TD Chapitre 1 Ecoulement Fluide Visqueux [PDF]

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UNIVERSITE IBN KHALDOUN TIARET Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique

Durée 1H30

Fiche TD 01

Matière :MDF App

UEF 1.1.1.1 Energétique

M1-S1

Exercice 1 : 2 2 L’écoulement d’un liquide de viscosité dynamique   2.10 N.s m sur une plaque plane fixe, est caractérisé par le profil de vitesse donné par le schéma cicontre. Si l’épaisseur de l’écoulement est e=5 cm, déterminer la valeur de la contrainte de cisaillement :

1) A la paroi, 2) à une distance de 2 cm de la paroi, 3) à une distance e de la paroi

Exercice 2 : Soit un écoulement plan d’un liquide de viscosité cinématique   5.104 m2 s et de masse volumique   103 Kg m3 sur une plaque plane. Le profil de vitesse est donné par u  y   0,5y 3 . Déterminer la valeur de la tension de cisaillement à la paroi, et à 7 cm de la paroi.

Exercice 3 : Sur une plaque plane lisse, faisant avec l’horizontal un angle α, en mouvement permanent bidimensionnel établi et sous une épaisseur e, coule sous l’effet de la pesanteur, un liquide de viscosité cinématique  . Déterminer le débit par unité de la largeur et la vitesse débitante (moyenne) ?

Exercice 4 : Soit l’écoulement de poiseuille en régime laminaire d’une huile dans un tube de diamètre 2R=12 mm, et de longueur L. le tube est incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale, avec sin   0,0445 . Si la pression statique à l’intérieur est constante tout le long du tube, et le débit mesuré égal à QV=20 L/h, déterminer la viscosité cinématique  de cette huile ?

Exercice 5 : Soit un tube cylindrique de 3 Km de longueur, et de diamètre 10 cm, parcouru par un liquide de viscosité dynamique   0,4 Po (poises). On suppose que la distribution des vitesses dans la section droite du tube est donnée par l’équation parabolique u  y   10y  y 2 en unité CGS, avec u étant la vitesse à la distance y de la paroi. Calculer : 1) La contrainte de cisaillement à la paroi. 2) Contrainte tangentielle à 2 cm de la paroi. 3) La force totale de frottement s’exerçant sur le tube ?

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Exercice 6 : Un fluide visqueux de masse volumique ρ et de viscosité µ d’écoule dans l’espace annulaire entre deux cylindre coaxiaux. Le rayon externe du cylindre interne est R1, et le rayon interne du cylindre externe est R2. L’écoulement est considéré comme permanent, laminaire et du type de couette.

u

P 2 r  C1 ln  r   C2 4  .L

1) Etablir la relation donnant le rayon pour lequel la vitesse est maximale ? 2) Trouver la loi du débit volumique de cet écoulement annulaire et en déduire la vitesse moyenne de débit ?

Exercice 7 : De l’huile de masse volumique   900Kg m3 , s’écoule dans un tube de diamètre d = 1 cm incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale. La différence de pression entre les sections (1) et (2) est donnée par H  106 mm C Hg (C Hg : colonne de mercure), le débit volumique de l’huile est QV=65 cm3/s. 1) Déterminer la viscosité dynamique µ de l’huile. 2) Calculer le nombre de Reynolds Re.

Exercice 8 : Soient deux plaques planes et parallèles, inclinées d’un angle α avec l’horizontale et dont l’une se déplace à la vitesse UP par rapport à l’autre. L’espace entre les deux plaques et rempli par une huile de masse volumique ρ et de viscosité dynamique µ, déterminer : 1) Le sens de l’écoulement de l’huile. 2) Le profil (ou la répartition) des vitesses, la vitesse maximale, le débit et la vitesse moyenne de l’huile. 3) Le profil des contraints tangentielles. Les Données : µ = 0,9 Pa.s ; UP = 1,5 m/s ; e = 10 mm; =1260 Kg/m3 ; P1 =25 .104 Pa ; P2 =8 .104 Pa ; H = 1 m.

ρ

Exercice 9 : Même questions que celles de l’exercice 8 Les Données : µ = 0,08 Pa.s ; UP = 1 m/s ; e = 6 mm ; =850 Kg/m3 ; P1 =1.5 K Pa ; P2 = 0,8 KPa ; H = 3 m.

