Cours 5 [PDF]

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Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Introduction a` la physique des plasmas ´ ´ cours 5: theorie cinetique

Landau e−

Landau i

S. Mazevet Laboratoire de Structure Electronique D´ epartement de Physiqu e Th´ eorique et Appliqu´ ee Commissariat ` a l’Energie Atomique Bruy` eres-Le-Chˆ atel, France

Orsay, Octobre 2009

Orsay, Octobre 2009

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Table of contents

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Introduction f(v)

1

Introduction

2

Fonctions de distribution

3

´ ´ Equations de la theorie cinetique

´ Theorie

Equations fluide

Equation fondamentale ´ Interpretation Collisions

Landau e−

4

´ ´ Derivation des equations fluides Premier moment ` Deuxieme moment

Landau i

5

Oscillations plasma et amortissement de Landau ´ Derivation ´ Amortissement Landau: interpretation physique

6

Amortissement Landau ionique Fonction de dispersion plasma Relation de dispersion Ondes plasma Onde acoustique ionique

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Introduction

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

La th´eorie fluide que nous avons utilis´ee jusqu’`a pr´esent est la description la plus simple d’un plasma Elle permet de d´ecrire la majorit´e des ph´enom`enes observ´es L’approximation fluide repose sur l’hypoth´ese suivant laquelle les particules pr´esentes dans le plasma sont `a l’´equilibre Les vitesses moyennes sont alors repr´esent´ees par une distribution de Maxwell-Boltzman On peut donc parler de temp´erature T d´efinie `a partir de cette distribution Les ´elements du fluide poss´edent une vitesse moyenne u Dans la th´eorie fluide, les quantit´es d´ependent de quatre variables, x, y, x, t Il faut que les conditions dans le plasma permettent un nombre suffisant de collisions pour que la distribution de Maxwell-Boltzman soit repr´esentative: ´equilibre thermodynamique local Orsay, Octobre 2009

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Introduction II

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Lorsque les conditions de densit´e et de temp´erature dans le plasma sont telles qu’il n’y a pas assez de collisions, on ne peut plus utiliser une distribution de Maxwell-Boltzman Ceci se produit lorsque la temp´erature est ´elev´ee ou la densit´e tr´es faible Il faut alors consid´erer directement la fonction de distribution des vitesses f (v) La description fluide ne distingue pas deux distributions non-Maxwellienne dont les int´egrales sont ´egales La th´eorie cin´etique consiste `a appliquer directement les concepts de la physique statistique sur l’ensemble des particules represent´ees par une fonction de distribution La th´eorie cin´etique est plus ´elabor´ee que la th´eorie fluide On doit retrouver cette derni`ere dans la limite o` u la distribution des vitesses peut ˆetre repr´esent´ee par une distribution de Maxwell-Boltzmann Orsay, Octobre 2009

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Fonctions de distribution

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

La densit´e est une fonction de quatre variables n(r, t) Lorsque l’on consid`ere la distribution des vitesses, nous avons 7 variables ind´ependentes: f = f (r, v, t) f = f (r, v, t) repr´esente le nombre de particules par m3 `a la position r au temps t avec des composantes de la vitesse comprisent entre vx et vx + dvx , vy et vy + dvy , vz et vz + dvz f (x, y, z, vx , vy , vz , t)dvx dvy dvz

Landau i

(1)

L’int´egrale de la fonction de distribution peut s’´ecrire de plusieurs facons Z ∞ Z ∞ Z ∞ n(r, t) = dvx dvy dvz f (r, v, t) (2) −∞ −∞ −∞ Z ∞ = f (r, v,t)d3 v (3) −∞ Z ∞ = f (r, v,t)dv (4) −∞ Orsay, Octobre 2009

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Fonctions de distribution II

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

o` u dv n’est pas un vecteur mais un ´el´ement de volume dans l’espace des vitesses Si f est normalis´ee de facons `a d´efinir Z ∞ fˆ(r, v,t)dv = 1

(5)

−∞

fˆ est une probabilit´e et f (r, v,t) = n(r, t)fˆ(r, v,t)

(6)

fˆ(r, v,t) est toujours une fonction `a sept variables car la forme ainsi que la densit´e peuvent changer dans l’espace et le temps fˆ(r, v,t) s’exprime en (m/s)−3 f (r, v,t) s’exprime en s3 /m6

