Control e Final 2018 [PDF]

Zitiervorschau

Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Département de Mathématiques

Année universitaire 2017/2018 SMA/S4/Algèbre5

Contrôle final (Durée 2h) 06 juin 2018

Exercice 1 Soit E = M2 (R) le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2 et soit H un hyperplan de E. On pose         1 0 0 1 0 0 0 0 E11 = E12 = E21 = E22 = 0 0 0 0 1 0 0 1 1. Montrer que (E11 , E12 , E21 , E22 ) est une base de E. 2. Montrer qu’il existe (α11 , α12 , α21 , α22 ) ∈ R4 tel que    a11 a12 H= ∈ E : α11 a11 + α12 a12 + α21 a21 + α22 a22 = 0 a21 a22 3. Supposons αij 6= 0 pour (i, j) = (1, 2) ou (i, j) = (2, 1). Posons Aij = E11 + E22 −

α11 + α22 Eij . αij

Montrer que Aij ∈ H ∩ GL2 (R). 4. Supposons que α12 = α21 = 0 et soit A = E12 + E21 . Montrer que A ∈ H ∩ GL2 (R). 5. Conclure.

Exercice 2 Soit q la forme quadratique sur R4 donnée par : q((x, y, z, t)) = 2x2 + 2y 2 − z 2 + t2 − 4xy + 4xt − 4yt + 2zt,

∀(x, y, z, t) ∈ R4

1. Donner la matrice de q dans la base canonique de R4 . 2. Décomposer la forme quadratique q en somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes. 3. En déduire le rang et la signature de q. 4. La forme quadratique q est-elle dégénérée ? Justifier votre réponse. 5. La forme quadratique q est-elle positive ? Justifier votre réponse. 6. Déterminer une base q-orthogonale de R4 . 7. Déterminer le noyau de q. 8. Déterminer le cône isotrope de q. 1

Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 1. Un endomorphisme f de E est dit normal (resp. antisymétrique) si f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f (resp. f ∗ = −f ). On note S(E) (resp. A(E)) le sous-espace vectoriel de L(E) des endomorphismes symétriques (resp. antisymétriques) de E. 1. Montrer que L(E) = S(E) ⊕ A(E). 2. Soit f ∈ L(E) et f = g + h, avec g ∈ S(E) et h ∈ A(E). Montrer que f est normal si, et seulement si g ◦ h = h ◦ g. 3. Soit f un endomorphisme normal de E. Montrer que ||f (u)|| = ||f ∗ (u)||, 4. Soit f ∈ L(E) tel que ||f (u)|| = ||f ∗ (u)||,

∀u ∈ E.

∀u ∈ E. Montrer que f est normal.

5. Soit f ∈ L(E). Montrer que f est antisymétrique si, et seulement si hf (u), ui = 0, ∀u ∈ E. 6. Montrer que si f est un endomorphisme normal de E alors Ker(f ) = Im(f )⊥ . 7. Soit f une projection vectorielle de E. Montrer que f est normal si, et seulement si f est une projection orthogonale. 8. Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = IdE (f est une symétrie vectorielle). Montrer que f est normal si, et seulement si f est une symétrie orthogonale.

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