ρ

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Exercice 10 : On se propose de déterminer la viscosité dynamique µ d’une huile à l’aide d’un viscosimètre rotatif à cylindre coaxiaux. Le couple mesuré au niveau du cylindre intérieur est C=910dynes, R1  77mm , R 2  80mm , L  200mm , a  4mm et  

1 tour s 30

Exercice 11 : Un arbre de machine de rayon R  50mm , est maintenu verticalement par un coussinet de longueur

l  250mm . Le jeu radial constant est uniforme et vaut e  0,10mm . il est rempli d’huile   900Kg m3 et de viscosité µ. Cette dernière est déterminée à l’aide d’un viscosimètre capillaire tel que D  50mm , d  3mm et L  400mm . La charge h passe de h0 à h1 en 3880 secondes avec h0  500mm et h1  250mm . 1) L’écoulement de huile est trop lent, trouver la relation donnant le débit volumique QV dans le tube capillaire 2) Montrer qu’entre t0 et t1, h1 s’écrit : h1  h0 e

 K  t1  t 0 

, avec K  cste à déterminer.

3) En déduire la relation de la viscosité µ de l’huile et sa valeur. 4) Déterminer le nombre de Reynolds dans le tube capillaire. 5) L’arbre du coussinet tourne à   240tr min , calculer la force de frottement . 6) Calculer la puissance dissipée correspondante au couple résistant C produit par le coussinet.

tube capillaire

arbre de machine

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Solution Exercice 01

La contrainte de cisaillement est donnée par l’équation :

  

du dy

Le profil des vitesses est obtenu à partir de l’équation différentielle :

d2u 1 dP  dy 2  dx

dP  0 , car il n’y a aucune donnée sur le gradient de vitesse dans dx le texte. Le profil des vitesses aura pour équation : Le gradient de la pression motrice est nul

d2 u 0 dy 2 La première intégrale donne :

du A dy

La deuxième intégrale : u(y)  Ay  B Les constantes A et B sont déterminée par les contions aux limites : u(y  0)  0  B

u(y  e)  umax  Ae ou A  On obtient : u(y) 

umax e

umax y e

Si on prend deux points (M1 et M2) tel que y1  y 2 , alors d’après le schéma on a : u1  u2 , et donc

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du u2  u1  0 dy y 2  y 1



u du   max dy e

Application numérique :

umax  2 m / s ,   2x102 kgm1s1 ou   2x102 Ns / m u

2 y  40y 0,05

du  40    2.102.40  0,8N m2 dy Remarque : Puisque le gradient de vitesses

du et la viscosité dynamique  sont constants, alors la contrainte de dy

cisaillement est constante. Exercice 02 Réponse Pour y = 0 cm (à la paroi)    0 Pour y = 7 cm    3,675.103 N m2 Exercice 03 Considérons l’équation de Navier-Stokes sous la forme vectorielle :    dV  V     1    (V.grad)V  Fv  gradP   V dt t  Puisque l’écoulement possède une géométrie plane, décomposons l’équation vectorielle de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes, soit :

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   2u  2u  2u  du u u u u 1 P   2  2  2  suivant Ox :   u  v  w  X  dt t x y y  x  x y z     2v 2v 2v  dv v v v v 1 P (1) suivant : Oy :   u  v  w  Y      2 2 2 dt  t  x  y  y   y  x  y  z     2 2  2  suivant : Oz : dv  w  u w  v w  w w  Z  1 P     w2   w2   w2  dt t x y y  z y z    x  Fv : est la résultante des forces de volume par unité de masse (N / kg) . Rappelons que ces forces agissent à distance. D’après le système d’axes considéré, on :        Fv  Xi  Y j  Zk  gcosi  gsin j  0k Hypothèses :  0 , t  L’écoulement est plan et se fait suivant l’axe des Ox , et donc le vecteur des vitesses ne dépend que la composante u , soit : v(x,y,z)  w(x,y,z)  0   Et donc : V u(x,y,z); v(x,y,z); w(x,y,z)   V u(x,y,z) 



l’écoulement est permanent :

Le système d’équation s’écrit :

   2u  2u  2u  u 1 P   2  2  2  suivant Ox : u  gsin  x  x  x y z    1 P suivant : Oy : 0  gcos   y   1 P suivant : Oz : 0   z 

(2)

La projection suivant montre que la pression P ne dépend de la direction suivant Oz L’équation de continuité est :

u v w   0 x y z Avec v  0 et w  0 , on obtient : u  0 la composante du vecteur de vitesse u ne dépend de la direction Ox x

