Cours 7 - Ecoulement Supersonique Bidimensionnel, Stationnaire, Adiabatique, D Un Fluide Non-Visqueux [PDF]

Zitiervorschau

Master 2 – Dynamique des fluides et énergétique

Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel, stationnaire, adiabatique, d’un fluide non-visqueux Théorie des caractéristiques Méthode numérique des caractéristiques

Reynald Bur [email protected]

Écoulement supersonique bidimensionnel, stationnaire, adiabatique, d’un fluide non visqueux

Dassault Aviation Mirage 2000 et Rafale

Les méthodes de prévision en aérodynamique classique

ESSAIS EN SOUFFLERIE LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX

Cas général : Equations d'Euler Ecoulement irrotationnel Monodimensionnel

Equation du potentiel complète

linéarisée

stationnaire

instationnaire

Bidimensionnel Supersonique : Méthode des caractéristiques Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques

Ecoulement incompressible Equation de Laplace

théorie des profils minces et de la ligne portante

Solutions analytiques Méthode des singularités

Tridimensionnel : Méthodes numériques

PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX L'approximation de couche limite Equations d'Euler : modèles non visqueux

Simulation numérique directe (DNS) frottement, flux de chaleur

Méthode de couplage : fluide parfait - fluide visqueux

Problème complet Résolution numérique des équations de Navier -Stokes

Simulation des grosses structures (LES) Equations moyennées (RANS)

Théorie des caractéristiques Système de coordonnées intrinsèques y

y1 x1

V P ϕ

ligne de courant

y O

x1 : selon la ligne de courant y1 : selon la normale locale y : distance à l’axe de révolution

x

Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques

continuité

mouvement

énergie

 ∂ϕ ∂ ( ρ V ) + ρ V  + ∂x 1  ∂y1

∂V ∂p ρV + =0 ∂x 1 ∂ x 1 ∂p 2 ∂ϕ ρV + =0 ∂x 1 ∂y1

∂s =0 ∂x 1

ε = 0 : écoulement plan

sin ϕ   = 0 ε y 

1

2

(équilibre radial)

isentropie

ε = 1 : écoulement de révolution

Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques 1× ×V - 2

∂ρ sin ϕ  ∂p 2  ∂ϕ  − V + ρ V  +ε =0 ∂x 1 y  ∂x 1  ∂y1

vitesse du son

 ∂p  (∂p / ∂x1 ) a2 =   =  ∂ρ  s (∂ρ / ∂x 1 )

2

(car isentropique)

 V2  ∂p 2 ∂ϕ 2 sinϕ  2 −1 + ρV = − ε ρV y ∂y1 a  ∂x1 ρ V2

∂ϕ ∂p + =0 ∂x1 ∂y1

∂s =0 ∂x 1 système différentiel du premier ordre quasi linéaire

Problème de Cauchy : prolongement de la solution de P en P+dP

y1

x1


V

ϕ

P

courbe initiale (C) P + dP

dy1

dx1

écoulement connu sur la courbe initiale (C)

Directions caractéristiques

1  α = Arc sin   M 

angle de Mach α

l’angle de Mach n’est défini que si M>1 → supersonique directions caractéristiques - montante (η η)

angle +α α par rapport au vecteur vitesse

- descendante (ξ ξ)

angle - α par rapport au vecteur vitesse

y

caractéristique montante

V +α

P

-α

caractéristique descendante

x

Relations ou équations caractéristiques Formes que prennent les équations de conservation projetées sur les directions caractéristiques les équations de base sont projetées sur les directions caractéristiques (η) et (ξ) au moyen des opérateurs

∂ ∂ ∂ = cos α + sin α ∂η ∂x 1 ∂y1 ∂ ∂ ∂ = cos α − sin α ∂ξ ∂x 1 ∂y1

Relations caractéristiques équations caractéristiques pour des variations le long de (η) et (ξ)

sur (η)

sin α cos α ∂p ∂ϕ sin α sin ϕ + = −ε ∂η ∂η γp y

sur (ξ)

sin α cos α ∂p ∂ϕ sin α sin ϕ − = −ε ∂ξ ∂ξ γp y

chaque équation ne fait intervenir que les dérivées par rapport à une des variables indépendantes

