir a11 et a12 vu que le nombre de période est 12 :





C10  m11  m12  m12 1  i   m12  m12 1  i   1 1

1

D’où,

1  i   1 10

C11  C0  m1 Ou encore

i



1,0058  1 10

 10026,00  809,18





0,0058

 1719,70 dhs



C10  m12 1  i   1  862,33 1, 00581  1  1719,68 1

8. Présentons la première et les deux dernières lignes du tableau d’amortissement

S5 : Monnaie-Banque

50

Période

Capital restant dû en début de période

Intérêt de la période

Amortissements

Annuité à payer

1

10026,00

58,15

809,18

867,33

11

1719,71

9,97

857,36

867,33

12

862,33

5,00

862,33

867,33

S5 : Monnaie-Banque

51

Les emprunts obligataires

S5 : Monnaie-Banque

52

B. Les emprunts obligataires Introduction I. Généralités 1. 2.

Définition de l’emprunt obligataire Caractéristiques de l’emprunt obligataire

II. Typologie de remboursement de l’emprunt obligataire 1. 2. 3. 4.

Remboursement par annuités constantes Remboursement par amortissement constants Mesures d’encouragement pour l’achat des obligations Valeur de l’obligation à une date donnée

Exercices d’application S5 : Monnaie-Banque

53

DÉFINITION DES EMPRUNTS OBLIGATAIRES Un emprunt obligataire est un emprunt (en général d’un

montant très élevé) lancé sous forme d'obligations qui sont achetées par des investisseurs.

Une obligation est un titre de créance négociable qui donne généralement droit à deux types de flux : le paiement des

intérêts périodiques (coupons) et le remboursement de l’emprunt, le plus souvent à l’échéance. S5 : Monnaie-Banque

54

MODALITÉS DE REMBOURSEMENT DES EMPRUNTS OBLIGATAIRES • In fine (une seule fois à l’échéance du prêt) • Par amortissements constants • Par annuités constantes • On s’intéressera aussi aux obligations amorties par tirage au sort. S5 : Monnaie-Banque

55

Vocabulaire Pour un emprunt obligataire, les données suivantes sont demandées :  K, le montant du capital emprunté « nominal »  C, la valeur nominale ou valeur faciale ou encore principale d’une obligation (base du calcul des coupons)  N, nombre d’obligations émises  i, le taux d’intérêt annuel nominal ou facial (le taux de coupon)  iC, le coupon annuel d’intérêt  n, la durée de remboursement (nombre de périodes)  E, la valeur d’émission d’une obligation (émission au-dessus du pair E > C ; émission au pair E = C ; émission en-dessous du pair E < C)  R, la valeur de remboursement d’une obligation (remboursement au-dessus du pair R > C ; remboursement au pair R = C ; remboursement en-dessous du pair R < C) S5 : Monnaie-Banque

56

Emprunteur K : Capital emprunté (K = NC) N : nombre d’obligations C : valeur nominale d’une obligation i : taux d’intérêt annuel

Prêteur 1 N1 obligations

Préteur 2 N2 obligations

…

Valeur unitaire

Valeur unitaire

C = K/N

…

C = K/N

Coupon d’intérêt unitaire

Coupon d’intérêt unitaire Ci

Ci

S5 : Monnaie-Banque

Prêteur k Nk obligations

Valeur unitaire C = K/N

…

Coupon d’intérêt unitaire Ci

57

r1 = N - n1 nombre d’obligations vivantes non amorties à la fin de la première période et rk = rk-1 – nk D1 = K - m1 = r1 C dette non encore amortie à la fin de la première période et Dk = Dk-1 – mk avec Dk = rk C

nk le nombre d’obligations amorties à la période k tirées au sort

ak annuité de remboursement à la période k est la somme de l’amortissement mk à la période k avec l’intérêt versé aux porteurs des obligations nk