  2u  2u  Hypothèses : La variation de u suivant z est négligeable la variation de u suivant y  2  2  y   z Le système d’équations (2) s’écrit:

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 1 P  2u suivant Ox : 0  g sin       x y 2   suivant : Oy : 0  gcos  1 P   y

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(3  1) (3) (3  2)

L’intégrale de l’équation (3.1) donne : P  gcos y  A

P(y  e)  Patm  gcos(e)  A , ou A  Patm  gcos(e) P  gcos(y  e)  Patm

(4)

L’intégrale de l’équation (3.1) donne :

 2u(y) 1 P gsin   y 2  x 

P   gcos(y  e)  Patm  (y  e) Patm   gcos  0 x x x x  2u(y) gsin  2 y  1ere intégrale :

u(y) gsin  yA y 

2eme intégrale : u(y)  

gsin y 2  Ay  B  2

Conditions aux limites : A la paroi la vitesse est nulle : u(y  0)  0  B

 du  gsin  (y)   dy     y  A      du gsin  e  A A la surface libre la contrainte de cisaillement est nulle : (y  e)  0   dy  y e   gsin A   e  

u(y) 

gsin y 2 gsin ge 2sin y 2 y  ey  ( 2 2 )  2  2 e e

Le débit est :

Q v   u(y)dS S

dS  largeur x dy  ldy

Q v   u(y)dS   S

e

0

e e ge 2 sin y 2 y ge 2 sin  y 3 y 2  ge 2lsin  e e  ge 3 lsin ( 2  2 )ldy       2 e e 2  3e 2 0 2e 0  2  3 2  12  

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Qv  

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ge 3lsin 3 (m / s ) 12

Comme la valeur de la largeur n’est pas donnée, on détermine le débit par unité de largeur ( l  1 m ):

Qv  

ge 3sin  m3 / s    12  m 

La vitesse moyenne est : Comme la valeur de la largeur n’est pas donnée, on détermine le débit par unité de largeur ( l  1 m ):

Vmoy 

Q v Qv ge 2sin   (m / s ) S 1xe 12

On peut aussi déterminer la contrainte de cisaillement :

(y)  

du d  ge 2 sin y 2 y  ge 2sin 2y 2 ge 2sin y   ( 2  2 )  ( 2  ) ( 2  1) dy dy  2 e e  2 e e  e

A la paroi : p (y)  (y  0)  

du ge 2 sin y ge 2sin  (  1)    ge 2 sin dy y  0  e  y 0

Exercice 04 Hypothèses : - Ecoulement permanent :

 (.) 0 t

- Ecoulement à symétrie de révolution :

 (.) 0 r

 (.) 0      - Vecteur de vitesse : V  Vr n  V t  Vz k , l’écoulement se fait

- Ecoulement à symétrie de révolution :

suivant l’axe z mais la vitesse varie uniquement en fonction du rayon de la conduite r .

Vr (r,,z)  0 ; V (r,,z)  0 : Vz (r,,z)  Vz (r) L’équation différentielle est :



P* 1 d  dVz (r)   r 0 z r dr  dr 

1 d  dVz (r)  1 P* r  r dr  dr   z d  dVz (r)  1 P* r  r dr  dr   z 1ère intégrale

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r

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dVz (r) r 2 P*  A dr 2 z

dVz (r) r P * A   dr 2 z r 2ème intégrale

Vz (r) 

r 2 P*  A ln  r   B 4 z

Conditions aux limites - Sur l’axe de symétrie (r  0) , on : Vz (r) 

r 2 dP*  Aln  r   B   4 dz

Physiquement ceci est impossible, il faut donc que la constante A soit nulle ( A  0 ). L’équation du profil de vitesses s’écrit :

Vz (r) 

r 2 dP* B 4 dz

- A la paroi (r  R) , la vitesse est nulle : Vz (r  R)  0 

R 2 dP* R 2 dP* B  B   4 dz 4 dz

Le profil de vitesses s’écrit :

Vz (r) 

1 dP* 2 R 2 dP* r2 (r  R 2 )   (1  2 ) 4 dz 4 dz R

Le débit est : R

Q v   Vz (r)dS    S

R 2 dP * Qv   2 dz

0

R 2 dP* r2 R 2 dP* (1  2 )2rdr   4 dz R 2 dz



R

0

(r 

r3 )dr R2

R



R

0

r3 R 2 dP *  r 2 r4  R 4 dP * D 4 dP * (1) (r  2 )dr   (  )     R 2 dz  2 4R 2  0 8 dz 128 dz