ε = 0 : écoulement plan

ε = 1 : écoulement de révolution

Relations caractéristiques autres formes

M − 1 ∂p ∂ϕ sin α sin ϕ + = −ε 2 γ p M ∂η ∂η y 2

sur (η)

M − 1 ∂p ∂ ϕ sin α sin ϕ − = −ε 2 γ p M ∂ξ ∂ξ y 2

sur (ξ)

ε = 0 : écoulement plan

ε = 1 : écoulement de révolution

Relations caractéristiques autres formes écoulement bidimensionnel plan

sur (η)

M − 1 (+) (+) δp + δϕ = 0 2 γ pM

sur (ξ)

M2 − 1 ( − ) (−) δp − δϕ = 0 2 γ pM

2

δp(+) , δϕ(+)

variations de p et ϕ pour un déplacement δη sur (η η)

δp(-) , δϕ(-)

variations de p et ϕ pour un déplacement δξ sur (ξ ξ)

Relations caractéristiques Cas du gaz calorifiquement parfait

γ −1 2 p  =  1+ M  pi  2 

pi = constante

−

γ γ −1

dp γ M dM =− γ −1 2 p 1+ M 2

M2 − 1 dp M2 − 1 dM =− 2 γ −1 2 M γM p 1+ M 2

Relations caractéristiques Cas du gaz calorifiquement parfait il existe une fonction ω(M,γγ) telle que :

M2 − 1 dM dω = γ −1 2 M 1+ M 2

γ +1 γ −1 2 2 ( ) ω(M, γ ) = Arctg M − 1 − Arctg M − 1 γ −1 γ +1 nombre de pression de Busemann ou angle de Prandtl-Meyer

Relations caractéristiques Propriétés de la fonction de pression ω(M,γγ) ω (M)

M → ∞

valeur asymptotique

ω → ωmax (γγ)

M O

angle limite

 ωmax ( γ ) =  

 γ +1 − 1  × 90° = 130,45° γ −1 

pour

γ = 1,4

Propriétés de la fonction de pression ω(M,γγ) 300

g = 1.10 g = 1.15 g = 1.20 g = 1.25 g = 1.30 g = 1.35 g = 1.40

ω (° )

250

om(lim) = om(lim) = om(lim) = om(lim) = om(lim) = om(lim) = om(lim) =

322.43 250.73 208.50 180.00 159.20 143.21 130.45

200

150

100

50 M

0

1

2

3

4

5

6

Relations caractéristiques Écoulement plan d'un gaz calorifiquement parfait

sur (η) M2 − 1 dp + dϕ = 0 → d ω(M, γ ) − dϕ = d[ω(M, γ ) − ϕ ] = 0 2 γ pM sur (ξ) M2 − 1 dp − dϕ = 0 → d ω(M, γ ) + dϕ = d[ω(M, γ ) + ϕ ] = 0 2 γ pM sur (η)

ω ( M , γ ) − ϕ = cons tan te

sur (ξ)

ω ( M , γ ) + ϕ = cons tan te

Transmission d'une perturbation

écoulement uniforme

écoulement uniforme jusqu'à la section AH

(ξ0 )

(η0 )

H

P0

(η0 )A

M0 , p 0 ϕ0 = 0 paroi rectiligne A B

(η0 ) sur caractéristique (ξ0 ) sur caractéristique

ω ( MP0 , γ ) = ω ( M0 )

ω ( MP0 , γ ) − ϕP0 = ω ( M0 ) − ϕ 0 = ω ( M0 ) ω ( MP0 , γ ) + ϕP0 = ω ( M0 ) + ϕ 0 = ω ( M0 ) ⇒

MP0 = M0

ϕP0 = ϕ0 = 0

écoulement uniforme jusqu'à la caractéristique

(η0 )A

Onde simple progressive de détente

(ξ ξ)

(η η0)

(ξ ξ) M0

(η η) P0

P3 P2 P1

A

(η η1)

Q1

(η η)

B Q2

M1

les points P1 et P2 sont sur la même onde montante (η η)

Onde simple progressive de détente les points P1 et P2 sont sur la même onde montante (η η)

ω ( MP1 , γ ) − ϕP1 = ω ( MQ1 , γ ) − ϕ Q1

1 2

sur la (ξ ξ)

ω ( MP2 , γ ) − ϕP2 = ω ( MQ1 , γ ) − ϕ Q1

3 4

ω ( MP1 , γ ) + ϕP1 = ω ( M0 , γ )

sur la (ξ ξ)