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Maxwell-Boltzmann

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Une fonction de distribution importante est la distribution de Maxwell-Boltzmann 3/2  m 2 exp(−v 2 /vth ) fˆm = 2πkB T

(7)

avec v = (vx2 + vy2 + vz2 )1/2 et vth = (2kB T /m)1/2 En utilisant

Z

∞

exp(−x2 )dx =

√

π

(8)

−∞

on peut v´erifier que Z

∞

fˆm dv = 1

(9)

−∞

La distribution est normalis´ee

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Maxwell-Boltzmann: moyennes

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Deux moyennes importantes, souvent calcul´ees pour la distribution de M.B., la vitesse moyenne et l’ecart quadratique moyen permettant d’obtenir l’´energie cin´etique (voir cours 1) La deuxi`eme quantit´e (v¯2 )1/2 , l’´ecart quadratique moyen des vitesses s’obtient pour une dimension 1/2   Z ∞ v2 m v 2 exp − 2 dv (10) (v¯2 ) = 2πkB T vth −∞ 1/2 Z ∞ m 3 2 = vth y exp(−y 2 )dy (11) 2πk T B −∞  1/2 Z ∞ m 3 = vth y 2 exp(−y 2 )dy (12) 2πkB T −∞ En int´egrant par partie Z ∞ y 2 exp(−y 2 )dy = −∞

Z ∞ 1 1 [− yexp(−y 2 )]∞ − − exp(−y 2 )dy −∞ 2 2 −∞ 1√ = π (13) 2 Orsay, Octobre 2009 p-8/45

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Maxwell-Boltzmann: moyennes II

Introduction f(v) ´ Theorie

L’´ecart quadratique moyen est alors Equations fluide

(v¯2 ) Landau e−

Landau i

(v¯2 )1/2



m 2πkB T r kB T = m =

1/2

3 vth

1√ π 2

(14) (15)

Ce r´esultat se g´en´eralise `a trois dimensions en notant que la fonction de distribution des vitesses est symm´etrique suivant vx , vy , vz . r 3kB T 1/2 ¯ 2 (v ) = (16) m

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Maxwell-Boltzmann: moyennes III

Introduction f(v) ´ Theorie

La vitesse moyenne v¯ est d´efinie comme Z ∞ v¯ = v fˆ(v)d3 v

Equations fluide

Landau e−

Landau i

(17)

−∞

Comme fˆm est symm´etrique suivant vx , vy , vz l’int´egrale s’obtient en passant en coordonn´ees sph´eriques Z ∞ 3/2 2 v¯ = (m/2πkB T ) vexp(−v 2 /vth )4πv 2 dv (18) 0 Z ∞ 2 −3/2 4 = (πvth ) 4πvth [exp(−y 2 )]y 3 dy (19) 0

avec

R∞ 0

[exp(−y 2 )]y 3 dy = 12 , la vitesse moyenne est r √ 2kB T v¯ = 2vth / π = 2 πm Orsay, Octobre 2009

(20)

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Maxwell-Boltzmann: moyennes IV

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

La norme de la vitesse moyenne dans une direction a une moyenne diff´erente que la composante dans une direction v¯x = 0 Z |v¯x | = |vx |fˆm (v)d3 v (21) Z ∞ Z ∞ −vy2 −v 2 m = ( )3/2 dvy exp( 2 ) dvz exp( 2 z ) 2πkB T vth vth −∞ −∞ Z ∞ 2 −v × 2vx exp( 2 x )dvx (22) vth 0 √ Les deux premi`eres int´egrales sont chacunes ´egales `a πvth . 2 La derni`ere int´egrale est ´egale `a vth La norme de la vitesse moyenne dans une direction est donc |v¯x | = =

2 −3/2 4 (πvth ) πvth 1/2  2kB T −1/2 (π) vth = πm

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(23) (24) p-11/45

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Maxwell-Boltzmann: moyennes V

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

En r´esum´e, une fonction de type Maxwell-Boltzmann (Gaussienne) poss´ede les propri´et´es suivantes  1/2 3kB T (v¯2 )1/2 = (25) m  1/2 2kB T ¯ |v| = 2 (26) πm  1/2 2kB T |v¯x | = (27) πm v¯x = 0 (28) Pour une distribution symm´etrique suivant les diff´erentes composantes de v, on introduit souvent la fonction g(v) qui est fonction de la norme de v Z ∞ Z ∞ g(v)dv = f (v)d3 v (29) 0

