Correct Physique II CNC Maroc 2015 PDF [PDF]

Zitiervorschau

⋆⋆

O

UR

SC O M

N ⋆

− → − → − → E 1 (−z ) e z = Sy m /P 1 (E 1 (z ) e z ) = −E 1 (z ) e z

Champ électrique d’un système de deux plans conducteurs.

donc :

E 1 (−z ) = −E 1 (z ) (E (z ) ici est une fonction impaire) et la relation de passage donne donc : σ 2E 1 (z ) = et donc :

1.1.1 • Invariances des sources :

Toute translation le long des axes laisse la distribution de charges invariante donc le champs ne dépend que de z en coordonnées cartésiennes :

Ox et Oy

ǫo

E 1 (M ) = E 1 (z )

• Si z > 0 alors :

σ − − → → E 1 (z ) = e z 2ǫo

• Si z < 0 on a :

σ − − → → e z E 1 (z ) = − 2ǫo

− → • Le potentiel V1 correspondant à E 1

Tout plan contenant l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution − → alors le champs E 1 (M ) appartient à chacun de ces plans donc il appartient à leurs intersection et par conséquent : Finalement :

M

de la distribution alors : Si M ′ = Sy m /P 1 (M ) alors : − → − → E 1 (M ′ ) = Sy m /P 1 ( E 1 (M )) donc :

Étude d’un capteur capacitif

• Symétries :

Corrigé proposé par M.Ouzi

U

2014/2015

⋆

⋆ CONC

Physique II TSI

e-mail : [email protected]

O ECTI N D R R

U

CO

CPGE MAROC

est donné par :

−−−→ − → E 1 (M ) = − g r a d (V1 (M )) et sachant que d V1 V1 (M ) = V1 (z ) alors : E 1 (z ) = − c-à-d dz σ d V1 =− ce qui pour z > 0 on a : dz 2ǫo

− → − → E 1 (M ) = E 1 (M ) e z

donne :

− → − → E 1 (M ) = E 1 (z ) e z

V1 (z > 0) = −

σ z + ct e 2ǫo

de même pour z < 0 on a :

1.1.2

En M on a ρ(M ), donc l’équation de Maxwell-Gauss s’écrit :

V1 (z < 0) =

d E 1 (z ) − → d i v E 1 (M ) = 0 c-à-d = 0 donc : dz E 1 (M ) = c t e Soient deux points M et M ′ , symé-

σ z + ct e 2ǫo

1.2.1

D’après la question précédente, Le − → champs E 2 créé en M de coordonnées z < d par (P2 ) est :

triques par rapport au plan chargé (P1 ) et au voisinage immédiat de celui, de coordonnées M (0, 0, z ) et M ′ (0, 0, −z ). La relation de passage de part et d’autre du plan (P1 ) donne :

σ − −σ − − → → → e z (− e z ) = • E 2= 2ǫo 2ǫo Et pour z > d on a : −σ − σ − − → → → • E 2= e z ( e z) = − 2ǫo 2ǫo

Et sachant que le champs crée par (P1 ) est donné par : Pour z > 0 :

σ− − → − → → ′ E 1 (M ) − E 1 (M ′ ) = e M →M ǫo σ − → − → c-à-d : E 1 (z ) − E 1 (−z ) = ǫo σ− − → − → → E 1 (z ) e z − E 1 (−z ) e z = e z soit : ǫo σ E 1 (z ) − E 1 (−z ) = ǫo Or le plan (P1 ) est un plan de symétrie

σ − − → → ( e z) • E 1= 2ǫo

Et pour z < 0 on a :

σ − σ − → → − → e z (− e z ) = − • E 1= 2ǫo 2ǫo

Donc par superposition le champ to1

sont les suivants :

tal pour un point M entre les plans (P1 ) et (P2 ) est : − → − → − → E (M ) = E 1 (M ) + E 2 (M ) soit :

E (z )

σ− − → → E (M ) = e z ǫo

V1

σ ǫo

− → Le potentiel V correspondant à E

dans cette région est donné par : −−−→ − → E = − g r a d V soit :

| d

σ dV ce qui donne : =− ǫo dz σ V = − z + ct e′ ǫo − → − → − → • Pour z > d on a : E (M ) = E 1 + E 2

.

z

| d

z

2-Condensateur plan 2.1

soit :

σ − − → − → → −σ − → E (M ) = ez + e z= 0 2ǫo 2ǫo − → − → E (M ) = 0

Le potentiel dans cette région est donné par :

2.2

−−−→ dV − − → − → → E (M ) = − g r a d (V (M )) = − e z= 0 dz donc V = c t e 1 V (z ≥ d ) = c t e 1

• De même pour la région z < 0 on a : − → − → − → E (M ) = E 1 + E 2 soit : σ − → − → − → −σ − → (− e z ) + (− e z ) = 0 E (M ) = 2ǫo 2ǫo − → − → E (M ) = 0

2.3

Le potentiel dans cette région aussi est donné par :

Un conducteur en équilibre électrostatique est un conducteur dont les charges sont immobiles à l’échelle mésoscopique. Un condensateur est un système constitué de deux conducteurs électriques en influence totale. Pour négliger les effets de bord il faut que les dimensions des armatures soient très grandes devant la distance séparant celles-ci. Dans l’approximation où les armatures forment un condensateur plan, on peut dire que celles-ci sont en influences totales et donc Q 1 + Q 2 = 0 soit : Q 1 = −Q 2 = Q

La charge Q du condensateur est la charge portée par l’armature liée au potentiel le plus élevé.