ω ( MP 2 , γ ) + ϕP2 = ω ( M0 , γ )

1 + 2

2ω ( MP1 , γ ) = ω ( MQ1 , γ ) + ω ( M0 , γ ) − ϕ Q1

3 + 4

2ω ( MP2 , γ ) = ω ( MQ1 , γ ) + ω ( M0 , γ ) − ϕ Q1

2 - 1

2ϕP1 = ω ( M0 , γ ) − ω ( MQ1 , γ ) + ϕ Q1

4 - 3

2ϕP2 = ω ( M0 , γ ) − ω ( MQ1 , γ ) + ϕ Q1

Onde simple progressive de détente

ω ( MP2 , γ ) = ω ( MP1 , γ ) = ω ( MQ1 , γ ) ϕP2 = ϕP1 = ϕ Q1 l’écoulement est constant sur toute onde (η) sur l’onde (ξ ξ) aboutissant en Q1

ω ( MQ 1 , γ ) + ϕ Q 1 = ω ( M0 , γ )

ω ( MQ 1 , γ ) = ω ( M0 , γ ) − ϕ Q 1 ω ( MQ 1 , γ ) > ω ( M0 , γ )

car

ϕ Q1 < 0

(paroi convexe)

les ondes (η) forment une onde de détente

ψ (η ) α

Onde simple progressive de détente pente des caractéristiques (η η)

ϕ

ψ=ϕ+α écoulement constant sur chaque (η η) : ondes (η η) rectilignes détente : la pression diminue dans l’onde

• le nombre de Mach augmente

α diminue

• comme ϕ diminue

ψ=ϕ+α

diminue

les ondes (η η) sont de plus en plus couchées les ondes de détente (η) sont des droites divergentes


V

Onde simple progressive de détente à la limite : arc AB

0

discontinuité de pente

(η0 )

(η)

M0

AB

ϕ1

(η1 ) M1

ω ( M1 , γ ) = ω ( M0 , γ ) − ϕ1 faisceau d’ondes de détente centrées de Prandtl-Mayer

Onde simple progressive de détente ondes (η)

ondes (η)

M0

M0

AB

M1

p

M1

p pression à la paroi

p0

p0 p1

p1

x

détente étalée

x

détente centrée

Onde simple progressive de détente

B A

A

(ξ ξ)

détente étalée

paroi "en haut"

(ξ ξ) détente centrée

détente par ondes descendantes (ξ ξ)

Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique

(f ) p = pa

ϕ1

E

M1

M0 , V0

la pression pa est imposée déflexion

nombre de Mach M1

∆ϕ = ϕ 1 − ϕ 0 = ω (M1, γ ) − ω(M0 , γ )

Déviation maximale pour une détente jusqu’au vide détente depuis M = 1

ϕ1 = − ω ( M1 , γ ) si M1→ ∞ vide p=0

ϕmax

ϕ → ϕmax

ϕmax = ωmax ( γ ) (ϕ max = 130,45° pour γ = 1,4)

détente depuis M0 :

∆ϕ max = ϕ1 − ϕ 0 = ωmax ( γ ) − ω ( M0 , γ )

Onde simple progressive de détente

M0 = 3

perturbation

frontière de la couche limite

défaut de surface document Onera - strioscopie interférentielle

détente centrée provoquée par une déviation de paroi

Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique

région sonique détente centrée

couche de mélange ligne de glissement

document Onera - interférogramme

détente centrée provoquée par un décrochement de paroi

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

l’angle de déflexion limite est atteint à haute altitude

Onde simple progressive de compression ondes (η)

(η1 )

(η0 )

M0

(ξ ξ)

P1

•

P2

•

A

Q1

•

M1

ϕ1 B

les points P1 et P2 sont sur la même onde montante (η η) passant par le point Q1 à la paroi

Onde simple progressive de compression les points P1 et P2 sont sur la même onde montante (η η) passant par le point Q1 à la paroi

ω ( MP1 , γ ) − ϕP1 = ω ( MQ1 , γ ) − ϕ Q1 sur la (ξ ξ)

ω ( MP1 , γ ) + ϕP1 = ω ( M0 , γ ) ω ( MP2 , γ ) − ϕP2 = ω ( MQ1 , γ ) − ϕ Q1

sur la (ξ ξ)

