Cours Geometrie Analytique Modifiee [PDF]

Zitiervorschau

Geometrie Analytique

2ème sciences

Lycée pilote Bourguiba Tunis

I – Activités dans un repère cartésien du plan 1 – Rappel





Soit O, i, j un repère cartésien du plan.  

 

i, j  est une base de l’ensemble des vecteurs du plan. Le point M du plan est repéré dans le plan par ses coordonnées x (abscisse) et y (ordonnée) et est noté M  x, y  . x Le vecteur OM est repéré dans le plan par ses coordonnées : OM   ou OM  xi  y j .  y  x  xM  Le vecteur MN est repéré dans le plan par ses coordonnées : MN  N  ou  y N  yM 

MN   xN  xM  i   yN  xM  j .

 x'  x Soit les deux vecteurs u   et v    y '  y

  

 

 

le déterminant des vecteurs u et v est le réel note det u ; v définie par : det u ; v 

x

x'

y

y'

 xy ' x ' y

 x'  x Si les deux vecteurs u   et v   sont colinéaires alors leur déterminant est nul.  y '  y  x'  x Si les deux vecteurs u   et v   sont orthogonaux signifie : x.x’ + y.y’=0.  y '  y

Application: 1)Soient A  5, 4  , B  1, 2  , C  3, 4 et D  2, 1 . Montrer que les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires et calculer la mesure de son aire. …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

GEOMETRIE ANALYTIQUE

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2– Coordonnées du barycentre





Le plan est muni d’un repère cartésien O, i, j .  

 x  xB y A  y B , Soient A  xA , yA  , B  xB , yB  deux points du plan et I leur milieu on a : I  A 2  2 Soient A  xA , yA  , B  xB , yB  deux points du plan et  et  deux réels tels que     0 . le

 . 

  x   xB  y A   y B  barycentre G des points  A,   ;  B,   a pour coordonnées G  A . ,         Soient A  xA , yA  , B  xB , yB  , C  xC , yC  trois points du plan et  ,  et  trois réels tels que       0 .

le barycentre G des points  A,   ,  B,   et  C ,   a pour coordonnées   x   xB   xC  y A   yB   yC G A ,         

 . 

Démonstration : …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………… Application : Soient A  5, 4  , B  1, 2  , C  3, 4 Déterminer les coordonnées du point G barycentre des points pondérés :  A,1 ;  B,3 et  C, 2  . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

II – Equation cartésienne d’une droite :





Le plan est muni d’un repère cartésien O, i, j .

a Soient le point A  xA , yA  et un vecteur non nul u   . b  La droite D passant par A et de vecteur directeur u est l’ensemble des points M (x,y) du plan vérifiant que les vecteurs AM et u sont colinéaires. Trouvons une relation nécessaire et suffisante pour qu’ un point M(x,y) appartient a la droite D

M

 x, y  

  D  AM et u   sont colinéaires  





x  xA

  0. 

 det AM , u  0 

y  yA

  . x  xA     y  y A   0   x   y    .x A   . y A   0. GEOMETRIE ANALYTIQUE

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La relation ainsi trouve est appelé équation cartésienne de la droite D





Le plan est muni d’un repère cartésien O, i, j . 

Toute droite admet une équation cartésienne de la forme ax  by  c  0 , où a, b et c trois réels avec



 a, b   0,0 . Soit M  x0 , y0  un point du plan ; M est un point de la droite D d’équation ax  by  c  0 Si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation c.à.d. on a : ax0  by0  c  0 .

Démonstration : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………

Application:





1) Le plan muni d’un repère O, i, j . Soit la droite  D  d’équation 2 x  3 y  5  0 .Montrer que M  2,3   D  et que N  2,1   D  .





2) Le plan muni d’un repère O, i, j ; Soit les points A  2,1 et B  2,3 , Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). ............................................................................................................................. .................................................................... ............................................................................................................................................................................................ ..... ............................................................................................................................. .................................................................... ............................................................................................................................. .................................................................... ............................................................................................................................. .................................................................... ........................................................................................................................................................................................ ......... .......................................................................................................................... .................................... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

III – Vecteur directeur – Droites parallèles 1 – Vecteur directeur

Soit A un point du plan et u un vecteur non nul. L’ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM et u soient colinéaires est une droite appelée la droite passant par A et de vecteur directeur u .





Le plan est muni d’un repère cartésien O, i, j . 

Soit D une droite et A , B deux points distincts de cette droite

Le vecteur AB est un vecteur directeur de la droite D 

 b  Soit D la droite d’équation ax  by  c  0 . Le vecteur u   est un vecteur directeur de D. a 

Remarque : Soit D une droite de vecteur directeur u . Tout vecteur non nul colinéaire à u est aussi un vecteur directeur de D.