−−−→ dV − − → − → → e z= 0 E (M ) = − g r a d (V (M )) = − dz donc V = c t e 2 V (z ≤ 0) = c t e 2

2.4

1.2.2 • Pour 0 ≤ z ≤ d on a : σ V (z ) = − z + c t e ′ puisque V (z = 0) = V1 ǫo

alors c t e ′ = V1 et donc le potentiel V a pour expression : V (z ) = −

V (z )

La capacité C d’un condensateur de charge Q (Q > 0 resp Q < 0) et de d.d.p à ces bornes U (U > 0 resp U < 0) est définie par : C=

Q U

• On a trouvé que le potentiel entre

σ z + V1 ǫo

les armatures d’un condensateur plan (1.2.1) s’écrit par : σ V (z ) = − z + V1 donc :

Notons qu’on a montré que les potentiels sont constants pour z > d et pour z < 0 et donc : par continuité en z = 0 on a V (z ≤ 0) = V (z = 0) = V1 = c t e 2 et par continuité en z = d on a

ǫo U = V1 − V2 = V (z = 0) − V (z = d ) ⇒ σ σ U = × 0 + V1 − (− d + V1 ) soit : ǫo ǫo Q σ alors : U = d et puisque σ = ǫo S Qd = C oQ ce qui donne : U= Sǫo ǫo S Co = d

V (z ≥ d ) = V (z = d ) = 0 = c t e 1

Les courbes des champs et potentiels

2

de la lame et (P2 ). donc :

2.5.1

La capacité d’un condensateur plan rempli d’un diélectrique de permittivité ǫ = ǫr ǫo est obtenue en remplaçant la permittivité du vide ǫo

1 e1 e′ e2 = + + C ǫo S ǫr ǫo S ǫo S

et sachant que C o =

1 1 e1 e′ e2 = ( + + ) C Co d ǫr d d 1 1 e1 + e2 e′ = + ) ( C Co d ǫr d Or d = e 2 + e ′ + e 2 alors : 1 d −e′ e′ 1 = ( + ) C Co d ǫr d ′ 1 1 e = (d − e ′ + ) ⇒ C Co d ǫr d C = Co d + ( ǫ1 − 1)e ′

ǫr ǫo S ǫS = = ǫr C o et par ǫ soit C = d d puisque ǫr > 1 alors l’intérêt d’intro-

duire un matériau diélectrique entre les plaques d’un condensateur est d’augmenter la capacité de celui-ci.

Si v est la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu de permittivité ǫ et de perméabilité µ = µo alors d’après l’équation d’onde on a

v2

ǫo S alors : d

r

1 = donc µo ǫ

Co

C=

1 + ( ǫ1 − 1)

v2 µo ǫr ǫo v 2 = 1 c-à-d ǫr 2 = 1 c (car µo ǫo c 2 = 1) et puisque v < c alors ǫr > 1.

r

e′ d

On vérifie bien que si : • e ′ = 0 (pas de lame) alors C = C o • ǫr = 1 c-à-d ǫ = ǫo (vide) alors C = C o • e ′ = d c-à-d capacité d’un condensateur rempli du diélectrique, alors

2.5.2

Le diélectrique est constitué de charges électriques liées formant des dipôles (contrairement à un conducteur), une fois introduit dans un condensateur, ses charges qui sont liées se polarisent suivant la direction du champs, les charges positives s’orientent vers l’armature négative et les charges négatives vers l’armature positives, donc par influence, des charges supplémentaires apparaissent dans chaque armatures (fournis par le générateur pour maintenir le potentiel constant) et donc la charge Q augmente, et

C = ǫr C o

donc formule conforme avec les résultats précédents. 3-C harge du condensateur plan

3.1

La loi des mailles donne : v + Ri = Uo or

q (t ) d q (t ) et i = alors : C dt d q (t ) q (t ) Uo + = où τ = RC donc la dt τ R

v (t ) =

solution particulière est :

qp = CUo et la solution sans second t membre est qs s m = Ae − τ donc : t q (t ) = CUo + Ae − τ et puisque q (0) = 0

Q

puisque U = = c t e alors la capacité C C augmente

alors :

2.5.3

t

q (t ) = CUo (1 − e − τ )

Cette question est identique à la suivante !