Nombre d’obligations amorties

Amortissements de la période

n1

m 1 = n1 C

a1 = m1 + K i

2 D1=K- n1C=(N-n1)C = r1C D1 i = r1 C i

n2

m 2 = n2 C

a2 = m2 + D1 i

3 D2=D1- n2C=(r1-n2)C =r2C D2 i = r2 C i

n3

m 3 = n3 C

a3 = m3 + D2 i

k Dk-1 = (rk-2 - nk )C= rk-1 C

Dk-1 i = rk-1 C i

nk

mk = nk C

ak = mk + Dk-1 i

n Dn-1 = rn-1 C = nn C

Dn-1 i= rn-1 C i

nn

mn = nn C

an = mn + Dn-1 i

Dette début de période

1 K=NC

Intérêt de la période

Ki=NCi

n

n

Par convention, le taux de coupon est un taux annuel proportionnel. Ainsi, Intérêt du coupon 

taux de coupon annuel  nominal nombre de coupons versés par an

k 1

S5 : Monnaie-Banque

k

n

N

m k 1

k

Annuité de la période

K

58

Exemple : Données     

Le nombre d’obligations : N = 10 000 obligations La valeur nominale de l’obligation : C = 550,00 dhs La durée de l'emprunt : n = 6 ans (6 périodes d’emprunts) Le taux d’intérêt nominal : i = 10 % par an Le nombre d’ obligations amorties à chaque période de l’emprunt : n1 = 700; n2 = 900; n3 = 1 700; n4 = 2 000 ; n5 = 2 100 ; n6 = 2 600.

Dresser le tableau d’amortissement Le capital emprunté est : K  N C  10000  550, 00  5500000, 00 dhs

S5 : Monnaie-Banque

59

Période

Le tableau d’amortissement :

Dette début de période

Nombre d’obligations amorties

Intérêt de la période

Amortissements de la période

Annuité de la période

1

5 500 000,00

550 000,00

700

385 000,00

935 000,00

2

5 115 000,00

511 500,00

900

495 000,00

1 006 500,00

3

4 620 000,00

462 000,00

1 700

935 000,00

1 397 000,00

4

3 685 000,00

368 500,00

2 000

1 100 000,00

1 468 500,00

5

2 585 000,00

258 500,00

2 100

1 155 000,00

1 413 500,00

6

1 430 000,00

143 000,00

2 600

1 430 000,00

1 573 000,00

 10000

S5 : Monnaie-Banque

60

Remboursement par annuités constantes k  1,..., n On a : ak  a L’annuité constante est donnée par :

aK

i 1  1  i 

n

L’amortissement de la 1ère période :

m1  K

i

1  i 

n

1

Le nombre d’obligations amorties à la 1ère période : m1  n1C et K  NC ainsi

n1  N

i

1  i 

S5 : Monnaie-Banque

n

1 61

La loi de remboursement par annuités constantes : Les amortissements (resp. le nombre des obligations amorties) sont en progression géométrique de raison (1+ i ).

mk  1  i  mk 1

nk  1  i  nk 1

et

Ainsi, l’amortissement de la kème période est :

mk  1  i 

k 1

m1  K

i 1  i 

k 1

1  i 

1

n

Le nombre d’obligations amorties à la kème période :

nk  1  i 

k 1

n1  N

i 1  i 

k 1

1  i   1

S5 : Monnaie-Banque

n

62

Le nombre d’obligations amorties après p périodes : 0

n1

p

n k 1

k

3

2

1

p

n2  1  i  n1 2 n3  1  i  n1

n p  1  i 



n1  n2  n3 



n1  n1 1  i   n1 1  i  



n1  1  i 

p 1

n1

 n p 1  n p  n1 1  i 

2

p

n

P 2

 n1 1  i 

P 1

k 1

k 1

p

n k 1

k

 n1

1  i 

p

1

i

 N

p

n k 1

k

1  i 

i

1  i 

n

1

1  i  n 1  i 

S5 : Monnaie-Banque

1

i p

 N

p

1 1 63

Le nombre d’obligations vivantes après p périodes : n  2 n 1

p 1

p

0

n p 1 n



k  p 1

nk

 

n p 1  n p  2 

n nn

 n p 1  nn

p

N   nk k 1



p  1  i  1   N 1   n  1  i   1  

1  i   1  i  n



N

1  i  p

N   nk  N k 1

n

p

1

1  1  i 

p n

1  1  i 

S5 : Monnaie-Banque

n

64

Exemple : Données  Le nombre d’obligations : N = 10 000 obligations  La valeur nominale de l’obligation : C = 550,00 dhs  La durée de l'emprunt : n = 6 ans (6 périodes d’emprunts)  Le taux d’intérêt nominal : i = 10 % par an  Mode de remboursement : annuités constantes