ω ( MP 2 , γ ) + ϕP2 = ω ( M0 , γ )

Onde simple progressive de compression

ω ( MP2 , γ ) = ω ( MP1 , γ ) = ω ( MQ1 , γ )

ϕP2 = ϕP1 = ϕ Q1 l’écoulement est constant sur toute onde (η)

sur l’onde (ξ ξ) aboutissant en Q1

ω ( MQ 1 , γ ) + ϕ Q 1 = ω ( M0 , γ ) ω ( MQ 1 , γ ) = ω ( M0 , γ ) − ϕ Q 1 ω ( MQ 1 , γ ) < ω ( M0 , γ )

car

ϕ Q1 > 0

(paroi concave)

les ondes (η) forment une onde de compression

Onde simple progressive de compression

(η ) α ψ

pente des caractéristiques (η η)

ϕ


V

ψ=ϕ+α écoulement constant sur chaque (η η) : ondes (η η) rectilignes compression : la pression augmente dans l’onde

• le nombre de Mach diminue

α croît

• comme ϕ augmente

ψ=ϕ+α

croît

les ondes (η η) sont de plus en plus redressées les ondes de compression (η) sont des droites convergentes

Onde simple progressive de compression (η η 1)

(η η 0)

P

onde de choc (C)

ligne de courant

F

M1

M0

M1

M0 ϕ1 B A

A

B

les ondes de compression peuvent se croiser plusieurs états sont possibles en aval du point de croisement la solution par onde progressive n’est plus acceptable au-delà du point de focalisation des ondes de compression il faut introduire une discontinuité ou onde de choc

Onde simple progressive de compression à la limite : arc AB

0 (η η 1)

discontinuité de pente (η η 0)

onde de choc (C)

M1 M0

ϕ1 A

ϕ1 A

l’onde finale précède l’onde initiale ! il faut remplacer l’onde progressive par une onde de choc

Onde progressive de compression

(η)1

il y a en un point du domaine limité par les caractéristiques

(η)0

,

1

(η)0 0

X

(η)1

trois états possibles

p

p1

1

impossibilité physique

p0 nécessité d'une onde de choc

0

X

Théorie des caractéristiques – Solutions élémentaires Onde progressive de détente détente étalée

détente centrée

p = pa

détente d’un jet

Onde progressive de compression onde de choc

focalisation

Structure d'un jet supersonique

document Onera

Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - détendu 0, 2, 4, 6, 8, 10... régions uniformes 1, 3, 5, 7, 9, 11... régions par ondes simples frontière isobare (f)

ligne de courant

pa 2

0 1

5

3

10

6 7

4

11

9 8

frontière isobare (f)

onde de détente

onde de compression

Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - détendu Formation d'un choc par focalisation d'ondes de compression

frontière isobare (f) point de focalisation

zone rotationnelle

onde de choc

frontière isobare (f)

point de focalisation

zone rotationnelle

Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - détendu Réflexion régulière de l'onde de choc sur le plan de symétrie

frontière isobare (f) ϕ1

ligne de courant

ϕ1

frontière isobare (f)

Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - détendu Formation d'un disque de Mach frontière isobare (f) point triple

(C1 ) (C2 ) 0

1 2

disque de Mach

3

(C3 )

M1

ligne de glissement

point triple frontière isobare (f)

Intersection régulière de deux ondes de choc

(C2 )

(C1 )

2

3

ϕ1 X'

1

I

(C ) ' 1

− ϕ1

X

(C ) ' 2

Intersection régulière de deux ondes de choc

soufflerie S8Ch Onera

intersection régulière à Mach 1,95

Intersection régulière de deux ondes de choc p p1

polaire (Γ1 )

cas M1 = 1.95 , ϕ 1 = −8°

polaire (Γ1 )

choc (C2 )

3

2 1

choc (C1 )

ϕ − ϕ1

ϕ1

intersection régulière dans le plan des polaires de choc

Intersection singulière ou phénomène de Mach

(C1 )

2

(C2 )

− ϕ1

3

(Σ )

point triple

4

1 X'

lignes de glissement

disque de Mach

(C3 )