3.2

2.5.4

D’après le schéma du condensateur muni de la lame d’épaisseur e ′ on peut dire que ce condensateur est équivalent à l’association en série de trois condensateur ; le premier d’armatures P1 et la face gauche de la lame , donc de permittivité ǫo (air ≡ vide), le deuxième d’armature celle de la lame de permittivité ǫ et d’un troisième d’armatures la face droite

La puissance instantanée P1 (t ) délivrée par le générateur au reste du circuit est donnée par : P1 (t ) = Uo i (t ), donc l’énergie fournie par le générateur pendant la charge totale s’écrit par : Z du condensateur Z ∞

W1 =

o

W1 = Uo

∞

P1 d t = Z∞ o

d q (t ) = Uo (q (∞) − q (0))

ce qui donne : 3

Uo i (t )d t

o

Ce qui exprime que le flux du champ magnétique est conservatif à travers toute surface fermée. • Le théorème d’Ampère-Stokes donne : RR −→ R − →

W1 = CUo2

La puissance instantanée P2 (t ) emmagasinée dans le condensateur est donnée par : P2 (t ) = v (t )i (t ) =

q (t ) d q (t ) 1 d = (q 2 (t )) C dt 2C d t

Σ(Γ)

soit : I

Et donc l’énergie emmagasinée dans pendant Z ∞ la durée Z ∞de charge est : W2 =

soit : W2 =

o

P2 d t =

o

1 d (q 2 (t ))d t 2C d t

− → B .d ℓ

Γ(Σ)

ZZ

− → ∂ E (M , t ) −→ .d S ∂ t Σ(Γ)

La relation locale correspondante exprime donc le théorème d’Ampère généralisé. • ZDe même : I Z

1 2 (q (∞) − q 2 (0)) ce qui donne : 2C 1 W2 = CUo2 2

→ − →− E .d ℓ Γ(Σ)Z Z Σ(Γ) I − → ∂ dΦ − → − → −→ E .d ℓ = − e= B .d S = − ∂t dt Γ(Σ) Σ(Γ) → −→ −→− rot E .d S =

Ce qui exprime donc la loi de Faraday. 3.4

1 W3 = CUo2 2

D’après 1.2.1 on a : q (t ) = CUo (1 − e − τ ) σ− − → → e z alors et puisque E (t ) = t

Le calcul Z ∞ direct donne :

ǫo q (t ) − − → → E (t ) = e z soit : Sǫo CUo ǫo S − → t − → E (t ) = donc : (1 − e − τ ) e z or C = Sǫo d Uo t − − → → E (t ) = (1 − e − τ ) e z d

1 dq t = CUo e − τ dt τ Zo ∞ – ™∞ 2 2 2 RC Uo − 2t RC Uo2 − 2t e τ dt = − e τ W3 = 2 τ 2τ o o 1 2 W3 = CUo 2

3.3

Γ(Σ)

→ − →− B .d ℓ = µo I e n l a c + µo ǫo

L’énergie dissipée par effet Joule peut être calculée par application du bilan énergétique suivant : W1 = W2 + W3 donc :

W3 =

→ −→− rot B .d S =

Ri 2 (t )d t or i =

On déduit le courant de déplacement : − → ∂ E − → soit : j D = µo ǫo ∂t − → ǫo Uo − t − → jD = e τ e z τd

Les équation de Maxwell dans le vide s’écrivent :

ρ(M , t ) − → • d i v E (M , t ) = ǫo − → ∂ B (M , t ) → −→− • rot E (M , t ) = − ∂t − → • d i v B (M , t ) = 0 − → ∂ E (M , t ) − → → −→− • rot B (M , t ) = µo ( j (M , t ) + ǫo ) ∂t

Sous forme s’écrivent : ZZZ •

intégrale

− → d i v E .d v =

V (Σ)

ZZZ

3.5

− → ∂ E − → − → → −→− rot B = µo ǫo car ( j = 0 ) ∂t

elles

La forme intégrale correspondante est donnée parZ Z: I

ρ(M , t ) dv ǫo V (Σ)

→ − →− B .d ℓ = µo ǫo

Γ(Σ)

Le théorème de Green-Ostrogradski permet d’écrire : ‡

Notons ici que la cause du champ magnétique, demandé, à l’intérieur du condensateur est la variation du champs électrique c-à-d la densité de courant de déplacement et non les courants de conduction car l’espace entre les armatures n’est pas − → − → conducteur ( j = 0 ). STOP

Σ(V )

Donc cette relation locale exprime le théorème de Gauss. • De Z Z Zmême : ‡ − → d i v B .d v =

V (Σ)

− → ∂ E −→ .d S ∂ t Σ(Γ)

3.6

− → −→ qi n t E .d S = ǫo

•

La relation locale de Maxwell-Ampère à l’intérieur du condensateur s’écrit :

− → −→ B .d S = 0

Σ(V )

4

Tout plan contenant Oz est plan de − → symétrie de cette cause ( E est uniforme à t donné) donc : − → − → − → B (M , t ) = B (M , t ) e θ car B est normale à ces plans. L’invariance : Le problème est invariant par toute rotation θ autour de Oz donc B ne dépend pas de θ en coordonnées cylindriques. De même la densité de courant de déplacement est invariante par translation le long de Oz donc B ne dépend pas de z , et donc B ne dépend que de r en coordonnées cylindriques. − → Finalement : B (M , t ) = B (r, t )−→ e θ Les lignes de champs sont des cercles centrés sur l’axe Oz , (car si r = c t e − → alors B = c t e ′ et B est suivant −→ e θ ). 3.7