Dresser le tableau d’amortissement K  N C  10000  550, 00  5500000, 00 dhs

L’annuité constante est calculée comme suit : i 0,1 aK  5500 000  1262840, 60 dhs n 6 1  1  i  1  1,1 Mais en fait, il faut commencer par le calcul du nombre d’obligations amorties à chaque période. S5 : Monnaie-Banque

65

On calcule les nombres des obligations amorties à chaque période : n1  N

i

 10 000

0,1

 1296, 07 obligations

1  i   1 1,1  1 n2  n1 1  i   1296, 07  1,1  1425, 68 obligations n3  n2 1  i   1425, 68  1,1  1568, 25 obligations n4  n3 1  i   1568, 25  1,1  1725, 07 obligations n5  n4 1  i   1725, 07  1,1  1897, 58 obligations n6  n5 1  i   1897, 58  1,1  2087, 34 obligations n

6

Les nk sont des entiers n

n k 1

k

N

La loi de remboursement par annuités constantes : les amortissements (ou encore les nombres d’obligations amorties) sont en progression géométrique de raison (1+ i)

S5 : Monnaie-Banque

66

les nombres des obligations amorties à chaque période doivent être bien arrondis : Nombres d’obligations théoriques

Nombres d’obligations théoriques cumulées

Nombres d’obligations cumulées arrondies

Nombre d’obligations entières

1 296,07

1 296,07

1 296

1 296

1 425,68

2 721,75

2 722

1 426

1 568,25

4 290,00

4 290

1 568

1 725,07

6 015,07

6 015

1 725

1 897,58 2 087,34

7 912,65 9 999,99

7 913 10 000

1 898 2 087

S5 : Monnaie-Banque

67

Période

Tableau d’amortissement Dette début de période

Intérêt de la période

1

5 500 000,00

550 000,00

1 296

712 800,00

1 262 800,00

2

4 787 200,00

478 720,00

1 426

784 300,00

1 263 020,00

3

4 002 900,00

400 290,00

1 568

862 400,00

1 262 690,00

4

3 140 500,00

314 050,00

1 725

948 750,00

1 262 800,00

5

2 191 750,00

219 175,00

1 898

1 043 900,00

1 263 075,00

6

1 147 850,00

114 785,00

2 087

1 147 850,00

1 262 635,00

Nombre Amortissements d’obligations de la période amorties

Annuité de la période

Légère différence avec l’annuité calculée

a  1262840, 60 DH S5 : Monnaie-Banque

68

Remboursement par amortissements constants On a :

mk  m

k  1,..., n

Ce qui est équivaut à dire que le nombre des obligations amorties est constant : N nk  nc  n

k  1,..., n

La loi de remboursement par amortissements constants : les annuités sont en progression arithmétique de raison (- m i = - nc C i ).

S5 : Monnaie-Banque

69

Exemple : Données  Le nombre d’obligations : N = 10 000 obligations  La valeur nominale de l’obligation : C = 550,00 dhs  La durée de l'emprunt : n = 6 ans (6 périodes d’emprunts)  Le taux d’intérêt nominal : i = 10 % par an  Mode de remboursement : amortissements constants

Dresser le tableau d’amortissement K  N C  10000  550, 00  5500000, 00 DH

on calcule le nombre constant d’obligations amorties à chaque période : N 10000   1666,67  1667 n 6 Mais à la nème période, il faut arrondir le nombre d’obligations amorties par défaut ou par excès en tenant compte de la relation nc  n  N nc 

