Cours Math Financière Emprunt Obligataire [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 6: Les emprunts obligataires

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6) Emprunt obligataire 6-1) Définition Lorsque le montant de l’emprunt est très élevé, l’emprunteur est obligé de s’adresser à plusieurs prêteurs appelés « obligataires » ou « souscripteurs ». En effet, le montant de l’emprunt est divisé en parts égales négociables appelées obligations. Les principes mathématiques sont identiques à ceux des emprunts indivis sauf que le capital emprunté est remboursé à différents prêteurs. Donc, pour constituer un capital de nominal C0, l’emprunteur émet N obligations égales d’un montant VN. On aura:

6-2) Les principales caractéristiques d’une obligation Les obligations sont caractérisées par les éléments suivants: La valeur nominale (VN): C’est la valeur faciale de l’obligation. Elle est unique pour toutes les obligations d’un même emprunt. Elle constitue le montant à partir duquel est établi le tableau d’amortissement et la base de calcul des intérêts. La valeur d’émission (VE): C’est la somme effectivement payée par l’obligataire pour l’achat d’une obligation. 87

Remarque 1: La valeur d’émission peut être différent du nominal. Lorsqu’il est égal au nominal, on dit que l’obligation est émise « au pair », s’il en est inférieur, on dit que l’obligation est « au dessous du pair » alors que s’il en est supérieur, on dit que l’émission est « au dessus du pair ». La différence entre la valeur d’émission et la valeur nominale est appelée prime d’émission.

Prime d’émission = Valeur nominale - Prix d’émission

La valeur de remboursement (VR): C’est la somme versée par l’emprunteur au moment du remboursement de l’obligation. Remarque 2: La valeur de remboursement peut être égale à la valeur nominale, on parle dans ce cas d’un remboursement « au pair », ou supérieure (resp. inférieure) à la valeur nominale et on parle alors d’un remboursement « au dessus du pair » (reps.au dessous de pair). La différence entre la valeur de remboursement et la valeur d’émission est appelée prime de remboursement. Prime de remboursement = Prix de remboursement – Valeur nominale 88

Exemple: Soit un emprunt obligataire de 1 000 000 euros divisé en 1000 obligations le tableau ci-dessous rassemble les différentes cas d’émission de cet emprunt:

Remarque 3 Lorsque le prix d’émission a été inférieur à la valeur nominale et que le prix de remboursement est supérieur à la valeur nominale il y a double prime

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Le taux nominal (i) : C’est le taux de la rémunération de l’obligation. On l’appelle aussi taux facial. Appliqué à la valeur nominale, il permet de calculer le montant des intérêts (coupon). La date de souscription : C’est la date de règlement de l’achat de l’obligation par le souscripteur. La date de jouissance : C’est la date à partir de laquelle les intérêts commencent à courir. Le coupon (c): C’est le montant des intérêts servis à chaque échéance, pour chaque obligation. On a : c = VN * i. Le coupon couru (cc): Montant des intérêts accumulés mais non encore versés depuis le dernier paiement des intérêts d'une obligation.

Exemple: une obligation à 6 % au nominal de 1 000 €, jouissance au 31.12. Au 30 septembre. Le coupon couru est de 1 000 x 6 % x 9/12 = 45 €. 6-3) Le taux actuariel brut: Le taux actuariel brut d'une obligation est le taux qui annule la différence entre le prix d'émission et la valeur actuelle des flux futurs qu'elle génère. Ce taux est calculé au jour du règlement et figure obligatoirement dans les brochures d'émission. Pour l'acheteur de l'obligation, le taux actuariel représente le taux de rentabilité qu'il obtiendrait en gardant l'obligation jusqu'à son remboursement et en réinvestissant les intérêts au même taux actuariel. 90

Exemple : Supposons que vous investissiez à l’émission dans une obligation de nominal 1000 euros à un prix d ’émission de 995 euros avec un taux nominal de 5% pendant 4 ans. Calculer de taux actuariel brut (remboursement in fine).

6-4) Les modalités de remboursement de l’emprunt obligataire Comme pour l’emprunt indivis, le mode de remboursement de de l’emprunt obligataire peut être:
En bloc ou in fine: Tous les titres sont remboursés en une seule fois à l’échéance.
Par amortissement constant: Un même nombre d’obligations est remboursé chaque année.
Par annuités sensiblement constantes: Les annuités ne sont pas strictement constantes parce que l’amortissement doit concerner un nombre entier d’obligations.

6-4-1) Remboursement en bloc ou in fine Le remboursement est effectué « en bloc » à la fin de la durée de l'emprunt. Exemple : · Montant de l’obligation: 500 € ; · Durée : 4 ans ; · Taux : 4 %. · Remboursement au pair : 500 € par obligation. · Nombre d'obligations émises : 1000 obligations. Tableau Nbr d’obligation Encore vivantes

Intérêt

Nombre d’obligation amorties

1

1000

20 000

0

0

20 000

2

1000

20 000

0

0

20 000

3

1000

20 000

0

0

20 000

4

1000

20 000

1000

500 000

520 000

Échéance

92

Montant

Annuités

6-4-2) Remboursement par amortissement constant. Exemple : Le nombre d’obligation amorties tout les ans=N/n · Montant de l’obligation: 500 € ; Avec N: nombre d’obligation émises. · Durée : 4 ans ; Et n: durée de l’emprunt. · Taux : 4 %. · Remboursement au pair : 500 € par obligation. · Nombre d'obligations émises: 1000 obligations. Tableau Échéance