Détermination du gradient de pression :

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dP * P2*  P1* P2  gh2  P1  gh1 P2  P1  g(h2  h1 )    dz z 2  z1 z 2  z1 z 2  z1

P2  P1  0 , car la pression statique ou en un point est constante dP * g(h2  h1 ) g(z 2  z1 )sin    gsin dz z 2  z1 z 2  z1 Les équations (1) et (2) donnent :

D4 D4 Qv  gsin  sin 128 128 La viscosité cinématique est : 

D4 sin 128Q v

Application numérique : D=12 mm, sin   0,0445 et QV=20 L/h



  0,012 

4

3

 20.10  128    3600 

10x 0,0445  4.105 m 2 s

La vitesse moyenne est :

Vmoy

Qv Qv D2 dP D2     gsin  S R 2 128 dz 128

Application numérique : D=12 mm, sin   0,0445

Vmoy

(0,012)2  9,81x0,0445  0,012m s 128(4.105 )

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Exercice 06 Détermination le rayon maximale

(R12  R 22 ) r R  2ln  1   R2  Le débit est :

    2 P (R 22  R12 )  2 (R 22  R12 )  2 Qv  (R  R 2 )   1 4 z 4 R   ln  1      R 2   Exercice 07

Calcul de la viscosité dynamique P  

128.L.Q V D4

(1)

Application du théorème de Bernoulli entre (1) et (2) 1 2 1 V1  P1  H gz1  V22  P2  H gz 2  P1 2 2 2

(2)

D’après l’équation de la continuité V1 S1  V2 S2 et puisque le diamètre D1  D2  V1  V2 l’équation (2) devient comme suite

P1  Hgz1  P2  Hgz2  P12 P  P1  P2  H g z1  z2     L.sin 

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P  P1  P2  HgLsin 

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(3)

Les pressions statiques P1 et P2 est donnée par suite :

P1  P0  H gx

   P1  P2  H g  x  y   Hg g H P2  P0  H gy  Hg g H 

D’autre part : x  L sin   y  H





P1  P2  H g L sin   y   H  y  Hg g H

P1  P2   Hg  H  g H HgL sin 

(4)

Application de l’équation (4) sur (3) P   Hg  H  g H H gL sin   H gL sin 

Finalement P   Hg  H  g H

(5)

Application de l’équation (5) dans (1) Hg  H  g H D 4  128LQ V  Hg  H  g H   D4    128LQ V

Calcul le nombre de Reynolds :  4Q    V2  D  D  VD   4Q V Re      D Application numérique :

H  900Kg m3 , Hg  13600Kg m3 , QV=65 cm3/s et H  106 mm C Hg 13600  900  9,81x106 103 (0,01) 4   128x0,5x65 106

 0,099Kg m.s

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Re 

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4Q V 4x900x65 106   74,68  2100 D x0,01x0,099

Donc le régime est laminaire Exercice 08 Détermination Le sens de l’écoulement de l’huile.

dP P2  P1 P2  gh2   P1  gh1    dx x 2  x1 x 2  x1 H    P  P  g  h1  h2  dP H Avec sin    2 1 x 2  x1 dx x 2  x1 

dP P2  P1   gsin  H dx sin 

Application numérique : g = 9,81m/s2; ρ =1260 Kg/m3; P1 =25 .104 Pa; P2 =8 .104 Pa; H = 1m et α=45° 4

dP  8  25 10   1260x9,81x sin45  1,29.105 N m 1 dx sin45

dP  0 L’écoulement se fait de (1) vers (2) dx Pour déterminer le profil des vitesses, on utilise l’équation de Navier-stokes

  2V  dV V 1 P   VgradV     2  dt t  X  X  P  La pression motrice P  P  gh Les composantes de vitesse V  u,v  et les coordonnées cartésiennes X  x,y 

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L’écoulement bidimensionnel Selon ox :

  2u  2u  du u u u 1 P  u v     2  2  dt t x y  x  x y 

 2v 2v  dv v v v 1 P  u v     2  2  Selon oy : dt t x y  y  x y  Puisque le régime est permanent D’après l’équation de continuité

  0 et l’écoulement de fluide suivant ox v  u t

u v u v   0   0 et 0 x y x y

  2v  2v dv v v v 1 P  u v    2  2 Selon oy :  x dt t x y  y y  Selon ox :