−∞ Orsay, Octobre 2009

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Maxwell-Boltzmann: moyennes VI

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Il est impossible de repr´esenter la fonction f (r, v) `a un temps donn´e t sauf si l’on r´eduit le nombre de dimensions

Landau e−

A une dimension, l’intersection de la surface avec les plans x = cste repr´esente les fonctions de distribution des vitesses f (vx )

Landau i

Les intersections avec les plans vx = cste repr´esente le profile de densit´e des particules poss´edant une vitesse vx Si toutes les courbes f (vx ) ont la mˆeme forme, la variation du maximum repr´esente la variation de densit´e La projection des courbes f = cste dans le plan x − vx donne la topographie de la fonction de distribution

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Equation fondamentale

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

L’´equation fondamentale devant ˆetre satisfaite par la fonction de distribution est l’´equation de Boltzmann   F ∂f ∂f ∂f + v.∇f + . = (30) ∂t m ∂v ∂t c F est la force agissant sur les particules (∂f /∂t)c est la variation temporelle de f due aux collisions ∇ repr´esente le gradient dans l’espace (x, y, z) ∂/∂v repr´esente le gradient dans l’espace des vitesses ∂ ∂ ∂ ∂ =x ˆ +y ˆ +ˆ z ∂v ∂vx ∂vy ∂vz

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(31)

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´ Equation Boltzman: interpretation

Introduction f(v) ´ Theorie

Pour interpr´eter l’´equation de Boltzmann, on pose la d´ependence explicite de la fonction de distribution sur les sept variables de temps, d’espace et de vitesse

Equations fluide

Landau e−

Landau i

∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂f ∂vx ∂f ∂vy ∂f ∂vz df = + + + + + + dt ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂vx ∂t ∂vy ∂t ∂vz ∂t (32) Le premier terme repr´esente la d´ependence temporelle explicite de f Les trois termes suivants repr´esentent v.∇f En utilisant la troisi`eme loi de Newton m

dv =F dt

(33)

on remarque que les trois termes suivants sont simplement (F/m).(∂f /∂v) Orsay, Octobre 2009

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´ Equation Boltzman: interpretation II

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

La d´eriv´ee totale df /dt peut ˆetre interpr´et´ee comme la vitesse de changement de la fonction de distribution dans un rep´ere se d´eplacant avec les particules (voir cours 3) La diff´erence avec la th´eorie fluide se situe sur le fait que l’on doit maintenant consid´erer des d´eplacement dans l’espace `a 6 dimensions (r, v) L’´equation de Boltzmann montre que df /dt est nulle en l’absence de collisions Comme les forces s’exercant sur les particules ne d´ependent que de r et v, la densit´e de particules dans un ´el´ement de l’espace des phases est conserv´ee (elles sont soumises aux mˆemes forces) Lorsqu’il y a des collisions, les particules diffusent et la densit´e dans l’espace des phases change au cours du temps

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Equation de Vlasov

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Lorsque les collisions sont n´egligeables et que les forces sont E.M., l’´equation de Boltzmann prend la forme suivante ∂f q ∂f + v.∇f + (E + v × B). =0 ∂t m ∂v

(34)

C’est ce que l’on appelle l’´equation de Vlasov. A cause de sa simplicit´e c’est l’´equation la plus utilis´ee dans la th´eorie cin´etique Lorsque les collisions sont importantes il faut ajouter `a l’´equation de Vlasov la contribution de (∂f /∂t)coll repr´esentant le changement local de la fonction de distribution

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Equation de Vlasov: effet des collisions

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Lorsqu’il y a des collisions avec des atomes neutres on peut ´ecrire   ∂f fn − f = (35) ∂t c τ avec fn la fonction de distribution des atomes neutres et τ la fr´equence de collisions Lorsque l’on consid`ere des collisions Coulombiennes, une forme approximative du terme collisionnel est donn´ee par       ∂f ∂ d < ∆v > 1 ∂2 d < ∆v∆v > =− . f + f ∂t c ∂v dt 2 ∂v∂v dt (36) Equation (36) est l’´equation de Fokker-Planck ∂ repr´esente le changement moyen de la vitesse moyenne ∂v d’une particule du plasma due aux collisions Coulombiennes d est le coefficient de diffusion des vitesses dt Orsay, Octobre 2009