3.9

La puissance rayonnée à travers la surface latérale en r = a est : RR − −→ → P = Σ π (a , t ).d S sur la surface laté−→

rale Ron a d S = 2πa d z −→ e r donc :

P =

Π(a , t )2πa d z ǫo Uo2 a − t t (e τ − 1)e − τ 2πa d P = 2 2τd πǫo Uo2 a 2 − t t (e τ − 1)e − τ P = τd 3.10

L’énergie sortant de l’espace entre armatures pendant la charge du condensateur est donnée par : Z∞ Ws =

πǫoUo2 a 2

t

t

Donc l’énergie entrant dans l’espace entre les armatures est :

On choisira pour surface ouverte la section droite du contour circulaire Γ de rayon r . ce qui donne :

WE = −Ws = C=

CUo − t e τ πr 2 Sǫo τ ǫo S CUo r − t e τ or C = donc : B (r, t ) = µo ǫo 2Sǫo τ d µo ǫo Uo r − t − − → → e τ e θ B (r, t ) = 2d τ

2πr B (r, t ) = µo ǫo

πǫo Uo2 a 2 2d

et

puisque

ǫo S ǫo πa 2 = alors : d d 1 WE = CUo2 2

On retrouve l’énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur. 4-Condensateur en régime sinusoïdal forcé

Et donc :

3.8

Zo ∞

P d t c-à-d :

(e − τ − 1)e − τ d t τd o Z∞ ™ –Z ∞ πǫoUo2 a 2 t 2t Ws = e −τ d t e− τ dt − τd o o ˜ πǫoUo2 a 2 • τ πǫoUo2 a 2 Ws = −τ =− τd 2 2d Ws =

− → ∂ E → −→− On a : rot B = µo ǫo ∂t ZZ I − → ∂ E −→ → − →− .d S B .d ℓ = ∂t Σ(Γ) Γ(Σ)

Bo (r ) =

d

o

µo ǫo Uo r 2d τ

4.1

Dans ces approximations on a : U (t ) − − → → E (t ) = e z soit : d Uo − → − → E (t ) = cos ωt e z d

− → − → E (M , t ) ∧ B (M , t ) − → donc : Π (M , T ) = µo

1 Uo µo ǫo Uo r − t − t − − → → → Π (M , T ) = ( (1 − e − τ ) e z ∧ e τ e θ) µo d 2d τ

car champs est uniforme (non permanent). On obtient le même résultat si on calcule E par :

ǫo Uo2 r t t − − → → (1 − e − τ )e − τ e r Π (M , t ) = − 2 2τd ǫo Uo2 r − t t − − → → (e τ − 1)e − τ e r Π (M , t ) = 2 2τd

σ− q (t ) − − → → → E (t ) = e z= e z ǫo Sǫo

La direction du vecteur de Poynting est radiale, c-à-d la puissance est rayonnée à travers la surface latérale. − → Le vecteur Π est la puissance rayonnée par unité de surface.

4.2

Le théorème d’Ampère généralisé entre les armatures s’écrit : ZZ I → − →− B .d ℓ = µo ǫo

Γ

5

− → ∂ E (t ) −→ .d S ∂t Σ

− →

il faut que : r 2 ≪ 4λ soit r ≪ 2λ cette relation sera largement vérifiée si :

Et sachant que B (M ) = B (r, t )−→ e θ alors on peut choisir le contour Γ un cercle de rayon r orienté suivant −→ e θ (donc B (r, t ) = c t e sur ce cercle à t donné) et Σ la surface de section droite s’appuyant sur Γ. Ce qui donne : 2πr B (r, t ) = µo ǫo (

finalement :

a ≪ 2λ

Cette condition constitue l’approximation des régimes quasistationnaire.

−ωUo ) sin ωt × πr 2 d

4.5

ωUo r − → − → sin ωt e θ B (M , t ) = − 2 2d c (µo ǫo c 2 = 1) 4.3

ω

πa

f ≪2

1 w e (t ) = ǫo E 2 (t ) soit : 2 ǫo Uo2 w e (t ) = cos2 ωt 2d 2

4.6

1 2 B (t ) c-à-d : 2µo ǫo Uo2 ω2 r 2 sin2 ωt w m (t ) = 8d 2 c 2 1 (µo c 2 = ) ǫo

w e ,m =

1 T

w e (t )d t

et

w m ,m =

o

1 T

cos2 (ωt ))

w m (t )d t

o

1 (Il suffit de linéariser 2

de même < sin2 (ωt ) >T = w m ,e =

donc :

ǫo Uo2 4d 2

et w m ,m

1 alors : 2 ǫo Uo2 ω2 r 2 = 16d 2 c 2

par Z: Z

− → −→ Π .d S

Φ=

T

et sachant que les valeurs moyenne < cos2 ωt >T =

Le vecteur de Poy n t i n g pour r = a est donné par :

− → − → E ∧ B − → Π (a , t ) = ⇒ µ  o ωUo a 1 Uo − → − → − → cos ωt e z ∧ (− sin ωt ) e θ Π (a , t ) = µo d 2d c 2 ωUo2 a − → − → Π (a , t ) = sin(ωt ) cos(ωt ) e r 2µo d 2 c 2 − → Le flux Φ rentrant du Π est donné

Les valeurs moyennes des densités volumiques qu’on notera par : w e ,m (électrique) et w m ,m (magnétique) s’écrivent : Z Z T

3.108 c-à-d : 2π3.10−2 f ≪ 3, 18 G H z

Cette condition est largement vérifiée dans les montages électriques usuels.