 P 0   y 

  2u  2u  du u u u 1 P  2u 1 P  u v    2  2    2   x dt t x y  x y  y  x 

 2u 1 P  2u 1 P    y 2  x y 2  x

Après intégration de l’équation précédente

u 1 P  yA y  x Deuxième intégration

u y  

1 P 2 y  Ay  B 2 x

Les conditions aux limites :

u y  0  0  B  0 u y  

1 P 2 y  Ay 2 x

u  y  e   UP 

1 P 2 e  Ae  UP 2 x

U 1 P  A   P  e  e 2 x  Finalement l’équation générale écrite

1 P 2  UP 1 P  u y   y   ey 2 x  e 2 x 

u y  

1 P 2 U y  ey   P y  2 x e

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Durée 1H30

Fiche TD 01

Matière :MDF App

Calcul de la vitesse maximale On peut driver l’équation précédente pour la hauteur ymax pour lequel, la vitesse est maximale

du  y  1 P U   2y  e   P  0 dy 2 x e 1 U dx  y max   P 2   e  2 e dP 

Application numérique :

dP  1,29.105 N m µ  0,9 Pa.s ; UP = 1,5 m/s ; e = 10 mm; dx 1  1,5 2x0,9  y max     0,01  3,95mm 5 2  0,011,29 10 

umax  

2 1 1,5 1,29 105  3,95 103    3,95 103 x 0,01  3,95 103  1,12 m s 2x 0,9 0,01





Détermination du débit Qv e

e

 1 P 2 U  Q v   u  y  dy    y  ey   P y dy  e  0 0  2 x e

1 P  y 3 y 2  UP 2 Qv   e   y 2 x  3 2  2e 0

Qv 

1 P  e 3 e 3  UP    e 2 x  3 2  2

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Qv  

Durée 1H30

Fiche TD 01

Matière :MDF App

1 P  e 3  UP   e 2 x  6  2

La vitesse moyenne umoy 

QV e

Application numérique :

dP  1,29.105 N m µ  0,9 Pa.s ; UP = 1,5 m/s ; e = 10 mm; dx Qv  

umoy 

 0,013  1,5 1 1,29.105      0,01  4,44l s 2x0,9  6  2

4,44.103  0,444m s 0,01

Le profil des contraints tangentielles.





 1 P du U       2y  e   P  dy e   2 x

1 P U  2y  e   P 2 x e

Application numérique : µ  0,9 Pa.s ; UP = 1,5 m/s ; e = 10 mm;

dP  1,29.105 N m dx

  y  0 

1 0,9x1,5 1,29.105   0,01   510N m2  2 0,01

 y  e 

1 0,9x1,5 1,29.105   0,01   780N m2  2 0,01

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Fiche TD 01

Durée 1H30 Matière :MDF App

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Exercice 10

L’équation de mouvement pour un écoulement incompressible et les coordonnées cylindrique : Position radiale

 u u u u u2 u   r  ur r   r    uz r r r  r z  t

2 2    1  P  1  ur 2 u  ur     ru         r  2 2 2 2 r  r  r  z   r  r r

   gr 

Position angulaire 2 2   1  u u u ur u u  P  u  1  u 2 ur  u    ur    uz  ru    2 2  2  2   g       r r  r z   r  z   r   t  r  r r

Positon axiale

 1   uz  1  2uz  2uz u u u u  P  u   z  ur z   z  uz z       r  2 2  2 r r  z  z r  r  r z   r   t 

   gz 

Hypothèses : - Ecoulement permanent :

 (.) 0 t

- Ecoulement à symétrie de révolution :

 (.) 0 r

 (.) 0      - Vecteur de vitesse : u  ur n  u t  uz k , l’écoulement se fait suivant l’axe z mais la vitesse varie uniquement

- Ecoulement à symétrie de révolution :

en fonction du rayon de la conduite r .