M1 M>1

(C ) ' 2

X

Intersection singulière ou phénomène de Mach

soufflerie S8Ch Onera

intersection singulière ou phénomène de Mach à M = 1,95

Intersection singulière ou phénomène de Mach shock (C 2 )

p p1

3 4

cas M1 = 1.95 , ϕ 1 = −15°

shock (C3 )

polar (Γ2 ) shock (C1 )

2

polar (Γ1 )

1 − ϕ1

ϕ ϕ1

intersection singulière dans le plan des polaires de choc

Disques de Mach dans un jet supersonique

disques de Mach dans le jet d'un F104

apparition de points chauds rayonnement fortement dans l'infra-rouge vulnérabilité aux missiles anti-avion

Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution

ligne de glissement

onde de choc de confluence

écoulement externe

Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution

point triple (C ) 2

(C1 ) choc droit

(C3 ) lignes de glissement subsonique

formation d'un disque de Mach

Théorie des caractéristiques Méthode numérique des caractéristiques

soufflerie S5Ch de l'Onera

Théorie des caractéristiques Directions caractéristiques

angle de Mach α

y

1  α = Arc sin   M 

caractéristique montante

+α

P

(η)

V

−α caractéristique descendante

(ξ )

l’angle de Mach n’est défini que si M >1 → supersonique

x

Théorie des caractéristiques Équations caractéristiques sur (η η)

sin α cos α ∂p ∂ϕ sin α sin ϕ + = −ε γp ∂η ∂η y

sur (ξ ξ)

sin α cos α ∂p ∂ϕ sin α sin ϕ − = −ε γp ∂ξ ∂ξ y

forme équivalente sur (η η)

M2 − 1 ∂ p ∂ ϕ sin α sin ϕ + = −ε 2 y γ p M ∂ η ∂η

sur (ξ ξ)

M2 − 1 ∂ p ∂ ϕ sin α sin ϕ − = −ε 2 γ p M ∂ξ ∂ξ y

écoulement plan : ε = 0

- écoulement de révolution : ε = 1

Méthode numérique des caractéristiques On pose pour condenser l’écriture pression pr

p z = Log    pr 

entropie

 pi  s = − Log    pr 

pression de référence constante

Z=

M2 − 1 γ M2

sin α sin ϕ N=−ε y

Relations caractéristiques de travail

Z dz + dϕ = N dη

Z dz − dϕ = N dξ

dz , dϕ

variations de z et ϕ le long de

(η)

ou

(ξ)

Méthode numérique des caractéristiques Point courant : opérateur N calcul de l’écoulement au sein d’un champ l’écoulement au point 3 est calculé à partir des points 1 et 2 où il est connu

le point 3 est à l’intersection : - de la (ξ ξ) passant par 1 - de la (η η) passant par 2

Méthode numérique des caractéristiques Relations caractéristiques discrétisées et linéarisées

Z13 ( z(3n) − z1 ) − ( ϕ(3n) − ϕ1 ) = N13 δξ(n−1) Z 23 ( z (3n) − z 2 ) + ( ϕ(3n) − ϕ 2 ) = N23 δη(n−1) (n) : rang de l’itération courante (n-1) : rang de l’itération précédente où l’état est connu valeurs moyennes pour la linéarisation:

Z13

1 = ( Z1 + Z (3n−1) 2

1 N13 = ( N1 + N(3n−1) 2

1 = ( Z 2 + Z (3n−1) 2

)

)

Z 23

)

1 N23 = ( N2 + N(3n−1) 2

)

Méthode numérique des caractéristiques Les caractéristiques sont assimilées à des droites - passant par 1 et de pente pour la (ξ ξ)

ψ13

1 = ( ϕ1 − α1 + ϕ(3n−1) − α(3n−1) 2

- passant par 2 et de pente pour la (η η)

ψ 23

)

1 = ( ϕ 2 + α2 + ϕ(3n−1) + α(3n−1) 2

)

la résolution du système linéarisé donne un nouveau couple de valeurs

[z

( n) 3

, ϕ(3n)

]

d’où l’engagement dans un nouveau cycle d’itération

Écoulement à entropie variable ou méthode des caractéristiques rotationnelle (voir relation de Crocco) l’entropie est interpolée entre les lignes de courant passant par 1 et 2

s1 sin(α 23 )∆η + s 2 sin(α13 )∆ξ s3 = sin(α 23 )∆η + sin(α13 )∆ξ

Méthode numérique des caractéristiques Cycle d’itération

[z

(n−1) 3

, ϕ(3n−1)