De même la densité volumique d’énergie magnétique w m est :

4.4

2π f

fréquence du signal électrique utilisé ) c f ≪ soit numériquement :

La densité volumique d’énergie électrique est donnée par :

w m (t ) =

La condition précédente est vérifiée c c soit a ≪ 2 ( f étant la si a ≪ 2

Σ

où Σ est la surface latérale (puisque Π est radiale) et l’élément de surface d S sur cette surface est : −→ − → − → d S = −2πa d z e r (il est suivant (− e r ) car ce n’est pas un flux sortant mais rentrant à Σ). Z d

ωUo2 a

− → −→ sin(ωt ) cos(ωt ) e r .(−2πa d z e r ) 2c 2 2µ d o o ωUo2 πa 2 Φ=− sin(ωt ) cos(ωt ) µo d c 2 ǫo πa 2 1 et C = alors : or µo c 2 = ǫo d φ = −ωCUo2 sin(ωt ) cos(ωt ) Φ=

et

w m ,m ω2 r 2 = w e ,m 4c 2

On peut négliger w m ,m devant w e ,m si w e ,m ≪ 1 c-à-d : w m ,m 4c 2 ω2 r 2 2 ≪ ≪ 1 soit r or la longueur 4c 2 ω2 d’onde λ de l’onde électromagnétique

Ce flux n’est autre que la puissance rayonnée à un signe près dont la valeur moyenne sur une période est nulle car < sin ωt cos ωt >T = 0.

correspondant au signal électrique c utilisé est lié à c et ω par λ = donc

pplication : Capteur capacitif 5-A

ω

6

v − (t ) = Vs a t + A ′ e − τ′ et sachant qu’à R1 Vs a t t = 0 on a v − = − R1 + R2 2R 1 + R 2 alors A ′ = − finalement : R1 + R2 2R 1 + R 2 − t′ e τ )Vs a t v − (t ) = (1 − R1 + R2 t

5.1

5.2

Les deux condensateurs ainsi constitués sont monté en parallèle car leurs armatures sont portées à la même différence de potentiel. En appliquant l’expression de la capacité du condensateur plan, on trouve :

On remarque que cette tension augmente lorsque t augmente, donc le condensateur se charge à travers R ′ jusqu’à ce que

C o′ =

v − (t c ) = v + =

ǫr ǫo (h × ℓ) ǫo (L − h) × ℓ et C 1 = d d

donc :

R1 Vs a t cherchons t c : R1 + R2 R1 2R 1 + R 2 − t c′ e τ )Vs a t = Vs a t donne : (1 − R1 + R2 R1 + R2 2R 1 + R 2 − t c′ R2 e τ = . R1 + R2 R1 + R2

ǫo (L − h) × ℓ ǫr ǫo (h × ℓ) + d d ǫo Lℓ ǫo ℓ Ch = + (ǫr − 1)h d d

C h = C o′ + C 1 =

ce qui donne :

2R 1 ) R2 • Lorsque t > t c on aura v − > v + et la sortie basculera à Va = −Vs a t et donc R1 v+ = − Vs a t et la loi des maille R1 + R2

Application numérique :

t c = R ′C ′ ln(1 +

ǫo Lℓ 8, 85.10−12 × 1 × 4, 31.10−2 = d 2, 54.10−3 α = 150 p F ǫo ℓ (ǫr − 1) β= d 8, 85.10−12 × 4, 31.10−2(80 − 1) β= 2, 54.10−3 β = 1, 19.104 p F.m −1 donc si C h est p F et h en m alors : α = 150 et β = 1, 19.104

α=

s’écrirait :

Va − v − + R ′ i = 0 (courant algébrique de

même sens que précédemment).

d v− = −Vs a t dt Vs a t d v− v− + ′ =− ′ dt τ τ 6-Mesure du niveau d’un liquide dans un réservoir La solution est : t v − (t ) = −Vs a t + A ′′ e − τ′ et puisque R1 6.1.1 v − (t c ) = − Vs a t alors : R + R 1 2 L’amplificateur opérationnel est R1 − Vs a t = −Vs a t + A ′′ ce qui donne monté en comparateur (contreR1 + R2 v − + R ′C ′

réaction sur la borne non inverseuse) et par conséquent les sorties sont soit +Vs a t ou −Vs a t . Lorsque Va = +Vs a t on aura v+ =