S5 : Monnaie-Banque

70

Période

Tableau d’amortissement Dette début de période

Intérêt de la période

Nombre d’obligations amorties

Amortissements de la période

Annuité de la période

1

5 500 000,00

550 000,00

1 667

916 850,00

1 466 850,00

2

4 583 150,00

458 315,00

1 667

916 850,00

1 375 165,00

3

3 666 300,00

366 630,00

1 667

916 850,00

1 283 480,00

4

2 749 450,00

274 945,00

1 667

916 850,00

1 191 795,00

5

1 832 600,00

183 260,00

1 667

916 850,00

1 100 110,00

6

915 750,00

91 575,00

1 665

915 750,00

1 007 325,00

La loi de remboursement par amortissements constants : les annuités sont en progression arithmétique de raison négative (- i nc C)

S5 : Monnaie-Banque

71

Mesures d’encouragement pour l’achat des obligations Il existe deux mesures d’incitation à la souscription selon que l’émission, respectivement le remboursement, est au pair ou non :  Remboursement au-dessus du pair : remboursement de l’obligation à une valeur supérieure à sa valeur nominale ;  Émission en-dessous du pair : émission de l’obligation à une valeur inférieure à sa valeur nominale.

S5 : Monnaie-Banque

72

 Remboursement au-dessus du pair : remboursement de l’obligation à une valeur supérieure à sa valeur nominale La valeur nominale d’une obligation émise C

La valeur de remboursement d’une obligation émise R>C

Prime au remboursement  R  C Prime totale à une période p ( R – C ) np

les intérêts sont calculés à base de la valeur nominale C. L’annuité de remboursement à une période p n’est plus constante :

a p  amortissement de la période  Intérêt de la période + prime totalede la période a p  n p C  rp 1Ci  R  C n p a p  rp 1Ci  Rn p S5 : Monnaie-Banque

73

En cas de remboursement par annuités de remboursement théoriquement constantes : Pour rendre l’annuité de remboursement constante (ap+1 = ap), le nombre d’obligations amorties doit être en progression géométrique de raison (1+ i’ ) (le i’ à calculer)

a p  n p C  rp 1Ci   R  C  n p a p  rp 1Ci  Rn p D’où, après calcul

Il suffit de poser donc :

et

a p 1  rp Ci  Rn p 1

 C  a p 1  a p  n p 1  n p 1  i   R  C i  i R

Ainsi, l’amortissement à la

1ère

période est :

S5 : Monnaie-Banque

n1  N

i

1  i   1 n

74

Exemple : Données  Le nombre d’obligations : N = 10 000 obligations  La valeur nominale de l’obligation : C = 550,00 dhs  La durée de l'emprunt : n = 6 ans (6 périodes d’emprunts)  Le taux d’intérêt nominal : i = 10 % par an  La valeur de remboursement de l’obligation R = 600,00 dhs

Dresser le tableau d’amortissement K  N C  10000  550, 00  5500000, 00 DH

On calcul le nouveau taux : C 550, 00  i  i 0,1  0,0917  9,17 % R 600, 00 Puis on calcule les nombres d’obligations amorties à chaque période.

S5 : Monnaie-Banque

75

On calcule les nombres d’obligations amorties à chaque période : n1  N

i

 10 000

0, 0917

 1323,51 obligations

1  i   1 1, 0917   1 n N n2  n1 1  i   1323, 51 1, 0917  1444,87 obligations  n3  n2 1  i   1444,87  1, 0917  1577, 37 obligations n4  n3 1  i   1577, 37  1, 0917  1722, 01 obligations n5  n4 1  i   1722, 01 1, 0917  1879, 92 obligations Les nk sont des entiers n6  n5 1  i   1879, 92  1, 0917  2052, 31 obligations n

6

n

k 1

k

La loi de remboursement par annuités constantes : les amortissements (ou encore les nombres d’obligations amorties) sont en progression géométrique de raison (1+ i’)

S5 : Monnaie-Banque

76

les nombres d’obligations amorties à chaque période doivent être bien arrondis : Nombres d’obligations théoriques