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Equation de Vlasov: effet des collisionsII

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

En consid´erant les collisions Coulombiennes entre les ´electrons et les ions, on peut exprimer l’´equation de Fokker-Planck en fonction du logarithme Coulombien (consid´erant seulement les collisions `a angles faibles) ni Z 2 e4 lnΛ d < ∆v =− v (37) dt 4π20 m2 v 3 ni Z 2 e4 lnΛ 2 < ∆v∆v > (Iv − v.v) =− dt 4π20 m2 v 3 avec I le tenseur unit´e L’´equation de Fokker-Planck devient alors   2   ∂fe ni Z 2 e4 lnΛ ∂ Iv − vv ∂fe = . . ∂t c 4π20 m2 ∂v v3 ∂v

(38)

(39)

Cette forme ne prend en compte que les collisions entre electrons et ions Une forme plus g´en´erale, prenant en compte les collisions e − e et e − i peut ˆetre d´eriv´ee Orsay, Octobre 2009

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Equations fluides: premier moment

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Les ´equations fluides d´eriv´ees dans le cours 3 sont des moments de l’´equation de Boltzman   ∂f F ∂f ∂f + v.∇f + . = (40) ∂t m ∂v ∂t c R En int´egrant dv et en consid´erant la force de Lorentz, l’´equation de Boltzmann devient Z Z Z   Z ∂f q ∂f ∂f dv + v.∇f dv + (E + v × B). dv = dv ∂t m ∂v ∂t c (41) Le premier terme devient Z Z ∂f ∂ ∂n dv = f dv = ∂t ∂t ∂t

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(42)

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Equations fluides: premier moment

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Comme v est une variable ind´ependante, elle n’est pas affect´ee par l’op´erateur ∇ Z Z v.∇f dv = ∇. vf dv = ∇.(n¯ v) ≡ ∇.(nu) (43) o` u nous d´efinissons la vitesse moyenne u comme la vitesse du fluide Le troisi`eme et quatri`eme termes sont nuls Pour le troisi`eme terme Z Z Z ∂ ∂f .(f E)dv = f E.dS = 0 E. dv = ∂v ∂v S∞

(44)

L’int´egrale est nulle si f → 0 plus vite que v −2 lorsque v → ∞ Il est n´ecessaire que la fonction de distribution f soit de carr´e int´egrable pour que l’´energie soit finie donc ce terme est nul

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Equations fluides: premier moment

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Pour le terme d´ependant du champ magn´etique on a Z Z Z ∂ ∂ ∂f .(f v × B)dv− f ×(v × B)dv = 0 (v × B). dv = ∂v ∂v ∂v (45)

Landau e−

La premi`ere int´egrale peut ˆetre convertie en une int´egrale de surface donc l’int´egrale est nulle

Landau i

Le deuxi`eme terme disparait car (v × B) est perpendiculaire `a ∂/∂v En l’absence de collision permettant la recombinaison o` u l’ionisation le nombre de particules reste constant Le premier moment de l’´equation de Boltzmann permet donc de retrouver l’´equation de continuit´e ∂n + ∇.(nu) = 0 ∂t Orsay, Octobre 2009

(46)

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` Equations fluides: deuxieme moment

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Le deuxi`eme moment de l’´equation de Boltzmann   ∂f F ∂f ∂f + v.∇f + . = ∂t m ∂v ∂t c

(47)

R s’obtient en multipliant par mv et en int´egrant suivant dv Z Z Z ∂f ∂f m v dv + m v(v.∇)f dv + q v(E + v × B). dv ∂t ∂v Z   ∂f dv (48) = m v ∂t c Le terme du membre de droite repr´esente le changement de moment du aux collisions: Pij Pour les collisions ´electron-ion, ce terme s’exprime en fonction de la fr´equence de collision νei Pei = mn(vi − ve )νei

(49)

Effet des collisions introduit dans l’´equation fluide (cours 3) Orsay, Octobre 2009

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` Equations fluides : deuxieme moment II

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Le premier terme s’´ecrit Z Z ∂f ∂ ∂ m v dv = m vf dv = m (nu) ∂t ∂t ∂t