R1 Vs a t R1 + R2

sion). Et lorsque v+ =−

(diviseur

de

ten-

Va = −Vs a t

on

aura

donc :

t R2 e − τ′ )Vs a t R1 + R2 Lorsque t augmente v − diminue et

v − (t ) = (−1 +

donc le condensateur se décharge à travers R ′ v − diminue jusqu’à ce que R1 Vs a t et lorsque R1 + R2 + on aura v − < v et Va basculera

R1 Vs a t R1 + R2

v − (t d ) = v + =

t > td à −Vs a t et donc le cycle recommence. Cherchons t d : R1 v − (t d ) = Vs a t c-à-d : R1 + R2 td R1 R2 e − τ′ )Vs a t = Vs a t (−1 + R1 + R2 R1 + R2 2R 1 ) ⇒ t d = R ′C ′ ln(1 + R2

6.1.2

à t = 0 on a Va = +Vs a t et la loi des mailles donne : q Va +R ′ i −v − = 0 et v − = − ′ (convention C

générateur) donc i = −C ⇒

d v− dt

d v − v − Vs a t + ′ = ′ (avec τ′ = R ′C ′ ) dt τ τ

En conclusion le circuit est un oscillateur dans le quel Va prend pé-

La solution est donc :

7

riodiquement les valeurs +Vs a t

expérimentale habituelle Vs a t = 15 V )

et

−Vs a t

vm f

6.1.3

les courbes demandées sont les suivantes : 5, 1V

.

v a (t )

v − (t )

t

−0.5V

v + (t )

6.2.2

Vs a t

La loi des maille donne :

R 1 Vs a t R 1 +R 2

v m f + R p i z = Va ⇒

.

t

T R Vs a t − R1 +R 1 2

−Vs a t−

. 6.1.4

Les temps de charge et de décharge sont calculés la question 6.1.2 donc :

Rpmi n =

R1 R1 TC = R ′C ′ ln(1 + 2 ) et aussi Td = R ′C ′ ln(1 + 2 ) R2 R2

finalement la période est : T = 2R ′C ′ ln(1 + 2

R1 ) R2

15 − 0, 5 ⇒ R p m i n = 1, 45 k Ω 10−2

soit une valeur nominale :

R p m i n = 1, 5 k Ω

Lorsque Va = +Vs a t = 15 V on aura v m f = 5, 1 V et donc : v m f + R p i z = Vs a t soit un courant i z avec la valeur de R p = R p m i n 5, 1 + 1, 5.103i z = 15 ce qui donne : iz =

6.2.1

15 − 5, 1 c-à-d i z = 6, 6 m A donc 1.5.103

on a obtenu un courant toujours inférieur à 10 m A donc la valeur de R p minimale est correcte même lorsque

La valeur de Vs a t n’a pas été donnée on peut donc supposer les deux cas de figure possibles : Vs a t > 5, 1 V et Vs a t < 5.1 V Si Vs a t < 5.1V on a aura la figure suivante :

On Va prend sa valeur maximale. peut aussi donner le résultat en fonction de Vs a t sans la remplacer par +15 V , mais on obtiendra seulement des expressions et non des valeurs numériques.

vm f 5, 1V −0.5V

( Le texte par cette question suppose que Vs a t > 5, 1 V prenons la valeur expérimentale habituelle Vs a t = 15 V ) On prendra ici Va = ±Vs a t = ±15 V donc lorsque Va = −15 V alors v m f = −0.5V et la loi des mailles s’écrit pour i = 10 m A et R p = R p m i n : −0, 5 − R p m i n × 10−2 = −15 (courant négatif d’après caractéristique) ce qui donne :

6.3.1

t

On a déjà montré que C h = α + β h . Lorsque le réservoir est vide (pas de fluide à l’intérieur) on a h = 0, la capacité est donc celle d’un condensateur plan dont la surface des armatures est L × ℓ donc :

Et si Vs a t > 5.1 V on aura : Si Va = +Vs a t alors v m f = UZ = 5, 1 V et si Va = −Vs a t on aura v m f = UD = −0, 5 V donc l’allure de v m f est la suivante : ( Le texte par cette question suppose que Vs a t > 5, 1 V prenons la valeur

C hmi n = α

C hmi n =

ǫo Lℓ = 150 p F d

Puisque Ti = R x C h la condition du fonctionnement normale du mono8

stable R x C h > To donne R x >

or v m (t ) = Vc c si 0 ≤ t ≤ Ti et v m = 0 si Ti ≤ t ≤ T donc :

To et donc Ch

la valeur minimale de R x correspond à C h = C h m i n soit R x m i n = Rxmi n

Soit : Rxmi n =

To

C hmi n To d = ǫo Lℓ

Ti Vc c + O × (T − Ti ) Ti = Vc c c-à-d : T T Rx C x v mo = Vc c T et sachant que C x = α + β h = C o + β h ǫo Lℓ (car C o = d v mo =

c-à-d :