Nombres d’obligations théoriques cumulées

Nombres d’obligations cumulées arrondies

Nombre d’obligations entières

1 323,51

1 323,51

1 324

1 324

1 444,87

2 768,38

2 768

1 444

1 577,37

4 345,75

4 345

1 577

1 722,01

6 067,77

6 068

1 723

1 879,92 2 052,31

7 947,69 10 000,00

7 948 10 000

1 880 2 052

S5 : Monnaie-Banque

77

Période

Tableau d’amortissement Dette début de période

Intérêt de la période

Nombre d’obligations amorties

Amortissements de la période

Rembourseme nt de la période

Annuité de la période

1

5 500 000,00 550 000,00

1 324

728 200,00

794 400,00

1 344 400,00

2

4 771 800,00 477 180,00

1 444

794 200,00

866 400,00

1 343 580,00

3

3 977 600,00 397 760,00

1 577

867 350,00

946 200,00

1 343 960,00

4

3 110 250,00 311 025,00

1 723

947 650,00

1 033 800,00

1 344 825,00

5

2 162 600,00 216 260,00

1 880

1 034 000,00

1 128 000,00

1 344 260,00

6

1 128 600,00 112 860,00

2 052

1 128 600,00

1 231 200,00

1 344 060,00

Légère différence

S5 : Monnaie-Banque

78

Taux de rendement d’une obligation amortie ird (si R > C, le taux ird est supérieur au taux nominal i ) : Le taux de rendement de l’obligation ou rendement actuariel

est le taux qui permet d’égaliser la valeur actuelle de l’obligation avec la somme des flux futurs perçus (c’est-à-dire, les coupons et le prix de remboursement à l’échéance de l’obligation).

Le taux de rendement indique combien vous rapporte une obligation. Il dépend de la durée de vie de l’obligation. S5 : Monnaie-Banque

79

On suppose ici, E  C et R  C À la période p, date de remboursement d’une obligation, on a : 0

1

2

3

p 1

p

CE

Ci

Ci

Ci

Ci

Ci  R

C  Ci1  ird   Ci1  ird     Ci1  ird  1

2

 ( p 1)

 Ci  R 1  ird 

p

Ou encore,

C 1  ird 

p

 Ci 1  ird 

p 1



 Ci 1  ird   Ci 1  ird   Ci  R

S5 : Monnaie-Banque

2

80

C p C 1  ird 

 Ci 1  ird   Ci 1  ird     Ci 1  ird   Ci  R 1  ird  p 1 p 2 1  Ci 1  ird   Ci 1  ird     Ci 1  ird   Ci  R p 1 k  Ci k 0 1  ird   R 1



2

 ( p 1)

p

p  1  ird   1 Ci R

ird

Donc,

p  1  ird   1 C 1  ird   Ci R p

ird

En général, lorsque la durée de vie de l’obligation augmente, ce taux de rendement diminue. C 1  ird 

p

1  ird    Ci ird

p

1

R

S5 : Monnaie-Banque

Si on achète une obligation au pair alors

ird  i

81

Exemple : Données  La valeur nominale de l’obligation : C = 550,00 dhs  La durée de l'emprunt : n = 6 ans  Le taux d’intérêt nominal : i = 10 % par an  La valeur de remboursement de l’obligation R = 600,00 dhs

taux de rendement d’une obligation amortie après une année : 0

1

550, 00 55  600



C 1  ird1



1

 Ci  R  ird1  i 

R  1  ird1  0,1909  19, 09% C

ird1  i puisque le montant de la prime de remboursement est positif. S5 : Monnaie-Banque

82

Taux de rendement d’une obligation amortie après deux années : 0 550, 00



C 1  ird2



2

2

1

55  600

55







 Ci 1  ird2  Ci  R  1  ird2



 1  ird2  ird2

Remarque :