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Démonstration …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Application :  2 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé  O ; i , j  soient le point A(–2 ; 1) et le vecteur u    . On note  3  D la droite passant par A et de vecteur directeur u . Donner une équation de D et la tracer. Quelles sont les coordonnées de ses points d’intersection avec les axes ?…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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2 – Condition analytique de parallélisme de deux droites





Le plan est muni d’un repère cartésien O, i, j .  

Soient D et D’ deux droites de vecteurs directeurs respectifs u et u ' . (D et D’ sont parallèles) si et seulement si ( u et u ' sont colinéaires). Soient D et D’ deux droites d’équations respectives ax  by  c  0 et a ' x  b ' y  c '  0 . D et D’ sont parallèles si et seulement si ab ' a ' b  0 .

Application : Dans le repère orthonormé (O ; i , j ) on donne les points A( 2 ; – 4) et B (3 ; – 5). 1)Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)

2)Déterminer une équation cartésienne de la droite (  ) parallèle à (AB) et passant par le point C(0 ; 3). …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… GEOMETRIE ANALYTIQUE

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IV – Vecteur normal à une droite – Droites perpendiculaires 1 – Vecteur normal On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.





Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j .  

Soit A un point du plan et n un vecteur non nul. L’ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM et n soient orthogonaux est une droite passant par A et de vecteur normal n . a Soit D une droite d’équation ax  by  c  0 .Le vecteur n   est un vecteur normal à D. b 

2 – Droites perpendiculaire





Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j . 

Soient D et D’deux droites de vecteurs directeurs u et u ' .

D  D ' si et seulement si 

u u'.

Soient D et D’ deux droites d’équations respectives, ax  by  c  0 et a ' x  b ' y  c '  0 .

D  D ' si et seulement si

aa ' bb '  0 .

Application : Dans un repère orthonormé, on donne les points A(– 4 ; – 1) ; B( 2 ; 6) ; C(4 ; – 5). 1) a) Déterminer une équation de la droite (AC) b) Démontrer que la droite d’équation : 7x – 6y + 22 = 0 passe par A et B. 2) a) Déterminer une équation de la droite () perpendiculaire à (AC) passant par B. b) Vérifier que (  ’) : 6 x  7 y 11  0 est perpendiculaire à (AB) et passe par C . c) Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC . …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

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V – Equation réduite – Coefficient directeur

  Toute droite D non parallèle à l’axe  O, j  admet une équation du type y  mx  p , appelée l’équation

Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j . 

réduite de la droite D. m est appelé le coefficient directeur de la droite D. p est l’ordonné à l’origine.  Soit D la droite d’équation réduite y  mx  p . 1  Le vecteur u   est un vecteur directeur de D. m m  Le vecteur u   est un vecteur normal à D.  1   Soient D et D’ deux droites d’équations réduites respectives y  mx  p et y  m ' x  p ' . D D ' si et seulement si m  m ' .

D  D ' si et seulement si mm '  1 . Application :



Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j



4  1) Déterminer l’équation réduite de la droite D passant par A  5,   et de coefficient directeur m  2 . 7  1 2) Soient D : y  4 x  2 et D ' : y   x  1 sont elles perpendiculaires. 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… VI – Distance d’un point à une droite Soit D une droite et A un point du plan. On appelle distance du point A à la droite D, et on note d  A, D  la distance du point A au point H, projeté orthogonal de A sur la droite D.





Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j . Soit D la droite d’équation ax  by  c  0 . La distance d’un point A  x0 , y0  à la droite D est d  A, D  

ax0  by0  c a 2  b2

.

Démonstration: …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… GEOMETRIE ANALYTIQUE

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…………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Application : Déterminer la distance du point A  1,3 à la droite D : 3x  4 y  5  0 . …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… VII – Equation d’un cercle Soit I  a, b  un point du plan et R un réel strictement positif. L’équation  x  a    y  b   R 2 est appelée : équation cartésienne du cercle c de centre I et de 2

2

rayon R .



Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j 

d  I , D

Soit c un cercle de centre I et de rayon R et D une droite on a : R si et seulement si D et c sont sécants c  D  2 pts . . c  D  1pts .

d  I , D   R si et seulement si D est tangente àc d  I , D 



R si et seulement si c  D   . Soit c un cercle d’équation  x  a    y  b   R 2 , et M  x, y  un point du plan. 2

 x  a   y  b 2 2  x  a   y  b 2 2  x  a   y  b 2

2

2

 R 2 si et seulement si M est sur le cercle c

Application :

R 2 si et seulement si M est à l’intérieur du cercle c R 2 si et seulement si M est à l’extérieur du cercle c



Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j



1) On considère l’ensemble c d’équation : x  y  4 x  2 y  4  0 , montrer que c est un cercle dont on précisera le centre I et le rayon R. 2

2

…………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 2) Soit D : y  2 x  1 , Montrer que D et c se coupent en deux points dont on déterminera les coordonnées.……………………………………………………………………………………………………… ……………

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