10−6 × 2, 54.10−3 = 6, 66 k Ω 8, 85.10−12 × 1 × 4, 31.10−2

alors :

soit une valeur nominale :

v mo =

R x m i n = 6, 7 k Ω

Normalement C o = α et texte demande le résultat en fonction de α et C o , il a peut être voulu dire en fonction de β et non α. donc :

6.3.2

Lorsque le réservoir est plein la capacité est celle d’un condensateur plan rempli du fluide de permittivité ǫ = ǫr ǫo donc : C hmax

ǫLℓ = = ǫr α d

v mo =

C h m a x = 12 n F • Pour avoir Ti < T il faut que R x C h < T T et pour C h = C h m a x on aura R x < C hmax T donc R x m a x = soit numériqueC hmax

ment :

Rx Co Vc c T R x (C o + β L) et v mo m a x = Vc c T

2.10−3 = 167 k Ω 12.10−9

v mo m i n =

6.3.3

Application numérique :

Calculons Ti : On a C h = α + β h donc :

v mo m i n =

C h = 150 + (1, 19.104 × 50.10−2) p F ce qui

donne :

β = 1, 19.10−8 F.m −1 82, 3.103 (150.10−12 + 1, 19.10−8 × 1) v mo m a x = × 2.10−3 5 soit : v mo m a x = 0, 49 V

L’allure de la tension de sortie du monostable est la suivante (rapport cyclique ≃ 25%) :

5V−

82, 3.103 × 150.10−12 × 5 soit : 2.10−3 v mo m i n = 31 m V

Rappelons que β = 1, 19.104 p F.m −1 soit

C h = 6, 1 n F donc Ti = 82, 3.103 ×6, 1.10−9 ⇒ Ti = 0, 5 m s

v m (t )

R x (C o + β h) Vc c T

Il s’agit donc d’une fonction affine en fonction de la hauteur du fluide h , la mesure de la valeur moyenne v mo nous permet de remonter à la hauteur h . Pour R x = 82, 3 k Ω, v mo varie entre v mo m i n = v mo (h = o) et v mo m a x = v mo (h = L) c-à-d :

soit numériquement :

Rxma x =

R x (C o + β h) Vc c T

la plage de variation de v mo est : 0, 031 V ≤ Vmo ≤ 0, 49 V

Ti 6.4.1

il s’agit d’un filtre passe-bas du premier ordre car lorsque ω tend vers l’infini, le module de la fonction du transfert tend vers zéro et lorsque ω tend vers zéro le module de celle-ci tend vers l’unité.

t T

6.3.4

La valeur moyenne est donnée par définition par : v mo =

Lorsque ω ≫ ωo on a H (j ω) ≃ j

ωo ω

donc le filtre se comporte comme intégrateur si ω ≫ ωo et si ω ≪ ωo

1 RT v m (t )d t T o

9

alors H (j ω) ≃ 1 donc v s = v e d’où le nom de filtre passe-bas. La fréquence de coupure f c à −3 d B est obtenue par :

|c n |

Hm a x |H (j ωc )| = p c-à-d dans ce cas : 2 1 1 = p car H m a x = 1 r 2 ω2 1 + c2 ωo

donc :

| | | | | | | | | | |

ωc = ωo et par conséquent : ωo f c = fo = 2π

nω

. 6.4.3

Le filtre étant linéaire on adoptera la notation complexe et donc :

6.4.2 Rx C x La valeur moyenne est v mo = Vc c T où C x = α + β h et pour h = 50 c m on a : C x = 150 + (1, 19.104 × 50.10−2) = 6100 p F

donc : v mo =

82, 3.103 × 6100.10−12 2.10−3 v mo = 0, 25 V

v m (t ) = 1 Cn = T

∞ X

C n e j n ωt

n =−∞

soit v m (t ) = I m (v m n ). L’expression générale de v f (t ) à la sortie du filtre est : ∞ X

1 j (n ωt ) nω C n e 1 + j ωo n =1 (le gain statique H (0) = 1)

v f (t ) = v m o +

Dans l’optique de tracer le spectre de v m (t ), la série de Fourier peut être écrite en notation complexe par : ∞ X

v m (t ) =

ou bien :

v f (t ) = v m o +

∞ X

Vm n j (n ωt +ϕm n ) nω e 1 + j ω n =1

C n e j n ωt où

Zn =−∞ +∞

v m (t )e j n ωt d t

−∞

1

v f (t ) = v m o +

Puisque :