2



2

R   i 1  ird2    i   0 C 





R   i 1  ird2    i   0 C 





1  R  2  i  i  4   i    1  ird2  0,1424=14,24% 2   C  

ird1  ird2  i S5 : Monnaie-Banque

83

Taux de rendement d’une obligation amortie à l’échéance : 0

1

2

3

4

5

6

550, 00

55

55

55

55

55

55,00  600



C 1  ird6

  1  i  1 1  i  1 R   Ci i  R  1  i   i  0 i C  1  i  1 Eq  1  i   0,1  1,09  0 6

6

rd6

6

6

rd6

rd6

rd6

rd6

6

Ainsi,

Pour ird6 Pour ird6

rd6

6

6

rd6

ird6

 1  i  1   0,1  1,09  -0,01  0 6



 0,11on a : Eq6  1  ird6



 0,12 on a : Eq6  1  ird6

Par interpolation linéaire on obtient

rd6

6

ird6

 1  i  1   0,1  1,09  0,07  0 6

6

rd6

ird6

ird6  0,11

S5 : Monnaie-Banque

, en effet : 84

ird6  0,11

ird6  ?

ird6  0,12

Eq6  -0,01

Eq6  0

Eq6  0,07

Ainsi,

ird6

0,12  0,11  0,01  0,11  0,1112  11,12% 0,07  0,01

Le taux de rendement d’une obligation amortie à l’échéance est :

ird6  11,12% n remarque que :

ird1  ird2  ird6  i S5 : Monnaie-Banque

85

 Émission en-dessous du pair (émission de l’obligation à une valeur inférieure à sa valeur nominale) La valeur d’émission d’une obligation émise E i : les valeurs des obligation sont croissantes pour atteindre à la dernière période la valeur nominale

ir = 11 % ir = 10 % ir > i ir = i

1 2 3 4 5 6

529,67 532,94 536,56 540,58 545,05 550,00

550,00 550,00 550,00 550,00 550,00 550,00 S5 : Monnaie-Banque

ir = 9 % ir < i

943,89 953,85 946,72 904,75 794,06 550,00

Pour ir < i : les valeurs des obligation sont décroissantes pour atteindre à la dernière période la valeur nominal

97

C. La rentabilité économique des investissements Indicateurs de rentabilité

S5 : Monnaie-Banque

98

Introduction

I. Généralités II. Classification des investissements III. Les critères de choix d’investissement 1. 2. 3.

La Valeur Actuelle Nette Le Taux de Rentabilité Interne Le délai de récupération

IV. Choix d’investissement entre plusieurs projets

Exercices d’application S5 : Monnaie-Banque

99

GÉNÉRALITÉ Investir, c’est engager des fonds importants afin de générer à long terme une rentabilité élevée. Lorsqu’une entreprise investit, elle a le choix entre plusieurs projets. Ainsi, elle doit analyser les différentes possibilités qui seront les plus rentables. On parle de rentabilité économique des investissements. Questions légitimes :  Quelle est la rentabilité économique du projet d’investissement étudié ?  Deux ou plusieurs projets d’investissements en concurrence, lequel est le plus rentable ?

Indication : On cite trois indicateurs dynamiques de rentabilité à savoir,  PR : Période de Récupération (PBP : Pay Back Period)  VAN : Valeur Actuelle Nette (NPV : Net Present Value)  TRI : Taux de Rentabilité Interne (IRR : Internal Rate of Return) S5 : Monnaie-Banque

100

Classification des investissements • Classification comptable ou par nature : Investissements corporels (véhicules, machines, immeubles) ; Investissements financiers (actions, obligations); Investissements incorporels (formation, licence, recherches). • Classification par fonction :  Investissements de production ;  Investissements administratifs ;  Investissements commerciaux ;  Investissements logistiques. • Classifications économiques :  Investissements de placements ;  Investissement de croissance. S5 : Monnaie-Banque

101

Étude de la rentabilité des investissements Fk, Flux de trésorerie ou cash-flow de l’année k est donné par :

Fk  Ek  Dk Avec,

Ek : les encaissements de l’année k Dk : les décaissements de l’année k

Le problème d’investissement revient à évaluer le projet d’investissement en comparant le capital investi à l’ensemble des flux de trésorerie générés par ce projet. On posera n, la durée de vie de l’investissement.