(50)

avec u la vitesse moyenne du fluide La troisi`eme int´egrale devient Z Z ∂f ∂ v(E + v × B). dv = .[f v(E + v × B).dv] (51) ∂v ∂v Z Z ∂ ∂ − f v .(E + v × B)dv − f (E + v × B). v.dv ∂v ∂v

Les deux premiers termes s’annullent pour les mˆemes raisons que pr´ec´edemment En remarquant que ∂v/∂v est le tenseur identit´e Z Z ∂f q v(E + v × B). dv = −q (E + v × B)f dv = −qn(E + u × B) ∂v (52) Orsay, Octobre 2009

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` Equations fluides : deuxieme moment III

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Pour ´evaluer le terme restant, il faut consid´erer que v est une variable ind´ependante Z Z v(v.∇)dv = ∇.(f vv)dv (53) Z = ∇. f vvdv (54) =

∇.nvv

(55)

En s´eparant v en une partie moyenne u et une partie thermique w v = u + w, on obtient ∇.nvv = ∇.(nuu) + ∇.(nww) + 2∇.(n(uw) ¯

(56)

Le deuxi`eme terme correspond au tenseur de stress P le premier terme donne ∇.(nuu) = u∇.(nu) + n(u.∇)u Orsay, Octobre 2009

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` Equations fluides : deuxieme moment III

Introduction f(v) ´ Theorie

L’´equation de Boltzmann peut donc s’´ecrire

Equations fluide

m

Landau e−

Landau i

∂ (nu)+mu∇.(nu)+mn(u.∇)u+∇.P−qn(E + u × B) = Pij ∂t (58)

En utilisant l’´equation de continuit´e pour les deux premier termes on obtient l’´equation fluide   ∂u mn + (u.∇)u = qn(E + u × b) − ∇.P + Pij (59) ∂t L’´equation fluide d´ecrit le mouvement du flux de moment Le mouvement du flux d’´energie s’obtient en prenant le moment suivant de l’´equation de Boltzmann en multipliant par 21 mvv et en int´egrant sur v

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

L’´equation de Vlasov peut ˆetre utilis´ee pour d´eterminer l’´effet de la distribution des vitesses sur les ondes plasmas d´ecrite dans le cours 4

Landau e−

On consid`ere un plasma uniforme avec une distribution f0 (v) et sans champs ext´erieurs E0 = 0 et B0 = 0 On suppose une perturbation de la fonction de distribution

Landau i

f (r, v, t) = f0 (v) + f1 (r, v, t)

(60)

Comme v est une variable ind´ependante on ne peut plus lin´eariser et l’´equation de Vlasov s’´ecrit e ∂f0 ∂f1 + v.∇f1 − E1 . =0 ∂t m ∂v

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(61)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau II

Introduction f(v) ´ Theorie

On consid`ere les ions fixes et les ondes comme planes suivant x f1 ≡ ei(kx−ωt)

Equations fluide

(62)

L’´equation de Vlasov donne alors Landau e−

−iωf1 + ikvx f1

=

f1

=

Landau i

e ∂f0 Ex m ∂vx ieEx ∂f0 /∂vx m ω − kvx

(63) (64)

L’´equation de Poisson donne 0 ∇.E1

= ik0 Ex = −en1 Z Z Z = −e f1 d 3 v

Orsay, Octobre 2009

(65) (66)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau III

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

En utilisant l’expression de f1 on obtient Z Z Z e2 ∂f0 /∂vx 3 1=− d v km0 ω − kvx

(67)

Le facteur n0 peut ˆetre retir´e de l’int´egrale si l’on remplace f0 par une fonction normalis´ee fˆ0 Z Z ∞ Z ∞ ˆ ω2 ∞ ∂ f0 (vx , vy , vz )/∂vx 1=− dvz dvz dvx (68) k −∞ ω − kvx −∞ −∞ Si f0 est une fonction du type Mazwell-Boltzmann, il ne reste qu’une fonction `a une dimension fˆ0 (vx ) et la relation de dispersion est alors Z ω 2 ∞ ∂ fˆ0 (vx )/∂vx 1= 2 dvx (69) k −∞ vx − (ω/kv) A cause de la singularit´e, l’int´egrale doit ˆetre trait´ee comme une int´egrale de contour dans le plan complex de la variable v Orsay, Octobre 2009