]

x (3n−1) , y(3n−1)

Z13 , Z 23 , N13 , N23

δξ(n−1) ,δη(n−1)

équations linéarisées état (n) remplace état (n-1)

[z

(n) 3

, ϕ(3n)

test de convergence non

z(3n) − z(3n−1) < ε z et ϕ(3n) − ϕ(3n−1) < εϕ oui

passage au point suivant

s 3(n )

]

Méthode numérique des caractéristiques Point sur une paroi : opérateur P

la condition de glissement impose la direction de la vitesse ϕp en P le point 3 est calculé à l’intersection de la paroi et de la (η η) assimilée à une droite de pente

ψ 23 =

1 ( ϕ 2 + α2 + ϕP(n−1) + α(3n−1) 2

)

la relation caractéristique permet de calculer la pression en 3

Z 23 ( z(3n) − z 2 ) + ( ϕP(n) − ϕ 2 ) = N23 δη(n−1)

Méthode numérique des caractéristiques Point sur une frontière fluide : opérateur J (j) la condition sur (j) impose la pression p3

le point 3 est calculé à l’intersection

1 (n−1) = ( ϕ + ϕ ) ϕ - de la frontière (j) : droite passant par 1 de pente : J 1 3 2 1 ( n − 1) ( n − 1) ( ) ψ = ϕ + α + ϕ + α - de la (η η) : droite de pente : 2 2 J J 23 2 la relation caractéristique permet de calculer la direction ϕJ en 3

Z 23 ( z(Jn) − z 2 ) + ( ϕ(Jn) − ϕ 2 ) = N23 δη(n−1)

Méthode numérique des caractéristiques Point sur un axe de révolution : opérateur A

sin α sin ϕ N=− y

problème : expression du terme

sur axe de révolution

y→0

,

ϕ

→0

0 d' où : N → 0

il faut lever l’indétermination

 ∂ϕ   ∂ϕ   dy =   y sin ϕ ≈ ϕ = 0 +   ∂y  ξ  ∂y  ξ

−

sin ϕ  ∂ϕ  δϕ ≈   ≈ y  ∂y  ξ δy

sin α sin ϕ  ∂ϕ  δϕ δy δξ ≈ −   δξ sin α = sin α = δϕ y δy sin α  ∂y  ξ forme limite

Z dz − 2 dϕ = 0

Méthode numérique des caractéristiques Point sur un axe de révolution : opérateur A

la condition sur l’axe impose la direction ϕ3 = 0 axe de révolution

première relation (en 1) :

Z1 ( z3 − z1 ) + ϕ1 = N1 δξ

deuxième relation (en 3) :

Z 3 ( z 3 − z1 ) + 2ϕ1 = 0

évaluation avec la moyenne

1  1 2  N1   − z 3 = z1 − ϕ1  δξ  + 2   Z1 Z 3  Z1 

Méthode numérique des caractéristiques Origine d’un faisceau de détente : opérateur Q

en Q la relation caractéristique sur (η η) tend vers

M2 − 1 dp + dϕ = Ndη 2 γM p

en Q

dη → 0

M2 − 1 dp + dϕ = 0 2 γM p

écoulement plan

Méthode numérique des caractéristiques Origine d’un faisceau de détente : opérateur Q entre les états 0 et 1

ω (M1 , γ ) = ω (M0 , γ ) + ϕ1 − ϕ0 = ω (M0 , γ ) + ∆ϕ ϕ1 = ϕ0 + ω (M1 , γ ) − ω (M0 , γ ) la détente est fractionnée en NQ détentes élémentaires

∆ϕ δϕ = NQ ϕn = ϕ0 + n δϕ

ω (Mn , γ ) = ω (M0 , γ ) + n δϕ

Méthode numérique des caractéristiques Domaines de dépendance et d'influence domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C) non caractéristique courbe initiale (C)

ABP : domaine de dépendance de P QAB : domaine d'influence de Q

le calcul ne peut être prolongé au-delà de AP et BP

Méthode numérique des caractéristiques Données de départ sur une courbe caractéristique 01

caractéristique montante

02

A 11

03

12

courbe initiale (C)