S5 : Monnaie-Banque

102

Critère du Délai de Récupération de l’investissement (ou Période de Remboursement PR) (PBP : Pay Back Period) Question : Au bout de combien d’années (nr), l’entrepreneur récupère le montant de son investissement initial ? Indication : Un investissement est jugé rentable si le capital investi est récupéré dans un bref délai. Pour cela on calcule la PR Cas 1 : Flux nets de trésorerie en valeurs non actualisées Dans ce cas, la PR est un indicateur simple en tant que calcul qu’interprétation. Toutefois, il néglige la répartition des flux dans le temps ainsi que la valeur du temps. nr 0

101316, 66 12 mois  7 ans et 6 mois 20 jours 181937,88

TRI1  0.14  10

k

k

I 0  1,20 S5 : Monnaie-Banque

118

Projet 2

i =10 %

Année

Flux de trésorerie

Flux de trésorerie actualisés

Flux de trésorerie actualisés cumulés

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-950 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00 210 000,00

-950 000,00 190 909,09 173 553,72 157 776,11 143 432,83 130 393,48 118 539,53 107 763,20 97 966,55 89 060,50 80 964,09

-950 000,00 -759 090,91 -585 537,19 -427 761,08 -284 328,26 -153 934,78 -35 395,25 72 367,95 170 334,50 259 395,00 340 359,09

10

VAN 2 10%    Fk 1,1  I 0  340359.09 > 0 k

k 1

35395.25 12 mois  6 ans 3 mois 28 jours 107763.20 28306.76 TRI 2  0.17   0.18  0.17   0,1782  17,82% 6241.88  28306.76

PR2  6 ans et

10

IP2 (i )   Fk 1,1 k 1

k

I 0  1,36 S5 : Monnaie-Banque

119

Pour le Projet1

Pour le Projet2

   

   

La VAN est de 396 381.17 DH La PR est de 7 ans 6 mois et 20 jours Le TRI est de 14.44 % L’IP est de 1.20

La VAN est de 340 359.09 DH La PR est de 6 ans 3 mois et 28 jours Le TRI est de 17.82 % L’IP est de 1,36

Décision :  Au vu du critère de la VAN, le projet 1 est plus intéressant que le projet (VAN1 > VAN2)  Au vu du critère de la PR, le projet 2 est plus intéressant que le projet (10 ans > PR2 > PR1)  Au vu du critère du TRI, le projet 2 est plus intéressant que le projet (TRI2 > TRI1>10%)  Au vu du critère du IP, le projet 2 est plus intéressant que le projet (IP2 > IP1>1) En conclusion : le projet 2 est plus intéressant que le projet 1 S5 : Monnaie-Banque

120

2 1 1 1

Calculs en avenir incertain Analyse du risque : – Analyse de sensibilité : • Sensibilité à une variation des recettes • Sensibilité à une variation du coût d’investissement • Sensibilité à une variation des recettes et du coût d’investissement

– Esperance mathématique ; – Taux d’actualisation et prime de risque. S5 : Monnaie-Banque

121

Exemple :

Année

 Le coût initial de l’investissement : 200 000,00 DH  La durée de l’exploitation : n = 6 ans  Les flux de trésorerie prévisionnels sont : 60 000,00 DH (1ère année) ; 50 000,00 DH (2ème année) ; 50 000,00 DH (3ème année) ; 30 000,00 DH (4ème année) ; 35 000,00 DH (5ème année) ; 30 000,00 DH (6ème année).

Flux de Flux de trésorerie trésorerie actualisés

0

-200 000,00

-200 000,00

1

60 000,00

55 555,56

2

50 000,00

42 866,94

3

50 000,00

39 691,61

4

30 000,00

22 050,90

5 6

35 000,00 23 820,41 30 000,00 18 905,09 VAN( 8 %)) = 2890,50 TRI = 8,55 %

 VAN(8%) = 2890,50 : la VAN étant positive, le projet d’investissement est rentable au taux d’actualisation de 8%  TRI = 8,55% : la TRI est supérieur au taux d’actualisation 8 %, le projet d’investissement est rentable 122 S5 : Monnaie-Banque

Analyse de sensibilité due à une variation des recettes : On suppose une diminution des flux de trésorerie prévisionnels de 1 % chaque année.