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau IV

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Landau a ´et´e le premier `a traiter cette int´egrale Il a trouv´e que la singularit´e entraine un effet important sur les relations de dispersion qui n’´etaient pas trait´e par la th´eorie fluide Une relation de dispersion approximative peut ˆetre obtenue en consid´erant une vitesse de phase ´elev´ee et un amortissement faible La relation de dispersion est alors  Z ∞ ˆ0 /∂v ˆ0 ωp2 ∂ f ∂ f 1 = 2 P dv + iπ k ∂v ∞ v − (ω/k)

 (70)

 v=w/k

o` u nous avons pos´e v ≡ vx P est la valeur principale de Cauchy. Elle correspond `a une int´egration suivant l’axe r´eel x en excluant la r´egion autour du pole.

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau V

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

L’int´egrale s’´evalue en utilisant une int´egration par partie " #∞ Z ∞ ˆ Z ∞ ∂ f0 dv fˆ0 −fˆ0 dv = − (71) 2 v − vφ −∞ ∂v v − (ω/k) −∞ (v − vφ ) −∞ Z ∞ fˆ0 dv = (72) 2 −∞ (v − vφ ) Nous avons donc une moyenne de (v − vφ )−2 sur la fonction de distribution La partie r´eelle de la dispersion de relation est donc ωp2 (v − vφ )−2 (73) k2 Comme nous avons obtenu la relation de dispersion en posant vφ >> v, on peut effectuer un d´eveloppement limit´e !  −2 2 3 4v v 3v 2v (v−vφ )−2 = vφ−2 1 − = vφ−2 1 + + 2 + 3 + ... vφ vφ vφ vφ 1=

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VI

Introduction f(v) ´ Theorie

Les termes impaires disparaissent lorsque l’on prend la moyenne sur fˆ0 Nous obtenons donc

Equations fluide

Landau e−

Landau i

(v − vφ

)−2

≡

vφ−2

3v 2 1+ 2 vφ

! (74)

En prenant une distribution de Maxwell-Boltzmann pour fˆ0 et v ≡ vx on a `a une dimension 1 1 mv 2 = kB Te 2 x 2 La relation de dispersion devient alors   ωp2 k 2 k 2 kB Te 1 = 1 + 3 k2 ω2 ω2 m ωp2 3kB Te 2 ω 2 = ωp2 + 2 k ω m Orsay, Octobre 2009

(75)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VII

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Lorsque la correction est petite on peut remplacer ω 2 par ωp2 et nous retrouvons 3kB Te 2 ω 2 = ωp2 + k (78) m C’est la relation de dispersion obtenue dans l’approximation fluide avec γ = 3 Pour ´evaluer l’effet de la partie imaginaire dans la relation de dispersion on n´eglige dans un premier temps la correction thermique sur la partie r´eelle En utilisant un d´eveloppement limit´e, la relation de dispersion devient alors 1 ωp2

ωp2 ωp2 ∂ fˆ0 + iπ | ω2  k 2 ∂v v=vφ " # ωp2 ∂ fˆ0 2 = ω 1 − iπ 2 k ∂v

=

(79)  

(80)

v=vφ

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VIII

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

En consid´erant la partie imaginaire comme ´etant petite, on peut ´ecrire   # " 2 ˆ0 ω ∂ f p  (81) ω 2 = ωp2 1 + iπ 2 k ∂v v=vφ

Si fˆ0 est une distribution de Maxwell-Boltzmann `a une dimension on a    2 −2v −v ∂ fˆ0 2 −1/2 = (πvth ) exp (82) 2 2 ∂v vth vth  2 −v 2v (83) = − √ 3 exp 2 vth πvth En prenant vφ = ωp /k dans le coefficient mais en gardant la correction thermique dans l’exposant on obtient   π ωp3 2ωp 1 −ω 2 √ 3 exp Im(ω) = − (84) 2 2 k 2 k π vth k 2 vth Orsay, Octobre 2009

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau IX

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

! 3   −ωp2 −3 ωp exp exp (85) Im(ω) = − πωp 2 kvth k 2 vth 2    3   √ ω ωp −1 Im = −0.22 π exp (86) ωp kvth 2k 2 λ2D √