13

04 14

caractéristique descendante

05

B

15

si la courbe initiale (C) est caractéristique, le champ ne peut être prolongé en dehors de (C)

Méthode numérique des caractéristiques Domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C) non caractéristique et d'une paroi

A

C

le calcul ne peut être prolongé au-delà de la descendante AC

Méthode numérique des caractéristiques Domaine calculable à partir d'une caractéristique initiale et d'une paroi

caractéristique initiale (η η0)

paroi

la condition sur la paroi permet de prolonger le calcul au-delà de (η η0) on ne peut dépasser la descendante (05,45) si (η η0) s'arrête en 05

Écoulements élémentaires : détente continue par ondes simples M0 = 2,5

caractéristiques

déflexion : ∆ϕ = −10°

Écoulements élémentaires : détente continue par ondes simples

caractéristiques

M0 = 2,5 déflexion : ∆ϕ = −10°

contours iso-Mach

Écoulements élémentaires : compression et focalisation caractéristiques

M0 = 2,5 déflexion : ∆ϕ = +10°

Écoulements élémentaires : compression et focalisation

caractéristiques zoom sur la focalisation

M0 = 2,5 déflexion : ∆ϕ = +10°

Écoulements élémentaires : compression et focalisation contours iso-Mach M0 = 2,5 déflexion : ∆ϕ = +10°

contours iso-pression génératrice

Application de la méthode des caractéristiques Définition de la forme d’une tuyère supersonique

Application au calcul d’une tuyère supersonique problèmes - direct calculer l'écoulement produit par une tuyère de forme donnée - inverse calculer le contour d'une tuyère donnant un écoulement aux propriétés données (uniforme, par exemple) deux étapes principales 1 - calculer le domaine transsonique au col par une méthode adéquate (analytique, numérique) 2 - à partir d'une caractéristique initiale déduite de 1, prolonger le calcul dans la partie supersonique par la méthode des caractéristiques

Détermination de la région transsonique du col

paroi au col

y

ℜ

col géométrique

v axe de révolution ou plan de symétrie


V

h ou rc

O

u

x

Structure de la région transsonique du col d’une tuyère

ligne sonique : lieu géométrique des points tels que

u 2 + v2 = 1 ligne des sommets : points où la vitesse est parallèle à l’axe ou des cols

v=0

la ligne des sommets peut être graduée en valeurs de la courbure

1 ∂  v (∂ u / ∂x ) =   = ℜ ∂x  u  v = 0 u

Structure de la région transsonique du col d’une tuyère

caractéristique de départ pour la partie supersonique

définie par

avec

et

dy = tg (ϕ − α ) dx   1 α = Arc sin   = Arc sin   M  v ϕ = Arctg   u

a2 u 2 + v2

   

Structure de la région transsonique du col d’une tuyère

ligne sonique

ligne des cols

ligne de courant

la ligne sonique ≠ du col géométrique, elle présente une courbure la solution analytique obtenue par résolution de l’équation du potentiel est valable tant que R/h > 4

Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la région du col par résolution des équations d’Euler 2 1.5 1

Y

0.5 0

-0.5 -1 -1.5 -2

-2

-1

0

1

X

exemple : tuyère sonique pour le cas R/H = 1

Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la région du col par résolution des équations d’Euler 2 1.5 1

R

0.5 0

-0.5 -1 -1.5 -2

-2

-1

0

1

2

X

exemple : calcul Euler pour le cas R/H = 1, maillage

Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la région du col par résolution des équations d’Euler 2 1.5 1

R

0.5 0

-0.5 -1 -1.5 -2

-2

-1

0

1

2

X

exemple : calcul Euler pour le cas R/H = 1, plages iso-Mach

Autre méthode : calcul de l’écoulement dans la région du col par résolution des équations d’Euler

1

caractéristique de départ

Y

ligne sonique

0.5

ligne des sommets 0

-1

-0.5

0

0.5

1

X

exemple : domaine sonique pour le cas R/H = 1

Détermination de la région transsonique du col

y 00 01

ligne sonique

dy 02

M1

03

caractéristique initiale ou de départ

04

(ξ)0

05

0

06

x

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct

cheminement : 01+P→ → 11, 02 +11→ → 12 , 12+P→ → 21 02+ 12→ → 13, 13+21 → 22, 22+P → 31 - 04+13 → 14, 22+14 → 23 etc jusqu'à la dernière montante [35,71]