Vr (r,,z)  0 ; V (r,,z)  V (r) ; Vz (r, ,z)  0 L’équation différentielle est :  1   ru    0  r  r r 

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Durée 1H30

Fiche TD 01

Matière :MDF App

1ère intégrale 1  ru   A r r   ru   A r r

2ème intégrale ru 

A 2 r B 2

u  r  

A B r 2 r

Conditions aux limites

u (r  R1 ) 

A B R1    R1 2 R1

(a)

u (r  R 2 ) 

A B A R2   0  B   R 22 2 R2 2

(b)

Applique équation (b) dans (a)

A  R12  R 22     R 1 2  R1  Les deux constantes A et B: 2R12 R12R 22 A 2 2; B 2 2 R1  R 2 R1  R 2 Le profil de vitesses s’écrit : u  r  

R12  R 22  r   R12  R 22  r 

Détermination de la viscosité dynamique µ C  R1 F

Avec F les force des cisaillements F  .S , L’équation (1) écrite comme suite : C  r..S  C  . 2.r 2 L

Contrainte tangentielle au fond du cylindre   

du (r) dr

du (r) R 2  R 2   2 1 2  1  22  dr R1  R 2  r  Pour le cylindre intérieur de rayon R1   

R12  R 22  1  R12  R 22  R12 

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Durée 1H30

Fiche TD 01

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Matière :MDF App

L’intégration de l’équation précédente : C  . 2.R12 L C  2

 R 12  R12  R 22  L R 12  R 22

La viscosité dynamique est donnée par : 

C  R12  R 22  2R12  R12  R 22  L

Application numérique C  910 dynes. cm C=910 dynes, R1  77mm , R 2  80mm , L  200mm , a  4mm et  

1 tour s 30

910 107  0,0772  0,082    0,0022 Pa.s 2 1 2 2 2 4 0,077  0,077  0,08  0,2 30 Exercice 11

Ecoulement de poiseuille

QV =

P 4 P 4 R  d 8L 128L

(1)

Le liquide est pratiquement au repos dans le récipient de diamètre D

Pe  Ps  gh Par conséquent (2)

P  Ps  Pe  P0  P0  gh

Application (2) dans (1)

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QV =

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Matière :MDF App

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d4 d4 gh  gh 128L 128L

L’écoulement étant incompressible, il y a conservation du débit volumique QV  

Soit 

dh S Loi de vidange dt

dh D2 d4  gh dt 4 128L

dh g d4  dt h 32L D2 Intégration h1

t

h1 1 g d4 1 g d4 t1  h dh   32L D2 t dt  ln  h  h0   32L D2 T t0 h0 0 4

g d   t1  t 0   h1  g d4 32  L D2 ln     t  t  lne   1 0 32 L D 2  h0 

Avec K 

g d4 32LD2 h1  h0 e

 K  t1  t 0 

Donc la viscosité cinématique 

gd4  t 1  t 0  h  32LD2 ln  1   h0 

Application numérique :

g  9,81m s2 ; d  3mm ; dt  3880s ; L  400mm ; h0  500mm ; h1  250mm ;   900Kg m3 

9,81x  0,0034   3880   0,25  32x0,4x  0,052  ln    0,5 

 1,39 104 m2 s

    1,39 10 4 x900  0,1251 Pa.s

Détermination du nombre de Reynolds Re Application du théorème de Bernoulli entre l’entrée et la sortie 1 2 1 Ve  Pe  ghe  Vs2  Ps  ghs 2 2

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Matière :MDF App

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Les deux pressions Pe et Ps sont des pressions atmosphériques Patm  1bar et Ve pour les surfaces libres est nuls Ve  0 l'équation de Bernoulli devient :

Vs  2g  he  hs   2gh0 Application numérique

g  9,81m s2 ; h0  500mm Vs  2x9,81x0,5  3,132m s Le nombre de Reynolds Re c’est un nombre adimensionnel est désigné par Re 

Vs d 

Application numérique

d  3mm ;   1,39 104 m2 s Re 

3,132x0,003  67,60 1,39 104

Détermination du profil des vitesses

Le jeu radial constant est uniforme donc : u(r)  Ar  B ¨

Les conditions aux limites :

u(r  R)  A  R   B  R

(a)

u(r  R  e)  A  R  e   B  0  B  A  R  e 

(b)

Applique (b) dans (a)

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Durée 1H30

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Matière :MDF App

R e A

R R ; B R  e  e e

Le profil de vitesses s’écrit : u(r) 

R  R  r   R e

Calcul de la force de frottement F  .S

du dr

du(r) R  dr e

La surface S  2RL

R 2 F  2L e Application numérique 2  240x2     0,05  60  F  2x0,1251x0,25   123,46N 0,0001

Calcul du couple

C  F.R Application numérique

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Durée 1H30 Matière :MDF App

C  123,46x0,05  6,17N.m

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