Il y a donc un amortissement des ondes plasma qui n’est pas dˆ u aux collisions, c’est l’amortissement de Landau Cet effet est connect´e `a f1 qui repr´esente la distortion de la fonction de distribution par l’onde plasma Cet effet a ´et´e d´emontr´e de mani`ere math´ematique avant d’avoir ´et´e observ´e en laboratoire (1950) Cet effet s’observe aussi pour la formation des galaxies o` u les ´etoiles sont consid´er´ees comme des atomes interagissant par le biais de la force gravitationnelle plutot que E.M. Les instabilit´es du gaz d’´etoiles permet la formation de bras en forme de spirales. L’effet Landau limite ce processus Orsay, Octobre 2009

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´ Amortissement Landau: interpretation physique

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Pour interpr´eter l’amortissement de Landau, on remarque tout d’abord que la partie imaginaire Im(ω) est reli´ee au pole v ≡ vφ L’effet est donc reli´e aux particules dont la vitesse est proche de la vitesse de phase (particules resonnantes) Ces particules se d´eplacent avec l’onde et ne voit pas le champ ´electrique variant rapidement Elles peuvent donc ´echanger de l’´energie de mani`ere tr´es efficace avec cette onde Analogie: un surfeur et une vague, autant d’´energie gagn´ee que perdue Dans un plasma il y a des ´electrons plus rapides et des ´electrons moins rapides que la vitesse de l’onde Pour une distribution Maxwellienne il y a plus d’´electrons lents que d’´electrons rapides, donc l’onde perd de l’´energie Lorsque les particules se d´eplacent `a v ≡ vφ , f (v) se trouve applatie C’est la distortion f1 (v) que nous venons de calculer Orsay, Octobre 2009

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Fonction de dispersion plasma

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Les ´electrons ne sont pas les seuls particules `a pouvoir ˆetre r´esonnantes Si la vitesse de phase de l’onde vφ est suffisement petite pour ˆetre proche de la vitesse thermique, un amortissement de Landau `a ´egalement lieu pour les ions Les ondes acoustiques ioniques sont fortement modifi´ees par l’amortissement Landau Pour obtenir l’amortissement Landau ionique on repart de l’´equation de Vlasov et on consid`ere cette fois les ions et les ´electrons ∂f q ∂f + v.∇f + (E + v × B). =0 (87) ∂t m ∂v En l’absence de champs magn´etique, en consid´erant un plasma uniforme avec une distribution f0 (v) et une perturbation du premier ordre f1 (r, v,t) on a fj (r, v, t) = f0j (v) + f1j (r, v,t) Orsay, Octobre 2009

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Fonction de dispersion plasma II

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

L’´equation de Vlasov pour chaque esp`ece j (´electron, ions) est ∂f1j qj ∂f0j + vj .∇f1j − E1 . =0 ∂t mj ∂vj

(89)

Comme pour les ´electrons, il n’y a pas de lin´earisation en v On consid`ere comme pr´ec´edement une perturbation de forme sinusoidale suivant x, f1j ≡ ei(kx−ωt) Ceci entraine qj ∂f0j −iωf1j + ikωvxj f1j = Ex (90) mj ∂vxj iqj Ex ∂f0j /∂vxj f1j = (91) mj ω − kvxj o` u nous avons introduit j pour repr´esenter l’esp`ece j de charge qj et masse mj . La perturbation en densit´e de l’esp`ece j est donn´ee par Z ∞ Z iqj E ∞ ∂f0j /∂vxj dvxj (92) n1j = f1j (vxj )dvxj = − mj −∞ ω − kvxj −∞ Orsay, Octobre 2009

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Fonction de dispersion plasma III

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

En prenant pour fonction de distribution `a l’´equilibre une distribution de Maxwell `a une dimension 1/2  2 noj 2kB Tj −vj2 /vthj f0j = e v = thj mj vthj π 1/2

(93)

En introduisant vxj ≡ vj et la variable s = vj /vthj on peut ´ecrire

Landau i

n1j =

iqj En0j 1 √ 2 kmj vthj π

avec ζj =

Z

∞

−∞

2

(d/ds)e−s ds s − ζj

ω kvthj

ceci nous permet de d´efinir la fonction de dispersion plasma Z ∞ −s2 1 e Z(ζ) = √ ds π −∞ s − ζ Orsay, Octobre 2009

(94)

(95)

(96)