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct nombre de Mach en sortie M0 = 2

réseau des caractéristiques

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct nombre de Mach en sortie M0 = 2

réseau des caractéristiques – zoom sur la région du col

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct nombre de Mach en sortie M0 = 2

plages iso nombre de Mach

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design la section de sortie AE et le nombre de Mach en sortie ME étant donnés → calculer la section du col :

AE Ac = Σ(ME , γ ) Étape 1 : calculer le domaine transsonique par la méthode numérique Étape 2 : en extraire une caractéristique de départ (ξ ξ0) située dans la partie supersonique (caractéristique partant du col géométrique)

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design

Étape 3 : fixer une répartition de Mach sur l'axe de la tuyère a - passer par le point 0 dans le domaine transsonique connu b - atteindre un niveau M = ME à partir de x = xE c - être constante à la valeur M = ME au-delà de xE

XE

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design Étape 4 : à partir de (ξ ξ0) et de la loi de Mach imposée sur l'axe, calculer l'écoulement supersonique par la méthode des caractéristiques

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design Étape 5 : mise en place de la paroi de la tuyère conservation du débit entre le col et le point Pn sur une caractéristique calculée

( )



d qm = 2π ρ V.n y dξ

d qm = 2π ρ V sin α y dξ d qm = 2π ρ a y dξ P0

débit au col

qm = 2 π ∫ ρ a y d ξ

débit à travers (ξ ξ)

0

Pn

2π ∫ ρ a y dξ = qm 0

définit la position du point Pn à la paroi

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design Algorithmique données de définition de la tuyère : M0

donnée : nombre de Mach sur axe

opérateur A : point sur l'axe

calcul du domaine transsonique

opérateur N : point courant caractéristique de départ

calcul du débit qm sur la (ξ ξ) en cours qm > (qm)col

fin du calcul

oui

caractéristique (ξ ξ)

non Mach paroi constant = M0

non

oui

localisation du point de la paroi

Définition d'une tuyère plane Mach 2

Y

X caractéristique de départ

Mach

Définition d'une tuyère plane Mach 2

X loi de nombre de Mach imposée sur l'axe

Définition d'une tuyère plane Mach 2

réseau des caractéristiques calculées

Définition d'une tuyère plane Mach 2

réseau des caractéristiques - zoom sur la région du col

Définition d'une tuyère plane Mach 2

plages iso nombre de Mach

Structure de l’écoulement dans une tuyère supersonique

A

α0

ligne de Mach C

M0

α0

A’

 1   α 0 ≡ angle de Mach = Arc sin  M0 

écoulement uniforme en aval de CA et CA’

Structure de l’écoulement dans une tuyère supersonique

A

α0 C

α0 α0

α0

C’

A’

écoulement uniforme dans le domaine CAC’A’

→ rhombe de Mach

Soufflerie supersonique équipée d'une tuyère en forme

maquette dans le rhombe de Mach tuyère Mach 2 de la soufflerie S5Ch de l'Onera-Meudon

Tuyère symétrique plane type coquetier Caractéristiques

M0 = 1,005

−

ME = 2

Tuyère symétrique plane type coquetier Caractéristiques

M0 = 1,005

−

ME = 2

Tuyère symétrique plane type coquetier Plages iso-Mach

M0 = 1,005

−

ME = 2

Tuyère symétrique plane type coquetier Plages iso-Mach

M0 = 1,005

−

ME = 2

Tuyère symétrique plane type coquetier Caractéristiques – domaine calculable

M0 = 1,005

−

ME = 2

Tuyère symétrique plane type coquetier

M0 = 1,005

−

Nombre de Mach sur les parois 2.5

Mach

2

1.5

1

0.5

paroi superieure paroi inferieure

0

10

20

30

x

40

50

60

ME = 2

Jet supersonique plan caractéristiques

contours iso-Mach M0 = 2 pa = 0,469 p0 p0 = 2,13 pa

première cellule

Jet supersonique de révolution caractéristiques

M0 = 3 pa = 0,147 p0 p0 = 6,8 pa

départ du choc de focalisation

Jet supersonique de révolution contours iso-Mach M0 = 3 pa = 0,147 p0 p0 = 6,8 pa

contours iso pression génératrice

Fin du cours

avion de transport supersonique Concorde