Année

Une diminution de 1% sur les flux de trésoreries a impliqué : – Diminution de la VAN de 70 % – Diminution de la TRI de 4,45 %

Flux de Flux de trésorerie trésorerie actualisés

0

-200 000,00

-200 000,00

1

59 400,00

55 000,00

2

49 500,00

42 438,27

3

49 500,00

39 294,70

4

29 700,00

21 830,39

5 6

34 650,00 23 582,21 29 700,00 18 716,04 VAN( 8 %) = 861,60 TRI = 8,16 %

 La VAN et la TRI sont très sensible à une telle modification

S5 : Monnaie-Banque

123

Analyse de sensibilité due d’investissement :

à une variation du coût

On suppose une diminution du coût d’investissement de 10 %

Année

Une diminution de 10% du coût d’investissement a impliqué : – Augmentation de la VAN de 6,92 % – Augmentation de la TRI de 4,17 %

Flux de Flux de trésorerie trésorerie actualisés

0

-180 000,00

-180 000,00

1

60 000,00

55 555,56

2

50 000,00

42 866,94

3

50 000,00

39 691,61

4

30 000,00

22 050,90

5 6

35 000,00 23 820,41 30 000,00 18 905,09 VAN( 8 %) = 22 890,50 TRI = 12,71 %

 La VAN et la TRI sont très sensible à une telle modification

S5 : Monnaie-Banque

124

Analyse de sensibilité due à une variation des recettes et à une variation du coût d’investissement : On suppose des flux de trésorerie prévisionnels de 1 % chaque année. et une augmentation du coût d’investissement de 10 %

Année

On constate que le projet ne reste plus rentable

 La VAN et la TRI sont très sensible à une telle modification

S5 : Monnaie-Banque

Flux de Flux de trésorerie trésorerie actualisés

0

-220 000,00

-220 000,00

1

59 400,00

55 000,00

2

49 500,00

42 438,27

3

49 500,00

39 294,70

4

29 700,00

21 830,39

5 6

34 650,00 23 582,21 29 700,00 18 716,04 VAN( 8 %)) = -19 138,60 TRI = 4,67 %

125

Espérance mathématique Année

0

1 F1

Flux probables

-100

2 P(F1)

F2

P(F2)

40

0,2

60

0,1

50

0,8

70

0,3

80

0,6

au taux d'actualisation de 10 % calculons l’espérance mathématique des valeurs actuelle nettes 1

2

Probabilité

VAN

VAN*Probabilité

0,1

0,02

- 14,05

- 0,28

70

0,3

0,06

- 5,79

- 0,35

0,2

80

0,6

0,12

2,48

0,30

50

0,8

60

0,1

0,08

- 4,96

- 0,40

50

0,8

70

0,3

0,24

3,31

0,79

50

0,8

80

0,6

0,48

11,57

5,55

F1

P(F1)

F2

P(F2)

40

0,2

60

40

0,2

40

Projet rentable

VAN espérée = S5 : Monnaie-Banque

5,62 126

Taux d’actualisation et prime de risque     

Le coût initial de l’investissement : 200 000,00 DH La durée de l’exploitation : n = 6 ans Les flux de trésorerie prévisionnels sont donnés. Taux d’actualisation : i = 8 % Prime de risque : p = 4 % Année 0 1 2 3 4 5 6

Fk .1  i 

k

Fk .1  i  .1  p  k

Flux de trésorerie -200 000,00 60 000,00 50 000,00 50 000,00 30 000,00 35 000,00 30 000,00

Flux de trésorerie actualisés sans risque -200 000,00 55 555,56 42 866,94 39 691,61 22 050,90 23 820,41 18 905,09

Flux de trésorerie actualisés avec risque -200 000,00 53 418,80 39 632,90 35 285,70 18 849,20 19 578,64 14 940,97

VAN =

2 890,50

-18293,79

k

le projet d’investissement est rentable au taux d'actualisation 8 % mais risqué S5 : Monnaie-Banque

127