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Relation de dispersion

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Comme nous l’avons vu pr´ec´edement, Z(ζ) est une int´egrale de contour Elle peut ˆetre ´evalu´ee `a partir de tables ou routines num´eriques Pour exprimer n1j en fonction de Z(ζ) et obtenir la relation de dispersion, il faut prendre la d´eriv´ee par rapport `a ζ Z ∞ 2 e−s 1 0 Z (ζ) = √ ds (97) π −∞ (s − ζ)2 Une int´egration par partie done " #∞ Z ∞ 2 2 (d/ds)(e−s ) 1 −e−s 1 0 Z (ζ) = √ +√ ds s−ζ π s−ζ π −∞

(98)

−∞

Le premier terme est nul et on peut donc ´ecrire n1j =

iqj En0j 0 2 Z (ζj ) kmj vthj Orsay, Octobre 2009

(99)

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Relation de dispersion II

Introduction f(v) ´ Theorie

En consid´erant maintenant l’´equation de Poisson X 0 ∇.E = ik0 E = qj nj

Equations fluide

Landau e−

Landau i

(100)

j

On obtient l’´equation de dispersion k2 =

X Ω2pj ωp2 0 0 Z (ζ ) + e 2 2 Z (ζj ) vthe v thj j

(101)

O` u nous avons introduit la fr´equence plasma ionique (cours 4) Ωpj ≡

n0j Zj2 e2 0 M j

!1/2 (102)

On retrouve la relation de dispersion ´etablie pour les ´electrons et un terme ionique suppl´ementaire Orsay, Octobre 2009

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Relation de dispersion: ondes plasma

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

En consid´erant des ions infiniment lourds Mj → ∞ c’est `a dire Ωpj = 0, on a ωp2 k 2 = 2 Z 0 (ζe ) (103) vthe On retrouve l’expression pour les ondes plasmas ´electroniques Nous avions pr´ec´edement obtenu pour les ´electrons, eq.(69), ω2 1= 2 k

Z

∞

−∞

∂ fˆ0 (vx )/∂vx dvx vx − (ω/kv)

(104)

Ces deux expresions sont ´equivalentes lorsque f0e est une distribution de Maxwell-Boltzmann La relation de dispersion contient l’effet Landau pour les ´electrons

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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement

Introduction f(v) ´ Theorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Pour obtenir les ondes ioniques, on repart de la relation de dispersion X Ω2pj ωp2 0 k 2 = 2 Z 0 (ζe ) + 2 Z (ζj ) vthe v thj j

(105)

On consid`ere que la vitesse de phase ionique ω/k est tr´es inf´erieure `a la vitesse thermique ´electronique vthe Donc ζe = ω/kvthe est tr´es petit et l’on peut poser Z(ζe ) = −2 en n´egligeant l’amortissement de Landau pour les ´electrons Ceci reste justifi´e car la d´eriv´ee de f0e est faible pr´es du maximum des ondes ioniques La relation de dispersion devient alors λ2D

X Ω2pj j

2 vth

Z 0 (ζj ) = 1 + k 2 λ2D

(106)

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2 avec λ2D = vthe /(2ωp )

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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement II

Introduction f(v) ´ Theorie

Le terme k 2 λ2D repr´esente la d´eviation de la quasineutralit´e. L’´equation de dispersion pour les ions est donc

Equations fluide

λ2D Landau e−

Landau i

X Ω2pj j

2 vth

Z 0 (ζj ) = 1

(107)

Lorsque l’on ne consid`ere qu’une seule esp´ece ionique on a alors λ2D

Ω2p 0 kB Te n0i Z 2 e2 M 1 ZTe = = 2 2 vthi n0e e 0 M 2kTi 2 Ti

(108)

Dans la limite o` u k 2 λ2D > 1 correspondant `a un rapport des temp´eratures ´elev´e. Dans ce cas on obtient pour la partie r´eelle

Landau e−

ω2 ZkB Te + 3kB Ti = 2 k m

Landau i

(110)

Dans la r´egion o` u 1 < θ < 10 avec θ = ZTe /Ti , et ζ >> 1 l’amortissement ionique est donn´e par la relation −

Im(ω) = 1.1θ7/4 exp(−θ2 ) Re(ω)

(111)

Un r´esultat exacte est obtenu en r´esolvant directement la relation de dispersion en utilisant la fonction Z 0 (ζj )

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