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Nbr d’obligation Encore vivantes

Intérêt

Nombre d’obligation amorties

Montant

Annuités

1

1000

20 000

250

125000

145 000

2

750

15 000

250

125000

140 000

3

500

10 000

250

125000

135 000

4

250

5 000

250

125000

130 000

6-4-3) Remboursement par annuités constantes

Nombre d’obligation amorties forme une suite géométrique de raison 1+i’

Exemple : i’=Vn*i/VR · Montant de l’obligation:Vn= 500 € ; N=n1+n2+………….+np · Durée : 4 ans ; Np+1 =Np(1+i) · Taux : 4 %. · Remboursement au pair : VR=500 € par obligation. i = i’ · Nombre d'obligations émises : 1000 obligations. Tableau

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Échéance

Nbr d’obligation Encore vivantes

Intérêt

Nombre d’obligation amorties

Montant

Annuités

1

1000

20000

235

117500

137500

2

765

15300

245

122500

137800

3

520

10400

255

127500

137900

4

265

5300

265

132500

137800

Exercice d’application. Une entreprise émit un emprunt obligataire de 960 000 € dont les caractéristiques sont: · Montant de l’obligation: 800 € ; · Durée : 4 ans ; · Taux : 4 %. · Remboursement au pair : 800 € par obligation. · Nombre d'obligations émises : 1200 obligations. Donnez les tableaux de remboursement par amortissement constant et par annuités sensiblement constantes.

Exercice 1: Soit une obligation émise le 15/04/2007, remboursée in fine et dont la date de remboursement est le 15/04/2011. Les intérêts sont versés, chaque année le 15/04. La valeur nominale de l’obligation est de 1 000 € et son taux facial est de 5%. Calculer le prix de l’obligation le 24/03/2009 si le taux de référence du marché obligataire (TMO) est de 6%. En déduire l’équation que vérifie le TAB et préciser la syntaxe à utiliser sur Excel pour déterminer le TAB. NB: Ainsi, si V0 désigne la valeur de l’obligation à la date t=0, c’est-à-dire le jour de son émission, V0 vérifie : 95

Corrigé: La durée restante jusqu’au prochain paiement d’intérêts est de 22 jours soit 22/365 année. Ainsi : Par conséquent : P = 1028 € Inversement, si le cours de l’obligation est de 1028 €, le TAB est le taux d’actualisation i qui vérifie :

Pour résoudre cette équation, il convient d’utiliser la fonction TRI.PAIEMENTS d’Excel comme suit : Sur une feuille Excel, on saisit les dates et les flux correspondants, la valeur de l’obligation devant être signée négativement :

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Dans ce cas : i = TRI.PAIEMENTS(B1:B4 ; A1:A4). Excel fournit le résultat attendu soit i = 6%.

Exercice 2: Un emprunt obligataire est émis en juin 1996 aux conditions suivantes: -Valeur nominale: 5000 euros. - Prix d’émission: 4975 euros. - Taux nominal: 7 %. - Durée totale: 8 ans (remboursement in fine et au pair). - Date de jouissance: 15 juin 1996. 1) Calculer à l’aide d’Excel le taux actuariel brut offert par l’emprunt. 2) Le 16 juin 1998, immédiatement après le détachement du coupon, le taux du marché est de 10 %. Quelle est à cette date la valeur de l’obligation ? Même question si le taux du marché passe à 5 %. Que peut-on conclure ?

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Exercice 3 : Un investisseur souscrit à une émission obligataire. Il achète 1 obligation assimilable du Trésor (OAT), remboursable in fine et au pair, dont le nominal est de 2 000 €, le taux facial est de 4% et la durée de vie est de 5 ans.Vérifier que, lors de son introduction en bourse, le jour de l’émission, l’obligation cote 2 000 €. Le taux de référence des OAT est porté, au cours de la première journée de cotation, à 5%. Calculer à combien s’établit le nouveau cours de l’obligation. En déduire la perte, en pourcentage, subie par l’investisseur. Que devient le cours de bourse de l’obligation au bout de 2 ans dans les hypothèses suivantes : Le taux de référence du marché obligataire (TMO) s’est maintenu à 4%. Le taux de référence du marché obligataire (TMO) a été porté à 5%.

98

Corrigé

2. L’augmentation du taux de référence conduit les investisseurs à exiger un rendement plus élevé. Les flux futurs reçus par l’obligataire étant constants, l’augmentation du rendement se traduit par une baisse de la valeur du titre. Son nouveau cours est obtenu en modifiant le taux d’actualisation. Ainsi :

La perte est alors de 1913-2000 = -87 € soit Au bout de 2 ans, la durée de vie résiduelle de l’obligation est de 3 ans. Ainsi, en notant V2 le nouveau cours de l’obligation

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Cours de l'obligation

Sensibilité du prix de l'obligation à la durée de vie résiduelle et au TMO 2 200 2 100 2 000

3%

1 900

4%

1 800

5%

1 700

6% 5

4

3

2

1

0

Durée de vie résiduelle

 Si le taux de référence du marché (TMO) est égal au taux facial (4%), la valeur de l’obligation est indépendante de sa durée de vie résiduelle.  Plus la durée de vie résiduelle du titre et faible, moins son cours est sensible à une variation de taux.  A l’échéance, le cours du titre correspond au nominal (2000 €) quel que soit le TMO du moment. 100

Bonne chance pour votre examen !

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