Donc Vf o = v mo soit : Vf 1 =

−j ωTi

j ωTi 2Vc c e 2 − e 2 Cn = ×e 2 n ωT 2j j ωTi n ωTi 2Vc c sin( × e 2 soit : Cn = n ωT 2 C n = |C n | n ωTi 2Vc c Ti n ωTi 2Vc c sin( ) = sin( ) Cn = n ωT 2 n ωTi T 2

on reconnaît la fonction sinus cardisin x : nal s i n c (x ) = x

Cn =

ω v m 1 sin(ωt + ϕ1 ) ωo et v f 1 = |C 1 |

1+ j

v m (t ) = Vc c si t ∈ [0, Ti ] et v m (tZ) = 0 si t ∈]Ti , T [ alors : Ti Vc c ” j n ωt —Ti 1 Vc c e j n ωt d t = e Cn = o T o j n ωT j ωTi

o

Donc pour ne laisser passer que la valeur moyenne v m o et le fondamental il faut que la fréquence de coupure du filtre vérifie : f < f c ≪ 2 f dans ce cas la sortie sera :

n ωTi Vc c Ti s inc( T 2

Le spectre de v m (t ) pour les harmoniques d’amplitude notables est : 10

ωTi Vc c Ti ) s inc( q 2 ω2 T 1+ ω 2 o

6.4.4

Pour ne laisser passer que la composante continue c-à-d la valeur moyenne car le fondamentale est

1 = 500 H z T 1 ωo = = 0, 5 H z donc : f c = fo = 2π 2πR f C f C f = 1, 44 10−6 F soit pratiquement : C f = 1, 5 µF f =

6.4.5

Si on compare l’amplitude du fondamental : v f1 =

Vc c Ti ωTi s inc( ) q 2 ω2 T 1 + ω2 o

Vc c Ti v f1 = q T 1+

f2 f c2

s inc(

ωTi ) 2

numériquement :

6.5.4.1

5 × 10−6 2π × 500 × 10−6 ) v f1 = s i n c ( Æ 2 2 2.10−3 1 + 500 0,52

Finalement :

v f 1 =≃ 0, 031 m V .

on voit bien que v f 1 est très inférieure à 3 m V et par conséquent : v f (t ) ≃ v f o 6.5.1

À la sortie du filtre v f ≃ v f o c-à-d en sortie on a la valeur moyenne du signal v m (t ) cette valeur moyenne est proportionnel à h qui varie continuellement en fonction du temps donc v f (t ) est un signal analogique. 6.5.2

L ?échantillonnage consiste à prélever des échantillons pendant des durées brèves Te d’une façon periodique. Le nombre d’échantillons par unité de seconde est N e =

1 . Te

On peut proposer un montage à base de multiplieur AD 633 ou interrupteur numérique C D 4066 ∼

Ve

faire on utilise un échantillonneurbloqueur suivi d’un convertisseur analogique numérique. L’avantage de la numérisation est de pouvoir traiter le signal numériquement : mémorisation, intégration numérique etc...

Ve c ha n t i l l on n e

Si on a un échantillon numérisé sur deux bits, les valeurs possibles sont : (0,0) ; (0,1) (1,0) et (1,1) soit 4 valeurs cà-d 22 et si on a échantillon numérisé sur 3 bits, on aura 8 valeurs possibles, soit 23 . Donc en générale on a : 2n b valeurs possibles pour un échantillon numérisé sur n b bits. Dans notre cas N = 8 donc on a : 28 = 256 valeurs possibles.

6.5.4.2

La résolution du convertisseur utilisé est : q=

2, 56 − 0 ≃ 10−2 V 28 − 1

Le convertisseur ne peut pas détecter les variations moins de 10−2 V donc si on a ∆h est la plus petite variation détectable alors puisque : v f (t 2 ) − v f (t 1 ) = 2, 438(h 2(t 2 ) − h 1 (t 1 )) alors : q = 2, 438∆h m i n c-à-d : 10−2 = 2, 438∆h m i n ce qui donne : ∆h m i n =

10−2 soit : 2, 438 ∆h m i n = 4, 1 m m

Le nombre minimale de N est obtenu si h = 0 dans ce cas v f = 0, 031 V soit 3 × q (de 0 à 3) donc : Nm i n = 4

Le nombre maximale de N est obtenu si h = h m a x = L = 1 m (ou si le C AN est saturé c-à-d v f = Vm a x . Pour h = L on v f = 0, 031 + 2, 438 = 2, 469 V soit 247 fois q (de 0 à 247) donc :

Ve c ha n t i l l on n e

N m a x = 248 6.5.3

Un signal numérique, contrairement à un signal analogique, est un signal qui ne prend que des valeurs discrètes généralement +V = c t e ou 0 mais pas de tension intermédiaire. Numériser un signal analogique c’est le convertir à une suite de nombre (binaires c-à-d des 0 et des 1) pour ce 11

(s’il est saturé on aurais N m a x = 256) mais la valeur maximale est limitée par h et non par la saturation. 6.5.4.3

Puisque la valeur minimale de h détectable est ∆h m i n , donc une variation q de v f correspond à ∆h m i n et puisque l’incertitude globale ∆h correspond à 2,5 fois la valeur de résolution donc :

∆h = 2, 5∆h m i n soit : ∆h = 10, 25 m m

(Pratiquement un centimètre) 6.5.4.4

Pour h = 50 c m on a : v f = 0, 031 + 2, 438h = 0, 031 + 2, 438 × 20.10−2 = 1, 25 V donc :

1, 25 = N q = N × 10−2 soit : N = 125

L’incertitude sur N est : ∆N = 1 Merci de me faire part de vos remarques e-mail : c p g e s p e .m p @g m a i l .com Merci. M.Ouzi

12